Capítulo 4 - bibing.us.esbibing.us.es/proyectos/abreproy/4244/fichero/CAPITULO4%2FCAPIT… · Capítulo 4 Aplicaciones y Resultados 4.1. Implementación Para simular el comportamiento

Capítulo 4

Aplicaciones y Resultados

4.1. Implementación

Para simular el comportamiento elastoplástico tipo Cam-Clay modificado de un suelo se emplea unaaproximación orientada a objetos del problema, en la cual aparecen todos los agentes que intervienendurante un ensayo de una muestra de suelo. En la Figura 4.1 podemos ver como se estructura elmodelo.

El modelo esta formado por una clase principal, llamada Material, que posee un Material modely es donde se definen los distintos tipos de materiales a utilizar por el modelo. Esta clase tiene unaserie de clases hijas que son los distintos modelos de comportamiento de los suelos y que heredande ella. Aunque el objetivo de este proyecto es implementar el modelo Cam-Clay modificado, se hanimplementado dos tipos de modelos de comportamiento del suelo: el modelo elástico (ElasticIso3d enla Figura 4.1) y el modelo Cam-Clay modificado (Camclay en la Figura 4.1). Además, se ha dejado laestructura necesaria para implementar el modelo de comportamiento Cam-Clay con superficie límite(CamclayBs en la Figura 4.1). Este último modelo de comportamiento supone una plastificaciónprogresiva desde un estado de tensión hasta una superfice límite, fue presentado por Dafalias y Popov(1976)[6] y usado más tarde por Borja et al. (2001)[4]. En la clase MaterialState se almacenan losdistintos valores de las variables que definen el estado de cada modelo y que definen el estado en elque se encuentra la muestra de suelo a estudiar. El problema puede estar controlado en tensiones oen deformaciones, la clase MixedDriver es la encargada de coordinar el ensayo en función de que losdatos de entrada sean en tensión o en deformación. Esta clase recoge información del tipo de materialde la clase Material mediante un vector llamado mMaterial y del valor de las variables de estado dela clase MaterialState mediante el vector mState. Además, la clase Material posee un objeto de laclase Svector que recoge la información de la muestra del suelo, las condiciones de los ensayos, lastolerancias... mediante un vector de constantes denominado mStatic.

4.2. Archivos de parámetros, cargas y resultados

En la simulación numérica de ejemplos, a través de la implementación del modelo presentado en laFigura 4.1, se necesitan los valores de los parámetros de estado del modelo de comportamiento y lascargas aplicadas a la muestra de suelo. Esta información se define en dos archivos de texto: el archivode parámetros y el archivo de cargas. El primero posee los valores relativos a la definición del modelode comportamiento del suelo. Por otro lado, el archivo de cargas contiene el patrón de carga que vaa seguir la muestra. En este último archivo, es donde escribimos las tensiones o deformaciones queaplicamos a la muestra de suelo (en función de que tipo de problema tengamos, problemas controladosen tensión o en deformación). Tras una correcta ejecución del programa, obtendremos el archivo deresultados donde vienen recogidas todas las variables que describen el comportamiento de la muestradurante el proceso de carga. Una visión simplificada del proceso de simulación usando el progama sepuede ver en la Figura 4.2. Tras esta breve introducción pasamos a detallar cada uno de los archivosde texto descritos.

57

58 Capítulo 4. Aplicaciones y Resultados

Camclay

ElasticIso3d

Svector

Material

MixedDriver

MaterialState

CamclayBsState

CamclayState

ElasticIso3dStateCamclayBs

Material model

mStatic

mStatemMaterial

mMaterialModel

Figura 4.1 . Diagrama simplificado de clases que conforman el modelo del problema.

Parámetros

Cargas

Resultados

Figura 4.2 . Visión simplificada del proceso de simulación usando el programa.

4.2. Archivos de parámetros, cargas y resultados 59

4.2.1. Archivo de parámetros

Este es un archivo de texto donde se definen los valores de las variables necesarias para describircompletamente el modelo de comportamiento del suelo. Además, se definen otros valores necesariosdurante la ejecución del modelo como son las tolerancias de los algoritmos de integración o las condi-ciones de las muestras de suelo estudiadas. El número máximo de valores introducidos en este archivoson treinta y cinco. Como hemos estudiado, en el caso de una ley elastoplástica tipo Cam-Clay modi-ficado, con comportamiento hiperelástico, sólo son necesarios ocho parámetros del material. En total,entre tolerancias y parámetros, el programa necesita que sean definidos dieciocho valores en el casodel Cam-Clay modificado. La forma del archivo de parámetros para este modelo de comportamientoserá la siguiente:

α κ p0 εv0 µ0 λ -pc0 - - - Mc - -- - - - - - -

Tolf TolR Tol1 Tol2 Tol3 Tol4 -Jactype Drain UserCep Material - - -

(4.1)

donde:

α : parámetro hiperelástico del modelo (Ecuación 3.81)

κ : pendiente de la rama de carga-descarga (Figura 3.2)

p0 : valor inicial de la tensión normal aplicada a la muestra.(Ecuación 3.80)

εv0 : deformación volumétrica correspondiente a un valor de p0 (Ecuación 3.73 )

µ0 : término del módulo elástico a cortante para un valor de p0 (Ecuación 3.81)

λ : pendiente de la rama de compresión noval (Figura 3.2)

pc0 : valor de la presión de preconsolidación inicial que define el tamaño de

la superficie de plastificación inicial (Figura 3.4)

Mc : pendiente de la línea de estados críticos (Figura 3.4)

Tolf : tolerancia de la superficie de plastificación.

TolR : tolerancia en la convergencia del residuo en el método de integración CPPM.

Tol1 : tolerancia usada internamente en el programa.




Jactype : indica como calcula el jacobiano el programa, analíticamente o

por diferencias finitas (Ecuación 3.150).

Drain : indica si la muestra se encuentra en condiciones drenanas o

no drenadas (Figuras 2.5 y 2.7).

UserCep : indica si usa el módulo elástico o el módulo

elastoplástico (Ecuaciones 3.36 y 3.37).

Material : indica tipo de modelo a usar (Elástico Isótropico, Cam-Clay,

Cam-Clay con superficie límite...)

En el archivo de parámetros (Figura 4.1) se distinguen claramente tres partes:

1. Parámetros: Las tres primeras líneas están formadas por los parámetros propiamente dichos (loslugares donde aparece “-” son vacantes a ocupar por otros parámetros cuando se usa otro tipode modelo de comportamiento). En la implementación del modelo Cam-Clay modificado, sólo sehan utilizado ocho parámetros, pero otro tipo de modelo puede necesitar un número mayor devalores. El numéro máximo de parámetros permitidos son ventiuno.


2. Tolerancias: La cuarta línea del archivo esá compuesta por las distintas tolerancias usadas alo largo del modelo. Algunas de ellas son: la tolerancia para discernir si estamos en la regiónelástica o plástica, o la tolerancia usada en la convergencia del residuo con el método de inte-gración CPPM (Figura 3.10). En el la versión implementada del modelo Cam-Clay modificadoúnicamente se han definido seis tolerancias. El número máximos de valores a definir, relativos alas tolerancias, son siete.

3. Características: En la última línea del archivo de texto se introducen algunas características delmodelo de comportamiento del suelo o del tipo de muestra que se está simulando. Por ejemplo,se indica si el jacobiano, utilizado por el método de resolución de las ecuaciones no linealesdel residuo en el algoritmo de integración CPPM (Ecuación 3.149), se calcula con expresionesanalíticas o por diferencias finitas (Ecuación 3.150). En este línea también se define el tipo demodelo empleado para describir el comportamiento del suelo o si la muestra se encuentra encondiciones drenadas o no drenadas. En la implementación del modelo Cam-Clay modificado,sólo se han definido cuatro valores de estas características, siendo siete el número límite de valores(para otro tipo de modelos de comportamiento).

4.2.2. Archivo de cargas

En este archivo se define el patrón de carga que va a sufrir la muestra en la simulación conel programa. Los valores introducidos dependerán de como esté controlado el problema, ya sea entensión o en deformación. Los tensores de tensión o deformación, en un paso de carga cualquiera, dela muestra de suelo son:

σk =

⎡⎣ σk11 σk12 σk13σk21 σk22 σk23σk31 σk32 σk33

⎤⎦ , εk =

⎡⎣ εk11 εk12 εk13εk21 εk22 εk23εk31 εk32 εk33

⎤⎦ (4.2)

Como vimos en el capítulo segundo, estos tensores se pueden definir en términos de sus componentesprincipales (Ecuación 2.2) quedando de la siguiente forma para cada paso de carga (k=1,2,3,4,5.....):

σk =

⎡⎣ σk11 0 00 σk22 00 0 σk33

⎤⎦ , εk =

⎡⎣ εk11 0 00 εk22 00 0 εk33

⎤⎦ (4.3)

Únicamente la primera línea del archivo es idéntica para ambos casos. En ella se escriben lascomponentes de la diagonal del tensor inicial de tensión, en componentes principales, que se aplica ala muestra (Ecuación 4.4 ):

σ0 =

⎡⎣ σ011 0 00 σ022 00 0 σ033

⎤⎦ (4.4)

El contenido del resto de posiciones del archivo va a depender de si el problema esta controladoen tensión o en deformación. Si el problema está controlado en tensión, se introducen por filas lascomponentes de la diagonal del tensores de tensión, en componentes principales (Ecuación 4.3), para lossiguientes estados o pasos de carga. De esta forma, el archivo de cargas tendrá la siguiente estructura:

σ011 σ022 σ033σ111 σ122 σ133σ211 σ222 σ233σ311 σ322 σ333- - -

(4.5)

Mientras que para el caso de un problema gobernado en deformación, se introducen por filas lascomponentes de la diagonal del tensor de deformación, en componentes principales (Ecuación 4.3),

4.3. Aplicación del modelo: Ejemplos 61

para los siguientes estados o pasos de carga. De esta manera, el archivo de cargas tendrá la siguienteforma:

σ011 σ022 σ033ε111 ε122 ε133ε211 ε222 ε233ε311 ε322 ε333- - -

(4.6)

4.2.3. Archivo de Resultados

En el archivo de resultados se obtienen todos los valores necesarios para describir el comportamientodel suelo en cada paso de carga. Estos datos se presentan en columnas: las componentes principalesdel tensor de tensión σ, las componentes principales del tensor de deformación ε, la tensión normal p,la tensión desviadora q, la parte desviadora de la deformación εs y la presión de preconsolidación pc.A continuación, podemos ver un archivo de resultados obtenido en la simulación de un ejemplo parael caso del Cam-Clay modificado:

Stress11 Stress22 Stress33 Stress12 Stress13 Stress23 Strain11 Strain22-10 -10 -10 0 0 0 0 0-24 -24 -24 0 0 0 -0.00583646 -0.00583646-38 -38 -38 0 0 0 -0.00890001 -0.00890001-52 -52 -52 0 0 0 -0.0109911 -0.0109911-66 -66 -66 0 0 0 -0.0125805 -0.0125805-80 -80 -80 0 0 0 -0.0138629 -0.0138629-94 -80 -80 0 0 0 -0.0147781 -0.0139494

-108 -80 -80 0 0 0 -0.0157395 -0.014004-122 -80 -80 0 0 0 -0.0362051 -0.00967918-136 -80 -80 0 0 0 -0.0672305 -0.00024547-150 -80 -80 0 0 0 -0.114888 0.0176386

Strain33 Strain12 Strain13 Strain23 p q ShearStrain pc0 0 0 0 -10 0 0

-0.00583646 0 0 0 -24 6.15E-15 1.00E-18 -100-0.00890001 0 0 0 -38 0 0 -100-0.0109911 0 0 0 -52 1.51E-14 0 -100-0.0125805 0 0 0 -66 0 0 -100-0.0138629 0 0 0 -80 0 0 -100-0.0139494 0 0 0 -84.6667 14 0.00055244 -100-0.014004 0 0 0 -89.3333 28 0.00115699 -100.168

-0.00967918 0 0 0 -94 42 0.0176839 -117.168-0.00024547 0 0 0 -98.6667 56 0.0446567 -137.9060.0176386 0 0 0 -103.333 70 0.088351 -161.876

Figura 4.3 . Estructura del archivo de resultados.

4.3. Aplicación del modelo: Ejemplos

En esta parte del proyecto se han simulado varios casos prácticos propuestos por otros autores queestudian el modelo Cam-Clay. Estos ejemplos se dividen en función del tipo de control del problemarealizado:

1. Control en deformación: En el artículo de Ronaldo I. Borja, Cam-Clay Plasticity Part III: Exten-sion of the infinitesimal model to include finite strains (1998)[2] se ha simulado numéricamenteel comportamiento de una muestra de suelo a la que se le aplican distintas deformaciones. Lascondiciones iniciales son las de un suelo normalmente consolidado con una presión de preconsol-idación de valor pc0 = p0 = −90 kPa aplicada isotrópicamente. Se plantean dos casos distintos:

i) CASO A: Aplicamos una deformación total de εv = 0 y εs = 0,05 a la muestra del suelo.Para ver la convergencia y precisión numérica de la simulación se han aplicado distintosincrementos proporcionales de deformación de 100 pasos, 50 pasos, 10 pasos y 5 pasos.Además, para ver la influencia del método de resolución de las ecuaciones no lineales, sehan utilizado los dos métodos vistos al final del capítulo tercero, es decir, el método deNewton simple y el método de Newton modificado.


ii) CASO B: Aplicamos una deformación total de εv = −0,05 y εs = 0,05 a la muestra de suelo.En este ocasión, se ha repetido la metodología seguida en el caso a.

2. Control en tensión: En el artículo realizado por Damian Grant titulado Cyclic Soil Plasticity(2002)[7] se ha simulado un ensayo de compresión isotrópica partiendo de una muestra de unsuelo normalmente consolidado con una presión de preconsolidación de valor pc0 = p0 = −100kPa. La muestra fue cargada incrementando las componentes axiales con valores idénticos σ11 =σ22 = σ33. A continuación, se realizó una descarga para finalmente hacer una recarga. Paracomprobar la precisión y convergencia de la simulación del ejemplo se dieron incrementos decarga proporcionales de 1000 pasos, 100 pasos y 6 pasos.

El archivo de parámetros posee posiciones con valores comunes en los ejemplos simulados:

a) Jactype : En esta posición se indica cómo se calcula el Jacobiano necesario en el algoritmo deNewton. Si se escribe un “0” el jacobiano se calcula por diferencias finitas, mientras que si seanota un “1” se calcula de manera analítica. En nuestro caso, se ha aproximado el cálculo deljacobiano por diferencias finitas (Ecuación 3.150).

b) Drain : Aquí se definen las condiciones de la muestra simuladas. Si se anota un “0” las condicionesson drenadas, mientras que un “1” indica que las condiciones son no drenadas. En todos losejemplos realizados las condiciones de la muestra son drenadas.

c) UserCep : En esta posición se indica si se usa el módulo elastoplástico o el módulo elástico (Ecua-ciones 3.92 y 3.95). Si se escribe un “0” se usará el módulo elastoplástico, estando el “1” reservadopara el caso contrario.

d) Material : Aquí se indica el modelo de comportamiento del suelo usado. El “0” se correspondecon el modelo Elástico Isótropo tridimensional, mientras que el “2” es el modelo Cam-Claymodificado.

e) Tolerancias : Los valores escogidos para las tolerancias son de 10−6 y de 10−4.

Por tanto, la forma del archivo de parámetros es la siguiente:

α κ p0 εv0 µ0 λ -

pc0 - - - M - -

- - - - - - -

Tolf = 0,000001 TolR = 0,000001 Tol1 = 0,0001 Tol2 = 0,0001 Tol3 = 0,0001 Tol4 = 0,0001 -

Jactype = 0 Drain = 0 UserCep = 1 Material = 2 - - -

El resto de posiciones del archivo dependera de tipo de ejemplo y se definirán para cada caso enconcreto.

4.3.1. Control en deformación

Este ejemplo ha sido propuesto por Ronaldo I. Borja en su artículo Cam-Clay Plasticity Part III:Extension of the infinitesimal model to include finite strains (1998)[2]. Las condiciones iniciales dela muestra se corresponden a suelo normalmente consolidado con una presión de preconsolidación devalor pc0 = p0 = −90 kPa aplicada isotrópicamente.

CASO A: la deformación total aplicada es εv=0 y εs=0.05

Partiendo de las condiciones iniciales señaladas, pc0 = p0 = −90 kPa aplicada isotrópicamente,la muestra ha experimentado incrementos proporcionales de deformación de 100 pasos, 50 pasos, 10pasos y 5 pasos hasta alcanzar la deformación total reseñada de εv = 0 y εs = 0,05. En la simulaciónrealizada por Ronaldo I. Borja en [2], para describir el comportamiento del suelo, se representaronlas siguientes gráficas: la tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs (Figura 4.4), la


0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

deformación desviadora (%)

q(kP

a)

100 pasos50 pasos10 pasos5 pasos

Figura 4.4 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs, según Ronaldo I. Borja [2].

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-1 -0.5 0 0.5 1

deformación volumétrica (%)

p(kP

a)


Figura 4.5 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv, según Ronaldo I. Borja [2].


0

10

20

3040

50

60

70

80

-120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40

p(kPa)

q(kP

a)


Figura 4.6 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p, según Ronaldo I. Borja [2].

tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.5) y la tensión desviadora q frentea la tensión normal p (Figura 4.6).

Usando el programa que implementa el modelo de la Figura 4.1 se ha simulado el mismo ejemplo.El archivo de parámetros es el siguiente:

α = 120 κ = 0,018 p0= −90 εv0= 0 µ0= 0 λ = 0,13 -

pc0= −90 - - - M = −1,05 - -

- - - - - - -



Se han representado las misma gráficas que aparecen el artículo de Ronado I. Borja: la tensión desvi-adora q frente a la deformación desviadora εs (Figura 4.7), la tensión normal p frente a la deformaciónvolumétrica εv (Figura 4.8) y la tensión desviadora q frente a la tensión normal p (Figura 4.9). En lasimulación del ejemplo se ha usado el programa con el método de Newton simple para la resoluciónde las ecuaciones no lineales del residuo (Ecuación 3.149).

Se observa que el programa funciona correctamente tanto para muchos pasos de integración comopara el caso de pocos pasos de integración. Para ver la influencia del método de resolución de lasecuaciones no lineales del residuo (Ecuación 3.147), se ha utilizado el programa con el método deNewton modificado para simular este ejemplo. Se han vuelto a representar las mismas gráficas: latensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs (Figura 4.10), la tensión normal p frentea la deformación volumétrica εv (Figura 4.11) y la tensión desviadora q frente a la tensión normal p(Figura 4.12).

Comparando las figuras obtenidas usando el método de Newton simple (Figuras 4.7∼4.8∼4.9) conlas gráficas utilizando el método de Newton modificado (Figuras 4.10∼4.11∼4.12), se aprecia que lainfluencia del método de resolución de las ecuaciones no lineales es mínima. Es decir, el funcionamientodel programa es independiente del método usado resolución de las ecuaciones no lineales del residuo.

Finalmente, vamos a comparar los resultados obtenidos en la simulación usando nuestro programacon los elaborados por Ronaldo I. Borja. Como se acaba de ver, el uso del método de resolución esindiferente, y en este caso se ha optado por usar el método de Newton simple (Figura 3.10). Paraello, hemos representado superpuestas las gráficas de la tensión desviadora q frente a la deformacióndesviadora εs (Figura 4.13), la tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.14)y la tensión desviadora q frente a la tensión normal p (Figura 4.15).


0

10

20

3040

50

60

70

80

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


q(kP

a)


Figura 4.7 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs. Estas curvas se han obtenido usando el métodode Newton simple (Figura 3.10).

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-1 -0.5 0 0.5 1deformación volumétrica (%)

p(kP

a)


Figura 4.8 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv. Estas gráficas se han obtenido usando el métodode Newton simple (Figura 3.10).


0

1020

30

40

5060

70

80

-120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40

p(kPa)

q(kP

a)


Figura 4.9 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p. Estas curvas se han obtenido usando el método de Newtonsimple (Figura 3.10).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


q(kP

a)

100 pasos50 pasos

10 pasos5 pasos

Figura 4.10 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs. Estas curvas se han obtenido usando el métodode Newton modificado.


-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-1 -0.5 0 0.5 1


p(kP

a)


Figura 4.11 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv. Estas curvas se han obtenido usando el métodode Newton modificado.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40

p(kPa)

q(kP

a)


Figura 4.12 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p. Estas curvas se han obtenido usando el método de Newtonmodificado.


0

10

20

3040

50

60

70

80

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


q(kP

a)

Figura 4.13 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs. Los puntos representan los resultados obtenidospor Ronaldo I. Borja, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa y usando el método deNewton simple (Figura 3.10).

-120

-110-100

-90

-80

-70-60

-50

-40

-1 -0.5 0 0.5 1deformación volumétrica (%)

p(kP

a)

Figura 4.14 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv. Los puntos representan los resultados obtenidospor Ronaldo I. Borja, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa y usando el método deNewton simple (Figura 3.10).


0

1020

30

40

5060

70

80

-120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40

p(kPa)

q(kP

a)

Figura 4.15 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p. Los puntos representan los resultados obtenidos porRonaldo I. Borja, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa y usando el método deNewton simple (Figura 3.10).

Observando las Figuras 4.13∼4.14∼4.15, se comprueba que las curvas de comportamiento obtenidaspor Ronaldo I. Borja y las curvas según nuestro programa coinciden en la mayor parte del rango devalores representado. Por otro lado, el número de pasos de integración es indiferente a la hora dedescribir el comportamiento de la muestra de suelo. Además, se ha comprobado que el uso del métodode Newton simple o del método de Newton modificado nos conduce a los mismos resultados.

CASO B: la deformación total aplicada es εv = −0,05 y εs = 0,05.

Las condiciones iniciales de la muestra son las de un suelo normalmente consolidado con unapresión de preconsolidación de pc0 = p0 = −90 kPa aplicada isotrópicamente. A partir de aquí, a lamuestra se le aplica unos incrementos proporcionales de deformación de 100 pasos, 50 pasos, 10 pasosy 5 pasos hasta alcanzar una deformación total de εv = −0,05 y εs = 0,05. Ronaldo I. Borja realizóuna simulación numérica de este ejemplo, para describir el comportamiento del suelo representó lassiguientes gráficas: la tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs (Figura 4.16), tensiónnormal p frente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.18) y tensión desviadora q frente a la tensiónnormal p (Figura 4.17).

Usando el programa que implementa el modelo de la Figura 4.1 se ha simulado el mismo ejemplo.Se han obtenido las gráficas anteriores que describen el comportamiento del suelo utilizando el métodode Newton simple explicado en el capítulo anterior (Figura 3.10). El archivo de parámetros para esteejemplo es el siguiente:

α = 120 κ = 0,018 p0= −90 εv0= 0 µ0= 0 λ = 0,13 -

pc0= −90 - - - M = −1,05 - -

- - - - - - -



Se han representado las misma gráficas que Ronado I. Borja elaboró en su artículo [2]: la tensióndesviadora q frente a la deformación desviadora εs(Figura 4.19), la tensión normal p frente a ladeformación volumétrica εv (Figura 4.20) y la tensión desviadora q frente a la tensión normal p(Figura 4.20).

En las Figuras 4.19∼4.20∼4.21 se obseva que el programa completó la simulación del ejemplo sinningún tipo de error. Además, el funcionamiento es independiente de usar muchos o pocos incrementos


0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


q(kP

a)


Figura 4.16 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs, según Ronaldo I. Borja [2].

-120

-115

-110

-105

-100

-95

-90

-85

-80

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0


p(kP

a)


Figura 4.17 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv, según Ronaldo I. Borja [2].


0

10

20

30

40

50

60

70

80

-120 -110 -100 -90 -80

p(kPa)

q(kP

a)


Figura 4.18 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p, según Ronaldo I. Borja [2].

0

10

20

3040

50

60

70

80

0 0.02 0.04 0.06 0.08


q(kP

a)


Figura 4.19 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs. Estas curvas se han obtenido usando el métodode Newton simple (Figura 3.10).


0

1020

30

40

5060

70

80

-120 -110 -100 -90 -80

p(kPa)

q(kP

a)


Figura 4.20 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv. Estas curvas se han obtenido usando el métodode Newton simple (Figura 3.10).

-120

-115

-110

-105

-100

-95

-90

-85

-80

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0deformación volumétrica (%)

p(kP

a)


Figura 4.21 . Tensión desviadora q.frente a la tensión normal p. Estas curvas se han obtenido usando el método de Newtonsimple (Figura 3.10).


0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

deformación desviadora

q(kP

a)

100 pasos50 pasos

10 pasos5 pasos


de deformación. Como se hizo en el ejemplo anterior (CASO A), se va a estudiar la influencia delmétodo de resolución de las ecuaciones no lineales del residuo (Ecuación 3.147). Para ello, se repite lasimulación del ejemplo usando el programa con el método de Newton modificado. Los resultados sehan plasmado en las gráficas siguientes: la tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs(Figura 4.22), la tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.23) y la tensióndesviadora q frente a la tensión normal p (Figura 4.24).

Al igual que ocurría en el caso anterior, comparando las figuras obtenidas usando el método deNewton simple (Figuras 4.7∼4.8∼4.9) con las gráficas utilizando el método de Newton modificado(Figuras 4.10∼4.11∼4.12), se aprecia que la influencia del método de resolución del residuo no esimportante; es decir, el funcionamiento del programa es independiente de usar el método de Newtonsimple o el modificado. Podemos concluir, por tanto, que la simulación numérica de ejemplos connuestro programa puede hacerse con cualquiera de los métodos de resolución, obteniéndose los mismosresultados por un camino que por otro.

Para terminar este ejemplo de control en deformación, se han representado conjuntamente lascurvas obtenidas por Ronaldo I. Borja y los resultados de la simulación con el programa. En estecaso, las curvas obtenidas mediante el programa han sido usando el método de Newton simple. Sehan representando las siguientes gráficas: la tensión desviadora q frente a la deformación desviadoraεs (Figura 4.25), la tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.26) y la tensióndesviadora q frente a la tensión normal p (Figura 4.27).

4.3.2. Control en tensión

El caso práctico desarrollado a continuación fue propuesto por Damian Grant en su artículo CyclicSoil Plasticity (2002)[7]. Se simuló un ensayo de compresión isotrópica a una muestra de suelo nor-malmente consolidado inicialmente, con presión de preconsolidación inicial de pc0 = p0 = −100 kPa.A la muestra se le fueron aplicando idénticos incrementos de carga según los tres ejes principales(∆σ11 = ∆σ22 = ∆σ33). Durante la realización del ensayo, se hizo una descarga para valores de la pre-sión normal de aproximadamente p = −400 kPa, hasta llegar a una presión normal de p = −10 kPa;a continuación, se volvió a cargar la muestra hasta llegar a valores de p = −600 kPa. La simulaciónfue realizada para distintos incrementos de carga: 1000 pasos, 100 pasos y 6 pasos. Para describir elcomportamiento de la muestra de suelo se han representado las siguientes gráficas: la tensión normalp frente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.28) y el logaritmo neperiano del volumen específicoln v frente al logartimo neperiano de la tensión normal ln p (Figura 4.29) para cada uno de los tipos


-120

-115

-110

-105

-100

-95

-90

-85

-80

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

deformación volumétrica

p(kP

a)



0

10

20

30

40

50

60

70

80

-120 -110 -100 -90 -80

p(kpa)

q(kp

a)

100 pasos50 pasos

10 pasos5 pasos

Figura 4.24 . Tensión desviadora q frente a la.tensión normal p. Estas curvas se han obtenido usando el método de Newtonmodificado.


0

10

20

3040

50

60

70

80

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


q(kP

a)

Figura 4.25 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs. Los puntos representan los resultados obtenidospor Ronaldo I. Borja, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa y usando el método deNewton simple (Figura 3.10).

-120

-115

-110

-105

-100

-95

-90

-85

-80

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0deformación volumétrica (%)

p(kP

a)

Figura 4.26 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv. Los puntos representan los resultados obtenidospor Ronaldo I. Borja, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa y usando el método deNewton simple (Figura 3.10).


0

10

20

30

40

50

60

70

80

-120 -110 -100 -90 -80

p(kPa)

q(kP

a)

Figura 4.27 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p. Los puntos representan los resultados obtenidos porRonaldo I. Borja, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa y usando el método deNewton simple (Figura 3.10).

de incrementos de carga.A continuación, se simuló dicho ensayo usando el programa. El archivo de parámetros usado fue

el siguiente:

α = 100 κ = 0,02 p0= −100 εv0= 0 µ0= 0 λ = 0,09 -

pc0= −100 - - - M = −0,9 - -

- - - - - - -



Como vimos en la anterior ejemplo, los resultados no varían si se usa el método de Newton simple o elmodificado a la hora de resolver las ecuaciones no lineales del residuo. Por esta razón, se ha optado porutilizar el método de Newton modificado en la simulación numérica de este ejemplo. De esta forma, sehan representado las mismas gráficas que elaboró Damian Grant en su artículo. Así, para describir elcomportamiento del suelo sometido a una compresión isotrópica y posterior descarga-recarga, se hanelaborado las siguientes gráficas: la tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv (Figura4.30) y el logaritmo neperiano del volumen específico ln v frente al logartimo neperiano de la tensiónnormal ln p (Figura 4.31) para cada uno de los tipos de incrementos de carga.

En estas gráficas podemos observar que las curvas son prácticamente idénticas para los distintosincrementos de tensión. La precisión a la hora de describir el comportamiento es alta incluso conpocos pasos (incrementos grandes de tensión). Finalmente, como hicimos en los ejemplos anteriores,se han superpuesto las gráficas obtenidas por Damian Grant y los resultados usando el programa conel método de Newton modificado. De esta forma, se tienen las siguientes gráficas: la tensión normal pfrente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.32) y el logaritmo neperiano del volumen específicoln v frente al logartimo neperiano de la tensión normal ln p (Figura 4.33).

Concluimos que el comportamiento usando nuestro programa es correcto y se asemeja en la mayorparte del rango de valores representados a los resultados obtenidos por otros autores. Únicamenteexiste una pequeña diferencia en la trayectoria de la descarga realizada a la muestra (Figura 4.32),que puede ser debida a desviaciones numéricas. Pero como se observa en la gráfica, esta diferencia esmínima siendo el resto del comportamiento idéntico.


-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00


p(kP

a) 1000 pasos100 pasos6 pasos

Figura 4.28 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv según Damian Grant [7].

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

2 3 4 5 6 7

ln p

ln v

1000 pasos100 pasos6 pasos

Figura 4.29 . Logaritmo neperiano del volumen específico ln v frente al logaritmo neperiano de la tensión normal ln psegún Damian Grant [7].


-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00


p(kP



0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

2 3 4 5 6 7

ln p

ln v


Figura 4.31 . Logaritmo neperiano del volumen específico ln v frente al logartimo neperiano de la tensión normal ln p.Estas curvas se han obtenido usando el método de Newton modificado.


-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00


p(kP

a)

Figura 4.32 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv. Los puntos representan los resultados obtenidospor Damian Grant [7], mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa y usando el métodode Newton modificado.

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

2 3 4 5 6 7

ln p

ln v

Figura 4.33 . Logaritmo neperiano del volumen específico ln v frente al logartimo neperiano de la tensión normal ln p.Los puntos representan los resultados obtenidos por Damian Grant [7], mientras que las líneas son los resultados de lasimulación con el programa y usando el método de Newton modificado.


0

20

40

60

80

100

120

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

p(kPa)

q(kP


Figura 4.34 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p, según Damian Grant [7].

4.4. Aplicación final: Ensayo triaxial

En el capítulo segundo vimos que, dentro de la mecánica del suelo, uno de los ensayos más impor-tantes para caracterizar la resistencia del suelo es el ensayo triaxial (Figura 2.18). Como aplicaciónfinal del proyecto vamos a simular numéricamente la realización de un ensayo de este tipo. El escogidoes un ensayo triaxial con consolidación previa y con condiciones drenadas (CD). En primer lugar, serealiza la fase de consolidación cargando la muestra isotrópicamente desde p0 = 10 kPa hasta p = 80kPa. A continuación, para aplicar la carga desviadora, se mantienen constantes las componentes deltensor σ22 = σ33 = 80 kPa mientras que se aumenta el valor de σ11. Damian Grant, en su artículo [7],realizó una simulación numérica del ensayo, usando distintos incrementos de tensión proporcionales:1000 pasos, 100 pasos y 12 pasos hasta alcanzar un valor de la línea de estados críticos. Los resultadosobtenidos se representan en las siguientes curvas: la tensión desviadora q frente a la tensión normalp (Figura 4.34), la tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.35), la tensióndesviadora q frente a la deformación desviadora εs (Figura 4.36) y la deformación volumétrica εv frentea la deformación desviadora εs (Figura 4.37).

A continuación, simulamos el ensayo a través de nuestro programa. El archivo de parámetros usadofue el siguiente:

α = 100 κ = 0,02 p0= −10 εv0= 0 µ0= 0 λ = 0,09 -

pc0= −100 - - - M = −0,9 - -

- - - - - - -



En la simulación del ejemplo se empleó nuestro programa y como método de resolución de lasecuaciones no lineales se escogió el método de Newton modificado. Para describir el comportamientodel suelo se han representado las mismas gráficas que elaboró en su artículo Damian Grant: la tensióndesviadora q frente a la tensión normal p (Figura 4.38), la tensión normal p frente a la deformaciónvolumétrica εv (Figura 4.39), la tensión desviadora q frente a deformación desviadora εs(Figura 4.40)y la deformación volumétrica εv frente a la deformación desviadora εs (Figura 4.41).

Durante la ejecución del problema el programa se encuentra con dificultades numéricas y se inter-rumpe. Estas complicaciones numéricas aparecen durante el proceso de integración, al intentar resolverlas ecuaciones no lineales del residuo (Ecuación 3.147) en el proceso de actualización se obtiene unadivergencia y es imposible calcular ∆δ (Ecuación 3.149). Las posibles soluciones a este problema secomentará en el último capítulo del proyecto.

4.4. Aplicación final: Ensayo triaxial 81

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0


p(kP


Figura 4.35 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv, según Damian Grant [7].

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60


q(kP


Figura 4.36 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs, según Damian Grant [7].


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 10 20 30 40 50 60


defo

rmac

ión

volu

mét

rica

(%)


Figura 4.37 . Deformación volumétrica εv frente a la deformación desviadora εs, según Damian Grant [7].

0

20

40

60

80

100

120

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

p(kPa)

q(kP


Figura 4.38 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p. Estas curvas se han obtenido usando el método de Newtonmodificado.


-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0


p(kP



0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60


q(kP




-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 10 20 30 40 50 60


defo

rmac

ión

volu

mét

rica

(%)


Figura 4.41 . Deformación volumétrica εv frente a la deformación desviadora εs. Estas curvas se han obtenido usando elmétodo de Newton modificado.

Para terminar este ejemplo de control en deformación, se han representado conjuntamente lascurvas obtenidas por Damian Grant y los resultados de la simulación con el programa. Como seha comentado, las curvas obtenidas mediante el programa han sido usando el método de Newtonmodificado. Se han representando las siguientes gráficas: la tensión desviadora q frente a la deformacióndesviadora εs (Figura 4.42), la tensión normal p frente a la deformación volumétrica εv (Figura 4.43),la tensión desviadora q frente a la tensión normal p (Figura 4.44) y la deformación volumétrica frentea la deformación desviadora εs (Figura 4.45).


0

20

40

60

80

100

120

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

p(kPa)

q(kP

a)

Figura 4.42 . Tensión desviadora q frente a la tensión normal p. Los puntos representan los resultados de Damian Grant,mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa usando el método de Newton modificado.

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0


p(kP

a)

Figura 4.43 . Tensión normal p frente a la deformación volumétrica εs. Los puntos representan los resultados de DamianGrant, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa usando el método de Newton modificado.


0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60


q(kP

a)

Figura 4.44 . Tensión desviadora q frente a la deformación desviadora εs. Los puntos representan los resultados deDamian Grant, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa usando el método de Newtonmodificado.

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 10 20 30 40 50 60


defo

rmac

ión

volu

mét

rica

(%)

Figura 4.45 . Deformación volumétrica εv frente a la deformación desviadora εs. Los puntos representan los resultados deDamian Grant, mientras que las líneas son los resultados de la simulación con el programa usando el método de Newtonmodificado.

Documents

Capítulo 4 - bibing.us.esbibing.us.es/proyectos/abreproy/4244/fichero/CAPITULO4%2FCAPIT… · Capítulo 4 Aplicaciones y Resultados 4.1. Implementación Para simular el comportamiento