Capítulo 4 - Profesor Juan Ernesto Arias Tenorio · Web viewSi la corriente fluye a través de un circuito compuesto de una cantidad cualquiera de resistencias equivalentes (iguales)

Capítulo 4 Circuitos en Paralelo – Ley de la Corriente de Kirchhoff 1

Capítulo 4

Circuitos en Paralelo

Ley de la Corriente de Kirchhoff


4.1 Introducción

Los circuitos en paralelo pueden ser los más conocidos. La mayoría de los instrumentos, tomacorrientes y luces en las casas están conectados a un circuito en paralelo. Si las luces de su hogar estuvieran en serie, entonces todas se encenderían o se apagarían simultáneamente cada vez que se usaran. Lo mismo sucedería con los tomacorrientes.

4.2.1 Circuitos en Paralelo

En la Fig. 4.1, uno de los terminales de las luces está conectado al lado positivo de la batería, y el otro terminal al negativo. Estos puntos de conexión se conocen como nodos. Las ramas de los dispositivos o los circuitos que tienen dos nodos comunes se consideran que están en paralelo.

En un circuito en paralelo, los dispositivos conectados entre dos nodos pueden ser de cualquier tipo, tal como una fuente de tensión, resistencia, o una luz.

Fig. 4.1 – Circuito paralelo simple

Antes de analizar los circuitos, es necesario asignarle la nomenclatura a los nodos (utilizando letras minúsculas), y asegurarse del tipo de conexión. En la Fig. 4.2, hay dos ejemplos de rotulación de nodos.


En la Fig. 4.2(a), los dispositivos B y C están en paralelo, y usan el nodo común b y c. Estos dos dispositivos tienen conectado al dispositivo A en serie. En la Fig. 4.2(b), los dispositivos B y C están en serie, puesto que tienen un solo nodo común, b. Los dispositivos C y B tienen conectado a A en paralelo.

4.2.2 Ley del Voltaje de Kirchhoff

La Ley del Voltaje de Kirchhoff es muy útil para analizar circuitos en serie. De igual manera, la Ley de la Corriente de Kirchhoff es un teorema básico para explicar la operación de circuitos paralelos. A continuación se describe la Ley de la Corriente de Kirchhoff:

“La suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de ese mismo nodo”

Podemos usar el flujo del agua para explicar la Ley de la Corriente de Kirchhoff: cuando el agua fluye dentro de un tubo cerrado, no hay pérdida de agua, de tal manera que la cantidad que entra en un punto cualquiera es igual a la cantidad que sale de ese mismo punto. Matemáticamente, la Ley de la Corriente de Kirchhoff se puede expresar como:

I entra al nodo = I sale del nodo (4.1)

Podemos hacer uso de la Fig. 4.3 para explicar esta ley. Podemos ver en la Figura que hay dos corrientes: I1 = 5 A e I5 = 3 A que fluyen en el nodo, y que I2 = 2 A , I3 = 4 A e I4 = 2 A que salen del mismo nodo. Usando la ecuación (4.1):

I entra al nodo = I sale del nodo

5 a + 3 A = 2 A + 4 A + 8 A 8 A = 8 A

Nodo a Nodo b Nodo a Nodo b

Nodo c Nodo c

(a) (b)Fig. 4.2


Fig. 4.3 – Ley de la Corriente de Kirchhoff

Generalmente no estamos seguros de la dirección de la corriente para un elemento particular del circuito. En este caso, tenemos que asumir una dirección de referencia, y utilizar esta presunción para el cálculo. Si lo que hemos asumido es incorrecto, entonces la magnitud de la corriente será negativa. Un signo menos significa que la dirección real de la corriente es la opuesta a la dirección asumida. El ejemplo siguiente explica bien este concepto.

Ejemplo 4.1. Analizar el circuito de la Fig. 4.4

Fig. 4.4

Respuesta: En realidad, el nodo a y el nodo b son el mismo. Sin embargo los podemos considerar como si fueran dos nodos con una resistencia entre ellos de 0. Utilizando la Ley de la Corriente de Kirchhoff en el nodo a, obtenemos la siguiente fórmula:

I1 = I2 + I3

de tal forma que: I3 = I1 – I2


I3 = 2 A – 3 A = -1 A

La dirección de referencia de I3 es de a hacia b. El signo negativo significa que la corriente en realidad va de b hacia a.De igual manera, usando la Ley de la Corriente de Kirchhoff, podemos obtener en el nodo b:

I3 = I4 + I5

La corriente I5 es I5 = I3 – I4

I5 = -1 A – 6 A = - 7 A

Este signo negativo significa que I5 fluye al nodo b, y no que sale de éste. Las magnitudes y direcciones de las corrientes se muestran en la Fig. 4.5.

Fig. 4.6

Fig. 4.5

Ejemplo 4.2. Determine la magnitud de las corrientes desconocidas en el circuito de la Fig. 4.6.


Respuesta: Hay dos corrientes desconocidas, I1 e I3 en el nodo a. De tal forma que no se puede obtener la solución. En el nodo b hay también dos corrientes desconocidas, I3 e I4. El nodo c tiene solamente una corriente desconocida, I4. Usando la Ley de la Corriente de Kirchhoff, podemos encontrar esta última:

Fig. 4.7

Respuesta: Primero, asuma una dirección de flujo para las corrientes. Podemos usar la idea del agua fluyendo por el tubo y asignar la dirección de I3, I5 e I7. Sin embargo, la dirección de I4 no es fácil de determinar, y por lo pronto asumimos una dirección arbitraria hacia la izquierda. La Fig. 4.7(b) muestra los nodos y las direcciones asumidas para la corriente. Verificando el circuito, sabemos que I1 = 24 A. Utilizando la idea del tubo, entonces I7 = I1 = 24 A.Ahora, usando la Ley de la Corriente de Kirchhoff en el nodo a, obtenemos la corriente I3:

La corriente que ingresa en el nodo b es:

Finalmente, use la Ley de la Corriente de Kirchhoff para la corriente I1 en a

Ejemplo 4.3. Determine la magnitud de las corrientes en la Fig. 4.7

Nodo

Nodo a

Nodo c

Nodo d


I1 = I2 + I3

de donde:

I3 = I1 – I2 = 24 A – 11 A = 13 A

Similarmente, en el nodo c obtenemos:

I4 = I6 – I3 = 6 A – 13 A = -7 A

La dirección de I4 es opuesta a la que se había asumido originalmente. Sin embargo, no cambiamos la dirección hasta que hagamos otros cálculos más adelante, pues si lo hacemos los cálculos se tornan más complejos.Usando la Ley de Kirchhoff de la Corriente en el nodo b obtenemos:

I2 = I4 + I5

de donde:

I5 = I2 – I4 = 11 A – (-7 A) = 18 A

Finalmente, con la Ley de la Corriente de Kirchhoff en c, obtenemos:

I5 + I6 = I7

Y el resultado es:

I7 = I5 + I6 = 18 A + (6 A) = 24 A

4.2.3 Resistencias en Paralelo

En la Fig. 4.8 se muestra un circuito simple en paralelo, que está compuesto de una fuente de tensión y de algunas resistencias.

Fig. 4.8 - Circuito simple en paralelo


La corriente fluye del terminal positivo de la fuente de tensión hacia el nodo a. La corriente también fluirá hacia las otras resistencias en el nodo a, por lo que las corrientes se acumularán antes de ingresar al terminal negativo de la fuente de tensión. De este circuito podemos obtener un concepto importante. Si usamos la Ley de Tensión de Kirchhoff para cada lazo cerrado en el circuito paralelo, encontraremos que los potenciales en las resistencias en paralelo son las mismas, es decir, VR1 = VR2 = VR3 =E, por lo tanto podemos afirmar que:

“Los potenciales de resistencias en paralelo son todos iguales en el circuito”

De acuerdo con lo anterior, podemos determinar la resistencia total RT de cualquier número de resistencias en paralelo. Esta resistencia equivalente es también la resistencia equivalente que la fuente de tensión ofrecerá a la corriente total IT. Utilizando la Ley de la Corriente de Kirchhoff en el circuito de la Fig. 4.8 obtenemos la siguiente expresión:

IT = I1 + I2 + I3 + ... + IN

Sin embargo, todavía podemos utilizar la Ley de la Corriente de Kirchhoff en el circuito paralelo. De esta forma, el potencial en cada resistencia s igual a la tensión suministrada E. La corriente total en el circuito está definida por la tensión suministrada y la correspondiente resistencia. Se puede escribir como:

E / RT = E / R1 + E / R2 + ... + E / RN

Simplificando la ecuación anterior podemos obtener una ecuación general para resistencias en paralelo como sigue:

1 / RT = 1 / R1 + 1 / R2 + ... + 1 / RN (Siemens, S) (4.2)

Como la conductancia es el recíproco de la resistencia, podemos escribir la ecuación anterior en términos de la conductancia como:

GT = G1 + G2 + G3 + ... + GN (S) (4.3)

La resistencia total de resistencias en serie es la suma de todas las resistencias. Para resistencias en paralelo, la conductancia total es la suma de cada conductancia.

La resistencia equivalente de N resistencias en paralelo se puede determinar mediante la siguiente ecuación:


Hay un concepto importante, en cuanto a que la resistencia total de resistencias en paralelo es siempre menor que la resistencia mínima en la combinación de resistencias.Ejemplo 4.4. Determine la conductancia total y la resistencia equivalente en el circuito de la Fig. 4.9

Nota: La resistencia total de resistencias en paralelo es menor que la resistencia mínima en la combinación de resistencias.

Ejemplo 4.5: Determine la conductancia total y la resistencia en el circuito de la Fig. 4.10.

La resistencia total es RT = 1/0.33 S = 3.0

Fig. 4.9

Respuesta: La conductancia total es:

La resistencia equivalente es:

Fig. 4.10

Respuesta: La conductancia total es:


4.2.3.1 Equivalencia de n resistencias en paralelo

Si se tienen n resistencias equivalentes en paralelo, cada una tiene una resistencia R, y la misma conductancia que G. Usando la ecuación (4.3), la conductancia total es:

Fig. 4.11

Respuesta:

RT = 18 k = 6 k

RT = 200 /4 = 50

4.2.3.2 Dos resistencias en paralelo

La resistencia total se puede expresar fácilmente como:

Ejemplo 4.6. Calcule la resistencia total de los circuitos de la Fig. 4.11


Generalmente, en un circuito hay solamente dos resistencias en paralelo. En esta situación, la resistencia total no se puede calcular a partir de la conductancia. Para dos resistencias, la ecuación (4.4) se puede escribir:

Para dos resistencias en paralelo, el producto de dos resistencias dividido por la suma de las mismas es igual a la resistencia equivalente:

Ejemplo 4.7. Determine la resistencia total de los circuitos combinados en la Fig. 4.12:

Fig. 4.12

Respuesta:

De tal manera que podemos expresar las dos resistencias en paralelo como:


Ejemplo 4.8: Calcule la resistencia equivalente en el circuito de la Fig. 4.13.

Fig. 4.13

Respuesta: Dos resistencias se pueden considerar como un solo grupo. El circuito se puede simplificar como se muestra en la Fig. 4.14.

Fig. 4.14

La resistencia equivalente para cada grupo se puede determinar como:

Este circuito se puede simplificar más como si fueran dos resistencias únicamente, como en la Fig. 4.15. La resistencia equivalente será:


Fig. 4.15

4.2.3.3 Tres resistencias equivalentes en paralelo

Utilizando la ecuación (4.6) podemos obtener la fórmula para tres resistencias en paralelo, y por supuesto, se pueden derivar fórmulas para cuatro o cinco o más resistencias en paralelo. Estas fórmulas son útiles, pero difíciles de recordar. En general es más efectivo comprender la teoría de la cual se deriva la fórmula. Deduzca usted mismo la fórmula (4.7)

4.2.4 Regla de División de la Corriente

En un circuito en serie, las corrientes tienen el mismo valor. Los potenciales de los dispositivos en serie son diferentes. La regla de división de la tensión puede determinar los potenciales de dispositivos conectados en serie.

Los potenciales de dispositivos en paralelo son iguales. Sin embargo, las corrientes que fluyen en dispositivos paralelos son diferentes. La regla de división de corriente se puede usar para determinar las corrientes que fluyen en dispositivos dispuestos en paralelo.Véanse las resistencias en paralelo de la Fig. 4.16.La corriente total en el circuito es:

IT = E / RT (4.8)

Como los potenciales a través de n resistencias paralelas es el mismo (E), la corriente que pasa por cada una de las resistencias es:

(4.7)


Si conocemos la corriente total que entra al circuito paralelo, entonces la regla de división de la corriente se puede usar para calcular la corriente que pasa por cada resistencia. Aunque la regla de división de la corriente es muy similar a la regla de división de la tensión, la corriente que fluye a través de la resistencia desconocida es igual a la resistencia total dividida entre la resistencia desconocida. Si el circuito es una combinación de dos resistencias en paralelo, entonces la corriente que fluye por cada resistencia puede determinarse por un método un tanto diferente. Para dos resistencias en paralelo, la resistencia total es:

Fig. 4.16 – Regla de división de la corriente

Escribiendo la ecuación (4.8) como E = ITRT y sustituyéndola en la ecuación (4.9) usando la regla de división de la tensión,

Sustituyendo la resistencia total en la ecuación (4.10), obtenemos que

y simplificándola, obtenemos


Nótese que la ecuación anterior es igual a la regla de división de tensión. Sin embargo, no es utilizando esta regla que se obtiene el potencial en la resistencia R1. Aquí, la corriente que fluye por la resistencia R1 se obtiene de dividir R2 entre la suma de las dos resistencias, y no dividiendo R1 entre la suma. Hay otras características importantes en el circuito paralelo.

Si la corriente fluye a través de un circuito compuesto de una cantidad cualquiera de resistencias equivalentes (iguales) en paralelo, entonces la corriente que fluye por cada resistencias es la misma. Si la corriente que fluye por el circuito está compuesta de resistencias diferentes en paralelo, entonces la corriente que fluye por la resistencia de mínimo valor es la mínima. De la ecuación (4.11) y (4.12), si la resistencia R1 es la más alta, entonces la corriente que fluye por R2 es la más alta. Esta característica se puede considerar como que la corriente mayor fluirá por la resistencia menor.

Ejemplo 4.9: Determine las corrientes I1, I2 e I3 en el circuito de la Fig. 4.17

Fig. 4.17

Respuesta: Se calcula primero la resistencia total del circuito. Aunque se puede usar la ecuación (4.7) para obtener la resistencia total, usaremos la ecuación (4.4), que constituye un método más general para encontrar RT:

Similarmente,

Las corrientes son:


Ejemplo 4.10. Determine las corrientes I1, I2 e I3 en el circuito de la Fig. 4.18

Fig. 4.18

Respuesta: Como todas las resistencias son equivalentes, la corriente de entrada fluirá de igual forma en cada una de ellas, por lo que:

Ejemplo 4.11. Determine las corrientes I1 e I2 en el circuito de la Fig. 4.19

Fig. 4.19

Respuesta: En el circuito hay sólo dos resistencias. Usando las ecuaciones (4.11) y (4.12):


4.2.5 Análisis de un circuito paralelo

Veremos la manera de usar las teorías presentadas en este capítulo para analizar los circuitos paralelos. En los ejemplos siguientes veremos que el principio de conversión o transformación de la energía en un circuito paralelo es el mismo que en un circuito en serie. Si bien empleamos métodos particulares para el análisis de circuitos, existen muchas otras maneras de obtener la respuesta correcta. Una vez que usted esté familiarizado con el análisis de circuitos podrá usar el método que más convenga para la resolución del problema, que en todo caso deberá ser el más fácil.

Ejemplo 4.12. En la Fig. 4.20 las tres resistencias en paralelo tienen valores de 300, 200 y 600. La corriente total que fluye en el circuito es de 0.6 A. Se requiere encontrar los valores desconocidos en el circuito.

Respuesta: El primer paso es encontrar la resistencia total en el circuito, por lo que se puede escoger el teorema de los recíprocos.

Fig. 4.20

Ahora que se conoce la resistencia total del circuito, se puede averiguar el potencial usando la corriente total y la Ley de Ohm.


Una de las reglas de los circuitos paralelos dice que el potencial en dispositivos en paralelo es igual al potencial total. Por lo tanto, el potencial en la resistencia en paralelo es igual a 60V (Fig. 4.21)

Fig. 4.21. Todas las ramas del circuito en paralelo tienen el mismo potencial

Hasta el momento hemos encontrado las resistencias y las caídas de tensión. La Ley de Ohm puede ayudarnos a encontrar la corriente que fluye en cada resistencia de la Fig. 4.22.

El poder de disipación de cada resistencia se puede determinar usando la Ley de Ohm. Sin embargo, se pueden usar varios métodos y fórmulas para averiguar la disipación de potencia en cada resistencia.


Ejemplo 4.13. En la Fig. 4.24, las tres resistencias en el circuito están en paralelo. Dos de ellas son de 900 y 1800 respectivamente, y R2 se desconoce. La resistencia total del circuito es de 300. La corriente a través de R2 es de 0.2 A. Determine los valores desconocidos en el circuito.

Fig. 4.23. Disipación de potencia en el circuito

Respuesta: El primer paso es encontrar el valor de la resistencia descono-cida, para lo cual se puede usar la fórmula de los recíprocos:


o sea,

La resistencia total de un circuito en paralelo es igual al recíproco de la suma de los recíprocos de cada resistencia. Por lo tanto, para una sola resistencia, el recíproco del recíproco de la resistencia total menos los recíprocos de las otras resistencias es igual a su valor

Ya se ha encontrado R2 y por lo tanto el potencial en R2 se puede encontrar mediante la Ley de Ohm y la corriente que fluye por esa resistencia (Fig. 4.25)

Fig. 4.25

Si el potencial en R2 es de 120V, entonces el potencial en cada uno de los dispositivos se igual a 120V, es decir,

E2 = ET = E1 = E3

Ahora, el potencial en cada transistor se conoce y la corriente que fluye en cada rama del circuito se puede averiguar con la Ley de Ohm (4.26).


En el circuito, si averiguamos la disipación total de potencia al sumar las tres resistencias, sería de 47.92W y no de 48W. La pequeña diferencia se debe a que se ignoran valores parciales de decimales. En este ejemplo, el flujo de corriente en la resistencia R3 se toma como 0.066, aunque en realidad es de 0.06666666666

4.3 Resumen

1. Las ramas de los dispositivos o circuitos que tienen dos nodos comunes se conocen como circuitos / dispositivos en paralelo.

2. La suma de las corrientes que entran a un nodo cualquiera es igual a la suma de las corrientes que salen de ese mismo nodo.

3. Usando la Ley de Kirchhoff de la Tensión (voltaje) en un circuito paralelo encontramos que los potenciales a través de las resistencias es el mismo.

4. La definición de conductancia es el recíproco de la resistencia, es decir, G = 1/R.

5. La resistencia total de resistencias en paralelo es siempre menor que la resistencia mínima en todas las resistencias combinadas.

6. La resistencia total de N resistencias equivalentes en paralelo es igual a RT = R/N


7. Las resistencias totales R1 y R2 están en paralelo, y su resistencia total es igual a RT = R1R2 /R1+R2.

8. La regla de división de la corriente se usa para determinar las corrientes que fluyen en los diferentes dispositivos de un circuito paralelo.

9. La corriente que fluye en la resistencia mínima es máxima. Por el contrario, la corriente que fluye en la resistencia máxima es mínima. Esto significa que la corriente es inversamente proporcional a la resistencia. Esta regla se puede usar para determinar la corriente que fluye en los diferentes dispositivos en paralelo.

4.4 Problemas

1. ¿Cuáles son las características de un circuito en paralelo?2. ¿Por qué los circuitos domésticos tienen que estar conectados en

paralelo?3. En un circuito en paralelo hay cuatro ramales. Uno de estos tiene 0.8 A y

el cuarto tiene una corriente de 1.5 A. ¿Cuál es la corriente total de este circuito?

4. Cuatro resistencias de 100 están en paralelo. ¿Cuál es la resistencia total del circuito?

5. En un circuito en paralelo hay cuatro ramales. Se conecta un amperímetro en el terminal de salida e indica que la corriente total es de 2.8 A. Si el primer ramal tiene 0.9 A y el ramal 2 tiene 1.05 A, ¿cuál será la corriente en el ramal 3?

6. Se tienen cuatro resistencias de 270, 330, 510 y 430 respectivamente, que están conectadas en paralelo. ¿Cuál es la resistencia total?

7. Se tienen cuatro resistencias en paralelo. La resistencia total es de 120. Tres de ellas son de 820, 750, 470. ¿Cuál es el valor de la cuarta resistencia?

8. Se tienen resistencias con valor de 1200, 2000 y 3300 en un circuito en paralelo. La corriente total en el circuito es de 0.25 A. ¿Cuál es la corriente en cada una de las resistencias?


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