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Estudio de la morfología del cuerpo verterbral en una L4 humana
con modelos de remodelación ósea interna y externa.
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Capítulo 5. Modelos de
remodelación ósea En este capítulo se va a explicar con detalle la formulación e implementación de los
modelos de remodelación ósea que se han utilizado en este trabajo.
5.1. Modelo de remodelación ósea interna isótropa de
Stanford
Muchos son los modelos que se han desarrollado durante los últimos años y se están
planteando en la actualidad. Uno de los más aceptados es el modelo de remodelación
ósea interna isótropa de Stanford por su generalidad e interesantes conceptos biológicos.
Este modelo está basado fundamentalmente en los trabajos realizados por Beaupré et al
[7]. y Carter et al [10] [12] siendo, a su vez, una generalización del modelo isótropo de
Huiskes [39].
En este modelo de remodelación se considera una condición de remodelación
homeostática a nivel local, es decir, que el tejido óseo, para mantener sus características,
necesita un cierto nivel de estímulo mecánico e intenta siempre autorregularse para
mantener dicho nivel, de modo que si se encuentra sometido a un estado tensional
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superior modifica sus propiedades mecánicas incrementándolas, para reducir ese nivel
de estímulo mecánico, mientras que cuando el estado tensional es inferior, el hueso
disminuye sus características mecánicas con el fin de alcanzar, de nuevo, ese nivel. El
objetivo global del hueso es pues, según este modelo, homogeneizar el valor del
estímulo mecánico local en todos los puntos del mismo. Se supone pues que la respuesta
ósea local está relacionada directamente con el efecto provocado por la carga, que hace
que no se cumpla la condición homeostática.
Esta condición se define por un escalar, que cuantifica el estímulo mecánico local,
que se comparará con un valor de referencia. Este escalar se denomina estímulo
tensional tisular diario, ψt de modo que la condición homeostática se escribe como:
∗= tt ψψ
donde ∗tψ es el valor de referencia del estímulo tensional a nivel de tejido.
Para evaluar la cuantía del incumplimiento de la condición homeostática, se define
el error de remodelación, e, como:
∗−= tte ψψ
Se supone que el valor del estímulo tisular diario puede calcularse considerando el
efecto de varios casos, que caracterizan la historia de carga a la que se encuentra
sometido el hueso durante las actividades habituales en un día. Cada caso de carga
influye en el estímulo tensional, de forma que se define éste mediante:
mN
i
m
tiit n
1
1
= ∑
=
σψ
donde N es el número de diferentes casos de carga, ni es el número promedio de ciclos
por día de cada caso de carga i, y tiσ es la tensión efectiva real (una cantidad escalar
que representa la intensidad local del estado tensional en el tejido mineralizado) para
cada caso de carga i. El exponente m es un parámetro que cuantifica la importancia del
estado tensional frente al número de ciclos. Valores fisiológicos habituales de m oscilan
entre 3 y 8, dependiendo de la actividad que se realice (Whalen et al., 1988 [103]). En
este trabajo, siguiendo los pasos de otras investigaciones, se toma m=4.
Se observa pues de la expresión anterior que la remodelación depende de la
componente cíclica de las tensiones y de la historia de carga, siendo importante
caracterizar la carga de un modo sencillo para facilitar la formulación (Jacobs, 1994
[42]).
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Las cargas a las que está sometido un hueso generan en éste un estado tensional y de
deformación que varía con el tiempo de una manera compleja y en espacios de tiempo
muy pequeños. La respuesta del hueso, por el contrario, es mucho más lenta que la
carga que induce a la respuesta homeostática (por ejemplo, en el caso típico de caminar,
el paso es un proceso cíclico que ocurre en segundos, y la dinámica de una carga de
impacto es mucho más rápida, cuando las escalas temporales de respuesta ósea son al
menos de días). Debido a ello es conveniente caracterizar la historia de carga con unos
tensores de tensiones y deformaciones que no cambien en la pequeña escala de tiempos
de las cargas aplicadas.
De esta manera, las tensiones y deformaciones instantáneas se sustituyen por
cantidades que son casi estáticas o varían en una escala de tiempo mucho mayor, pero
que incluyen los aspectos de las historias de carga que son relevantes para la
remodelación. El valor del incremento de tiempo que se toma para promediar las
tensiones y deformaciones tiene un efecto despreciable en la remodelación, siempre que
no sea excesivamente grande o pequeño.
Para que la descripción y parametrización de las tensiones y deformaciones sea útil,
es necesario condensarlas en el mínimo de información posible. Por ello la historia de
carga se suele resumir en un pequeño número de actividades o casos de carga similares,
según la influencia que pueden ejercer en la remodelación ósea. La primera hipótesis de
partida que habitualmente se considera para poder realizar dicho agrupamiento es que el
orden de aplicación de los casos de carga no influye en la respuesta adaptativa del
hueso, lo que parece bastante lógico dada la diferente escala de tiempo entre ambos
procesos ya comentada. Las cargas se agrupan, por tanto, de modo que aquellas que
originan comportamientos de remodelación semejantes pertenecen al mismo grupo y las
que no influyen significativamente en la respuesta ósea son despreciadas. La figura 5.1
muestra un esquema de una historia de carga típica en términos de rango de tensiones
cíclicas, permitiendo agrupar los casos de carga de manera apropiada.
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Figura 5.1 Esquema gráfico de la resultantes de los rangos de tensiones cíclicas sobre un
período de tiempo. Estos rangos de tensiones son agrupados según valores de similar
magnitud, característicos de ciertas actividades físicas. Cada una de estas actividades
físicas puede ser identificada como un caso de carga.
Una vez que las cargas han sido agrupadas, se observa en la expresión que define al
estímulo tensional que los diferentes casos de carga contribuyen simultáneamente al
evaluar el estímulo en cada instante de tiempo. Jacobs [42] (1994) propone una
simplificación que consiste en modificar la forma de aplicación de las cargas. En vez de
considerarlas simultáneas (Figura 5.2), supone una aplicación de cargas secuencial
(Figura 5.3), obteniendo resultados prácticamente idénticos.
Figura 5.2. Distribución del número de ciclos correspondiente a cada caso de carga a lo
largo de tiempo, antes de realizar la simplificación propuesta por Jacobs.
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Figura 5.3. Distribución del número de ciclos correspondiente a cada caso de carga a lo
largo de tiempo, después de realizar la simplificación. Al imponer esta condición el número de ciclos para cada caso de carga no varía, y al
ser el número de casos de carga nc en un instante único, se puede simplificar
sustancialmente la expresión del estímulo que ahora queda como:
∑=
==N
i
ictm
ct nnconn1
1σψ
La segunda hipótesis dulte este modelo consiste en suponer que todo el volumen de
la matriz ósea se encuentra completamente mineralizado siendo su densidad local, por
tanto, ρ̂ , la densidad de hueso cortical con porosidad nula, aunque en rigor el hueso
cortical siempre se presenta con un pequeño límite de porosidad que nunca puede ser
superado, siendo este aproximadamente de un valor del 5%.
Si se supone que la resistencia última de la matriz del tejido óseo esponjoso tultσ es
constante, se puede obtener en función de ésta el valor de la resistencia última a escala
continua ultσ , a través de una expresión que está directamente relacionada con la
porosidad n.
tultult nR σσ )(=
Para que esta expresión sea consistente, R(n) debe ser de tal manera que cuando el
hueso está completamente mineralizado, es decir, para porosidad nula, R(n) valga 1.
Teniendo en cuenta la relación entre la porosidad y la densidad aparente:
ρ
ρ
ˆ1−=n
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Beaupré (1990) [7] estableció la función R(n) fundamentándose en datos
experimentales mediante:
2
ˆ)(
=
ρ
ρρR
con lo que (3.9) queda:
tultult σρ
ρσ
2
ˆ
=
De esta manera, a efectos de comparación, se escala análogamente la tensión a nivel
continuo con la tensión a nivel de tejido mediante
( ) tσρ
ρρσ
2
ˆ
=
con lo que el estímulo de tensión diario a nivel de tejido se puede poner en función de la
tensión efectiva a nivel continuo como
σρ
ρψ
21 ˆ
= m
ct n
Si se define ahora el estímulo continuo de tensión diario como:
σψ mcn1
=
entonces
ψρ
ρψ
2ˆ
=t
La tensión efectiva que se utiliza es la empleada por Beaupré et al.[7]
EU2=σ
con E el módulo elástico continuo promedio y U la energía de deformación.
Es obvio que, al no incluir la direccionalidad ni en las variables del modelo ni en el
estímulo, este modelo conduce a un comportamiento isótropo tal y como se indicó en su
enunciado inicial. El siguiente paso a realizar corresponde al establecimiento de la
relación entre el nivel de error de remodelación y la variación de densidad aparente en
forma análoga a la planteada por otros autores (Huiskes et al, 1987 [29]; Weinans et al.,
1992 [102]). Sin embargo, como ya se ha visto antes, tanto la formación de hueso como
su eliminación se produce en la superficie ósea. En el caso de remodelación ósea
externa ésto se observa claramente al producirse cambios en la geometría externa
(endosteo y periosteo). En la remodelación interna, la actividad se produce en los
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canales haversianos (caso de hueso cortical) y en la interfase con la médula ósea (caso
de hueso esponjoso).
En base a ello, se define la velocidad de remodelación superficial, r& , como la
variable que cuantifica la cantidad de hueso que se forma en la superficie disponible de
la matriz ósea por unidad de tiempo, planteándose entonces la ley de remodelación entre
r& y el estímulo mecánico considerado, es decir, el error de remodelación en este caso.
En la figura 5.4 se presentan formas típicas de leyes de remodelación, observándose
un zona central en torno al valor del estímulo de referencia, donde la pendiente de la
curva es muy pequeña. Esta zona se corresponde con la zona muerta o zona de
equilibrio. Así mismo, como queda reflejado en la figura, la curva de remodelación no
es aplicable por igual a todos los huesos, pudiendo variar incluso según la zona de
estudio, dentro de un mismo hueso. Por ejemplo, en los huesos planos como el cráneo y
las costillas apenas se produce reabsorción.
Figura 5.4. Curvas para tres regiones de hueso diferentes mostrando la velocidad de
remodelación superficial como función del estímulo de tensión a nivel de tejido
(Beaupré et al., 1990 [7]).
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El modelo de Stanford utiliza una curva similar a la anterior pero simplificada
(Figura 5.5), que se expresa matemáticamente como:
( )
>−
≤≤−
−<+
=
wesiwec
wewsi
wesiwec
r
)(
0
2
1
&
Figura 5.5. Ley de remodelación usada por Jacobs
La evolución de la densidad está pues relacionada con r& y, por supuesto, con el área
superficial disponible para producción/reabsorción de hueso. La superficie específica,
Sv, fue medida por Martin (1984) [60], quién planteó una correlación con la porosidad
(o densidad aparente) a través de un polinomio de quinto grado (Figura 5.6).
5432 8.281011349.933.32 nnnnnSv +−+−=
Figura 5.6. Área superficial específica (mm2/mm3) en función de la densidad aparente
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Esta relación se cumple de forma suficientemente aproximada prácticamente para
todo tipo de hueso, independientemente de la zona del cuerpo, de la edad y de su estado,
observándose como el hueso compacto (alta densidad) según se aumenta la porosidad
aumenta la superficie, mientras que en el hueso esponjoso al incrementar la porosidad
disminuye la superficie.
Una vez determinada la superficie disponible, la ley de evolución de la densidad
viene dada inmediatamente por la siguiente expresión:
ρρ ˆvSrk&& =
donde se recuerda que: r& es la velocidad de remodelación superficial, y cuantifica la
cantidad de volumen de hueso generado o eliminado por unidad de superficie disponible
y por unidad de tiempo (mm3/(mm2 día)); Sv es la superficie de hueso disponible para
remodelación por unidad de volumen de hueso (mm3/mm2); ρ̂ es la densidad del hueso
completamente mineralizado (recuérdese que en este modelo se supone que el hueso
añadido o eliminado se encuentra completamente mineralizado); k es el porcentaje de
superficie disponible que se encuentra activa para que se produzca la remodelación. En
este modelo se considera que toda la superficie se encuentra activa (k=1).
Una vez que se conoce la ley de evolución de la densidad, es necesario determinar el
valor de las propiedades mecánicas en función de la misma. Como la hipótesis de
partida es que el hueso es un material isótropo, es suficiente con determinar el módulo
de elasticidad y el coeficiente de Poisson. Ello se realiza en base a las correlaciones
experimentales de Beaupré et al.[8] comentadas en el capítulo 4, en el apartado
dedicado a las propiedades mecánicas del hueso y que recordamos aquí brevemente:
>
≤=
>
≤=
3
3
32.3
35.2
2.132.0
2.12.0
2.11763
2.12014
cmgsi
cmgsi
cmgsi
cmgsiE
ρ
ρν
ρρ
ρρ
donde el módulo de Young viene dado en MPa.
Una vez conocidos los parámetros elásticos básicos, el tensor de comportamiento
para un caso isótropo es
( ) ( )
+⊗
−+= I
EC 11
211 ν
ν
ν
con 1, I los tensores unidad de segundo y cuarto orden respectivamente.
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Tal y como se ha modelado el comportamiento del hueso, se ha supuesto
comportamiento isótropo pero no homogéneo, pues en cada punto del sólido existe un
valor de densidad diferente y por tanto unas propiedades mecánicas distintas. Además,
el cambio de propiedades a lo largo del tiempo da lugar a un problema no lineal, que
hay que resolver utilizando las técnicas correspondientes (Simo, 1993 [85]).
Así, el algoritmo de evolución de la densidad se resuelve en cada punto de Gauss de
cada elemento finito para su implementación numérica (Jacobs et al, 1994 [42]). Este
algoritmo se esquematiza en la figura 5.7.
Figura 5.7 Algoritmo de actualización de la densidad.
El integrador de la ley de evolución esquemáticamente representado en la figura
anterior se resuelve en este caso mediante la utilización de un algoritmo de integración
de Euler explícito tal como:
( ) ( ) ( )ttttt ρρρ &∆+=∆+
La utilización de este esquema de integración explícito se justifica por el
comportamiento característico del hueso que, como se ha visto, sufre un proceso de
remodelación muy lento en comparación con la velocidad de aplicación de las cargas, lo
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que conduce a resultados satisfactorios, siempre y cuando no se tomen incrementos de
tiempo, adscritos a cada paso, excesivamente grandes.
Este algoritmo ha sido implementado a través de una subrutina de usuario en el
programa comercial ABAQUS v.6.8-2
Un problema adicional de la aplicación directa de esta formulación es que da lugar a
distribuciones de densidad discontinuas, produciéndose distribuciones alternadas de
densidad de un elemento a otro lo que se ha llegado a denominar como “patchwork”
(Weinans et al., 1992 [102]) o “checkboard”. En la actualidad existen técnicas de
suavizado de los resultados obtenidos en los puntos de Gauss, mediante técnicas de
proyección L2 que extrapolan los resultados a los nudos, consiguiendo distribuciones
más precisas y suaves (Zienkiewicz y Zhu, 1992 [111]).
Jacobs propone una solución alternativa para resolver estos problemas, cómo es el
proyectar los valores de las deformaciones y de las tensiones de los puntos de Gauss a
los nudos para, posteriormente, plantear la ley de evolución de la densidad en dichos
nudos. Esto presenta un problema computacional, ya que el coste no es el mismo si se
proyecta una sola variable (densidad), o se proyectan 8 variables en un problema
bidimensional (4 tensiones y 4 deformaciones) o 12 variables en un caso 3D (6
tensiones y 6 deformaciones). No obstante, estos autores plantean un modelo
bidimensional de la extremidad proximal del fémur con sus correspondientes cargas, y
resuelven el problema utilizando ambas opciones, obteniendo resultados prácticamente
iguales, por lo que en este trabajo se ha decidido proyectar exclusivamente la densidad.
Conviene destacar que ABAQUS utiliza una técnica de proyección L2 relativamente
pobre, pues extrapola los valores de los puntos de Gauss a los nudos invirtiendo las
funciones de aproximación y realizando posteriormente un promedio en cada nudo. Aún
así, los resultados conseguidos por ABAQUS en este problema se han considerado
suficientes.
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5.2. Modelo de remodelación ósea externa: El efecto
mecanobiológico de las fuerzas superficiales en el
periostio.
Aunque está ampliamente aceptado que las cargas mecánicas pueden afectar a la
morfología del esqueleto, no está claro si las similitudes y diferencias en la estructura de
la sección transversal del hueso, puede ser utilizado para inferir funciones del hueso. La
idea de Georges Cuvier de “la correlación de las partes” propone que la anatomía refleja
la función y que la estructura de cada órgano individual dentro de un animal está
relacionada con todos los demás órganos (Rudwick 1997 [78]). En el contexto de la
mecanobiología esquelética, el punto de vista de Cuvier es aplicable a los efectos del
entorno mecánico sobre el proceso de desarrollo y adaptación funcional del hueso. En
particular las estructuras directamente adyacentes a la superficie del periostio pueden
afectar a la morfología de la sección transversal del hueso modificando la velocidad de
remodelación local del hueso. Debido a los efectos que las cargas en el periostio tienen
en la morfología del hueso, la información anatómica y funcional sobre las estructuras
que rodean a los huesos, puede ser necesaria para entender de manera completa la
relación entre la forma del hueso y su función.
La anatomía comparativa puede proporcionar muchas explicaciones dentro de las
relaciones entre diferentes especies. Considerando, por ejemplo, la morfología
triangular de la sección transversal de la diáfisis media de la tibia. En ratones, ratas,
gatos, perros, humanos e incluso elefantes, la diáfisis de la tibia tiene una forma
triangular distinta, con superficies del periostio planas, ligeramente convexas o
ligeramente cóncavas en localizaciones adyacentes a los músculos de la parte baja de la
pierna (Sikes 1971 [84]; McClure et al. 1973 [63]; Evans y Christensen 1979 [24];
Layon 1980 [55]; Martens et al. 1981 [59]). Muchas especies diferentes existentes y
extintas comparten este rasgo (Figura 5.8). Dada la gran diferencia en tamaño, anatomía
y biomecánica de locomoción existente entre una amplia variedad de animales, puede
resultar sorprendente que sus tibias tengan todas la misma forma en su sección
transversal.
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Figura 5.8. Imágenes CT de la sección transversal de la diáfisis triangular de la tibia de
un búfalo, un alce, un oso polar, una girafa, un rinoceronte y un mamut. Todas las
imágenes están orientadas con la dirección anterior/craneal y la dirección medial
indicadas en la figura del búfalo. Nótese que la imagen del mamut muestra una capa
envolvente en la parte posterior.
Estudios previos han mostrado que la función normal del músculo durante el
desarrollo es necesaria para producir la morfología triangular normal del vástago tibial
en ratas y en humanos (Rális et. al. 1976 [73]; Lanyon 1980 [55]). Por ello, la forma
triangular de la tibia no puede ser atribuida totalmente a la información genética
posicional. Las posiciones anatómicas relativas de los puntos de inserción de los
músculos y los recubrimientos de tejido blando adyacente a la diáfisis de la tibia
pueden de hecho producir un estado de carga en el periostio que es análoga para gran
cantidad de mamíferos terrestres, y los efectos mecanobiológicos de dicho estado de
carga pueden ser una componente crucial del proceso por el que la forma triangular de
la sección transversal de la tibia se desarrolla (Figura 5.9).
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Figura 5.9. Dibujo de una sección transversal de la extremidad trasera de un canino y de
una pierna humana. Músculos y otros tejidos blandos circundantes se indican en gris. En
ambos casos la tibia se reconoce por su característica forma triangular, con los músculos
dorsiflexor y extensor de la punta del pie adyacentes a la cara lateral, y flexor de la
planta y flexor de la punta del pie adyacentes a la cara posterior. Dibujo canino basado
en información anatómica de Evans y Christensen (1979) [24]; dibujo humano basado
en información anatómica de Agur y Lee (1991) [2].
Esta idea concuerda con la hipótesis de Lanyon de la adaptación ósea, la cual
establece que la morfología del hueso es modificada a veces para ajustar estructuras
adyacentes (Lanyon 1980 [55]). Las superficies de planas corresponden a menudo a
áreas donde la masa muscular se contrae y se hincha presionando contra el hueso
adyacente. La superficie plana lateral del vástago de la tibia se extiende adyacente al
músculo tibialis anterior, el cual produce la dorsiflexión del pie, y la superficie plana
posterior del vástago de la tibia se extiende adyacente al músculo soleus, el cual
produce flexión plantar. En cambio, aparecen crestas crecientes o lomas en los lugares
donde los músculos, los ligamentos y las membranas se insertan en la superficie ósea.
La cresta anterior de la tibia y la cresta interósea en la superficie lateral de la parte
alargada de la tibia son dos ejemplos.
La superficie de los huesos están rodeadas por la capa “cambium” del periostio , la
cual consiste en células multipotentes3 que juegan un papel clave en la morfogénesis del
hueso y la adaptación funcional. Existe una capa fibrosa que rodea al periostio y se
3 Células multipotentes: Se encuentran en los individuos adultos. Pueden generar células especializadas concretas, pero se ha demostrado que pueden producir otro tipo diferente de tejidos.
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extiende adyacente a los huesos vecinos, músculos, vasos sanguíneos, tendones,
ligamentos y piel. Estas estructuras que recubren el hueso pueden ejercer presiones y
tracciones en el periostio en una dirección perpendicular a la superficie del hueso. En la
literatura se expone que las presiones cuasiestáticas, pulsátiles, e intermitentes en la
superficie ósea conducen a una reabsorción del huesos o un decremento en la
formación del hueso en muchas localizaciones del esqueleto, incluyendo vértebras,
costillas, falanges, maxilar, oído medio, tibia, y bóveda craneal (Feik et al. 1987 [25];
Gooding et al. 1969 [33]; Hall y Watt 1986 [34]; King et al. 1991 [51]; Orisek y Chole
1987 [70]; Sato et al. 1998 [82]; Skripitz y Aspenberg 2000 [86]; von Böhl et al. 2004
[97]; Voyvodic et al. 1992 [100]; Wang y Hodges 1994 [101]). En contraste con la
respuesta osteoclástica o reducida respuesta osteoblástica hacia presiones superficiales,
se ha mostrado que tracciones cuasiestáticas aplicadas en una dirección perpendicular a
la superficie del hueso debidas a la flexión en las vértebras de rata, flexión en los
rudimentos de los hueso del oído, crecimiento cerebral, fuerzas ortodóncicas,
estiramiento del periostio, y crecimiento de tumores conllevan por su parte una adición
de hueso (Feik et al. 1987 [25]; Amprino 1985 [3]; Henderson et al. 2004 [37]; King et
al. 1991 [51]; von Böhl et al. 2004 [97]; Schmidt et al. 2002 [83]; Yochum y Rowe
2005 [110]). Juntos, estos estudios sugieren que, además de las tensiones intracorticales
y la presencia de esfuerzos debidos a cargas axiales, flexoras y torsoras aplicadas
relativamente lejos de una sección transversal dada, el modelado del hueso puede estar
afectado también por presiones y tracciones superficiales relativamente pequeñas
aplicadas en una dirección perpendicular a las superficie ósea (Figura 5.10).
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Figura 5.10. Las cargas lejanas aplicadas sobre el fémur mostradas a la izquierda
producen la distribución de tensiones intracorticales en la sección del vástago del fémur
ilustrada a la derecha. Cargas locales aplicadas directamente sobre la superficie del
recubrimiento fibroso del periostio produce una distribución de presiones o tracciones
en la superficie del periostio, “cambium”, rica en células.
En este estudio se presenta un modelo mecanobiológico que explica los efectos de
cargas relativamente pequeñas aplicadas directamente sobre las superficie del periostio
de los huesos. Esta clase de cargas mecánicas han estado ausentes en modelos previos
de remodelación ósea. Este modelo, que está basado en evidencias experimentales
obtenidas en una gran variedad de animales y patrones celulares, incorpora el
descubrimiento de que presiones aplicadas directamente en la superficie del periostio
del hueso pueden impedir la formación o inducir la reabsorción ósea. En cambio, se ha
comprobado que esfuerzos de tracción aplicados en una dirección perpendicular a la
superficie del periostio impiden la reabsorción y, si son suficientemente grandes,
inducen la formación del hueso. Simulaciones por ordenador que implementan el
modelo ayudan explicar cómo las estructuras adyacentes a la superficie de la diáfisis
ósea afectan a la morfología de la sección transversal del hueso durante el desarrollo y
en el transcurso de la vida.
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El modelo computacional presentado a continuación se basa en modelos previos que
fueron utilizados para simular el desarrollo de la sección transversal y adaptación en la
diáfisis media de huesos largos bajo la influencia de cargas axiales, flectoras, y de
torsión aplicadas relativamente lejos de la sección transversal de interés (Cowin 1984
[16]; Hart et al. 1984 [35]; Huiskes et al. 1987 [39]; van der Meulen et al. 1993 [96];
Levenston et al. 1998 [56]). Estas cargas inducen una distribución de tensiones y
esfuerzos intracorticales a lo largo de la sección transversal, y las velocidades de
remodelación se determinan relacionándolos con el estímulo mecánico local. Los
mismos métodos utilizados en estudios previos se presentan aquí, pero la relación de
velocidad de remodelación ha sido modificada para incorporar tasas de remodelación
determinadas experimentalmente.
El nuevo modelo incluye los efectos de las cargas superficiales en el periostio como
se describe a continuación.
5.2.1. Tensiones intracorticales
Se puede utilizar un invariante de tensión llamado “tensión efectiva” (σ ), la cual
deriva de la densidad local de energía de deformación, para resumir el estado de tensión
en cualquier punto dentro del hueso (Fyhrie and Carter 1986 [30]). La tensión efectiva
no diferencia entre las componentes de tracción, compresión, y cortante del tensor de
tensiones con respecto a la organización local del hueso, sino que proporciona una
medida de la magnitud de energía de deformación local almacenada en cada punto en el
hueso (Carter y Beaupré 2001 [12]). En el modelo, el estado de tensiones intracorticales
en un punto de una sección se representa con ayuda de σ , que se calcula utilizando
EU2=σ
donde, E es el módulo elástico del tejido óseo y U es la energía interna de deformación.
La velocidad de remodelación superficial ( pr& en la superficie del periostio; er& en la
superficie del endostio) se determina en cada posición del endostio y del periostio de
una sección hueso basándose en el valor local del estímulo tensional diario (Ψ), que se
define como
díaMPanm
día
m
ii /
1
= ∑ σψ
donde ni es el número de ciclos diarios de carga tipo i, iσ es el nivel de tensión efectiva
tisular debido a la carga tipo i, y m es un exponente empírico (Carter et al. 1987 [10];
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Beaupré et al. 1990 [7][8]). El valor de Ψ proporciona una medida del estímulo
acumulado debido a las tensiones intracorticales que el hueso experimenta a lo largo de
un día. Para obtener el valor local de pr& o er& , el valor de Ψ es comparado con un
estímulo de equilibrio ( ASψ ), que es el nivel óptimo de estímulo para el mantenimiento
del hueso. El error local de remodelación ( ASe ψψ −= ) rige la simulación de
remodelación ósea. De forma alternativa, un estímulo diario se puede computar
utilizando esfuerzos cíclicos (Mikic y Carter 1995 [66]). Por simplicidad en la
descripción del modelo se utiliza el enfoque basado en las tensiones diarias.
El valor local de pr& y er& determina si se añade o se retira tejido óseo en cada
posición. Estas tasas de formación o reabsorción superficial se determinan con la
relación mostrada en la siguiente figura (Figura 5.11).
Figura 5.11. Relación entre el estímulo mecánico diario (Ψ) y la velocidad de formación
o reabsorción del hueso ( r& ). Valores positivos de r& indican formación de hueso,
mientras que valores negativos indican reabsorción ósea. El estímulo de equilibrio
( ASψ ) está fijado en 50MPa, y los cinco puntos nombrados con letras que se usan para
definir la curva se listan a la derecha. Las referencias bibliográficas de estos valores se
proporcionan en el texto.
Estudio de la morfología del cuerpo verterbral en una L4 humana
con modelos de remodelación ósea interna y externa.
111
En estudios anteriores, el estímulo de equilibrio ASψ se fija en 50 MPa/día, y se
define una “zona muerta”, en dónde el hueso es relativamente insensible a cambios en
las cargas, en un rango de 100±20% de ASψ (Beaupré et al. 1990 [7][8]; van der
Meulen et al.1993 [96]; Levenston et al.1998 [56]). Basado en un estudio de expansión
continua del periostio del fémur adulto, las velocidades de remodelación en los bordes
de la “zona muerta” (definida por los puntos “b” y “c” en la gráfica anterior) se fijan en
-0.08 µm/día para reabsorción y 0.08 µm/día para formación (Ruff y Hayes 1982 [79]).
La velocidad de reabsorción para 0=ψ (punto “a” en la gráfica anterior) se fija en -5.4
µm/día, que era la máxima velocidad de reabsorción del endostio que se daba en las
extremidades delanteras inmovilizadas de beagles (raza de perro) ancianos (Jaworski et
al. 1980 [43]; Cowin et al. 1985 [17]). Comienzan a darse daños irreversibles en el
hueso cortical para tensiones mayores de 153 MPa en compresión, 84 MPa en tracción,
y 56 MPa en cortante (Jepsen y Davy 1997 [44]; Kaneko et al. 2003 [46]). Para explicar
la rápida velocidad de formación de hueso en la reparación de dicho daño, se asume que
la velocidad de formación aumenta enormemente para valores de Ψ mayores de 120
MPa/día. La velocidad de remodelación para Ψ=120 MPa/día se fija en 24 µm/día
(punto “d” en la gráfica anterior), el cual fue la máxima velocidad de formación de
hueso constatada durante el crecimiento normal de gatos (Sontag 1992 [87]). La
máxima velocidad de formación de hueso para la reparación se fija en 260 µm/día, que
fue la máxima velocidad recogida en un estudio de osteogénesis mediente estiramiento
de la mandíbula de rata (Loboa et al. 2004 [58]). Se asume que dicha velocidad de
formación de hueso alcanza este valor para Ψ=130 MPa/día (punto “e” en la gráfica
anterior), dando lugar a un aumento muy brusco entre 120 y 130 MPa/día.
5.2.2. Esfuerzos de compresión y tracción en el periostio
Se cree que la velocidad local de remodelación obtenida a partir de la gráfica
anterior son inducidas por tensiones intracorticales dentro de la corteza de diáfisis del
hueso. Además de los efectos de las tensiones intracorticales, este nuevo modelo asume
que la velocidad de remodelación del hueso sobre la superficie del periostio es
modificada por esfuerzos de compresión o tracción aplicadas en una dirección
perpendicular a la superficie del periostio. Los efectos de las cargas sobre la superficie
del periostio, las cuales se describen más abajo, pueden ser utilizadas para desarrollar un
modelo matemático que tenga en cuenta la magnitud de los esfuerzos de compresión y
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112
de tracción en la superficie del periostio, así como la duración de la aplicación de las
cargas.
Resultados experimentales indican que compresiones de relativamente pequeña
magnitud aplicadas directamente sobre la superficie aumenta la actividad osteoclástica y
la diferenciación. Dicha actividad de los osteoclastos y su diferenciación son función de
la magnitud de la carga aplicada y del tiempo de aplicación de las mismas. En un
estudio in vitro, Kanzaki et al. (2002) [48] aplicó presiones directas de
aproximadamente 0.05 y 0.28 kPa a un cultivo de células PDL (periodontal ligament
cells) humanas durante un periodo de 6 ó 24 horas. Después de retirar la carga, las
células PDL se cultivaron conjuntamente con monocitos sanguíneos periféricos durante
un periodo de 4 semanas. El cocultivo con células PDL sometidas previamente a un
estado de carga dio lugar a un aumento de la diferenciación osteoclástica. Tanto un
aumento de la magnitud de la carga como del tiempo de aplicación de la carga
produjeron un incremento de de la diferenciación de osteoclastos, sugiriendo que
presiones aplicadas pueden afectar a la osteoclastogénesis de manera distinta en función
de la magnitud y tiempo de aplicación de las cargas. En un estudio de presiones
intermitentes y continuadas aplicadas sobre el paladar de rata, una carga intermitente de
19.6kPa produjo un aumento significativo de la actividad osteoclástica, mientras que
una carga continuada de sólo 6.86kPa produjo efectos similares (Sato et al. 1998)[82].
Iwasaki et al. (2004)[41] aplicó un rango de tensiones ortodóncicas yendo desde 4 hasta
52 kPa y observó una migración de dientes en todos los casos, siendo la velocidad de
dicha migración dental mayor para niveles más altos de tensión aplicada. Para que un
hueso migre a través de la mandíbula, el hueso se debe reabsorber delante del diente,
donde el PDL está bajo presión directa. Por este motivo, según muestra el estudio, la
velocidad de reabsorción del hueso tiene una respuesta que depende de la dosis, es
decir, de la magnitud de la tensión ortodóncica aplicada.
La respuesta del periostio ante la aplicación directa de presión puede consistir en
dos tipos: una respuesta a la deformación directa debido a presiones aplicada en
pequeñas superficies y una respuesta al impedimento del flujo sanguíneo debido a
presiones aplicadas en grandes superfies. El estudio de Kanzaki et al. (2002)[48] arriba
discutido presenta evidencias de los efectos de deformación celular directa en la
osteoclastogénesis. En ese estudio la deformación directa de las células PDL en cultivo
resultó en una regulación al alza del activador receptor del factor nuclear κB (RANKL),
un factor esencial para la osteoclastogénesis. Los resultados del estudio mostraron que
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113
presiones muy pequeñas sobre superficies pueden conducir a la diferenciación
osteoclástica en el PDL, y una respuesta similar se puede esperar en periostio, estructura
biológicamente similar.
Niveles mayores de presiones aplicadas en superficies pueden interferir en el flujo
normal de la sangre y producir un segundo tipo de respuesta mecanobiológica. El rango
de tensiones (4 a 52 kPa) aplicados en el estudio de Iwasaki et al. (2004)[41] de
movimientos de dientes en ortodoncias se traduce a un rango de 30 a 390 mmHg. En un
estudio de perfusión sanguínea en cráneo humano, presiones directamente aplicadas
desde 11 hasta 50 mmHg fueron suficientes para parar el flujo de sangre (Ek et al.
1987)[22]. Presiones de magnitud similar tendrían probablemente efectos similares
dentro del tejido flexible del periostio. Las tensiones cuasi-estáticas aplicadas en el
estudio de Iwasaki et al.[41] serían suficientes para retener o al menos interferir con el
suministro local de sangre. Se ha comprobado que el aumento del músculo temporal
durante la masticación en cerdos ejerce presiones del rango de 24.4 kPa (183 mmHg) a
122.7 kPa (920 mmHg) sobre las superficies de hueso adyacentes (Teng y Herring
1998)[88]. Aunque las presiones producidas por contracciones musculares son
intermitentes, tienen la habilidad de influir en el flujo capilar de sangre en el periostio
adyacente, relativamente constante.
El flujo de sangre impedido puede dar lugar a condiciones hipóxicas o incluso
anóxicas, y se ha comprobado que estas condiciones promueven la reabsorción ósea e
inhiben la osteogénesis. Niveles de hipoxia del 5 al 2% de O2 conducen a un aumento
del tamaño y el número de osteoclastos en cultivos de precursores de osteoclastos de
ratón (Arnett et al. 2003)[5]. En este mismo estudio, niveles de hipoxia del 12, 5 y 2%
O2 hace que se duplique 4, 9 y 21 veces la reabsorción ósea en dentina. Los autores de
este estudio exponen que ocurrieron algunos derrames de oxígeno en los cultivos
hipóxicos durante el periodo de cultivo de 7 días, indicando que incluso niveles de
hipoxia transitoria pueden conducir a un aumento del tamaño, número y actividad en
osteoclastos. Además de sus efectos en la osteoclastogénesis, el flujo impedido de
sangre puede afectar también a la diferenciación y actividad de los osteoblastos. Se ha
comprobado que situaciones de anoxia (<0.02% O2) durante periodos de 12 a 24h
regula a la baja el Runx2, factor de transcripción necesario y suficiente para la
diferenciación de osteoblastos, y que inhiben la formación de nódulos óseos en cultivos
de osteoblastos primarios de ratón y en la línea de células MC3T3-E1 inmortalizadas
parecidas a osteoblastos (Salim et al. 2004)[81].
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114
Las respuestas biológicas de las células óseas y de las precursoras de células óseas
ante la aplicación de esfuerzos de tracción han sido estudiadas en varios estudios
experimentales. Cuando osteoblastos primarios de cráneo de rata fueron sometidos a
esfuerzos de tracción del 10%, estáticos y equibiaxiales, el antígeno nuclear de
proliferación de células (un indicador de la proliferación celular) se triplicó antes de 24
h y se multiplicó por 6 tras 28 h (Fong et al. 2003)[26]. Además del aumento en la
proliferación de osteoblastos observada en este estudio, la manifestación del FGF-2 y
TGF-β1 (factores de crecimiento osteogénico), el transcriptor del collageno I (el
constituyente orgánico primario del hueso) y la manifestación del VEGF (un factor
angiogénico expresado por los osteoblastos durante el crecimiento del hueso)
aumentaron todos en cultivos sometidos a esfuerzos de tracción estáticos. Resultados
similares fueron hallados por Kanno et al. (2005)[47] en cultivos de células humanas
del periostio sometidas a esfuerzos de tracción cíclicos del 12% relativamente lentos
(1/20 Hz). En este estudio FGF-2, TGF-β1, VEGF y procolágeno I (precursor soluble
del colágeno I) aumentaron todos como consecuencia de los esfuerzos de tracción.
Además de los ensayos realizados sobre cultivos de células, los efectos osteogénicos del
esfuerzo de tracción se han demostrado también en suturas intactas craneales. Se ha
constatado que esfuerzos de tracción cuasi-estáticos ejercida por muelles de torsión
aumenta la producción de BMP-4 (una proteína morfogénica ósea) y Cbfa1 (un factor
de transcipctión específico para osteoblastos, también llamada Runx2) en la sutura
craneal del ratón en el cultivo orgánico (Ikegame et al. 2001)[40]. La gran cantidad de
similitudes entre las suturas craneales, el PDL y el periostio, sugiere que la respuesta de
estos tejidos fibrosos ante cargas mecánicas podría ser gorbernada por el mismo
conjunto general de principios mecanobiológicos (Henderson y Carter 2002)[36].
Para cuantificar los efectos de las cargas superficiales en el periostio en la
remodelación ósea, se ha desarrollado un nuevo esquema de simulación (Figura 5.12).
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115
Figura 5.12. Diagrama de flujo de las simulaciones para remodelación ósea externa del
hueso, teniendo en cuenta tensiones intracorticales y cargas directamente aplicadas
sobre el periostio. El bucle externo contempla el efecto de las tensiones intracorticales y
el bucle interno comtempla el efecto de las cargas aplicadas directamente sobre el
periostio.
Tanto la magnitud como la duración de la carga en el periostio están incluidas en la
simulación para explicar la dependencia de las cargas y del tiempo observada en los
estudios arriba discutidos. En el nuevo modelo, con las magnitudes de las cargas
superficiales en una localización dada del periostio, combinada con la información de la
cantidad de tiempo que dicha carga se aplica durante el día, se puede calcular el
estímulo de remodelación superficial, ΨS, utilizando,
)(/%)(/ straindiaorstressdiaMPat
t
d
dia
ii
s
∑=
λ
ψ
dónde iλ es la magnitud de la presión local superficial o el esfuerzo de tracción i, ti es
el tiempo total durante el cual iλ es aplicado en un día y td es la cantidad de tiempo total
en un día (por ejemplo 24 h ó 86400 s). Para esfuerzos de tracción superficiales en el
periostio, ΨS tiene un valor positivo. Para presiones superficiales en el periostio ΨS
tiene un valor negativo. Por ejemplo, una presión estática de magnitud λ MPa que se
aplica a lo largo de un día entero produce díaMPas /λψ −= . Un esfuerzo de tracción
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116
cíclico de magnitud %λ aplicado en 1-s incrementos, 10000 de veces al día produciría
días /%116.0 λψ += . Este método de promedio temporal tiene en cuenta los efectos
más potentes de cargas continuamente aplicadas en el paladar de rata Sato et el.
(1998).[82]
En los puntos del endostio, el valor local de er& determina por sí solo si se debe
añadir o quitar tejido óseo, y la geometría de la sección del hueso se modifica como
corresponda. Sin embargo, en puntos de la superficie del periostio sometidos a
presiones superficiales o esfuerzos de tracción, se utiliza una interpolación lineal entre
pr& y la máxima velocidad de reabsorción o formación de hueso para determinar las
tasas de remodelación correspondientes a unas combinaciones específicas de pr& y ΨS.
La tasa de remodelación del periostio modificada pr ′& se calcula interpolando entre la ley
de velocidad de remodelación en Fig. 4 y la máxima velocidad de remodelación medida
en estudios experimentales. La velocidad de formación más alta posible debida sólo a
esfuerzos de tracción superficiales se fijó en 260 µm/día, aplicando un esfuerzo de
tracción superficial normal de 10% (Loboa et al. 2004).[58] En un estudio de migración
de dientes humanos (Iwasaki et al. 2004)[41], la máxima velocidad de movimiento de
dientes con ortodoncia fue 86 µm/día. Este ratio se utilizó como la máxima velocidad de
reabsorción del hueso debido a una presión superficial aplicada en el periostio.
Basándose en un ajuste linear de los datos de Iwasaki, se supone que dicha reabsorción
ocurre para una presión superficial aplicada en el periostio de -57.5kPa. Dado que el
flujo capilar de sangre se interrumpe en tejidos blandos bajo una presión superficial
aplicada de aproximadamente -6.7 kPa ó -50mmHg (Ek et al. 1987)[22], se supone que
ocurre una transición entre formación de hueso y reabsorción de hueso para este nivel
de presiones aplicadas, sin importar la magnitud del estímulo de remodelación
intracortical.
Las cargas en el periostio en combinación con las tensiones intracorticales provocan
un cambio en la relación de velocidad de remodelación (Figura 5.13). La aplicación de
presión superficial en el periostio aplana la curva y la mueve hacia la tasa máxima de
reabsorción. Para un ΨS (inducidos por presión) de -64 kPa/día o menores, se induce la
tasa máxima de reabsorción de -85 µm/día. La aplicación de esfuerzos de tracción
normales en el periostio también aplanan la curva, pero en este caso la curva se mueve
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con modelos de remodelación ósea interna y externa.
117
hacia la máxima tasa de formación de hueso. Para un ΨS (inducidos por tracción) de
10%/día o mayor, se induce la tasa máxima de formación de 260 µm/día.
Figura 5.13. Relación entre la velocidad modificada, el estímulo tisular diario y el
estímulo de remodelación superficial (ΨS). Valores de remodelación positivos indican
formación de hueso, mientras que valores negativos indican reabsorción de hueso.
Nótese que las curvas que representan los efectos de las presiones superficiales en el
periostio están etiquetadas con las unidades kPa/día, mientras que los esfuerzos de
tracción en el periostio están etiquetados con las unidades %/día.
Para facilitar comparaciones con estudios de remodelación ósea que utilizan
medidas tomadas con galgas extensométricas para cuantificar los esfuerzos
intracorticales en lugar de las tensiones, un conjunto de curvas pueden ser creadas
utilizando el método del estímulo diario de Mikic y Carter (1995)[66] (Figura 5.14).
Este método es análogo al modelo de estímulo de esfuerzo diario discutido previamente,
con el símbolo del estímulo por esfuerzo diario ξ calculado como
díamnm
día
m
ii /
1
µεξ
= ∑
donde m
iε la energía equivalente al esfuerzo calculado como
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11E
im
i
σε =
donde E11 es el módulo elástico longitudinal del hueso cortical. En los cálculos usados
para producir la siguiente figura, un valor de 17GPa fue usado para E11 (Reilly and
Burstein 1975)[74].
Figura 5.14. Relación entre la velocidad modificada, el estímulo tisular diario y el
estímulo de remodelación superficial (ΨS). Valores de remodelación positivos indican
formación de hueso, mientras que valores negativos indican reabsorción de hueso.
Nótese que las curvas que representan los efectos de las presiones superficiales en el
periostio están etiquetadas con las unidades kPa/día, mientras que los esfuerzos de
tracción en el periostio están etiquetados con las unidades %/día.
El marco teórico desarrollado aquí es el primero en incorporar los efectos
mecanobiológicos de tanto las tensiones intracorticales como las cargas locales en el
periostio. El resultado es una caracterización más completa y realista de la influencia de
las condiciones mecánicas en las velocidades de remodelación de la superficie de los
huesos. La curvas facilitadas en las figuras proporcionan una base cuantitativa para
explorar los efectos de los esfuerzos superficiales de presión y tracción en el periostio
sobre la morfogénesis del hueso. Una de las características más evidentes de la relación
es que cargas superficiales relativamente pequeñas parecen ejercer una poderosa
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influencia en las velocidades locales de remodelación superficiales del periostio del
hueso. Con el objetivo de determinar los efectos de dichas cargas sobre la estructura de
la sección transversal del hueso, el modelo de remodelación fue utilizado para examinar
los efectos de cargas en el periostio sobre la morfología de la sección transversal del
hueso durante el desarrollo de la tibia en ratas.
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