Capítulo 21sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/gma/sTiempo1/curso...740 Parte Cuatro Modelos de ecuaciones simultáneas y econometría de series de tiempo 21.3 Procesos estocásticos

Capítulo 21Econometría de series de tiempo: algunos conceptos básicosEn el capítulo 1 mencionamos que uno de los dos tipos importantes de información para el aná-lisis empírico lo conforman las series de tiempo. En este capítulo y el siguiente estudiaremos en detalle tal información, pues plantea diversos desafíos a econometristas y profesionales.

En primer lugar, el trabajo empírico basado en series de tiempo supone que la serie de tiempo en cuestión es estacionaria. Aunque en el capítulo 1 presentamos una idea intuitiva de estaciona-riedad, en este capítulo analizaremos este concepto con más profundidad. Más específi camente, trataremos de averiguar el signifi cado de estacionariedad y la razón por la cual se debe tener en cuenta.

En segundo lugar, en el capítulo 12, sobre la autocorrelación, analizamos varias de sus causas. A veces la autocorrelación se origina porque las series de tiempo subyacentes no son estacio-narias.

En tercer lugar, al efectuar la regresión de una variable de serie de tiempo sobre otra variable de serie de tiempo con frecuencia se obtiene una R2 muy elevada (superior a 0.9) aunque no haya una relación signifi cativa entre las dos. En ocasiones no se espera ninguna relación entre las dos variables; sin embargo, una regresión de una variable sobre la otra a menudo muestra una relación signifi cativa. Esta situación ejemplifi ca el problema de la regresión espuria, o dispara-tada, cuya naturaleza analizaremos en breve. Por consiguiente, es muy importante averiguar si la relación entre las variables económicas es verdadera o espuria. En este capítulo veremos cómo aparece una regresión espuria cuando las series de tiempo no son estacionarias.

En cuarto lugar, algunas series de tiempo fi nancieras, como los precios de las acciones, mues-tran lo que se conoce como fenómeno de caminata aleatoria. Lo anterior signifi ca que la mejor predicción para el precio de una acción, por ejemplo de IBM, es igual a su precio actual más un choque puramente aleatorio (o término de error). De ser así, el pronóstico del precio de las acciones sería un ejercicio inútil.

En quinto lugar, los modelos de regresión que consideran series de tiempo son muy comunes para los pronósticos. En vista de lo expuesto, deseamos saber si tal pronóstico es válido cuando las series de tiempo sobre las cuales se basa no son estacionarias.

Por último, las pruebas de causalidad de Granger y Sims, analizadas en el capítulo 17, supo-nen que las series de tiempo del análisis son estacionarias. Por consiguiente, deben afectuarse antes las pruebas para la estacionariedad que las de causalidad.

Desde el principio, resulta necesaria una advertencia. El tema del análisis de las series de tiempo es muy amplio y siempre está en evolución; además, algunas matemáticas propias de las diversas técnicas del análisis de las series de tiempo son tan complejas que lo mejor que se puede

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738 Parte Cuatro Modelos de ecuaciones simultáneas y econometría de series de tiempo

esperar de una obra introductoria como ésta es que proporcione un panorama general de algunos conceptos fundamentales. Para quienes deseen más información, se proporcionan referencias bibliográfi cas.1

21.1 Repaso rápido a una selección de series de tiempoeconómicas de Estados Unidos

Para empezar y dar al lector una idea de algunos conceptos un tanto esotéricos del análisis de se-ries de tiempo de este capítulo, es útil considerar varias series de tiempo económicas de Estados Unidos de interés general. Estas series de tiempo son:

IPD = ingreso personal disponible real (miles de millones de dólares) PIB = producto interno bruto (miles de millones de dólares) GCP = gasto de consumo personal real (miles de millones de dólares) UE = utilidades empresariales (miles de millones de dólares) Dividendo = dividendos (miles de millones de dólares)

El periodo que abarcan estas cifras trimestrales es de I-1947 a IV-2007, para un total de 244 trimestres, y todos los datos se ajustaron por estacionalidad a la tasa anual. Todos los datos se recopilaron de FRED, el sitio Web del Banco de la Reserva Federal de San Luis sobre economía. El PIB, IPD y GCP se expresan en dólares constantes, en este caso dólares de 2000. Las UE ylos dividendos se expresan en dólares nominales.

Para ahorrar espacio, los datos básicos se encuentran en el sitio Web del libro de texto. Sin em-bargo, para dar una idea de estos datos, trazamos las gráfi cas correspondientes en las siguientes dos fi guras. La fi gura 21.1 es una gráfi ca de los datos de los logaritmos del PIB, IPD y GCP y en la fi gura 21.2 presentamos los logaritmos de las otras dos series de tiempo (UE y Dividendo). Es práctica común grafi car el logaritmo de una serie de tiempo para tener una idea de la tasa de crecimiento de dicha serie. Una gráfi ca de los datos es por lo general el primer paso en el análisis de series de tiempo. En estas fi guras, la letra L denota el logaritmo natural.

La primera impresión de estas dos fi guras es que todas estas series de tiempo parecen “tender” hacia arriba, aunque con algunas fl uctuaciones. Suponga que deseamos especular sobre la forma de estas curvas más allá del periodo muestral, por ejemplo, para todos los trimestres de 2008.2 Esto es factible si se conoce el mecanismo estadístico, o estocástico, o el proceso de generación de datos (PGD) que dio origen a estas curvas. Pero ¿cuál es ese mecanismo? Para responder ésta y otras preguntas relacionadas es necesario estudiar cierto vocabulario “nuevo” que han defi nido los analistas de series de tiempo y que explicaremos a continuación.

1 En un nivel introductorio, estas referencias pueden ser útiles: Gary Koop, Analysis of Economic Data, John Wiley & Sons, Nueva York, 2000; Jeff B. Cromwell, Walter C. Labys y Michel Terraza, Univariate Test for Time Series Models, Sage, California, Ansbury Park, 1994; Jeff B. Cromwell, Michael H. Hannan, Walter C. Labys y Michel Terraza, Multivariate Tests for Time Series Models, Sage, California, Ansbury Park, 1994; H.R. Seddighi, K.A. Lawler y A.V. Katos, Econometrics: A Practical Approach, Routledge, Nueva York, 2000. Para un nivel intermedio, véase Walter Enders, Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Nueva York, 1995; Kerry Patterson, An Introduction to Applied Econometrics: A Time Series Approach, St. Martin’s Press, Nueva York, 2000; T.C. Mills, The Econometric Modelling of Financial Time Series, 2a. ed., Cambridge University Press, Nueva York, 1999; Marno Verbeek, A Guide to Modern Econometrics, John Wiley & Sons, Nueva York, 2000; Wojciech W. Charemza y Derek F. Deadman, New Directions in Econometric Practice: General to Specifi c Mode-lling and Vector Autoregression, 2a. ed., Edward Elgar Publisher, Nueva York, 1997. Para un nivel avanzado, consulte J.D. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1994; así como G.S. Maddala e In-Moo Kim, Unit Roots, Cointegration, and Structural Change, Cambridge University Press, 1998. En el nivel de aplicaciones, consulte B. Bhaskara Rao (ed.), Cointegration for the Applied Econo-mist, St. Martin’s Press, Nueva York, 1994, y Chandan Mukherjee, Howard White y Marc Wuyts, Econometrics and Data Analysis for Developing Countries, Routledge, Nueva York, 1998.2 Desde luego, ya se tienen los datos reales para este periodo y se podrían comparar con los datos que se “predijeron” con base en el periodo anterior.


Capítulo 21 Econometría de series de tiempo: algunos conceptos básicos 739

21.2 Conceptos fundamentales3

¿Cuál es este vocabulario? Consta de conceptos como:

1. Procesos estocásticos2. Procesos estacionarios3. Procesos puramente aleatorios4. Procesos no estacionarios5. Variables integradas6. Modelos de caminata aleatoria7. Cointegración8. Tendencias deterministas y estocásticas9. Pruebas de raíz unitaria

En las siguientes secciones analizaremos cada concepto. El análisis a menudo será heurístico. Siempre que sea posible, y útil, proporcionaremos ejemplos adecuados.

3 El siguiente análisis se basa en Maddala et al., op. cit., Charemza et al., op. cit., y Carol Alexander, Market Models: A Guide to Financial Data Analysis, John Wiley & Sons, Nueva York, 2001.

FIGURA 21.1Logaritmos del PIB, IPD y GCP reales, Estados Unidos, 1947-2007 (por trimestre, miles de millones de dólares).

Nota: En la fi gura, la letra L denota el logaritmo natural.

9.5

9.0

8.5

8.0

7.5

7.0

1 24 72 96 144120 168 192 216 240 26448

Mil

es d

e m

illo

nes

de

dól

ares

de

2000

Tiempo

LIPD

LPIB

LGCP

8

6

7

5

4

3

2

1 24 72 96 144120 168 192 216

LDividendo

LUE

240 26448

Mil

es d

e m

illo

nes

de

dól

ares

de

2000

Tiempo

FIGURA 21.2Logaritmos de utilidades empresariales (UE) y di-videndos, Estados Unidos, 1947-2007 (por trimestre, miles de millones de dó-lares).

Nota: L denota logaritmo.



21.3 Procesos estocásticos

Un proceso estocástico o aleatorio es una colección de variables aleatorias ordenadas en el tiempo.4 Si Y denota una variable aleatoria y es continua, se denota como Y(t), pero si es discreta se expresa como Yt. Un ejemplo del primer tipo es un electrocardiograma, y del segundo tipo, el PIB, IPD, etc. En vista de que la mayoría de los datos económicos se recopilan en puntos dis-cretos de tiempo, para los propósitos de esta sección utilizaremos la notación Yt en vez de Y(t). Si Y representa al PIB, para los datos anteriores se tiene Y1, Y2, Y3, . . . ,Y242, Y243, Y244, donde elsubíndice 1 denota la primera observación (es decir, el PIB del primer trimestre de 1947) yel subíndice 244 señala la última observación (es decir, el PIB del cuarto trimestre de 2007). Tenga en cuenta que cada una de estas Y es una variable aleatoria.

¿En qué sentido podemos considerar al PIB un proceso estocástico? Considere por ejemplo el PIB real de 3 759 997 millones de dólares del primer trimestre de 1970. En teoría, la cifra del PIB del primer trimestre de 1970 puede ser cualquier dígito, según el clima económico y político. La cifra 3 759 997 es una realización particular de todas esas posibilidades.5 Por tanto, podemos decir que el PIB es un proceso estocástico y que los valores reales observados en el periodo del primer trimestre de 1947 al cuarto de 2007 son realizaciones particulares de ese proceso (es decir, una muestra). La distinción entre el proceso estocástico y su realización es semejante a la diferencia entre población y muestra en datos de corte transversal. De la misma forma como ha-cemos inferencias sobre la población a partir de datos muestrales, efectuamos inferencias sobre el proceso estocástico subyacente en las series de tiempo mediante la realización.

Procesos estocásticos estacionariosUn tipo de proceso estocástico que ha recibido gran atención y ha sido objeto de escrutinio por parte de los analistas de series de tiempo es el proceso estocástico estacionario. En términos generales, se dice que un proceso estocástico es estacionario si su media y su varianza son cons-tantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos periodos depende sólo de la distancia o rezago entre estos dos periodos, y no del tiempo en el cual se calculó la covarianza. En la bibliografía sobre series de tiempo, un proceso estocástico como éste se conoce como proceso estocástico débilmente estacionario, estacionario covariante, estacionario de segundo orden o proceso estocástico en amplio sentido. Para efectos de este capítulo, y en la mayoría de las situaciones prácticas, basta este tipo de estacionariedad.6

Para explicar la estacionariedad débil, sea Yt una serie de tiempo estocástica con estas propie-dades:

Media: E(Yt ) � μ

Varianza: var (Yt ) � E(Yt − μ)2 � σ 2

Covarianza: γk � E[(Yt − μ)(Yt+k − μ)]

(21.3.1)

donde γk, la covarianza (o autocovarianza) en el rezago k, es la covarianza entre los valores de Yt y Yt+k, es decir, entre dos valores Y separados k periodos. Si k = 0, obtenemos γ0, que es simple-

4 El término “estocástico” proviene de la palabra griega “stokhos”, que signifi ca “blanco” u “objetivo”. Si alguna vez ha jugado a los dardos con el propósito de atinarle al blanco, ¿cuántas veces acertó? De un cen-tenar de tiros, quizá, si tuvo mucha suerte, le atinó al blanco unas cuantas veces; en las otras ocasiones, los dardos se esparcieron aleatoriamente alrededor del blanco.5 El valor de 3 759 997 millones de dólares se puede considerar el valor medio de todos los valores posibles del PIB para el primer trimestre de 1970.6 Una serie de tiempo es estrictamente estacionaria si todos los momentos de su distribución de probabili-dad, y no sólo los dos primeros (es decir, la media y la varianza), son invariantes respecto del tiempo. Sin embargo, si el proceso estacionario es normal, el proceso estocástico débilmente estacionario también es estrictamente estacionario, pues el proceso estocástico normal está del todo especifi cado por sus dos mo-mentos, la media y la varianza.

(21.3.2)

(21.3.3)



mente la varianza de Y( = σ 2); si k = 1, γ1 es la covarianza entre dos valores adyacentes de Y, el tipo de covarianza encontrada en el capítulo 12 (recuerde el esquema autorregresivo de primer orden de Markov).

Suponga que el origen de Y se desplaza de Yt a Yt+m (por ejemplo, del primer trimestre de 1947 al primero de 1952 de los datos del PIB). Ahora, si esperamos que Yt sea estacionaria, la media, la varianza y la covarianza de Yt+m deben ser las mismas que las de Yt. En resumen, si una serie de tiempo es estacionaria, su media, su varianza y su autocovarianza (en los diferentes rezagos) permanecen iguales sin importar el momento en el cual se midan; es decir, son inva-riantes respecto del tiempo. Tal serie de tiempo tenderá a regresar a su media (llamada reversión media) y las fl uctuaciones alrededor de esta media (medida por su varianza) tendrán una ampli-tud constante en términos generales.7 Para decirlo de otro modo, un proceso estacionario no se desvía demasiado de su valor medio debido a la varianza fi nita. Como veremos enseguida, esto no ocurre con los procesos estocásticos no estacionarios. Debemos señalar que, en un proceso estacionario, la velocidad de la reversión media depende de las autocovarianzas: es rápida si las autocovarianzas son pequeñas y lenta cuando son grandes, como veremos en breve.

Si una serie de tiempo no es estacionaria en el sentido antes defi nido, se denomina serie de tiempo no estacionaria (recuerde que hablamos sólo de estacionariedad débil). En otras palabras, una serie de tiempo no estacionaria tendrá una media que varía con el tiempo o una varianza que cambia con el tiempo, o ambas.

¿Por qué las series de tiempo estacionarias son tan importantes? Porque si una serie de tiempo es no estacionaria, sólo podemos estudiar su comportamiento durante el periodo en considera-ción. Por tanto, cada conjunto de datos perteneciente a la serie de tiempo corresponderá a un episodio particular. En consecuencia, no es posible generalizar para otros periodos. Así, para propósitos de pronóstico, tales series de tiempo (no estacionarias) tienen poco valor práctico.

¿Cómo sabemos que una determinada serie de tiempo es estacionaria? En particular, ¿las series de tiempo de las fi guras 21.1 y 21.2 son estacionarias? Analizaremos este tema importante en las secciones 21.8 y 21.9, cuando estudiemos varias pruebas para la estacionariedad. Pero, si juzgamos sólo con el sentido común, parece que las series de tiempo de las fi guras 21.1 y 21.2 son no estacionarias, al menos en sus valores medios. Hablaremos de todo esto más adelante.

Antes de continuar, debemos mencionar un tipo especial de proceso estocástico (o de series de tiempo): el proceso puramente aleatorio o de ruido blanco. Se dice que un proceso es pura-mente aleatorio si tiene una media igual a cero, una varianza constante σ 2 y no está serialmente correlacionado.8 Recordará que supusimos que el término de error ut que entra en el modelo clásico de regresión lineal —estudiado en la parte 1 de este libro— era un proceso de ruido blanco denotado por ut ∼ IIDN(0, σ 2); es decir, ut está independiente e idénticamente distribuido como una distribución normal con media cero y varianza constante. Este proceso se conoce como proceso gaussiano de ruido blanco.

Procesos estocásticos no estacionariosAunque nuestro interés se centra en las series de tiempo estacionarias, a menudo se topa uno con series de tiempo no estacionarias, cuyo ejemplo clásico es el modelo de caminata aleatoria (MCA).9 A menudo decimos que los precios de valores, como las acciones o las tasas de cambio, siguen una caminata aleatoria; es decir, son no estacionarios. Hay dos tipos de caminatas aleato-rias: 1) caminata aleatoria sin deriva o sin desvío (es decir, sin término constante o de intercepto), y 2) caminata aleatoria con deriva o con desvío (es decir, hay un término constante).

7 Esta observación pertenece a Keith Cuthbertson, Stephen G. Hall y Mark P. Taylor, Applied Econometric Tech-niques, The University of Michigan Press, p. 130.8 Si también es independiente, tal proceso se conoce como estrictamente de ruido blanco.9 El término “caminata aleatoria” a menudo se compara con el caminar de un borracho. Al dejar la cantina, el borracho se mueve una distancia aleatoria ut en el tiempo t y continúa caminando de manera indefi nida, con lo cual a la larga se aleja cada vez más de la cantina. Lo mismo se dice de los precios de las acciones. El precio de hoy de las acciones es igual al precio de ayer más un choque aleatorio.



Caminata aleatoria sin derivaSuponga que ut es un término de error de ruido blanco, con media 0 y varianza σ 2. Entonces decimos que la serie Yt es una caminata aleatoria si

Yt � Yt−1 + ut (21.3.4)

En el modelo de caminata aleatoria, como se ve en (21.3.4), el valor de Y en el tiempo t es igual a su valor en el tiempo (t − 1) más un choque aleatorio; por tanto, es un modelo AR(1), en el lenguaje de los capítulos 12 y 17. Podemos pensar que (21.3.4) es una regresión de Y en el tiempo t sobre su valor rezagado un periodo. Los defensores de la hipótesis del mercado de capital efi -ciente argumentan que los precios de las acciones son en esencia aleatorios y, por tanto, no hay lugar para la especulación redituable en el mercado de valores: si se pudiese predecir el precio de las acciones del día siguiente con base en su precio del día anterior, todos seríamos millonarios.

Ahora bien, de (21.3.4), podemos escribir

Y1 � Y0 + u1

Y2 � Y1 + u2 � Y0 + u1 + u2

Y3 � Y2 + u3 � Y0 + u1 + u2 + u3

En general, si el proceso comenzó en el tiempo 0 con un valor de Y0, tenemos

Yt � Y0 + ut (21.3.5)

Por tanto,

E(Yt ) � E Y0 + ut � Y0 (¿por qué?) (21.3.6)

De igual forma se demuestra que

var (Yt ) t� σ 2 (21.3.7)

Como revelan las expresiones anteriores, la media de Y es igual a su valor inicial (constante), pero conforme se incrementa t, su varianza aumenta de manera indefi nida, lo que viola una condición de la estacionariedad. En resumen, el MCA sin deriva es un proceso estocástico no estacionario. En la práctica, Y0 a menudo se iguala a cero, en cuyo caso E(Yt) = 0.

Una característica importante del MCA es la persistencia de los choques aleatorios (es decir, los errores aleatorios), lo cual resulta evidente de (21.3.5): Yt es la suma de Y0 inicial más la suma de los choques aleatorios. Como resultado, no se desvanece el impacto de un choque particular. Por ejemplo, si u2 = 2, en vez de u2 = 0, todas las Yt de Y2 en adelante serán 2 unidades mayores, por lo que nunca cesa el efecto de este choque. Por esta razón decimos que la caminata aleato-ria tiene memoria infi nita. Como observa Kerry Patterson, la caminata aleatoria recuerda los choques por siempre;10 es decir, tiene memoria infi nita. La suma

∑ut se conoce también como

tendencia estocástica, sobre la cual hablaremos en detalle más adelante.Resulta interesante que si expresamos (21.3.4) como

(Yt − Yt−1) � Yt � ut (21.3.8)

donde � es el operador de primeras diferencias, mismo que analizamos en el capítulo 12, resulta fácil probar que mientras que Yt es no estacionaria, sí lo es la serie de sus primeras diferencias. En otras palabras, las primeras diferencias de series de tiempo de caminata aleatoria son estacio-narias. No obstante, hay más que decir al respecto.

10 Kerry Patterson, op. cit., capítulo 6.



Caminata aleatoria con derivaModifi quemos (21.3.4) de la siguiente forma:

Yt � δ + Yt−1 + ut (21.3.9)

donde δ se conoce como el parámetro de deriva. El término deriva proviene del hecho de que, si escribimos la ecuación anterior como

Yt − Yt−1 � Yt � δ + ut (21.3.10)

se demuestra que Yt se deriva o desvía hacia arriba o hacia abajo, según δ sea positiva o negativa. Observe que el modelo (21.3.9) también es un modelo AR(1).

Según el procedimiento analizado en la caminata aleatoria sin deriva, podemos demostrar que, para el modelo de caminata aleatoria con deriva (21.3.9),

E(Yt ) � Y0 + t · δvar (Yt ) � tσ 2

(21.3.11)

Como puede observar, para el MCA con deriva, la media, al igual que la varianza, se incre-menta con el tiempo, lo que viola de nuevo las condiciones de la estacionariedad (débil). En resumen, el MCA, con o sin deriva, es un proceso estocástico no estacionario.

A fi n de dar una ligera idea de la caminata aleatoria con y sin deriva, llevaremos a cabo dos simulaciones a continuación:

Yt � Y0 + ut (21.3.13)

donde ut son términos de error de ruido blanco de forma que cada ut ∼ N(0, 1); es decir, cada ut sigue la distribución normal estándar. Mediante un generador de números aleatorios se obtuvie-ron 500 valores de u y se generó Yt como se muestra en (21.3.13). Supusimos que Y0 = 0. Por tanto, (21.3.13) es un MCA sin deriva.

Ahora considere

Yt � δ + Y0 + ut (21.3.14)

que es un MCA sin deriva. Supusimos que los valores ut y Y0 son como en (21.3.13) y queδ = 2.

Las gráfi cas de los modelos (21.3.13) y (21.3.14) aparecen en las fi guras 21.3 y 21.4, res-pectivamente. El lector puede comparar tales diagramas a la luz del análisis del MCA con y sin deriva.

FIGURA 21.3Caminata aleatoria sin deriva.

5

–5

0

–10

–15

–20

–2550 150 200 300 350250 400 450 500100

Y

Yt = Yt–1 + ut



El modelo de caminata aleatoria es un ejemplo de lo que se conoce en la bibliografía como proceso de raíz unitaria. Como este término es ya muy común en las referencias de series de tiempo, a continuación explicaremos lo que es un proceso de raíz unitaria.

21.4 Proceso estocástico de raíz unitaria

Escribimos el MCA (21.3.4) como:

Yt � ρYt−1 + ut −1 ≤ ρ ≤ 1 (21.4.1)

Este modelo se parece al modelo autorregresivo de primer orden de Markov que analizamos en el capítulo de autocorrelación. Si ρ = 1, (21.4.1) se convierte en un MCA (sin deriva). Si ρ es en efecto 1, tenemos lo que se conoce como problema de raíz unitaria; es decir, enfrentamos una situación de no estacionariedad. Ya sabemos que en este caso la varianza de Yt es no estacionaria. El nombre de raíz unitaria se debe a que ρ = 1.11 Por tanto, los términos no estacionariedad, ca-minata aleatoria, raíz unitaria y tendencia estocástica se consideran sinónimos.

Sin embargo, si |ρ| < 1, es decir, si el valor absoluto de ρ es menor que 1, podemos demostrar que la serie de tiempo Yt es estacionaria de acuerdo con la defi nición dada.12

Así, en la práctica, es importante averiguar si una serie de tiempo tiene una raíz unitaria.13 En la sección 21.9 analizaremos varias pruebas de raíz unitaria, es decir, diversas pruebas para la estacionariedad. En dicha sección también determinaremos si las series de tiempo grafi cadas en las fi guras 21.1 y 21.2 son estacionarias. Quizás el lector sospeche que no lo son. A su debido tiempo veremos esto.

11 Una observación técnica: si ρ = 1, (21.4.1) se expresa como Yt − Yt−1 = ut. Ahora, con el operador de rezago L, de modo que LYt = Yt−1, L2Yt = Yt−2, etc., (21.4.1) se escribe como (1 − L)Yt = ut. El término“raíz unitaria” se refi ere a la raíz del polinomio en el operador de rezago. Si se tiene (1 − L) = 0, L = 1, de ahí el nombre de raíz unitaria.12 Si en (21.4.1) se supone que el valor inicial de Y(= Y0) es cero, |ρ| < 1 y ut es de ruido blanco, y tiene una distribución normal con una media cero y una varianza unitaria, por tanto se deduce que E(Yt) = 0 y (Yt) = 1/(1 − ρ2). Como ambas son constantes, por defi nición de estacionariedad débil, Yt es estacionaria. Por otra parte, como ya vimos, si ρ = 1, Yt es una caminata aleatoria o no estacionaria.13 Una serie de tiempo puede contener más de una raíz unitaria. Estudiaremos tal situación más adelante en este capítulo.

FIGURA 21.4Caminata aleatoria con deriva.

1 200

800

1 000

600

400

200

050 150 200 300 350250 400 450 500100

Y

Yt = 2 + Yt–1 + ut [Y0 = 0]



21.5 Procesos estocásticos estacionarios en tendencia (ET) y estacionarios en diferencias (ED)

La distinción entre procesos estocásticos (o series de tiempo) estacionarios y no estacionarios tiene una importancia fundamental para saber si la tendencia (la lenta evolución de largo plazo de la serie de tiempo en consideración) observada en las series de tiempo presentadas en las fi guras 21.3 y 21.4 o en las series de tiempo económicas reales de las fi guras 21.1 y 21.2 es determinista o estocástica. En términos generales, si la tendencia de una serie de tiempo es del todo predecible y no variable, se le llama tendencia determinista; si no es predecible, se le llama tendencia es-tocástica. Para formalizar la defi nición, considere el siguiente modelo de la serie de tiempo Yt:

Yt � β1 + β2t + β3Yt−1 + ut (21.5.1)

donde ut es un término de error de ruido blanco y donde t es el tiempo medido cronológicamente. Ahora tenemos las siguientes probabilidades:

Caminata aleatoria pura: Si en (21.5.1) β1 = 0, β2 = 0, β3 = 1, obtenemos

Yt � Yt−1 + ut (21.5.2)

que no es otra cosa sino el MCA sin deriva y por tanto es no estacionario. Pero observe que si expresamos (21.5.2) como

Yt � (Yt − Yt−1) � ut (21.3.8)

se convierte en estacionaria, como ya mencionamos. Por tanto, un MCA sin deriva es un pro-ceso estacionario en diferencias (PED).

Caminata aleatoria con deriva: Si en (21.5.1) β1 �� 0, β2 = 0, β3 = 1, obtenemos

Yt � β1 + Yt−1 + ut (21.5.3)

que es una caminata aleatoria con deriva y en consecuencia es no estacionaria. Si la expresa-mos como

(Yt − Yt−1) � Yt � β1 + ut (21.5.3a)

esto signifi ca que Yt mostrará una tendencia positiva (β1 > 0) o negativa (β1 < 0) (fi gura 21.4). Tal tendencia se llama tendencia estocástica. La ecuación (21.5.3a) es un PED porque la no estacionariedad en Yt se elimina al tomar las primeras diferencias de las series de tiempo.

Tendencia determinista: Si en (21.5.1), β1 �� 0, β2 �� 0, β3 = 0, obtenemos

Yt � β1 + β2t + ut (21.5.4)

lo cual se llama proceso estacionario en tendencia (PET). Aunque la media de Yt es β1 + β2t —no constante—, su varianza (= σ 2) sí lo es. Una vez que conocemos los valores de β1 y β2, podemos pronosticar la media sin ningún problema. Por tanto, si restamos la media de Yt de Yt, la serie resultante será estacionaria; de ahí el nombre de estacionario en tendencia. Este procedimiento de eliminar la tendencia (determinista) se llama supresión de tendencia.

Caminata aleatoria con deriva y tendencia determinista: Si en (21.5.1) β1 �� 0, β2 �� 0,β3 = 1, obtenemos

Yt � β1 + β2t + Yt−1 + ut (21.5.5)



en cuyo caso tenemos una caminata aleatoria con deriva y tendencia determinista, lo cual se aprecia si expresamos esta ecuación como

Yt � β1 + β2t + ut (21.5.5a)

que signifi ca que Yt es no estacionaria.Tendencia determinista con componente estacionario AR(1): Si en (21.5.1) β1 �� 0,

β2 �� 0, β3 < 1, tenemos

Yt � β1 + β2t + β3Yt−1 + ut (21.5.6)

que es estacionaria alrededor de la tendencia determinista.

Para apreciar la diferencia entre una tendencia determinista y una estocástica, considere la fi gura 21.5.14 La serie llamada estocástica en esta fi gura está generada por el MCA con deriva: Yt = 0.5 + Yt − 1 + ut, donde se generaron 500 valores de ut a partir de la distribución estándar y donde el valor inicial de Y se estableció como 1. La serie llamada determinista se genera de la siguiente forma: Yt = 0.5t + ut, donde ut se generó como antes y t es el tiempo medido cronoló-gicamente.

Como se ve a partir de la fi gura 21.5, en el caso de la tendencia determinista, las desviaciones de la línea de tendencia (que representa la media no estacionaria) son puramente aleatorias y se eliminan rápido; no contribuyen al desarrollo de largo plazo de las series de tiempo, el cual está determinado por el componente de la tendencia 0.5t. En el caso de la tendencia estocástica, por otra parte, el componente aleatorio ut afecta el curso de largo plazo de la serie Yt.

21.6 Procesos estocásticos integrados

El modelo de caminata aleatoria no es más que un caso específi co de una clase más general de procesos estocásticos conocidos como procesos integrados. Recuerde que el MCA sin deriva es no estacionario, pero su serie de primeras diferencias, como se muestra en (21.3.8), es estaciona-ria. Por tanto, el MCA sin deriva se llama proceso integrado de orden 1 y se denota como I(1). De manera similar, si una serie de tiempo tiene que diferenciarse dos veces (es decir, se toman primeras diferencias de la serie de primeras diferencias) para hacerla estacionaria, esa serie de tiempo se denomina integrada de orden 2.15 En general, si una serie de tiempo (no estacionaria)

14 El siguiente análisis se basa en Wojciech W. Charemza et al., op. cit., pp. 89-91.15 Por ejemplo, si Yt es I(2), entonces ��Yt = �(Yt − Yt−1) = �Yt − �Yt−1 = Yt − 2Yt−1 + Yt−2 se convertirá en estacionaria. Pero observe que ��Yt = �2Yt �� Yt − Yt−2.

–5Tiempo

Estocástica

Determinista

0

5

10

15

20

FIGURA 21.5Tendencia determinista frente a tendencia estocástica.

Fuente: Charemza et al., op. cit., p. 91.



debe diferenciarse d veces para hacerla estacionaria, decimos que la serie es integrada de orden d. Una serie de tiempo Yt integrada de orden d se denota como Yt ∼ I(d). Si una serie de tiempo es estacionaria desde el principio (es decir, si no requiere ninguna diferenciación), decimos que esintegrada de orden cero y se denota mediante Yt ∼ I(0). Por tanto, con los términos “serie de tiempo estacionaria” y “serie de tiempo integrada de orden cero” daremos a entender la misma cosa.

La mayoría de las series de tiempo económicas son I(1); es decir, por lo general se convierten en estacionarias sólo después de tomar sus primeras diferencias. ¿Las series de tiempo mostra- das en las fi guras 21.1 y 21.2 son I(1) o de orden mayor? Las examinaremos en las secciones 21.8 y 21.9.

Propiedades de las series integradasPodemos observar las siguientes propiedades de las series de tiempo integradas: sea Xt, Yt y Zt tres series de tiempo.

1. Si Xt ∼ I(0) y Yt ~ I(1), Zt = (Xt + Yt) = I(1); es decir, una combinación lineal o suma de series de tiempo estacionaria y no estacionaria es no estacionaria.

2. Si Xt ∼ I(d ), Zt = (a + bXt) = I(d ), donde a y b son constantes. Es decir, una combinación lineal de una serie I(d) es también I(d ). Por tanto, si Xt ∼ I(0), Zt = (a + bXt) ∼ I(0).

3. Si Xt ∼ I(d1) y Yt ~ I(d2), Zt = (aXt + bYt) ∼ I(d2), donde d1 < d2.

4. Si Xt ∼ I(d ) y Yt ∼ I(d ), Zt = (aXt + bYt) ∼ I(d ∗); d ∗ es por lo general igual a d, pero en algu-nos casos d ∗ < d (véase el tema de cointegración en la sección 21.11).

Como se ve por los enunciados anteriores, debemos poner especial atención al combinar dos o más series de tiempo que tengan diferente orden de integración.

Para ver la importancia de esto, considere el modelo de regresión de dos variables analizado en el capítulo 3, a saber, Yt = β1 + β2Xt + ut. Según los supuestos clásicos de MCO, sabemos que

β2 � xt yt

x2t

(21.6.1)

donde las letras minúsculas, como siempre, indican la desviación de los valores medios. Suponga que Yt es I(0) pero que Xt es I(1); es decir, la primera es estacionaria y la segunda no. Como Xt es no estacionaria, su varianza se incrementará indefi nidamente por tanto, domina el término del numerador en (21.6.1), con el resultado de que β2 convergirá a cero de manera asintótica (es decir, en muestras grandes) y no tendrá siquiera una distribución asintótica.16

21.7 El fenómeno de regresión espuria

Para ver por qué las series de tiempo estacionarias son tan importantes, considere los dos mode-los de caminata aleatoria siguientes:

Yt � Yt−1 + ut

Xt � Xt−1 + vt

(21.7.1)

donde se generaron 500 observaciones de ut a partir de ut ∼ N(0, 1) y 500 observaciones de vt a partir de vt ∼ N(0, 1), además de que se supuso que los valores iniciales de Y y X eran cero. También se supuso que ut y vt no están serial ni mutuamente correlacionadas. Como ya sabemos, ambas series de tiempo son no estacionarias; es decir, son I(1) o exhiben tendencias estocás-ticas.

16 Esta observación se debe a Maddala et al., op. cit., p. 26.

(21.7.2)



Suponga que hacemos la regresión de Yt sobre Xt. Como Yt y Xt son procesos no correlacio-nados I(1), R2 de la regresión de Y sobre X debe tender a cero; es decir, no debe haber ninguna relación entre las dos variables. Pero vea los resultados de la regresión:

Variable Coeficiente Error estándar Estadístico t

C –13.2556 0.6203 –21.36856X 0.3376 0.0443 7.61223

R2 = 0.1044 d = 0.0121

Como puede observar, el coefi ciente de X es muy signifi cativo estadísticamente, y aunque el valor de R2 es bajo, es estadísticamente distinto de cero. A partir de estos resultados, uno estaría tentado a concluir que existe una relación estadística signifi cativa entre Y y X, aunque a priori se pensara que no habría ninguna. Lo anterior resume el fenómeno de regresión espuria o regre-sión sin sentido descubierto por Yule,17 quien mostró además que la correlación (espuria) puede persistir en las series de tiempo no estacionarias aunque la muestra sea muy grande. Que hay algo malo en la regresión anterior lo indica el valor extremadamente bajo de la d de Durbin-Watson, el cual indica una autocorrelación muy fuerte de primer orden. De acuerdo con Granger y Newbold, R2 > d es una buena regla práctica para sospechar que la regresión estimada es espuria, como en el ejemplo anterior. Podemos añadir que la R2 y el estadístico t de dicha regresión espuria son engañosos y que los estadísticos t no están distribuidos como la distribución t (de Student) y, por tanto, no se pueden probar con ellos hipótesis sobre los parámetros.

Que los resultados de la regresión presentados antes carezcan de sentido se advierte con faci-lidad al hacer la regresión de las primeras diferencias de Yt (= �Yt) sobre las primeras diferen-cias de Xt (= �Xt); recuerde que aunque Yt y Xt son no estacionarias, sus primeras diferencias sí lo son. En esta regresión veremos que R2 es prácticamente cero, como debe ser, y que la d de Durbin-Watson es de casi 2. En el ejercicio 21.24 se le pedirá realizar esta regresión y verifi car el enunciado anterior.

Aunque resulta drástico, este ejemplo es un recordatorio de que debemos tener mucho cui-dado al llevar a cabo un análisis de regresión basado en series de tiempo que exhiban tendencias estocásticas. Así, hay que tomar muchas precauciones al interpretar de más los resultados de la regresión basados en variables I(1). Por ejemplo, vea el ejercicio 21.26. En alguna medida, lo anterior resulta verdadero para las series de tiempo sujetas a tendencias deterministas, de lo cual se da un ejemplo en el ejercicio 21.25.

21.8 Pruebas de estacionariedad

A estas alturas es probable que el lector tenga una buena idea sobre la naturaleza de los procesos estocásticos estacionarios y su importancia. En la práctica se enfrentan dos preguntas importan-tes: 1) ¿Cómo sabemos si una serie de tiempo determinada es estacionaria? 2) Si tenemos que una serie de tiempo determinada es no estacionaria, ¿hay alguna forma de que se convierta en estacio-naria? Abordaremos la primera pregunta en este apartado y la segunda en la sección 21.10.

Antes de proceder, tenga en cuenta que sobre todo nos interesa la estacionariedad débil o covarianza.

Aunque hay varias pruebas para la estacionariedad, sólo analizamos las que se estudian de manera prominente en la bibliografía. En esta sección examinaremos dos pruebas: 1) el análisis

17 G.U. Yule, “Why Do We Sometimes Get Nonsense Correlations Between Time Series? A Study in Sampling and the Nature of Time Series”, en Journal of the Royal Statistical Society, vol. 89, 1926, pp. 1-64. Para am-plias simulaciones Monte Carlo sobre regresiones espurias, véase C.W.J. Granger y P. Newbold, “Spurious Regressions in Econometrics”, en Journal of Econometrics, vol. 2, 1974, pp. 111-120.



gráfi co y 2) la prueba del correlograma. Debido a la importancia que le otorgamos en el pasado reciente, en el siguiente apartado estudiaremos la prueba de raíz unitaria. Ilustramos las pruebas mencionadas con ejemplos adecuados.

1. Análisis gráfi coComo ya mencionamos, antes de efectuar una prueba formal, siempre es aconsejable grafi car la serie de tiempo en estudio, como se hizo en las fi guras 21.1 y 21.2 con los datos de series de tiempo sobre indicadores económicos de Estados Unidos que se presentan en el sitio Web del libro de texto. Estas gráfi cas proporcionan una pista inicial respecto de la posible naturaleza de las series de tiempo. Por ejemplo, considere la serie de tiempo PIB de la fi gura 21.1. Observará que, a lo largo del periodo de estudio, el logaritmo del PIB se incrementó; es decir, muestra una tendencia ascendente, lo cual deja entrever que quizá esté variando la media del logaritmo del PIB. Esto tal vez indique que la serie logarítmica del PIB es no estacionaria, lo cual es más o menos verdadero para las otras series de tiempo económicas de Estados Unidos de la fi gura 21.2. Esa intuición es el comienzo de una prueba más formal de estacionariedad.

2. Función de autocorrelación (FAC) y correlogramaUna prueba sencilla de estacionariedad se basa en la denominada función de autocorrelación (FAC). La FAC en el rezago k, denotada por ρk, se defi ne como

ρk � γk

γ0

� covarianza en el rezago k

varianza

(21.8.1)

donde la covarianza en el rezago k y la varianza son como se defi nieron anteriormente. Observe que si k = 0, ρ0 = 1 (¿por qué?).

Como la covarianza y la varianza se miden en las mismas unidades, ρk es un número sin unidad de medida, o puro. Se encuentra entre −1 y +1, igual que cualquier coefi ciente de correlación. Si grafi camos ρk respecto de k, la gráfi ca obtenida se conoce como correlograma poblacional.

Como, en la práctica, sólo tenemos una realización de un proceso estocástico (es decir, la muestra), sólo podemos calcular la función de autocorrelación muestral, ρk. Para tal efecto, debemos calcular primero la covarianza muestral en el rezago k, γk, y la varianza muestral,γ0 defi nidas como18

γk � (Yt − Y )(Yt+k − Y )

n (21.8.2)

γ0 � (Yt − Y )2

n (21.8.3)

donde n es el tamaño de la muestra y Y es la media muestral.Por consiguiente, la función de autocorrelación muestral en el rezago k es

ρk � γk

γ0 (21.8.4)

que es simplemente la razón entre la covarianza muestral (en el rezago k) y la varianza muestral. La gráfi ca de ρk frente a k se conoce como correlograma muestral.

¿Cómo saber con un correlograma si una serie de tiempo particular es estacionaria? Para este propósito, primero presentaremos correlogramas muestrales de un proceso puramente aleatorio

18 En sentido estricto, debemos dividir la covarianza muestral en el rezago k por (n − k) y la varianza mues-tral entre (n − 1) en vez de hacerlo entre n (¿por qué?), en donde n es el tamaño de la muestra.



de ruido blanco y un proceso de caminata aleatoria. Regresemos al MCA sin deriva (21.3.13). Ahí generamos una muestra de 500 términos de error, las u, a partir de la distribución normal estandarizada. El correlograma para estos 500 términos de error puramente aleatorios es como se muestra en la fi gura 21.6; se muestran en este correlograma hasta 30 rezagos. En breve comenta-remos cómo elegir la longitud del rezago.

Por el momento, sólo observe la columna AC, que es la función de autocorrelación muestral, y el primer diagrama de la izquierda, llamado autocorrelación. La línea vertical continua de este diagrama representa el eje cero; las observaciones por arriba de esta línea son valores positivos, y los que están por debajo, negativos. Como resulta evidente a partir de este diagrama, para un pro-ceso puramente de ruido blanco, las autocorrelaciones en distintos rezagos se ubican alrededor del cero. Ésta es una imagen de un correlograma de una serie de tiempo estacionaria. Por tanto, si el correlograma de una serie de tiempo real (económica) se parece al correlograma de una serie de tiempo de ruido blanco, podemos decir que dicha serie de tiempo es quizá estacionaria.

FIGURA 21.6Correlograma del término de error de ruido blanco u. AC = autocorrelación, ACP = autocorrelación parcial (capítulo 22), Est. Q = estadístico Q, Prob = Probabilidad.

Autocorrelación Correlación parcial AC

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

–0.022

–0.019

–0.009

–0.031

–0.070

–0.008

0.048

–0.069

0.022

–0.004

0.024

0.024

0.026

–0.047

–0.037

–0.026

–0.029

–0.043

0.038

0.099

0.001

0.065

0.053

–0.017

–0.024

–0.008

–0.036

0.053

–0.004

–0.026

–0.022

–0.020

–0.010

–0.031

–0.072

–0.013

0.045

–0.070

0.017

–0.011

0.025

0.027

0.021

–0.046

–0.030

–0.031

–0.024

–0.050

0.028

0.093

0.007

0.060

0.055

–0.004

–0.005

–0.008

–0.027

0.072

–0.011

–0.025

0.2335

0.4247

0.4640

0.9372

3.4186

3.4493

4.6411

7.0385

7.2956

7.3059

7.6102

7.8993

8.2502

9.3726

10.074

10.429

10.865

11.807

12.575

17.739

17.739

19.923

21.404

21.553

21.850

21.885

22.587

24.068

24.077

24.445

0.629

0.809

0.927

0.919

0.636

0.751

0.704

0.532

0.606

0.696

0.748

0.793

0.827

0.806

0.815

0.843

0.863

0.857

0.860

0.605

0.665

0.588

0.556

0.606

0.644

0.695

0.707

0.678

0.725

0.752

ACP Est. Q Prob

Muestra: 2 500Observaciones incluidas: 499



Ahora observe el correlograma de una serie de caminata aleatoria como se genera por (21.3.13). La gráfi ca se muestra en la fi gura 21.7. La característica más sobresaliente de este correlograma es que los coefi cientes de autocorrelación, para diversos rezagos, son muy altos, incluso hasta para un rezago de 33 trimestres. De hecho, si consideramos rezagos de hasta 60 trimestres, los coefi cientes de autocorrelación son muy altos; en el rezago 60, el coefi ciente es de casi 0.7. La fi gura 21.7 es un correlograma habitual de una serie de tiempo no estacionaria. El coefi ciente de autocorrelación comienza en un nivel muy alto y disminuye de modo muy lento hacia cero, conforme se prolonga el rezago.

Consideremos un ejemplo concreto. Examinemos el correlograma de la serie de tiempo LPIB grafi cada con base en los datos de series de tiempo económicas de Estados Unidos del sitio Web del libro (sección 21.1). En la fi gura 21.8 se muestra el correlograma de hasta 36 rezagos. El correlograma de hasta 36 rezagos del LPIB también muestra un patrón semejante al del corre-

FIGURA 21.7Correlograma de una serie de tiempo de caminata aleatoria. Véanse las defi -niciones en la fi gura 21.6.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

0.992

0.984

0.976

0.969

0.961

0.953

0.946

0.939

0.932

0.927

0.921

0.916

0.912

0.908

0.905

0.902

0.899

0.896

0.894

0.892

0.890

0.886

0.882

0.878

0.873

0.867

0.860

0.853

0.846

0.839

0.832

0.825

0.819

0.992

0.000

0.030

0.005

–0.059

0.050

0.004

0.040

–0.009

0.055

0.018

0.039

0.002

0.056

0.061

0.000

0.006

0.030

0.053

0.013

–0.041

–0.040

–0.044

–0.012

–0.023

–0.041

–0.055

–0.045

–0.010

0.008

–0.006

0.003

–0.006

493.86

980.68

1 461.1

1 935.1

2 402.0

2 862.7

3 317.3

3 766.4

4 210.1

4 649.1

5 083.9

5 514.9

5 942.4

6 367.0

6 789.8

7 210.6

7 629.4

8 046.7

8 463.1

8 878.7

9 292.6

9 704.1

10 113.

10 518.

10 920.

11 317

11 709.

12 095.

12 476.

12 851.

13 221.

13 586.

13 946.

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

ACP Est. Q Prob

Muestra: 2 500Observaciones incluidas: 499



lograma del modelo de caminata aleatoria de la fi gura 21.7. El coefi ciente de autocorrelación comienza con un valor muy alto en el rezago 1 (0.977) y disminuye muy lentamente. Por tanto, parece que la serie de tiempo PIB es no estacionaria. Si grafi camos los correlogramas de otras series de tiempo económicas de Estados Unidos de la fi gura 21.1 y 21.2 observaremos patrones similares, lo cual lleva a la conclusión de que todas estas series de tiempo son no estacionarias; tal vez sean no estacionarias respecto de la media o la varianza, o ambas.

Aquí podemos abordar dos cuestiones prácticas. En primer lugar, ¿cómo elegir la longitud del rezago para calcular la FAC?, y en segundo, ¿cómo determinar si un coefi ciente de autocorrela-ción es estadísticamente signifi cativo en un cierto rezago? A continuación damos las respuestas.

FIGURA 21.8Correlograma del LPIB de Estados Unidos, I-1947 a IV-2007. Véanse las defi -niciones en la fi gura 21.6.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

0.977

0.954

0.931

0.908

0.886

0.864

0.843

0.822

0.801

0.780

0.759

0.738

0.718

0.699

0.679

0.660

0.642

0.624

0.607

0.590

0.573

0.557

0.541

0.526

0.511

0.496

0.482

0.467

0.453

0.438

0.424

0.411

0.398

0.385

0.373

0.360

0.977

–0.009

–0.010

–0.006

–0.003

–0.001

–0.006

–0.006

–0.010

–0.004

–0.007

–0.013

0.003

–0.005

–0.001

–0.004

–0.002

0.002

0.003

–0.003

–0.003

–0.003

–0.001

0.007

0.002

–0.005

–0.011

–0.009

–0.005

–0.006

–0.005

0.004

0.004

–0.001

–0.009

–0.010

235.73

461.43

677.31

883.67

1 080.9

1 269.3

1 449.3

1 621.0

1 784.6

1 940.6

2 089.0

2 230.0

2 364.1

2 491.5

2 612.4

2 727.2

2 836.2

2 939.6

3 037.8

3 130.9

3 219.3

3 303.1

3 382.5

3 457.9

3 529.4

3 597.2

3 661.4

3 722.0

3 779.2

3 833.1

3 883.9

3 931.6

3 976.7

4 019.1

4 058.9

4 096.3

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

ACP Est. Q Prob

Muestra: I-1947 IV-2007Observaciones incluidas: 244



Elección de la longitud del rezagoSe trata básicamente de un asunto empírico. Una regla práctica es calcular la FAC hasta un tercio o una cuarta parte de la longitud de la serie de tiempo. En vista de que para los datos económicos de este ejemplo tenemos 244 observaciones trimestrales, según esta regla, los rezagos de 61 a 81 trimestres servirán. Para ahorrar espacio, sólo mostramos 36 rezagos en la gráfi ca de la FAC en la fi gura 21.8. El mejor consejo práctico es comenzar con rezagos lo bastante grandes y luego reducirlos mediante un criterio estadístico, como el criterio de información Akaike o de Schwarz, que analizamos en el capítulo 13. Por otra parte, también podemos utilizar cualquiera de las siguientes pruebas.

Signifi cancia estadística de los coefi cientes de autocorrelaciónConsidere, por ejemplo, el correlograma de la serie de tiempo LPIB de la fi gura 21.8. ¿Cómo de-cidir si el coefi ciente de correlación, 0.780, en el rezago 10 (trimestres) es estadísticamente signi-fi cativo? La signifi cancia estadística de cualquier ρk se juzga mediante su error estándar. Bartlett demostró que si una serie de tiempo es puramente aleatoria, es decir, si es una muestra de ruido blanco (fi gura 21.6), los coefi cientes de autocorrelación muestrales ρˆk son aproximadamente19

ρk ∼ N (0, 1/n) (21.8.5)

es decir, en muestras grandes, los coefi cientes de autocorrelación muestrales están normalmente distribuidos y tienen media cero y varianza igual a 1 sobre el tamaño de la muestra. Como hay 244 observaciones, la varianza es 1/244 ≈ 0.0041, y el error estándar,

√0.0041 ≈ 0.0640. Por

tanto, según las propiedades de la distribución normal estándar, el intervalo de confi anza de 95% para cualquier (población) ρk es:

ρk ± 1.96(0.0640) � ρk ± 0.1254 (21.8.6)

En otras palabras,

Prob (ρk − 0.1254 ≤ ρk ≤ ρk + 0.1254) � 0.95 (21.8.7)

Si el intervalo anterior incluye el valor cero, no rechazamos la hipótesis de que la verdadera ρk es cero, pero si este intervalo no incluye 0, rechazamos la hipótesis de que la verdadera ρk es cero. Al aplicar esto al valor estimado de ρ10 = 0.780, el lector puede verifi car que el intervalo de confi anza de 95% para la verdadera ρ10 es (0.780 ± 0.1254) o (0.6546, 0.9054).20 Es obvio que este intervalo no incluye el valor cero, lo cual indica que hay 95% de confi anza de que la verdadera ρ10 sea signifi cativamente diferente de cero.21 Como se ve, incluso en el rezago 20la ρ20 es estadísticamente signifi cativa en un nivel de 5%.

En lugar de probar la signifi cancia estadística de cualquier coefi ciente de autocorrelación individual, para probar la hipótesis conjunta de que todos los ρk hasta ciertos rezagos son simul-táneamente iguales a cero, podemos utilizar el estadístico Q desarrollado por Box y Pierce, que se defi ne como22

Q � nm

k�1

ρ2k (21.8.8)

19 M.S. Bartlett, “On the Theoretical Specifi cation of Sampling Properties of Autocorrelated Time Series”, en Journal of the Royal Statistical Society, serie B, vol. 27, 1946, pp. 27-41.20 El tamaño de la muestra de 244 observaciones es razonablemente grande para usar la aproximación nor-mal.21 Por otra parte, si divide el valor estimado de cualquier ρk entre el error estándar ( 1/n) para una n lo bastante grande, obtendrá el valor estándar Z, cuya probabilidad se obtiene fácilmente a partir de la tabla normal estándar. Por tanto, para el valor estimado de ρ10 = 0.780, el valor Z es 0.780/0.1066 = 7.32 (aproximadamente). Si la verdadera ρ10 fuera en efecto cero, la probabilidad de obtener un valor Z igual o mayor que 7.32 es muy pequeña, por lo que rechazamos la hipótesis de que la verdadera ρ10 es cero.22 G.E. P. Box y D.A. Pierce, “Distribution of Residual Autocorrelations in Autoregressive Integrated Moving Average Time Series Models”, Journal of the American Statistical Association, vol. 65, 1970, pp. 1509-1526.



donde n = tamaño de la muestra y m = longitud del rezago. El estadístico Q es común para pro-bar si una serie de tiempo es de ruido blanco. En muestras grandes, este estadístico se distribuye aproximadamente como la distribución ji cuadrada con m gl. En una aplicación, si la Q calculada excede el valor Q crítico de la distribución ji cuadrada en el nivel de signifi cancia seleccionado, podemos rechazar la hipótesis nula de que todos los ρk (verdaderos) son iguales a cero; por lo menos algunos de ellos deben ser diferentes de cero.

Una variante del estadístico Q de Box-Pierce es el estadístico Ljung-Box (LB), que se defi ne como23

LB � n(n + 2)m

k�1

ρ2k

n − k∼ χ2m (21.8.9)

Aunque en muestras grandes tanto el estadístico Q como el estadístico LB siguen la distribución ji cuadrada con m gl, se ha visto que el estadístico LB tiene mejores propiedades en muestras pequeñas (más potente, en el sentido estadístico) que el estadístico Q.24

De regreso al ejemplo del LPIB de la fi gura 21.8, el valor del estadístico Q hasta el rezago 36 es cercano a 4 096. La probabilidad de obtener tal valor de Q según la hipótesis nula de que la suma de los 36 cuadrados de los coefi cientes de autocorrelación estimados sea cero es práctica-mente nula, como lo muestran las cifras de la última columna. Por consiguiente, la conclusión es que la serie de tiempo LPIB probablemente es no estacionaria, con lo cual se refuerza la conjetura basada en la fi gura 21.1: la serie LPIB tal vez era no estacionaria. En el ejercicio 21.16 se pide al lector confi rmar que las otras cuatro series de tiempo económicas de Estados Unidos también son no estacionarias.

21.9 Prueba de raíz unitaria

Otra prueba sobre estacionariedad (o no estacionariedad) que se populariza cada vez más se co-noce como prueba de raíz unitaria. Primero la explicaremos, luego la ilustraremos y después consideraremos algunas limitantes de esta prueba.

El punto de partida es el proceso (estocástico) de raíz unitaria que vimos en la sección 21.4. Se inicia con

Yt � ρYt−1 + ut −1 ≤ ρ ≤ 1 (21.4.1)donde ut es un término de error de ruido blanco.

Sabemos que si ρ = 1, es decir, en el caso de la raíz unitaria, (21.4.1) se convierte en un mo-delo de caminata aleatoria sin deriva, del cual sabemos también que es un proceso estocástico no estacionario. Por consiguiente, ¿por qué no simplemente hacer la regresión de Yt sobre su valor rezagado (de un periodo) Yt−1 y se averigua si la ρ estimada es estadísticamente igual a 1? De ser así, Yt es no estacionaria. Ésta es la idea general de la prueba de raíz unitaria para la estacio-nariedad.

Sin embargo, no podemos estimar la ecuación (21.4.1) por MCO y probar la hipótesis de que ρ = 1 por medio de la prueba t acostumbrada, porque esa prueba tiene un sesgo muy marcado en el caso de una raíz unitaria. Por tanto, manipulamos (21.4.1) de la siguiente forma: restamos Yt−1 de ambos miembros de la ecuación (21.4.1) para obtener:

Yt − Yt−1 � ρYt−1 − Yt−1 + ut

� (ρ − 1)Yt−1 + ut (21.9.1)

la cual también se expresa como:

Yt � δYt−1 + ut (21.9.2)donde δ = (ρ − 1) y �, como siempre, es el operador de primeras diferencias.

23 G.M. Ljung y G.P.E. Box, “On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models”, en Biometrika, vol. 66, 1978, pp. 66-72.24 Los estadísticos Q y LB tal vez no resulten apropiados en todos los casos. Para conocer una crítica de lo anterior, consulte Maddala et al., op. cit., p. 19.



Por tanto, en la práctica, en vez de estimar (21.4.1), calculamos (21.9.2) y probamos la hi-pótesis (nula) de que δ = 0, y la hipótesis alternativa es que δ < 0 (nota 25). Si δ = 0, entoncesρ = 1; es decir, tenemos una raíz unitaria, lo cual signifi ca que la serie de tiempo en considera-ción es no estacionaria.

Antes de proceder con la estimación de (21.9.2) debemos observar que si δ = 0, entonces (21.9.2) se convertirá en

Yt � (Yt − Yt−1) � ut (21.9.3)

Como ut es un término de error de ruido blanco, entonces es estacionario, lo cual signifi ca que las primeras diferencias de una serie de tiempo de caminata aleatoria son estacionarias, una ob-servación que ya habíamos hecho.

Ahora reconsideremos la estimación de (21.9.2). Esto es muy simple: sólo hay que tomar las primeras diferencias de Yt y hacer la regresión sobre Yt−1, a fi n de ver si el coefi ciente estimado de la pendiente en esta regresión (= δ) es o no cero. Si es cero, concluimos que Yt es no estaciona-ria; pero si es negativa, se infi ere que Yt es estacionaria.25 La única interrogante es saber con qué prueba averiguar si el coefi ciente estimado de Yt−1 en (21.9.2) es o no cero. Uno estaría tentado a utilizar la prueba t usual. Por desgracia, según la hipótesis nula de que δ = 0 (es decir, ρ = 1), el valor t del coefi ciente estimado de Yt−1 no sigue la distribución t ni siquiera en muestras grandes, es decir, no tiene una distribución normal asintótica.

¿Cuál es la alternativa? Dickey y Fuller probaron que según la hipótesis nula de que δ = 0, el valor estimado t del coefi ciente Yt−1 en (21.9.2) sigue el estadístico τ (tau).26 Estos autores calcularon los valores críticos del estadístico tau con base en simulaciones Monte Carlo. Una muestra de esos valores críticos se da en el apéndice D, tabla D.7. La tabla es limitada, pero MacKinnon preparó tablas más extensas, ya incorporadas en diferentes software estadísticos.27 En la bibliografía, el estadístico o prueba tau se conoce como prueba Dickey-Fuller (DF), en honor a sus descubridores. Resulta interesante que si rechazamos la hipótesis de que δ = 0 (es decir, la serie de tiempo es estacionaria), podemos utilizar la prueba t (de Student) usual. Tenga en cuenta que la prueba Dickey-Fuller es unidireccional porque la hipótesis alternativa es queδ < 0 (o ρ < 1).

El procedimiento real para aplicar la prueba DF supone diversas decisiones. Al analizar la naturaleza del proceso de raíz unitaria en las secciones 21.4 y 21.5 observamos que un proceso de caminata aleatoria tal vez no tiene deriva, o quizá sí, o posiblemente tiene tendencia determi-nista y estocástica. A fi n de permitir las distintas posibilidades, la prueba DF se estima en tres diferentes formas, es decir, conforme a tres hipótesis nulas:

Yt es una caminata aleatoria: Yt � δYt−1 + ut (21.9.2)

Yt es una caminata aleatoria con deriva: Yt � β1 + δYt−1 + ut (21.9.4)

Yt es una caminata aleatoria con derivaalrededor de una tendencia determinista: Yt � β1 + β2t + δYt−1 + ut (21.9.5)

25 Porque δ = (ρ − 1), por lo que la estacionariedad ρ debe ser menor que uno. Para que esto suceda, δ debe ser negativa.26 D.A. Dickey y W.A. Fuller, “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root”, en Journal of the American Statistical Association, vol. 74, 1979, pp. 427-431. Véase también W.A. Fuller, In-troduction to Statistical Time Series, John Wiley & Sons, Nueva York, 1976.27 J.G. MacKinnon, “Critical Values of Cointegration Test”, en R.E. Engle y C.W.J. Granger (eds.), Long-Run Economic Relationships: Readings in Cointegration, cap. 13, Oxford University Press, Nueva York, 1991.



donde t es la variable de tiempo o de tendencia. En cada caso, las hipótesis son:

Hipótesis nula: H0:δ = 0 (es decir, existe una raíz unitaria, la serie de tiempo es no estaciona-ria o tiene tendencia estocástica).

Hipótesis alternativa: H1:δ < 0 (es decir, la serie de tiempo es estacionaria, posiblemente alrededor de una tendencia determinista).28

Si rechazamos la hipótesis nula, esto signifi ca que 1) Yt es estacionaria con media cero en el caso de la ecuación (21.9.2) o que 2) Yt es estacionaria con una media distinta de cero en el caso de (21.9.4). En el caso de la ecuación (21.9.5), podemos probar que δ < 0 (es decir, no hay tendencia estocástica) y α �� 0 (es decir, la existencia de una tendencia determinista) simul-táneamente, mediante la prueba F pero con los valores críticos tabulados por Dickey y Fuller. Cabe señalar que una serie de tiempo puede contener tanto una tendencia estocástica como una determinista.

Es extremadamente importante observar que los valores críticos de la prueba tau para probar la hipótesis de que δ = 0 son diferentes en cada una de las tres especifi caciones anteriores de laprueba DF, lo cual se ve claramente en el apéndice D, tabla D.7. Es más, si, por ejemplo, la es-pecifi cación (21.9.4) es correcta pero se estima (21.9.2), cometemos un error de especifi cación, cuyas consecuencias ya conocemos desde el capítulo 13. La misma regla se aplica si estimamos (21.9.4) en vez del verdadero (21.9.5). Desde luego, no hay forma de saber cuál especifi cación es la correcta. Resulta inevitable hacer pruebas de ensayo y error, no obstante la minería de datos.

El procedimiento real de estimación es el siguiente: Estimamos (21.9.2), (21.9.3) o (21.9.4) mediante MCO; dividimos el coefi ciente estimado de Yt−1 en cada caso entre su error estándar a fi n de calcular el estadístico tau (τ) y consultamos las tablas DF (o cualquier software estadís-tico). Si el valor absoluto calculado del estadístico tau (|τ|) excede la DF absoluta o los valores críticos tau de MacKinnon, rechazamos la hipótesis de que δ = 0, en cuyo caso la serie de tiempo es estacionaria. Por otra parte, si el |τ| calculado no excede el valor crítico tau, no rechazamos la hipótesis nula, en cuyo caso la serie de tiempo es no estacionaria. Hay que asegurarse de utilizar los valores críticos τ apropiados. En la mayoría de las aplicaciones, el valor tau es negativo. Por consiguiente, también vale decir que si el valor tau calculado (negativo) es más pequeño (es decir, más negativo) que el valor crítico tau, rechazamos la hipótesis nula (es decir, la serie de tiempo es estacionaria); de lo contrario, no la rechazamos (es decir, la serie de tiempo es no estacionaria).

Regresemos al ejemplo de las series de tiempo del PIB de Estados Unidos. Para estas series, los resultados de las tres regresiones (21.9.2), (21.9.4) y (21.9.5) son los siguientes: la variable dependiente en cada caso es �Yt = �LPIBt, donde LPIB es el logaritmo del PIB real.

LPIBt � 0.000968LPIBt−1

t � (12.9270) R2 � 0.0147 d � 1.3194 (21.9.6)

LPIBt � 0.0221 − 0.00165LPIBt−1

t � (2.4342) (−1.5294) R2 � 0.0096 d � 1.3484 (21.9.7)

LPIBt � 0.2092 + 0.0002t − 0.0269LPIBt−1

t � (1.8991) (1.7040) (−1.8102)

R2 � 0.0215 d � 1.3308 (21.9.8)

28 Descartamos la posibilidad de que δ > 0 porque en ese caso ρ > 1, y de ser así, la serie de tiempo subya-cente sería explosiva.



El principal interés en todas estas regresiones radica en el valor t(= τ) del coefi ciente LPIBt−1. Si analizamos la tabla D.7 del apéndice D, observaremos que los valores críticos tau a 5% para un tamaño de muestra de 250 (el número más próximo a la muestra de 244 observaciones que estudiamos aquí) son −1.95 (sin intercepto, sin tendencia), −2.88 (intercepto pero sin tendencia) y −3.43 (intercepto y tendencia). EViews y otros paquetes estadísticos proporcionan valores crí-ticos para el tamaño de muestra del análisis.

Antes de examinar los resultados, tenemos que decidir cuál de los tres modelos es el adecuado. Debemos descartar el modelo (21.9.6) porque el coefi ciente LPIBt−1, que es igual a δ, es positivo. Pero en vista de que δ = (ρ − 1), una δ positiva implicaría que ρ > 1. Aunque es una posibilidad teórica, se descarta en este caso porque la serie de tiempo LPIB sería explosiva.29 Por tanto, no quedan más que los modelos (21.9.7) y (21.9.8). En ambos casos, el coefi ciente estimado δ es negativo, lo cual implica que la ρ estimada es menor que 1. Para ambos modelos, los valores estimados ρ son 0.9984 y 0.9731, respectivamente. Ahora, la única pregunta pendiente es saber si estos valores son estadísticamente menores que 1 de manera signifi cativa, para que podamos decir que la serie de tiempo del PIB es estacionaria.

Para el modelo (21.9.7), el valor τ estimado es −1.5294, mientras que el valor crítico τ a 5%, como ya señalamos, es −2.88. Como en términos absolutos el primer valor es más pequeño que el segundo, la conclusión es que la serie de tiempo LPIB es no estacionaria.30

Sucede lo mismo con el modelo (21.9.8). El valor τ calculado de −1.8102, en términos abso-lutos, es menor incluso que el valor crítico a 5% de −3.43.

Por tanto, con base en el análisis gráfi co, el correlograma y la prueba Dickey-Fuller, la con-clusión es que para los periodos trimestrales de 1947 a 2007, la serie de tiempo LPIB de Estados Unidos fue no estacionaria; es decir, contenía una raíz unitaria, o tenía una tendencia estocástica.

La prueba Dickey-Fuller aumentada (DFA)Al llevar a cabo la prueba DF en (21.9.2), (21.9.4) o (21.9.5) supusimos que el término de error ut no estaba correlacionado. Pero Dickey y Fuller desarrollaron una prueba cuando dicho tér-mino sí está correlacionado, la cual se conoce como prueba Dickey-Fuller aumentada (DFA). Esta prueba implica “aumentar” las tres ecuaciones anteriores mediante la adición de los valores rezagados de la variable dependiente �Yt. Para un ejemplo específi co, suponga que utilizamos (21.9.5). La prueba DFA consiste en este caso en estimar la siguiente regresión:

Yt � β1 + β2t + δYt−1 +m

i�1

αi Yt−i + εt (21.9.9)

donde εt es un término de error puro de ruido blanco y donde �Yt−1 = (Yt−1 − Yt−2), �Yt−2 = (Yt−2 − Yt−3), etc. El número de términos de diferencia rezagados que debemos incluir con frecuencia se determina de manera empírica, con la idea de incluir los términos sufi cientes para que el término de error en (21.9.9) no esté serialmente relacionado y sea posible obtener una estimación insesgada de δ, el coefi ciente de Yt−1 rezagado. EViews 6 tiene una opción que selec-ciona automáticamente la longitud del rezago con base en los criterios de información de Akaike, Schwarz y otros. En la DFA se sigue probando δ = 0, y además esta prueba sigue la misma distri-bución asintótica que el estadístico DF, por lo que se sirven los mismos valores críticos.

Con el fi n de dar una idea general de este procedimiento estimamos (21.9.9) para la serie LPIB. Como se tienen datos trimestrales, decidimos usar cuatro rezagos. Los resultados de la regresión DFA fueron los siguientes:31

29 De manera más técnica, como (21.9.2) es una ecuación diferencial de primer orden, la llamada condición de estabilidad requiere que |ρ| < 1.30 Otra forma de expresar esto sería que el valor τ calculado deba ser más negativo que el valor crítico τ, lo cual no sucede aquí. Por tanto, mantenemos la conclusión. Como en general se espera que δ sea negativa, el estadístico estimado τ tendrá signo negativo. Por tanto, un valor τ grande y negativo suele ser un indicio de estacionariedad.31 Se consideraron diferencias rezagadas de orden superior, pero fueron insignifi cantes.



(21.9.10)

El valor t(= τ) del coefi ciente LPIBt−1 rezagado (= δ) es −2.3443, que en términos absolutos es incluso mucho menor que el valor crítico τ a 10% de −3.1378, lo cual indica de nuevo que aun después de tener cuidado de la posible autocorrelación en el término de error, la serie LPIB es no estacionaria. (Nota: El comando @trend de EViews genera automáticamente la variable de tiempo o tendencia.)

¿Puede ser éste el resultado de haber elegido sólo cuatro valores rezagados de �LPIB? Apli-camos el criterio de Schwartz con 14 valores rezagados de �LPIB, lo que arrojó el valor tau δ de −1.8102. Aun entonces, este valor tau no fue signifi cativo en el nivel de 10% (el valor crítico tau en este nivel fue de −3.1376). Al parecer, el logaritmo del PIB es no estacionario.

Prueba de la signifi cancia de más de un coefi ciente:prueba FSuponga que estimamos el modelo (21.9.5) y probamos la hipótesis de que β1 = β2 = 0, es decir, el modelo es MCA sin deriva ni tendencia. Para probar esta hipótesis conjunta utilizamos la prueba F restringida analizada en el capítulo 8. Es decir, estimamos (21.9.5) (la regresión no restringida) y luego estimamos (21.9.5) otra vez, lo que elimina el intercepto y la tendencia. Luego utilizamos la prueba F restringida, como se muestra en la ecuación (8.6.9), excepto que no se emplea la tabla F convencional a fi n de obtener los valores críticos F. Como hicieron para el estadístico τ, Dickey y Fuller desarrollaron valores críticos F para esta situación; una muestra de lo anterior se da en el apéndice D, tabla D.7. En el ejercicio 21.27 se proporciona un ejemplode lo anterior.

Las pruebas de raíz unitaria Phillips-Perron (PP)32

Un supuesto importante de la prueba DF es que los términos de error ut están idéntica e inde-pendientemente distribuidos. La prueba DFA ajusta la prueba DF a fi n de tener cuidado de una posible correlación serial en los términos de error al agregar los términos de diferencia rezagados de la regresada. Phillips y Perron utilizan métodos estadísticos no paramétricos para evitar la correlación serial en los términos de error, sin añadir términos de diferencia rezagados. Como la distribución asintótica de la prueba PP es la misma que la prueba DFA, no examinaremos con mayor detalle este tema.

Prueba de cambios estructuralesLos datos macroeconómicos introducidos en la sección 21.1 (consulte los datos reales en el sitio Web del libro) corresponden al periodo 1947-2007, 61 años. En este periodo la economía de Estados Unidos pasó por varios ciclos económicos de diferentes duraciones. Los ciclos eco-nómicos están marcados por periodos de recesiones y de expansiones. Es muy probable que un ciclo económico sea distinto de otro, lo que puede refl ejar rupturas estructurales o cambios estructurales en la economía.

Por ejemplo, considere el primer embargo petrolero, en 1973. Los precios del petróleo se cua-driplicaron. Los precios volvieron a aumentar de manera sustancial después del segundo embargo petrolero, en 1979. Como es natural, estas conmociones afectan el comportamiento económico. Por tanto, si queremos hacer una regresión del gasto de consumo personal (GCP) sobre el ingreso personal disponible (IPD), es muy probable que el intercepto, la pendiente o ambas varíen de un ciclo económico a otro (recuerde la prueba de Chow de rupturas estructurales). Esto es lo que se entiende por cambios estructurales.

32 P.C.B. Phillips y P. Perron, “Testing for a Unit Root in Time Series Regression”, en Biometrika, vol. 75, 1988, pp. 335-346. La prueba PP ahora se incluye en varios software estadísticos.

LPIBt � 0.2677 + 0.0003t − 0.0352LPIB t−1 + 0.2990 LPIB t−1 + 0.1451 LPIB t−2 − 0.0621 LPIBt−3 − 0.0876 LPIBt

t � (2.4130) (2.2561) (−2.3443) (4.6255) (2.1575) (−0.9205) (−1.3438)

R2 � 0.1617 d � 2.0075



Por ejemplo, Perron sostiene que las pruebas estándar de la hipótesis de raíz unitaria pueden no ser confi ables en presencia de cambios estructurales.33 Existen varias formas de probar los cambios estructurales y explicarlos; la más sencilla supone el uso de variables dicótomas. Sin embargo, un análisis a fondo de las diversas pruebas de rupturas estructurales va mucho más allá del texto y es mejor dejarlo a las referencias.34 No obstante, vea el ejercicio 21.28.

Crítica de las pruebas de raíz unitaria35

Se han analizado varias pruebas de raíz unitaria y además existen todavía otras más. La pregunta es: ¿por qué hay tantas pruebas de raíz unitaria? La respuesta radica en su tamaño y potencia. Por tamaño de la prueba nos referimos al nivel de signifi cancia (es decir, la probabilidad de co-meter un error tipo I), y por potencia de una prueba a la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa. Calculamos la potencia de una prueba al restar la probabilidad de un error tipo II de 1; el error tipo II es la probabilidad de aceptar una hipótesis nula falsa. El máximo poder es 1. Casi todas las pruebas de raíz unitaria se basan en la hipótesis nula de que la serie de tiempo que se analiza tiene una raíz unitaria; o sea, es no estacionaria. La hipótesis alterna es que la serie de tiempo es estacionaria.

Tamaño de la pruebaRecordará, del capítulo 13, la distinción entre los niveles de signifi cancia nominales y los verda-deros. La prueba DF es sensible a la forma en que se lleva a cabo. Recuerde que analizamos tres variedades de pruebas DF: 1) una caminata puramente aleatoria, 2) una caminata aleatoria con deriva y 3) una caminata aleatoria con deriva y tendencia. Si, por ejemplo, el verdadero modelo es 1) pero se estima un modelo 2) y se concluye que, por ejemplo, con un nivel de signifi cancia de 5% la serie es estacionaria, esta conclusión puede ser errónea porque el verdadero nivel de sig-nifi cancia en este caso es mucho mayor que 5%.36 El tamaño de la distorsión también puededeberse a la exclusión de componentes de promedios móviles (PM) del modelo (sobre promedios móviles, véase el capítulo 22).

Potencia de la pruebaLa mayoría de las pruebas del tipo DF tienen poco poder; es decir, tienden a aceptar la nulidad de la raíz unitaria con más frecuencia de la garantizada. En otras palabras, estas pruebas pueden encontrar una raíz unitaria aunque no exista. Hay varias razones para esto. En primer lugar, la potencia depende del lapso de los datos más que del solo tamaño de la muestra. Para una mues-tra dada de tamaño n, la potencia es mayor cuando el lapso es grande. En consecuencia, la(s) prueba(s) basada(s) en 30 observaciones sobre un lapso de 30 años quizá tengan más potencia que una basada por ejemplo en 100 observaciones durante un lapso de 100 días. En segundo lugar, si ρ ≈ 1 pero no es exactamente 1, la prueba de raíz unitaria puede diagnosticar la serie de tiempo como no estacionaria. En tercer lugar, estos tipos de prueba suponen una raíz unitaria; es decir, suponen que la serie de tiempo dada es I(1). Pero si una serie de tiempo es integrada de orden mayor que 1, por ejemplo, I(2), habrá más de una raíz unitaria. De ser así, se puede utili-zar la prueba Dickey-Pantula.37 En cuarto lugar, si hay rupturas estructurales en una serie de tiempo (véase el capítulo sobre variables dicótomas) debidas, por ejemplo, al embargo petrolero por parte de la OPEP, las pruebas de raíz unitarias quizá no las refl ejen.

33 P. Perron, “The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis”, Econometrica, vol. 57, 1989, pp. 1361-1401.34 Hay un análisis accesible en James H. Stock y Mark W. Watson, Introduction to Econometrics, 2a. ed., Pear-son/Addison-Wesley, Boston, 2007, pp. 565-571. Para un análisis más minucioso, véase G.S. Maddala e In-Moo Kim, Unit Roots, Cointegration, and Structural Change, Cambridge University Press, Nueva York, 1998.35 Para un análisis detallado, véase Terrence C. Mills, op. cit., pp. 87-88.36 Para un experimento Monte Carlo al respecto, véase Charemza et al., op. cit., p. 114.37 D.A. Dickey y S. Pantula, “Determining the Order of Differencing in Autoregressive Processes”, en Journal of Business and Economic Statistics, vol. 5, 1987, pp. 455-461.



Por tanto, al aplicar las pruebas de raíz unitaria se deben tener en cuenta sus limitaciones. Desde luego, Perron y Ng, Elliot, Rothenberg y Stock, Fuller y Leybounre38 modifi caron esas pruebas. Debido a lo anterior, Maddala y Kim afi rman que las pruebas tradicionales DF, DFA y PP deben descartarse. Quizá eso llegue a suceder conforme los paquetes de software de econo-metría incorporen nuevas pruebas. Pero debemos añadir que hasta la fecha no existe una prueba uniformemente poderosa de la hipótesis de la raíz unitaria.

21.10 Transformación de las series de tiempo no estacionarias

Ahora que conocemos el problema asociado a las series de tiempo no estacionarias, surge la pregunta práctica de qué hay que hacer. Para evitar el problema de la regresión espuria que pu-diese surgir al hacer la regresión de una serie de tiempo no estacionaria sobre una o más series de tiempo no estacionarias tenemos que transformar las series de tiempo no estacionarias en estacionarias. El método de transformación depende de que las series de tiempo sean procesos estacionarios en diferencias (PED) o procesos estacionarios con tendencia (PET). Considerare-mos cada caso a su debido tiempo.

Procesos estacionarios en diferenciasSi una serie de tiempo tiene una raíz unitaria, las primeras diferencias de tales series son estaciona-rias.39 En consecuencia, la solución aquí es tomar las primeras diferencias de las series de tiempo.

Al reconsiderar la serie de tiempo LPIB de Estados Unidos, ya vimos que tiene raíz unitaria. Ahora veremos lo que sucede si se toman las primeras diferencias de la serie LPIB.

Sea �LPIBt = (LPIBt − LPIBt−1). Por conveniencia, sea Dt = �LPIBt. Ahora considere la siguiente regresión:

Dt � 0.00557 − 0.6711Dt−1

t � (7.1407) (−11.0204)

R2 � 0.3360 d � 2.0542

(21.10.1)

El valor crítico τ a 1% para la DF es −3.4574. Como la τ calculada (= t) de −11.0204 es másnegativa que el valor crítico, concluimos que la serie LPIB en primeras diferencias es estacio-naria; o sea, es I(0), como se muestra en la fi gura 21.9. Si comparamos esta fi gura con la 21.1, observará las evidentes diferencias entre ambas.

38 Un estudio de estas pruebas se encuentra en Maddala et al., op. cit., cap. 4.39 Si una serie de tiempo es I(2), contendrá dos raíces unitarias, en cuyo caso tendremos que diferenciar dos veces. Si es I(d ), debe diferenciarse d veces, donde d es cualquier entero.

FIGURA 21.9Primeras diferencias de los logaritmos del PIB de Estados Unidos, 1947-2007 (trimestral).

0.05

0.03

0.04

0.02

0.01

0

–0.01

–0.02

–0.0348241 96 120 168144 192 240216 26472

DL

PIB

Tiempo

Gráfico de la serie de tiempo DLPIB



Procesos estacionarios en tendenciaComo vimos en la fi gura 21.5, un PET es estacionario alrededor de la línea de tendencia. Por tanto, la manera más sencilla de convertir en estacionaria una serie de tiempo es hacer la regre-sión de ella sobre el tiempo y los residuos de tal regresión serán estacionarios. En otras palabras, realizamos la siguiente regresión:

Yt � β1 + β2t + ut (21.10.2)

donde Yt es la serie de tiempo estudiada y t es la variable de tendencia medida de manera crono-lógica.

Ahora bien,

u t � (Yt − β1 − β2t) (21.10.3)

será estacionaria. A ut se le conoce como serie de tiempo sin tendencia.Es importante notar que tal vez la tendencia sea no lineal. Por ejemplo, puede ser

Yt � β1 + β2t + β3t2 + ut (21.10.4)

que es una serie con tendencia cuadrática. De ser así, los residuos de (21.10.4) serán ahora una serie (cuadrática) de tiempo sin tendencia.

Debe señalarse que si una serie de tiempo es PED pero se trata como si fuera PET, esto se conoce como hipodiferenciación. Por otra parte, si una serie de tiempo es PET pero se le trata como PED, se conoce como hiperdiferenciación. Las consecuencias de estos errores de especi-fi cación pueden ser graves, según la manera en que se manejen las propiedades de correlación de los términos de error resultantes.40

Para ver qué sucede si se confunde una serie PET con una serie PED o viceversa, la fi gura 21.10 muestra las primeras diferencias de LPIB y los residuos del LPIB estimado a partir de la regresión PET (21.10.2):

40 Para un análisis detallado de esto, véase Maddala et al., op. cit., sección 2.7.

0.05

0.03

0.04

0.02

0.01

0

–0.02

–0.04

–0.03

–0.01

–0.0549251 97 121 169145 193

Delta LPIB

241217 26573

Tiempo

RESI1

FIGURA 21.10Primeras diferencias (delta LPIB) y desvia-ciones de la tendencia (RESI1) para el logaritmo del PIB, 1947-2007 (tri-mestral).



Un vistazo a esta fi gura revela que las primeras diferencias del logaritmo del PIB real son esta-cionarias (como lo confi rma la regresión [21.10.1]), pero los residuos de la línea de tendencia (RESI1) no.

En resumen, “. . . es muy importante aplicar el tipo correcto de transformación de estacionarie-dad a los datos si no son ya estacionarios. La mayoría de los mercados fi nancieros generan datos sobre precios, tasas o rendimientos que son no estacionarios debido a una tendencia estocástica más que determinista. Rara vez es apropiado suprimir la tendencia de los datos ajustando una línea de tendencia y tomando desviaciones. En cambio, para suprimir la tendencia de los datos es preciso tomar las primeras diferencias, por lo general el logaritmo del precio o las tasas, porque en-tonces los datos estacionarios transformados corresponderán a los rendimientos del mercado”.41

21.11 Cointegración: regresión de una serie de tiempo con raíz unitaria sobre otra serie de tiempo con raíz unitaria

Ya advertimos que la regresión de una serie de tiempo no estacionaria sobre otra no estacionaria puede causar una regresión espuria. Suponga que consideramos las series de tiempo LGCP y LIDP presentadas en la sección 21.1 (consulte los datos reales en el sitio Web del libro). Si somete estas series de manera individual a un análisis de raíz unitaria encontrará que ambas son I(1); es decir, contienen una tendencia estocástica. Es muy posible que las dos series compartan la misma tendencia común, por lo que la regresión de una sobre la otra no será necesariamente espuria.

Para ser específi cos, usaremos los datos de las series de tiempo económicas de Estados Unidos (véase la sección 21.1 y el sitio Web del libro) y ejecutaremos la siguiente regresión de LGCP sobre LIPD:

LGCPt � β1 + β2 tLIDP + ut (21.11.1)donde L signifi ca logaritmo. β2 es la elasticidad del gasto de consumo personal real respecto del ingreso personal disponible real. Para efectos ilustrativos, le denominaremos elasticidad del consumo. Esto se expresa como:

ut � LGCPt − β1 − β2LIDPt (21.11.2)Suponga que ahora sometemos ut a un análisis de raíz unitaria y descubrimos que es estacionaria, es decir, I(0). Ésta es una situación interesante, pues LGCPt y LIDPt son individualmente I(1), es decir, tienen tendencias estocásticas, y su combinación lineal (21.11.2) es I(0). Se puede decir que la combinación lineal cancela las tendencias estocásticas de las dos series. Si consideramos el consumo y el ingreso como dos variables I(1), el ahorro (defi nido como ingreso menos con-sumo) puede ser I(0). Como resultado, una regresión del consumo sobre el ingreso, como en (21.11.1), puede ser signifi cativa (es decir, no espuria). En este caso decimos que las dos varia-bles están cointegradas. En términos económicos, dos variables serán cointegradas si existe una relación de largo plazo, o de equilibrio, entre ambas. La teoría económica a menudo se expresa en términos de equilibrio, como la teoría monetaria cuantitativa de Fisher o la teoría de la paridad del poder adquisitivo (PPA), por mencionar algunas.

En resumen, en tanto se verifi que que los residuos de las regresiones como (21.11.1) son I(0) o estacionarios, la metodología tradicional de regresión (inclusive las pruebas t y F) aprendida hasta ahora es aplicable a las series de tiempo (no estacionarias). La contribución valiosa de los conceptos de raíz unitaria, cointegración, etc., es que obligan a determinar si los residuos de la regresión son estacionarios. Como observa Granger: “Una prueba para la cointegración puede considerarse como una preprueba para evitar las situaciones de regresiones espurias”.42

En el lenguaje de la teoría de la cointegración, una regresión como (21.11.1) se conoce como regresión cointegrante, y el parámetro de pendiente β2 como parámetro cointegrante. El con-

41 Carol Alexander, op. cit., p. 324.42 C.W.J. Granger, “Developments in the Study of Co-Integrated Economic Variables”, en Oxford Bulletin of Economics and Statistics, vol. 48, 1986, p. 226.



cepto de cointegración puede extenderse a un modelo de regresión que contenga k regresoras, en cuyo caso se tendrán k parámetros cointegrantes.

Prueba de cointegraciónEn las publicaciones especializadas se han propuesto varios métodos para probar la cointegra-ción. Aquí consideraremos un método relativamente sencillo: la prueba de raíz unitaria DF o DFA sobre los residuos estimados a partir de la regresión cointegrante.43

Prueba de Engle-Granger (EG) o prueba de Engle-Granger aumentada (EGA)Ya sabemos cómo aplicar las pruebas de raíz unitaria DF o DFA. Sólo requerimos estimar una re-gresión como (21.11.1), obtener los residuos y utilizar la prueba DF o DFA.44 Sin embargo, debe tomarse una precaución. Como la ut estimada se basa en el parámetro de cointegración estimado β2, los valores críticos de signifi cancia DF y DFA no son del todo apropiados. Engle y Granger calcularon estos valores, los cuales se encuentran en las referencias.45 Por consiguiente, en el contexto actual, las pruebas DF y DFA se conocen como la prueba de Engle-Granger (EG) y la prueba de Engle-Granger aumentada (EGA). Sin embargo, varios paquetes de software reportan actualmente estos valores críticos junto con otros resultados.

Ilustraremos estas pruebas. Con los datos introducidos en la sección 21.1 y publicados en el sitio Web del libro, primero realizamos la regresión de LGCPC sobre LIPDC y obtuvimos la siguiente regresión:

LGCPt � −0.1942 + 1.0114LIDPt

t � (−8.2328) (348.5429)

R2 � 0.9980 d � 0.1558

(21.11.3)

Como LGCP y LIDP son no estacionarios en lo individual, existe la posibilidad de que esta re-gresión sea espuria. Pero cuando llevamos a cabo una prueba de raíz unitaria sobre los residuos obtenidos en (21.11.3), resultó lo siguiente:

ut � −0.0764ut−1

t � (−3.0458)

R2 � 0.0369 d � 2.5389

(21.11.4)

Los valores críticos asintóticos Engle-Granger a 5% y 10% son de alrededor de −3.34 y −3.04, respectivamente. Por tanto, los residuos de la regresión son no estacionarios en el nivel de 5%. Sería difícil aceptar esta causa, pues la teoría económica indica que debe haber una relación es-table entre GCP e IPD.

Volveremos a estimar la ecuación (21.11.3) con la variable de tendencia y luego veremos si los residuos de esta ecuación son estacionarios. Primero presentaremos los resultados y después analizaremos lo que ocurre.

LGCPt � 2.8130 + 0.0037t + 0.5844LIPDt

t � (21.3491) (22.9394) (31.2754)

R2 � 0.9994 d � 0.2956

(21.11.3a)

43 Esta diferencia existe entre pruebas de raíces unitarias y pruebas de cointegración. Como señalan David A. Dickey, Dennis W. Jansen y Daniel I. Thornton: “Las pruebas para raíces unitarias se realizan sobre series de tiempo univariadas [es decir, singulares]. En contraste, la cointegración trata con la relación entre un grupo de variables, en donde cada una (incondicionalmente) tiene una raíz unitaria”. Véase su artículo “A Primer on Cointegration with an Application to Money and Income”, en Economic Review, Federal Reserve Bank of St. Louis, marzo-abril de 1991, p. 59. Como el nombre lo indica, es una introducción excelente para la prueba de cointegración.44 Si GCP e IPD no están cointegrados, las combinaciones lineales que de ellos se hagan no serán estaciona-rias y, por consiguiente, los residuos ut tampoco lo serán.45 R.F. Engle y C.W.J. Granger, “Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Test-ing”, en Econometrica, vol. 55, 1987, pp. 251-276.



Para ver si los residuos de esta regresión son estacionarios, obtuvimos los siguientes resultados (compare con la ecuación [21.11.4]):

ut � −0.1498ut−1

t � (−4.4545)

R2 � 0.0758 d � 2.3931

(21.11.4a)

Nota: ut es el residuo de la ecuación (21.11.3a).La prueba DF muestra ahora que estos residuos son estacionarios. Aunque se use la prueba

DFA con varios rezagos, los residuos siguen siendo estacionarios.¿Qué sucede aquí? Aunque los residuos de la regresión (21.11.4a) son estacionarios, es decir,

I(0), son estacionarios alrededor de una tendencia de tiempo determinista, que es lineal. Es de-cir, los residuos son I(0) más una tendencia lineal. Como ya señalamos, una serie de tiempo puede contener tanto una tendencia determinista como una estocástica.

Antes de continuar, debe señalarse que estos datos de series de tiempo abarcan un periodo largo (61 años). Es muy posible que, a causa de cambios estructurales en la economía de Estados Unidos durante este periodo, los resultados y conclusiones difi eran. En el ejercicio 21.28 se le pedirá comprobar esta posibilidad.

Cointegración y mecanismo de corrección de errores (MCE)Acabamos de demostrar que, teniendo en cuenta la tendencia (lineal), LGCP y LIPD están coin-tegradas, es decir, hay una relación de equilibrio de largo plazo entre las dos. Desde luego, en el corto plazo puede haber desequilibrio. En consecuencia, podemos tratar el término de error en la siguiente ecuación como el “error de equilibrio”. Además, con este término de error podemos relacionar el comportamiento de corto plazo del GCP con su valor de largo plazo:

ut � LGCPt − β1 − β2LIPD − β3t (21.11.5)

El mecanismo de corrección de errores (MCE), utilizado por primera vez por Sargan46 y popularizado más tarde por Engle y Granger, corrige el desequilibrio. Un importante teorema, conocido como teorema de representación de Granger, afi rma que si dos variables Y y X están cointegradas, la relación entre las dos se expresa como MCE. Para ver lo que esto signifi ca, re-vertiremos el ejemplo de GCP e IPD. Ahora considere el siguiente modelo:

�LGCPt � α0 + α1�LIPDt + α2ut−1 + εt (21.11.6)

donde εt es un término de error de ruido blanco y ut−1 es el valor rezagado del término de error de la ecuación (21.11.5).

La ecuación MCE (21.11.5) establece que �LGCP depende de �LIPD y también del término de error de equilibrio.47 Si este último es diferente de cero, el modelo no está en equilibrio. Suponga que �LIPD es cero y que ut−1 es positiva. Esto signifi ca que LGCPt−1 es dema-siado alto para estar en equilibrio, es decir, LGCPt−1 está por encima de su valor de equilibrio(α0 + α1LIDPt−1). Como se espera que α2 sea negativa, el término α2ut−1 es negativo y, por tanto, �LGCPt será negativo para restablecer el equilibrio. Es decir, si LGCPt está por arriba de su valor de equilibrio, comenzará a disminuir en el siguiente periodo a fi n de corregir el errorde equilibrio; de ahí el nombre de MCE. De igual manera, si ut−1 es negativa (es decir, LGCP está por debajo de su valor de equilibrio), α2ut−1 será positivo, lo cual provocará que �LGCPt sea positivo, lo que provocará que LGCPt se incremente en el periodo t. Por tanto, el valor absoluto de α2 determina la rapidez con que se restablecerá el equilibrio. En la práctica, ut−1 se estima

46 J.D. Sargan, “Wages and Prices in the United Kingdom: A Study in Econometric Methodology”, publicado en K.F. Wallis y D.F. Hendry (eds.), Quantitative Economics and Econometric Analysis, Basil Blackwell, Oxford, Inglaterra, 1984.47 El siguiente análisis se basó en Gary Koop, op. cit., pp. 159-160, y Kerry Peterson, op. cit., sección 8.5.



por ut−1 = (LGCPt − β1 − β2LIPD − β3t). Tenga en cuenta que se espera que el coefi ciente de corrección del error α2 sea negativo (¿por qué?).

De regreso al ejemplo ilustrativo, la contraparte empírica de (21.11.6) es:

LGCPt � 0.0061 + 0.2967 LIDPt − 0.1223ut−1

t � (9.6753) (6.2282) (−3.8461)

R2 � 0.1658 d 2.1496� (21.11.7)

Estadísticamente, el término MCE es signifi cativo, lo que indica que el GCP se ajusta al IPD con un rezago; sólo alrededor de 12% de la discrepancia entre el GCP de largo y corto plazos se corrige dentro de un trimestre.

En la regresión (21.11.7) observamos que la elasticidad del consumo de corto plazo es de casi 0.29. La elasticidad de largo plazo es de casi 0.58, lo cual se observa en la ecuación (21.11.3a).

Antes de concluir esta sección, es importante recordar la recomendación de S. G. Hall:

Mientras que el concepto de cointegración es sin duda un fundamento teórico importante del modelo de corrección de errores, hay aún diversos problemas en torno a su aplicación práctica; los valores críticos y el desempeño en muestras pequeñas de muchas de las pruebas son desconocidos para un amplio rango de modelos; la inspección bien informada del correlograma puede ser aún una herra-mienta importante.48

21.12 Algunas aplicaciones económicas

Concluimos este capítulo con el examen de algunos ejemplos concretos.

48 S.G. Hall, “An Application of the Granger and Engle Two-Step Estimation Procedure to the United Kingdom Aggregate Wage Data”, en Oxford Bulletin of Economics and Statistics, vol. 48, núm. 3, agosto de 1986, p. 238. Véase también John Y. Campbell y Pierre Perron, “Pitfalls and Opportunities: What Macroeco-nomists Should Know about Unit Roots”, en NBER (National Bureau of Economic Research), Macroeconomics Annual 1991, pp. 141-219.

La fi gura 21.11 muestra la oferta de dinero M1 en Estados Unidos de enero de 1959 a 1 de marzo de 2008. De lo que sabemos sobre la estacionariedad, parece que la serie de tiempo oferta de dinero M1 es no estacionaria, lo cual se confi rma mediante un análisis de raíz unitaria.

EJEMPLO 21.1Oferta mensual de dinero M1 en Estados Unidos, de enero de 1959 a 1 de marzo de 2008 1 400

1 200

1 000

600

200

400

800

0118591 236 295 413354 472 590531177

Ofe

rta

de

din

ero

Número de observación

FIGURA 21.11 Oferta de dinero en Estados Unidos de enero de 1959 a marzo de 2008.

(continúa)



(Nota: Para ahorrar espacio, no se dan los datos reales, pero pueden obtenerse de la Federal Reserve Board o el Federal Reserve Bank of St. Louis.)

Mt � −0.1347 + 0.0293t − 0.0102Mt−1

t � (−0.14) (2.62) (−2.30)

R2 � 0.0130 d � 2.2325

(21.12.1)

Los valores críticos τ a 1%, 5% y 10% son −3.9811, −3.4210 y −3.1329, respectivamente. Como el valor t de −2.30 es menos negativo que cualquiera de estos valores críticos, la con-clusión es que la serie de tiempo M1 es no estacionaria; o sea, contiene una raíz unitaria o es I(1). Aunque se introdujeron diversos valores rezagados de �Mt (al estilo DFA), la conclusión no varió. Por otra parte, descubrimos que las primeras diferencias de la oferta de dinero M1 eran estacionarias (verifi que esto).

EJEMPLO 21.1(continuación)

La fi gura 21.12 proporciona la gráfi ca del tipo de cambio ($/£) de enero de 1971 a abril de 2008 para un total de 286 observaciones. A estas alturas, el lector debe reconocer que esta serie de tiempo es no estacionaria. Al efectuar las pruebas de raíz unitaria, obtuvimos los siguientes estadísticos τ: −0.82 (sin intercepto ni tendencia), −1.96 (intercepto) y −1.33 (con intercepto y tendencia). Cada uno de ellos, en valor absoluto, fue menor que su valor crítico τ tomado de las tablas DF apropiadas, por lo cual se confi rma la impresión gráfi ca de que la serie de tiempo del tipo de cambio EUA/RU es no estacionaria.

EJEMPLO 21.2Tipo de cambio EUA/RU: Enero de 1971 a abril de 2008

FIGURA 21.12Tipo de cambio Estados Unidos/RU: enero de 1971 a abril de 2008.

La fi gura 21.13 muestra el IPC en Estados Unidos de enero de 1947 a marzo de 2008, para un total de 733 observaciones. La serie IPC, al igual que la serie M1 ya considerada, muestra una tendencia ascendente sostenida. El ejercicio de raíz unitaria proporcionó los siguientes resulta-dos:

CPIt � −0.01082 + 0.00068t − 0.00096CPIt−1 + 0.40669 CPIt−1

t � (−0.54) (4.27) (−1.77) (12.03)

R2 � 0.3570 d � 1.9295

(21.12.2)

EJEMPLO 21.3Índice de precios al consumidor (IPC) en Estados Unidos de enero de 1947 a marzo de 2008

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

1.8

1.4

1.2

1.6

1.0Ene1971

MesAño

Ene1977

Ene1983

Ene1995

Ene1989

Ene2001

Ene2007

Tip

o d

e ca

mb

io (

$/£)



El valor t (= τ) del IPCt−1 es −1.77. El valor crítico a 10% es −3.1317. Como, en términos absolu-tos, la τ calculada es menor que la τ crítica, la conclusión es que el IPC no es una serie de tiempo estacionaria. Podemos caracterizar lo anterior como una tendencia estocástica (¿por qué?). Sin embargo, si tomamos las primeras diferencias de la serie IPC, descubrirá que son estacionarias. Por tanto, el IPC es una serie de tiempo estacionaria en diferencias (ED).


La fi gura 21.14 presenta la gráfi ca de las tasas de los pagarés del Tesoro de Estados Unidos (con vencimiento constante) a tres y seis meses, de enero de 1982 a marzo de 2008, para un total de 315 observaciones. ¿Muestra la gráfi ca que las dos tasas están cointegradas? Es decir, ¿existe una relación de equilibrio entre ambas? Con base en la teoría fi nanciera, se podría esperar que así sucediera; de otra manera, los árbitros aprovecharían cualquier discrepancia entre las tasas de corto y largo plazos. En primer lugar, veamos si las dos series de tiempo son estacionarias.

EJEMPLO 21.4¿Están cointegradas las tasas de los pa-garés del Tesoro a tres y seis meses?

FIGURA 21.13 IPC en Estados Unidos, enero de 1947 a marzo de 2008.

FIGURA 21.14Tasas de los pagarés del Tesoro de Estados Uni-dos a tres y seis meses (con vencimiento cons-tante).

16

14

12

10

8

6

4

2

019831982 1985 1989 19911987 1993 1995 1997 1999 20032001 20072005

Tasa

, %

Año

6 M3 M

(continúa)

200

100

50

150

01 73 146 292 365219 438 511 584 657 730

IPC

Número de observación



Con base en el modelo de caminata puramente aleatoria (es decir, sin intercepto ni ten-dencia), ambas tasas fueron estacionarias. Después de incluir el intercepto y la tendencia, así como una diferencia rezagada, el resultado señaló que las dos tasas pueden ser estacionarias en tendencia; el coefi ciente de tendencia en ambos casos fue negativo y signifi cativo en un nivel de 7%. Así, según los resultados que se acepten, las dos tasas son estacionarias o estacionarias en tendencia.

Al hacer la regresión de la tasa de los pagarés del Tesoro a seis meses (TB6) sobre la de tres meses, obtuvimos la siguiente regresión:

TB6t � 0.0842 + 1.0078TB3t

t � (3.65) (252.39)

R2 � 0.995 d � 0.4035

(21.12.3)

Al aplicar la prueba de raíz unitaria a los residuos de la regresión anterior descubrimos que los residuos eran estacionarios, lo cual indica que las tasas de interés de los pagarés a tres y seis meses estaban cointegradas. Con este conocimiento obtuvimos el siguiente modelo de correc-ción del error (MCE):

TB6t � −0.0047 + 0.8992 TB3t − 0.1855ut−1

t � (−0.82) (47.77) (−5.69)

R2 � 0.880 d � 1.5376

(21.12.4)

donde ut−1 es el valor rezagado del término de corrección del error para el periodo anterior. Como muestran estos resultados, 0.19 de la discrepancia en las dos tasas de interés del mes an-terior se elimina al siguiente mes.49 Además, los cambios de corto plazo en las tasas de interés de los pagarés del Tesoro a tres meses se refl ejan de inmediato en la tasa de interés de los pagarés del Tesoro a seis meses, pues el coefi ciente de la pendiente entre las dos es 0.8992. Esto no debe sorprender en vista de la efi ciencia de los mercados de dinero de Estados Unidos.


49 Como ambas tasas de interés de los pagarés del Tesoro se expresan en forma porcentual, esto indicaría que si la tasa de interés de los pagarés del Tesoro a seis meses fuera mayor que la tasa a tres meses, en una cantidad mayor que la esperada a priori en el último mes, el siguiente mes ésta se reduciría en 0.19 puntos porcentuales a fi n de restablecer la relación de largo plazo entre las dos tasas de interés. Para conocer más sobre la teoría en la que se basa la relación entre las tasas de interés de corto y largo plazos, consulte cual-quier libro de texto sobre banca o dinero y lea sobre la estructura de los plazos de las tasas de interés.

Resumen y conclusiones

1. El análisis de regresión basado en información de series de tiempo supone implícitamente que las series de tiempo en las cuales se basa son estacionarias. Las pruebas clásicas t y F, entre otras, se basan en este supuesto.

2. En la práctica, la mayoría de las series de tiempo económicas son no estacionarias. 3. Decimos que un proceso estocástico es estacionario débil si su media, varianza y autocova-

rianzas son constantes en el tiempo (es decir, son invariantes en el tiempo). 4. En un nivel informal, la estacionariedad débil se prueba mediante el correlograma de una

serie de tiempo, que es una gráfi ca de la autocorrelación en diferentes rezagos. Para una serie de tiempo estacionaria, el correlograma se desvanece rápidamente, mientras que para las series no estacionarias, lo hace de manera gradual. Cuando una serie es puramente aleatoria, las autocorrelaciones en todos los rezagos 1 y superiores son cero.

5. En un nivel formal, la estacionariedad se verifi ca averiguando si la serie de tiempo contiene una raíz unitaria. Las pruebas de Dickey-Fuller (DF) y Dickey-Fuller Aumentada (DFA) sirven para este propósito.

6. Una serie de tiempo económica puede ser estacionaria en tendencia (ET) o estacionaria en diferencia (ED). Una serie de tiempo ET tiene tendencia determinista, mientras que una serie de tiempo ED tiene tendencia variable o estocástica. La práctica común de incluir la



Preguntas 21.1. ¿Qué signifi ca estacionariedad débil? 21.2. ¿Qué signifi ca serie de tiempo integrada? 21.3. ¿Cuál es el signifi cado de raíz unitaria? 21.4. Si una serie de tiempo es I(3), ¿cuántas veces debe diferenciarse para hacerla estaciona-

ria? 21.5. ¿Qué son las pruebas Dickey-Fuller (DF) y DF aumentada? 21.6. ¿Qué son las pruebas Engle-Granger (EG) y EG aumentada? 21.7. ¿Cuál es el signifi cado de cointegración? 21.8. ¿Cuál es la diferencia, si acaso, entre pruebas de raíz unitaria y pruebas de cointegración? 21.9. ¿Qué es la regresión espuria?21.10. ¿Cuál es la conexión entre cointegración y regresión espuria?21.11. ¿Cuál es la diferencia entre una tendencia determinista y una tendencia estocástica?21.12. ¿Qué signifi ca proceso estacionario en tendencia (PET) y proceso estacionario en dife-

rencias (PED)?21.13. ¿Qué es una caminata aleatoria (modelo)?21.14. “Para un proceso estocástico de caminata aleatoria, la varianza es infi nita.” ¿Está de

acuerdo? ¿Por qué?21.15. ¿Qué es el mecanismo de corrección de errores (MCE)? ¿Cuál es su relación con la coin-

tegración?

Ejercicios empíricos21.16. Con los datos de series de tiempo económicas de Estados Unidos que se presentan en el

sitio Web del libro, obtenga los correlogramas muestrales hasta 36 rezagos para las series de tiempo LGCP, LIPD, LUE (utilidades empresariales) y LDIVIDENDOS. ¿Qué patrón general observa? Por intuición, ¿cuáles de estas series parecen estacionarias?

21.17. Para cada una de las series de tiempo del ejercicio 21.16, utilice la prueba DF para de-terminar si estas series contienen una raíz unitaria. Si existe una raíz unitaria, ¿cómo caracteriza esa serie de tiempo?

EJERCICIOS

variable de tiempo o de tendencia en un modelo de regresión para eliminar la infl uencia de la tendencia en los datos sólo se justifi ca para series de tiempo ET. Las pruebas DF y DFA se aplican para determinar si una serie de tiempo es ET o ED.

7. La regresión de una variable de serie de tiempo sobre una o más variables de series de tiempo a menudo puede dar resultados sin sentido o espurios. Este fenómeno se conoce como regre-sión espuria. Una forma de evitarla es establecer si las series de tiempo están cointegradas.

8. Cointegración signifi ca que, a pesar de no ser estacionarias en un nivel individual, una combinación lineal de dos o más series de tiempo puede ser estacionaria. Las pruebas Engle-Granger (EG) y Engle-Granger aumentada (EGA) sirven para averiguar si dos o más series de tiempo están cointegradas.

9. La cointegración de dos (o más) series de tiempo indica que existe una relación de largo plazo, o de equilibrio, entre ellas.

10. El mecanismo de corrección de errores (MCE) de Engle y Granger sirve para conciliar el comportamiento de corto plazo de una variable económica con su comportamiento de largo plazo.

11. El campo de la econometría de series de tiempo ha evolucionado. Los resultados y pruebas establecidas en algunos casos son tentativos y queda aún mucho trabajo pendiente. Una pregunta importante, aún pendiente, es por qué algunas series de tiempo económicas son estacionarias y otras no lo son.



21.18. Continúe con el ejercicio 21.17. ¿Cómo determina si una prueba DFA es más apropiada que una prueba DF?

21.19. Considere las series de tiempo de dividendos y utilidades contenidas en los datos sobre la economía de Estados Unidos publicados en el sitio Web del libro. Como los dividendos dependen de las utilidades, considere el siguiente modelo simple:

LDIVIDENDOSt = β1 + β2LUE + ut

a) ¿Esperaría que esta regresión sufra del fenómeno de regresión espuria? ¿Por qué?

b) ¿Están cointegradas las series de tiempo de los logaritmos de los dividendos y las utilidades? ¿Cómo probar esto explícitamente? Si después de la prueba encuentra que están cointegradas, ¿cambiaría la respuesta en a)?

c) Con el mecanismo de corrección de errores (MCE) estudie el comportamiento de corto y largo plazos de los dividendos en relación con las utilidades.

d) Si examina las series de LDIVIDENDOS y LUE individualmente, ¿presentan tenden-cias estocásticas o deterministas? ¿Qué pruebas utiliza?

*e) Suponga que LDIVIDENDOS y LUE están cointegradas. Entonces, en lugar de efec-tuar la regresión de los dividendos sobre las utilidades, hace la regresión de las utili-dades sobre los dividendos. ¿Es válida tal regresión?

21.20. Obtenga las primeras diferencias de las series de tiempo contenidas en los datos sobre la economía de Estados Unidos que se presentan en el sitio Web del libro y grafíquelas. Ob-tenga también un correlograma de cada serie de tiempo hasta 36 rezagos. ¿Qué le llama la atención sobre estos correlogramas?

21.21. En lugar de efectuar la regresión de LDIVIDENDOS sobre LUE en la forma de nivel, suponga que efectúa la regresión de las primeras diferencias de LDIVIDENDOS sobre las primeras diferencias de LUE. ¿Incluiría el intercepto en esta regresión? ¿Por qué? Muestre los cálculos.

21.22. Continúe con el ejercicio anterior. ¿Cómo probaría la presencia de estacionariedad en la regresión de primeras diferencias? En este ejemplo, ¿qué esperaría a priori y por qué? Muestre todos los cálculos.

21.23. Con base en el número de nuevas viviendas construidas en el Reino Unido (X) de 1948 a 1984, Terence Mills obtuvo los siguientes resultados de regresión:†

Xt � 31.03 − 0.188Xt−1

se � (12.50) (0.080)

(t � )τ (−2.35)

Nota: El valor crítico τ a 5% es −2.95 y el valor crítico τ a 10% es −2.60.

a) Con base en estos resultados, ¿la serie de tiempo de nuevas construcciones de vivien-das es estacionaria o no estacionaria? Por otra parte, ¿hay una raíz unitaria en esta serie de tiempo? ¿Cómo sabe?

b) Si fuera a utilizar la prueba t usual, ¿es el valor t observado estadísticamente signifi -cativo? Con esta base, ¿habría concluido que esta serie de tiempo es estacionaria?

c) Ahora considere los siguientes resultados de regresión:

2 Xt � 4.76 − 1.39 Xt−1 + 0.313 2Xt−1

se � (5.06) (0.236) (0.163)

(t � )τ (−5.89)

* Opcional.† Terence C. Mills, op. cit., p. 127. La notación se alteró un poco.



donde �2 es el operador de segundas diferencias, es decir, primeras diferencias de las pri-meras diferencias. El valor estimado es ahora estadísticamente signifi cativo. ¿Qué puede decir sobre la estacionariedad de la serie de tiempo en cuestión?

Nota: El propósito de la regresión anterior es determinar si hay una segunda raíz unitaria en la serie de tiempo.

21.24. Genere dos series de caminata aleatoria como se indica en (21.7.1) y (21.7.2) y haga la re-gresión de una sobre la otra. Repita este ejercicio pero ahora con sus primeras diferencias y verifi que que en esta regresión el valor de R2 sea casi cero y que la d de Durbin-Watson sea casi 2.

21.25. Para mostrar que dos variables, cada una con tendencia determinista, pueden originar una regresión espuria, Charemza et al. obtuvieron la siguiente regresión con base en 30 observaciones:*

Yt � 5.92 + 0.030Xt

t � (9.9) (21.2)

R2 � 0.92 d � 0.06

donde Y1 = 1, Y2 = 2, . . . , Yn = n y X1 = 1, X2 = 4, . . . , Xn = n2.

a) ¿Qué tipo de tendencia muestra Y? ¿y X?

b) Grafi que las dos variables y la línea de regresión. ¿Qué conclusión general obtiene de esta gráfi ca?

21.26. De los datos correspondientes del primer trimestre de 1971 al cuarto de 1988 para Canadá se obtuvieron los siguientes resultados de la regresión:

1. ln M1t � −10.2571 + 1.5975 ln PIBt

t � (−12.9422) (25.8865)

R2 � 0.9463 d � 0.3254

2. ln M1t � 0.0095 + 0.5833 ln PIBt

t � (2.4957) (1.8958)

R2 � 0.0885 d � 1.7399

3. ut � −0.1958ut−1

(t � τ) (−2.2521)

R2 � 0.1118 d � 1.4767

donde M1 = la oferta de dinero M1, PIB = producto interno bruto, ambas medidas en miles de millones de dólares canadienses, ln es el logaritmo natural y ut representa los residuos estimados de la regresión 1.

a) Interprete las regresiones 1 y 2.

b) ¿Sospecha que la regresión 1 es espuria? ¿Por qué?

c) ¿La regresión 2 es espuria? ¿Cómo sabe?

d ) De los resultados de la regresión 3, ¿cambiaría su conclusión de b)? ¿Por qué?

* Charemza et al., op. cit., p. 93.



e) Ahora considere la siguiente regresión:

ln M1t � 0.0084 + 0.7340 ln PIBt − 0.0811ut−1

t � (2.0496) (2.0636) (−0.8537)

R2 � 0.1066 d � 1.6697

¿Qué indica esta regresión? ¿Le ayuda a decidir si la regresión 1 es espuria o no lo es?

21.27. Las siguientes regresiones se basan en los datos del IPC de Estados Unidos de 1960 a 2007, para un total de 48 observaciones anuales:

1. IPCt � 0.0334IPCt−1

t � (12.37)

R2 � 0.0703 d � 0.3663 SCR � 206.65

2. IPCt � 1.8662 + 0.0192IPCt−1

t � (3.27) (3.86)

R2 � 0.249 d � 0.4462 SCR � 166.921

3. IPCt � 1.1611 + 0.5344t − 0.1077IPCt−1

t � (2.37) (4.80) (−4.02)

R2 � 0.507 d � 0.6071 SCR � 109.608

donde SCR = suma de cuadrados residual.

a) Al examinar las regresiones anteriores, ¿qué puede decir respecto de la estacionarie-dad de la serie de tiempo IPC?

b) ¿Cómo escogería entre los tres modelos?

c) La ecuación (1) es la ecuación (3) menos el intercepto y la tendencia. ¿Con qué prueba decidiría si las restricciones implícitas del modelo 1 son válidas? (Sugerencia: Utilice las pruebas Dickey-Fuller t y F. Use los valores aproximados dados en el apéndice D, tabla D.7.)

21.28. Como indicamos en el texto, puede haber varias rupturas estructurales en el conjunto de datos de series de tiempo económicas de Estados Unidos de la sección 21.1. Las variables dicótomas son una buena forma de incorporar estos cambios en los datos.

a) Con variables dicótomas para designar tres periodos diferentes relacionados con los embargos petroleros de 1973 y 1979, efectúe una regresión del logaritmo de gasto de consumo personal (LGCP) sobre el logaritmo del ingreso personal disponible (LIPD). ¿Hubo algún cambio en los resultados? ¿Cuál es ahora su decisión sobre la hipótesis de raíz unitaria?

b) Varios sitios Web presentan los ciclos económicos ofi ciales que pueden haber afectado los datos de series de tiempo económicas de Estados Unidos que analizamos en la sección 21.1. Consulte, por ejemplo, http://www.nber.org/cycles/cyclesmain.html. Con la información que ahí se encuentra, cree variables dicótomas que indiquen algu-nos de los principales ciclos y verifi que los resultados de la regresión de LGCP sobre LIPD. ¿Hubo algún cambio?


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Capítulo 21sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/gma/sTiempo1/curso...740 Parte Cuatro Modelos de ecuaciones simultáneas y econometría de series de tiempo 21.3 Procesos estocásticos