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Pedro_CC 1
CAPÍTULO 8: TRANSFORMACIONES ORTOGONALES Y AFINES
PARTE A: TRANSFORMACIONES ORTOGONALES
8.1- Definición.
Sea 𝐸 un espacio vectorial euclídeo. Diremos que una aplicación 𝑓:𝐸 → 𝐸 es una transformación ortogonal si es lineal y conserva el producto escalar. Es decir, 𝑓 verifica que:
�̅� ∘ 𝑦� = 𝑓(�̅�) ∘ 𝑓(𝑦�) ∀�̅�,𝑦� ∈ 𝐸
8.2- Teorema.
Una aplicación 𝑓:𝐸 → 𝐸 es una transformación ortogonal si y solo si la matriz de 𝑓 en una base ortonormal es ortogonal respecto del producto escalar usual, es decir, de columnas ortonormales.
- Ejemplo: estudiar si la aplicación 𝑓:ℝ2 → ℝ2 que verifica 𝑓(1,1) = �0, 2√2� ,𝑓(0,1) =
(− 1√2
, 1√2
) es una transformación ortogonal.
Veamos que la matriz 𝐴 de 𝑓 respecto de la base canónica 𝐵𝑐 (que es ortonormal) es ortogonal. Tenemos que:
𝑓(1,0) = 𝑓(1,1)− 𝑓(0,1) = (1√2
,1√2
)
𝑓(0,1) = (−1√2
,1√2
)
de donde se sigue que 𝐴 = �1√2
1√2
1√2
− 1√2
�, y es sencillo ver que:
�1√2
,1√2� ∘ �
1√2
,1√2� = 1
�−1√2
,1√2� ∘ �−
1√2
,1√2� = 1
�1√2
,1√2� ∘ �−
1√2
,1√2� = 0
esto implica que la matriz 𝐴 es ortogonal y verifica que 𝐴𝑡 = 𝐴−1.
- Observación: por supuesto, también podemos calcular 𝐴𝑡 y 𝐴−1 y ver si se cumple que 𝐴𝑡 = 𝐴−1 para ver si 𝑓 es ortogonal.
8.3- Propiedades.
Sea 𝑓:𝐸 → 𝐸 una transformación ortogonal. Se verifica que:
i) |�̅�| = |𝑓(�̅�)| ∀�̅� ∈ 𝐸
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ii) 𝑆 libre ↔ 𝑓(𝑆) libre, siendo 𝑆 un sistema de vectores ortogonales dos a dos de 𝐸.
iii) 𝑉 ⊥ 𝑊 ↔ 𝑓(𝑉) ⊥ 𝑓(𝑊), siendo 𝑉,𝑊 dos subespacios vectoriales de 𝐸.
iv) Si 𝐴 es la matriz de 𝑓 se tiene que |𝐴| = ∓1. Además, si 𝜆 es un autovalor de 𝐴 asociado al autovector 𝑢� se tiene que:
|𝑓(𝑢�)| = |𝜆𝑢�| = |𝜆||𝑢�|
y aplicando la propiedad i) resulta:
|𝑓(𝑢�)| = |𝑢�|
igualando ambas expresiones se llega a |𝜆| = 1, por lo que los únicos autovalores reales posibles de 𝐴 son 1 y −1.
v) De la propiedad iv) se sigue que |𝐴| ≠ 0 por lo que 𝑓 es inyectiva y, por ser un endomorfismo, también será suprayectiva. Por tanto, se tiene que 𝑓 es biyectiva.
vi) De la propiedad v) se sigue que 𝑓−1 existe como aplicación lineal. De hecho, 𝑓−1 también es una transformación ortogonal cuya matriz asociada es 𝐴−1
vii) La composición de transformaciones ortogonales es una transformación ortogonal cuya matriz es el producto de las matrices de las transformaciones ortogonales de la composición.
8.4- Clasificación de las transformaciones ortogonales.
Es muy importante conocer la clasificación de las transformaciones ortogonales en dimensión tres, ya que es probable que en el examen final haya alguna pregunta que requiera clasificar transformaciones ortogonales para resolverla. La clasificación en dimensión dos también es importante porque, aunque es mucho menos probable que haya que utilizarla en el examen, ayuda bastante a entender la clasificación en dimensión 3.
8.4.1- Espacio euclídeo de dimensión 1.
Sea 𝐸 = 𝐿{𝑢�1}. Como los únicos autovalores reales posibles de 𝑓 son ±1 se tiene que, si no consideramos autovalores complejos, las únicas posibilidades son:
i) 𝑓(𝑢�1) = 𝑢�1, en cuyo caso 𝑓 es la aplicación identidad.
ii) 𝑓(𝑢�1) = −𝑢�1, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto del origen.
8.4.2- Espacio euclídeo de dimensión 2.
Sea 𝐸 = 𝐿{𝑢�1,𝑢�2}, siendo 𝐵 = {𝑢�1,𝑢�2} una base ortonormal de 𝐸. Sea 𝐴 la matriz de 𝑓 en la base 𝐵. Tenemos dos posibilidades:
i) |𝐴| = 1, en este caso la matriz 𝐴 se puede poner de la forma:
𝐴 = �cos𝛼 − sin𝛼sin𝛼 cos𝛼 �
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y la transformación ortogonal 𝑓 es un giro de ángulo 𝛼 alrededor del origen en sentido antihorario.
Algunos casos particulares interesantes son 𝛼 = 0 en cuyo caso 𝑓 es la aplicación identidad y 𝛼 = 𝜋 en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto del origen.
ii) ) |𝐴| = −1, en este caso la matriz 𝐴 se puede poner de la forma:
𝐴 = �cos𝛼 sin𝛼sin𝛼 −cos𝛼�
y la transformación ortogonal 𝑓 es una simetría respecto de un eje.
Algunos casos particulares interesantes son 𝛼 = 0 en cuyo caso 𝑓 es la una simetría respecto al eje 𝑢�1 y 𝛼 = 𝜋 en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto al eje 𝑢�2.
Para calcular el eje de dicha simetría basta con calcular la forma canónica de Jordan de la matriz 𝐴, ya que dicho eje permanece invariante por la acción de 𝑓. Esto implica que el eje es el autovector asociado al autovalor 1. De hecho, la forma canónica de Jordan de la matriz 𝐴 es de la forma:
𝐽 = �1 00 −1�
- Ejemplo: consideremos la aplicación 𝑓:ℝ2 → ℝ2 definida como:
𝑓(𝑥,𝑦) = (35𝑥 +
45𝑦,
45𝑥 −
35𝑦)
Decir si 𝑓 es una transformación ortogonal y, en caso afirmativo, describirla.
La matriz de 𝑓 en la base canónica de ℝ2 es:
𝐴 = �
35
45
45
−35
�
y sus columnas tienen módulo uno y el producto escalar de la primera con la segunda es cero, por lo que 𝑓 es una transformación ortogonal (también podríamos comprobar que se cumple que 𝐴𝑡 = 𝐴−1)
Además, se tiene que |𝐴| = −1, por lo que 𝑓 es una simetría respecto de un eje. Para calcular dicho eje calculamos el autovector asociado a 𝜆 = 1:
(𝐴 − 𝐼) �𝑥𝑦� = �
−25
45
45
−85
��𝑥𝑦� = �0
0�
de donde obtenemos la ecuación 2𝑥 = 4𝑦 por lo que el subespacio invariante buscado es 𝑁1,1 = 𝐿{(2,1)} luego 𝑓 es una simetría respecto de la recta que pasa por el origen y tiene como vector director (2,1).
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- Observación: es sencillo demostrar que toda transformación ortogonal en dimensión dos tiene que ser alguna de las dos opciones descritas anteriormente. Si 𝐴 es la matriz de una transformación ortogonal en dimensión dos tenemos que:
𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴𝑡 = 𝐼
Si tomamos 𝐴 = �𝑎 𝑏𝑐 𝑑� entonces la igualdad anterior equivale a:
𝑎2 + 𝑏2 = 1 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0 𝑐2 + 𝑑2 = 1
La expresión 𝑎2 + 𝑏2 = 1 implica que podemos poner 𝑎 = cos(𝛼) , 𝑏 = sin (𝛼) (estamos “parametrizando” una circunferencia de centro 0 y radio 1 en coordenadas polares). De forma análoga podemos poner 𝑐 = cos(𝛽) ,𝑑 = sin (𝛽) y la ecuación 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0 queda:
cos(𝛼) cos(𝛽) − sin(𝛼) sin(𝛽) = 0
y como:
cos(𝛼) cos(𝛽) − sin(𝛼) sin(𝛽) = cos (𝛼 + 𝛽)
necesariamente tiene que ser 𝛼 + 𝛽 = 𝜋2
o bien 𝛼 + 𝛽 = 3𝜋2
. En uno de los casos se obtiene un
giro de un cierto ángulo alrededor del origen y en el otro se obtiene una simetría respecto de una recta que pasa por el origen. Os invito a que completéis la demostración dejando todo en función de 𝛼 y paséis unos minutos pensando de forma un poco más matemática.
8.4.3- Espacio euclídeo de dimensión 3.
Sea 𝐴 la matriz de 𝑓 en la base 𝐵. Tenemos varias posibilidades:
i) Si |𝐴| = 1 tenemos que las posibles formas canónicas de Jordan son:
𝐽 = �1 0 00 1 00 0 1
�, en cuyo caso 𝑓 es la identidad.
𝐽 = �1 0 00 −1 00 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto al eje dado por el
autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1.
𝐽 = �1 0 00 cos𝛼 − sin𝛼0 sin𝛼 cos𝛼
�, en cuyo caso 𝑓 es un giro de ángulo 𝛼 en sentido
antihorario alrededor del eje dado por el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1.
ii) Si |𝐴| = −1 tenemos que las posibles formas canónicas de Jordan son:
𝐽 = �−1 0 00 −1 00 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto del origen.
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𝐽 = �1 0 00 1 00 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto al plano que pasa por el
origen y tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1.
𝐽 = �−1 0 00 cos𝛼 − sin𝛼0 sin𝛼 cos𝛼
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto al plano que pasa
por el origen y tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de un giro de ángulo 𝛼 en sentido antihorario alrededor del eje dado por el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1.
- Ejemplo: consideremos ℝ3 con el producto escalar usual y las aplicaciones 𝑓,𝑔:ℝ3 → ℝ3 definidas de la siguiente manera:
𝑓�𝑒1� − √3𝑒3� � = −2𝑒3�
𝑓(𝑒2� ) = 𝑒2�
𝑓�√3𝑒1� + 𝑒3� � = 2𝑒1�
𝑔(𝑒1� ) = 𝑒1�
𝑔(𝑒2� ) = −𝑒2�
𝑔(𝑒3� ) = 𝑒3�
Siendo 𝐵𝑐 = {𝑒1� , 𝑒2� , 𝑒3� } la base canónica de ℝ3.
a) Ver que 𝑓,𝑔 son transformaciones ortogonales y describirlas.
b) Describir la transformación ortogonal ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔.
a) Operando en las expresiones de 𝑓 se sigue sin dificultad que 𝑓(𝑒1� ) = √32𝑒1� − 1
2𝑒3� ,
𝑓(𝑒3� ) = 12𝑒1� + √3
2𝑒3� por lo que la matriz de 𝑓 en la base 𝐵𝑐 es:
𝐴 =
⎝
⎜⎛√32
012
0 1 0
−12
0√32 ⎠
⎟⎞
es claro que las columnas son ortogonales entre si y tienen módulo 1, por lo que 𝑓 es una transformación ortogonal. Además se tiene que |𝐴| = 1, y la matriz 𝐴 tiene el autovalor 1 (simple) y dos autovalores complejos por lo que se sigue que 𝑓 es un giro de 30º en sentido horario alrededor del eje 𝑂𝑌, que viene dado por el autovector asociado al autovalor 1.
Por otra parte, es claro que la matriz de 𝑔 en la base 𝐵𝑐 es:
𝐵 = �1 0 00 −1 00 0 1
�
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Las columnas son ortogonales entre sí y tienen módulo 1, por lo que 𝑔 es una transformación ortogonal. Además, en este caso es claro que los autovalores son 1 (doble) y −1 (simple) por lo que 𝑔 es una simetría respecto del plano 𝑦 = 0 (que es el plano que pasa por el origen y tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor −1).
b) Si denotamos por 𝐶 a la matriz de ℎ en 𝐵𝑐 tenemos que:
𝐶 = 𝐴𝐵 =
⎝
⎜⎛√32
012
0 1 0
−12
0√32 ⎠
⎟⎞�
1 0 00 −1 00 0 1
� =
⎝
⎜⎛√32
012
0 −1 0
−12
0√32 ⎠
⎟⎞
tenemos que |𝐶| = −1, y los autovalores de 𝐶 son −1 (simple) y dos autovalores complejos, por lo que se trata de una simetría respecto del plano 𝑦 = 0 seguida de un giro de 30º en sentido horario alrededor del eje 𝑂𝑌 (se trata del último caso descrito en el subapartado 8.4.3)
- Ejemplo (prueba de clase 2004-2005):
Sea la matriz 𝑀 =
⎝
⎜⎛𝑎 −2
3− 2
3
𝑏 13
− 23
− 23
− 23
13 ⎠
⎟⎞
, se pide:
a) Hallar los valores reales de 𝑎 y 𝑏 para que la matriz 𝑀 sea la matriz de una transformación ortogonal 𝐹.
b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, clasificar dicha transformación ortogonal.
a) Imponemos la condición de que las columnas sean ortogonales y obtenemos el sistema de ecuaciones:
−23𝑎 +
13𝑏 = −
49
−23𝑎 −
23𝑏 =
29
Resolviendo el sistema se obtiene 𝑏 = −23 y 𝑎 = 1
3. Es sencillo comprobar que para dichos
valores de 𝑎 y 𝑏 todas las columnas tienen módulo 1.
b) Tenemos que |𝑀| = −1, y los autovalores de 𝑀 son 1 (doble) y −1 (simple) por lo que 𝐹 es una simetría respecto del plano que tiene como vector normal el autovector asociado a −1 y que pasa por el origen. Calculamos dicho autovector:
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(𝑀 + 𝐼)�𝑥𝑦𝑧� =
⎝
⎜⎜⎛
43
−23
−23
−23
43
−23
−23
−23
43 ⎠
⎟⎟⎞�𝑥𝑦𝑧� = �
000�
Operando resulta 𝑁1,−1 = 𝐿{(1,1,1)} por lo que 𝐹 es una simetría respecto del plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0.
PARTE B: TRANSFORMACIONES AFINES
8.5- Definición de aplicación afín.
Sea 𝐴 un espacio afín asociado al espacio vectorial 𝐸. Diremos que una aplicación 𝑓:𝐴 → 𝐴 es una aplicación afín si ∀𝑥 ∈ 𝐴 se verifica que:
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) + 𝐹(𝑝𝑥���)
siendo 𝑝 un punto cualquiera de 𝐴, 𝑝𝑥��� el vector de 𝐸 que empieza en 𝑝 y acaba en 𝑥 y 𝐹:𝐸 → 𝐸 un endomorfismo de espacios vectoriales. Diremos que dicho endomorfismo 𝐹 está asociado a la aplicación afín 𝑓.
- Ejemplo: sea 𝐴 = ℝ3. Ver que la traslación de vector �̅� = (𝑣𝑥 ,𝑣𝑦,𝑣𝑧) es una aplicación afín.
Sea 𝑥 un punto de ℝ3, y sea 𝑂 en origen de coordenadas de ℝ3. Tenemos que:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + �̅� = 𝑂 + 𝑂𝑋���� + �̅� = 𝑂𝑋���� + �̅� = 𝑓(𝑂) + 𝑂𝑋����
por tanto si denominamos por 𝐹 al endomorfismo identidad se tiene que:
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑂) + 𝐹(𝑂𝑋����)
lo que implica que una dicha traslación es una aplicación afín que tiene asociado el endomorfismo identidad.
8.6- Definición de transformación afín.
Diremos que una aplicación 𝑓:𝐴 → 𝐴 es una transformación afín si 𝑓 es una aplicación afín cuyo endomorfismo asociado 𝐹 es biyectivo.
8.7- Definición de punto doble o invariante.
Sea 𝑓:𝐴 → 𝐴 una transformación afín. Diremos que un punto 𝑥 ∈ 𝐴 es un punto invariante o punto doble si se verifica que 𝑓(𝑥) = 𝑥.
8.8- Propiedades de las transformaciones afines.
i) 𝑓 es una transformación afín ↔ 𝑓−1 es una transformación afín.
ii) La composición de transformaciones afines es una transformación afín.
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iii) Una transformación afín tiene cero, uno o infinitos puntos dobles.
8.9- Representación matricial de una transformación afín.
Sea 𝑅 = {𝑂; 𝑒1� , 𝑒2� , … , 𝑒𝑛���} una referencia afín de un espacio afín 𝐴 de dimensión 𝑛. Sean (𝑥1,𝑥2, … , 𝑥𝑛) las coordenadas de un punto 𝑥 ∈ 𝐴 en 𝑅 y sean (𝑦1,𝑦2, … ,𝑦𝑛) las coordenadas de 𝑓(𝑥) en 𝑅. Como se verifica que:
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) + 𝐹(𝑝𝑥���)
para cualquier 𝑝 ∈ 𝐴 podemos tomar 𝑝 como el origen de la referencia 𝑅 (vamos, 𝑝 = 𝑂) y tenemos:
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑂) + 𝐹(𝑜𝑥���) = 𝑓(𝑂) + 𝐹(�̅�)
Si denotamos por (𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑛) a las coordenadas de 𝑓(𝑂) en la referencia 𝑅 y por
�
𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1𝑎12 𝑎22 … …… … … …𝑎1𝑛 … … 𝑎𝑛𝑛
� a la matriz del endomorfismo 𝐹 en la base 𝐵 = {𝑒1� , 𝑒2� , … , 𝑒𝑛���}
podemos expresar la ecuación anterior en forma matricial obteniendo:
�
𝑦1𝑦2…𝑦𝑛
� = �
𝑏1𝑏2…𝑏𝑛
�+ �
𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1𝑎12 𝑎22 … …… … … …𝑎1𝑛 … … 𝑎𝑛𝑛
��
𝑥1𝑥2…𝑥𝑛
�
que se puede expresar de forma más cómoda de la forma:
⎝
⎜⎛
1𝑦1𝑦2…𝑦𝑛⎠
⎟⎞
=
⎝
⎜⎛
1 0 0 … 0𝑏1 𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1𝑏2 𝑎12 𝑎22 … …… … … … …𝑏𝑛 𝑎1𝑛 … … 𝑎𝑛𝑛⎠
⎟⎞
⎝
⎜⎛
1𝑥1𝑥2…𝑥𝑛⎠
⎟⎞
Por lo que diremos que la matriz 𝐶 =
⎝
⎜⎛
1 0 0 … 0𝑏1 𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1𝑏2 𝑎12 𝑎22 … …… … … … …𝑏𝑛 𝑎1𝑛 … … 𝑎𝑛𝑛⎠
⎟⎞
es la matriz de la
transformación afín 𝑓 en la referencia 𝑅.
- Ejemplo: sea 𝐴 = ℝ3. Calcular la matriz de una traslación de vector �̅� = (𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧) en la referencia 𝑅 = {(0,0,0); (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
Tenemos 𝑓(0) = (𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧), y hemos visto que el endomorfismo asociado 𝐹 es la identidad por lo que la matriz pedida es:
�
1 0 0 0𝑣𝑥 1 0 0𝑣𝑦 0 1 0𝑣𝑧 0 0 1
�
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- Ejemplo: sea 𝐴 = ℝ3. Calcular la matriz de una homotecia de centro 𝑃 = (𝑝𝑥 ,𝑝𝑦,𝑝𝑧) y razón 𝑘 en la referencia 𝑅 = {(0,0,0); (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, sabiendo que la imagen de un punto 𝑥 ∈ ℝ3 por una homotecia 𝑓 de razón 𝑘 y centro 𝑃 viene dada por:
𝑓(𝑥) = 𝑃 + 𝑘𝑃𝑋����
Tenemos que 𝑓(𝑥) = 𝑃 + 𝑘𝑃𝑋���� = 𝑃 + 𝐹(𝑃𝑋����) por lo que el endomorfismo asociado a 𝑓 tiene por matriz 𝑘𝐼. Nos queda calcular la imagen del origen:
𝑓(0,0,0) = �𝑝𝑥 ,𝑝𝑦,𝑝𝑧� + 𝑘�−𝑝𝑥 ,−𝑝𝑦,−𝑝𝑧� = (1 − 𝑘)�𝑝𝑥 ,𝑝𝑦,𝑝𝑧�
por tanto la matriz buscada es:
�
1 0 0 0(1 − 𝑘)𝑝𝑥 𝑘 0 0(1 − 𝑘)𝑝𝑦 0 𝑘 0(1 − 𝑘)𝑝𝑧 0 0 𝑘
�
8.10- Movimientos.
Diremos que una transformación afín 𝑓:𝐴 → 𝐴 es un movimiento si su endomorfismo asociado 𝐹 es una transformación ortogonal.
- Ejemplo: una traslación de vector �̅� = (𝑣𝑥 ,𝑣𝑦,𝑣𝑧) en ℝ3 es un movimiento, ya que su endomorfismo asociado es la identidad, que es una transformación ortogonal.
- Ejemplo: una homotecia de razón 𝑘 sólo será un movimiento si 𝑘 = ±1 , ya que si 𝑘 ≠ ±1 su endomorfismo asociado no es una transformación ortogonal.
8.11- Puntos dobles de un movimiento.
Un movimiento puede tener cero, uno o infinitos puntos dobles o invariantes.
8.12- Clasificación de los movimientos.
Igual que con las tranformaciones ortogonales, es muy importante tener clara la clasificación de movimientos en el espacio afín. La clasificación de movimientos en el plano afín es menos importante, pero ayuda a entender las distintas posiblidades del caso tridimensional.
8.12.1- Movimientos en el plano afín.
Sea 𝑅 = {𝑂; 𝑒1� , 𝑒2� } una referencia ortonormal. La matriz de un movimiento en el plano afín respecto de dicha referencia es:
𝑀 = �1 0 0𝑏1 𝑎11 𝑎12𝑏2 𝑎21 𝑎22
�
Siendo 𝐴 = �𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22� su transformación ortogonal asociada. Distinguimos varios casos en
función de 𝐴.
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i) Si |𝐴| = 1 entonces tenemos 𝐴 = �cos𝛼 − sin𝛼sin𝛼 cos𝛼 � y tenemos tres posibilidades:
- Si 𝛼 = 0 resulta:
𝑀 = �1 0 0𝑏1 1 0𝑏2 0 1
�
el movimiento es una traslación de vector (𝑏1,𝑏2) (coordenadas en 𝑅) y no tiene puntos invariantes.
- Si 𝛼 = 𝜋 resulta:
𝑀 = �1 0 0𝑏1 −1 0𝑏2 0 −1
�
el movimiento es una simetría respecto de un punto 𝑃 = (𝑥,𝑦) invariante.
- Si 𝛼 ≠ 0 y 𝛼 ≠ 𝜋 resulta:
�1 0 0𝑏1 cos𝛼 −sin𝛼𝑏2 sin𝛼 cos𝛼
�
el movimiento es un giro de ángulo 𝛼 en sentido antihorario alrededor de un punto 𝑃 = (𝑥,𝑦) invariante.
ii) Si |𝐴| = −1 entonces tenemos 𝐴 = �cos𝛼 sin𝛼sin𝛼 −cos𝛼� y la forma canónica de Jordan de
dicha matriz es 𝐽 = �1 00 −1�. Distinguimos dos casos:
- Si el movimiento no tiene puntos invariantes se trata de una simetría respecto de una recta cuyo vector director es el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1 seguida de una traslación en la dirección del el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1.
- Si el movimiento tiene infinitos puntos invariantes se trata de una simetría respecto de una recta cuyo vector director es el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1.
8.12.1- Movimientos en el espacio afín.
Sea 𝑅 = {𝑂; 𝑒1� , 𝑒2� , 𝑒3� } una referencia ortonormal. La matriz de un movimiento en el espacio afín respecto de dicha referencia es:
𝑀 = �
1 0 0 0𝑏1 𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑏2 𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑏3 𝑎31 𝑎32 𝑎33
�
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Siendo 𝐴 = �𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
� su transformación ortogonal asociada. Distinguimos varios
casos en función de 𝐴 y de su forma canónica de Jordan 𝐽.
i) Si |𝐴| = 1 tenemos las siguientes posibilidades:
- Si 𝐽 = �1 0 00 1 00 0 1
� el movimiento es una traslación de vector (𝑏1, 𝑏2,𝑏3)
(coordenadas en 𝑅) y no tiene puntos invariantes.
- Si 𝐽 = �1 0 00 −1 00 0 −1
� y 𝑀 tiene puntos invariantes el movimiento es una
simetría respecto una recta que tiene como vector director el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1.
- Si 𝐽 = �1 0 00 −1 00 0 −1
� y 𝑀 no tiene puntos invariantes el movimiento es una
simetría respecto una recta que tiene como vector director el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1 seguida de una traslación en la dirección de dicho vector.
- Si 𝐽 = �1 0 00 cos𝛼 − sin𝛼0 sin𝛼 cos𝛼
� y 𝑀 tiene puntos invariantes el movimiento es
un giro alrededor de una recta que tiene como vector director el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1.
- Si 𝐽 = �1 0 00 cos𝛼 − sin𝛼0 sin𝛼 cos𝛼
� y 𝑀 no tiene puntos invariantes el movimiento
es un giro alrededor de una recta que tiene como vector director el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1 seguida de una traslación en la dirección de dicho vector.
i) Si |𝐴| = −1 tenemos las siguientes posibilidades:
- Si 𝐽 = �−1 0 00 −1 00 0 −1
� y 𝑀 tiene un punto invariante el movimiento es una
simetría respecto a dicho punto.
- Si 𝐽 = �−1 0 00 −1 00 0 −1
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento es una
simetría respecto a un punto seguida de una traslación.
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- Si 𝐽 = �−1 0 00 1 00 0 1
� y 𝑀 tiene puntos invariantes el movimiento es una
simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1.
- Si 𝐽 = �−1 0 00 1 00 0 1
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento es una
simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de una traslación en una dirección paralela a dicho plano.
- Si 𝐽 = �−1 0 00 cos𝛼 − sin𝛼0 sin𝛼 cos𝛼
� y 𝑀 tiene un punto invariante el movimiento
es una simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de un giro alrededor de una recta que tiene como vector director dicho autovector.
- Si 𝐽 = �−1 0 00 cos𝛼 − sin𝛼0 sin𝛼 cos𝛼
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento
es una simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de un giro alrededor de una recta que tiene como vector director dicho autovector seguida de una traslación en una dirección paralela a dicho plano.
- Ejemplo: una transformación afín en 𝔸3 transforma los puntos 𝑃1 = (0,0,0), 𝑃2 = (1,1,1),
𝑃3 = (1,0,1), 𝑃4 = (0,1,1) en los puntos �− 23
,−23
, 43� , �1
3, 13
, 73� , �− 1
3, 23
, 53� , (2
3,−1
3, 53)
respectivamente.
a) Calcular la matriz de dicha transformación.
b) ¿Es 𝑓 un movimiento? en caso afirmativo clasificar dicho movimiento.
Sea 𝐹 el endomorfismo asociado a 𝑓. Tenemos que:
𝐹(1,1,1) = 𝑓(1,1,1)− 𝑓(0,0,0) = (1,1,1)
𝐹(1,0,1) = 𝑓(1,0,1) − 𝑓(0,0,0) = (13
,43
,13
)
𝐹(0,1,1) = 𝑓(0,1,1) − 𝑓(0,0,0) = (43
,13
,13
)
de donde se sigue que:
𝐹(1,0,0) = 𝐹(1,1,1)− 𝐹(0,1,1) = (−13
,23
,23
)
𝐹(0,1,0) = 𝐹(1,1,1)− 𝐹(1,0,1) = (23
,−13
,23
)
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𝐹(0,0,1) = 𝐹(1,1,1)− 𝐹(1,0,0) − 𝐹(0,1,0) = (23
,23
,−13
)
Por tanto la matriz de 𝑓 en la referencia 𝑅 = ((0,0,0); (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) es:
𝑀 =
⎝
⎜⎜⎜⎛
1 0 0 0
𝑏1−13
23
23
𝑏223
−13
23
𝑏323
23
−13 ⎠
⎟⎟⎟⎞
y como 𝑓(0,0,0) = �− 23
,−23
, 43� la matriz anterior queda:
𝑀 =
⎝
⎜⎜⎜⎛
1 0 0 0
−23
−13
23
23
−23
23
−13
23
43
23
23
−13 ⎠
⎟⎟⎟⎞
b) 𝑓 es un movimiento porque su endomorfismo asociado 𝐹 es una transformación ortogonal
ya que su matriz 𝐵 =
⎝
⎜⎛−1
323
23
23
− 13
23
23
23
− 13⎠
⎟⎞
en la base canónica de ℝ3 tiene columnas
ortonormales respecto del producto escalar usual.
Además, tenemos que la traza de 𝐵 vale −1, su determinante vale 1 y como la suma de todas las columnas de 𝐵 vale 1 se sigue que los autovalores de 𝐵 son 𝜆 = 1 (simple) y 𝜆 = −1 (doble). Teniendo en cuenta la clasificación de las tranformaciones ortogonales, se sigue que 𝐵 es una simetría respecto de la recta que pasa por el origen y que tiene como vector director el autovector asociado a 𝜆 = 1. Calculamos dicho autovector:
(𝐵 − 𝐼)�𝑥𝑦𝑧� =
⎝
⎜⎜⎛−
43
23
23
23
−43
23
23
23
−43⎠
⎟⎟⎞�𝑥𝑦𝑧� = �
000�
operando se obtienen las ecuaciones 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 de donde se sigue que 𝑁1,1 = 𝐿{(1,1,1)}.
Teniendo en cuenta la clasificación de los movimientos en 𝔸3 se sigue que hay dos posibilidades:
Pedro_CC 14
- Que 𝑓 no tenga puntos invariantes, en cuyo caso es una simetría respecto de una recta que tiene como vector director (1,1,1) (que NO tiene que pasar necesariamente por el origen) seguida de una traslación en la dirección de dicho vector.
- Que 𝑓 tenga puntos invariantes, en cuyo caso es una simetría respecto de una recta que tiene como vector director (1,1,1) (que tampoco tiene que pasar necesariamente por el origen), y en este caso los puntos invariantes son los de dicha recta.
Por tanto, calculamos los puntos invariantes:
�
1𝑥𝑦𝑧
� =
⎝
⎜⎜⎜⎛
1 0 0 0
−23
−13
23
23
−23
23
−13
23
43
23
23
−13 ⎠
⎟⎟⎟⎞
�
1𝑥𝑦𝑧
�
operando resulta que existen puntos invariantes y que son de la forma (0,0,1) + 𝜆(1,1,1). Notad que el conjunto de puntos invariantes, si existe, tiene que ser una recta de vector director (1,1,1) por lo que si obtenemos que los puntos invariantes no son de esta forma significa que hemos cometido un error.
Por tanto 𝑓 es una simetría respecto de la recta que tiene por ecuación 𝑟 ≡ (0,0,1) +𝜆(1,1,1).
- Ejemplo: Sea 𝑓 una transformación afín en 𝔸3 cuyas ecuaciones en la referencia canónica de 𝔸3 son:
𝑥′ = 1 −13𝑥 +
23𝑦 +
23𝑧
𝑦′ =23𝑥 −
13𝑦 +
23𝑧
𝑧′ = −1 +23𝑥 +
23𝑦 −
13𝑧
a) Estudiar si 𝑓 es un movimiento. En caso afirmativo clasificarlo. b) Se dice un plano es doble si cada uno de sus puntos se transforma mediante 𝑓 en otro punto
del mismo plano. Calcular un plano doble que pase por el punto (1, 12
, 0).
c) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta transformada por 𝑓 de la recta de ecuación 𝑥1
= 𝑦−22
= 𝑧+13
.
a) De las ecuaciones del enunciado se sigue que la matriz de 𝑓 en la referencia canónica de 𝔸3 es:
Pedro_CC 15
𝑀 =
⎝
⎜⎜⎜⎛
1 0 0 0
1−13
23
23
023
−13
23
−123
23
−13 ⎠
⎟⎟⎟⎞
por tanto su endomorfismo asociado 𝐹 tiene por matriz 𝐵 =
⎝
⎜⎛−1
323
23
23
− 13
23
23
23
− 13⎠
⎟⎞
. Esto implica
que 𝑓 es un movimiento puesto que su endomorfismo asociado 𝐹 es una transformación ortogonal porque las columnas de 𝐵 son ortogonales respecto del producto escalar usual.
El endomorfismo 𝐹 es una simetría respecto de la recta que pasa por el origen y tiene como vector director (1,1,1) (es el mismo que en el ejemplo anterior). Para clasificar el movimiento estudiamos si tiene puntos dobles:
�
1𝑥𝑦𝑧
� =
⎝
⎜⎜⎜⎛
1 0 0 0
1−13
23
23
023
−13
23
−123
23
−13 ⎠
⎟⎟⎟⎞
�
1𝑥𝑦𝑧
�
resolviendo el sistema obtenemos que los puntos invariantes son los que pertenecen a la recta
𝑟 ≡ (2, 32,1) + 𝜆(1,1,1) por lo que 𝑓 es una simetría respecto de dicha recta.
b) El punto (1, 12
, 0) es un punto invariante. Como 𝑓 es una simetría respecto de 𝑟 ≡ (2, 32,1)
+ 𝜆(1,1,1) el plano doble buscado será el que pasa por (1, 12
, 0) y tiene como vector normal
(1,1,1), que es el vector director de 𝑟. Por tanto, el plano pedido es:
𝜋 ≡ 1(𝑥 − 1) + 1 �𝑦 −12� + 1(𝑧 − 0) = 0
Notad que si restringimos la aplicación lineal 𝑓 a dicho plano obtenemos una simetría respecto
del punto (1, 12
, 0).
c) La imagen de una recta por la aplicación 𝑓 es otra recta (en general, la imagen de una recta por un movimiento es otra recta porque los movimientos conservan distancias y ángulos) por lo que basta con calcular la imagen de dos puntos de la recta del enunciado y parametrizar la recta que pasa por dichos puntos.
En concreto, dos puntos de la recta del enunciado son (0,2,−1) y (1,4,2). Sus imágenes son:
Pedro_CC 16
�
15/3−4/32/3
� =
⎝
⎜⎜⎜⎛
1 0 0 0
1−13
23
23
023
−13
23
−123
23
−13 ⎠
⎟⎟⎟⎞
�
102−1
�
�
114/32/35/3
� =
⎝
⎜⎜⎜⎛
1 0 0 0
1−13
23
23
023
−13
23
−123
23
−13 ⎠
⎟⎟⎟⎞
�
1142
�
por tanto un vector director de la recta imagen será �143
, 23
, 53� − �5
3, −43
, 23� = (3,2,1) y sus
ecuaciones paramétricas son:
𝑥 =143
+ 3𝜆
𝑦 =23
+ 2𝜆
𝑧 =53
+ 1𝜆
-Resumen capítulo 8:
Lo más importante de este capítulo es ser capaz de clasificar transformaciones ortogonales y movimientos. Esto incluye ser capaz de clasificar la composición de dos movimientos (que tiene que ser otro movimiento) o de dos tranformaciones ortogonales (que tiene que ser otra transformación ortogonal).
En concreto, es muy probable que en el examen final haya un ejercicio de este tema cuyo valor oscile entre los 2 y 3 puntos, así que este tema es importante. Para ir bien preparados al examen final podéis intentar hacer los ejercicios de examen que he puesto a continuación y después los ejercicios de este tema de los exámenes finales de los últimos dos o tres años. Es más fácil coger soltura con esto que con el tema de Jordan, por ejemplo.
- Ejemplo (final junio 2008, 2 puntos ):
Sea 𝑓1:ℝ3 → ℝ3 una transformación afín y sea 𝐹1:ℝ3 → ℝ3 su transformación lineal asociada. Se sabe que:
i) 𝑓1 deja invariantes los puntos de la recta cuyas ecuaciones implícitas son:
{𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1}
Pedro_CC 17
ii) 𝐹1(0,1,1) = (−43
, 13
, 13), 𝐹1(0,0,1) = (= (−2
3, 23
,−13)
Sea 𝑓2:ℝ3 → ℝ3 otra transformación afín y sea 𝐹2:ℝ3 → ℝ3 su transformación lineal asociada. Se sabe que:
iii) 𝑓2(0,0,0) = (0,−2,0)
iv) 𝐹2 es el endomorfismo identidad.
Se pide:
a) Calcular las matrices de 𝑓1 y 𝑓2 en la referencia canónica de ℝ3. ¿Son 𝑓1 o 𝑓2 movimientos? en caso afirmativo clasificarlos y dar los elementos geométricos que los determinan.
b) Definimos 𝑔(𝑥) = −𝑓2(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ3. ¿Es 𝑔(𝑥) un movimiento? en caso afirmativo clasificarlo.
c) Clasificar el movimiento 𝑓2 ∘ 𝑓1 y dar los elementos geométricos que lo determinan.
a) Empezaremos por lo más fácil. Como 𝐹2 es el endomorfismo identidad su matriz asociada será la matriz identidad. Además tenemos la imagen del origen de la referencia en la que se pide calcular la matriz por lo que la matriz de 𝑓2en la referencia canónica es:
𝐵 = �
1 0 0 00 1 0 0−2 0 1 00 0 0 1
�
Es claro que 𝐹2 es una transformación ortogonal, por lo que 𝑓2 es un movimiento. Además, es fácil comprobar que 𝑓2 no tiene puntos invariantes, por lo que teniendo en cuenta la clasificación de movimientos en el espacio tridimensional se sigue que 𝑓2 es una traslación de vector (0,−2,0).
Por otra parte, tenemos que:
𝐹1(0,0,1) = (−23
,23
,−13
)
𝐹1(0,1,0) = 𝐹1(0,1,1) − 𝐹1(0,0,1) = �−43
,13
,13� − �−
23
,23
,−13� = (−
23
,−13
,23
)
Necesitamos utilizar la condición i) para obtener el valor de 𝐹1(1,0,0) y de 𝑓1(0,0,0). Tenemos:
𝐹1(1,0,0) = 𝑓1(1,0,0) − 𝑓1(0,0,0) = (1,0,0) − 𝑓1(0,0,0)
(pues (1,0,0) es un punto invariante). No parece que podamos encontrar otra ecuación en la que aparezca 𝐹1(1,0,0) con la información que tenemos, pero resulta que (0,1,1) es un punto invariante y el enunciado nos da 𝐹1(0,1,1) por lo que planteamos la ecuación anterior para el punto (0,1,1) y obtenemos:
�−43
,13
,13� = 𝐹1(0,1,1) = 𝑓1(0,1,1)− 𝑓1(0,0,0) = (0,1,1)− 𝑓1(0,0,0)
Pedro_CC 18
de aquí se sigue que 𝑓1(0,0,0) = �43
, 23
, 23� y por tanto:
𝐹1(1,0,0) = 𝑓1(1,0,0)− 𝑓1(0,0,0) = (−13
,−23
,−23
)
Ya tenemos que la matriz de 𝑓1 pedida es:
𝐴 =
⎝
⎜⎜⎜⎛
1 0 0 043
−13
−23
−23
23
−23
−13
23
23
−23
23
−13⎠
⎟⎟⎟⎞
Teniendo esto es fácil comprobar que las columnas de la matriz de 𝐹1 en la base canónica de ℝ3 tienen módulo 1 y son ortogonales entre sí respecto al producto escalar usual por lo que 𝐹1 es una transformación ortogonal y 𝑓1 es un movimiento.
Finalmente, como la matriz
⎝
⎜⎛−13
−23
− 23
− 23
− 13
23
− 23
23
− 13⎠
⎟⎞
tiene autovalores 𝜆 = 1 (simple) y 𝜆 = −1
(doble) se sigue que 𝐹1 es una simetría respecto de la recta cuyo vector director es el autovector asociado a 𝜆 = 1 (teniendo en cuenta el enunciado es razonable que 𝐹1 fuese una simetría respecto de la recta que pasa por el origen y tiene como vector director el vector director de la recta de puntos invariantes de 𝑓1).
Finalmente, teniendo en cuenta la clasificación de los movimientos en el espacio afín y que 𝑓1 tiene puntos invariantes se sigue que 𝑓1 es una simetría respecto de la recta de ecuaciones implícitas {𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1}.
b) Como tenemos la matriz de 𝑓2 en la referencia canónica y nos dicen que 𝑔(𝑥) = −𝑓2(𝑥) es tentador multiplicar la matriz de 𝑓2 por −1 y decir que el resultado obtenido es la matriz de 𝑔 en la referencia canónica. Sin embargo, dicha matriz tendría un −1 en el elemento de la primera fila y de la primera columna lo cual es “raro”, ya que todas las matrices de aplicaciones afines que hemos visto tienen un 1 aquí en vez de un −1.
Vamos a razonarlo un poco: sea (𝑥,𝑦, 𝑧) un punto del espacio afín. Como 𝑓2 es una traslación de vector (0,−2,0) su imagen por 𝑓2 será:
𝑓2(𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝑥,𝑦 − 2, 𝑧)
y como 𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = −𝑓2(𝑥,𝑦, 𝑧) por el enunciado se sigue que:
𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = −(𝑥,𝑦 + 2, 𝑧) = (−𝑥,−𝑦 + 2,−𝑧)
que podemos poner en la forma:
Pedro_CC 19
𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = �−1 0 00 −1 00 0 −1
��𝑥𝑦𝑧� + �
020�
y que a su vez podemos poner en la forma:
𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = �
1 0 0 00 −1 0 02 0 −1 00 0 0 −1
��
1𝑥𝑦𝑧
�
la última expresión nos da la matriz de 𝑔 en la base canónica. Teniendo en cuenta esto se sigue que su endomorfismo asociado es una simetría respecto del origen y que 𝑔 es una simetría respecto del origen seguida de una traslación de vector (0,2,0).
- Observación: al final la matriz de 𝑔 es “casi” la matriz de 𝑓2 multiplicada por −1. Si uno duda en el examen y en sucio multiplica la matriz de 𝑓2 por −1, de forma intuitiva ve que 𝑔 es una simetría respecto del origen seguida de una traslación de vector (0,2,0), comprueba que esto es cierto calculando las imágenes de un par de puntos y responde algo así como:
“Como 𝑔(𝑥) = −𝑓2(𝑥) por el enunciado y 𝑓2(𝑥) es una traslación de vector (0,−2,0) se deduce inmediatamente que 𝑔(𝑥) es una simetría respecto del origen seguida de una traslación de vector (0,2,0)…” seguido de un poco de “rollo” tendría casi toda la puntuación de este apartado (tendrá más o menos dependiendo de lo bien que esté el “rollo” para justificar que efectivamente 𝑔(𝑥) es una simetría respecto del origen seguida de una traslación de vector (0,2,0)).
Sin embargo, si en el examen en limpio coges la matriz de 𝑓2, la multiplicas por −1 para obtener la “matriz” de 𝑔 y utilizas esto en tus razonamientos no obtendrás nada o casi nada de puntuación porque está mal multiplicar la matriz de 𝑓2 por −1 para obtener la de 𝑔 y te estás basando en algo que es incorrecto. Esto muestra que hay que saber jugar con lo que uno pone en un examen para rascar la mayor cantidad de décimas posibles en las preguntas que no se tienen muy claras.
c) Teniendo en cuenta que 𝑓1 es una simetría respecto de la recta que tiene por ecuaciones implícitas {𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1} y que 𝑓2 es una traslación de vector (0,−2,0) se sigue inmediatamente que 𝑓2 ∘ 𝑓1 es una simetría respecto de la recta que tiene por ecuaciones implícitas {𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1} seguida de una traslación de vector (0,−2,0). Podemos expresar el movimiento como una simetría respecto de una recta seguida de una traslación de vector paralelo a dicha recta, pero el movimiento seguiría siendo el mismo.
- Observación: notad que hemos clasificado el movimiento 𝑓2 ∘ 𝑓1 dando los elementos geométricos que lo determinan sin hacer ni una sola cuenta. De hecho, es claro que no hay nada incorrecto en esta respuesta (alguien podría argumentar que al hacer la composición de ambos movimientos el resultado podría ser sólo una simetría respecto de una recta y no haber traslación, pero para que esto pasase el vector de la traslación tendría que ser ortogonal al vector director de la recta y esto no sucede en este caso). Sí que reconozco que esta respuesta podría perder unas décimas de la máxima puntuación y venir acompañada de un comentario de “explicar más” en la corrección aunque te permite ahorrarte bastantes cuentas (y tiempo)
Pedro_CC 20
en el examen. De todas formas, es aconsejable que miréis la solución del moodle de este apartado para que sepáis las cuentas que habría que hacer para clasificar la composición de varios movimientos (podrían pedirte explícitamente que calculases la nueva recta de simetría y el vector de la traslación, por ejemplo).
Veamos otro ejercicio:
- Ejemplo (examen final septiembre 2008, 2 puntos):
Sea 𝑓 un movimiento en ℝ3 con más de un punto fijo y sea 𝐹 su transformación ortogonal asociada. Sabemos que la matriz de 𝐹 en la base canónica de ℝ3 es simétrica y de determinante −1 y que 𝑓(0,2,1) = (−1,1,1).
a) Calcular la matriz de 𝑓 en la referencia canónica de ℝ3 y describir el movimiento geométricamente.
b) Hallar un triángulo cuyos vértices 𝐴,𝐵,𝐶 no sean todos puntos fijos de 𝑓 y tal que el triángulo formado por los puntos 𝑓(𝐴),𝑓(𝐵),𝑓(𝐶) sea el mismo que el formado por 𝐴,𝐵,𝐶. Hallar la ecuación general del plano que pasa por dichos puntos.
a) No tenemos mucha información ni de 𝑓 ni de 𝐹 así que habrá que ir utilizando en el orden adecuado los pocos datos que nos dan. Nos dicen que el determinante de la matriz de 𝐹 es −1 así que podemos utilizar la clasificación de transformaciones ortogonales en el espacio y reducir a tres las posibilidades. Sea 𝐽 la forma canónica de la matriz de 𝐹, las posibilidades son:
1) 𝐽 = �−1 0 00 −1 00 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto del origen.
2) 𝐽 = �1 0 00 1 00 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto a un plano.
3) 𝐽 = �−1 0 00 cos𝛼 − sin𝛼0 sin𝛼 cos𝛼
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto a un plano
seguida de un giro.
Por otra parte, nos dicen que la matriz de 𝐹 en la base canónica de ℝ3 es simétrica y sabemos (o por lo menos lo hemos visto en un tema anterior) que toda matriz simétrica es estrictamente diagonalizable y tiene autovalores reales. Esto implica que podemos descartar la posibilidad 3.
Nos quedan dos datos por usar: sabemos que 𝑓(0,2,1) = (−1,1,1) y que 𝑓 tiene más de un punto fijo y tenemos que descartar otra opción. El dato 𝑓(0,2,1) = (−1,1,1) nos puede servir para calcular la matriz de 𝑓 una vez que ya conocemos 𝐹, así que intentaremos usar el hecho de que 𝑓 tiene más de un punto fijo. Vamos a utilizar la clasificación de los movimientos en el espacio afín para ver las posibles matrices de 𝑓 en función de las de 𝐹:
Pedro_CC 21
1.1) Si 𝐽 = �−1 0 00 −1 00 0 −1
� y 𝑀 tiene un punto invariante el movimiento es
una simetría respecto a dicho punto.
1.2) Si 𝐽 = �−1 0 00 −1 00 0 −1
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento es
una simetría respecto a un punto seguida de una traslación.
2.1) Si 𝐽 = �−1 0 00 1 00 0 1
� y 𝑀 tiene puntos invariantes el movimiento es una
simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1.
2.2) Si 𝐽 = �−1 0 00 1 00 0 1
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento es una
simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de una traslación en una dirección paralela a dicho plano.
En los casos 1.1, 1.2 y 2.2 el movimiento tiene cero o un punto fijo, por lo que podemos descartarlos y deducir que 𝑓 es una simetría respecto de un plano que tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1.
Finalmente, nos queda sin usar el dato 𝑓(0,2,1) = (−1,1,1). Como ya sabemos que 𝑓 es una
simetría respecto de un plano se sigue que el punto 𝐴 = (0,2,1)+(−1,1,1)2
= (−12
, 32
, 1) tiene que
pertenecer al plano de simetría, y que el vector �̅� = (0,2,1)− (−1,1,1) = (1,1,0) es un vector normal a dicho plano. Por tanto, el plano de simetría será:
𝜋 ≡ 1 �𝑥 +12� + 1 �𝑦 −
32� + 0(𝑧 − 1) = 0
Para calcular la matriz pedida tomamos un punto 𝑃′ = (𝑥′,𝑦′, 𝑧′) arbitrario y calculamos su imagen por 𝑓. La recta que pasa por el punto 𝑃′ y tiene como vector director (1,1,0) tiene por ecuaciones paramétricas {𝑥 = 𝑥′ + 𝜆,𝑦 = 𝑦′ + 𝜆, 𝑧 = 𝑧′}. Sustituimos dichas ecuaciones con el plano invariante para calcular la intersección entre la recta y dicho plano y resulta:
1 �𝑥′ + 𝜆 +12� + 1 �𝑦′ + 𝜆 −
32� = 0
de donde obtenemos 𝜆 = 1−𝑥′−𝑦′
2 por lo que el punto de intersección es:
𝑃𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = (1 + 𝑥′ − 𝑦′
2,1 − 𝑥′ + 𝑦′
2, 𝑧′)
y como el punto simétrico verifica 𝑃𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑃𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜+𝑃′
2 podemos obtenerlo de esta
expresión y resulta:
Pedro_CC 22
𝑃𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 2𝑃𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 − 𝑃 = (1 − 𝑦′, 1 − 𝑥′, 𝑧′)
En conclusión, tenemos que 𝑓(𝑥′,𝑦′, 𝑧′) = (1 − 𝑦′, 1 − 𝑥′, 𝑧′) que en forma matricial podemos expresar como:
�
1𝑥′𝑦′𝑧′� = �
1 0 0 01 0 −1 01 −1 0 00 0 0 1
��
1𝑥′𝑦′𝑧′�
La matriz de la ecuación anterior es la matriz pedida. Parece que esta vez hemos tenido que hacer las cuentas, y después de un largo rato sólo hemos resuelto un apartado de un problema de dos puntos. Buf…
b) Afortunadamente este apartado parece fácil una vez hecho el anterior. Podemos tomar los puntos 𝐴 = (0,2,1),𝐵 = (−1,1,1) y 𝐶 un punto cualquiera del plano invariante que no esté
alineado con los otros dos. Tomamos 𝐶 = (−12
, 32
, 0) , por ejemplo.
Como 𝑓(𝐴) = 𝐵,𝑓(𝐵) = 𝐴,𝑓(𝐶) = 𝐶 se sigue que el triángulo de vértices 𝑓(𝐴),𝑓(𝐵),𝑓(𝐶) es el mismo que el triángulo de vértices 𝐴,𝐵,𝐶.
Un vector normal al plano vendrá dado por el producto vectorial 𝐴𝐵���� × 𝐴𝐶���� = (1,−1,0) por lo que el plano pedido es:
𝜋2 = 1(𝑥 + 1) − 1(𝑦 − 1) = 0
(podemos tomar cualquiera de los tres puntos para calcular la ecuación del plano)
