CAPÍTULO II: NUMEROS REALES

En esta unidad queremos responder las siguientes preguntas:

¿Qué tipos de números existen? ¿Qué problemas dan origen a su creación? ¿Que

representaciones se utilizan para operar con ellos?.. ¿Qué relaciones existen entre ellos?

COMENTARIO Para el estudio de este capitulo, y en general de todo el curso, es necesario

que el estudiante esté familiarizado con la noción de conjunto y con su manejo. Debe

poder definir que es un conjunto, que es un subconjunto, que es elemento de un conjunto y

cual es el significado de los símbolos , , , , ,, , , C A B, AxB, dando ejemplos.

Debe poder explicar y, sobre todo, aplicar que es definición por extensión y por

comprensión de un conjunto. Con este fin se sugiere trabajar el Complemento No

1.CONJUNTOS, al final de este documento

Tipos de números:

DISCUSIÓN DE CLASE No 1

Antes de leer en detalle los párrafos siguientes responda la siguiente pregunta y después de

hacerlo compare su respuesta con lo que se plantea a continuación.

¿Nombre y de ejemplos de los diferentes tipos de números que ha estudiado en cursos de

matemáticas anteriores?

Las matemáticas escolares están sustentadas sobre los siguientes tipos de números:

Los números naturales:: 1, 5, 10 15, 1000044445555678910 son algunos ejemplos. La

colección de estos tipos de números constituye al conjunto de los números naturales.

Utilizaremos la letra N para referirnos al conjunto de los números naturales.

DISCUSIÓN DE CLASE No 2: Antes de continuar, discuta las siguientes preguntas ¿Es el

cero un número natural? Algunos textos, incluyen el 0 entre los naturales. Otros no lo

consideran como tal ¿Quién tiene la razón?

Quienes no consideran el cero (0) como número natural utilizan la notación N 0 para

referirse al conjunto de los naturales N incluyendo el cero.

Los números naturales se suelen representar mediante la sucesión 1, 2, 3, 4, 5... (No

incluimos el cero).Los puntos sucesivos indican que la secuencia sigue con una

2

determinada ley de formación y que no existe un último elemento. Es decir, el conjunto de

los números naturales es infinito.

La ley de formación se descubre observando que el 2 se obtiene del 1 sumándole 1, el 3 se

obtiene del 2 sumándole 1 y que en general, si n es un número natural entonces n+1 es el

que se sigue en la sucesión. O sea que la sucesión anterior se podría escribir con mejor

precisión así: 1, 2, 3, ...,n, n+1,...

. Utilizando notación conjuntista se suele escribir que:

N = {1, 2, 3,...n, n+1,...}

DISCUSION DE CLASE No 3: La expresión anterior que define a al conjunto N de los

números naturales es una definición por extensión o por comprensión. Justifique su

respuesta.

Los números enteros están constituidos por los números naturales, el cero, y los enteros

negativos. Son por lo tanto ejemplos de números enteros 1, -40, -1000345, 0, 100.

Utilizaremos la letra Z para referirnos al conjunto de los números enteros. Utilizando

notación conjuntista se escribe que

Z = {...-(n+1), -n, ...-4, -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...n, (n+1)...}

Los puntos sucesivos indican que en la sucesión de los enteros no existe un primer

elemento, ni un último elemento.

El concepto de número entero amplia el concepto de numero natural y por lo tanto decimos

que los números naturales están incluidos o son un subconjunto de los números enteros.

Simbólicamente N Z.

.

Observe que el ordenamiento del conjunto de los números enteros es muy semejante con el

ordenamiento del conjunto de los números naturales.

Todo número entero tiene un siguiente, solo que en este caso el conjunto no tiene un primer

elemento, como en el caso de los naturales. Es decir, en los enteros todo número tiene un

elemento que lo antecede.

Los números racionales: Los siguientes son ejemplos de números racionales 2

3,-

4

1,

34268

255890,

7

5. Es decir, los números racionales son los números que se expresan como

fracciones entre enteros, siempre y cuando el denominador sea diferente de cero.

Utilizaremos la letra Q para referirnos al conjunto de los números racionales.

3

Simbólicamente:

Los números racionales se pueden expresar en la forma q

p, con p Z , q Z y q 0.

Consecuentemente:

Q = { q

p p Z, q Z, q 0}

Los números enteros se consideran números racionales, puesto que se pueden expresar

como una fracción entre enteros , por ejemplo 2 se puede escribir como 1

2,o como

2

4etc

-21 como 1

21 o como

4

84 etc.,y así sucesivamente. Se puede decir, por lo tanto, que los

números enteros están contenidos o son un subconjunto de los números racionales.

Simbólicamente, Z Q.

Puesto que los números naturales se consideran enteros (N Z), esta proposición se puede

combinar con la anterior para obtener la siguiente proposición N Z Q (Explique su

significado)

DISCUSIÓN DE CLASE No 4: ¿La definición que hemos dado del conjunto de los

números racionales es una definición por extensión o por comprensión?. Justifique su

respuesta.

Una observación importante, relacionada con la forma representar los números racionales,

como fracciones entre enteros, es que un número racional puede estar representado por

muchas de estas fracciones, en realidad infinitas. Así las fracciones 3

4,

6

8,

9

12

representan un mismo número racional, por eso dichas fracciones le imanan equivalentes.

Criterio de igualdad entre números racionales:

Dos fracciones racionales q

p y

s

r, (recuerde denominadores no nulos) representan al mis

número racional y por lo tanto se llaman equivalentes sii ps = qr.

En palabras, dos fracciones racionales representan el mismo número racional si los

productos cruzados numerador de la una por el denominador de la otra son iguales.

Convenio importante:.: Cuando dos fracciones racionales representan al mismo número

racional se escribe que q

p =

s

r,. Es decir, que como números racionales son iguales. Se

trata del mismo número racional.

4

Ejemplos: Las fracciones 5

3,

15

9 y

10

6 representan al mismo número racional (son

fracciones equivalente). Se puede escribir por lo tanto que: 5

3 =

15

9 =

10

6 (Verifique

utilizando el criterio de igualdad)

La siguiente proposición se deduce de inmediato del criterio de igualdad:

Teorema: Si q

p es una fracción racional arbitraria y k Z, k 0 entonces

q

p y

qk

pk

representan al mismo número racional. Se puede escribir por lo tanto que, q

p =

qk

pk

OBSERVACIÓN: Observe que el igual se refiere al número racional que representan y no a

las fracciones que, obviamente, son diferentes

En palabras:

Al multiplicar numerador y denominador de una fracción racional por un mismo

número entero no nulo, se obtiene una fracción equivalente y por lo tanto el numero

racional que representan es el mismo.

Demostración: Se trata de una demostración directa, inmediata, a partir del criterio de

igualdad.

Para demostrar su validez basta observar que al hacer los productos cruzados los resultados

a ambos lados de la igualdad son iguales. En efecto pqk =qpk

Números y numerales: Las consideraciones anteriores permiten observar que un número

racional puede ser representado por infinitas fracciones racionales.

Los números son conceptos abstractos que requieren de símbolos o numerales para

representarlos. De acuerdo con esta definición, pueden existir, y de hecho existen, múltiples

numerales, para referirse a un mismo número. Las fracciones, en este caso, son numerales.

Existen también, no solo para los números racionales, sino también para todos los reales,

los numerales decimales. Existen también los numerales binarios. Y muchos más.

Fracción mas simple que representa un número racional: Entre las infinitas fracciones

racionales que pueden representar un número racional aquella, cuyo denominador y

numerador no tienen factor común distinto de 1 (son primos relativos), se denomina la

fracción mas simple que representa al número.

Ejemplos: El número racional “dos tercios” puede ser representado por las fracciones 6

4,

24

16,

30

20. Ninguna es la mas simple. La mas simple es

3

2

5

Los números irracionales. Hay números que no se pueden expresar como una fracción

entre enteros y que, por lo tanto, no son racionales. A estos números se les llama

irracionales. El estudiante también los conoce. ,3,2 , e, son ejemplos de irracionales y,

como se verá mas adelante, no se pueden expresar como fracciones entre enteros.

No existe una ley de formación que permita describir los números irracionales como

hicimos con los naturales, los enteros y los racionales. No es fácil demostrar que un

determinado número es irracional.

La demostración de la irracionalidad de : , 2 , e, han sido logros muy importantes en la

historia de las matemáticas. El estudiante puede estar inclinado a pensar que los números

irracionales son dos o tres, pero los números irracionales abundan y, en realidad, hay

infinitos. Con solo decir que hay más números irracionales que números racionales

Utilizaremos la letra I para referirnos al conjunto de los números irracionales.

De acuerdo con lo anterior un número irracional no puede ser racional y recíprocamente.

Un irracional no puede ser un número racional. Esto implica que los dos conjuntos no

tienen elementos comunes, lo que simbólicamente se puede escribir como I Q =

Cuando se habla de números reales se piensa en números racionales o irracionales.

Utilizaremos la letra R para referirnos al conjunto de los números reales. Es decir, el

conjunto de los números reales está constituido por los números racionales y por los

números irracionales.

En el lenguaje conjuntista quiere decir que el conjunto R de los números reales es la unión

del conjunto Q de los números racionales y del conjunto I de los números irracionales.

Simbólicamente: I Q = R. También se puede escribir que N Z. Q R y que I R

Existen, también, los números complejos, los reales se consideran números complejos,

pero expresiones como i, 2+3i, i

i

53

2 son ejemplos de números complejos típicos.

Utilizaremos la letra C para referirnos al conjunto de los números complejos.

Consecuentemente se puede escribir que R C

En este curso abordaremos el tema de los números complejos más adelante; en el orden

como aparece en el campus virtual

6

La estructura conjuntista de los números se representa en el siguiente diagrama

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

DISCUSION DE CLASE No 5:

El estudiantes seguramente ha trabajado también con números como 23.45, 0.7, 24

3 que no

mencionamos en las expresiones anteriores. Los primeros se suelen llamar decimales y el

ultimo mixto. Son estos otros tipos de números diferentes a los que hemos mencionado

hasta el momento? Y los fraccionarios? ¿Son otros tipos de números?. Justifique su

respuesta.

Una nota complementaria

En las secciones anteriores nos hemos concentrado en recordar los distintos tipos de

números, los conjuntos numéricos que se conforman con ellos y las relaciones que se

pueden establecer entre dichos conjuntos.

Hemos concluido que los números reales constituyen un gran conjunto constituido por los

números racionales y los irracionales y a su vez los números racionales incluyen los

números enteros y estos a los números llamados naturales.

Sistema de numeración decimal

Hemos visto, especialmente en el caso de los números racionales, que un número puede ser

representado de muchas maneras. Que los números son conceptos abstractos que requieren

Q Números racionales

Z Números enteros

N N. naturales

I Números

irracionales

7

de símbolos o numerales para representarlos y que es importante distinguir entre el número

como concepto y el símbolo o símbolos que se utilizan para representarlos.

En el manejo operativo de los números reales, el sistema de numeración decimal es, sin

duda, el sistema más importante de representación numérica. El desarrollo del sistema de

numeración decimal corre paralelo con el desarrollo del concepto de número.

Desde esta perspectiva, el sistema de numeración decimal ayuda a caracterizar los distintos

tipos de números reales. En esta sección nos interesa, justamente, estudiar los distintos tipos

de numerales decimales que existen y su relación con el tipo de numero real que

representan.

El sistema de numeración decimal o de base diez se construye utilizando la técnica del

valor de posición que hace posible que la representación de cualquier número real pueda

hacerse con un numeral construido a partir de un conjunto de símbolos básicos, 0, 1, 2, 3, 4,

6, 8, 9 llamados dígitos.

De acuerdo con esta técnica el valor que representa un dígito varía según su posición en el

numeral, excepto el digito 0, que siempre representa el mismo valor (nulo). Así en el

numerales 2032.502, el dígito 2 aparece tres veces pero en cada posición el valor que

representa es diferente. No ocurre lo mismo con el 0

El número que representan los numerales decimales definen mediante expresiones poli

nómicas de potencias de 10 con exponentes enteros positivos y negativos.

Tipos de numerales decimales y los números que representan

Se pueden identificar los siguientes tipos de numerales decimales

Tipo 1

Numerales con un número finito de dígitos sin fracción decimal. Estos numerales

representan números enteros.

Ejemplos: 23548200, -345892, etc

El número natural que representan estos numerales esta definido por un polinomio en el que

aparecen los dígitos como coeficientes de potencia de 10 con exponente natural. Así, por

ejemplo, con relación al numeral 23648235 escribimos:

23648235 = 2x 107 + 3x 10

6+ 6x 10

5 + 4x 10

4 + 8x 10

3 + 2x 10

2 + 3x10 + 5

Esta igualdad indica que el numeral decimal escrito a la izquierda, representa al número

natural que se obtiene de realizar las operaciones indicadas en la expresión polinómica. Es

decir, el igual (=), en este caso, está siendo utilizado para definir el significado del numeral

escrito a la izquierda utilizando la expresión polinómica de la derecha.

8

NOTA: Es importante tener presente que el signo igual (=) no siempre se usa de la misma

manera en todas las situaciones matemáticas. Estaremos atentos a los diferentes usos del

signo igual. Aquí se usa para definir la forma como interpretamos a un numeral decimal

La expresión anterior también se puede interpretar de la siguiente forma:

23648235 = 20000000 + 3000000+ 500000 +40000+8000+200+30 +5

En este contexto tiene sentido hablar de unidades decimales enteras de orden 0, de orden 1,

de orden 2 , de orden 3 y en general de orden n. Cada unidad esta conformada por diez

unidades de orden inferior, excepto por la unidad de orden 0 o simple, a partir de la cual se

configuran todas las unidades. Así:

La unidad decimal entera de orden 0, es las unidad simple o unidad primitiva

asociada con el número 1

La unidad decimal entera de orden 1 está formada por diez (10)unidades enteras

simples

La unidad decimal entera de orden 2 esta formada por diez unidades decimales

enteras de orden 1. O sea es equivalente a cien( 102) unidades simples

La unidad decimal entera de orden 3 está formada por diez (10)unidades decimales

enteras de orden 2. O sea es equivalente a mil( 103 )unidades simples

En general,

La unidad decimal entera de orden n esta formada por diez (10) unidades decimales

enteras de orden n-1. O sea es equivalente a ( 10 n ) unidades simples

Las primeras unidades decimales enteras suelen tomar nombres especiales Así: la de orden

1 decenas, las de orden 2 centenas, la de orden 3 miles, la de orden 4 decenas de mil etc.

La estrategia básica que utiliza el sistema de numeración decimal, cuando describe números

enteros, es que todo entero se puede expresar como una combinación (un polinomio)de

unidades decimales enteras de diferente orden.

Así, en el ejemplo que nos ocupa, el número representado por el numeral 23648235 se

obtiene como una suma de dos unidades de orden 7, tres unidades de orden 6, seis unidades

de orden 5 y así sucesivamente hasta sumar cinco unidades simples.

Es decir, el numeral decimal de un entero es una prescripción que nos indica la manera de

combinar unidades decimales enteras de orden superior para obtener el número entero

representado. Los dígitos, según su posición indican el numero de unidades del orden

respectivo que ingresan en la suma.

Observe, de otro lado, que el mientras el primer 2 en el numeral representa dos unidades

decimales enteras de orden 7(veinte millones de unidades simples), el segundo 2 representa

9

dos unidades decimales enteras de orden 2(doscientas unidades enteras simples), lo que

ilustra el concepto valor de posición.

O sea el número de unidades enteras que representa el dígito depende de la posición que

ocupa en el numeral, excepto en el caso del numeral 0 que siempre representa lo mismo

(cero unidades enteras))

VAYA PENSANDO LA SIGUIENTE PREGUNTA: En los párrafos anteriores hemos

afirmado que todo numeral finito sin fracción decimal, representa un número entero. Será

que la proposición reciproca también es cierta. Es decir, ¿si es un numeral decimal que

representa un número entero, entonces el numeral tiene que ser necesariamente de la

forma anterior?

Tipo 2

Numerales con un número finito de dígitos pero con fracción decimal diferente de 0. Estos

numerales representan números racionales que no son enteros. (Aunque no todos los

racionales son representados por numerales decimales de este tipo)

Ejemplo: Si al decimal anterior le agregamos la fracción decimal 0. 753, tendremos el

siguiente numeral 23648235.753. Este numeral representa un número racional no entero(no

es difícil verificar que es racional. Ver más abajo) que está definido por el siguiente

polinomio de potencias de 10, pero, en este caso, aparecen potencias con exponente entero

negativo. Para expresar este hecho se escribe:

23648235.753 = 2x 107

+3x 106

+6x 105

+4x 104

+8x 103

+2x 102

+3x10+ 5+ 7x101

+5x102

+3x103

Recordemos los siguientes hechos

Por definición , 10 1 = 10

1 = 0.1, 10 2 =

210

1 = 0.01, 10 3 =

310

1 = .0.001 En general

10 n = n10

1= 0.0..(n-1 veces)..0.1

Teniendo presente los hechos anteriores , la expresión anterior también se podría interpretar

de la siguiente manera:

23648235.753 = 2x 107

+3x 106

+ 6x 105

+4x 104

+8x 103

+2x 102

+3x10+ 5 + 10

7+

210

5+

310

3

23648235 = 20000000 + 3000000+ 600000 +40000+8000+200+30 +5+0.7 +0.05+0.003

En este contexto, además de las unidades decimales enteras se puede hablar de las unidades

decimales fraccionarias de distinto orden.

Las unidades decimales fraccionarias también siguen una ley de formación. Cada unidad

decimal fraccionaria esta conformada por diez unidades decimales fraccionarias del orden

siguiente. Así:

10

Una (1) unidad decimal entera simple la conforman diez (10)unidades decimales

fraccionarias de orden 1.

Una unidad decimal fraccionaria de orden 1 la constituyen diez (10) unidades

decimales fraccionarias de orden 2.

Una unidad decimal fraccionaria de orden 2 la constituyen diez unidades decimales

fraccionarias de orden 3.

En general, una unidad decimal fraccionaria de orden n la constituyen diez unidades

decimales fraccionarias de orden n+1

De acuerdo con lo anterior la unidad decimal entera simple esta constituida por diez

unidades decimales fraccionarias de orden 1, por cien de orden 2, por mil de orden 3 etc.

Como en el caso de las enteras, las primeras unidades fraccionarias suelen tener nombres

especiales. Así, la unidad fraccionaria de orden 1 décima. La unidad decimal fraccionaria

de orden 2 centésima. La unidad decimal fraccionaria de orden tres milésima, etc.

La estrategia básica que utiliza el sistema de numeración decimal, cuando describe números

racionales que no son enteros, es que todo número de este tipo se puede expresar como una

combinación finita (polinomio)de unidades decimales enteras de diferente orden, que

expresa la parte entera del número, mas una combinación de unidades decimales

fraccionarias que expresa la parte fraccionaria del número.

Así, en el ejemplo que nos ocupa, el numero representado por el numeral 23648235.753 se

obtiene de sumar al polinomio que representa la parte entera del número siete unidades

decimales fraccionarias de orden 1, cinco unidades fraccionarias de orden 2 y tres unidades

decimales fraccionarias de orden 3.

Dado un numeral racional de este tipo, no es difícil encontrar una fracción racional que lo

represente.

Ejemplo: Sea el numeral decimal 3851. 7214. Es claro que si multiplicamos y dividimos

por 10 4 podemos escribir que

3851.7214 = 410

38517214.

Es decir, que la fracción racional de la derecha representa al mismo número racional que

representa el numeral decimal de la izquierda.

(Nota: Observe que la multiplicación por 10 4 es para desplazar el punto decimal cuatro

lugares y convertir el numeral inicial en el numeral de un número entero)

11

Se puede concluir también que el número representado por estos numerales es racional

argumentando que el polinomio con el cual se calcula el número es, en realidad, una suma

de números racionales.(suma de racionales es un racional)

UNA OBSERVACIÓN SOBRE NOTACIÓN: La forma como estamos escribiendo los

numerales decimales podría ser causa de confusión entre los alumnos. Si escribimos el

numeral correspondiente a cinco millones trescientos ochenta mil doscientos cincuenta y

dos con trescientas cincuenta milésimas, pondríamos la siguiente expresión: 5380250.350.

En la parte entera no haríamos ninguna indicación y esperaríamos que el lector sabe leer el

número, luego pondríamos un punto (.) para indicar que sigue la fracción decimal.

Esta forma de escribir el número es buena para digitarlo en un computador o en una

calculadora.

Sin embargo si éste numeral fuera parte de un extracto bancario, al menos en nuestro

medio, aparecería escrito en la forma 5, 389,250.350. Es decir, en la parte entera se estarían

utilizando comas (,), para separar miles. El punto (.) decimal seguiría igual. Pero

seguramente en la escuela les han enseñado otra forma de escribirlo, por ejemplo:

5’389.250,350. Es decir se usa la coma (,) arriba para indicar millones, el punto para

indicar mil y la coma para indicar la fracción decimal. Para efectos de realizar cálculos,

consideramos adecuado mantener nuestra manera de escribir estos numerales y para efectos

de informes creo que la costumbre dominante será la que imponga la manera de escribirlos.

Los informes financieros tienen las de ganar

Tipo 3

Numerales con un número infinito de dígitos. Son de dos tipos. Los llamados periódicos y

que representan números racionales y los no periódicos y que representan números

irracionales.

Mas abajo podremos justificar porque los primeros representan números racionales. La

segunda justificación no estamos en posición de hacerla.

Primer ejemplo: El numeral decimal 3.11292929...

Observe que después de los dígitos 11 se repite indefinidamente el grupo de dígitos 29. Por

eso se llama periódico. El número de dígitos que se repite se llama período de la fracción

decimal. En este caso es 2.

Se suele utilizar la notación 3.11___

29 , para indicar que el 29 se sigue repitiendo.

12

El número racional que representa este tipo de numeral esta definido por la siguiente

expresión:

3.11292929 = 3 + 1x 10 1 + 1x10 2 + 2x10 3 + 9x 410 + 2x10 5 + 9x10 6 + ...

Es decir, que3.11___

29 representa el número racional que se obtiene de realizar las

operaciones indicadas en la expresión de la derecha.

Segundo ejemplo: El numeral decimal 21.12112111211112.....

En este caso el numeral esta obedeciendo una ley de formación pero no es periódico porque

no existe un grupo de dígitos que se repite indefinidamente. El número irracional que

representa este numeral se define de manera similar al caso anterior, utilizando una

expresión de tipo polinómico con infinitos términos

21.12112111211112 = 2x10 + 1 + 1x10 1 +2x10 2 + 1x10 3 +1x10 4 + ....

Las expresiones relacionadas con los numerales en los dos ejemplos anteriores presentan un

problema fuerte que es importante que el estudiante identifique y comprenda.

Cuando hablamos de suma nos referimos a un número finito de términos. ¿Pero que

significa sumar infinitos términos?.

La verdad es que el sentido de las sumas que aparecen a la derecha de los numerales no las

hemos definido y en este momento no estamos en posición de hacerlo, por lo tanto no

sabemos como se calculan y si en realidad definen un número real. Por el momento nos

atendremos al significado intuitivo que el estudiante pueda darle a dicha suma y

trabajaremos con el numeral decimal aunque no podamos fundamentar sus reglas de

manejo.

Los numerales decimales infinitos periódicos representan números racionales

En el caso de numerales infinitos periódicos podemos verificar que representan números

racionales calculando una fracción racional que los representa.

Consideremos el primer ejemplo. Llamemos (alfa) al numeral decimal dado. Observe las

siguientes transformaciones;

= 3.11___

29 (por definición nuestra)

10 2 = 311.___

29 (Al multiplicar por 100 se desplaza el punto

decimal dos lugares

10 4 = 31129.___

29 (Se vuelve a desplazar el punto decimal dos

lugares)

13

Restando la segunda igualdad de la tercera, término a término obtenemos

(10 4 - 10 2 ) = 31129.___

29 - 311.___

29 = 31129 + 0.___

29 .– 311 – 0.___

29 = 30818

( 10 4 - 10 2 ) = 30818

= 24 1010

30818 =

9900

30818

De donde se puede concluir que es un número racional pues se puede representar por una

fracción racional

VERIFICANDO: Hemos visto que la expresión q

p, con p y q enteros se utilizan para

representar un numero racional, pero esta expresión también se puede interpretar como el

resultado de dividir p entre q. (Es decir los números racionales son una forma de

representar el resultado de la división entre enteros) Por esta razón, cuando realizamos la

división entera de p por q, trabajando en el sistema decimal, la expresión que se obtiene en

el cociente es una expresión decimal que representa al número racional q

p.

Se puede pues, verificar el resultado anterior realizando la división de 30818 por 9900. El

numeral que aparece en el cociente debe coincidir (como en realidad ocurre) con el numeral

3.11___

29 . Estas consideraciones nos sirven a la vez para definir un procedimiento que

permite pasar de la fracción racional de un número racional a su a un numeral decimal que

lo representa .

El ejemplo anterior no constituye una demostración matemática, en primer lugar porque no

es suficientemente general, esta hecho para un caso particular. Y, en segundo lugar, porque

no esta fundamentado el manejo de la parte infinita del numeral. No obstante el

procedimiento es correcto y si usted lo entiende podrá aplicarlo a cualquier otro caso.

Discutir con sus compañeros la pregunta siguiente le ayudara a comprenderlo mejor.

DISCUSIÓN DE CLASE 6

1. Revisando el proceso anterior. ¿Porque se multiplicó las dos veces por 10 2 ?: ¿Cual es la

idea detrás de esta multiplicación? ¿Si se tratara de otro caso diferente el exponente de 10

siempre tendría que ser el mismo y siempre igual a 2? ¿Cuales son los criterios para

escoger los exponentes y porque potencias de 10?

2: ¿Será válida la igualdad 1 = 0.99999...? (Ver ejercicio 3ª, Pág. 19)

De ser cierta esta igualdad estaría ocurriendo que un número puede tener mas de un

numeral decimal que lo representa, tal como ocurre con las fracciones en el caso de los

racionales.

Sirve también para que tengamos presente la diferencia entre numeral (lo que representa) y

número (lo representado), aunque a veces, en el manejo práctico, los identifiquemos.

14

Los numerales decimales infinitos no periódicos representan números irracionales El único argumento que tenemos a mano para legitimar esta proposición sería el siguiente:

Si aceptamos que todo número real se puede representar por un numeral decimal, un

número irracional no podría ser representado por un numeral decimal finito, ni por un

numeral decimal infinito periódico, porque sabemos que este tipo de numerales decimales

representan números racionales, bien sean enteros o racionales que no son enteros.

Se concluye, por lo tanto, que la única posibilidad es que sea representado por un numeral

decimal infinito no periódico.

Quizás debamos agregar que el ejemplo que dimos de numeral decimal infinito no

periódico, lo construimos siguiendo una determinada ley de formación.

No debe pensar el alumno que los numerales decimales de todos los números irracionales

deben seguir alguna ley. De hecho no existen leyes de formación conocidas para los

numerales decimales de los números irracionales mas famosos como 2 , e , etc.

En el caso de , por ejemplo, desde la antigüedad hasta nuestros días, se ha convertido en

una verdadera competencia el ir obteniendo su numeral con un número mayor de cifras

decimales. En este momento , ha sido calculado con millones de cifras decimales.

En 1995 Yasumasa Kanada, utilizando un computador HitachiS-3800/480 invirtió 116

horas para calcular una aproximación de con 6.442.450.938 decimales (Dato tomado del

libro Secreto de los números. Edit?)

Síntesis

Podemos sintetizar los planteamientos de todos los párrafos anteriores escribiendo:

El conjunto de los numerales decimales se puede identificar con el conjunto de los

números reales en el sentido de que cada numeral decimal representa un número

real y, a su vez, todo número real admite ser representado por lo menos por un

numeral decimal.

Las consideraciones anteriores describen los diferentes tipos de numerales

decimales existentes y los tipos de números reales que representan. O sea que si se

tiene un numeral decimal y lo sabemos clasificar, en alguno de los tipos de

numerales decimales que hemos estudiado, podremos saber que tipo de número real

representa.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Observe que la ley de formación de las unidades

decimales enteras y fraccionarias se puede replicar para constituir unidades no de diez sino

de cualquier otro número de unidades simples, por ejemplo 2.

Así se constituye el sistema de numeración binario, que es fundamental en el sistema de

comunicaciones.

15

En este sistema, en lugar de diez dígitos hay solo 2 , el 0 y el 1 y los numerales se definen

mediante polinomios de potencias de 2 con exponentes enteros positivos y negativos, de

manera similar a como se hace en el sistema de numeración decimal.

En este sistema el numeral 10 representa el dos y no el diez, puesto que 2 = 1x2 +0

EJERCICIOS

1.a) Para cada uno de los numerales decimales siguientes dé la expresión polinómica

mediante la cual se identifica o se calcula el número real que representa el numeral,

indicando que tipo de numero real representa

i). 125.314___

56, ii) 0.009333...., iii) 310

5.2, iv) 3.4

__

2 - 4.51__

2 , v) 1.404004…

b) Escriba el numeral decimal que define cada uno de las siguientes expresiones

polinómicas ,indicando que tipo de número real representa

i) 5x10 2 + 3 + 10

3 +

210

4 +

310

4 +

410

2+

510

4 +

610

2+ ....

ii) 10 1 + 3x10 3 + 4x10 5 + 4x10 7 + 4x10 9

iii) 2000000 + 80000 + 3000 +100 + 4

iv) 3x10 3 + 10 2 + 7x10 +10 1 + 210

2+0.005 + 0.0003 + 0.00005 + 0.00003 + ...

v) 2x104

+2+10

3+

210

1+

310

3+

410

1+

510

1+

610

3+1x10

7+1x10

8+1x10

9+3x10

10+…

2. Para los numerales decimales en a) y b) del ejercicio 1 que representen números

racionales calcule una fracción racional que represente el mismo número racional. Después

de que la haya calculado, verifique si realmente corresponde al numeral decimal que tomo

como punto de partida.

3 a) Calcule la fracción racional que represente el decimal infinito periódico 0.9999..., y

verifique que representa a 1.

b) El resultado anterior implica que un número puede ser representado por más de un

numeral decimal, contrario a lo que podríamos pensar.

Imitando el resultado anterior podría usted construir un numeral decimal infinito que

representara al número entero representado por 321.

4. En la tabla siguiente, determine si los símbolos que aparecen en la columna de la

izquierda representan números Cuando este sea el caso, marque con X las casillas

correspondientes con el fin de clasificar el número correspondiente.

16

Numeral Representa un

número

Es

Natural

Es Entero Es

Racional

Es

Irracional

Es Real

Si No

10 3

-(-21

20

5

3)

1.21___

32

- 0

00

2

0

1.1212212221...

3

234.251434343...

2+

2

2

0

0

25.34

5. (Proyecto especial. Ejercicio voluntario). Entender los fundamentos del problema puede

ser fácil, pero no lo es desarrollarlo en su totalidad. Los interesados pueden jugar con el

para ver hasta donde llegan.

Vuelva y lea el texto que aparece enmarcado bajo el titulo OBSERVACIÓN

IMPORTANTE (pagina 18) y trate de explicar como se procedería para construir un

sistema de numeración binario(base dos), indicando, por ejemplo, cuales serían las

unidades enteras y cuales las fraccionarias y con cuanto dígitos contaría el sistema. Los

numerales se definirían también mediante expresiones polinómicas de estas unidades.

Identificar numerales decimales que representan los números representados por los

numerales binarios 101, 10010.101. Recíprocamente, identifique los numerales binarios

que representan los mismos números representados por los numerales decimales: 2, 10, 15,

100, por ejemplo.

También podría haber numerales infinitos periódicos y no periódicos y estaría por saber si

en este caso también representan números racionales e irracionales.

Construya tablas de multiplicación y suma

17

COMPLEMENTO No 1 CONJUNTOS

(No lo lea si usted maneja bien el tema)

Un componente muy importante del lenguaje matemático es el lenguaje conjuntista, que

viene asociado naturalmente a conceptos y nociones básicas de las matemáticas. Un buen

manejo de este lenguaje y una adecuada comprensión de los conceptos asociados con él

resultan de mucha ayuda para interpretar y expresar problemas matemáticos de manera mas

eficiente.

Conjuntos y elementos.

Definimos conjunto como una colección de objetos materiales o abstractos, con la

excepción del conjunto llamando vacío que, por definición no tiene elementos. Este

conjunto se denota con el símbolo . A este conjunto se llega por conveniencia lógica

en el manejo de los conjuntos.

Para referirnos a los conjuntos es común simbolizarlos con letras. Conjuntos famosos

suelen adoptar símbolos prácticamente universales. Por ejemplo, en este curso utilizaremos

las letras N, Z, Q, I, R, C para referirnos a los conjuntos de los números naturales, enteros,

racionales, Reales, Complejos, respectivamente.

Lo objetos que integran o constituyen un conjunto se llaman elementos del conjunto. Se

utiliza el símbolo para denotar tal pertenencia.

Así, para expresar simbólicamente que 2 es un elemento del conjunto de los números

naturales N, se escribe la expresión 2 N. Si L es un conjunto constituido por nombres de

personas, la expresión Pedro Pérez L, es una forma de expresar simbólicamente que

Pedro Pérez es un elemento de dicho conjunto.

Para expresar negativamente que un objeto no es elemento de un conjunto dado se utiliza el

símbolo . Así, para expresar que 3 no es un número natural se puede escribir que

3 N. De manera similar, si L es el mismo conjunto mencionado anteriormente la

expresión Pedro Pérez L quiere decir que el nombre Pedro Pérez no aparece en el

conjunto de nombres L

Los conjuntos pueden, a su vez ser elemento de un conjunto. Por ejemplo una línea recta

esta constituida por puntos, es decir es un conjunto de puntos geométricos organizados en

forma especial. Tiene sentido hablar de un conjunto de rectas..

Si consideramos un equipo de fútbol como el conjunto de los jugadores que juegan en el

equipo, suplentes y titulares, es claro que tiene sentido considerar al conjunto cuyos

elementos son los equipos colombianos profesionales de fútbol .

Definición de conjuntos

Para definir un conjunto es necesario especificar, de alguna manera, que elementos lo

constituyen. Lo cual se puede hacer por extensión, dando el listado de sus elementos o por

18

comprensión mediante el enunciado de una propiedad que solo cumplen los elementos del

conjunto que se quiere definir.

La definición por extensión solo es aplicable a conjuntos finitos, por ser finita la lista de sus

elementos, pero para algunos conjuntos finitos es posible dar tanto una definición por

extensión como por comprensión..

Por ejemplo, cuando definimos el conjunto “ de los números enteros mayores o iguales que

–2 y menores que 5” estamos dando una definición por comprensión, usando el lenguaje

ordinario. Este conjunto se puede definir por extensión como {-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4}. Observe

que el 5 no es elemento del conjunto.

La definición por comprensión también se puede dar en términos simbólicos utilizando

lenguaje conjuntista.

Se puede escribir {x Z: -2 x < 5}o también {x: x Z , -2 x < 5}

Los conjuntos infinitos no se pueden definir por extensión, justamente porque no es posible

escribir una lista de infinitos elementos. Los conjuntos infinitos solo se pueden definir por

comprensión. Por ejemplo, la expresión “ conjunto de los números enteros pares” es una

definición por comprensión utilizando el lenguaje ordinario.

Se podría pensar que la expresión {2, 4, 6, 8, ....} es una definición por extensión del

mismo conjunto. En realidad, este no es el caso, pues no se están listando todos los

elementos del conjunto y los puntos suspensivos, lo que quieren decir es que hay una ley

de formación que debe identificar el lector y mediante la cual puede calcular cualquier

elemento del conjunto.

Se puede dar también una definición por comprensión en forma simbólica utilizando

lenguaje conjuntista. Lo primero es encontrar la expresión del termino genérico del

conjunto. En este caso es equivalente a descubrir la ley de formación de los números pares

y expresarla simbólicamente.

La secuencia de números pares es 2, 4, 6, 8, 10... La característica que define un número

par, es que es divisible por 2, o sea se puede expresar como un producto de 2 por otro

natural, así: 2 = 2 x 1, 4 = 2 x 2, 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4, ... o sea que si n es un número par,

entonces n = 2k, para algún k. De acuerdo con esto, la definición por comprensión del

conjunto se puede expresar como:

{n N: n = 2k, k N} o también como { 2k : k N}, expresión mas simple.

Es importante observar el formalismo o la “gramática” que debe seguirse cuando se escribe,

en lenguaje conjuntista una definición por extensión o por comprensión.

Para definir un conjunto por extensión se usan llaves ({....})y dentro de las llaves se

escriben los elementos del conjunto.

19

En la definición por comprensión se usan las llaves, pero la expresión interna se construye

siguiendo ciertas reglas. En la primera parte de la llave se hace referencia a un elemento

variable o genérico en un conjunto de referencia (x Z o n N , ver ejemplos abajo. El

conjunto de referencia podría esta implícito y en la segunda parte, separada por dos punto o

por una barra de la primera, se impone una condición o propiedad que debe satisfacer el

elemento variable para pertenecer al conjunto(-2 x < 5, o n = 2k, k N ,Ver ejemplos

abajo).

{x Z : -2 x < 5}

{n N: n = 2k, k N}= { 2k : k N},

Elemento variable Condición o propiedad que debe

En un conjunto de referencia cumplir el elemento que genera el conjunto

El conjunto de referencia puede estar implícito

Los dos puntos o una barra separan la primera parte de la segunda

OBSERVACIÓN SOBRE NOTACION

De acuerdo con los acuerdos para denotar conjuntos no es lo mismo escribir {a, b,2,4,5}

que {{a},b,2,4,5}. Los dos conjuntos no son iguales. Si bien comparten los elementos b, 2,

4, 5, {a}no es un elemento del primer conjunto, ni a lo es del segundo. La expresión {a}

representa al conjunto cuyo único elemento es a y esto no es lo mismo que a.

Subconjuntos e inclusión

Cuando todo elemento de un conjunto A es elemento de otro conjunto B se dice que A es

un subconjunto de B o que A esta contenido en B, y se escribe simbólicamente que A

B.(también se podría escribir B A)

De acuerdo con esta definición y aunque pueda parecer extraño a nuestro lenguaje

ordinario, todo conjunto es subconjunto de si mismo (A A). El conjunto vacío se

considera subconjunto de cualquier conjunto. Es decir si A es un conjunto arbitrario

entonces A

De acuerdo con lo anterior es verdadera la proposición {a, b} {1,2,a, f, b}, pues todos los

elementos del primer conjunto son elementos del segundo. De la misma manera es

verdadera la proposición N Z e porque todo numero natural es un entero, es decir todo

elemento de N es un elemento de Z. El estudiante debe estar familiarizado con la

proposición compuesta N Z. Q R y I R y debe poder explicarla y justificarla.

De acuerdo con la definición anterior, dos conjuntos A y B son iguales, y se escribe A = B,

si están constituidos por los mismos elementos. O lo que es lo mismo si A B y B A

20

Para negar que un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B se utiliza el símbolo y

se escribe A B.

Así, la proposición Z Q, aunque es falsa, dice que el conjunto Z de los enteros no es

subconjunto o no esta contenido en el conjunto de los números racionales.

La proposición {1,3} {1, 2, a, f, b} dice que el primer subconjunto no es subconjunto o no

esta incluido en el segundo, lo cual es cierto pues no todos los elementos del conjunto

{1,3}son elementos del conjunto{1, 2, a, f, b}.

OBSERVACIÓN SOBRE NOTACIÓN: Es común encontrar en textos de matemáticas,

además del símbolo , al símbolo para denotar inclusión.

Cuando se usan los dos símbolos, y se escribe A B, se admite la posibilidad de que A =

B. Cuando se escribe A B se supone que A es un subconjunto propio de B, esto es, hay

elementos de B que no son elementos de A, excluyendo la posibilidad de igualdad entre los

dos conjuntos.

En estas notas no se sigue este convenio. En estas notas el símbolo , denota inclusión en

general, admitiendo la posibilidad de que los dos conjunto comparados sean iguales

Un conjunto interesante

Un conjunto interesante, muy nombrado, es el conjunto cuyos elementos son los

subconjuntos de un conjunto dado y que se llama el conjunto de partes o conjunto potencia

del conjunto Si X es un conjunto cualquiera, el símbolo (X) se utiliza para denotar el

conjunto de partes de X.

Aplicando la definición anterior se tiene que si X = {a, b} entonces podemos definir (X)

por extensión dándola lista de Sus elementos entre llaves. Esto es (X) = { , {a}, {b},

{a,b}}. . Es decir X tiene cuatro subconjuntos incluido el mismo.

Observe que {a} representa al conjunto cuyo único elemento es a y {a, b} el conjunto cuyos

elementos son a y b, es decir a X. Pero, con relación a (X) son elementos de este

conjunto.

El conjunto de partes se puede expresar por comprensión para cualquier conjunto X de la

siguiente manera (X) = {S: S X}

Ejercicio: De tres elementos del conjunto (N). El conjunto {2, 4, 6, 8,.....} es un elemento

o un subconjunto de (N).

21

EJERCICIOS

1) Considere el siguiente conjunto, que denotamos con A

A = {2

1,

3

1,

4

1,..., R, Q, 1, 2, 3, 4,....}

R, Q denotan respectivamente al conjunto de los números reales y al conjunto de los

números racionales

Diga cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales falsas, justificando su

respuestas

a) 2 A b) 5 A c){1, 2, 2

1,3

1} A d){

2

1,

3

1, 1, 2, 3,...} A

e) {0,1, 2,3, 4, R} A f) Q A g) R A

h) Q A i) N A j) {n

1 n N} A

k) A A l) N A m) A A

n) R A

2. Defina por extensión el conjunto cuyos elementos son los conjuntos numéricos y denote

dicho conjunto con la letra B. Discuta la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.

i) N es un subconjunto de B

ii) N es un elemento de B

3. Sea el conjunto A = {c, d, 2, 4,5}.

i) De tres elementos del conjunto (A)

Si B = {c, 2}, diga si es verdadera o falsa la proposición (B) (A), justificando su

respuesta.

ii) Diga, si en general, dados dos conjuntos A y B tal que B A entonces (B) (A),

iii). De tres elementos del conjunto (R)

4). Defina por extensión y simbólicamente por comprensión los siguientes conjuntos

i) el conjunto de los números enteros mayores que –4 y menores que 5

ii) el conjunto de los números naturales que se obtienen sumando al 3 los números

naturales mayores o iguales que 5 y menores o iguales que 10.

iii) el conjunto de los números naturales cuyo cuadrado es menor que 100

5) Para cada uno de los conjuntos que se definen a continuación, lea en voz alta su

definición. Si el conjunto es finito escriba el conjunto por extensión. Si es infinito dé

22

algunos de los elementos del conjunto y defínalo por comprensión utilizando lenguaje

ordinario.

i) A = {x Z: -2

3 x

3

10} ii) B = {n Z n -100}

iii). C = {x N x = 2k +1, k N} iv) {n N: n+1 >80}

Operaciones con conjuntos

Las operaciones entre conjuntos permiten generar nuevos conjuntos a partir de conjuntos

dados. Recordamos algunas de dichas operaciones. En lo que sigue A y B denotarán

conjuntos arbitrarios

C B A (Complemento de A con relación al conjunto B)

El complemento del conjunto A con relación al conjunto B es el conjunto de elementos B

que no son elementos del conjunto A. Simbólicamente:

C B A = {x B: x A }

También se utiliza B - A para denotar este conjunto.

En este diagrama las regiones enmarcada por los óvalos representan conjuntos

B A

Elementos de B que no son elementos

De A

Cuando el complemento de un conjunto A se toma con relación a un conjunto que lo

contiene y que se toma como referente o espacio universal son comunes las expresiones

siguientes para referirse a dicho complemento A’, A c .Es claro que cuando se utiliza esta

notación debe estar claro cual es dicho conjunto de referencia.

Si A = {a, b, c, 2,3,4} y B = {c, d, 3, 4, 5} entonces B-A = {d, 5}

Z-N = {0, -1, -2, -3...} = Conjunto de los enteros negativos con el 0

A B (Unión de los conjuntos A y B)

La “unión” de dos conjuntos A y B es el conjunto que se constituye con los elementos que

pertenecen bien a A o bien a B, o a los dos. Es decir, si se toma un elemento de este

B-A

23

conjunto “unión” este debe ser un elemento de A o de B o de los dos. El conjunto unión se

denota con el símbolo A B

A B = {x: x A o x B}

(el o que aparece es inclusivo)

En este diagrama las regiones enmarcadas por los óvalos representan conjuntos

A B: está constituido por los elementos comunes

Y no comunes de A y de B

Si A y B son como en el caso anterior, entonces A B = {a, b, c, d, 2, 3, 4, 5}

Z N = Z. Es decir, la unión del conjunto de los números enteros con el conjunto de los

numero naturales es el conjunto de los enteros, pues los elementos de N son también

elementos de Z. En general, siempre que dados dos conjuntos X e Y, X Y, entonces

X Y= Y

A B (Intersección de los conjuntos A y B)

La “intersección” de dos conjuntos A y B es el conjunto constituido con los elementos

comunes de los conjuntos A y B. Simbólicamente:

A B = {x: x A y x B} En este diagrama las regiones enmarcada por los óvalos representan conjuntos

Elementos comunes a A y B

Si se toma un elemento del conjunto intersección este tiene que ser elemento tanto de A

como de B

Si A y B son los conjuntos que se vienen considerando como ejemplos entonces A B = {c,

3, 4}

Z N = N. Es decir la intersección del conjunto de los números enteros con los números

naturales es el conjunto de los naturales pues todos los elementos de N son elementos de Z.

En general, siempre que dados dos conjuntos X e Y, X Y, entonces X Y = X

A B

A

A B B

24

AxB (Producto cartesiano de los conjuntos A y B)

Un par ordenado es una sucesión de dos objetos a y b que representamos en la forma (a,b).

Decimos ordenado porque el orden cuenta. No es lo mismo el par ordenado (a, b) que el

para ordenado (b, a). En el caso del par ordenado (a, b) el objeto a se llama primera

componente del par y el objeto b se llama el segunda componente del par. Dos pares

ordenados son iguales si y solo si sus componentes homologad son iguales.

Simbólicamente:

Si (a,b) y (c,d) son pares ordenados,, (a,b) = (c,d) si y solo si a = b y c = d

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjuntos de pares ordenados cuya

primera componente es un elemento de A y la segunda componente es un elemento de B.

Simbólicamente:

AxB = {(x,y): x A e y B}

Si A = { a,b,} y B = 1,2,3} entonces AxB = {a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

No es difícil ver que la definición de producto cartesiano entre conjuntos se puede extender

a tres, cuatro etc conjuntos, extendiendo de manera natural la noción de par ordenado a

tripla ordenada, cuádrupla ordenada etc.

EJERCICIO DE DISCUSIÓN

Siguiendo la definición de producto cartesiano para dos conjuntos, elabore la definición de

producto cartesiano para tres conjuntos.

Algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos

Las operaciones de unión ( ) e intersección ( ) entre conjuntos cumplen propiedades que

controlan y a la vez facilitan su manejo, muchas de ellas compartidas con las operaciones

entre números.

Por ejemplo, no es difícil comprender la validez de las siguientes proposiciones para

cualquier terna de conjuntos A, B, C

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

Esta propiedad, que se llama asociativa, seguramente es reconocida por el alumno que la ha

debido estudiar en el contexto de la suma y multiplicación de números, pero mas que el

nombre lo importante es entender bien lo que dice.

En el caso de la unión, dice que el conjunto que se obtiene de unir primero a los conjuntos

A y B y al conjunto resultante unirlo con C es el mismo conjunto que se obtiene de unir el

conjunto A con el conjunto que se obtiene de unir los conjuntos B y C. Igual interpretación

se aplica para la intersección.

25

Pero una cosa es comprender lo que dice la proposición y otra diferente comprender

porque es valida la proposición.

Es posible que el estudiante, además de comprender el significado la propiedad asociativa

vea intuitivamente que el resultado es válido, acaso representando en su mente los tres

conjuntos en forma de óvalos o diagramas de Venn como suele llamarse este tipo de

representación. Al imaginar el siguiente diagrama no es difícil comprender que no importa

como se asocien los conjuntos al realizar las uniones el conjunto que finalmente se obtenga

siempre será el mismo y estará representado por la región encerrada por los tres óvalos.

En cualquier caso el conjunto que se obtiene es el definido por la expresión { x: x A, x B,

x C}

Pero esta “visión” intuitiva, aun así nos permita ver o comprender la validez de la

proposición no constituye una demostración matemática.

La demostración matemática exige un razonamiento, deductivo en este caso, que nos

permita establecer en forma general que todo elemento del conjunto (A B) C es un

elemento del conjunto A (B C) y recíprocamente O sea que los dos conjuntos son iguales

por estar constituidos por los mismos elementos.

El mismo tipo de razonamiento debe darse para la demostración matemática de que (A B)

C = A (B C). (Omitimos por el momento realizar en detalle tal razonamiento

demostrativo)

La propiedad asociativa de la unión e intersección tiene una consecuencia muy importante,

que pasa desapercibida cuando operamos con conjuntos.

Por ejemplo, es común encontrar las expresiones A B C, o A B C.

En esta manera de indicar las operaciones de unión e intersección no se indica si primero se

hace la unión o intersección de A y B y después se hace la unión o la intersección con C o

si primero se hace la unión o intersección de B con C y luego se hace la unión o

intersección con A.

A C

B

26

Sin embargo, no hay ambigüedad, justamente porque dichas operaciones son asociativas y

no importa como se asocien los conjuntos para realizar las operaciones indicadas el

resultado siempre es el mismo.

Es importante observar que exactamente pasa lo mismo cuando escribimos una suma o una

multiplicación entre números bien sean naturales, enteros, racionales o irracionales

Expresiones como 2+3/2 +(-6) o 2(3/2)(-6) no son ambiguas, porque también, la suma y la

multiplicación entre números son operaciones asociativas.

EJERCICIOS

1). Sean A, B, C conjuntos y a, b, c números reales..En cada caso exprese simbólicamente

la propiedad solicitada para las operaciones entre conjuntos y las operaciones entre

números

i). La propiedad conmutativa para la unión e intersección entre conjuntos, y para la suma y

producto de números

ii). La propiedad distributiva de la intersección con relación a la unión entre conjuntos y la

propiedad distributiva de la multiplicación con relación a l suma entre números.

iii). La propiedad distributiva de la unión con relación a la intersección entre conjuntos y la

propiedad distributiva de la suma con relación a la multiplicación entre números.

iv). Determine cuales de las propiedades anteriores son validas para las operaciones entre

conjuntos y para las operaciones entre números reales, justificando sus respuesta.

2. Sean A = {1, 5, 7}, B = {1, 3, 4, 7}, C = {5, 6, 7, 8}. Encuentre cada uno de los

siguientes conjuntos

i) A (B C) ii) A B C iii) A B C

iv) A (B C) v) A B vi) (A C) – B

vii) B- A viii) (A B) (A B) ix) AxC

x) (A C) x B xi) (AxB) (AxC)

3. Sean los conjuntos A = {n N: 1 n 5}, B = { 1, 7, 10, 11, }, C = {x N: 1 x 100}

i) Calcule A (B C)

ii) Defina por comprensión, en forma simbólica el conjunto C N A. De algunos

elementos de este conjunto.

4. En los siguientes ejercicios encuentre el conjunto X, si es posible, que hace valida la

igualdad

En los literales i) y ii) W = {a, b, c, 3, 4, 5} y V = { a, b, c, d, 3,4,5, 6, 7}

27

i) W X = V,

ii) V X = W

iii) N X = Z, donde N y Z representan a los conjuntos de los números naturales y

de lo números enteros respectivamente

iv) C N X = { 10, 11, 12,...}

v) P X = N, donde P es el conjunto de los números naturales pares y N el

conjunto de los números naturales

5. Sean A y B dos conjuntos.

i). Si B = calcule AUB y AB

ii). Si B A calcule AUB y AB

iii) Si B = A calcule AUB y AB