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Capítulo IV
Desarrollo teórico de un modelo de nudo para unión semirrígida
En las estructuras espaciales, al estar formadas por elementos que se disponen en un
espacio tridimensional y por confluir en cada nudo un gran número de barras, los mecanismos de transmisión de esfuerzos son más complejos y se requiere un especial cuidado en el diseño de los sistemas de unión.
El presente trabajo se limitará a estudiar el sistema Ortz, un sistema de unión formado por tubos atornillados a uniones esféricas. Para esto se utilizarán expresiones derivadas a partir de las formuladas en el capítulo anterior, y posteriormente se empleará un modelo por elementos finitos que incluya el grado de empotramiento de la unión. El modelo por elementos finitos a utilizar aproxima el conjunto tubo más todos los elementos de unión por un solo elemento. El conjunto formado por el tubo, los detalles de sus extremos y todos los elementos de la unión se sustituye por un esquema más simple, con sólo cinco partes diferenciadas: una representa el tubo, otras dos las esferas a las que va unido y las dos últimas engloban el total de elementos intermedios.
Una vez sustituida la barra real por su modelo, se obtiene de forma relativamente sencilla la matriz de rigidez de este elemento aproximado que se extiende entre los puntos geométricos de la red monocapa. Las matrices de rigidez de cada elemento se ensamblan para formar la matriz de rigidez de toda la estructura. De esta manera, mediante el procedimiento aquí descrito, se puede realizar el análisis numérico no lineal de estructuras reales. 4.1. GEOMETRÍA DEL SISTEMA ESTRUCTURAL ORTZ 4.1.1. Descripción del sistema
El sistema estructural Ortz esta diseñado para la construcción de estructuras espaciales y está formado por perfiles tubulares de sección circular en cuyos extremos se aloja un tornillo coaxial, que une el perfil al nudo (figura 4.1).
130
El nudo es una pieza esférica dotada de una serie de orificios roscados según las direcciones de las barras que han de concurrir en el mismo. La disponibilidad en cuanto a las direcciones de acceso de las barras es prácticamente total, quedando sólo limitada por el ángulo mínimo que deben mantener dos barras contiguas para evitar interferencias entre ellas. Uno de los objetivos buscados con este diseño es la obtención de un sistema con una rigidez axial elevada, de modo que las discontinuidades de comportamiento que inevitablemente introduce toda unión atornillada, quedarán reducidas a los valores mínimos posibles. Esto se consigue gracias al diseño especial del tornillo y al empleo de una esfera monopieza sólida. Las barras son perfiles tubulares de sección circular y llevan soldados en sus extremos sendos casquillos cónicos dotados de orificios axiales. Estos casquillos quedan atravesados por tornillos especialmente diseñados que presentan dos cuerpos roscados con sentidos inversos de rosca, separados por una superficie troncocónica que es la que, tras el ensamblaje, asienta en la parte exterior de las esferas.
Figura 4.1: Aspecto de la unión con esfera, tornillos, tuercas y casquillos cónicos.
Figura 4.2: Representación del sistema de unión Ortz.
131
Tabla 4.1: Gama de tornillos y esferas correspondientes. Sistema Ortz.
Como se muestra en la tabla 4.1, existe una relación entre las dimensiones del
tornillo y la esfera. El tamaño de ésta debe permitir la total profundización del roscado a la vez que evita las posibles interferencias entre tornillos y tuercas de barras contiguas con un ángulo mínimo de 45º.
El doble roscado permite que, con un solo sentido de accionamiento sobre el tornillo, se consigan dos aprietes: el de la esfera con el tornillo y el de éste con el tubo por medio de las tuercas alojadas en el cuerpo de mayor diámetro del tornillo. El objetivo principal de estas dos tuercas es el de servir para el accionamiento del tornillo mediante un sistema de bloqueo por efecto tuerca y contratuerca. Además, en su posición final, este conjunto garantiza el mantenimiento del apriete evitando que se afloje la unión por eventuales vibraciones. Todo este sistema permite la retracción del tornillo hacia el interior de la barra de modo que ésta puede ensamblarse y desensamblarse sin modificar las posiciones relativas de las dos esferas que une, incluso cuando éstas se encuentran en su posición definitiva. Esto proporciona una extraordinaria flexibilidad en el proceso de montaje de la malla y facilita la eventual reposición de cualquier barra dañada. 4.1.2. Características de los materiales 4.1.2.1. Esferas Son de acero al carbono F-1140 según UNE-36011 (similar a AISI 1040 ó 1045 y al acero CK-45 según normas DIN). Su composición química (en %) es:
C Mn Si P S 0,4 - 0,5 0,5 - 0,8 0,15 - 0,4 < 0,035 < 0,035
Sus propiedades mecánicas son:
PROPIEDADES MECÁNICAS Carga de rotura mínima 60 kg/mm2 Límite elástico mínimo 30 kg/mm2 Alargamiento mínimo 12%
TORNILLO ESFERA CAPACIDAD (KN)
M. Der / M. Izq φ Normal φ Mínimo 16/12 60 60 59 20/16 76 60 110 27/22 100 76 213 36/30 134 100 396 45/37 150 134 612 52/44 178 150 876 64/54 210 178 1370 76/64 250 210 1980
132
4.1.2.2. Tubos Normalmente se emplea tubo conformado en frío con soldadura longitudinal. Son tubos de fácil soldabilidad. Para el caso estudiado en la presente tesis utilizaremos el acero estructural ASTM A-36, cuya composición y propiedades mecánicas fue descrita en el capítulo 3. 4.1.2.3. Casquillos cónicos Ordinariamente se obtienen por forja a partir de acero soldable F-1120, según UNE 36011 (Equivalencias aproximadas: AISI 1035 ó CK s/DIN). En ocasiones se obtiene por mecanización a partir de barra, empleándose el mismo material. En cualquier caso el taladro y el chaflán de soldadura se mecanizan para conseguir las tolerancias dimensionales precisas.
C Mn Si P S 0,2 - 0,3 0,5 - 0,8 0,15 - 0,4 < 0,035 < 0,035
PROPIEDADES MECÁNICAS Carga de rotura mínima 50 kg/mm2 Límite elástico mínimo 30 kg/mm2 Alargamiento mínimo 20 %
Figura 4.3: Esfera utilizada en el sistema de unión Ortz
Figura 4.4: Casquillos cónicos utilizados para unir los tubos con los tornillos.
133
4.1.2.4. Tornillos Se obtienen a partir de acero F-1250, según UNE 36012 (equivalente al 34 Cr Mo 4 según DIN 17200, ó el AISI 4340). Llevan un tratamiento de temple con revenido alto para garantizar una mayor tenacidad del material, sin apurar la capacidad del mismo.
C Mn Si Cr Mo P S 0,32 - 0,38 0,6 - 0,9 0,15 - 0,4 0,85 - 1,15 0,15 - 0,25 < 0,035 < 0,035
PROPIEDADES MECÁNICAS
Carga de rotura mínima 100 – 130 kg/mm2 Límite elástico mínimo 90 – 100 kg/mm2 Alargamiento mínimo 10 %
4.2 MONOCAPAS CON UNIONES SEMIRRÍGIDAS En una estructura las barras van unidas a nudos que pueden experimentar desplazamientos y giros. En general, el momento que actúa sobre el extremo de una barra es:
( )θθ −= *kM (4.1) donde *θ y θ son, respectivamente, el giro del nudo y el del extremo de la barra y k es la rigidez de la unión. Para una articulación 0=k y no se transmite momento a la barra. El extremo contrario, ∞=k , se trata de un empotramiento perfecto, y en (4.1) es nulo el giro relativo entre la unión y la barra. Introduciendo el cambio:
( )αα−
=1
6LEIk (4.2)
la rigidez de la unión se puede calificar según el grado de empotramiento [1], α , con valores comprendidos entre 0 (articulación) y 1 (empotramiento perfecto) (figura 4.1).
Figura 4.5: Tornillos usados para la unión de la barra con la esfera
134
De modo que, para uniones con una rigidez al giro distinta del empotramiento perfecto, la variación que se introduce en las expresiones del ángulo y la carga críticos del punto límite, consiste en afectar el momento de inercia de las barras por el grado de empotramiento, α :
( )21
22 82
31
−=
ALIa
A
Rcr γ
αγϕθ (4.3)
( ) ( ) +
−
+=
21
22
22 82
3182
32
2 ALIa
ALIaEAnP
A
R
A
RAcr γ
αγϕ
γαγ
ϕγ
( ) ( )
−−+
21
22
2
82
31212
ALIaa
LIEn
A
RR γ
αγϕϕαγ (4.4)
4.3. MODELO DE UNIÓN SEMIRÍGIDA PARA CÚPULAS MONOCAPA
Un modelo de elementos finitos reproduciría detalladamente los elementos que componen el sistema de unión y podría predecir con gran exactitud su respuesta. Sin embargo, ese método incrementaría excesivamente el tiempo de computación. Una solución más económica es la de sustituir los distintos elementos que componen la unión por sólo dos partes que simulen de forma aproximada, pero muy sencilla, el comportamiento de la unión ORTZ.
Por lo tanto, cada unión se reemplaza por dos elementos (figura 4.7) cuyas dimensiones se calculan atendiendo a un criterio de equivalencia que se establece más adelante. Una vez determinados los elementos que sustituyen la unión se obtiene la matriz de rigidez del elemento estructural total, es decir, el tubo más las uniones de los extremos.
32=α
31=α
21=αLEIM
6
)( * radθθ −
0.005
0.005
0.01
0.01
Figura 4.6: Relación momento frente a giro para distintos grados de empotramiento de la unión.
135
A la hora de reemplazar el tubo y las uniones ORTZ: • las esferas aparecen en el modelo como elementos de rigidez infinita, indeformables,
que se extienden en cada extremo de la barra. La longitud de este elemento es menor que la longitud del radio real de la esfera.
• las barras mantienen las características del perfil tubular empleado en la construcción
y su longitud es tal que la suma de todos los elementos del modelo iguala la distancia entre puntos geométricos de la malla.
• por último, todo el conjunto de tornillo de doble métrica y tuerca y contratuerca se
reemplaza por un cuerpo cilíndrico que confiere una rigidez equivalente a la de la unión real siguiendo el criterio de equivalencia que se señala en el siguiente apartado.
Como se muestra en la figura 4.7, el modelo propuesto permite reproducir una situación asimétrica, con esferas y tornillos de distintas dimensiones en cada extremo. La distancia total entre puntos de la malla es L . La longitud del tubo, 2L , se obtiene en último lugar porque se calcula de forma que se mantenga igual a L la longitud entre los puntos de la malla. Las longitudes 0L y 4L que representan las esferas son prácticamente iguales a los radios reales. La diferencia se debe a que en la esfera se encuentra introducida, además de la longitud que va roscada en ella, parte del doble tornillo. Esa longitud interior a la esfera, que pertenece a la transición entre las dos roscas, se descuenta del radio de modo que no se incluye en la parte del modelo que va con rigidez infinita. Desde esa transición hasta el comienzo del tubo, se sitúa un cuerpo cilíndrico intermedio, de longitudes 1L y 3L en la figura 4.7, que se determinan con el criterio de equivalencia descrito a continuación.
L
2L1L0L 3L 4L
Figura 4.7: Modelo de unión semirrígida.
136
4.3.1. Determinación de las dimensiones del elemento intermedio.
Las dimensiones del elemento cilíndrico que simula el tornillo son decisivas para el comportamiento del conjunto. Por una parte, la rigidez del nudo está estrechamente relacionada con la longitud y momento de inercia de este elemento.
Con este objeto, para determinar las dimensiones del elemento cilíndrico situado entre la esfera y el tubo, se procede de la forma siguiente:
• Se toma como diámetro el diámetro interior de la rosca métrica Mizda (figura 4.8). • Se calcula la longitud del elemento cilíndrico de modo que reproduzca la rigidez de la
unión original, como se explica a continuación.
En la unión real, el tornillo de menor diámetro está roscado en el interior de la pieza esférica. En la figura 4.8 observamos la unión real con el modelo equivalente superpuestos entre si. El tramo intermedio entre las dos roscas tiene una forma troncocónica que se apoya en un rebaje de la esfera.
Para determinar la longitud equivalente de las dos partes del tornillo, de longitudes iL y dL y momentos de inercia iI e dI , se calcula el giro debido a una fuerza en el
extremo. En la figura 4.9 se aprecia el modelo de la unión real con el modelo equivalente, en donde se calcula el giro producido en el extremo en ambos casos para posteriormente igualar estas expresiones y obtener la longitud equivalente.
Figura 4.8: Modelo de la unión esfera-tubo.
137
Aplicamos el teorema de Castigliano en la figura 4.9a para obtener el giro producido en el extremo. Para esto es necesario colocar un momento ficticio 'M en el extremo, que es el lugar donde se requiere hallar el giro (figura 4.10). El momento a una distancia x del extremo para ambos casos es: ( ) FxMxM += ' (4.5) la derivada parcial de este momento con respecto al momento ficticio 'M es:
1'=
∂∂MM (4.6)
Hacemos 0'=M . El giro para el modelo de unión real (figura 4.10a) está dado por:
∫∫∫+
+=
∂∂
=LiLd
Ldi
Ld
d
dxEIFxdx
EIFx
EIdx
MMM
0'θ
eqL
F
IzdaD
F
dchaDIzdaD
dLiL
Figura 4.9: Modelo de la unión real (izquierda) y su modelo equivalente.
(a) (b)
F
dLiL
M’
x
Figura 4.10: Aplicación de un momento ficticio en el extremo para el cálculo de la deflexión.
eqL
F
(a) (b)
M’
x
138
( )
i
i
i
di
d
dLiLd
Ldi
Ld
d EIFL
EILLF
EIFL
EIFx
EIFx
22222
2222
0
2
−+
+=+=+
θ
( )
FEILF
EILLL
d
d
i
dii
222 2
++
=θ (4.7)
El giro para el modelo equivalente es:
∫ ∫=
∂∂
=Leq
d
dxEIFx
EIdx
MMM
0'θ
FEIL
i
eq
2
2
=θ (4.8)
Siendo los momentos de inercia:
4
64 izdai DI π= 4
64 dchad DI π= (4.9)
Igualando las expresiones (4.7) y (4.8) tenemos que la longitud equivalente eqL es:
( ) 22 2 dd
idiieq L
II
LLLL ++= (4.10)
Esta longitud equivalente eqL viene a ser la longitud 1L del modelo general. La
longitud 0L que corresponde del modelo equivalente de la esfera se obtiene geométricamente de la figura 4.8,con lo cual tenemos:
( ) idchaesfera LDRL −−= 22
0 2 (4.11) 4.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL MODELO DE UNIÓN SEMIRÍGIDA POR
ELEMENTOS FINITOS Una vez definido el modelo de elemento barra con unión semirrígida se obtiene, a continuación, la matriz de rigidez que le corresponde. En dicha matriz intervienen las propiedades de cada una de las partes que lo integran: esferas + tornillos + tubo [11]. En la figura 4.11 se indica la numeración asignada a cada una de ellas. Con las letras L , A e I se denotan, respectivamente, las longitudes, áreas y momentos de inercia de cada
139
componente. La longitud equivalente, eqL , dada por (4.10) es la longitud del elemento intermedio, que se ha llamado 1L y 3L . 4.4.1. Determinación de la rigidez axial equivalente El alargamiento del elemento sometido a un esfuerzo axial es suma de los alargamientos de cada una de las partes:
33
22
11
LEANL
EANL
EANd ++= (4.12)
Por otra parte, si se considera todo el conjunto con una rigidez axial LEA , el alargamiento responde a:
LEANd = (4.13)
Igualando (4.12) y (4.13), se tiene la rigidez axial equivalente del total del elemento:
213312321
321
AALAALAALAAA
ELAE
++= (4.14)
4.4.2. Determinación de la rigidez a torsión equivalente Dado que la unión se efectúa mediante roscado de un tornillo coaxial a la barra, la rigidez torsional se considera nula. 4.4.3. Determinación de la rigidez a flexión equivalente La determinación de la rigidez a flexión resulta más compleja ya que en este caso intervienen cuatro grados de libertad por cada una de las secciones señaladas en la figura 4.12.
L
2L1L0L 3L 4L
22 IA
11 IA 33 IA
Figura 4.11: Modelo de barra con uniones semirrígidas.
140
Los grados de libertad de los extremos de cada parte están relacionados por la matriz de rigidez del tramo correspondiente. Para obtener la matriz de rigidez del conjunto, la que relaciona los grados de libertad de las secciones “a ” y “ f ”, se siguen los siguientes pasos: • En primer lugar se tienen en cuenta sólo la flexión en uno de los planos. La obtención
de la rigidez en el otro plano de flexión es análoga y, como se trata de elementos que tienen simetría de revolución, las matrices de rigidez de los dos planos son idénticas.
• Por otra parte, dado que los dos tramos extremos tienen rigidez infinita, se obtiene de
forma sencilla la matriz de rigidez del conjunto esfera – tornillo, con lo que los cinco tramos se reducen a tres.
• Por último se acoplan las tres matrices de rigidez condensando los grados de libertad
intermedios, es decir, los correspondientes a las secciones “c ” y “ d ”. 4.4.3.1. Matriz de rigidez esfera – tornillo Primeramente se muestra en la figura 4.-- el criterio de signos utilizados para los grados de libertad y para las fuerzas y momentos utilizado en la matriz de rigidez. La matriz de rigidez se obtiene imponiendo un valor unidad en uno de los grados de libertad y anulando los grados de libertad restantes. Las fuerzas y momentos que aparecen
Figura 4.12: Nomenclatura asignada a las secciones que dividen los componentes del elemento barra.
L
db a c e f
x
Figura 4.13: Criterio de signos para las acciones y grados de libertad en el conjunto esfera- tornillo.
1v 2v
1θ 2θ
0L 1L
1M
1F 2F
2M
0L 1L
141
son las columnas de la matriz de rigidez, cuyos elementos se representan con la letra ijk . Como la matriz de rigidez es simétrica se facilita la obtención de una de las columnas, que en este caso será la segunda columna. La primera columna de la matriz de rigidez se obtiene imponiendo un desplazamiento unitario en el primer grado de libertad De la teoría clásica de flexión las fuerzas 1F y 2F , y los momentos M y 2M son:
31
112LEIF = 3
12
12LEIF −=
(4.15)
21
6LEIM = 2
12
6LEIM =
El valor de 1M será igual a:
21
31
0011
612LEI
LL
EIMLFM +=+= (4.16)
2F
2M
1L
1F
M1M
1F
0L
1F
M
Figura 4.15: Diagrama de cuerpo libre.
1M
1F 2F
2M
0L 1L
1
Figura 4.14: Desplazamiento unitario en el primer grado de libertad
142
Con lo cual las componentes de la matriz de rigidez de la primera columna son:
• 31
1112LEIk =
• 21
31
021
612LEI
LL
EIk += (4.17)
• 31
3112LEIk −=
• 31
416LEIk =
La segunda columna por ser más compleja se dejará al final. La tercera columna de la matriz de rigidez se obtiene imponiendo un desplazamiento unitario en el tercer grado de libertad. De la teoría clásica de flexión las fuerzas 1F y 2F , y los momentos M y 2M son:
31
112LEIF −= 3
12
12LEIF =
(4.18)
21
6LEIM −= 2
12
6LEIM −=
2F
2M
1L
1F
M1M
1F
0L
1F
M
Figura 4.17: Diagrama de cuerpo libre.
1M
1F 2F
2M
0L 1L
1
Figura 4.16: Desplazamiento unidad en el tercer grado de libertad.
143
El valor de 1M será igual a:
21
31
0011
612LEI
LL
EIMLFM −−=+= (4.19)
Con lo cual las componentes de la matriz de rigidez de la tercera columna son:
• 31
1312LEIk −=
• 21
31
023
612LEI
LL
EIk −−= (4.20)
• 31
3312LEIk =
• 31
436LEIk −=
La cuarta columna de la matriz de rigidez se obtiene imponiendo un giro unitario en el cuarto grado de libertad. De la teoría clásica de flexión las fuerzas 1F y 2F , y los momentos M y 2M son:
21
16LEIF = 2
12
6LEIF −=
(4.21)
1
2LEIM =
12
4LEIM =
2F
2M
1L
1F
M1M
1F
0L
1F
M
Figura 4.19: Diagrama de cuerpo libre.
1M
1F 2F
2M
0L 1L
1
Figura 4.18: Giro unitario en el cuarto grado de libertad.
144
El valor de 1M será igual a:
121
0011
26LEI
LL
EIMLFM +=+= (4.22)
Con lo cual las componentes de la matriz de rigidez de cuarta columna son:
• 21
146LEIk =
• 1
21
024
26LEI
LL
EIk += (4.23)
• 21
346LEIk −=
• 1
444LEIk =
Para la obtención de los términos de la segunda columna nos basamos en los resultados obtenidos anteriormente, de donde ya conocemos los valores de 1F , 2F y 2M los cuales son:
21
31
01
612LEI
LL
EIF +=
21
31
02
612LEI
LL
EIF −−=
121
02
26LEI
LL
EIM +=
Del diagrama de cuerpo libre podemos obtener el valor de 1M :
( )11
021
021021
4112LEI
LL
LL
EIMLLFM +
+=−+−= (4.24)
2F
2M
0L 1L
1M
1F
1
Figura 4.20: Giro unitario en el segundo grado de libertad.
145
con lo cual los términos de la segunda columna de la matriz de rigidez es:
• 21
31
012
612LEI
LL
EIk +=
• 11
021
022
4112LEI
LL
LL
EIk +
+= (4.25)
• 21
31
032
612LEI
LL
EIk −−=
• 1
21
044
26LEI
LL
EIk +=
Por tanto, la matriz de rigidez para el tramo esfera – tornillo queda:
[ ]
−+
−−−−
+−−
+++
−+
=
101
11
0
1
011
0
1
001
1
0
11
0
1
21
1
46626
61212612
621261124126
61212612
LLL
LLL
L
LLLL
LLLL
LL
LLL
L
LEIKac (4.26)
4.4.3.2. Matriz de rigidez del tubo Si con el subíndice 2 se denotan las propiedades del tubo, su matriz de rigidez es:
[ ]
−
−−−
−
−
=
22
22
22
22
22
2
4626
612612
2646
612612
LL
LL
LL
LL
LEIKcd (4.27)
4.4.3.3. Matriz de rigidez tornillo – esfera La matriz de rigidez para las componentes situadas entre las secciones “ d ” y “ f ” es similar a la obtenida anteriormente para el conjunto esfera tornillo del extremo opuesto. En la matriz que resulta cambian los subíndices y las posiciones que ocupan los términos en los que intervienen la longitud de la esfera, 4L :
146
[ ]
++−−++
−−−−
+−
+−
=
3
443
3
443
3
4
3
4
33
433
3
4
33
23
3
112412662126
12612612
62646
12612612
LLLL
LLLL
LL
LL
LL
LLL
LL
LL
LEIKdf (4.28)
4.4.4. Condensación de grados de libertad Por último, se condensan los grados de libertad de las secciones “c ” y “ d ” que separan las tres componentes para las que se han calculado las matrices de rigidez. Al condensar estos grados de libertad intermedios se consigue la matriz de rigidez del total del elemento. El proceso de condensación, debido a la extensión de su desarrollo matemático, se recoge en el Apéndice B. En (4.29) se muestra la matriz que resulta para el total del elemento tras la condensación de los grados de libertad intermedios. Por simplicidad sólo se presenta aquí la correspondiente a una barra con uniones idénticas en los extremos, es decir, 40 LL = ,
31 LL = , 31 AA = , 31 II = :
−
−
−−−
−
−
NN
PMPM
LQP
QP
PMPM
L
Simétrico
NN
PMPM
L
000000
00000000
000000000000000000
000000000
000000
00000000
(4.29)
donde los términos de la matriz vienen dados por:
1221
21
2 ALALAAEL+
= (4.30)
147
+=
2
2
1
1
1
212LI
LI
DE
LM (4.31)
+
++
+++=
2
1
0
1
2
1
0
2
1
2
1
0
1
21 336334
LL
LL
LL
LL
LL
LLI
DEN
++++++
2
0
1
0
2
0
1
0
1
2
2
12 6126389
LL
LL
LL
LL
LL
LLI (4.32)
++
+−=
1
0
1
2
2
2
1
1 2226LL
LL
LI
LI
DEP (4.33)
+
++
+++=
2
1
0
1
2
1
02
1
2
1
0
1
21 6612662
LL
LL
LL
LL
LL
LLI
DEQ
+++++
2
0
1
0
2
0
1
0
2
12 6126432
LL
LL
LL
LL
LLI (4.34)
y el término D que aparece en el denominador de las expresiones anteriores es:
+++
+
++=
2
21
211
22
2
1
2
2
1
1
22
21 43642324LLLL
IIL
LL
II
LLLLD (4.35)
4.5. SIMULACIONES DE ESTRUCTURAS MONOCAPA DE UNIONES
SEMIRRÍGIDAS Para la simulación de las estructuras monocapa con uniones semirrígidas utilizaremos la matriz derivada anteriormente con la matriz geométrica utilizada para el cálculo de monocapas de uniones rígidas. 4.5.1. Caso numérico para una estructura de seis barras El diámetro y la altura de la cúpula a analizar son: mD 7= y mH 1.0= de lo cual se obtiene una relación 70/ =HD .
148
Los materiales que se utilizarán son: • Tubo: Serán extraídos como se dijo anteriormente del catálogo de productos de
Siderperú. En este caso tomaremos un tubo de 1 1/4” con un espesor de 1.8mm, de lo cual tenemos los diámetros:
mmDe 42.4 = mmDi 8.83 =
• Esferas: El diámetro de las esferas serán de:
mmesfera 76=φ • Tornillos: Las dimensiones del tornillo a utilizar se detallan a continuación en la figura
4.21. Los diámetros interiores de las roscas son: mmDizda 55.13=
mmDdcha 93.16= Las dimensiones de iL y dL son: mmLi 2.4=
mmLLL cbd 40=+= Calculamos las longitudes 1L y 0L a partir de las expresiones dadas en (4.10) y (4.11):
mmL 78.311 = mmL 46.320 =
16MMizda = 20MMdcha = mmLa 8.15= mmLi 2.4= mmLb 34= mmLc 6=
izdaM dchaM
aL iL bL cL
Figura 4.21: Tornillo de doble métrica que se utilizará en la monocapa de un anillo.
149
El cálculo de la longitud 2L se realiza en último lugar, como se dijo anteriormente, de tal forma de mantener la longitud entre los puntos de la malla. En la figura 4.22 podemos observar la estructura monocapa conformada por seis barras. En la figura 4.23 observamos la gráfica de la curva carga-desplazamiento de la estructura con uniones semirrígidas, comparado con la de uniones rígidas y uniones articuladas. En esta gráfica se ha colocado una tendencia en cada una de ellas para poder determinar de forma aproximada los valores de críticoP y desplazamiento. De esta gráfica obtenemos los siguientes valores:
críticoP desplazamiento Uniones articuladas 1190 N 0.0380 m Uniones semirrígidas 1410 N 0.0455 m Uniones rígidas 1820 N 0.0515 m
Figura 4.22: Estructura monocapa de un anillo.
Uniones rígidas. Uniones semirrígidas. Uniones articuladas.
Figura 4.23: Gráfica carga-desplazamiento para una estructura monocapa de un anillo.
desplazamiento [m]
Car
ga [N
]
150
A partir de los valores obtenidos de carga crítica, se puede obtener el grado de empotramiento α a partir de la expresión dada en (4.4) para esta unión. Luego de reemplazar datos, el grado de empotramiento llega a ser 2488.0=α . 4.5.2. Caso numérico para una cúpula monocapa de varios anillos 4.5.2.1. Monocapa de seis anillos: carga puntual Las dimensiones a adoptar serán las dadas a la cúpula del terminal terrestre de la ciudad de Piura. Esta cúpula tiene un diámetro mD 4.25= y una altura mH 12.4= , de la cual se obtiene una relación 17.6=HD . El número de anillos de esta cúpula será 6. Para este fin se selecciona los siguientes materiales: • Tubo: Extraído del catálogo de productos de Siderperú. En este caso tomaremos un tubo
de 3” con un espesor de 2.3 mm, de lo cual tenemos los diámetros:
mmDe 9.88 = mmDi 3.84 =
• Esferas: El diámetro de las esferas serán de:
mmesfera 134=φ • Tornillos: Las dimensiones del tornillo a utilizar se detallan a continuación en la figura
4.24. Los diámetros interiores de las roscas son:
mmDizda 25.706= mmDdcha 31.093=
30MMizda = 36MMdcha = mmLa 5.31=
mmLi 5= mmLb 5.59=
mmLc 10=
izdaM dchaM
aL iL bL cL
Figura 4.24: Tornillo de doble métrica que se utilizará en las cúpulas monocapa de varios anillos.
151
Las dimensiones de iL y dL son: mmLi 5=
mmLLL cbd 5.69=+= Calculamos las longitudes 1L y 0L a partir de las expresiones dadas en (4.10) y (4.11):
mmL 56.541 = mmL 54.590 =
La gráfica de la cúpula a analizar la apreciamos en la figura 4.25. Aquí se contabilizan 306 barras y 127 nudos. Las curvas carga desplazamiento se muestran a continuación en la figura 4.26 y la figura 4.27. En la figura 4.26 se ha colocado una línea de tendencia en las curvas de uniones articuladas y en la de uniones semirrígidas. En la gráfica de uniones rígidas no ha sido necesario colocar esto puesto que no se presenta punto límite. En la figura 4.27 se aprecia la curva de uniones rígidas en donde se aprecia la desaparición del punto límite.
Figura 4.25: Monocapa de seis anillos de uniones semirrígidas.
152
De estas gráficas obtenemos los valores de carga crítica para cada una de las curvas, los cuales son:
críticoP desplazamiento Uniones articuladas 11000 N 0.041 m Uniones semirrígidas 18500 N 0.062 m Uniones rígidas -- --
Uniones rígidas. Uniones semirrígidas. Uniones articuladas.
Figura 4.27: Gráfica carga-desplazamiento para una estructuramonocapa de seis anillos sometida a cargaconcentrada.
desplazamiento [m]
Car
ga [N
] Uniones rígidas. Uniones semirrígidas. Uniones articuladas.
Figura 4.26: Gráfica carga-desplazamiento para una estructuramonocapa de seis anillos sometida a cargaconcentrada.
desplazamiento [m]
Car
ga [N
]
153
La gráfica de la estructura deformada en el punto límite se muestra en la figura 4.28. Se observa el fallo de la estructura por punto límite en el nudo central. 4.5.2.2. Monocapa de seis anillos: carga uniforme Analizaremos en este apartado la cúpula con las mismas dimensiones y los mismos tornillos sometida a carga uniforme en todos los nudos. Las gráficas obtenidas bajo esta hipótesis se muestran en la figura 4.29.
Uniones rígidas. Uniones semirrígidas.Uniones articuladas.
Figura 4.29: Gráfica carga – desplazamiento de la estructura monocapa sometida a carga uniforme.
Car
ga [N
]
desplazamiento [m]
Figura 4.28: Fallo de la estructura monocapa sometida a una carga puntual (desplazamientos multiplicados por 15).
Fallo en el nudo central
154
De estas gráficas obtenemos los valores de carga crítica para cada una de las curvas, los cuales son:
críticoP desplazamiento Uniones articuladas 32000 N 0.037 m Uniones semirrígidas 37000 N 0.039 m Uniones rígidas 72000 N 0.060 m
En la figura 4.30 se muestra la estructura monocapa de uniones semirrígidas en su posición deformada en el punto límite. Se observa que el fallo se produce en el anillo anterior al apoyo, en las barras que se ubican en los meridianos. 4.5.3. Cargas de diseño de la estructura monocapa 4.5.3.1. Cargas muertas Las cargas muertas contempladas son el peso de las esferas, el peso de los tubos y el peso de la cubierta, la cual estará conformada por el material de policarbonato denominado Danpalon. El peso de las esferas es evaluado como:
3
61
esfesf DgP πρ=
Donde densidad=ρ , gravedadg = . Este peso estará aplicado en cada nodo.
Figura 4.30: Fallo de la estructura monocapa sometida a carga uniforme (desplazamientos multiplicados por 25).
Fallo en el anillo anterior al delapoyo y en las barras contenidasen los meridianos.
155
El peso de las barras está evaluado como:
( )2224
1iebarra DDLgP −= πρ
Este peso será dividido en dos partes y aplicado cada uno en los nodos que le corresponden. El peso del danpalon por unidad de área para este caso es de: 2 5.2 mkgPDanpalon = 4.5.3.2. Carga viva De acuerdo a la norma técnica de edificación de las normas peruanas de estructuras, las cargas vivas para este tipo de cubiertas es de: 2 30 mkgPviva = 4.5.3.3. Cargas adicionales Será considerado un peso adicional a las cargas anteriormente citadas de: 2 20 mkgPadicional = 4.5.3.4. Cargas de viento Las cargas de viento no se evaluarán por la complejidad que representa su implementación en el algoritmo implementado en el software Matlab. El procedimiento para su cálculo se describe en el apéndice D. 4.5.3.5. Cargas de sismo Las cargas de sismo no se evaluarán en la presente tesis, pero una breve descripción de este tipo de cargas se presenta en el apéndice E. 4.5.3.5. Combinación de cargas La combinación de los diferentes tipos de cargas en estas estructuras se detallan en el apéndice F.
156
De acuerdo a las cargas mencionadas anteriormente, las fuerzas aplicadas en cada uno de los nudos varían en el siguiente rango: NFmín 5.2669= NFmáx 6.3180=
La gráfica de la curva carga – desplazamiento para el nudo central se muestra en la figura 4.31, y la gráfica carga – desplazamiento de un nudo perteneciente al anillo anterior al apoyo y que pertenece a un meridiano se muestra en la figura 4.32. En ambos casos el desplazamiento tiene el mismo sentido.
Figura 4.31: Gráfica carga – desplazamiento del nudo central.
Car
ga [N
]
desplazamiento [m]
Figura 4.32: Gráfica carga – desplazamiento de un nudoperteneciente al nudo anterior al apoyo ycontenido en un meridiano.
desplazamiento [m]
Car
ga [N
]
157
La gráfica de la estructura deformada se muestra en la figura 4.33, en donde se observa que los desplazamientos más sobresalientes son los del nudo central, y los de los nudos anteriores al anillo de apoyo y que pertenecen a un meridiano. Por último se ha evaluado las cargas de compresión de las barras y se ha comparado con las cargas críticas de pandeo de Euler. El esfuerzo de compresión máximo que se registra en todas las barras es:
MpaANmáx
máx 73.19==σ
El mínimo esfuerzo de Euler registrado en toda la estructura es:
( )
MparLE
crE 15.233/ 2
2
==πσ
Vemos que el esfuerzo de trabajo es mucho menor que el esfuerzo por pandeo de Euler, por tanto tampoco fallará la estructura por este tipo de pandeo. Esta estructura se puede optimizar pues hay mucha diferencia entre el esfuerzo de trabajo con el esfuerzo crítico. Por este motivo se optará por un tubo de menor diámetro y pernos de menor medida. Usaremos en este caso un tubo de 1 ½” con un espesor de 2mm, y utilizaremos los tornillos de doble métrica M20/M16, con lo cual obtenemos los resultados que se presentan a continuación.
Figura 4.33: Estructura monocapa deformada después de laaplicación de las cargas de diseño(desplazamientos multiplicados por 500).
158
Monocapa de seis anillos con carga concentrada De acuerdo a lo dicho anteriormente, los diámetros exterior e interior son:
mmDe 3.84 = mmDi 3.44 =
Las dimensiones del tornillo a emplear serán los mismos dados en la sección 4.5.1. La gráfica de las curvas carga – desplazamiento para los tres tipos de uniones se muestran en la figura 4.34. De la gráfica obtenemos los siguientes valores de carga crítica:
críticoP desplazamiento Uniones articuladas 5100 N 0.041 m Uniones semirrígidas 5400 N 0.042 m Uniones rígidas 9100 N 0.061 m
La gráfica de la estructura deformada en la zona de punto límite se muestra en la figura 4.35. En esta gráfica se observa el fallo en el nudo central de la estructura.
Uniones rígidas. Uniones semirrígidas.Uniones articuladas.
Car
ga [N
]
desplazamiento [m]
Figura 4.34: Gráfica carga – desplazamiento de la estructura monocapa sometida a carga concentrada.
159
Monocapa de seis anillos con carga uniforme En este caso, debido a que se necesita mayor precisión en la discretización de la estructura para emplear la formulación semirrígida, no se presenta en la figura 4.36 la curva de carga – desplazamiento para la cúpula con este tipo de uniones. Se puede apreciar en esta gráfica que incluso con uniones rígidas se necesita una mayor precisión en la zona cercana al punto límite, por lo cual se ha aproximado el valor de carga límite. Para el diseño se ha tomado el valor de carga límite del caso articulado.
Figura 4.35: Fallo de la estructura monocapa sometida a cargapuntual en el nudo central (desplazamientosmultiplicados por 15).
Fallo en el nudo central
Uniones rígidas. Uniones articuladas.
desplazamiento [m]
Car
ga [N
]
Figura 4.36: Curga carga – desplazamiento de la estructura monocapa sometida a carga uniforme.
Zona que requiere mayor precisión
160
De la gráfica obtenemos los siguientes valores de carga crítica:
críticoP desplazamiento Uniones articuladas 14800 N 0.037 m Uniones semirrígidas -- -- Uniones rígidas 18750 N 0.042 m
La gráfica de la estructura deformada para este caso se muestra en la figura 4.37. En esta figura se muestra la estructura de uniones articuladas en su posición deformada, pues como se explico anteriormente no se ha podido emplear la formulación semirrígida. Monocapa de seis anillos sometida a cargas de diseño De acuerdo a las cargas mencionadas anteriormente, las fuerzas aplicadas en cada uno de los nudos varían en el siguiente rango: NFmín 4.882= NFmáx 7.2938=
La gráfica de la curva carga – desplazamiento para el nudo central se muestra en la figura 4.38, y la gráfica carga – desplazamiento de un nudo perteneciente al anillo anterior al apoyo y que pertenece a un meridiano se muestra en la figura 4.39. En ambos casos el desplazamiento tiene el mismo sentido.
Figura 4.37: Fallo de la estructura monocapa sometida a carga uniforme (desplazamientos multiplicados por 23).
Fallo en el anillo anterior al delapoyo y en las barras contenidasen los meridianos.
161
La gráfica de la estructura deformada se muestra en la figura 4.40, en donde se observa que los desplazamientos más sobresalientes son los del nudo central, y los de los nudos anteriores al anillo de apoyo y que pertenecen a un meridiano.
Car
ga [N
]
desplazamiento [m]
Figura 4.39: Gráfica carga – desplazamiento de un nudoperteneciente al nudo anterior al apoyo ycontenido en un meridiano.
Figura 4.38: Gráfica carga – desplazamiento del nudo central.
desplazamiento [m]
Car
ga [N
]
162
Por último se ha evaluado las cargas de compresión de las barras y se ha comparado con las cargas críticas de pandeo de Euler. El esfuerzo de compresión máximo que se registra en todas las barras es:
MpaANmáx
máx 23.41==σ
El mínimo esfuerzo de Euler registrado en la estructura es:
( )
MparLE
crE 11.57/ 2
2
==πσ
Como el esfuerzo de trabajo es mucho menor que el esfuerzo por pandeo de Euler, podemos concluir que la estructura no fallará de esta forma. En comparación con el primer análisis tenemos que se ha optimizado de mejor forma la estructura teniendo factores de seguridad más bajos. Por tanto, estas serán las dimensiones a utilizar en el diseño.
Figura 4.40: Estructura monocapa deformada después de laaplicación de las cargas de diseño (desplazamientosmultiplicados por 250).
