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CAPÍTULO IV VALOR FUTURO y
VALOR PRESENTE -DESCUENTO
COMPUESTO-Inflación
_______________________________________________________________________________
175
4.1.- VALOR FUTURO y VALOR PRESENTE -DESCUENTO COMPUESTO-
Inflación
En el capítulo de Interés Simple se comentó sobre el tema en cuestión, solo que ahora se estudiará el valor futuro compuesto, el valor presente compuesto, su descuento e inflación. Recordando: en el capítulo I, se analizaron problemas de valor presente en supuestos casos de corto plazo y que están basados en el interés simple.
Éstas son las fórmulas
in
SP
1 y
3601
it
SP
Ahora bien, cuando la fecha de pago del adeudo es mayor, se utiliza la fórmula de valor presente utilizando interés compuesto. Así, en resumen podemos decir que el valor presente de una inversión que se pagará en el futuro, es el capital necesario que tenemos que invertir a una tasa “x” y a una fecha determinada, para cubrir un capital futuro. Veamos un ejemplo:
Un empresario obtuvo un préstamo de Nacional Financiera a una tasa de interés muy baja. Ocho meses antes de la fecha en que debe pagar dicha cantidad, consigue un contrato que le da utilidades suficientes para pagar esa cantidad, es decir, los $248,000.00 que le prestaron inicialmente. Considerando que el préstamo se acordó a tasas muy bajas, el empresario decide invertir el dinero necesario y que además le permita pagar la deuda contraída. Para ello se da a la tarea de buscar la Institución Financiera que mayor tasa de interés le pueda otorgar. El Banco que le ofrece el mayor rendimiento es el 14% anual capitalizable mensualmente.
176
La pregunta es... ¿Cuánto debe invertir hoy (ocho meses antes) a la tasa del 14%, de tal manera que pueda obtener para pagar los $248,000.00 en la fecha de vencimiento de su deuda?
Si P es la inversión inicial, después de ocho meses el capital crece a:
n
m
iPS
1
8
12
14.01
PS
Si se desea que el monto sea $248,000.00, entonces tenemos que satisfacer la siguiente ecuación:
8
12
14.01
PS
8
12
14.01000,248
P
8011666.01 PS 8011666.1PS 097234.1PS
Se despeja P
89.022,226$097234.1
000,248P
Con esta cantidad invertida, a los ocho meses habrá acumulado los $248,000.00 que le prestó Nacional Financiera
Comprobación:
8
0.14S =$226,022.89 1+
12
8
S =$226,022.89 1.01166667
S=$226,022.89 1.09723468
S=$248,000.153
Los .15 centavos son por el manejo de los dígitos.
177
En resumen……..
Podemos decir que, a la diferencia entre el valor del monto que se requiere
para saldar una deuda y su valor actual neto o presente, le denominaremos
descuento compuesto.
S es el monto de la deuda, i a la tasa de interés por el período de
capitalización, n al número de períodos de capitalización que se anticipan y P
es el valor presente de la deuda:
niPS )1( Despejamos P y tenemos: ni
SP
)1(
n
m
i
SP
)1(
Que también puede ser representada como:
Valor Futuro Valor Presente
/(1 )n miVF VPm
/(1 )n m
VFVP
im
Dónde:
VF= valor futuro VP= valor presente i= tasa nominal m= tipo de capitalización n= tiempo
Valor presente
compuesto
Cuando la tasa de interés se expresa nominalmente y el número de capitalizaciones por año es m
178
4.1.1. Ejercicios validados con simuladores:
Interés Compuesto
Un empleado pidió un préstamo en la empresa en la cual trabaja, por la cantidad de
$17,000.00 para pagar la remodelación de su casa. La tasa pactada es del 7% nominal
ordinario, capitalizable cada 50 días. ¿Cuál es el valor que este empleado va a pagar al
final del periodo que es de un año?
P = $17,000
i = 7% Anual.
m = 50 días
n = 1 Años
S = ?
Ejercicio Resuelto con Simulador
*(1 / )nS P i m
(360)/50
(360)/50
7.2
$17,000*(1 ((0.07 / 360)*50))
$17,000*(1 (0.009722))
$17,000*(1.009722)
$17,000*1.072145
$18,226,47
S
S
S
S
S
179
Otro caso:
El gerente de una compañía desea incrementar sus ventas apoyado con los resultados
de un estudio de mercado realizado por la empresa, para ello requiere ampliar la
capacidad instalada en la planta de producción. Para dicha ampliación requiere de
$175,000.00, por lo cual decide solicitar el dinero al banco de la Región, mismo que
cobra una tasa de interés de 17.44% Nominal capitalizable cada 45 días. Si el
préstamo es por 48 meses, cual es el importe que deberá cubrir?.
P = $175,000.00
i = 17.44% Anual.
m = 45 días
n = 48 Meses
S = ?
Ejercicio Resuelto con Simulador
*(1 / )nS P i m
(48*30)/45
(48*30)/45
32
$175,000.00*(1 ((0.1744 / 360)*45))
$175,000.00*(1 ((0.0218))
$175,000.00*(1.0218)
$175,000.00*1.993924
$348,936.81
S
S
S
S
S
180
Un siguiente ejercicio:
El gerente de una tienda de mascotas adquirió un crédito con un banco local a una
tasa de interés del 8.7% anual capitalizable semestralmente, para la compra de una
vivienda en la que pretenden poner un hotel de mascotas para sus asiduos clientes, el
importe del crédito es por la cantidad de $850,000.00 pagaderos en un plazo de 10
años. ¿Cuál es el valor que pagarán al final del tiempo pactado, considerando que la
tasa se mantendrá igual en toda la vigencia del crédito?.
P = $850,000.00
i = 8.7% ó 0.087
m = 6 meses (Semestral)
n = 10 años
S = ?
Ejercicio Resuelto con Simulador
*(1 / )nS P i m
(10*12)/6
(10*12)/6
20
$850,000*(1 ((0.0.087 / 2)*6))
$850,000*(1 0.0435)
$850,000*(1.0435)
$850,000*2.343414
$1,991,902.12
S
S
S
S
S
181
Ejercicio de Valor Futuro y Valor Presente
Se presentan dos escenarios: primeramente cuando se realiza un depósito
inicial y con el tiempo se recibirá determinada cantidad y otro en donde se requiere
obtener determinada cantidad y para ello, se deberá calcular la cantidad inicial que
deberá depositarse, dependiendo del tiempo y la tasa de interés que ofrezca en ese
momento algún banco.
Primer caso:
Del presente al futuro sería el siguiente escenario:
Samuel es padre de dos adolescentes las cuales tienen planeado ir a una Universidad
privada: A la menor le faltan 5 años para iniciar su carrera y a la mayor solo le faltan 3
años. Pensando en el costo de las inscripciones y demás gastos en que puedan incurrir
al momento de su ingreso a la universidad, lo cual por cierto desconoce cuánto deberá
pagar, entonces Samuel decide abrir dos cuentas de ahorro, una para cada una de sus
hijas en el Banco de la Región, el que le ofrece una tasa de interés del 14% Nominal
capitalizable bimestralmente. Las cuentas son aperturadas con el mismo monto inicial
para cada una de ellas, el cual es por la cantidad de $20,000.00 ¿Cuánto recibirá cada
una de las cuentas al retirar el monto total ahorrado al iniciar los estudios cada una de
las hijas?
HIJA MAYOR
VP = $20,000.00 i = 14% ´o 0.14 m = 2 meses n = 3 años VF = ?
*(1 / )nVF VP i m
HIJA MAYOR
(3*12)/2
(3*12)/2
18
$20,000.00*(1 ((0.14 /12)*2))
$20,000.00*(1 0.0233333)
$20,000.00*(1.0233333)
$20,000.00*1.514634759
$30,292.70
VF
VF
VF
VF
VF
182
Ejercicio Resuelto con simulador
Hija Mayor
HIJA MENOR
VP = $20,000.00
i = 14% ó 0.14
m = 2 meses
n = 5 años
VF = ?
Hija Menor
HIJA MENOR
(5*12)/2
(5*12)/2
30
$20,000.00*(1 ((0.14 /12)*2))
$20,000.00*(1 0.0233333)
$20,000.00*(1.0233333)
$20,000.00*1.997621476
$39,952.43
VF
VF
VF
VF
VF
183
Segundo caso
Del futuro al presente sería el siguiente escenario:
Samuel es padre de dos adolescentes las cuales tienen planeado ir a una Universidad
privada: A la menor le faltan 5 años para iniciar su carrera y a la mayor solo le faltan 3
años. Pensando en el costo de las inscripciones y demás gastos en que incurrirá al
momento de su ingreso a la universidad, Para la Hija mayor necesitará $35,000.00 y
para la hija menor requerirá $45,000.00 para cubrir los gastos de inscripción.
Entonces Samuel decide abrir dos cuentas de ahorro, una para cada una de sus hijas
en el Banco de la Región, el que le ofrece una tasa de interés del 14% Nominal
capitalizable bimestralmente. Las cuentas son aperturadas con el mismo monto inicial
para cada una de ellas, el cual es por la cantidad de $20,000.00 ¿Cuánto recibirá cada
una de las cuentas al retirar el monto total ahorrado al iniciar los estudios cada una de
las hijas?
HIJA MAYOR
VP = ¿ ? i = 14% ´o 0.14 m = 2 meses n = 3 años VF = $35,000.00
(1 / )n
VFVP
i m
HIJA MAYOR
(3*12)/2
(3*12)/2
18
$35,000.00
(1 ((.14 /12)*2))
$35,000.00
(1.0233333)
$35,000.00
(1.0233333)
$35,000.00
1.514635647
$23,107.88
VP
VF
VF
VF
VF
184
Comprobación con un simulador financiero
$23,107.86
HIJA MENOR
VP = ¿ ?
i = 14% ó 0.14
m = 2 meses
n = 5 años
VF = $45,000.00
(1 / )n
VFVP
i m
HIJA MENOR
(5*12)/2
(5*12)/2
30
$45,000.00
(1 ((.14 /12)*2))
$45,000.00
(1.0233333)
$45,000.00
(1.0233333)
$45,000.00
1.997621476
$22,526.79
VP
VF
VF
VF
VF
185
Comprobación con un simulador financiero
$22,526.76
Otro ejercicio
Luisa Reyes es una contadora muy diligente en sus labores cotidianas, actualmente tiene un cliente cuya empresa no considero el desgaste de una maquinaria, la cual muy pronto dejará de funcionar (estiman que en dos años pasará esto). El costo de reposición de una nueva maquinaria es de aproximadamente $153 (miles de dls.), por lo cual y teniendo en cuenta lo importante de esta maquinaria para el funcionamiento de la empresa, le propone a su cliente que considere dejar un porcentaje de las utilidades para las inversiones futuras. Si un Banco le ofrece una tasa de interés del 32% Nominal capitalizable trimestralmente. ¿El gerente de la
empresa desea saber cuánto debe dejar de sus utilidades para aperturar una cuenta de inversión que le pueda dar en los dos años, la cantidad requerida?
VP = ¿ ?
i = 32% ó 0.32 Nominal
m = 3 meses
n = 2 años
VF = $153 (miles de dls.)
(2*12)/3
(2*12)/3
8
$153 / (1 ((0.32 /12)*3))
$153 / (1 0.08)
$153 / (1.08)
$153
1.85093021
$82.66114 _ .
VP
VP
VP
VP
VP dls
(1 / )n
VFVP
i m
186
$82.66114 dls. ($82,66114 dls.)
4.1.2.- INFLACIÓN
Esta variable explica el cambio del valor del dinero en el tiempo, es decir, en períodos de inflación alta, nos afecta en nuestro poder adquisitivo, caso contrario cuando la inflación es baja no se resiente tanto, aunque también afecta pero en otros porcentajes.
En la práctica, todo negocio requiere ser analizado con la inclusión de todas las variables macro y micro que pudiesen afectarnos. Ante esto, La Tasa de Inflación constituye una medida para evaluar el valor de la moneda en determinado período. Ejemplo de ello: Una inflación anual del 10% eleva en promedio el precio de un bien de “x” cantidad a “1.10x” entre un período y otro (de un año al siguiente). Así, si el precio actual de un producto es “y” pesos, entonces el año anterior en promedio sería de y/1.10. Pastor (1999) señala un error que es muy común en la práctica, ya que se pensaría que el año anterior, el valor de 100 pesos, era de 90.
187
El verdadero significado es, que lo que hoy vale 100, hace un año hubiera sido de 100/1.10= 90.90909091 (comprobando 90.90909091 * 1.10% =100.00) Supongamos que en dos años la inflación continúa siendo del 10%. Hoy pagamos “x” pesos y en un año 1.10x pesos, en dos años 1.09 (1.09x)=(1.09)2x Su equivalencia sería, que lo que hoy nos cuesta “y” pesos, hubiéramos pagado y/1.10 pesos y hace dos años debimos haber pagado:
2)09.1(10.1*10.110.1
10.1 yy
y
Así, aplicando el factor de acumulación y el tiempo, en resumen podemos decir que:
Lo que hoy cuesta “X” pesos, con el tiempo “n” costará x n( i )1
Lo que hoy cuesta “Y” pesos, habría costado ni
y
)1(
Veamos otro ejemplo:
¿En cuánto tiempo se podría reducir el poder adquisitivo de la moneda a la mitad, si la tasa de inflación anual promedio es del 15%? (sólo es un ejemplo, no se asusten).
Esto en lenguaje coloquial sería, en que tiempo lo que hoy vale X pesos costará 2X pesos.
Despeja n de la ecuación x (1+i)n=2x además sustituye i = 0.15 y si divides por x llegamos a
(1.15)n = 2
188
Recordemos que en las ecuaciones en las que se tiene que despejar el exponente, se requiere utilizar logaritmos, de ahí que ahora tenemos:
Log ((1,15)n) = log (2) entonces Log ((1,15)n) es = a log (1.15)
Entonces
959.450606978403.0
3010299957.0
)15.1(log
)2log(
gn
Algo así como 4.959 años (casi cinco), el poder adquisitivo de la moneda será como de la mitad, o sea 1 peso, valdrá .50 centavos, desde luego si la inflación promedio fuera del 15% anual……….. Lo bueno es que sólo es un
ejemplo….
4.1.2.1- Calcular la tasa de Inflación Una pregunta que viene a coalición sería, ¿cómo podríamos calcular la tasa de inflación?
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189
De igual forma esta pregunta nos lleva a cuestionarnos acerca de: ¿cómo se puede calcular la tasa de inflación porcentual entre dos períodos de tiempo? Y ¿cuál sería la tasa de inflación promedio entre esos dos períodos de tiempo?
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Para ello primero debemos definir las variables a utilizar en el desarrollo de las fórmulas que utilizaremos, para ello consideramos la propuesta matemática del INEGI, la cual se da a partir de la siguiente: Notación:
ot Tiempo inicial
1t Tiempo final
( )ot INPCI Valor del Índice Nacional de Precios al Consumidor en la fecha inicial
( )1t INPCI Valor del Índice Nacional de Precios al Consumidor en la fecha final
1 , oi t t Tasa de inflación porcentual en el período (t0, t1), (t1>to)
1 , oi t t Tasa de inflación porcentual promedio en el período (t0, t1)
Para calcular la tasa de inflación porcentual del INPC 1 en el período (to, t1)
1 ( )
( )
1( , ) 1 *100
o
t INPC
o
t INPC
Ii t t
I
Para calcular la tasa de inflación porcentual promedio del INPC 1 en el período (to, t1)
1
1
0
1
( )
(1 ) 1 *1 0
, 0
o
t INPC
o t IN
t t
PC
I
i t t I
190
Refiere el INEGI en la metodología
empleada para el cálculo de la Tasa de
inflación Porcentual Promedio 1 , oi t t
en el lapso de tiempo 1( , )ot t , que dicha
tasa tiene la propiedad de aplicar al
índice 1 como una tasa de interés
compuesto constante durante 1 0( )t t
periodos, misma que generaría una tasa
porcentual de inflación similar que la
observada en todo el periodo de tiempo,
de ahí que sea denominada como tasa
promedio.
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A modo de ejemplo: 1.- Calcular la tasa de inflación observada entre noviembre del 2002 y julio del 2005 medida a través del INPC.
ot Tiempo inicial (noviembre del 2002)
1t Tiempo final (julio del 2005)
( )ot INPCI Valor del Índice Nacional de Precios al Consumidor en la fecha inicial
= 67.47653
( )1t INPCI Valor del Índice Nacional de Precios al Consumidor en la fecha final
=79.01873
1 , 79.01873/ 67.47653 1 *100 17.1055032oi t t
La inflación observada entre Noviembre del 2002 a Julio del 2005 es del 17.1055%
191
2.- Calcular la tasa media mensual de ese periodo:
1/30
1
( )79.01873 / 67.47653 1 *100
, oi t t
1
(0.0333333)1.171055032 1 *100 ,
)oi t t
1
1.005277374) 1 *100 , oi t t
1
0.52 ,
77373
92oi t t
1
0.527 _por ,
_cientooi t t
A manera de comprobación
30
1
1
1
, ((1.005277374) 1)*100
, 17.105485
, 17.10%
o
o
o
i t t
i t t
i t t
