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Captulo 7
RESPUESTA A CARGA
DINAMICA GENERAL
7.1
INTEGRAL DE DUHAMEL
Figura 7.1
Derivacin de la integral de Duhamel (no amortiguado)
El procedimiento descrito en el Captulo 6 para evaluar la
respuesta de la estructura a impulsos de corta duracin
sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinmica general.
Considerar la carga dinmica general p(t)de la
Figura 7.1, mas especficamente la intensidad de carga p()
actuando en el tiempo t=. Esta carga que acta
durante el intervalo corto de tiempo d produce un impulso de
corta duracin p()d sobre la estructura y la
ecuacin 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este
impulso, se debe notar que aunque este
procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duracin
de la carga se aproxima a acero. Por tanto para
un intervalo de tiempo d, la respuesta producida por la
cargap()es:
Para t > )()(
)(
tsenm
dpdu n
n
t (7.1)
d
t
p(t)
(t-
Respuesta du(t)
p()
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 72
En esta expresin el trmino du(t)representa la respuesta
diferencial al impulso diferencial y no la variacin de u
durante el intervalo de tiempo dt.
El histograma de carga completo consiste de una sucesin de
impulsos cortos, cada uno de ellos produce su
propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga
arbitraria es la suma de todos los impulsos de duracin
d, es decir:
t
nn
t dtsenpm
u
0
)()( )(1
(7.2)
esta es una expresin exacta llamada integral de Duhamel. Debido
a que esta basada en el principio de
superposicin solamente es aplicable a estructuras linealmente
elsticas.
En la ecuacin 7.2 se asume tcitamente que la carga se inicia en
el tiempo t=0 cuando la estructura esta en
reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo 0)0( u y
0)0( u se aade la respuesta en vibracin
libre a la solucin, entonces se tiene:
t
nn
nnn
t dtsenpm
tutsenu
u
0
)()0(
)0(
)( )(1
cos
(7.3)
usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la
repuesta se determina asumiendo condiciones
iniciales en reposo para una fuerzap(t)=p0 y t>0, entonces la
ecuacin 7.2 es:
)cos1()(cos
)( 0
0
0
0
0)( t
k
pt
m
pdtsen
m
pu n
t
n
n
n
t
n
n
t
7.2 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.
Si la funcin de carga es integrable, la respuesta dinmica de la
estructura puede ser evaluada por integracin
formal de la ecuacin 7.2 7.3; sin embargo en muchos casos la
carga es conocida solo de datos experimentales,
y la respuesta debe ser evaluada por procesos numricos. Para el
anlisis es prctico utilizar la identidad
trigonomtrica nnnnnn senttsentsen coscos)( para reformular la
ecuacin 7.2:
t t
nn
nnn
nt dsenpm
tdpm
tsenu
0 0
)()()(
1coscos
1
tBtsenAu ntntt cos)()()( (7.4)
donde:
t
nn
t dpm
A
0
)()( cos1
(7.5)
t
nn
t dsenpm
B
0
)()(
1
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 73
7.3 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.
El anlisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la
respuesta de un sistema amortiguado a una carga
general es similar al anlisis para un sistema no amortiguado,
con la nica variante que la respuesta en vibracin
libre iniciada por un impulso diferencial p()d esta sujeta a un
decremento exponencial. De este modo
estableciendo u(0)=0 y mdpu /)( )()0( en la ecuacin 4.15 da:
)(
)()()(
tsen
m
dpedu D
D
tt
n (7.6)
la respuesta de la carga total arbitraria es:
t
Dt
Dt dtsenep
mu n
0
)()()( )(
1
(7.7)
para una evaluacin numrica de la respuesta del sistema
amortiguado la ecuacin 7.7 puede ser escrita en forma
similar a la ecuacin 7.4:
tBtsenAu DtDtt cos)()()( (7.8)
donde en este caso:
t
DtD
t
t
DtD
t
dsene
ep
mB
de
ep
mA
n
n
n
n
0
)()(
0
)()(
1
cos1
(7.9)
Para la excitacin dinmica debida a la aceleracin del suelo, la
fuerzap() toma el valor de:
)()( gump (7.10)
7.4 EVALUACIN NUMRICA DE LA RESPUESTA DINMICA1
La solucin analtica de la ecuacin de movimiento para un sistema
simple no es posible si la excitacin (fuerza
aplicadap(t)o aceleracin del suelo )(tgu ) vara arbitrariamente
con el tiempo, o si el sistema no es lineal.
Un mtodo ms general de solucin consiste en el clculo iterativo
de la respuesta a travs de una serie de
clculos utilizando interpolacin lineal, el cual es un
procedimiento numrico altamente eficiente que puede ser
desarrollado para sistemas lineales.
La Figura 7.2 muestra una funcin de excitacin en forma general,
la cual es aproximada a travs de una serie de
lneas rectas suficientemente cercanas, de tal forma que se asume
una discrepancia muy pequea, es decir, si el
intervalo de tiempo es muy pequeo la interpolacin lineal es
satisfactoria. La funcin de excitacin para el
intervalo de tiempo 1 ii ttt est dada por:
i
ii
t
ppp
)( (7.11)
1Anil K. Chopra, pp 155-185 [ref. 12]
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 74
donde:
iii ppp 1 (7.12)
y la variable de tiempo vara de 0 a ti. Para simplificar
algebraicamente se considera primero a un sistema sin
amortiguamiento. Para este caso la ecuacin a ser resuelta
es:
i
ii
t
ppukum
(7.13)
Figura 7.2
Interpolacin lineal
La respuesta u()para it 0 es la suma de tres partes: (1)la
vibracin libre debido al desplazamiento inicial
uiy velocidad iu para =0. (2) la respuesta para la fuerza picon
condiciones iniciales de cero. (3)la respuesta
para (pi/ti) con condiciones iniciales de cero. Adoptando las
soluciones disponibles de los prrafos
precedentes para estos tres casos la respuesta total es:
in
n
i
in
in
n
ini
t
sen
tk
p
k
psen
uuu
cos1cos)(
y (7.14)
)cos1(1
cos)(
nin
in
in
n
ini
n tk
psen
k
pusenu
u
Evaluando estas ecuaciones para =tiproporciona el desplazamiento
ui+1y la velocidad 1iu en el tiempo i+1:
)(1
)cos(1)()cos(1 ininin
iin
iin
n
iinii tsent
tk
pt
k
ptsen
utuu
(7.15)
)cos(11
)()cos()(1
inin
iin
iin
n
iini
n
it
tk
ptsen
k
pt
utsenu
u
t
p(t)
Real
Interpolado:p()
ti ti+1
pi
pi+1
ti
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 75
Estas ecuaciones se pueden replantear despus de sustituir la
ecuacin 7.12 como frmulas recurrentes:
11 iiiii pDpCuBuAu
(7.16)
11 iiiii pDpCuBuAu
estas frmulas tambin son aplicables para sistemas amortiguados,
las cuales tienen sus respectivas expresiones
para los coeficientes A, B,..., D; y stas estn dadas en la
Tabla25.2.1 [ref .12] para sistemas subamortiguados;
cuyo ttulo es: Coeficientes para las frmulas recurrentes (<
1).
2Anil K. Chopra, pp 159 [ref. 12]
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 76
7.5 EJEMPLOS
Ejemplo 7.13 Integral de Duhamel para un sistema sin
amortiguamiento
Calcular la respuesta dinmica del tanque de agua de la Figura
7.3, el cual est sujeto a una carga explosiva cuyo
histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
Figura 7.3
Solucin
Para la resolucin de este problema se utiliza a continuacin
Mathcad 2000, el cual es un programa de
anlisis matemtico que hace ms fcil la resolucin de integrales de
este tipo.
Clculos adicionales
Gravedad [ft/s2]: 3.32:g
Frecuencia natural: w
gk
n
:
Periodo natural:n
nT
2:
Primera fase, para 0
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 77
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32: )()()( tBtsenAw
u ntntn
t
La respuesta de fuerza elstica es:
)()( : tt ukf
La respuesta de velocidad4es:
)()( : tdtd
t uv
Segunda fase, para 0.025
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 78
La respuesta de desplazamiento para vibracin libre es:
)cos()(: )05.0()05.0(
)( sresssenvel
reslib ntrnn
tr
s
La respuesta de fuerza elstica para la vibracin libre es:
)()(:
ss reslibkflib
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta mxima: Fuerza[k]=69.214 en un tiempo [s]=0.0772
Respuesta mxima: Desplazamiento[ft]=0.025635 en un tiempo
[s]=0.0772
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25100
75
50
25
0
25
50
75
100
Respuesta de Fuerza Elstica
tiempo [s]
fuezaelsti
ca[k]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.04
0.03
0.02
0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Respuesta de Desplazamiento
tiempo [s]
d
esplazamiento[ft]
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 79
Ejemplo 7.26 Integral de Duhamel para un sistema con
amortiguamiento
Calcular la respuesta dinmica del tanque de agua de la Figura
7.4 que tiene una razn de amortiguamiento
=5%, el cual est sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de
fuerza se muestra en la misma figura.
Figura 7.4
Solucin
Clculos adicionales
Gravedad [ft/s2]: 3.32:g
Frecuencia natural:w
gkn
:
Periodo natural:n
nT
2:
Razn de amortiguamiento: 05.0:
Frecuencia de amortiguamiento:2
1: nD
Primera fase, para 0
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 80
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32: )()()( tBtsenAw
u DtDtD
t
La respuesta de fuerza elstica es:
)()( : tt ukf
La respuesta de velocidad7es:
)()( : tdtd
t uv
Segunda fase, para 0.025
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Conceptos generales en el anlisis dinmico 81
La respuesta de desplazamiento para vibracin libre es:
)()cos(:
)05.0()05.0(
)05.0()( ssenresvel
sresereslib DD
trntr
Dtrs
sn
La respuesta de fuerza elstica para la vibracin libre es:
)()(:
ss reslibkflib
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta mxima: Fuerza[k]=64.1402 en un tiempo [s]=0.0758
Respuesta mxima: Desplazamiento[ft]=0.023756 en un tiempo
[s]=0.075
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6100
75
50
25
0
25
50
75
100
Respuesta de Fuerza Elstica
tiempo [s]
fueza
elstica[K]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.03
0.0225
0.015
0.0075
0
0.0075
0.015
0.0225
0.03Respuesta de Desplazamiento
tiempo [s]
desplazamiento[ft]
