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CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LAS SECCIONES
1. SOBRE EL MOMENTO DE INERCIA
Eje respecto al cual se ha calcular
La elección del eje respecto al cual se ha de calcular el momento de inercia que
interviene en los cálculos es una de las dudas que se plantean con más frecuencia en
problemas de análisis estructural, y la elección equivocada uno de los errores más
habituales en los problemas.
La figura muestra una viga genérica sometida a dos sistemas de fuerzas repartidas, las q
que actúan en dirección Y y las p que lo hacen en dirección Z. La viga se ha dibujado de
sección rectangular, pero el razonamiento que se va a realizar es válido para cualquier
sección siempre que los ejes Y y Z sean los principales de inercia de ésta. Esto no supone
ninguna limitación, ya que, el cálculo matricial siempre se plantea en ejes principales de
inercia.
La fuerza p origina momentos flectores de eje Y y distribuciones de tensiones X que
varían linealmente con Z y tiene la fibra neutra paralela al eje Y, las cuales pueden
expresarse como:
kZX
Donde K es una constante. Para determinarla se impone que el momento resultante de
la distribución tiene que ser el momento flector que actúa sobre la sección, de la
siguiente manera:
YXY kIdZkdkZdZM
22
Donde:
Y
Y
I
MK Z
I
M
Y
YX
Por otra parte, a la distribución tensional anterior le corresponde una distribución de
alargamientos unitarios dada por:
Z
EI
M
E
ZZ
Y
YX
)(
Que produce una deformación de un prisma elemental de viga (un tramo longitudinal
dX) mostrada en la figura, a partir de la cual se determina la relación de momentos-
curvaturas siguiente:
Y
YY
EI
M
Finalmente, considerando que una rebanada elemental de la viga se deforma como se
acaba de describir mientras el resto permanece rígida y el tramo entre el extremo dorsal
A y la rebanada deformada queda inmóvil, se establece la aportación (diferencial) de la
rebanada en cuestión a los movimientos del punto B como se muestra en la figura:
Sumando las aportaciones de todas las rebanadas elementales entre A y B mediante
sendas integrales, y añadiendo a cada una el efecto en B del movimiento de la barra AB
como sólido rígido, provocada por el movimiento de A, se obtienen las fórmulas de
Navier-Bresse para la flexión estudiada
dXEI
MdX
B
A Y
YA
B
A
YAB
dXXXEI
MLvdXXXLvv
B
A
B
Y
YAAB
B
A
YAAB
Falta añadir, si se quiere tener en cuenta, el efecto de la deformación por cortante. Los
teoremas de Mohr provienen de una interpretación geométrica de estas expresiones.
Queda claro, por tanto, que el momento de inercia que interviene en la flexión originada
por fuerzas paralelas al eje principal Z es IY, es decir, el momento de inercia respecto al
eje perpendicular a las fuerzas exteriores, o paralelo al eje de los momentos (tanto
exteriores como flectores), o paralelo a la fibra neutra de la distribución de tensiones
normales.
Es evidente que si se hubiera empezado el razonamiento con una fuerza q paralela al
eje Y, siguiendo un proceso análogo donde tan sólo cambiaría algún signo, se habría
justificado que el momento de inercia a considerar en este caso es IZ, que también sería
el momento calculado respecto a un eje perpendicular a las fuerzas exteriores, o
paralelo a los momentos o a la fibra neutra.
Finalmente, para obtener la relación de transferencia y la matriz de flexibilidad de una
barra recta de sección constante a partir de los teoremas de Mohr o las fórmulas de
Navier-Bresse, y basándose en una u otra se puede determinar la relación de rigidez. Así
pues, el momento de inercia que hay que considerar en la determinación de esta matriz
es el mismo que el que interviene en las mencionadas fórmulas.
RESUMEN
El momento de inercia que interviene en las expresiones que describen la flexión
originada por fuerzas paralelas a una de los ejes principales de inercia de la sección
transversal (incluida la matriz de rigidez entre estas expresiones) se calcula respecto
a:
El eje principal perpendicular al plano que contiene las líneas de acción de las
fuerzas exteriores o
El eje principal paralelo al eje de los momentos exteriores y de los momentos
flectores, o
El eje principal paralelo a la fibra neutra de la distribución de tensiones
normales.
Las tres definiciones son equivalentes. El eje, además, tiene que pasar por el centro de
gravedad de la sección transversal.
Finalmente, no es cierto que el momento de inercia a considerar sea siempre el mayor
momento principal de inercia de la sección. El momento de inercia a considerar queda
determinado por la posición de la sección transversal y de la dirección de las fuerzas
exteriores, no por el hecho de ser mayor o menor.
SOBRE EL MÓDULO DE TORSIÓN
Determinación del módulo de torsión
Fórmulas
Por lo que respecta a la determinación del módulo de torsión, se han de diferenciar tres
tipos secciones:
Las secciones macizas. Se ha de conocer la fórmula específica que lo determina
para la forma particular de la sección que se está tratando. Si no son
excesivamente alargadas, se suelen comportan bien a torsión; en estos casos se
puede determinar el orden de magnitud del módulo de torsión mediante:
0
2
4
4 I
AJ
Donde A es el área de la sección y I0 es el momento polar de inercia de ésta
respecto al centro de gravedad. Esta fórmula es exacta para secciones elípticas.
Las secciones abiertas de poco espesor. En general, no se comportan bien
sometidas a torsión:
Si se trata de secciones sin ramificaciones, que se transformarían en un
rectángulo muy alargado si pudiéramos estirar la línea media de la pared
hasta convertirla en un segmento de recta, el módulo de torsión se puede
calcular como:
3
3Le
J
Donde L es la longitud de la línea media y e es el espesor de la pared. En
esta categoría se incluyen las secciones de chapa plegada en frío, como
son las secciones en C, Z o Ω.
Si se trata de secciones que se pueden descomponer en rectángulos
alargados el módulo de torsión se calcula como:
2
3
03,022,033,0
i
i
i
ii
ii
i
i
b
e
b
e
ebJ
Siendo 1i
i
b
e
En esta categoría se incluyen los perfiles metálicos laminados.
Las secciones vacías, cerradas o de poco espesor. Se comportan bien sometidas
a torsión.
Si se trata de secciones simplemente conexas (unicelulares, con
un solo hueco en su interior) el módulo de torsión se calcula
mediante la fórmula de Bredt:
e
ds
AJ a
24
En la cual Aa representa el área cerrada por la línea media de la
pared, e el grosor de ésta y la integral se extiende a toda la
longitud de la citada línea media (s es la longitud de arco sobre
ella).
Si se trata de secciones múltiplemente conexas (multicelulares,
con más de un hueco interior) el módulo de torsión se determina
por el método Blaise, que podéis consultar en la bibliografía. No
obstante, la sección simplemente conexa obtenida eliminando de
la original todas las paredes que subdividen el hueco interior
proporciona una buena aproximación de J.
Si se trata de una sección formada por un núcleo cerrado de poco
espesor al cual están unidos algunos elementos abiertos y
delgados (como los voladizos laterales en la figura), simplemente
se pueden prescindir de estos elementos abiertos ya que la
influencia que tienen en la torsión es despreciable.
Errores que se han de evitar
Distinguir entre secciones cerradas y secciones que se pueden descomponer en
rectángulos
El carácter de abiertas o cerradas establece la distinción básica entre los diferentes tipos
de secciones de pared delgada, y que la resistencia a la torsión de las primeras es escasa
y la de las segundas es apreciable. Es por eso que una sección cerrada nunca se puede
tratar como una sección abierta que se puede dividir en rectángulos.
SOBRE EL FACTOR DE CORTANTE
¿Qué representan αY y αZ?
En la unidad 1 se ha introducido el factor de cortante como la forma adecuada de
representar la rigidez de la viga frente al cortante (GAQ), o la flexibilidad, que es la
inversa, en la formulación matricial del método de rigidez.
El factor de cortante α se calcula a partir de las rigideces a flexión EI y a cortante GAQ
que intervienen en cada caso concreto.
La nomenclatura es muy sencilla. En el caso del pórtico plano los cortantes son QY, los
momentos flectores MZ, el área de cortante AQY y el momento de inercia IZ, por la cual
cosa es evidente que:
2
12
LGA
EI
QY
ZY
Por otra parte, en el caso del emparrillado plano los cortantes son Qz, los flectores MY,
el área de cortante AQZ y el momento de inercia IY, con lo cual:
2
12
LGA
EI
QZ
YZ
En el caso de la estructura espacial las dos respuestas anteriores, que están
desacopladas, se presentan simultáneamente. En consecuencia, las fórmulas siguen
siendo válidas.