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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS
POSTGRADO EN MODELOS ALEATORIOS
Caracterizacion de las Interrupciones de Servicio Electrico en la
Gran Caracas, Atribuibles a Eventos en el Sistema de
Transmision de CORPOELEC Region Capital, Basado en el
Analisis Multi-Resolucion de Procesos de Poisson no Homogeneos
Autor: Ing. Soiram Ernesto Silva Artigas
Tutor: Dra. Glaysar Castro
Trabajo de Grado de Maestrıa presenta-
do ante la ilustre Universidad Central de
Venezuela para optar al tıtulo de Magister
Scientiarium, Mencion Modelos Aleatorios.
Caracas, Venezuela
Enero 2013
Indice general
Resumen 1
Capıtulo 1. Justificacion, Antecedentes y Planteamiento del Problema de Investigacion
en Torno al Sistema Electrico CORPOELEC Region Capital 3
1. Descripcion General del Sistema Electrico de Potencia de la Region Capital 3
2. La Calidad del Servicio de Energıa Electrica 6
3. Fallas en el Sistema Electrico 7
4. El Problema de Investigacion y Estructura de la Tesis 9
Capıtulo 2. Ocurrencia de Interrupciones Permanentes Visto como Proceso de Conteo
con Comportamiento Ciclico de Multiples Periodicidades 12
1. Ocurrencia de Interrupciones Permanentes y Procesos Puntuales o de Conteo 12
2. No Homogeneidad en la Ocurrencia de Interrupciones de Servicio en el Sistema
de Transmision CORPOELEC region Capital 15
3. Comportamiento Cıclico de la no Homogeneidad en la Ocurrencia de
Interrupciones de Servicio en el Sistema de Transmision CORPOELEC region
Capital 18
Capıtulo 3. Procesos de Poisson, No Homogeneidad Periodicidad y Metodos de
Estimacion 24
1. Procesos Puntuales: Conceptos Fundamentales 24
2. Procesos de Poisson 26
3. Procesos de Poisson Homogeneos 27
4. Ubicacion del Modelo de Poisson en el Contexto de Estudio 29
5. Transformacion de Procesos de Poisson 30
6. Proceso de Poisson no Homogeneo PPNH Unidimensional 33
7. Propiedad de Estadıstico de Orden 35
ii
Indice general iii
8. Tendencias en la Estimacion de PPNH 41
9. Procedimiento Multiresolucion para la Estimacion de un PPNH 44
10. Base Teorica del Procedimiento Multiresolucon 49
11. Forma Funcional y Estimacion de Funciones Auxiliares Ri(.) 59
12. Test de Razon de Verosimilitudes para Determinar el Grado de Cada Funcion
Auxiliar Estimada Ri(.) 60
13. Formulacion de Medidas de Desempeno 69
14. Simulacion de PPNH con Funcion de Valor Medio estimada el Pocedimiento de
Analisis Multiresolucion 73
Capıtulo 4. Aplicacion del Metodo de Analisis Multiresolucion en la Ocurrencia de
Interrupciones Permanentes en el Sistema de Transmision CORPOELEC
Region Capital. 77
1. Caracteristicas Generales del Proceso Observado 77
2. Caracterizacion de la Resolucion Inicial (Cero) 78
Resumen
Los Sistemas Electricos de Potencia tienen la finalidad de proveer a la sociedad la energıa
electrica requerida por los distintos procesos grupales o individuales que dentro de su seno se
llevan a cabo. En ese sentido la disponibilidad y continuidad del servicio, dentro de lo que se
conocen como ¨Condiciones Normales de Operacion¨, se constituye en uno de los principales
objetivos de todo sistema de potencia. Las condiciones socio-ambientales en las cuales se
encuentra distribuida toda la infraestructura de estos sistemas, los hacen vulnerables a la
ocurrencia de fallas que generan interrupciones permanentes del servicio, las cuales afectan
a grupos de usuarios que se sirven del sistema. El estudio, analisis y caracterizacion de los
patrones de ocurrencia de dichos eventos, particularmente en el sistema de potencia que
surte de energıa electrica a la Gran Caracas, son el centro y objeto de estudio del presente
trabajo de investigacion. En el se plantea una caracterizacion o modelacion matematica del
comportamiento de las interrupciones de servicio que son atribuibles u originadas, por pertur-
baciones a nivel del sistema de transmision de energıa electrica que surte a la Gran Caracas,
el cual es administrado por la Corporacion Electrica Nacional (CORPOELEC) a traves de la
Sub-Comisionadurıa de Transmision de la Region Capital. En el proceso de caracterizacion
o modelado de dicho comportamiento, se plantea asumir el enfoque de la familia de Procesos
Aleatorios denominados Procesos Puntuales, y en especıfico, los conocidos como ¨Procesos
de Poisson no Homogeneos¨ (PPNH). De esta forma se busca tener un modelo adecuado
que tome en cuenta la evolucion temporal de la intensidad en la frecuencia de ocurrencia de
interrupciones. En la construccion del modelo se ha evidenciado que la intensidad indicada
presenta un comportamiento periodico con multiples frecuencias correspondientes a perıodos
de duracion anual, trimestral, semanal y diario. Para el modelado de tales periodicidades,
los datos aportados son estudiados mediante la tecnica conocida como Analisis Multireso-
lucion. Esta permite estimar las funciones de intensidad y de valor medio del proceso por
medio del ajuste progresivo de cada componente de frecuencia detectada, mediante el uso
de funciones caracterısticas estimadas para una frecuencia o resolucion especıfica del PPNH.
1
RESUMEN 2
Adicionalmente se analiza el problema desde la perspectiva de los procesos periodicamente
correlacionados a los efectos hacer comparaciones sobre la bondad de ajuste a la serie de
datos observados.
Capıtulo 1
Justificacion, Antecedentes y Planteamiento del Problema de
Investigacion en Torno al Sistema Electrico CORPOELEC Region
Capital
1. Descripcion General del Sistema Electrico de Potencia de la Region Capital
La Corporacion Electrica Nacional (CORPOELEC) es la empresa responsable de proveer
energıa electrica a toda la Republica Bolivariana de Venezuela. La region capital de la republi-
ca especıficamente las zonas de: Caracas, Guatire, Guarenas, Edo Vargas, y Altos Mirandinos
son servidas por el subsistema CORPOELEC-Region Capital que antes del proceso de Na-
cionalizacion del Sector Electrico Venezolano llevado a cabo en el ano 2007, constituıa la
empresa conocida como La Electricidad de Caracas (EDC). Para llevar a cabo su funcion,
CORPOELEC Region Capital, dispone de un sistema electrico de potencia que esta consti-
tuido por los siguientes sub-sistemas ordenados en forma jerarquica:
Generacion constituido por los complejos generadores ubicados en la region capital.
Transmision y Sub Transmision a 230 kV, 69 kV y 30 kV.
Distribucion y Comercializacion a 12.47 kV, 8kV y 4.8 kV.
Los subsistemas indicados son administrados por las sub comisionadurıas de Generacion,
Transmision, Distribucion y Comercializacion que tienen responsabilidad en el ambito de la
Region Capital, y que junto a las correspondientes subcomisionadurıas de otras regiones del
pais, conforman las respectivas Comisionadurıas Nacionales.
A nivel de transmision, la Region Capital dispone de conexiones con la red troncal Guri-
Centro que permiten el intercambio energetico con las demas sub-comisionadurıas de trans-
mision regionales de CORPOELEC que integran el Sistema Electrico Nacional (S.E.N.) y
3
1. DESCRIPCION GENERAL DEL SISTEMA ELECTRICO DE POTENCIA DE LA REGION CAPITAL 4
conforman lo que se conoce como Sistema Interconectado Nacional (S.I.N.).
En cualquier Sistema Electrico de Potencia, el nivel de transmision y sub-transmision tiene
como principal funcion, el transporte de grandes bloques de energıa producidos en el nivel
de generacion hasta los centros de consumo. En el caso del la Region Capital (y tambien
otras regiones de la republica), a nivel de transmision ademas de transportar dicha energıa,
tambien se transporta aquella proveniente del S.I.N. y que es generada en otras regiones de
Venezuela principalmente de la region de Guayana.
El proceso de transporte que se lleva a cabo en el nivel de transmision y sub-transmision,
se efectua a traves de lıneas trifasicas de alta capacidad de transporte, y subestaciones de
interconexion y de distribucion que operan por razones tecnicas y economicas a tensiones
elevadas. En el caso de la Region Capital en el orden de 30.000, 69.000 y 230.000 Voltios (30
kV, 69 kV y 230 kV).
Los usuarios finales de CORPOELEC ubicados en los centros de consumo de la Region
Capital, reciben el servicio electrico a traves del nivel de distribucion y comercializacion,
por medio de una interfase que permite el acceso a la energıa disponible en transmision,
disponiendo de esta a tensiones de distribucion en el orden de 4.800, 8.000 y 12.470 voltios
(4.8 kV, 8kV y 12.47 kV).
La interfase entre los niveles de transmision y de distribucion esta constituida por las Subesta-
ciones (S/E) de Distribucion disponibles las cuales forman parte del nivel de Transmision.
Estas tienen la funcion de reducir la tension a niveles de distribucion (4.8 kV, 8 kV y 12.47
kV) por medio de transformadores de potencia de alta capacidad (en el orden de las dece-
nas y cientos de MVA), y al mismo tiempo controlar y dirigir el flujo de energıa hacia los
usuarios de la red ubicados aguas abajo de dichas subestaciones. Ademas de ello las S/E
de Distribucion, deben proteger al sistema de eventuales fallas por medio de esquemas de
proteccion constituidos por interruptores de potencia, reconectadores, fusibles, pararrayos y
otros equipos de proteccion y maniobra.
1. DESCRIPCION GENERAL DEL SISTEMA ELECTRICO DE POTENCIA DE LA REGION CAPITAL 5
Los niveles de tension de 4.8 kV, 8 kV y 12.47 kV con que opera el sistema de distribu-
cion de la Region Capital permite un manejo con complejidad y seguridad controlada de
la energıa electrica disponible para su respectiva distribucion a traves de lıneas de distribu-
cion y transformadores de distribucion que son mucho mas sencillos que sus contrapartes de
transmision y potencia tanto en tamano, capacidad (en el orden de los KVA), costo, esque-
mas de proteccion, montaje y mantenimiento. Los transformadores de distribucion proveen
la reduccion final de la tension a los niveles de consumo residencial e industrial, conocido
como Baja Tension, con valores de 110, 208 y 440 Voltios monofasico, bifasico o trifasico en
la mayorıa de los casos.
Figura 1.1. Diagrama de Bloques Simplificado del Sistema Electrico de la Region Capital.
En la Figura 1.1 se puede apreciar un diagrama de bloques simplificado para el sistema
electrico capitalino operando en condiciones normales (no en condiciones de falla). La flecha
en doble sentido indica la bidireccionalidad en el flujo de potencia (flujo de energıa) dentro
del sistema.
2. LA CALIDAD DEL SERVICIO DE ENERGIA ELECTRICA 6
2. La Calidad del Servicio de Energıa Electrica
En la actualidad con la nueva Ley Organica del Sistema y Servicio Electrico (LOSSE),
se pretende cambiar el concepto de subscriptor por el de usuario. En este sentido el usuario
tiene el derecho de ¨Obtener el suministro de energıa electrica oportuno y de calidad por
parte del operador y prestador del servicio¨ (Art 34 LOSSE).
Para poder mantener las condiciones de servicio en los terminos de calidad y continuidad
planteados por la LOSSE, el S.E.N. posee una estructura centralizada de mando y control
que opera sobre todas las regiones operativas de CORPOELEC a nivel nacional conocida
como Centro Nacional de Gestion del Sistema Electrico CNG, antigua OPSIS (Oficina de
Operaciones de Sistemas Interconectados). El CNG tiene como finalidad coordinar las dis-
tintas operaciones y maniobras que cada region debe ejecutar garantizando la estabilidad,
seguridad e integridad de todo el S.E.N.. La necesidad de coordinacion entre regiones surge
del hecho de que ninguna de ellas es un Sistema Aislado, y por el contrario estan integradas
en un todo mayor (el S.E.N.) a traves del Sistema Interconectado Nacional (S.I.N). De tal
forma que las consecuencias de operaciones y maniobras que se realicen dentro de una de-
terminada region, puede tener repercuciones directas sobre el resto del sistema.
Para llevar a cabo el mando y control del Sistema, El CNG dirige dentro de su estructura
al Centro Nacional de Despacho de Carga, el cual tiene como funcion principal la adminis-
tracion y control de las operaciones, maniobras y los intercambios energeticos que se dan
entre regiones operativas y entre los niveles de generacion y transmision por intermedio del
Sistema Interconectado Nacional (S.I.N.) que comprende a las lıneas y subestaciones que
operan a niveles de tension de 765 kV, 400 kV y 230 kV.
Para poder cumplir su funcion, el Centro Nacional de Despacho de Carga coordina sus
operaciones con los Centros Regionales de Despacho de Carga que son los reponsables de las
operaciones y maniobras regionales del Sistema. En el caso de la Region Capital, el Centro
de Despacho de Carga dispone de un sistema de adquisicion de datos (SCADA), que per-
mite el monitoreo y control permanente de todas las lıneas y subestaciones que componen
el nivel de transmision de la Region Capital. A traves del monitoreo permanente y la accion
3. FALLAS EN EL SISTEMA ELECTRICO 7
coordinada con el Centro Nacional de Despacho se pretende mantener a la Transmision y
sub-transmision en condicion de disponibilidad operativa para que el nivel de distribucion
pueda disponer de la energıa requerida por los usuarios finales con la calidad y continuidad
a las cuales tienen derecho.
Cuando se habla de calidad del servicio electrico se refiere a que cada usuario pueda disponer
de valores adecuados de ciertos parametros electricos y de sistema definidos en normas tecni-
cas. Para medir la calidad del servicio se toman en cuenta fundamentalmente las siguientes
variables del sistema medidas en el punto de conexion con el usuario:
Nivel de tension
Frecuencia
Nivel de distorsion armonica
Continuidad del servicio
La Sub-Comisionadurıa de Transmision de la Region Capital de CORPOELEC, controla
el centro de despacho de carga del nivel de transmision en el Sistema Electrico de la Gran
Caracas.
3. Fallas en el Sistema Electrico
Dada la caracterıstica de sistemas extensos geograficamente, expuestos al medio am-
biente, al ecosistema y sus condiciones, que ademas estan insertos fısicamente dentro de
conglomerados humanos (sociedad), frecuentemente ocurren contingencias que se traducen
en condiciones de operacion y de falla imposibles de anticipar con exactitud, todo ello a
pesar del seguimiento y control en tiempo real de la operacion del sistema que efectua el
Centro de Despacho de Carga. Estas situaciones no pueden ser anticipadas por los estudios
clasicos de sistemas electricos de potencia, tales como: Flujos de Carga, Despacho economico
de carga, Analisis de fallas y de estabilidad transitoria, todos ellos de caracterısticas estric-
tamente determinısticas y que permiten analizar y predecir el comportamiento del sistema
ante condiciones de operacion y de falla preestablecidas. Entre las situaciones que llevan a
3. FALLAS EN EL SISTEMA ELECTRICO 8
la ocurrencia de fallas en la operacion del sistema se pueden mencionar las siguientes:
Fallas de equipos por envejecimiento o por defectos de fabrica.
Descargas Atmosfericas, huracanes, terremotos y demas fenomenos naturales.
Incendios, inundaciones, explosiones.
Hurtos y demas situaciones atribuibles al comportamiento social como saqueos acci-
dentes y otros.
Fallas humanas del personal de la empresa, tales como:
• Errores en la operacion del sistema.
• Vicios en las construcciones.
• Interaccion con el ecosistema particularmente con la vegetacion y fauna animal.
Solo por citar algunas. Estas situaciones no predecibles causan fallas (contingencias) en el
sistema las cuales de acuerdo a la severidad pueden derivar en interrupciones del servicio a
nivel de los usuarios y por lo tanto afectacion de la calidad del servicio y continuidad que la
empresa ofrece.
La Sub-Comisionadurıa de transmision de la Region Capital de CORPOELEC, tiene entre
sus funciones almacenar y procesar la informacion que el despacho de carga genera referente
a las fallas que dıa a dıa se producen en el sistema de transmision de la Region Capital.
Con base al analisis de dicha informacion se toman decisiones de planificacion del sistema de
transmision que buscan reforzarlo con miras a mantener la disponibilidad operativa requeri-
da del mismo por parte del sistema de distribucion y de esta forma mantener los parametros
de Calidad y continuidad de Servicio ofrecidos al usuario dentro de cierto margen de valores
tolerables.
Es fundamental mantener el sistema de transmision lo mas posible libre de fallas, dado
que las fallas en transmision pueden tener repercusion directa en el sistema de distribucion
y por lo tanto en los usuarios finales del servicio. Dadas las caracterısticas de redundancia
con que esta configurada la red del sistema de transmision de la Region Capital, no toda
falla conduce a una interrupcion del servicio. Dicha configuracion de red permite realizar
4. EL PROBLEMA DE INVESTIGACION Y ESTRUCTURA DE LA TESIS 9
maniobras de transferencia de carga a circuitos alternos al fallado y en ese caso no ocurre
una interrupcion del servicio. Por otro lado la falla en si misma puede no ser de caracter per-
manente y durar pocos instantes de segundos despejandose sin la intervencion de la empresa
salvo posiblemente la necesidad de algun intento de reenganche del circuito en falla. En fin,
el pronto despeje de la falla no requiere de intervenciones mayores del personal de la empresa.
Segun indican los representantes de la Sub Comisonaduria de Transmision de la Region
Capital, el sistema de transmision objeto de estudio (Region Capital), en buena parte de sus
circuitos esta disenado con base al criterio de confiabilidad conocido como N-1. El mismo
consiste en que dicho sistema puede mantener su disponibilidad operativa ante la ocurrencia
de una contingencia de caracter permanente, y por lo tanto puede seguir operando al estar
inhabilitado uno de sus componentes (por ejemplo la salida permanente de una lınea).
4. El Problema de Investigacion y Estructura de la Tesis
Con base a lo expuesto en la seccion precedente, es de interes para la sub comisionadurıa
de transmision de la region Capital, el centrar su atencion en aquellas contingencias que
ponen alguna parte del sistema de transmision en condicion de indisponibilidad operativa,
y que en consecuencia ocasionan a nivel del sistema de distribucion interrupciones perma-
nentes del servicio en grupos de usuarios.
CORPOELEC Region Capital considera como interrupciones de caracter permanente aquel-
las que superan el minuto en su duracion (Duracion de la interrupcion d ≥ 1 min). Tambien es
de importancia el tomar en consideracion la severidad de la misma, medida como el tamano
nominal del bloque de potencia electrica que es afectado con la interupcion. La potencia
interrumpida p se mide en unidades que son multiplos de un VA (Voltio*Amperio). Asi se
tienen unidades como KVA (Kilo Voltio*Amperio) y MVA (Mega Voltio*Amperio).
El producto de la potencia electrica interumpida p por la duracion d del evento p ∗ d tiene
dos interpretaciones a saber: 1) Da una medida de la cantidad maxima de energıa no su-
ministrada E a los usuarios en MVA-min (MVA*min). 2) Indica la duracion total dT de la
interrupcion sobre los usuarios afectados.
4. EL PROBLEMA DE INVESTIGACION Y ESTRUCTURA DE LA TESIS 10
La primera interpretacion es derivada de la relacion que existe entre los conceptos fısicos
de energıa y potencia. Cuando se indica energıa maxima, se refiere al suministro de esta,
haciendo uso de la maxima capacidad de transporte o potencia electrica que el, o los circuitos
involucrados en la interrupcion pueden soportar bajo condiciones normales de operacion, y
es igual a la capacidad nominal interrumpida en KVA o MVA.
La segunda interpretacion surge de considerar a d como el tiempo de interrupcion en un
unico usuario afectado, medido en min/usuario. De tal forma que el tiempo total de la inter-
rupcion dT sobre los Nu usuarios afectados, es la suma del tiempo de interrupcion en cada
usuario afectado, que en todos ellos sera igual a d, por lo que dT = Nu∗d . Para determinar la
cantidad de usuarios afectados, la sub-comisionadurıa de transmision de la region capital ha
establecido que un KVA es equivalente a un usuario. De esta forma se tiene que la potencia
electrica interrumpida p expresada en KVA es numericamente igual (salvo un factor de con-
version) a la cantidad Nu de usuarios afectados por el evento Nu = p[KV A][usuario/KV A].
Con el devenir de las interrupciones, el sistema va acumulando energıa no servida, o en
forma equivalente, tiempos totales de interrupcion. Ello permite medir el impacto global del
proceso de ocurrencia de interrupciones durante un perıodo de tiempo determinado (por
ejemplo 1 ano) como la energıa maxima (tiempo total) que el sistema deja de ofrecer (deja
de prestar servicio) a los usuarios debido a la ocurrencia de interrupciones permanentes. De
tal forma que el producto p ∗ d que produce una interrupcion especıfica se puede interpretar
como: 1) la contribucion de esta al total de energıa maxima (MVA-min) no ofertada por el
sistema a sus usuarios en un perıodo de tiempo definido. 2) la contribucion del evento al
tiempo total de interrupcion que genera la operacion del sistema sobre sus usuarios en un
perıodo de tiempo definido.
La caracterizacion del comportamiento global de las interrupciones permanentes atribuibles
a contingencias a nivel de transmision constituye el objetivo central de la presente investi-
gacion. Para alcanzar su logro, se han seguido las siguientes etapas que estructuran el trabajo:
4. EL PROBLEMA DE INVESTIGACION Y ESTRUCTURA DE LA TESIS 11
En el capıtulo II se aborda la cuestion de la ocurrencia de interrupciones vista como proceso
puntual o de conteo. Se presentan argumentos que permiten identificar un comportamiento
no homogeneo en el conteo de eventos, el cual tiene asociado un comportamiento cıclico con
multiples periodicidades. Se efectua ademas un analisis sobre el proceso de acumulacion de
energıa maxima no servida por parte del sistema, y se observa que esta, medida en MVA-min,
puede ser utilizada como variable de conteo al igual que el tiempo.
En el capıtulo III se realiza un estudio del modelo adoptado para caracterizar el proceso
de conteo y se establece el marco teorico referencial para efectuar el abordaje del problema
de modelado y estimacion: El modelo de procesos de Poisson. En este capıtulo se indican
los aspectos teoricos fundamentales y las principales propiedades que posee un proceso de
Poisson en general, y que permiten caracterizarlo en particular como proceso de Poisson
No Homogeneo (PPNH). Luego se aborda la cuestion sobre enfoques metodologicos de es-
timacion de la no homogeneidad presente y se hace un analisis del ¨Metodo de Analisis
Multirresolucion¨ que constituye el corazon de la investigacion.
En el capıtulo IV se aplica el enfoque metodologico a los datos obtenidos del sistema de
transmision de CORPOELEC Region Capital. Se realiza un analisis de las potenciales apli-
caciones de los resultados obtenidos en el campo de la operacion, planificacion operativa y
mantenimiento de Sistemas Electricos de Potencia. Para finalizar en el Capıtulo V se pre-
sentan las conclusiones y recomendaciones de este trabajo de investigacion.
Capıtulo 2
Ocurrencia de Interrupciones Permanentes Visto como Proceso de
Conteo con Comportamiento Ciclico de Multiples Periodicidades
1. Ocurrencia de Interrupciones Permanentes y Procesos Puntuales o de
Conteo
Al observar el proceso de ocurrencia de interrupciones desde una perspectiva aleatoria,
se puede decir, que cada vez que ocurre una interrupcion del servicio, ocurre un evento o
suceso, debido a la realizacion de un experimento aleatorio definido en un espacio de proba-
bilidad (Ω,F ,P). Cada evento (cada interrupcion del servicio), se caracteriza por medio de
un vector de observacion w′i que contienen el registro de varias carcterısticas observables del
suceso con la forma de una n-upla ordenada, i.e, wi = (w1i, w2i
, ...., wni)′.
Como consecuencia, a cada coordenada de wi se le asocia una Variable Aleatoria (V.A.)
Xk(wk(i)) que en conjunto conforman las coordenadas del vector aleatorio X ∈ Rn. Esto
permite transformar el espacio de probabilidad natural del experimento (Ω,F ,P) en un es-
pacio de probabilidad equivalente o imagen (Rn,B,P) donde los sucesos son sub-conjuntos de
Rn pertenecientes a B que es la σ-algebra de Borel asociada. Dicho espacio resulta adecuado
para el modelado.
Las V.A. elementales que se identifican en cada ocurrencia son las siguientes:
Potencia Electrica Interrumpida (KVA), p ε R+.
Duracion de la interrupcion (min), d ε R+.
Tiempo trascurrido entre el inicio de la interrupciones sucesivas (min) T ε R+.
Como ya se ha indicado, se define la variable energıa maxima E no servida por una inte-
rrupcion como el producto p ∗ d, y que adicionalmente se interpreta como la duracion total
dT de la interrupcion.
12
1. INTERRUPCIONES PERMANENTES Y PROCESOS DE CONTEO 13
A partir de estas V.A. se pueden construir variables de conteo que dan cuenta del numero
de interrupciones NG que ocurren dentro de conjuntos de valores definidos sobre variables
predictoras denotadas por G. A este tıpo de variables se les denomina proceso puntual o de
conteo en G. Los conjuntos de valores en G donde se da el conteo de eventos de interrupcion,
usualmente se especifica en terminos de uniones e intersecciones de intervalos numericos de
la forma (a, b].
De tal forma que el conteo de eventos dependera de cual(es) sea(n) la(s) variable(s) pre-
dictora(s) escogida(s). En el problema objeto de estudio, G esta constituido por el tiempo t
transcurrido, la energıa maxima no servida E, y la duracion total de interrupciones d, por
lo que G = t, E, d.
Con base a las variables que conforman G, se puede construir al menos cuatro procesos
de conteo que dan cuenta de los mismos eventos.
En el primer caso se utiliza el tiempo t como variable predictora, lo que lleva a la definicion
de un proceso de conteo en tiempo Nt a partir de:
(2.1) Sn = T1 + T2 + ... + Tn.
Donde Sn representa el tiempo total transcurrido hasta la ocurrencia de la n-esima interrupcion,
y T1, T2, ..., Tn es una sucesion de V.A. que dan informacion sobre el tiempo que transcurre
entre el inicio de interrupciones sucesivas.
A partir de la construccion de Sn se puede definir el proceso de conteo en tiempo Nt como:
(2.2) Nt = maxn ≥ 0 : Sn ≤ t.
Donde Nt cuenta la cantidad de eventos ocurridos hasta el instante t.
1. INTERRUPCIONES PERMANENTES Y PROCESOS DE CONTEO 14
En segundo lugar se puede analizar el proceso de conteo estableciendo como variable predic-
tora a la acumulacion de energıa maxima no servida E. En este caso se define el proceso de
conteo en energıa NE a partir de:
(2.3) SEn = E1 + E2 + ... + En
Donde SEn representa la cantidad de energıa maxima acumulada hasta la ocurrencia de la de
la n-esima interrupcion, y E1, E2, ..., En es una sucesion de V.A. que dan informacion sobre
la energıa maxima que el sistema electrico de potencia deja de entregar a sus usuarios en
cada interrupcion de servicio que se contabiliza.
A partir de la construccion de SEn se puede definir el proceso de conteo en energıa maxima
NE como:
(2.4) NE = maxn ≥ 0 : SEn ≤ E.
Donde NE cuenta la cantidad de eventos ocurridos hasta la acumulacion de una cantidad
establecida de energıa maxima E.
En tercer lugar se analiza el proceso de conteo estableciendo como variable predictora a
la duracion total de las interrupciones d. En este caso se define el proceso de conteo Nd a
partir de:
(2.5) Sdn = dT1 + dT2 + ... + dTn
Donde dT1 , dT2 , ..., dTn es una sucesion de V.A. que contiene informacion sobre la duracion
total de cada interrupcion de servicio sucesiva.
2. NO HOMOGENEIDAD EN LA OCURRENCIA DE INTERRUPCIONES 15
De manera analoga a los dos casos anteriores el proceso de conteo se define como:
(2.6) Nd = maxn ≥ 0 : Sdn ≤ d.
Donde Nd cuenta la cantidad de eventos ocurridos hasta un valor determinado d de duracion
de interrupciones.
Por ultimo y con base en las tres construcciones anteriores se puede definir un proceso
de conteo en R3 donde el tiempo t, la energıa maxima acumulada E, y la duracion de inter-
rupciones d, son contempladas de manera conjunta como variables predictoras. Este proceso
de conteo queda especificado como:
(2.7) NG = Nt,E,d = maxn ≥ 0 : Sn ≤ t, SEn ≤ E, Sdn ≤ d.
Donde Sn, SEn , y Sdn estan dadas por (2.1),(2.3),(2.5).
De esta forma los procesos de conteo univariantes Nt, NE, y Nd se constituyen en marginales
del proceso multivariante dado por (2.7). En este punto se indica que antes de plantear
el modelado en terminos de un proceso de conteo multivariante, se debe revisar el grado
de independencia entre los procesos de conteo marginales. De tal forma que si los procesos
marginales estan fuertemente correlacionados no sera requerida una descripcion multivari-
ante del proceso de conteo.
2. No Homogeneidad en la Ocurrencia de Interrupciones de Servicio en el
Sistema de Transmision CORPOELEC region Capital
Como se puede apreciar en el capıtulo III un proceso de conteo puede presentar un
comportamiento no homogeneo, en el sentido de que la cantidad promedio de eventos ob-
servados por unidad de tiempo (u otra variable de conteo) no es constante en el tiempo.
Este tıpo de comportamiento puede ser evidenciado a traves del analisis de las denominadas
funciones de valor medio, µ(t), y de intensidad λ(t) observadas por la realizacion del proceso.
2. NO HOMOGENEIDAD EN LA OCURRENCIA DE INTERRUPCIONES 16
En el caso de estudio, el punto de referencia o tiempo ¨0¨ son las 00:00 horas del primero
de enero del ano 2001, momento donde inicia la observacion del proceso de conteo, y en
consecuencia la base de datos de eventos interrupcion suministrada.
En la Figura 2.1 se muestra la grafica del Proceso Nt, a partir de la base de datos sum-
inistrada. En ella se ha agregado una recta (mht) que pasa por el origen de coordenadas y
termina en el ultimo evento registrado en la serie. En la seccion 3.3, se muestra que esta recta
esta asociada a la funcion de valor medio de lo que alli se define como Proceso de Poisson
Homogeneo (PPH), y que supone un ritmo o tasa constante en la ocurrencia de eventos
de interrupcion. Se puede apreciar que el proceso Nt presenta desviaciones sostenidas y al-
ternadas con respecto a a la recta de homogeneidad mht. Ello es un indicativo grafico del
comportamiento No Homogeneo que presenta el proceso.
0 500 1000 1500 2000 25000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
tTiempo en Días
a)
Nt /
mh t
Proceso de Conteo de Interrupciones Nt y Recta de Homogeneidad m
h t
Nt
mh t
Figura 2.1. Proceso de conteo de Eventos de Interrupcion Nt y Recta de Homogeneidad
mh t,. Sistema de Transmision CORPOELEC Region Capital
2. NO HOMOGENEIDAD EN LA OCURRENCIA DE INTERRUPCIONES 17
Para poder apreciar con mayor precision el comportamiento no homogeneo, se estima la
funcion de intensidad del proceso, la cual se define como:
(2.8) λ(t) =d (E (Nt))
dt.
Dado el caracter discreto del proceso de conteo, Nt, se requiere algun grado de alizado
(smoothing) en los datos observados en funcion obtener representaciones graficas y esti-
maciones de λ(t) con valores razonablemente pequeos de varianza, todo ello a partir de la
observacion de la realizacion del proceso Nt en una ventana de tiempo (0, S]. En virtud de
ello un estimador insesgado de λ(t) en el intervalo de tiempo(t, t + a] denotado por λa(t)
viene dado por:
(2.9) λa(t) =N(t, t + a]
a=
Nt+a −Nt
a,
donde N(t, t + a] representa la cantidad de eventos ocurridos en el intervalo de tiempo
(t, t+a]. Cabe destacar que λa(t) tiene valor constante dentro del intervalo de tiempo (t, t+a]
y es lo que se conoce una estimacion lineal a trozos (linear piecewise estimation) de λ(t)
La estimacion de λ(t) en el intervalo (0, S] (λa(t) t ∈ (0, S]), se efectua al establecer como
origen, el momento de inicio de la observacion del proceso to = 0, y a partir de el formar
intervalos iguales y sucesivos de duracion a. De tal forma que se produce una discretizacion
del tiempo que se mide en terminos de n multiplos enteros de la duracion a (t = na). Por
conveniencia el tiempo S se escoge como multiplo entero de a. En la figura 2.2 se puede
apreciar la estimacion de λa(t) para cuatro valores distintos de a (30 dıas, 7 dıas, 1 dıa,
1 hora). En la misma se puede apreciar el comportamiento irregular que presenta λa(t) al
disminuir a.
La descripcion grafica de la funcion de intensidad estimada λa(t) permite evidenciar
no solo la existencia de un comportamiento no homogeneo del proceso de ocurrencia de
interrupciones, adicionalmente permite plantear que la no homogeneidad observada presenta
ademas un comportamiento ciclico con la posible existencia de multiples periodicidades.
3. COMPORTAMIENTO CICLICO DE LA NO HOMOGENEIDAD 18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 800
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t=na
λ a(t)
a) Función de Intensidad λa(t) con a=30 dias
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t=na
λ a(t)
b) Función de Intensidad λa(t) con a=7 dias
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t=na
λ a(t)
c) Función de Intensidad λa(t) con a=1 dia
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 104
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
t=naλ a(t
)
d) Función de Intensidad λa(t) con a=1 hora
Figura 2.2. Funcion de intensidad estimada λa(t) para cuatro valores de a. a) 30 dıas,
b) 7 dıas, c) 1 dia, d) 1 hora. Sistema de Transmision CORPOELEC Region Capital
3. Comportamiento Cıclico de la no Homogeneidad en la Ocurrencia de
Interrupciones de Servicio en el Sistema de Transmision CORPOELEC
region Capital
La identificacion de la existencia de patrones de comportamiento ciclicos en la no homo-
geneidad observada, constituyen un paso previo necesario en la modelizacion del proceso de
conteo. En este punto se indica que en el marco de la tecnica de analisis que se describe en el
presente trabajo (analisis multiresolucion) se requiere solo la identificacon de tal existencia
mas no su descripcion y modelado. Esto ultimo sera el objetivo de la aplicacion de la tecnica
de analisis referida.
Como consecuencia de estas premisas, para determinar las periodicidades presentes en el
proceso observado Nt, es necesario efectuar el analisis espectral de las funciones de intensi-
dad estimadas (λa(t)). Ello se basa en la utilizacion de la Transformada Discreta de Fourier
(DFT Discrete Fourier Transform) sobre λa.
Dada la senal discreta λa(na) de duracion finita en N puntos n = 1, ..., N , su DFT es
3. COMPORTAMIENTO CICLICO DE LA NO HOMOGENEIDAD 19
una secuencia discreta en el dominio de la frecuanecia dada por:
(2.10) Fλa(k) = ak =1√N
N∑n=1
λa(na)e−jkΩ0n para k = 1, ..., N.
La transformada Fλa(k) es una serie finita de N exponenciales complejas de la forma e−jkΩ0n
donde j =√−1 es la unidad compleja y Ω0 = 2π/N es la frecuencia fundamental de la senal
finita en N puntos λa. La variable entera k esta definida en el dominio de la frecuencia, e
indica el multiplo de la frecuencia angular fundamental k Ω0 en la que se evalua la DFT.
El conjunto de posibles valores de k, o dominio de Fλa es k = −[N − 1
1
]. . .
[N
2
]y a las
frecuencias kΩ0 se les conoce como Frecuencias de Fourier.
Se demuestra que, con base a los valores de la secuencia finita que conforman la DFT Fλa(k)
es posible reconstruir a λa por medio de:
(2.11) λa(na) =
[N2 ]∑
k=−[N−12 ]
Fλa(k)ejkΩ0n,
que es conocida como ¨Transformada Discreta de Fourier Inversa¨.
En el ambito del analisis espectral, a las dos expresiones anteriores se les conoce cada una
como: Ecuacion de analisis (2.10), y ecuacion de sisntesis (2.11). El calculo de la DFT se
efectua por medio de un algorıtmo conocido como ¨Transformada Rapida de Fourier¨ (Fast
Fourier Transform FFT). Dado que la DFT es una secuencia finita definda para cada una
de las Frecuencias de Fourier kΩ0 k = −[N − 1
1
]. . .
[N
2
], y que ademas la senal λa es
una secuencia finita y acotada, no existen problemas en la existencia de la DFT.
El analisis espectral que se estipula en el presente trabajo, plantea el uso de la DFT de
dos formas distintas para evaluar aspectos del comportamiento en frecuencia de λa(t). Estos
son:
1. La aplicacion de la DFT directamente sobre λa.
3. COMPORTAMIENTO CICLICO DE LA NO HOMOGENEIDAD 20
2. La aplicacion de la DFT para la estimacion del periodograma asociado a λa.
En el primer caso se busca obtener una representacion en el dominio de la frecuencia de
λa(na), n = 1, ..., N , vista como senal finita de tiempo discreto. En ese caso se obtienen
respectivamente el espectro de amplitud y fase de λa a partir del cual puede identificarse la
existencia de componentes de ciclicos en torno a frecuencias . Para ello se utiliza principal-
mente el espectro de ampltud de λa que es igual al modulo de la DFT asociada:
(2.12) Aλa(k) = |Fλa(k)| = 1√N
∣∣∣∣∣N∑
n=1
λa(na)e−jkΩ0n
∣∣∣∣∣.
La existencia de componentes ciclicos se manifiesta bajo la forma de frecuencias k que
generan picos (o maximos) sobresalientes en el espectro de amplitud AλA(k).
Con la finalidad de poder establecer si los picos de frecuencia identificados, contienen energıa
significativa para ser tomados en cuenta como frecuencias de resonancia, se requiere estimar
la densidad espectral de potencia (PSD Power Spectral Density). Esta permite establecer
la contribucion de un componente espectral de frecuencia a la potencia de la senal discreta
analizada. Aquellas frecuancias que posean muy poca contribucion a esta dendidad, no seran
significativas en la conformacion de λa(t). La PSD esta muy relacionada con la DFT, y viene
dada por:
(2.13) Iλa(k) =1
N
∣∣∣∣∣N∑
n=1
λa(na)e−jkΩ0n
∣∣∣∣∣
2
.
Se puede apreciar de (2.12) que el peridograma es igual al cuadrado del espectro de am-
plitud Iλa(k) = (Aλa(k))2. A Iλa tambien se le conoce como ”periodograma”de λa(na). Se
demuestra que Iλa se relaciona con la funcion de autocovarianza muestral (ACF Sample Auto
Covariance Function) γλa(n) asociada a la secuencia λa(na) vista como una serie de tiempo
por medio de:
3. COMPORTAMIENTO CICLICO DE LA NO HOMOGENEIDAD 21
(2.14) Iλa(k) =∑
|h|<N
γλa(h)e−jhkΩ0
.
Donde de nuevo kΩ0 es alguna de las frecuencias de fourier distintas de cero en (−π, π].
Al obtener por medio de la ecuacion de analisis (2.10) la transformada Fλa(k) se puede
graficar el espectro de amplitud Aλa(k). En el se puede identificar la existencia de compor-
tamientos periodicos al detectar frecuencias resonantes o picos en la amplitud. Estos indican
los valores de k correspondientes a las frecuencias de los perıodos presentes en el proceso
bajo estudio, y son el punto de arranque en cuanto al analisis se refiere, del trabajo que
compete a esta investigacion. Esto puede ser apreciado de la Figura 2.3 donde se muestra el
espectro de amplitud resultante para los cuatro valores de a con que se estima la funcion de
intensidad del proceso.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 800
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t=na
λ a(t)
a) Función de Intensidad λa(t) con a=30 dias
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t=na
λ a(t)
b) Función de Intensidad λa(t) con a=7 dias
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t=na
λ a(t)
c) Función de Intensidad λa(t) con a=1 dia
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 104
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
t=na
λ a(t)
d) Función de Intensidad λa(t) con a=1 hora
Figura 2.3. Espectro de Amplitud Aλa(k) para valores de a dados por a) 30 dıas, b) 7
dıas c) 1 dıa d) 1 hora
3. COMPORTAMIENTO CICLICO DE LA NO HOMOGENEIDAD 22
La longitud de un perıodo en λa (tambien conocido como longitud de onda), se obtiene
a partir del valor k donde se identifique un pico de amplitud como sigue:
La frecuencia de fourier asociada a k es
kΩ0 = 2kπf0 =2kπ
N.
A partir de ello, la frecuencia asociada a k se determina como
fk =k
N.
Por lo que la longitud del perıodo (su duracion) es
dk =1
fk
=N
k.
Para poder trabajar con las periodicidades presentes en el proceso, en el presente traba-
jo se adoptara el enfoque desarrollado por Michael E. Kuhl et al. Dicho enfoque aplica la
tecnica conocida como analisis multiresolucion. Esta se basa en el principio de estimacion y
ajuste de modelos por etapas, comenzando por la identificacion de un componente de tenden-
cia larga no periodico, para luego ir agregando caracterısticas a este componente de acuerdo
a la existencia de frecuencias de periodicidad, comenzando desde la de menor frecuencia
(mayor perıodo o duracion), y finalizando en la de mayor frecuencia (menor perıodo o du-
racion). Cada frecuencia se corresponde con la mirada del proceso desde la perspectiva de
una escala o resolucion especifica. Es de esta caracterıstica donde proviene la denominacion
Multi-Resolucion que conlleva la tecnica de analisis.
Antes de aplicar dicha tecnica en los registros aportados por CORPOELEC region capital, se
procedera a documentar la base teorica asociada a los procesos de Poisson No Homogeneos
que constituye el modelo aleatorio fundamentalmente usado al tratar con procesos de conteo,
3. COMPORTAMIENTO CICLICO DE LA NO HOMOGENEIDAD 23
y los supuestos sobre los cuales se basan las tecnicas ya indicadas.
Capıtulo 3
Procesos de Poisson, No Homogeneidad Periodicidad y Metodos
de Estimacion
En el capıtulo I se ha clasificado el proceso de ocurrencia de interrupciones permanentes
como proceso puntual o de conteo. Ademas de ello, se requiere la seleccion del modelo aleato-
rio adecuado para caracterizar y describir el proceso de interrupciones con las caracterısticas
que se han explicitado: 1) La no homogeneidad, 2) el comportamiento cıclico de multiples
periodicidades. En este capıtulo se presenta el modelo general de proceso de Poisson, que
es considerado el adecuado para el caso de estudio. Se inicia con la descripcion teorica de
los procesos de Poisson y el analisis de sus principales caracterısticas, que conducira al cen-
tro de este trabajo: La estimacion de la funcion de valor medio que caracteriza un proceso
de Poisson. Como se mostrara, es en esa funcion donde se refleja la no homogeneidad y el
comportamiento cıclico, indicativos de variaciones en la intensidad del proceso. Ello lleva
a la descripcion de la tecnica de analisis multiresolucion y el establecimiento de su funda-
mento teorico. Aunado a ello, tambien se exponen los aspectos escenciales de los modelos
estacionarios periodicamente correlacionados, los cuales son utilizados en el capıtulo III, a
los efectos de comparacion con la tecnica de analisis multiresolucion.
1. Procesos Puntuales: Conceptos Fundamentales
Supongase que E, es un subconjunto de un espacio euclideo. Para los efectos de esta
investigacion es suficiente suponer que E es un subconjunto de [0,∞), R o Rd para algun d ≥1. Se desea entonces distribuir aleatoriamente puntos en E y tener una notacion conveniente
para una funcion que cuenta el numero de puntos aleatorios que se encuentran dentro de
un conjunto acotado A. Supongase que xn, n ≥ 0 son elementos aleatorios de E que
representan puntos generados por una sucesion Xn de variables aleatorias V.A. (o vectores
aleatorios) a valores en E. Si se define la medida discreta
24
1. PROCESOS PUNTUALES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES 25
(3.1) εxn(A) =
0 si xn ∈ A
1 si xn /∈ A
.
Entonces, al sumar sobre n, se obtiene el numero total de puntos aleatorios xn que caen
en A. Si se define una medida de conteo N en los subconjuntos medibles de E por:
(3.2) N(.) :=∑
n
εxn(.),
entonces,
(3.3) N(A) :=∑
n
εxn(A),
indica el numero de puntos aleatorios que caen dentro del conjunto A. A la medida de
conteo N(A) se le denomina Proceso Puntual o de Conteo (Point Process, Counting
Process) y a los sumandos xn se les denominan Los Puntos. La notacion esta disenada de
esta forma para mostrar la explıcita dependencia entre la medida de conteo y los puntos.
Un requerimiento tecnico de estos procesos que permite el manejo de valores infinitos, es
que la regiones acotadas A siempre contienen un numero finito de puntos con probabilidad
uno; en consecuencia para cualquier conjunto acotado A se cumple que:
P [N(A) < ∞] = 1.
2. PROCESOS DE POISSON 26
La medida de conteo puede ser rescrita en terminos de funciones indicatrices como sigue:
N(A) =∑
n
1(xn∈A).
Un estadıstico de importancia en los procesos puntuales es la medida de media, tambien
conocida como intensidad, definida como
µ(A) = E[N(A)].
µ(A) indica el numero esperado de puntos contenidos en la region A. Esta medida es funda-
mental en la definicion del modelo de Proceso de Poisson que se presenta a continuacion
2. Procesos de Poisson
Definicion 3.1. Sea N un proceso puntual con espacio de estado E. Supongase que Ees una clase razonable de subconjuntos medibles de E, llamada σ-algebra. Entonces N es un
Proceso de Poisson con medida de media µ o de manera equivalente una Medida Aleatoria
de Poisson (MAP (µ)) si:
1) Para todo A ∈ E
(3.4) P [N(A) = k] =
e−µ(A)(µ(A))k
k!si µ(A) < ∞
0 si µ(A) = ∞
2) Si A1, ....Ak son subconjuntos mutuamente excluyentes de E en E , entonces N(A1), ...N(Ak)
son V.A. independientes.
De esta forma N es Poisson, si los puntos en el conjunto A se distribuyen con distribu-
cion poisson de parametro µ(A), y ademas el numero de puntos en regiones mutuamente
3. PROCESOS DE POISSON HOMOGENEOS 27
excluyentes son V.A. independientes.
La propiedad (2) se denomina aleatorizacion completa. Cuando el conteo de eventos se
realiza desde la dimension temporal, entonces t ∈ E = [0,∞), y (2) se denomina propiedad
de Incrementos Independientes. En este caso se tiene que para cualquier sucesion de tiempos
t1 < t2 < t3 < ... < tk se tiene que (N(ti, ti+1]), i = 1, 2...k) son V.A. Independientes.
3. Procesos de Poisson Homogeneos
Cuando la medida de media es un multiplo de la medida de Lebesgue ( i.e., longitud
cuando E = [0,∞) o R, area cuando E=R2, volumen cuando E = R3, etc.), entonces el
proceso se denomina homogeneo. Asi en el caso homogeneo, existe un parametro λh > 0 tal
que para cualquier conjunto A se tiene que N(A) se distribuye tipo Poisson con medida de
media E[N(A)] = λh|A|, donde |A| es la medida de Lebesgue de A. Cuando E = [0,∞) el
parametro λh es denominado la tasa o intensidad del proceso homogeneo. Si el conjunto A
es el intervalo de tiempo I = (0, t] y el proceso es homogeneo se tiene entonces que
(3.5) E[N(I)] = E[N((0, t])] = λ|(0, t]| = λht = µh(t).
El valor medio es una funcion lineal del tiempo, conocida como funcion de valor medio
(µh(t)) del Proceso de Poisson Homogeneo (PPH). Al sustituir (3.5) en (3.4) se obtiene la
forma conocida de la distribucion de Poisson dada por:
(3.6) P [Nt = k] =e−λht(λht)
k
k!.
Se puede demostrar que los tiempos inter-llegada asociados a los puntos de PPH, ademas
de ser V.A. independientes por la propiedad 2, tambien son V.A. identicamente distribuidas
con distribucion Exponencial de parametro ¨λh¨,
Ti ∼ exp(λh).
3. PROCESOS DE POISSON HOMOGENEOS 28
Ello le da al proceso la caracterıstica conocida como ¨falta de memoria¨. En estos casos el
analisis probabilıstico-estadıstico es bastante simple, reduciendose el mismo a la estimacion
del parametro ¨ λh ¨, para lo cual se utiliza como estimador al estadıstico:
(3.7)λh =
1
Tdonde T =
n∑i=1
Ti
n
.
Adicionalmente cuando el proceso puntual es PPH entonces se tiene un proceso de reno-
vacion (cita) el cual se define como sigue:
Definicion 3.2. Supongase que Yn, n ≥ 0 es una secuencia de V.A. independientes que
toman unicamente valores no negativos. Ademas, supongase que la secuencia Yn, n ≥ 0 es
identicamente distribuida con distribucion comun F . Siempre se asumira que:
(3.8) F (0−) = 0, F (0) < 1.
O equivalentemente, para todo n ≥ 1,
(3.9) P [Yn < 0] = 0, P [Yn = 0] < 1.
Para n ≥ 0, se define
(3.10) SYn = Y0 + ...... + Yn.
La secuencia SYn , n ≥ 0 se denomina Proceso de Renovacion. Las cantidades SYn son usual-
mente asociadas a tiempos de ocurrencia de algun fenomeno, y son denominados tiempos de
renovacion o puntos.
4. UBICACION DEL MODELO DE POISSON EN EL CONTEXTO DE ESTUDIO 29
Con base a esta definicion se puede demostrar la siguiente proposicion de gran utilidad
en la caracterizacion de la no homogeneidad de procesos de Poisson:
Proposicion 3.3. Sea Ej , j ≥ 1 el conjunto de variables aleatorias i.i.d. con dis-
tribucion exponencial unitaria. Definance Γn =∑n
i=1 Ei como los puntos de un proceso de
revovacion, y establezcace la media de conteo N =∑∞
n=1 εΓn. Se cumple entonces que N es
un PPH en [0,∞) de tasa unitaria λh = 1; i.e., N satisface las propiedades (1) y (2) de un
proceso de Poisson, y su medida de media es | . |. De igual manera, un PPH en [0,∞) con
tasa unitaria, que satisface las propiedades (1) y (2), tiene sus puntos arreglados en orden
creciente conformando un proceso de renovacion, con densidad de iterarrivo exponencial de
media 1.
4. Ubicacion del Modelo de Poisson en el Contexto de Estudio
En la seccion 1.6 capıtulo I se han definido 4 procesos de conteo de interrupciones
permanentes de servicio electrico, al seleccionar como conjunto de variables predictoras a
G = t, E, d correspondientes a tiempo de ocurrencia de eventos t, energıa maxima au-
cumulada E, y duracion total acumulada d. Los tres primeros procesos Nt, NE, y Nd son
marginales del proceso multivariante NG = Nt,E,d. En consecuencia el espacio de estado
donde se generan y cuentan los puntos del proceso NG es un subconjunto de R3.
Los conjuntos donde se distribuyen los puntos aleatorios son de la forma
A = (ta, tb]× (Ea, Eb]× (da, db].
En consecuencia la medida de media del proceso NG sera de la forma:
µ(A) = µ((ta, tb]× (Ea, Eb]× (da, db])
La medida de media de los procesos marginales Nt, NE, y Nd, estan definidas cada una en
subconjuntos de R, y seran de la forma:
µt(At) = µt((ta, tb])
5. TRANSFORMACION DE PROCESOS DE POISSON 30
µE(AE) = µE((Ea, Eb])
µd(Ad) = µd((da, db]).
Una de las cuestiones que surgen de estos planteamientos es la siguiente: ¿Como obten-
er la medida de media conjunta µG, a partir de las medidas de media marginales µt, µE, y µd?.
5. Transformacion de Procesos de Poisson
Algunos resultados muy utiles surgen de considerar lo que ocurre a un Proceso de Poisson
bajo varios tipos de transformaciones. El primer resultado es de gran utilidad para compren-
der la no homogeneidad de tales procesos. Supongase que N(.) =∑
n εxn(.) es un Proceso
de Poisson con espacio de estado E y media µ. Supongase que H es alguna transformacion
con dominio E y rango E ′, donde E ′ es otro espacio euclideo:
H : E → E ′.
La funcion H−1 define la correspondencia o mapeo entre subconjuntos de E ′ y subcon-
juntos de E, y es definida para A′ ⊂ E ′ por:
(3.11) H−1(A′) = e ∈ E : H(e) ∈ A′.
Asi de esta forma H−1(A′) es la preimagen de A′ bajo H. Es el conjunto de puntos de E que
H mapea hacia A′. Ver figura 3.1.
Dadas las medidas N y µ, definidas en subconjuntos de E, se puede utilizar H para definir las
medidas inducidas N ′ y µ′ en subconjuntos de E ′ como sigue. Para A′ ⊂ E ′ medible se define:
(3.12) N ′(A′) = N(H−1(A′)), µ′(A′) = µ(H−1(A′)).
5. TRANSFORMACION DE PROCESOS DE POISSON 31
Figura 3.1. Mapeo entre espacio E y E′
De tal forma que para obtener las medidas N ′ y µ′ del subconjunto A′, se mapea A′ de
regreso a E via H−1, y se determinan las respectivas medidas en el subconjunto pre-imagen
A = H−1(A′) dadas por N(H−1(A′)) y µ(H−1(A′)). De esta forma, si N cuenta sobre el
conjunto de puntos xn, entonces N ′ lo hace sobre el conjunto de puntos x′n = H(xn).
Basado en esta explicacion se puede afirmar que, dado A′ ⊂ E ′ entonces
(3.13)
N ′(A′) = N(H−1(A′)) =∑
n
εxn(H−1(A′))
=∑
n
1(xn∈H−1(A′))
=∑
n
1(H(xn)∈A′)
=∑
n
εH(xn)(A′)
.
Lo anterior establece una relacion directa entre la medida de conteo N ′ sobre puntos en el
espacio de estado imagen E ′, y N que cuenta sobre puntos en el espacio de estado pre-imagen
E. Esto puede apreciarse de la figura 3.2.
A continuacion establece que si ademas el proceso de conteo N es Poisson con medida de
5. TRANSFORMACION DE PROCESOS DE POISSON 32
Figura 3.2. Relacion entre el conteo de puntos en E y E′
media µ, definido sobre los puntos xn en el espacio de estado E, entonces N ′ = N(H−1(.))
es tambien Poisson con medida de media µ′, definido sobre los puntos H(xn) en el espacio
de estado imagen E ′.
Proposicion 3.4. Supongase que H : E 7−→ E ′ es el mapeo de un Espacio Euclideo
E en otro E ′, con la propiedad de que si el conjunto B′ ⊂ E ′ es acotado en E ′, entonces
H−1(B) = e ∈ E : H(e) ∈ B′ es acotado en E. Si N es una MAP (µ) en E establecida
sobre los puntos xn, entonces N ′ := N H−1 es una MAP (µ′) en E ′ establecida sobre los
puntos H(xn), donde µ′ := µ H−1.
En la Ec.3.13 se ha establecido que si la medida de conteo N tiene la representacion
N(.) =∑
n
ε(xn)(.).
Entonces
N ′(.) =∑
n
εH(xn)(.).
Este resultado permite anticipar que si se transforman los puntos de un Proceso de Poisson,
se sigue teniendo un Proceso de Poisson en el espacio imagen.
6. PROCESO DE POISSON NO HOMOGENEO PPNH UNIDIMENSIONAL 33
Demostracion. Se tiene que
(3.14) P [N ′(B′) = k] = P [N(H−1(B′)) = k] =e−µ(H−1(B′)) (µ (H−1(B′)))k
k!.
De esta forma N ′ tiene distribucion Poisson.
Adicionalmente se tiene que si B′1, ...., B
′m son disjuntos, tambien lo seran H−1(B′
1), ...., H−1(B′
m),
de donde se obtiene que
N ′(B′1), ...., N
′(B′m) =
N(H−1(B′
1)), ...., N(H−1(B′m))
.
Es un conjunto de variables aleatorias independientes. De esta forma la medida N ′ cumplen
con las propiedades (1) y (2) que definen un proceso de Poisson.
6. Proceso de Poisson no Homogeneo PPNH Unidimensional
Supongase que N es un Proceso de Poisson definido en [0,∞) con medida de media µ, y
que µ es absolutamente continua con densidad λ(t). A este proceso se le denomina Proceso
de Poisson no Homogeneo (PPNH) con intensidad o tasa local λ(t). Este proceso puede ser
obtenido como una transformacion del Proceso de Poisson Homogeneo de acuerdo al esque-
ma que sigue. Se define:
(3.15) µ(t) = µ ([0, t]) =
∫ t
0
λ(z)dz,
y tambien se define su funcion inversa:
(3.16) µ←(x) = ınf
u : µ(u) =
∫ u
0
λ(z)dz ≥ x
.
Si se supone que µ(∞) = ∞, entonces el conjuntou : µ(u) =
∫ u
0λ(z)dz ≥ x
es no vacio
6. PROCESO DE POISSON NO HOMOGENEO PPNH UNIDIMENSIONAL 34
para todo x, por tanto:
µ← : [0,∞) 7−→ [0,∞)
Y dado que µ es contınua, se tiene que µ← es estrictamente creciente. Si∑
n εHn es Poisson
homogeneo, se tiene por el teorema previo que
N ′ =∑
n
εm←(Hn)
Es a su vez un Proceso de Poisson. La media del proceso es
µ′ ([0, t]) = | x : µ←(x) ≤ t |
= | x : x ≤ µ(t) | = |[0, µ(t)]|
= µ(t) = µ ([0, t]) .
De esta forma se ha construido una MAP(µ) desde un Proceso de Poisson Homogeneo. Esto
significa que si N(.) =∑∞
n=1 εxn es una MAP(µ) en [0,∞) donde x1 < x2 < ....., entonces
xn, n ≥ 1 d= µ←(Γn), n ≥ 1 .
Donde Γn es el proceso de renovacion indicado en la proposicion 3.3, por lo que en R∞ se
cumple
µ(xn), n ≥ 1 d= Γn, n ≥ 1 .
De esta forma∑
n εµ(xn) y∑
n εΓn tienen la misma distribucion, y por lo tanto∑
n εµ(xn) es
Poisson Homogeneo con intensidad o tasa unitaria.
7. PROPIEDAD DE ESTADISTICO DE ORDEN 35
7. Propiedad de Estadıstico de Orden
Existe una relacion de importancia entre los puntos generados de un proceso de poisson
homogeneo (PPH) y el ordenamiento de menor a mayor de puntos generados de una dis-
tribucion uniforme. Esta relacion es de importancia a la hora de probar aspectos teoricos
del metodo de analisis multiresolucion y la simulacion de procesos de poisson. Por medio de
esta propiedad es posible generar puntos de un proceso de poisson a partir de la generacion
y ordenamiento de numeros aleatorios con distribucion uniforme. Esta es conocidad como de
Propiedad de Estadisticos de Orden y se expone a continuacion.
Definicion 3.5. Supongase que X1, X2, ..., Xn son V.A. iid, definidas en el espacio mues-
tral Ω con distribucion comun F . Si se supone que F (x) es una distribucion contınua, entonces
la cantidad de coincidencias entre los valores de las X ocurre con probabilidad 0 y pueden
no ser tomados en cuenta. De tal forma que al comparar dos puntos cualesquiera Xi y Xj
generados a partir de F , con probabilidad 1 ocurrira una de dos opciones: a) Xi < Xj o
b) Xj < Xi. En este contexto se definen nuevas variables aleatorias X(1), X(2), ..., X(n) con
dominio en Ω, denominadas estadısticos de orden. Para todo w ∈ Ω se define
(3.17)
X(1) = mın X1(w), X2(w), ..., Xn(w)X(2) = Segundo menor X1(w), X2(w), ..., Xn(w)
...
X(n−1) = Segundo mayor X1(w), X2(w), ..., Xn(w)X(n) = max X1(w), X2(w), ..., Xn(w)
De tal forma que con probabilidad 1 se cumple que
X(1) < X(2) < ... < X(n)
Se deriva ahora la distribucion conjunta de los estadısticos de orden cuando F es la dis-
tribucion uniforme en el intervalo de tiempo (0, t)
7. PROPIEDAD DE ESTADISTICO DE ORDEN 36
Proposicion 3.6. (a) Supongase que U1, U2, ..., Un son iid con distribucion uniforme en
(0,t), y que U(1), U(2), ..., U(n) son los estadısticos de orden correspondientes. Se tiene entonces
que la densidad conjunta de los estadısticos de orden esta dada por
(3.18) fU(1),U(2),...,U(n)(u1, u2, ..., un) =
n!tn
, si 0 < u1 < u2 < ... < un < t
0, en otro caso
(b) Supongase que En es una susecion de V.A. iid con distribucion exponencial unitaria, y
que para n > 1 se define Γn = E1 + E2 + ... + En. Al condicionar en Γn+1 = t, se tiene que
la distribucion conjunta de Γ1, Γ2, ..., Γn es
(3.19) fΓ1,Γ2,...,Γn(u1, u2, ..., un) =
n!tn
, si 0 < u1 < u2 < ... < un < t
0, en otro caso
Por lo que la distribucion condicionada de Γ1, Γ2, ..., Γn dado Γn+1 = t, es la misma que
la de los estadısticos de orden generados de una distribucion uniforme (0, t).
Demostracion. (a) Sea Π la coleccion de las n! permutaciones de los enteros 1, ..., n. Entre
las permutaciones π ∈ Π se conforma el subconjunto de aquellas que inducen un ordenamien-
to de las V.A. U1, ..., Un definido por π ∈ Π : Uπ(1) < ... < Uπ(n). En estos elementos se
cumple que (U(1), ..., U(n)) = (Uπ(1), ..., Uπ(n)). De forma tal, que para cualquier funcion aco-
tada g(u1, ..., un) se tiene que
E[g(U(1), ..., U(n))] =∑π∈Π
E[g(Uπ(1), ..., Uπ(n))]1[Uπ(1)<...<Uπ(n)]
La densidad conjunta de (Uπ(1), ..., Uπ(n)) para cualquier permutacion π ∈ Π es
fUπ(1),...,Uπ(n)(u1, ...un) = fU1...Un(u1, ..., un)
7. PROPIEDAD DE ESTADISTICO DE ORDEN 37
Ademas al ser U1, ..., Un V.A. iid con distribucion uniforme en (0, t) lleva a
fUπ(1),...,Uπ(n)(u1, ...un) =
t−n, si (u1, ..., un) ∈ [0, t]n
0, en cualquier otro caso.
De lo anterior y al recordar que se tienen n! permutaciones, se construye la siguiente secuen-
cia de razonamiento
E[g(U(1), ..., U(n))] =∑π∈Π
∫
[0<u1<...<un]
g(u1, ..., un)t−ndu1...dun
=
∫
[0,t]ng(u1, ..., un)
(n!
tn1[u1<...<un](u1, ..., un)
)du1...dun.
La expresion anterior permite afirmar que la densidad conjunta de los estadısticos de orden
(U(1), ..., U(n)) es
n!
tn1[u1<...<un](u1, ..., un)
que es lo que se quiere probar como primer resultado.
(b) Dado que E1, ..., En+1 son V.A. independientes, se tiene que su densidad conjunta viene
dada por
fE1,...,En+1(x1, ..., xn+1) =n+1∏i=1
e−xi = e−∑n+1
i=1 xi , para xi > 0, 1 ≤ i ≤ n + 1.
A partir de la densidad previa se obtiene la densidad de (Γ1, ..., Γn+1) por medio de un cam-
bio de variable como sigue. Para i = 1, ..., n + 1 se define
si =i∑
j=1
xi,
la transformacion inversa es
7. PROPIEDAD DE ESTADISTICO DE ORDEN 38
xi = si − si−1, 1 ≤ i ≤ n + 1; s0 = 0.
Su jacobiano viene dado por
∣∣∣∣det(∂xi
∂sj
)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det
1 0 · · · 0 0
−1 1 0 · · · 0
0 −1 1 · · · 0...
.... . . . . .
...
0 0 · · · −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1,
y por lo tanto la densidad conjunta de Γ1, ..., Γn+1 es
fΓ1,...,Γn+1(s1, ..., sn+1) = esn+1 , 0 ≤ s1 ≤ ... ≤ sn+1.
Antes de continuar la demostracion se requiere determinar la densidad de Γn+1. Esta se ob-
tiene de la convolucion de las densidades fEi∀ i = 1, ..., n + 1 de los sumandos que definen
a Γn+1. Al ser las Ei V.A. iid exponenciales unitarias, se tiene que la densidad indicada se
genera al convolucionar n + 1 densidades exponenciales unitarias, por lo que
fΓn+1(t) = fE1+...+En+1(t) = fE1 ∗ ... ∗ fEn+1(t) = f(n+1)∗E (t),
donde f(n+1)∗E (t) denota la convolucion de n + 1 densidades exponenciales unitarias.
En este punto se utiliza: a) la propiedad de unicidad de las Transformadas de Laplace,
la cual establece la correspondencia unica entre una funcion de densidad f(t) y su transfor-
mada F (λ), y b) la propiedad de convolucion, la cual convierte la operacion convolucion en
el dominio t de f a un producto en el dominio λ de su transformada F . Ello lleva a
FΓn+1(λ) = L(fΓn+1(t)) = L(f(n+1)∗E (t)) = F
(n+1)E (λ).
7. PROPIEDAD DE ESTADISTICO DE ORDEN 39
Para una exponencial unitaria se tiene que
FE(λ) =1
1 + λ.
Para la suma de n + 1 exponenciales unitarias independientes se tiene que
FE1+...+En+1(λ) = FΓn+1(λ) =
(1
1 + λ
)(n+1)
.
Se demuestra que la densidad asociada con la transformada anterior, es la correspondiente
a una distribucion gamma de parametro unitario, dada por
fΓn+1(t) =e−ttn
n!, t ≥ 0,
Al continuar con la demostracion se tiene que la densidad condicionada de Γ1, ..., Γn dado
Γn+1 se obtiene del cociente
fΓ1,...,Γn|Γn+1=t(s1, ..., sn) =fΓ1,...,Γn+1(s1, ..., sn, t)
fΓn+1(t)
=n!
tn, 0 < s1 < ... < sn < t.
La anterior densidad coincide con la densidad conjunta de los estadısticos de orden de n
V.A. iid con distribucion uniforme en el intervalo (0, t).
Con base en los resultados anteriores, se demuestra a continuacion que un Proceso de Pois-
son definido en [0,∞), posee la propiedad de estadıstico de orden, lo cual significa que al
condicionar sobre las ubicaciones de los n puntos en (0, t], estas se distribuyen como los
estadısticos de orden de una distribucion uniforme en (0, t).
7. PROPIEDAD DE ESTADISTICO DE ORDEN 40
Teorema 3.7. Si N es un PPH en [0,∞) con tasa λ, al condicionar sobre
[N((0, t]) = n]
los puntos de N en orden creciente, se encuentran distribuidos de acuerdo a la forma de los
estadısticos de orden generados desde una distribucion uniforme U(0, t) sobre [0, t]; i.e.,
(Γ1, ..., Γn|N(0, t] = n)d= (U1, ..., U2).
De esta forma, si la funcion no negativa g(x1, x2, ..., xn) es una funcion simetrica de sus
argumentos, lo que significa , que para cualquier π ∈ Π,
g(x1, ..., xn) = g(xπ(1), ..., g(xπ(n)))
se tiene la siguiente igualdad en distribucion para la distribucion conicionada de g(Γ1, ..., Γn)
dados n puntos en (0, t]:
(3.20) [(Γ1, ..., Γn)|N(0, t] = n]d= g(U(1), ..., U(n)) = g(U1, ..., Un)
Demostracion
Supongase que el PPH tiene puntos dados por Γn. Se supone ademas que cada punto
pertenece a un intervalo de la forma (a, b). De forma tal que se cumple con a1 < b1 < a2 <
b2 < ... < an < bn < t. Para la distribucion condicionada de (Γ1, ..., Γn) dado N(0, t] = n se
tiene que
P [Γi ∈ (ai, bi], i = 1, ..., n|N((0, t]) = n] =
P [ai < Γi ≤ bi, i = 1, ..., n,N((0, t]) = n] /P [N((0, t]) = n]
8. TENDENCIAS EN LA ESTIMACION DE PPNH 41
Para el numerador se tiene que
P
[N((0, a1]) = 0, N((a1, b1]) = 1,
n−1⋂i=1
[N((bi, ai+1]) = 0, N((ai+1, bi+1]) = 1], N((bn, t]) = 0
]=
e−λa1λ(b1 − a1)e−λ(b1−a1)
n−1∏i=1
e−λ(ai+1−bi)λ(bi+1 − ai+1)e−λ(bi+1−ai+1)e−λ(t−bn)
y ademas
P [Γi ∈ (ai, bi], i = 1, ..., n|N((0, t]) = n]
=n!
tn
n∏i=1
(bi − ai)
al dividir por∏n
i=1(bi − ai) y al hacer que bi ↓ ai para i = 1, ..., n, el lado izquierdo se
convierte en la densidad condicionada dado [N((0, t]) = n]:
fΓ1,...,Γn|N((0,t])=n(a1, ..., an) =n!
tn
como se requiere.
8. Tendencias en la Estimacion de PPNH
En la actualidad existen diferentes tendencias para la estimacion de PPNH. Estas se
basan en platearse como principal problema a resolver, la estimacion de la funcion de valor
medio del proceso, todo ello a partir de la observacion de la realizacion del proceso en un
intervalo de tiempo dado (0, S]. En el caso de PPNH, dicha funcion viene dada por la Ec.
(3.15) la cual se vuelve a mostrar ahora redefinida como funcion de valor medio:
(3.21) µ(t) = µ(0, t] = E(Nt) =
∫ t
0
λ(z)dz
8. TENDENCIAS EN LA ESTIMACION DE PPNH 42
Los metodos de estimacion que en el marco de esta investigacion se han encontrado se pueden
clasificar en 2 clases importantes:
1. Metodos parametricos
2. Metodos semi-parametricos
8.1. Metodos Parametricos en la Estimacion de PPNH. Estos se basan en
plantear formas parametricas para la funcion de valor medio bien sea para procesos con
comportamiento periodico o aperiodico, para luego estimar los parametros del modelo por
medio del enfoque de maxima verosimilitud y mınimos cuadrados. En la revision bibliografi-
ca hecha en el marco del presente trabajo, se encontraron los siguientes tıpos de funciones
parametricas:
1. Exponencial Polinomica (EP)
2. Exponencial Poliomica y Trigonometrica (EPT)
3. Exponencial Poliomica y Trigonometrica de Multiples Perıodos (EPTMP)
El caso mas general es aquel donde la funcion de valor medio es del tipo EPTMP:
µ(t) = exp(h(t; m, p, Θ))
donde
(3.22) h(t; m, p, Θ) =m∑
i=0
αiti +
p∑
k=1
γk sen(wkt + φk)
En la expresion anterior Θ = [α0, α1, ..., αm, γ1, γ2, ..., γp, w1, w2, ..., wp, φ1, φ2, ..., φp] es un
vector de parametros contınuos. Los primeros m + 1 terminos de h(t; m, p, Θ) definen una
8. TENDENCIAS EN LA ESTIMACION DE PPNH 43
funcion polinomica de grado m que representa la tendencia general en el tiempo. Los sigu-
ientes p terminos en h(t; m, p, Θ) son funciones trigonometricas que representan el compor-
tamiento periodico del proceso.
El caso mas general ocurre cuando las frecuencias wk son desconocidas, y por lo tanto son
parametros a ser estimados junto a las amplitudes γk, y angulos de fase φk. La estimacion de
los parametros Θ se efectua por aplicacion del metodo de maxima verosimilitud. El grado m
de la funcion polinomica constituye un parametro que tambien debe ser estimado. Dado que
este ultimo es un entero positivo, no es posible utilizar para su estimacion las ecuaciones de
Verosimilitud, las cuales estan definidas para parametros contınuos. A su vez la estimacion
de los parametros Θ esta condicionada a un valor establecido de m. Para solventar esta
situacion el valor de m se determina por medio de la aplicacion iterativa de un test de razon
de verosimilitudes. En la primera interacion se establece como hipotesis nula H0, que m = 1,
si la hipotesis es rechazada se incrementa m = m+1 y se vuelve a aplicar el test actualizando
H0 al nuevo valor de m. El proceso se repite hasta alcanzar el menor valor de m para el cual
se acepta H0.
En la aplicacion del metodo de maxima verosimilitud se parte de una secuencia de n eventos
que son observados en los instantes o puntos t1 < t2 < t3..... < tn en un intervalo de tiempo
dado (0, S]. Se asume que dicha secuencia se corresponde con una realizacion de un PPNH
con funcion de tasa dada por (3.22). La funcion Logaritmo de la Verosimilitud de Θ dado
N(S) = n y t = (t1, t2, t3, ..., tn) viene dada por:
(3.23) ÃL(Θ | n, t) =m∑
i=0
αiTi +
p∑
k=1
m∑j=1
γk sen(wktj + φk) +
∫ S
0
h(z; m, p, Θ)dz
Donde Ti =∑m
j=1 tij para i = 0, 1, ..., m. Los parametros Θ son estimados por procedimientos
numericos-iterativos al fijar un determinado valor del grado m del polinomio.
8.2. Metodos semi-parametricos en la Estimacion de PPNH. En los metodos
semiparametricos, y particularmente en el caso de PPNH con multiples periodicidades, no
se asume una forma trigonometrica para representar a cada perıodo del proceso. Y en en
vez de ello se utilizan funciones caracteristicas definidas para cada perıodo o resolucion.
9. PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCION PARA LA ESTIMACION DE UN PPNH 44
Estas funciones permiten modelar comportamientos periodicos no senoidales y que ademas
posiblemente carezcan de las simetrias propias de las funciones senoidales. Se denominan
semi-parametricos dado que las funciones caracteristicas que ajunstan las distintas resolu-
ciones del proceso son parametricas de tipo polinomicas.
En el caso del presente trabajo, se aplicara este ultimo enfoque para el modelado del proceso
de interrupciones en el sistema de transmision CORPOELEC region Capital, al mostrar este
la existencia de las caractaresristicas indicadas como se pudo apreciar del capıtulo I.
9. Procedimiento Multiresolucion para la Estimacion de un PPNH
Se presenta acontinuacion el metodo de analisis multiresolucion, desarrollado por Khul
y Wilson (2004). Este constituye un intento por representar el comportamineto periodico y
de tendencia a largo plazo que exiben varios Porcesos de Poisson no Homogeneos de una
forma tal, que la determinacion del patron de ocurrencia requiera de la estimacion de pocos
parametros. El metodo a presentar es en terminos generales semi- parametrico, en el sentido
de que no sera requerido una forma parametrica de la funcion de valor medio; sin embar-
go ciertos elementos del procedimiento de analisis multiresolucion, involucran el ajuste de
funciones parametricas como una vıa para evitar almacenar todos los tiempos de ocurrencia
observados. Este metodo puede ser aplicado a procesos puntuales que cumplen con la dos
condiciones que se mencionan a continuacion:
Condicion 1. Existen p ciclos de distinta longitud o duracion (Los perıodos)
b1 > b2 > b3 > ... > bp
que cumplen con que bi+1 es un multiplo entero de bi para i = 1, 2, ..., p− 1. Adicionalmente
se asume el horizonte temporal [0, S], de tal forma que S sea un multiplo entero de b1, y se
asigna b0 ≡ S
9. PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCION PARA LA ESTIMACION DE UN PPNH 45
Condicion 2. Dentro del j-esimo ciclo [(j − 1)bi, jbi) de duracion bi, la tasa de ocu-
rrencia de eventos en el tiempo t es proporcional a una funcion base elemental λi(s), donde
s = t−(j−1)bi representa el desplazamiento temporal, o tiempo transcurrido, desde el inicio
del ciclo. De forma tal que
λ(t) = αijλi(t− (j − 1)bi) = αijλj(s)
y αi,l : l = 1, 2, 3, ..., S/bi son las constantes de proporcionalidad asociadas a todos los ciclos
de duracion bi.
Si se generaliza a un tiempo arbitrario t, el planteamineto de la condicion 2 requiere de
una notacion adicional. Para i = 1, 2, ..., p y para cada t ∈ [0, S] se asume
ji,t ≡ unico entero j tal que (j − 1)bi ≤ t ≤ jbi
Cuando i = 0, se toma j0,t = 1 para todo t ∈ [0, S] dado que b0 = S. Con esta notacion la
condicion 2 puede ser escrita de forma compacta como sigue:
λ(t) = αi,ji,tλi(t− (ji,t − 1))bi para todo t ∈ [0, S] y para i = 1, 2, .., p
Observacion 3.8. Se puede demostrar que la Condicion (2) se mantiene si, y solo si,
la funcion de valor medio µ(t) tiene a lo interno de los ciclos de duracion bi la siguiente
propiedad: En cada ciclo [(j − 1)bi, jbi) de longitud bi (i = 1, 2, 3, ..., p), la ponderacion
acumulada de la cantidad de eventos esperados en la fraccion de tiempo [(j − 1)bi, (j −
9. PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCION PARA LA ESTIMACION DE UN PPNH 46
1)bi + s) dado por µ ([(j − 1)bi, (j − 1)bi + s)) dentro del total esperado en todo el ciclo
µ ([(j − 1)bi, jbi)), responde a una misma funcion Ri(s) de s. De esta forma se tiene que:
(3.24)
Ri(s) ≡ µ([(j − 1)bi, (j − 1)bi + s))
µ([(j − 1)bi, jbi))=
∫ s
0λi(z)dz∫ bi
0λi(z)dz
=µ((j − 1)bi + s)− µ((j − 1)bi)
µ(jbi)− µ((j − 1)bi)
para
s ∈ [0, bi);
j = 1, 2, ..., S/bi; y
i = 1, ..., p
La propiedad (3.24), implica el uso de funciones motonamente crecientes para representar
la funcion de valor medio que caracteriza a cada perıodo, asi como tambien a la tendencia
a largo plazo. El procedimiento de analisis multiresolucion inicia en el mınimo nivel de re-
solucion (la resolucion cero). En este nivel se puede observar la totalidad del proceso, lo
cual puede contener una tendencia de largo plazo. De esta forma al incrementar el nivel de
resolucion, mas detalles son agregados. Si hay presentes p componentes periodicos, entonces
la resolucon 1 correspondera al perıodo de mayor duracion b1, y la resolucion p correspondera
al perıodo de menor duracion bp.
En consecuencia de lo anterior, para poder estimar la funcion de valor medio µ(t), se debe
estimar primero la funcion Ri(s) para todo s ∈ [0, bi) y para i = 1, 2, ..., p. En la resolucion
0 correspondiente a la posible tendencia a largo plazo, se toma R0(t) ≡ µ(t)/µ(S) para todo
t ∈ [0, S]. Inicialmente se estima R0(t) por medio del ajuste de una funcion creciente, R0(t),
que indica el peso relativo acumulado de eventos sobre el horizonte tempotal [0, S]. En par-
ticular, a la resolucion 0, y mediante un procedimeinto de regresion se ajusta una funcion
monotona creciente R0(t), t ∈ [0, S] a los puntos:
(3.25) [jb1, N(jb1)/N(S)]T : j = 0, 1, ..., S/b1
Esta funcion estimada cumple con R0(0) = 0, R0(S) = 1.
Al continuar a la resolucion i para i = 1, 2, ..., p − 1, se construyen funciones motonas
crecientes Ri(s) para estimar en cada ciclo de longitud bi la ponderacion acumulada Ri(s) de
9. PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCION PARA LA ESTIMACION DE UN PPNH 47
eventos esperados en las s primeras unidades de tiempo dento del mismo, donde s ∈ [0, bi).
En particular a la resolucion i (1 ≤ i ≤ p−1), se ajusta la funcion creciente Ri(s), s ∈ [0, bi),
al conjunto de puntos dado por [jbi+1, Gi(jbi+1)]T : j = 0, 1, ..., bi/bi+1 donde
(3.26) Gi(s) ≡ 1
N(S)
(S/bi)−1∑
l=0
(N(lbi + s)−N(lbi)) para todo s ∈ [0, bi)
Es la ponderacion acumulada de todos los eventos que ocurren durante las primeras s
unidades de tiempo de todos los ciclos de duracion bi con respecto al total de eventos obser-
vados. Se requiere ademas que la funcion Ri(s) ajustada satisfaga que Ri(0) = 0 y Ri(bi) = 1.
Para estimar la funcion Rp(.) correspondiente al mayor nivel de resolucion p observado,
se procede como se indica acontinuacion: τ1, τ2, ..., τN(S) denotan los N(S) tiempos de ocu-
rrecia (o tiempos de llegada) de eventos dentro del horizonte temporal [0, S]; a estos pun-
tos se les aplica la transformacion ηk = (τk − (ji,τk− 1)bp) para k = 1, 2, ..., N(S). De
esta forma se estan superponiendo todos los puntos o eventos presentes en [0, S] dentro
del ciclo patron [0, bp). A continuacion se determinan los estadısticos de orden correspon-
dientes a los puntos superpuestos en el ciclo patron [0, bp) los cuales vienen dados por
η(1) < η(2) < ... < η(N(S)). Entonces se ajusta una funcion monotona creciente Rp(s) al con-
junto de puntos[η(k), k/N(S)]T : k = 1, ..., N(S)
de forma tal que Rp(0) = 0 y Rp(bp) = 1.
Este procedimiento conduce a que Rp(η(k)) ≈ k/N(S) para k = 1, 2, ..., N(S).
Observacion 3.9. Al comparar el estimador Rp(η(k)) con (3.7), se puede apreciar que al
superponer los eventos observados dentro del intervalo patron que caracteriza a la maxima
resolucion, se asume un comportamiento homogeneo del proceso de Poisson dentro de esta
resolucion. Este hecho es consecuencia de la inexistencia de periodos de menor duracion, lo
cual se traduce en que a la maxima resolucion no se pueden identificar desviaciones signi-
ficativas de la funcion de valor medio respecto a la linea recta λt.
9. PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCION PARA LA ESTIMACION DE UN PPNH 48
La estimacion final µ(t) de la funcion de valor medio µ(t), se calcula como sigue:
(3.27) µ(t) = N(S)Q0(t)para t ∈ [0, S]
donde las funciones
Qi(t) : i = p, p− 1, ..., 1, 0
son definidas en forma iterativa como:
(3.28) Qp(t) ≡ Rp(t− (jp,t − 1)bp)
y para i = p− 1, p− 2, ..., 1, 0, se tiene
(3.29)Qi(t) ≡ Ri((ji+1,t − 1)bi+1 − (ji,t − 1)bi)
+[Ri(ji+1,tbi+1 − (ji,t − 1)bi)− Ri((ji+1,t − 1)bi+1 − (ji,t − 1)bi)]Qi+1(t)
se puede apreciar que para i = 0, 1, ..., p − 1, Qi(t) representa una estimacion refinada de
Ri(t− (ji, t− 1)bi) la cual depende no solo de Ri(t− (ji, t− 1)bi), sino ademas de Qh(t) para
h = i + 1, ..., p. En particular, (3.29)muestra que para i = 0, 1, ..., p− 1, Qi(t) se constituye
por la suma de dos componentes: a) la porcion estimada de eventos que se encuentran dentro
del ciclo actual [(ji,t− 1)bi, ji,tbi) de duracion bi y que ocurrurren ademas hasta el tiempo de
incicio (ji+1,t − 1)bi+1 del ciclo actual [(ji+1,t − 1)bi+1, ji + 1, tbi + 1] de duracion bi+1; y (b)
la porcion estimada de eventos que ocurren en el ciclo actual de duracion bi y que ademas
caen dentro del subintervalo [(ji+1,t−1)bi+1, t) del ciclo actual de longtitud bi+1. En atencion
a (b) se puede apreciar que:
Ri(ji+1,tbi+1 − (ji,t − 1)bi)− Ri((ji+1,t − 1)bi+1 − (ji,t − 1)bi)
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 49
Figura 3.3. Periodos1
Estima la porcion de eventos que ocurren en el ciclo actual de duracion bi, que a su vez
ocurren dentro del ciclo actual de duracion bi+1; y Qi+1 estima la porcion de eventos que
ocurren dentro del ciclo actual de duracion bi+1 que ocurren ademas hasta el tiempo t.
10. Base Teorica del Procedimiento Multiresolucon
El procedimiento multiresolucion hace uso de propiedades basicas de los PPNH asi como
de la estructura periodica de dichos procesos cuando los mismos satisfacen las Condiciones 1
y 2 expuestas en la seccion presedente. La funcion teorica de valor medio del proceso puede
ser escrita como:
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 50
(3.30) µ(t) = µ(S)
R0(s0,t) +
p∑
l=1
[Rl(sl,t)
l−1∏i=0
(Ri(si,t + bi+1)−Ri(si,t))
]
donde si,t = ((ji+1,t − 1)bi+1 − (ji,t − 1)bi) para i = p− 1, ..., 1, 0 y sp,t = (t− (jp,t − 1)bp). Se
puede verificar que (3.30) es una forma apropiada de la funcion de valor medio al notar que
µ(S)R0(s0,t) es el numero acumulado esperado de eventos hasta el inicio del ciclo actual de
duracion b1 (esto es, el ciclo de duracion bi al cual el tiempo t pertenece). Cada termino de
la forma
µ(S)
[Rl(sl,t)
l−1∏i=0
(Ri(si,t + bi+1)−Ri(si,t))
]
para l = 1, 2, ..., p − 1, es el numero esperado de eventos que ocurren dentro del interva-
lo de tiempo comprendido entre el inicio del ciclo actual de duracion bl hasta el inicio del
ciclo actual de duracion bl+1. Finalmente, el ultimo termino de la forma
µ(S)
[Rp(sp,t)
p−1∏i=0
(Ri(si,t + bi+1)−Ri(si,t))
]
es el numero esperado de eventos que ocurren entre el inicicio del ciclo actual de duracion bp
hasta el tiempo t donde se evalua la funcion de valor medio µ(t).
Seguidamente se indica que el procedimiento multiresolucion lleva a un estimador µ(t) de
la funcion de valor medio que en forma es similar a (3.30). Las ecuaciones (3.27) - (3.29)
pueden ser rescritas de forma compacta como una suma de productos tal como se muestra
a continuacion
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 51
(3.31) µ(t) = µ(S)
R0(s0,t) +
p∑
l=1
[Rl(sl,t)
l−1∏i=0
(Ri(si,t + bi+1)− Ri(si,t))
]
Al comparar (3.30) con (3.31), se puede apreciar que la funcion estimada de valor medio
µ(t) coincidira exactamente con la funcion de valor medio real µ(t) cuando las funciones
Ri(s) : i = 0, 1, ..., p sean estimadas de forma exacta, de forma tal que Ri(s) coincide con
Ri(s) para i = 0, 1, ..., p.
Para establecer las propiedades basicas relativas a grandes muestras para el procedimiento
multiresolucion de estimacion, se parte del conocimiento u observacion de K replicaciones del
PPNH en el intervalo [0, S]. De esta forma al hacer tender K →∞, la funcion de valor medio
enpırica converge uniformemente hacia la funcion de valor medio propia del PPNH dentro
del intervalo [0, S]. En la replicacion k (k = 1, 2, .....K), sea Nk(t) la observacion del proceso
de ocurrencia o llegadas con tiempos de ocurrencia dados por tl, k : l = 1, 2, ..., Nk(S). Por
extencion de (3.26) se puede definir la funcion de valor medio empırica G0,K(t) computada
sobre K realizaciones independientes del proceso que gobierna la ocurrencia de eventos en
el intervalo [0, S], se tiene que:
(3.32) G0,K(t) ≡K∑
k=1
Nk(t) /K∑
k=1
Nk(S)para todo t ∈ [0, S]
Teorema 3.10. Si µ(S) > 0, entonces:
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 52
(3.33) supt∈[0,S]
|G0,K(t)−R0(t)|−−−−→K→∞0 con probabilidad 1
Demostracion; Dado Nk(S) = nk para k = 1, ..., K la distribucion condicionada de los
tiempos de ocurrencia o llegadas tl,k : l = 1, 2, ...., nk observados en la k − esima realizacion
del PPNH subyacente, es la misma que la distribucion conjunta de los estadısticos de orden
en una muetra aleatoria de tamano nk formada a partir de la funcion de distribucion acu-
mulada (f.d.a):
(3.34) F0(x) ≡
0, si x < 0,
R0(x) = µ(x)/µ(S), si 0 ≤ x ≤ S,
1, si x > S;
De esta forma de la propiedad de incrementos independientes de un proceso de poisson,
asi como la definicion (3.32), se puede apreciar que dado Nk(S) = nk para k = 1, 2..., K
la funcion aleatoria G0,K(t) tiene la misma distribucion condicionada que la f.d.a. de una
muestra aleatoria de tamano n =∑K
k=1 nk que se genera de la f.d.a. (3.34). Correspondiendo
con una muestra aleatoria de tamano (determinıstico) L que se genera de la f.d.a. definida
por (3.34). F0,L(.) denota f.d.a. empırica asociada. El Teorema de Glivenko-Cantelli asegura
que:
(3.35) sup−∞<x<∞
|F0,L(x)− F0(x)|−−−−→L→∞0 con probabilidad 1
Ahora supongase que se tiene una secuencia infinita Nk(S) = nk : k = 1, 2, ... de conteo
de ocurrencia de eventos o llegadas sobre el horizonte temporal [0, S]. en vista de (3.34) y
(3.35), se tiene el siguiente resultado:
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 53
(3.36)
Dado Nk(S) = nk : k = 1, 2, ... tal que∑∞
k=1 nk = +∞, se tiene que
supt∈[0,S] |G0,K(t)−R0(t)|−−−−→K→∞0 con probabilidad 1
Para completar la prueba del Teorema 2.3 se requiere establecer que
(3.37)K∑
k=1
Nk(S)−−−−→K→∞∞ con probabilidad 1
La ley de los grandes numeros asegura que lımK→∞ 1K
∑Kk=1 Nk(S) = µ(S) con probabilidad
1;, y como µ(S) > 0, la relacion (3.37) sigue de forma inmediata. Finalmente al combinar
(3.36) con (3.37) y aplicar la regla de cambio para probabilidades condicionadas, se obtiene
el resultado deseado (3.33).
En lo que se expone a continuacion, se examina el comportamiento asintotico de la funcion
de valor medio estimada µ(t) especificada por (3.31) cuando µ(t) es calculada a partir de una
replicacion del un PPNH N(t) : 0 ≤ t ≤ S que satisface las condiciones 1 y 2 mientras el
horizonte temporal S → ∞. De esta forma se pasa de los platemientos correspondientes a
replicaciones; y para i = 1, 2, ...p, se define Ji como el numero de ciclos completos de longitud
bi en el intervalo [0, S]. Se hace notar que cuando S → ∞, se tiene que Ji = [S/bi] → ∞.
Para el ciclo j de longitud bi(i = 1, ..., p y j = 1, ..., Ji), se tiene que
Ni,j(s) ≡ N((j − 1)bi + s)−N((j − 1)bi) para todo s ∈ [0, bi)
denota el proceso de ocurrencia de eventos o llegadas observado desde el inicio del jth
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 54
ciclo para un intervalo de tiempo de longitud s ∈ [0, bi). Al cuantificar los tiempos de ocur-
rencia o llegada τh : h = 1, 2, ..., N(S) de todo el PPNH, τh,i,j =; h = 1, ...,Ni,j(bi)denota los tiempos de ocurrencia o llegada observados en el j-esimo ciclo de longitud bi; y
sh,i,j ≡ τh,i,j − (j − 1)bi : h = 1, ...,Ni,j(bi) denota los mismos tiempos de ocurrencia o
llegada pero medidos desde el inicio de ese ciclo. Tambien se define la f.d.a. empırica de los
tiempos de ocurrencia o llegadas sh,i,j : h ≥ 1 , j ≥ 1 acumulada sobre Ji ciclos indepen-
dientes de longitud bi,
(3.38) Gi,Ji(s) ≡
Ji∑j=1
Ni,j(s)/
Ji∑j=1
Ni,j(bi) para todo s ∈ [0, bi).
Teorema 3.11. Si el lımite que a continuacion se presenta existe:
(3.39) α∗i ≡ lımJi→∞ J−1i
Ji∑j=1
αi,j con α∗i ∈ (0,∞) para i = 1, ..., p,
y si
(3.40)
∫ bi
0
λi(s)ds > 0 para i = 1, ..., p,
entonces para i=1,...,p,
(3.41) sups∈[0,bi)
|Gi,Ji(s)−Ri(s)|−−−−→Ji→∞0 con probabilidad 1
Demostracion; Primero se establece que
(3.42)
Ji∑j=1
Ni,j(bi)−−−−→Ji→∞∞ con probabilidad 1 para i = 1, ..., p.
De las propiedades basicas del Proceso de Poisson subyacente N(t) : t ≥ 0, se aprecia que
Ni,j(bi) : j = 1, 2, .... son V.A. Posisson independientes; y la Condicion 2 implica que para
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 55
j = 1, 2, ..., la variable Ni,j(bi) tiene media εi,j y cuarto momento central M(4)i,j respectiva-
mente dados por
(3.43) εi,j =
∫ bi
0
λi(s)ds y M(4)i,j = εi,j + 3ε2
i,j
De la hipotesis (3.39), sigue que lımj→∞ αi,j = 0 para i = 1, ..., p; y de esta formaM(4)
i,j : j = 1, 2, ...
es una secuencia acotada para i = 1, ..., p de tal forma que aplica el teorema de cantlelli para
concluir que
(3.44) lımJi→∞ J−1i
Ji∑j=1
Ni,j(bi) = α∗i con probabilidad 1 para i = 1, ..., p;
y dado que α∗i > 0 para i = 1, ...p, la propiedad (3.42) se establece de forma inmedia-
ta.
Para continuar el analisis de las propiedades para grandes muestras del el estimador Gi,Ji(s)
para i = 1, ..., p se condicona a los valores observados de Ni,j(bi) : j = 1, 2, ..., Ji. Dados
Ni,j(bi) = mi,j para j = 1, ..., Ji, la distribucion condicionada de los puntos de llegada o
eventos sh,i,j : h = 1, ..., mi,j observados en el jth ciclo de longitud bi es la misma que la
distribucion conjunta de los estadısticos de orden de una muestra aleatoria de tamano mi, j
tomada de la f.d.a
(3.45) Fi(x) ≡
0, si x < 0,
Ri(x) =
∫ x
0λi(z)dz∫ bi
0λi(z)dz
, si 0 ≤ x ≤ bi,
1, si x > b− i;
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 56
De esta forma por la propiedad de incrementos independientes de los Procesos de Poisson y
la definicion (3.38) de Gi,Ji(s), se puede apreciar que dado Ni,j(bi) = mi,j para j = 1, ..., Ji,
la funcion aleatoria Gi,Ji(s) tiene la misma distribucion condicional que la f.d.a empırica de
una muestra de tamano mi ≡∑Ji
j=1 mi,j desde la f.d.a. dada por (3.45). Al aplicar (3.42) y
(3.45), y el Teorema de Glovenko-Catelli siguiendo lo indicado en las lıneas detalladas en la
prueba del Teorema 2.3, se obtiene el resultado deseado (3.41).
En lo que sigue a continuacion, se mostrara que si se es capaz de observar una larga re-
alizacion de un PPNH que satisaface las Condiciones 1 y 2 y que ademas no posee un
ternmino de tendencia larga, entonces mientras la longitud S del intervalo de observacion
tiende a infninito, se tiene que asintoricamente µ(t) converge a µ(t) uniformente en t con
probabilidad 1. Por Termino de tendencia larga, se entiende especificamente que en cada
ciclo [(j − 1)b1, jb1) de longitud b1 (j = 1, 2, ..., S/b1), la funcion de tasa del proceso tiene
exactamente el mismo comportamiento indicado por la Condicion 1 y la condicion 2, las con-
stantes de proporcionalidad α1,j j = 1, ..., S/b1 son todas iguales en este caso. Sin perder
generalidad se puede tomar
(3.46) α1,j = 1 para todo j = 1, 2..., S/bi
En particular, se se puede observar un numero entero, K, de intervalos de observacion suce-
sivos de longitud S, esto es, si se puede obtener informacion de un PPNH en el intervalo
[0, KS], entonces se puede mostrar que al tender K →∞, se tiene que µ(t) → µ(t) uniforme-
mente para todo t ∈ [0, S] con probabilidad 1. Para el ciclo j de longitud b0 = S (j = 1, ..., K),
se tiene que
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 57
N0,j(s) ≡ N((j − 1)S + s)−N((j − 1)S) para todo s ∈ [0, S]
denota la ocurrencia de eventos o llegadas del proceso desde el inicio del j − esimo ciclo
hasta el tiempo s ∈ [0, S]. Se define tambien la f.d.a empırica de los tiempos de ocurrencia
dentro del ciclo basico de longitud S, acumulada sobre K ciclos no superpuestos,
(3.47) G(s) ≡K∑
j=1
N0,j(s)/K∑
j=1
N0,j(S) para todo s ∈ [0, S)
Se puede apreciar que la estimacion de la funcion de valor medio µ(t) por µ(t) involucra
dos fuentes de error. La primera fuente de error es debida a la variabilidad del proceso de
conteo obsevado en torno a su funcion de valor medio, mientra que la segunda fuente de error
es debida a los metodos numericos usados en la estimacion de la funcion Ri(s) a cada res-
olucion ”i.en procedimiento aqui descrito. Esta segunda fuente de error puede ser controlada
dado que se puede ajustar una funcion Ri(s) que sea arbitrariamente cercana de Gi,Ji(s); o
puede ser eliminada si se omite el procedimiento de ajuste y se usa la funcion Gi,Ji(s) de
forma directa.
Teorema 3.12. Supongase N(t) : t ≥ 0 es un PPNH con p periodicidades y sin
termino de tendencia larga, tal que las Condiciones 1 y 2 se cumplen conjuntamente con las
establecidas en (3.40) y (3.46). Si µ(t), t ∈ [0, S], es calculada por el procedimiento expuesto
entre (3.25) y (3.29) a una unica realizacion de ese proceso en el intervalo [0, KS], donde
K es un entero positivo, entonces
(3.48) sups∈[0,S]
|µ(t)− µ(t)|−−−−→K→∞0 con probabilidad 1
Demostracion
10. BASE TEORICA DEL PROCEDIMIENTO MULTIRESOLUCON 58
Dado un PPNH con p periodicidades y sin termino de tendencia larga, tal que las condi-
ciones 1 y 2 se cumplen, y una realizacion del PPNH sobre el intervalo [0, KS], el estimado
N(S) dado en (3.31) puede ser reemplazado por el numero de llegadas promedio en los K
intervalos adjacentes de longitud S (N(0) ≡ 0); y a la resolucion i (i = 0, ..., p), se reemplaza
R(.) por Gi,Ji(.) con Ji = KS/bI en la ecuacion (3.31) para obtener:
(3.49)
µ(t) =
[1
K
K∑
k=1
N0,k(S)
]G0,K(s0,t) +
p∑
l=1
[Gl,Jl
(sl,t)l−1∏i=0
(Gi,Ji(si,t + bi+1)− Gi,Ji
(si,t))
]
para t ∈ [0, S]. (En la ecuacion (3.49), se puede apreciar que J0 = K por lo tanto R0(.)
se sustituye por G0,K(s).)
Por la ley fuerte de los grandes numeros se tiene que
(3.50)K∑
k=1
N0,k(S)−−−−→K→∞∞ con probabilidad 1 para ;
Por un razonamiento similar al utilizado en la demostracion del teorema (3.33) se muestra que
(3.51) sups∈[0,S]
|G0,K(s)−R0(s)|−−−−→K→∞0 con probabilidad 1
Dado que se estan tomando datos desde el intervalo [0, KS], para la resolucion i (i =
1, 2, ..., p) se tiene que Ji = K(S/bi) ⇒ ∞ cuando K ⇒ ∞. La ausencia de una comp-
nente de tendencia a largo plazo permite asegurar que la hipotesis (3.39) de teorema 2.5 se
cunple en este caso, por lo cual se sigue que
(3.52) sups∈[0,S)
|Gi,Ji(s)−Ri(s)|−−−−→Ji→∞0 con probabilidad 1, para i = 1, 2, ..., p
11. FORMA FUNCIONAL Y ESTIMACION DE FUNCIONES AUXILIARES Ri(.) 59
La conclusion deseada (3.48) sigue de forma iinmediata de (3.30) combinada con (3.50) al
(3.52).
Aunque la conclusion del teorema 2.6 esta dada solo para el intervalo [0, S], bajo la hipotesis
de inexistencia de tendencia a largo plazo, se puede apreciar que
µ(t) = [t/S]µ(S) + µ(t mod S) para todo t ∈ [0, KS]
y en esta situcion el resultado (3.48) relativo a convergencia uniforme aplica para todo t ≥ 0.
Por otra parte si el PPNH subyacente posee un termino de tendencia a largo plazo, no hay
garantia de que el procedimiento multiresolucion conlleve a un estimador fuerte y consistente
de la funcion de valor medio, todo ello basado en en una unica y prolongada realizacion de
tal proceso.
11. Forma Funcional y Estimacion de Funciones Auxiliares Ri(.)
El procedimiento multirresolucion requiere que cada funcion ajustada Ri(.) sea monotona
creciente y que ademas Ri(0) = 0 y Ri(bi) = 1 para i = 0, ...., p. Para cumplir estas restric-
ciones se utilizan polinomios especiales denominados Polinomios de Grado r o simplemente
r-Polinomios, los cuales tienen la forma:
(3.53) Ri(s) =
s/bi, si r = 1r−1∑
k=1
βk,i(s/bi)k + (1−
r−1∑
k=1
βrk,i)(s/bi)
r, si r > 1
Para s ∈ [0, bi] y i = 0, ...., p. Para el caso donde r > 1, se hacen restricciones a los coe-
ficientes βk,i : k = 1, ..., r − 1 en (3.53) para de esta forma llevar a que Ri(s) ≥ 0 para
todo s ∈ [0, bi]. El polinomio (3.53) de forma automatica satisface las condiciones de frontera
requeridas.
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 60
Para estimar la funcion auxiliar (3.24) por medio de una funcion ajustada Ri(.) con la
forma dada por (3.53) a la resolucion i se debe determinar de manera apropiada el grado r
del polinomio y entonces estimar el vector de coeficientes asociado,
(3.54) β ≡
1, si r = 1
[β1,i, ..., βr−1,i]T si r > 1.
El abordaje clasico de este tipo de problemas consiste en efectuar un analisis de regresion.
Sin embargo , las condiciones requeridas para un analisis de este tipo implican la observacion
de una variable dependiente que en terminos probabilisticos en independiente y con distribu-
cion normal con varianza constante (condicion de homocedasticidad), de tal forma que los
terminos de error correspondientes son V.A. i.i.d. con distribucion normal.
En el caso de ajustar una serie de datos corespondiente a tiempos de ocurrencia o lle-
gadas obtenidos de un PPNH que cumple con las condiciones 1 y 2 de la seccion anterior, la
frecuencia relativa acumulada observada dentro de cada ciclo no es ni normal, ni indepen-
diente; por lo cual dichos procesos no son homocedasticos. Sin embargo es posible utilizar
una transformacion de los datos para estabilizar la varianza como etapa previa entes de
implementar los procedimientos estadısticos estandar para determinar el grado r apropiado
para la funcion R(.). Se elige formular un test de razon de verosimilitudes (TRV) para este
proposito debido a la simpleza y efectividad demostrada de TRV en estudios previos, donde
una componente de tasa tipo exponencial -polinomica de grado apropiado es usada para el
modelado de tendencias de largo plazo en PPNH.
12. Test de Razon de Verosimilitudes para Determinar el Grado de Cada
Funcion Auxiliar Estimada Ri(.)
Si p ≥ 1, entonces para estimar las funciones auxiliares definidas en (3.24), primero se
realiza lo siguiente: (a) a cada resolucion i para i = 0, ..., p−1, se toma mi ≡ bi/bi+1−1; (b) se
toma mp ≡ N(S); y (c) para i = 0, ..., p se ajusta una funcion polinomica Ri(.) con la forma
dada por (3.53) con un grado apropiado r a un conjunto de puntos que tienen la forma general
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 61
(3.55)
[Zj,Wj]T : j = 1, ..., mi
Si p ≥ 1 y la resolucion i esta en el rango 0, ..., p− 1, entonces en el j-esimo punto de
(3.55) se especifica la abcisa como Zj = jbi+1 y la ordenada Wj = Gi(jbi+1) para j = 1, ...,mi,
donde Gi(.) esta definida por (3.26). Independientemente del valor de p, a la resolucion p
se toma Zj = η(j) y Wj = j/N(S) para j = 1, ..., N(S), donde η(j) es definida en parrafo a
continuacion.
Observacion 3.13. Dado que Wj es siempre una proporcion, se utiliza la transformacion
de estabilizacion de la varianza dada por (referencia);
(3.56) Yj ≡ sen−1(√
Wj) para j = 1, ..., mi;
En correspondencia con la variable dependiente defina por (3.56), se define la variable
independiente:
Xj ≡ Zj/bi ∈ [0, 1] para j = 1, ...,mi;
y en terminos del vector de coeficientes de regrecion
(3.57) Cr ≡
π/2, si r = 1,
[C1, ..., Cr−1]T , si r > 1,
para el polinomio de grado r
(3.58) fr(u;Cr) ≡
(π2), si r = 1,
r−1∑
k=1
Ckuk + (
π
2−
r−1∑
k=1
Ck)ur, si r > 1,
para todo u ∈ [0, 1],
Se postula entonces el siguiente modelo estadıstico para Yj como funcion de Xj,
(3.59) Y − j = fr(Xj;Cr) + ej para j = 1, ..., mi.
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 62
Basado en (3.59), se asume que la transformacion dada por (3.56) lleva en forma aprox-
imada a que los terminos de error ei sean normales e independientes con media cero y
varianza σ2 de tal forma que
(3.60) ej j : 1, ..., mi i.i.d.∼ N(0, σ2).
Se puede apreciar a su vez que en (3.59) se tiene que fr(0;Cr) = 0 y fr(1;Cr) = π/2.
Observacion 3.14. En la practica se ha enconrado que (3.56) tienen aproximadamente
varianza constante para la respuesta transformada y termino de error dado en (3.59); pero
la suposicion de normalidad e independencia probabilıstica del termino error en (3.59) no
se cumple usualmente. Como se diiscutira , se aprecia que logrando aproximadamente una
varianza constante en la respuesta transformada y errores en (3.59) es suficiente para asegurar
una efectividad razonable del Test de Razon de Verosimilitues para determinar el grado de
cada funcion auxiliar de la forma (3.53).
Si se toma r = 1 en (3.58), no se require estimar parametros para el modelo estadıstico
(3.59)de las respuestas transformadas a la resolucion i. Para probar la bondad del ajuste
resultante, se realiza una analisis estandar de regresion basado en el cociente de la suma de
los cuadadros de los errores correspondiente al ajuste de grado 1,
(3.61) SCE1 ≡mi∑j=1
[Yi − πj
2(mi + 1)
]2
con respecto a la suma total de los cuadrados
(3.62) STC ≡mi∑j=1
(Yj − Y )2, donde Y ≡ 1
mi
mi∑j=1
Yj
Si SCE1/STC < 0,01, entonces el modelo de regresion (3.59) de grado 1 explica al menos el
99 % de la variabilidad presente en la variable dependiente transformada Yj; y de esta forma
se asume como ajuste aceptable el obtenido por un polinomio de grado r = 1. Por el otro
lado, si SCE1/STC ≥ 0,01, entonces para obtener un ajuste aceptable con (3.59) se deben
considerar valores mayores de r, bajo el supuesto de que mi sea lo suficiente grande para
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 63
poder efectuar el ajuste.
Para cada r (r = 2, 3, ...), se puede apreciar que Cr, el estimador ordinario de mınimos
cuadrados (OMC) del vector de coeficientes Cr en (3.58), es la solucion del problema de la
ecuacion de regresicon de mınimos cuadrados con restricciones:
(3.63) Cr = arg mınCr
mi∑j=1
[Yj − fr(Xj; Cr)
]2
Sujeta a
(3.64) f ′r(µ; Cr) 6= 0 para todo µ ∈ (0, 1)
Se puede apreciar que:
(3.65) f ′r(u; Cr) =r−1∑
k=1
kCkuk−1 + r
(π
2−
r−1∑
k=1
)ur−1 para todo u ∈ [0, 1],
De esta forma (3.64) puede ser interpretada en terminos de los ceros del polinomio (3.65), de
los cuales interesa aquellos que se ubican fuera del intervalo (0, 1); y de esta forma la restric-
cion dada por (3.64) permite asegurar que la funcion de estimacion correspondiente Ri(s)
sea estictamente creciente en el intervalo abieto (0, bi) y monotona creciente en el intervalo
cerrado [0, bi]
Asociado con (3.63) esta la suma de los cuadrados de errores del ajunte de grado r,
(3.66) SCEr =
mi∑j=1
[Yj − fr(Xj; Cr)
]2
para r = 1, 2, ...,
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 64
Donde de conformidad con (3.57) se toma Cr ≡ π/2. Bajo la hipotesis de cumplimiento
de (3.59) y (3.60) se tiene que para cada r (r ≥ 2), Cr es al mismo tiempo un estimador
Ordinario de Mınimos Cuarados (OMC) y de Maxima Verosimiltud (EMV). De esta forma
se puede apreciar que
(3.67) σ2r = SSEr/mi para r = 1, 2, ...,
es un estimador de maxima verosimilud de σ2 para cada valor postulado de r (cita). Dado
Y = [Y1, ..., Ymi]T , se puede apreciar que la funcion de verosimiltud asociada viene dada por
(3.68) Lr(Cr;Y) =
mi∏j=1
1
σ2r
√2π
exp
1
2
[Yj − fr(Xj; Cr)]2
σ2r
= (2πeσ2
r)−mi/2
por lo tanto la funcion logaritmo de la verosimilitud para el grado establecido r es
(3.69) Lr(Cr;Y) =mi
2[ln(2π) + 1 + ln(σ2
r)]
El grado del polinomio (3.58) es determinado por un test de razon de verosimilitudes (TRV)
que ha sido adaptado para una regresion no lineal con restricciones. La aproximacion aqui
usada para un TRV usado en la determinacion de r esta basada en una tecnica similar usada
por (bla) ennel contexto de otro problema de regresion no linear restringido. Desde afuera
(at the outset), se asume que (3.58)-(3.59) se cumplen para algun valor r a ser determinado.
Iniciando con r = 2 y computando la solucion optima cr a (3.63), se busca probar la hipotesis
nula
(3.70)r−1∑
k=1
Ck =π
2
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 65
Contra la hipotesis alternativa de que
(3.71)r−1∑
k=1
Ck 6= π
2
Si (3.58)-(3.59) y (3.70) se cumplen, el teorema 4.4.4 de Serfling (1980) asegura que
(3.72) 2[Lr(Cr;Y)− Lr(Cr−1;Y)]D−−−−−→mi→∞ X 2(1)
dodeD−−−−−→mi→∞ denota convergencia en distribucion al mi tender a infinito y X 2(1) denota
una V.A. con distribucion Chi-Cudrado de 1 grado de libertad. Al observar (3.69), se puede
apreciar que
(3.73) 2[Lr(Cr;Y)− Lr(Cr−1;Y)] = −mi ln(σ2
r
σ2r−1
)
Se desarrolla el TRV al nivel de significancia α, donde 0 < α < 1, y el estimado final
de r a la resolucion i es
(3.74) r =
1, si SCE1/STC < 0,01 o mi ≤ 2,
mın
r : r ≥ 2; = −mi ln(
σ2r
σ2r−1
) ≤ X 21−α(1)
− 1, de lo contrario,
donde X 21−α(1) denota el cuantil 1 − α de la distribucion Chi-Cuadrado con 1 grado de
libertad. Despues de haber determinado el grado r del polinomio (3.58) utilizado para la
transformacion de los datos de llegada u ocurencia transformados (3.56) a la resolucion i, se
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 66
toma el mismo grado para el polinomio (3.53) que es usado para el ajuste de los datos de
llegada originales (sin transformacion) (3.55) como sigue
(3.75) Wj = sin2(Yj) = fr(Xj; βi) + ζj para j = 1, ..., mi,
donde el vector de coeficientes de regresion βi esta dado por (3.54)con dimension r = r.
Observacion 3.15. A pesar de la estructura postulada del error en el modelo (3.75) de
las respuestas originales, se admite inconsistencia con la estructura de eeror postulada para
el modelo (3.59)de la respuesta transformada, se obtiene sustancialmente mejores valores en
medidas del desempeno en la bondad de ajuste al ajustar la datos de llegada o ocurrencia
originales directamente al modelo (3.75) en vez del modelo sin transformacion (3.59) ajustado
a los datos de ocurrencia o llegadas transformado.
Los autores del modelo, han formulado y evaluado un procedimiento Ordinario de Mıni-
mos Cuadrados (OMC) para la estimacion de PPNH que poseen funciones de taza parametri-
cas del tipo EPTMP segun se expone en la seccion 5.1 del presente capıtulo,, y han demostra-
do que la presicion en la estimacion asi como la eficiencia computacional del procedimiento
OMC en este tipo de aplicacion es razonable. El mismo procedimiento OMC es aplicado en
aqui para obtener el estimador final OMC βi del vector βi de coeficientes de regrecion en el
modelo (3.75).
Observacion 3.16. El teorema (3.48) establece las condiciones generales bajo las cuales
con probabilidad 1, el estimador de la funcion de valor medio µ(t) basada en (3.24) (3.29)converge
uniformemente a la funcion de valor medio teorica µ(t) para todo t ∈ [0, S]. Desafortu-
nadamente el procedimiento de estimacion multiresulucion basado en el TRV, no lleva a la
estimacion de las funciones auxiliares Ri(.) : i = 0, ..., p que converja en algun sentido a su
contraparte teorico Ri(.) : i = 0, ..., p; y de esta forma no se garantiza el estimado final de
la funcion de valor medio µ(t) = µ(t; b0, ......, bp) converja a µ(t) para todo t ∈ [0, S]. Al
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 67
ser este un procedimiento euristico, los resultados de ejemplos muestran que reeste proced-
imiento puede llevar a estimaciones precisas de procesos de llegadas complejos que exiben la
prescencia de tendencias de largo plazo y efectos de multiples periodicidades.
12. TEST DE RAZON DE VEROSIMILITUDES 68
Procedimiento de estimacion Multiresolucion Basado en el TRV
[0 ] Inicializar el indice de la resolucion i ← 0
[1 ]Si i > p entonces se construye la funcion de valor medio ajustada µ(t) =
µ(t; β0, ..., βp) definido por (3.27)-(3.29) utilizando los coeficientes de regre-
sion β0, ..., βp en (3.53)-(3.54) y fin del proceso.
Si i ≤ p, se aplica la compisicion ... del arcoseno y la raiz cuadrada para re-
alizar la transformacion de los datos originales, dentro del ciclo basico [0, bi]
de la resolucion i
[2 ] Verificar si el polinomio de grado 1 es adecuado como estimador Ri(.) de
Ri(.).
(a) Si SCE1/STC< 0,01 o mi ≤ 2, entonces el asignar r ← 1 y βi ← 1
en el modelo (3.53) para las respuestas origiginales a la resolucion i;
incrementar i ← i + 1; e ir al paso [1].
(b) Si Si SCE1/STC> 0,01 y mi ≥ 2, entonces asignar r ← 2 e ir al paso
[3]
[3 ] Calcular el Estimador OMC Cr del vector de coeficientes Cr en el modelo
(3.59) para las respuestas transformadas a la resolucion i.
(a) utilizar como valor de arranque Cr = [Cr−1, 0]T para obtener Cr; por
ejemplo, para calcular C2, se arranca con C2 = [C1, 0]T = [π/2, 0]T .
(b) Calcular Cr de acuerdo a (3.63) sujeto a(3.64)
(c) Calcular σ2r = SCEr/mi de conformidad con (3.66) - (3.67)
[4 ] Si −mi ln(σ2r/σ
2r−1) ≤ (X)1−α(1), entonces asignar r ← r − 1 e ir al paso
[5]; de lo contrario, incrementar r ← r + 1 e ir al paso [3]
[5 ] Hacer uso del grado ajustado r, para calcular el ajuste OMC del modelo
(3.75) para los datos originales (sin transformacion), y tener el cuenta eles-
timador de grado r resultante para βi del vector (3.54) de coeficientes de
regresion en el modelo (3.53) para Ri(.). incrementar i ← i + 1 e i al paso
[1].
13. FORMULACION DE MEDIDAS DE DESEMPENO 69
13. Formulacion de Medidas de Desempeno
Para hacer una evaluacion experimental de la bondad de ajuste de los procedimientos de
estimacion descritos en la seccion presedente, se utilizan una serie de medidas las cuales se
aplican sobre los resultados que se obtengan de un numero grande de repeticiones del pro-
ceso. En el caso del procedimiento de estimacion de las funciones auxiliares requeridas por
el proceso multiresolucion, los autores del metodo han evaluado el desempeno experimental
del mismo sobre una base de informacion conserniente a la simulacion de 100 replicaciones
del un PPNH con multiples periodicidasdes.
Los test de bondad de ajuste estadıstico tratados, se agrupan en dos categorias a saber:
a) Medidas absolutas del error calculado a lo largo de las n replicaciones hechas sore la base
de un proceso de prueba que contituye un experimento simple; y b) medidas relativas de
desempeno que tambien son calculadas a lo largo de las n replicaciones de un proceso de
prueba, pero que pueden ser comparadas a lo largo de experimento que involucras distintos
test de prueba. Sean λk(t) y µk(t) las funciones de taza y de valor medio estimadas, respect-
vamente, que han sido calculadas sobre la base de k replicaciones de un procedimiento de
pruba dado (k = 1, ..., K). El error absoluto promedio δk y el error absoluto maximo δ∗k al
los cuales se incurre al estimar las funcion λ(k) en la k-esima replicacion viene dado por:
(3.76) δk =1
S
∫ S
0
|λk(t)− λ(t)|dt
y
(3.77) δ∗k ≡ max|λk(t)− λ(t)| : 0 ≤ t ≤ S
respectivamente, para k = 1, ..., K. De manera similar el error absoluto promedio ∆k y el
error absoluto maximo ∆∗k que se incurre en la estimacion de la funcion de valor medio µ(t)
en la k-esima replicacion vienen dados por:
(3.78) ∆k =1
S
∫ S
0
|µk(t)− µ(t)|dt
13. FORMULACION DE MEDIDAS DE DESEMPENO 70
y
(3.79) ∆∗k ≡ max|µk(t)− µ(t)| : 0 ≤ t ≤ S
respectivamente, para k = 1, ..., K.
La media muestral δ y el coeficiente de variacion muestral Vδ de las observaciones δk : k =
1, ..., K viene dado por
(3.80) δ =1
K
K∑
k=1
δk
y
(3.81)Vδ =
1
K − 1
K∑
k=1
(δk − δ)2
δ.
Los estadısticos δ∗
y Vδ∗ son calculados de manera similar a partir de las observaciones
δ∗k : k = 1, ..., K. Por analogıa con lo anterior se tiene que ∆ y V∆ denotan las medidas
de desempeno basadas en los errores promedios ∆k que se incurren en la estimacion de
la funcion de valor medio. Ademas, se tiene que ∆∗
y V∆∗ denotan las medidas analogas de
desempeno basadas en los errores maximos ∆∗k que se incurren en la estimacion de la funcion
de valor medio.
Para facilitar la comparacion de resultados a lo largo de diferentes procesos de prueba,
se calculan los estadsticos relativos de bondad de ajuste propuestos por los proponenetes del
metodo.
13. FORMULACION DE MEDIDAS DE DESEMPENO 71
(3.82)
Qδ ≡ δ
µ(S)/S, Q∗
δ ≡δ∗
µ(S)/S,
Q∆ ≡ ∆∫ S
0µ(t)dt/S
y Q∗∆ ≡
∆∗
∫ S
0µ(t)dt/S
.
Continuando con el proceso de construir medidas de bondad de ajuste, tambien se han cal-
culado estadısticos que miden la habilidad del procedimiento de estimacion para aproximar
la funcion de valor medio empırica en cada realizacion individual de un proceso de llegadas
dado. Los puntos de llegada o ocurrencia en el intervalo de tiempo [0, S] vienen dados por
tj,k : j = 1, ..., Nk(S) en la k-esima realizacion de un proceso de prueba (k = 1, ..., K).
Puede apreciarse que al tiempo tj,k de la j-esima ocurrencia en la k-esima realizacion de un
proceso e prueba dado, la funcion de valor medio empırica viene dada por
(3.83) Nk(tj,k) = j para j = 1, ..., Nk(S);
y de esta forma la suma de los cuarados de los errores estimados al que se incurre al aproxi-
mar la funcion de valor medio empırica en la k-esima replicacion viene dado por
(3.84) SCEEk ≡Nk(S)∑j=1
[µk(tj, k)− j]2 y MCEEk ≡ SCEEk/Nk(S)
respectivamente, para k = 1, ..., K.. Ademas, se tiene que SCEE y VSCEE respectivamente
representan la media muestral y el coeficiente de variacion muestral de los valores observados
SCEEk : k = 1, ..., K.De forma similar, se tiene que MCEE y VMCEE respectivamente representan la media mues-
tral y el coeficiente de variacion muestral de los valores observados MCEEk : k = 1, ..., K.En la k-esima replicacion de un proceso de prueba dado, el promedio del valor absoluto del
error, asi como el maximo error ansoluto en el que se incurre en la estimacion de la funcion
13. FORMULACION DE MEDIDAS DE DESEMPENO 72
de valor medio empırica viene dada por
(3.85) Dk ≡ 1
Nk(S)
Nk(S)∑j=1
|µk(tj,k)− j|
y
(3.86) D∗k ≡ max |µk(tj,k)− j| : j = 1, ..., Nk(S)
respectivamente, para k = 1, ..., K. Ademas, se tiene que D y D∗
denotan las medias mues-
trales de los valores observados Dk : k = 1, ..., K y D∗k : k = 1, ..., K.
Los autores del modelo tambien han formulado dos tipos de medidas de desempeno relativo
en las que Dk y D∗k son estandarizadas para facilitar la comparacion a lo largo de varios
experimentos. El primer tipo de medidas relativas de sesempeno relativo basadas en Dky D∗
k hacen uso de grandes niveles de promedio en la funcionn de valor medio calculada
sobre todas las K realizaciones del longitud S para normalizar las medidas de desempeno
promedio D y D∗
de tal forma que se tiene que
(3.87) QD ≡ D∑Kk=1
∫ S
0Nk(t)dt/(KS)
y QD∗ ≡ D∗
∑Kk=1
∫ S
0Nk(t)dt/(KS)
.
Para formular alternativas a QD y QD∗ que en algunar circuntancias pueden ser de mayor
utilidad en la evaluacion del procesimiento multiresolucion, en la k-esima replicacion de un
proceso de prueba dado, se expresan las medidas de desempeno Dk y D∗k como porcentajes
del nivel promedio de la funcion de valor medio empırica dentro de esa replicacion para
k = 1, ..., K; y entonces se promedian los porcentajes a lo largo de todas las replicaciones
del proceso dado. De esta forma se obtiene los estadıticos normalizados
(3.88) HD ≡ 1
K
K∑
k=1
Dk∫ S
0Nk(t)dt/(S)
y HD∗ ≡ 1
K
K∑
k=1
D∗k∫ S
0Nk(t)dt/(S)
.
14. SIMULACION DE PPNH PERIODICOS 73
Adicionalmente a las medidas numericas de desempeno, se generan graficos que proveen una
medida visual para juzgar la calidad del ajuste obtenido con el procedimiento de estimacion
multi resolucion basado en el TRV. De esta forma se puede graficar las funciones teoricas de
taza y valor medio que subyacen del proceso junto a las bandas de tolerancia para aquellas
funciones que estan basadas en la estimacion muestral producto de las replicaciones de dichas
funciones. Para un tiempo determinado t ∈ [0, S], se tiene que
λ(1)(t) < λ(2)(t) < ... < λ(K)(t)
denotan las estimaciones ordenadas de λ(t) calculadas a partir de todas las K replicaciones
del procedimiento de estimacion. De esta forma para un 0 < β < 1, un intervalo de confianza
aproximado de 100(1− β) % para λ(t) viene dado por
[λ([Kβ/2]), λ([K1−β/2])]
donde [z] denota el mas pequeno entero mayor o igual a z. De manera similar se determi-
nan intervalos de tolerancia para la funcion de valor medio µ(t) a un tiempo determinado
t ∈ [0, S].
14. Simulacion de PPNH con Funcion de Valor Medio estimada el
Pocedimiento de Analisis Multiresolucion
En la simulacion de PPNH con multiples periodicidades se hace uso del metodo de inver-
sion (cita) aplicado al PPNH teorico. Para generar varibles a partir de un PPNH estimado,
se reemplaza la funcion teorica por los estimados correspondientes obtenidos de la discusion
previa. Para un PPNH que posee una funcion de taza λ(t) t ∈ [0, S], la funcion de distribu-
cion acumulada (fda) del proximo evento de tiempo τi condicionada a la ocurrencia del valor
observado τi−1 = ti−1 del ultima evento temporal viene dada por:
14. SIMULACION DE PPNH PERIODICOS 74
(3.89)
Fτi|τi−1(t|ti−1) ≡ Prτi ≤ t|τi−1 = ti−1 =
1− exp[− ∫ t
ti−1λ(z)dz
], si t ≥ ti−1
0, en caso contrario
De esta forma para generar la muestra τi por medio de inversion, dado τi−1 = ti−1, se procede
a generar numero aleatorio Ui de una distribucion uniforme en el intervalo unitario (0, 1) y
se determina como
(3.90) τi = F−1τi|τi−1
(Ui|ti−1)
Y esta cantidad se calcula al resolver τi en la ecuacion
(3.91)
∫ τi
τi−1
λ(z)dz = − ln(1− Ui).
Al tomar ∆ = − ln(1− Ui), se tiene que
(3.92) ∆ =
∫ τi
τi−1
λ(z)dz = µ(τi)− µ(τi−1)
Si τi−1 y τi se encuentran ubicados en el j-esimo ciclo de la resolucion p, donde j es un entero
tal que (j − 1)bp ≤ τi−1, τi < jbp, entonces se tiene que
(3.93) ∆ = cj[Rp(τi − (j − 1)bp)− ρi−1],
donde cj ≡ µ(jbp)− µ((j − 1)bp) y donde ρi−1 ≡ Rp(τi−1 − (j − 1)bp). Al resolver para τi en
(3.93), se tiene
(3.94) τi = (j − 1)bp + R−1p (ρi−1 + ∆/cj).
14. SIMULACION DE PPNH PERIODICOS 75
Se puede decir que τi−1 y τi se encuentran dentro del mismo ciclo de resolucion p [(j−1)bp, jbp)
si y solo si
(3.95) ∆ < cj(1− ρi− 1).
Si la condicion (3.95) no se cumple, entonces el ciclo de resolucion p tiene indice
(3.96) k(i) = max
l : cj(1− ρi−1) +
l−1∑r=j+1
cr < ∆
;
y de esta forma τi se calcula como
(3.97) τi = [k(i)− 1]bp + R−1p
∆− cj(j − ρi−1)−
k(i)−1∑r=j+1
cr
/ ck(i)
.
Este procedimiento de inversion se implementa en el algoritmo que sigue a continuacion para
generar una serie de eventos en el intervalo [0, S].
1. Inicializar i ← 1, j ← 0, y ρ ← 0.
2. Generar Ui ∼ U(0,1) y tomar ρ′ ← ρ, ∆ ← − ln(1− Ui).
3. Tomar j ← j + 1 y calcular
(3.98) Q ← ∆− cj(1− ρ′)
14. SIMULACION DE PPNH PERIODICOS 76
4. Si Q ≤ 0, entoncer ir al paso 7; de lo contrario, tomar
(3.99) δ ← ∆− cj(1− ρ′).
5. Si ρ′ > 0, entonces tomar ρ′ ← 0.
6. Ir al paso 3.
7. Calcular el proximo evento de tiempo
(3.100) τi ← (j − 1)bp + R−1p (ρ′ + ∆/cj).
8. Si τi > S, descartar τi y parar; en caso contrario, tomar i ← i + 1, ρ ← ρ′ + ∆/cj, e
ir al paso 2.
Capıtulo 4
Aplicacion del Metodo de Analisis Multiresolucion en la
Ocurrencia de Interrupciones Permanentes en el Sistema de
Transmision CORPOELEC Region Capital.
En el capıtulo II se hizo una presentacion formal de los procesos de Poisson, haciendo
enfacis en los aspectos teoricos que permiten el modelado de comportamientos no homo-
geneos en su funcion de valor medio. Adicionalmente se abordo el asunto de la estimacion
de la funcion de valor medio de proceso bajo los supuestos de comportamiento tendencial
con efectos ciclicos de multiples periodicidades, todo ello en el marco del metodo de analisis
Multiresolucion. En el presente capıtulo se orienta a la aplicacion de esta tecnica para des-
cribir y modelar el comportamiento temporal observado de la ocurrencia de interrupciones
permanentes en el sistema de transmision de CORPOELEC Region Capital.
1. Caracteristicas Generales del Proceso Observado
En el capıtulo I se indicaron las razones fundamentales por las cuales considerar el pro-
ceso de ocurrencia de interrupciones como proceso puntual. En particular en la figura (??)
se puede observar el proceso de ocurrencia de interrupcioenes indicado, donde se aprecia
el comportamiento no homogeneo como desviacion respecto a la lınea recta que describe el
comportamiento homogeneo. Al analizar la serie de eventos en el dominio de la frecuencia
se aprecia de la Figura (??) la existencia de tres picos de frecuencia. Al observar dichas
fecuencias, se pueden ubicar periodicidades de duraciones anual, semanal y diaria en forma
respectiva. Estas seran las multiples resoluciones que se tomaran en cuenta para la aplicacion
del Metodo de Analisis Multiresuluion.
La resoluciones indicadas tienen asociadas tres duraciones a saber b1 = 1 ano, b2 = 1 semana,
y b3 = 1 dıa. Las tres duraciones indicadas, estan en relacion armonica: b1 = 52∗b2 y a su vez
77
2. CARACTERIZACION DE LA RESOLUCION INICIAL (CERO) 78
b2 = 7 ∗ b3. Adicionalmente se establece como resolucion cero.a la ventana de tiempo donde
se observa la totalidad del proceso: el intervalo de tiempo [0, S]. En el caso bajo estudio su
duracion es b0 = 6 anos, y la misma contiene seis periodos de duracion anual (b0 = 6b1). De
esta forma se tiene que el proceso cumple con los supuestos establecidos en la condicion (1).
Como consecuencia de estas caracterısticas, en lo que se podrıa denominar un proceso de
descomposicion analitica, se deben estimar cuatro funciones base R0(s), R1(s), R2(s), R3(s)
asociadas a las cuatro duraciones indicadas y que dan cuenta del comportamiento de la fun-
cion de valor medio µ(t) dentro de cada una de estas. En la estimacion de las tres primeras
funciones se aplican los planteamientos presentados en (3.25) y (3.26). En la ultima resolu-
cion de duracion d4 = 1 dıa,se asume un comportamiento homogeneo del proceso a lo largo
de 24 hora tal como lo indica la observacion (3.9).
Una vez efectuada la caracterizacion de la funcion de valor medio dentro de cada resolu-
cion, se procede a reconstruir la funcion de valor medio en la ventana de tiempo [0, S] como
sisntesis de las correspondientes funciones caracterısticas. La sintesis del proceso se inicia
en la resolucion de duracion menor (R4(s)) y por un proceso iterativo descrito en (3.27) a
(3.29) se construye una respresentacion para toda la duracion del mismo, recordando que el
intervalo de observacion [0, S] se corresponde a la resolucion de duracion b0.
2. Caracterizacion de la Resolucion Inicial (Cero)
Para carcterizar el proceso en la resolucion inicial correspondiente a la observacion del
proceso en la ventana de tiempo [0, S] cuya duracion es b0 = 6 anos, se procede a definir
lo que se denominaran .ocaciones”de totalizacion de eventos dentro del intervalo. Estas se
definen en funcion de la duracion de la proxima resolucion de duracion b1. De forma tal que
el intervalo [0, S] se divide en j0,1 = b0/b1 sub-intervalos, cada uno de duracion b1. En este
caso se tienen que j0,1 = 6. Con base en ello se definen ”seis.ocaciones de totalizacion dentro
de [0, S] dadas por los lımites superiores de cada uno de los j0,1 sub-intervalos indicados. Las
ocaciones de totalizacion seran 1 ano, 2 anos,..., 6 anos.
2. CARACTERIZACION DE LA RESOLUCION INICIAL (CERO) 79
Se procede entonces a totatalizar la cantidad de interrupciones acumuladas en las seis oca-
ciones anuales. El resultado puede apreciarse en la figura(xxx)
