Caracterización de medios porosos para fenómenos de transporte

7/24/2019 Caracterizacin de medios porosos para fenmenos de transporte

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Universidad Nacional de San Luis

Facultad de Ciencias Fsico-Matemticas y Naturales

Departamento de Fsica

Caracterizacin de Medios Porosos y

Procesos Percolativos y de Transporte.

Maestrando: Lic. Ral Horacio Lpez.Asesor Cientfico: Dr. Jorge Andrs Zgrablich.Co-Asesor Cientfico: Dra. Ana Mara Vidales.

San Luis, Argentina - 2002


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Este trabajo, un humilde tributo a la imaginacin, est dedicado a:

Pap, Estela y Malena

Negro y Norma

Tot y Porota


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Agradecimientos:

Son muchas las personas ha quienes les debo agradecer, ya que, de no haber sido por

ellas, difcilmente podra haber concretado este trabajo.

En primer lugar quiero agradecer a un "Grupo" de personas, que hace unos cuantos

aos atrs, me brind la oportunidad de comenzar con este apasionante trabajo que es el de

la investigacin cientfica. Al principio eran compaeros de trabajo, pero luego de

compartir momentos tan gratos, tengo la inmensa fortuna de poder contar con ellos como

amigos: Roly, Federico y Moira, Charly, Daniel, Flix, Vctor, Sergio, Ana, Karim y Mnika,

Jse, Chelco, Diego y Andrea, Rodolfo, Marcelo y Valeria, Pepe y Fernando.

De ms est decir que este agradecimiento lo hago extensivo a sus respectivas familias.

A "Usted" Giorgio, que es el gran responsable de haber formado este excelente Grupo,

le agradezco el haberme dirigido en este trabajo, como as tambin su paciencia,

permanente aliento y apoyo.

A mis Amigos, que me han acompaado en las buenas y malas desde que llegu a SanLuis, hace ya ms de veinte aos.

A toda mi Familia, a quienes les debo lo que soy.

Y muy especialmente a "la Ani."

Al Departamento de Fsica de la Facultad de Ciencias Fsico-Matemticas y Naturales de laUniv. Nac. de San Luis y al Conicet, instituciones que hicieron posible este trabajo.


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Indice

Introduccin ............................................................................. 1

Captulo 1: Modelos Discretos y Correlaciones.............. 4

1.1

Modelos Discretos versus Continuos .............................. 5

1.2Modelo Dual de Sitios y Enlaces ...................................... 7

1.3Simulacin de la Red ......................................................... 11

1.4

Efectos de Tamao Finito ............................................... 161.5Funcin de Correlacin Espacial .................................... 18

1.6

Redes Tridimensionales .................................................... 28

Referencias ......................................................................... 35

Captulo 2: Procesos Percolativos ................ .................. 37

2.1

Introduccin a la teora de la percolacin ...................... 382.2

Percolacin invasiva .......................................................... 46

Referencias ......................................................................... 55

Captulo 3:

Resultados de la Percolacin Invasiva con Correlacin .. 57

3.1

Resultados .......................................................................... 58Referencias ......................................................................... 78

Conclusiones y Perspectivas Futuras .......... ................ 79


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1

Introduccin

La mayora de los fenmenos de transporte y percolativos relacionados con una gran

variedad de problemas fsicos que tienen lugar en la superficie y en el interior de la materia son

simulados con la ayuda de un espacio discreto representado por un arreglo regular de sitios o

enlaces o por una combinacin de ambos1.

Diferentes problemas fsicos pueden ser tratados asociando cada elemento de la red

(sitios y enlaces) con alguna propiedaddel sistema bajo estudio, por ejemplo, un slido poroso

puede ser representado por una red tridimensional de poros (sitios) conectados por canales

(enlaces), donde la propiedad relevante en este caso es el tamaocaracterstico del poro o del

canal. Una superficie adsortiva heterognea puede ser representada por una red bidimensional

de pozos adsortivos (sitios) conectados por barreras de potencial (enlaces) a travs de los

cuales las partculas adsorbidas podrn migrar de un sitio a otro, en este caso la propiedad

relevante de cada elemento es la energa. Nos concentraremos en el estudio de esta clase de

medios desordenados, en donde la propiedad asociada con cada elemento tiene una

distribucin de probabilidad y especialmente en los slidos porosos.

La complejidad en estas redes puede ser introducida de diferentes formas:

Modificando la homogeneidad del medio (por homogneo entendemos un sistema en

donde las propiedades son independientes del tamao lineal). Mediante correlaciones espaciales entre las propiedades asociadas con cada elemento

en funcin de su distancia de separacin

Variando la conectividad.

Por la presencia de anisotropas, etc.

El entendimiento de cmo influye la complejidad sobre los procesos fsicos a ser considerados

est basado en un completo conocimiento de la manera en que la topologa de la red es

afectada una vez que la complejidad es introducida.

En las primeras etapas del estudio de los fenmenos de transporte en medios porosos, la

mayora de los investigadores asumieron que la heterogeneidad en una regin del sistema era

aleatoria y no correlacionada con otras regiones del medio. Adems, supusieron que tal

heterogeneidad ocurra a escalas mucho ms pequeas que el tamao lineal del sistema. Estas


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suposiciones fueron hechas debido a la dificultad para modelar el sistema en una forma ms

realstica, dada las limitaciones computacionales de la poca y/o por falta de evidencia

experimental. Estos modelos simples permitieron un primer entendimiento de los fenmenos

de transporte en medios porosos. Sin embargo, la evidencia actual nos sugiere que una gran

cantidad de materiales porosos no estn de acuerdo con estas suposiciones simplistas. Dichos

materiales exhiben correlaciones a diferentes escalas, por lo que, para tratar tales correlaciones,

ha sido necesaria la introduccin de lageometr a f ractal 2la cul nos dice cmo los valores de

las propiedades del sistema en diferentes regiones dependen de la escala de observacin, cmo

estn correlacionadas unas con otras y cmo se puede modelar tales correlaciones en una

forma realstica.

Una vez que hemos aceptado que los medios porosos son heterogneos, debemos ser

cuidadosos con sus consecuencias. Por ejemplo, consideremos la permeabilidad de un medioporoso, la cual es una medida de cuan fcilmente un determinado fluido puede fluir a travs

del mismo. En un medio poroso natural, la permeabilidad vara segn la regin del medio, por

lo que mientras una parte del medio puede ser altamente permeable, otra regin puede ser

prcticamente impermeable. Adems, la zona permeable puede estar (o no) conectada a la

impermeable, por lo que si nuestro objetivo es describir de una manera realstica el medio

poroso, es necesario tomar en cuenta la interconectividad.

La herramienta para considerar el efecto de la interconectividad de las diferentes

regiones de un medio poroso es la teora de la perco lacin 3. La percolacin nos dice como la

interconectividad de un dado sistema afecta a sus propiedades globales, y si por ejemplo, la

fraccin de volumen de la regin permeable es menor que cierto volumen crtico, el medio

poroso no es permeable y la permeabilidad total del sistema es cero. En el problema clsico de

percolacin se asume que las regiones permeables e impermeables estn distribuidas

aleatoriamente y son independientes unas de otras. Posteriormente fueron desarrollados

modelos percolativos ms realsticos capaces de tomar en cuenta correlaciones y otros factores

que afectan al sistema.

En el presente trabajo, nos enfocaremos sobre los efectos de las correlaciones

espaciales, por lo que es necesario un completo conocimiento de la F uncin de Correlacin

Espac ial C(r) , entre sitios ( y/o enlaces) separados por una distancia r(en unidades de red).

En una geometra de poros esfricos, cada sitio de la red almacenar el radio de dicho poro.


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3

Esta funcin de correlacin puede ser medida4 a travs de simulaciones de Monte Carlo,

usando redes de tamao finito L.

La simulacin de dichas redes involucra esencialmente un modelo y una sucesin de

estados que lleven al sistema al estado f inal de equil ibrio . Adems, debido al tamao finito

de la red, C(r) no puede ser medida para cualquier r arbitrariamente grande debido a los

efectos de tamao siempre presentes. Es importante investigar cual debe ser la longitud L de

la red para la cual los efectos de tamao se vuelven despreciables y cul es la cantidad de pasos

necesarios para alcanzar el equilibrio. Un estudio cuidadoso del comportamiento de las

correlaciones ha sido omitido hasta el presente por lo que creemos importante llevar a cabo

dicho estudio.

En el primer captulo de este trabajo desarrollamos mediante simulaciones de Monte

Carlo, un estudio de la propagacin de las correlaciones en redes de sitios y enlaces generadas atravs delModelo Dual de s it ios y enlaces (DSBM)5,6,7introducido por el Profesor Vicente

Mayagoitia, en donde los valores de las propiedades asignadas a sitios y enlaces son

muestreados desde dos distribuciones que pueden llegar a tener un cierto traslape. Las

correlaciones aparecen cuando el principio de construccin es establecido. Este modelo ha

sido usado con xito en diversos problemas fsicos, tales como: adsorcin, difusin superficial

sobre superficies heterogneas, procesos percolativos, fenmenos de transporte en medios

porosos, etc. Adems el tiempo de relajacin necesario para alcanzar el equilibrio del sistema es

determinado y el tamao mnimo de la red ha ser usado es establecido para diferentes

correlaciones, representadas por el traslape del sistema. Por ltimo, presentamos una

ecuacin emprica ms adecuada para relacionar la longitud de corre lacincaracter st ical0con

el traslape. Este estudio se realiz en 2 y 3 dimensiones.

En el Captulo 2 introduciremos los conceptos bsicos de la percolacin y haremos una breve

descripcin de la percolacin invasiva con entrampamiento. Los parmetros presentados en

este captulo son comunes a todos los procesos percolativos y veremos que factores los afectan

.En el captulo 3 se estudiar el problema de la percolacin invasiva sobre superficies

correlacionadas dentro del marco del DSBM y veremos con son afectados los parmetros de

inters. Por ltimo daremos las conclusiones y perspectivas futuras.


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4

Captulo 1

Modelos Discretos y Correlaciones


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1.1.- Modelos Continuos versus Discretos

Entender las propiedades de transporte y flujo en el seno de un medio poroso de

cualquier naturaleza, implica contar con una representacin realstica del mismo. Cada modelo

utilizado depender del tipo de medio que se intenta modelar y adems de las limitaciones

matemticas y computacionales que se tenga. Por lo que debern usarse modelos

suficientemente simplificados para simular los procesos de inters en un tiempo de cmputo

razonable y sin dejar de lado las caractersticas ms sobresalientes del sistema en estudio.

Podemos separar los modelos en dos grandes familias:

I. Los modelos continuos son usados generalmente en la ingeniera para describir

materiales complejos y de geometra irregular, caracterizados por diversas longitudes de

escala. Las leyes fsicas que gobiernan el flujo y el transporte a nivel microscpico son

bien entendidas, por lo que uno, en principio, podra plantear las ecuaciones

diferenciales para el momento, energa y masa junto con las condiciones iniciales y de

contorno para la interfase fluido-slido y resolver el problema. Sin embargo, las

interfases tpicas en los slidos porosos son muy irregulares lo que se traduce en

problemas de contorno intratables matemticamente. Otra limitacin de estos modelos

aparece cuando queremos describir la interconectividad en la red o cuando en el

sistema estn presentes correlaciones, en especial, cuando stas son del orden del

tamao lineal del sistema.

II. La segunda clase de modelos, los modelos discretos, estn libres de estas

limitaciones. Estos modelos han sido desarrollados para describir fenmenos a nivel

microscpico y han sido extendidos en los ltimos aos para tratar sistemas

macroscpicos. Su principal desventaja, desde un punto de vista prctico, es su elevado

costo computacional para describir un sistema real en una forma discreta.

Dependiendo del tamao del sistema y del fenmeno a simular, es posible que los


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tiempos de clculo se vuelvan prohibitivos, si bien, hoy por hoy, podemos atacar

problemas que eran impensables 10 aos atrs.

Estas clases de modelos son muy tiles cuando en el sistema juega un papel central la

interconectividad y cuando hay presente correlaciones. La idea original de representar un

medio poroso a travs de una red discreta tuvo su origen en la dcada del 50, pero recin a

principios de los 80 fue cuando se desarrollaron procedimientos rigurosos que permitieron

mapear, en principio, cualquier medio poroso desordenado en una red equivalente. Una vez

realizado el mapeo uno puede estudiar un dado fenmeno en forma completa.

El modelo Dual de Sitios y Enlaces corresponde a la familia de los modelos discretos. En la

siguiente seccin daremos una descripcin general del modelo, el lector que est interesado

puede consultar las referencias: [8]y [9]para ms detalles.

En los aos 90 el Laboratorio de Ciencia de Superficie y Medios Porosos contaba con microprocesadores 486,cuya velocidad era de unos 10 MIPS (Millones de instrucciones por segundo) actualmente la capacidad propia declculo es de unos 10000 MIPS.


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7

1.2.- Modelo Dual de Sitios y Enlaces

Supongamos que un slido poroso puede ser representado por una red de sitios

conectados por enlaces. El nmero medio de enlaces que emergen de un sitio define la

conectividadzde la red. Cualquier distribucin de tamao para sitios y enlaces considerados

como elementos diferentes, puede ser descripta mediante lasfunciones dens idad FS(R) y FB(R),

de forma tal que: FS(R)dR (FB(R)dR) es la probabilidad de hallar un sitio (enlace) de tamao

comprendido entre Ry R+dR. Lasfunciones de d istr ibucin de sitios y enlaces, S(R)y B(R)

estn definidas por:

= = R R

S B

0 0

S(R) F (R)dR y B(R) F (R)dR (1.1)

y representan la probabilidad de hallar respectivamente un sitio o un enlace de tamao no

mayor que R

Sean b =[b1, b2) y s =[s1, s2) los intervalos en donde las funciones densidad estn

definidas (en el caso ms simple stas sern uniformes, como muestra la Figura 1-1). La

manera en que sitios y enlaces se conecten para formar la red estar dada por la densidad de

probabi lidad conjunta sit io-enlace, F( RS, RB) ,de encontrar un sitio de tamao entre RSy RS

+ dRSconectado a un enlace de tamao entre RBy RB+ dRB.

Figura 1-1 :

Funciones densidades uniformes para

enlaces (---) y para sitios (). El rea

sombreada denota el traslape entre las

distribuciones. FB est definida en el

intervalo b =[b1, b2) y FSen el s =[s1,

s2).

La conectividad se mantuvo constante en este trabajo.

Rs

2s

1b

2b

1

FS

FB

F

B

,

F

S


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8

Ahora estamos en condiciones de formular las dos leyes bsicas que describen y dan

consistencia al DSBM, ellas son:

0B(R) S(R)- Primera Ley : (1.2)

= 0 paraS B S BF(R , R ) R < R Segunda Ley : (1.3)

La primera ley establece que slo podrn conectarse en una red todos los sitios de una

dada distribucin si existe un nmero suficiente de enlaces de tamao adecuado, lo que implica

que b1s1y b2s2 , por lo que la distribucin de enlaces estar siempre a la izquierda de la

distribucin de sitios. Mientras que la segunda, llamada Principio de Construccin (PC) , es de

naturaleza local y expresa el hecho de que el tamao RSde un sitio debe ser mayor que o al

menos igual al tamao RB de sus enlaces vecinos. La densidad de probabilidad conjunta

F ( RS, FR) , est definida mediante:

( , ) ( ) ( ) ( , )S B S B S S B B S B S BF R R dR dR F R F R R R dR dR = (1.4)

endonde (RS,RB) represe nta la Funcin de Correlacin entre s it ios y enlacesy es la que

lleva la informacin de cmo es la asignacin de sitios y enlaces en la red. Por supuesto que la

funcin de correlacin ser diferente para los diferentes mtodos de construccin de la red. En

el caso ms simple, en donde la asignacin es de la forma ms aleatoria posible permitida por

el Principio de Construccin, llamado el casoAuto consist ente , se reduce a:

e

RS

RB

S B

dB

B-SS B

S B

B B

0 R < R

( R ,R ) =

R RB(R ) S(R )-

(1.5)

En otras palabras, esto significa mxima entropa configuracional para un dado conjunto de pares de (RS, RB)muestreados desde FS(RS), FB(RB),


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9

La funcin de correlacin sitios-enlaces ((RS,RB) ) puede calcularse explcitamente

para el caso de distribuciones de tamao uniformes. Supongamos que sitios y enlaces se hallan

uniformemente distribuidos, con densidades:

si

0 en otro caso

0 1 2

S

F s R s F (R) =

(1.6)

si

0 en otro caso

0 1 2

B

F b R b F (R)

=

(1.7)

En la Figura 1-2 se representan estas funciones para diferentes traslapes. A partir de la

ecuacin (1.5)resulta:

e

S B-( R ,R )

(1-)

S B(R ,R ) =(1 -)

(1.8)

donde:

1

si y

si y

si y

si y

S 1B 1 S 2

2 1

B 1 S 2

S B S BB 1 S 2

2 1

2 BB 1 S 2

2 1

R - sR s R b

b - s

R s R > b

(R ,R ) = R - RR > s R b

b - s

b - R R > s R > b b - s

(1.9)

y 0 2 1 F (b - s ) (1.10)

Figura 1-2

Funciones densidades uniformes para enlaces (---) y para sitios (). Los diferentes traslapes seobtuvieron desplazando la distribucin de enlaces a la derecha y manteniendo fija la de sitio.

0

1

2

FB

FS

FB

,F

S

= 0

b2

b1

s2

s1 R

FB

FS

= 0 .5

b2

b1

s2

s1 R

FB

FS

= 0 .9

b2

b1

s2

s1 R


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10

El grado de traslape , definido como el rea comn entre las funciones de densidad

de sitios y enlaces, es una medida natural de la correlacin sitio-enlace. La funcin tiene las

siguientes propiedades:

i. 0 S B (R , R ) 1 = , RS,RB , Sitios y enlaces estn distribuidos completamente al azar

ii. 1 S B S B ( R ,R ) (R - R ) , RS ,RB , Sitios y enlaces vecinos estn fuertemente

correlacionados formando grandes parches de aproximadamente el mismo tamao.

Por lo tanto el parmetro fundamental que describe la topologa de la red en el modelo

Dual es el traslape . Este comportamiento tambin sugiere que debe poder relacionarse

con alguna longitud de corre lacin espacial 10 (la cual ser un parmetro fsico ms

representativo) caracterstica de la funcin de correlacin espacial definida en la ecuacin

(1.14).En efecto, es esperable que C(r) decaiga aproximadamente en una forma exponencial

(este podra ser el comportamiento exacto para una red unidimensional generada por una

sucesin de eventos de Markov) :

0r

rC(r) e (1.11)

donde r0 es la longitud de correlacin (medida en constantes de red). Esta expresin ha sido

extensivamente usada en diferentes aplicaciones del DSBM junto con el ansatz 10, 11:

0

r

1 (1.12)

que relaciona el traslape con la longitud de correlacin, de forma tal que:

r0 0 cuando 0

r0 cuando 1

Ms adelante veremos que la ecuacin (1.12)no se cumple en forma general, en particular, falla

para traslapes elevados (> 0.7). Es por esta razn que, en lo que sigue, se har un cuidadoso

estudio de cmo alcanzar el equilibrio en la generacin de redes en el modelo Dual y el efecto

de tamao finito en dichas redes.


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11

1.3.- Simulacin de la Red.

La generacin de redes en el DSBM ha sido intensamente investigada a lo largo de

estos ltimos aos, logrndose un entendimiento casi total del problema. El mtodo que

usaremos es el propuesto en la Ref. [12], el cual puede ser resumido de la siguiente manera:

Figura 1-3:

Representacin esquemtica de una red

bidimensional de LxL sitios y 2LxL

enlaces (L=4). Por simplicidad los sitios y

los enlaces son del mismo tamao. Los

enlaces en lnea de puntos representan las

condiciones de borde peridicas usadas en

todas las simulaciones.

i. Una red inicial de tamao lineal Les generada (Figura 1-3), en donde cada elemento

del red contendr el valor del radio del sitio RS , y el de sus z enlaces RB , ambos

muestreados desde las correspondientes funciones densidad FS(R) y FB(R)(Figura 1-1).

Los radios de sitios y enlaces son distribuidos aleatoriamente en el red. La red as

generada tendr las funciones FS(R) y FB(R)correctas, pero no la (RS,RB) correcta

(Figura 1-4-a), en particular no se cumplir el PC.

ii. A continuacin una sucesin de eventos de Markov es generada eligiendo al azar

pares de sitios (o enlaces) y se intenta intercambiarlos. El intercambio es realizado

(probabilidad de transicin igual a 1) si se verifica el PC, caso contrario es rechazado

Si no hay traslape entre las distribuciones todos los radios de los enlaces sern menores o iguales al de los sitios,

de modo que, cuando = 0 se cumple el PC independientemente de cmo estn distribuidos espacialmente sitiosy enlaces.

L

Sitio

Enlace


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(probabilidad de transicin igual a 0). Esta sucesin de eventos conduce finalmente al

estado de equilibrio, es decir, se cumple el principio de construccin en toda la red.

(Figura 1-4-b).

Este procedimiento no sufre de los efectos espurios introducidos por mtodos

anteriores, los cuales asignaban los tamaos de los sitios y enlaces a travs de una secuencia

determinstica sobre el red lo que introduca una fuerte anisotropa en la correlacin entre

los elementos del red.

Figura 1-4

a) Funcin de correlacin sitio-enlace (RS,RB) , para un dado valor de RS. Se observa que lafuncin de correlacin obtenida por simulacin difiere notablemente de la analtica, esto se debe alno cumplimiento del PC. (Paso i).

b) Al finalizar el Paso ii) se tiene una plena coincidencia entre la curva analtica y la simulacin.() (RS,RB) analtica. () (RS,RB) obtenida por simulacin.

Una vez que la (RS,RB) analtica coincide con la experimental (simulada) se podra

suponer que la red alcanz el equilibrio. Pero, qu pasar con la topografa de la red si uno

contina intercambiando elementos entre si (siempre y cuando se respete el PC).

Adelantndonos al final del trabajo, podemos asegurar que la topografa se ve fuertemente

afectada si uno contina "batiendo" la red. Es por esta razn que surge la necesidad de

estudiar cmo y cunto es afectada la red y que parmetro es necesario monitorear para poder

asegurar que se ha alcanzado el equilibrio. El parmetro que usaremos, y que demostr ser el

indicado, es la longitud de correlacin espacial r0 , obtenida de la funcin de correlacin

espacial C(r). En los sistemas en donde existe una transicin de estados, la longitud de

correlacin es la medida tpica del grado de ordenamiento del sistema en su bsqueda del

0

1

2

b2

b1

s2

s1

RB= R

S0

(R

S0

,R

B)

RB

0

1

2

b2

b1

s2

s1

RB= R

S0

(R

S0

,R

B)

RB

a) b)


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estado de equilibrio, y como veremos ms adelante el Modelo Dual muestra una transicin en

su morfologa alrededor de 0.5 en donde el sistema pasa de un estado diluido sin una

longitud de correlacin caracterstica, a un estado fuertemente correlacionado en donde los

elementos de la red se agrupan formando parches de tamaos similares. Es en este punto

donde la longitud de correlacin se vuelve importante debido a que su valor es proporcional al

tamao medio de los parches.

En lo que sigue de este captulo demostraremos que la forma en que se alcanza el

equilibrio depende del traslape y del tamao de la red y veremos que la cadena de eventos

de Markov necesarios para lograr el equilibrio estadstico es considerablemente mayor que

la necesaria para lograr el cumplimiento del PC.

De modo que, las preguntas centrales a ser contestadas son: Cundo la red alcanza elequilibrio estadstico? y cmo est relacionada la longitud de correlacin con el traslape?.

Comenzaremos nuestro estudio sobre redes cuadradas bidimensionales para luego extenderlo a

3-D. Para esto usaremos en todos nuestros clculos distribuciones uniformes del tipo de las

mostradas en la Figura 1-2. Los diferentes traslapes sern obtenidos mediante el

desplazamiento de la distribucin de sitios, manteniendo fija la de los enlaces.

En primer lugar, un conjunto de simulaciones numricas de redes bidimensionales de

tamao lineal L, con L comprendido entre 102 y 103 fueron llevadas a cabo para un dado

traslape. Luego, el translape fue cambiado y un nuevo conjunto de redes fue generado y as

sucesivamente para = 0, 0.1, 0.2, .........., 0.8, 0.85, y 0.9. Por simplicidad F0=1, (s1,s2)=(2,3) y

(b1,b2) fueron desplazados de acuerdo al traslape requerido.

El nmero de transiciones necesario para alcanzar el equilibrio es del orden de 100

pasos de Monte Carlo(MCS) para un = 0.5 (1 MCS = LxL intentos de transicin), de 500

MCS para = 0.7 y para traslapes cercanos a la unidad la cantidad de MCS crece

considerablemente. (100000 MCS para = 0.9). En todos los casos el estado inicial fue una

distribucin aleatoria de sitios y enlaces.

Para una red tridimensional 1 MCS = LxLxL.


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14

La funcin de correlacin simulada en el equilibrioS i m(RS,RB)fue comparada con la

analtica de acuerdo a la Ec. (1.8).A partir de la Ec. (1.4):

SimSim S B S B

S B

S S S B B B

F (R ,R )dR dR (R ,R ) = F (R )dR F (R )dR (1.13)

En donde FS i m(RS, RB) es la funcin densidad de probabilidad conjunta sitio-enlace simulada,

de encontrar un sitio de tamao entre RSy RS+ dRSconectado a un enlace de tamao entre RB

y RB + dRB . En la Figura 1-5 se observa la funcin de correlacin al comienzo de la

simulacin, en donde el PC an no se cumple debido a que la distribucin espacial de sitios y

enlaces es totalmente aleatoria. Una vez que se alcanza el equilibrio, se obtiene una

concordancia excelente entre la funcin de correlacin obtenida por simulacin y la analtica.

En la Figura 1-6 podemos apreciar dichas funciones para diferentes traslapes y para

determinados valores de RSya que la funcin de correlacin define una superficie (ver Figura

1-7).

Figura 1-5

Funcin de correlacin sitios-enlaces (RS,RB)para diferentes traslapes y un RS fijo. Las lneas

corresponden a la analtica y los smbolos a la S i m antes de comenzar con el intercambio.

1 .0 0 1 .2 5 1 .5 0 1 .7 5 2 .0 0 2 .2 5 2 .5 0 2 .7 5 3 .0 0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

RS= 2.5

( ) = 0. 5

( ) = 0. 7

(R

S

,R

B)

RB


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15

Figura 1-6

Idem que la Figura 1-5 pero en el estado de equilibrio. En todos los casos el rango (s1,s2) se mantuvoconstante en (2,3) y se desplazo la distribucin de enlaces (b1,b2) hasta conseguir el traslape deseado.

Figura 1-7

Esta grfica nos da una idea del tipo de superficie que forma la funcin de correlacin.

1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

RS= 2 .1

RS= 2 .3

RS= 2 .5

= 0. 5

(RS

,R

B)

RB

1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

RS= 2 .1

RS= 2 .3

R

S= 2 .5

= 0. 7

(RS

,R

B)

RB

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

= 0. 5

RS= 2 .1

RS= 2 .2

RS= 2 .3

RS= 2 .4

RS= 2 .5

RS

RB

(RS,

RB

)


20/86

16

1.4.- Efectos de Tamao Finito.

En los sistemas reales las dimensiones de la muestra pueden considerarse infinitas en

comparacin con los tamaos atmicos. En una computadora la cantidad de memoria

disponible para almacenar una red es finita, y adems, a medida que se trabaje con redes de

tamao mayor, se consumir ms tiempo para ejecutar todas los clculos necesarios. Esto

resulta en una restriccin en el tamao del sistema simulado.

A los efectos de determinar las dimensiones del sistema a simular es necesario tener en

cuenta cules son las longitudes caracter st icas del s is tema bajo estudio. En algunos casos,

por ejemplo en el modelo de Ising, la longitud de correlacin en una transicin de fase de

segundo orden para un ferromagneto a la temperatura crtica Tc , diverge en el punto crtico

para el lmite termodinmico.

Por lo tanto, para obtener informacin fiable, es necesario que las dimensiones del sistema

sean en lo posible mucho mayores que las longitudes caractersticas

En la Figura 1-8 se observan cualitativamente los efectos de tamao finito a travs de los

tpicos snapshots correspondientes a redes de diversos traslapes. Los diversos sombreados

representan diferentes intervalos de tamao de sitio. Para traslapes bajos la topografa de la red

no presenta discrepancias para los diversos tamaos. Para el caso de= 0.9 la importancia del

tamao de la red se vuelve ms que evidente, la red correspondiente a L= 200 puede verse

como si fuera una porcin de la red de L= 700. Uno podra cometer el error (si slo viera la

red para L = 200) de suponer que alguna clase de estratificacin se despliega sobre la red

debido al elevado traslape, es decir, debido a la presencia de fuertes correlaciones. Como se

observa, este efecto desaparece a medida que aumentamos el valor de L.

Para determinar cuantitativamente el tamao lineal mnimo de una red dado su traslape, es

necesario contar con un parmetro que nos de informacin acerca de la longitud caracterstica

del sistema. El parmetro que demostr ser el adecuado fue la longitud de correlacin espacial,

r0 , obtenida de la Funcin de Correlacin Espacial .


21/86

17

Figura 1-8

Representacin grfica de las redes de sitios y enlaces (no mostrados) obtenidas por simulacin. Seobservan los efectos de tamao finito para diferentes valores del traslape. La fila superior corresponde aL= 200, la del medio L = 400 y la inferior a L = 700. El color negro corresponde a los sitio de menortamao (RS= 2) y el blanco a los ms grandes (RS= 3).

= 0.5 = 0.7 = 0.9


22/86

18

1.5.- Funcin de Correlacin Espacial.

Haciendo un anlisis estadstico de los tamaos de los sitios y/o enlaces, se encuentra

que existe un parmetro r0

asociado a la topografa de la red, este aparece al medir la

correlacin espacial entre los sitios y/o enlaces de la red. La funcin correlacin espacial entre

el tamao de los sitios CS Scomo funcin de la distancia entre sitios r (en unidades de red)

puede calcularse como:

( ) ( )

( )

j

S S S S

SS 2

S S

R R R R C (r) =

R R

- -

-(1.14)

en donde SR ,j

SR representan el tamao del sitio iyjrespectivamente separados una distancia

r , SR el valor medio del tamao de poros y los corchetes angulares se refieren al promedio

sobre una asamblea estadstica de sistemas similares. Anlogamente, se pueden calcular la

funcin de correlacin entre enlaces CB By entre sitios y enlaces CSB . En la Ec. (1.14) se ha

considerado al sistema invariante bajo traslaciones13( i jS SR = R ).

Midiendo esta funcin sobre las redes simuladas y haciendo uso de la Ec. (1.11) uno

puede obtener el parmetro r0para diferentes traslapes y establecer un criterio para el tamao

lineal mnimo de la red. Ahora bien, cuando uno mide la funcin de correlacin espacial se

encuentra con que la topografa de la red es modificada considerablemente si continuamos

intercambiando elementos estando la red en equilibrio, una vez que se verifica el principio de

construccin. Continuar intercambiando elementos estando el principio de construccin ya

satisfecho significa seguir intercambiando elementos al azar con probabilidad igual a uno si

verifican el principio y probabilidad de transicin igual cero si no lo verifican. Estos sucesivos

intercambios provocan un aumento del tamao medio de los parches, es decir, los elementos

de tamao similar se agrupan entre s formando islas cada vez ms grandes, esto es reflejado en

un incremento en la longitud de correlacin y como se aprecia en la Figura 1-10 el aumento

dependiendo del traslape puede ser de ms del 100%. Como se observa en los snapshoots (ver

Figura 1-11)estas islas estn compuestas por elementos de tamao muy parecidos entre s y a

Dicha funcin es la usual funcin de correlacin de pares de sitios (enlaces) separados una distancia rdefinidacomo: CS S( r )=c o v (R S(0 ) ,R S( r ) )/ va r (R S) , donde c ovy va rsignifican covariancia y variancia respectivamente.


23/86

19

medida que aumentamos el traslape este efecto sobre el tamao de los parches se vuelve ms

notorio. Resumiendo:

A medida que aumentamos el intercambio de elementos (estando el PC satisfecho) la

longitud de correlacin aumenta.

Este aumento continua hasta que se estabiliza en un determinado valor, y el tiempo que tarda

la longitud de correlacin en alcanzar el equilibrio depende del traslape, y como es de esperar,

es mayor cuanto ms alto sea este ltimo.

Es de importancia destacar que, a medida que intercambiamos elementos, la funcin de

correlacin(RS,RB) no se modifica.

La convergencia al equilibrio para entre 0 y 0.6 est entre 0 y 1x105MCS para todos los

valores de Lempleados. Los efectos de tamao finito no fueron importantes para los tamaos

usados, comenzado con L= 200. Esto es, no hubo diferencias apreciables entre los tiempos de

relajacin ni tampoco en el valor de r0obtenido para diferentes L. Por lo tanto, es de esperar

que un tiempo de equilibrioigual a teq= 1x105MCS sera adecuado para este traslape.

Para traslapes mayores que 0.6 y menores que 0.85 el tiempo necesario est acotado entre

1x10

5

MCS y 6x10

5

MCS, y los efectos de tamao se vuelven significativos a partir de

= 0.7(Ver Figura 1-11).

Cuando el traslape se incrementa an ms ( = 0.9) el tamao de la red se vuelve

determinante, como se puede observar en las fotografas de la Figura 1-8. En la Figura 1-9 se

muestra cuantitativamente el efecto de tamao para redes de traslape 0.9 . En la parte a) el

logaritmo de la funcin correlacin espacial C(r)definida en la Ec. (1.14)es graficado versus r

para diferentes valores de t y para dos tamaos de red L= 200 (smbolos vacos) y L= 700

(smbolos llenos). Como se ve para L= 200 el equilibrio se alcanza en te q= 6x105MCS, pero

cuando Les incrementado a L= 700 , los valores de C(r) para r grandes necesitan ms tiempo

de relajacin para alcanzar el equilibrio.

No confundir este tiempo con el tiempo de equilibrio necesario para lograr que se cumpla el PC.


24/86

20

Figura 1-9

Grfica semilogartimica de la funcin de correlacin espacial C(r)versus rpara diferentes MCS y para

dos tamaos diferentes de red. a) Para r entre 1 y 100. b) Para r entre 1 y 10.

En la parte b) se repiten las mismas curvas pero slo se grafic hasta r = 10 para poder

apreciar que el efecto no es importante para r < 4 .

Haciendo un ajuste lineal sobre las diferentes curvas hasta r = 10 en la grfica del

Ln(C(r)) , obtenemos, desde las correspondientes pendientes, el valor de r0 como funcin de

t. El resultado se muestra en laFigura 1-10 donde la parte (a) corresponde a = 0.9 y la parte

(b) a = 0.7 . Estas grficas muestran el comportamiento de la longitud de correlacin con t

hasta que el equilibrio, teq , es alcanzado. Como se observa, este se alcanza rpidamente para

= 0.7. Tambin se aprecia leves fluctuaciones con el tamao de la red, pero estas

desaparecen cuando aumentamos el tamao de la red.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

(a )

L = 200

t = 0

t = 1x105

t = 5x105

t = 6x105

Ln(C

(r))

r

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00

-0.05

-0.10

-0.15

-0.20

-0.25

(b )

L = 700

t = 0

t = 1x105

t = 9x105

t = 1x106

Ln(C

(r))

r


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21

Figura 1-10Longitud de correlacin r0versus thasta que el equilibrio es alcanzado.(a) Para =0.9 y (b) = 0.7

Para = 0.9 la convergencia al equilibrio es ms lenta. Adems, paraL= 200 y para L = 400

se obtienen longitudes de correlacin diferentes; la longitud de correlacin aumenta al

aumentar L. En L = 700 r0 se estabiliza y las fluctuaciones que se observan en L = 400

desaparecen. En la Figura 1-11se observa la importancia que tiene el intercambio posterior al

haberse cumplido el PC. Este efecto es ms notorio cuanto ms elevado es el traslape y para

traslapes del orden de 0.9 el problema de la dependencia con el tamao se vuelve crtico.

Esta grfica nos da una idea de cuanto es afectada la topografa de la red dependiendo del

nmero de intercambios, a medida que se intercambian elementos, el tamao medio de los

parches se incrementa notablemente hasta que se logra el equilibrio a t = te q.

0.0 5.0x104

1.0x105

1.5x105

2.0x105

2.5x105

3.0x105

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.0 2.0x105

4.0x105

6.0x105

8.0x105

1.0x106

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

t

r0

(b )

= 0 .7

L = 200

L = 400

L = 700

(a )

= 0 .9

L = 200

L = 400

L = 700

r0

t


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22

Figura 1-11

Idem que la Figura 1-8.La columna de la izquierda corresponde a = 0.7 y la de la derecha a = 0.9.La primer fila de cada juego de fotografas representa al sistema en el instante en que se verifica el PC.La segunda fila es para t = te q, es decir, cuando el valor de r0se estabiliza.

t = 0

Se cumpleel PC.

t =teq

L = 200

L = 200

L = 400

L = 400

t = 0

Se cumpleel PC.

t =teq

L = 700

L = 700

t = 0

Se cumpleel PC.

t =teq


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23

Esto se ve reflejado en un aumento enla longitud de correlacin. Por ejemplo, para = 0.9 ,

el valor de r0se increment al doble respecto del valor que tena a t =0 (pas de 60 a 120

unidades de red).Este cambio tan grande en la topografa debe tenerse en cuenta a la hora de

simular cualquier tipo de proceso fsico-qumico sobre esta clase de redes generadas a travs

del Modelo Dual.

Figura 1-12

(a) Funcin de Correlacin Espacial para diversos valores del traslape para L = 700. (b) Grficasemilogartmica de C(r)que muestra un buen comportamiento lineal hasta r= 10.

En la Figura 1-12 C(r) versus res graficado para diversos valores del traslape y para un

tamao de red de L= 700. El criterio usado para la determinacin del nmero necesario de

MCS necesario para alcanzar el equilibrio estadstico, te qfue el siguiente:

20 40 60 80 100

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

t= teq

(a ) = 0 .9 = 0 .85

= 0 .8

= 0 .75

= 0 .7

= 0 .65

= 0 .6

r

C(r)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

-3.0

(b )

r

ln(C(r))


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24

El cambio en r0desde t = teq a t = teq+ 105MCS deber ser menor al 1%.

La Figura 1-12(a) muestra el comportamiento lineal de la funcin de correlacin

espacial hasta r = 10 (Siempre medido en unidades de red). Las curvas de la Figura 1-12(b)

fueron ajustadas mediante una regresin lineal, de donde se obtuvo el valor de la longitud de

correlacin espacial r0.

Figura 1-13

Tiempo de relajacin necesario para llegar al equilibrio versus el traslape para L = 700.

En la Figura 1-13 se muestra la variacin de teq con el traslape de acuerdo con el criterio

anteriormente mencionado. Mediante este procedimiento, el comportamiento de r0 como

funcin de puede ser determinado como se observa en la Figura 1-14, en donde los

smbolos corresponden a los resultados obtenidos por simulacin, los cuales fueron ajustados

con la funcin:

(((( ))))

2

0 2

r = 2 1 -(1.15)

Hay otras formas de definir la longitud de correlacin a partir de la Funcin de Correlacin, por ejemplo,tomando la distancia a la cual la funcin ha decado un cierto porcentaje.

0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95

0

1x105

2x105

3x105

4x105

5x105

6x105

7x105

8x105

9x105

1x106

teq


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26

encontramos que el comportamiento de los eventos favorables en funcin de la diferencia de

tamao de los elementos intercambiados (i jS S

R - R ) poda resultar de utilidad.

En la Figura 1-15 se han graficado dichos histogramas para varios traslapes y diversos tiempos

(slo se han graficado los histogramas correspondientes a sitios). Estos histogramas se

obtienen de la siguiente forma:

1. Fijado el t en cierto valor se continua intercambiando elementos por 10 MCS ms y se

contabilizaba los eventos favorables que ocurran segn su diferencia de tamao.

2. Se cambia de red, y se vuelve al punto 1 (este procedimiento se promedia varias veces).

Para = 0 obtenemos una curva que decrece linealmente a medida que aumenta la diferencia

de tamao, esto se explica fcilmente ya que la cantidad de elementos cuya diferencia es 1 es

cero, recordemos que 2 < RS< 3.

Una diferencia intermedia de por ejemplo ( = 0.8i jS S

R - R ) slo puede llegar a ser creada

cuando intercambiamos algn sitio RS> (2 + 0.8 ) , y slo un 20 % de los sitios verifican esa

condicin. Al disminuir ms la diferencia de tamao, mayor cantidad de sitios verifican la

condicin y por ende aumenta la cantidad de eventos favorables; adems en = 0 siempre se

verifica el PC . Cuando aumentamos el traslape, el histograma presenta un comportamiento

exponencial decreciente, lo que nos dice que hay una alta probabilidad de xito al intentar

intercambiar elementos semejantes y una muy baja entre elementos de tamao diferente. Estascaractersticas se acentan a medida que aumenta el traslape. Resulta interesante destacar que

dichos histogramas son independientes del tiempo. Resumiendo:

Los eventos ms favorables son los intercambios entre elementos de tamao semejante.

Teniendo en cuenta este comportamiento, pueden acelerarse notablemente los tiempos de

relajacin. La idea es ordenar en un arreglo todoslos elementos (sitios y enlaces) de menor a

mayor y sortear, en alguna posicin del mismo tratando de intercambiar el elemento presente

El comportamiento de los enlaces es anlogo al observado en los sitios.Tngase presente que, para una red de L=700, esto implica ordenar, de menor a mayor 1470000 elementos, porlo tanto se deben emplear algoritmos de ordenamiento altamente optimizados (El implementado demora unos 5segundos).


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27

en esa posicin con algn vecino. El rango de vecinos disponibles para el intercambio se

deduce de los mencionados histogramas).

Figura 1-15

Eventos Favorables versus la diferencia de tamao entre sitios intercambiados, (i jS S

R - R ) para

diferentes traslapes y para diversos tiempos.

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

EventosFavorables

= 0 .7

t = 0

t = 1 x 1 05

t = 3 x 1 05

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

= 0

t = 0t = 1 x 1 0

5

EventosFavorab

les

0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

EventosFavorables

RS

i

- RS

j

= 0 .9

t = 0

t = 1 x 1 05

t = 5 x 1 05

t = 1 x 1 06


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28

1.6.- Redes Tridimensionales.

En el captulo anterior presentamos el Modelo Dual y lo aplicamos en la generacin de

redes bidimensionales. En el prximo captulo simularemos en ellas el flujo de fluidos

inmiscibles y se estudiar como las correlaciones afectan dicho fenmeno. El otro problema

en el que estamos interesados es el de la caracter izacin de materiales porosos, para atacarlo,

es necesario contar con una adecuada representacin del medio, es decir, necesitamos simular

una muestra porosa real mediante una red tridimensional de sitios (poros) y enlaces (canales)

interconectados entre s.

Existen innumerables ejemplos de materiales tanto naturales como sintticos que

presentan una composicin en dos fases: una matriz slida y una fase hueca dispersa sobre la

primera, de modo ms o menos desordenado, constituyendo lo que se define como un material

poroso. Los medios porosos son protagonistas de numerosos procesos de inters tanto

cientfico como tecnolgico, en reas como la agricultura, medicina, fisicoqumica, ingeniera

en petrleo, etc. Especficamente estn involucrados en procesos tales como extraccin de

petrleo, recuperacin de aguas subterrneas, catlisis heterogneas, adsorcin de gases,

desplazamientos de fluidos inmiscibles y procesos separativos, entre otros tantos. Todo esto

explica el inters tanto cientfico como econmico en el estudio de estos sistemas por parte de

experimentales y tericos. Dentro de las descripciones ms usuales para estos medios se

encuentran los llamados modelos discretos que representan al sistema poroso como un

conjunto de elementos que pueden ser sitios, enlaces o la combinacin de ambos, en un

arreglo topolgico particular y que son simulados generalmente a travs de mtodos de Monte

Carlo. Los resultados obtenidos de este tipo de modelos han sido de gran utilidad para

entender y caracterizar estos medios y los procesos que en ellos ocurren.

La descripcin de materiales porosos es un problema de gran inters en la ciencia de losmateriales, el mismo involucra :

(i) El modelado puramente terico (idealizado) de la forma geomtrica de un poro

individual y el tratamiento de los fenmenos que toman lugar dentro de el.2, 14, 15.


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29

(ii) La caracterizacin del espacio poroso combinando modelos analticos y simulacin con

tcnicas experimentales16, 17.

Figura 1-16Representacin esquemtica de una red

tridimensional de LxLxL sitios y 3LxLxL

enlaces (L=4). Por simplicidad los sitios y los

enlaces son del mismo tamao. Las condiciones

de borde usadas fueron condiciones peridicas.

Para una mayor claridad estas no fueron

"dibujadas" pero son las mismas que las que se

observan en la Figura 1-3.

El ltimo punto incorpora la simulacin por computadora para tratar problemas irresolubles

analticamente dada la complejidad y la inhomogeneidad de un medio poroso y los procesos

que se desarrollan en ellos, como por ejemplo, la condensacin-evaporacin capilar, intrusin-

retraccin de mercurio, desplazamiento de fluidos miscibles e inmiscibles , etc1. Como es de

esperar, las caractersticas topolgicas (geometra de la red, correlaciones espaciales,

conectividad, etc.) del espacio poroso influyen fuertemente en los procesos mencionados

anteriormente, por lo que debern ser incorporados consistentemente en la descripcin terica.Actualmente, la obtencin de informacin detallada del espacio poroso como la distribucin

de sitios (cavidades) y enlaces (gargantas), conectividad, correlaciones espaciales, entre otras, es

una de las mayores limitaciones para caracterizar adecuadamente los materiales porosos. La

utilizacin del Modelo Dual, el cual est dentro de los llamados modelos discretos, nos permite

una representacin intuitiva del espacio poroso como as tambin la incorporacin en forma

consistente de distinto grado de desorden, siempre presente en los mismos. Esta es una ventaja

importante del Modelo Dual frente a otros modelos los cuales incorporan dichas caractersticas

de una forma independiente1y aparentemente alejada de la realidad.

En trabajos anteriores18 se ha utilizado el Modelo Dual para caracterizar slidos porosos

tridimensionales, pero sin tomar en cuenta las correlaciones espaciales en ellos presentes y tan


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30

importantes a la hora de simular los distintos fenmenos de inters. Por lo que extenderemos

el estudio del comportamiento de las correlaciones espaciales a sistemas tridimensionales.

A continuacin presentaremos los resultados obtenidos en redes tridimensionales de

conectividad constante z = 6, es decir, cada sitio esta conectado a 6 enlaces en un arreglo

tridimensional cbico simple. El problema se enriquece notablemente si variamos la

conectividad pero se dificulta notoriamente a la hora de discernir sobre cual es el efecto

predominante sobre un determinado proceso simulado sobre dichas redes, adems, estudios

recientes sugieren que el efecto ms importante es debido a las correlaciones19. Como en la

seccin anterior, nos concentraremos en el estudio de las correlaciones espaciales que se

presentan en las estructuras generadas a travs del Modelo Dual.

Para disminuir el efecto de tamao finito se utilizaron condiciones de borde peridicas, y se

determin, mediante el estudio de la funcin de correlacin espacial, cul deba ser el tamao

lineal mnimo de una red, dado su traslape para alcanzar el equilibrio estadstico.

El comportamiento observado es anlogo al encontrado en redes bidimensionales,

observndose una menor velocidad en alcanzar el equilibrio, es decir, un mayor tiempo de

intercambio te q (tiempo de equilibrio). Adems, como se hace necesario generar redes de

tamao lineal mayor que la longitud de correlacin espacial caracterstica para ese (como

mnimo un orden de magnitud mayor). Por ejemplo para = 0.7 se obtiene un r0 30 ; por

lo que si deseamos una red libre de efectos de tamao deberemos generarla con un L10r0,

o sea, L 300. Esto implica generar un arreglo que pueda almacenar 2.7 x 107sitios y 8.1 x 107

enlaces, considerando que cada elemento ocupa 4 bytesnecesitamos unos 400 megabytes de

memoria RAM para almacenar dicha estructura. Si bien contamos con computadoras con esa

cantidad de memoria RAM, los procesos a simular en dichas redes consumen mucho tiempo

de clculo. Esto nos limita a utilizar tamaos de red del orden de L 128. Adems, como en elcaso bidimensional, la longitud de correlacin espacial aumenta a medida que incrementamos

el traslape, por lo que traslapes mayores a 0.7 ( L = 300) no podrn ser simulados con la

capacidad de clculo actual.


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31

En este ltimo punto hay que hacer una observacin, cuando decimos que no podemos

construir redes de traslape mayor a 0.7, nos referimos a generar redes en donde la longitud de

correlacin espacial ha llegado al equilibrio, bien podramos simular redes de hasta 0.9

con un dado valor de r0que an no ha llegado al equilibrio, por ende el valor de r0no ser muy

grande y el tamao lineal de red necesario para evitar efectos de tamao no ser prohibitivo.

Adems, hay que tener en cuenta para que sern usadas dichas redes, en nuestro caso el

presente trabajo est pensado para que en una segunda etapa se utilicen est clase de redes para

representar slidos mesoporosos tridimensionales, simulando en ellos procesos de adsorcin-

desorcin y levantar las correspondientes isotermas20. Esta clase de redes han demostrado ser

aptas para tratar este tipo de problema. Al da de hoy, se continua trabajando en este tema con

el objeto de caracterizar slidos mesoporosos a partir de datos experimentales, obtenindoseresultados ms que alentadores21.

En las imgenes de la Figura 1-17 se observa la importancia del tamao lineal de las redes

tridimensionales y como vara la topografa de las mismas a medida que aumenta el tiempo.

Igual que en el caso bidimensional se observa la formacin de regiones de elementos similares

entre s (parches). Estas son cada vez ms grandes a medida que aumenta el traslape y dicho

aumento es acentuado cuando el sistema llega al t= te q. Estas fotografas nos advierten sobre

cuan importante es el efecto de las correlaciones sobre la topologa del sistema (incluso para

traslapes intermedios), y por ende, la precaucin que debemos de tener cuando simulemos en

ellos los procesos fsico-qumicos de inters ya que sern fuertemente afectados.

Obteniendo la Funcin de Correlacin Espacial y, a partir de sta, la longitud de correlacin

espacial, podemos establecer criterios de equilibrio anlogos al caso en 2 Dimensiones, con la

salvedad de que estaremos limitados a < 0.7 debido a la capacidad computacional actual.

Los elementos son del tipo Float, es decir, cada dato ocupa 32 bits (4 bytes).


36/86

32

= 0.5 = 0.6 = 0.7

L= 32t= teq

L= 32t= 0

L= 64t= 0

L= 64t= teq

RS23


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33

= 0.5 = 0.6 = 0.7

Figura 1-17 :Fotografas de redes tridimensionales para diferentes tamaos y traslapes. Se observacomo la topografa del sistema es fuertemente influenciada por estos parmetros y por el tiempo.

La columna de la izquierda corresponde a = 0.5, la central a = 0.6 y la de la derecha a = 0.7. Laprimer fila de cada juego de fotografa representa al sistema en el instante en que se verifica el PC. Lasegunda fila es para t = te q, es decir, cuando el valor de r0se estabiliza.

En la Figura 1-18 podemos observar la variacin de r0con t para diferentes valores de L . La

fuerte dependencia de r0 con L, para traslapes mayores que 0.5, exige que para evitar efectos

de borde deben usarse mayores tamaos de red y/o estudiar cuan fuertemente es afectado por

este hecho el fenmeno a simular. Por ejemplo, en un ciclo de adsorcin-desorcin de

nitrgeno, un tamao lineal de red pequeo se traduce en que la rama de desorcin comienza a

L= 128

t= 0

RS23

L= 128

t= teq


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34

descender a una presin levemente mayor a la que debera ser22. Dicho efecto desaparece para

L100 (


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35

Referencias

1M. Sahimi, Flow and Transport in Porous Medias and Fractured Rock; VCH: Weinheim, Germany,

1995; and references therein.2A.-L. Barabsi and H.E.Stanley, Fractal Concepts in Surface Growth; Cambridge University Press,1995.

3D. Stauffer, Introduction to Percolation Theory,Taylor and Francis, London 1985.

4 R. H. Lpez, A. Vidales and G. Zgrablich. Correlated Site-Bond Ensembles: StatisticalEquilibrium and Finite Size Effects; Langmuir 16, 3441-3445, (2000).

5V. Mayagoitia, B. Gilot, F. Rojas and I. Kornhouser.J. Chem. Soc., Faraday Trans. I, 84,801, (1988).

6V. Mayagoitia, M. J. Cruz and F. Rojas.J. Chem. Soc., Faraday Trans. I, 85, 2071, (1989).

7V. Mayagoitia, F. Rojas, J. L. Riccardo, V. Pereyra and G. Zgrablich.Phys. Rev. B, 41,7150 (1990).

8R. Faccio.Tesis de PhD. Univ. Nac. de San Luis. (1993).

9A. M. Vidales.Tesis de PhD. Univ. Nac. de San Luis. (1996).

10J.L. Riccardo, M.A. Chade, V.D. Pereyra and G. Zgrablich,Adsorption and Surface

Diffusion on Generalized Heterogenous Surfaces. Langmuir 8,1518. (1992)

11J. L . Riccardo.Tesis de PhD. Univ. Nac. de San Luis. (1991).

12J. L. Riccardo, W. A. Steele, A. J. Ramirez Cuesta and G. Zgrablich. Pure Monte CarloSimulation of Model Heterogeneous Subtrates: From Random Surfaces to Many-Site Correlations ;Langmuir 13, 1064-1072, (1997).

13J. M. Yeomans. Statistical Mechanics of Phase Transitions.Oxford Science Publications. USA,1992.

14G. J. Gregg and K. S. W Sing,Adsorption, Surface Area and Porosity.Academic Press, London1982.

15F . A. L. Dullien, Porous Media: Fluid Transport and Pore Structure. (Academic Press, New York,1979).

16N. A. Seaton,Determination of the connectivity of Porous Solids from Nitrogen Sorption Measurements.Chem. Eng. Sci. 46, 1895 (1991), H. Liu, L. Zhang and N. A. Seaton, Chem. Eng. Sci.47,


40/86

36

4393 (1992), H. Liu, L. Zhang and N. A. Seaton, Chem. Eng. Sci. 49, 1869 (1993).

17 R.H. Lpez, A.M. Vidales , G. Zgrablich, F. Rojas, I. Kornhauser and S. Cordero.Determination of Pore Size Distributions Using the Dual Site-Bond Model: Experimental Evidence.Colloidand Surfaces, A: Physiochem. and Eng. Asp.In Press (2002).

18A. J. Ramirez Cuesta, S. Cordero, F. Rojas, R. Faccio and J. L. Riccardo. On Modeling ,Simulation and Statistical Properties of Realistic Three Dimensional Porous Networks.Journals of PorousMaterials 8, 61-76, 2001.

19S. Cordero Snchez.Tesis de PhD. Univ. Autnoma Metropolitana - Iztapalapa - Mxico.(2002).

20R. H. Lpez, A. M. Vidales and G. Zgrablich. Percolation Effects on Adsorption-DesorptionHysteresis". Langmuir. 16, 6999 (2000).

21R. H. Lpez, A.M. Vidales and G. Zgrablich. Determination of The Pore Size Distribution ofCorrelated Mesoporous Networks, Granular Matter, 3Issue 1/2 69-73 (2001).

22R. H. Lpez, A.M. Vidales and G. ZgrablichInfluence of Pore Size Distributions on SorptionIsotherms: 3-D Simulation Experiments, Proceedings of the Sixth International Conference ofFundamentals of Adsorption (FOA 6), 873, (1998).


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37

Capitulo 2

Procesos Percolativos


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38

0.0 0.5 1 .0

pc

C

orriente

Fraccin de enl aces no cortados (p )

Figura 2-0: Esquema del problema del saboteadorestocstico. En la parte inferior se grafica la corriente enfuncin del porcentaje de enlaces no cortados.

2.1:

2.1.- Introduccin a la teora de la percolacin (Figura 1)

El trmino percolacin fue introducido por Broadbent y Hammersley1 en 1957

motivados por el comportamiento de un fluido (por ejemplo agua) cuando atraviesa un

medio poroso (como el caf). La teora de la percolacin es el modelo ms sencillo para un

nmero considerable de fenmenos fsicos, en los cuales el desorden est presente. Junto

con el concepto de los fractal es , los cuales estn ntimamente ligados al problema de la

percolacin, y las leyes de scaling , son herramientas de una gran importancia terica en

diversos campos de la ciencia, la biologa, la fsica, la qumica y la geofsica, y de gran

importancia prctica , por ejemplo, en la industria del petrleo. En esta seccindesarrollaremos brevemente los conceptos bsicos de la teora de la percolacin y de los

fractales.

Para introducirnos en el

tema, consideremos el siguiente

ejemplo clsico: Supongamos

una malla cuadrada conductora

como la de la Fig. 2-1, la cual

est siendo atacada por un

"sabot eador es tocst i co", quin

va cortando interconexiones al

azar. La malla tiene sus

extremos conectados a una

diferencia de potencial, de

modo que, al estar intacta,

circular por ella una corriente

dada (I = IMx). A medida que

el saboteador corte enlaces, la

corriente ir disminuyendo,

hasta que, luego de cortar una

cierta fraccin de enlaces, la

corriente ser cero.


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La pregunta que nos hacemos es: cuntas (que porcentaje de) conexiones deber

cortar el saboteador para interrumpir el flujo de corriente?

Esta pregunta apunta hacia la cuestin central del Modelo de Percolacin:

La existencia de una transicin aguda donde la conectividad de largo alcance desaparece (la

corriente se hace cero). El porcentaje de enlaces para el cual se produce este cambio

dramtico en la longitud de correlacin del sistema, es lo que se denomina umbral de

percolac in , pc . En este punto, todas las propiedades significativas del sistema varan

cuantitativamente. La parte inferior de la Fig. 2.1 muestra la curva de la corriente en

funcin del porcentaje de conexiones no cortadas, observndose el efecto macroscpico

que ocurre cuando la fraccin de enlaces no cortados es del 50%. En este punto el sistema

pasa de conducir electricidad a no conducir.

Para utilizar un lenguaje comn, ilustraremos el problema de percolacin con un

arreglo de sitios cuadrados tal como es mostrado en laFigura 2-2,en donde cada sitio est

aleatoriamente ocupado con una probabilidad de ocupacin (concentracin) p , esto es,

cada sitio est ocupado (con probabilidad p) vaco (con una probabilidad 1-p = q )

independientemente del estado (lleno u ocupado ) de cualquiera de sus vecinos. En dicha

Figura se puede apreciar grupos de sitios ocupados o vacos. Llamaremos c lust er o rac imo

a un grupo de sitios ocupados de primeros vecinos. La teora de la percolacin trata con elnmero y las propiedades de estos clusters.

Figura 2-2: Percolacin sobre una red bidimensional de tamao lineal L = 6. Los sitios estn

ocupados con una probabilidad p = 21/36 0.59. En dicho red existe un cluster percolante detamao 8 (), un cluster de tamao 7 (), un cluster de tamao 4 () y dos cluster de tamao 1 ().


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Para redes finitos L < , es intuitivamente claro que si la probabilidad de

ocupacinp , es pequea, la chance de tener un c lust er perco lante, es decir, un cluster que

atraviese el red de un dado extremo al opuesto es baja. En cambio, para p1, tenemos

una alta probabilidad de tener un cluster percolante. En la Figura 2-3 un red cuadradobidimensional est ocupado aleatoriamente con una probabilidad de ocupacin pcada vez

mayor.

Llamaremos umbral de percolac in, pC a la concentracin (probabilidad de

ocupacin)p, a la cual aparece por primera vez un cluster percolante (c lust er in f in i to).

En la inmediata vecindad del umbral de percolacin ocurren cambios dramticos en el

sistema. En particular, las ideas de cambio de escalao sca l ing(se obtienen leyes generales a

partir del comportamiento del sistema frente a cambios de escala), que tienen tanta

prominencia en las teoras modernas de las transiciones de fase, estructuras de polmeros,

etc. , encuentran una representacin transparente en el marco de los modelos de

percolacin.

Cuando p pC , el tamao promedio del cluster diverge y, cerca de pC , esta

divergencia puede ser descripta por un exponente c r t i c o universa l , del tipo de los usados

en las teoras de transiciones de fase y que son sugeridos por los argumentos de cambio de

escala.

El problema de la red cuadrada de sitios de la Figura 2-3,recibe el nombre de percolacin

aleatoria de sitios y se encuentra que su umbral de percolacin es: pC= 0.59. El mismo

problema pero para una red de enlaces conduce a una pC= 1/2. En la Tabla 1 se listan

varios umbrales de percolacin para diferentes redes.

Red # nn pc(Sitios) pc(Enlaces)1d 2 1 1

2d Hexagonal 3 0.6962 1-2sen(/18) 0.652712d Cuadrada 4 0.592746 1/2

2d Triangular 6 1/2 2sen(/18) 0.347293d Diamante 4 0.43 0.3883d Cbica simple 6 0.3116 0.24883d BBC 8 0.246 0.10833d FCC 12 0.198 0.119

Red de Bethe z 1/(z-1) 1/(z-1)

Tabla 2-1: Los umbrales de percolacin del problema de percolacin de sitios para diferentesgeometras estn dados en la tercer columna. La columna 2 lista el nmero de primeros vecinos.Observes que en una dada dimensin, el umbral de percolacin disminuye a medida que aumenta

el nmero de primeros vecinos.


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Figura 2-3: Percolacin en un cluster bidimensional de tamao lineal L x L= 150 x150 paradiferentes probabilidad p = 0.45, 0.55, 0.59, 0.65 y 0.75 de izquierda a derecha. Los sitios ocupados

son mostrados en gris mientras que los sitios que pertenecen al cluster ms grande sonrepresentados en negro. Los sitios blancos no estn ocupados. Observe que el cluster ms grande

percola parap0.59.

Consideremos ahora el problema de calcular el nmero medio de singuletes,

dobletes, tripletes, etc. en la percolacin de sitios sobre una red cuadrada.

SeanNsitios en una red con condiciones de contorno peridicas yN .

Consideremos la probabilidad de que un sitio sea un singulete. Para ello, el sitio debe estar

ocupado y sus cuatro vecinos deben estar vacos, o sea la probabilidad espq4 . Por lo tanto

el nmero medio de singuletes es: Npq4 . Si definimos nS(p ) como el nmero medio de

rac imos de tamao s por s i t i o , entonces:

4

1n (p) = pq (2.1)

Cuando contamos dobletes, la correspondiente probabilidad es p 2q6 , pero cada doblete

puede orientarse segn dos direcciones en la red:

2 6

2n (p) = 2p q (2.2)


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Para calcular nS(p) nos encontramos con un problema de teora de grafos que

consiste en enumerar todos los diferentes racimos conectados que pueden construirse con s

sitios de la red. Este problema fue considerado por primera vez por Golomb2 que

denomin a los racimos con el nombre de pol inomios. Harary 3hizo notar que el mismo

problema se presenta en biologa en la enumeracin de los diferentes posibles tipos de

animales celulares, y llam a los racimos animales re t i cu lados, trmino que es ahora

ampliamente aceptado. Para calcular su contribucin a nS(p) se necesitan dos nmeros

asociados a un tipo particular de animal reticulado:

1. El nmero de sitios perimtricos tnecesario para aislarlo.

2. El nmero de maneras independientes g st en que pueden colocarse sobre la red un

animal reticulado de tamao sy permetro t.

En general la expresin para el nmero de cluster es:

s t

st

n (p) = g(s, t) p q (2.3)

Adems, si no hay racimo infinito, lo que es de esperar a concentraciones lo

suficientemente bajas, la probabilidad de que un sitio pertenezca a un cluster de tamao ses

nSs , y la probabilidad de que un sitio arbitrario pertenezca a algn cluster debe ser igual a

p , es decir, se debe satisfacer la condicin:

s cs

sn (p)= p ( p < p ) (2.4)

La generalizacin de la ec. (2.4),vlida para todopes:

( ) ssP p sn (p) = p p+ (2.5)

La suma corre sobre todos los s finitos y por supuesto excluye al cluster infinito. La ec.

(2.5)se reduce a la (2.4) para p < pC , ya que P(p) , la probabi l idad de que un si t i o

arbi t rario pert enezca a l c lust er in f in i to, es idntica a cero en ese rango.

Desafortunadamente no es posible obtener una solucin analtica para el nmero de

cluster nS(p )en d > 1, ya que hay un nmero muy grande de diferentes formas en que los


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cluster pueden acomodarse. An en 2d , para cluster relativamente pequeos uno no puede

calcular en forma exacta a nS(p) . Una simulacin por computadora4 cont

20.457.802.016.011 diferentes configuraciones posibles de racimos con s = 25 sobre un

sistema bidimensional. A pesar de estas complicaciones, estamos capacitados, mediante las

propiedades de escaleo de contabilizar ciertos parmetros que caracterizan a los clusters.

En particular estamos interesados en encontrar el comportamiento asinttico del nmero

de cluster en el umbral de percolacin, nS(pC) .

CuandoppC, es de esperar que S, el tamao medio de rac imo tienda a infinito, es decir:

21

1

( )( ) s s c

s s

s n pS p para p p

sn

=

=

= (2.6)

enp= pC el denominador permanece finito, por lo que en el umbral el numerador debe

diverger. Si por ejemplo, nS decayera exponencialmente con s , el tamao medio del

cluster S , permanecera constante en p=pC , luego, un decaimiento tipo ley de potencias

es ms plausible y define el llamado exponente de Fisher5a travs de:

-

s cn (p ) s (2.7)

Esta relacin es vlida para grandes valores des.

El parmetro

es un exponente crticouniversal que depende slo de la dimensin, en 2d =187/91 (2.05) y para 3d, = 2.2 .

En general se tiene que:

converge si a

diverge si a

a

s=1

< -1

-1s =

(2.8)

Como el numerador de la ec. (2.6)debe diverger implica que :

2 - -1 3 (2.9)

y adems como (2.5)debe permanecer finita enp=pC, se tiene que:

1-

ss=1 s=1

sn (p) s < > 2

(2.10)

Que esta de acuerdo con los valores obtenidos por simulacin para el exponente crtico

universal .


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Por supuesto, existen otra relaciones de escaleo con sus correspondientes exponentes

crticos. Un sumario de exponentes crticos y de relaciones entre ellos puede ser consultado

en la Ref. 7.

Por ltimo enfocaremos nuestra atencin a la geometra del cluster, para esto,

estudiaremos lageometr a fractal, la cual nos da informacin sobre la densidad del cluster

en diferentes escalas de longitud. Consideremos la cantidadM(L), la cual denota la masa del

cluster percolante encerrada en un red de tamao lineal L . Si el cluster percolante fuera un

objeto compacto, entonces, M(L) LD, en donde D es la dimensin Eucldea (para un

cluster bidimensional D = 2). Sin embargo, se encuentra que, para p = pC el cluster

percolante es un ob j e to f rac ta l con una dimensin f rac ta l Df< D. Es decir para el cluster

percolante tenemos que:

( ) fD

M L L (2.11)

La interpretacin de la ec. (2.11)es que para p = pC la correlacin espacial en el sistema

crece enormemente, pero los racimos grandes y el racimo infinito no se presentan como

objetos geomtricos compactos, sino que por el contrario aparecen como objetos tortuosos

y con huecos en su interior. As, la masa del racimo no vara con su longitud lineal como

ocurrira para un objeto normal en el espacio eucldeo, sino que lo hace con un exponente

menor que D.

En el umbral de percolacinp = pc, el cluster infinito de percolacin es un objeto fractal, y

podemos estimar su comportamiento geomtrico mediante su dimensin fractal.

Existen diversos mtodos para calcular la dimensin fractal del cluster infinito de

percolacin. El ms simple consiste en graficar en una escala doble-logartmica el tamao

del cluster ms grande (el cluster percolante) en funcin de L, el tamao lineal de la red. La

pendiente de esta curva equivale a la dimensin fractal (Figura 2-4). Para el problema de la

percolacin aleatoria de sitios en 2d se tiene que Df= 91/48 1.89 (en 3d , Df = 2.53).

Muchos materiales de inters tecnolgico, como superficies rugosas o medios

porosos heterogneos, son de naturaleza fractal, sin embargo su dimensin fractal puede

no coincidir con la de un racimo infinito de percolacin. Por otra parte, varias leyes

fundamentales de la fsica han sido modificadas para tratar procesos en sistemas fractales,

as por ejemplo la ley de Fick con un coeficiente de difusin constante no describe


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correctamente la difusin en un medio fractal, ya que en este caso dicho coeficiente

depende del tiempo y de la longitud.

Figura 2-4:Masa del cluster ms grande a p = pc(cluster percolante), como funcin del tamaolineal del red, L.

El estudio de las propiedades y cantidades de inters en el problema de percolacin

y en especial de las caractersticas del cluster de percolacin puede ser profundizado en

numerosas contribuciones cientficas6, 7, tal estudio est fuera del alcance de este resumen

introductorio a la teora de percolacin. En la siguiente seccin introduciremos otro tipo de

percolacin, la percolac in invasiva. Este tipo de percolacin es ms adecuado para

simular desplazamientos de fluidos inmiscibles en medios porosos que la percolacin

aleatoria.


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2.2.- Percolacin invasiva

La perco lac in invasiva fue propuesta por vez primera por Wilkinson y

Willemsen8

(1983), inspirado en los trabajos de Lenormand y Bories9

(1980) y Chandler10

et.al(1982). El trabajo original de Wilkinson trat sobre el problema del desplazamiento de

un fluido, el def ensor, por otro fluido, el atacante, en un medio poroso. Posteriormente se

generaliz para cualquier proceso percolativo que se desarrolla a lo largo del camino de ms

baja resistencia.

Esta clase de percolacin tuvo su origen en el estudio del flujo de dos fluidos

inmiscibles en un medio poroso y nos parece adecuado introducir brevemente los

conceptos fsicos involucrados en este problema.

La mayora de los slidos porosos pueden ser representados adecuadamente como

una red de poros conectados entre s por canales ms angostos que los poros11. Este medio

puede ser idealizado como un red regular en donde los sitios y los enlaces de la red

representan a los poros y a los canales respectivamente (Figura 2-5). En 3D podemos

imaginarnos, por simplicidad, a los poros como esferas y a los canales como cilindros, por

supuesto, otro tipo de geometra puede ser empleado.

Figura 2-5: Representacin esquemtica del espacio poroso mediante sitios y enlaces. En la filasuperior se observa una porcin de un material poroso (derecha) y una ampliacin de dichaestructura (izquierda). En la fila siguiente se muestra como se asocia el espacio poroso y los canalesa los sitios y enlaces respectivamente.

Espacio poroso

Sitio

Enlace

Espacio poroso

Canal


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Consideremos un slido poroso cuyo espacio poroso est ocupado por un fluido

no mojante (ver Figura 2-6) , por ejemplo petrleo, el cual est siendo desplazado por un

fluido mojante como el agua a una velocidad infinitesimal y constante. En este lmite, las

fuerzas viscosas son dominadas completamente por las fuerzas capilares que actan sobre

la interfase petrleo-agua. Como el desplazamiento es cuasi-esttico, la diferencia de

presin entre los dos fluidos en la interfase est dada por la ecuacin de Young-Laplace12:

1 2

1 1cap nw w P P P

r r

= = +

(2.12)

en donde los subndice w ynw se refieren a la fase mojante (wetting) y a la no mojante

(nonwetting) respectivamente, es la tensin interfacial y r1y r2son los radios principales

de curvatura. Las fuerzas capilares son tales que el agua desplaza espontneamente al

petrleo, de hecho, para mantener una velocidad de flujo infinitesimal debe ser aplicado un

gradiente de presin negativo a travs del sistema.

Figura 2-6: Un fluido

mojante es aquel cuyongulo de contacto , esmenor a 90, de modo queel lquido puede fluirfcilmente por la superficie.En cambio si las fuerzas decohesin son mayores a las

de adhesin, es mayorque 90 y hablamos de unlquido no mojante.

Las fuerzas capilares son ms fuertes en los espacios ms estrechos del medio

poroso, por lo que la interfase agua-petrleo avanzar por los poros de radios ms

pequeos, estando la dinmica del proceso gobernada por el radio local de los poros. Esto

es consistente con modelos tericos simples y observaciones experimentales13, en donde el

agua desplazaba al petrleo de los poros accesibles ms pequeos.

Cuando un fluido mojante (agua) desplaza espontneamente a uno no mojante

(petrleo) de un slido poroso hablaremos de imbibi c in. Si es el no-mojante el que se

inyecta en el medio poroso y desplaza al mojante diremos que se produce un drenaj e .

< 90

> 90

< 90

> 90


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Como hemos visto, en la imbibicin el frente avanza por el espacio mas pequeo, con lo

que, si simulamos dicho fenmeno en una red de sitios y enlaces generada con el modelo

Dual, en donde cada sitio est conectado a enlaces de menor tamao, la interfase avanzar

preferentemente por los enlaces. De modo que, en la imbibicin el avance estar

determinado principalmente por el tamao de los sitios, que son los "ms difciles" de

ocupar. En cambio, en el drenaje son los enlaces los que limitan el avance del frente.

Figura 2-7: Representacin es-quemtica de cmo un canalporoso es ocupado por un fluidomojante y uno no mojante.

Debemos distinguir dos tipos de percolacin invasiva, el primero y ms usado es la

percolac in invasiva con entrampamiento (TIP) 8 , 14 en donde se asume que el fluido

defensor es incompresible, por lo que puede ser entrampado si es rodeado por el fluido

invasor, en este caso se forman regiones aisladas de fluido defensor a las que llamaremos

i slas. (Figura 2-8).

El otro modelo, la perco lac in invasiva s in entrampamiento (NTIP)8 asume que el

fluido defensor es compresible por lo que no habr entrampamiento.Es claro que el primer modelo es el que ms se adecua para tratar el problema de flujo de

lquidos y es en el que nos concentraremos. En la versin estndar de este modelo se

trabaj con una red bidimensional slo de sitios, y se le asign a cada sitio un nmero

random uniformemente distribuido entre [0 , 1]. Luego, el fluido invasor fue inyectado en

el medio, desplazando en primer lugar al fluido defensor que ocupaba los sitios con el

menor nmero random, luego de invadir un sitio se debe controlar la formacin de

regiones de fluido defensor entrampado. Esta clase de procesos tiene dos umbral es de

percolac in (percola t ion th re shold), el primero es cuando el fluido invasor arriba por

primera vez al extremo opuesto del medio que es el instante en donde se forma el cluster

percolante de fluido invasor y el segundo es cuando el fluido defensor cesa de percolar, es

decir, solo queda en el medio islas o fluido invasor. El algoritmo que emplearon fue el

siguiente :

No mojante Mojante


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Figura 2-8:

Representacin de una red

de LxLsitios y 2LxLenlaces, con

L = 5. Inicialmente la red est llena

con el fluido defensor (), en este

caso, un fluido no-mojante por

ejemplo petrleo. El fluido atacante

() ser agua (mojante). El

atacante entra por el extremo

superior de la red y desplaza al

defensor por la parte inferior. Por

simplicidad se han supuesto

condiciones de borde cerradas en

los extremos izquierdo y derecho y

se han dibujado los sitios y enlaces

de un dado tamao.

En la Figura inferior el

fluido mojante ha invadido el slidoporoso y una fraccin del fluido

defensor ha sido extrado del slido

por su extremo inferior. La parte

encerrada entre lneas de punto es

una porcin de fluido defensor que

ha quedado entrampada por el

atacante, formndose una isla de

fluido defensor entrampado detamao 2. En la recuperacin de

petrleo por agua, cerca del 40%

del petrleo es entrampado por

agua15.


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Algoritmo original para simular una TIP:

1. Se genera una red cuadrada de sitios aleatoriamente distribuidos entre [ 0 , 1 ).

Inicialmente todos los sitios estn ocupados con el fluido defensor.

2. Se identifica la fuente por donde el fluido invasor va a ingresar y el sumidero por donde

va a escapar el defensor. Esta eleccin depender del problema fsico bajo estudio. En

este caso la fuente y el sumidero son dos caras opuestas, los otros dos lados de la red

presentan condiciones de borde cerradas.

3. La interfase avanza ocupando el sitio ms pequeo disponible, es decir, un sitio primer

vecino que este en contacto con la interfase. Para hacer esto se debe recorrer toda la

interfase y seleccionar el menor elemento

4.

Las regiones ocupadas por el defensor que estn desconectadas del sumidero son

entrampadas y no sern invadidas (Figura 2-8). La bsqueda de las regiones

entrampadas se realiza usando el algoritmo de Hoshen-Kopelman16 (HK). Dicho

algoritmo recorre toda la red y etiqueta las distintas regiones entrampadas con un

nmero en particular para no invadirlas en el paso siguiente.

5. El proceso termina cuando el invasor alcanza el lado opuesto, en ese punto se forma el

cluster percolante y se almacenan las cantidades de inters (volumen invadido, nmero

de sitios-enlaces invadidos, cantidad de islas entrampadas, etc.). Dependiendo delproblema el proceso puede ser continuado hasta que no quede fluido defensor en la

red, es decir, slo queda fluido defensor entrampado y el invasor.

Este tipo simulaciones originan patrones del tipo de los mostrados en la Figura 2-9.

Existen dos diferencias importantes entre la percolacin ordinaria y la percolacin invasiva:

a) En la IP el invasor crece a lo largo del camino de menor resistencia y forma un

nico cluster. No como en la percolacin ordinaria en la cual se pueden formar

clusters desconectados.

b) La IP es un proc eso d inmico , el cual sigue un secuencia determinada de sitios a

invadir.

La combinacin de estos dos efectos provocan un cambio en la clase de universalidad a la

que pertenece la TIP en substratos bidimensionales, respecto a la percolacin comn.


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51

Esto esta avalado por un sin nmero de estudios numricos y simulaciones de Monte

Carlo. En 3 dimensiones no se ha reportado diferencias importantes en la dimensin fractal

del cluster percolante ent

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Caracterización de medios porosos para fenómenos de transporte