CARGA ELECTRICA la · PDF fileELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB CARGA ELECTRICA la o q) • Propiedad física Inherente de un cuerpo. así como lo es su masa en reposo. • Puede ser

ELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB

CARGA ELECTRICA la o q)

• Propiedad física Inherente de un cuerpo. así como lo es su masa en reposo.

• Puede ser posluva (denclencia de electrones) y negativa (exceso de electrones).

• La carga está cuantizada en múltiplos de la carga fundamental del electrón.

q = n e nE Z

• La mate ria ordinaria es eléctricamente neutra {Igual número de rargas positivas y negativas).

• La carga eléctrica total en toda Inte racción o reacción siempre se conserva, es deci r, no se crea ni se destruye.

• Los clentincos tratan de encontrar particulas con carga fraccionaria, llamadas gUARKS, aunque no hay ninguna evidencia experimental.

LEY DE COULOMB

El enunciado siguiente de la ley de Cou lomb se aplica rigurosame nte sólo a cargas punUformes: ·'LafuerL.u entre dos cargas puntuales es directamenle proporcional a la magnitud de cada carga, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia enl re ellas".

En forma vectorial se tiene

F =

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, FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR [CAP 15

• E n el sistema SI. la unidad de carga eléctr ica es el Coulomb. que se defin e como la cantidad d e carga que expertme n ta u na fuen:a de 8.98 1 x 10 9 N. cu a ndo s e coloca a 1 m de di s ta ncia de u na carga semej ante.

• La constan te de proporcionalidad en el sis tema SI cons iderad o en este capitulo es

k "", 8,987 x 10 9 N . m 2 ¡C 2

• Las fue rzas eléctricas qu e se deben a una d iversidad ele cargas pueden su perponer s e, s uma ndo veclorta lmen le la s contribuciones de cada u na de las fu e rzas sobre u na ca rga.

' . F_

= F a¡+Fa2+ F Q3+'" +Fcm . ,

"

"

'. 2

CONDUCTORES Y AISLANTES

• En una sustancia conductora 105 electrones pueden move rse ron libertad , mient ras que en u n aislante se mantienen fuertemente ligados a los átomos.

• A las sustancias aislantes se les l1ama dleleclricos. y cuando adquieren una distribución de carga, la distribución se mantiene fija y no se altera por la In fl uencia de alguna fuerza electrlca.

• Algunos buenos aislantes son: vidrio . hule, caucho. cera y la mayoría de los mate riales plásticos, El cuarw es un aislante por excelencia.

• Un conductor no s610 puede adquirir carga eléctrica. sino que ademas los electrones pueden moverse libremente. Por tanto. si se somete a los electrones del interior de un conductor a fuerzas electrostaticas externas causadas por cargas eléct ricas. pueden fluir y en poco tiempo llegar a una condición de equilibrio. en que vale cero la fuer/.3 resultante sobre cada electrón Interno de la sustancia.

• Las sustancias metalicas son siempre buenos conductores de la electricidad. o.-

• Hay sustancias (graflto, silicio. german Io, etc.), que presentan un com portamiento Intermedio entre conductores y buenos aislan tes . A este grupo de sustancias se les denomina SEMICONDUCTORES. ,

• En los l1a mados SUPERCONDUCTORES. la carga eléctrica puede Ou lr aunq ue se su prima la causa de dicho fl ujo,



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CAP 15J 3

PREGUNTAS

1 , Indique si u n objeto puntual eli!clri-camente neutro puede experime nta r

u n a fueLLa electrlca. ¡,Sobre u n cuerpo neutro, extenso. puede tene r efec to una fueLLa electrica neta?

Rpt a .: En un obje to pun t ua l elec tricamente neutro no se experimenta fuer za eléctrica alguna , por dos razones:

1) No existe carga neta. 11) Supon iendo "separaclón de cargas"

posillva y negativa, la dtstancla entre ellas es Insignificante, y por ello la fueLLa de atracción y de repulsión con cualquier otra carga son de igual magnitud y sentido contrario; por lo tanto estas se anulan y no existe fuer La neta.

En el caso de un objeto extenso. lo señalado en (ilJ no se cumple porque si se asume "separación de cargas", la d istancía entre ellas ya no es insigni fi cante y puede existir u na fuerza eléctrica neta.

Es importa n te seña lar que s i no existiera una ca rga ex terna. entonces en ninguno de los dos casos habría fuerLa eléctrica neta.

2, Después de frota r un pequeno globo contra una alfombra. puede ser adhe

rIdo al cielo raso de una habItaCión sin que caiga. Explique la razón. ¿Por qué cae luego el globo?

Rp ta.: Luego que el globo es frotad o con la alfombra queda cargado negativa· mente.

Cuando el globo se acerca al cíelo raso de la habitación, sucede que en la zona de contacto se concentra carga positiva y se establece una fueLLa de atracción; ésto hace que el globo se quede pegado

al tec ho en u n primer momento.

cielo nl80

+ + + + + + + +

Después de r-iertn tiempo se produ r-e un reordena miento de cargas, {los elec trones del globo pasan al cielo raso), los cuerpos se vuelven elértrlcamente neutros y el globo cae.

3. Una carga fija A ejerc-e deter minad a fuerza coulómbica sobre la carga B.

Ind ique si se altera la fuerza qucA ejerce sobre B al acercarse a B otras cargas.

Rpta.: Si la carga A permanece fiJa. la fuerza que ejerce ésta sobre otra carga B no se altera. así se acerquen a es ta última otras cargas: ésto es debido a que la fuerza entre A y B sólo depend e de las cargas de los dos cuerpos y de la distancia que [os separa.

4 . La carga eléctrica siempre se conserva. Exprese si sucede igual con la masa.

Rpta.: La masa no siempre se conse rva, puesto que como se vera en el capitulo de la teoría de la relatividad, la masa de un cuerpo aumenta conforme su veloci dad v se aproxime al limite de la velocidad de la luz c. o sea

m=~I_(V/C)2



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4 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR ¡CAP 15

5. ¿Es más probable experimen tar una descarga e lec lrica debida a efectos

e lectros táticos cuando el aire es tá seco que cuando es ta húmedo? Explique.

Rpta.: La probabtlldad aumenta ("u ando el aire está húmedo pues el agua es "mejor conductor" que el aire seco. Como el aire humedecido tiene partlculas de agua. es bastante probable que se expertmente una descarga electrlca de algo.n cuerpo cargarlo electrostáticamente. ya sea positiva o negativamente.

6. Los electrones de un conduclor pue-den moverse libremente por acción

de cualquier fuerza que aclúe sobre ellos, Incluyendo la de la gravedad. Entonces. ¿por que, a pesar de que cada electr6n de un conduclor experimenta una fuerl.a hacia abajo. no caen tooos

PROBLEMAS

1. Se colocan dos cargas positivas, cada una de magnitu d igual a 1 coulomb

Ce), en extremos opuestos de un campo de fútbol de 90 m de longitud. Halle la fuerza de repulsión entre ellas.

SoluciÓn

Sc puede establecer el siguiente esquema

F·q .q , ..;, .. o----< •• --------------------•• >----I.~

I d I Las cargas ubicadas cn los cxtrem'os opuestos del campo de fútbol experimentan una fuena eléctrica de repulsión, la cual está dada mediante la ley de Coulomb.

F:: k(q)(q) = ~ d 2 d 2

los e lectrones a la parte más baja del objeto conductor?

Rpta .: Esto se explica porque la ruerza gravitaclonal es mucho menor que las ruerzas que ac túan sobre los electro nes.

Las rUerJ;3S que existen en la naturale -7,.3 son de cuatro tipos.

Interacción ruerte. la que es la más Intensa de todas y se da en ellnter10r de los núcleos atómicos.

FuerJ;a electromagnética. establecidas por interacciones electrostáticas y por renómenos producidos por corrientes eléctricas y campos magnéticos.

Inleracción débil entre particulas elemenlales.

Fuerza gravltaclonal. que es la más débil de todas.

Paraq=IC y d = 90m

I F = 1.llx 106 N 1

2 . Se lanza un electron horizontalmente a una velocidad de 10 8 cm / s. Entra

luego en una región situada entre un par de placas horizontales con carga contraria, de 5 cm de longitud, y experimenta

una aceleración total hacia abajo de 10 16

cm-.ls'l en dicha región. (a) Calcule la fuer · za sobre el electrón en newtons. (h) Deter mine las componentes horizontal y ve rtical de la velOCIdad en función del tiempo. (e) Determine el ángulo en que ha cambiado la veloci dad del electrón en el intervalo de tiempo durante el cual estuvo e ntTe las placas.



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CAP.15J ELECTROSTATICA - LEY DE COULOMB 5

Solución

Por condición del problema, la aceleración del electrón es hacia abajo, lo cual indica que la fuerza tiene el mismo senlido.

Como se desconoce la separación entre placas y la parte por donde ingresa el electrón, asumiremos una trayectoria cual{juiera (jue no choque con la placa inferior.

J " . ...... J!I: .... ......

++++++++++++++++++

d .1 La placa negativa ejerce sobre e - una fuerza de repulsión hacia abajo, mientras que la placa positiva ejerce una fuerza de atracción en el mismo sentido.

a) Como la velocidad del electrón es 300 veces menor que la velocidad de la luz, entonces se puede aplicar sin ningún problema la teoría de la Mecánica Clásica, específicamente la segunda ley de Newton.

F = ma , , Reemplazando m = 9,llxIO- 31 kg y

a, = _ 10 16 cm/.r 2 = _ lO t4 m/s 2

se obtiene

F, = _9,lIx]Q-tS N

b) Dado que el electrón no experimenta fuerza horizontal alguna, la velocidad horizontal se mantiene constante, es decir

" = , • 1'0 = lO cm/s

La velocidad vertical está dada por v, = al

Reemplazando a = - I016 cm/s 2 seobtieO"

e) El tiempo que tarda el electrón para salir de las placas está dado por

¡ = dlvz

Para d = 5 cm y v. = 10 8 cm/s se tiene

¡ = 5xlO - 8 s

Utilizando los resultados de la parte (b), las componentes de la velocidad del electrón quedan determinadas por

"z = 10 8 cm/s y v = -5x 108 cm/s ,

El ángulo 9 está dado por

0 = arctan( vylvz )

Reemplazando valores se obtiene

9 - 78,69"

3 . Obtenga la ecuación de la tr ayector ia a lo largo de ¡a cual se mueve la partí

cula del problema antenor. Tome el origen como el punto de proyección, y al eje x paralelo a la velocidad inicial.

Solución

Según el enunciado del problema

". h .........

.....•.. -.............•.. ..... ,

++ + + + +++ +++ + ++ +++ +



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6 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR [CAP 15

Las ecuaciones del movim iento en los ejes;t e y, respectivamente. están dadas por

;t= vo ' e y=~ a /2

Despejando el parámetro tiempo 1 de la primera ecuación, y recmplallindolo luego en la segunda ecuación se obtiene

.'

I ' 4. Determine las cargas posi tivas ;b'1.Hl-

les que deben colocarse en el cen t ro de la Tierra y en una persona que pese 75kg{, para que ésta parezca no tener peso en la superficie terrestre.

Solución

Para las condiciones propuestas

El DCL. de la persona es

Parecerá que la persona no tiene peso. cuando la fuerla cJéclril:3 de repu ls ión generada por la carga positiva ubicada en el centro de la Tierra. sea de igual magnitud que la de atracción gravitaciana] ejercida sobre e l mdividuo: es decir

F~ = mg

Aplicando la ley de Coulomb

, ' F =!!..!L, = mg , R q=

Sabiendo que las cargas son positiva~ y reemplazando mg = 75 kgf = 735,75N Y R = 6,37)(

10 6 m se obtiene

q=+1822,62C

5 . Dos carga s puntuales experimentan una fuerza de 0,05 N cada una cunn

do están a 0,2 m de distnncia. Determine la fuerza que experimentan cuando están: (a) a 1 m de distancia, (h) a 0,1 m de distancia, (e) a 50 m de distancia.

Solución

En este caso, como no se dice lo contrario. se supondrá que las cargas puntuales no son de la misma magnitud ni tienen el mismo signo.

Para una separación d cualquiera

!.q, ;-q • • ............... _ .... _ .... _ ....• I d----..j

La ruerza de atracción o repul sión que experimenta cada clI.rga está dada por la ley de Coulomb.

. .. ['"]

de donde



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CAP. 15] ELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB 7

Reemplazando F =: 0,05 N Y d=:O, 2 m se tiene

a) Fuerza a 1 m de distancia. Reemplazando valores en lOO] se obtiene

IF=2XlO- 3N!

b) Fuerza a 0, 1 m de distancia. Reemplazando valores en lOO] se obtiene

IF=:2XlO- 1N) e) Fuena a 50 m de distancia.

Reemplazando valores en [oo] se obtiene

6. Una presilla de papel hecha de alumi-nio tiene 0,5g de masa. Calcule e l nú

mero de electrones que contiene y la carga total debida a éstos. También contiene un número igual de protones, por lo que es eléctricamente neutra. Sin embargo, si pudieran separarse en dos grupos las cargas positivas y las negativas, determine la fuerza de atracción que experimentarían si las cargas positivas y las negativas estuvieran a 10 cm de distancia.

Sol ución

El número de moles de átomos de aluminio está dado por 11 = mlM, donde M representa el peso atómico de dicho elemento químico.

Para m = O,S g y M -= 26,98glmol se tiene

11 = 1.85x 10- 2 moles

Se sabe que 1 mol de átomos contiene 6,023 x

10 23 átomos, y que I átomo de aluminio posee 13 electrones; entonces el número de elCl:trones que contiene la presilla de papel es

#e- = 1,45 x 1023eleClronesl

La carga eléctrica de un e lectrón es -1,602x 10 - 19 c. La carga total será

r[-(-#-,---),-.-~-.-=--_-2-3-2-4-5,-9-2-C-'

Se observa que la carga es eJev adísima; pero como la presilla es eléctricamente neutra, contiene una carga de protones igual a la anterior.

Si estas cargas se pudieran separar una cierta distancia, la fuena de atracción entre ambas sería

Para r = IOcm = O,lm

I F = 4.856)( 10 20 N

7 . Evalúe la mangitud de la fuerza de r epulsión electrostática mfmma en

tre dos protones de un núcleo de carbono.

El radio del núcleo es de 3,8 x 10 13 cm. Diga por qué los protones no salen despedidos del núcleo.

Solución

Como la fuerza electrostática varía inversamente con el cuadrado de la distancia. la fuerza de repulsión entre dos protones de un núc!co de carbono será mínima cuando la separación entre ellos sea la máxima.

F

2da. órbita ,~ " (~-)

I ra. órbi ta ' , (4r ) " \ , , ,

\ \ \ \

t+ \ \ I I



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8 FUNDAMENTOS DE FISICASUPEAIOA ICAP 15

Por la ley de Coulomb

F = k(~+)2 (2r)2

P .... e+=1.602xlO- 1' C

cm =3.8xIO- IS m y r = 3,8xlO- ll

1 F = 3.99N 1

En la ac tualidad se sabe que existen cuatro tipos de interacciones de fuena. las que ordenadas de menor a mayor magnitud son las siguientes:

- fuen a gravi tacional

- interacción débil

- fuerLft elcctromagnética

- interacción fuerte

La fuena calculada antcrionnentc pertenece al tipo de interacción débil entre partículas elementales: en cwnbio las fuenas que actúan dentro del núcleo atómico son del tipo interacción fue rte. Estas útlimlU mantienen unido al núcleo porque son de atracción, y evitan que se desintegre violentamente debido I la fucru de repulsión electrostática mutua entre los protones.

8 . Dos cargas q. y q2 satisfacen la con-

diCIón q. +q2:: Q,en que Qescons

tante_ Para que la fue rza entre ellas sea lo más grande posible a uno separación fijo, calcule Ins cargo.s q¡ y q2-

Sol ución

Una propiedad imporlame de la carga e1éclrica es que se mantiene constante ames y después de toda interacción o reacción.

F +ql +q, F

........... ~ •• --------------------.. ....... --< .. ~ l. d .1

La fuerza entre ellas siempre seri de repulsión, ya que por daLO, las cargas fonnan parte de una

carga total que puede ser po~itiv a o negativa.

qt + q"2 = Q = constante

Por la ley de Coulomb

kq¡ q2 F= d2=

=

Por el CálciJlo Integral. la fuer/ll mbima se produce cuando se cumple

es decir

de donde

dF

dq, = O

= O

I q, = Q12 1 Reemplazando qL = Q/2 en 1-1 se obtiene

9. U na corriente eléctrica de 1 ampere (A) que fluye en un alambre, implico

un flujo de carga de 1 coulomb por segundo. En un alambre que conduce 3xl0- 3

a.mperes, ¿cuántos electrones po.son por un punto dado en cada IKlgundo?

Soludón

Por definición

1 A = 1 Ch

Para 3 x 10- 3 A

3xlO- 3 A = 3xlO- 3C/s

Que circu le 3 x 10- ) A sigmfica que por un

punto dado del cond uctor pasan 3 x 10- 3 C en



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CAP,15J ELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB 9

cada segundo.

Como la carga de un eleclron es 1,602 x 10 ~ 19 C,

entonces los 3 x 1O~ 3 C que circulan, por scgundo_ es la carga de

# e ~ = ~_-,3,-,x~1 O!;;~-.:'-"C~ __ 1,602x IO ~ 19 CleleClr6n

10 . Dos bolas de corcho, una de masa m y otra de masa 2 m, están su spundidas

de hilos de seda de longitud 1, como se ilustra en el diagrama anexo. Cada una tiene un cnrga q. Demuestre que su separación respectu del equilibrio d, está dada por

d = (3 k q 2/12 mg )1 / 3, suponiendo que lo!> nngulos 01 y 82 son pequeños.

Sulución

Para las condkiones propuc>t~~

El D. C. L. de la carga de masa m es

T

F,

Como los ángulos 0 1 y 02 son pcqUCrlOS, la rcc·

la que une ambas cargas es aproxim,tdamcntc horizontal.

F,

Por equilibrio de las tres fuerzas concurrentes

_~F '';--;:-: = -----;-,!;m,:-' --;;--c sen(180° 0 1) sen(90"+O¡)

De dondc

F ~ = tanOI m,

Para 81 pequeño

F, - = tanO .. sen O, mg ,

x

=

... [l[

Análogamente, para la carga de masa 2 m se obtiene

, F.

2m,

De [1] y [2[

F~ F~ - +-- = mg 2mg

d - x = -¡-

;t d-x 1+ - ¡ -

... [2[



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10 FUNDAMENTOS DE F1SlCA SUPERIOR [CAP 15

Luego, la separación de las cargas respecto del equihbrio es

La fuerza el&:uica de repulsión se calcu la mediante la ley de Coulomb.

Finalmente

11 . Un muón es una partfcula elemental cuya carga es igual a la del electrón,

pero cuya masa es 206 veces mayor. Si se supone que el electrón de un átomo de hidróge no se mueve e n una circunfere ncia a lr ededor del pr otón, atrn(do por una fuer

za de 8, 1 )( 10 - 8 N yque se a plica la segunda ley de Newton. halle: (a ) el radio de la órbita del electrón, (b ) el radio de la órbita del muón que tenga la misma cantidad de movimiento angular en un átomo consistente en un electrón que orbita alrededor de un protón, (e) la energía cinética de cada partícula en sus órbit.e.s respectivas y (d) la velocidad angular del electrón y la del muón en dicha órbita.

Solución

a) La fuerza de atrlleeión entre el electrón y el protón está dada por la ley de Coulomb.

F = kf!2/ r 2

de donde. el radio de la órbita del electrón resulta

Para ~ = 1,602x lO-I'C

10- 8 N

yF = 8. 1 x

r = 5.34x JO-ll m

b) Por condición

(mv r )",...:!~ = (mvr).lu"'1~ ... [11

En el muón en órbila ~e equilibra la fuer7a de atracción electrostática con ll!. fuerLa centrífuga que actua hacia afuera de la órbita, es decir

ke 2 m",oo/l~\I!.w~ ... 121 -,- = r .....6" r ,.,..¿"

En e l electrón del átomo de hidrógeno también se cumple e l C(juilibrio de ambas fuerus: entonces

de donde, la velocidad tangencial del electrón ~

v=-.JFr/m

Reemplanndo F=8,lxlO- 8N:r=5,34x

lO - 11 m ym=9.11xl0- 31 kgscobtiene

v = 2178984mh

De [1 ¡y [2! se deduce una expresión para el radio de la órbita del muón, subiendo que la masa de esta partícula es 206 veces mayor que



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CAP 15J ELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB 11

la del eleclrón.

Rccmplazando m = 9, 11 X 10- 31 kg: Y= 2, 18

x I0 6 m/.r; r = 5,34 x l O- ll m y ~ = 1.602

X 10 - 19 e se obtiene

I r".,.,j,, = 2.59 x \O -13 m I e) De la expresión [IJ se calcula la velocidad lan

gcncial del muón.

m" v "''''''" = '2"07"-'-"--6mr "...6"

Con v = 2,18x 10 6 mis; r = 5,34xl0· II m

y r ",..o-" = 2.59 x 10- 1 J m se encuentra

1.'.-6" = 2177463m/s

La energía cinélica del eleclrón eSlá dada por

U C =..!my 2 2

Para m = 9,11 X 10- 31 kg Y

v = 2178984mls

'1 -U-'-=--2,-1-6-X-'O---'~'-'j

La energía cinética del fiuón está dada por

, 1 2 U ",..o-.. = "2 m ... ..0-... v ... "" ...

Para m",,,,,,,, = 206m = 1.877xIO- 28 kg

y Y",...,.,,=2l77463m/s

I U:,..,." = 4.45xIO- 16 )

d) La velocidad angular del eleclrón es

(¡) = = , 2178984m/s

5,34x 10- 11 mIs

ro =

Para el muón

w = 8,40 x 10 U m/.! ..... 1 2. Un pequeño cuerpo de 10,Og de m asa

con l ,OOx 10 - 6 e de car ga eléctri ca está en r e poso a 1,00 cm de distancia de

u n a segunda carga fija de - 1,00 x 10 - 6 c. Calcule la vel()cidad inicial, en dirección de la línea que u ne a las cargas, que tiene que darse a In primera carga para asegurar que ·'escape" de la segunda sin regresar jamás.

Soludón

Para las condiciones propueslas

~ ___ m CARGA t'lJA

...... ,., .• ... ....................•

' q ~ '. -------1-< Luego que la carga de la ilquierda se dispara con velocidad yO' la energía cinética empieza a

disminuir.

Con la velocidad mínima de escape se logra que la carga de la izquierda llegue al reposo sin regrcsllT Jamás .

La disminución de energía cinélicll. se lransrorma en trabajO para vencer la fuerza de alfacción. Al mismo tiempo di~minuye la energía potencial. que al igual que en gravitación. se hace menor al aumentar la dislancia de separación

, ~d

2 ' ,



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' 2 FUNDAMENTOS DE F1SICA SUPERIOR [CAP. 15

Integrando ambos miembros

Jo d U~ '" Joo _.!!..!C. dr U· T 2 . . ,

O-Uo",!!Cj-, ' O

o lo que es lo mismo

= _!i!. 'o

de donde, la velocidad mínima V o está dada por

Reemplazando q= 1.00 x lO-óC:'o =1.00cm

=0,01". y m = IO.Og = O,Olkg seohticnc

! vD = 13,41m/s I 13. 0 08 cargas igua les de magnitu d

Q=2,40xlO- 6 C estánubicadusen el eje de abscisas en x=+ 10,Ocmyx = - Ja,Oem, respectivamente. Determine la magnitud y la di rección de la fuerza que experimentn una tercera carga de magnitud

q =1,20xlO- 6 C colocada en el eje de or · denadas en el punto (x = 0, y = 10..f3 cm).

Soludón

Como se muestra en el gráfico, por simetría de la distribución, la carga +q experimenta fuerzas de repulsión iguales de parle de las cargas +Q; entonces, la suma de las componentes horil.on

tales de las ruenas F se anulan, y la ruen:a resultante sólo tiene componenle verlical, la que es igual a

- . Fa=2(Fsen9»)

= 2k.t¡O d t.

" J

... 1' 1

, '. \ ..

.. Q .. 9

( '<1 ;0 ) o

(0.;0)

Recmplazando q = 1,2xIO- 6C; Q = 2,4 x

1O-6 C; d= 1O.J3 cm=O,1 Dm ya = 10 cm = O, 1 m sc oblicnc

14 . (a) En el problema anterior, evalúe . las fuerzas de Coulomb que actúan

sobre las dos cargas que están en el eje x. (b ) ¿Cuál es la suma vectorial de las fuerzas coulómbicas que actúan en las tres cargas?

Solución

a) Fucnas de Coulomb sobre las cargas +Q.



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CAP.15J ELECTROSTATICA • LEY DE COU LOMB 13

,

'q

, !

! !

r,/

" ! !

(O;dJ

, \, , ...

... \ \. r

F1+Q e e +QF, .. :....;.::. .. --'--+---"--• ..:.....-;.~. •

/ ' , (-a;O) o (a;O)'" ..... \ ; , ...

;,{... ...... F2 Fz ----~ Jo,,- Jo/¡

Por simetría, las cargas ubicadas en el eje x están sometidas a fuerzas de igual magnitud, pero diferente dirección y sentido.

Carga ubicada en ( -a: O).

La fueT/.a horizontal debida a la otra carga +Q es

, , =

La fuerza debida a la carga +q es

- ~ ti " F 2 = 2 (-Co.\·SI - senS» , La fuerza total sobre la carga ubicada en

(a;O)eslasumade F t y F2 ,osea

kQ [ ( _~ _ qco;.s )f -4" ,

De la figura

8 = arcla/!(dla) y

Pero, como d = 0,1 --f3 m y a 0, 1 m,

entonces

8 = 60 ° Y r = 0,2 m

Luego, reemplazando valores en la expre

sión hallada para FII se obtiene

Carga ubicada en (a: O).

Procediendo aná logamente al caso de la carga ubicada en (- a; o) se obtiene

IF 11 = + 1.62f-0.56JI

b) Suma vectorial de las fuenas que Ilctúan en las tres cargas.

F,

Considerando dos cargas, las fuer/liS electrostálicas siempre tienen la misma dirección y magnitud, pero sentidos opuestos; cntonces

F - O I 3 cargas -

15. Dos cargas iguales de magnitud +Q están ubicadas en el eje 1: a distan

cias± a del origen. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza sobre una tercera carga +-q !>ituada en el eje de las ya In distancia y del origen.



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14 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR [CAP 15

Solución

La solución de este problema es la misma cJtprcsión [,,) obtenida en el problema 13; pero considerando la distancia y en el eje de ordenadas.

Reemplazando y en lugar de d

16. ¿Cuál serfa la respuesta al problema anterior cuando las cargas en el eje x

tienen valores iguales y opuestos ± Q ?

Solución

Para las condiciones propuestas

,

., /

./

\.

, \,

\:\ ' 0 , , -O ~.--'-~~O+~~~Yt--~- • ,

(-0;0) (0 ;0)

Por condiciones de simetría, la fue rza rcsuhanlc sobre la carga + Q solamente liene componente horiLOntal, que es igual a

FR = 2(Fcos 9 ) f

2 kq Q a.(\ ,

17 . Dos cargas iguales + Q están coloca-das en el eje de los x u las distancias

± a del origen. Obtenga la magnitud y la dirección de la fuerza sobre una tercera carga + q ubicada en el eje de las absci sas a la distancia r del origen .

So luclún

Según el enunciado del problema

(1) '1 (2)

ZONA 1 ·0 ZONA 11 ·0 ZONA 111

• ,1 • • (-0;0) (0;0)

Cuando + q está en la zona 1.

La fuerl.a resultante sobre +q es la suma de las interacciones con las cargas + Q ubicadas en los puntos (1) Y (2).

F I = F¡+F 2

de dunde

kqQ ~ , ' ( r - a)

F ¡ =- k qQ [ 1 ,+ (x+ a ) 1 l' , '

(x - a)

Cuando+q cstácnlal.OTl8. 11.

Procediendo análogamente al c aso anterior se obtiene

,qQ[ 1 _ 1 1 f (r+a)2 ( a _ r)2



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CAP 151 ELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB 15

Cuando +q está en la !.Ona 111.

Procediendo análogarncnle al primer caso se obtiene

- [ 1 FIII = lcqQ 2 + (.x + a) I l' , '

(x - a)

18. Dé la respuesta al problema anterior cuan do las cargas en el eje de ¡sal'." tie

nen valores iguales y opuestos ± Q.

Solucl6n

En este caso se obl;cnc

o, '1 (2)

ZONA I ·0 ZONA JI -O ZONA 111

• °1

• • (- /1;0 ) (",;0)

El análisIs es simil ar al rcah/ado en el problema 17.

Cuando + q está en la l ona 1.

FI = k. qQ[- I + ( .x + a )2

+ { .I" _I O) 2 ] t

Cuando + q está en la zona 11.

- [( I l' Fu = kqQ 2+ '2 1 (x+o) (a - A)

F"

Cuando + q está en la 10na 111.

- [ ( I l' Fm = kqQ 2- 2 I ( .ua) (x - a)

19 . (a) Determine los valores de lns caro gas iguales que deben tener dos esfe

ras, cada una de 10,0 kg de mosa, para que su r epulsión eledrostática equilibre exactamente sus atracciones grnvitncionnles. (b) ¿Cuántas cargas olectrónicas representa ese valor?

Soludón

Según las condiciones del problema

¡;,.q .. ~F.q¡;, •

.. • .. ••• m ••• • . ..

mL,~ m

a) Por condición

F ~ = F, ~

De donde

q = ± J G;2 Para G = 6,673xlO - 11N.m 2/ kg 2 y

m = IO,O kg ,-----,:-,

q = ± 8.62x lO - lO e

b) El número de electrones que contiene la carga q está dado por



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16 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR (CAP 1S

Luego

lit t! - '" .5,38)( 1 O 9 deClrOfli!l!

20. ¿Cuánta carga eléctrica se necesita para depositar electrolfticame nte u n

gramo de plata metálica empleando una solución de nitrato de pl a ta en la que hay plata en forma de iones Aa -+?

Solución

Por la primera ley de Fladay

96500", q ~ Eq g o •• [ " ]

Para la solución de nitralo de plala se tiene

Ag ... 1 (N0 3)-1

ConsiderllJldo 105 iones de plata

~ Eq-g = Iliones

Con MAl = \07,878/",01 Y #iofli!s =

scobtiene Eq -g'" 107,878.

Luego, rccmpluando valores en [ .. J

I q = 894.60C I

21. Se necesitan 289500 e de carga para depositar un mol de determinada sus

tancia met.álicaa partir de una solución ionizada de una de sus sales. Determinar la carga eléctrica que lleva cada uno de los iones metálicos.

Solució n

Oc acuerdo 8 la primera ley de Farad.ay

q = 96 :500 m Eq-g ... ("J

La masa de una sustancia en función del número de moles y el peso molecular es igual a m = nM Como en eSle caso se considera un mol

m=M

El equivalente gramo de los iones metálicos que se obtienen a partir de una rolución ionizada de una de sus sales de la rorma

A + (11 'o ...... ) O-c- 'o ...... )

esta dado por

M Eq-g =--

1# iones

donde M es e l peso molecu lar de la sustancia metálica.

Reemplazando en ["1 las expresiones halladas

de donde

96:500 M q=

(-----"L ) 1# iones

• . _ ---'1-Iones - 96:500

Para q = 289:500 e

I lIione.r=3 I

22. Cuando se ponen l O,Og de u na cier · ta aleación de ci nc (o zinc) e i ndio en

una sol ución en que hay ionesZn- e iones

/ n++-+, se necesitan exactamente 26222 e de carga eléctrica para depositar electrolíticamente todo el indio y todo el cinc de la solución. Determine los porcentajes atómicos de cinc e indio en la aleaci6n.

Solución

Por la primera ley de Faraday

_ k:..K m_ 96:500 q ·.·11 1

- PARA DEPOSITAR EL ZINC . El equivalente gramo de los iones Zn + 2 es

M", Eq-g=-.-=

11 Iones 65.37 g/mol

2



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CAP.15j ELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB 17

Reemplazando en [1 J

mz .. = 3,39 x 10- 4 q¡ ... [21

PARA DEPOSITAR EL INDIO.

El equiv alente gramo de los iones }n + 3 es

MI" Eq -g=-.-= # IOnes

Reemplazando en [11

114,82g/mol 3

m l,,=3,97xlO- 4 q2 ... [3]

Sumando m 7 .... y m 1" se obtiene la masa total

de la aleación.

Pero, por condición

m Z" + m l,, = 10,Og

Reemplazando estas últimas relaciones en [4 J

se obtienen

ql = 707l,28C y q2 = 19150,72C

Reemplazando q t en [21 y q2 en [31 se en

cuentran

mz .. = 2,40g Y mi" = 7,60g

Los porcentajes atómicos de los melales en la aleación están dados por

%m/" = lOO %-% m z"

Luego,para m 7 .... = 2,40g; mm = 7,60g;

M z" = 65,37 g/mol y MI" = 114,82glmol

% mz...= 15,24%

% mi .. = 84,76%

23 . A men udo conviene ignorar el hecho de q ue las cargas viene n en unidades

cuantizudas, y considerar, una "densidad de carga" continua p (x,y, z ), que representa la carga por unidad de volumen en un elemento volu métrico infinitesimal, situado alrededor del punto (x,y, z ). Suponga q ue la densidad d e carga e n todas partes den tro de u na esfer a de radiaR está da da por p (r) = A r , en q ue r es la distancia desde el centro de la esfer a y A, una constante de proporcionali da d. Demuestre que la carga total Q contenida en la es

fera está dada por Q = 1t A R 4,

Soludón

Considerando como e1emenlo infinitesimal un cascarón esférico de radio r y espesor dr.

o La carga contenida en el elemento considerado es igual a

dq = (41tr 2 dr)p(r)

Luego, la carga lotal se obtendrá integrando to·

dos los "pequeños" elementos.

2 4. El núcleo de un átomo de plomo (Pb ) contiene 82 protones y s u r adio es



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18 FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR [CAP. 15

aproximadamente igual a 7,2 x 10 - 13 cm. Si un protón adicional se acerca a este núcleo, halle la fuerza de repulsión que se produce cuando el protón que se aproxima está en la superficie del núcleo. Para aplicar la ley de Coulomb, suponga que la caro ga distr ibuida puede reemplazarse por una sola carga en el centro del núcleo.

Solución

Esbozando un gráfico del núcleo del átomo de plomo

r /'~'" ./ ur ... ~nunt .. da . " el ce",t,.. d.1 nO.l ...

pro\.6n adi.;o",,1

La fuer la de repulsión entre la carga concentrada y el prot6n adicional está dada por

F = k ql<kl.oqproréN

"

Para e=1,602xiO- 19 C y r=7,2x iO - ISm

1 F = 364,83N I

2 5. El núcleo de plomo del problema nn-terior tiene 82 protones y 124 neu

trones. Suponiendo que es esférico y que tiene densidad uniforme de masa y de carga, obtenga expresiones para el valor de estas densidades.

Soluci6n

Para las nuevas condiciones propueslas

,,.-124n

DENS IDAD DE MASA.

p", = 82m,+ 124m"

4nr 3/3

Reemplazando m p = 1,673x 10- 21 k.g

m,, = 1,675x 10- 27 k.g Y r =7,2x 10- 15 m

se oblicne

DENSIDAD DE CARGA.

Como los neutrones carecen de carga

82e+ Pq = 4 nr 3/3

Reemplazando e+ = 1,602xIO- 19 C y

r = 7,2 x 1O -I!l m se oblienc

I Pq = 8,40X\024 c/ m 3

Sc obticnen dcnsidades altas debido a que el tamaño del núcleo atómico es pcqucno.

26. Una partícula puntual con carga qJ y

. masa m se proyecta directamente hacla el centro de un nucleo de carga q2;

ambas cargas son positivas. Si la velocidad m icial del proyectil muy leJOS del nudeo es vo• como se ilustro en e l diagrama,

demuestre que la mstancia mímma de aproxi

mación está dada por D = 2 kq 1 q2 I mv ~ .



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CAP 151 ElECTROSTATICA • lEY DE COULOMB " " " .. • '.

Solución

Luego que la carga puntual se dispara con veloc idad micial Vo- su velocidad empieza a dismi

nuir, conforme avanza hacia la carga q2 .

La distancia minima de apro:llóimaci6n se alcanzar' cuando la velocidad se anule por completo.

Al mismo tiempo que disminuye la energía ciné· tica, éSla se transforma en trabajo para vencer la fuerla de repu lsión electrostática; ademb, como la distancia disminuye, I~ energía polencial aumenta . Es deci r

F dr 00 iq] q2 dr

" Integrando ambos miembros

Jo ~ J.O dU' u:

de donde

o - U ~ =

I , 2 mv o

iq ] q'l

D

Luego, la distancia mínima de separación es

27. Tres cargas están en línea recta como se muesLra en la figu ra. Demuestre

que la ca rga de enmedio, la cual está. en equilibrio, se halla en equilibrio establ e con respecto a desplazamientos en la di· rección y, pero en eq uilibri o inestable con respecto a dosplazami entos en dirección x .

'L • • • • ., -o .,

Solución

El origen de coordenadas se puede trasladar a donde se encuentra la carga - Q, ésto se hace con el fin de simpl ificar las expres iones matemáticas.

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

~q L d _-1_-0_ d --J +q

•

Si la carga - Q se desplal.a hacia arriba. por ruoncs de simetría la foena resultante sólo tendrá componente vert ical hacia abaJO; es decir

~

~

, 2FcosOJoo

... [I[

Utilizando e l lcorema del binom io de NewlOn



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20 FUNDAME NTOS DE FISICA SUPERIOR [CAP 15

( d'.,')-lI2 = d - 3 3 d -S :2 - '2 y +

15 d-1 4 105 r9 6 + 8" J - 48 J + .. .

Recmplaz.ando en (1 J

= _ 2kqQ (..L _ ~+.lliC d 1 d S d 7

1051 7 .4

- 48d 9 + ... ) J

Pero, como y « d : entonces

Este resultado nos indica que el equilibrio vertical es ESTAB LE para desplazamientos pequeños.

DESPLA7.AM IENTO HORIZONTAL

,

(1) P, p.

(2)

•

Cuando 18 carga se desplaza hacia la derecha, la fuer/;a resultame ená dllda por

FR= F¡+Fz

= k. q Q [- I (d+x)2

. , I ]' (d _ x)2

= 4q Qd'x t ( d 2 _ x 2)2

= 4qQ dx(d 2 _ x 2 ) - 2 f ... 121

Median te e l leorema de l binomio de Newlon

(d 2 _ x 2)- 2 = 1 _ 2d- 6 x 2 +3d- Sx 4 _

_ 4d - 10x 6 + ...

Reemplazando en [2\

_ 2x 3 3x 5 4x 7 ,. F R= 4kqQd(x - -, .-8 -10 +···)1

d d d

Pero, como x « d: entonces

Nótese que esta fuerza rcsuhantc depende directamente del dcsplnam ienlo horizonta l, debido a ésto el equilibrio es INESTABLE.



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CARGA ELECTRICA la · PDF fileELECTROSTATICA • LEY DE COULOMB CARGA ELECTRICA la o q) • Propiedad física Inherente de un cuerpo. así como lo es su masa en reposo. • Puede ser