Carlos Antonio Julio Arrieta - comunidad.udistrital.edu.cocomunidad.udistrital.edu.co/cjulio/files/2015/09/Lib-CS.pdf · Vector normal, plano osculador y ... 3.5. Ejercicios ... Primera

Carlos Antonio Julio Arrieta

Geometrıa de Superficies

Indice general

1. Curvas regulares elementales 51.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Una nota sobre producto interno y norma . . . . . . . . 81.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7. Teorıa local de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Expresion de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9. Vector normal, plano osculador y torsion . . . . . . . . . 221.10. Formula de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.11. Expresiones de la Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Superficies: Teorıa y ejemplos elementales 352.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Representacion parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. Parametrizaciones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. Superficies regulares y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . 402.5. Superficie regular de dimension k o k−superficie . . . . . 472.6. Cambio de parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7. Superficies obtenidas por valores regulares . . . . . . . . 532.8. Funciones diferenciables entre superficies . . . . . . . . . 592.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. Vectores tangentes, campos vectoriales y orientacion 653.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.1. La diferencial en superficies regulares . . . . . . . 693.2.2. Inmersiones, submersiones y encajes . . . . . . . . 713.2.3. Espacio cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.4. Fibrado tangente y cotangente . . . . . . . . . . . 73

3

4 INDICE GENERAL

3.3. Campos vectoriales sobre k−superficies . . . . . . . . . . 753.3.1. Curvas integrales y flujo local . . . . . . . . . . . 753.3.2. Corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.3. Propiedades del corchete de Lie . . . . . . . . . . 78

3.4. Superficies orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4. Pequena introduccion al algebra multilineal 874.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2. Una nota sobre espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3. Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.1. Tensores covariantes y contravariantes . . . . . . 894.4. Algebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4.1. Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5. Accion de transformaciones lineales sobre tensores . . . . 95

4.5.1. Traspuesta de una transformacion lineal . . . . . 954.5.2. Pull-back y push-forward para tensores . . . . . . 96

4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5. Formas diferenciales sobre superficies 1055.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.1. Formas diferenciales sobre Rn . . . . . . . . . . . 1075.3. Traspuesta o Pull-back de una k−forma . . . . . . . . . 1085.4. Forma de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4.1. Elemento volumen o m−volumen en Rn . . . . . 1105.4.2. Forma de volumen para m−superficies . . . . . . 1125.4.3. Elemento volumen de una hipersuperficie . . . . . 1145.4.4. Volumen de una m−superficie . . . . . . . . . . . 1175.4.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.5. Derivacion exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.6. Integracion de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.6.1. Integracion sobre varias parametrizaciones . . . . 1265.6.2. Dominio regular y borde . . . . . . . . . . . . . . 1295.6.3. Teorema Fundamental del Calculo . . . . . . . . . 131

5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6. Primera y segunda forma fundamental 1376.1. Primera forma cuadratica fundamental . . . . . . . . . . 137

6.1.1. Angulos de curvas sobre una superficie . . . . . . 1406.1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2. Segunda forma cuadratica fundamental . . . . . . . . . . 1426.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3. Curvaturas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4 INDICE GENERAL

INDICE GENERAL 5

7. Geometrıa intrınseca de superficies en R3. 1557.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.2. Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.3. Ecuaciones de compatibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . 1557.4. Metricas y 2-superficies riemannianas . . . . . . . . . . . 1557.5. Derivada covariante, transporte paralelo . . . . . . . . . 1557.6. Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.7. Curvatura geodesica y propiedades . . . . . . . . . . . . 1557.8. Teorema de Gauss - Bonnet y el teorema de Morse . . . 1557.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A. Particiones de la unidad 157A.1. Particiones diferenciables de la unidad . . . . . . . . . . 157

Bibliografıa 163

INDICE GENERAL 5

6 INDICE GENERAL

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Curvas regulares elementales

§ 1.1. Introduccion

La geometrıa de curvas y superficies tiene dos aspectos: una, que se pue-de llamar Geometrıa Diferencial clasica y usa los principios del Calculo.Hablando a grosso modo, la Geometrıa Diferencial clasica estudia laspropiedades locales de las curvas y superficies. Por propiedades localesde las curvas se entiende que son las propiedades que dependen del com-portamiento de las curvas o superficies en una vecindad de un punto; poresto, las curvas y superficies que se consideran en Geometrıa Diferencialseran aquellas que se pueden derivar un cierto numero de veces.

El otro aspecto es la Geometrıa Diferencial global donde se estudia la in-fluencia de las propiedades locales sobre el comportamiento de la curva osuperficie entera. Posiblemente, la parte mas interesante y representativade la Geometrıa Diferencial clasica es el estudio de las superficies, por lotanto algunas propiedades locales de las curvas aparecen naturalmenteen el estudio de las superficies.

§ 1.2. Curvas parametrizadas

Primero se dice que una funcion de una variable real es diferenciable(o suave) si tiene en todos sus puntos, derivadas de todos los ordenes(que son automaticamente continuas). Una primera definicion de curva,no enteramente satisfactoria, pero suficiente para el proposito de estecapıtulo es:

Definicion 1.2.1 Una curva diferenciable parametrizada es una funciondiferenciable α : I → R3 de un abierto I = (a, b) de R en R3

La palabra diferenciable en esta definicion significa que α es una corres-pondencia que envia a cada t ∈ I en un punto

α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3

5

6 CAPITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES

en la que las funciones x(t), y(t), z(t) son diferenciables. La variable t sellama parametro de la curva. La palabra intervalo se toma en sentidogeneralizado, esto es, puede suceder a = −∞ , b = +∞.

Si se denota por x′(t) la primera derivada de x en el punto t y si se usauna notacion similar para las funciones y, z el vector (x′(t), y′(t), z′(t)) =α′(t) ∈ R3 recibe el nombre vector tangente o (vector velocidad) de lacurva α en t. La imagen α(I) ⊆ R3 se llama traza de α.

Tambien se usa el termino infinitamente diferenciable para funciones quetiene derivadas en todos los ordenes que no sera el caso de estas notas.

Ejemplo 1.2.1 Sea α : I = (−2, 2) → R3 dada por

α(t) = (1, t, t2 + 1)

cuya grafica en R3 es la curva sobre el paraboloide z = x2 + y2 que semuestra en la Figura 1.1.

x y

z

Figura 1.1

Ejemplo 1.2.2 Una curva diferenciable dada por:

α(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ R

tiene como traza en R3 una elice que tiene tiro de 2bπ sobre el cilindrox2 + y2 = 1; ver Figura 1.2

FAC. DE CIENCIAS Y EDU. - UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

1.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 7

x y

z

Figura 1.2

Ejemplo 1.2.3 La funcion

α : R → R2

dada por α(t) = (t3, t2), t ∈ R, una curva parametrizada que tiene laFigura 1.3 como su traza α′(0) = (0, 0)

1

2

−1

1 2−1−2−3

Figura 1.3

Ejemplo 1.2.4 La funcion α : R → R3 dada por

α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4), t ∈ R

es una curva parametrizada diferenciable Figura 1.4

Figura 1.4

CARLOS A. JULIO-ARRIETA - CARRERA DE MATEMATICAS


Ejemplo 1.2.5 Las dos curvas parametrizadas de manera distinta

α(t) = (cos t, sin t) y β(t) = (cos 3t, sin 3t)

donde t ∈ (−ǫ, 2π + ǫ), ǫ > 0 tienen la misma traza, esto es, la circun-ferencia x2 + y2 = 1. Note que el vector velocidad de la segunda curva esel triple que el de la primera curva, ver Figura 1.5

α′(t)

β′(t)

Figura 1.5

§ 1.3. Una nota sobre producto interno y norma

Si x, y ∈ Rn x = (x1, ..., xnh) y y = (y1, ..., yn) el producto interno de xcon y, notado por 〈x, y〉, se define:

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi (1.1)

Propiedades:

〈x, y〉 = 〈y, x〉

〈λx, y〉 = λ〈x, y〉

〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉

〈x, x〉 ≥ 0 ∀x ∈ Rn y 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0.

Si se define ‖ x ‖=√x21 + x22 + ...+ x2n entonces se tiene:

〈x, y〉 =‖ x ‖ ‖ y ‖ cos θ,

donde θ es el angulo formado entre x e y


1.4. PRODUCTO VECTORIAL 9

Si x, y son funciones vectoriales diferenciables de una variable realde I = (a, b) en Rn, entonces

d

dt〈x, y〉 = 〈x′, y〉+ 〈x, y′〉

§ 1.4. Producto vectorial

Definicion 1.4.1 (Producto vectorial de dos vectores) Dados los vec-tores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) en el espacio definimos su productovectorial como el vector

a× b =

(∣∣∣∣a2 a3b2 b3

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣a1 a3b1 b3

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣ .)

Una forma de recordar las componentes del vector producto vectorial dea y b es observar que corresponden al resultado de eliminar la primera,la segunda y la tercera columna, respectivamente, de la matriz

(a1 a2 a3b1 b2 b3

)

teniendo siempre cuidado de que a la segunda componente es necesariocambiarle el signo.

Otra forma de recordarlo es la siguiente: sean i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) yk = (0, 0, 1) los vectores coordenados unitarios; entonces se puede escribir

a = a1 i+ a2 j + a3 k

y

b = b1 i+ b2 j + b3 k

y por lo tanto de la definicion de a× b se tiene la ecuacion

a× b =

∣∣∣∣∣∣

i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣

dearrolado por la primera fila. Esto indica, entonces que las propiedadesde los determinantes se trasladan naturalmente al producto vectorial en-tre vectores. Ası, por ejemplo a×b = −b×a. La siguiente grafica muestrala posision de a× b en el orden que muestra la Figura 1.6.



b

a

a× b

0

0

b

a

b× a

Figura 1.6

Ejemplo 1.4.1 Hallar el producto vctorial entre a = (1, 0,−1) y b =(2,−1, 1). En efecto,

a× b =

(∣∣∣∣0 −1−1 1

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣1 −12 1

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣1 02 −1

∣∣∣∣

)= (−1,−3,−1);

Proposicion 1.4.1 Propiedades del producto vectorial. Cuales-quiera que sean los vectores a, b y c en R3 se tiene:

(a) a× b = −b× a.

(b) Si a y b son no nulos, a× b = 0 si y solo si a y b son paralelos

(c) (a+ b)× c = a× c+ b× c.

(d) Para el producto mixto se tiene

〈a× b, c〉 =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

(e) 〈a× b, a〉 = 0 y 〈a× b, b〉 = 0.

(f) 〈a× b, c〉 = 〈a, b× c〉 = 〈b, c× a〉.

(g) a× (b× c) = 〈a, c〉b− 〈a, b〉c

(h) ||a× b||2 = ||a||2||b||2 − 〈a, b〉2.



Demostracion. Las propiedades (a), (b), (c), (d), (e) y (f) se deduceninmediatamente de la definicion de producto vectorial y las propieda-des ya conocidas de los determinantes. Las propiedades g) y h) puedendemostrarse directamente utilizando la definicion de producto vectorial,por lo tanto, solo se demuestra h) y g) se deja como ejercicio para lelector. En efecto, a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3)

||a× b||2 =∣∣∣∣a2 a3b2 b3

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣a1 a3b1 b3

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣2

=(a2b3 − a3b2)2 + (a1b3 − a3b1)

2 + (a1b2 − a2b1)2

=a22b23 + a23b

22 + a21b

23 + a23b

21 + a21b

22 + a22b

21−

− 2[a2b3a3b2 + a1b3a3b1 + a1b2a2b1]

=(a21 + a22 + a23)(b21 + b22 + b23)− a21b

21 − a22b

22 − a23b

23

− 2[a2b3a3b2 + a1b3a3b1 + a1b2a2b1]

=(a21 + a22 + a23)(b21 + b22 + b23)− (a1b1 + a2b2 + a3b3)

2

=||a||2||b||2 − 〈a, b〉2

Lo que termina la demostracion. ♦XLas propiedades del producto vectorial implican los siguientes resultados.

Proposicion 1.4.2 Area de un paralelogramo en el espacio Elarea A de un parelelogramo en el espacio determinado por dos vectoresa y b esta dado por la siguiente formula:

A = ||a× b|| (1.2)

Demostracion. Sea θ el angulo formado entre los vectores a y b comoen la Figura 1.7

b

a

θh

a× b

Figura 1.7

Luego,A = ‖a‖h = ‖a‖‖b‖ sen θ. (1.3)



Ademas por la identidad de Lagrange

‖a× b‖2 =‖a‖2‖b‖2 − 〈a, b〉2=‖b‖2‖b‖2(1− cos2 θ)

=‖a‖2‖b‖2 sen2 θ.

(1.4)

Lo que demuestra la proposicion ♦X

Ejemplo 1.4.2 Encontrar el area del triangulo que tiene como verti-ces los puntos de interseccion del plano 2x + y + 3z = 6 con los ejescoordenados.

Solucion. Los puntos de corte del plano 2x + y + 3z = 6 con los ejescoordenados son (ver, Figura 1.8) A = (3, 0, 0, ) B = (0, 6, 0) y C =(0, 0, 2).

A = (3, 0, 0)B = (0, 6, 0)

C = (0, 0, 2)

Figura 1.8

Se toman los siguientes vectores

AB = (−3, 6, 0) y AC = (−3, 0, 2)

con lo queAB × AC = (−12, 6, 18)

y por lo tanto

Area =1

2||AB × AC|| = 1

2[144 + 36 + 324]1/2 =

1

2

√504 = 3

√14.

El problema que ha conducido a los resultados anteriores es el de encon-trar una formula para determinar el volumen de un paralelepıpedo enR3. Este problema puede ser resuelto ahora de una forma elegante.

Proposicion 1.4.3 Volumen de un paralelepıpedo. El volumen deun paralelepıpedo determinado por los vectores a, b y c en el espaciopuede calcularse mediante la formula

V = |〈a× b, c〉| =∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣

donde a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3).



Demostracion. Sea θ el angulo formado por los vectores a×b y c, comoen la Figura 1.9.

a

bθ

h c

a× b

Figura 1.9

Por lo tanto, el volumen del paralelepıpedo V es

V = (area de la base)× h = ||a× b|| ||c|| cos θ = |〈a× b, c〉|.

Lo que demuestra la proposicion. ♦X

Ejemplo 1.4.3 El volumen del paralelepıpedo determinado por los vec-tores a = (1, 2,−3), b = (0, 1, 2) y c = (1,−2,−1) es el valor absolutode

V =

∣∣∣∣∣∣

1 2 −30 1 21 −2 −1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣1 2−2 −1

∣∣∣∣+∣∣∣∣2 −31 2

∣∣∣∣ = −1 + 4 + 4 + 3 = 10

Por lo tanto, V = 10u2

Proposicion 1.4.4 Sean

α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t))

y

β(t) = (β1(t), β2(t), β3(t))

curvas parametrizadas diferenciables en un intervalo abierto I. Entonces

d

dt

[α(t)× β(t)

]= α′(t)× β(t) + α(t)× β′(t). (1.5)

para todo t ∈ I

Demostracion. Es un ejercicio simple. ♦X



§ 1.5. Curvas regulares

Sea α : I → R3 una curva parametrizada diferenciable. Para cada t ∈ Idonde α′(t) 6= 0 existe una recta bien definida, que contiene el punto α(t)y el vector α′(t), esta recta recibe el nombre de recta tangente de α ent. Para el estudio de la geometrıa diferencial de una curva es importanteque exista tal recta tangente en cualquier punto de la curva. Si α′(t) = 0entonces se dice que t es un punto singular de α

Definicion 1.5.1 Una curva parametrizada diferenciable α : I → R3 sedice regular si α′(t) 6= 0 para todo t ∈ I.

De ahora en adelante se consideran curvas parametrizadas diferenciablesregulares y por simplicidad se omite la palabra diferenciable.

§ 1.6. Longitud de arco

Sea t ∈ I, la longitud de arco de una curva parametrizada regular α :I → R3 desde el punto t0 es por definicion:

s(t) =

∫ t

t0

‖ α′(t) ‖ dt (1.6)

donde ‖ α′(t) ‖=√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2.

Es la longitud de arco del vector α′(t). Como α′(t) 6= 0, la longitud dearco s es una funcion diferenciable y si tiene:

ds

dt=‖ α′(t) ‖ (1.7)

Puede suceder que el parametro t ya sea la medida de longitud de arcodesde algun punto. En este caso:

ds

dt=‖ α′(t) ‖= 1

Esto es, el vector velocidad tiene longitud de arco igual a 1. Reciproca-mente, si :

‖ α′(t) ‖= 1,

entonces:

s =

∫ t

t0

dt = t− t0. (1.8)

y t es entonces la medida de longitud de arco para α medida desde algunpunto t0. En resumen: el parametro t es la medida de longitud de arcodesde algun punto si y solo si ‖ α′(t) ‖= 1.


1.6. LONGITUD DE ARCO 15

para simplificar la exposicion se restringe a curvas parametrizadas por lalongitud de arco, esta es ‖ α′(t) ‖= 1. Pero primero veamos:

Teorema 1.6.1 Sea α : I → R3 una curva regualar. Entonces existeuna reparametrizacion por longitud de arco para α definida por

β(s) = α(t(s))

donde t(s) es la funcion inversa de la funcion longitud de arco asociadacon α.

Demostracion.Por el teorema fundamental del calculo, cualquier funcion de longitud dearco s de α satisface:

ds

dt(t) = s′(t) =

d

dt

∫ t

t0

‖ α′(t) ‖ dt =‖ α′(t) ‖ (1.9)

Puesto que α es una curva regular α′(t) 6= 0 para todo t y por lo tanto dsdt

es siempre positiva. El teorema de la funcion inversa del calculo implicaque t→ s(t) posee inversa s→ t(s) y

dt

ds

∣∣∣s(t)

=1

dsdt

∣∣t(s)

Ahora, se define β por β(s) = α(t(s)). Entonces por la regla de la cadena:

β′(s) = α′(t(s))dt

ds.

Por lo tanto

‖ β′(s) ‖=‖ α′(t(s))dt

ds‖= dt

ds‖ α′(t(s)) ‖= dt

ds(s)

ds

dt(t(s)) = 1

♦X

Ejemplo 1.6.1 Obtener una reparametrizacion por longitud de arco dela helice

x(t) = (a cos t, a sen t, bt).

SolucionComo

s = s(t) =

∫ t

0

||x′(t)||dt =∫ t

0

(a2 + b2)1/2dt =√a2 + b2 t,

entonces la funcion inversa de s es



t = t(s) =s√

a2 + b2

y por el teorema anterior la reparametrizacion de x por longitud de arcoes

x(t(s)) =(a cos

s√a2 + b2

, a sens√

a2 + b2,

bs√a2 + b2

).

Ejemplo 1.6.2 Dada la circunferencia

x(t) = (a cos θ, a sin θ), −π ≤ θ ≤ π.

Introducir a lo largo de ella el parametro t = tan θ4.

Solucion.

Por las identidades relativas al angulo medio se obtiene

cos θ =cos4θ

4+ sen4 θ

4− 6 cos2

θ

4sen2 θ

4

=1

sec4 θ4

+1

csc4 θ4

− 6tan2 θ

4

sec2 θ4

.

Usando las identidades

tan2 t+ 1 = sec2 t y cot2 t+ 1 = csc2 t

se obtiene

cos θ =1

(t2 + 1)2+

t4

(t2 + 1)2− 6t2

(t2 + 1)2=t4 − 6t2 + 1

(t2 + 1)2.

Analogamente

sen θ =4 senθ

4cos3

θ

4− sen3 θ

4cos

θ

4

=4t

(t2 + 1)2− t3

(t2 + 1)2

=4t(1− t2)

(t2 + 1)2.

Por lo tanto

x(t) =(at4 − 6t2 + 1

(t2 + 1)2, b4t(1− t2)

(t2 + 1)2.)


1.7. TEORIA LOCAL DE CURVAS 17

§ 1.7. Teorıa local de curvas parametrizadas porlongitud de arco

Se presentan los resultados principales que se usaran posteriormente.Para tal efecto, sea α : I = (a, b) −→ R3 una curva parametrizada por lalongitud de arco, Esto es,

1 = ||α′(s)||, (∀s ∈ I),

entonces ||α′′(s)|| mide la razon de cambio en el angulo que hacen losvectores tangentes, en una vecindad, con la tangente en s.

α′(s)

α′′(s)

Figura 1.10

por lo tanto, ||α′′(s)|| proporciona una medida de rapidez con que la curvase aleja de la tangente en s, en una vecindad de s.

Definicion 1.7.1 Sea α : I = (a, b) → R3 una curva parametrizada porla longitud de arco s ∈ I : El numero ||α′′(s)|| = k(s) se llama curvaturade α en s, y el vector k(s) = α′′(s) = k(s)n(s) con ‖n‖ = 1 se llamavector curvatura.

Ejemplo 1.7.1 Si α es una linea recta, entonces

α(s) = us+ v

donde u y v son vectores constantes de R3.

Naturalmente, ||u|| = 1 para que la recta este parametrizada por lalongitud de arco y ası α′′(s) = 0.

Recıprocamente, si k = 0 = ‖α′′(s)‖, entonces por simple integracionα(s) = us+ v y la curva es una lınea recta.

Notese que por el cambio de orientacion el vector tangente cambia dedireccion, esto es si β(−s) = α(s), entonces

dβ

d(−s) =dα(s)

d(−s) = −dα(s)d(s)

,

por lo tanto, α′′(s) y la curvatura son invariantes bajo un cambio deorientacion.



Ejemplo 1.7.2 Sea α : I → R2 la circunferencia de radio 1, esto es,

α(s) = (cos s, sin s), s ∈ (−ǫ, 2π + ǫ),

entonces α′′(s) = (− cos s,− sen s), esto es, ||α′′(s)|| = 1 = k.

Ejemplo 1.7.3 Calcular la curvatura de la helice circular de ecuaciones

x = a coss

c, y = a sen

s

c, z =

bs

c

con −∞ < s <∞ , c =√a2 + b2.

Solucion. Como

‖(x, y, z)′‖ =

(a2

c2+b2

c2

)1/2

= 1,

entonces la helice esta parametrizada por la longitud de arco, luego.

(x, y, z)′′ = (−acsen

s

c,a

ccos

s

c,b

c)′ =

(− a

c2cos

s

c,− a

c2sin

s

c, 0)

luego

k =

√a2

c4=

a

c2=

a

a2 + b2.

§ 1.8. Expresion de la curvatura en funcion de unparametro cualquiera

Teorema 1.8.1 Sea α : I → R3 una curva parametrizada regular (nonecesariamente por longitud de arco) y β : J → R3 una reparametrizacionde α(I) por la longitud de arco medida desde t0 ∈ I. Sea t = t(s) lafuncion inversa de la funcion longitud de arco s. Si dα

dt= α′, d2α

dt2= α′′,

etc. Entonces

(a) se tiene que dtds

= 1||α′|| ,

d2tds2

= − 〈α′,α′′〉||α′||4 .

(b) La curvatura

k(t) =‖α′ × α′′‖||α′||3 (1.10)

Demostracion.

(a) Bajo hipotesis (y usando el Teorema de la funcion invesa)

dt

ds=

1dsdt

=1

||α′|| .


1.8. EXPRESION DE LA CURVATURA 19

Tambien

d2t

ds2=d

ds

(1

||α′||

)=

d

ds

√1

〈α′, α′〉

=1

2

( 1

〈α′, α′〉)−1/2

(−2 〈α′′, α′〉

〈α′, α′〉2)dt

ds

=− ||α′|| 〈α′, α′′〉||α′||4

1dsdt

=− 〈α′, α′′〉||α′||4

(b) Como α admite una reparametrizacion por la longitud de arco me-dida desde t0 ∈ I, t → s(t), con inversa s → t(s). Ver Figura1.11

t

s

α(t)

α(s)

s = s(t)t = t(s)

Figura 1.11

entonces se escribir α(t) = α(t(s)) = α(s), con lo que α(t) =α(s(t)), luego

α′ =dα

dt=dα

ds

ds

dty ası

α′′ =d

dt

[dα

dt

]ds

dt+dα

ds· d

2s

dt2=d2α

ds2·(dsdt

)2+dα

ds· d

2s

dt2.

Ahora,

α′ × α′′ =

[dα

ds· dsdt

]×[d2α

ds2

(ds

dt

)2

+dα

ds

d2s

dt2

]

=

(dα

ds× d2α

ds2

)(ds

dt

)3

,

(1.11)



comod2α

ds2= k n y ||n(s)|| = 1

se obtiene

α′ × α′′ =

[dα

ds× n

]k

(ds

dt

)3

, (1.12)

luego

〈α′ × α′′, α′ × α′′〉 = k2(ds

dt

)6

esto es,

k2 =||α′ × α′′||2

||α′||6 .

Lo que muestra que

k(t) =||α′ × α′′||||α′||3

♦X

Ejemplo 1.8.1 Calcular la curvatura de la curva dada por

α(t) = (t2, cos(t), sin(t)), 0 < t <∞

Solucion. Como

α′ = (2t,− sin t, cos t) y α′′ = (2,− cos t,− sin t),

entonces

α′ × α′′ =

∣∣∣∣∣∣

i j k2t − sen(t) cos(t)2 − cos(t) − sen(t)

∣∣∣∣∣∣= (1,2t sin t+ 2 cos t,−2t cos t+ 2 sin t).

(1.13)

Con lo que

||α′|| =√4t2 + 1 y ||α′ × α′′|| =

√4t2 + 5.

Por lo tanto

k(t) =

√4t2 + 5

(4t2 + 1)3/2.

Ejemplo 1.8.2 Calcular la curvatura de la curva plana situada en elplano z = 0 dada por x = x(t), y = y(t).

Solucion.


1.8. EXPRESION DE LA CURVATURA 21

Sea α(t) = (x(t), y(t), 0), entonces

α′ = (x′, y′, 0), α′′ = (x′′, y′′, 0) y ||α′|| =√x2 + y2,

por lo tanto

α′ × α′′ =

i j kx′ y′ 0x′′ y′′ 0

= (0, 0, x′y′′ − y′x′′),

ası que

||α′ × α′′|| = |x′y′′ − y′x′′|,con lo que

k(t) =|x′y′′ − y′x′′|(x′2 + y′2)3/2

.

Ejemplo 1.8.3 calcular la curvatura de la curva dada en forma de coor-denadas polares r = r(θ).

Solucion.

Derivando con respecto a θ las formulas de cambio de variables

x = r(θ) cos θ, y = r(θ) sen θ

implican

dx

dθ=dr

dθcosθ − r sen θ y

dy

dθ=dr

dθsen θ − rcosθ

y volviendo a derivar

d2x

dθ2=d2r

dθ2cos θ − 2

dr

dθsen θ − r cos θ

d2y

dθ2=d2r

dθ2sen θ + 2

dr

dθcos θ − r sen θ.

Como

k(t) =|x′y′′ − y′x′′|(x′2 + y′2)3/2

,

entonces

|xy − yx| =(r′ cos θ − r sin θ)(r′′ sin θ + 2r′ cos θ − r sin θ)−(r′ sin θ − r cos θ)(r′′ cos θ + 2r′ sin θ − r cos θ)

=r2 + 2(r′)2 − rr′′

y

x2 + y2 = (r′ cos θ − r sin θ)2 + (r′ sin θ − r cos θ)2 = (r′)2 + r2,

luego

k =|r2 + 2(r′)2 − rr′′|[r2 + (r′)2]3/2

.



§ 1.9. Vector normal, plano osculador y torsion

Considerese de nuevo α : I → R una curva regular parametrizada por lalongitud de arco. En los puntos donde k(s) 6= 0 el vector unitario n(s)en direccion de α′′(s) esta bien definida mediante la ecuacion

α′′(s) = k(s)n(s) (1.14)

como 〈α′(s), α′(s)〉 = 1, entonces 〈α′′(s), α′(s)〉 = 0. Lo que muestra queα′′(s) es normal a α′(s). Por lo tanto, n(s) es normal a α′(s) y recibeel nombre de vector normal en s. El plano determinado por el vectortangente unitario y el vector normal, es decir por α′(s) y n(s), recibe elnombre de plano osculador en s. Ver Figura 1.12

t(s) = α′(s)

n(s)

Figura 1.12

Un plano donde k(s) = 0 el vector normal (y por lo tanto el plano oscula-dor) no esta definido. En lo que sigue, las curvas seran parametrizadas porla longitud de arco sin puntos singulares de orden 1 (esto es, α′′(s) 6= 0).Se denota con

t(s) = α′(s) (1.15)

el vector tangente unitario de α en s (Obseve que se esta utilizando at de dos maneras diferentes una como parametro y ahora como vectortangente unitario). Ası

t′(s) = k(s)n(s). (1.16)

El vector

b(s) = t(s)× n(s) (1.17)

tiene las siguientes propiedades:

(a) b(s) es normal a t(s) y a n(s), por lo tanto, al plano osculador yrecibe el nombre de vector binormal en s, ver figura 1.13


1.9. VECTOR NORMAL, PLANO OSCULADOR Y TORSION 23

t(s)

n(s)

b(s)

Figura 1.13

(b) La identidad de Lagrange implica

||b(s)||2 =||t(s)× n(s)||2=||t(s)||2||n(s)||2 − 〈t(s), n(s)〉=1

(1.18)

(c) Como ||b(s)||2 = 1, entonces 〈b(s), b(s)〉 = 1 y ası

〈b′(s), b(s)〉 = 0,

con lo que b′(s) ⊥ b(s).

(d) Puesto que

d

dsb(s) = t′(s)× n(s) + t(s)× n′(s) = t(s)× n′(s), (1.19)

entonces b′(s) ⊥ t(s), ver Figura 1.14.

t(s)

n′(s)

b′(s)

Figura 1.14

(e) Como n(s) ⊥ t(s) y b(s) = t(s)× n(s) se obtiene que

t(s), n(s), b(s)

forman una base de R3 para cada s anclado en α(s), por lo tanto,al expresar

b′(s) = a1 n(s) + a2 t(s) + a3 b(s)



resultaa1 = 〈b′(s), n(s)〉a2 = 0a3 = 0

con lo que b′(s) es paralelo a n(s) y se puede escribir

b′(s) = −τ(s)n(s)

Como ||b(s)|| = 1 para todo s, entonces la longitud ||b′(s)|| mide la razonde cambio del plano osculador, en una vecindad de s, con respecto alplano osculador en s. Ası que ||b′(s)|| mide que tan rapido la curva sealeja del plano osculador en s, en una vecindad de s. Esto proporcionala definicion siguiente.

Definicion 1.9.1 Sea α : I → R3 una curva parametrizada por la lon-gitud de arco, tal que α′(s) 6= 0, s ∈ I. El numero τ(s) definida porb′(s) = −τ(s)n(s) se llama torsion de α en s.

Ejemplo 1.9.1 Por definicion, la torsion de una curva regular contenidaen R2 es cero.

Ejemplo 1.9.2 Sea α : I → R3 una curva regular parametrizada norectilınea (es decir, k 6= 0). Entonces α es una curva plana si y solo siτ = 0.

Solucion. Si α es una curva plana, es decir α(I) esta contenida en unplano, entonces el plano de la curva coincide con el plano osculador yası τ = 0.

Reciprocamente se τ = 0 (k 6= 0) y usando parametrzacion por longitudde arco, entonces

b′(s) = τn = 0n = 0

con lo que b(s) = b0 (constante en R3), por lo tanto

〈α(s), b0〉′ = 〈α′(s), b0〉

como α′(s) ⊥ b(s) = b0, entonces 〈α′(s), b0〉 = 0. Por integracion

〈α(s), b0〉 = c (constante).

Luego, para todo s1 y s2 se tiene

〈α(s2)− α(s1), b0〉 = c− c = 0.

Lo que demuestra que el vector con puntos estremos α(s1) y α(s2) esta con-tenido en P (plano ortogonal a bo) para todo s1, s2 esto es α(I) ⊆ P , esdecir α es una curva plana.


1.10. FORMULA DE FRENET 25

Ejemplo 1.9.3 Calcular la torsion de la helice vertical circular de ecua-cion

α(s) =

(a cos

s

c, a sin

s

c,b

cs

)

con s ∈ R.

Solucion.

Claramente α esta parametrizada por longitud de arco.

α′(s) =

(−acsen

s

c,a

ccos

s

c,b

c

), α′′(s) =

(− a

c2cos

s

c,− a

c2sen

s

c, 0).

Tambienn = (− cos

s

c,− sen

s

c, 0)

ası que

b(s) = α′(s)× n =

(b

csen

s

c, −b

ccos

s

c,a

c

),

con lo que

b′(s) =

(b

c2cos

s

c,b

c2sen

s

c, 0

)= − b

c2n

por lo tanto

τ(s) =b

c2=

b

a2 + b2

En contraste con la curvatura, la torsion puede ser positiva o negativa.El signo de la torsion tiene una interpretacion geometrica que sera dadamas tarde.Notese que al cambiar la orientacion, el vector binormal cambia de signoya que b = t × r. Sigue entonces que b′(s) y por lo tanto, la torsionpermanece invariante bajo cambio de orientacion.

§ 1.10. Formula de Frenet

A cada valor de el parametro s, se le ha asociado tres vectores ortogonalesunitarios:

t(s), n(s), b(s)

donde t(s) = α(s), α′′(s) = k(s)n(s) y b(s) = t(s) × n(s). Estos tresvectores ortogonales unitaros ası formandos se conocen como triedro defrenet en s. Ahora bien (omitiendo el parametro s)

t′ = kn, b′ = −τnAsı que los vectores t′ y b′ quedan expresados en combinacion lineal dela base t, n, b de R3

p ≈ R3 que proporciona informacion geometrıca



(curvatura k y torsion τ) sobre el comportamiento de α en una vecidadde s. Otra informacion geometrica local la proporciona el calculo de n′.Esto es, como n = b× t, entonces en el punto s se tiene

n′ = b′ × t+ b× t′ = (−τn)× t+ b× (kn)

= −τ(n× t) + k(b× n) = −τ(−b) + k(t× n)× n

= τb+ k(−t) = −kt+ τb

Como el producto vectorial satisface x × (y × z) = 〈x, y〉y − 〈x, y〉z en-tonces

(t× n)× n = −n× (t× n) = [〈n, n〉t+ 〈n, t〉n] = −t.

Por lo tanto, t′ = knn′ = −kt + τbb′ = −τn

(1.20)

o bien:

t′

n′

b′

=

0 k 0−k 0 τ0 −τ 0

tnb

se llama Formula de Frenet (por conveniencia se ha omitido la letras).

Se continua entonces con el estudio de la torsion para posteriormentepoder estudiar de manera directa e inversa las formulas de frenet.

§ 1.11. Expresiones de la Torsion

Teorema 1.11.1 (Torsion en funcion del parametro arco.) Sea

α : I = (a) → R3

una curva parametrizada por la longitud de arco. entonces:

τ =〈α′, α′′ × α′′′〉

〈α′′, α′′〉

Demostracion. Se va a calcular 〈α′, α′′ × α′′〉. Como α′′ = kn, entonces(omitiendo la letra s)

α′′′ = k′n+ kn′ = k′n+ k(−kt+ τb) = k′n− k2t+ kτb.

Tambien

α′′ × α′′′ = (kn)× k′n− k2t+ kτb

= 0− k3(n× t) + k2τ(n× b)

= −k3(n× t) + k2τ(n× b).


1.11. EXPRESIONES DE LA TORSION 27

Pero n× t = −b yn× b = n× (t× n) = 〈n, n〉t− 〈n, t〉n = t+ 0 = t,

asi queα′′ × α′′′ = k3b+ k2τt,

con lo que

〈α′, α′′ × α′′′〉 = 〈t, k3b+ k2τt〉= 0 + 〈t, k2τt〉= k2τ〈t, t〉.

Luego

τ =〈α′, α′′ × α′′′〉

〈α′′, α′′〉♦X

Teorema 1.11.2 (La torsion en funcion de cualquier parametro).Si α = α(t), entonces se verifica que

τ =〈α′ × α′′, α′′′〉‖α′ × α′′‖2

(1.21)

Demostracion. Para simplificar las expresiones sean

α′ =dα

dt, α′′ =

d2α

dt2, α′′′ =

d3α

dt3

al igual que

α =dα

ds, α =

d2α

ds2,

...α =

d3α

ds3.

Entonces:

α′ = αds

dt, α′′ = α

(ds

dt

)2

+ αd2s

dt2,

con lo que

α′ × α′′ = (α× α)

(ds

dt

)3

Como α = kn entonces:

α′ × α′′ = (α× n)k

(ds

dt

)3

Calculando α′′′, en efecto:

α′′′ =d(α(dsdt

)2+ αd

2sdt2

)

dt

=...α

(ds

dt

)3

+ 2αds

dt· d

2s

dt2+ α

ds

dt· d

2s

dt2+ α

d3s

dt2

=...α

(ds

dt

)3

+ 3αds

dt· d

2s

dt2+ α

d3s

dt2.



Como α = kn, y α× n ⊥ α, entonces

〈α′ × α′′, α′′′〉 = 〈t× n,...α〉k

(ds

dt

)6

(1.22)

Ahora se calcula...α, en efecto (en variable s)

...α =

d(d2αds2

)

ds=d(kn)

ds= kn+ kn

Para clacular n, se observa en el triedo de frenet que

b× t = (t× n)× t = 〈t, t〉n− 〈t, n〉t

ası queb× t = n

luego

n =d(n)

ds= b× t+ b× t

Con lo que...α = kn+ k

[b× t+ b× t

].

Como b = −τn, n = b× t; t = kn. Se tiene

...α = k [b× (kn) + (−τn)× t] + kn

= k2(b× n)− kτ(n× t) + kn

= k2(b× n) + kτ(t× n) + kn

como

b× n = (t× n)× n

= −n× (t× n)

= − [〈n, n〉t− 〈n, t〉n]= −t

entonces...α = −k2t+ kτb+ kn

Por lo tanto:

〈α′ × α′′, α′′′〉 = 〈t× n,−k2t+ kτb+ kn〉 k(ds

dt

)6

= 〈b, b〉(k2)τ(ds

dt

)6

.

Esto muestra que

〈α′ × α′′, α′′′〉 = k2τ

(ds

dt

)6


1.11. EXPRESIONES DE LA TORSION 29

y como dsdt

= ‖α′‖ , se obtiene

τ =〈α′ × α′′, α′′′〉k2 ‖α′‖6

.

Como

k2 =‖α′ × α′′‖2

‖α′‖6,

se obtiene

τ =〈α′ × α′′, α′′′〉‖α′ × α′′‖2

♦X

Ejemplo 1.11.1 Calcular la torsion de la helice dada en un parametroarbitario

α(t) = (a cos t, a sen t, bt), −∞ < t <∞.

Solucion: Como

α(t) = (a cos t, a sen t, bt), α′ = (−a sen t, a cos t, b)α′′ = (−a cos t,−a sen t, 0) α′′′ = (a sen t,−a cos t, 0),

entoncesα′ × α′′ = (ab sen t,−ab cos t, a2)

y por lo tanto

‖α′ × α′′‖2 = a2b2 sen2 t+ a2b2 cos2 t+ a4 = a4(a2 + b2).

Tambien〈α′ × α′′, α′′′〉 = a2b sen2 t+ a2b cos2 t = a2b.

Con lo que

τ =a2b

a4(a2 + b2)=

b

a2 + b2.

Teorema 1.11.3 Teorema fundamental de la teorıa local de cur-vas Dada las funciones diferenciables k = k(s) y τ = τ(s), s ∈ I, existeuna curva parametrizada α : I → R3 tal que s es la longitud de arco, k esla curvatura y τ es la torsion de α. Ademas cualquier curva α, que satis-face las mismas condiciones, difiere de α por un movimiento rigido; estoes, existe una transformacion lineal ortogonal ρ de R3 con determinantepositivo y un vector c tal que

α = ρ α + c

Una demostracion completa usa el Teorema de existencia y unicidad desoluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, ademas que usa otrosresultados de Geometrıa de superficies bi-dimensional. Por tal motivo laprueba no se presentara en este momento. Ver, por ejemplo Do Carmo,Geometrıa diferencial de curvas y superficies, pagina 309.



§ 1.12. Ejercicios

Curvas y producto vectorial

1. Encontrar una parametrizacion para cada una de las secciones coni-cas, las cuales son:

a) Parabola

b) Circunferencia

c) Elipse

d) Hiperbola

2. La cicloide. Una cicloide es un lugar geometrico descrito por unpunto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre eleje x del plano xy (en general sobre cualquier recta en el planox, y), como en la Figura 1.15

a

O A B

DC

P

α

θ

Figura 1.15

Observese que

OB = arco PB

y que las coordenadas del punto P son

x = OA = OB − AB

y = AP = BC −DC.

Calcular una parametrizacion de la cicloide.

3. Hallar el area de la Figura 1.16, poligono de vertices ABCDE,donde

A = (−2, 0), B = (−1,−2), C = (2, 1), D = (0, 1), E = (−1, 3)


1.12. EJERCICIOS 31

1

2

3

−1

−2

1 2−1−2

A

B

CD

E

Figura 1.16

4. Demostrar que la distancia de un punto A = (x0, y0, z0) al planoax+ by + cz + d = 0 es

d =|ax0 + by0 + cy0 + d|√

a2 + b2 + c2

5. Calcular el punto A del plano 5x− 14y + 2z + 9 = 0 que este masproximo al punto B = (−2, 15,−7).

6. Hallar la ecuacion del plano paralelo a 2x − y + 2z + 4 = 0 si elpunto (3,2,-1) equidista de ambos.

7. Dada la piramide de base ABCD y vertice E, donde A = (2, 0, 0),B = (3, 1, 0), C = (0, 1, 0), D = (−1, 0, 0) y E = (1, 1, 3), hallar:

(a) El area de la cara ABE.

(b) El area de la base.

(c) El volumen del prisma.

(d) La distancia entre las rectas EB y DC.

(e) El valor de la altura.

8. Hallar el volumen del prisma determinado por los vectores

a = (1, 2,−1), b = (0, 1, 2) y c = (1, 2,−3)

9. Demostrar las siguientes propiedades del producto vectorial:

(a) 〈a× b, c〉 = 〈a, b× c〉 = 〈b, c× a〉(b) (a× b)× c = 〈a, c〉b− 〈b, c〉a.

Curvatura, torsion y pano osculador



10. Calcuar curvatura y torsion de

a) γ(t) =(1

3(1 + t)3/2,

1

3(1− t)3/2,

t√2)

b) γ(t) =(4

3cos t, 1− sen t,−3

5cos t)

b) γ(t) =(cos3 t, sen2 t, 0)

en donde el parametro tenga sentido.

11. Demostrar que la curva

γ(t) = (1 + t2

t, t+ 1,−1− t

t)

es planar.

12. Demostrar que en las ecuaciones de Frenet - Serret, t, n y b sonortogonales uno al otro.

13. Sea γ(t) = (a cos t, a sen t, t), t ∈ R.

a) Reparametrizar γ por longitud de arco

b) Calcular la curvatura, torsion y el plano osculador en cadapunto de γ.

c) Sea γ(t) una curva con velocidad unitaria en R3, y se asumeque la curvatura k(t) es no-cero para todo t. Se define unanueva curva β por

β(t) =d γ(t)

dt.

Demostrar que β es regular y que, si s es la longitud de arcoparametro de β, entonces

ds

dt= k

Probar que la cuevatura de β es

(1 +

τ

k2)1/2

’

14. Se considera la curva definida en forma implıcita por F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0. Hallar la expresion de la recta tangente en el punto(x0, y0, z0).

15. Hallar la recta tangente y el plano normal a la curva de ecuacionesx2 + y2 + z2 = 3, 9x2 + 4y2 − 13z2 = 0 en el punto (1, 1, 1).


1.12. EJERCICIOS 33

16. Hallar la ecuacion del plano osculador de la curva

x = senh t, y = cosh t, z = 4t

en un punto generico a ella.

17. Probar que si todas las rectas tangentes a una curva que pasan porun punto fijo la curva es una recta.

18. Calcular la expresion de la curvatura de la curva plana, situada enel plano z = 0, cuando su expresion viene dada en

a) forma explıcita y = f(x),

b) forma polar r = 3 sen θ.

19. Probar que si todas las tangentes a una curva son paralelas a unplano, entonces la curva es planar.

20. Sea la curva x = x(s), y = y(s), z = 0 donde s es la longitud dearco. Probar que la curvatura k verifica

k2 = (x′y′′ − y′x′′)2

21. Dada la curva x4 − 2x2y2 − xy3 − x2 + y2 + xy = 0, z = 0, hallarla curvatura en x = 1 y ordenada racional.




Capıtulo 2

Superficies: Teorıa y ejemploselementales


Intuitivamente, se considera una superficie, como un conjunto de puntosdel espacio que localmente es como una vecindad del plano. Esto ocurrecuando la superficie es localmente la imagen de una funcion suficiente-mente suave o diferenciable, es decir, regular desde una vecindad de unpunto del plano en puntos del espacio. Como lo que se necesita es ex-tender y aplicar a superficies los metodos del Calculo, se supone que lafuncion es de clase C∞ y ademas que la superficie tiene en cada puntoun plano tangente y por lo tanto, el rango de la matriz jacobiana de lafuncion es dos. Como en curvas regulares, las superficies tambien admitenrepresentacion parametrica.

§ 2.2. Representacion parametrica

Definicion 2.2.1 Una representacion parametrica de clase C∞ de unconjunto de puntos M de R3 es una funcion x = x(u, v) de un conjuntoabierto U de R2 sobre M,

tal que

(a) x es de clase C∞ en U,

(b) Si e1, e2, e3 es una base de R3 y

x(u, v) = x1(u, v)e1 + x2(u, v)e2 + x3(u, v)e3,

entonces para todo (u, v) ∈ U se tiene:

35

36 CAPITULO 2. SUPERFICIES: TEORIA Y EJEMPLOS ELEMENTALES

Rango

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x2∂u

∂x2∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

= 2 (2.1)

Se recuerda que x es de clase c∞(U), si todas sus derivadas parcialesexisten y son continuas en U y el rango de una matriz es el orden delmenor, no-nulo, mas grande de la matriz. De esta forma, el rango de lamatriz anterior es 2, si y solo si uno de los siguientes determinantes:

∣∣∣∣∣∣∣

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x2∂u

∂x2∂v

∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣

∂x2∂u

∂x2∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣(2.2)

es no nulo.

A las variables u y v se las denomina parametros. Ademas se denotauna representacion parametrica mediante x = x(u, v) y sus derivadasparciales con los simbolos:

xu =∂x

∂u, xv =

∂x

∂v, xuu =

∂2x

∂2u, xuv =

∂2x

∂v∂u, · · · (2.3)

Proposicion 2.2.1 Sea U un conjunto abierto de R2, entonces x =x(u, v), es una representacion parametrica regular de U sobre M si ysolo si:

(a) x es de clase C∞ en U

(b) xu × xv 6= 0, ∀(u, v) ∈ U

Demostracion.

xu × xv =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

∂x1∂u

∂x2∂u

∂x3∂u

∂x1∂v

∂x2∂v

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x2∂u

∂x2∂v

∣∣∣∣∣∣∣e3 −

∣∣∣∣∣∣∣

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣e2 +

∣∣∣∣∣∣∣

∂x2∂u

∂x2∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣e1

Las componentes de xu× xv difieren de los menores de orden 2× 2 de lamatriz jacobiana para x, a lo sumo en un signo; por lo tanto el rango dela matriz jacobiana de x es dos si y solo si xu×xv 6= 0. Lo que demuestrala proposicion. ♦X


2.2. REPRESENTACION PARAMETRICA 37

Ejemplo 2.2.1 La ecuacion

x(u, v) = (u, v, u2 + v2)

es una funcion de R2 sobre el paraboloide z = x2 + y2. Se observa que xtiene derivadas parciales continuas de todos los ordenes. Tambien :

‖xu × xv‖ = ‖det

e1 e2 e31 0 2u0 1 2v

‖ =

√4u2 + 4v2 + 1 6= 0

Con lo que x es una representacion parametrica regular de clase c∞ parael paraboloide z = x2 + y2

Ejemplo 2.2.2 Cuando se estudia geometrıa, una de las reflexiones im-portantes, es ver que sucede en la esfera. Para tal efecto, se define

S2 =(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1

(2.4)

y por coordenadas esfericas se puede escribir (ver Figura 2.1):

x = (cos θ sinφ, sin θ sinφ, cosφ) (2.5)

senφ

x

y

z

S2

φ

θ

Figura 2.1

define una funcion del plano R2 de coordenadas (θ, φ) sobre la esfera:x2 + y2 + z2 = 1. Al igual que el ejemplo 1, x tiene derivadas parcialesde todos los ordenes. Pero:

‖xθ × xφ‖ =∥∥∥

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

− sin θ sinφ cos θ sinφ 0

cos θ cosφ sin θ cosφ − sinφ

∣∣∣∣∣∣∣

∥∥∥

= ‖(− cos θ sin2 φ,− sin θ sin2 φ,− sinφ cosφ)‖

=

√cos2 θ sin4 φ+ sin2 θ sin4 θ + sin2 φ cos2 φ

=√| sin4 φ+ sin2 φ cos2 φ|

= |sinφ|



que es cero en φ = nπ, n ∈ Z. Esto es, x no es regular a lo largo de lasrectas φ = nπ, n ∈ Z. Por lo tanto, el dominio de x se debe restringir ala franja

−∞ < θ <∞, 0 < φ < π

para que sea una representacion parametrica regular de clase C∞ deS2 − N,S, donde N es el polo norte y S el polo sur. (Ver Figura 2.2.)

π

φ = φ0

θ = θ0

0

φ

θ x

φ = φ0

z

yθ = θ0

Figura 2.2

La familia de curvas φ = φ0, de parametro θ se obtiene claramente z =cosφ0 = constante dando como resultado una circunferencia paralela alplano xy. Esta familia de curvas en S2 reciben el nombre de: paralelosde latitud. La familia de curvas θ = θ0 de parametro φ se llaman :meridianos de longitud.

Los meridianos de longitud son las intersecciones de la esfera con lafamilia de planos que contienen el eje z. Para calcular la ecuacionde este plano, se calcula primero su vector normal, esto es:

→n =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

0 0 1

cos θ0 sinφ sin θ0 sinφ cosφ

∣∣∣∣∣∣∣∣= (sin θ0 sinφ, cos θ0 sinφ, 0) ,

la ecuacion del plano buscado es⟨→n, (x, y, z)

⟩= 0, esto es,

x sin θ0 sinφ+ y cos θ0 sinφ = 0,

es decir:

x sin θ0 + y cos θ0 = 0

Los paralelos de latitud y los meridianos de longitud se cortan enangulos rectos ya que:

xθ × xφ = 〈(− sin θ sinφ, cos θ sinφ, 0), (cos θ cosφ, sin θ sinφ,− sinφ)〉=− sin θ sinφ cos θ cosφ+ cos θ sinφ sin θ cosφ

=0


2.3. PARAMETRIZACIONES LOCALES 39

§ 2.3. Parametrizaciones locales

Es necesario observar que una representacion parametrica regular de cla-se C∞ puede solamente cubrir una parte de la superficie que se deseaestudiar. Como resultarıa excesivo restringirnos a considerar unicamen-te representaciones parametricas que sean inyectivos. Por tal motivo sepresenta la siguiente

Definicion 2.3.1 Parametrizacion Local. Sea U un conjunto abiertoen R2, y M ⊆ R3, la funcion

α : U →M, o el par (U, α)

se llama una parametrizacion local de M si

(a) α es de clase C∞(U)

(b) α es un homeomorfismo. Esto es x es inyectiva, continua con in-versa continua.

(c) αu × αv 6= 0, ∀(u, v) ∈ U.

α(U) recibe el nombre de vencidad coordenada.

La condicion (c), es equivalente a que dα es 1− 1 en cada punto p ∈ U.Ya que para α = (x, y, z) la dαp es 1−1 si y solo si los vectores columnasde

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v∂z

∂u

∂z

∂v

(2.6)

son linealmente independientes (imagen directa e inversa de una trans-formacion lineal 1− 1), equivalentemente, a que el producto vectorial.

∂α

∂u× ∂α

∂v6= 0

Lo que proporciona el siguiente

Lema 2.3.1 Sean U un conjunto abierto en R2 y α : U → M unafuncion. Entonces α es una parametrizacion local de M si y solo si


(b) α es un homeomorfismo. Esto es x es inyectiva, continua con in-versa continua.

(c) La diferencial de α es uno a uno para todo (u, v) ∈ U.



§ 2.4. Superficies regulares y ejemplos

Definicion 2.4.1 Se dice que un conjunto M ⊆ R3 es una superficieregular si cada punto p ∈M existe un conjunto abierto de V de R3 y unaparametrizacion α : U → V ∩M de un conjunto abierto U de R2 sobreV ∩M ⊆ R3 tal que (ver Figura 2.3)


(b) α es un homeomorfismo. Esto es α es inyectiva, continua con in-versa continua.

(c) Para cada q, la diferencial dαq : R2 → R3 es uno a uno.

Es decir, un conjunto M ⊆ R3 es una superficie regular si cada puntop ∈M admite una parametrizacion local de clase C∞.

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

U

v

(u, v)•

u x

y

M

p•

z

α(u, v)

Figura 2.3

1. Sea f : U → R una funcion difernciable en un conjunto abierto Ude R2, entonces la grafica de f, esto es, el subconjunto de R3 dadopor

M = (u, v, f(u, v)), (u, v) ∈ Ues una superficie regular.

En efecto, la funcion x : U → R3 definida por

x(u, v) = (u, v, f(u, v))

es una parametrizacion de la grafica de f. Ademas su vencidadcoordenada cubre cualquier punto de M.

La condicion (a) se satisface inmediatamente.

La condicion (c) no es difıcil ya que ∂(x,y)∂(u,v)

= 1, es decir xu ×xv 6= 0


2.4. SUPERFICIES REGULARES Y EJEMPLOS 41

Finalmente x claramente es 1 − 1 y continua. Como x−1 :Im(f) → R2 esta dada por

x−1(u, v, f(u, v)) = (u, v)

es uno a uno. Tambien es la restriccion a M de la funcioncontinua π : R3 → R2 dada por π(u, v, w) = (u, v), por lotanto x−1 es continua y uno a uno.

2. Sea

S2 =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1

.

Usar coordenadas rectangulares para verificar que S2 es una super-ficie regular.

Solucion. Primero, verifiquemos que x1 : U → R3 definida con

x1(x, y) = (x, y,√

1− x2 − y2), (x, y) ∈ U

donde U = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , es una parametrizacion lo-cal de S2, por ser la imagen de una funcion diferenciable.

Se puede ahora terminar de cubrir la esfera S2 con parametrizacio-nes locales similares como sigue

x2(x, y) = (x, y,−√

1− x2 − y2), (x, y) ∈ U

entonces x1(U)∪x2(U) cubre S2 menos el ecuador, usando los pla-nos xz y zy, se define las siguientes parametrzaciones

x3(x, z) = (x,√

1− x2 − y2, z), x4(x, z) = −(x,√

1− x2 − y2, z)

Con U1 = (x, z) ∈ R2 : x2 + z2 < 1 y

x5(y, z) = (√1− y2 − z2, y, z), x6(y, z) = (−

√1− y2 − z2, y, z)

Con U2 = (y, z) : y2 + z2 < 1. Estas 6 parametrizaciones cubrencompletamente a S2, ver Figura 2.4. Por lo tanto,S2 es una super-ficie regular.



x

y

z

S2

Figura 2.4

3. El Elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

es una superficie regular y se cubre al igual que la esfera S2, por

x1(x, y) = (x, y,c

ab

√a2b2 − b2x2 − a2y2), x2(x, y) = (x, y,− c

ab

√a2b2 − b2x2 − a2y2)

con U1 = (x, y) : b2x2 + a2y2 < a2b2,

x3(x, z) = (x,b

ac

√a2c2 − c2x2 − a2z2), x4(x, z) = (x, y,− b

ac

√a2c2 − c2x2 − a2y2)

con U2 = (x, z) : c2x2 + a2z2 < a2c2 y con

x5(y, z) = (a

bc

√b2c2 − c2y2 − b2z2, y, z), x6(y, z) = (− a

bc

√b2c2 − c2y2 − b2z2, y, z)

con U3 = (y, z) : c2y2 + b2z2 < b2c2.4. El hiperboloide de dos hojas

−x2 − y2 + z2 = 1

es una superficie regular.

En efecto (ver Figura 2.5),

x

y

z

Figura 2.5



como

z = ±√

1 + x2 + y2.

Entonces se toma U = R2 y ası

x1(x, y) = (x, y,√

1 + x2 + y2), (x, y) ∈ U

x2(x, y) = (x, y,−√

1 + x2 + y2), (x, y) ∈ U

Ahora se observa que es un par de parametrizaciones que cubren alhiperboloide de dos hojas ya que en ambos casos es la imagen defunciones continuamente diferenciable.

Un Lema que en ocaciones es de gran utilidad es el siguiente

Lema 2.4.1 Sea p un punto de una superficie regular y sea α : U ⊆R2 → R3 una funcion con p ∈ α(U) que satisface las condiciohnes (a) y(c) de la definicion de superficie regular. Si α es 1− 1, entonces α−1 escontinua.

Demostracion. Se escribe

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U

y sea q ∈ U , por la condicion (a) y (c), se puede admitir, intercambiandolos ejes coordenados si es necesario, que

∂(x, y)

∂(u, v)6= 0

Sea π : R3 → R2 la proyeccion π(x, y, z) = (x, y). Entonces π α : R2 →R2 y

J(π α) = ∂(x, y)

∂(u, v)6= 0 (2.7)

y por el teorema de la funcion inversa, se obtiene vecindades V1 de q enU y V2 de π α(q) en R2 tal que π α : V1 → V2 es un difeomorfismosobre V2

Se asume que α es 1− 1. Entonces restringido a α(V1) y como:

α−1 = (π α)−1 π,

entonces α−1 es continua como composicion de funciones continuas. Comoq es arbitrario, α−1 es continua en α(U). ♦X



Ejemplo 2.4.1 Considerese S2 = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1 y

ϕ(θ, φ) = (cos θ sinφ, sin θ sinφ, cosφ)

sus coordenaadas esfericas. Ya se sabe que ϕ(U) cubre a S2 − N,S siU = (θ, φ) : 0 < θ <∞, 0 < φ < π .Entonces para que ϕ sea una parametrizacion regular de S2 solo se ne-cesita redefinir el dominio de ϕ para que sea 1 − 1 y entonces aplicar elLema anterior. Pero, para que esto suceda se toma

V =(θ, φ) : 0 < θ < 2π, 0 < φ < π

Ademas observese que ϕ(V ) cubre a S2−C donde C es la semi-circunferencia

C =(x, y, z) ∈ S2 : y = 0, x ≥ 0

.

Se nota que ϕ(u, v) solo omite una semi-circunferencia de S2 (incluyendolos dos polos) y que S2 se puede cubrir con sus dos vecindades coorde-nadas de este tipo.

Ejemplo 2.4.2 El elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Es una superficie regular vista como sigue, se hace X = xa, Y = y

a, Z = z

a

y se obtiene

X2 + Y 2 + Z2 = 1

Usando una parametrizacion en coordenadas esfericas se tiene

X = cos θ sinφ, Y = sin θ sinφ, Z = cosφ

Con U = (θ, φ) : 0 < θ < 2π, 0 < θ < πEsto es

(x, y, z) = (a cos θ sinφ, b sin θ sinφ, c cosφ),

con U = (θ, φ) , 0 < θ < 2π, 0 < θ < π . Y como en S2, esta es unaparametrizacion local que cube el elipsoide, excepto una semi-elipse in-cluyendo los polos. Para poder cubrir todo el elipsoide se necesita otracarta similar.

Ejemplo 2.4.3 (El cilindro) En R3 la ecuacion x2 + y2 = a2 para a >0, representa un cilindro de base circular con generatrices paralelas al eje0z (ver Figura 2.6).



x

y

z

Figura 2.6

Se puede obtener un sistema de ecuaciones parametricas a partir de lascoordenadas polares, ası: como x2 + y2 = a2 entonces:

x = a cos θ, y = a sin θ

Con 0 ≤ θ ≤ 2π. por lo tanto,

α(θ, φ) = (a cos θ, a sin θ, φ)

Con 0 < θ < 2π y −∞ < φ <∞ es una representacion local del cilindro.Para ver que se trata de una parametrizacion regular del cilindro, seprocede ası:

α es de clase c∞, pues sus componentes lo son.

Es facil ver que α es 1 − 1 cuando 0 < θ < 2π y −∞ < φ < ∞ yque α−1 es continua.

La dierencial de α es 1− 1, ya que

∥∥∥∥∂α

∂θ× ∂α

∂φ

∥∥∥∥ = ‖

∣∣∣∣∣∣∣

i j k

−a sin θ a cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣‖

=√a2 cos2 θ + a2 sin2 θ

= a2

Ejemplo 2.4.4 (Superficie de Revolucion) Sea M ⊆ R3 el conjuntoobtenido al rotar una curva plana regular C alrededor de un eje en elplano que no intersecta la curva.



Se tomara el plano xz como plano de la curva y el eje z como eje derotacion. Sea

x = f(v), z = g(v), a < v < b, f(v) > 0

la parametrzacion de la curva regular (ver Figura 2.7)

x

y

z

uParalelo

Meridiano

Eje de rotacion(f(v), g(v))

Figura 2.7

se observa que si (x, y, z) ∈M, entonces

z = g(v), a < v < b

y tambienx = f(v) cosu, y = f(v) senu

Con 0 < u < 2π, v ∈ (a, b). Y si U =(u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, a < v <

b,

α(u, v) = (f(v) cosu, f(v) cos u, g(v)), ∀(u, v) ∈ U (2.8)

es una representacion parametrica del solido de revolucion generado porla curva C. La idea ahora es demostrar que (U, α) es una parametrizacionlocal regular del solido de revolucion M. En efecto.

Claramente α es diferenciable

La diferencial de α, d α es inyectiva. Pues,

∥∥∥∥∂x

∂u× ∂x

∂v

∥∥∥∥ =∥∥∥

∣∣∣∣∣∣

i j k−f(v) sin u f(v) cosu 0f ′(v) cosu f ′(v) sin u g′(v)

∣∣∣∣∣∣

∥∥∥

=∥∥∥(f(v)g′(v) cos u, f(v)g′(v) sinu, f ′(v)f(v)

)∥∥∥

=

√[f(v)g′(v)]2 + [f ′(v)f(v)]2

= |f(v)| ‖(f(v), g(v))′‖ 6= 0


2.5. SUPERFICIE REGULAR DE DIMENSION K O K−SUPERFICIE 47

α es un homeomorfismo. En efecto, primero se demostrara que x es 1−1,como (f(v), g(v)) es una parametrizacion de la curva regular C, entoncesdado z y x2+y2 = [f(v)]2 , se determina de manera unica v. esto hace queα sea 1− 1. Se hace notar que, como (f(v), g(v)) es una parametrizacionregular de C, v es una funcion continua de z y de

√x2 + y2, por lo tanto,

una funcion continua de (x, y, z).

Para demostrar que α−1 es continua solo resta demostrar que u es unafuncion continua de (x, y, z). Para ver esto, observese que si u 6= π (yusando que f(v) 6= 0) se obtiene

tanu

2=

senu

2

cosu

2

=2 sen

u

2cos

u

2

cos2u

2

=sen u

1 + cos u

=

y

f(v)

1 +x

f(v)

=y

f(v) + x=

y

x+√x2 + y2

Con lo que

u = z tan−1 y

x+√x2 + y2

Por lo tanto, si u 6= π, u es una funcion continua de (x, y, z).

Usando el procedimiento, inmediatamente anterior, pero con cot u2y u

en un intervalo pequeno alrededor de π, se obtiene

u = 2 cot−1 y

−x+√x2 + y2

ası que, u es una funcion continua de (x, y, z). Esto muestra que α−1 escontinua y completa, la verificacion del ejemplo.

§ 2.5. Superficie regular de dimension k ok−superficie

El concepto de superficie regular admite, sin ningun tipo de complicacion,una generalizacion a dimensiones mas altas, pero aun manteniendo unespacio ambiente:

Definicion 2.5.1 Un subconjunto M ⊆ Rn es una superficie regular dedimension k o simplemente una k−superficie regular si para cada p ∈M,existe un conjunto abierto V de p en Rn y una funcion

x : U ⊆ Rk → V ∩M,

de un abierto U de Rk en V ∩M tales que



(a) x es un homeomorfismo diferenciable;

(b) la diferencial, (dx)q : Rk → Rn, es inyectiva para todo q ∈ U.

El par (U, x) recibe el nombre de parametrizacion de M alrededor p;como tambien a x(U) se le dice una vecindad coordenada de p.

Observaciones

Sea M es una k−superficie y p ∈M.

(a) En la practica, se dice que (U, x) es una parametrzacion de M enp indicando las coordenadas de U en Rk que se van a usar, porejemplo, (U, x) es una parametrizacion de M en p con coordenadasx1, · · · , xk.

(b) Como cada punto de p ∈ M esta una vecindad coordenada de M,entonces existe una familia de parametrizaciones F = (Ui, ϕi),tal que ⋃

i

ϕi(Ui) =M

y a la familia F se le conoce con el nombre de Estructura dife-renciable para M.

Ejemplo 2.5.1 La imagen de una funcion diferenciable es unak−superficie regular. En efecto, sea Ω un conjunto abierto de Rk yf : Ω → Rm una funcion diferenciable. Entonces la imagen de f es elconjunto:

Im(f) =(x1, · · · , xk, f1(x), · · · , fm(x)) : x = (x1, · · · , xk) ∈ Ω

,

y como se observa ϕ : Rk → Im(f) dada por

ϕ(x1, · · · , xk) = (x1, · · · , xk, f1(x), · · · , fm(x))

es diferenciable con inversa diferenciable y ϕ(Rk) = Im(f). Esto es Im(f)es una k−superficie regular con una sola parametrizacion.

Ejemplo 2.5.2 La esfera de dimension n. Sea M = Sn, la esfera deradio 1, dada por

Sn = (x1, · · · , xn, xn+1) : x21 + · · ·+ x2n + x2n+1 = 1

y se construira una biyeccion f de la siguiente manera: Se proyectan lospuntos de la esfera desde el polo norte sobre Rn ≈ Rn × 0, entoncesa cada punto de la esfera le corresponde un punto sobre Rn, con ex-cepcion del polo norte y a cada punto de Rn le corresponde un puntosobre la esfera y solo uno. Esta correspondencia se denomina proyeccionestereografica (ver, Figura 2.8, caso n = 2).


2.5. SUPERFICIE REGULAR DE DIMENSION K O K−SUPERFICIE 49

•

·

•

Y

N

P

Figura 2.8, caso n = 2

La proyeccion estereografica se puede expresar analıticamente como si-gue: sea N = (0, · · · , 1) (polo norte); se conecta cualquier punto Y =(y1, · · · , yn, 0) de Rn con N por medio de una recta y se observa que estarecta corta a la esfera Sn en un unico punto P = (x1, · · · , xn, xn+1).

La ecuacion de la esfera es

x21 + · · ·+ x2n + x2n+1 = 1. (2.9)

Como los puntos N,P y Y son colineales se debe tener→NP = t

→NY para

algun numero real t 6= 0, de donde

x1 = ty1, x2 = ty2, · · · , xn = tyn, xn+1 = 1− t,

y1 =x1t, y2 =

x2t, · · · , yn =

xnt, 1− xn+1 = t,

como x21 + · · · + x2n + x2n+1 = 1 se obtiene que t = 2/(1 + y21 + · · · + y2n).Luego la proyeccion esterografica es la funcion

f : Rn −→ Sn −N; f(y1, · · · , yn) = (ty1, · · · , tyn, 1− t),

y su funcion inversa f−1 es

f−1 : Sn − N −→ Rn

dada por la formula

f−1(x1, · · · , xn+1) =1

1− xn+1

(x1, · · · , xn).

Para cubrir el polo norte, se hace necesario proyectar desde otro puntode la esfera, por ejemplo, desde el polo sur, esto es, si S = (0, · · · , 0,−1)



y P = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn, con P 6= S, entonces la proyeccion desde elpolo sur esta dada por

g : Rn −→ Sn −S; g(y1, · · · , yn) = (ty1, · · · , tyn, t− 1).

con t = 2/(1 + y21 + · · ·+ y2n). Ademas

g−1 : Sn −S−→ Rn; g−1(x1, · · · , xn+1) =

1

1 + xn+1

(x1, · · · , xn).

Tomando V1 = Rn = V2, entonces la coleccion(V1, f), (V2, g)

satisface

(b) S2 = f(V1) ∪ g(V2),

(a) f y g son homeomorfismos (y ademas diferenciables)

(c) Inmediatamente se tiene que d f |q y d g|q son 1-1 para todo q ∈ Rn.

Ademas, se oserva que si f(V1)∩g(V2) = Sn−N,S

= W es no vacıo y

es un conjunto abierto en la Topologıa de subespacio sobre Sn, tambienf−1 g esta dada por

f−1 g(y1, · · · , yn) =1

y21 + · · ·+ y2n(y1, · · · , yn)

que es una funcion diferenciable de Rn−(0, · · · , 0)

sobre Rn−

(0, · · · , 0)

.

Esta propiedad se trata en la siguiente seccion.

§ 2.6. Cambio de parametro

En la mayorıa de los casos los puntos de una superficie regular estanen varias parametrizaciones o vecindades coordenadas, por ejemplo, es-to sucede en el caso de la esfera S2. Cada punto del interior del primeroctante pertenece, por lo menos, a dos vecindades coordenadas. Por lotanto, se hace necesario que los puntos de una superficie no dependande la escogencia de una parametrizacion. Esto es, si un punto p de unasuperficie esta en dos vecindades coordenadas se debe tener un procedi-miento para pasar de una parametrizacion a la otra. Esto es aseguradopor la siguiente proposicion.

Teorema 2.6.1 (Cambio de parametro) Sea p un punto de una k−superficieregular M, y sean x : U ⊆ Rk →M, y : V ⊆ Rk →M dos parametriza-ciones de M en p tal que p ∈ x(U) ∩ y(V ) = W. Entonces el cambio decoordenadas

h = y−1 x : x−1(W ) → y−1(W )

es un difeomorfismo (ver Figura 2.9). Esto es h es diferenciable y tienefuncion inversa h−1 diferenciable.


2.6. CAMBIO DE PARAMETRO 51

x y

h = y−1 x

W

x−1(W ) y−1(W )

U V

x(U) y(V )

M

R

Rk−1

R

Rk−1

Figura 2.9

De esta forma x = y h e y = x h−1.

Demostracion. Es una aplicacion del Teorema de la Funcion Inversa.En efecto, h = y−1 x es un homeomorfismo, ya que es compuesta dedos homeomorfismos. Situacion que no se puede concluir, por argumentoanalogo, que h sea diferenciable, ya que y−1 no necesariamente esta defi-nida en un subconjunto abierto de algun RN y aun no se conoce cual esel significado de una funcion diferenciable sobre M.

El procedimiento es como se muestra a continuacion. Sean r ∈ x−1(W )y q = h(r). Si

(u1, · · · , uk) ∈ V ⊆ Rk, (v1, · · · , vn) ∈ Rn

y sea

y(u1, · · · , uk) = (v1(u1, · · · , uk), · · · vn(u1, · · · , uk))

una parametrizacion deM, entonces la diferencial de y en cualquier puntode su dominio tiene rango k y por lo tanto, se puede asumir, renombrandolos ejes si es necesario, que

∂(v1, · · · , vk)∂(u1, · · · , uk)

(q) 6= 0.

Se extiende y a la funcion F : V × Rn−k → Rn definida por (por como-didad se escribe u = (u1, · · · , uk)):

F (u1, · · · , uk, tk+1, · · · , tn) = (v1(u), · · · , vk(u), vk+1(u)+tk+1, · · · , vn(u)+tn),



donde (u1, · · · , uk) ∈ V, ti ∈ R. Es claro que F es diferenciable y que larestriccion F |V×0 = y, y por un calculo simple, se obtiene

det dFq =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂v1∂u1

· · · ∂v1∂uk

0 · · · 0

......

......

∂vk∂u1

· · · ∂vk∂uk

0 · · · 0

∂vk+1

∂u1· · · ∂vk+1

∂uk1 · · · 0

......

......

∂vn∂u1

· · · ∂vn∂uk

0 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣q

=∂(v1, · · · , vk)∂(u1, · · · , uk)

(q) 6= 0.

En estas condiciones es posible entonces aplicar el Teorema de la FuncionInversa, que garantiza la existencia de un par de conjuntos abiertos V1de y(q) en Rn y V2 de q × 0 en Rn tal que F es un difeomorfismo.

Por la continuidad de x, existe un conjunto abierto U1 de r ∈ V tal quex(U1) ⊆ V1. Notese que, sobre U1, h|U1 = F−1 x|U1 es una composicionde funciones diferenciables. De esta manera, se puede aplicar la regla dela cadena para concluir que h es una funcion diferenciable en r : Como res arbitrario, entonces h es diferenciable sobre x−1(W ).

El mismo argumento se le puede aplicar para demostrar que h−1 es unafuncion diferenciable y ası h es un difeomorfismo. ♦X

Observaciones

SeaM una k−superficie contenida en Rn y F = (Ui, ϕi) una estructuradiferenciable sobre M.

(a) Si (Ui, ϕi) y (Uj, ϕj) son elementos de F con p ∈ ϕi(Ui)∩ϕj(Uj) =W, entonces el teorema de cambio de parametro dice que

h = ϕ−1i ϕj : ϕ−1

i (W ) → ϕ−1j (W )

es un difeomorfismo. Es decir, si las coordenadas de (Ui, ϕi) y(Uj, ϕj) son x1, · · · , xk y y1, · · · , yk respectivamente, entonces h serepresenta por las funciones

y1 =y1(x1, · · · , xk)...

yk =yk(x1, · · · , xk)(2.10)

y para cada q en el dominio de h,

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

6= 0.


2.7. SUPERFICIES OBTENIDAS POR VALORES REGULARES 53

(b) La prueba del teorema de cambio de parametro, garantiza que paracada una de las parametrizaciones (Ui, ϕi), existe un subconjuntosabiertos de la forma Ui × Rn−k del espacio euclideo Rn y una fun-cion Fi : Ui × Rn−k → Rn tal que Fi es un difeomorfismo de unavecindad abierta de ϕ−1

i (p) ∈ Ui×Rn−k sobre una vecindad abiertade p ∈ M ⊆ Rn, con Fi

∣∣Ui

= ϕi. Lo que indica que cada ϕ−1i es

diferenciable.

(c) A la familia (Vi, ψi), donde Vi = ϕi(Ui) y ψi = ϕ−1i , se conoce un

atlas para M y al par (Vi, ψi) una carta.

(d) En general se puede trabajar con atlas o estructura diferenciable,o bien, con parametrizaciones o cartas, siempre que exista la sufi-ciente claridad de la forma como se desea trabajar.

§ 2.7. Superficies obtenidas por valores regulares

Definicion 2.7.1 Una funcion diferenciable

F : A ⊂ Rn → Rm

definida en un conjunto abierto A de Rn se dice que tiene en p ∈ A unpunto critico si dFp : R

n → Rm no es sobreyectiva. La imagen F (p) ∈ Rm

de un punto critico se llama valor critico. Un punto de Rm se dice valorregular si no es un valor critico.

La teminologıa se motiva desde el caso particular en que f : A ∈ R → R

es una funcion de valor real en una variable real. Un punto p ∈ A escritico si f ′(p) = 0, esto es, la diferencial dfp envia todo vector de R encero, lo que implica que la dfp no es sobreyectiva. Tambien notese quecualquier a 6∈ f(A) es trivialmente un valor regular.

Si f : A ⊂ Rn → R es una funcion diferenciable y p = (p1, · · · , pn),entonces la diferencial dfp aplicado al vector ei = (0, · · · , 0, xi, 0, · · · , 0)se obtiene calculando el vector tangente en f(p) a la curva

xi → f(p1, · · · , pi−1, xi, pi+1, · · · , pn)

y entonces

dfp(ei) =∂f

∂xi(p),



Se concluye que la matriz asociada con dfp relativo a la base

e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)

es dada por

dfp =( ∂f∂x1

, · · · , ∂f∂xn

)p

Notese, por lo menos en este caso, que la dfp no es sobreyectiva es equi-valente a que

∂f

∂x1(p) = · · · = ∂f

∂xn(p) = 0

Por lo tanto, a ∈ f(A) es un valor regular de f : A ⊂ R3 → R si y solo si

∂f

∂xi6= 0, para algun i = 1, · · · , n

en cada uno de los puntos de la imagen inversa

f−1(a) = (x1, · · · , xn) ∈ A : f(x1, · · · , xn) = a.

De igual manera, si f = (f1, · · · , fm) : A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A es unvalor regular de f (con lo que n ≥ m), p ∈ f−1(a) e indicando con

q = (x1, · · · , xk, y1, · · · , ym) ∈ Rn=m+k,

entonces si a es un valor regular de f implica dfp es sobreyectia, con loque se puede suponer (haciendo una reordenacion de las variables si esnecesario) que

∂(f1, · · · , fm)∂(y1, · · · , ym)

(p) 6= 0,

ya que el rango de de la diferencial de f en p es m.

Teorema 2.7.1 Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion diferenciable ya ∈ f(A) es un valor regular de f, entonces f−1(a) es una superficieregular de dimension k = n−m.

Demostracion. Sea p ∈ f−1(A). Se hace la siguiente notacion

x = (x1, · · · , xk), y = (y1, · · · , ym), a = (a1, · · · , am)(x, y) = (x1, · · · , xk, y1 · · · , ym)

y f(x, y) = (f1(x, y), · · · , fm(x, y)) denota a la funcion f.

Como a es un valor regular de f. se asume, reordenando los ejes si esnecesario, que

∂(f1, · · · , fm)∂(y1, · · · , ym)

(p) 6= 0



en p. Se define la funcion F : A ⊂ Rn → Rn por

F (x, y) =(x1, · · · , xk, f1(x, y), · · · , fm(x, y)

),

entonces

det(dFp) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 · · · 0 0 · · · 0...

......

...0 · · · 1 0 · · · 0∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xk

∂f1∂y1

· · · ∂f1∂ym

......

......

∂fm∂x1

· · · ∂fm∂xk

∂fm∂y1

· · · ∂fm∂ym

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∂(f1, · · · , fm)∂(y1, · · · , ym)

(p) 6= 0

El teorema de la funcion inversa garantiza la existencia de conjuntosabiertos U de p y V de F (p) tal que F : U → V es un difeomorfismo. Ysigue que F−1 : V → U tambien es un difeomorfismo y tiene la forma

F−1(x1, · · · , xk, t1, · · · , tm) = (x1, · · · , xk, g(x1, · · · , xk, t1, · · · , tm)),

donde (x, t) = (x1, · · · , xk, t1, · · · , tm) ∈ V y

g(x1, · · · , xk, t1, · · · , tm) = (g1(x, t), · · · , gm(x, t))

Se denota la funcion proyecion de Rn sobre Rk por π, esto es π(x, y) = x.

Ahora, cualquier punto (x, y) ∈ f−1(a) ∩ U tiene la forma

(x, y) =F−1 F (x, y) = F−1(x1, · · · , xk, f(x, y))=F−1(x, a) = (x, g(x, a))

(2.11)

con x en el abierto π(U) de Rk. Sea h(x) = g(x, a), entonces

f−1(a) ∩ U = (x, h(x)) : x ∈ π(U) = grafh ∩ U (2.12)

Lo que muestra que f−1(a)∩U es una carta local de p, por ser la graficade una funcion diferenciable y po lo tanto cualquier punto p ∈ f−1(a) sepuede cubrir con una carta local; ası f−1(a) es una superficie regular. ♦X

Ejemplo 2.7.1 El elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

es una superficie regular ya que es el conjunto f−1(0) donde

f(x, y, z) =x2

a2+y2

b2+z2

c2− 1



es una funcion diferenciable y 0 es un valor regular de f. puesto que lasderivadas parciales

fx =2x

a2, fy =

2y

b2, fz =

2z

c2

que se anulan simultaneamente en el punto (0, 0, 0), que no esta en f−1(0).Este ejemplo incluye la esfera como un caso particular cuando a = b =c = 1.

Ejemplo 2.7.2 (El Toro)

(a) El toro se puede realizar especificando las orientaciones de pega-miento de los lados opuestos de un rectangulo, como se muestra enla Figura 2.10.

Figura 2.10

(b) El toro de revolucion T 2. Sea S1 la circunferencia en el planoyz con centro (0, a, 0). Entonces S1 tiene por ecuacion cartesiana

(y − a)2 + x2 + z2 = r2, (r < |a|).

Los puntos de la figura obtenida al rotar este circulo alrededor deleje z recibe el nombre de toro de revolucion y se denota con T 2.Como en la Figura 2.11 y observese AB =

√r2 − z2;

x

y

z

P = (x, y, z)

O

AB

r

r

Figura 2.11

O

x

y

A

B

•

OA = a, AB =√r2 − z2



con lo que se deduce

OB = OA+ AB = a+√r2 − x2

por lo tanto,

x2 + y2 = (a+√r2 − z2)2

y despejando r2 se tiene

r2 = z2 + (√x2 + y2 − a)2. (2.13)

Por lo tanto, T 2 es la imagen inversa de de r2 bajo la funcion

f(x, y, z) = z2 + (√x2 + y2 − a)2 (2.14)

Esta funcion es diferenciable para (x, y) 6= (0, 0), y como

fx =2x(√x2 + y2 − a)√x2 + y2

, fy =2y(√x2 + y2 − a)√x2 + y2

, fz = 2z,

r2 es un valor regular de f. Y queda demostrado que el toro T 2 esuna superficie regular.

(c) Un sistema de parametrzaciones. El Toro de revolucion T 2 sepuede pensar como una superficie generada al rotar una cirunferen-cia de radio r > 0 alrededor de una lınea recta que esta en el planoque contiene la circunferencia y la recta esta a una distancia a > rdel centro de la circunferencia (ver Figura 2.12).

Sr

u0 x

y

z

C

C

a

v

Figura 2.12

A continuacion se procede a calcular un sistema de parametriza-ciones del toro T 2. En efecto, supongase que la circunferencia S harotado un angulo u manteniendo su centro sobre la circunferenciaC, como muestra la Figura 2.13



S

r

u0x

y

z

C

av(x, y, z)

r cos vFigura 2.13

primero, se observa que

z = r sen v (2.15)

y en segundo lugar, cuando S se ha rotado con centro en C unangulo u, en el plano x0y, se forma un triangulo como el que sepresenta en la Figura 2.14

x

yu

a+ r cos v

Eje x

Eje y

Figura 2.14

y por lo tanto:

x = (a+ r cos v) cos u, y = (a+ r cos v) senu

donde 0 < u < 2π, 0 < v < 2π. Por lo tanto, si

U =(u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, 0 < v < 2π

y

α(u, v) = ((a+ r cos v) cos u, (a+ r cos v) sen u, r sen v)

Con (u, v) ∈ U, entonces α es una representacion local del toro.

Ahora se debe mostrar que (U, α) es una parametrizacion local deltorro T 2.

La condicion (a) se observa facilmente ya que las componentesde α en U son de clase C∞.


2.8. FUNCIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES 59

Para mostrar la condicion (c) procedemos ası

∥∥∥∥∂α

∂u× ∂α

∂v

∥∥∥∥ =∥∥∥

∣∣∣∣∣∣∣

i j k

−(a+ r cos v) sen u (a+ r cos v) cos u 0−r sen v cos u −r sen v sen u r cos v

∣∣∣∣∣∣∣

∥∥∥

=‖(−r(a+ r cos v) cosu cos v,−r(a+ r cos v) cos v sen u,

− r(a+ r cos v) sen v)‖=r2(a+ r cos v)2

La ultima expresion es diferente de cero para todo u ∈ (0, 2π),ya que r > 0 y a > r. Esto prueba la condicion (c).

Para probar que α es 1-1. Primero se observa que sin u =zr; Tambien si

√x2 + y2 < a, entonces π

2≤ u ≤ 3π

2, y si√

x2 + y2 ≥ a, entonces 0 < u ≤ π2o 3π

2≤ u < 2π. Ası dado

(x, y, z), u se determina de manera unica para 0 < u < 2π. Alconocer u, x, y se puede encontrar cos v y sin v. Esto determinaa v, de manera unica si 0 < v < 2π, luego α es 1− 1.

Ahora se puede observar inmediatamente que el toro T 2 se puedecubrir por 3 parametrizaciones similares.

Ejemplo 2.7.3 Una prueba relativamente simple de que

Sn = (x1, · · · , xn) : x21 + · · ·+ x2n = 1 ⊂ Rn+1

es una superficie regular es como sigue: sea f : Rn+1 → R definida con

f(x1, · · · , xn) = x21 + · · ·+ x2n.

Como f−1(1) = Sn y como x = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn, entonces x 6= 0 ypara algun i = 1, · · · , n+ 1

∂f

∂xi= 2xi 6= 0

con lo que 1 es valor regular de f, por lo tanto Sn es una superficieregular.

§ 2.8. Funciones diferenciables entre superficies

En esta seccion se extiende la nocion de funciones diferenciables asuperficies regulares.



Definicion 2.8.1 Sean Mm y Nn superficies regulares. Entonces unafuncion f : M → N se dice diferenciable en p ∈ M si dada una para-metrizacion (Uj, ϕj) en f(p), existe una parametrizacion (Ui, ϕi) en p talque f(ϕi(Ui)) ⊆ ϕj(Uj) y la funcion

ϕ−1j f ϕi : Ui → Uj (2.16)

es una funcion diferenciable (ver, Figura 2.15).

La funcion ϕ−1j f ϕi recibe el nombre de expresion de f en coordena-

das respecto a las parametrizaciones (Ui, ϕi) y (Uj , ϕj); su dominio es elconjunto Ui.

ϕi

ϕ−1j f ϕi

Ui

f

·ϕi(p) ϕj(f(p))

·

·

Mϕi(Ui)

·p

Uj

ϕj

ϕj(Uj)N

Rm Rn

Figura 2.15

Esta definicion esta bien hecha ya que es independiente del sistema decoordenadas escogidas para p y f(p). En efecto, sean (U ′

i , ϕ′i) y (U ′

j, ϕ′j);

otras parametrzaciones con p ∈ ϕ′i(U

′i) y f(ϕ

′i(U

′i)) ⊆ ϕ′

j(U′j). Entonces

ϕ′−1

j f ϕ′i = (ϕ′−1

j ϕj) (ϕ−1j f ϕi) (ϕ−1

i ϕ′i)

es compuesta de funciones diferenciables. Por lo tanto, ϕ′j f ϕ′ −1

i esdiferenciable.

Sean M y N superficies regulares de la misma dimension. Entonces unafuncion biyectiva f :M → N tal que f y f−1 son funciones diferenciablesse llama un difeomorfismo y las dos superficies se dicen difeomorfassi existe un difeomorfismo de una a la otra; las superficies son necesaria-mente de la misma dimension.

§ 2.9. Ejercicios

1. Tomaru =

x

3− y

4, v =

x

3+y

4


2.9. EJERCICIOS 61

para encontrar una parametrizacion que cubra el paraboloide hperboli-co

x2

9− y2

16= z

2. ¿Cuales de las siguientes superficies cuadricas son regulares?

a) z =x2

a2+y2

b2, (a, b > 0). ( Praboloide)

b)x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1, (a, b, c > 0). ( Hiperboloide de una

hoja )

c)z2

c2− x2

a2− y2

b2= 1, (a, b, c > 0). ( Hiperboloide de dos

hojas )

d) x2 + y2 = a2z2, (a > 0). ( Cono circular )

3. A cada una de las superficies cuadricas regulares del punto 2 en-contrarles dos estructuras diferenciables.

4. Probar que cada conjunto abierto de una k−superficie es una k−superficie.

5. Hallar la superficie de revolucion que se obtiene al girar alrededorde la recta x = y = z la curva de ecuaciones y = x2, x + y = 0.Encontrar un sistema de parametrizaciones.

6. Sea T : R3 → R3 invertible, probar entonces que T envia superficiesregulares en superficies regulares.

7. Probar que si Mm y Nn son superficies regulares, entonces M ×Nes una (n+m)−superficie.

8. Probar que todo espacio vectorial de dimension finita n, es unan−superficie.

9. Probar que T n = S1×S1×· · ·×S1, llamado toro plano n−dimensionales una n−superficie regular.

10. Probar que S2 × S3 es una 5−superficie regular. Encontrar unaestructura diferenciable para esta superficie.

11. Demostrar que el espacio de todas las matrices de tamano n×n esuna n2−superficie.

12. SeaGl(n), el conjunto de todas las matrices invertibles con entradasreales. Demostrar que Gl(n) es una n2−superficie.

13. Sea 0(n), el conjunto de todas las matrices ortogonales, esto es, elconjunto de las matrices de tamano n×n que satisfacen la ecuacionA× At = I, donde I es la matriz identidad. Probar



a) 0(n) es unan(n− 1)

2−superficie regular.

b) 0(n) ⊆ Sn × · · · × Sn, (n−factores de Sn).

14. ¿Son las matrices simetricas de tamano n× n una superficie regu-lar?. Justificar la respuesta.

15. ¿Son las matrices anti-simetricas de tamano n × n una superficieregular?. Justificar la respuesta.

16. Sea T : Sn → Sn definida por T (x) = −x (funcion antipodal).Demostrar que T es un difeomorfismo de Sn sobre Sn.

17. Sea A una transformacion lineal de Rn y b ∈ Rn. Demostrar que lafuncion T : Rn → Rn dada por T (x) = Ax+ b es un difeomorfismode Rn si y solo si A es no- singular.

18. Banda de Mobius. Una forma de definir esta superficie es comosigue: se considera una circunferencia S1 dada por x2 + y2 = 9 yun segmento abierto AB dado en el plano yz por y = 3, |z| < 1. Sehace mover el centro C de AB a lo largo de S1 y se va girando ABalrededor C en el plano CZ de tal manera que si c ha recorrido unangulo u, entonces AB tenga una rotacion de un angulo de u

2como

se muestra en la siguiente Figura 2.17.

A

A

B

B

Cu

u2

C

x

y

z

D

0

E

Figura 2.17

Observese que, cunando C complete una vuelta alrededor de S1,AB ha regresado a su posicion inicial con los puntos extremos in-vertido. La superficie ası obtenida recibe el nombre de Banda deMobius.

Sia E = (x, y, z) es un punto de la Banda de Mobius y v la distanciadel punto (x, y, z) sobre AB al centro AB. Entonces

(a) Bajo estas condiciones, calcular una estructura diferenciablepara la Banda de Mobius.


2.9. EJERCICIOS 63

(b) Como la banda de Mobius se cubre con la imagen de dos pa-rametrizaciones, calcular entonces, dominio, imagen y el de-terminante Jacobiano de la funcion de cambio de parametro.

19. El espacio proyectivo real RP2. Se indica con RP2 al conjuntode todas las rectas de R3 que pasan por el origen 0 = (0, 0, 0); estoes, RP2 es el conjunto de todas las direcciones de R3. Introduciruna estructura diferenciable para RP2.

Sugerencia. Considerar (x1, x2, x3) ∈ R3 y observar que RP2 es elespacio cociente [

R3 − 0]/ ∼,

donde ∼ esta definida por

(x1, x2, x3) ∼ (λx1, λx2, λx3), λ ∈ R, λ 6= 0;

indicar los puntos de RP2 por [(x1, x2, x3)] y si xi 6= 0,

[x1, x2, x3] =[1,x2x1,x3x1

], x1 6= 0

[x1, x2, x3] =[x1x2, 1,

x3x2

], x2 6= 0

[x1, x2, x3] =[x1x3,x2x3, 1], x3 6= 0

y definir en RP2 los subconjuntos V1, V2 V3 por

Vi =[x1, x2, x3] : xi 6= 0

, i = 1, 2, 3.

Usar estos conjuntos para proporcionar una estructura diferenciablea RP2 y encontrar las funciones de cambio de parametro.

20. Generalizar el problema anterior a RPn, es decir, proporcionar unaestructura diferenciaciable al espacio de todas las rectas que pasanpor el origen de Rn+1




Capıtulo 3

Vectores tangentes, camposvectoriales y orientacion


Se presentaran los conceptos de vectores tangentes, campos vectoria-les sobre una n−superficie de manenra introductoria y luego orientacionsobre superficies y su relacion con los campos vectoriales. Estos temasfundamentales en el estudio de la Geometrıa t Topologıa de superficies yvariedades.

§ 3.2. Vectores tangentes

Para presentar la definicion de vector tangente sobre una superficie quepermita manipularlo como un operador diferencial, primero se hace latraduccion de lo que sucede en Rk a esta terminologıa.

(a) Caso Rk. Sea α : (−ε, ε) → Ω ⊆ Rk una curva regular en elconjunto abierto Ω con α(0) = p, entonces

α(t) = (α1(t), · · · , αk(t)),por lo tanto,

α′(0) =(dα1

dt(0), · · · , dαk

dt(0))= (v1, · · · , vk) = v ∈ Rk;

sea f una funcion a valor real derivable en Ω, entonces se puederestringir f a la curva α y ası

d

dt

(f α

)∣∣∣t=0

=n∑

i=1

∂f(α(t))

∂xi

∣∣∣t=0

d

dtαi(t)

∣∣∣t=0

=n∑

i=1

vi∂f

∂xi

∣∣∣∣p

esta ultima expresion por Calculo elemental en Rn es la derivadadireccional de f en direccion del vector v en el punto p, que sedenota con

f ′(v, p), o v(f)|p.

65

66 CAPITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION

Se observa que v actua como un operador sobre el espacio vectorialde las funciones diferenciables. Especıficamente, si f es una funciondiferenciable sobre un conjunto abierto de p en Rn, entonces v asig-na a f el numero real v(f) que es la derivada direccional de f enla direccion de v en el punto p. Esto es,

v(f) =d

dt

(f α

)∣∣∣t=0

= v1∂f

∂x1

∣∣∣∣p

+ · · ·+ vk∂f

∂xk

∣∣∣∣p

(3.1)

Observaciones

Al presentar a Ω como una superficie regular, la parametrizacionnatural es (Ω, i) donde i : Ω → Ω es la funcion identidad i(x1, · · · , xk) =(x1, · · · , xk) para toda (x1, · · · , xk) ∈ Ω, por lo tanto se tienen cadauna de las siguientes afirmaciones triviales

(1) si e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , ek = (0, · · · , 0, 1), entonces

e1 =∂i

∂x1

∣∣∣∣p

, · · · , ek =∂i

∂xk

∣∣∣∣p

;

es decir cada ej, elemento basico de Rk, vectores tangente enp, se encuentra derivando parcialmente la parametrizacion enp respecto al parametro xj del sistema de coordenada, queomitiendo la parametrizacion y el punto p, por ser obvio queestan presentes, se escribe

e1 =∂

∂x1, · · · , ek =

∂

∂xk;

(2) los operadores basicos dados en la parte (1), actuan de lasiguiente forma

ej : C∞(Ω) → R

es el operador diferencial que para toda f ∈ C∞(Ω)

ej(f) =∂

∂xj(f) =

∂f

∂xj, j = 1, · · · , k;

(3) la accion del vector v se se escribe como

v(f) =[v1

∂

∂x1+ · · ·+ vn

∂

∂xn

](f)

con lo que

v = v1∂

∂x1+ · · ·+ vn

∂

∂xn(3.2)

y ∂/∂xj actua como la derivada respecto a xj del sistema decoordenadas;


3.2. VECTORES TANGENTES 67

(4) la operacion del vector v sobre funciones diferenciables satis-face dos propiedades importantes

v(f + λg) = v(f) + λv(g)

v(fg) = g(p)v(f) + f(p)v(g),(3.3)

donde f y g son funciones diferenciables alrededor de p. y λes un numero real. La primera propiedad dice que v actualinealmente sobre funciones diferenciables y la segunda diceque v satisface la regla del producto o regla de Leibniz. Loque proporciona que cada vector tangenta, en subconjuntosabiertos no vacios de Rk, se puedan ver como una derivacion.Estas observaciones motiva la definicion de vector tangentesobre una superficies regulares como derivadas direccionales obien derivaciones sobre funciones diferenciables.

(b) Caso superficies regulares. Sea Mm una superficie regulary U un conjunto abierto en M, entonces el conjunto de todas lasfunciones de clase C∞ definidas sobre U, C∞(U), es un algebraconmutativa sobre R con las opraciones de suma, producto porescalares y producto entre funciones como en los cursos de Calculoy se denota por C∞(U).

Sea ahora α : (−ǫ, ǫ) → M una curva diferenciable, llamada unacurva diferenciable sobreM. Se supone que α(0) = p ∈M, el vectortangente a la curva α en t = 0, y por lo tanto a M, es la funcion(realmente operador diferenciable) α′(0) : C∞(U) → R dada por

α′(0)f =d

dt

(f α

)∣∣∣t=0. (3.4)

Un vector tangente en p ∈ M es el vector tangente en t = 0 dealguna curva α : (−ǫ, ǫ) → M con α(0) = p. El conjunto de todoslos vectores tangentes a M en p se denota con TpM.

Se espera pues, que se mantengan las propiedades observadas encaso de Rk; en efecto, se escoge una parametrizacion (U, x) en p =x(0), y se puede entonces expresar la curva α y la funcion f enterminos de esta parametrizacion, para q = (x1, · · · , xk) ∈ U

x−1 α(t) = (x1(t), · · · , xk(t)).

Por lo tanto, usando regla de la cadena,

α′(0)f =d

dt

(f α

)∣∣∣t=0

=d

dt

(f x(x1(t), · · · , xk(t))

)∣∣∣t=0

=k∑

i=1

x′i(0)∂(f x)∂xi

∣∣∣0

(3.5)



como de costumbre, tomando el operador

ei =∂

∂xi=

∂x

∂xi

∣∣∣0: C∞(U) → R, f → ∂F

∂xi(3.6)

donde F = f x. se puede escribir

α′(0)f =k∑

i=1

x′i(0)∂

∂xi(f) =

[ k∑

i=1

x′i(0)∂

∂xi

](f) (3.7)

de donde

α′(0) =k∑

i=1

x′i(0)∂

∂xi(3.8)

Observaciones

(1) El vector∂

∂xies el vector tangente en p ∈ M a la curva

coordenada (ver Figura 3.1)

xi → x(0 · · · , 0, xi, 0, · · · , 0).

xi

xn ∂

∂xi

p

0 M

x

•

•

Figura 3.1

(2) La expresion 3.8 demuestra que el vector tangente a una curvaα en p solo depende de las derivadas de un sistema de coor-denadas

(3) La expresion 3.8 tambien demuestra que el conjunto TpM,con las operaciones usuales entre funciones, forma un espaciovectorial.

(4) Al escoger una parametrizacion (U, x) alrededor de p ∈M, in-mediatamente se determina un conjunto de vectores tangenteen p, ∂

∂x1, · · · , ∂

∂xk



que generan a TpM. Este conjunto resulta tambien linealmen-te independiente, para ver esto, basta tomar una combinacionlineal igualadas a cero y hacerla actuar sobre cada funcioncoordenada para obtener que los coeficientes de dicha combi-nacion son todos nulos. Por lo tanto

∂

∂x1, · · · , ∂

∂xk

(3.9)

forma una base para TpM.

(5) Es inmediato que la estructura lineal de TpM no depende dela parametrizacion x.

(6) Tambien se observa que 3.8 proporciona las caracterısticas na-turales de que cada vector tangente es un operador diferencialde C∞(U) en R.

3.2.1. La diferencial en superficies regulares

Sean Mm y Nn superficies regulares y sea ϕ : M → N una funciondiferenciable. La diferencial ϕ∗ (o dϕ) de ϕ en p ∈ M es la funcion (verFigura 3.2)

ϕ∗ : TpM → Tϕ(p)N

u ϕ∗u

R

M p ϕ ϕ(p) N

f ϕ f

Figura 3.2: Diferenciabilidad

definida de la siguiente forma: sean u ∈ TpM y f ∈ C∞(N), entonces

ϕ∗(u)(f) = u(f ϕ) o dϕ(u)(f) = u(f ϕ).

Para que esta definicion quede bien hecha se debe demostrar que ϕ∗(u)es un vector tangente de N en ϕ(p). Esto es, se debe demostrar que lafuncion ϕ∗(u) : C

∞(N) → R es lineal y satisface la regla del producto.Sean u, v ∈ TpM y λ, µ ∈ R. Entonces de la definicion de suma devectores tangentes,

ϕ∗(λu+ µv)(f) = (λu+ µv)(f ϕ) = λu(f ϕ) + µv(f ϕ) = λϕ∗u(f) + µvϕ∗(f)



lo que muestra la linealidad. Para ver que satisface del producto, seanf, g ∈ C∞(N), entonces

ϕ∗(u)(fg) =u((fg) ϕ

)= u[(f ϕ) · (g ϕ)]

=g(ϕ(p))u(f ϕ) + f(ϕ(p))u(g ϕ)=g(ϕ(p))ϕ∗(u)(f) + f(ϕ(p))ϕ∗(u)(g).

Lo que termina la demostracion.

El caso especial N = R, es importante y proporciona la justificaciondel uso del termino Diferencial.

u ϕ∗u

R

M p ϕϕ(p)

N = R

f

Figura 3.3: Diferencial, caso particular

Si ϕ : M → R es diferenciable y f ∈ C∞(R), entonces se tiene pordefinicion de diferencial que (ver Figura 3.3):

[dϕ(u)](f) = u(f ϕ).

Como superficie regular, R tiene asociada la unica parametrizacion (R, id)donde id es la funcion identidad con una sola componente. AdemasTϕ(p)N = Tϕ(p)R es uni-dimensional, y por lo tanto dϕ(u) y ∂/∂x (enR) son linealmente dependientes y ası

u(f ϕ) = [dϕ(u)](f) = k∂

∂x(f)

donde k ∈ R. Tomando f(x) = id(x) = x se tiene u(ϕ) = k, por lo tanto,

[dϕ(u)](f) = u(ϕ)∂

∂x(f),

es decir, la unica componente del vector dϕ(u) es u(ϕ). Con lo que sepuede establecer entonces un isomorfismo natural entre Tϕ(p)N y R iden-tificando cada vector tangente con su unica componente; con lo que seescribe

dϕ(u) = u(ϕ). (3.10)



Teorema 3.2.1 Sean M, N, P superficies regulares y ϕ : M → N,ψ : N → P funciones diferenciables. Entonces para cualquier p ∈M

ψ∗ ϕ∗ = (ψ ϕ)∗.

Se recuerda que por notacion ϕ∗ = dϕ. Ademas que ϕ∗ toma valor en p,ψ∗ en ϕ(p) y (ϕ ψ)∗ en p (ver Figura 3.4)

u ϕ∗u

R

M p ϕϕ(p)

N

ψP

f

ψ(ϕ(p))

ψ∗(ϕ∗(u))

Figura 3.4: Compuesta de Diferenciales

Demostracion. Sean p ∈ M, u ∈ TpM y f ∈ C∞(P ), (Figura 3.4),entonces por definicion de una funcion diferenciable

ψ∗(ϕ∗(u))(f) = ϕ∗(u)(f ψ) = u(f ψ ϕ) = (ψ ϕ)∗(u)(f).

Luegoψ∗ ϕ∗ = (ψ ϕ)∗

Lo que termina la demostracion. ♦X

3.2.2. Inmersiones, submersiones y encajes

Definicion 3.2.1 Sea Mm y Nn superficies regulares.

(a) Una funcion diferenciable ϕ :M → N es una inmersion si

dϕp : TpM → Tϕ(p)N

es inyectiva para todo p ∈M, en cuyo caso m ≤ m.

(b) Si ϕ, ademas de satisfacer (a) es un homeomorfismo sobre ϕ(M) ⊆N, donde ϕ(M) se considera con la topologıa de de subconjunto,se dice que ϕ es un encaje.

(c) Una funcion ψ :M → N es una submersion si

dψp : TpM → Tψ(p)N

es sobreyectiva para todo p ∈M en cuyo caso m ≥ n.



Ejemplo 3.2.1 La funcion ϕ : R → R3 dada por

ϕ(t) = (t3 − 4t, t2 − 4), t ∈ R

es una inmersion que posee una autointerseccion para t = ±2, Figura2.16, por lo tanto no es un encaje ni submersion.

Figura 2.16

3.2.3. Espacio cotangente

De nuevo se considera una superficie regularM de dimension k y unaparametrizacion (U, x) con sistema de coordenadas (x1, · · · , xk) de unpunto p ∈M con x(p) = 0, entonces una base para TpM asociada a estaparametrizacion es

∂

∂x1, · · · , ∂

∂xk

.

Cada vector ∂/∂xi es una derivacion de la forma

f → ∂(f x)∂xi

, con f ∈ C∞(M).

Como

df( ∂∂xi

)=

∂

∂xi(f) =

∂(f x)∂xi

.

entonces se puede tomar f como la funcion coordenada xi = πi x, y porlo tanto, su expresion en coordenadas, xi x−1(x1, · · · , xk) = xi con loque

dxi( ∂

∂xj

)=∂xi∂xj

= δij,

por lo tanto, la base dual de

∂∂x1, · · · , ∂

∂xk

esdx1, · · · , dxk

en (TpM)∗

que se denotara con T ∗pM y para cada punto de U. El espacio T ∗

pMse conoce como espacio cotangente en el punto p. Ası, un vectorcotangente tiene la forma

ω =k∑

i=1

ai(p) dxi∣∣p, p ∈ U (3.11)



o simplemente, cuando no existe confusion

ω =k∑

i=1

ai dxi, p ∈ U (3.12)

se puede escribir

ω =k∑

i=1

ω( ∂∂xi

)dxi. (3.13)

En particular,

1. si f :M → R es una funcion diferenciable, entonces

df =k∑

i=1

df( ∂

∂xi

)dxi =

k∑

i=1

∂

∂xi(f) dxi =

k∑

i=1

∂(f x)∂xi

dxi.

2. Si u = (u1, · · · , uk) entonces

df(u) =k∑

i=1

∂(f x)∂xi

dxi(u) =k∑

i=1

ui∂(f x)∂xi

.

3. Como TpM y T ∗pM son espacios vectoriales de dimension finita y

con igual dimension, son algebraicamente isomorfos.

3.2.4. Fibrado tangente y cotangente

Sean M una k−superficie y TM el conjunto

TM =(p, u) : p ∈M y u ∈ TpM

, (3.14)

entonces TM recibe el nombre de fibrado tangente de M. De igualmanera, el conjunto T ∗M es

T ∗M =(p, u) : p ∈M y u ∈ T ∗

pM, (3.15)

entonces T ∗M recibe el nombre de fibrado cotangente de M.

Se demostrara que TM y T ∗M son 2k−superficies.

Teorema 3.2.2 TM y T ∗M son superficies regulares de dimension 2k.

Demostracion. Se demostrara con detalle que TM es una superficieregular de dimension 2k. En efecto, sea (p0, u0) ∈ TM, entonces p0 ∈My u0 ∈ TpM, por lo tanto, existe una parametrizacion de M, (Ui, ϕi), conp0 ∈ Vi = ϕi(Ui) y con sistema de coordenadas (x1, · · · , xk). Se considerala proyeccion π : TM →M definida por π(p, u) = p, y tambien

π−1(Vi) =(p, u) : p ∈ Vi

.



Sea (p, u) ∈ π−1(Vi), entonces p tiene coordenadas (x1, · · · , xk) es decirϕ−1i (p) = (x1, · · · , xk)

y u es de la forma

u =k∑

i=1

ai∂

∂xi.

La funcion βi : ϕ−1i (Vi)× Rk ⊆ R2k → π−1(Vi) definida por

βi(x1, · · · , xk, a1, · · · , ak) = (p, u)

es una funcion inyectiva del abierto ϕ−1i (Vi) × Rk sobre el subconjunto

abierto π−1(Vi) de R2k.

Se toman los conjuntos π−1(Vi) como las vecindades coordenadas sobreTM y las biyecciones apropiadas (ϕ−1

i (Vi) × Rk, βi) forman unsistemade parametrizaciones cuyas imagenes cubren a TM. Para demostrar estaafirmacion se debe probar la compatibilidad de las parametrizaciones.En efecto, sea (Uj, ϕj) otra parametrizacion para M con Vj = ϕj(Uj)tal que p ∈ Vi ∩ Vj y con sistema de coordenadas (yi) (i = 1, · · · , k) ypor lo tanto, las (xi) (y sus derivadas) se relacionan con las (yi) ( y susderivadas) difeomorficamente. Entonces (p, u) ∈ π−1(Vi ∩ Vj),

u =k∑

i=1

ai∂

∂xi=

k∑

j=1

bj∂

∂yj

y como ∂/∂xi se puede expresar en terminos de ∂/∂yi, esto es,

∂

∂xi=

k∑

j=1

cj∂

∂yj,

calculando esta expresion en yk (k = 1, · · · , n) se obtiene

∂

∂xi=

k∑

j=1

∂yj∂xi

∂

∂yj

de donde

bj =k∑

i=1

ai∂yj∂xi

Como cada ∂yj/∂xi es una funcion diferenciable de xi, entonces cada bjes una funcion diferenciable de (a1, · · · , ak, x1, · · · , xk) y puesto que losyi son funciones diferenciables de las xi, se concluye que las coordenadas

(x1, · · · , xn, a1, · · · , ak) y (y1, · · · , yn, b1, · · · , bk)estan relacionadas difeomorficamente. Con lo que TM es una superficieregular de dimension 2k.

La demostracion de que T ∗M es una superficie regular de dimension 2kes paso a paso similar, por lo tanto se deja como ejercicio.

♦X


3.3. CAMPOS VECTORIALES SOBRE K−SUPERFICIES 75

§ 3.3. Campos vectoriales sobre k−superficies

SeaM una k−superficie de Rn y TM su fibrado tangente. Un campovectorial X sobre M es una funcion

X :M → TM : p→ X(p) = Xp ∈ TpM.

El campo se dice diferenciable si la funcion X :M → TM es diferencia-ble. Al considerar una parametrizacion (U, x) de M, centrada en p ∈M,con funciones de coordenadas x1, · · · , xn es posible escribir el campo Xen esta parametrizacion

X(p) =k∑

i=i

X ip

∂

∂xi(3.16)

donde cada X i : U → R con X i : p→ X ip es una funcion en U y ∂

∂xies la

base asociada con X, (i = 1, 2, · · · , k). Es claro que X es diferenciable siy solo si las funciones X i son funciones diferenciables para alguna (porlo tanto, para toda) parametrizacion.

Como cada campo vectorial se comporta tambien como una derivacionX : D → F del conjunto D de las funciones diferenciables en M en elconjunto F de las funciones en M, definidas por

(Xf)(p) = Xp(f) =k∑

i=1

X ip

∂F

∂xi

∣∣∣0

(3.17)

donde F = f x es la expresion de f en la parameteizacion (U, x). Es in-mediato verificar que, la funcion Xf en 3.17 no depende de la escogenciade la parametrizacion.

Se observa que si ϕ : M → M es un difeomorfimo y f : M → R unafuncion diferenciable en una vecindad de ϕ(p), entonces

[dϕ(v)](f)∣∣∣ϕ(p)

= v(f ϕ)∣∣∣p

o dϕ(v)f(ϕ(p)) = v(f ϕ)(p) (3.18)

En efecto, sea α : (−ε, ε) →M una curva diferenciable tal que α(0) = p,v = α′(0). Entonces

[dϕ(v)](f)∣∣∣ϕ(p)

=d

dt(f ϕ α)

∣∣∣p= v(f ϕ)

∣∣∣p

3.3.1. Curvas integrales y flujo local

Como una k−superficie es localmente difeomorfa a un Rk, el Teore-ma fundamental de existencia, unicidad y dependencia de las condicionesiniciales de las ecuaciones diferenciables ordinarias, que es un Teorema lo-cal, se extiende naturalmente a las k−superficies. Es necesario enunciarlo



explicitamente para usarlo posteriormente. ver por ejemplo [??????], pag..

Sea X un campo vetorial diferenciable sobre una k−superficie M ysea p ∈ M. Entonces existen una vecindad U ⊆ M de p, un intervalo(−δ, δ), δ > 0 y una funcion diferenciable ϕ : (−δ, δ)×U →M tales quela curva

t→ ϕ(t, q), t ∈ (−δ, δ), q ∈ U

es la unica curva que satisface

∂ϕ

∂t= X(ϕ(t, q))

con ϕ(0, q) = q.

Una curva α : (−δ, δ) → M que satisface la condicion α′(t) = X(α(t))con α(0) = q se llama trayectoria o curva integral del campo X quepasa por el punto q cuando t = 0.

Tambien se garantiza que por cada punto de cierta vecindad pasa unaunica curva integral del campo vectorial X; la funcion ası obtenida de-pende diferenciablemente t y de la condicion inicial q. Es comun utilizarla notacion ϕt(q) = ϕ(t, q) y llamar ϕt : U →M el flujo local de X.

Ademas, existe δ > 0 tal que

(a) ϕs ϕt = ϕt ϕs = ϕs+t (|s| < δ, |t| < δ, |s+ t| < δ),

(b) ϕr(ϕsϕt) = (ϕrϕs)ϕt = ϕr+s+t, (|r| < δ, |s| < δ, |t| < δ, |r + s+ t| < δ),

(c) ϕ0 es la funcion identidad,

(d) ϕ−1t = ϕ−t.

La prueba de (a) y (b) se obtienen como aplicaciones directa del Teoremafundamental de existencia, unicidad y dependencia de las condiciones ininiciales de las ecuaciones diferenciales ordinarias, (c) es inmediato y (d)se deducen de (a).

Finalmente, esta coleccion de transformaciones ϕt se conoce como el gru-po local 1−parametrico del campo X.

3.3.2. Corchete de Lie

La interpretacion de un campo vectorial X sobre una variedad dife-renciable como un operador diferenciable en D permite considerar itera-ciones de X. Por ejemplo, se X e Y son campos vectoriales sobre unak−superficie, M y f : M → R es una funcion diferenciable, se puedeconsiderar para cada p ∈M, Xp(Y f) y Yp(Xf). En general, estas opera-ciones no conducen a campos vectoriales por que contienen derivadas deorden dos, pero el siguiente Lema proporciona una salida.


3.3. CAMPOS VECTORIALES SOBRE K−SUPERFICIES 77

Lema 3.3.1 Sea X, Y campos vectoriales diferenciables sobre una k−superficieM. Entonces existe un unico campo vectorial Z sobreM tal que, para todof ∈ D y para cada p ∈M,

Zpf = Xp(Y f)− Yp(Xf).

Demostracion.Primero se demuestra la unicidad bajo el supuesto que existe. Por lotanto, sea p un punto de M y (U, x) con cordenadas (x1, · · · , xn) unaparametrizacion de M centrada en p ∈ U.

(a) Unicidad. Si

X =∑

i

X i ∂

∂xi, Y =

∑

j

Y j ∂

∂xj

las expresiones de X e Y en esta parametrizacion. Entonces paratodo f ∈ D, con expresion en coordenadas F = f x y omitiendoel punto p, se tiene,

XY f =X(∑

j

Y j ∂F

∂xj

)=∑

i,j

X i∂Yj

∂xi

∂F

∂xj+∑

i,j

X iY j ∂2F

∂xi∂xj

Y Xf =Y(∑

i

X i ∂F

∂xi

)=∑

i,j

Y j ∂Xi

∂xj

∂F

∂xi+∑

i,j

X iY j ∂2F

∂xi∂xj.

(3.19)

Por lo tanto, Z, en esta parametrizacion, esta dado por

Z(f) =XY f − Y Xf =∑

i,j

(X i∂Y

j

∂xi

∂F

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

∂F

∂xi

)

=∑

i

∑

j

(Xj ∂Y

i

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

)∂F∂xi

(3.20)

Con lo que

Zi =∑

j

(Xj ∂Y

i

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

)(3.21)

(b) Existencia. Se define Zα en cada vecindad coordenada Uα de laestructura diferenciable (Ui, xi) de M por la expresion anterior.Por la unicidad, Zi = Zj en xi(Ui) ∩ xj(UJ) 6= ∅, lo que permitedefinir Z en toda la variedad M.

♦XDefinicion 3.3.1 [Corchete de Lie]. Sean X < Y campos vectorialesdiferenciables sobre una k−superficie M. Se define el campo vectorial[X, Y ], lamado Corchete de Lie de X e Y por

[X, Y ]p(f) = Xp(Y f)− Yp(Xf)

para todo p ∈M y toda funcion diferenciable f :M → R.



3.3.3. Propiedades del corchete de Lie

La operacion corchete de Lie tiene las siguientes propiedades

Proposicion 3.3.1 Sean X, Y y Z campos vectoriales diferenciables so-bre una k−superficie M, a, b ∈ R y sean f, g : M → R funciones dife-renciables , entonces

(a) Anticonmutatividad

[X, Y ] = −[Y,X].

(b) Linealidad

[aX + bY, Z] = a[X,Z] + b[Y, Z]

(c) Identidad de Jacobi

[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ] = 0

(d) [fX, gY ] = fg[X, Y ] + fX(g)Y +−gY (f)X.

Demostracion. Son inmediato (a) y (b). Para demostrar (c), se observaque

[[X, Y ], Z] =[XY − Y X,Z] = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X

[[Y, Z], X] =[Y Z − ZY,X] = Y ZX − ZY X −XY Z +XZY

[[Z,X], Y ] =[ZX −XZ, Y ] = ZXY −XZY − Y ZX + Y XZ

al sumar estas igualdades miembro a miembro y usando (a) se concluye(c).

Finalmente, se demuestra (d)

[fX, gY ] =fX(gY )− gY (fX) = fgXY + fX(g)Y − gfY X − gY (f)X

=fg[Y, Y ] + fX(g)Y − gY (f)X

♦X

§ 3.4. Superficies orientables

Dos sistemas de coordenadas (xi), (yi) en Rn se dicen consisten-temente orientadas o simplemente consistentes si el Jacobiano delcambio de parametro

∂(y1, · · · , yn)∂(x1, · · · , xn)

es positivo en donde este definido.


3.4. SUPERFICIES ORIENTABLES 79

1. En R2 los sistemas coordenados relacionados por

y1 = x1 cos θ + x2 sen θ, y2 = −x1 sen θ + x2 cos θ,

es decir, relacionados por una rotacion, son consistentes.

2. En R2 el sistema de coordenadas relacionados por

y1 = x1, y2 = −x2,

es decir, relacionados por una reflexion, no son consistentes.

Definicion 3.4.1 Una k−superficie regular se dice orientable si poseeuna estructura diferenciable tal que para cualquier par de parametriza-ciones (U, x), (V, y) en donde x(U) ∩ y(V ) = W 6= ∅, los sistemas decoordenadas asociados (xi), (yi) son consistentes, es decir, la funcion decambio de coordenadas

y−1 x : x−1(W ) → y−1(W )

tal que (x1, · · · , xk) → (y1, · · · , yk) se verifica que

det d(y−1 x) = ∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

> 0

en cada punto x−1(W ).

Dos estructuras diferenciables tal que cualquier parametrizacion de laprimera estructura se relaciona por un determinante jacobiano negativocon cualquier parametrizacion de la otra se dice que tienen orientacionopuesta para la superficie. Una estructura consistentemente orientada sepuede obtener de un atlas con orienteacion opuesta cambiando el signode una coordenada en particular, por ejemplo, cambiando el signo enla primera coordenada en cada sistema de coordenadas o tomando unapermutacion impar en cada sistema.

Cada una de las superficies:

Rk, k = 1, 2, · · · ,

subconjuntos abiertos de Rk,

imagen de una funcion diferenciable f : U → Rm, U subconjuntoabierto de Rk,

se pueden cubrir por una sola carta y por lo tanto son orientables.

El Teorema que sigue demuestra que, toda n−superficie orientableimplica que para cualquier par de parametrizaciones (U1, x) (U2, y) eldeterminante Jacobiano del cambio de parametro tiene el mismo signosobre toda la interseccion U1 ∩U2. Situacion que resulta de gran utilidadpara demostrar que algunas variedades no son orientables.



Teorema 3.4.1 Sea M una k−superficie orientable, entonces para todopar de parametrizaciones (U1, x) y (U2, y) de M con coordenadas (xi),(yi), respectivamente, U1 y U2 conexos, x(U1) ∩ y(U2) = W 6= ∅, implicaque

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

tiene el mismo signo sobre x−1(W ).

Demostracion. Como U1 y U2 heredan la orientacion de M, entoncesexiste una estructura diferenciable (Vi, ψi) sobre U1 para el cual el de-terminante Jacobiano es positivo sobre la interseccion de cualquier parde cartas. Entonces segun U1, que es conexo, es o no consistentementeorientado con el atlas (Vi, ψi) y

∂(x1, · · · , xk)∂(z1, · · · , zk)

es mayor o menor que cero en cada punto de U1 y en particular, en cadapunto de U1 ∩ U2, donde (zi) son las funciones de coordenadas para laparametrizacion (Vi, ψi) apropiada a los puntos en asunto. De la mismaforma,

∂(y1, · · · , yk)∂(z1, · · · , zk)

es mayor o menor que cero en cada punto de U1 ∩ U2 de acuerdo como(U2, y) sea consistente o de orientacion opuesta a la estructura diferen-ciable (Vi, ψi). Como

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

=∂(y1, · · · , yk)∂(z1, · · · , zk)

÷ ∂(x1, · · · , xk)∂(z1, · · · , zk)

entonces que∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

es positivo sobre U1 ∩U2 si (U1, x) y (U2, y) son ambos consistentementeorientados o ambos opuestamente orientados a (Vi, ψi); sera negativo so-bre todo U1 ∩U2 si la orientacion (U1, x) y (U2, y) con respecto a (Vi, ψi)son diferentes. ♦X

Ejemplo 3.4.1 Ahora, se esta en condiciones para presentar un ejemplode una 2−superficie que no es orientable, se trata de la famosa Bandade Mobius que se obtiene siguiendo la idea elemental que proporciona laconstruccion de un cilindro a partir de un rectangulo de papel y pegandodos lados paralelos, es decir, identificando estos lados. Se puede, porejemplo, dar una media vuelta a uno de estos lados en el proceso paraentonces obtener como resultado la Banda de Mobius.



Siguiendo la idea anterior, se puede definir la Banda de Mobius como elcociente X/ ∼, donde X es la banda

(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 2, −1 < y < 1

y ∼ es la relacion definida por (x, y) ∼ (z, w) si y solo si z = x + 2 yw = −y; con lo que (x, y) ∼ (x+ 2,−y) (ver, Figura 3.5),

1

−10 1 2·q

·p

πϕ1 ϕ2

Figura 3.5

tambien,

(−1,−1) ∼ (1, 1), (−1, 1) ∼ (1,−1), p ∼ q.

Sea π : X → X/ ∼ tal que π(x, y) sea la clase de equivalencia de(x, y) bajo la relacion ∼ . Entonces X/ ∼ se puede cubrir con la imagende dos parametrizaciones (U1, ϕ1) y (U2, ϕ2) donde

U1 =(x, y) : −1 < x < 1, −1 < y < 1U2 =(x, y) : 0 < x < 2, −1 < y < 1,

ϕ1 : U1 → X/ ∼ definida por ϕ1(x, y) = π(x, y), (x, y) ∈ U1. De igualmanera, ϕ2 es la funcion

ϕ2 : U2 → X/ ∼ .

definida tambien por ϕ2(x, y) = π(x, y),

Se puede escribir entonces

W = ϕ1(U1) ∩ ϕ2(U2) = π((−1, 1)× (−1, 1)

)∪ π((1, 2)× (−1, 1)

)

que es union de dos conjuntos abiertos disyuntos. Como los puntos de(0, 1)×(−1, 1) estan uno a uno relacionados con (1, 2)×(−1, 1), entonces

ϕ−12 ϕ1 :

((0, 1) ∪ (1, 2)

)× (−1, 1) → R2



dada por

ϕ−12 ϕ1(x, y) =

(x, y) si (x, y) ∈ (0, 1)× (−1, 1)(x− 2,−y) si (x, y) ∈ (1, 2)× (−1, 1)

claramente es una funcion diferenciable. Por lo tanto,

det d(ϕ1 ϕ−12 (x, y) =

1 si (x, y) ∈ (0, 1)× (−1, 1)

−1 si (x, y) ∈ (1, 2)× (−1, 1)

Lo que muestra que la Banda de mobius no es orientable.

Ejemplo 3.4.2 Una k−superficie que admite un atlas de dos parame-trizaciones (U1, x), (U2, y) para la cual U1 ∩ U2 es conexo, es orientable.

Demostracion. Se supone que las parametrizaciones (U1, x), (U2, y) tie-nen sistemas de coordenadas (xi, ) (yi) (i = 1, · · · , k). Entonces, comoU1 ∩ U2 es conexo,

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

tiene signo constante sobre U1 ∩ U2. Si el signo es positivo, entonces lossistemas de coordenadas son consistentes y la superficie es orientable. Siel signo es negativo, entonces los sistemas de coordenadas (x1, · · · , xk) y(−y1, · · · , yk) son consistentemente orientados y de nuevo la k−superficiees orientable. ♦X

Ejemplo 3.4.3 Como caso particular del ejemplo anterior se tiene quecada una de las esferas Sn, n = 1, 2, 3, · · · es una variedad orientable, yaque mediante la proyeccion esterografica Sn, para cada n = 1, 2, 3, · · ·admite un atlas con dos cartas y la interseccion de las dos vecindadescoordenadas es conexo.

Teorema 3.4.2 Sea M ⊆ Rn una superficie regular, de dimension m;si existen n − m campos vectoriales normales continuos v1, · · · , vn−m :M −→ Rn linealmente independientes en cada p ∈ M, entonces M esorientable.

Demostracion. Sea P el conjunto de todas las parametrizaciones ϕ :U0 → U ⊆M tales que

i) U0 es convexo, por ejemplo bolas centradas en el origen, y

ii) Para todo x ∈ U0, la matriz de tamano n× n,

Φ(x) =

[∂ϕ

∂x1(x), · · · , ∂ϕ

∂xm(x), v1(ϕ(x)), · · · , vn−m(ϕ(x))

]

cuyas columnas son los vectores indicados tiene determinante posi-tivo.



Para cada x ∈ U0, Note que Φ(x) es invertible ya que sus primerasm columnas forman una base paqra Tϕ(x)M y las restantes forman unabase pata el complemento ortogonal de ese subespacio en Rn. Como Φ(x)depende continuamente de x, su determinante no cambia de signo en elconjunto conexo U0.

Si para una cierta parametrizacion Φ(x) < 0 se puede cambiar el signode ϕ y obtener ϕ1 ∈ P , con la misma imagen U. Por lo tanto P es unatlas para M. Para demostrar que P es coherente, sean

ϕ : U0 → U, ψ : V0 → V

pertenecientes a P y p = ϕ(x) = ψ(x) ∈ U ∩V. Si (ψ−1 φ)′(x) = (Aij) =A, entonces

∂ϕ

∂xj(x) =

m∑

i=1

Aij∂ψ

∂yj(y).

Esto indica, en terminos de matrices, que Φ(x) = Ψ(y)×A, con A =(A 00 I

),

donde I indica la matriz identidad de orden n −m. Como detΦ(x) > 0y detΨ(x) > 0, resulta entonces que

0 < detA = detA = det(ψ−1 φ)′(x).

Y la demostracion se ha terminado. ♦X

Ejemplo 3.4.4 Sea U un subconjunto abierto de Rn y f : U −→ Rm unafuncion diferenciable con n ≥ m, entonces M = f−1(c) es una superficieorientable, si c es un valor regular de f, (dimM = n−m).

Solucion. En efecto, sea c = (c1, · · · , cm) entonces M ⊆ f−1i (ci) para

cada i = 1, · · · ,m. Ası, para cada p ∈ M y cada v ∈ TpM, sea λ :(−ǫ, ǫ) −→M un camino diferenciable, con λ(0) = p, λ′(0) = v entoncesfi(λ(t)) = ci para todo t y cada i = 1, 2, · · · ,m y por lo tanto,

0 = 〈grad fi(p) , λ′(t)〉 (i = 1, 2, · · · ,m)

lo que muestra que grad fi ⊥M. Ademas grad f ∈ C∞(M).

Como c es valor regular de f en cada punto p ∈M = f−1(c), la derivada

f ′p : R

n → Rm

es sobreyectiva. Por lo tanto, las m−filas de la matriz de f ′p son lineal-

mente independientes y esas filas son los vectores grad fi|p. Lo prueba elejercicio en virtud del Teorema anterio.



§ 3.5. Ejercicios

Vectores tangentes y campos vectoriales

1. Calcular una base para el espacio tangente TpM cuando

a) M = S2, p = (12, 12,√22)

b) M = (x, y, x2 + y2) : x, y ∈ R, p = (2, 0, 4)

2. Sea M una k−superficie, verificar entonces que TpM y T ∗pM son

k−superficies

3. Demostrar que si (U, ϕ) es una parametrizacion de una k−superficieM, con coordenadas x1, · · · , xk, entonces

[ ∂∂xi

,∂

∂xj

]= 0

sobre U.

4. Sea M una k−superficie. Demostrar que T ∗M es una superficieregular de dimension 2k.

5. Un campo vectorial se dice completo si el dominio de cualquiercurva integral se puede extender a todo R. Determinar si los camposvactoriales

a) X = −x2∂

∂x1+ x1

∂

∂x2,

b) X = (x1 − x2)∂

∂x1+ x2

∂

∂x2

son completos sobre R2

Orientacion

6. Demostrar que RP1, es decir el conjunto de todas las rectas quepasan por el origen de R2, es orientable.

7. Demostrar que el

M =(x1, x2, x3) ∈ R3 :

x21a2

+x22b2

+x23c2

= 1

con a > 0, b > 0 y c > 0 es orientable.

8. Demostrar que el toro T 2 de revolucion es orientable.

9. Demostrar que RP2, es decir, el conjunto de todas las rectas quepasan por el origen de R3, es


3.5. EJERCICIOS 85

a) una 2−superficie;

b) no orientable.

10. Probar que toda k−superficies que es difeomorfa a una superficieorientable es orientable.

11. Demostrar que el fibrado tangente de una k−superficie es orienta-ble.

12. Demuestrar que si una 2−superficie regular M de R3 contiene unaBanda de Mobius, entonces M no es orientable.

13. Usar campos vectoriales normales para dar otra demostracion dela no orientabilidad Banda de Mobius.




Capıtulo 4

Pequena introduccion alalgebra multilineal


En este capıtulo se revisaran algunos temas de Algebra Lineal y Mul-tilineal que ya de por sı son de gran interes en la Matematica y en latecnica. Ası que se presentaran los conceptos funciones multilineales, ten-sores sobre espacios vectoriales, espacios vectoriales de formas y elementovolumen entre otros necesarios para presentar resultados importantes delCalculo en varias variables y en k−superficies.

Todos los espacios vectoriales V,W,U usados en este capıtulo son dedimension finita y L(V ;W ) representa el espacio vectorial de todas lastransformaciones lineales T : V → W con las operaciones usuales entrefunciones.

§ 4.2. Una nota sobre espacio dual

Sea V un espacio vectorial real. Como es usual, V ∗ denotara el espaciovectorial dual de V, esto es, el espacio vectorial formado por todas lastransformaciones (o funcionales) lineales T : V → R. Ademas si e =ei : i = 1, ·, n es una base para V, es decir cualquier elemento de Ves combinacion lineal de estos elementos, entonces su base dual asociada(de V ∗) es e∗ = ej : j = 1, ·, n es tal que

ei(ej) =

1, si i = j

0, si i 6= j.

Se observa que si x = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ V, entonces ej(x) = xj esto es,ej actua como el funcional lineal proyeccion en la j−esima componente.

En la teorıa de tensores los elementos con superındices siempre estaranen el dual. por ejemplo

vi ∈ V ∗, uj ∈ U∗

87

88 CAPITULO 4. PEQUENA INTRODUCCION AL ALGEBRA MULTILINEAL

Ademas, observese que si v ∈ V, entonces

v =n∑

i=1

ei(v)ei

y para cada α ∈ V ∗,

α =n∑

i=1

α(ei)ei.

Empleando la convencion, en donde la suma esta invocada cuando unındice esta repetido inferior y superiormente, estas expresiones se con-vierten en

v = ei(v)ei y α = α(ei)ei.

Se puede enviar V en V ∗∗ = L(V ∗,R) en donde a cada v ∈ V se le asociav∗∗ ∈ V ∗∗, definido por v∗∗(α) = α(v) para todo α ∈ V ∗. En el caso enque V tiene dimension finita V ∗∗ y V tienen la misma dimension y comola funcion V → V ∗∗ es uno a uno es por lo tanto un isomorfismo. Poridentificacion se tiene que

ej(ei) = e∗∗j (ei) = ei(ej) =

1, si i = j

0, si i 6= j

§ 4.3. Algebra tensorial

Si V1, · · · , Vn son espacios vectoriales sobre un campo K, donde K = R

o K = C, existen muchas funciones

t : V1 × · · · × Vn → K

con caracterısticas muy especiales y de gran utilidad en la Matematicasegun el caso. En esta seccion se estudiara el caso cuando t es una funcionmultilineal, esto es, lineal en cada componente. En particular para n = 2,t debe satisfacer:

t(x1 + x2, y) = t(x1, y) + t(x2, y)

t(x, y1 + y2) = t(x, y1) + t(x, y2)

t(cx, y) = ct(x, y) = t(x, cy)

Para todo x, x1, x2 en V1 y todo y, y1, y2 en V2.Por comodidad este estudio se presentara sobre R (es decir cuando K =R). El conjunto de todas las funciones multilineales en V1×· · ·×Vn formanun espacio vectorial con suma y producto por escalares las naturalmentedefinidas entre funciones.


4.3. ALGEBRA TENSORIAL 89

4.3.1. Tensores covariantes y contravariantes

Definicion 4.3.1 Para un espacio vectorial V de dimension n, sea

T rs (V ) = Lr+s(V ∗, · · · , V ∗, V, · · · , V ;R)

r copias de V ∗ y s copias de V, el espacio vectorial de todas las funcionesmultilineales de la forma

t : V ∗ × · · · × V ∗︸︷︷︸

r-copias

×V × · · · × V︸︷︷︸s-copias

−→ R.

Los elementos de T rs (V ) se llaman tensores de tipo(rs

)sobre V, contra-

variante de orden r y covariante de orden s.

Definicion 4.3.2 (Producto tensorial) Sea V un espacio vectorial,si

t1 ∈ T r1s1 (V ) y t2 ∈ T r2s2 (V ),

el producto tensorial

t1 ⊗ t2 ∈ T r1+r2s1+s2(V )

esta dado por

t1 ⊗ t2(β1, · · · , βr1 , γ1, · · · , γr2 , f1, · · · , fs1 , g1, · · · , gs2)= t1(β

1, · · · , βr1 , f1, · · · , fs1)t2(γ1, · · · , γr2 , g1, · · · , gs2)

donde βj, γj ∈ V ∗ y f1, g2 ∈ V.

Reemplazando R por un espacio F se obtiene T rs (V ;F ), el espacio ten-sorial con valores en F de tipo

(rs

).

Ahora observese que el producto tensorial no es conmutativo y satisfacelas siguientes propiedades:

t1 ⊗ (t2 ⊗ t3) = (t1 ⊗ t2)⊗ t3,

(t1 + t2)⊗ t3 = t1 ⊗ t3 + t2 ⊗ t3,

t1 ⊗ (t2 + t3) = t1 ⊗ t2 + t1 ⊗ t3,

(ct1)⊗ t2 = c(t1 ⊗ t2) = t1 ⊗ (ct2)

para todo t1, t2, t3 tensores y c ∈ Rn. Ademas,

(a) T 01 (V ) = V ∗,

(b) T 10 (V ) = V ∗∗,

(c) T 02 (V ) = L(V ;V ∗)



Por convencion se toma T 00 (V ;F ) = F.

Teorema 4.3.1 Sea V un espacio vectorial tales que si ei : i = 1, · · · , nes una base para V, ej : j = 1, · · · , n su base dual para V ∗. Entoncesuna base para T rs (V ) esta dada por

ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs

∣∣ ik, jk = 1, · · · , n. (4.1)

En particular, T rs (V ) tiene una estructura de espacio vectorial con di-mension nr+s.

Demostracion.

Se debe demostrar que los elementos ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs deT rs (V ) son linealmente independientes y general a T rs (V ).

(a) Se supone una suma finita

ti1···ir j1···jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs = 0.

Entonces al aplicar esta ecuacion a (ek1 , · · · , ekr , el1 , · · · , els) y usan-do la identificacion ei(e

j) = ej(ei) se obtiene

ti1···ir j1···js = 0.

(b) Sea t ∈ T rs (V ). Si X1 = x1i1ei1 , · · · , Xr = xrire

ir en V ∗, y tomandotambien Y1 = y1j1ej1 , · · · , Ys = ysisejs en V, entonces

t(X1, · · · , Xr, Y1, · · · , Ys) =t(x1i1ei1 , · · · , xrireir , y1j1ej1 , · · · , ysjrejs)=t(ei1 , · · · , eir , ej1 , · · · , ejs) x1i1 · · · xriry1j1 · · · ysjs

Como

x1i1 · · · xriry1j1 · · · ysjs =ei1(X1) · · · eir(Xr)ej1(Y1) · · · ejs(Ys)=ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs(X1, · · · , Xr, Y1, · · ·Ys),

todo esto muestra que

t = t(ei1 , · · · , eir , ej1 , · · · , ejs) ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs . (4.2)

Lo que demuestra el Teorema. ♦XPor Teorema anterior, el espacio tensorial T rs (V ) tiene otra notacion masintuitiva dada por:

V ⊗ · · · ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ (4.3)

donde se presentan r copias de V y s copias de V ∗.


4.3. ALGEBRA TENSORIAL 91

§ Ejemplos

Ejemplo 4.3.1 Sean

e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)los vectores de la base canonica de Rn y ei, 1 ≤ i ≤ n base para (Rn)∗

dual a e1, · · · , en.Son

(02

)tensores sobre Rn :

t = e1 ⊗ en, t = e1 ⊗ e2 + 5e2 ⊗ en.

Un tensor de tipo(03

)es

t = en ⊗ e2 ⊗ e3

Por ultimo un tensor de tipo(12

)es

t = 2e1 ⊗ e1 ⊗ e2 + 4e2 ⊗ e1 ⊗ e1 + 6e3 ⊗ e2 ⊗ e3

Ejemplo 4.3.2

(a) Si t es un(02

)tensor sobre V, entonces t tiene componentes

tij = t(ei, ej),

es decir una matriz de tamano n × n. Esta es la forma usual deasociar una forma bilineal con una matriz. Por ejemplo, en R2 laforma bilineal

t(x, y) = Ax1y1 + Bx1y2 + Cx2y1 +Dx2y2

(donde x = (x1, x2) y y = (y1, y2)) esta asociada a la matriz(A BC D

)

(b) Si t es un(02

)tensor sobre R2, entonces tiene sentido decir que t es

simetrico sit(e1, e2) = t(e2, e1).

Esto es equivalente a decir que la matriz tij es simetrica. Un(02

)

tensor simetrico se puede recuperar de su forma cuadratica Q(e) =t(e, e) por

t(e1, e2) =1

4

[Q(e1 + e2)−Q(e1 − e2)

]

y t tiene como matriz asociada(A BB D

)

entonces Q(x) = Ax21 + 2Bx1x2 +Dx22



(c) En general, un(0s

)tensor simetrico se define con la condicion

t(v1, · · · , vs) = t(vσ(1), · · · , vσ(s))

para toda permutacion σ de 1, · · · , s, y para todos elementosv1, · · · , vs ∈ V. Se le puede asociar a t un polinomio homogeneo degrado k :

P (v) = t(v, · · · , v)

y como en el caso s = 2, P y t determina uno al otro. Tambien sepuede hacer una definicion similar para el caso de

(r0

)tensores. Es

claro que un tensor es simetrico si y solo si todas sus componentesen cualquier base son simetricos.

(d) Un producto interior 〈 , 〉 sobre V es un(02

)tensor y su matriz se

escribe generalmente con gij = 〈 ei, ej 〉. Ası gij es simetrico y defidopositivo. La matriz inversa se escribe con gij.

§ 4.4. Algebra exterior

Esta seccion trata fundamentalmente de un ejemplo importante detensores sobre espacios vectoriales, llamado tensores alternados que sonusados en muchos apartes de la Geometrıa Diferencial y en integracionsobre variedades. Sea V un espacio vectorial de dimension finita n sobreel campo F, un elemento

t ∈ T 0k (V ;F ) = Lk(V ;F );

es decir, una funcion k−lineal de V × · · · ×V → F se dice anti-simetricacuando

t(x1, · · · , xi, · · · , xj , · · · , xk) = −t(x1, · · · , xj , · · · , xi, · · · , xk).

para todo x1, · · · , Xk ∈ V. Esto es equivalente a decir que

t(x1, · · · , xk) = (sigσ)t(xσ(1), · · · , xσ(k)).

donde σ es cualquier elemento de Sk, el grupo de permutaciones de kelementos. El subespacio de Lk(V ;F ), formado por todos los elemen-tos anti-simetricos con valores en F, se denota con Λk(V ;F ) y recibeel nombre de k−formas exteriores con valores en F ; si el campo F esnaturalmente concebido, solo se dira k−formas exteriores o simplemen-te k−formas. Por definicion, Λ0(V ;F ) = F. Cuando F = R, se escribeΛ0(V ) = R Λ1(V ) = V ∗ y Λk(V ) al subespacio vectorial de Lk(V ;R)formado por los elementos que son anti-simetricos.


4.4. ALGEBRA EXTERIOR 93

Si v1, v2 · · · , vk son funcionales lineales se puede obtener un elementov1 ∧ · · · ∧ vk de Λk(V, F ) definido por

v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk(w1, · · · , wk) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

v1(w1) · · · v1(wk)v2(w1) · · · v2(wk)

... · · · ...vk(w1) · vk(wk)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

para todo w1, · · · , wk ∈ V.

La funcion de determinante implica que v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk es k−lineal yalternada y si vi = vj, entonces v1 ∧ · · · ∧ vk = 0.

Teorema 4.4.1 Sea e = (e1, · · · , en) una base para V y e∗ = (e1, · · · , en)base dual de e para V ∗, entonces

(a) ei ∧ ej = ei ⊗ ej − ej ⊗ ei.

(b) El conjunto

ei1 ∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n,

(4.4)

donde ij ∈ 1, 2, · · · , n, forma una base para Λk(V, F ).

(c) dimΛk(V ) =(nk

)

Demostracion. La parte (a) se obtiene de manera inmediata al apli-car la definicion de determinante de orden 2 × 2. Para demostrar (b)primero se observa que los elementos del conjunto dado son linealmenteindependientes ya que si

∑

i1<···<ik

Ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik = 0, ij ∈ 1, 2, · · · , n,

es aplicado a (ej1 , · · · , ejk), con j1 < · · · < jk y jl ∈ 1, 2, · · · , n seobtiene que

∑

i1<···<ik

Ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik(ej1 , · · · , ejk) = 0,

lo que implica que Ai1···ik = 0.

Para mostrar que el conjunto genera a Λk(V, F ), se considera f ∈ Λk(V, F )y sea ∑

i1<···<ik

f(ei1 · · · eik)ei1 ∧ · · · ∧ eik = g

entonces g ∈ Λk(V ;F ). Ademas,

g(ei1 , · · · , eik) = f(ei1 , · · · , eik),



para todo i1, · · · , ik. lo que forza que f = g. Haciendo f(ei1 , · · · , eik) =Ai1···ik se obtiene

f =∑

i1<···<ik

f(ei1 · · · eik)ei1 ∧ · · · ∧ eik . (4.5)

(c) es consecuencia inmediata de (b). ♦X

Si w es una k−forma lineal y ϕ una k−forma, es decir,

w =∑

i1<···<ik

ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik , ϕ =

∑

i1<···<ik

bi1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik , (4.6)

es natural tener el siguiente par de operaciones:

(a) La suma

w + ϕ =∑

i1<···<ik

(ai1···ik + bi1···ik)ei1 ∧ · · · ∧ eik , (4.7)

(b) El producto por escalares

αw =∑

i1<···<ik

α ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik , (4.8)

4.4.1. Producto exterior

Sean

w =∑

i1<···<ik

ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik , θ =

∑

j1<···<jk

bj1···jsej1 ∧ · · · ∧ ejs (4.9)

el producto exterior w ∧ θ, es la (k + s)−forma definida de lasiguiente manera: para entonces

w ∧ θ =∑

i1<···<ikj1<···<js

ai1···ikbj1···jsei1 ∧ · · · ∧ eik ∧ ej1 ∧ · · · ∧ ejs

Es inmediato verificar que la operacion de producto exterior goza de lassiguientes propiedades: w ∈ Λk(V ), ϕ ∈ Λs(V ) y θ ∈ Λr(V ), entonces

(w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ),w ∧ ϕ = (−1)ksϕ ∧ w,(cw) ∧ ϕ = c(w ∧ ϕ) = w ∧ (cϕ),

(w + ϕ) ∧ θ = w ∧ θ + ϕ ∧ θ, (si k = s),

w ∧ (ϕ+ θ) = w ∧ ϕ+ ϕ ∧ θ, (si s = r).


4.5. ACCION DE TRANSFORMACIONES LINEALES SOBRE TENSORES 95

El producto exterior ∧, junto con con las operaciones usuales entre fun-ciones, inducen en la suma directa

Λ(V ) = Λ0(V )⊕ Λ1(V )⊕ · · · ⊕ Λn(V ),

la estructura de algebra no conmutativa con elemento unidad, el 1 deΛ0(V ), llamada Algebra exterior o Algebra de Grassman deV ∗. y

dimΛ(V ) =

(n

0

)+

(n

1

)+ · · ·+

(n

n− 1

)+

(n

n

)= 2n

§ 4.5. Accion de transformaciones lineales sobretensores

Primero se observa un efecto que tienen las transformaciones linealessobre espacios vectoriales duales.

4.5.1. Traspuesta de una transformacion lineal

Si ϕ ∈ Hom(V,W ) la traspuesta de ϕ, denotada con ϕ∗ ∈ Hom(W ∗, V ∗)se define por: para todo β ∈ W ∗, ϕ∗(β) ∈ V ∗ y para v ∈ V

ϕ∗(β)(v) = β(ϕ(v)) o (ϕ∗(β), v) = (β, ϕ(v)).

Se analizara entonces la matriz de ϕ y de ϕ∗. Como es costumbre enalgebra lineal, los vectores en una base dada se representan por colum-nas cuyas entradas son las componentes del vector. Sean ϕ ∈ Hom(V,W )y v = (v1, · · · , vn), w = (w1, · · · , wm) bases ordenadas de V y W respec-tivamente. Como existen escalares Aai tales que

ϕ(vi) = Aaiwa

donde se colocan ındices diferentes en la sumatoria para no confundirsecon los ındices en W, entonces la matriz de ϕ es

A =(Aai)m×n =

A11 · · · A1

n...

...Am1 · · · Amn

El ındice superior proporciona el ındice de las filas y el ındice inferiorproporciona el ındice de las columnas.Tambien observese que si x = xivi ∈ V,

ϕ(x) = xiϕ(vi) = xiAaiwa,



las componentes de ϕ(x)a = Aai xi. Luego pensando x y ϕ(x) como vecto-

res columnas, esta formula muestra que ϕ(x) se calcula multiplicando ax a la izquierda por A, la matriz de ϕ, como en algebra Lineal Elemental,esto es,

ϕ(x) = A · x.Consecuentemente, ϕ(vi) representa la i-esima columna de la matriz deϕ.

Ahora se estudia la matriz de ϕ∗ ∈ Hom(W ∗, V ∗). En efecto, si v∗ =(v1, · · · , vn) y w∗ = (w1, · · · , wm) son las bases duales ordenadas de v yw respectivamente, entonces

ϕ∗(wa)(vi) = wa(ϕ(vi)) = wa(Abi wb) = Abi (wawb) = Abiδ

ab = Aai

Por lo tanto, ϕ∗(wa) en la base v∗ de V ∗ es

ϕ∗(wa) = Aai vi

En este caso, se observa que la variacion de los subındices en Aai es comosigue: el ındice superiore es el ındice de las columnas y el inferior es el delas filas, esto es, la matriz de ϕ∗ respecto a las bases v∗ y w∗ es

A11 · · · Amn...

...A1n · · · Amn

= At

donde t esta indicando traspuesta. Si β = βawa ∈ W, entonces

ϕ∗(β) = βaϕ∗(wa) = βaA

ai v

i.

La i-esima fila componente de ϕ∗(β) es igual βaAai. Observese que los

elementos en el dual se presentan como filas cuyas entradas son sus com-ponentes en la base dual, la conclusion inevitable en los calculos es queϕ∗(β) se calcula multiplicando β a derecha por A, la matriz de ϕ, otravez como en Algebra Lineal, esto es,

ϕ∗(β) = β · (Aai),

o bienϕ∗(β) = (Aai)

tβ

donde At indica la matriz traspuesta de A.

4.5.2. Pull-back y push-forward para tensores

Ahora, se puede trabajar el efecto que tienen las transformaciones linealessobre tensores.



Definicion 4.5.1 Sea ϕ ∈ Hom(V,W ),

(a) se define el pull-back (regreso) de ϕ : ϕ∗ ∈ Hom(T 0s (W ), T 0

s (V ))por

ϕ∗t(v1, · · · , vs) = t(ϕ(v1), · · · , ϕ(vs))donde t ∈ T 0

s (W ) y v1, · · · , vs ∈ V.

(b) Si ϕ es un isomorfismo, se define el push-forward (empuje) deϕ :

T 0s ϕ = ϕ∗ ∈ Hom(T 0

s (V ), T 0s (W ))

porϕ∗t(w1, · · · , ws) = t(ϕ−1(w1), · · · , ϕ−1(ws))

donde t ∈ T 0s (V ) y w1, · · · , ws ∈ W (ver, Figura 4.1).

ϕ∗ = push forward

ϕ∗= pull back

Objetos sobre V Objetos sobre W

ϕV W

Figura 4.1

La figura 4.1 proporciona la razon de los nombres de pull back (o tras-puesta) y push forward.

El push-forward y el pull back de ϕ se pueden presentar para tenso-res mixtos, en efecto, se empieza con el push-forward, si ϕ ∈ Hom(V,W )es un isomorfismo, entonces se define

T rsϕ = ϕ∗ ∈ Hom(T rs (V ), T rs (W )) (4.10)

se define por

ϕ∗t (w1, · · · , wr, w1, · · · , ws) = t (ϕ∗(w1), · · · , ϕ∗(wr), ϕ−1(w1), · · · , ϕ−1(ws))



para todo t ∈ T rs (V ), y todo wi ∈ W ∗, wj ∈ W. Tambien, Como lafuncion (ϕ−1)∗ actua enviando hacia “atras”, o traspone hacia atras, estees pull-back de ϕ y se denota con ϕ∗ (recuerde que la traspuesta de ϕcoincide con esta idea y este sımbolo). En tal caso y por definicion se debetener: para ϕ ∈ Hom(V,W ) un isomorfismo ϕ∗ ∈ Hom(T rs (W ), T rs (V ))si y solo si

ϕ∗t(v1, · · · , vr, v1, · · · , vs) = t(ϕ−1∗(v1), · · · , ϕ−1∗(vr), ϕ(v1), · · · , ϕ(vs))

Notese que T 01 ϕ = (ϕ−1)∗. Si V y W son de dimension finita entonces

T 10 (V ) = V ∗∗ ≈ V y T 1

0 (W ) = W ∗∗ ≈ W

ademas, en lo sucesivo se identifica ϕ con T 10 ϕ.

El Siguiente par de teorema aseguran que ϕ∗ y ϕ∗ son compatibles conla composicion y el producto tensorial. Su prueba es inmediata.

Teorema 4.5.1 Sean ϕ ∈ Hom(V,W ), ψ ∈ Hom(W,G). Entonces

(a) (ψ ϕ)∗ = ϕ∗ ψ∗.

(b) Si i : V → V es la identidad, entonces tambien lo es i∗ ∈ Hom(T 0s (V ), T 0

s (V )).

(c) Si ϕ es un isomorfismo, entonces tambien lo es ϕ∗.

(d) Si t1 ∈ T 0s1(W ) y t2 ∈ T 0

s2(W ), entonces ϕ∗(t1⊗t2) = ϕ∗(t1)⊗ϕ∗(t2).

Demostracion. Se demuestra (a) y se deja como ejercicio (b), (c) y (d).En efecto, bajo hipotesis

(ψ ϕ)∗t(v1, · · · , vs) =t(ψ ϕ(v1), · · · , ψ ϕ(vs))=t(ψ(ϕ(v1)), · · · , ψ(ϕ(vs)))=ϕ∗ ψ∗t(v1, · · · , vs)

Lo que termina la prueba. ♦X

Teorema 4.5.2 Sean ϕ : V → W, ψ : W → G isomorfismos. Entonces

(a) (ψ ϕ)∗ = ψ∗ ϕ∗.

(b) Si i : V → V es la identidad, entonces tambien lo es

i∗ : Trs (V ) → T rs (V ).

(c) ϕ∗ : Trs (V ) → T rs (V ) es un isomorfismo y (ϕ∗)

−1 = (ϕ−1)∗.

(d) si t1 ∈ T r1s1 (V ) y t2 ∈ T r2s2 (V ), entonces

ϕ∗(t1 ⊗ t2) = ϕ∗(t1)⊗ ϕ∗(t2).



Demostracion. Para demostrar (a), primero se observa que es un ejer-cicio de Algebra Lineal Basica verificar que la traspuesta de una compo-sicion de transformaciones lineales satisface (ψ ϕ)∗ = ϕ∗ ψ∗. Luego

ψ∗(ϕ∗ t)(f1, · · · , f r, g1, · · · , gs) =

= ϕ∗t(ψ∗(f 1), · · · , ψ∗(f r), ψ−1(g1), · · · , ψ−1(gs)

)

= t(ϕ∗ψ∗(f 1), · · · , ϕ∗ψ∗(f r), ϕ−1ψ−1(g1), · · · , ϕ−1ψ−1(gs)

)

= t((ψ ϕ)∗(f 1), · · · , (ψ ϕ)∗(f r), (ψ ϕ)−1(g1), · · · , (ψ ϕ)−1(gs))

)

= (ψ ϕ)∗ t(f 1, · · · , f r, g1, · · · , gs),

donde f 1, · · · , f r ∈ G∗, g1, · · · , gs ∈ G y t ∈ T rs (V ).

La parte (b) es una consecuencia inmediata de la definicion y el hechoque i∗ = i e i−1 = i. Para (c) observese que por (a) y (b) se tieneϕ∗ (ϕ−1)∗ = i∗, la identidad en T rs (W ); similarmente, (ϕ−1)∗ ϕ∗ = i∗la identidad en T rs (V ), y ası (c) es verdadero. Finalmente (d) es unaconsecuencia de la definicion. ♦X

§ Observaciones

Sean V y W espacios vectoriales (de dimension finita). Si ϕ : V → W esuna transformacion lineal con

vi : i = 1, · · · , n, wj : j = 1, · · · ,m

bases para V y W respectivamente y sus bases duales

vi : i = 1, · · · , n, wj : j = 1, · · · ,m

respectivamente. Entonces

(a) ϕ∗(wj)(v) = wj(ϕ(v)), es decir, ϕ∗ actua sobre elementos basicoscomo la traspuesta de ϕ.

(b) Si ϕ es un isomorfismo, entonces

ϕ∗(vi) = T 0

1 (vi) = (ϕ−1)(vi),

ya que por definicion

T 01 (v

i)(w) = vi(ϕ−1(w)) = (ϕ−1)∗vi(w)

(c) ϕ∗(vi) = T 10ϕ(vi) = ϕ(vi). Ya que de nuevo por definicion

T 10ϕ(vi)(w

∗) = vi(ϕ∗(w∗)) = ϕ∗∗(vi(w

∗)) = (ϕ(vi))(w∗)



(d) ϕ∗(wj) = ϕ−1(wj). Ya que

ϕ∗(wj)(v) = T 01ϕ

−1(wj)(v) = wj((ϕ−1)∗v) = (ϕ−1wj)v.

Ejemplo 4.5.1 Sobre R2 se toma la base estandar e1, e2. Si y t =e1 ∧ e2 y w = e1 ⊗ e2. Calcular ϕ∗t, ϕ∗w cuando ϕ : R2 → R2 con

ϕ(x, y) =

(2 11 1

)(xy

).

Solucion. Primero se observa que si

A =

(2 11 1

)

entonces,

A =

(2 11 1

)= At y A−1 =

(1 −1−1 2

)= (A−1)t,

con lo que

ϕ∗(e1) =

(2 11 1

)(10

)= 2e1 + e2,

y

ϕ∗(e2) =

(2 11 1

)(01

)= e1 + e2.

Por lo tanto,

ϕ∗t = ϕ∗(e1) ∧ ϕ∗(e2) = (2e1 + e2) ∧ (e1 + e2) = e1 ∧ e2.

Y como

ϕ∗(e1) = ϕ−1(e1) =

(1 −1−1 2

)(10

)= e1 − e2,

entonces

ϕ∗w = (e1 − e2)⊗ (e1 + 2e2) = e1 ⊗ e1 + e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 − e2 ⊗ e2.

§ 4.6. Ejercicios

1. Sea e = (1, 0, · · · , 0) e2 = (0, 1, 0, · · · , 0) en = (0, · · · , 0, 1) basepara Rn con base dual e1, · · · , en para (Rn)∗. Probar que

t = e1 ⊗ e1 + · · ·+ en ⊗ en

es un(02

)−tensor sobre Rn y que coincide con el producto interior

usual (o canonico) de Rn. ¿Cual es su representacion matricial?.


4.6. EJERCICIOS 101

a) T 10 (V )=V ∗∗ c) T 0

2 (V )=L(V, V ∗)

b) T 01 (V )=V ∗ d) T 1

1 (V )=L(V, V ∗∗)

2. Probar que todo producto interno sobre un espacio vectorial V esun(02

)−tensor sobre V.

3. Sea V un espacio vectorial de dimension finita n. Probar:

4. Sea V un espacio vectorial de dimension finita n. Si w ∈ Λk(V ),ϕ ∈ Λs(V ) y θ ∈ Λr(V ), entonces demostrar que

a) (w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ), d) w ∧ (ϕ+ θ) = w ∧ ϕ+ ϕ ∧ θ, (si s = r),b) (cw) ∧ ϕ = c(w ∧ ϕ) = w ∧ (cϕ), e) (w + ϕ) ∧ θ = w ∧ θ + ϕ ∧ θ, (si k = s),c) w ∧ ϕ = (−1)ksϕ ∧ w.

5. Probar que si v1, ..., vn son elementos de Rn, entonces el volumen delparalelepıpedo formado por estos y el origen, es decir, el volumende

p(0; v1, ..., vn) = v ∈ Rn : v = t1v1 + ...+ tnvn, t ∈ [0, 1]

es el valor absoluto del determinante la matriz cuyas columnas sonlas componentes de los vectores v1, ..., vn.

Sugerencia: usar integracion multiple bajo un cambio de coordena-das adecuado.

6. m-volumen: Sean a1, ..., am vectores linealmente independientesen Rn, m ≤ n. Probar que el m−volumen del paralelepıpedo, so-bre el m−espacio vectorial, formado por los a1, · · · , am y el origenesta dado por la siguiente formula

[vol(p(0; a1, ..., am))

]2= det

〈a1, a1〉 ... 〈a1, am〉

......

〈am, a1〉 ... 〈am, am〉

7. En el problema (6), se considera Rn con base canonica

e = e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · en = (0, · · · , 0, 1)

con base dual e∗ = e1, · · · en para[Rn]∗. Si Ω = a1 ∧ · · · ∧ am,

donde cada ai, i = 1, · · · ,m es el vector correspondiente a ai en



[Rn]∗ bajo el isomorfismo ϕ : Rn → [Rn]∗ dado por, si x = x1e1 +· · ·+ xnen ∈ Rn, entonces

ϕ(x) = x1e1 + · · ·+ xnen.

Probar entonces que

[vol(p(0; a1, · · · , am))]2 = Ω(a1, · · · , am),

donde Ω = a1 ∧ · · · ∧ am. Ω recibe el nombre de Elemento vo-lumen.

8. Bajo las hipotesis del ejercicio 7, probar

a1 ∧ · · · ∧ am(a1, · · · , am) =∑

i1<···<imdet

ai11 · · · aim1

ai1m · · · aimm

donde a1 = (a11, · · · , a1n), · · · am = (am1, · · · , amn) con m ≤ n.

9. Sean V, W y Q espacios vectoriales de dimension finita. Si ϕ : V →W y ψ : W → Q son transformaciones lineales, entonces probar

a) (ψ ϕ)∗=ϕ∗ ψ∗

b) Si t1 ∈ T 0s1(W ), t2 ∈ T 0

s2(W ), entonces

ϕ∗(t1 ⊗ t2) = (ϕ∗t1)⊗ (ϕ∗t2)

c) Sea e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) base usual de R3 y(e1, e2, e3) base dual para [R3]∗. Si ϕ : R3 → R3 esta dada por

ϕ(x, y, z) =

1 1 10 1 10 0 1

xyz

Calcular:

(i) ϕ∗(e1 ⊗ e2)

(ii) ϕ∗(e1 ⊗ e3)

(iii) ϕ∗(t) si t = e1 ∧ e2 + 2e1 ∧ e3

10. Sean V y W espacios vectoriales con bases ei : i = 1, · · · , n,wj : j = 1, · · · ,m con bases duales ei : i = 1, · · · , n, wj : j =1, · · · ,m respectivamente para V ∗ y W ∗.


4.6. EJERCICIOS 103

a) Expresar en funcion del producto tensorial la expresion e1 ∧(e2 ∧ e3).

b) Sean T ∈ Λk(W ) y ϕ : V → W una transformacion lineal.Demostrar

(i) ϕ∗(T ∧ S) = (ϕ∗T ) ∧ (ϕ∗S), ∀S ∈ Λr(W )

(ii) Si ϕ : V → V (transformacion lineal, dim V = n), enton-ces para cada T ∈ ∧n(V ) se tiene que ϕ∗T = (detϕ)T , enparticular

ϕ∗(e1∧· · ·∧en) = (ϕ∗e1)∧· · ·∧(ϕ∗en) = (detϕ)e1∧· · ·∧en

11. Sea V un espacio vectorial de dimension finita 2n. Sea e1, · · · , en, f1, · · · , fnuna base para V, con base dual e1, · · · , en, f 1, · · · , fn para V ∗. Si

ω = e1 ∧ f 1 + · · ·+ en ∧ fn

y se define

ωk = ω ∧ · · · ∧ ω︸︷︷︸k−factores

, (k = 1, 2, · · · , ).

Demostrar que

a) ei ∧ f i conmuta con ej ∧ f j,b) ωn = n! e1 ∧ f 1 ∧ · · · ∧ en ∧ fn




Capıtulo 5

Formas diferenciales sobresuperficies


La idea central de este capıtulo es presentar la formas diferencia-les sobre n−superficies para lugo hacer integracion sobre este tipo deobjetos y posteriormente obtener resultados geometricos. Sea Mn unan−superficie, entonces para cada punto p ∈ M, existe un espacio TpMde dimension n y su espacio dual T ∗

pM tambien es de dimension n. Ca-da vez que se toma un elemento de TpM (o en T ∗

pM) en cada puntop ∈M, se obtiene un campo vectorial (o covectorial) sobreM y tomandoproducto exterior en estos espacios se puede entonces definir un campovectorial de formas de caracter covariante o contravariante o mixto so-bre M. Este capıtulo estudiara de manera introductoria estos tipos decampos vectoriales, llamados formas diferenciales.

El proposito es extender las ideas elementales del Algegra Multilineala superficies regulares y con este argumento extender poseriormente losconceptos fundamentales del Calculo en Rn o mejor del Calculo Euclideoa estos objetos geometricos.

Se denota con

(a) Λ∗k(M) =

⋃

p∈MΛk(T

∗pM) (k−fibrado exterior sobre M)

(b) Λ∗(M) =⋃

p∈MΛ(T ∗

pM) (fibrado del Algebra exterior sobre M)

Cuando k = 0 y(rs

)=(00

), entonces la union en (a) y (b) son uniones

disyuntas de copias de R (una copia por cada punto deM). Naturalmente

105

106 CAPITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES

que Λ∗k(M) es una (n+

(nk

))-superficie y Λ∗(M) una (n+ 2n)-superficie.

En lo que sigue se considera la proyeccion canonica π : Λ∗k(M) → M

definida por π(p, ωp) = p.

§ 5.2. Formas diferenciales

Definicion 5.2.1 Una funcion de clase C∞ de M en Λ∗k(M), o Λ∗(M)

cuya composicion con la proyeccion caonoca es la funcion identidad re-cibe el nombre de k−forma diferencial o suave sobre M, o forma

diferencial sobre M , respectivamente.

Como las formas diferenciales que se usaran siempre seran de clase C∞ osuaves, entonces se puede omitir el adjetivo suave y diferencial al menosque se necesite por enfasis.

Nota Una funcion α :M → Λ∗k(M) es una k−forma si y solo si para cada

sistema de coodenadas (U, x1, · · · , xn) sobre M,

α|U =∑

i1<···<ik

αi1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik (5.1)

donde los αi1···ik ∈ C∞(U).

Definicion 5.2.2 Se denota con Ωk(M) el espacio de todas las k−formasde clase C∞(M)

α :M → Λ∗k(M)

y Ω∗(M) al conjunto de todas las formas sobre M de clase C∞. Tambiense tienen las siguientes identificaciones

Ω0(M) ≡ C∞(M)

Ω1(M) ≡ X∗(M)

Ademas, la superficie regular Λ∗0(M) es simplemente M ×R y los levan-

tamientos de M en M × R son simplemente la grafica de funciones declase C∞ sobre M.

Las formas se pueden sumar, multiplicar por escalares y tienen un pro-ducto esterior (∧) que se realizan punto a punto, esto es, si ω, ϕ ∈ Ω∗(M),c ∈ R y m ∈M, entonces

(ω + ϕ)m = ωm + ϕm

(cω)m = cωm

(ω ∧ ϕ)m = ωm ∧ ϕm.


5.2. FORMAS DIFERENCIALES 107

En el caso de que f sea una 0−forma y ω ∈ Ω∗(M) se escribe f ∧ ωsimplemente como fω; Ω∗(M) tiene estructura de modulo sobre el anilloC∞(M) y es un algebra graduada sobre R con la multiplicacion exterior(∧).

Definicion 5.2.3 Sea ω ∈ Ωk(M). Entonces ωm ∈ Λk(TmM) y es unafuncion multilineal alternada sobre TmM. Por lo tanto si X1, · · · , Xk soncampos vectoriales sobreM, ω(X1, · · · , Xk) tiene sentido - y es la funcioncuyo valor en m es

ω(X1, · · · , Xk)(m) = ωm(X1(m), · · · , Xk(m)) (5.2)

5.2.1. Formas diferenciales sobre Rn

Si M es un abierto de Rn y f :M → R con f diferenciable, entonces

Df(x) : Rn → R

es una funcion lineal (es decir, un 1-tensor alternado) sobre Rn, que esel espacio tangente a M en x, con valores reales. Por lo tanto, la funcionx→ Df(x) es una 1-forma sobre M, que se denota con df.

La base dx1, · · · , dxn

de [Rn]∗ dual de la base canonica e1, · · · , en de Rn, es tal que toda1-forma ω sobre Rn puede expresarse por:

ω = α1dx1 + · · ·+ αndxn,

lo que implica que df tiene la forma df = α1dx1 + · · ·+ αndxn y como

αj = df(ej) =∂f

∂xj

entonces

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + · · ·+ ∂f

∂xndxn

ademas, si I es una sucesion estrıctamente creciente de ındices,

I = (i1, i2, · · · , ik)

y denotando con dxI la k−forma sobre Rn dada por

dxI = dx1t ∧ · · · ∧ dxikentonces, para cada espacio vectorial individual

Λk(TxM) = Λk(Rn),

se tiene el siguiente resultado:



Lema 5.2.1 Cada k−forma sobre un abierto U de Rn puede escribirsede manera unica como ∑

I

fIdxI

donde I recorre las sucesiones crecientes de ındices

1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n,

y siendo, para cada I, fI una funcion real definida en U.

§ 5.3. Traspuesta o Pull-back de una k−forma

Sean M una una superficie regular contenida en Rn, f : Rm → Muna funcion diferenciable y sea ω una k−forma sobreM. ProbarSe defineuna nueva k−forma sobre Rm. Si x = f(y), sabe que

Df(y) ∈ L(Rm, TxM).

Puesto que ω(x) es un k−forma sobre TxM se define entonces

(f ∗ω)(y) = [Df(y)]∗ω(f(y)),

esto es, si v1, · · · , vk son elementos de Rn,

(f ∗ω)(y)(v1, · · · , vk) =[ω(f(y))](Df(y)(v1), · · · , Df(y)(vk)) (5.3)

es claro que, para cada y ∈ Rm, se trata de un k−tensor alternado sobreRm, espacio tangente a Rm en y, por lo cual f ∗ω es una k−forma sobreRm, llamada transpuesta (o pull-back ) de ω por f sobre M.

Si ω es una 0−forma sobre M, entonces

f ∗ω = ω flas siguientes propiedades son de facil comprobacion (en donde las ope-raciones indicadas tienen sentido):

f ∗(ω1 + αω2) = f ∗ω1 + αf ∗ω2, (α ∈ R)

f ∗(ω ∧ θ) = (f ∗ω) ∧ (f ∗θ),

(f h)∗ω = h∗f ∗ω.

(5.4)

Seanf : Rm → Rn,

con f ∈ C1(Rm), (x1, · · · , xn) las coordenadas de Rn, (y1, · · · , ym) lasde Rm y f1, · · · , fn las componentes de f, es decir, seran f y Df lassiguientes:

x1 = f1(y1, · · · , ym)...

xn = fn(y1, · · · , ym)

Df(y) =

∂f1∂y1

· · · ∂f1∂ym

......

∂fn∂y1

· · · ∂fn∂ym

y

(5.5)


5.4. FORMA DE VOLUMEN 109

Ahora se comprueba que

f ∗dxi = dfi =n∑

j=1

∂fi∂yj

dyj. (5.6)

Sean v = (v1, · · · , vm) e y m+ 1 vectores de Rm, entonces

[(f ∗dxi)(y)](v) = [dxi(f(y))][Df(y)v]

= [dxi(f(y))](m∑

j=1

∂f1∂yj

vi, · · · ,m∑

j=1

∂fn∂ym

vj)

=m∑

j=1

∂fi∂yj

vj

= dfi(v)

Lo que prueba el resultado buscado.

Conociendo el comportamiento de f ∗ respecto a las 0−formas y a las1−formas, mediante las relaciones descritas anteriormente queda ya de-terminado su comportamiento respecto de cualquier forma, pues, si setiene una forma ω sobre Rn y escribiendola como

ω =∑

I

aIdxI

queda que

f ∗ω =∑

I

(f ∗aI)dfI

donde dfI denota a dfi1 ∧ · · · ∧ dfik .En la siguiente seccion se muestra como la traspuesta se comporta conel elemento volumen, situacion que permite, de cierta manera, definir laintegral de formas.

Si Mm es una superficie regular y ω una forma sobre M, entonces se diceque ω es de clase C∞ si para cada parametrizacion (U, ϕ), los coeficientesde ϕ∗(ω), que son funciones reales definidas en U ⊆ Rm, son de la claseC∞. No es dificil comprobar que, si lo son los coeficientes de ϕ∗(ω) y (V, ψ)es otra parametrizacion de M, con ϕ(U) = ψ(V ), entonces tambien loscoeficientes de ψ∗(ω) son de clase C∞. Si ω es de clase C∞, se llamaregular.

§ 5.4. Forma de volumen

Se presenta el concepto de forma (o elemento) de volumen en subespa-cios vectoriales de dimension m inmerso en otro de dimension n (m ≤ n)y en m−superficies usando sus espacios tangentes.



5.4.1. Elemento volumen o m−volumen en Rn

Si v1, · · · , vn son elementos de Rn, el volumen del paralelepıpedo formadopor ellos y el origen, es decir, del conjunto

P (0; v1, · · · , vn) = v ∈ Rn : v = t1v1 + · · ·+ tnvn, 0 ≤ ti ≤ 1es el valor absoluto del determinante de la matriz cuyas columnas sonlas componentes de los vectores v1, · · · , vn respecto de la base canoni-ca βe1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 1), como se comprueba alefectuar el cambio de variable por T : Rn → Rn con T (ei) = vi en lacorrespondiente integral.

Si los vectores v1, · · · , vn constituyen una base positivamente orientadarespecto a la canonica, entonces el determinante es positivo, y no esnecesario tomar valor absoluto. Ademas, dado que las transformacionesortogonales, es decir, las dadas por las matrices T, con T−1 = T t, tienenpor determinante | detT | = 1, estas no alteran el volumen, por lo que eldel paralelepıpedo citado es igual al valor absoluto del determinante de lamatriz que tiene por columnas las respectivas componentes de v1, · · · , vnrespecto de cualquier base ortonormal.

De modo mas general, si v0, v1, · · · , vn ∈ Rn, se llama paralelepıpedoformado por v1, · · · , vn y con vertice v0 al conjunto dado por

P (v0; v1, · · · , vn) = v ∈ Rn : v = v0 + t1v1 + · · ·+ tnvncon 0 ≤ ti ≤ 1, i = 1, · · · , n. Claramente,

v(P (v0; v1, · · · , vn)) = | detT |siendo T la transformacion lineal de Rn en Rn originalmente citada, esdecir, para cada i, T (ei) = vi, ya que P (v0; v1, · · · , vn) es el transformadode P (0; v1, · · · , vn) mediante la aplicacion afın τ con τv = v0 + Tv.

Sean a1, · · · , am elementos de Rn linealmente independientes, entonces elespacio vectorial generado por estos vectores es isomorfo a Rm, pues tie-nen la misma dimension finita. Entonces elm− volumen delm−paralelepıpe-do P (0; a1, · · · am) (considerado como elemento de Rm) se puede calcularcomo sigue: se encuentra una base ortonormal em+1, · · · , en del espacioortogonal al subespacio generado por a1, · · · , am y tal que a1, · · · , am,em+1, · · · , en sea una base positivamente orientada para Rn, y hallar eldeterminante de la matriz cuyas columnas (o filas) son las componentesde estos vectores respecto a la base canonica de Rn.

Entonces el m−volumen generado por esos m vectores esta dado por

Vm(0; a1, · · · , am) = det

a11 a12 · · · a1m e1,m+1 · · · e1n...

......

......

am1 am2 · · · amm em,m+1 · · · emn...

......

......

an1 an2 · · · anm en,m+1 · · · enn



donde ai = (a1i, · · · , ani) para i = 1, · · · ,m y ei = (e1i, · · · , eni), i =m+ 1, · · · , n. Y si

A =

a11 a12 · · · a1m e1,m+1 · · · e1n...

......

......

am1 am2 · · · amm em,m+1 · · · emn...

......

......

an1 an2 · · · anm en,m+1 · · · enn

entonces

[Vm(P (0; a1, · · ·, am))]2 = det(A) det(A) = det(A× At)

= det

〈a1, a1〉 · · · 〈a1, am〉...

... 0〈am, a1〉 · · · 〈am, am〉

1 · · · 0

0...

...0 · · · 1

=det

〈a1, a1〉 · · · 〈a1, am〉...

...〈am, a1〉 · · · 〈am, am〉

(5.7)

Esta ultima expresion de [Vm(P (0; a1, · · · , am))]2 es el valor delm−tensoralternado S = a1∧· · ·∧am, evaluado en la coleccion ordenada de vectoresa1, · · · , am, donde ai es el correspondiente elemento dual de ai, por elisomorfismo existente entre Rn y (Rn)∗. Esto es, si e1, · · · , en es labase canonica de Rn y e1, · · · , en su base dual para (Rn)∗, entonces sepuede escribir:

ai = ai1e1 + · · ·+ ainen si y solo si ai = ai1e

1 + · · ·+ ainen

Con lo que

S(a1, · · · , am) = a1 ∧ · · · ∧ am(a1, · · · , am) = det(ai(aj)

).

Prero,

ai(aj) =( m∑

k=1

aikek)( m∑

r=1

ajrer)=

m∑

k,r=1

aikajrem(er)

=m∑

k=1

aikajk = 〈ai, aj〉 .

Lo que muestra el siguiente



Lema 5.4.1 El m−volumen en Rn, m < n, satisface

[Vm(P (0; a1, · · · , am))]2 = a1 ∧ · · · ∧ am(a1, · · · , am) (5.8)

y ademas

a1 ∧ · · · ∧ am(a1, · · · , am) = det(ai(aj)

)= det

(〈ai, aj〉

)(5.9)

en particular,

[Vm(P (0; a1, · · · , am))] =√

det(〈ai, aj〉

)(5.10)

5.4.2. Forma de volumen para m−superficies

Se extendera el concepto de forma de volumen a m−superficies re-gulares. En efecto, como Rn es la n−superficie dotadad de la estructuradiferencial con la unica carta (Rn, i), donde i(x1, · · · , xn) = (x1, · · · , xn)indica la funcion idetidad de Rn en Rn, entonces cada una de las funcionescoordenadas se pueden observar como funciones definida por

πi : Rn → R

tales que πi(r1, · · · , rn) = ri para cada i, es decir, cada una se observacomo funcion proyeccion en la i−esima componente. Por lo tanto, comodiferencial, dπi = πi, que por comodidad se denotara por dπi = πi = dxi.Ahora bien, si e1, · · · , en es la base canonica de Rn, entonces

dxi(ej) = ej(xi) =∂xi∂xj

=

1 si i = j0 si i 6= j

con lo quedxi : i = 1, · · · , n

es base dual de e1, · · · , en para cada (Rn)∗ en el sistema de coordenadaspara Rn dada anteriormente. Resultado que vale en cada punto p de Rn

para su tangente TpRn y su dual T ∗

pRn.

La n−forma diferencialdx1 ∧ · · · ∧ dxn

asocia a cada coleccion de n vectores ordenados v1, · · · , vn el volumen delparalelepıpedo determinado por el origen y dichos vectores, si estos sonlinealmente dependientes o constituyen una base positivamente orientadarespecto de la canonica y el citado volumen precedido de un signo menossi forman una base negativa. Por esta razon, a dicha n−forma se le dael nombre de forma de volumen (o elemento volumen) paraRn y se denota dV o dVRn aunque no es la diferencial exterior de una(n− 1)−forma sobre Rn.



Si M es una m−superficie orientada en Rn, se va a definir una m−formasobre M, elemento de volumen de M, a la que se denotara dVM aunqueno se tratara de la diferencial exterior de ninguna (m− 1)−forma sobreM. Por definicion, dVM sera la funcion que para cada x de M y cadacoleccion ordenada v1, · · · , vm de m vectores en TxM, asocia el numeroque mide el m−volumen del correspondiente m−paralelepıpedo formadosi son linealmente dependientes o constituyen una base positiva de TxM ;y el m−volumen precedido de un signo menos, si constituyen una basecon orientacion negativa.

Para calcular dVM(x)(v1, · · · , vm) se puede proceder como en el Lema5.4.1.

Si la parametrizacion (Ω, ϕ), con sistema de coordenadas t = (t1, · · · , tm),y suponiendo que ϕ(Ω) = M y la orientacion de M es la inducida pordicha parametrizacion, se tiene que si

v1, · · · , vmes base de Rm, entonces

Dϕ(t)v1, · · · , Dϕ(t)vmes base para Tϕ(t)M ; ambas positivas o ambas negativas; suponiendoambas positivas

(ϕ∗dVM)(t)(v1, · · · , vm) =dVM(ϕ(t))(Dϕ(t)v1, · · · , Dϕ(t)vm)haciendo el cambio de variable en el respectivo calculo de volumen quese presenta, se tiene

dVM(ϕ(t))(Dϕ(t)v1, · · · , Dϕ(t)vm) =[detDϕ(t)] dVRm(v1, · · · , vm)Procediendo de modo analogo, si v1, · · · , vm es base negativa para Rm,queda que, para ambos casos, es

ϕ∗dVM = [detDϕ] dVRm (5.11)

lo que pone de manifiesto que dVM es una m−forma diferencial continua.

Nota. Observe que Dϕ∣∣pes la transformacion lineal que envia la base

ei : i = 1, · · · ,m de Rm en la base Dϕ∣∣p(ei) =

∂

∂ti: i = 1, · · · ,m de

TpRm ⊆ Rn y ϕ(t0) = p ∈ M, entonces el Lema 5.4.1 garantiza que el

volumen generado por los vectores Dϕ(ei) para cada i = 1, · · · ,m estadado por

detDϕ =

√det

[⟨∂

∂ti,∂

∂tj

⟩]

en cada punto p ∈M en la parametrizacion (Ω, ϕ).



5.4.3. Elemento volumen de una hipersuperficie

Sea M = Mm una superficie regular contenida en Rn. Si m = n − 1, elespacio normal a M en x es de dimension uno, por lo que solo hay dosvectores unitarios n y n′ normales a M en x. De ellos, uno, por ejemplo,ne, es tal que, si (e1, · · · , en−1) es una base ortonormal positiva para TxM,entonces sea (ne, e1, · · · , en−1) una base ortonormal positiva para Rn. Alvector se le llama vector normal exterior a la superficie orientada M enel punto x. Si se cambia la orientacion de M, tambien cambia el vectornormal exterior.

Por ejemplo, siM es la esfera de dimension dos, S2 de R3, puede orientaresta superficie para que el vector normal exterior a M en cada punto sedirija al centro de la esfera.

Para entrar en materia, sea M = Mn−1 una superficie contenida en Rn

orientada que por simplicidad se supone que (Ω, ϕ) es una parametriza-cion para M tales que

1. ϕ(Ω) =M

2. ϕ(t) = (ϕ1(t), ϕ2(t), · · · , ϕn(t)) con t = (t1, · · · , tn−1) ∈ Rn−1.

3. las coordenadas de Rn son (x1, · · · , xn−1, xn).

Ademas, sea α = (α1, · · · , αn) un vector normal exterior a M, definidopor

α =∂ϕ

∂t1× · · · × ∂ϕ

∂tn−1

o lo que es lo mismo (desarrollando por la primera fila) que

α =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 · · · en∂ϕ1

∂t1

∂ϕ2

∂t1· · · ∂ϕn

∂t1...

......

∂ϕ1

∂tn−1

∂ϕ2

∂tn−1

· · · ∂ϕn∂tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, (5.12)

donde (e1, · · · , en) es la base canonica de Rn, esto es,

α1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ2

∂t1· · · ∂ϕn

∂t1...

...∂ϕ2

∂tn−1

· · · ∂ϕn∂tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, · · · , αn = (−1)1+n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ1

∂t1· · · ∂ϕn−1

∂t1...

...∂ϕ1

∂tn−1

· · · ∂ϕn−1

∂tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(5.13)

y observe que



det(α, ∂1ϕ(t), · · · , ∂n−1ϕ(t)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α1 α2 · · · αn∂ϕ1

∂t1

∂ϕ2

∂t1· · · ∂ϕn

∂tn−1...

......

∂ϕ1

∂tn−1

∂ϕ2

∂tn−1

· · · ∂ϕn∂tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= α21+· · ·+α2

n,

(5.14)De esta definicion para α se tiene de manera inmediata las siguientespropiedades

1. α⊥ ∂iϕ para cada i = 1, 2, · · · , n y por tanto a α es ortogonal aTxM,

2. (α, ∂1ϕ(t), · · · , ∂n−1ϕ(t)) es una base positivamente orientada pa-ra Rn,

3. M tiene como vector normal exterior unitario a

ne =α

||α|| = (n1, · · · , nn)

y si v1, · · · , vn−1 forman una base positivamente orientada paraTxM, entonces el volumen generado por estos vectores esta dadopor

det(ne, v1, · · · , vn−1).

Lema 5.4.2

(a) El elemento volumen sobre M satisface (el sımbolo significa queel termino se ha quitado)

dVM =n∑

i=1

(−1)1+inidxi ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn,

(b) se verifica para cada x de M, sobre TxM, i = 1, 2 · · · , n

nidVM(x) = (−1)i+1dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn

Demostracion.



(a) Sean v1 = (v11, · · · , v1n), · · · , vn−1 = (vn−1,1, · · · , vn−1,n) son ele-mentos linealmente independientes de TxM, entonces

dVM(v1, · · · , vn−1) = det(ne, v1, · · · , vn−1)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n1 · · · nnv11 · · · v1n...

...vn−1,1 · · · vn−1,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=n∑

i=1

(−1)1+i ni

∣∣∣∣∣∣∣

v11 · · · v1i · · · v1n...

......

vn−1,1 · · · vn−1,i · · · vn−1,n

∣∣∣∣∣∣∣

=n∑

i=1

(−1)1+inidxi ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn(v1, · · · , vn−1).

(b) Dando a β analogo significado al de α, esto es,

β = v1 × · · · × vn−1 (= (β1, · · · , βn−1))

y notando por C a la matriz que tiene por filas las respectivascomponentes de

ne, v1, v2, · · · , vn−1

respecto de la base canonica de Rn, por lo que β es ortogonal atodos los vi, i = 1, · · · , n− 1, y por lo tanto, se tiene que β = λne,luego

dVM(x)(v1, · · · , vn−1) = detC =n∑

i=1

niβi = 〈ne, β〉 = 〈ne, λne〉 = λ

lo que muestra que

β = dVM(x)(v1, · · · , vn−1) ne

y haciendo uso de esta expresion, resulta

ni dVM(x)(v1, · · · , vn−1) = 〈ei, ne〉 dVM(x)(v1, · · · , vn−1)

= 〈ei, dVM(x)(v1, · · · , vn−1)ne〉 = 〈ei, β〉 = βi

=(−1)1+i

∣∣∣∣∣∣∣

v11 · · · v1,i · · · v1n...

......

...vn−1,1 · · · vn−1,i · · · vn−1,n

∣∣∣∣∣∣∣=(−1)1+idx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn(v1, · · · , vn)

que es el resultado buscado. ♦X



5.4.4. Volumen de una m−superficie

La definicion de volumen de una m−superficie regular se dara aproxi-mando M localmente, mediante su espacio tangente.

Sea M = Mm una superficie orientada de la que se supone temporal-mente, que admite una sola parametrizacion (Ω, ϕ), siendo ademas laorientacion de M la inducida por (Ω, ϕ). Sea x0 = ϕ(t0) un punto de M :

t0 t0 + ae1

t0 + ae2

x0 + h1

x0 + h2

ϕ(I)

A(I)

ϕ

Figura 5.1

Se considera en Rm el cubo I de vertice t0 y aristas de longitud a (verFigura 5.1). Sean k1 = ae1, · · · , km = aem, donde e1, · · · , em es la basecanonica de Rm. La aplicacion afın A de Rm en Rn, dada por

A(t) = ϕ(t0) +Dϕ(t0)(t− t0)

aproxima a ϕ y transforma Rm en el espacio tangente aM en ϕ(t0) = x0,y al cubo I en el m−paralelepıpedo K de Rn determinado por x0 comovertice y los vectores

h1 = Dϕ(t0)k1, · · · , .hm = Dϕ(t0)km

Para a pequeno, el numero vm(K) es la aproximacion del m−volumenvm(ϕ(I)). Como ademas es (por cambio de varible en una integrla mul-tiple):

vm(K) =[detDϕ(t0)

]v(I).

Este razonamiento nos lleva a adoptar la siguiente definicion, se llamavolumen de M al numero v(M) dado por la relacion

vm(M) =

∫

Ω

[detDϕ]dVRm (5.15)

en donde, como antes

[Dϕ(t0)

]2= det

(⟨∂ϕ(t0)∂ti

, ∂ϕ(t0)∂tj

⟩)



Como detDϕ es continua y positiva, dicha integral existe y es no nega-tiva, aunque puede ser +∞.

Por ultimo observe que

vm(M) =

∫

Ω

ϕ∗[dVM ] (5.16)

en donde la integral de una forma diferencial definida sobre subconjuntosabiertos y conexos cuya clausura es compacta en Rm se entiende como laintegral multiple de Riemann.

5.4.5. Ejemplos

(1) La esfera bidimensional de radio a, M = S2(a), admite la parame-trizacion

α(θ, ϕ) = (a senϕ cos θ, a senϕ sen θ, a cosϕ)

donde (θ, ϕ) ∈ Ω = (0, 2π)×(0, π). Calcular α∗(dAM) y el Area(M).

Solucion. En efecto,

∂θ = (−a sen θ senϕ, a cos θ senϕ, 0),

∂ϕ = (a cos θ cosϕ, a sen θ cosϕ,−a senϕ)entonces

〈∂θ, ∂θ〉 = a2 sen2 ϕ, 〈∂ϕ, ∂ϕ〉 = a2, 〈∂θ, ∂ϕ〉 = 0,

con lo que

α∗(dAM) = a2 senϕdAR2 = a2 senϕ dθ ∧ dϕ.

Ahora se encuentra el area de M :

Area(M) =

∫

Ω

α∗(dAM) = a2∫ 2π

0

∫ π

0

senϕ dθ dϕ = 4πa2

(2) Sea M la 3−superficie parametrizada dada por

α(r, θ, ϕ) = (r cos θ senϕ, r sen θ senϕ, r cosϕ)

donde U = (r, θ, ϕ) : 0 < r < a, 0 < θ < 2π, 0 < ϕ < 2π.Calcular α∗(dVM) y el volumen de M.

Solucion. En efecto

∂1 = ∂r = (cos θ senϕ, sen θ senϕ, cosϕ)

∂2 = ∂θ = (−r sen θ senϕ, cos θ senϕ, 0)∂3 = ∂ϕ = (r cos θ cosϕ, r sen θ cosϕ,−r senϕ)



Ası

v3(M) =

∫

U

√det(〈∂i, ∂j〉

)dr ∧ dθ ∧ dϕ

=

∫ π

0

∫ 2π

0

∫ a

0

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 r2 sen2 ϕ 00 0 r2

∣∣∣∣∣∣

1/2

dr dθ dϕ

=

∫ π

0

∫ 2π

0

∫ a

0

r2 senϕdr dθ dϕ

=4

3πa2

(3) Si M es orientada y de dimension uno en R3 (puede probarse quetoda superficie diferenciable de dimension uno es orientable), lla-mando, como antes, (x, y, z) a las coordenadas de R3, en un abiertode cada punto de M existe una parametrizacion ϕ : (−ε, ε) → R3

(ε > 0) dada por x = x(u), y = y(u), z = z(u) y manteniendo enDϕ la orientacion de M. Probar que si t = (t1, t2, t2) es el vectortangente unitario, en cada punto, a M, entonces

(a) ds = t1dx+ t2dy + t3dz,

(b) ϕ∗(ds) =√(x′)2 + (y′)2 + (z′)2du,

(c) t1ds = dx, t2ds = dy, t3ds = dz.

Solucion. En efecto, la l-forma diferencial elemento de volumende M, llamada elemento de longitud y denotada con ds es tal que,si w es tangente a M en (x, y, z), correspondiente al valor u delparametro, entonces, w = λ(ϕ′(u)/||ϕ′(u)||) y se tiene que

ds(w) = λ ds( ϕ′(u)

||ϕ′(u)||)=λ ds(ϕ′(u))

||ϕ′(u)|| = λ

y como

t = (t1, t2, t3) =(x′(u), y′(u), z′(u))

||ϕ′(u)||es el vector unitario positivo de T(x,y,z)M, entonces y para todov ∈ T(x,y,z)M se tiene

ds(v) =ds(||v||t) = ||v|| = 〈t, ||v||t〉 = 〈t, v〉=t1v1 + t2v2 + t3v3 = (t1dx+ t2dy + t3dz)(v)

luego ds toma en M la forma

ds = t1dx+ t2dy + t3dz (5.17)



y por lo tanto

ϕ∗(ds) =t1ϕ∗(dx) + t2ϕ

∗(dy) + t3ϕ∗(dz)

=√

(x′)2 + (y′)2 + (z′)2du(5.18)

y ademas, como

t1 =x′(u)

||ϕ′(u)|| , t2 =y′(u)

||ϕ′(u)|| y t3 =z′(u)

||ϕ′(u)||

es decir,

t1 =dx/du

ds/du, t2 =

dy/du

ds/du, t3 =

dy/du

ds/du

se obtiene

t1ds = dx, t2ds = dy, t3ds = dz. (5.19)

Lo que termina la solucion del ejemplo.

§ 5.5. Derivacion exterior

Si M es una n−superficie, ya se ha definido la funcion d : Ω0(M) →Ω1(M) por f → df, df =

∑ ∂f∂xidxi, la diferencial de una funcion diferen-

ciable sobre M. se desea extender esta nocion a una funcion

d : Ωk(M) → Ωk+1(M)

para cualquier k ∈ N. Este operador produce propiedades algebraicasmaravillosas. Despues de desarrollarlas se demostrara como d esta rela-cionada con las operaciones basicas de div, grad, el laplaciano entre otras.Por lo tanto, primero la concentracion es sobre la derivada exterior d queextiende la diferencial de una funcion.

Teorema 5.5.1 Sea M una n−superficie. Entonces existe una unica fa-milia de funciones

dk(U) : Ωk(U) → Ωk+1(U), (k = 1, 2, · · · , n)

y U un abierto sobre M, que se denotara por d, llamada derivada exteriorsobre M, tal que

(a) d es una anti-derivacion, esto es, d es R−lineal; para cada α ∈Ωk(U) y β ∈ Ωl(U),

d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)kα ∧ dβ


5.5. DERIVACION EXTERIOR 121

(b) Si f ∈ C∞(U), entonces df es la diferencial de la funcion f pre-sentada entre variedades.

(c) d2 = d d = 0, ( dk+1(U) dk(U) = 0 )

(d) d con respecto a restricciones. Si U ⊂ V ⊂ M son abiertos y α ∈Ωk(M), entonces d(α|U) = (dα)|U , es decir, el siguiente diagramaconmuta

Ωk+1(V )

Ωk(V )

Ωk(U)

Ωk+1(U)

|U

|U

d d

Como es usual la propiedad (d) significa que d es un operador local.

Demostracion. Primero se establece la unicidad bajo existen-cia. Sea (V1, ϕ) una parametrizacion alrededor de p ∈ ϕ(V1) = U1 ⊆ Mcon ϕ−1(p) = (x1, · · · , xn) y α = αi1···ikdx

i1 ∧ · · · ∧ dxik (notacion Eins-tein) en Ωk(U1), i1 < · · · < ik. Cuando k = 0 se tiene Ω0(U1) = C∞(U1)

y entonces la parte (b) proporciona que

dα =( ∂α∂xi

)dxi

y aplicada a las funciones coordenadas xi, (i = 1, 2, · · · , n) muestraque la diferencial de xi es la 1−forma diferencial dxi.

De (c), se tiene que d(dxi) = 0, que con (a) muestran

d(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik) = 0.

Tambien por (a),

dα = d(αi1···ik) ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik + (−1)0αi1···ikd(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)

Por lo tanto, se debe satisfacer

dα =

[∂αi1···ik∂xi

dxi]∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik (5.20)

y ası d se determina de manera unica sobre U1 por la propiedades (a),(b), (c) y (d) sobre cualquier subconjunto abierto coordenado de M.

Existencia. Se define para cualquier parametrizacion (V1, ϕ) de M eloperador d por la ecuacion 5.20. Entonces (b) se satisface de manerainmediata ya que 5.20 es R−lineal.



A continuacion se verifica (a). En efecto, si β = βj1···jsdxj1 ∧ · · · ∧ dxjs en

Ωs(U1), entonces

d(α ∧ β) =d(αi1···ikβj1···jsdxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs)

=[∂αi1···ik

∂xiβj1···js + αj1···js

∂βj1···js∂xi

]dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs

=(dα) ∧ β + (−1)kα ∧ dβ

lo que muestra que (a) se satisface.

Para demostrar (c) se usara la simetrıa de las derivadas parciales, enefecto,

d(dα) =d

[∂αi1···ik∂xi

dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik]

=∂2αi1···ik∂xj∂xi

dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Como∂2αi1···ik∂xj∂xi

=∂2αi1···ik∂xi∂xi

y dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj

se tiene entonces qued2(α) = d(dα) = 0.

Por lo tanto, en cualquier carta (U, ϕ), la ecuacion 5.20 define un operadord que satisface (a), (b) y (c).

Resta demostrar que estos d ′s locales definen un operador d sobre cual-quier conjunto abierto, para que se satisfaga (d). Para continuar entonceses suficiente demostrar que esta definicion es independiente de las para-metrizaciones que se tomen. En efecto, sea d′ el operador definido porla ecuacion 5.20 sobre la parametrizacion (V ′

1 , ϕ′) con U1 ∩ U ′

1 6= ∅, yU ′1 = ϕ′(V ′

i ).

Como d′ satisface (a), (b) y (c) y ademas tiene unicidad local (demostradaen la primera parta de esta prueba), entonces

d′α = dα sobre sobre U1 ∩ U ′1

y con esto, el Teorema queda demostrado. ♦XEn muchos casos es conveniente expresar una k−forma sobre una

superficie M como restriccion a M de una k−forma sobre Rn, o sobre unabierto de Rn que contiene a M.

Teorema 5.5.2 Sean M y N superficies regulares de dimension m y nrespectivamente, ϕ :M → N una funcion diferenciable y w una p−formadiferencial sobre N. Entonces

d(ϕ∗w) = ϕ∗(dw)


5.5. DERIVACION EXTERIOR 123

Demostracion. La demostracion resulta por Induccion Matematica, seempieza, bajo sistema de coordenadas, con el caso p = 0. Sea x ∈ M,v ∈ TxM y f ∈ C∞(N). Entonces df ∈ T ∗

ϕ(x)N, ϕ∗df ∈ T ∗

xM y pordefinicion de ϕ∗, df y ϕ∗,

ϕ∗df(v) = df(ϕ∗v) = ϕ∗v(f) = v(f ϕ) = v(ϕ∗f) = d(ϕ∗f)(v).

Se asume ahora que el teorema es verdadero para formas de grado p− 1(p ≥ 1) y observese que es suficiente demostrar el teorema para el gradop localmente y considerar la forma monomial w = a(x1, · · · , xn)dxi1 ∧· · · ∧ dxip , donde a es una funcion diferenciable, por lo tanto

d(ϕ∗w) =d[ϕ∗[(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1) ∧ dxip ]]=d[ϕ∗(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1) ∧ ϕ∗dxip ]

=d[ϕ∗(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1)] ∧ ϕ∗dxip+ (−1)p−1ϕ∗(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1) ∧ d(ϕ∗dxip)

=d[ϕ∗(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1)] ∧ ϕ∗dxip

ası que, por hipotesis de induccion,

d(ϕ∗w) = ϕ∗[d(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1)] ∧ ϕ∗dxip .

Ası que

d(ϕ∗w) =ϕ∗[d(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1) ∧ dxip ]=ϕ∗[d a ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1 ∧ dxip ]=ϕ∗ dw.

Lo que muestra el teorema para p−forma. ♦X

Ejemplos

1. Se considera el caso particular de n = 3 y M un abierto G de R3 ysean a, b, c y f funciones diferenciables de G en R. Sean

(a) ω0 = f,

(b) ω1 = adx+ bdy + cdz;

(c) ω2 = ady ∧ dz + bdz ∧ dx+ cdx ∧ dy;(c) ω3 = adx ∧ dy ∧ dz,

Entonces sus respectivas diferenciales exteriores son:

(a) dω0 =∂f∂xdx+ ∂f

∂ydy + ∂f

∂zdz.

(b) dω1 =(∂c∂y

− ∂b∂z

)dy∧dz+

(∂a∂z

− ∂c∂x

)dz∧dx+

(∂b∂x

− ∂a∂y

)dx∧dy.

(c) dω2 =(∂a∂x

+ ∂b∂y

+ ∂c∂z

)dx ∧ dy ∧ dz



(d) dω3 = 0

2. Teniendo como referencia el ejemplo anterior, se observa que las0−formas y las 3−formas se identifican con funciones de G en R,y las 1−formas y las 2−formas con funciones de G en R3, es decir,con campos vectoriales.

Desde este punto de vista, la funcion de diferenciar una 0-formaequivale a asociar, a cada funcion f : G → R, de clase C1, elcampo vectorial: (

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)

que recibe el nombre de campo vectorial gradiente de f, y que sedenota con

grad f ≡(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)f

De modo analogo , la operacion de diferenciar una 1−forma equivalea asociar al campo vectorial

V (x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z))

el nuevo campo vectorial

W =

(∂c

∂y− ∂b

∂z,∂a

∂z− ∂c

∂x,∂b

∂x− ∂a

∂y

)

que recibe el nombre de rotacional del campo V , y se denota porrotV, y es tal que

rotV =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

a b c

∣∣∣∣∣∣

La operacion de diferenciar una 2−froma equivale a asociar el cam-po

V (x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z))

la funcion escalar∂a

∂x+∂b

∂y+∂c

∂z

recibe el nombre de divergencia del campo V , y se denota por div V,y

div V =

⟨( ∂∂x,∂

∂y,∂

∂z

),(a, b, c

)⟩

Se observa que si f ∈ C∞(R3), entonces

rot (grad f) = div (rot f) = 0.


5.6. INTEGRACION DE FORMAS 125

3. Si V a un campo vectorial diferenciable sobre R3 y f ∈ C∞(R3)tienen sentido expresiones como div (grad f) y rot (rotV ) y si lla-mamos

Lap f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

se tiene que

div (grad f) = Lapf

y

rot(rotV ) = grad (div V )− LapV.

§ 5.6. Integracion de formas

Para iniciar, sea M una n−superficie orientable. El soporte sop f deuna funcion f definida de M en un espacio vectotial es la clausura delconjunto de puntos p ∈ M para el cual f(p) 6= 0 y cuando sop f escompacto se dice que f es de soporte compacto. Como M es orientableexiste una n−forma diferenciable θ que no se anula sobre M y cualquierotra n−forma w se puede escribir como w = fθ. Se toma f como unafuncion continua, acotada y de soporte compacto. Para considerar ladefinicion de ∫

M

w

se asume que w es de soporte compacto denotado con C y que esta ente-ramente contenido en el imagen de ϕ(U) donde (U, ϕ), es una parametri-zacion con sistema de coordenadas (x1, · · · , xn). Sea ahora la expresionen coordenadas, ϕ∗(w), para w :

f(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

En este sentido, se define

(a) En el caso de M = Rn (w es una forma definida sobre un conjuntoabierto U ⊆ Rn):

∫

U

w =

∫

U

f dx1 · · · dxn (5.21)

donde el lado derecho es la integral multiple de Riemann en Rn.

(b) En general, sobre la superficie M

∫

M

w =

∫

ϕ(U)

w =

∫

U

ϕ∗w =

∫

U

f dx1 · · · dxn, (5.22)



la integral existe por las condiciones sobre f.

Ahora se debe demostrar que la integral ası definida es buena, es decir, esindependiente de la escogencia de la parametrizacion. En efecto, se tomaC = sop f en la imagen de otra parametrizacion (V, ψ) con sistema decooredenadas (y1, · · · , yn); entonces colocando

ψ∗(w) = F (y1, · · · , yn)dy1 ∧ · · · ∧ dyn

se tiene por definicion que∫

M

w =

∫

ψ(V )

w =

∫

V

F (y1, · · · , yn)dy1 · · · dyn. (5.23)

Se vera que 5.22 implica 5.23. Por la ley de transformacion para lascomponentes de una n−forma se tiene

f(x1, · · · , xn) = F (y1, · · · , yn)∂(y1, · · · , yn)∂(x1, · · · , xn)

donde ∂(y1, · · · , yn)/∂(x1, · · · , xn) es el determinante del difeomorfismo

ψ−1 ϕ :ϕ−1(W ) → ψ−1(W )

(x1, · · · , xn) → (y1, · · · , yn)

yW = ϕ(V )∩ψ(V ) 6= ∅. Entonces por la regla para el cambio de variableen una integral multiple se tiene

∫

M

w =

∫

U

f(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn

=

∫

V

F (y1, · · · , yn)∂(y1, · · · , yn)∂(x1, · · · , xn)

∣∣∣ ∂(y1, · · · , yn)∂(x1, · · · , xn)

∣∣∣dy1 · · · dyn

Como los determinantes Jacobianos tienen el mismo signo positivo yaque a M se le ha asignado una orientacion, se tiene que

∫

M

w =

∫

V

F (y1, · · · , yn)dy1 · · · dyn.

lo que muestra que 5.22 y 5.23 tienen el mismo valor, es decir, la definicionde integral dada no depende del sistema de coordenadas escogido y porlo tanto se tiene una buena definicion.

5.6.1. Integracion de m−formas definidas sore va-rias parametrizaciones

Ahora se considera el caso general cuando C, el soporte de w, noesta contenido en una imagen coordenada de una parametrizacion de M.Se usara una particion de la unidad sobre M, que existe(por el apendice



A de este Capıtulo), se expresa w como la suma de formas cada unacon soporte enteramente contenido en un dominio coordenado de M, yentonces se define ∫

M

w

como suma de integrales de tipo 5.22.

Sea (Ui, ϕi) una estructura diferenciable para M. Como M admiteparticiones de la unidad (por el Apendice A), se puede tomar gi unaparticion de la unidad subordinada al cubrimiento abierto Ui de M,entonces cada punto de C tiene una vecindad que intersecta a un numerofinito de soportes de los gi y estas vecindades cubren a C. Como C escompacto se puede extraer un subrecubrimiento finito y por lo tantoexiste k tal que

C ∩ sop gi = ∅para todo i > k, es decir, giw = 0 para i > k; entonces

w =∑

giw (suma finita)

Como giw ⊆ ϕ(Ui) para cada i, se puede usar 5.22 para definir la integralde w sobre M por

∫

M

w =∑

i

∫

ϕ(Ui)

giw (suma finita). (5.24)

Por supuesto, que se debe verificar que esta definicion no depende dela particion de la unidad escogida. Sea hj otra particion de la unidadsubordinada a otro cubrimiento abierto coordenado Vj deM con funcionde coordenada ψ−1

j : Vj → Rn. Entonces de 5.24

∑

i

∫

ϕ(Ui)

giw =∑

i

∫

ϕ(Ui)

giw∑

j

hj =∑

i

∑

j

∫

ϕ(Ui)

gihjw

como gihj se anulan fuera de ϕ(Ui) ∩ ϕ(Vj) y las sumas son finitas, en-tonces

∑

i

∑

j

∫

ϕ(Ui)

giw =∑

j

∑

i

∫

ϕ(Ui)∩ψ(Vj)gihjw =

∑

j

∫

ψ(Vj)

hjw.

Lo que demuestra que la definicion dada por 5.24 es independiente de laparticion usada.

La siguiente definicion se hace necesaria para continuar.

Definicion 5.6.1 Sean Mn1 , M

n2 superficies regulares, U1, U2 conjuntos

abiertos de M1, M2 respectivamente y f : U1 → U2 un difeomorfismo.Entonces se dice que f preserva orientacion si para cada n−forma wque pertenece a la clase de orientacion M2, f ∗w esta en la clase deorientacion dada en M1.



Teorema 5.6.1

(a) La integral ∫

M

w

cambia de signo cuando la orientacion de M es reversada

(b) Se tiene que

∫

M

(λ1w1 + λ2w2) = λ1

∫

M

w1 + λ2

∫

M

w2

donde λ1, λ2 ∈ R y w1w2 ∈ Λn(M).

(c) Sea f : M → N un difeomorfismo que preserva orientacion entrelas superficies orientadas N, M y sea w ∈ Λ∗

k(N). Entonces

∫

M

f ∗w =

∫

N

w. (5.25)

donde f ∗ es la traspuesta (pull-back) inducida por f, aplicada aformas.

Demostracion. Por la definicion de integral solo es necesario establecerestas propiedades para formas cada una de las cuales con soporte com-pacto en una sola vecindad coordenada. (a) es inmediato, (b) se obtienede la correspondiente propiedad de integral sobre Rn. Entonces se de-mostrara (c). En efecto, sea C = sopw ⊆ ϕ(U), donde (U, ϕ) es unaparametrizacion sobre N con sistema de coordenadas (x1, · · · , xn) y seala expresion en coordenadas ϕ∗w de w

F (x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Entonces (f−1(U), ϕ f−1) es una parametrizacion sobre M,

sop f ∗w = f−1(C) ⊆ f−1(U)

y es compacto. Ahora sigue de la ley de transformacion de una n−formaque f ∗w y w tienen la misma expresion en coordenadas

F (x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

y ası

∫

N

w =

∫

M

f ∗w =

∫

f−1(U)

F (x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

♦X



5.6.2. Dominio regular y borde

El interes de esta seccion son los dominios con frontera (o borde) talescomo las bolas unitarias en R3 cuya frontera es S2 o M = S1 × [0, 1] enR3 cuya frontera dos esferas S1. Un ejemplo basico es el semiplano Hn

definido porHn = (x1, · · · , xn) : xn ≥ 0.

En la teorıa de los dominios con frontera, Hn reemplaza a Rn, y el subes-pacio dado por

x ∈ Hn : xn = 0recibe el nombre de frontera de Hn.

Sea M una m−superficie y D ⊂M. Se dice que D es un dominio regularen M si para cada p ∈M se da alguna de las situaciones siguientes:

(a) Existe un conjunto abierto de p que esta contenida en M −D.

(b) Existe un conjunto abierto de p que esta contenida en D.

(c) Existe una parametrizacion (U, ψ) alrededor de p tal que el sistemade coordenadas (ψ(U), ψ−1 = ϕ) satisface ϕ(U ∩D) = ϕ(U)∩Hm.

En el caso (a), ver Figura 5.2, p ∈ ext(D), en la topologıa de M. Si seda la situacion (b), equivale a que p ∈ int(D), en la topologıa de M, ysi se da (c), p ∈ ∂D, por lo que los tres son excluyentes. Ademas, cadapunto de ∂D esta en la situacion (c) y para cada parametrizacion en estasituacion, los puntos t ∈ U, con tm = 0, tienen su imagen en ∂D.

p•

D

Caso (a)

p•

D

Caso (b)

Figura 5.2

U

p

ϕ(t)

•

•

ϕ

D

Hm

Caso (c)

Una concecuencia de esta consideracion es que la estructura diferenciablemontada sobre M induce una estructura de superficie regular sobre ∂Dde dimension n− 1.

Sea (U, ϕ) una parametrizacion de M tal que ϕ(U) ∩ ∂D 6= ∅. EntoncesU = U∩Hn y ϕ = ϕ|U define una parametrizacion sobre ∂D y el conjuntode estas parametrizaciones

A = (U, ϕ) : (U, ϕ) es una parametrizacion de M



proporciona una estructura diferenciable para ∂D. Lo que da un sistemade coordenadas locales para ∂D que se puede usar para definir funcionesdiferenciables, campos vectoriales tangentes y cotangentes, etc. sobre ∂D.

Teorema 5.6.2 Sea D un dominio regular con frontera en una n−superficieorientada con ∂D 6= ∅. Entonces ∂D es superficie regular orientable dedimension n− 1.

Demostracion. Sea p ∈ ∂D. Se consideran (U, ϕ) y (V, ψ) parame-trizaciones (en M) alrededor del punto p con sistemas de coordenadas(x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) respectivamente. Como p ∈ ∂D, xn = yn = 0en p y xn > 0, yn > 0 en puntos de D− ∂D. Ası que en todos los puntosde U ∩ ∂D son tales que (en el cambio de coordenadas),

yn(x1, · · · , xn−1, 0) = 0

y∂yn∂x1

=∂yn∂x2

= · · · = ∂yn∂xn−1

= 0

por lo tanto, la matriz jacobiana J de la transformacion de coordenadas

ψ ϕ−1 : (x1, · · · , xn) → (yn, · · · , yn)

es

J =

∂y1/∂x1 · · · ∂yn−1/∂x1 0...

...∂y1/∂xn−1 · · · ∂yn−1/∂xn−1 0∂y1/∂xn · · · ∂yn−1/∂xn ∂yn/∂xn

Como J es no singular, sigue entonces que ∂yn/∂xn 6= 0. En reali-dad, ∂yn/∂xn > 0 en ϕ−1(q), donde q ∈ U ∩ ∂D, ya que, si ϕ−1(q) =(q1, · · · , pn−1, 0), entonces yn(q1, · · · , qn−1, t) > 0, donde t esta en un in-tervalo suficientemente pequeno 0 < t < ε. Ahora sean (U, ϕ) y (V, φ)parametrizaciones consecuentemente orientadas, entonces det J > 0 ycomo ∂yn/∂xn > 0, se concluye que

det

∂y1/∂x1 · · · ∂yn−1/∂x1...

...∂y1/∂xn−1 · · · ∂yn−1/∂xn−1

> 0

en ϕ−1(q). Como este es el determinante jacobiano para el cambio decoordenadas de (U, ϕ) a (V , ψ), donde U = U ∩ ∂D, V = V ∩ ∂D,ϕ = ϕ|U y ψ = ψ|V sobre ∂D, se tiene entonces que las cartas (U, ϕ) y(V , ψ), son consecuentemente orientadas. Por lo tanto, ∂D es orientable.♦XLa orientacion inducida sobre ∂D se define como sigue: la base (∂/∂x1, · · · , ∂/∂xn−1)de Tx(∂D) se dice positivamente orientada si la base (∂/∂xn, ∂/∂x1, · · · , ∂/∂xn−1)



es consecuentemente orientada en la orientacion de M. Esto implica quecuando a Hn se le ha dado la orientacion estandar dx1 ∧ · · · ∧ dxn laorientacion inducida de ∂Hn es definida por la clase de equivalencia de(−1)ndx1∧· · ·∧dxn−1. El factor (−1)n ha sido introducido para eliminarun signo desagradable que aparece en el desarrollo de la demostraciondel Teorema Fundamental del Calculo.

5.6.3. Teorema Fundamental del Calculo

Teorema 5.6.3 SeaM una n−superfice orientada y D un dominio regu-lar con frontera ∂D con orientacion inducida. Si w es una (n−1)-formadiferenciable de soporte compacto, entonces

∫

∂D

ω =

∫

D

dω (5.26)

Demostracion. En efecto, si m = 1, ω es de grado cero, quedando elTeorema Fundamental del Calculo Integral en una variable.

Como ambos lados de la igualdad a establecer son lineales sobre w essuficiente, en vista de la definicion de integral sobre superficies, considerarel caso que w tiene soporte compacto C contenido en la imagen de U dela parametrizacion (U, ϕ) con sistema de coordenada (x1, · · · , xn). Maspreciso, se asume que C⊂ ϕ(C) donde C es el hipercubo

C = x = (x1, · · · , xn) : 0 ≤ xi ≤ a.Sea la expresion en coordenadas ϕ∗(w) para w

ϕ∗(ω) =n∑

j=1

(−1)j−1fj(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ .dxn (5.27)

donde el sımbolo indica que el termino se ha omitido. Entonces porel Teorema 5.5.2

ϕ∗(dω) = d[ϕ∗(ω)] =n∑

j=i

∂fj∂xj

dx1 ∧ · · · ∧ dxn. (5.28)

Y por lo tanto,∫

M

dω =

∫

C

( n∑

j=1

∂fj∂xj

)dx1 ∧ · · · ∧ dxn =

n∑

j=1

∫ a

0

· · ·∫ a

0

∂fj∂xj

dx1 · · · dxn,

lo que proporciona (integrando respecto a xj)∫

M

dω =n∑

j=1

∫ a

0

· · ·∫ a

0

[fj(x1, · · · , xj−1, a, xj+1, · · · , xn)−

fj(x1, · · · , xj−1, 0, xj+1, · · · , xn)]dx1 · · · dxj · · · dxn.

(5.29)

Dos posibilidades se necesitan para estudiar (5.26):



(i) C∩∂D = ∅,

(ii) C∩∂D 6= ∅.En el caso (i), fj = 0 cuando xj = 0, o bien xj = a (j = 1, · · · , n) yası cada integral en la suma 5.29 vale cero. con lo que

∫

D

dw = 0,

tambien, como w = 0 sobre ∂M, entonces∫

∂D

w = 0.

En el caso (ii) y como C⊂ ϕ(C) se tiene que todas las integrales del ladoderecho de 5.29 valen cero excepto la ultima y ası

∫

D

= −∫ a

0

· · ·∫ a

0

fn(x1, · · · , xn−1, 0)dx1 · · · dxn. (5.30)

Como xn = 0 en ∂Hn entonces dxn = 0 sobre ∂Hn y por lo tantosobre ϕ−1(∂D), esto implica que 5.27 se transforme (sobre ϕ−1(∂D)) setransforme en

ϕ∗(w) = (−1)n−1fn(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn−1

con lo que (usando el factor de orientacion y 5.30)∫

∂D

w = (−1)n(−1)n−1

∫ a

0

· · ·∫ a

0

fn(x1, · · · , xn−1, 0)dx1 · · · dxn−1 =

∫

D

dw.

Lo que demuestra el Teorema. ♦X

Corolario 5.6.3.1 Si M es una n−superficie compacta y w una (n −1)−forma diferenciable sobre M , entonces

∫

M

dw = 0

§ 5.7. Ejercicios

1. Sea ϕ : R2 → R2 la transformacion dada por Φ(r, θ) = (x, y), esdonde x = r cos θ y y = r sen θ. Encontrar Φ∗(dx ∧ dy).

2. Sea Φ : R3 → R3 la transformacion dada por Φ(r, θ, ϕ) = (x, y, z),en donde

x = r sen θ cosϕ,

y = r sen θ senϕ,

z = r cos θ.

Calcular Φ∗(dx ∧ dy ∧ dz).


5.7. EJERCICIOS 133

3. Sea M una superficie de Rn y f : Rm →M una funcion diferencia-ble y ωi, i = 1, 2 k−formas sobre M. Probar

f ∗(ω1 + αω2) = f ∗ω1 + α f ∗ω2, (α ∈ R),

f ∗(ω ∧ θ) = (f ∗ω) ∧ (f ∗θ),

(f h)∗ω = h∗f ∗ω,

con ω y θ formas sobre M.

4. Sea M una 2−superficie orientada y (x, y, z) las coordenadas enR3, en el entorno de cada punto deM se tiene una parametrizacionϕ : Ω ⊂ R2 → R3, dada por

x = x(u, v),y = y(u, v),z = z(u, v),

con Ω conjunto abierto, ϕ diferenciable y con Dϕ(u, v) de rangodos y tal que mantiene la orientacion. Probar

a) Si dA denota el elemento de area para M, entonces

dA = n1dy ∧ dz + n2dz ∧ dx+ n3dx ∧ dy,

donde n = (n1, n2, n3) es el vector unitario normal exterior aM.

b) dA satisface

n1dA =dy ∧ dz,n2dA =dz ∧ dx,n3dA =dx ∧ dy.

c) ϕ∗(dA) satisface

ϕ∗(dAM) =

√∣∣∣∣∂y∂u

∂y∂v

∂z∂u

∂z∂v

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∂z∂u

∂z∂v

∂x∂u

∂x∂v

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣2

du ∧ dv.

(5.31)

d) Si la parametrizacion ϕ es de la forma ϕ : G→ R3, con

ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)),

con G abierto de R2, entonces,

ϕ∗(dA) =√

1 + (fx)2 + (fy)2 dx ∧ dy.

5. Determinar la derivada exterior de de las formas diferenciales dadaspor



a) (x2 + y)dx+ (x+ y2 + z)dy.

b) xydx+ (x2 + y3)dz.

c) x3dy ∧ dz + ydz ∧ dx− zdx ∧ dy.d) (x4 − xyz)(dy ∧ dz + dz ∧ dx+ dx ∧ dy).

6. Calcular∫Mw, orientando previamente M, en los casos siguientes

a) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1w = y2dy ∧ dz − xdz ∧ dx+ ydx ∧ dy.

b) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1,w = y2dy ∧ dz − ydz ∧ dx+ ydx ∧ dy.

c) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0,w = y2dy ∧ dz − ydz ∧ dx+ ydx ∧ dy.

d) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z = 0,w = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx− ydx ∧ dy.

e) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, |z| ≤ 1,w = 2xdy ∧ dz + 3ydz ∧ dx+ z2dx ∧ dy.

7. Formula de Green. Sean M = R2 con la oririentacion usual,D un un dominio regular compacto con borde en M y ∂D con laorientacion borde. Entonces demostrar que

∫

∂D

αdx+ βdy =

∫

∂D

〈v, t〉 ds =∫ ∫

D

(∂β∂x

− ∂α

∂y

)dxdy,

donde v es el vector (α, β) y t es el vector unitario tangente ypositivo a ∂D.

8. Formula de Gauss o Divergencia. Sean M = R3 con la orien-tacion usual, D un dominio regular compacto con borde em M y∂D la superficie borde con la orientacion borde. Considerar n =(n1, n2, n3) el vector unitario normal exterior a ∂D y v = (a, b, c)un campo vectorial de clase uno en R3. Entonces si

ω = a dy ∧ dz + b dz ∧ dx+ c dx ∧ dy,

demostrar cada una de las siguientes formulas

∫

∂D

w =

∫

D

(∂a∂x

+∂b

∂y+∂c

∂y

)dx dy dz.

∫

∂D

〈v, n〉 dA =

∫

D

(div v

)dV.


5.7. EJERCICIOS 135

9. Formula de Stokes o Rotacional. Sean M una 2−superficieorientada contenida en R3 y D un dominio regular em M con Dcompacto. Sea ∂D con la orientacion borde. Sea n = (n1, n2, n3)la normal exterior a M y t = (t1, t2, t3) el vector unitario tangentepositivo a ∂D. Sea v = (a, b, c) un campo vectorial de clase uno enR3. Demostrar que si ω = a dx+ b dy + c dz, entonces∫

∂D

ω =

∫

D

(∂c∂y

− ∂b

∂z

)dy ∧ dz +

(∂a∂z

− ∂c

∂x

)dz ∧ dx+

( ∂b∂x

− ∂a

∂y

)dx ∧ dy,

lo que equivale a∫

∂D

ω =

∫

∂D

〈v, t〉 ds =∫

D

〈rot v, n〉 dA.

10. Sea C la curva de interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y elplano x+ y + z = 0. Calcular,

∫

C

ydx+ zdy + xdz.

R. πa2√3

11. Sea C La curva de interseccion del cilindro x2 + y2 = 2y y el planoy = z. Calcular

∫

C

(y + z)dx+ (z + x)dy + (x+ y)dz

R. 0

12. Sea C la interseccion del hemisferio x2 + y2 + z2 = 2ax, z > 0 y elcilindro x2 + y2 = 2bx, donde 0 < b < a. Probar que

∫

C

(y2 + z2)dx+ (x2 + z2)dy + (x2 + y2)dz = 2πab2

13. Calcular el volumen de un elipsoide.

14. Una funcion u se dice armonica en un subconjunto abierto G de R3

si u ∈ C2(G) y en G

∆2u = uxx + uyy + uzz = 0.

Demostrar que

a) la funcion

v(x, y, z) =1

[(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2]1/2

es armonica sobre R3 − (a, b, c).



b) Si u es armonica en un abierto Ω de (a, b, c) y Sr es la esfera decentro (a, b, c) y radio r, de tal manera que Sr ⊆ Ω, entonces

u(a, b, c) =1

4πr2

∫

Sr

u dA.

Es decir, el valor de u en el centro es igual al valor medio delos valores de u en la superficie esferica

15. Sean g : R3 → R, f : R3 → R funciones diferenciables y M3 ⊂ R3

un dominio diferenciable compacto con frontera ∂M. Probar que(Primera identidad de Green)

∫

M

〈grad f, grad g〉 v +∫

M

f∆2g v =

∫

∂M

f 〈grad g,N〉 σ

donde v y σ son, respectivamente, el elemento volumen de M y elelemento de area de ∂M y N es el vector unitario normal de ∂M.

Sugerencia: Tomar v = f grad g en la Formula de la Divergencia.

16. Bajo las condiciones del ejercicio 15, probar la segunda identidadde Green∫

M

(f∆2g − g∆2f) v =

∫

∂M

(f 〈grad g,N〉 − g 〈grad f,N〉)σ.


Capıtulo 6

Primera y segunda formafundamental

§ 6.1. Primera forma cuadratica fundamental

En esta seccion se introducira la primera forma cuadratica funda-mental, expresion que permite calcular la longitud de curvass sobre su-perficies. Posteriormente, se analizan algunas de sus propiedades y secaracteiza el area de una superficie en funcion de su primera forma fun-damental.

Sea M una 2−superficie, se restringe el trabajo a una vecindad coorde-nada (U, x) de M. Ası que x(u, v) con (u, v) ∈ U ; y se considera la curvaΓ sobre M definida por la imagen bajo x de

u = u(t), v = v(t), t ∈ J = [a, b]

A lo largo de la curva Γ, x es una funcion de t, es decir, Γ es de la forma

r(t) = x(u(t), v(t)),

con t en un intervalo J.

La longitud de arco s = s(t) esta relacionado con el parametro t (t en elinterior de J) por la formula

s =

∫ t

t0

‖r′(t)‖dt, a < t0 < t (6.1)

aunque r′(t) ∈ Tr(t)M, se puede usar el producto interior del ambiente,

137

138 CAPITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

R3, para obtener entonces

ds2 =‖r′(t)‖2 = 〈r′(t), r′(t)〉

=

⟨∂x

∂u

du

dt+∂x

∂v

dv

dt,∂x

∂u

du

dt+∂x

∂v

dv

dt

⟩

=

⟨∂

∂udu+

∂

∂vdv,

∂

∂udu+

∂

∂vdv

⟩

=

⟨∂

∂u,∂

∂u

⟩dudu+ 2

⟨∂

∂u,∂

∂v

⟩dudv +

⟨∂

∂v,∂

∂v

⟩dvdv,

haciendo

E =

⟨∂

∂u,∂

∂u

⟩, F =

⟨∂

∂u,∂

∂v

⟩, G =

⟨∂

∂v,∂

∂v

⟩. (6.2)

y escribiendo A2 = A · A, entoncesI = ds2 = E du2 + 2F dudv +Gdv2 (6.3)

recibe el nombre de primera forma cuadratica fundamental.

Observaciones

1. La primera forma cuadratica fundamental se puede escribir

I = ds2 = (du, dv)

(E FF G

)(dudv

)

la matriz

F1 =

(E FF G

)

es la matrız asociada a I.

2. La primera forma cuadratica fundamental es definida positiva. Enefecto, como

ds2 = (du dv)

(E FF G

)(dudv

)

y como los puntos de la superficie M son regulares, se tiene

E =

⟨∂

∂u,∂

∂u

⟩> 0, G =

⟨∂

∂v,∂

∂v

⟩> 0,

entonces por la identidad de Lagrange implica que

|F1| = EG− F 2 =∥∥∥ ∂∂u

∥∥∥2∥∥∥ ∂∂v

∥∥∥2

−⟨∂

∂u,∂

∂v

⟩=∥∥∥ ∂∂u

× ∂

∂v

∥∥∥2

> 0

y el criterio de Sylvester, en Algebra Lineal, asegura que la primeraforma cuadratica fundamental es definida positiva1.

1Ver, por ejemplo, Hernandez E. Algebra y Geometrıa, Adisson-Wesley. 1994.pagina 542


6.1. PRIMERA FORMA CUADRATICA FUNDAMENTAL 139

3. ds2 es invariante bajo un cambio de parametro.

Es una aplicacion de la regla de la cadena en la forma cuadraticaal hacer el cambio de variable. En efecto, Sea M una superficie yx(u, v) un sistema de coordenadas locales. Si se realiza el cambio deparametros u = u(α, β), v = v(α, β), entonces la forma cuadraticafundamental en los parametros α, β satisface (para simplificar, porun momento, se denotara A2 = 〈A,A〉):

ds2 =Edα2 + 2F dαdβ + Gdβ2

=

⟨∂x

∂αdα +

∂x

∂βdβ,

∂x

∂αdα +

∂x

∂βdβ

⟩

=

((∂x

∂u

∂u

∂α+∂x

∂v

∂v

∂α

)dα +

(∂x

∂u

∂u

∂β+∂x

∂v

∂v

∂β

)dβ

)2

=

(∂x

∂u

(∂u∂α

dα +∂u

∂βdβ)+∂x

∂v

( ∂v∂α

dα +∂v

∂βdβ))2

=(∂x∂udu+

∂x

∂vdv)2

=

⟨∂x

∂udu+

∂x

∂vdv,

∂x

∂udu+

∂x

∂vdv

⟩

=E du2 + 2F dudv +Gdv2.

Esto demuestra que ds2 es invariante bajo cambio de parametros.

4. La distancia entre p = x(u(t0), v(t0)) y q = x(u(t), v(t)) sobre lacurva Γ puede expresarse en la forma siguiente:

s =

∫ t

t0

√E(dudt

)2+ 2F

du

dt

dv

dt+G

(dvdt

)2dt. (6.4)

5. Sea M una 2−superficie, se supone que la vecindad coordenada(U, x) de M, es tal que x(U) =M. Por lo tanto,

Area (M) =

∫∫

U

∥∥∥ ∂∂u

× ∂

∂v

∥∥∥du dv =

∫∫

U

√EG− F 2 du dv,

por lo tanto, el elemento de area dA, es dado por

dA =√EG− F 2 du dv (6.5)

6. El vector normal exterior a la superficie N = N(u, v) o funcion deGauss esta dada por

N =xu × xv‖xu × xv‖

, (6.6)

lo que equivale a,

N =xu × xv√EG− F 2

, (6.7)

CARLOS A. JULIO-ARRIETA


6.1.1. Angulos de curvas sobre una superficie

Dada una superficie x(u, v) : U ⊂ R2 → R3 y una curva Γ sobre ella,la direccion de la tangente o direccion tangente, viene asociada a

dv

duo (du, dv).

Sean Γ1 y Γ2 dos curvas sobre la superficie con dvdu

y δvδu

respectivamentesus direcciones tangentes, donde se ha empleado la notacion δu, δv paradistinguirlas de du, dv; teniendo en cuenta que δ tiene el mismo sentidoque d.

Se supone que las curvas tienen un punto p regular comun, sea θ el anguloque forman ambas curvas en el punto p y se define el angulo que formandos curvas como el angulo que forman dos vectores en direccion de sustangentes.

Por medio de E,F,G se puede expresar el angulo θ de dos direccionestangentes a la superficie, se tiene

dx = xudu+ xvdv, δx = xuδu+ xvδv

y

cos θ =〈dx, δx〉|dx| |δx|

=〈xu, xu〉 duδu+ 〈xu, xv〉 (duδv + dvδu) + 〈xv, xv〉 duδv

|dx||δx|

=Eduδu+ F (duδv + dvδu) +Gdvδu√

Edu2 + 2Fdu dv +Gdv2√Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

(6.8)

Son particularmente importantes los siguientes casos de la ecuacion 6.8:

1. Para θ = π/2 se tiene la condicion de ortogonalidad de dos direc-ciones sobre la superficie:

Eduδu+ F (duδv + dvδu) +Gdvδv = 0 (6.9)

2. El angulo θ formado por las curvas parametricas u =constante(por consiguiente, du = 0, dv arbitrario) y v =constante (esto es,δu arbitrario, δv = 0) viene dado por

cos θ =Fdvδu√

Gdv2√Eδu2

=F√EG

,

sen θ =√1− cos2 θ =

√EG− F 2

√EG

(6.10)


6.1. PRIMERA FORMA CUADRATICA FUNDAMENTAL 141

3. Las curvas parametricas en (6.10) son ortogonales si F = 0

6.1.2. Ejemplos

1. La esfera. Cuando se eligen como parametros la latitud θ y lalongitud ϕ sus coordenadas estan dadas por las ecuaciones (ver,Figura 6.1):

x =a cos θ cosϕ

y =a cos θ senϕ, (θ, ϕ) ∈ (−π/2, π/2)× (0, 2π)

z =a sen θ.

(6.11)

x

y

z

θφ

Figura 6.1

Con lo que

∂

∂θ= (−a sen θ cosϕ,−a sen θ senϕ, a cos θ), ∂

∂ϕ= (−a cos θ senϕ,−a cos θ cosϕ, 0)

Resulta entonces que

E =

⟨∂

∂θ,∂

∂θ

⟩= a2, F =

⟨∂

∂θ,∂

∂ϕ

⟩= 0, G =

⟨∂

∂ϕ,∂

∂ϕ

⟩= a2 cos2 θ

con lo queds2 = a2 dθ2 + a2 cos2 θdϕ2. (6.12)

Por ser F = 0 se deduce que los meridianos y paralelos son ortogo-nales entre sı.

2. Superficie de revolucion Si se elige el eje z como eje de revolucionde la curva x = f(v), z = g(v) en el plano y = 0 (esta curva es lameridiana de la superficie), la superficie resultante (Figura 2.7 delcapıtulo 2) esta dada por las ecuaciones



x = f(v) cos u, y = f(v) senu, z = g(v) (6.13)

a < v < b y 0 < u < 2π.

Las curvas v =constante son los paralelos y las u =constante, losmeridianos de la superficie. En este caso

∂

∂u=(−f(v) senu, f(v) cos u, 0)

∂

∂v=(f ′(v) cosu, f ′(v) senu, g′(v))

de donde

E =

⟨∂

∂u,∂

∂u

⟩= f 2, F =

⟨∂

∂u,∂

∂v

⟩= 0

G =

⟨∂

∂v,∂

∂v

⟩= (f ′)2 + (g′)2;

con lo que,

I = ds2 = f 2du2 +[(f ′)2 + (g′)2

]dv2 (6.14)

§ 6.2. Segunda forma cuadratica fundamental

En esta seccion se supone que M es una 2−superficie regular y que(U, r) es una parametrizacion alrededor de p ∈ M, U abierto de R2 conlo que

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U

y el vector unitario normal a M, llamado funcion de Gauss, esta dadopor

N = N(p) =ru × rv|ru × rv|

.

La geometrıa de M depende de las formas cuadraticas fundamentales delas cuales ya se ha dado la primera que se representa con ds2. La segundaforma cuadratica fundamental puede obtenerse dando sobreM una curvaΓ que pase por el punto p y tomando el vector de curvatura de Γ en p.Si la curva Γ viene dada cuando u = u(s) y v = v(s) con s el parametrolongitud de arco, entonces se puede representar a Γ sobre M por

r(s) = r(u(s), v(s)), s ∈ J = [0, l]

Si t es el vector tangente unitario de Γ, es decir,

t = r ∈ Tr(s)M,


6.2. SEGUNDA FORMA CUADRATICA FUNDAMENTAL 143

entonces en cada punto p ∈ M, r ∈ R3p y como r, N,N × r forma

una base ortonormal (o simplemente, un referencial ortonormal) paraR3p, entonces existen escalares kn, kg, y α tales que

r = knN + kg(N × r) + α r

La componentes normal kn recibe el nombre de curvatura y la compo-nente tangencial kg recibe el nomber de curvatura tangencial o geodesicamientras que el vector de curvatura es K = r. Al tomar producto interioren ambos miembros de es igualdad se obtiene que α = 0, y ası

r = knN + kg(N × r). (6.15)

Lo que muestra que r esta en el plano generado por los vectores N, (N×r; de igualmanera tomando en esta ultima ecuacion producto interiorpor N y N × r se obtiene

kn = 〈r, N〉 y kg = 〈r, N × r〉 (6.16)

el vector curvaturaK en p es igual a dt/ds = r. Al descomponerK en unacomponente Kn normal y otra componente Kg tangente a la superficie(Figura 6.2) se obtiene que K=Kn+Kg donde

Kn = knN y Kg = kg (N × r); (6.17)

estos reciben el nombre de vectores de curvatura normal y tangencial,respectivamente y k = ‖K‖ es la curvatura en el punto p = r(s). Lacurvatura k satisface

k2 = ‖r‖2 = 〈knN + kg (N × r), knN + kg (N × r)〉 = k2n + kg.

Kg

p

Kn K=dt

ds

Figura 6.2

El escalar kn queda determinado por Γ (no depende de la eleccion desentido de t o N); pero el vector Kn depende en cuanto a su signo delsentido de N .

A continuacion presentamos las siguientes propiedades del vector de cur-vatura normal Kn o simplemente de la curvatura normalkn en p. Enefecto,



1. De la ecuacion 〈N, t〉 = 0, se obtiene por derivacion a lo largo deΓ:

⟨dt

ds,N

⟩= −

⟨t,dN

ds

⟩= −

⟨dr

ds,dN

ds

⟩, (6.18)

Por (6.17) y del hecho

dt

ds= knN + kgN × r,

entonces

kn = 〈knN,N〉 =⟨dt

ds,N

⟩= −

⟨dr

ds,dN

ds

⟩(6.19)

Como

s =

∫ s

s0

|r′(s)|ds

entonces ds2 = 〈dr, dr〉 y ası

kn = −〈dN, dr〉〈dr, dr〉 (6.20)

Se estudia en primer lugar el segundo miembro de esta ecuacion.N y r son ambos funciones de u y v (que a su vez dependen de Γ).Utilizando las identidades

dN = Nudu+Nvdv, dr = rudu+ rvdv. (6.21)

la ecuacion (6.20) puede escribirse en la forma:

kn = −〈ru, Nu〉 du2 + [〈ru, Nv〉+ 〈rv, Nu〉]du dv + 〈rv, Nv〉 dv2E du2 + 2F du dv +G dv2

o bien

kn =e du2 + 2f du dv + g dv

E du2 + 2F du dv +G dv2(6.22)

En esta ultima ecuacion

e = −〈ru, Nu〉 , 2f = −[〈ru, Nv〉+ 〈rv, Nu〉

], g = −〈rv, Nv〉

(6.23)


6.2. SEGUNDA FORMA CUADRATICA FUNDAMENTAL 145

son funciones de u y v, que dependen de las derivadas segundas de rrespecto a u y v, difiriendo en este aspecto de E,F,G, que solo de-penden de las primeras derivadas. Se puede escribir el denominadory el numerado de la ecuacion (6.22) en la forma siguiente:

I = Ip =E du2 + 2F du dv +G dv2 = 〈dr, dr〉 ,II = IIp = e du2 + 2f du dv + g dv2 = 〈dN, dr〉 . (6.24)

Con lo que

kn =II

I.

I es la primera forma fundamental y II es la segunda forma funda-mental.

2. Por ser〈ru, N〉 = 0 y 〈rv, N〉 = 0, (6.25)

se puede tambien escribir en lugar de e, f, g:

e = 〈ruu, N〉 , f = 〈ruv, N〉 , g = 〈rvv, N〉 (6.26)

e =〈ruu, ru × rv〉√EG− F 2

=

∣∣∣∣∣∣

xuu yuu zuuxu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣√EG− F 2

(6.27)

Analogamente

f =〈ruv, ru × rv〉√EG− F 2

, g =〈rvv, ru × rv〉√EG− F 2

(6.28)

Estas formulas (6.27) y (6.28) permiten, una vez dada las ecuacio-nes parametricas sobre una vecindad coordenada de la superficie,calcular inmediatamente e, f y g.

3. De la ecuacion (6.25) se deduce tambien que

〈ru, Nv〉 = 〈rv, Nu〉 ,

de forma que la ecuacion (6.23) puede escribirse en esta otra formamas sencilla:

e = −〈ru, Nu〉 , f = −〈ru, Nv〉 = −〈rv, Nu〉 , g = −〈rv, Nv〉(6.29)



4. Al definir la forma cuadratica Cp en TpM por

Cp(U) = −〈dN(U), dr(U)〉 , U = U1ru + U2rv ∈ TpM,

entonces las ecuacies (6.24) y (6.21) implican que IIp(U) = Cp(U),esto es,

IIp(U) = −〈dN(U), U〉 , ∀U ∈ TpM. (6.30)

De igual manera

Ip(U) = 〈U,U〉 , ∀U ∈ TpM. (6.31)

6.2.1. Ejemplos

1. Esfera. En este caso,

ds2 =a2dθ2 + a2 cos2 θdϕ2, u = ϕ, v = ϕ,

ruu =(−a cos θ cosϕ,−a cos θ senϕ,−a sen θ),ruv =(−a sen θ senϕ,−a sen θ cosϕ, 0),xvv =(−a cos θ cosϕ,−a cos θ senϕ, 0),

√EG− F 2 = a2 cos θ

e =

∣∣∣∣∣∣

−a cos θ cosϕ −a cos θ senϕ −a sen θ−a sen θ cosϕ −a sen θ senϕ a cos θ−a cos θ senϕ +a cos θ cosϕ 0

∣∣∣∣∣∣a2 cos θ

=a3 cos θ

a2 cos θ= a.

Analogamente, se obtiene

f = 0 g = −a cos2 θ

II = a(dθ2 + cos2 θ dϕ2), (6.32)

kn =II

I=

1

a.

En este es el caso, I y II son proporcionales.

2. Superficie de revolucion. Se sabe que al tomar el eje z como ejede revolucion de la curva x = ϕ(v), z = ψ(v) en el plano y = 0,la superficie resultante es una superficie de revolucion y tiene comoparametrizacion la dada por las ecuaciones

r : x = ϕ(v) cos u, y = ϕ(v) senu, z = ψ(v) (6.33)


6.3. CURVATURAS PRINCIPALES 147

a < v < b y 0 < u < 2π. Las curvas v =constante son los paralelosy las u =constante, los meridianos de la superficie. En este caso

∂1 =(−ϕ(v) sen u, ϕ(v) cos u, 0)∂2 =(ϕ′(v) cos u, ϕ′(v) sen u, ψ′(v))

de donde

E = ϕ2, F = 0, G = (ϕ′)2 + (ψ′)2;

con lo que,

I = ds2 = ϕ2du2 +[(ϕ′)2 + (ψ′)2

]dv2 (6.34)

El calculo de la segunda forma cuadratica fundamental es comosigue, se supone que la curva eata parametrizada por la logitud dearco, esto es,

(ϕ′)2 + (ψ′)2 = 1,

Ası,

I = ds2 = ϕ2du2 + dv2

y

e =〈ruu, ru × rv〉√EG− F 2

=

∣∣∣∣∣∣

−ϕ sen u ϕ′ cos u −ϕ cos uϕ cos u ϕ′ sen u −ϕ sen u

0 ψ′ 0

∣∣∣∣∣∣√EG− F 2

= −ϕψ′

f = 0, g = ψ′ϕ′′ − ψ′′ϕ′.

Entonces

II = −ϕψ2du2 + (ψ′ϕ′′ − ψ′′ϕ′)dv2.

§ 6.3. Curvaturas principales

Se usara la primera y segunda forma cuadratica fundamental parahacer una presentacion de las curvaturas principales, Gaussiana y media.Para tal efecto, Sea M una 2−superficie regular, (U, x) una parametriza-cion de M, alrededor de p ∈ U ⊆M, y se escribe x = x(u, v), ∀(u, v) ∈U ⊆ R2. Entonces la primera y segunda forma cuadratica en p de Masociada a esta parametrizacion esta dada por

I = Ip =E du2 + 2F du dv +G dv2,

II = IIp = e du2 + 2f du dv + g dv2.(6.35)



donde

E = 〈xu, xu〉 , F = 〈xu, xv〉 , G = 〈xv, xv〉 ,e =− 〈xu, Nu〉 , f = −〈xu, Nv〉 = −〈xv, Nu〉 , g = −〈xv, Nv〉 .

Entonces se introducen las siguientes matrices simetricas

F1 =

(E FF G

), F2 =

(e ff g

)(6.36)

que son las matrices asociadas a la primera y segunda forma cuadraticafundamenta, respectivamente, en cada punto p ∈ U ⊆M.Adema observe que si

t1 = τ1xu + η2xv, t2 = τ2xu + η2xv

entonces

〈t1, t2〉 = 〈τ1xu + η2xv, τ2xu + η2xv〉=Eτ1τ2 + F (τ1η2 + τ2η1) + Eη1η2

=(τ1, η1)

(E FF G

)(τ2η2

),

si se escribe

T1 =

(τ1η1

), T2 =

(τ2η2

).

entonces〈t1, t2〉 = T t1F1T2. (6.37)

Por otro lado, escribiendo el vector tangente r = uxu + vxv como

T =

(uv

)

y por un calculo similar al anterior se tiene

kn = T tF2T (6.38)

Definicion 6.3.1 Las curvaturas principales de una superficie son lasraıces de la ecuacion

det(F1 − kF2) = 0, (6.39)

es decir,

det

(e− kE f − kFf − kF g − kG

)= 0 (6.40)

Como 6.40 es una ecuacion cuadratica de variable k, existen dos raıces.A priori, estas podrıan ser numeros complejos. Por lo tanto, se demos-trara que las curvaturas principales son siempre reales. Note que si F1 es



la matriz identidad (lo que sucede cuandoM = R2), entonces la ecuacion6.39 se convierte en la ecuacion para el calculo de autovalores de F2; y unresultado estandar del Algebra Lineal proporciona que los autovalores deuna matriz simetrica son numeros reales. Como F1 es invertible, entonces6.39 es equivalente a

det(F1(F−11 F2 − kI2)) = 0,

esto es,det(F1) det(F−1

1 F2 − kI2)) = 0,

con lo quedet(F−1

1 F2 − kI2) = 0, (6.41)

y ası las curvaturas principalesson los autovalores de F−11 F2. Pero el

producto de matrices simetricas no necesariamente es simetrica. Con elsiguiente Teorema resolvemos esto y mucho mas.

Teorema 6.3.1 Sea M una 2−superficie regular y p ∈M. Si (U, x) conx = (u, v) es una parametrizacion de M alrededor de p y N es la funcionde Gauss asociada a esta parametrizacion, entonces

(a) La diferencial dNp : TpM → TpM de la funcion de Gauss es unatransformacion lineal auto-adjunta,

(b) existen escalares reales a, b,, c y d tales que

Nu = a xu + b xv, Nv = c xu + d xv, (6.42)

(c) Se tiene que

dNp =

(a cb d

)= −F−1

1 F2. (6.43)

Demostracion.

(a) Como dNp es una transformacion lineal y xu, xv es una base paraTpM , es suficiente demostrar que

〈dNp(xu), xv〉 = 〈xu, dNp(xv)〉 .

Para tal efecto, sea

α(t) = x(u(t), v(t)), t ∈ J = [−a, a], a > 0

una parametrizacion de una curva en M con α(0) = p, entonces

dNp(α′(0)) =dNp(xuu

′(0) + xvv′(0))

=(dNp)

(u′(0)v′(0)

)

=Nuu′(0) +Nvv

′(0).

(6.44)



En particular,

dNp(xu) = Nu, y dNp(xv) = Nv.

Por lo tanto, para demostrar que dNp es auto-adjunto, es suficienteprobar que

〈Nu, xv〉 = 〈xu, Nv〉 .Pero esto de obtiene de la sigiente manera, como 〈N, xu〉 = 0 =〈N, xv〉 , entonces

〈Nv, xu〉+ 〈N, xvu〉 =0

〈Nu, xv〉+ 〈N, xuv〉 =0,

ası

〈Nu, xu〉 =− 〈N, xvu〉=− 〈N, xuv〉= 〈xv, Nv〉 .

Lo que demuestra que dNp es auto-adjunto. Y la parte (a) quedademostrada.

(b) Como

N =xu × xv‖xu × xv‖

,

entonces N ⊥ Nu y N ⊥ Nv; lo que muestra que Nu, Nv ∈ TpM,por lo tanto existen escalares a, b, c, d ∈ R tales que

Nu = a xu + b xv, Nv = c xu + d xv

(c) Por la parte (a),

Nu = a xu + b xv, Nv = c xu + d xv,

y tomando producto interior por xu, xv se tiene

−e = aE + bF − f = cE + dF

−f = aF + bG − g = cF + dG

esto muestra que

−(e ff g

)=

(E FF G

)(a cb d

).

Por lo tanto,

−F−11 F2 =

(a cb d

).



Y el Teorema queda demostrado. ♦X

Definicion 6.3.2 Sea M una 2−superficie. Si k1, k2 son las curvaturasprincipales de en p, entonces

(a) K = k1k2 recibe el nombre de curvatura Gaussiana de M en p.

(b) H = (k1 + k2)/2 recibe el nombre de curvatura media de M en p.

Definicion 6.3.3 Un punto p de una 2−superficie M se dice

(a) eliptico si det(dNp) > 0,

(b) hiperbolico si det(dNp) < 0,

(c) parabolico si det(dNp) = 0 y dNp 6= 0,

(d) planar si dNp = 0.

Observaciones. Para una 2−superficie M y por el Teorema inmediata-mente anterior se tiene

1. en cada punto p ∈M (a cb d

)= dNp

2. Las curvaturas principales son los autovalers de −dNp, p ∈M

3. Como

−F−11 F2

(a cb d

),

entonces resolviendo se tiene

a =fF − eG

EG− F 2c =

gF − fG

EG− F 2

b =eF − fE

EG− F 2d =

fF − gE

EG− F 2.

4. Si k1, k2 son las curvaturas principales, entonces la curvatura Gaus-siana satisface

K = k1k2 = det(dNp) =eg − f 2

EG− F 2.

5. Para calcular la curvatura media, se recuerda que −k1, −k2 sonautovalores de dN. Por lo tanto9, k1 y k2 satisfacen la ecuacion

dN(v) = −kv = −kI(v)

para todo v ∈ TpM, v 6=, donde I es la funcion identidad, con loque

det

(a+ k cb d+ k

)= 0,



equivalentemente,

k2 + (a+ d)k + ad− bc = 0 (6.45)

como k1 y k2 son raıces de la ecuacion 6.45, se tiene que

−(k1 + k2) = a+ d,

por lo tanto,

H =k1 + k2

2= −1

2(a+ d) =

1

2

eG− 2fF + gE

EG− F 2. (6.46)

Ası,k2 − 2H +K = 0

y por lo tanyo,k = H ±

√H2 −K.

De esta relacion, se tiene que si k1(q) ≥ k2(q), q ∈ M, entonceslas funciones k1 y k2 son funciones continuas en M. Mas aun, k1 yk2 son funciones diferenciables en M. excepto posiblemente, en lospuntos umbılicos de M, esto es, cuando k1 = k2, equivalentemente,cuando H2 = K.

§ 6.4. Ejercicios

Primera forma cuadratica fundamental

1. La esfera S2 admite las siguientes ecuaciones parametricas (ver Fi-gura 6.8):

α(θ, ϕ) = (sen θ cosϕ, sen θ senϕ, cos θ), (θ, ϕ) ∈ (0, π)× (0, 2π)

x

y

z

θ

φ

Figura 6.8


6.4. EJERCICIOS 153

Demostrar que E = 1, F = 0, G = sen2 θ y por lo tanto

ds2 = dθ2 + sen2 θdϕ2.

2. Las superficies siguientes se dan en forma parametrica.

a) Paraboloide hiperbolico:

x = au cosh v, y = bu senh v, z = u2.

b) Elipsoide:

x = a sen u cos v, y = b sen u sen v, z = c cos u.

c) Hiperboloide de dos hojas:

x = a senh u cos v, y = b senh u sen v, z = c cosh u.

d) Cono:

x = a senh u senh v, y = b senh u sen v, z = u2.

e) Paraboloide elıptico:

x = au cos v, y = bu sen v, z = u2.

Escribrir las ecuaciones de estas superficies en la forma F (x, y, z) =0. Calcular la primera forma cuadratica fundamental.

3. Demostrar que el paraboloide hiperbolico se puede representar tam-bien por las ecuaciones

x = a(u+ v), y = b(u− v), z = uv,

y calcular la primera forma cuadratica fundamental.

4. Calcular ds2 para la superficie x = u, y = v, z = uv.

5. Dada una superficie por la ecuacion z = f(x, y).

a) Hallar la primera forma cuadratica fundamental y el campovectorial unitario normal exterior a la superficie N.

b) Demostrar que el elemento de area de la superficie cuya ecua-cion de z = f(x, y) es dA =

√1 + p2 + q2dxdy, donde p =

∂z/∂x, q = ∂z/∂y.

6. Hallar la primera forma cuadratica fundamental para la superficieM de ecuacion implıcita F (x, y, z) = 0, en la que se supone quetodos sus puntos son regulares.

Segunda forma cuadratica fundamental



7. Calcular la segunda forma cuadratica fundamental, las curvaturasprincipales, la curvatura gaussiana y media de las superficies dadasen la seccion anterior. Ademas encuentre cuales puntos son elipti-cos, hiperbolicos, parabolicos y planares.

8. ¿Cual es la segunda forma cuadratica fundamental cuando la su-perficie esta dada por la ecuacion z = f(x, y)?

9. Hallar los puntos umbilicales del elipsoide y demostrar que los pla-nos tangentes en dichos puntos son paralelos a las secciones cıclicasde aquel (es decir, a los planos que cortan al elipsoide en circunfe-rencias).


Capıtulo 7

Geometrıa intrınseca desuperficies en R3.


§ 7.2. Isometrıas

§ 7.3. Ecuaciones de compatibilidad.

§ 7.4. Metricas y 2-superficies riemannianas

§ 7.5. Derivada covariante, transporte paralelo

§ 7.6. Geodesicas

§ 7.7. Curvatura geodesica y propiedades

§ 7.8. Teorema de Gauss - Bonnet y el teorema deMorse

§ 7.9. Ejercicios

156 CAPITULO 7. GEOMETRIA INTRINSECA DE SUPERFICIES EN R3.


Apendice A

Particiones de la unidad

§ A.1. Particiones diferenciables de la unidad

En el estudio de diversos temas del analisis global y la geometrıa, esde particular utilidad la tacnica de las particiones de la unidad, ya quereduce tal estudio a uno local.

Antes de entrar en materia se recuerda

(a) Si A y B son subconjuntos no vacıos de Rn entonces la distanciaentre A y B esta dada por

d(A,B) = ınf|x− y| : ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

En particular, si x ∈ Rn, entonces la distancia de x a B esta dadapor

d(x,B) = ınf|x− y| : ∀y ∈ B.

(b) Sea r > 0 y x ∈ Rn. Si la bola abierta de centro x y radio r,B(x, r), es tal que B(r, x) ⊂ U para algun abierto U de Rn, entoncesd(x, U c) > r.

En efecto, claramenta d(x, U c) ≥ r. Si d(x, U c) = r, la definicion ınfmuestra que exsiste una sucesion yn ⊂ U c tal que |x − yn| → r,entonces yn esta acotada. Por lo tanto, existe una subsucesionynk

de yn que converge y ∈ Rn; como U c es cerrado y ∈ U c, y

entonces por hipotesis y 6∈ B(x, r). Por otro lado,

|x− y| ≤ |x− ynk|+ |ynk

− y|, ∀k

y tomando lımite cuando k → ∞, se tiene que |x − y| ≤ r. Estodemuestra que y ∈ B(x, r), que es una contradiccion.

Lema A.1.1 Dados r, q ∈ R tal que 0 < r < q, entonces existe unafuncion diferenciable ϕ : Rn → R con las siguientes propiedades: paracada x0 ∈ Rn,

157

158 APENDICE A. PARTICIONES DE LA UNIDAD

(a) ϕ(x) = 1, si x ∈ B(x0, r)

(b) 0 < ϕ(x) ≤ 1, si x ∈ B(x0, q)

(c) ϕ(x) = 0, si x 6∈ B(x0, q) (y por lo tanto, ϕ(x) = 0 en el exteriorde B(x0, q) )

Demostracion. Se desea construir en Rn una funcion real que, para elcaso de R2, se comporte como la Figura A.1.

1

qr

Figura A.1

para empezar, sean r, q ∈ R con 0 < r < q y se considera la funcionα : R → R, (ver, Figura A.2) dada por

α(t) =

e−

1(t+r)(t+q) , si t ∈ (−q,−r)

0 , si t /∈ (−q,−r)

−q −r 0

Figura A.2

La funcion α es una simple modificacion de la funcion bien conocidae−1/x2 y el hecho importante es que α es C∞ en todos sus puntos (en lospuntos −q y −r las derivadas de todos los ordenes son nulas).

Si se toma ahora la integral (ver, Figura A.3),

∫ t

−∞α(s)ds = γ(t)


A.1. PARTICIONES DIFERENCIABLES DE LA UNIDAD 159

1

−q −r 0

Figura A.3

se observa que la funcion γ es diferenciable cuyo valor maximo (en elpunto −r) esta dado por

∫ −r

−qα(s)ds = A

Por lo tanto, haciendo

β(t) =γ(t)

A,

Se obtiene una funcion diferenciable β : R → R tal que:

β(t) = 0, si t ≤ −q,0 ≤ β(t) ≤ 1, si t ∈ [−q,−r],β(t) = 1, si t ≥ −r

La funcion pedida ϕ : Rn → R sera finalmente obtenida, haciendo ϕ(x) =β(−|x− x0|), x ∈ Rn. ♦X

Teorema A.1.1 Sea X un subconjunto de Rn y Aα un recubrimientoabierto de X. Entonces existe una coleccion Φ de funciones reales ϕ declase C∞ definidas sobre un conjunto abierto que contiene a X, con lassiguientes propiedades:

(a) Para cada x ∈ X, se tiene 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1.

(b) Para cada x ∈ X existe un conjunto abierto V de Rn, con x ∈ V talque todas las funciones de Φ, excepto un numero finito, se anulanen V.

(c) Para cada x ∈ X, ∑

ϕ∈Φφ(x) = 1

(d) Para cada ϕ ∈ Φ existe α tal que sopϕ ⊂ Aα. Donde

sopϕ = x ∈ Rn : ϕ(x) 6= 0



En virtud de (b) para cada x, la suma en (c) es finita en un conjuntoabierto que contiene a x.

(Una coleccion Phi que satisfaga las condiciones (a), (b) y (c) se deno-mina una bf particion de la unidad para X por funciones de clase C∞.Si Φ satisface tambien (d) se dice que la coleccion de funciones Ψ es unaparticion de la unidad para X subordinada al cubrimiento abierto Aαde X.

Demostracion. SeanA =

⋃Aα

y x1, · · · , xm, · · · , xm, · · · una ordenacion de los puntos de A con coor-denadas racionales. Para cada xi existe α tal que xi ∈ Aα y por lotanto, exsite δxi = δi con B(xi, δi) ⊂ B(xi, 2δi) ⊂ Aα. Sean ψi, i =1, 2, · · · ,m, · · · , la funcion dada por el Lema A.1.1 y asociada conB(xi, 2δi),esto es,

(a) ψi(x) = 1, si x ∈ B(xi, δi)

(b) 0 < ψi(x) ≤ 1, si x ∈ B(xi, 2δi)

(c) ψi(x) = 0, si x 6∈ B(xi, 2δi),

se define entonces

ϕ1 = ψ1

ϕ2 = (1− ψ1)ψ2

...

ϕi+1 = (1− ψ1)(1− ψ2) · · · (1− ψi)ψi+1

...

(A.1)

Por otro lado,

ϕ1 = ψ1 = 1− (1− ψ1)

ϕ1 + ϕ2 = 1− (1− ψ1) + (1− ψ1)ψ2 = 1− (1− ψ1)(1− ψ2)

...

ϕ1 + · · ·+ ϕi+1 = 1− (1− ψ1)(1− ψ2) · · · (1− ψi)(1− ψi+1)

...

(A.2)

La familia ϕ1, · · · , ϕm, · · · cumple con las condiciones pedidas. En efec-to, (a) es evidente por la construccion de ψi y la definicion de ϕi.

Ahora se supone que x ∈ X, entonces existe j, tal que x ∈ B(xj, δj) ypara este ındice ψi(y) = 1 para todo y ∈ B(xj, δj). Luego, si m > j,las ecuaciones proporcionadas en A.1 implican que ϕm(y) = 0, lo que


A.1. PARTICIONES DIFERENCIABLES DE LA UNIDAD 161

muestra (b). Tambien, por las ecuaciones dadas en A.2, se tiene entoncesque

∞∑

i=1

ϕi(y) =

j∑

i=1

ϕi(y) = 1.

Lo que demuestra (c). Para ver (d) basta tener en cuenta que

sopϕi ⊂ B(xi, δi) ⊂ Aα

para algun α. ♦X

Otra demostracion del Teorema A.1.1

Demostracion. Cada Aα se puede escribir como X ∩ Wα par algunconjunto abierto Wα en Rn. Sea W =

⋃αWα y sea Kj cualquier sucesion

encajada de subconjuntos compactos que agoten al conjunto abierto W,esto es, ⋃

Kj = W y Kj ⊆ int (Kj+1)

La coleccion de todas las bolas abiertas de Rn cuya clausura esta en almenos un Aα es un cubrimiento abierto de W. Se selecciona un numerofinito de tales bolas que cubren a K2. Por el Lema A.1.1, a cada bolaseleccionada se le puede encontrar una funcion diferenciable no negativasobre Rn que es identicamente uno sobre esa bola y cero en el exteriorde un conjunto cerrado contenido en uno de los Wα. Se denotan estasfunciones con η1, η2 · · · , ηr (ver, Figura A.4).

Kj−2

Kj − int (Kj−1)

W

Figura A.4

Se continua construyendo una sucesion de funciones inductivamente. Pa-ra j ≥ 3, el conjunto compacto Kj − int (Kj−1) esta contenido en elconjunto abierto W −Kj−2.

La coleccion de todas las bolas abiertas suficientemente pequenas quetienen su clausura contenida en W − Kj−2 y en algun Wα forman un



cubrimiento abierto de Kj − int (Kj−1). Por la compacidad, se extraeun subcubrimiento finito y entonces se adiciona a la sucesion ηi unafuncion por cada bola; la funcion es igual a uno sobre la bola y cero en elexterior de un conjunto cerrado contenido en W −Kj−2 y en algun Wα.

Por construccion, para cada j solo un numero finito de funciones ηi sondiferentes de cero sobre Kj. Por lo tanto, cualquier punto de W esta enel interior de algun Kj y entonces la suma

∞∑

j+1

ηj

es realmente finita en un conjunto abierto de cualquier punto de W.Ademas, almenos un termino es diferente de cero en cualquier punto deW y por lo tanto,

ηi∑∞j=1 ηj

es una funcion diferenciable bien definida. Si θi es la restrccion de estafuncion a X, entonces la familia de funciones θi es la buscada y elTeorema queda demostrado. ♦X


Bibliografıa

[1] Do Carmo, M., Differential Geometry of Curves and Superfaces.Printece - Hall, New Jersy. 1976. Es un libro practicamente clasi-co, basico y presenta de manera adecuada los temas de geometrıadiferencial en superficies inmersas en R3, hace un buen aprovecha-miento de la geometrıa intrinsica de las superficies bi-dimensional,ademas deja claro el problema local y global de las superficies; co-mo temas importantes para entrar a estudiar, con bases solidas, elarea de la Geometrıa Diferencial. Este libro esta escrito en 503paginas y consta de 5 capıtulos basicos que, naturalmente, deberianser estudiados en un primer curso introductorio.

[2] Do Carmo, M., Geometrıa Riemanniana. 2a Edicao.Rio de Ja-neiro. Brasil. 1988. Este libro, de 299 paginas relativamente casico,presenta los temas introductorios y basicos de la Geometrıa Rieman-niana, es muy ameno en su lectura, pero de cuidado. La GeometrıaRiemanniana es buena parte del nucleo basico para estudio de laGeometrıa diferencial, es comparable con el Analisis Funcional en elestudio del Analisis Matematico Teorico y Aplicado.

[3] Fomenko, A. T., Symplectic Geometry. Moscuw. 1998. Es un librode 387 paginas empieza el estudio de la Geometrıa Simplectica desdelos espacios vectoriales reales de dimension par con productos inte-riores simplecticos y entra suavemente en el estudio de la GeometrıaSimplectica de Variedades Diferenciables tocando posteriormente lossistemas Hamiltonianos y los metodos efectivos de construccion desistemas completamente integrables entre otros. El autor hace agra-dable el estudio de la Geometrıa Simplectica y la muestra como unaarea importante de la Matematica.

[4] Frankel, T., The Geometry of Physics. Cambrige University.2001. Este libro de 666 paginas, muy interesante para profesiona-les que desean usar los Metodos de la Geometrıa Diferencial comoherramienta para modelar los problemas de la Fısica Teorica, en par-ticular, hace un gran efuerzo para presentar, de manera adecuada, la

163

164 BIBLIOGRAFIA

combinacion entre el Analisis Matematico, la Geometrıa y la Fısica.Una lectura de este libro serıa muy provechosa si de antemano seestudia [1].

[5] Gallot-Hullin-Lafontaine, Riemannian Geometry. 2a ed.,Springer. 1990. Este libro de 284 pagina de un buen nivel introduc-torio basico de la Geometrıa Riemanniana y Analisis Geometrico,tiene como base previa el estudio de los Fundamentos de VariedadesDiferenciables y Grupos de Lie, por ejemplo [8].

[6] O’Neill, B., Semi-Riemannianan Geometry: Aplication to Re-lativity. University of California. Los Angeles California. Acade-mic Press. 1983. 468 paginas. Excelente libro de Geometrıa Semi-Riemanniana con aplicaciones especiales a la Teorıa de la Relativi-dad y a la Cosmologıa.

[7] Spivak, M., A comprehensive Introduction to DifferentialGeometry. Publish or Perish. 1990. Es una interesante recopila-cion, 2.785 paginas en 5 volumenes, de estudios en Geometrıa Di-ferencial. Todo estudiante de Geometrıa Diferencial ha consultadomuchas veces estos cinco volumenes.

[8] Warner F. W., Fundations of Differentiable Manifolds and LieGrupos. Springer. 1983. Un excelente libro de 274 paginas, muy im-portante en el area de la Geometrıa Diferencial, contiene de maneramuy adecuada y simplificada los temas de Calculo en Variedadesnecesarios para estudiar y entender comodamente Geometrıa Dife-rencial y en particular para abordar las areas de Geometrıa Semi-Riemanniana, Riemanniana, Sub-Riemanniana, Analisis Geometri-co y Simplectica entre otras lıneas especıfica de la Geometrıa Dife-rencial.


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Carlos Antonio Julio Arrieta - comunidad.udistrital.edu.cocomunidad.udistrital.edu.co/cjulio/files/2015/09/Lib-CS.pdf · Vector normal, plano osculador y ... 3.5. Ejercicios ... Primera