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7/25/2019 Carlos f Torres El Problema de Difusion Unidimensional
Como Aplicacion Del Teorema de Duhamel
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El problema de difusin unidimensional comoaplicacin del teorema
de Duhamel
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Artculo de Investigacin Revista Ciencia e Ingeniera. Vol. 31,
No. 1, pp. 61-64, diciembre-marzo, 2010. ISSN 1316-7081
Revista Ciencia e Ingeniera. Vol. 31, No. 1, diciembre-marzo,
2010
El problema de difusin unidimensional como aplicacin del
teorema de Duhamel
The one-dimensional diffusion problem as an application of
theDuhamels theorem
Tempo, Ruth1; Rujano, Jos
2y Torres-Monzn, Carlos
2
1Departamento de Medicin y Evaluacin. Facultad de Humanidades.
ULA2Departamento de Ciencias Trmicas. Facultad de Ingeniera.
ULA
Mrida, 5101, [email protected]
Recibido: 11-03-2009 Revisado: 13-01-2010
Resumen
En este trabajo se aplica el teorema de Duhamel para resolver el
problema de difusin unidimensional con condiciones de
borde dependientes del tiempo, con una sola no homogeneidad y
condicin inicial igual a cero. Existen muchos problemas
de la ingeniera donde las condiciones de borde de los problemas
de difusin son funciones que dependen del tiempo. El
teorema de Duhamel provee una herramienta para el desarrollo de
las soluciones del problema unidimensional de difusin
con condiciones de borde dependientes del tiempo al relacionarla
con la correspondiente solucin de un problema auxiliar
de difusin simple, y la superposicin de la condicin de borde
dependiente del tiempo.
Palabras clave:Ecuacin de difusin, teorema de Duhamel,
condiciones de borde.
Abstract
In this paper we apply the Duhamels theorem for the solution of
the one-dimensional diffusion problem with time depen-
dent boundary conditions with only one non-homogeneity and
initial condition equal to zero. There are many engineering
problems where the boundary conditions are function time
dependent. Duhamels theorem provides a powerful tool to deve-
lop solutions for one-dimensional diffusion problems with time
depend boundary conditions, when related to the correspond
solution of a simple auxiliary problem and the superposition of
the time dependent boundary condition.
Key words:Diffusion equation, Duhamels theorem, boundary
conditions.
1Introduccin
Por lo general, el problema en difusin se ocupa de lasolucin de
una ecuacin diferencial parcial de segundo or-den, que obedece una
ley de conservacin y una ley consti-tutiva, con condiciones
iniciales y de borde dependientesdel tiempo. El problema de difusin
unidimensional simple,es un caso particular, con condicin inicial
igual a cero, ycon condiciones de borde independientes del tiempo.
Este
problema simple puede ser resuelto por varios mtodos, en-tre
ellos: separacin de variable, desarrollo de Fourier, fun-cin de
Green entre otros (Logan, 1996). Por otra parte, elteorema de
Duhamel permite extender las soluciones del
problema de difusin simple cuando las condiciones de
borde dependen del tiempo.
Este trabajo se enfocar, en el desarrollo del principiode
Duhamel, con la finalidad de obtener la distribucin so-lucin del
problema de difusin unidimensional con distri-
bucin inicial igual a cero, y condiciones de borde depen-dientes
del tiempo, con una sola no homogeneidad. Estemtodo es aplicable a
problemas lineales, porque esta basa-do en el principio de
superposicin.
2El principio de Duhamel
El propsito de este principio es mostrar cmo mani-pulando
algebraicamente la transformada de Laplace, sepueden incorporar
fenmenos subyacentes en relacin con
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la solucin de ecuaciones diferenciales (Farlow, 1993).
Esteprincipio tiene interpretacin en ecuaciones
diferencialesordinarias, pero aqu se ilustrar en el contexto de las
ecua-
ciones diferenciales parciales, especficamente en un pro-blema
de difusin con condiciones iniciales y de borde(Bartels et al,
1942, y Sneddon, 1951).
SeaRuna regin en el espacio tridimensional y consi-drese un
problema de difusin no homogneo en la regin
R, con condiciones de borde dependiente del tiempo de
laforma:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2 en la regin 0
en la frontera 0
para 0 en la regin
i i i
i
tt g t R t
t
th t t S t
n
t F t R
+ = >
+ = >
= =
r,r, r, ,
r,r, r, ,
r, r ,
(1)
donde ( )g tr, y ( )i t r, son trminos que dependen del
tiempo, hi es un coeficiente constante, r en R y
ni
es la parcial de ( )t r, con respecto a la normal ex-
terior de la superficie iS , y ( )F r es la condicin inicial
en
R . Entonces, el teorema de Duhamel relaciona la solucin
( )t r, del problema (1), a la solucin del problema auxi-
liar ( )w t r, , usando la siguiente expresin integral:
( ) ( ) ( )0
, ,, ,
t
w x tt F dt
= + r r (2)
donde w es la solucin del problema auxiliar:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2 en la regin 0
en la frontera 0
para 0 en la regin
i i i
i
w tw t g t R t
t
w th w t S t
n
w t F t R
+ = >
+ = >
= =
r, ,r, , r, ,
r, ,r, , r, ,
r, , r .
(3)
3Teorema de Duhamel para el caso unidimensional con
una sola no homogeneidad y difusin inicial cero
Se supone ahora el problema de difusin unidimensio-nal zisik M,
1992, Heat Conduction, John Wiley & Sons.,con las siguientes
condiciones de borde e iniciales:
( )
2
2 0 1 0
0 0
= 0 1 0
=0 0 0 1.
x ttx
t x tx
x tx
t x
= < < >
= = >
= >
=
(4)
Por el teorema de Duhamel anteriormente enunciado,se puede
determinar la solucin del problema consideradosi se determina
primero la solucin de la versin simple,
esto es:2
2 0 1 0
1 0 0
= 0 1 0
=0 0 0 1.
w wx t
tx
wx t
x
wx t
x
t x
= < < >
= = >
= >
=
(5)
El problema (5) puede ser resuelto aplicando separa-cin de
variables o transformada de Laplace. Al aplicartransformada de
Laplace al problema (5), resulta la siguien-te ecuacin diferencial
ordinaria:
( )
( )
( )
2
20
10
1 0.
d WsW x
d x
dW
d x s
dW
d x
=
=
=
(6)
La solucin del problema (6) es:
( )( )1
(2 ) 2
3 2
1( , ) 1x s x s sW x s e e e
s
= + (7)
La ecuacin (7), es invertible expandiendo el ltimotrmino en una
serie binomial y aplicando transformada in-versa:
( )( )
( )
( )
( )
2
2
2
4
0
2 2
4
0
4 22
2
4 2 22 22
n x
t
n
n x
t
n
t n xw x t e n x erfc
t
t n xe n x erfct
+
=
+
=
+ = +
+ + +
,
(8)
Myres, 1976, determin una solucin al problema (5)usando el mtodo
de separacin de variables, su resultadofue:
( ) ( )
( )( )( )
2
21
2 1 t n
n
cos x nw x,t t e
n
=
= +
(9)
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Las ecuaciones (8) y (9), son soluciones del problema(5), y las
dos resultan en la misma distribucin. Esta distri-
bucin puede apreciase para diferentes tiempos en la Fig. 1.
Fig. 1. Solucin del problema (5) para diversos tiempos
Ahora, el problema (4) puede ser resuelto mediante laaplicacin
del teorema de Duhamel, donde la condicin ini-cial es cero, la
ecuacin (2) se simplifica a:
( ) ( )
( ) ( )
0 0
, , ,,
t tw x t w x t t d d
t t
= =
r (10)
4Resultados
Los resultados numricos del problema de difusinexpuesto en (4),
se presentan para tres ejemplos de conduc-cin de calor
unidimensional. Los flujos ( )t , son aplica-
dos en el extremo izquierdo de una lmina de material con-ductor
y homogneo, con temperatura inicial uniforme, deuna unidad de
longitud, y aislada en el extremo derecho(Ver la fig.2). Para
generalizar los resultados, el problemase resolvi de manera
adimensional (Carslaw y Jaeger,1959).
Fig. 2. Problema de conduccin de calor unidimensional
Las figuras 3, 4 y 5 muestran la solucin del problemade difusin
para varios tiempos y tres condiciones de fron-
tera ( ) = ,t t ( ) ( )costt e t = , y ( ) tt e =
respectiva-
mente.
Fig. 3. Solucin del problema de conduccin con un flujo ( ) =t t
en el
extremo izquierdo
Fig. 4. Solucin del problema de conduccin con un flujo ( ) (
)costt e t =
en el extremo izquierdo
Fig. 5. Solucin del problema de conduccin con un flujo ( ) tt e
= en el
extremo izquierdo
Para las diferentes condiciones de frontera aplicadas,las
distribuciones de temperatura obtenidas mediante laecuacin 10
(figs. 3,4 y 5), varan notablemente. El flujo decalor aplicado al
extremo izquierdo de la lamina, gobiernael proces de adicin de
energa. Tambin se observa el in-
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cremento de temperatura con el tiempo para toda la lmina,en
todas las condiciones de frontera aplicadas. Esto se debea que el
flujo de calor en el extremo derecho se fijo igual a
cero, y por tanto, la energa suministrada en el extremo
iz-quierdo, debe ser almacena en la lmina en forma de tempe-ratura.
A mayor velocidad del flujo de calor en el extremoizquierdo, ms
rpidamente se incrementara la temperaturaen el interior de la
lmina.
5Conclusiones
El teorema de Duhamel provee una poderosa herra-mienta en el
desarrollo de la solucin del problema de difu-sin con condiciones
de borde dependiente del tiempo, re-lacionando la misma con la
correspondiente solucin de un
problema donde las condiciones de borde son independien-tes del
tiempo. De esta manera, muchos problemas de inge-niera que conducen
a ecuaciones de difusin con condicio-
nes de borde dependientes del tiempo pueden ser resueltos.
Referencias
Bartels R, y Churchill R, 1942, Bull. Amer. Math. Soc.,Vol. 48,
pp. 276-282.Carslaw H, y Jaeger J, 1959, Conduction of Heat in
Solids,Clarendon Press, London.Farlow S, 1993, Partial Differential
Equations for Scientistand Engineers, Dover, New York.Logan J,
1996, Applied Mathematics, John Wiley & Sons,
New York.Myers G, 1976, Analytical Methods in Conduction
HeatTransfer, McGraw-Hill, New York.zisik M, 1992, Heat Conduction,
John Wiley & Sons.Sneddon IN, 1951, Fourier Transforms,
McGraw-Hill, NewYork.
