Carlos Pascual Morena

FUNDAMENTOS TEÓRICOS En el vaciado de un depósito (en este caso una bureta) se debe tener en cuenta que el flujo de salida es proporcional a la diferencia de la altura del nivel del líquido, en este caso agua (que es incompresible), entre la superficie del líquido y el conducto de salida. Dicho de otro modo, a medida que el nivel disminuye, el flujo de salida también lo hace. En esta práctica se calculará qué relación guarda. Trabajando la fórmula de la tasa de vaciado: se obtiene la relación entre “y” (que varía con el tiempo) e y0 (altura inicial):

Introduciendo neperianos a ambos lados de la fórmula, se consigue:

En la gráfica, en el “eje y” se representará “Ln(y)”, y en el “eje x” el tiempo. La pendiente “m” corresponderá a “-C/ρS”, y la “b” a “Ln(y0)”. 2

PROCEDIMIENTO DE LA PRÁCTICA Se tomó como depósito una bureta con un volumen inicial V0

(bureta llena) de 25cm3 de agua, un líquido incompresible y de densidad 1gr/cm3.

Con el fin de obtener los datos necesarios (disminución del volumen respecto al tiempo), se procedió de la siguiente manera:

Teniendo el volumen inicial de agua, se abría la llave de la bureta a la vez que se empezaba a medir con el cronómetro. Cuando el nivel llegaba a 23 cm3, se paraba el cronómetro y se cerraba la bureta.

Se rellenaba de agua hasta el nivel inicial, y se volvía a proceder de la misma manera, hasta los 21 cm3.

Se volvía a realizar de la misma manera sucesivas veces, dejando en cada medida que el nivel bajara 2 cm3 cúbicos adicionales (salvo la última, que le correspondía los 25cm3 de capacidad).

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DATOS OBTENIDOS

t(s) Δt(s) V(cm3) ΔV(cm3)

0 0.00 0.0 0.1 1.50 0.20 2.0 0.1 1.98 0.20 4.0 0.1 3.41 0.20 6.0 0.1 4.10 0.20 8.0 0.1 4.98 0.20 10.0 0.1 6.73 0.20 12.0 0.1 7.35 0.20 14.0 0.1 8.60 0.20 16.0 0.1 9.61 0.20 18.0 0.1 11.73 0.20 20.0 0.1 13.54 0.20 22.0 0.1 14.91 0.20 24.0 0.1 15.23 0.20 25.0 0.1

Durante el experimento en cuestión se recogieron los datos mostrados a la izquierda. Δt(s) se consideró de 0,20 segundos, a pesar de que la sensibilidad del cronómetro era de 0,01 segundos. Esto es así por el tiempo de reacción que tiene la persona que mide, tanto al empezar como al terminar de cronometrar cada medida. ΔV(cm3) se consideró de 0,1 debido a la sensibilidad propia de la bureta. t(s)=0 no se tendrá en cuenta en la representación gráfica.

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TRATAMIENTO DE LOS DATOS Y OBTENCIÓN DE ERRORES

A partir del Volumen inicial (V0), y el Volumen medido (V), se obtiene la variable “y”, que representa la altura del nivel de agua en las distintas medidas realizadas.

Se simplifica

Para obtener el error en “Ln(y)” primero debe calcularse el error en “y”. Esto se consigue sumando las distintas derivadas parciales de las distintas variables, multiplicadas cada una por su error.

00 VLL

VV

V=

∂∂

00 VVL

VV

L=

∂∂

2000

V

LVLVV

V−=

∂∂

hVV

LVLVVV

VLLy ∆+∆+∆+∆+∆=∆ 02

000

hVV

LVLVVV

VLy ∆+∆+∆

++∆=∆ 02

000

1

Se suman las derivadas parciales junto con Δh

Se simplifica

5

OBTENCIÓN DE LOS ERRORES DE ΔLN(Y)

6

Finalmente, después de obtener los correspondientes Δy (especificados en rojo en la tabla de la página siguiente), se calculan sus respectivos ΔLn(y).

hVV

LVLVVV

VLy ∆+∆+∆

++∆=∆ 02

000

1

DATOS A REPRESENTAR t(s) Δt(s) y Δy Ln(y) ΔLn(y) 0 0.00 47.5 0.5300 3.861 0.011 1.50 0.20 44.9 0.5564 3.804 0.012 1.98 0.20 42.3 0.5828 3.745 0.014 3.41 0.20 39.7 0.6092 3.681 0.015 4.10 0.20 37.1 0.6356 3.614 0.017 4.98 0.20 34.5 0.6620 3.541 0.019 6.73 0.20 31.9 0.6884 3.463 0.021 7.35 0.20 29.3 0.7148 3.378 0.024 8.60 0.20 26.7 0.7412 3.285 0.028 9.61 0.20 24.1 0.7676 3.182 0.032 11.73 0.20 21.5 0.7940 3.068 0.037 13.54 0.20 18.9 0.8204 2.939 0.043 14.91 0.20 16.3 0.8468 2.791 0.052 15.23 0.20 15 0.8600 2.708 0.057

En el “eje de las x” se representará el tiempo (medido en segundos), mientras que en el “eje de las y” se representarán los neperianos de la variable “y”. t(s)=0 no se representará en la gráfica, pero resulta de interés para comparar su Ln(y) como aproximación de la “b” que se obtendrá posteriormente. Al realizar la gráfica se ha tenido en cuenta un decimal para t(s) y dos para Ln(y) por razones de espacio. 7

GRÁFICA

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AJUSTE MANUAL DE LOS DATOS Después de la representación gráfica de los datos, se calculará la pendiente, “m”, el punto en el que la recta corta el eje y, “b”, y sus respectivos errores. Para ello lo primero es obtener las coordenadas de dos puntos cercanos a los de la primera y última medida, y como error se considerará el error de la medida más cercana a dichos puntos en el gráfico:

A partir de esos datos la pendiente “m” (inclinación de la recta) se obtiene de la siguiente forma:

El resultado se debe redondear, por ejemplo cogiendo hasta el tercer decimal, lo que daría m = -0.072

9

Lo siguiente es calcular “b”. Se escoge un punto relativamente central de la recta “m”, por ejemplo, el punto x=7.0 e y=3.39

Finalmente se hallarán los errores de “m” y “b”

Para Δm:

Y para Δb:

0804.020.0072.0006.07024.0000 =×+×+=∆+∆+∆=∆ xmmxyb

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; ;

Por tanto:

𝜟𝜟𝜟𝜟 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎

GRÁFICA DE EXCEL

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

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MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Se puede observar que la “m” y la “b” obtenida por ajuste manual y la obtenida por el método de mínimos cuadrados son similares, y que el error de ambos es sustancialmente menor con este sistema que por ajuste manual. También es de destacar la fuerte correlación de los datos, lo que nos indica que los puntos estudiados tienen una clara tendencia a disponerse linealmente.

Por el método de mínimos cuadrados se obtienen los siguientes resultados:

m = - 0, 07500907

Δm = 0, 001 931 05 Δb = 0, 01 7624606

b = 3, 91 251 3562 Coef. de correlación r = 0, 996078399

Pendiente Ordenada en el origen

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OBTENCIÓN DE LA VARIABLE “C”

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𝑳𝑳 𝒚 = 𝑳𝑳 𝒚𝟎𝟎 −𝑪𝝆𝝆

𝒕

Teniendo en cuenta que:

𝒎 =−𝑪𝝆𝝆

El fluido es agua, entonces consideraremos ρ=1000kg/m3 y Δρ=1kg/m3.

Para calcular S y ΔS:

𝑉𝑉 = 𝑆𝑆 × ℎ ; 𝑆𝑆 =𝑉𝑉ℎ

=25

32,5= 0,7692 𝑐𝑐𝑐𝑐2 = 7,69 × 10−5 𝑐𝑐2

∆𝝆 = �𝟏𝟏𝒉𝒉� ∆𝑽𝑽 + �

𝑽𝑽𝒉𝒉𝟐𝟐� ∆𝒉𝒉 =

𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟐𝟐𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 +𝟐𝟐𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔

𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝒎𝟑𝟑

∆𝝆 = 𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝒎𝟑𝟑

Ahora podremos calcular el resto de datos que nos faltan

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Se puede despejar C, obteniendo dos valores similares, dependiendo si se utiliza la “m” calculada por ajuste manual o por el método de mínimos cuadrados.

𝑪 = 𝒎𝝆𝝆 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟕𝟕𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟕𝟕,𝟔𝟔𝟔 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 = 𝟑𝟑,𝟑𝟑𝟒𝟒 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 kg/m.s

𝑪 = 𝒎𝝆𝝆 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟕𝟕𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟕𝟕,𝟔𝟔𝟔 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 = 𝟑𝟑,𝟕𝟕𝟕𝟕 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 kg/m.s

Usando la “m” del ajuste lineal:

Usando la “m” obtenida del método de mínimos cuadrados:

∆𝑪 = 𝒎𝝆∆𝝆 + 𝒎𝝆∆𝝆 + 𝝆𝝆∆𝒎 = 𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒kg/m.s

∆𝑪 = 𝒎𝝆∆𝝆 + 𝒎𝝆∆𝝆 + 𝝆𝝆∆𝒎 = 𝟏𝟏,𝟔𝟕𝟕 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒 kg/m.s

Finalmente se comparará ambas “C”, teniendo en cuenta sus respectivos errores (lo que nos dará un intervalo de valores entre los cuales se encuentra “C”), para determinar si ambos resultados coinciden.

COMPARACIÓN Y CONCLUSIONES.

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Puede observarse que el intervalo de ambos resultados para “C” (medido en 𝒌𝒌/𝒎. 𝒔) coinciden. Por tanto concluiremos que los datos obtenidos son factibles y se ha realizado una buena recogida y tratamiento de datos.

𝑪 = 𝟑𝟑,𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ± 𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒 = [𝟑𝟑.𝟔𝟔 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑,𝟔𝟔.𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑]

𝑪 = 𝟑𝟑.𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ± 𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒 = [𝟑𝟑.𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑,𝟔𝟔.𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑]