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SOBRE LA ESTRUCTURA NUCLEAR: EL MODELO DE YANG βMILLS
COMO UNA EXPLICACIΓN A SU ESTABILIDAD.
Carlos Stiven Camelo Oliveros
Universidad PedagΓ³gica Nacional de Colombia
Facultad de Ciencia y TecnolΓ³gica, Departamento FΓsica BogotΓ‘, Colombia
2018 Β©
SOBRE LA ESTRUCTURA NUCLEAR: EL MODELO DE YANG βMILLS
COMO UNA EXPLICACIΓN A SU ESTABILIDAD.
Carlos Stiven Camelo Oliveros
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al tΓtulo de:
Licenciado en FΓsica
Director: Mauricio Rozo Clavijo
LΓnea de InvestigaciΓ³n:
La enseΓ±anza de la FΓsica y la relaciΓ³n FΓsica-MatemΓ‘ticas
Universidad PedagΓ³gica Nacional de Colombia
Facultad de Ciencia y TecnologΓa, Departamento de FΓsica BogotΓ‘, Colombia
2018 Β©
DEDICATORIA
A Dios por darme salud y sabidurΓa para dar este primer pasΓ³ en mi carrera
profesional. A la persona mΓ‘s importante de mi vida, mi mama, por brindarme
sus buenos deseos, motivaciones, consejos en mi formaciΓ³n como persona.
βPhysical law should have mathematical beautyβ
Paul Dirac
"Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las
mismas cosas".
"Nunca consideres el estudio como una obligaciΓ³n sino como una oportunidad
para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber"
Albert Einstein
βLas personas tranquilas y silenciosas son las que tienen las mentes mΓ‘s
fuertes y ruidosasβ.
Stephen Hawking
AGRADECIMIENTOS
A la Universidad PedagΓ³gica Nacional por haberme dado la oportunidad de dar
este primer pasΓ³ en mi carrera profesional. Al personal administrativo y humano
(DirecciΓ³n, Secretarias, Centro de documentaciΓ³n, laboratorio, sala de
informΓ‘tica etc.) del departamento de fΓsica. A los profesores, quienes
compartieron su conocimiento y experiencia con humildad y rigor para mi
formaciΓ³n. Al profesor Mauricio Rozo Clavijo por su tiempo y paciencia para la
construcciΓ³n del trabajo de grado. A los jurados por su tiempo y correcciones al
trabajo. A los compaΓ±eros con los que tuve la oportunidad de compartir en las
aulas de clase y fuera de ella. A familiares que aportaron un grano de arena para
la consolidaciΓ³n de este gran pasΓ³ en mi vida.
FORMATO
RESUMEN ANALΓTICO EN EDUCACIΓN - RAE
CΓ³digo: FOR020GIB VersiΓ³n: 01
Fecha de AprobaciΓ³n: 10-10-2012 PΓ‘gina 1 de 5
1. InformaciΓ³n General
Tipo de documento Trabajo de Grado
Acceso al documento Universidad PedagΓ³gica Nacional. Biblioteca Central
TΓtulo del documento Sobre la estructura del nuclear: El modelo de Yang β Mills como
una explicaciΓ³n a su estabilidad.
Autor(es) Camelo Oliveros , Carlos Stiven
Director Rozo Clavijo, Mauricio
PublicaciΓ³n BogotΓ‘. Universidad PedagΓ³gica Nacional. 2018. 76 p.
Unidad Patrocinante Universidad PedagΓ³gica Nacional
Palabras Claves
ESTABILIDAD, NΓCLEO, INVARIANCIA GAUGE, SIMETRΓA,
ISOSPΓN, NUCLEΓN, PROTΓN, NEUTRΓN, QUANTUM,
LAGRANGIANO, ACOPLAMIENTO, INTERACCIΓN.
2. DescripciΓ³n
El tratamiento tradicional que se le ha dado a las modernas teorΓas fenomenolΓ³gicas de
las interacciones de la naturaleza, resultado de la aplicaciΓ³n de la idea gauge o simetrΓa
gauge, en libros especializados tales como la Griffiths, Greiner, Quigg etc. ha sido
netamente abstracta, es decir, se parten de ideas poco dicientes para el estudiante. En
caso particular, el modelo de Yang- Mills se aborda a partir de ideas tales como invariancia
gauge local, simetrΓa interna, regla de acoplamiento mΓnimal etc., las cuales son confusas
para la estructura cognitiva del estudiante.
En el presente trabajo de grado se realiza a travΓ©s de un anΓ‘lisis histΓ³rico - critico una
estructura conceptual que permita apreciar desde una dimensiΓ³n histΓ³rica, formal y
fenomenolΓ³gica el modelo de los pensadores Cheng Ning Yang y Robert Mills planteado
en el artΓculo βConservation Isotopic Spin and Invariance Gauge Isotopic" para explicar la
estabilidad nuclear destacando sus alcances y limitaciones.
3. Fuentes
Bélendez, A. (2008). La unificación de luz, electricidad y magnetismo: La "sintesìs
electromagnΓ©tica" de Maxwell. Revista Brasileira de Ensino de FΓsica, 30(2),
2601-1-20.
C. Giancoli, D. (2009). Fisica para ciencias e ingenieria con fisica moderna. (V. Campos
Holguin, & V. Robledo Rella, Trads.) Mexico: Mexico.
Calahorro, C. V. (1995). Quimica general - IntroducciΓ³n a la Quimica TeΓ³rica. EspaΓ±a:
Ediciones Universidad de Salamanca.
Clavijo, M. R. (2016). Sobre la dinΓ‘mica de una partΓcula en rotaciΓ³n. Revista de la
Academia Colombiana de Ciencias Exactas, FΓsicas y Naturales, XL(157), 585-
589.
G. Hewitt, P. (2007). Fisica conceptual (Decima ed.). (V. Flores Flores, Trad.) Mexico:
Pearson.
GarzΓ³n, J. (2010) Sobre la estructura nuclear del Γ‘tomo: el isospΓn como una explicaciΓ³n de la estabilidad del nΓΊcleo (trabajo de grado). Universidad pedagΓ³gica Nacional, BogotΓ‘, Colombia.
Sanchez, L. (2014) ΒΏQuΓ© es una teorΓa gauge? (trabajo de grado). Universidad de
Valladolid, Valladolid, EspaΓ±a.
Morales , R. (2006) Soluciones clΓ‘sicas a teorΓas de Yang-Mills SU (2) (trabajo de grado)
Universidad de los Andes, BogotΓ‘, Colombia.
Garcia CastaΓ±eda, M., & Ewert De - Geus, J. (2003). IntroducciΓ²n a la fisica moderna
(Tercera ed.). BogotΓ‘: Universidad Nacional de Colombia.
Garcia Prada, O. (2011). Existencia de Yang - Mills y salto de masa. Jornadas sobre los
problemas del milenio, (pΓ‘gs. 23-58). Barcelona.
Griffths, D. (2004). Introduction to elementary particles (Primera ed.). WILEY-VCH.
Griffths, D. J. (2013). Introduction to electrodynamics (Cuarta ed.). EE. UU: Pearson.
Leonard Mlodinow, S. H. (2010). El gran diseΓ±o. (D. Jou i Mirabent, Trad.) EspaΓ±a:
Critica.
Manrique, M. M. (2006). Los analisΓs historico criticos y la recontextualizaciΓ²n de saberes
cientificos. Construyendo un nuevo espacio de posibilidades. Pro- Posicoes, 27 -
31.
McMahon, D. (2008). Quantum Field Theory. EE.UU: Mc Graw Hill.
N, Q., & Molina, F. (2009). Una descripciΓ³n sencilla de las TeorΓas Gauge. Tumbagaga,
19-29.
Navarro Vives, J. (2000). El neutrΓ²n de Chadwich y su interpretaciΓ²n. Cronos, III(2), 273-
293.
Ning Yang, C., & L. Mills, R. (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge
Invariance. Physical Review, XCVI(1), 191-195.
Quigg, C. (1997). Gauge Theories of the Strong, Weak, and Electromagnetic. Advanced
Book Classics. Westview Press.
RupΓ©rez, F. L. (1994). Mas allΓ‘ de las partΓculas y ondas: una propuesta de inspiraciΓ³n
epistemolΓ³gica para la educaciΓ³n. EspaΓ±a: Ministerio de EducaciΓ³n Cultura y
Deporte, Centro de InvestigaciΓ³n y DocumentaciΓ³n Educativa.
Wiechowsk, S. (1969). Historia del Γ tomo (Tercera ed.). Barcelona: Labor.
4. Contenidos
CAPITULO I: SOBRE LA ESTRUCTURA NUCLEAR: UNA MIRADA HISTΓRICA
En este capΓtulo se muestran, a grandes rasgos, los precedentes histΓ³ricos y circunstanciales de interΓ©s que precedieron al establecimiento de la idea gauge y al modelo fenomenolΓ³gico propuesto por Yang y Mills como una explicaciΓ³n a la estabilidad nuclear, destacando la teorΓa electromagnΓ©tica clΓ‘sica como una primera unificaciΓ³n de la interacciones de la naturaleza y donde de forma indirecta, sin ser reconocida, aparece inmersa la simetrΓa gauge.
CAPITULO II: SOBRE LA IDEA GAUGE
En este capΓtulo se muestra el contexto que dio lugar a la idea gauge y se desarrollan didΓ‘cticas con el objetivo que el estudiante haga una comprensiΓ³n con sentido y significado. ApreciΓ‘ndose como una manera, en principio, abstracta pero novedosa de describir los fenΓ³menos que acontecen en la naturaleza, especΓficamente aquellos que ocurren a escala atΓ³mica. Esto se hace analizando situaciones concretas de la mecΓ‘nica y la electrodinΓ‘mica clΓ‘sica, siendo estos contextos los mΓ‘s familiares para el estudiante. Adicionalmente, se hace uso de la formulaciΓ³n lagrangiana especΓficamente del Lagrangiano de Dirac asociado a un electrΓ³n libre de interacciones para justificar la importancia que juega el factor de acoplamiento mΓnimal en el contexto de la teorΓa cuΓ‘ntica de campos.
CAPITULO III: SOBRE LA ESTRUCTURA NUCLEAR: EL MODELO DE YANG β MILLS UNA EXPLICACIΓN A SU ESTABILIDAD.
En este capΓtulo se configura el eje central de la presente investigaciΓ³n. Se aborda el problema de la estabilidad nuclear mediante un anΓ‘lisis histΓ³rico-crΓtico sobre el artΓculo "Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance" , publicado por los pensadores Yang y Mills en 1954 en donde se plantea la problemΓ‘tica y el enfoque a implementar para resolverla, permitiendo identificar sus alcances en la compresiΓ³n sobre la estructura nuclear y las preguntas que resultaron e influyeron de forma significativa en el desarrollo de esquemas descriptivos de la fΓsica de partΓculas, tales como el modelo de quartz, el modelo electro-dΓ©bil y el modelo estΓ‘ndar, basado en ciertos grupos especiales
de simetrΓa, U(1), SU(2), SU(3) , los cuales permiten hacer una descripciΓ³n de tres de las cuatro interacciones de la naturaleza de forma conjunta.
5. MetodologΓa
El presente trabajo se desarrollΓ³ a partir de un anΓ‘lisis histΓ³rico crΓtico o
recontextualizaciΓ³n de saberes cientΓficos alrededor de la propuesta fenomenologΓa de los
pensadores Cheng Ning Yang y Robert Mills sobre la estabilidad nuclear.
Los anΓ‘lisis histΓ³rico crΓticos se inscriben en procesos de recontextualizaciΓ³n de saberes
cientΓficos (Ayala, 2016). Es un proceso mediante el cual a partir de anΓ‘lisis sobre
originales se busca consolidar una estructura conceptual que permita al estudiante
comprender con sentido y significado un tΓ³pico en particular de la fΓsica.
En ese sentido, se propone una estructura basada en tres ejes: HistΓ³rica, formal y
fenomenolΓ³gica a partir del artΓculo "Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge
Invariance", en el cual se configura en una manera de explicar la estabilidad nuclear bajo
el marco de la simetrΓa gauge. Lo anterior permitiΓ©ndole al estudiante tener las bases
teΓ³ricas para entender las teorΓas actuales y modernas de las interacciones de la
naturaleza tales como el modelo de Salam β Weinberg , el modelo estΓ‘ndar etc.
6. Conclusiones
β’ El descubrimiento de los rayos X, la radioactividad y el electrΓ³n, hacia finales del
siglo XX, indujeron a pensar sobre una estructura para el Γ‘tomo, representado, en
principio, como distribuciones esfΓ©ricas de carga positiva y en su interior los
electrones (Modelo de Thompson), el cual por ser inadecuado para explicar algunos
hechos experimentales fue remplazado por el modelo planetario de Ernest
Ruthenford y Niels Bohr basado en la idea de los estados estacionarios.
β’ Dada la explicaciΓ³n alrededor de la estructura del Γ‘tomo surge la pregunta si el
nΓΊcleo tiene una estructura y si la tiene de que estaba compuesta. En este sentido,
W. Heinsenberg, H. Yukawa y Yang β Mills proponen modelos encaminados a
explicar su estabilidad a partir de una estructura nuclear compuesta por protones y
neutrones.
β’ La idea gauge surge por el intento de unificar la teorΓa electromagnΓ©tica y la teorΓa
general de la relatividad bajo una perspectiva geomΓ©trica gracias a los trabajos de
Hermann Weyl.
β’ La manera de proceder de Yang - Mills para proponer su modelo es anΓ‘loga a como
se procede desde el contexto de la electrodinΓ‘mica clΓ‘sica en su forma covariante,
configurΓ‘ndose en un marco conceptual pertinente pero limitado para entender la
estabilidad nuclear.
β’ Bajo el modelo de Yang-Mills las interacciones entre nucleones se dan a partir de
la existencia de un campo gauge cuyo quantum posee tres estados de carga a
diferencia del caso electromagnΓ©tico.
β’ La propuesta fenomenolΓ³gica de los pensadores Yang y Mills se configura en el
gΓ©nesis del modelo estΓ‘ndar, sus limitaciones justificaron el desarrollo de
propuestas tales como la de Salam - Weinberg, en la cual se hace una unificaciΓ³n
de las interacciones dΓ©bil y electromagnΓ©tica.
β’ El anΓ‘lisis histΓ³rico - critico realizado sobre el artΓculo " Conservation of Isotopic
Spin and Invariance Gauge Isotopic" de Yang y Mills permitiΓ³ apreciar la estabilidad
nuclear, configurΓ‘ndose en un aporte pedagΓ³gico para entender con sentido y
significado el valor que ha jugado la simetrΓa en la construcciΓ³n de explicaciones
en torno a la naturaleza.
β’ El principio gauge se configura como una manera ΓΊtil de construir esquemas
teΓ³ricos alrededor de las interacciones de la naturaleza haciendo uso del esquema
lagrangiano, permitiendo por un lado, que el lagrangiano asociado a un sistema sea
invariante bajo transformaciΓ³n de Lorentz, lo que significa que cumple con la
relatividad especial y por otro, que sea invariante bajo una transformaciΓ³n gauge
obteniendo tΓ©rminos de interacciΓ³n entre los campos involucrados, lo cual significa
que la simetrΓa implica dinΓ‘mica.
Elaborado por: Camelo Oliveros, Carlos Stiven
Revisado por: Mauricio Rozo Clavijo
Fecha de elaboraciΓ³n del
Resumen: 07 06 2018
ΓNDICE GENERAL
RAE
DEDICATORIA
AGRADECIMIENTOS
LISTA DE FIGURAS
INTRODUCCIΓN .......................................................................................................................1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ...................................................................................3
PREGUNTA PROBLEMA ....................................................................................................5
OBJETIVO GENERAL .........................................................................................................5
OBJETIVOS ESPECΓFICOS ...............................................................................................6
SOBRE LA ESTRUCTURA NUCLEAR: UNA MIRADA HISTΓRICA ..............................7
1.1 LA NATURALEZA..........................................................................................................7
1.2 SOBRE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA ............................................................11
1.2.1 LOS MODELOS ATΓMICOS ..................................................................................11
1.2.1.1 MODELO DE THOMPSON ...............................................................................12
1.2.1.2 MODELO DE RUTHERFORD ..........................................................................13
1.2.1.3 MODELO DE BOHR ..........................................................................................14
1.2.2 SOBRE EL PROBLEMA DE LA ESTABILIDAD NUCLEAR .............................17
1.2.2.1 MODELO DE HEINSENBERG: ISOSPΓN ......................................................17
1.2.2.2 MODELO DE YUKAWA: MESONES ..............................................................19
SOBRE LA IDEA GAUGE: EL CASO DE LA ELECTRODINΓMICA CLΓSICA Y EL
LAGRANGIANO DE DIRAC .............................................................................................21
2.1 LA SIMETRΓA EN CONTEXTO ..................................................................................21
2.2 EL GΓNESIS DE LA IDEA GAUGE ..........................................................................21
2.3 INVARIANCIA GAUGE LOCAL Y GLOBAL ...........................................................23
2.4 LA MECΓNICA CLΓSICA: POTENCIAL GRAVITACIONAL Y ELECTRICO ....26
2.5 LA ELECTRODINΓMICA CLΓSICA: ECUACIONES DE MAXWELL .................27
2.6 EL LAGRANGIANO DE DIRAC: DERIVADA COVARIANTE ...............................30
EL MODELO DE YANG MILLS COMO UNA EXPLICACIΓN A LA ESTABILIDAD
NUCLEAR ............................................................................................................................34
3.1 CONSIDERACIONES GENERALES .....................................................................34
3.2 SOBRE LA PROPUESTA .......................................................................................35
3.3 CAMPOS DE YANG MILLS: UNA EXTENSIΓN DE LA QED ..........................39
3.4 LA ESTABILIDAD NUCLEAR BAJO ESTA PERSPECTIVA ...........................44
CONCLUSIONES....................................................................................................................48
BIBLIOGRAFΓA .......................................................................................................................50
APΓNDICE A: TEOREMAS VECTORIALES .....................................................................52
APΓNDICE B: TENSOR DEL CAMPO ELECTROMAGNΓTICO ....................................54
APΓNDICE C: INVARIANCIA GAUGE LOCAL DEL LAGRANGIANO DE LA QED ..55
APΓNDICE D: TENSOR DE INTENSIDAD DEL CAMPO DE YANG MILLS ................57
APΓNDICE E: INVARIANCIA GAUGE LOCAL DEL LAGRANGIANO DE YANG
MILLS. ......................................................................................................................................60
TABLA DE FIGURAS
1.1 Tales de Mileto (624 a.C β 546 a. C)β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦20
1.2 Leucipo (Siglo V a.C) y DemΓ³crito (460 a.C β 370 a.C).FilΓ³sofos de la antigua
Greciaβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦21
1.3 EmpΓ©docles (495 a.c β 444 a.c) y AristΓ³teles (384 a.C β 322 a. C)
consideraban la materia como producto de la combinaciΓ³n de los cuatro
elementosβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..22
1.4 RepresentaciΓ³n de los Γ‘tomos dada por John Dalton en su obra A New
System of Chemical Philosophyβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.22
1.5 Galileo Galilei (1564-1642). Fundador del mΓ©todo cientΓfico y el experimento
β¦β¦β¦β¦β¦......β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..23
1.6 Modelo de Thompsonβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦25
1.7 Modelo de Rutherford. DistribuciΓ³n de carga positiva en el nΓΊcleo y
electrones girando a su alrededorβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.............26
1.8 ElectrΓ³n colapsandoβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦.27
1.9 Modelo de Bohr: Un nΓΊcleo cargado positivamente y electrones girando
alrededor en ciertas orbitas permitidasβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦28
1.10 CosmovisiΓ³n de Prout acerca de la constituciΓ³n de los Γ‘tomosβ¦β¦β¦β¦β¦28
1.11 Propuesta de electrones en el nΓΊcleoβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦29
1.12 Modelo del Γ‘tomo tomando en cuenta la existencia de los neutronesβ¦..β¦29
1.13 IsospΓn protΓ³n y neutrΓ³nβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦30
1.14 (a) InteracciΓ³n neutrΓ³n β protΓ³n mediada por el electrΓ³n. (b) InteracciΓ³n
protΓ³n-neutrΓ³n mediada por el positrΓ³n β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦31
1.15 Interacciones protΓ³n-neutrΓ³n, protΓ³n β neutrΓ³n y neutrΓ³n- protΓ³n
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.32
2.1 La longitud del vector desplazamiento es invariante bajo una transformaciΓ³n
gauge de la posiciΓ³n final y inicialβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦37
2.2 TransformaciΓ³n global por conjugaciΓ³n entre pelotas negras y grises
obteniΓ©ndose una organizaciΓ³n estructural equivalente a la inicialβ¦β¦β¦β¦β¦...38
2.3 TransformaciΓ³n local por conjugaciΓ³n entre pelotas negras y grises
obteniΓ©ndose una organizaciΓ³n estructural diferenteβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..38
2.4 InteracciΓ³n entre dos electrones mediada por fotonesβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦46
3.1 Chen Ning Yang y Robert Mills...................................................................48
3.2 (a) Despreciando la carga elΓ©ctrica de los constituyentes del nΓΊcleo, el protΓ³n
y el neutrΓ³n son iguales. (b) Al elegir una orientaciΓ³n del isospΓn para cada
nucleΓ³n debe ser respetada en todos los puntos del espacio. (c) Realizar una
transformaciΓ³n isotΓ³pica sobre el sistema nuclear se obtiene la misma cantidad
de protones y neutrones, es invarianteβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦50
3.3 Desde el punto de vista local,cada observador esta en la libertad de elegir
una orientaciΓ²n del isospin representado por un estado del nucleΓ²n en donde
tambien se debe satisfacer el requerimiento de invariancia...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦51
3.4 (a) InteracciΓ³n entre nucleones mediante el propagador asociado al campo
de Yang - Mills anΓ‘logo a la QED. (b) y (c) autointeracciΓ³nes no lineales entre
los campos gauge de Yang β Mills......................................................................56
3.5 InteracciΓ³n de protones y neutrones vΓa campo de Yang β Millsβ¦.β¦β¦β¦β¦57
3.6 InteracciΓ³n entre nucleones a partir del propagador a asociado al campo de
Yang β Millsβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦58
3.7 Antes de realizar una medida el nucleon es un estado de superposiciΓ²n
determinado por el protΓ²n y el neutrΓ³nβ¦β¦β¦β¦β¦..............................................59
INTRODUCCIΓN
Una de las actividades del hombre ha sido la incesante bΓΊsqueda de
explicaciones acerca de los fenΓ³menos que acontecen en el Universo. En ese
proceso y antes de la llegada del paradigma cuΓ‘ntico, hacia finales del siglo XIX,
su modo de proceder consistΓa en la construcciΓ³n de modelos compatibles con
la experiencia sensible.
Con el descubrimiento del efecto fotoelΓ©ctrico, la radiaciΓ³n de cuerpo negro, a
principios del siglo XX, esta manera de conocer mostro
ser limitada, el conjunto de predicciones que esta daba lugar no coincidΓan con
la realidad misma de los fenΓ³menos, conduciendo a la apariciΓ³n de ideas contra
- intuitivas claves para la compresiΓ³n de los fenΓ³menos atΓ³micos.
Los primeros intentos por hacer una compresiΓ³n sobre la naturaleza giraron en
torno a la estructura de la materia, ΒΏQuΓ© es la materia? dando lugar a intensos
debates por parte de los pensadores de la antigua Grecia, estableciΓ©ndose dos
escuelas de pensamiento: La atomista y la continuista.
La atomista, propuesta por Leucipo y DemΓ³crito, postulaba a la materia
compuesta por Γ‘tomos y la continuista, fundada por EmpΓ©docles y AristΓ³teles, la
consideraba como producto de una cierta combinaciΓ³n de los cuatro elementos:
agua, tierra, fuego y aire, siendo la primera reconocida solo hasta el siglo XVII
con los trabajos del quΓmico inglΓ©s John Dalton. Dos siglos despuΓ©s con el
descubrimiento de los rayos X, la radioactividad y el electrΓ³n, el Γ‘tomo
representado como unidad material carente de estructura tuvo que ser
reformulada, pasando a ser una entidad compuesta por otras partΓculas.
A principios del siglo XX Rutherford y Bohr, basΓ‘ndose en los trabajos de
RΓΆntgen, Bequerel, Thompson, Planck, Geiger, Marsden etc., orientaron sus
esfuerzos a desarrollar modelos o representaciones del Γ‘tomo, generando
nuevas y profundas problemΓ‘ticas de orden conceptual debido a que sus
supuestos y planteamientos inducΓan a predicciones que no correspondΓan al
βcampo de efectos observadosβ, es decir, con los resultados experimentales.
Establecido el modelo planetario de Rutherford de los Γ‘tomos: Electrones
girando alrededor de un nΓΊcleo cargado positivamente, afloraron ciertos
cuestionamientos relacionados a su estructura y estabilidad. Al estar toda la
carga positiva en el nΓΊcleo ΒΏtendrΓ‘ esta estructura? Y si la tiene de que estΓ‘
compuesta.
Desarrollos posteriores indicaban que el nΓΊcleo, en principio, estaba compuesto
por protones existiendo una extenuante y fuerte repulsiΓ³n elΓ©ctrica entre ellos.
De ser asΓ, entonces este debΓa ser inestable, sin embargo, se observaba que la
materia, en general, era estable. Lo anterior hizo que una serie de pensadores
tales como Heinsenberg, Yukawa y Yang - Mills propusieran modelos
encaminados a explicar su estabilidad.
A su vez la nociΓ³n de simetrΓa, apreciada originalmente desde un contexto
puramente geomΓ©trico, empezΓ³ a ser un camino promisorio para explicar los
fenΓ³menos cuΓ‘nticos, convirtiendo largos y engorrosos desarrollos algebraicos
en simples expresiones matemΓ‘ticas, cuyas consecuencias fΓsicas han
transcendido en la manera de ver y explicar los acontecimientos del mundo
natural.
Por ejemplo, Dirac cuya filosofΓa consistΓa que las leyes de la fΓsica debΓan tener
belleza matemΓ‘tica, logro con su ecuaciΓ³n describir algunas propiedades difusas
del electrΓ³n y predecir la existencia de las antipartΓculas. W. Heinsenberg
reconociendo las cercanas similitudes entre el protΓ³n y el neutrΓ³n proporciono
una primera explicaciΓ³n a la estabilidad del nΓΊcleo atΓ³mico, la cual resultΓ³
infructuosa. Finalmente, Yang y Mills, implementando la idea gauge planteada
por Hermann Weyl en 1918, introduciendo el grupo de simetrΓa no abeliano mΓ‘s
simple SU (2) y procediendo de forma anΓ‘loga a la βelectrodinΓ‘mica cuΓ‘nticaβ
lograron describir de forma aproximada la fuerza fuerte responsable de la
cohesiΓ³n nuclear. Hechos que significaron la gΓ©nesis del modelo estΓ‘ndar, cuyas
predicciones teΓ³ricas se encuentran ampliamente verificadas por la actividad
empΓrica desarrollada en centros de investigaciΓ³n como el CERN y el
FERMILAB.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
A pesar de los grandes avances que ha tenido la ciencia, el tratamiento que se
le ha dado a los recientes modelos teΓ³ricos de las interacciones de la naturaleza,
producto de la aplicaciΓ³n de los denominados grupos de simetrΓa gauge, tales
como el de Yang-Mills, el electro-dΓ©bil de Salam - Weinberg y el modelo
estΓ‘ndar en textos especializados (Griffiths,Greiner etc.) ha sido netamente
algebraica y poco diciente, es decir, a un nivel en el que sobre el estudiante
privilegia la incertidumbre y el sosiego, generando a su vez que desconozca el
conjunto de problemΓ‘ticas y discusiones que dieron lugar a su establecimiento e
impidiendo que lo puedan incorporar en su contexto con sentido y significado.
En caso particular, el modelo de Yang-Mills no se aborda desde un contexto
fundamental (Griffths, 2004), se parten de ideas tales como invariancia gauge,
grupos no conmutativos con simetrΓa local, densidad lagrangiana, las cuales son
confusas, en principio, para la manera de conocer del estudiante.
Por otra parte, la manera de enseΓ±ar los contenidos de la fΓsica en el contexto
universitario no ha sufrido mayores transformaciones, se sigue haciendo desde
una perspectiva cronolΓ³gica, generando una serie de problemΓ‘ticas. Una es la
resistencia por parte de los estudiantes de comprender los fundamentos sobre
los cuales se sustentan esta manera de pensar la estructura de la materia.
En el contexto colombiano los estΓ‘ndares proporcionados por el MEN (Ministerio
de EducaciΓ³n Nacional) no plantean objetivos encaminados hacia la enseΓ±anza
de la fΓsica moderna.
Los programas de formaciΓ³n de Licenciados en FΓsica no son ajenos a esta
problemΓ‘tica. Dentro de sus planes de carrera no se disponen de cursos
obligatorios introductorios que les permitan fortalecer sus competencias de
enseΓ±anza y de investigaciΓ³n relacionadas a teorΓas modernas y actuales de la
fΓsica tales como la relatividad general, la teorΓa cuΓ‘ntica de campos y la teorΓa
de cuerdas etc. Es decir, desde un marco mΓ‘s humano y accesible sin que se
omitan elementos que afecten la rigurosidad en su estudio.
Lo anterior hace que los estudiantes y maestros en formaciΓ³n hallen ciertas
dificultades en la comprensiΓ³n sobre las ideas modernas de la fΓsica debido a
que sus planteamientos van en contravΓa con el sentido comΓΊn, generando que
reduzcan cualquier explicaciΓ³n del mundo natural a un modelo mecΓ‘nico. En el
caso del Modelo de Bohr los libros de texto tales como la Sears, la Tripler,
Giancoli lo plantean a partir de ideas clΓ‘sicas generando malas interpretaciones
y limitaciones en su proceso de aprendizaje.
Por ejemplo, al referirse al nΓΊcleo atΓ³mico y a su estabilidad se limita a
planteamientos a posteriori, es decir, recae en la existencia de una fuerza cuya
naturaleza es distinta a la elΓ©ctrica caracterizada por ciertos aspectos
particulares, desconociΓ©ndose otros puntos de vista menos ortodoxos como el
de Yang- Mills basado en la nociΓ³n de simetrΓa, el cual no solo permite explicar
el objeto de estudio sino tambiΓ©n apreciar nuevas dificultades determinadas
principalmente en el terreno de la fΓsica teΓ³rica tal como el problema de la masa
de las partΓculas, resuelto por Peter Higgs, FranΓ§ois Englert y Robert Brout en
los aΓ±os 1960.
Por este motivo, se analiza la estabilidad desde este enfoque prestando especial
atenciΓ³n al conjunto de problemΓ‘ticas y motivaciones que dieron lugar a su
apariciΓ³n y las que surgieron a partir de Γ©l, tal que le permita a los estudiantes
consolidar bases conceptuales suficientes para construir una comprensiΓ³n de
Γ©ste y los actuales modelos fenomenolΓ³gicos de las interacciones de la
naturaleza en donde se hace un uso robusto de las teorΓas gauge. Esto, se hace
a partir de un anΓ‘lisis histΓ³rico- crΓtico alrededor de la propuesta fenomenolΓ³gica
de los pensadores Chen Ning Yang y Robert Mills.
Los anΓ‘lisis histΓ³rico - crΓticos se configura en un proceso de recontextualizaciΓ²n
de saberes cientΓficos, es decir, consiste en construir un esquema propicio que
le permita al estudiante apreciar desde otra mirada una problemΓ‘tica dada de la
fΓsica, en este caso alrededor de la estabilidad nuclear (Ayala, 2006).
En ese sentido, en el capΓtulo I se muestra de forma general los precedentes
histΓ³ricos y circunstanciales de interΓ©s que precedieron al establecimiento de la
idea gauge y al modelo fenomenolΓ³gico propuesto por Yang y Mills como una
explicaciΓ³n a la estabilidad nuclear, destacando la teorΓa electromagnΓ©tica
clΓ‘sica como una primera unificaciΓ³n de la interacciones de la naturaleza y
donde de forma indirecta, sin ser reconocida, aparece inmersa la simetrΓa gauge.
En el capΓtulo II, se muestra el contexto que dio lugar a la idea gauge y se
desarrollan didΓ‘cticas con el objetivo que el estudiante haga una comprensiΓ³n
con sentido y significado. ApreciΓ‘ndose como una manera, en principio, poco
ortodoxa pero novedosa de describir los fenΓ³menos que acontecen en la
naturaleza, especΓficamente aquellos que ocurren a escala atΓ³mica. Esto, se
hace analizando situaciones concretas de la mecΓ‘nica y la electrodinΓ‘mica
clΓ‘sica, siendo estos contextos los mΓ‘s familiares para el estudiante.
Adicionalmente, se hace uso de la formulaciΓ³n lagrangiana especΓficamente del
Lagrangiano de Dirac asociado a un electrΓ³n libre de interacciones para justificar
la importancia que juega el factor de acoplamiento mΓnimal en el contexto de la
teorΓa cuΓ‘ntica de campos.
Finalmente, en el capΓtulo III se configura el eje central de la presente
investigaciΓ³n. En este se aborda el problema de la estabilidad nuclear mediante
un anΓ‘lisis histΓ³rico-crΓtico sobre el artΓculo "Conservation of Isotopic Spin and
Isotopic Gauge Invariance" , publicado por los pensadores Yang y Mills en 1954
en donde se plantea la problemΓ‘tica y el enfoque a implementar para resolverla,
permitiendo identificar sus alcances en la compresiΓ³n sobre la estructura nuclear
y los cuestionamientos que resultaron e influyeron de forma significativa en el
desarrollo de esquemas descriptivos de la fΓsica de partΓculas, tales como el
modelo de quartz, el modelo electro-dΓ©bil y el modelo estΓ‘ndar, basado en
ciertos grupos especiales de simetrΓa, U(1), SU(2), SU(3) , los cuales permiten
hacer una descripciΓ³n de tres de las cuatro interacciones de la naturaleza de
forma conjunta.
PREGUNTA PROBLEMA
ΒΏCΓ³mo a partir de un anΓ‘lisis histΓ³rico crΓtico del modelo de Yang-Mills se puede
dar una explicaciΓ³n sobre la estabilidad nuclear de tal forma que permita a los
estudiantes una mejor interpretaciΓ³n?
OBJETIVO GENERAL
Realizar un anΓ‘lisis histΓ³rico - crΓtico sobre la fenomenologΓa propuesta por
Yang-Mills entorno a la estructura nuclear del Γ‘tomo.
OBJETIVOS ESPECΓFICOS
β’ Indagar el contexto problemΓ‘tico que dio origen al modelo de Yang-Mills
como una explicaciΓ³n a la estabilidad nuclear.
β’ Implementar la idea gauge dentro del contexto de la mecΓ‘nica clΓ‘sica y el
electromagnetismo clΓ‘sico con el propΓ³sito de hacer de ella una mejor
comprensiΓ³n.
β’ Plantear el modelo de Yang-Mills como una primera explicaciΓ³n a la
estabilidad nuclear bajo el esquema gauge mostrando sus alcances y
limitaciones.
ESTADO DEL ARTE
A partir de la bΓΊsqueda sobre trabajos referentes a la problemΓ‘tica planteada se
encontrΓ³ a nivel local una monografΓa denominada: Sobre la estructura nuclear
del Γ‘tomo: el isospΓn como explicaciΓ³n de la estabilidad del nΓΊcleo de Jenny
Alexandra GarzΓ³n Villalba. Se aborda desde un contexto histΓ³rico el concepto
de isospΓn y su utilidad en el intento por dar una explicaciΓ³n a su la estabilidad
nuclear.
A nivel nacional se encontrΓ³ una monografΓa que lleva como tΓtulo:
β’ Soluciones ClΓ‘sicas a TeorΓas Yang-Mills en SU(2) de Ricardo Morales
Betancourt. AllΓ se abordan algunos de los resultados mΓ‘s importantes del
modelo de Yang-Mills asociados al grupo Gauge SU(2). En donde se
aborda desde una perspectiva cronolΓ³gica y geomΓ©trica algunos de los
resultados mΓ‘s importantes de la simetrΓa gauge en el proceso de
construcciΓ³n de teorΓas fenomenolΓ³gicas de la naturaleza prestando
especial importancia a la electrodinΓ‘mica cuΓ‘ntica y la de Yang - Mills.
A nivel internacional se harΓ‘ uso del trabajo de grado titulado:
β’ ΒΏQuΓ© es una TeorΓa Gauge? de Luis SΓ‘nchez- Tejerina San JosΓ©. En
este se plantea lo que es una TeorΓa Gauge partiendo de los
acontecimientos que conllevaron de alguna u otra forma a su
establecimiento y sus resultados mΓ‘s importantes, los cuales han
influenciado de forma significativa en nuestra comprensiΓ³n del universo.
CAPITULO I
SOBRE LA ESTRUCTURA NUCLEAR: UNA MIRADA HISTΓRICA
1.1 LA NATURALEZA
Uno de los objetivos del hombre ha sido explicar el mayor nΓΊmero de
observaciones con la menor cantidad de principios fundamentales.
Originalmente lo hizo a partir de sus creencias, mitos y leyendas. (Hawking y
Mlodinow, 2010). Los movimientos de los cuerpos celestes, por ejemplo, eran
descritos en tΓ©rminos de acciones divinas de seres sobrenaturales y celestiales.
Durante muchos aΓ±os este fue el modo predominante de explicar los fenΓ³menos
de la naturaleza, sin embargo, Tales de Mileto en el V a.C (ver figura 1.1) instauro
una manera objetiva de hacerlo.
Figura 1.1. Tales de Mileto (624 a.C β 546 a. C). Imagen tomada y copiada
de https://es.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto.
Tales de Mileto considero que la naturaleza seguΓa regularidades expresables
en leyes y principios, las cuales a partir de su sistematizaciΓ³n brindaba la
posibilidad de entender cualquier acontecimiento del universo. (Hawking y
Mlodinow, 2010). Este momento se considera el gΓ©nesis de la ciencia tal cual
como la conocemos hoy en dΓa. Una empresa dedicada a organizar en un
modelo permisible, adecuado y ΓΊtil las observaciones que el sujeto realiza sobre
su entorno con el propΓ³sito de comprenderlas.
Establecida esta manera de conocer el hombre se empezΓ³ a indagar sobre la
materia ΒΏQue es la materia? Por ser un aspecto fundamental para entender la
naturaleza en su totalidad, dando lugar a dos lΓneas de pensamiento: la atomista
y la continuista.
La atomista, fundada por Leucipo y seguida por DemΓ³crito en el siglo V a.C,
proponΓa que la materia era discreta, estaba compuesta de Γ‘tomos1 (Ver figura
1.2 (b)), los cuales se distinguΓan por su forma, posiciΓ³n y orden, siendo el vacΓo2
parte de su constituciΓ³n. (Wiechowsk, 1969) βComo resultado de esta distinciΓ³n
su uniΓ³n era producto de su adherencia y cruce reciproco hasta que una fuerza,
proveniente del exterior, indujera o produjera su separaciΓ³nβ (Wiechowsk, 1969).
La idea de Γ‘tomo fue una manera de concebir la materia, admitiendo la
existencia de una estructura fundamental, la cual bajo ciertos supuestos,
permitΓa explicar un amplio volumen de fenΓ³menos hasta ese momento
conocidos de un modo mΓ‘s o menos trivial (Wiechowsk, 1969).
(a) (b)
Figura 1.2. Leucipo (Siglo V a.C) y DemΓ³crito (460 a.C β 370 a.C). FilΓ³sofos
de la antigua Grecia. Imagen tomada y copiada de
http://epitomeclasica.blogspot.com.co/2012/01/atomistas-leucipo-y
democrito.html. (b) CosmovisiΓ³n discreta griega de la materia, los Γ‘tomos
como parte constitutiva de la materia.
La continuista, fundada por EmpΓ©docles y seguida por AristΓ³teles en el siglo IV
a.C, presumiendo de la existencia de un lΓmite planteaba que todo era resultado
de una combinaciΓ³n de los cuatro elementos, aire, fuego, agua y tierra (Hawking
y Mlodinow, 2010) y (Wiechowsk, 1969) (Ver figura 1.3). Siendo estas
consideradas sustancias primeras del Universo o como cualidades distintas de
una misma base material (Wiechowsk, 1969).
1 El tΓ©rmino Γ‘tomo proviene del vocablo griego βΓ‘tomonβ que significa sin divisiΓ³n y empezΓ³ a ser utilizado por los griegos para referirse a estructuras materiales muy pequeΓ±as fundamentales carentes de estructura y en permanente movimiento. 2 "Tales cuerpos visibles contienen espacios vacΓos entre sus partΓculas elementales, espacios que se disponen de distinta forma segΓΊn el tipo de composiciΓ³n" (Wiechowsk, 1969).
Figura 1.3. EmpΓ©docles (495 a.c β 444 a.c) y AristΓ³teles (384 a.C β 322 a. C)
consideraban a la materia como producto de la combinaciΓ³n de los cuatro
elementos. Imagen tomada y copiada de
http://www.philosimply.com/philosopher/empedocles y
https://es.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teles.
Las ideas aristotΓ©licas3 acerca de la naturaleza perduraron por casi veinte siglos
como consecuencia que se consideraban innegables y porque se adecuaban
con la experiencia sensible (Hewitt, 2007).
La idea de Γ‘tomo solo fue nuevamente reconocida y valorada por el quΓmico
inglΓ©s John Dalton en el siglo XVI en su propuesta de un modelo quΓmico (ver
figura 1.4). En este, las relaciones de peso que daban lugar a reacciones
quΓmicas encontraron justificaciΓ³n (Wiechowsk, 1969). Su uso sistemΓ‘tico en el
campo de la fΓsica solo fue hacia finales del siglo XIX con los trabajos sobre rayos
X, la radioactividad y los rayos catΓ³dicos.
Figura 1.4. RepresentaciΓ³n de los Γ‘tomos dada por John Dalton en su obra
A New System of Chemical Philosophy. Imagen tomada y copiada de
https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_at%C3%B3mico_de_Dalton
3 La ciencia como actividad humana solo estaba a cargo de algunos pocos y no se basaba especΓficamente de consensos, siendo un periodo de poca productividad.
Actualmente se considera la materia compuesta por Γ‘tomos, los cuales a su vez
se componen de otras estructuras mΓ‘s fundamentales, quartz y leptones, que
interactΓΊan entre sΓ por los denominados bosones gauge cuya existencia se
encuentra ampliamente verificada por la actividad empΓrica desarrollada en los
ΓΊltimos 50 aΓ±os. El presente trabajo toma como punto de partida esta concepciΓ³n
sobre la materia siendo el nΓΊcleo del Γ‘tomo la estructura a analizar.
En el siglo XVII Galileo Galilei planteo una tercera manera de conocer.
ReconociΓ³ la importancia del mΓ©todo cientΓfico y el experimento en el proceso
de acopio de conocimiento sobre los fenΓ³menos naturales marcando el inicio de
la ciencia moderna. Su uso en el terreno de la fΓsica fundamental y en general
de la ciencia ha permitido ahondar de forma significativa en la comprensiΓ³n de
la materia y el universo.
Figura 1.5. Galileo Galilei (1564-1642). Fundador del mΓ©todo cientΓfico y el
experimento. Imagen tomada y copiada de
https://es.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei
Asimismo, el hombre en su afΓ‘n por comprender la naturaleza ha buscado la
manera de unificar las interacciones que gobiernan el universo. La
electrodinΓ‘mica clΓ‘sica y el modelo estΓ‘ndar han sido los mΓ‘s recientes intentos
en esa direcciΓ³n. En este sentido, la electrodinΓ‘mica clΓ‘sica, desarrollada a
mediados del siglo XIX, explica y describe los fenΓ³menos elΓ©ctricos, magnΓ©ticos
y Γ³pticos desde una perspectiva unificada, influyendo en el desarrollo teorΓas
como la electrodinΓ‘mica cuΓ‘ntica (QED) y la teorΓa cuΓ‘ntica de campos. Su
desarrollo se remonta desde los griegos hasta la publicaciΓ³n del trabajo de
investigaciΓ³n denominado βA dynamical Theory of the Electromagnetic Field" del
pensador James Clerk Maxwell a mediados del siglo XIX, quien sintetizo en un
conjunto de cuatro ecuaciones su teorΓa:
β Β· οΏ½ββοΏ½ = π
π0 ,
β Β· οΏ½ββοΏ½ = 0 ,
β x οΏ½ββοΏ½ = - ποΏ½ββοΏ½
ππ‘ ,
β x οΏ½ββοΏ½ = ππ J + πππ0 ποΏ½ββοΏ½
ππ‘ .
Asimismo, estas ecuaciones son invariantes bajo un grupo de transformaciones
permitiendo asΓ, como veremos en el capΓtulo II, apreciarla como una teorΓa
gauge, siendo pertinente para entender la idea gauge propuesta en 1918 por el
alemΓ‘n Hermann Weyl en su intento fallido de unificar las interacciones hasta
ese momento conocidas, la gravitacional y la electromagnΓ©tica.
1.2 SOBRE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA
Hasta el siglo XVIII la idea de Γ‘tomo postulada en la antigua Grecia habΓa sido
implementada por los pensadores Dalton, Avogrado, Prout etc. en el terreno de
la quΓmica para explicar algunos hechos relacionados a reacciones entre
sustancias y al comportamiento de los gases. Sin embargo, su uso en el terreno
de la fΓsica solo se dio a partir del descubrimiento de los rayos X (1892), la
radioactividad (1895) y el electrΓ³n (1897) induciendo a la consolidaciΓ³n de los
primeros modelos de Γ‘tomo.
1.2.1 LOS MODELOS ATΓMICOS
Los modelos han desempeΓ±ado un rol importante en la consolidaciΓ³n de las
teorΓas fΓsicas. En el caso de la teorΓa cuΓ‘ntica han sido indispensables para
entender y explicar los comportamientos atΓ³micos. Al someter un gas a una
diferencia de potencial no hay forma de estudiar la dinΓ‘mica de las partΓculas
que lo componen haciendo uso de nuestros sentidos, sin embargo, el anΓ‘lisis de
la distribuciΓ³n espectral apreciada a travΓ©s de un espectroscopio brinda la
posibilidad de conocer el conjunto de transiciones energΓ©ticas del gas, las cuales
pueden ser calculadas y justificadas con el modelo de Bohr. En este sentido, un
modelo es una representaciΓ³n que tiene como propΓ³sito relacionar lo que es
accesible para el observador e incorporarla en una estructura de anΓ‘lisis familiar
que permita comprender con cierto grado de precisiΓ³n los procesos que allΓ
ocurren (Giancoli, 2009).
Durante el estudio de la materia se han desarrollado diferentes modelos.
Originalmente basados en la intuiciΓ³n y posteriormente producto de la
experimentaciΓ³n. Los modelos desarrollados por Thompson, Rutherford y Bohr
surgieron a partir de la necesidad de explicar algunos fenΓ³menos propios sobre
los constituyentes bΓ‘sicos de la materia, cuyas descripciones eran difusas desde
esquemas clΓ‘sicos. A continuaciΓ³n, se exponen a grandes rasgos, algunas
caracterΓsticas y limitaciones de cada uno de ellos con el propΓ³sito de justificar
el problema al cual se enfrentaba los pensadores hacia principios del siglo XX.
1.2.1.1 MODELO DE THOMPSON
Hacia finales del siglo XIX usando un tubo de rayos catΓ³dicos el fΓsico ingles J.J
Thompson descubre los electrones. ObservΓ³ que los rayos que emergΓan del
cΓ‘todo dentro de un tubo al vacΓo se desviaban en presencia de campos
magnΓ©ticos. Analizando las desviaciones producto de las interacciones con ese
campo y calculando su relaciΓ³n carga/masa dedujo que se trataban de partΓculas
con carga negativa (CastaΓ±eda & Ewert, 2003).
A partir de este descubrimiento se empezΓ³ a indagar alrededor de una estructura
atΓ³mica compuesta, en principio, por electrones. Thompson, reconociendo este
resultado, postulo un primer modelo del Γ‘tomo considerΓ‘ndolo como una
distribuciΓ³n esfΓ©rica de carga positiva y los electrones en su interior (CastaΓ±eda
& Ewert, 2003) (Ver figura 1.6).
Figura 1.6. Modelo de Thompson.
MΓ‘s tarde, Ernest Rutherford, estudiante de Thompson, en su intento por
encontrar una base experimental en apoyo a esta representaciΓ³n decide
proponer otro experimento haciendo colisionar partΓculas alfa provenientes de
una fuente radioactiva (polonio) sobre una lΓ‘mina de oro, situando un detector
por detrΓ‘s de Γ©sta. Al realizar mediciones en compaΓ±Γa de sus colaboradores
Marsden y Geiger (1911) se encontrΓ³ que en general estas (Γ‘tomos de Helio sin
dos electrones) se desviaban tenuemente respecto a la normal de la fuente
radioactiva como lo predecΓa Thompson, sin embargo, una cantidad de ellas
reculaban, es decir, se dispersaban en Γ‘ngulos de hasta 180 grados (CastaΓ±eda
& Ewert, 2003), indicando que el Γ‘tomo no es una distribuciΓ³n uniforme de carga
positiva sino que por el contrario Γ©sta se sitΓΊa en un nΓΊcleo.
Conocidos las distribuciones espectrales de algunos gases y el fenΓ³meno
prescindido por Rutherford el modelo de Thompson tuvo que ser modificado
generando la apariciΓ³n de un nuevo modelo del Γ‘tomo (CastaΓ±eda & Ewert,
2003).
1.2.1.2 MODELO DE RUTHERFORD
Ernest Rutherford basado en los hechos experimentales propone un nuevo
modelo del Γ‘tomo (1911), una estructura compuesta de un nΓΊcleo cargado
positivamente y electrones girando a su alrededor (Ver figura 1.7), logrando
justificar la dispersiΓ³n no coherente de las partΓculas alfa. Al estar confinada toda
la carga positiva allΓ existe un fuerte campo elΓ©ctrico provocando que las
partΓculas πΌ se desviaran (CastaΓ±eda & Ewert, 2003).
: Carga positiva : Electrones
Figura 1.7. Modelo de Rutherford. DistribuciΓ³n de carga positiva en el nΓΊcleo y electrones girando a su alrededor.
A pesar de ajustarse con los resultados experimentales de Hans Geiger, Ernest
Marsden y el mismo Rutherford mostro ser limitado. SuponΓa que las orbitas
seguidas por los electrones alrededor del nΓΊcleo eran circulares. Al ser orbitas
de este tipo, el Γ‘tomo debΓa ser inestable, debido a que al encontrarse las
partΓculas con carga negativa sujetas a una fuerza centrΓpeta4 aceleran dando
lugar a una emisiΓ³n de energΓa, la cual al no ser restaurada por una fuente
externa girarΓan en Γ³rbitas cada vez mΓ‘s estrechas (CastaΓ±eda & Ewert, 2003)
(Ver figura 1.8).
Figura 1.8. ElectrΓ³n colapsando. Imagen tomada y copiada de FΓsica
universitaria Volumen II, Sears y Zemansky ediciΓ³n 12.
1.2.1.3 MODELO DE BOHR
Niels Bohr en 1913 motivado por resolver el problema sugiriΓ³ un nuevo modelo
del Γ‘tomo. Mientras los electrones giren alrededor del nΓΊcleo en una Γ³rbita dada
no emiten energΓa, solo lo hacen cuando pasan de una a otra, producto de su
interacciΓ³n con una fuente externa de energΓa (CastaΓ±eda & Ewert, 2003).
Acepto el modelo nuclear de Rutherford y considero a los electrones girando en
Γ³rbitas cuya energΓa estaba previamente establecida y no cambiaba en el tiempo
(Ver figura 1.9).
Lo anterior configura un momento de gran importancia en la comprensiΓ³n sobre
la estructura atΓ³mica, debido a que lograba predecir las distribuciones
espectrales de los diferentes elementos quΓmicos y era compatible con las
predicciones contenidas del modelo de Rutherford.
4 Es un tipo de fuerza que actΓΊa en todo movimiento circular responsable de cambiar en cada instante la direcciΓ³n de la velocidad.
: Carga positiva : Electrones
Figura 1.9. Modelo de Bohr: Un nΓΊcleo cargado positivamente y
electrones girando alrededor en ciertas orbitas permitidas.
A partir de estos resultados los pensadores se empezaron a indagar sobre la
estructura del nΓΊcleo. En este sentido, en el siglo XVIII se habΓa sugerido al
hidrogeno como parte constitutiva de los demΓ‘s elementos quΓmicos, es decir, la
masa de cualquier elemento era mΓΊltiplo entero de Γ©ste (HipΓ³tesis de Prout).
Con la modernizaciΓ³n de las tΓ©cnicas de mediciΓ³n de los pesos atΓ³micos en el
siglo XX se empezΓ³ a dilucidar que dicha propuesta no era adecuada
(Wiechowsk, 1969). La masa del helio, por ejemplo, era cuatro veces mayor que
la del Hidrogeno y no el doble (Ver figura 1.10).
Con el propΓ³sito de justificar la masa de los diferentes Γ‘tomos bajo el marco de
Prout, habΓa dos posibilidades. La primera, propuesta por Rutherford y Bohr,
sugerΓa una cantidad adicional de protones en el nΓΊcleo y electrones, los cuales
contrarrestaban el efecto de la carga adicional positiva (Wiechowsk,1969) y
(Navarro,2000). En este sentido, el Helio debΓa estar compuesto por 4 protones
y 2 electrones nucleares5 (Ver figura 1.11).
H He
Figura 1.10. CosmovisiΓ³n de Prout acerca de la constituciΓ³n de los Γ‘tomos.
5 Al aceptar la existencia de electrones en el nΓΊcleo la carga asociada a los dos protones adicionales era compensada siendo compatible con los datos empΓricos. Esta idea no fue recibida con escepticismo debido a que se conocΓa el fenΓ³meno de la radioactividad, en el cual ocurrΓan emisiΓ³n de electrones.
He
Figura 1.11. Propuesta de electrones en el nΓΊcleo.
La segunda versaba en que hubiera una partΓcula parecida al protΓ³n, pero sin
carga elΓ©ctrica. (Navarro, 2000). En 1932 James Chadwick, interpretando los
resultados experimentales obtenidos por H. Bothe y W. Becker en 1930,
descubriΓ³ que la radiaciΓ³n penetrante producto de la interacciΓ³n entre las
partΓculas πΌ y berilio eran neutrones cuya masa era cercana a la del protΓ³n
(Navarro, 2000). A partir de este hallazgo los Γ‘tomos pasaron a ser considerados
como entes fΓsicos constituidos por un nΓΊcleo, compuesto de protones y
neutrones en torno al cual giraban los electrones (Ver figura 1.12). Wiechowsk
(1969) afirma:
A partir del descubrimiento del neutrΓ³n se considera, segΓΊn formulaciΓ³n
de Heinsenberg, que en el nΓΊcleo no existen << electrones nucleares >>
de Rutherford y Bohr, sino que las partΓculas constitutivas del nΓΊcleo son
el protΓ³n y el neutrΓ³n; los electrones solamente se encuentran en la nube
de electrones que rodea el nΓΊcleo (p.92).
: Protones : Neutrones : Electrones
Figura 1.12. Modelo del Γ‘tomo tomando en cuenta la existencia de los
neutrones.
1.2.2 SOBRE EL PROBLEMA DE LA ESTABILIDAD NUCLEAR
En las primeras tres dΓ©cadas del siglo XX la actividad empΓrica habΓa confirmado
de forma directa que los Γ‘tomos no eran las unidades ΓΊltimas de la materia sino
estaban compuestas por otras partΓculas, el electrΓ³n, el protΓ³n y el neutrΓ³n,
generando la apariciΓ³n de una serie de preguntas asociadas a la estabilidad del
nΓΊcleo. Si los protones se encuentran confinados allΓ con los neutrones ΒΏQue
genera su estabilidad? De acuerdo a la electrodinΓ‘mica clΓ‘sica entre cada par
protΓ³n β protΓ³n existe una fuerte repulsiΓ³n elΓ©ctrica suficiente para conducir al
nΓΊcleo a su colapso.
En el intento por conseguir una respuesta a esta pregunta pensadores tales
como Heinsenberg (1932), Yukawa (1935) y Yang- Mills (1954) dedicaron sus
esfuerzos a desarrollar modelos que permitieran describir esta nueva fuerza de
la naturaleza, conocida en la actualidad como "interacciΓ³n fuerte" responsable
de la cohesiΓ³n nuclear.
1.2.2.1 MODELO DE HEINSENBERG: ISOSPΓN
Werner Heinsenberg en 1932 propone un primer modelo para explicar la
estabilidad nuclear. Al ser la masa del protΓ³n y el neutrΓ³n aproximadamente
iguales, considerΓ³ a Γ©stas como estados diferentes de una misma partΓcula, el
nucleΓ³n6 (Griffiths, 1987). Para diferenciar los posibles estados del nucleΓ³n,
introduce una propiedad similar al espΓn denominΓ‘ndola isospΓn 7 (I) para
describir la interacciΓ³n entre nucleones de la misma manera que la carga
elΓ©ctrica lo era para las interacciones entre cargas (Ver figura 1.13).
I3 = 1
2 I3 = β
1
2
Figura 1.13. IsospΓn protΓ³n y neutrΓ³n.
6 La masa de estos dos estados del nucleΓ³n era igual a 938.3 MeV / C2 y 939.6 MeV / C2 respectivamente. 7 I es un vector definido en un espacio abstracto βespacio de isospΓnβ con componentes I1 , I 2, I 3. El nucleΓ³n tiene I = 1/2 pero dos valores distintos de I3 1/2 y -1/2 correspondientes al protΓ³n y el neutrΓ³n. (Griffiths,1987)
A partir de estas consideraciones, la estabilidad nuclear resulta de la acciΓ³n de
una fuerza 8 de naturaleza distinta a la elΓ©ctrica en la que el isospΓn es la
propiedad asociada contrarrestando la repulsiΓ³n elΓ©ctrica entre cada par protΓ³n
β protΓ³n contenido en el nΓΊcleo.
Por otro lado, surge la siguiente pregunta: ΒΏBajo quΓ© mecanismo ocurren las
interacciones entre nucleones? Heinsenberg propone que la estabilidad nuclear
se debe a la continua transmutaciΓ³n de protones en neutrones y viceversa
mediada por electrones (Wiechowsk, 1969). En este sentido, un neutrΓ³n emite
un electrΓ³n, convirtiΓ©ndose en un protΓ³n, el cual al ser absorbido por el protΓ³n
se transforma en un neutrΓ³n. Del mismo modo el protΓ³n puede emitir un positrΓ³n,
convirtiΓ©ndose en un neutrΓ³n, el cual al ser absorbido por el neutrΓ³n se
transforma en un protΓ³n9 (Wiechowsk, 1969) como se muestra en la figura 1.14.
Heinsenberg denomino a esto "fuerzas de intercambio" debido a que son los
electrones los que transportan la interacciΓ³n en tΓ©rminos de energΓa y
momentum.
(a) (b)
: NeutrΓ³n : ProtΓ³n : ElectrΓ³n : PositrΓ³n
Figura 1.14. (a) InteracciΓ³n neutrΓ³n - protΓ³n mediada por el electrΓ³n. (b)
InteracciΓ³n protΓ³n β neutrΓ³n mediada por el positrΓ³n.
A pesar de explicar la estabilidad nuclear se encontrΓ³ con serias limitaciones.
Era solamente ΓΊtil para describir interacciones protΓ³n- neutrΓ³n y sugerΓa que la
8 En el contexto de la teorΓa de grupos se dice que la fuerza responsable de la cohesiΓ³n nuclear es invariante bajo rotaciones de 180o en el espacio de isospΓn, lo que garantiza su conservaciΓ³n en esta clase de interacciones a partir del teorema de Noether. (Griffths,2004) 9 Este modelo, con ciertos reparos, fue ΓΊtil mΓ‘s adelante para explicar el fenΓ³meno de la radioactividad.
interacciΓ³n responsable era de largo alcance10. Siendo los electrones o los
positrones las partΓculas emitidas durante el proceso de transmutaciΓ³n de los
nucleones, las interacciones protΓ³n-protΓ³n y neutrΓ³n- neutrΓ³n no podΓan ser
justificadas (Valenzuela, 1995).
1.2.2.2 MODELO DE YUKAWA: MESONES
Una vez entendidas las limitaciones que presentaba el modelo de Heinsenberg
para explicar la estabilidad nuclear el fΓsico japonΓ©s Hideki Yukawa en 1932
decidiΓ³ tomar un enfoque diferente. Al ser el fotΓ³n la partΓcula portadora de la
interacciΓ³n electromagnΓ©tica debΓa existir otra partΓcula que mediara las
interacciones entre nucleones cuya masa debΓa ser mayor a la del electrΓ³n y
menor a la del protΓ³n, un mesΓ³n (Giancoli, 2009).Carl Anderson, quien aΓ±os
atrΓ‘s habΓa descubierto las antipartΓculas, estudiando los productos de las
interacciones entre los rayos cΓ³smicos y la atmosfera terrestre con una cΓ‘mara
de niebla,detecto una partΓcula cuya masa era parecida a la predicha por
Yukawa, 106 Mev /C2, la cual por no ajustarse a ciertos criterios de selecciΓ³n fue
finalmente descartada. Sin embargo en 1947 C. F. Powell y G. Occhialini hallaron
finalmente evidencias del mesΓ³n π 11 (Giancoli, 2009).
En ese sentido las interacciones entre nucleones se encontraban mediadas por
algΓΊn estado de carga del π, las cuales en un diagrama de Feynmann12 quedan
representadas de la siguiente manera
Figura 1.15. Interacciones protΓ³n-neutrΓ³n, protΓ³n β neutrΓ³n y neutrΓ³n-
protΓ³n.
10 Al ser la masa del electrΓ³n (0.511 Mev/C2 ) aproximadamente igual a la del fotΓ³n implicarΓa que esta interacciΓ³n de la naturaleza seria de largo alcance tal como sucede con la electromagnΓ©tica. 11En la naturaleza se distingue tres clases de piones en funciΓ³n de su carga elΓ©ctrica π+,π- , π0. Sus masas son 139.2 MeV / C2 y 135.0 MeV/ C2, son muy inestables y tienen periodos de tiempo muy pequeΓ±os decayendo en otras partΓculas. 12 Los diagramas de Feynman fueron propuestos por Richard Feynmann hacia finales de la dΓ©cada de los aΓ±os 1940, los cuales permiten representar de una forma simple interacciones entre partΓculas.
En este orden de ideas, la manera como Heinsenberg y Yukawa asumieron el
reto de explicar la estabilidad nuclear se diferenciΓ³ respecto a la partΓcula que
la mediaba, los electrones, positrones y los mesones π respectivamente, siendo
esta ΓΊltima aceptada por tomar en cuenta su naturaleza de corto alcance y
describir las interacciones protΓ³n-protΓ³n, neutrΓ³n-neutrΓ³n y protΓ³n-neutrΓ³n,
consolidando un cambio de paradigma en el modo de explicar la interacciΓ³n
entre dos cuerpos.
Mientras en el siglo XVII Sir. Isaac Newton lo hizo bajo el concepto de "acciΓ³n a
distancia" en la actualidad se considera que la interacciΓ³n es en si misma
transportada por partΓculas, bosones gauge. El fotΓ³n para el caso del
electromagnetismo, los bosones W y Z para interacciΓ³n dΓ©bil y los gluones para
la interacciΓ³n fuerte. La cual originalmente surgiΓ³ producto de la formulaciΓ³n
cuΓ‘ntica del electromagnetismo clΓ‘sico iniciada por Paul Dirac y seguida por
otros pensadores como Heinsenberg, Yukawa. Oppenhaimer, Yang, Mills,
Salam, Weinberg etc.
SeΓ±alado el contexto histΓ³rico que indujo a pensar en una estructura nuclear, el
conjunto de problemΓ‘ticas que de allΓ afloraron y los principales modelos
orientados para resolverlo se procederΓ‘ a analizar algunos conceptos tales como
invariancia gauge, libertad gauge etc., los cuales serΓ‘n ΓΊtiles en el capΓtulo III
para entender la propuesta fenomenolΓ³gica desarrollada por los pensadores
Chen Ning Yang y Robert Mills en el aΓ±o 1954 alrededor de la estabilidad
nuclear.
CAPITULO II
SOBRE LA IDEA GAUGE: EL CASO DE LA ELECTRODINΓMICA CLΓSICA
Y EL LAGRANGIANO DE DIRAC
2.1 LA SIMETRΓA EN CONTEXTO
La simetrΓa ha sido apreciada y valorada en diferentes contextos de la sociedad.
En el arte se asocia a la armonΓa, orden y equilibrio presente en una obra de arte
matizada por ciertos aspectos particulares. En la geometrΓa se relaciona a
transformaciones de tipo geomΓ©trico en la que los elementos que la definen no
cambian, tal como sucede con un cuadrado bajo rotaciones de 90o. En la fΓsica
se refiere a entidades formales (leyes naturales) invariantes bajo
transformaciones (RupΓ©rez, 1994). Las leyes de Newton, por ejemplo, son
invariantes respecto al grupo de transformaciones de galileo y las leyes de
Maxwell bajo transformaciones de Lorentz. βLa invariancia de las leyes fΓsicas es
sinΓ³nimo de equivalencia entre sistemas de referencia o, si se prefiere y
siguiendo a Einstein, de equivalencia de "puntos de vista" (Balibar, 1986).
En el contexto cientΓfico, su uso ha permitido convertir largos y engorrosos
cΓ‘lculos en simples expresiones matemΓ‘ticas, cuyas consecuencias son difΓciles
de imaginar y parecen conducir a una teorΓa unificada del universo. Entre sus
triunfos mΓ‘s importantes se encuentran: El βTeorema de Noetherβ formulado por
Emmy Noether en 1915, la formulaciΓ³n de la ecuaciΓ³n de Dirac por Paul Dirac
en 1929, el establecimiento de la electrodinΓ‘mica cuΓ‘ntica, la cromodinamica
cuΓ‘ntica y el modelo estΓ‘ndar de la fΓsica de partΓculas, siendo estos ΓΊltimos
producto de la aplicaciΓ³n de la idea gauge.
2.2 EL GΓNESIS DE LA IDEA GAUGE
Establecida la teorΓa electromagnΓ©tica clΓ‘sica, a mediados del siglo XIX, y la
teorΓa general de la relatividad13 en 1915 se iniciΓ³ la bΓΊsqueda de una estructura
geomΓ©trica que unificara estas dos grandes revoluciones del pensamiento
humano (Rozo, 2016). Albert Einstein, su proponente, y Herman Weyl dedicaron
sus esfuerzos a conseguirlo, sin tener Γ©xito.
13 Esta reducΓa los efectos gravitacionales a una deformaciΓ³n del tejido espacio - temporal.
En 1918 Weyl en su intento por encontrar una mΓ©trica14 que describiera los
fenΓ³menos electromagnΓ©ticos y gravitacionales propuso la idea gauge o simetrΓa
gauge partiendo de una generalizaciΓ³n del concepto de medida basado en el
hecho que las medidas en fΓsica son relativas (Rozo, 2016).Por ejemplo, cada
observador puede medir de una manera distinta las coordenadas inicial y final
entre dos eventos, sin embargo, de acuerdo a Weyl, el valor del intervalo al
cuadrado representado por βπ 2 serΓ‘ el mismo para cada uno de ellos (Rozo,
2016) como se muestra a continuaciΓ³n.
Sea βπ 2 el intervalo al cuadrado entre dos eventos que ocurren en el espacio
dado por
βπ 2 = βπ₯2 + βπ¦2 + βπ§2 . (1)
Donde,
(ππ β ππ ) 2 = βπ₯2 ; (ππ β ππ )
2 = βπ¦2 ; (ππ β ππ ) 2 = βπ§2
Cada observador puede recalibrar la posiciΓ³n inicial y final adicionando una
constante arbitraria C. De modo que βπ₯2, βπ¦2, βπ§2 se calcula como
[((ππ + πΆ ) β (ππ + πΆ))2] = βπ₯2 ,
[((ππ + πΆ ) β (ππ + πΆ))2] = βπ¦2 ,
[((ππ + πΆ ) β (ππ + πΆ))2] = βπ§2 ,
obteniΓ©ndose un mismo valor para βπ 2
βπ 2 = βπ 2 . (2)
Bajo esta consideraciΓ³n Weyl sugiere que a partir de una recalibraciΓ³n
determinada por π (π₯) aplicada a la mΓ©trica de la relatividad general se podrΓ‘
obtener una descripciΓ³n geomΓ©trica de la interacciΓ³n electromagnΓ©tica (GarcΓa,
2011).
GΒ΄ππΌ = π (π₯) GππΌ . (3)
14 Es un objeto matemΓ‘tico que permite medir distancias entre dos puntos localizados en el espacio.
Por no ajustarse esta propuesta a ciertas consecuencias fΓsicas, que no
mencionaremos en este trabajo, fue finalmente descartada (Garcia, 2011). Con
el advenimiento de la teorΓa cuΓ‘ntica, la cual reducΓa toda descripciΓ³n fΓsica de
las partΓculas a una funciΓ³n de onda, la idea gauge cobro nuevamente
importancia, esta vez en tΓ©rminos de una transformaciΓ³n contenida en el grupo
de simetrΓa unitario de las fases U (1).
π πΒ΄ = πππππ . (4)
Hermann Weyl (1885 - 1955)
2.3 INVARIANCIA GAUGE LOCAL Y GLOBAL
La idea gauge consiste en el proceso mediante el cual cada observador elige
una manera de medir cantidades de interΓ©s fΓsico, cuyos resultados son iguales
o invariantes entre sΓ. Con el propΓ³sito de profundizar en su comprensiΓ³n se
plantean dos ejemplos particulares de la mecΓ‘nica y electrodinΓ‘mica clΓ‘sica
haciendo uso de dos cantidades fΓsicas familiares, el desplazamiento y la
diferencia de potencial entre dos puntos del espacio.
Consideremos posiciones consecutivas de un mΓ³vil que se mueve sobre el eje
de las x en dos instantes de tiempo t y tΒ΄. La diferencia entre la posiciΓ³n final y
inicial indica su desplazamiento15.
Por lo tanto,
βπ = βπ₯π 1 + βπ¦π 20 + βπ§π 30,
15 Es una cantidad vectorial, cuya magnitud indica la distancia comprendida entre un objeto respecto a un marco de referencia, independiente de la trayectoria seguida por el objeto.
βπ = βπ₯π 1 .
De acuerdo a Weyl , existen infinitas maneras de obtener un valor de βπ₯ a partir
de una recalibraciΓ³n aditiva arbitraria de las posiciones inicial y final determinada
por una constante C. En otras palabras, la forma de medir las posiciones inicial
y final no estΓ‘ unΓvocamente determinada, cualquiera que sea el valor de C
implementada en la recalibraciΓ³n el valor del desplazamiento serΓ‘ el mismo
como se muestra a continuaciΓ³n (Ver figura 2.1).
Sea |βπ₯| la magnitud del desplazamiento sobre el eje de las X dada por
|βπ₯|= π2 β π1 ,
(5)
al recalibrar las posiciones inicial y final mediante una constante C arbitraria
π1Β΄ = π1 + C ; π2Β΄ = π2 + C
|βπ₯Β΄| = π2Β΄ β π1Β΄ ,
|βπ₯Β΄| = π2 + C β π1 β C ,
se obtiene que la magnitud del desplazamiento es invariante bajo esa
recalibraciΓ³n o transformaciΓ³n gauge
|βπ₯Β΄| = π2 β π1 = |βπ₯| . . (6)
Figura 2.1. La longitud del vector desplazamiento es invariante bajo una
transformaciΓ³n gauge de la posiciΓ³n final y inicial.
Y
O X
π₯ βxΒ΄βx
Aquellas recalibraciones o transformaciones gauge que dejan invariantes a las
variables dinΓ‘micas que describen a los sistemas fΓsicos pueden ser globales o
locales.
Una transformaciΓ³n gauge global es aquella que es independiente de cada punto
del espacio. Por ejemplo, si tenemos 6 canicas amarillas y 6 grises y se realizan
una transformaciΓ³n por conjugaciΓ³n, es decir, negras por grises y estas por
negras se obtiene una organizaciΓ³n estructural equivalente, es decir, igual
cantidad de canicas negras y grises (Ver figura 2.2). La cantidad de pelotas
amarillas y grises se conserva.
S SΒ΄
Figura 2.2. TransformaciΓ³n global por conjugaciΓ³n entre pelotas negras y
grises obteniΓ©ndose una organizaciΓ³n estructural equivalente a la inicial.
Por su parte, una transformaciΓ³n gauge local es dependiente de cada punto del
espacio. La transformaciΓ³n local por conjugaciΓ³n de pelotas negras por grises
genera una configuraciΓ³n estructural diferente a la previamente establecida
rompiendo la invariancia del sistema, la cantidad de pelotas negras y grises no
es el mismo, no se conserva (Ver figura 2.3).
S SΒ΄
Figura 2.3 TransformaciΓ³n local por conjugaciΓ³n entre pelotas negras y
grises obteniΓ©ndose una organizaciΓ³n estructural diferente.
De acuerdo a lo anterior, el βπ 2 y βπ₯ son invariantes bajo transformaciones
gauge globales de la posiciΓ³n inicial y final como se aprecia en (2) y (6), es decir,
son invariantes gauge global16.
2.4 LA MECΓNICA CLΓSICA: POTENCIAL GRAVITACIONAL Y ELECTRICO
Como segundo ejemplo se aprecia la diferencia de potencial gravitacional entre
dos puntos como invariante gauge global y local con el propΓ³sito de explicitar
sus diferencias.
Sean π(X1) y π(X2) el potencial gravitacional en dos puntos del espacio y βπ la
diferencia de potencial dado por:
βπ = π2 - π1 . (7)
De acuerdo a lo planteado en la secciΓ³n anterior existen diferentes maneras de
medir los potenciales tal que βπ sea el mismo a partir de una transformaciΓ³n
gauge, la cual puede ser global o local. En el primer caso, todos los observadores
implementan una misma constante C como se aprecia a continuaciΓ³n
π1Β΄ = π1 + C ; π2Β΄ = π2 + C
βπΒ΄ = π2Β΄ β π1Β΄,
βπΒ΄ = (π2 + C) β (π1 + C) ,
βπΒ΄ = π2 + C β π1 β C ,
Siendo βπ invariante bajo una transformaciΓ²n gauge global
βπΒ΄ = π2 β π1= βπ . (8)
En el segundo caso, cada observador implementa una C arbitraria distinta (Rozo,
2016). Como se muestra a continuaciΓ³n
El primer observador recalibra el potencial mediante una constante C
π1Β΄ = π1 + C ; π2Β΄ = π2 + C
βπΒ΄ = π2Β΄ β π1Β΄,
βπΒ΄ = (π2 + C) β (π1 + C) ,
16 Todos los observadores utilizan la misma transformaciΓ³n gauge, es decir, la misma constante arbitraria.
βπΒ΄ = π2 β π1= βπ . (9)
Un segundo observador recalibra el potencial mediante una contante CΒ΄
π1Β΄ = π1 + CΒ΄ ; π2Β΄ = π2 + CΒ΄
βπΒ΄ = (π2 + CΒ΄) β (π1 + CΒ΄) ,
βπΒ΄ = π2 β π1= βπ . (10)
Sin embargo, ambos observadores miden el mismo valor de βπ . En este sentido
βπ es invariante bajo una transformaciΓ³n gauge local.
De acuerdo a lo anterior una invariancia gauge global se presenta cuando un
sistema o variable dinΓ‘mica no cambia bajo transformaciones independientes de
cada punto del espacio en caso contrario se dice que existe una invariancia
gauge local.
Estas mismas ideas pueden ser implementadas en el "electromagnetismo
clΓ‘sicoβ. La diferencia de potencial entre los bornes de una pila dada por βπ es
invariante bajo transformaciones de los potenciales elΓ©ctricos.
2.5 LA ELECTRODINΓMICA CLΓSICA: ECUACIONES DE MAXWELL
La teorΓa de los fenΓ³menos elΓ©ctricos y magnΓ©ticos puede ser vista como una
teorΓa gauge. Las ecuaciones que la constituyen son invariantes bajo
transformaciones gauge del potencial vectorial y escalar claves para la
descripciΓ³n de estos campos fΓsicos.
Considere las ecuaciones de campo electromagnΓ©tico dadas por:
β Β· οΏ½ββοΏ½ = π
π0 , (11)
β Β· οΏ½ββοΏ½ = 0 , (12)
β x οΏ½ββοΏ½ = βποΏ½ββοΏ½
ππ‘ , (13)
β x οΏ½ββοΏ½ = ππ π± + πππ0 ποΏ½ββοΏ½
ππ‘ . (14)
Por conveniencia se expresa este conjunto de ecuaciones en tΓ©rminos de dos
campos, uno vectorial οΏ½ββοΏ½ y uno escalar π utilizando dos teoremas del anΓ‘lisis
vectorial. En primer lugar, como la divergencia de οΏ½ββοΏ½ es igual a 0, de acuerdo al
teorema 1 (Ver apΓ©ndice A), puede ser expresado como el rotacional de otro
campo οΏ½ββοΏ½ denominado potencial vectorial
β Β· (β x οΏ½ββοΏ½ ) = 0 , (15)
de esta manera la ecuaciΓ³n (13) adquiere la siguiente forma
β x οΏ½ββοΏ½ = βπ
ππ‘(π π οΏ½ββοΏ½ ) , (16)
β x οΏ½ββοΏ½ = β(π π π οΏ½ββοΏ½ )
ππ‘ ,
β x ( οΏ½ββοΏ½ +π οΏ½ββοΏ½
ππ‘ ) = 0 . (18)
Ahora de acuerdo al teorema 2 (Ver apΓ©ndice A) la expresiΓ³n entre parΓ©ntesis
se puede expresar como el gradiente de un campo escalar β , por lo que
οΏ½ββοΏ½ +π οΏ½ββοΏ½
π π‘ = β ββ , (19)
Reorganizando se obtiene
οΏ½ββοΏ½ = βββ βπ οΏ½ββοΏ½
π π‘ . (20)
Β‘Se ha expresado οΏ½ββοΏ½ en tΓ©rminos de un campo escalar β y uno vectorial οΏ½ββοΏ½ !
Observar que las ecuaciones de los campos fΓsicos οΏ½ββοΏ½ y οΏ½ββοΏ½ son invariantes bajo
transformaciones gauge de los potenciales οΏ½ββοΏ½ y β dadas por
οΏ½ββοΏ½ Β΄ = οΏ½ββοΏ½ + βΟ ; β Β΄ = β β ππ
ππ‘ (21)
Como se puede evidenciar a continuaciΓ³n
οΏ½ββοΏ½ Β΄ = β ββ Β΄ β π οΏ½ββοΏ½ Β΄
π π‘ ,
οΏ½ββοΏ½ Β΄ = β β (β β ππ
ππ‘) β
π
π π‘((οΏ½ββοΏ½ + βπ ) ) ,
οΏ½ββοΏ½ Β΄ = β ββ +πβπ
ππ‘ β
ποΏ½ββοΏ½
π π‘ β
ββπ
ππ‘ ,
οΏ½ββοΏ½ = οΏ½ββοΏ½ Β΄ .
En el caso del potencial vectorial se obtiene
β Β· (β x οΏ½ββοΏ½ Β΄) = 0 ,
β Β· (β x (οΏ½ββοΏ½ + βπ )) = 0 ,
β Β· (β x οΏ½ββοΏ½ + β x βπ) = 0 ,
β Β·(β x οΏ½ββοΏ½ ) = 0 ,
οΏ½ββοΏ½ = οΏ½ββοΏ½ Β΄ .
Dado que π es una funciΓ³n escalar arbitraria se dice que la transformaciΓ³n de
los potenciales, como se mencionΓ³ anteriormente, no estΓ‘ unΓvocamente
determinada.
Aplicando los resultados obtenidos a las dos ecuaciones de Maxwell restantes
(11) y (14) se encuentra la relaciΓ³n de estos dos potenciales con las fuentes de
carga π y π± a su vez la condiciΓ³n de medida asociada a las transformaciones de
los potenciales (Feynmann, 1972).
β β2β β π
ππ‘ (β Β· οΏ½ββοΏ½ ) =
π
π0 , (22)
Sustituyendo las expresiones de οΏ½ββοΏ½ y οΏ½ββοΏ½ en la ecuaciΓ³n (14) resulta
β x (β x οΏ½ββοΏ½ ) = ππ π± + πππ0 π
ππ‘ (β ββ β
π οΏ½ββοΏ½
π π‘ ) ,
Despejando el tΓ©rmino que contiene la densidad de corriente π± ββ se obtiene
β 2 οΏ½ββοΏ½ - β ((β Β· οΏ½ββοΏ½ ) + 1
π2 πβ
ππ‘) β
1
π2
π2οΏ½ββοΏ½
ππ‘2 = β ππ π± ββ , (23)
Para desacoplar este sistema de ecuaciones se debe implementar la siguiente
condiciΓ³n.
β Β· οΏ½ββοΏ½ + 1
π2
πβ
ππ‘ = 0 , (24)
dando como resultado
β2β β1
π2
π2β
π2π‘ =
π
π0 , (25)
β2οΏ½ββοΏ½ β1
π2
π2οΏ½ββοΏ½
π2π‘ = βππ π± . (26)
Se ha obtenido una manera equivalente de expresar las leyes de
electromagnetismo en tΓ©rminos de dos campos vectoriales. La ecuaciΓ³n (24) es
conocida en la literatura como condiciΓ³n gauge de Lorentz, es una restricciΓ³n
relacionada a las transformaciones gauge de los potenciales escalar y vectorial
determinadas en (21). Lo anterior dilucida de forma directa una simetrΓa inmersa
dentro de las ecuaciones de movimiento, en este caso para aquellas asociadas
a los campos electromagnΓ©ticos βLa simetrΓa de las leyes fΓsicas no concierne ni
a los fenΓ³menos ni tan siquiera a las magnitudes u observables que aquellas
relacionan, sino a la estructura formal de las ecuaciones que las definenβ
(RupΓ©rez, 1994).
Finalmente, implementando las relaciones del campo οΏ½ββοΏ½ y οΏ½ββοΏ½ en tΓ©rminos de
οΏ½ββοΏ½ y β se obtiene el tensor electromagnΓ©tico (Ver apΓ©ndice B).
πππ = πππ΄π£ - ππ£π΄π , (27)
el cual serΓ‘ ΓΊtil para construir el tΓ©rmino cinΓ©tico del lagrangiano de Dirac y cuya
extensiΓ³n permite describir las interacciones entre los propagadores gauge
asociados al campo de Yang β Mills, el cual bajo la perspectiva de los
pensadores Chen Ning Yang y Robert Mills es el responsable de la interacciΓ³n
entre nucleones y por lo tanto de su estabilidad, cuyo tratamiento esquemΓ‘tico
se realiza en el capΓtulo III.
2.6 EL LAGRANGIANO DE DIRAC: DERIVADA COVARIANTE
A pesar que la idea gauge fue recibida con escepticismo por parte de la
comunidad cientΓfica, fue de gran valor para la consolidaciΓ³n posterior de las
teorΓas modernas de las interacciones de la naturaleza. Esta reinterpretaciΓ³n
basada en transformaciones de fase aplicadas sobre la funciΓ³n de onda conduce
de forma natural a la derivada covariante o regla de acoplamiento mΓnimo, como
usualmente se le conoce en la literatura, cuya utilidad recae en restaurar la
invariancia del lagrangiano a expensas de la apariciΓ³n de los denominados
campos gauge los cuales describen interacciones de la naturaleza. En este
sentido en esta secciΓ³n se hace uso del lagrangiano de Dirac con el objetivo de
analizar su invariancia bajo una transformaciΓ³n unitaria global y local contenida
en el grupo abeliano U(1) y las consecuencias fΓsicas que de allΓ subyacen.
En primer lugar, el lagrangiano de Dirac β asociado a un electrΓ³n libre se puede
expresar de la siguiente manera:
βDirac = οΏ½Μ οΏ½ (ππΎπππ β π ) π. (28)
Donde, π y οΏ½Μ οΏ½ son los espinores de Dirac y su adjunto respectivamente. ππ es la
derivada comΓΊn relativista y πΎπ las matrices de Dirac.
En primer lugar al someter βDirac a una transformaciΓ³n gauge global unitaria
sobre π y οΏ½Μ οΏ½ dada por
π πΒ΄ = πππ π (29)
π Μ π Μ Β΄ = πβπππ Μ (30)
Se obtiene que βDirac es invariante como se muestra a continuaciΓ³n.
βΒ΄Dirac = (πβπππ Μ ) (ππΎπππ β π )(πππ π)
βΒ΄Dirac = (πβπππ Μ )[ππΎπππ(πππ)π + ππΎπ πππ ππ π β ππππ π ]
βΒ΄Dirac = (πβπππ Μ ) [ππΎπ πππ ππ π β ππππ π ]
βΒ΄Dirac = π Μ ππΎπ(πβππ πππ) ππ π - π(πβππ πππ) π = β
De lo anterior, surge la siguiente pregunta ΒΏQuΓ© sucede cuando el parΓ‘metro
libre π es funciΓ³n de las coordenadas?
En este caso las transformaciones (29) y (30) adquieren la siguiente forma
π πΒ΄ = πππ(π₯) π ; (31)
π Μ π Μ Β΄ = πβππ(π₯)π Μ . (32)
Se verifica que βDirac ya no es invariante bajo una transformaciΓ³n local unitaria
U(1) como se muestra a continuaciΓ³n
βΒ΄Dirac = (πβπππ Μ ) ( ππΎπππ β π) (πππ(π₯) π),
βΒ΄Dirac = (πβπππ Μ ) ( iπΎπππ(πππ(π₯) π) β ππππ(π₯) π),
βΒ΄Dirac = (πβπππ Μ ) [ππΎπππ(πππ(π₯))π + ππΎπ πππ(π₯) ππ π β ππππ π ],
βΒ΄Dirac= (πβπππ Μ ) [ππΎπ (ππππ(π₯)ππ(π(π₯)))π + ππΎπ πππ(π₯) ππ π β ππππ π ],
βΒ΄Dirac = π Μ ( ππΎπππ β π) π β πΎπππ(π(π₯))ππ Μ ,
βΒ΄Dirac = βDirac β πΎπππ(π(π₯))ππ Μ . (33)
Aparece un tΓ©rmino extra producto de la acciΓ³n de la derivada comΓΊn ππ sobre
el exponente complejo de la transformaciΓ³n. En efecto, se propone una
generalizaciΓ³n aditiva de ππ tal que restaure la invariancia de βDirac dada por
ππ π·π = ππ + πππ . (34)
Lo anterior se le denominada regla de acoplamiento mΓnimo. Donde ππ
representa fΓsicamente al campo electromagnΓ©tico.
De esta manera βDirac queda de la siguiente manera.
β = οΏ½Μ οΏ½ (ππΎππ·π β π ) π (35)
Como se ha introducido un campo a la derivada comΓΊn se debe proponer una
transformaciΓ³n para el campo gauge ππ dada por
AπΒ΄ = Aπ β1
π ππ(π(π₯)), (36)
De esta manera se obtiene βDirac con un tΓ©rmino de interacciΓ³n el cual es
invariante bajo transformaciones locales de la fase (Ver apΓ©ndice C)
βDirac = οΏ½Μ οΏ½ (ππΎπππ β πΎπ Aπ β π ) π , (37)
βDirac = οΏ½Μ οΏ½ (ππΎπππ β π )π β π Μ πΎππAπ π ,
βDirac = βlibre + βinteracciΓ³n , (38)
donde,
π Μ πΎππ π = π±π . (Densidad de corriente) (39)
Asimismo, se puede verificar que el tensor de intensidad electromagnΓ©tico dado
por (27) es invariante bajo la transformaciΓ³n (36).
πΉππ£ πΉππ£Β΄ = πππ΄π£Β΄ - πππ΄π£Β΄ . (40)
De esta manera el lagrangiano de la QED invariante bajo una transformaciΓ³n
gauge global y local contenida en el grupo de simetrΓa U(1) estΓ‘ dado por
βππΈπ· = _ 1
4 ππππππ + οΏ½Μ οΏ½ (ππΎπππ β π ) π β π±πAπ . (41)
El anterior resultado es conocido en la literatura especializada como el
lagrangiano representativo de un electrΓ³n inmerso en un campo
electromagnΓ©tico (Ver apΓ©ndice D). El primer termino describe a los
propagadores gauge asociados al campo electromagnΓ©tico (fotones). El
segundo describe a los electrones y el tercero constituye un termino de
interacciΓ³n asociado a los electrones y los bosones gauge (Griffths, 2008).
El anterior tratamiento permite dilucidar dos cosas. La simetrΓa como principio
dinΓ‘mico, al exigir que βDirac sea invariante bajo una transformaciΓ³n local unitaria
dada por (31) y (32) conduce a la apariciΓ³n de tΓ©rminos de interacciΓ³n entre los
campos de Dirac (electrones y positrones) y el campo electromagnΓ©tico.
Por su parte la regla de acoplamiento minimal, la cual consiste en convertir la
derivada ordinaria a covariante, permite dos cosas: Eliminar los tΓ©rminos extra
de βDiracΒ΄ y convertir una invariancia global en local. Planteando la interacciΓ³n
entre partΓculas con carga como producto de la existencia del campo gauge ππ
cuyo quantum asociado es el fotΓ³n17 (Ver figura 2.4).
Figura 2.4. InteracciΓ³n entre dos electrones mediada por fotones bajo la
mirada de la electrodinΓ‘mica cuΓ‘ntica (QED) 17 En el contexto actual de la fΓsica de partΓculas las partΓculas mediadoras son conocidas como bosones gauge, debido al hecho que cada interacciΓ³n de la naturaleza se basa en un tipo particular de simetrΓa gauge. El grupo de las fases U (1) para el caso de la QED siendo el fotΓ³n el portador de la interacciΓ³n electromagnΓ©tica.
CAPITULO III
EL MODELO DE YANG MILLS COMO UNA EXPLICACIΓN A LA
ESTABILIDAD NUCLEAR
3.1 CONSIDERACIONES GENERALES
Se han establecido los conceptos sobre los cuales se sustentan las teorΓas
gauge, tales como invariancia gauge local y global, libertad gauge etc. A su vez
el conjunto de hechos empΓricos que condujeron a pensar en una estructura
nuclear y posteriormente en una respuesta a su estabilidad, cuyos intentos
decantaron en el desarrollo de las teorΓas gauge no abelianas. Esto,
permitiΓ©ndole al estudiante comprender con sentido y significado la propuesta
fenomenolΓ³gica desarrollada a mediados de los aΓ±os 1950 por los pensadores
Yang y Mills relacionada a la estabilidad nuclear.
Su discusiΓ³n se desarrolla en tres partes. En la primera se discute los aspectos
claves de la propuesta fenomenolΓ³gica, en la segunda se hacen algunos
desarrollos algebraicos para justificar sus alcances y limitaciones y finalmente se
establece un paralelo que permita justificar el modelo de Yang- Mills como una
extensiΓ³n de la electrodinΓ‘mica clΓ‘sica.
El modelo de Heinsenberg (1932) y Yukawa (1935) fueron maneras de explicar
la estabilidad nuclear. El primero de octubre de 1954 los pensadores Chen Ning
Yang y Robert Mills en su artΓculo βConservation isotopic spin and Invariance
gauge Isotopicβ proponen una nueva manera de abordar aquella problemΓ‘tica,
basada en la conservaciΓ³n del isospΓn, en la simetrΓa gauge y procediendo de
forma anΓ‘loga a la electrodinΓ‘mica clΓ‘sica en su forma covariante18. A pesar de
sus esfuerzos resulto ser limitada, predecΓa la naturaleza de largo alcance de la
fuerza responsable de la cohesiΓ³n nuclear y por lo tanto masa nula para los
correspondientes propagadores gauge dando lugar a una serie de controversias
que progresivamente se fueron resolviendo con propuestas tales como la de
Salam β Weinberg, el mecanismo de Higgs y finalmente el modelo estΓ‘ndar, el
18 Si bien en el artΓculo original de los pensadores Yang β Mills no se parte directamente de lo que actualmente conocemos como electrodinΓ‘mica cuΓ‘ntica (QED), su modelo teΓ³rico se puede considerar como una extensiΓ³n de ella debido a que al pasar de un grupo de simetrΓa abeliano U(1) a uno no abeliano SU(2) se obtiene una descripciΓ³n aproximadamente ajustada de la interacciΓ³n entre nucleones, la cual decanta en su estabilidad.
cual brinda una comprensiΓ³n del 5 % sobre la masa total del universo, cuyo
estudio no hace parte del presente trabajo monogrΓ‘fico.
Figura 3.1. Chen Ning Yang y Robert Mills. Imagen Tomada y copiada de
http://publicism.info/science/inner/11.html
3.2 SOBRE LA PROPUESTA
En primer lugar, Yang y Mills comienzan reconociendo una serie de hechos
experimentales relacionados al nΓΊcleo y a su estabilidad obtenida hasta
principios de los aΓ±os 1950. Entre los que se encuentran: La masa del protΓ³n y
el neutrΓ³n son aproximadamente iguales. Las interacciones neutrΓ³n- neutrΓ³n,
neutrΓ³nβ protΓ³n y protΓ³n β protΓ³n son indistinguibles y el espΓn isotrΓ³pico19
(isospΓn) como una propiedad intrΓnseca de los nucleones, la cual se conserva
en interacciones nucleΓ³n - nucleΓ³n. Yang y Mills (1954) afirma:
The conservation of isotopic spin a much discussed concept in recent
years. Historically an isotopic spin parameter was first introduced by
Heinsenberg in 1932 to describe the two charge states (namely neutron
and proton) of a nucleon. The idea that the neutron and proton correspond
to two states of the same particle was suggest at that the time by the fact
that their masses are nearly equal, an the light stable even nuclei contain
equal numbers of them. Then in 1937 Breit, Condon, and Present pointed
out the approximate equality of p-p and n-p interactions in the S state. It
seemed natural to assume that this equality holds also in the other states
available to both the n - p and p- p systems. Under such and assumption
one arrives at the concept of a total isotopic spin which is conserved in
nucleon-nucleon interactions (p.1).
19 Es un nΓΊmero cuΓ‘ntico, similar al espΓn, utilizado para describir las interacciones entre los constituyentes del nucleΓ³.
La conservaciΓ³n del isospΓn, en principio, se considera equivalente a una
invariancia determinada por rotaciones simultΓ‘neas e iguales sobre un espacio
interno20 contenido en cada punto del espacio- tiempo denominado espacio de
isospΓn, el cual brinda la posibilidad de describir las interacciones entre los
nucleones. Yang y Mills (1954) afirma:
The conservation of isotopic spin is identical with the requirement of
invariance of all interactions under isotopic spin rotation. This means that
when electromagnetic interactions can be neglected, as we shall hereafter
assume to be the case, la orientation of the isotopic spin is of no physical
significance. The differentiation between a neutron and a proton is then a
purely arbitrary process (p.1).
En este sentido, el proceso de llamar protΓ³n y neutrΓ³n en cada espacio interno
es arbitrario porque al despreciarse la carga positiva ambas partΓculas
representan estados de una misma partΓcula, el nucleΓ³n (Ver figura 3.2 (a)). Sin
embargo, una vez se realiza se debe, en efecto, aplicar de igual manera en todos
los demΓ‘s puntos del espacio - tiempo como se aprecia en la figura 3.2 (b)), la
cual es invariante bajo una transformaciΓ³n isotΓ³pica global21 representada en la
figura 3.2 (c). Yang y Mills (1954) afirma:
β¦this arbitrariness is subject to the following limitation: once one chooses
what to call a proton, what a neutron, at one space-time point, one is then
not free to make any choices at other space-time points. (p.2)
20 Al tratarse de SU (2) el grupo de simetrΓa implementado ese espacio interno estΓ‘ representado por una esfera situada en cada punto del espacio. En el caso de la QED la cual es invariante bajo el grupo de simetrΓa U (1) este estΓ‘ representado por cΓrculo compatible con el lugar geomΓ©trico de los nΓΊmeros complejos. 21 Este tipo de transformaciΓ³n consiste en convertir protones en neutrones y estos en protones.
(a) (b) (c)
: NucleΓ³n : ProtΓ³n : NeutrΓ³n
Figura 3.2. (a) Despreciando la carga elΓ©ctrica de los constituyentes del
nΓΊcleo, el protΓ³n y el neutrΓ³n son iguales. (b) Al elegir una orientaciΓ³n del
isospΓn para cada nucleΓ³n debe ser respetada en todos los puntos del
espacio. (c) Realizar una transformaciΓ³n isotΓ³pica sobre el sistema nuclear
se obtiene la misma cantidad de protones y neutrones, es invariante.
La propuesta de los pensadores Yang y Mills consistΓa en requerir que esta
invariancia (conservaciΓ³n del isospΓn) ocurriera de forma local (Ver figura 3.3),
es decir, que las interacciones entre nucleones fueran invariantes bajo
transformaciones locales del isospΓn. En este caso cada observador se
encuentra en la libertad de elegir uno de los dos estados 22 del nucleΓ³n sin
restricciΓ³n alguna en cada punto del espacio-tiempo. Yang y Mills (1954) afirma:
In the present paper we wish to explore the possibility of requiring all
interactions to be invariant under independent rotations of the isotopic spin
at all space- time points, so that the relative orientation of the isotopic spin
at two space- time points becomes a physically meaningless quantity (the
electromagnetic field being neglected). (p.2)
22 Como se mencionΓ³ en el capΓtulo II cada estado del nucleΓ³n estΓ‘ representado por una orientaciΓ³n determinada sobre el eje Z en el espacio del isospΓn. El protΓ³n 1/2 y el neutrΓ³n -1/2.
Figura 3.3. Desde el punto de vista local,cada observador esta en la libertad
de elegir una orientaciΓ²n del isospin representado por un estado del
nucleΓ³n en donde tambien se debe satisfacer el requerimiento de
invariancia.
Claramente bajo estas condiciones el sistema nuclear no es invariante, para que
lo sea se debe proponer un criterio que permita comparar la elecciΓ³n de cada
observador tal que se satisfaga el requerimiento planteado. En el caso de la
electrodinΓ‘mica cuΓ‘ntica, cuya discusiΓ³n se abordΓ³ en el capΓtulo II, fue
necesario introducir en la derivada ordinaria el campo gauge ππ con su
respectiva transformaciΓ³n, el cual precisamente representa el campo
electromagnΓ©tico cuyo quantum asociado es el fotΓ³n.
En el caso del electromagnetismo clΓ‘sico al exigir que la transformaciΓ³n unitaria
fuera local permite que cada observador implemente una fase distinta asociada
al campo de materia π contenida en el espacio interno representado por un
cΓrculo en cada punto del espacio sin que su descripciΓ³n fΓsica se vea afectada.
Yang y Mills (1954) afirma:
We wish to point out that an entirely similar situation arises with respect to
the ordinary gauge invariance of a charged field which is described by
complex wave fuction. (p.2)
Para el caso de los nucleones Yang y Mills definen un criterio para comparar las
diferentes orientaciones del isospΓn en cada punto del espacio denominΓ‘ndolo
gauge isotΓ³pico. Yang y Mills (1954) afirma:
We define isotopic gauge as an arbitrary way of choosing the orientation
of the isotopic spin axes at all space- time points, in analogy with the
electromagnetic gauge which represents an arbitrary way of choosing the
complex phase factor a charged field at all space- time points. (p.2)
Esta arbitrariedad se relaciona al hecho de que la orientaciΓ³n del isospΓn no
afecta la descripciΓ³n contenida en la funciΓ³n de onda de cada nucleΓ³n. En este
sentido, Yang y Mills proponen que la conservaciΓ³n del isospΓn se dΓ© a partir de
transformaciones unitarias locales de isospΓn contenidas en el grupo no -
abeliano SU (2). "We then propose that all physical processes (not involving the
electromagnetic field) be invariant under an isotopic gauge transformation π
πΒ΄, = πβ1π where S represent a space- time dependent isotopic spin rotation"
(Ning Yang & L. Mills, 1954).
3.3 CAMPOS DE YANG MILLS: UNA EXTENSIΓN DE LA QED
El objetivo principal de Yang y Mills fue conseguir una teorΓa que describiera la
interacciΓ³n responsable de la estabilidad nuclear a partir de una generalizaciΓ³n
de la QED, la cual habΓa resultado tan ΓΊtil hasta ese momento para describir la
interacciΓ³n electromagnΓ©tica bajo el paradigma cuΓ‘ntico.
Su trabajo, como se mencionΓ³ en la secciΓ³n anterior, consistiΓ³ en exigir que el
lagrangiano asociado a los dos estados del nucleΓ³n fuese invariante bajo
rotaciones unitarias isotrΓ³pica locales contenidas en el grupo no abeliano SU(2)
dadas por
π π Β΄ = π π , (42)
οΏ½Μ οΏ½ οΏ½Μ οΏ½ = πβ1 οΏ½Μ οΏ½ . (43)
Donde,
π = π βπ
2 πΒ· πΆ (π) , (44)
πβ1 = π βπ
2 πΒ· πΆ (π) . (45)
Siendo π las matrices de Pauli o generadores del grupo isospΓn SU(2) y πΌ(π₯) un
parΓ‘metro libre funciΓ³n de cada punto del espacio.
El lagrangiano representativo de los dos estados del nucleΓ³n el protΓ³n y el
neutrΓ³n respectivamente es (Quigg, 1997)
βππ’ = οΏ½Μ οΏ½p(ππΎπππ β π ) πp + οΏ½Μ οΏ½n (ππΎπππ β π ) πn , (46)
el cual puede ser expresado de una manera mΓ‘s compacta como
βππ’ = οΏ½Μ οΏ½c (ππΎπππ β π ) πc . (47)
Donde πc = ( ππ ) es una matriz columna que representa los dos estados del
nucleΓ³n.
Al someter a (47) a una transformaciΓ³n gauge global isotΓ³pica dadas por
π = π βπ
2 πΒ· πΆ , (48)
πβ1 = π βπ
2 πΒ· πΆ , (49)
βππ’ βππ’Β΄ ,
βππ’Β΄ = πβ1οΏ½Μ οΏ½c (ππΎπππ β π) ππc ,
βππ’Β΄ = πβ1οΏ½Μ οΏ½c ( ππΎππππππ β ππππ ) ,
βππ’Β΄ = οΏ½Μ οΏ½c (ππΎπππ β π) πc ,
Se observa que βnu es invariante
βππ’ = βππ’Β΄ . (50)
AnΓ‘logo a la QED surge la siguiente pregunta ΒΏQuΓ© sucede cuando πΆ se
convierte en una funciΓ³n de las coordenadas?
βππ’ βππ’Β΄ ,
βππ’Β΄ = πβ1οΏ½Μ οΏ½c (ππΎπππ β π) ππc ,
βππ’Β΄ = πβ1οΏ½Μ οΏ½c (ππΎπππ(πππ) β ππππ ) ,
βππ’Β΄ = πβ1οΏ½Μ οΏ½c (ππΎππ(ππππ) + ππΎπ (πππ) ππ β ππππ ). (51)
βππ’ ya no es invariante bajo la transformaciΓ³n. Al examinar πππ aporta un nuevo
tΓ©rmino a βππ’Β΄ tal como sucede en la QED. En ese sentido debemos colocar un
tΓ©rmino adicional a ππ de tal manera que se restaure la invariancia. Para ello
transformamos la derivada comΓΊn ππ por una derivada covariante de la siguiente
manera
ππ π·π = ππ + ππππ , (52)
donde,
π©π = 1
2 π Β· ππ . (53)
π©π : Elemento del grupo no- abeliano, π : Constante de acoplamiento de las
interacciones fuertes, ππ : Isovectores definidos en el espacio de isospΓn.
De esta manera βππ’ adquiere la siguiente forma
βππ’ = οΏ½Μ οΏ½c (ππΎππ·π β π) πc . (54)
Para garantizar la invariancia de βππ’ debemos encontrar una ley de
transformaciΓ³n para ππ. En este sentido, la invariancia de βππ’ exige que
π·πΒ΄ πΒ΄ = π(π·π π), (55)
asegurando que el tΓ©rmino extra que aparece, producto de la acciΓ³n de la
derivada comΓΊn sobre la transformaciΓ³n, desaparezca.
Expandiendo el tΓ©rmino de la izquierda de (55) se obtiene
π·πΒ΄ πΒ΄= ππ(ππ) + i g ππΒ΄ ππ ,
(56)
π·πΒ΄ πΒ΄ = π(πππ) + (πππ) π + ππππΒ΄ ππ . (57)
Para que se satisfaga (55) el ΓΊltimo tΓ©rmino de (57) debe ser
ππππΒ΄ ππ = πππππ - πππ π .
(58)
Finalmente la ley de transformaciΓ³n de los campos ππ , se obtiene dividiendo
(58) por πππ y multiplicando por πβ1 (Ning Yang & L. Mills, 1954) y (Quigg,
1997)
ππΒ΄ = ππππβ1 +
π
π (πππ) πβ1 . (59)
Por otro lado, el tensor de intensidad asociado al campo de Yang- Mills estΓ‘ dado
por
πππ = π
ππ [(ππ + igππ), (ππ + igππ)] , (60)
πππ = ππ£ππ - ππππ + ππ[ππ, ππ] , (61)
el cual satisface el requerimiento de invariancia (Ver apΓ©ndice D).
El conmutador de los campos gauge ππ expresa el carΓ‘cter no - abeliano del
grupo unitario SU (2). En este sentido el tensor πππ en forma de componentes
queda representado por (Quigg, 1997)
ππππ = ππ£ππ
π - ππππ£π + π βπππ ππ
πππ£π . (62)
Finalmente el lagrangiano de YangβMills invariante bajo transformaciones gauge
locales de isospΓn es (Quigg, 1997) (Ver apΓ©ndice E).
βYM = _ 1
4 ππππππ + οΏ½Μ οΏ½c ( iπΎπππ β π ) πc β
π
2ππΒ· οΏ½Μ οΏ½cπΎππ πc. (63)
De acuerdo al resultado anterior al exigir que el lagrangiano asociado a los dos
estados del nucleΓ³n fuese invariante bajo una transformaciΓ³n local unitaria de
isoespin condujo a la apariciΓ³n de terminos de interacciΓ³n, los cuales describen
precisamente la interacciΓ³n entre nucleones dando cuenta de la estabilidad
nuclear. En este sentido el primer tΓ©rmino (tΓ©rmino cinΓ©tico) describe los
propagadores gauge del campo de Yang Mills. El segundo describe el campo
nuclear ( protones y neutrones) y finalmente el tercer termino explicita un termino
de interacciΓ³n asociado a la interacciΓ³n entre los nucleones a partir del campo
gauge de Yang - Mills, cuya partΓcula mediadora es el quantum ππ.
Otra caracterΓstica particular de esta teorΓa gauge no abeliana se obtiene al
sustituir la forma del tensor de intensidad del campo de Yang β Mills en el tΓ©rmino
cinΓ©tico de (63) el cual brinda el siguiente resultado,
β = β1
4 (ππππ
π£ β πππππ)(ππππ£
π β ππ£πππ ) + οΏ½Μ οΏ½(ππΎπππ β π )π β πππΎπ π β
π
2
βπππ (ππππ£π β ππ£ππ
π ) πππππ£
π - π2
4 βπππ βπππ ππ
ππππ£ππ
πππ£π , (64)
en donde los primeros 3 terminos son iguales a βYM . Sin embargo,los terminos
no lineales especifican algo que no tiene analogo en la electrodinamica clΓ‘sica,
los cuales describen autointeracciones triples y cuarticas entre los campos
gauge de Yang β Mills, representados por los siguientes diagramas de
Feynmann (Ver figura 3.4) (Quigg, 1997).
(a) (b) (c)
Figura 3.4. (a) InteracciΓ³n entre nucleones mediante el propagador
asociado al campo de Yang - Mills anΓ‘logo a la QED. (b) y (c)
autointeracciΓ³nes no lineales entre los campos gauge de Yang β Mills.
De acuerdo a lo anterior, la conservaciΓ³n local del isospin exige la apariciΓ³n de
tres campos gauge, compatibles con los generadores del grupo no abeliano
SU(2), matrices de Pauli,los cuales describen la interacciΓ³n entre los
constituyentes del nΓΊcleo23 e interactuan en si mismos.
23 El estudio moderno de las interacciones fuertes contenido en la "CromodinΓ‘mica CuΓ‘ntica" postula a los gluones como las partΓculas mediadoras, debido a que los protones y los neutrones estΓ‘n compuestos por otras subestructuras, los Quartz (Giancoli, 2009).
3.4 LA ESTABILIDAD NUCLEAR BAJO ESTA PERSPECTIVA
Bajo la mirada de los pensadores Yang y Mills, la interacciΓ³n entre nucleones se
da como consecuencia del continuo intercambio de quantum asociados al campo
de interacciΓ³n de Yang- Mills π©π , los cuales poseen tres estados de carga (+, -
,0) compatibles con los tres generadores del grupo SU (2). βThe two states of
the nucleon, namely proton and neutron, differ by charge unity. Since they can
transform into each other through the emission or absorption of a b quantum, the
latter must have three charge states with charges +- e and 0" (Ning Yang & L.
Mills, 1954).
Para satisfacer el requerimiento de invariancia del isospΓn en interacciones
fuertes la magnitud del isospΓn de cada estado de carga de ππ debe ser igual a
1. "The quanta of the b field clearly have spin unity and isotopic spin unity. We
know their electric charge too because all the interactions that we proposed must
satisfy the law of conservation of electric charge, which is exact." (Ning Yang &
L. Mills, 1954).
En este orden de ideas, la estabilidad nuclear se da a partir de la interacciΓ³n
mutua entre protones y neutrones vΓa campos gauge de Yang Mills cuyo
propagador es el quantum ππ como se muestra en la figura 3.5.
Figura 3.5. InteracciΓ³n de protones y neutrones vΓa campo de Yang β Mills.
En este sentido, la interacciΓ³n protΓ³n - protΓ³n o neutrΓ³n - neutrΓ³n se da a partir
del intercambio del quantum ππ+ , debido a que en el proceso la carga no cambia.
La interacciΓ³n protΓ³n - neutrΓ³n ocurre a partir del intercambio de algΓΊn estado
de carga del quantum ππ, como resultado de la diferencia de carga entre ambos
estados del nucleΓ³n bajo un mecanismo similar al propuesto por Heinsenberg,
es decir, transmutaciones protΓ³n a neutrΓ³n y viceversa.
De forma equivalente, sin pΓ©rdida de generalidad, se pueden considerar pares
de nucleones en interacciΓ³n mutua mediante el intercambio de algΓΊn estado del
propagador asociado al campo B de interacciΓ³n, como se muestra en la figura
3.6.
Figura 3.6. InteracciΓ³n entre nucleones a partir del propagador a asociado
al campo de Yang β Mills.
Donde πΌ, πΎ representa el estado inicial de cada nucleΓ³n los cuales a partir del
propagador a adquiere otro estado representado por π½ y πΏ. (Quigg,1997) ΒΏQuΓ©
significan fΓsicamente los tΓ©rminos no lineales de la ecuaciΓ³n (75)?
El modelo de Yang- Mills predice auto-interacciones entre los portadores del
campo B, es decir, entre los quantum ππ , estableciendo un clara diferencia
respecto a la QED en la que el fotΓ³n permite la interacciΓ³n de campos
termiΓ³nicos (partΓculas con espΓn semientero) pero en ausencia de ellos no existe
ninguna clase de interacciΓ³n. Los principales alcances y limitaciones del modelo
de Yang- Mills son:
Considera, en principio, al nucleΓ³n como un estado de superposiciΓ³n
determinado por el protΓ³n y el neutrΓ³n, es decir,
|π| = |π| + |π| (65)
En donde |π| representa al nucleΓ³n como el estado se superposiciΓ³n del protΓ³n
y el neutrΓ³n respectivamente. Por otra parte, en el caso de realizarse una medida
sobre el sistema ese nucleΓ³n puede ser un protΓ³n o un neutrΓ³n (Ver figura 3.7).
Figura 3.7. Antes de realizar una medida el nucleon es un estado de
superposiciΓ²n determinado por el protΓ²n y el neutrΓ²n.
Explica la estabilidad nuclear a partir de la continua emisiΓ³n y absorciΓ³n del
quantum bπ asociado al campo de Yang- Mills, los cuales poseen tres estados
de carga (+, -, 0), modelo muy similar al planteado por Yukawa, el cual explica
este fenΓ³meno producto de la contigua transmutaciΓ³n de protones en neutrones
y viceversa mediada por los mesones π.
Predice auto - interacciones triples y cuarticas, es decir, interacciones entre los
quantum asociados al campo de Yang - Mills diferenciΓ‘ndose de forma
significativa con la electrodinΓ‘mica clΓ‘sica en la que el fotΓ³n no interactΓΊa
consigo mismo.
Marco un camino promisorio para la construcciΓ³n de las modernas teorΓas
fenomenolΓ³gicas de las interacciones de la naturaleza como el modelo de
Salam- Weinberg y el modelo estΓ‘ndar, el cual ha permitido describir de forma
conjunta tres de las cuatro interacciones de la naturaleza: la fuerte, la dΓ©bil y la
electromagnΓ©tica.
Su principal limitaciΓ³n fue que predecΓa masa nula para los bosones gauge del
campo π©π .Desde el punto de vista teΓ³rico se debΓa a que al introducir tΓ©rminos
de masa al lagrangiano de Dirac se rompΓa explΓcitamente la simetrΓa propuesta,
prediciendo la naturaleza de largo alcance de la fuerza de electromagnΓ©tica. Sin
embargo, al ser asΓ en el caso de Yang β Mills implicarΓa que la fuerza
responsable de la estabilidad nuclear fuera de largo siendo incompatible con la
actividad empΓrica. Como para ese momento no se conocΓa a parte del fotΓ³n otra
partΓcula sin masa llevo a pensar, entonces, que ninguna partΓcula debΓa porque
tenerla. Sin embargo, si esto fuera asΓ la constituciΓ³n de Γ‘tomos, molΓ©culas,
cuerpos y la estructura misma del universo hubiera sido imposible debido a que
todas ellas se moverΓan a la velocidad de la luz evitando cualquier tipo de
interacciΓ³n entre ellas.
Finalmente, el modelo de Yang - Mills es una extensiΓ³n de la QED producto del
uso de un grupo de simetrΓa no abeliano como se muestra en la siguiente tabla.
QED Vs MODELO DE YANG β MILLS
QED MODELO DE YANG β
MILLS
GRUPO DE SIMETRΓA
U(1) SU (2)
CAMPO GAUGE π¨π π©π
TENSOR DE CAMPO πππ = πππ¨π - ππ£π¨π
πππ = ππ£π©π - πππ©π
+ ππ[π©π, π©π]
LAGRANGIANO β=_
1
4 ππππππ οΏ½Μ οΏ½(ππΎπππ β π)π
βπ±πππ
βYM = _ 1
4 ππππππ + βDirac
β ππ±πππ
MECANISMO DE INTERACCIΓN
MASA DE LOS BOSONES GAUGE
CERO CERO
NATURALEZA DE LA INTERACCIΓN
Largo alcance Largo alcance
MECANISMO DE INTERACCIΓN
La interacciΓ³n electromagnΓ©tica subyace del continuo intercambio de fotones, los cuales corresponden al quantum asociado al campo electromagnΓ©tico.
Los nucleones interactΓΊan mediante el campo de Yang β Mills, cuyos quantum de interacciΓ³n pueden tener tres estados de carga +-e y neutro.
CONCLUSIONES
β’ El descubrimiento de los rayos X, la radioactividad y el electrΓ³n, hacia
finales del siglo XX, indujeron a pensar sobre una estructura para el
Γ‘tomo, representado, en principio, como distribuciones esfΓ©ricas de carga
positiva y en su interior los electrones (Modelo de Thompson), el cual por
ser inadecuado para explicar algunos hechos experimentales fue
remplazado por el modelo planetario de Ernest Ruthenford y Niels Bohr
basado en la idea de los estados estacionarios.
β’ Dada la explicaciΓ³n alrededor de la estructura del Γ‘tomo surge la pregunta
si el nΓΊcleo tiene una estructura y si la tiene de que estaba compuesta.
En este sentido, W. Heinsenberg, H. Yukawa y Yang β Mills proponen
modelos encaminados a explicar su estabilidad a partir de una estructura
nuclear compuesta por protones y neutrones.
β’ La idea gauge surge por el intento de unificar la teorΓa electromagnΓ©tica
y la teorΓa general de la relatividad bajo una perspectiva geomΓ©trica
gracias a los trabajos de Hermann Weyl.
β’ La manera de proceder de Yang - Mills para proponer su modelo es
anΓ‘loga a como se procede desde el contexto de la electrodinΓ‘mica
clΓ‘sica en su forma covariante, configurΓ‘ndose en un marco conceptual
pertinente pero limitado para entender la estabilidad nuclear.
β’ Bajo el modelo de Yang-Mills las interacciones entre nucleones se dan a
partir de la existencia de un campo gauge cuyo quantum posee tres
estados de carga a diferencia del caso electromagnΓ©tico.
β’ La propuesta fenomenolΓ³gica de los pensadores Yang y Mills se configura
en el gΓ©nesis del modelo estΓ‘ndar, sus limitaciones justificaron el
desarrollo de propuestas tales como la de Salam - Weinberg, en la cual
se hace una unificaciΓ³n de las interacciones dΓ©bil y electromagnΓ©tica.
β’ El anΓ‘lisis histΓ³rico - critico realizado sobre el artΓculo " Conservation of
Isotopic Spin and Invariance Gauge Isotopic" de Yang y Mills permitiΓ³
apreciar la estabilidad nuclear, configurΓ‘ndose en un aporte pedagΓ³gico
para entender con sentido y significado el valor que ha jugado la simetrΓa
en la construcciΓ³n de explicaciones en torno a la naturaleza.
β’ El principio gauge se configura como una manera ΓΊtil de construir
esquemas teΓ³ricos alrededor de las interacciones de la naturaleza
haciendo uso del esquema lagrangiano, permitiendo por un lado, que el
lagrangiano asociado a un sistema sea invariante bajo transformaciΓ³n de
Lorentz, lo que significa que cumple con la relatividad especial y por otro,
que sea invariante bajo una transformaciΓ³n gauge obteniendo tΓ©rminos
de interacciΓ³n entre los campos involucrados, lo cual significa que la
simetrΓa implica dinΓ‘mica.
BIBLIOGRAFΓA
BΓ©lendez, A. (2008). La unificaciΓ³n de luz, electricidad y magnetismo: La
"sintesìs electromagnética" de Maxwell. Revista Brasileira de Ensino de
FΓsica, 30(2), 2601-1-20.
C. Giancoli, D. (2009). Fisica para ciencias e ingenieria con fisica moderna. (V.
Campos Holguin, & V. Robledo Rella, Trads.) Mexico: Mexico.
Calahorro, C. V. (1995). Quimica general - IntroducciΓ³n a la Quimica TeΓ³rica.
EspaΓ±a: Ediciones Universidad de Salamanca.
Clavijo, M. R. (2016). Sobre la dinΓ‘mica de una partΓcula en rotaciΓ³n. Revista de
la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, FΓsicas y Naturales,
XL(157), 585-589.
G. Hewitt, P. (2007). Fisica conceptual (Decima ed.). (V. Flores Flores, Trad.)
Mexico: Pearson.
GarzΓ³n, J. (2010) Sobre la estructura nuclear del Γ‘tomo: el isospΓn como una explicaciΓ³n de la estabilidad del nΓΊcleo (trabajo de grado). Universidad pedagΓ³gica Nacional, BogotΓ‘, Colombia. SΓ‘nchez, L. (2014) ΒΏQuΓ© es una teorΓa gauge? (trabajo de grado). Universidad
de Valladolid, Valladolid, EspaΓ±a.
Morales, R. (2006) Soluciones clΓ‘sicas a teorΓas de Yang-Mills SU (2) (trabajo
de grado) Universidad de los Andes, BogotΓ‘, Colombia.
Garcia CastaΓ±eda, M., & Ewert De - Geus, J. (2003). IntroducciΓ²n a la fisica
moderna (Tercera ed.). BogotΓ‘: Universidad Nacional de Colombia.
Garcia Prada, O. (2011). Existencia de Yang - Mills y salto de masa. Jornadas
sobre los problemas del milenio, (pΓ‘gs. 23-58). Barcelona.
Griffths, D. (2004). Introduction to elementary particles (Primera ed.). WILEY-
VCH.
Griffths, D. J. (2013). Introduction to electrodynamics (Cuarta ed.). EE. UU:
Pearson.
Leonard Mlodinow, S. H. (2010). El gran diseΓ±o. (D. Jou i Mirabent, Trad.)
EspaΓ±a: Critica.
Manrique, M. M. (2006). Los analisΓs historico criticos y la recontextualizaciΓ²n de
saberes cientificos. Construyendo un nuevo espacio de posibilidades.
Pro- Posicoes, 27 - 31.
McMahon, D. (2008). Quantum Field Theory. EE.UU: Mc Graw Hill.
N, Q., & Molina, F. (2009). Una descripciΓ³n sencilla de las TeorΓas Gauge.
Tumbagaga, 19-29.
Navarro Vives, J. (2000). El neutrΓ²n de Chadwich y su interpretaciΓ²n. Cronos,
III(2), 273-293.
Ning Yang, C., & L. Mills, R. (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic
Gauge Invariance. Physical Review, XCVI(1), 191-195.
Quigg, C. (1997). Gauge Theories of the Strong, Weak, and Electromagnetic.
Advanced Book Classics. Westview Press.
RupΓ©rez, F. L. (1994). Mas allΓ‘ de las partΓculas y ondas: una propuesta de
inspiraciΓ³n epistemolΓ³gica para la educaciΓ³n. EspaΓ±a: Ministerio de
EducaciΓ³n Cultura y Deporte, Centro de InvestigaciΓ³n y DocumentaciΓ³n
Educativa.
Wiechowsk, S. (1969). Historia del Γ tomo (Tercera ed.). Barcelona: Labor.
APΓNDICE A: TEOREMAS VECTORIALES
TEOREMA 1: Todo campo vectorial οΏ½ββοΏ½ cuyo rotacional sea igual a cero se puede
expresar como el gradiente de una funciΓ³n escalar.
οΏ½ββοΏ½ = βπ (A - 1)
TEOREMA 2: Todo campo vectorial οΏ½ββοΏ½ cuya divergencia sea igual cero se puede
expresar como el rotacional de otro campo vectorial
οΏ½ββοΏ½ = β x οΏ½ββοΏ½ (A - 2)
APΓNDICE B: GRUPOS
Los grupos han jugado un rol importante en la construcciΓ³n de las teorΓas
fenomenolΓ³gicas de las interacciones de la naturaleza. Asimismo, en campos
tales como el estado sΓ³lido, la quΓmica y demΓ‘s ciencias. Por esa razΓ³n se
exponen sus caracterΓsticas mΓ‘s comunes.
ΒΏQuΓ© es?
Un grupo es un conjunto de elementos que junto con una operaciΓ³n interna dada
cumplen con las siguientes propiedades:
PROPIEDAD DE CLAUSURA Dos elementos π1 , π2 del grupo S dan como
resultado otro elemento contenido en S
π1 Β· π2 = π3 (B - 1)
ASOCIATIVIDAD Los elementos de S satisfacen
π1 (π2 π3) = (π1π2) π3 (B - 2)
ELEMENTO NEUTRO: Existe un ΓΊnico elemento neutro tal que
π1π0 = π1 (B - 3)
ELEMENTO INVERSO: Cada elemento del grupo tiene un ΓΊnico inverso
πβ1π = π0 (B - 4)
Adicionalmente, si dos elementos de S conmutan se dice que es abeliano, en
caso contrario es no abeliano. El grupo de las fases U(1) es abeliano.
π1 Β· π2 = π2 Β· π1 (B - 5)
πππ1 Β· πππ2 = πππ2 Β· πππ1 = ππ(π1+π2) (B - 6)
Por otro lado, el grupo de isospΓn SU (2) es no abeliano ya que sus elementos
no conmutan entre sΓ.
Sea π el elemento genΓ©rico del grupo SU (2)
π = π βπ
2 πΒ· πΆ (B - 7)
y π1, π2, π3 dados por
π1 = π βπ
2 π1Β· πΆ ; π2 = π β
π
2 π2Β· πΆ ; π3 = π β
π
2 π3Β· πΆ
Donde π1, π2,π3 son las matrices de Pauli, generadores del grupo de SU(2), y πΆ
un parΓ‘metro libre. Los generadores son aquellos que a partir de una operaciΓ³n
interna dan como resultado cualquier elemento del grupo.
π1 = (0 11 0
) ; π2 = (0 βππ 0
) ; π3 = (1 00 β1
)
Los cuales satisfacen la siguiente regla de conmutaciΓ³n
[π1, π2] = π1π2 β π2π1 (B - 8)
= (0 11 0
) (0 βππ 0
) - (0 βππ 0
) (0 11 0
)
= (π 00 βπ
) - (βπ 00 π
) = (2π 00 β2π
) = 2π (1 00 β1
)
De forma mΓ‘s compacta, los elementos del grupo no abeliano SU (2) satisfacen
la siguiente regla de conmutaciΓ³n.
[ππ , ππ] = 2π βπππ ππ (B - 9)
APΓNDICE B: TENSOR DEL CAMPO ELECTROMAGNΓTICO
Teniendo en cuenta que los campos fΓsicos οΏ½ββοΏ½ y οΏ½ββοΏ½ se pueden expresar en
tΓ©rminos de un campo escalar β y uno vectorial οΏ½ββοΏ½ se puede obtener la forma
del tensor asociado de la siguiente manera
Como οΏ½ββοΏ½ estΓ‘ representado por
β x οΏ½ββοΏ½ (C -1)
Y οΏ½ββοΏ½ por
οΏ½ββοΏ½ = βββ βπ οΏ½ββοΏ½
π π‘ (C -2)
Usando notaciΓ³n contravariante (Γndices abajo) οΏ½ββοΏ½ se puede expresar como
|
ππ ππ ππ
π1 π2 π3
π΄1 π΄2 π΄3
| (C -3)
Donde ππ, ππ, ππ representan los vectores de la base. De esta manera
= (π2π΄3 β π3π΄2) ππ β (π1π΄3 β π3π΄1)ππ + (π1π΄2 β π2π΄1) ππ (C -4)
De forma anΓ‘loga para el campo elΓ©ctrico
οΏ½ββοΏ½ = βββ βπ οΏ½ββοΏ½
π π‘
οΏ½ββοΏ½ = β (π1ππ + π2ππ + π3ππ)π΄0 β π0(π΄1ππ + π΄2ππ + π΄3ππ) (C -5)
De esta manera
π©π = π2π΄3 β π3π΄2 ; π©π = π1π΄3 β π3π΄1 ; π©π = π1π΄2 β π2π΄1 (C -6)
π¬π = β π0π΄1 β π1π΄0 ; π¬π = β π0π΄2 β π2π΄0 ; π¬π = β π0π΄3 β π3π΄0 (C -7)
Por lo tanto,
π©π = πππ ; π©π = πππ ; π©π = πππ (C -8)
π¬π = πππ ; π¬π = πππ ; π¬π = πππ (C -9)
Finalmente se obtiene la forma del tensor electromagnΓ©tico
πππ = πππ΄π£ β ππ£π΄π (C -10)
APΓNDICE C: INVARIANCIA GAUGE LOCAL DEL LAGRANGIANO DE LA
QED
El lagrangiano de la QED representado por la ecuaciΓ³n (74) es invariante bajo
una transformaciΓ³n gauge local contenida en el grupo abeliano U (1)
π πΒ΄ = πππ(π₯) π (D - 1)
π Μ π Μ Β΄ = πβππ(π₯)π Μ (D - 2)
βππΈπ· βππΈπ·Β΄ (D - 3)
βππΈπ·Β΄ = _ 1
4 πππΒ΄πππΒ΄ + οΏ½Μ οΏ½Β΄ (ππΎπππ β π ) πΒ΄ β οΏ½Μ οΏ½Β΄πΎππAπΒ΄ πΒ΄ (D - 4)
Por comodidad evaluaremos la transformaciΓ²n para cada termino de β
TERMINO DE INTERACCIΓN
_ 1
4 ππππππ _
1
4 πππΒ΄πππΒ΄ (D - 5)
πππ πππΒ΄ (D - 6)
Donde,
πππΒ΄ = πππ΄π£Β΄ - ππ£π΄πΒ΄ (D - 7)
La regla de transformaciΓ³n del campo gauge π΄π y π΄π£ es
π΄πΒ΄= π΄π β1
π ππ(π(π₯)) ; π΄π£Β΄= π΄π£ β
1
π ππ(π(π₯)) (D - 8)
Por lo tanto,
πππΒ΄ = ππ [π΄π£ β1
π ππ(π(π₯)) ] β ππ£ [π΄π β
1
π ππ(π(π₯))] (D - 9)
πππΒ΄ = πππ΄π£ β ππ£π΄π = πππ (D - 10) De forma similar
πππ πππΒ΄ (D - 11)
πππΒ΄ = ππ π΄π£Β΄ β ππ π΄πΒ΄ (D - 11)
La regla de transformaciΓ³n del campo gauge Aπ£ y Aπ es
Aπ£Β΄= Aπ£ β1
π ππ£(π(π₯)) ; AπΒ΄ = Aπ β
1
π ππ(π(π₯)) (D - 13)
Sustituyendo
πππΒ΄ = ππ [ππ β1
π ππ£(π(π₯)) ]- ππ [ππ β
1
π ππ(π(π₯)) ] (D - 14)
πππΒ΄ = ππ Aπ£ - ππ Aπ (D - 15)
De esta manera
_ 1
4 πππΒ΄πππΒ΄ = _
1
4 ππππππ (D - 16)
ECUACIΓN DE DIRAC
οΏ½Μ οΏ½ (ππΎπππ β π ) π οΏ½Μ οΏ½Β΄ (ππΎπππ β π )) πΒ΄ (D - 17)
βΒ΄ = ( πβππ(π₯)π Μ ) (ππΎπππ β π ) (πππ(π₯) π)
βΒ΄ = ( πβππ(π₯)π Μ ) ( ππΎπππ(πππ(π₯) π) β ππππ(π₯) π)
βΒ΄ = ( πβππ(π₯)π Μ ) [ ππΎπππ(πππ(π₯))π + ππΎπ πππ(π₯) ππ π β ππππ π ]
βΒ΄ = ( πβππ(π₯)π Μ ) [ iπΎπ(ππππ(π₯)ππ(π(π₯))π + ππΎπ πππ(π₯) ππ π β ππππ π ]
βΒ΄ = ( πβππ(π₯)π Μ ) [β πΎππππ(π₯)ππ(π(π₯))π + ππΎπ πππ(π₯) ππ π β ππππ π ]
βΒ΄ = πβππ(π₯)π Μ (β πΎππππ(π₯)ππ(π(π₯))π) + πβππ(π₯)π Μ ππΎπ πππ(π₯) ππ π πβππ(π₯)π Μ ππππ π )
βΒ΄ = π Μ ( ππΎπ ππ β π) π β πΎπππ(π(π₯))ππ Μ (D - 18)
TERMINO DE INTERACCIΓN
β π Μ πΎππAπ π β π Μ Β΄πΎππAπΒ΄ π (D - 19)
β πβππ(π₯)π Μ πΎππ βAπ β1
π ππ(π(π₯)) β πππ(π₯) π
β πβππ(π₯)π Μ πΎππAππππ(π₯) π +
πβππ(π₯)οΏ½Μ οΏ½πΎππππ(π(π₯)) πππ(π₯) π
π
β π Μ πΎππAπ π (πβππ(π₯)πππ(π₯)) +οΏ½Μ οΏ½πΎππ
π ππ(π(π₯)) π(πβππ(π₯)πππ(π₯))
βπ Μ πΎππAπ π + ππ(π(π₯))οΏ½Μ οΏ½πΎππ (D - 20)
Uniendo (D β 16 ) , (D - 18) y (D - 20) se obtiene
β1
4ππππππ + π Μ (ππΎπ ππ β π )π β πΎπππ(π(π₯))ππ Μ β π Μ πΎππAπ π + ππ(π(π₯))οΏ½Μ οΏ½πΎππ
βΒ΄= _ 1
4 ππππππ + π Μ ( ππΎπ ππ βπ ) π β π Μ πΎππAπ π = β (D - 20)
β es invariante bajo transformaciones locales de la fase contenidas en el grupo
de simetrΓa unitario U (1).
APΓNDICE D: TENSOR DE INTENSIDAD DEL CAMPO DE YANG MILLS
El lagrangiano de la electrodinΓ‘mica cuΓ‘ntica es invariante bajo el grupo de
simetrΓa abeliano U(1). Asimismo, el lagrangiano de Yang β Mills lo es bajo el
grupo de simetrΓa no abeliano SU (2). Sin embargo, la forma del tensor de
intensidad representativo de cada teorΓa gauge difiere entre sΓ.
Se deduce de forma detallada el tensor de intensidad asociado al campo de Yang
Mills haciendo uso de algunas propiedades de los grupos unitarios.
En primer lugar se debe garantizar que el tensor de intensidad sea invariante
bajo transformaciones unitarias locales de isospΓn, es decir,
πππΒ΄ = πππππβ1 (E - 1)
En el caso de la QED πππ esta dado por
πππΒ΄ = ππππΒ΄ - ππππΒ΄ (E - 2)
πππΒ΄ = ππ [ππππβ1 +
π
π (ππ£π) π
β1 ] β ππ [ππππβ1 +
π
π (πππ) π
β1 ] (E - 3)
πππΒ΄ = π πππππβ1 β π πππππ
β1 + (ππ π)πππβ1 β (ππ π)πππ
β1 + π ππππ(πβ1)
π ππππ£(πβ1) +
π
π [(ππ£ π ) (ππ πβ1 ) β (ππ π ) (ππ£ π
β1)] (E
- 4)
πππΒ΄ = π (ππππ β ππππ)πβ1 + (ππ π)πππ
β1 + π ππππ(πβ1) β (ππ£ π ) πππ
β1
β π ππππ£(πβ1) +
π
π [(ππ£ π ) (ππ π
β1 ) β (ππ π ) (ππ£ πβ1)] (E -
5)
El anterior resultado se puede expresar de forma compacta haciendo uso de las
siguientes propiedades de los grupos unitarios.
ππβ1 = 1 (E - 6)
ππ (ππβ1) = 0 (E - 7)
(πππβ1) π = βπβ1πππ (E - 8)
(πππ) πβ1 = π(πππβ1) (E - 9)
πππΒ΄ = π (ππππ β ππππ)πβ1 + πβ1(ππ π)ππ β πππ
β1(ππ π) β πβ1(ππ£ π ) ππ
+ πππβ1(ππ£ π ) +
π
π [(ππ£ π ) (ππ π
β1 ) β (ππ π ) (ππ£ πβ1)] (D - 10)
Como
ππ£ π = (ππ£ πβ1)π = - πβ1(ππ£ π ) (E - 11)
ππ πβ1 = (ππ π ) πβ1 = π(ππ πβ1) (E - 12)
ππ π = (ππ πβ1)π = βπβ1(ππ π ) (E - 13)
ππ£ πβ1 = (ππ£ π ) πβ1 = π(ππ£ π
β1) (E - 14)
Entonces,
πππΒ΄ = π (ππππ β ππππ)πβ1 + [πβ1 (ππ π ), ππ] β [πβ1 (ππ£ π ), ππ]
+ π
π [- πβ1(ππ£ π)π(ππ πβ1 ) + πβ1(ππ π)π(ππ£ π
β1)] (E - 15)
Operando
πππΒ΄ = π (ππππ β ππππ)πβ1 + [πβ1 (ππ π ), ππ] β [πβ1 (ππ£ π ), ππ]
β1
ππ [ β πβ1(ππ£ π)π(ππ πβ1 ) + πβ1(ππ π)π(ππ£ π
β1)] (E - 16)
πππΒ΄ = π (ππππ β ππππ)πβ1 + [πβ1 (ππ π ), ππ] β [πβ1 (ππ£ π ), ππ]
+1
ππ [ πβ1(ππ£ π)π(ππ πβ1 ) β πβ1(ππ π)π(ππ£ π
β1)] (E - 17)
πππΒ΄ = π (ππππ β ππππ)πβ1 + [πβ1 (ππ π ), ππ] β [πβ1 (ππ£ π ), ππ]
+1
ππ πβ1 [(ππ£ π)π(ππ πβ1 ) + (ππ π)π(ππ£ π
β1)] π (E - 18)
πππΒ΄ = π (ππππ - ππππ)πβ1 + [πβ1 (ππ π ), ππ] β [πβ1 (ππ£ π ), ππ] +
1
ππ
π [(ππ πβ1 )(ππ£ π) β (ππ£ πβ1)(ππ π)] πβ1 (E - 19)
πππΒ΄ = π (ππππ - ππ£ππ)πβ1 + π{[πβ1 (ππ π ), ππ] β [πβ1 (ππ£ π ), ππ]}π
β1
+1
ππ π [(ππ π
β1 )(ππ£ π) β (ππ£ πβ1)(ππ π)] πβ1 (E - 20)
Al cambiar la derivada ordinaria por covariante la invariancia del lagrangiana se
restaura, por lo tanto, el tensor de intensidad se puede expresar como
πππ = 1
ππ [π·π, π·π£] (E - 21)
Sustituyendo
πππ = 1
ππ [(ππ + i g ππ), (ππ£ + i g ππ)] (E - 22)
πππ =1
ππ [(ππ + i g ππ)( ππ£ + i g ππ) β ( ππ£ + i g ππ)(ππ + i g ππ)] (E - 23)
πππ =1
ππ [ππππ£ + i g ππππ + i g ππππ£ β π2ππππ β ππ£ππ β ππππππ + π2 ππππ]
Simplificando
πππ = ππππ - ππππ + ππ (ππππ β ππππ ) (E - 24)
Finalmente,
πππ = ππππ - ππππ + ππ [ππ, ππ] (E - 25)
Al aplicar la ley de transformaciΓ³n de los campos ππsobre el conmutador se
obtiene
ππ [ππ, ππ] ππ [ππΒ΄, ππΒ΄] (E - 27)
ππ [ππΒ΄, ππΒ΄] = ππ [ (ππππβ1 +
π
π (πππ) πβ1) , (ππππ
β1 +π
π (ππ£π) π
β1) ] (E - 28)
Por lo tanto,
ππ [ (ππππβ1 +
π
π (πππ)πβ1) (ππππ
β1 π
π (ππ£π) π
β1) β
(ππππβ1 +
π
π (ππ£π) π
β1) (ππππβ1 +
π
π (πππ) πβ1) ]
= ππ [ππππβ1ππππ
β1 +π
π ππππ
β1 (ππ£π)πβ1 +
π
π (πππ)π
β1ππππβ1 +
π2
π2(πππ)πβ1(ππ£π)π
β1 β π πππβ1ππππ
β1 βπ
π ππππ
β1 (πππ) πβ1 β
π
π (ππ£π)π
β1ππππβ1 +
1
π2(ππ£π)π
β1(πππ)πβ1] (E - 29)
Simplificando los dos primeros tΓ©rminos
= ππ [ππ, ππ]πβ1 β ππππ
β1(ππ£π)πβ1 β (πππ)πβ1π πππ
β1 βπ
π (πππ)πβ1(ππ£π)π
β1 +
π πππβ1 (πππ)π
β1 + (ππ£π) ππβ1πππ
β1 + π
π (ππ£π) π
β1(πππ)πβ1 (E - 30)
= ππ [ππ, ππ]πβ1 β ππβ1(πππ)πππ
β1 + π πππβ1(πππ)π
β1 β ππβ1(ππ£π)πππβ1 +
π πππβ1(ππ£π)π
β1 +1
ππ (πππ)πβ1(ππ£π)π
β1 β 1
ππ (ππ£π)π
β1(πππ)πβ1 (E - 31)
Sacando factor comΓΊn π y πβ1 de los tΓ©rminos no imaginarios
= ππ [ππ, ππ]πβ1 β π[πβ1(πππ)ππ + πππ
β1(πππ) ]πβ1 β π[πβ1(ππ£π)ππ β
πππβ1(ππ£π) ]π
β1 + 1
ππ (πππ)π
β1 (ππ£π)πβ1 β
1
ππ (ππ£π)π
β1(πππ)πβ1 (E - 32)
Simplificando,
= ππ [ππ, ππ]πβ1 + π[πβ1 (πππ), ππ]π
β1 β π[πβ1(ππ£π), ππ]πβ1 β
1
ππ[(ππ£π)π
β1(πππ)πβ1 β (πππ)π
β1(ππ£π) πβ1] (E - 33)
= ππ [ππ, ππ]πβ1 β
1
ππ [(ππ£π)ππ
β1 (πππβ1) β (πππ) ππ
β1 (ππ£πβ1)] (E - 34)
= ππ [ππ, ππ]πβ1 β
1
ππ [π (πππβ1)(ππ£π) π
β1 β π (ππ£πβ1)(ππ£π)π
β1 ] (E - 35)
Finalmente se obtiene la transformaciΓ³n del conmutador asociado al tensor de
intensidad.
= ππ [ππ, ππ]πβ1 + π[πβ1 (πππ), ππ]π
β1 β [πβ1(ππ£π), ππ]πβ1 β
1
πππ[(πππβ1)(ππ£π)(ππ£π
β1)(ππ£π) ]πβ1 (E - 36)
APΓNDICE E: INVARIANCIA GAUGE LOCAL DEL LAGRANGIANO DE YANG
MILLS.
El lagrangiano de Yang β Mills representado por la ecuaciΓ³n (74) es invariante
bajo una transformaciΓ³n gauge local de isospΓn contenida en el grupo no
abeliano SU (2)
οΏ½Μ οΏ½c οΏ½Μ οΏ½c Β΄= π οΏ½Μ οΏ½c ; (F - 1)
πc πc = πβ1 πc , (F - 2)
Donde π y πβ1 esta dadas por
π = π π
2 πΒ· πΆ (π) (F - 3)
πβ1 = π βπ
2 πΒ· πΆ (π) (F - 4)
βππ βππΒ΄ (F - 5)
βYMΒ΄ = _ 1
4 πππΒ΄πππΒ΄ + οΏ½Μ οΏ½c Β΄ ( ππΎπ ππ βπ ) πcΒ΄ β
π
2ππΒ· οΏ½Μ οΏ½cΒ΄πΎππ πc
Β΄ (F - 6)
Por comodidad evaluaremos la transformaciΓ²n para cada termino de βYM
TERMINO CINΓTICO
_ 1
4 ππππππ _
1
4 πππΒ΄πππΒ΄ (F - 7)
πππ πππΒ΄ (F - 8)
Donde,
πππΒ΄ = ππ£ππΒ΄ β ππππΒ΄ + ππ[ππΒ΄, ππΒ΄] (F - 9)
Tomando en cuenta el resultado del apΓ©ndice anterior se obtiene
πππΒ΄ = ππ£ [ ππππβ1 +
π
π (πππ) πβ1 ] β ππ [ππππ
β1 + π
π (ππ£π)πβ1] (F - 10)
= π(ππ£ππ - ππππ )πβ1 + π{[πβ1 (ππ£π), ππ ] β [[πβ1 (πππ), ππ]}πβ1
+ 1
ππ [(ππ£ π
β1 ) (πππ) - (ππ πβ1 ) (ππ£π)] + ππ [ππ, ππ]πβ1 + π[πβ1 (πππ), ππ]π
β1 β
[πβ1(ππ£π), ππ]πβ1 β
1
ππ π[(πππ
β1)(ππ£π)(ππ£πβ1)(ππ£π) ]π
β1 (F - 11)
Finalmente
πππΒ΄ = π(ππ£ππ - ππππ )πβ1 + ππ [ππ, ππ]πβ1 = πππ (F - 12)
De forma anΓ‘loga se procede para πππ
ECUACION DE DIRAC
οΏ½Μ οΏ½c Β΄(ππΎπππ β π) πcΒ΄ (F - 13)
οΏ½Μ οΏ½c Β΄(ππΎπππ β π) π οΏ½Μ οΏ½c (F - 14)
πβ1οΏ½Μ οΏ½c ( iπΎππ(πππc) + ππΎπ (πππ) πc - πππc ) (F - 15)
π βπ
2 πΒ· πΆ (π) οΏ½Μ οΏ½c [ππΎππ
π
2 πΒ· πΆ (π)(ππππ) + ππΎπππ(π
π
2 πΒ· πΆ (π))ππ β π(π
π
2 πΒ· πΆ (π))ππ]
π βπ
2 πΒ· πΆ (π) οΏ½Μ οΏ½c[ππΎππ
π
2 πΒ· πΆ (π)(ππππ) + ππΎππππ
π
2 πΒ· πΆ (π)ππ(πΆ (π)) β ππ
π
2 πΒ· πΆ (π)ππ]
π βπ
2 πΒ· πΆ (π)
οΏ½Μ οΏ½c ππΎππ π
2 πΒ· πΆ (π)(ππππ) + ππ β
π
2 πΒ· πΆ (π)
οΏ½Μ οΏ½c πΎππ π π
2 πΒ· πΆ (π)ππ(πΆ (π))
β οΏ½Μ οΏ½c ππ βπ
2 πΒ· πΆ (π) π
π
2 πΒ· πΆ (π)ππ (F - 16)
Operando se obtiene
οΏ½Μ οΏ½c ππΎπ(ππππ) + οΏ½Μ οΏ½c ππΎππ ππ(πΌ (π₯)) β οΏ½Μ οΏ½c πππ (F - 17)
Reorganizando
οΏ½Μ οΏ½c ππΎπ(ππππ) β οΏ½Μ οΏ½c πππ + οΏ½Μ οΏ½c πΎππππ(πΌ (π₯)) (F - 18)
TERMINO DE INTERACCIΓN
βπ
2ππΒ· οΏ½Μ οΏ½cπΎππ πc β
π
2ππΒ· οΏ½Μ οΏ½cΒ΄πΎππ πc
Β΄ (F - 19)
Como
π©π= 1
2 π Β· ππ (F - 20)
Entonces,
β π π©π οΏ½Μ οΏ½cΒ΄πΎπ πcΒ΄ (F - 21)
βπ [ππππβ1 +
1
π (πππ) π
β1] (π ππ)(πβ1 οΏ½Μ οΏ½π)πΎ
π (F -
22)
Distribuyendo
β π [ππππβ1(π ππ)(π
β1 οΏ½Μ οΏ½π) + 1
π (πππ) πβ1(π ππ)(π
β1 οΏ½Μ οΏ½π)] πΎπ
βπ [ππππβ1π πππ
β1 οΏ½Μ οΏ½π + 1
π (πππ) πβ1π πππ
β1 οΏ½Μ οΏ½π] πΎπ
β π [πππ πππβ1 οΏ½Μ οΏ½π +
1
π (πππ) πππ
β1 οΏ½Μ οΏ½π] πΎπ
(F - 23)
Operando,
β π ππ πππβ1 οΏ½Μ οΏ½π πΎ
π β (πππ) πππβ1 οΏ½Μ οΏ½ππΎ
π
β ππ πποΏ½Μ οΏ½π πΎπ β (πππ) πππ
β1 οΏ½Μ οΏ½ππΎπ
β ππ πποΏ½Μ οΏ½ππΎπ β ππ (π β
π2πΒ· πΆ (π)) ππ (π β
π2πΒ· πΆ (π)) οΏ½Μ οΏ½π πΎ
π
β ππ πποΏ½Μ οΏ½π πΎπ β π π β
π
2πΒ· πΆ (π)ππ(πΌ (π₯)) ππ (π β
π
2πΒ· πΆ (π)) οΏ½Μ οΏ½π πΎπ
β ππ πποΏ½Μ οΏ½π πΎπ β π ππ(πΌ (π₯)) πποΏ½Μ οΏ½π πΎ
π
(F - 24)
uniendo (F β 12), (F - 18) y (F - 24) se obtiene
_ 1
4 ππππππ + οΏ½Μ οΏ½c ππΎπ(ππππ) β οΏ½Μ οΏ½c πππ + οΏ½Μ οΏ½c πΎππππ(πΌ (π₯))
β ππ πποΏ½Μ οΏ½ππΎπ β ππΎπ ππ(πΌ (π₯)) πποΏ½Μ οΏ½ππΎ
π (F -
25)
Operando,
βYMΒ΄ = _ 1
4 ππππππ + οΏ½Μ οΏ½c ( iπΎπππ β π ) πc β
π
2ππΒ· οΏ½Μ οΏ½cπΎππ πc = βYM. (F - 26)
βYM es invariante bajo transformaciones locales del isospin.