CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL …...CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL DICIEMBRE 2019 2 RESPUESTAS f 7 91 8 6 25) 6 26) 1 2 27) − 1 12 28) 2 16 13

CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL DICIEMBRE 2019

1

GUÍA PARA EXAMEN SEMESTRAL

1) Resuelve los siguientes límites por sustitución:

25) lim𝑥 → 0

𝐿𝑛(1 + 6𝑥)

𝑥 26) lim

𝑥 → 0

𝑒𝑥 − 1 − 𝑥

𝑥2

27) lim𝑥 → 0

2 − 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥2

𝑥4 28) lim

𝑥 → 0

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑐𝑜𝑠(𝑥)

) =−+

+−−

→ 187

63427

2

23

2lim

xx

xxx

x

) =−

+

−→ 16

2059

2

23

4lim

x

xx

x

) =++

+

−→ 158

1248

23

limxx

x

x

) =−

−+

→ 64125

2092012

3

2

54

limx

xx

x

) =−+

+

−→ 26

82711

2

3

32

limxx

x

x

) =+−

−

→ 31110

92510

2

2

53

limxx

x

x

) =+

→2

4

521 lim

x

x

x

) =−→

532 2

2lim xx

) =+

−

−→ 3

123

2

3lim

x

x

x

) =−

−

→ 25

1324

25

limx

x

x

) =−

−

→ 2

425 lim

2 x

x

x

) =+

+

−→ 27

36

33

limx

x

x

)( )

=−

−

→2

4 4

513 lim

xx

) =−

−

→ 23

7214

25

limx

x

x

) =−+−

+−−

→ 121545

8104515

23

23

54

limxxx

xxx

x

) =+

+−

−→ 3164

205418

3

2

43

limx

xx

x

) =−+

−

→ 524

431617

2

3

23

limxx

x

x

) =+−

−

−→ 5112

20316

2

2

3lim

xx

x

x

) =++

−−

−→ 273

185221

2

2

2lim

xx

xx

x

) =−−

−−

→ 15174

2020

2

2

5lim

xx

xx

x

) =+−

−

−→ 4211

919

2

2

3lim

xx

x

x

) =−

−+

→ 410

423524

23

52

limx

xx

x

) =−

−−−

→ 124

6223

23

3lim

x

xxx

x

) =+−

−−

−→ 415

36222

3

2

4lim

xx

xx

x


2

RESPUESTAS

25) 6 26) 1

2

27) −1

12 28) 2

)16

131E

) 72E ) ( )

( ) +=

−=

+

−

−→

−→

xf

xfE

x

x

lim

lim

3

3

3

) ( )

( ) −=

+=

+

−

→

→

xf

xfE

x

x

lim

lim

5

5

4 ) 25E )27

16E

)11

57E

) 28E ) 109 −E

) 3010E )7

3611 −E )

240

4112E

) ( )

( ) −=

−=

+

−

→

→

xf

xfE

x

x

lim

lim

4

4

13 )2

314E )

91

3415 −E

)8

116E )

7

1117E )

2

1318E

)17

619E )

23

920E )

5

1321E

)33

1722 −E )

2

723E )

25

5224E


3

2) Resuelve los siguientes límites:

RESPUESTAS

) =−

−−

→ 3

257

2

3lim

x

x

x

) =−+

−−

→ 145

214109

22

limxx

x

x

) =−+

+

−→ 62

210

22

limx

x

x) =

−+

−

→ 443

1611

2

4lim

x

x

x

) =−−−

−+

−→ xx

xx

x 215

8212

2

4lim

) =−

−−−

−→ 9

563128

23

limx

xx

x

) =−

−−

→ 3

7231 lim

3 x

x

x

) =+−

−−

→ 107

31533

22

limxx

x

x

) =−+

+

−→ 152

24 lim

2 x

x

x) =

−+

−

→ 412

165

2

4lim

x

x

x

) =−−−

+

−→ xx

x

x 4113

46 lim

4

) =−

−−−

−→ 9

493122

23

limx

xx

x

) =−+

−+

→ xx

xx

x 56

20813

2

2

2lim ) =

+−+

−

→ 21256

414 lim

4 xx

x

x

) =−−−

−+

−→ xx

xx

x 4337

1215

2

4lim

)2

37 )

109

19

)2

610 − )

3

6411 ) 3612 −

)216

18 −

)72

31 )

6

13 −

) 14 ) 645 )3

1726

)2112

12 −

) 102413 − )2

2914 ) 191415 −


4

3) Resuelve los siguientes límites en el infinito:

RESPUESTAS

4) Utilizando la fórmula correspondiente, deriva las siguientes funciones:

) =+−

+−

→ xxx

xx

x 526

5243

35

23

lim) =+−

−−

→ 476

2742

3

23

limxx

xx

x

) =+−

+−

→ 324

4231

23

35

limxx

xx

x

) =−

−−

→ 132

2276

3

23

limx

xx

x

) =+−

−−−

→ 472

2725

2

23

limxx

xx

x

) =+−

−

→ 2253

1324

2limxx

x

x

) +1E)

3

22E

) 03E

) 04E ) −5E )2

16E

) ( ) 321 −= xxf ) ( ) 562 2 −= xxf

) ( ) 343 3 += xxf ) ( ) 7344 20 +−= xxxf

) ( )xxx

xxf532

2523+−+= ) ( )

xxxxf

3476

20

2 −+=

) ( ) 4 5

3 2

3 5 227 x

xxxf −+= ) ( ) x

xxxf 7

478

5 3

5 9 −+=

) ( ) 4 7

2

229 x

xxf −+= ) ( ) 8

97

4710 x

xxxf −+=

) ( ) ( )22311 −= xxf ) ( ) ( )32 112 −= xxf

) ( ) ( )( )23231 +−= xxxf ) ( ) ( )( )527441 2 −−= xxxf

) ( ) 2 2 4451 +−= xxxf ) ( ) ( )23216 −= xxxf

) ( )32

6417

2

+

+=

x

xxxf ) ( ) ( )( )( )1233218 +−−= xxxxf


5

RESPUESTAS

5) Utilizando la fórmula que corresponda a cada ejercicio, calcular la derivada de:

1) 𝑦 = −2(𝑥3 − 1)2 2) 𝑦 = −2(𝑥2 − 𝑥 + 1)

3) 𝑦 =−2

(𝑥3 − 1)2 4) 𝑦 =

−2

𝑥2 − 𝑥 + 1

5) 𝑦 =−𝑥

𝑥3 − 1 6) 𝑦 =

𝑥3 − 1

3

) ( ) 2'1 =xf ) ( ) xxf 12'2 =

) ( ) 212'3 xxf = ) ( ) 380'4 19 −= xxf

) ( )234

5662'5

xxxxf −+−= ) ( )

221

38014'6

xxxxf +−=

) ( )4

5

3

4

3

10'7

4

3 5

3 2 x

x

xxf −−= ) ( )

xx

xxf

2

7

5

12

5

63'8

5 8

5 4

−−=

) ( )4

74'9

4 3

3

x

xxf −−= ) ( )

8 7108

7367'10

xxxf −−=

) ( ) 1218'11 −= xxf ) ( ) xxxxf 6126'12 35 +−=

) ( ) 14'31 += xxf ) ( ) 144024'41 2 −−= xxxf

) ( ) 1'51 =xf ) ( ) 412'16 −= xxf

) ( ) 2'17 =xf ) ( ) 93212'18 2 +−= xxxf


6

7) 𝑦 = (2𝑥2 − 3)(3𝑥 + 7) 8) 𝑦 = 2𝑥(𝑥2 + 1)

9) 𝑦 =2𝑥2 − 3

3𝑥 + 7 10) 𝑦 =

2𝑥

𝑥2 + 1

27) 𝑦 =4

(5𝑥 − 3)5 28) 𝑦 =

3

(5𝑥 + 3)4

) ( ) ( )73211 −= xxf ) ( ) ( )132 53212 −= xxf

) ( )( )43 34

131

+=

xxf ) ( )

( )32 74

541

−=

xxf

) ( ) ( )4 55351 −= xxf ) ( ) 5 2 34716 −= xxf

) ( )25

117

−=

xxf ) ( )

( )5 32 2

418

−

=

x

xf

) ( )9

37219

2 +−=

xxxf ) ( )

2

317420

9 +−=

xxxf

) ( )72

521

3 −=

xxf ) ( )

232

422

5 −−

−=

xxxf

) ( ) ( )( )725423 +−= xxxf ) ( ) ( )( )255324 2 +−= xxxf

) ( )37

3225

+

−=

x

xxf ) ( )

25

5626

2

2

−

−=

x

xxf


7

29) 𝑦 =−5

(7𝑥 + 3)6 30) 𝑦 =

−243

(2𝑥 + 7)5

31) 𝑦 =𝑎

2𝑥5 − 𝑏 32) 𝑦 = (4𝑥2 − 3)(2𝑥2 + 3)

RESPUESTAS

1) 𝑦′ = −12𝑥5+12𝑥2 2) 𝑦′ = −4𝑥 + 2

3) 𝑦′ =12𝑥2

(𝑥3 − 1)3 4) 𝑦′ =

4𝑥 − 2

(𝑥2 − 𝑥 + 1)2

5) 𝑦′ =2𝑥3 + 1

(𝑥3 − 1)2 6) 𝑦′ = 𝑥2

7) 𝑦′ = 18𝑥2 + 28𝑥 − 9 8) 𝑦′ = 6𝑥2 + 2

9) 𝑦′ =6𝑥2 + 28𝑥 + 9

(3𝑥 + 7)2 10) 𝑦′ =

−2𝑥2 + 2

(𝑥2 + 1)2

) ( ) cbxaxxf +−= 533 ) ( ) 53434 2 −+= xxxf

) ( )75

3235

xx

cxxf −+= ) ( )

3 4

3 7536x

cxxf +=

) ( ) 4 9

3

22237 xab

x

axxf −+= ) ( ) ( )82438 cxxf −=

) ( )( )43 3

39+

=bx

axf ) ( ) ( )4 7

240 −= xxf

) ( )bx

cxf

−=

41 ) ( )

7

2342

5 cxxxf

+−=


8

27) 𝑦′ =−100

(5𝑥 − 3)6 28) 𝑦′ =

−60

(5𝑥 + 3)5

29) 𝑦′ =210

(7𝑥 + 3)7 30) 𝑦′ =

2430

(2𝑥 + 7)6

31) 𝑦′ =−10𝑎𝑥4

(2𝑥5 − 𝑏)2 32) 𝑦′ = 32𝑥3 + 12𝑥

) ( ) ( )63214'11 −= xxf ) ( ) ( )122 53156'12 −= xxxf

) ( )( )53

2

34

48'31

+

−=

x

xxf ) ( )

( )42 74

120'41

−

−=

x

xxf

) ( )4

5315'51

4 −=

xxf

) ( )( )5 42 345

56'16

−

=

x

xxf

) ( )( )3252

5'17

−

−=

xxf ) ( )

( )5 82 25

24'18

−

−=

x

xxf

) ( )9

74'19

−=

xxf ) ( )

2

1736'20

8 −=

xxf

) ( )( )23

2

72

30'21

−

−=

x

xxf ) ( )

( )25

4

232

1240'22

−−

−=

xx

xxf

) ( ) 1816'23 += xxf ) ( ) 251245'24 2 −+= xxxf

) ( )( )2

37

27'25

+=

xxf ) ( )

( )22 25

26'26

−=

x

xxf


9

6) Utilizando la fórmula que corresponda a cada ejercicio, calcular la derivada de:

1) 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑡(4𝑥 − 5) 2) 𝑦 = −5𝑐𝑜𝑡(2𝑥 + 3)

3) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑐(3𝑥 − 2) 4) 𝑦 = −4𝑠𝑒𝑐(3𝑥 + 2)

5) 𝑦 = 6𝑐𝑠𝑐(2𝑥 − 3) 6) 𝑦 = −7𝑐𝑠𝑐(4𝑥 + 1)

7) 𝑦 = 3𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(4𝑥) 8) 𝑦 = −5𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(2𝑥)

9) 𝑦 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(3𝑥) 10) 𝑦 = −4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(3𝑥)

11) 𝑦 = 6𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(2𝑥) 12) 𝑦 = −7𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(4𝑥)

13) 𝑦 = 4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(5𝑥) 14) 𝑦 = −5𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(4𝑥)

) ( ) baxxf −= 45'33 ) ( ) 38'34 += xxf

) ( )86

2152'35

xx

cxf +−= ) ( )

3 7

3 4

3

4

3

35'36

x

cxxf −=

) ( )4

9622'37

4 5

4

xab

x

axf −−= ) ( ) ( )7264'38 cxxf −=

) ( )( )53

2

3

12'39

+

−=

bx

abxxf ) ( )

( )2

27'40

4 3−

=x

xf

) ( )( )32

'41bx

cxf

−

−=

) ( )

7

215'42

4 −=

xxf


10

RESPUESTAS

1) 𝑦′ = −12𝑐𝑠𝑐2(4𝑥 − 5) 2) 𝑦 = 10𝑐𝑠𝑐2(2𝑥 + 3)

3) 𝑦′ = 6𝑠𝑒𝑐(3𝑥 − 2)𝑡𝑎𝑛(3𝑥 − 2)

4) 𝑦′ = −12𝑠𝑒𝑐(3𝑥 + 2)𝑡𝑎𝑛(3𝑥 + 2)

5) 𝑦′ = −12𝑐𝑠𝑐(2𝑥 − 3)𝑐𝑜𝑡(2𝑥 − 3)

6) 𝑦′ = 28𝑐𝑠𝑐(4𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡(4𝑥 + 1)

7) 𝑦′ =−12

1 + 16𝑥2 8) 𝑦′ =

10

1 + 4𝑥2

) ( ) ( )54527 −= xsenxf ) ( ) ( )23428 2 −−= xsenxf

) ( ) ( )72cos729 += xxf ) ( ) ( )35cos330 3 +−= xxf

) ( ) ( )76tan231 += xxf ) ( ) ( )52tan732 4 +−= xxf

) ( ) ( )35251 += xarcsenxf ) ( ) ( )23352 2 +−= xarcsenxf

) ( ) ( )34arctan953 += xxf ) ( ) ( )34arctan254 2 +−= xxf

) ( ) 97655 −= xexf ) ( ) 45 2

756 −= xexf

) ( ) ( )353557 2 +−= xxLnxf ) ( ) ( )54458 2 −= xLnxf


11

9) 𝑦′ =2

𝑥√9𝑥2 − 1 10) 𝑦′ =

−4

𝑥√9𝑥2 − 1

11) 𝑦′ =−6

𝑥√4𝑥2 − 1 12) 𝑦′ =

7

𝑥√16𝑥2 − 1

13) 𝑦′ =−20

√1 − 25𝑥2 14) 𝑦′ =

20

√1 − 16𝑥2

) ( ) ( )54cos20'27 −= xxf ) ( ) ( )23cos24'28 2 −−= xxxf

) ( ) ( )7214'29 +−= xsenxf ) ( ) ( )3545'30 32 += xsenxxf

) ( ) ( )76sec12'31 2 += xxf ) ( ) ( )52sec56'32 423 +−= xxxf

) ( )( )2351

10'51

+−=

xxf ) ( )

( )22 231

18'52

+−

−=

x

xxf

) ( )( )2

341

36'53

++=

xxf ) ( )

( )22 341

16'54

++

−=

x

xxf

) ( ) 9742'55 −= xexf ) ( ) 45 2

70'56 −= xxexf

) ( )353

2530'57

2 +−

−=

xx

xxf ) ( )

54

32'58

2 −=

x

xxf


12

7) Derivar las siguientes funciones:

)( )

45

541

4

−

−=

x

xy )

( )535

43

−=

x

xy) ( ) ( )73372

4−−= xxy

)( )374

474

−

+=

x

xy )

( )435

36

+=

x

xy) ( )( )538835 +−= xxy

)( )

( )3

5

94

497

+

+=

x

xy )

( )x

xy

2

379

6+

=) ( ) ( )5795598 ++= xxy

)4

34

4310

+

+=

x

xy )

3

3

7212

+=

x

xy) ( )( ) 4295211 −+= xxy

)( )

52

5313

3

−

−=

x

xy )

( )47

7414

3

+

−=

x

xy )

( )452

2515

−

+=

x

xy

)( )553

2316

−

−=

x

xy )

( )

( )2

4

53

5217

+

+=

x

xy )

5

23

3218

−

−=

x

xy

)( )4 5

53

2319

−

−=

x

xy )

( )

( )5 2

4

53

5220

+

+=

x

xy )

( )12

2321

3 5

+

−=

x

xy

)( )4 5

53

2322

−

−=

x

xy )

( )

( )7 2

5 4

53

5223

+

+=

x

xy )

( )7

3 5

12

2324

+

−=

x

xy


13

RESPUESTAS

)( ) ( )

( )2

3

45

396054'1

−

−−=

x

xxy ) ( ) ( )20510537'2

3−−= xxy

)( )635

1280'3

−

−−=

x

xy )

( )474

9756'4

−

−−=

x

xy

) ( ) ( )31114438'54

−+= xxy )( )535

945'6

+

+−=

x

xy

)( ) ( )

( )4

4

94

11924493'7

+

++=

x

xxy ) ( ) ( ) ( )6925409559'8

46+++= xxxy

)( ) ( )

( )2

5

2

67037'9

x

xxy

−+= )

( )

( )5

3

34

4328'10

+

+−=

x

xy

) ( ) ( ) ( )413629524'1133

+−+= xxxy )( )

( )4

2

3

7263'12

x

xy

+−=

)( ) ( )

( )2

2

52

351253'13

−

−−=

x

xxy )

( ) ( )

( )2

2

47

975674'14

+

+−=

x

xxy

)( )552

4130'15

−

−−=

x

xy )

( )653

1536'16

−

+−=

x

xy

)( ) ( )

( )3

3

53

101252'17

+

++=

x

xxy )

( )

( )6

4

23

3225'18

−

−=

x

xy

)( )4 9

534

309'19

−

−−=

x

xy )

( ) ( )

( )5 7

3

535

17010852'20

+

++=

x

xxy

)( ) ( )

( )23 2

12

15423'21

+

+−=

x

xxy

)( )4 9

53234

27'22

−−

−=

xx

xy

)( )7 95 535235

130108'23

++

+=

xx

xy

)( ) ( )

( )7 8

3 2

127

396423'24

+

+−=

x

xxy


14

8) Derivar las siguientes funciones:

9) Calcula la segunda derivada de:

10) Calcula la tercera derivada de:

) ( )735413 −= xy ) ( )556615 −= xy) ( )652414 += xy

) ( )xxy 3sin416 = ) ( )xxy 2tan518 3=) xexy 62217 =

)( )x

xy

2

3cos19 = ) ( )xey x 2sin21 3=) 23ln820 −= xy

) ( )52ln22 −= xy ) 3223 += xey ) ( )1ln24 −= xey

) ( )334ln25 −= xy )xe

y5

26 = ) ( )3ln27 2 −= xy

) ( )( )433428 2 −−= xxy

) ( )54ln29 −= xy

) ( )4 74530 −= xy


15

RESPUESTAS DE PARTE 8, 9 Y 10

) ( )635140'13 −= xy ) ( )55248'14 += xy

) ( )456180'15 −= xy ) ( ) ( )xxxy 3sin43cos12'16 +=

) xx xeexy 662 412'17 += ) ( ) ( )xxxxy 2tan152sec10'18 223 +=

)( ) ( )

( )22

3cos23sin6'19

x

xxxy

−−= )

23

24'20

−=

xy

) ( ) ( )xexey xx 2sin32cos2'21 33 += )( )252

4''

52

2'22

−

−=

−=

xy

xy

) 3232 4''2'23 ++ == xx eyey )( )21

''1

'24−

−=

−=

x

x

x

x

e

ey

e

ey

)( )234

48''

34

12'25

−

−=

−=

xy

xy )

xx ey

ey

5''

5'26 =

−=

)( )22

2

23

62''

3

2'27

−

−−=

−=

x

xy

x

xy

) 72'''3272''93236'28 2 =−=−−= yxyxxy

)( ) ( )32

54

128'''

54

16''

54

4'29

−=

−

−=

−=

xy

xy

xy

)( )

( )4 54

4 3

4564

2625'''

4516

525''

4

4535'30

−

−=

−=

−=

xy

xy

xy

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CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL …...CARLOS TIZNADO SEMESTRAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL DICIEMBRE 2019 2 RESPUESTAS f 7 91 8 6 25) 6 26) 1 2 27) − 1 12 28) 2 16 13