Upload
juan-edson-ramos-ganoza
View
232
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
1/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
SERIES DE POTENCIA
Resolver la ecuaci !i"erecial !e se#u!o or!ed
2y
dx22xy=0
Soluci
Para simplifcar, supondremos un punto ordinario est siempre localizado en x
= 0, ya que si no lo est, la sustitucin t = x- x
0 traslada el valor x=
x0
at=0.
Si x=0esun puntoordinario de la ecuacin diferencialentonces y=n=0
cnx
n
esla
y=n=0
cnxn
dy
dx=
n=1
ncnxn1
d2y
dx2=
n=1
n(n1)cnxn2
por lo tanto al reemplazar se tiened
2y
dx22xy=
n=1
n(n1)cnxn2
n=0
2cnxn+1=0
Ahora deemos i!ualar las potencias y para eso se aplica las propiedades delas series de potencias"
n=0
(n+2 )(n+1)cn+2xn
n=0
2cn1xn=0
luegoigualado losinicios es decir :1.2 . c2+
n=0
(n+2 )(n+1)cn+2xn
n=0
2cn1xn=0
Ahora e#ectuaremos la suma al!$rica de las series((n+2 ) (n+1 ) cn+22cn1)x
n=0
1.2. c2+
n=0
% CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
2/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
Aplicando el m$todo el merito de los coefcientes indeterminados e i!ualando
termino a termino se tiene"2.c
2=0c
2=0
(n+2 ) (n+1) cn+22cn1=0paran=1,2,3,4
&a 'ltima expresin es equivalente a.
cn+2= 2cn1
(n+2)(n+1), n=1,2,3
Ahora iterando se tiene
n=1,C32C
0
2.3 =
2C0
2.3
n=2,C4
2C1
2.3
n=3,C5
2C2
4.5=0
n=4,C6
2C3
5.6= 2
2
C0
2.3.5.6
n=5,C7
2C4
6.7=
22
C1
3.4.6.7
n=6,C8
2C5
7.8=0,etc.
(omo
y=n=0
cnxn=c
0+c
1x+c
2x
2+c3x
3+c4x
4+
) CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
3/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
y=c0+c
1x+
2c0
2.3x
3+2c1
3.4x
4+ 2
2C1
3.4 .6.7x
7+
y=c0+2c0
2.3x
3+ 2
2c0
2.3.5.6x
6+ 2
3C0
2.3.5.6.8.9x
9++c1x+
2c1
3.4x
4+ 2
2c1
3.4.6.7x
7
+23C13.4 .6.7 .9.10
x10+
x+ 2
4
3.4+
22
3.4.6.7x
7
y=c0(1+ 22.3
x3+ 22
2.3.5.6x6+ 2
3
2.3.5.6.8.9x 9+)+c1
+23
3.4 .6.7 .9.10x
10+
Resolver la ecuaci !e se#u!o or!e
d2y
dx2+x
dy
dx
+y=0
Soluci
*e acuerdo a la nota el punto ordinario se toma x=0 entonces la solucin
en serie de potencia es
y=n=0
cnxn
dy
dx=
n=1
ncnxn1
d2
y
dx2=
n=2
n(n1)cnxn2
Ahora reemplazamos en la ecuacin di#erencial
+ CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
4/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
d2y
dx2+x
dx
dx+y=
n=2
n (n1 ) cnxn2+x
n=1
ncnxn1+
n=0
cnxn=0,ahora ponemos
n=1
(n+1 ) (n+2 ) cn+2xn+
ncnx
n+n=0
cnxn=0
las x en una misma potencian=0
[(n+1) (n+2 ) cn+2+cn ]xn+
n=1
ncnxn=0, igualand o los inicios delas series se
n=0
iene.
2 c2+c
0+
n=1
[(n+1 ) (n+2 ) cn+2+cn ]xn+
n=1
cnxn=0
#ectuando la suma al!eraica de la serie"
2c2+c
0+
n=1
[(n+1 ) (n+2 ) cn+2+ (n+1 ) cn ]xn=0
Aplicando el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando t$rminos a
t$rmino se tiene.
2c2+c0=0
c2=c
0
2
CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
5/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
(n+1 ) (n+2) cn+2+(n+1) cn =0
cn+2=
cn
n+2
Para"
n=1,c3=c
1
3
n=2,c4=c
2
4=
c0
2.4
n=3,c5=c
3
5=
c1
3.5
n=4,c6=c
4
6=
c0
2.4 .6
n=5,c7=
c5
7 =
c1
3.5.7
/eneralizando se tiene"
c2n=
(1)n c02.4.6(2n)
y c2n+1=
(1)nC11.3.5 . (2n+1 )
(omo y=c0+c1x+c2x2+c2x3++c2nx3n+c2n+1x2n+1+
CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
6/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
1n
1
n c1x
2n+1
2n+1
y=n=0
Resolver la ecuaci !i"erecial d
2y
dx2 ) 1* y2 +,e!ia-e series !e
.o-ecia !e /+ saie!o ue 304 )0
Soluci
Tomamos a x0=0 como punto ordinario, porlo tanto lasolucin es y=
n=0
cnxn
Ahora determinamos los coefcientescn , oteni$ndose mediante la
derivada
y=n=0
cnxn
entoncesdy
dx=
n=1
ncnxn1
rewemplazando en laecuacion dada se tiene
xn
n=0
cn
n=1
ncnxn1=1+
1 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
7/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
nk
n=0
n
ckc
n=1
ncnxn1
n=0
nk
k=0
n
ckc
n=0
(n+1)cn+1xn
n=0
(n+1 ) cn+1
nk
k=0
n
ck. c
n=0
(omo se tiene un t$rmino independiente en el se!undo miemro entoncesdesarrollamos para n=0en la serie"
ck . ck+n=0
[(n+1 )cn+1k=0
n
ck . cnk]xn=11
k=0
0
c
Aplicamos el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando t$rminos atermino se tiene
c1c
0
2=1y=n+1=cn+1k=0
n
ck. cnk=0
2 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
8/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
c1=1+c02
&ue!o"Aplicndola condicin inicial y 304=0se
cn+1= 1
n+1k=0
n
ckcn+k n1
tiene y=n=0
cnxn=c
0+c
1x+c
2x
2++cnxn+
y(0)=c0=0c
0=0de donde c
1=12
para:n=1,c2=
1
2k=0
1
ck. c1k=1
2[c0 . c1+c1. c0 ]=0
n=2,c3=
1
3k=0
2
ck.c2k=1
3[c0 . c1+c1 . c1+c2 . c0 ]=
1
3
ck.c 3k=14
[c0. c2+c1. c2+c2. c1+c3. c0 ]=
n=3,c4=
1
4k=0
3
n=4,c5=
1
5k=0
4
ck. c4k=1
5[c0 . c4+c1 . c3+c2 . c2+c3 . c1+c4 c0]=
2
15
n=5,c6=1
6k=0
5
ck. c5k=0
5 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
9/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
ck. c6k= 17
315
n=6,c7=
1
6k=0
5
y=n=0
cnxn=c
0+c
1x+c
2x
2++cnxn+
y=x+1
3x
3+ 2
15x
5+ 17
315x
7+ y=tgx .
allar la soluci #eeral !e la ecuaci !i"erecial
d2y
dx22xdy
dx 3y=0
Soluci
omamos a x
0=0
como punto ordinario, por lo tanto la solucin en serie de
potencias alrededor dex
0 =0 es"
y=n=0
cnxn
de dondedy
dx=
n=1
n cnxn1
d2y
dx2=
n=2
n (n1 ) cnxn2
Ahora reemplazamos en la ecuacin di#erencial dada.
n=2
n (n1) cnxn2
2xn=1
n cnxn13
n=1
cnxn=0
n=2
n (n1 ) cnxn2
n=1
2n cnxn3
n=0
cnxn=0 , poniendolas xen unamisma potencia
n=2
(n2) (n+1 ) cn+2xn
n=1
2n cnxn
n=0
3cnxn=0
6 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
10/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
Ahora poniendo los inicios i!uales se tiene"
2 c2
3 c0
+
n=1
(n+2 ) (n+1 ) cn+2
xn
n=1
2n cnx
n
n=1
3cnx
n=0
#ectuando la suma al!eraica de la serie"
2n+3(n+2 )(n+1cn+2()cn ]x
n=0
2c23c
0+
n=1
#ectuando el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando termino a
termino.
2c23c
0=0y(n+2 ) (n+1 ) cn+2(2n+3 ) cn=0
c2
3c0
2y cn+2=
(2n+3)cn(n+2 ) (n+1 )
, n 1
Para
n=1,c3=
5c1
2.3
n=2,c4=
7c2
3.4=
3.7
2.3.4.5c0
n=3,c5=
9c3
4.5=
5.9
2.3.4 .5c1
%0 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
11/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
n=4,c6=11
5.6c4=
3.7.11
2.3.4.5.6c0
reemplazando en la solucion se tiene . y=n=0
cnxn=c
0+c
1x+c
2x
2+c3x
3
y=c0+c
1+3
2c0x
2+5c
1
2.3x
3+ 3.7
2.3.4.5x
4+ 5.9 .c
1
2.3.4.5x
5+3.7.11 c
0
2.3.4.5.6x
6+
y=c0(1+ 32 x2+ 3.72.3.4 .5x4+ 3.7.112.3.4 .5.6 x6+ .)+c1(x+ 52.3x3+ 5.92.3.4.5 x5 )
y=c0[1+
n=0
1.3.7(4 n1)
(2n) x
2n]+c1n=0
1.5.9(4n1)
(2n+1) x
2n+1
resol!er la ecuaci n diferencia (x2+1 )d2y
dx2x
dy
dxy=0 , mediante series de potencias x
Soluci
Tomando como punto ordinarioa x0=0entoncesla solucion es :
y=n=1
cnxn dy
dx=
n=1
ncnxn1 entoncesdy
dx=
n=2
n(n1)cnxn2
Ahora reemplazamos a la ecuacin di#erencial dada.
%% CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
12/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
ncnxn1
n=1
cnxn=0
(x2+1)n=1
n (n1) cnxn2+x
n=1
n (n1 )cnxn2+
n=1
ncnxn
n=0
cnxn=0
n=2
n (n1 )cnxn+x
n=2
Poniendo las x en una misma potencia.
(n+1 ) (n+2 ) cn+2xn
+n=1
ncnx
n
n=0
cnx
n
=0
n (n1 ) cnxn+
n=0
n=2
Ahora poniendo los inicios i!uales se tiene"
[(n+1) (n+2 ) cn+2cn ]xn+
n=1
ncnxn=0
n ( n1 ) cnxn+
n=0
n=2
[(n+1 ) (n+2 ) cn+2cn+ncn]xn=0
n (n1 ) cnxn+2c
2c
0+
n=1
n=2
2 c2c
0+6.c
3x+
n=0
[n (n+1 ) cn+(n+1 ) (n+2 ) cn+2cn+ncn ]xn=0
%) CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
13/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
2c2c
0+6.c
3x+
n=0
[n (n+1 ) (n+2) cn+2+(n+1) cn ]xn=0
Aplicando el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando t$rmino at$rmino se serie"
{ 2 c
2c
0=0
6c3=0
(n+1 ) (n+2 )cn+2+ (n+1 ) ( n+1 ) cn=0
c2=
c0
2
c3=0
cn+2=n1
n+2cn ,n 1 ,
n=2,c 4=14 c2=
c0
2.4 =
c0
22.2
n=3,c5=25
c3=0
n=4,c6=3c
4
6=
1.3c0
23.3
n=5,c7=4 c5
7=0
n=6,c8=5c
6
8=1.3.5 . c
0
24.4
0
n=7,c9=6c
7
9=0
n=8,c10=7c
8
10=
1.3.5.7. c0
25.5
,etc.
como y=n=0
cnxn=c
0+c
1x+c
2x
2+c3x
3+c4x
4++cnxn+..
%+ CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
14/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
y=c1x+c
0(1+
x2
21
22x
4+ 13
233
x6
1.3.5
244
x8+
1.3.5.7
255
x10+)
y1(x)=c
0(1+
x2
2
1
222
x4+
13
233
x6
1.3.5
244
x8+
1.3.5.7
255
x10+)
2n
1+x
2
2+
n=2
(1)n11.3.5(2n3)
2n
n x
,
y
1(x)=c
0
y1(x )=c
1x y=k
1y
1(x )+k
2y
2(x ) la solucion general .
De-er,iar el valor !e r .ara ue la ecuaci !i"erecial
d2y
dx2+x
dy
dx+ry=0, tenga soluciones en series de potenciasde x .
dela forma y=n=0
cnxn
Soluci
omando como punto ordinario ax
0=0
entonces la solucin es"
y=n=0
cnxn
dy
dx=
n=1
ncnxn1
entoncesd
2y
dx2=
n=2
n (n1 ) cnxn2
,
Ahora reemplazamos a la ecuacin di#erencial dada.
% CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
15/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
n=2
n (n1) cnxn22x
n=1
ncnxn1+r
n=0
cnxn=0
2ncnxn+
n=0
r cnxn=0,poniendo las x en una misma potencia
n (n1 ) cnxn2
n=1
n=2
2ncnxn+
n=0
r cnxn=0,
(n+1 ) (n+2 ) cn+2xn
n=1
n=0
[(n+1) (n+2 ) cn+2+rcn ]xnn=1
2cn=0ahora poniendo los iniciosiguales se tiene
n=0
[(n+1) (n+2 ) cn+2+rcn ]xnn=1
2n cnxn=0
2c2+rc0+n=1
#ectuando la suma al!eraica de las series.
% CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
16/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
2c2+rc
0+
n=1
[(n+1 ) (n+2 ) cn+2+(r2n)cn]xn=0
Aplicando el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando t$rmino a
t$rmino se tiene" n 1
2c2+rc
0=0
c2=r2
c0
n+1(n+2)
cn+2=r2n
(n+1 ) (n+2) cn+2+(r2n )cn=
+(r2n )cn=0
Para
n=1,C3=r22.3
c1
n=2,C4=r43.4
c2
r (r4 )2.3.4
c0
n=3,C5=r64.5
c3r (r2)(r6)
2.3.4.5 c1
%1 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
17/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
4=r (r4 )(r8)
2.3.4.5.6 c0
n=4,C6=r85.6
c
5=(r2)(r6)(r10)
2.3.4.5.6.7 c1,etc .
n=5,C7=r19
6.7c
(omo
y=n=0
cnxn=c0+c1x+c2x2+c3x3++cnxn+
y=C0+c1x r
2 x
2c0
r23
c1x3+
r (r4 )4
c0x4+
(r2 ) (r6 )5
c1x5
(r4 )(r8)6
c0x6
(r2 )(r6)( r7
r4
r ( 4 x4 r (r4 ) (r8 )6
x6+)+
1 r
2x
2+
y=C0
r6
(r2 )( 5 x5r (r2 ) (r6 )(r10)
7 x
7+)
x r23
x3+
+C1
%2 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
18/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
1
(n+1r (r2 ) (r6 ) (r10 )
(2n+1 )x
2n+1)
1+n=0
y=c0
1
(n+1r (r2) (r6 ) (r10) (r(4n+2 ))
(2n+1) x
2n+1)
x+n=0
+C1
&os valores r son para todo r70,)n, donde n +z
"esol!er laecuacin diferenciald
2y
dx2(x+1 )y=0mediante series
Po-ecia !e /6
Soluci
sea y=n=0
cnxn
la solucinen serie de potencia de x deri!ando setiene .
dy
dx=
n=1
n cnxn1
d2
y
dx2=
n=2
n (n1 )cnxn2
ahora reemplzado enla ecuacin
%5 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
19/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
*i#erencial dada
n=2
n (n1) cnxn2(x+1)n=0
cnxn=0
cnxn+1
n=1
cnxn=0 # poniendo las x en unamisma potencia
n (n1 )cnxn2
n=1
n=2
cnxn
n=0
cnxn=0
(n1 ) (n2 ) cn+2xn
n=1
n=0
cn+2cn(n1 ) (n2) x
n=0
2 c2c
0+
n=1
[(n+1 ) (n+2 ) cn+2cncn1 ]x=0
%6 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
20/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
Aplicamos el m$todo de los coefcientes indeterminado e i!ualando t$rmino a
t$rmino se tiene"
{ 2c2c0=0(n+1) (n+2 )cn+2cncn1=0 { c
2= c0
2
cn+2= cn cn1
(n+1 )(n+2),n 1
Para simplifcar en estos casos, primero podemos ele!irc0
$0,c1=0,
y esto
nos
dar una solucin8 la otra solucin proviene de ele!ir c
0=0,c
1$0
.
Para el primer caso se tiene"
paran=1,C3=
c1+c
0
2.3=
c0
2.3
n=2,C4=
c1+c
1
3.4=
c2
3.4.
c0
2.3.4=
c0
2.4
n=3,C5=
c3+c
2
4.5=( c02.3 .+
c0
2) 14.5=c0
30,etc.
&ue!o una solucin en serie es"
y=c0+c1x+c2x2+c3x
3++cnxn+
)0 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
21/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
y1=C
0+
c0
2x
2c0
6x
3+c0
24x
4+c
0
30x
5+=c0(1+
x2
2+
x3
6+
x4
24+
c5
30+)
&a otra solucin es para
c0=0,c
1$0.
n=1,C3=c
0
2.3=
c0
6
n=2,c 4= c2+c13.4
= c13.4
=c 112
n=3,c5=c
3+c
2
4.5=
c1
2.3.4.5=
c1
120,etc
luegola solucin en seriees :y=n=0
cnxn=cn+c1x+c2x
2+c3x
3++cnxn+
y2(x )=C
1x+
c1
6x
3+c
1
12x
4+ c
1
120x
5+=c1(x+
x3
6+
x4
12+
x5
120)
&a solucin !eneral de la ecuacin di#erencial es.
y=C0(1+
x2
6+
x3
6+
x4
24+
x5
30+)=c
1(x+
x3
6+
x4
24+
x5
120)
)% CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(
7/23/2019 Caroline 1213120118 ..
22/22
BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015
)) CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(