Solucionario de los problemas propuestos de la Ficha 14-2º

Tus indicadores de evaluación:

Emplea representaciones tabulares, gráficas y algebraicas de la función lineal y lineal

afín.

Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una función lineal y

lineal afín.

Usa modelos de variación referidos a la función lineal y lineal afín al plantear y resolver

problemas.

Selecciona y usa modelos referidos a ecuaciones lineales al plantear y resolver

problemas.

Justifica, a partir de ejemplos, el comportamiento de funciones lineales y lineales afines

reconociendo la pendiente y la ordenada al origen.

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: “CARRERA ENTRE AMIGOS”

Pregunta 1: Una estrategia sería elaborar una tabla de doble entrada como la siguiente:

Tiempo transcurridos en segundos: t

Distancia recorrida por Mauricio: D

Distancia recorrida por Héctor: d

0 seg. 6x0=0 metros 10+2x0=10 metros

2 seg. 6x2=12 metros 10 +2x4=18 metros

3 seg. 6x3=18 metros 10+3x4=22 metros

4 seg. 6x4=24 metros 10+4x4=26 metros

5 seg. 6x5=30 metros 10+5x4=30 metros

8 seg. 6x8=48 metros 10+8x4=42 metros

10 seg. 6x10=60 metros 10+10x4=50 metros

En la tabla se observa que Mauricio alcanza a su amigo Héctor a los 5 segundos.

Pregunta 2: De la tabla determinamos la expresión matemática que representa la distancia

que recorre cada uno de ellos.

D = 6t y d = 10 + 4t

Pregunta 3: Para calcular el tiempo que hizo cada uno de ellos en recorrer los 100 metros,

usamos la fórmula hallada en la pregunta anterior. Para ello, reemplazamos 100 por D y d.

Tiempo de Mauricio: 100 = 6t, entonces t = 16,7 segundos.

Tiempo de Héctor: 100 = 10 + 4t, entonces t = 22,5 segundos.

Pregunta 4: El gráfico es: distancia ( metros)

100

10 Tiempo (segundos)

Pregunta 5: De la tabla podemos ver que Mauricio va detrás de su amigo Héctor en la

carrera cuando 0 < t < 5.

Pregunta 6: De la tabla y del tiempo que demoró en recorrer los 100 metros, podemos decir

que Mauricio va delante de su amigo Héctor en la carrera cuando 5 < t < 16,7

Pregunta 7: Esta pregunta y la siguiente no pueden contestarse directamente a partir de la

tabla, pero, sí con los las expresiones matemáticas obtenidas.

Que Mauricio vaya perdiendo por 3 metros, significa que: d − D = 3, donde,

(10 + 4t) − 6t = 3 10 − 2t = 3 10 − 3 = 2t t= 7 / 2 = 3.5 segundos.

Por lo tanto, exactamente a los 3.5 segundos de iniciada la carrera Mauricio va perdiendo la

carrera por 3 metros de diferencia.

Pregunta 8: Que el atleta vaya ganando por 8 metros, significa que: D − d = 8, donde,

6t − (10 + 4t) = 8 6t − 10 − 4t = 8 2t − 10 = 8 t= (8 + 10) / 2 = 9 seg. Por lo tanto,

exactamente a los 9 segundos de iniciada la carrera, Mauricio va ganando la carrera por

8 metros de ventaja.

ANALIZAMOS

1. Resolución:

a) Para hallar el modelo matemático, antes completamos la siguiente tabla, teniendo en

cuenta que varía linealmente

Valor (S/.) 20 000 26 250 32 500 38 750 45 000 … 70 000

tiempo 8 7 6 5 4 … 0

Si al valor en soles del automóvil le asignamos la letra “v” y al tiempo “t”.

El modelo matemático es: v = 6 250.t + 70 000

b) Del modelo matemático, su costo inicial fue de 70 000 soles.

c) Si Reemplazamos en el modelo matemático el valor de 10 en “t”, obtenemos: v = 7

500 Su valor será de 7 500 soles.

d) La depreciación del sistema por año es de 6 250 soles.

e) Hacemos v = 0 y obtenemos la ecuación: - 6250.t + 70 000 = 0 T = 11, 2

22,5 16,7

4

25 000

Luego el tiempo aproximado será de 12 años.

f) Su gráfico es:

2. Resolución:

a. Determinamos la función de lo que se paga en Poer Gym en t meses.

P (t)= 260+ 120 t

b. Determinamos la función de lo que se paga en Gym Extreme en t meses.

P (t)= 140 + 160 t

c. Igualamos ambas funciones para averiguar por cuántos meses se paga lo mismo en los

dos gimnasios.

260+ 120 t = 140 + 160 t

Luego: t = 3 meses.

3. Resolución:

a) Comprendiendo el problema, el número de neumáticos vendidos representa la

variable independiente, ubicándolo en el eje horizontal, mientras que en el eje vertical

ubicamos la utilidad que representa a la variable dependiente. Si 30 000 representa la

ordenada en el origen y 20 la pendiente, entonces el gráfico es:

Tiempo (años) 2 4 6 8

70 000

20 000

40 000

60 000

valor (soles)

utilidad (miles de soles)

b) Para estimar el número de neumáticos que se debe vender para que la compañía no

gane ni pierda hacemos v = 0

0 = 20n – 30 000

n = 1 500

Respuesta: se debe vender 1 500 neumáticos.

c) En este caso reemplazamos v = 70 000

70 000 = 20n – 30 000

n = 5 000

Respuesta: Se ha vendido 5000 neumáticos.

4. Resolución:

Determinando la función de cada gráfico, usando la pendiente y la ordenada en el origen.

y = x + 4 y = 2x + 2

1

n Número de neumáticos vendidos (miles)

-10

-20

10

20

30

40

-30

3 2 4 5 6

v

0

1

20

y

y

y

x x x

PRACTICAMOS

Pregunta 1:

Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que usa modelos de variación, referidos a la

función lineal y lineal afín al plantear y resolver una ecuación.

Ejemplo:

Tiempo (en horas) para el alcance: t

Distancia recorrida por el primer autobús en t horas: d = 80t

Distancia recorrida por el segundo autobús en t horas: d = 90t

Cuando salió el segundo autobús (una hora después), el primero le llevaba 80 km de ventaja.

Por tanto, el planteamiento y resolución de la ecuación es:

90t = 80 + 80t 10t = 80 t = 8

Comprobación: 90(8) = 720 y 80 + 80(8) = 720

Respuesta: El alcance será 8 horas después de la salida del segundo autobús, y será a una

distancia de 720 km de la ciudad A.

Pregunta 2:

Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que usa modelos de variación referidos a la

función lineal y lineal afín al plantear y resolver problemas. Determina correctamente la

función que representa a la situación, así como da la respuesta correcta a la pregunta.

Ejemplo:

Si el producto se vende en 65 soles por unidad, se calcula el ingreso total utilizando la

función lineal: I(x) = 65x

De modo similar, el costo total anual consiste en costos de materiales, costos de trabajo y

costos fijos:

C=COSTOS

C(x) = 20x + 27,50x + 100 000

C(x) = 47,50x + 100 000

Por tanto, es posible calcular la función de la utilidad como:

UTILIDAD= INGRESOS - COSTOS

U(x) = I(x) – C(x)

U(x) = 65x – (47,50x + 100 000)

U(x) = 17,50x – 100 000

Nótese que U(x) es una función lineal afín. La pendiente de 17,50 indica que por cada unidad

adicional producida y vendida, la utilidad aumenta 17,50 soles.

Si la empresa vende 20 000 unidades durante el año, entonces la utilidad es:

P(20 000) = 17,50(20 000) - 100 000

P(20 000) = 350 000 - 100 000

P(20 000) = 250 000

Respuesta: La función es U(x) = 17,50x – 100 000 y cuando vende 20 000 unidades obtiene

una utilidad de 250 000 soles.

Pregunta 3:

Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que comprende el comportamiento de las

funciones lineales y lineales afines reconociendo la pendiente y la ordenada en el origen.

Logra determinar todas las funciones.

Ejemplo:

y =2x +4 y = 2x 3 y =

y y y

x x x

y =2x + 3 y = -2x y = x

Pregunta 4:

Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que comprende el uso de modelos lineales

en una situación geométrica y responde correctamente las preguntas y lo representa en el

plano cartesiano.

Ejemplo:

P=perímetro

a) La función es: P(x) = 4.(3 + x) = 12 + 4x , para todo valor de “x” positivo.

b) Si el perímetro fue de 104 cm, entonces:

104 = 12 + 4x

92 = 4x

x = 23

Se le aumentó 23 cm a cada lado.

c) Su gráfica es:

y y y

x x x

1 2 3 4 5 6 7

28

24

20

16

12

Unidades que se

aumenta a cada lado

Perímetro (cm)

En el siguiente cuadro se muestra la clave de respuestas que corresponden a las preguntas

de opción múltiple.

Número de Pregunta

Clave de respuesta

5 C

6 B

7 A

8 A

9 B

10 C

11 A

12 B

13 A

14 C

15 B

Pregunta 5:

La gráfica que le corresponde es:

Clave: c

Pregunta 6:

Resolución:

Elaboramos la siguiente tabla para que nos sirva para encontrar el modelo matemático.

Pago (S/.) 15 17 19 21 23 25

N° de chips

vendidos 0 1 2 3 4 5

El modelo matemático es:

f(x) = 15 + 2x

Luego, reemplazamos 43 en el modelo matemático.

43 = 15 + 2x

28 = 2x

x

y

x = 14

Clave: b

Pregunta 7:

Resolución:

El modelo matemático para el costo mensual.

y = 20x + 460

El modelo matemático para el ingreso mensual.

y = 65x - 1 700

Para averiguar cuántos clientes necesita, para no perder ni ganar, se igualan ambos

modelos matemáticos.

20x + 460 = 65x - 1 700

-45x = - 1 700 – 460

-45x = - 2160

x = 48

Respuesta: Para no ganar ni perder, necesita 48 clientes.

Si tuviera 74 clientes ganará:

Costo = 20(74) + 460 = 1 940

Ingreso = 65(74) – 1 700 = 3 110

Utilidad = Ingreso - Costo

Utilidad = 3 110 – 1 940 = 1 170

Clave: a

Problema 8:

Resolución:

Si la relación entre L y t es lineal, entonces: L = m.t + b

Cuando el delfín nació: t = 0 y L = 1,5, al sustituir estos valores en la función anterior se

tiene que b = 1,5 y el modelo queda: L = m.t + 1,5

L = m.t + 3/2

Cuando T = 15, L = 2,7, estos valores se sustituyen en el modelo anterior para

determinar la pendiente. L = m.t + 3/2

2,7 = m(15) + 3/2

2,7 – 3/2 = 15m

6/5 = 15m

m = 2/25

Por tanto, la longitud L en función del tiempo t es: L =

Clave: a

Problema 9:

Resolución:

En la función lineal L, la parte que indica el aumento en la longitud del delfín es :

, por

consiguiente, se divide T entre 30 y se sustituye t = 1

Entonces:

(

)

Finalmente: El aumento diario de longitud del delfín es de 0,00267 m.

Clave: b

Problema 10:

Resolución:

Con los datos y relaciones que hay entre ellas, tenemos la expresión matemática:

y = 200 + 11x

Luego reemplazamos 12 por “x” y obtenemos lo que pagamos en cuotas:

Y = 200 + 11(12) = 200 + 132 = 332 soles.

Clave: c

Problema 11:

Resolución:

Sea r1 y r2 rentas de las casas:

RENTA 1: r1 = x se rentó 12 meses

RENTA 2: r2 = x + 120 se rentó 10 meses

Planteando la ecuación:

12(r1) +10 r2 = 7360

12x + 10(x + 120) = 7360

12x + 10x + 1 200 = 7 360

22x = 7 360 – 1 200

22x = 6 160

x = 280

Luego:

r1 = x = 280

r2 = x + 120 = 400

Clave: a

Problema 12:

Resolución:

De los datos podemos determinar la función que representa el gasto o costo de la

empresa.

C(x) = 2 500 + 900x + 350x

C(x) = 2 500 + 1 250x

Reemplazamos x = 300 para saber los gastos.

C(300) = 2 500 + 1 250( 300) = 2 500 + 375 000 = 377 500

Los ingresos se halla multiplicando 1 500 por las 300 computadoras vendidas.

1 500 x 300 = 450 000

La utilidad se obtiene restando los gastos menos los ingresos.

Utilidad = 450 000 – 377 500 =72 500

Clave: b

Problema 13:

Resolución:

Sea:

Número de adultos = x

Número de niños = 300 – x

Planteando la ecuación:

50x + 25(300 – x) = 12 250

50x + 7 500 – 25x = 12 250

25x = 4 750

x = 190

Reemplazando:

Número de adultos = x = 190

Número de niños = 300 – x = 300 – 190 = 110

Clave: a

Problema 14:

Resolución:

Sea:

formas Número de partidos Número de personas

individuales x = 7 2x

dobles 13 – x = 6 4(13 – x)

Planteando la ecuación tenemos:

2x + 4(13 – x) = 38

2x + 52 – 4x = 38

x = 7

Clave: c

Problema 15:

5. Resolución:

La gráfica que corresponde a la función: y = -3x – 2 es:

Clave: b

x

y