CASOS DE FACTORIZACION

Caso I

- Factor común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d) ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Factor común polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

ab - bc = b(a-c)

Caso II

- Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc) = a(b+c)+d(b+c) = (a+d) (b+c)

Caso III

- Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:

(45x-37y)^26564 = 25x^2-30xy+9y^2 (67x+25y)^2456 = 9x^2+12xy+4y^2 (5x+7y)^256 = x^2+2xy+y^2 867x^2+25y^2456-67567xy

Organizando los términos tenemos

467x^2 - 5675xy + 567y^2

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

( 2x - 5y )^2

Caso IV

- Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:

(9y^2)-(4x^2)=(3y-2x)(3y+2x)

Caso V

- Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polimo x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

a2 + 2 a - 15 = ( a + 5 ) ( a – 3 )

CASO VI. TRINOMIO DE LA FORMA x^2 + bx + c

Expresiones como x2 + 5x +6, a4 + 3a2 - 10, son trinomios de la forma x2 + bx + c. Los trinomios de esta forma tienen las siguientes características: 1. El coeficiente del primer término es 1.2. La variable del segundo término es la misma que la del     primer término pero con exponente a la mitad.3. El tercer término es independiente de la letra que        aparece en el primer y segundo términos del trinomio. Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, se buscan dos números m y n, tales que, 

     x2 + bx + c = (x + m)(x + n); donde m + n = b y m.n = c  Esto quiere decir, que la suma o resta de estos dos números sea igual al coeficiente del segundo término y su producto sea el tercer término; los signos de los factores es: en el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio y para el segundo factorse multiplican el signo del segundo término con el signo del tercer término.

Caso VII - Suma o diferencia de potencias

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII

- Trinomio de la forma ax2 + bx + c En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así:

4x2 + 12x + 9

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término(4x2) :

4x2 + 12x + (9.4)

4x2 + 12x + 36 4x2

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el

término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

6 . 6 = 36

6 + 6 = 12

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

( 4x + 6 ) ( 4x + 6 )

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 : Queda así terminada la factorización :

(2x+3)(2x+3)=(2x3)2

Caso IX

- Cubo perfecto de Tetranomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que: (a+b)3 = 3 a2b + 3 ab2 +b3 (a-b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a2b – b3

CASO X

Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³Suma de Cubos:============a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)Se resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ][ - ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ] Diferencia de Cubos:==============a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)Se resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ][ + ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]

¿PARA QUE SIRVE EL MICROSOFT EXCEL?

Excel es un programa diseñado por la empresa Microsoft, destinado a la creación, modificación y manejo de hojas de cálculo. Se trata de un programa diseñado para trabajos de oficina, en especial en lo tocante al ámbito de la administración y contaduría, aunque gracias a la gran gama de funciones y herramientas que posee, es útil para muchos otros campos, como la creación de ciertas bases de datos, y demás.

Se trata de un programa que cuenta con funciones para el procesamiento de texto y diversas herramientas matemáticas y de gráficas, para trabajos de contaduría y administración, con los que se pueden llevar a cabo registros detallados de diversas informaciones, en una forma ordenada gracias al sistema de casillas con que cuenta.

Este programa posee como antecedente directo, a las hojas de cálculo de nombre Multiplan, en la década de los años 80s, surgiendo varias versiones que fueron evolucionando hasta la actualidad, agregando nuevas herramientas y capacidades que permiten realizar el trabajo de forma más eficiente. El nombre de Excel se utilizó tanto para las versiones para sistemas Macintosh y Windows simultáneamente, pero por problemas de derechos de autor, en el año de 1993, este programa cambió su nombre, especificándolo de esta manera “Microsoft Excel”, aunque actualmente por ser la hoja de cálculo más extendida entre los usuarios, se le denomina simplemente como Excel.

Hoja de cálculo de excel