CAUCHY-LIPSCHITZ

En las matemáticas , específicamente en el análisis , el teorema de 

Cauchy-Lipschitz dice (o Picard-Lindelöf en Inglés) se refiere a las soluciones de una ecuación diferencial . Bajo ciertos supuestos de regularidad la función que define la ecuación, el teorema garantiza la unicidad de una solución para una condición inicial llamado Cauchy y la existencia de una solución maximal .

Ciertas leyes físicas, tales como el principio fundamental de la dinámica , dan lugar a las ecuaciones diferenciales que satisfacen las hipótesis del teorema. A continuación, proporciona el carácter determinista mecanismo descrito por la ley. El determinismo no siempre se traduce en la posibilidad de predicción, la teoría del caos demuestra la existencia de posibles fenómenos incidentales .

Según los autores, el teorema de Cauchy-Lipschitz se expresa de una manera más o menos fuerte. En una forma más desarrollada, este teorema asegura que la solución varía de forma continua si se cambia la condición inicial, y es la misma si la función que define la ecuación depende de forma continua en un parámetro. Si la ecuación se define por una función de clase C p, la solución es de la clase C p + 1 . Este teorema se puede generalizar aún más al caso en que la ecuación diferencial ya no es con valores en un espacio de vector, pero en una variedad diferencial .

Una primera versión se demuestra por Augustin-Louis Cauchy en la primera mitad DEL siglo XIX, el uso de una técnica de aproximación descubierto por Leonhard Euler en el siglo anterior. Rudolf Lipschitz declaración generalizada ampliando un poco de clase ecuaciones correspondientes. El teorema sigue siendo sólo una consecuencia de ser locales . Este es el final de este siglo que las técnicas han demostrado , y la declaración del teorema, se cambió profundamente. Siguiendo el trabajo de Lázaro Fuchs , los matemáticos Émile Picard , Paul Painlevé y Henri Poincaré desarrolló una versión moderna del análisis de las ecuaciones diferenciales. Esta visión ayuda a proporcionar algunas respuestas en las soluciones de máximos, la singularidad y la regularidad de la solución. Una versión relativamente moderna fue publicada en 1894 por Ernst Lindelof . El teorema muestra ahora generalmente utilizando un teorema de punto fijo y el enfoque topológico , clásico análisis funcional .

Cauchy desarrolló una primera versión del teorema del artículo.

DECLARACIONES

Las gráficas de las funciones de las tendencias poblacionales de las ecuaciones de Lotka-Volterra forman

una partición de R + 2.

En el resto del artículo, E es un espacio de Banach , Ω un abierto de R × E y f es una función continua de E en Ω. El objetivo es estudiar la ecuación diferencial de primer orden siguiente:

con la condición de Cauchy C: x (t 0) = x 0, donde el par (t 0, x 0) es un elemento de Ω. (Es sólo se ocupa de las ecuaciones diferenciales de orden 1, ya las de orden n llevar allí .)

Hay varias maneras de expresar el teorema de Cauchy-Lipschitz, que sigue:

Si la función f es localmente Lipschitz con relación a la segunda variable , y

no es una solución máxima a la ecuación (1)respetando la condición de

Cauchy C. Su definición es intervalo abierto .

Se desprende de este teorema el siguiente corolario :

En las mismas condiciones que el teorema, cualquier solución de la

ecuación diferencial (1) respetando la condición y C definida en un intervalo

es una restricción de la solución máxima.

Gráficos de soluciones máximas forman una partición de Ω.

Si f es una función de la clase C p , las soluciones son C 1 + p.

Cuando Ω es un producto abierto E × I, donde I es un intervalo abierto de R, el Teorema de Cauchy-Lipschitz mundial complementa:

Si f es Lipschitz con relación a la segunda variable (localmente a partir de

sólo la primera), a continuación, toda la solución es máximo global (es

decir, se establece en cualquier número entero I).

El teorema de Cauchy-Lipschitz expresión también se utiliza para referirse a otros resultados más avanzadas. Es posible considerar no sólo la solución sino también la función s que el par (x, t) asociada con la imagen de T por la solución igual a x en un tiempo t 0 función inicial. Obtenemos una función llamada flujo . Si la funciónf es de clase C p, el flujo es demasiado. También es posible estudiar la regularidad de soluciones si la función f depende de un parámetro.

Otros resultados, que no llevan el nombre de Cauchy-Lipschitz teorema se presentan en el siguiente párrafo: Las generalizaciones .

Enfoque intuitivo 

La idea detrás del teorema es la siguiente: Algunas ecuaciones diferenciales

tienen soluciones estacionarias. Por ejemplo, la ecuación   tiene la

solución estacionaria   para la condición inicial   . Por otra

condición inicial   La solución estacionaria se alcanza después de un tiempo infinito, y la solución es única. Sin embargo, si la solución estacionaria se puede llegar en un tiempo finito, la singularidad es violada. Por ejemplo, considere la ecuación

Para la condición inicial   , Tenemos la solución   o solución

Cabe señalar que la función   tiene una pendiente infinita   y no cumple con la condición de continuidad Lipschitz. La condición de continuidad Lipschitz elimina este tipo de ecuaciones diferenciales.

Determinismo y caos

Henri Poincaré mostró que la naturaleza determinista de una ecuación

diferencial que satisface el teorema de Cauchy-Lipschitz no impide la

incapacidad de algunas predicciones.

Para el matemático Vladimir Arnold "Las ecuaciones diferenciales son la columna vertebral de la concepción científica del mundo" . En física, ecuaciones diferenciales satisfacer una hipótesis muy generales del teorema de la sección , por lo que es la que rige la ley de la gravitación universal y la interacción electromagnética . Estas ecuaciones son intrínsecamente determinista y esto es una consecuencia del teorema de Cauchy-Lipschitz . El determinismo, es decir la capacidad de la física para predecir, por ejemplo, la trayectoria de los planetas, se conocía mucho antes de que el teorema. La famosa cita de Voltaire atestigua: "Pero al ver el orden, artificio leyes mecánicas y geométricas prodigiosas que prevalecen en el mundo [...] Estoy lleno de admiración y respeto . ". Dedujo que "El caos es precisamente lo contrario de todas las leyes de la naturaleza" . Curiosamente, los análisis detallados de fines DEL siglo XIX demuestran la relevancia de la naturaleza determinista de las leyes físicas y sin embargo, reducen la idea de Voltaire en el estado de sueño.

Trabajos matemáticos de este periodo muestran en realidad esa trayectoria, siguiendo una ley física de esta naturaleza es única y completamente determinado. Por el contrario, los estudios de Poincaré sobre la estabilidad del sistema solar destacan la falta de motivación. El matemático dice:

"Una muy pequeña causa, que se nos escapa, determina un riesgo considerable de que no podemos no ver, y luego nos dicen que este efecto es debido al efecto de la casualidad. Si supiéramos exactamente las leyes de la naturaleza y la situación del universo en el momento inicial, podríamos predecir con exactitud la situación de ese mismo universo en un momento posterior. Pero, aun cuando las leyes naturales no tendrían secretos para nosotros, no podríamos conocer la situación aproximadamente. Si bien esto nos permite predecir la situación futura con la misma aproximación, que es todo lo que se necesita decir que se esperaba que el fenómeno, que se rige por las leyes; pero no siempre es así, puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales producen muy grande en los fenómenos finales; un pequeño error en la primera producción de un gran error en el pasado. Predicción vuelve imposible, y tenemos el fenómeno fortuito. "

El Cauchy-Lipschitz indica claramente una predicción perfecta es posible, pero sólo con sujeción a saber perfectamente la condición inicial. Algunos sistemas dinámicos son rápidamente motivo imprevisible indicado por la Poincaré. El término se utiliza ahora el caos para describir esta situación. No sucede constantemente, la de Poincaré-Bendixson especifica un contexto en el que no puede tener lugar, pero los supuestos son restrictivos y el resultado puede ser generalizado .

Vocabulario 

Varios términos no son necesariamente intuitiva, este apartado establece las definiciones.

Ecuaciones diferenciales genéricos Vocabulario

Algunos del vocabulario utilizado para expresar el teorema es genérica a las ecuaciones diferenciales o funcional . El término espacio de Banach denota un espacio vectorial normado y completa , es decir, para la métrica asociada con la norma, cualquier secuencia de Cauchy converge . Un ejemplo sencillo es un espacio vectorial real de dimensión finita de normado . Para facilitar la comprensión, el lector puede imaginar que E denota el conjunto de los números reales . En el artículo, todos los espacios de Banach se consideran espacios reales.

Una solución de la ecuación se refiere a veces utilizando la siguiente expresión, tal como se encuentra comúnmente en la literatura sobre la desigualdad de Cauchy-Lipschitz:

Una curva integral de la ecuación (1) es una función de un intervalo

de R E en el gráfico de la que se incluye en Ω y que es la solución de

la ecuación (1).

Ecuación diferencial autónoma de primer orden 

Hay un caso especial, donde la función f está definida en un correo abierto y no en un abierto de R × E. La ecuación (1) se escribe a continuación

Ω denota una E abierta y la ecuación se llama autónoma . Este caso particular se estudia para demostraciones.

Vocabulario específico 

Otros términos se utilizan más específicamente en el contexto de la desigualdad de Cauchy-Lipschitz. La ecuación diferencial (1) generalmente tiene varias soluciones. Por esta razón, una condición específica se puede añadir:

Una condición de Cauchy C es un par (t 0, x 0) elemento de Ω. Una

función S define en un rango de valores de R y E en la solución de la

ecuación (1) satisface la condición de si el intervalo de

definición de Cauchy C contiene T S 0 y s (t 0) = x 0.

Nota: En lugar de la condición de Cauchy plazo, a veces se llama condición inicial . Los dos términos son sinónimos.

Resolver el problema de Cauchy es encontrar una solución de la ecuación (1) que satisface la condición de Cauchy C. Esta definición es algo intuitivo. Si los modelos de ecuaciones diferencial de una corriente que fluye a través de un cuerpo de agua, es decir, en el instante t en el punto x y la corriente es igual a f (t, p),es posible pedir de agua en un tapón en el tiempo t0 en el punto x0, la trayectoria del tapón es la solución de la ecuación. Existe una solución para cada par (t0, x0)

.

Una condición de Cauchy no es suficiente para hacer que la solución única. Consideremos el conjunto S de las soluciones de la ecuación (1)

definidas en un intervalo. Este conjunto está provisto de una relación de orden (parcial). Una solución de S s 1 es más pequeña que la solución de S 2 2 s cuando s es una extensión de1 s.

Una curva S integral es máximo si dicho máximo para que la

relación anterior, es decir que no se puede extender en una

estrictamente definida en un intervalo de solución mayor.

El uso de una u otra forma del axioma de elección , mostramos que cualquier solución en S está limitada por una solución de máxima (de) . Esto asegura la existencia de una solución maximal al problema de Cauchy, y la equivalencia entre la singularidad y la propiedad no es sólo el máximo en S pero máxima entre las soluciones de S que satisfacen la condición inicial. El artículo sobre la Cauchy-Peano-Arzela da ejemplos que muestran que la singularidad no está generalmente garantizada. Que los supuestos del teorema se cumplen, la función f debe también poseer una propiedad de la regularidad:

La función f se dice localmente Lipschitz en comparación a si la

segunda variable de , para todos (t 0, x 0) de Ω, existe una

constante k ≥ 0 y un barrio de (t 0, x 0) en Ω de la forma U × V tal que

para todo t U, el mapa f (t, ∙) es K-Lipschitz en V, es decir:

Cuando Ω abierto es un producto de I × V, donde I es un intervalo abierto de R y V una E abierta, una solución de (1) se llama global si se establece en un número entero I. Una solución integral obviamente máximo. Una hipótesis adicional asegura recíproco:

La función f se llama de Lipschitz con respecto a la segunda variable

si existe una función continua K: I → R + tal que para todo t en I,

F (t, ∙) es K (t)-Lipschitz en V.

Ejemplos y usos 

Campo Constant 

En este ejemplo E es igual a la verdadera plano R2. La ecuación diferencial es autónoma, que se puede escribir como x '= f (x) donde f es la función constante de valor v el vector de coordenadas (1, 0) = Ω en] -3, 3 [2. El dominio de f es representado por el cuadrado azul a la figura de la derecha. Un método de representación de la función f es dibujar los vectores f (x), donde x es un punto en el campo, mediante la colocación de su origen en el punto x.

Soluciones que satisfacen la condición de Cauchy (0, x0) que se desea, aquí son las coordenadas x de 0 (-2, 2). S es una solución de la forma:

La solución no puede salir de la Ω campo, por lo tanto, la variable t toma valores en necesariamente (-1, 5 ). La función f es continua y  K-Lipschitz en x, en este caso particular, k = 0. Teorema de Cauchy-Lipschitz asegura que hay una curva integral única que satisface una condición de Cauchy precisa, como aquí que propuesta por el par (0, x 0). La gráfica de esta solución se muestra en verde en la figura.

Ecuación lineal 

El teorema de Cauchy-Lipschitz mundial aplica un problema de Cauchy asociado a una ecuación diferencial lineal tiene una solución global, que es cualquier otra restricción solución.

Estudio de una curva integral 

Gráfica de la función logística

El teorema de Cauchy-Lipschitz puede ser visto como una herramienta para el estudio de una curva integral. Ilustra con un ejemplo de una función logística se define por el siguiente problema de Cauchy:

La ecuación diferencial también se puede escribir x '= f (x) con 

f (x) = x (1 - x). La función f es una función polinómica de grado 2 ceros 0 y 1 y entre sus positivos raíces . El teorema de Cauchy-Lipschitz aplica porque f es continuamente diferenciable tan localmente Lipschitz: para cualquier condición inicial, el problema de Cauchy tiene una solución única máxima. En particular, cualquier solución de la ecuación diferencial que toma el valor 0 o 1 es siempre igual al valor en el intervalo de definición.

S la solución maximal del problema de Cauchy arriba y] a, b [su intervalo de definición (con - ∞ ≤ a <0 <b ≤ + ∞). De acuerdo con el teorema de valor intermedio , s (] a, b [) es un intervalo. Contiene s (0) = 1/2 a continuación, de acuerdo con la observación anterior, contiene 0 o 1, por lo que está incluido en

( 0, 1 ).

El hecho de que s toma valores entre 0 y 1 indica que la derivada es positiva. El s aplicación es estrictamente creciente en] a, b [. Así pues, tiene un límite en b c izquierda ∈ [1/2, 1] y su derivado está limitado por c (1 - c), lo que demuestra que b = + ∞ (de lo contrario, podría extenderse en una solución definida en] a, b], lo que contradice la maximalidad de s). Desde s es limitada, el único valor posible + ∞ limitar su derivada es 0, lo que indica que c = 1 El mismo razonamiento muestra que a = -. ∞ (El dominio de definición de s es igual a R) el límite de s en - ∞ de 0

Por último, se observa que la función que asocia a la t 1 - s (- t) es la solución del problema de Cauchy aun así es igual a s, lo que significa que la función de s - 1/2 es impar. La ecuación muestra que la abscisa es 0 el único punto de inflexión de la curva y que el derivado de s es igual a 0 a 1/4, estableciendo de ese modo el gráfico que se muestra a la derecha.

En el caso del ejemplo, se puede resolver la ecuación diferencial y los métodos convencionales utilizados para el estudio de la curva integral, pero esto no siempre es posible. Una ecuación diferencial no necesariamente está hablando de soluciones en forma de una expresión algebraica construida con funciones básicas.

POINCARÉ-BENDIXSON 

En el plan, una ecuación diferencial auto-de primer orden converge a un punto

o un ciclo límite, como el ejemplo que se muestra aquí.

El uso de Cauchy-Lipschitz no se limita a la práctica la resolución de ecuaciones. También sirve como una herramienta teórica, por ejemplo, para

comprender mejor el comportamiento cuantitativo de una ecuación diferencial. Podemos considerar el caso de una ecuación diferencial autónoma en p R 2 que tiene una solución periódica. La curva integral es un simple bucle , es decir que su gráfica forman un bucle sin doble punto. Que ahora una condición de Cauchy correspondiente a un punto C en el bucle. El teorema de Cauchy-Lipschitz indica que la curva integral maximal de cheques C s nunca puede cruzar el bucle, si la función f que define la ecuación es localmente Lipschitz. La curva de sestá limitada y si se supone que el dominio de f contiene dentro del bucle, la curva nunca es demasiado lo hizo acercarse a la orilla del campo. Esto es suficiente para demostrar que el dominio de definición de R s es el todo.

El Poincaré-Bendixson permite ir más allá. Indica que la curva de s es o convergentes o comportamiento se acerca más de una función periódica. Esta configuración impide que la teoría del caos .

El uso que se hace por el teorema nos permite entender cualitativamente el comportamiento de una curva integral. Para estudiar la ecuación diferencial más complejo, por ejemplo, ciertos sistemas dinámicos , este enfoque es esencial. Hay de hecho ya no siempre es posible resolver explícitamente la ecuación, o incluso para aproximar la solución durante largos períodos de tiempo.

Fragmentos de la historia 

Orígenes 

Después de estudiar muchos casos especiales, Euler estudió en su forma

general, la ecuación diferencial de primer orden.

El origen de la cuestión abordada por el teorema es antigua, originalmente fue llamado el "problema inverso de tangentes" .En cada punto en el espacio, una línea está asociado, el problema a ser resuelto es encontrar la curva que tiene como tangente en cada punto, una de estas líneas, que corresponde a un término en la ecuación moderna auto diferencial de la forma x '= f (x). Kepler es un iniciador de esta cuestión [ref. pobres] en un estudio sobre la capacidad de un barril de vino en 1615 . Si este problema se soluciona

matemáticos como Descartes , Fermat y Roberval , que desarrollan este enfoque en casos concretos, durante el siglo XVII, el paso esencial es la obra de Newton y Leibniz con el descubrimiento del cálculo infinitesimal . El enfoque de Newton es obtener un resultado con una serie , Leibnitz también buscar soluciones exactas en forma de primitivas funciones conocidas .

El próximo siglo es el objeto de estudio sistemático. Al principio "El ingenio se ha gastado para reducir a cuadraturas innumerables ecuaciones especiales y diferenciadas según lo escrito por Paul Painlevé : Onda detuvo cuando lo único que se integra en los problemas naturales se integró . " . Euler en 1768 estudió la manera de aproximarse a una solución .Estudió el caso especial x '(t) = f (t) y busca una solución en un intervalo [a, b]. Para ello, se divide el intervalo utilizando unasecuencia a = a 0, a 1, ..., a n y b =, si c es miembro del intervalo [a i, a i + 1], propuso la siguiente aproximación:

En el caso más general de la ecuación x '(t) = f (t, x (t)), utilizar el mismo método, lo que da:

Euler no se plantea la cuestión de la convergencia si el corte es cada vez más extremo.

Las contribuciones de Cauchy y Lipschitz   

Rudolf Lipschitz generaliza el resultado de Cauchy .

Augustin Louis Cauchy ( 1789 - 1857 ) estableció los primeros resultados generales. Al principio, él dice que su método: "En mis conferencias impartidas en la Escuela Politécnica, como en la mayoría de los libros o artículos que he publicado en el cálculo integral, que pensé que debería invertir este orden y colocar en En primer lugar la investigación, y no integrales generales, pero en particular; asegurar que la determinación de las constantes o funciones

arbitrarias [para la ecuación diferencial parcial ] ya no se separó de las integrales de búsqueda . "¿Qué enfoque Cauchy describe aquí se formaliza por el problema de Cauchy.

El uso de la formalización del concepto de límite en Bolzano , su enfoque le permite ir más allá. La pregunta x '= f (x) en el intervalo [a, b], si le añadimos Cauchy condición x (a) = x 0, cambia su naturaleza. Ya no está buscando un f primitivo, pero el cálculo de una integral. Se muestra que, con la notación del párrafo anterior, si una i 1 - una i tiende a 0 y si f es continua, la aproximación converge. Este enfoque se aplica a la ecuación x '(t) = f (t, x (t)) donde f y su diferencial, se limita y continua, con las mismas condiciones, todavía obtener una convergencia. Esta es la primera versión del teorema del artículo. En 1835, su método se generaliza a las funciones holomorfas .

Rudolf Lipschitz ( un mil ochocientos treinta y dos - mil novecientos tres ) muestra la misma dirección que su predecesor Cauchy, sin saber con claridad el contenido de su obra. Sólo implica que f tiene un diferencial continuo y limitado sólo si cumple la condición de que ahora lleva su nombre. Cauchy usó en su demostración misma propiedad original, pero dedujo usando uno de sus descubrimientos, él particularmente encariñado con el teorema , .

Formalismo moderno 

EL final del siglo XIX FUE TESTIGO DE un cambio profundo en el teorema, como en la forma de demostrar que en el enriquecimiento de sus contenidos necesarios para comprender mejor la ecuación diferencial.

Siguiendo el trabajo de Fuchs , los objetivos se vuelven más ambiciosos. Paul Painlevé y Émile Picard interesado en el caso general de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden y por lo tanto sus singularidades , . Objetivos "de Henri Poincaré son más generales, como resultado de un estudio sobre la estabilidad del sistema solar, que tiene por objeto establecer una teoría general que se denominará Sistema Dinámico . Dada la imposibilidad de establecer soluciones explícitas, Poincaré fundó la base para una teoría cualitativa . Los objetivos son, en primer lugar, el estudio de las singularidades y el comportamiento asintótico (es decir, el estudio de la conducta una vez que el sistema estabilizado) y la sensibilidad a las condiciones iniciales.

Para alcanzar estos nuevos objetivos, formulación o Cauchy Lipschitz teorema se vuelve insuficiente. Ahora queremos elementos globales de respuesta en las curvas integrales y no sólo un resultado local. Las preguntas sobre la regularidad de la solución se vuelven esenciales. Finalmente, se busca determinar la naturaleza de la modificación de la curva integral como una función de un cambio en la condición inicial o el parámetro de la ecuación . Los métodos para lograr este enfoque radicalmente diferente, que estudió el límite de Cauchy de la función poligonal ideado por el comportamiento de Euler. Se acercan el análisis funcional, el contexto del estudio es ahora un espacio funcional con propiedades geométricas. Teorema de la fuente de la prueba es que el punto fijo , su forma original es obra de Picard , este teorema se ve ahora como una propiedad general de espacios vectoriales individuales, formalizada por Stefan Banach . Su aplicación al teorema del artículo es el trabajo del matemático finlandés Ernst Lindelöf en 1894. Por esta razón, el

teorema lleva el nombre de Francia Cauchy Lipschitz y toma el nombre en el idioma Inglés Picard-Lindelöf teorema .

Las generalizaciones 

Hay muchas generalizaciones del Cauchy-Lipschitz. Las técnicas utilizadas para permitir la manifestación de ir más allá en el análisis de las soluciones de una ecuación diferencial. Un rápido análisis muestra que una solución es continuamente diferenciable, pero nada muestra lo que ocurre si la función f es regular. Se muestra que si f es de clase C p, las soluciones máximas son demasiado. La rama de las matemáticas que estudian un sistema dinámico a dos preguntas fundamentales: ¿cuál es el comportamiento de una curva integral si t se aproxima a los límites del dominio de definición? ¿Y cuál es la sensibilidad a las condiciones iniciales? es decir lo que sucederá si x 0 sufre un pequeño cambio.

Por último, el artículo se supone que E es un espacio de Banach , que no es el único caso estudiado. En algunas situaciones es útil considerar E como un colector de diferencial . Teoremas transponer fácilmente en este nuevo mundo .

Flujo 

Para estudiar la sensibilidad inicial, se estudia el flujo que permite afirmar una

versión más fuerte del teorema del artículo.

Uno de los objetivos del estudio de los sistemas dinámicos es la sensibilidad a la condición de Cauchy. El vocabulario y la representación geométrica es algo diferente de lo que se ha utilizado hasta ahora.Para entender el origen, la forma más fácil es imaginar que Ω es un agua y R representa el tiempo. El agua se agita por una corriente, representado por la función f , llamado el campo vectorial . En dimensión 2 muestra el campo vectorial mediante la asociación de ciertos puntos x de E una representación gráfica de los vectores f ( x ) (si el campo vectorial no depende del tiempo t ), la imagen de la figura de la derecha . Una curva integral que satisface la condición de Cauchy C puede ser imaginado como el camino de un tapón colocado en el agua en el tiempo t 0 a la posición x 0 . Para de repente todas las soluciones de la ecuación diferencial,

es suficiente conocer el movimiento de la superficie del agua, llamado flujo , de fundición o de corriente 34 .

Con este concepto, el de Cauchy-Lipschitz toma una nueva forma:

Si f es continua y localmente Lipschitz de la segunda variable, el flujo es continuamente diferenciable con respecto a la primera variable y de Lipschitz localmente con relación a la segunda.

Es posible ir más lejos, si f es más regular.

Si f es de clase C p , el flujo es demasiado.

Esta forma del teorema es más fuerte que el anterior. Se muestra la regularidad de las soluciones bajo la acción de una pequeña modificación de la condición de Cauchy. Esta declaración garantiza la ausencia de algún tipo de caos . Las bifurcaciones son imposibles, ya condición de que t no crece demasiado, las trayectorias permanecen cerca si la condición de Cauchy se modifica ligeramente. Sin embargo, si el campo vectorial evoluciona con el tiempo o si E es de dimensión estrictamente mayor que dos, otra forma de caos puede asentarse.

Las formas precisas de teoremas y demostraciones se dan en el artículo detallado.

Cauchy-Peano-Arzela 

Una bola que rueda sobre un medio cilindro.

Al final de la XIX ª siglo, Giuseppe Peano , un matemático italiano, especula sobre las posibles generalizaciones del teorema de Cauchy-Lipschitz bajo supuestos débiles 35 : ¿qué pasará si la función f que define el La ecuación (1), pero todavía sigue no es localmente Lipschitz-con relación a la segunda variable de?

Una ubicación física correspondiente a este caso es una bola que rueda sobre el borde de fricción sin un techo de V invertida de las ramas de pendiente constante. Nota x de coordenadas de la dirección transversal (perpendicular a la cresta) y no de la coordenada longitudinal (paralelo al borde). Mediante la aplicación de las leyes de la mecánica, se obtiene una ecuación diferencial autónoma de primer orden en R 2 , si tenemos en cuenta sólo las soluciones que se inclinan hacia los valores positivos de x :

Si t 0 es un real positivo, todas estas soluciones satisfacen la ecuación anterior, la misma condición de Cauchy, a saber, que el sólido es en el tiempo 0, en la posición (0,0):

Otros ejemplos se dan en el artículo detallado.

Aquí, tomamos nota de que si la singularidad ya no es válido, permanece verdadero. Más en general, si la función f en la ecuación (1) está limitada y continua, si Ees de tamaño finito, se garantiza la existencia de una solución. Este resultado se llama Cauchy-Peano-Arzela .

Cuando se asocia criterio de singularidad "de Osgood (en) 36 , obtenemos la misma conclusión que Cauchy-Lipschitz bajo supuestos débiles.

Extensión a las PDE 

La generalización del teorema para ecuaciones diferenciales parciales asume supuestos más fuertes para los ingresos más bajos. La función f que define la ecuación debe ser analítico , así como condiciones de contorno que sustituyen a la desigualdad de Cauchy. No se proporciona información en el caso de un cambio en las condiciones de límite o parámetro. Este teorema se llama: Cauchy-Kowalevski .

Demostraciones 

Preámbulo 

La secuencia ( u n ) converge uniformemente que contiene un intervalo

[-5 / 2, 5/2]. El límite se muestra en rojo.

Para entender el mecanismo de la evidencia, ilustrarlo en un caso especial de la ecuación diferencial que define la curva logística , con la condición de Cauchy C :

Se define una secuencia de funciones polinómicas ( u n ) por inducción:

En el intervalo [-5 / 2, 5/2], la secuencia ( u n ) converge uniformemente . El límite es un punto de la función φ en el que una función continua fija f [-5 / 2, 5/2] en R φ combina la función f :

Reiterando el mismo método, se obtiene finalmente una solución de máxima.

Diferenciando la igualdad φ U = U , comprobamos que u es una solución de la ecuación diferencial y estudiado por la construcción u (0) = 1/2. Este es el enfoque de la prueba de Lindelöf . Señaló que si se selecciona el intervalo, la función φ satisface la condición de Lipschitz con una estrictamente menor que 1, se está contrayendo, lo que permite utilizar el coeficiente teorema del punto fijo . Como una aplicación de Contratación admite un único punto fijo, la singularidad de una solución local se demuestra.

Este método le permite encontrar localmente una solución. Sin embargo, para el valor 3, la secuencia ( u n ) diverge. Sin embargo, nada nos impide repetir el mismo proceso con las dos condiciones de Cauchy (5/2, u(5/2)) y (-5 / 2, u (-5 / 2)), se hace posible extender la solución. De izquierda a repetir el proceso infinito de veces, se obtiene finalmente una solución de máxima.

La ventaja de este enfoque es principalmente teórica. En el caso particular del ejemplo, que es fácil de integrar directamente la ecuación diferencial. En el caso general, hay maneras más rápidas de obtener una aproximación de la solución, como el Euler describe en "Fragmentos de la historia" parte o la Runge-Kutta . Sin embargo, es posible demostrar en el marco general del teorema de la sección una función integrada de la misma manera que φ está contrayendo , lo que demuestra la existencia y unicidad de una solución de punto fijo la ecuación diferencial. Este enfoque, característica del análisis funcional , se utiliza para demostrar un fuerte que había demostrado resultado de Cauchy.

Local solución de una ecuación diferencial autónoma 

En lugar de abordar directamente el caso general, es más fácil tener en cuenta sólo una ecuación diferencial autónoma sin parámetros 37 . Más formulaciones generales del teorema se pueden deducir de este caso particular.En este párrafo, la función f no depende de la variable t , en otras palabras, la ecuación (1) se puede escribir: x ' ( t ) = f ( x ( t )) Ω y medios de mantenimiento de una abierta E . Si s ( t ) es una solución, tomamos nota de que la aplicación a t asocia s ( t + t 0 ) es también una solución, si t 0 es cualquier número real. Por esta razón podemos y sin pérdida de generalidad suponer que t 0 = 0, lo que equivale a elegir la condición de Cauchy C : x (0) = x 0 .

El objetivo de esta sección es mostrar que la ecuación (1) admite una solución única a nivel local que satisface la condición de Cauchy C . Supongamos que f es localmente Lipschitz. Desde Ω está abierto, hay una estricta real positiva de un tal que la bola , que se denota B , centro cerrado x 0 y el

radio tiene que ser incluido en Ω y tal que la restricción a la bola de la función f es k -Lipschitz para algunos k . O soy un límite superior finito de la norma de f sobre B (hay porque f es k -Lipschitz en B ). Por último, dejar que b estrictamente positivo, lo suficientemente pequeño que bm ≤ a y bk <1 Esta realidad. b se utiliza para definir un espacio F de las funciones en la que se construye una aplicación Φ satisface el teorema del punto fijo :

F es el espacio de aplicaciones continuas de [- b , b ]

en B , con la norma de la convergencia

uniforme. Es completo porque B es

Φ es la aplicación que cualquier función U de F combina

la función Φ U definida por:

Se necesitan dos lemas para aplicar el teorema del punto fijo:

Lema 1 - El Φ función toma valores en F .

Una aplicación se dice Contratante cuando α-Lipschitz con estrictamente menor que α 1.

Lema 2 - El Φ es contractiva.

Los supuestos del teorema del punto fijo están satisfechos, se deduce que Φ tiene un único punto fijo s en F . Tomando nota de que la función asociada a τ f ( s (τ)) es continua, se sigue que s es una aplicación diferenciable con continuidad y derivada igual a f ( s (τ)). Diferenciando la igualdad definiendo Φ s , deducimos la existencia y unicidad de una función F que satisface:

Se demuestra, así como para todos los ε [0, b ], existe en [-ε, 0] y [0, ε], una solución única con valores en B del problema de Cauchy. Por último, para demostrar la izquierda singularidad local y derecho, queda por demostrar el siguiente lema:

Lema 3 - Para cualquier ε [0, b ], una solución en [-ε, 0] o [0, ε] del problema de Cauchy es necesariamente con valores en B .

Todo esto se resume en una primera teorema:

Teorema - Hay en [- b , b ] una solución del problema de Cauchy que consiste en la ecuación (1) y la condición inicial C , y cualquier solución en un sub-intervalo (que contiene 0) es una restricción.

Si f es de clase C p , entonces el derivado de s se compone de dos aplicaciones diferenciables y es diferenciable. Poco a poco, se deduce que la derivada de s es diferenciable p veces diferenciable como que consta de dos aplicaciones por vez. Esto demuestra que s es de clase C p .

Un método práctico para encontrar el punto fijo es la construcción de una sucesión ( u n ) que satisface la relación de recurrencia: u n 1 = Φ una , resultado necesariamente convergen al punto fijo. Esta técnica se utiliza en el preámbulo.

Demostración de tres lemas 38

Solución máxima de una ecuación diferencial autónoma 

Con la excepción de la unicidad de la solución local, el párrafo anterior se resumen los resultados que se muestran en el momento de Cauchy Nota 10 . No ofrece ninguna información sobre la existencia o la singularidad de una solución que satisface la máxima Cauchy condición C . Estos resultados más adelante, se resumen en la siguiente proposición y el teorema 39 , respectivamente demostrado por la existencia y la unicidad del teorema local de arriba, si f es autónomo:

Movimiento - El intervalo de la definición de una solución máximo de la ecuación (1) es abierto.

Teorema - No existe una solución única máxima del problema de Cauchy que consiste en la ecuación (1) y la condición C .

En otras palabras, ( cf. § "vocabulario específico" ), este problema no sólo ha máximo, pero máximo solución, es decir que cualquier solución definida en un intervalo es una restricción. Más aquí, gracias a la singularidad local, podemos reprender directamente barato que cualquier solución tiene una solución de máxima extensión.

Demostraciones

Ecuación diferencial no-autónomo 

El uso de un conjunto de escritura 40 , es posible generalizar el caso anterior las ecuaciones dependientes del tiempo particulares. La ecuación (1) del teorema, junto con la condición de Cauchy es ahora considerado C . Deje g , la función Ω en el espacio de Banach R × E definido por:

Si y 0 es el punto de Ω igual a ( t 0 , x 0 ), consideramos la ecuación diferencial y la siguiente condición de Cauchy:

La función g es localmente Lipschitz cuando f es. De hecho, ║ g ( y 1 ) - g ( y 2 ) = ║ ║ f ( y 1 ) - f ( y 2 ) ║.

Sin embargo, el teorema general no se puede deducir de inmediato a partir de la observación, porque su declaración no implica que f es localmente Lipschitz, sólo que f es continua y localmente Lipschitz con respecto a la segunda variable 41 . De hecho, para darse cuenta de que estos presupuestos son suficientes, basta con señalar que el carácter Lipschitz interviene sólo dos lugares en la prueba.

En primer lugar, es necesario que la imagen g bola B se incrementa. Nótese en primer lugar, con la indicación de los párrafos anteriores, la función [ t 0 - b , t 0 + b ]en R + que en t asociado ║ f ( t 0 , x 0 ) - f ( t , x 0 ) ║ es continua y definida en un compacto , por lo que aumentó. Que m 1 como límite superior. Vamos a demostrar que g es acotada en B . Deje y igual a ( t , x ) desde el punto B :

Tenemos así una cota superior de la norma de g ( y ) independientemente de y si no es un elemento de B .

El segundo lugar de la manifestación en la que aparece el personaje Lipschitz es la que prueba que la función φ (ahora se define mediante la función g ) se está contrayendo. Esta vez, F es el conjunto de funciones u 1 , de [ t 0 - b , t 0 + b ] en B , que en t asociado ( t , u ( t) ) donde u es una función con valores de E . Los mismos cálculos muestran que F es estable por φ y φ se está contrayendo. Para demostrar que φ es contractiva, seguimos considerando dos funciones u 1 y v 1 enF :

Soluciones de máxima y soluciones globales 

Se supone aquí que el Ω abierto es de la forma I Información × E , donde me es un intervalo abierto de R . Una solución completa (es decir, ajustado a que en su conjunto) de la ecuación (1) es obviamente máximo, pero lo contrario no es cierto en general, como se muestra en el ejemplo de la ecuación x '= x 2 . Varios teoremas "escape" o "explosión", a veces unida Grönwall lemma , suficientes para dar este tipo de condiciones de reciprocidad, pero la siguiente declaración, que es suficiente, por ejemplo, en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales , se demuestra directamente:

Teorema de Cauchy-Lipschitz global - Si f (ajustado en I Información × E ) se compara con la segunda variable Lipschitz (localmente desde sólo el primero), a continuación, toda la solución de máxima (1) es general.