Cálculo DiferencialUnidad3. La Derivada

Actividad7.Derivacionde funciones implicitas .

Alumno:Damian MunguiaMurillo AL12512348

Calcula la derivada de las siguientes funciones con respecto a x:

a) x2 y2+2 xy=x

y22x+x22 y y '+2 ( y+x y ' )=1

y22x+x22 y y '+2 y+2 x y '=1

y ' (2x2 y+2x )=1−2 x y2−2 y

y '=1−2 x y2−2 y

2 x ² y+2 x

b) ysenx+ yx=3 y

( sen x ) y '+ ycos x+ x y'− yx2

=3 y '

( sen x ) y '+ y (cos x )+ x y'

x2− yx2

=3 y '

y' (sen x+ 1x2 )+ y ¿y' (sen x+ 1x2−3)=− y ¿

y '=[−x2 cosx−1x2 ]

[ x2 senx+1−3 x2x2 ]y '= −x2 cosx+1

x2 senx+1−3 x2

c) y tanx+x cos y=1tan x y '+ y sec ² x+cos y−xsen y y '=0

y '¿

y '=− y se c2 x−cos ytanx−xseny

d)xy

x2− y2=1x

ddxxy= y+x y '

ddxx2− y2=2 x−2 y y '

(x2− y2 ) ( y+ x y ' )− (xy ) (2 x−2 y y ' )(x2− y2 )2

=−1x2

x ² y+x3 y '− y ³−x y2 y '−(2 x2 y−2 x y2 y ')

( x2− y2)2=−1x2

x ² y+x3 y '− y ³−x y2 y '−2 x2 y+2 x y2 y '

(x2− y2 )2=−1x2

x ² y+x3 y '− y ³−x y2 y '−2 x2 y+2 x y2 y '

(x2− y2 )2=−1x2

−x ² y+x3 y '− y ³+x y2 y '

(x2− y2 )2=−1x2

− y ( x2+ y2 )+x y '( x2+ y2)(x2− y2 )2

=−1x2

x y' (x2+ y2 )=−(x¿¿2− y2) ²

x2+ y (x2+ y2 )¿

x y' (x2+ y2 )=−(x2− y2 )2+x2 y (x2+ y2)x2

y '=

−[ (x2− y2 )2+x2 y (x2+ y2)x2 ]

x (x2+ y2 )

y '=(x2− y2 )2+x2 y (x2+ y2)

x3 (x2+ y2 )

e)x+ yx− y

+x=2x2 y2

ddxx+ yx− y

=( x− y ) (1+ y ' )− ( x+ y )(1− y ')

( x− y )2

ddxx=1

ddx2 x2 y2=2 (2 x y2+x22 y y ' )=4 x y2+4 x2 y y '

x+x y '− y− y y'− (x−x y '+ y− y y ' )=x+x y '− y− y y '−x+ x y '− y+ yy '¿2 x y '−2 y

2x y '−2 y( x− y )2

+1=4 x y2+4 x2 y y '

2 x y '−2 y+x ²−2 xy+ y ²=(4 x y2+4 x2 y y ' )(x2−2 xy+ y ²)2 x y '−2 y+x2−2 xy+ y ²=4 x4 y y '−8x3 y2 y '+4 x3 y2+4 x2 y3 y '−8x2 y3+4 x y4

y ' (2x−4 x4 y+8 x3 y2−4 x2 y3 )=4 x3 y2−8 x2 y3−x2+2 xy+4 x y4− y2+2 y

y '=4 x3 y2−8 x2 y3−x2+2 xy+4 x y4− y2+2 y

2 x−4 x4 y+8x3 y2−4 x2 y3

f) xy sen x

( y+x y ' ) (cos ( x ) )( sen x ) ( y '+ y ' ' )+ ( y+x y ' )(cos ( x ))y ' senx+ y ' ' sen x+ ycos x+x y 'cos xy ' (sen x+xcos x )+ y ' ' senx+ ycos x

g)sen xy

=3 ycos y

ddx ( sen xy )= ycosx− y ' senx

y2

ddx3 ycos y=3 y 'cos y−3 y sen y

ycosx− y ' senxy2

=3 y ' cos y−3 y sen y

y cos x− y ' sin x=3 y ² y ' cos y−3 y ³ sin y− y ' sin x−3 y2 y 'cos y=−3 y3 sin y− ycos xy '¿y '=¿

h) e y cos x−e ysen x=ln xy

ddx

¿

ddxe ysenx=e ysenx¿

ddxln xy= y+x y '

xy

e y cos x y '−ey sen x−¿¿¿

y ' e ycos x−e y sen x− y ' eysenx senx− y e ysenxcosx= y+x y'

xy

y ' xy e y cos x−xy e y sen x− y ' xy e ysenx sen x−x y2e ysenxcos x−x y '= y

y '¿

y '= y+xy ey sen x+x y2 eysenx cos xxy ey cos x−xy e ysenx sen x−x