Código : CSH-001-AC CORPORACION EDUCATIVA STEPHEN …€¦ · Tema 11 TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA 1. TRABAJO Si consideramos diversos tipos de trabajos, (carpintero, albañil, labrador

CORPORACION EDUCATIVA STEPHEN HAWKING

Guías de Aprendizaje

Código : CSH-001-AC

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Fecha : 06-06-2018

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Tema 11 TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA

1. TRABAJO

Si consideramos diversos tipos de trabajos, (carpintero, albañil, labrador etc.), vemos que el rasgo común en ellos es la transformación de la materia mediante la aplicación de fuerzas.

El trabajo producido por una fuerza al actuar sobre un cuerpo, será mayor cuanto mayor sea el desplazamiento producido y cuanto mayor sea la fuerza aplicada.

Si para una misma fuerza, el desplazamiento s w

Si para el mismo desplazamiento, la fuerza F w

El trabajo w realizado por una fuerza constante F, cuando actúa sobre un cuerpo y

lo desplaza una distancia s, en su misma dirección y sentido, es igual al producto de la fuerza por el desplazamiento realizado.

Julios (J) N m

En el S. I . su unidad es el Julio (J).

F F

Asignatura: Fisica 11º Docente: Ludwin Leandro Venera Ruiz

Estructura curricular o Programa de Formación:

Valor para complementar: Responsabilidad Duración en horas: 4

Unidad de Aprendizaje :CINEMATICA Teórica:2 Practica :2

Actividades:

1. Lectura de la guía

2. Realización de talleres 3. Evaluaciones y quices

Modalidad(es) de formación: Presencial

w = F · s




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s

Si la dirección de la fuerza forma un ángulo con el desplazamiento, entonces sólo realiza trabajo la componente de la fuerza que coincide con la dirección del desplazamiento, y el trabajo es:

F y F w = F x · s

Fx

Cuando la fuerza que actúa sobre el cuerpo, tiene sentido opuesto al del movimiento de éste, el trabajo realizado es negativo.

El trabajo se puede expresar también como el producto escalar de los vectores fuerza y desplazamiento:

Si representamos gráficamente la fuerza frente al desplazamiento, el trabajo coincide

numéricamente con el área sombrada de la figura:

F(N) Trabajo realizado por una fuerza constante al desplazarse desde s0 hasta s.

w = Área = F · s

0 s0 s s s (m) Si se trata de una fuerza variable, como ocurre por ejemplo con la que ejerce un muelle cuando se deforma, el trabajo coincide numéricamente con el área de la superficie limitada por la función, el eje de abcisas y las ordenadas correspondientes a las posiciones inicial y final.

w = F · s ·

cos

w = rF




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F (N) 0 s0 s En este caso, si conocemos como varía la fuerza en función de la posición, el trabajo se puede calcular mediante un proceso matemático llamado integración, que se verá en un curso posterior. Ejercicio (1): Un cuerpo se desplaza desde el punto A(-2,1) m, hasta el B(4,3) m. Sobre él actúa una fuerza constante F = 3i – 5j N. ¿Qué trabajo realiza la fuerza F en el citado desplazamiento?

Ejercicio (2): Un bloque de masa m = 5 kg es arrastrado sobre una superficie plana y horizontal tirando de él por medio de una cuerda, que ejerce una fuerza F paralela a la superficie de 40 N. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie es

0,5. Calcula el trabajo que realizan las siguientes fuerzas cuando el cuerpo se desplaza 8 m. a) La fuerza peso b) La fuerza F. c) La fuerza de rozamiento. ( Tomar g = 10 m /s2). Ejercicio (3): Calcula el trabajo realizado por un hombre que levanta mediante una polea y con velocidad constante una carga de 50 kg hasta una altura de 18 m. ¿Qué trabajo realiza la fuerza peso? 2. ENERGÍA Ejercicio (4): Poned distintos ejemplos de sistemas (objetos o conjuntos de objetos) que tengan energía y explicad a qué es debido que la tengan. Podemos definir la energía como la capacidad que tiene un sistema para realizar trabajo. Se mide en Julios (J). 2.1. Relación entre trabajo y energía:




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Consideremos un hombre que sube mediante una polea un cuerpo hasta cierta

altura. ¿Podría realizar este proceso indefinidamente?, evidentemente no, pues el hombre consume parte de su energía que deberá reponer mediante la alimentación. En cambio el cuerpo levantado ha adquirido energía pues al caer podría realizar un trabajo. Es decir, el hombre ha perdido una energía al realizar un trabajo, y ésta la ha ganado el cuerpo que el hombre ha levantado.

La energía que el cuerpo adquiere al elevarlo coincide con el trabajo que el hombre realizó sobre el mismo.

Ejemplos como éste nos llevan a decir que la variación de energía que experimenta un sistema es igual al trabajo realizado sobre él por fuerzas exteriores.

Como indica la ecuación anterior, el trabajo será positivo cuando aumente la energía

del sistema y negativo si produce una disminución de la energía del sistema.

2.2. Formas de energía:

Aún cuando a la energía se le suele calificar de diferentes maneras, energía eléctrica, química, solar, nuclear etc, de hecho sólo puede hablarse de dos formas de energía: La energía del movimiento o cinética y la energía que un sistema posee "en potencia" o energía potencial, que está asociada a la posición de sus partículas y a las fuerzas que actúan entre las partículas del sistema. El agua de un embalse antes de empezar a caer tiene energía, en este caso es el sistema formado por el agua y la Tierra el que tiene energía porque dentro de él existen fuerzas de atracción gravitatoria que hacen que una distinta separación , distinta altura del embalse, permita una distinta capacidad para realizar transformaciones. (Energía potencial gravitatoria). Al estirar o comprimir un muelle aparecen fuerzas que varían su energía potencial elástica. Si tenemos dos cuerpos cargados eléctricamente (supongamos que los dos son positivos) se ejercerán una fuerza eléctrica de repulsión que depende de la distancia y por tanto al variar la separación entre ellos variará su capacidad para realizar transformaciones, en este caso su energía potencial eléctrica.

wext = E = E f – E0




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A las fuerzas que son la causa de la energía potencial se las llama fuerzas conservativas, estas son fuerzas internas del sistema y gracias a ellas se puede conservar o almacenar la energía del sistema y nos devuelven el trabajo que se realiza para vencerlas. En el ejemplo del hombre que eleva la carga mediante la polea, el trabajo realizado

por la fuerza peso es igual y de signo contrario al aumento de energía potencial del

sistema.

Las fuerzas conservativas presentan las siguientes características:

1. - Las fuerzas conservativas devuelven íntegramente el trabajo que se realiza para

vencerlas.

2. – Cuando el cuerpo sobre el que actúa una fuerza conservativa se desplaza entre dos posiciones, 1 y 2, el trabajo que realiza dicha fuerza es independiente de la trayectoria que describe el cuerpo, sólo depende de las posiciones final e inicial.

3. – Una fuerza conservativa no realiza trabajo si el cuerpo sobre el que actúa describe una trayectoria cerrada, volviendo a su posición inicial.

4. - El trabajo realizado por las fuerzas conservativas (interiores) de un sistema es igual a la disminución de la energía potencial de éste.

Son fuerzas conservativas: las fuerzas elásticas, las fuerzas centrales (fuerzas gravitatorias y fuerzas eléctricas). No todas las fuerzas son conservativas, así las fuerzas de rozamiento son no conservativas, porque realizan trabajo y disipan energía del sistema. 2.3. Principio de Conservación de la Energía

w cons. = - E

p




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La energía puede pasar de unas formas a otras, pero “en un sistema aislado, la

energía no se puede crear ni destruir, sólo transformarse o transmitirse de unos cuerpos a otros, de manera que la energía total permanece constante.” 2.4. Energía cinética:

Es la energía que posee un cuerpo a causa de su movimiento. Depende de la masa

del cuerpo y de su velocidad. La podemos calcular como el trabajo que habría que realizar sobre un cuerpo de

masa m que inicialmente está en reposo, para que adquiera una velocidad v. Como inicialmente está en reposo, la energía cinética inicial es cero: Ec0 = 0 J. El trabajo es la variación de la energía cinética: w = E c f – E c 0

El trabajo es:

w = F · s ; F = m ·a ; s = v0 · t + 1/2·(a · (t)2) ; v = v0 + a ·t ;

como v0 = 0 m /s queda: s = 1/2(a ·(t)2) y v = a · t

sustituyendo: w = m · a ·1/2(a · (t)2) = 1/2m · a2 · t2 = 1/2(m · v2) = E c f ;

Si la velocidad inicial es distinta de cero: (Teorema de las fuerzas vivas) Ejercicio(9): Un coche de 1000 kg que se mueve a 108Km/h frena y su velocidad disminuye a 18Km/h. Calcula: a) El trabajo realizado por la fuerza de frenado. b) Si la distancia recorrida mientras frena es de 50m calcula la fuerza de frenado.

E

E c f = 1

2m · v2

w = E c f – E c 0 =

2

0

2

2

1

2

1mvmv f




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Ejercicio(10): Una bala de 40g choca horizontalmente contra una tabla con una velocidad de 300 m /s, y se incrusta en ella una profundidad de 6 cm. Calcular la fuerza, supuesta constante, que opone la madera a la penetración de la bala. 2.5. Energía potencial gravitatoria:

Es la energía que posee un cuerpo por ocupar una posición en un campo gravitatorio. ( Por estar situado a cierta altura sobre la superficie terrestre).

Hemos visto que las fuerzas responsables de la energía potencial de un sistema son las fuerzas interiores del sistema, es decir las fuerzas conservativas, en nuestro caso la fuerza peso.

El trabajo realizado por el peso es igual a la disminución de la energía potencial:

w p = - E = - ( E pf - E p0 ) = E p0 - E pf Imaginemos un cuerpo de masa m a una altura h sobre el suelo. En esa posición

tendrá cierta energía potencial gravitatoria. Si dejamos caer el cuerpo, al llegar al suelo su energía potencial será nula y el trabajo realizado por el peso mientras el cuerpo cae será igual a la energía potencial que poseía inicialmente. Como el peso es P = m · g y el desplazamiento es la altura h , la energía potencial a una altura h será :

2.6. Energía potencial elástica Cuando se ejerce una fuerza sobre un muelle, éste se deforma y aparecen fuerzas que hacen que aumente su capacidad para producir transformaciones, es decir aumenta su energía potencial. La energía potencial elástica la podemos calcular como el trabajo que hacen las fuerzas internas para recuperar la posición inicial del muelle. La fuerza restitutora del muelle es conservativa y como vimos al principio del tema el módulo de la fuerza es directamente proporcional a la deformación:

F = K · x Como vemos no es una fuerza constante, sino que varía con la distancia, por lo tanto

el trabajo lo podemos calcular como el área limitada por la función representativa de la

fuerza frente a la posición, el eje de abscisas y las posiciones inicial y final, si tomamos

E p = m · g · h




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como posición inicial x0 = 0, la gráfica de la fuerza frente a la distancia queda como la de la

figura:

F (N) F = k · x 0 x El trabajo es igual al área sombreada de la figura, ésta es el área de un triángulo:

w = A = 2

2

1xk

Como el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual a la disminución de la energía potencial, si consideramos que la energía potencial en la posición de equilibrio es igual a cero nos queda: 0 J

w cons = - E p = E p0 - E pf = 2

2

1xk

Es decir la energía potencial del muelle cuando está comprimido o estirado una distancia “x” , es: 2.7. Energía mecánica Se entiende por energía mecánica la energía del movimiento mecánico y de la

interacción de los cuerpos. Esta energía es la suma de la energía cinética y de la energía

potencial.

E P (elástica) = 2

2

1xk




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EM = E c + E p

EM = E c + E p (gravitatoria) + E p (elástica) 2. 8. Conservación de la energía mecánica

Hemos visto que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de la energía potencial. Si esta fuerza es la única que actúa o si es la única que realiza trabajo sobre la partícula, el trabajo realizado por la fuerza es también igual al incremento de la energía cinética, así, si dejamos caer un cuerpo, prescindiendo de las fuerzas de rozamiento del aire, durante la caída la única fuerza que actúa es el peso que es una fuerza conservativa, ésta disminuye la energía potencial pero también hace que aumente la energía cinética, pues al caer disminuye la altura pero aumenta la velocidad.

wcon = -Ep = +Ec por tanto Ep +Ec = 0 ; EpF - Ep0 + EcF - Ec0 = 0 ; EcF + EpF = Ec0 + Ep0 ; EM0 = EMF

Si no se realiza trabajo exterior sobre el sistema (un sistema aislado), éste podrá sufrir modificaciones, pero su energía mecánica no cambiará.

Si w ext = 0 EM = 0

Principio de conservación de la energía mecánica: “la energía de un sistema aislado, en el que sólo intervienen fuerzas conservativas, permanece constante”. (La energía de un sistema aislado que evoluciona bajo la acción de fuerzas conservativas, permanece constante). Ejercicio (11): Se lanza un cuerpo de 5 kg con una rapidez de 3 m /s por un plano inclinado 30 º. ¿Qué altura máxima alcanzará? ¿Qué distancia recorre sobre el plano?(Considerar despreciable el rozamiento). Ejercicio (12): Desde 2 m de altura dejamos caer una bola de 100 g sobre un resorte que se comprime 5 cm. Calcula: a) La constante elástica del resorte. b) La velocidad con la que saldrá despedida la bola cuando el resorte se distienda.

EM0 = EMF

E co + E po = E cf + E pf




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h = 2 m 2.9. Trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento Cuando sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas se conserva la energía mecánica; pero si realiza trabajo alguna fuerza no conservativa, la energía mecánica varía. El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica:

wext = EM = EMF - EM0 Si las fuerzas exteriores realizan un trabajo positivo sobre el cuerpo, su energía mecánica aumenta. Pero si realizan un trabajo negativo (como en el caso de las fuerza de rozamiento) su energía mecánica disminuye.

w Roz = EM ; FRoz ·s · cos180 = EMF - EM0

- FRoz ·s = EMF - EM0 ; EM0 = EMF + FRoz ·s Ejercicio (13): Se lanza un bloque por una superficie horizontal con una rapidez de 15 m /s. Calcula que distancia recorrerá hasta pararse si en el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0,4.

EM0 = EMF + FRoz

·s

E co + E po = E cf + E pf + FRoz

·s




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Ejercicio (14): Desde lo alto de la rampa cuyas dimensiones son las de la figura se deja caer un cuerpo de 4 kg de masa. Calcula la velocidad con la que llega a la base del plano si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,25. 10 m 6 m Ejercicio (15): Se lanza un bloque de 2 kg con una rapidez de 3 m /s, desde la base de un plano inclinado 30 º, el coeficiente de rozamiento es 0,3. Calcula la altura a la que asciende. 3. POTENCIA

Nos indica la rapidez con la que una fuerza realiza un trabajo.

Si para el mismo tiempo, el trabajo realizado w P

Si para realizar el mismo trabajo, el tiempo t P La expresión que relaciona la potencia con el trabajo y el tiempo es:

J/s=W(vatio) s

En el S.I. la unidad de potencia es el vatio(W). Otras unidades son: El kilovatio ( k W ) , 1kW = 1000 W

El caballo de vapor ( C. V.) , 1 C. V. = 736 W

Como w = F · s, P = F · s / t, si la fuerza se desplaza a velocidad constante,

s/ t = v, entonces :

t

wP




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P = F · v

Es frecuente, en la vida cotidiana, utilizar como medida de energía el kilovatio-hora, kWh:

1 kWh = 1kw · 1h = 1000 W·3600s = 3,6·106 Ejercicio (16): Un hombre tarda media hora en cargar un camión, elevando hasta una altura de un metro 15 sacos de 80 Kg cada uno. Calcular la potencia desarrollada. Ejercicio (17): Calcula los kWh que consume en 8 h una estufa cuya potencia es de 2000 W. Expresa el resultado en MJ. ¿Cuánto costará mantenerla las 8 h si el kWh está a 0,09 €.

3.1. Rendimiento () El rendimiento de un proceso es el cociente entre la energía útil y la energía total consumida, o bien entre la potencia útil y la potencia total suministrada.

= T

u

P

P o bien P u = · PT

Ejercicio (18): ¿Cuantos litros de agua podrá elevar un motor de 2 C.V., hasta una altura de 12 m en 20 minutos, si el proceso tiene un rendimiento del 78 % ? Ejercicio (19): Un montacargas de masa 450 kg tiene que subir hasta una altura de 12 m en 30 s. Calcula la potencia que debe tener el motor si se estima que el rendimiento de la instalación será del 60 % . Ejercicios: Ejercicio (1): Un cuerpo de 5 kg de masa, se mueve sobre un plano horizontal por acción de una fuerza de 30 N, que se aplica al cuerpo formando un ángulo de 30 º con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2. Calcula la velocidad del cuerpo después de 10 s de haber sido aplicada la fuerza y el trabajo de la fuerza de fricción durante ese tiempo. Ejercicio (2): Por un plano inclinado 30 º se sube un cuerpo de masa m = 120 kg, deslizándolo con movimiento uniforme mediante una fuerza F paralela al plano. El coeficiente de rozamiento entre dicho cuerpo y el plano es 0,3. Calcula el trabajo realizado por la fuerza F cuando el cuerpo recorre 10 m sobre el plano.




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Ejercicio (3): Calcula el trabajo realizado por la fuerza F = 30i – 20j (N) cuando su punto de aplicación se desplaza desde el punto A(-6,2) al B(4,10) m. Ejercicio (4): Desde el suelo se lanza oblicuamente hacia arriba un cuerpo de masa m con una velocidad de 25 m /s. Suponiendo despreciable la resistencia del aire, aplica la conservación de la energía mecánica para calcular su velocidad en el punto más alto de la trayectoria, si éste se halla a 2,5 m de altura. Ejercicio (5): ¿Con qué velocidad inicial se ha de lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba desde una altura de 5 m para que su velocidad al llegar al suelo sea de 18 m /s? ¿Y si se lanza verticalmente hacia abajo?¿ Y horizontalmente? Ejercicio (6): Un proyectil de 100 g atraviesa horizontalmente una pared de madera de 40 cm de espesor. Sabiendo que la rapidez del proyectil al llegar a la pared era de 400 m /s y que al salir es de 150 m /s, determinad el valor de la fuerza, supuesta constante, que ejerce la madera sobre el proyectil mientras atraviesa la pared. Ejercicio(7): dado el esquema de la figura, determinad la máxima compresión del muelle, cuya constante elástica es de 20 N /m, cuando el cuerpo impacte sobre el mismo. a) En ausencia de rozamiento. b) Si el coeficiente de rozamiento en el tramo AB es 0,2 y en el tramo horizontal se considera despreciable. A m = 1 kg 1 m 30 º B

Ejercicio (8):

Un cuerpo de 40 kg que esta a 30 m de altura lleva una velocidad de 15 m /s, qué energía hay que suministrarle si queremos que ascienda hasta una altura de 90 m y se mueva con una velocidad de 12 m /s. Ejercicio (9):

Desde lo alto de la rampa de la figura se deja caer un cuerpo de 3 kg. El coeficiente de rozamiento entre plano y el cuerpo es 0,4. ¿Con qué velocidad llega al suelo?




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5 m 37º Ejercicio (10): Un cuerpo desliza primero a lo largo de un plano inclinado 30 º y luego continúa moviéndose sobre un plano horizontal. Determinar el coeficiente dinámico de rozamiento, si se sabe que el cuerpo recorre en el plano horizontal la misma distancia que en el plano inclinado. Cuestiones y ejercicios:

1) ¿Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo?¿Por qué? ¿Y la energía potencial?¿Por qué? ¿ Y la energía mecánica? ¿Por qué?

2) Decid si es cierta la siguiente afirmación y por qué: “sólo las fuerzas conservativas realizan trabajo”. 3) a)¿Puede un cuerpo desplazarse y realizar un trabajo nulo?¿Por qué? b) Explica por qué el trabajo que hace la fuerza de rozamiento es siempre negativo. 4) ¿De qué forma puede conseguirse que sobre un cuerpo en movimiento actúe una fuerza sin que se modifique su energía cinética?. 5) Principio de conservación de la energía mecánica. Decir claramente en qué condiciones se cumple este principio.

6) Desde la base de una rampa que forma 40 º con la horizontal, se lanza un bloque de 10 kg a lo largo de ésta con velocidad de 12 m /s. El coeficiente de rozamiento entre el plano y

el bloque es = 0,2. Calcula qué distancia recorre el bloque sobre el plano. ¿Con qué velocidad regresa a la base del plano? Resuelve el ejercicio por consideraciones energéticas. 7) Un bloque comienza a desplazarse con una velocidad de 7 m /s sobre una superficie

horizontal rugosa, el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es = 0,3. Después de recorrer 2 m encuentra una rampa inclinada 40º respecto a la horizontal y con el mismo coeficiente de rozamiento anterior. Hallar: a) La velocidad del cuerpo cuando alcanza la base del plano. b) Distancia que recorrerá sobre la rampa antes de quedar momentáneamente en reposo.




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8) Un cuerpo de 4 kg que se mueve a 6 m /s sobre una superficie horizontal sin rozamiento, choca contra un muelle de constante elástica K = 900 N /m. Calcula: a) la deformación máxima experimentada por el muelle. b) La velocidad del cuerpo cuando el muelle se halla comprimido 10 cm. 9) Desde una altura de 4 m se deja caer un cuerpo de 200 g sobre un resorte cuya constante elástica es de 1200 N /m , Calcula la deformación que experimenta el resorte.

10) En el sistema de la figura en donde el coeficiente de rozamiento es = 0,2 y la constante elástica del resorte es K = 900 N /m. Calcula la la distancia que se comprime el resorte. v0 = 8 m/s 2m 11) Calcula la potencia de un hornillo eléctrico que tarda 15 minutos en calentar 2,5 kg de agua desde 12 ºC hasta 80 ºC , si sabemos sólo se aprovecha el 85 % de la energía producida.(1,5) ¿Cuánto cuesta calentar el agua si está a 0,08 € el kW·h? (0,5)

Calor específico del agua 4180 J/ kgK

12) Calcula el rendimiento de un calentador eléctrico cuya potencia es 1500 W, si sabemos que tarda 3 h en calentar 50kg de agua desde 20 ºC hasta 80 ºC.

ce(agua) = 4180 J/ kg· K (1)

¿Cuánto costaría calentar los 50 kg si el kW·h está a 0,08 €? (0,5)

EJERCICIOS DE REPASO

1) a) Enuncia y demuestra el principio de conservación de la energía mecánica.

b) ¿Qué relación existe entre el trabajo realizado por una fuerza conservativa y la energía potencial?

2) Calcula el trabajo realizado por la fuerza NjiF

95 cuando su punto de aplicación

se desplaza desde el punto A (-5, 3) al B (-3, -8) m.




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3) Desde la base del plano inclinado de la figura se lanza hacia arriba y paralelamente al plano un cuerpo de 2 kg con velocidad de 5 m/ s. Si el coeficiente de rozamiento entre el

plano y el cuerpo es =0,4 calcula: a) La distancia que recorre el cuerpo sobre el plano hasta que se para. b) El trabajo disipado por la fuerza de rozamiento.

Resuelve este ejercicio por consideraciones energéticas.

15m

9m

4) Un muelle se alarga 2cm al colgar de él una pesa de 500 g. Colocamos el resorte sobre el suelo y dejamos caer sobre él la pesa de 500 g, desde una altura de 1m medida desde la parte más alta del resorte. Calcula: a) La constante elástica del resorte.

b) La máxima deformación que experimenta el resorte.

h = 1 m

5) Un cuerpo de 5kg de masa comienza a moverse sobre un plano horizontal por acción de una fuerza de 30N que se aplica al cuerpo formando un ángulo de 30º con la horizontal.

El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es de 0,4.

Calcula:

a) La aceleración. b) El desplazamiento realizado por el cuerpo a los 10s de haber sido aplicada la fuerza. c) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

d) ¿Qué fuerza o fuerzas no realizan trabajo?¿por qué?




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OBSERVACIONES

Nota: Toda Guía de aprendizaje se le debe aplicar revisión, verificación y validación

- La Guía de aprendizaje se revisa su elaboración en la asignatura correspondiente al programa (PEI), y se verifica su cumplimiento en el diagrama de gantt.

Glosario

Bibliografía

Cibergrafia:




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CONCEPTO SI NO

revisión

verificación

validación

FIRMA DOCENTE

FIRMA COORDINADOR ACADEMICO LUDWIN LEANDRO VENERA

FIRMA DIRECTOR ACADEMICO ARACELIS VELASCO ALVAREZ

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