UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS

DEPARTAMENTO DE ÓPTICA

TRABAJO DE FIN DE GRADO

Código TFG: OPT03

Luz no clásica, definición, tipos, propiedades y aplicaciones

Nonclassical light, definition, types, properties, and applications

Supervisor: Alfredo Luis Aina

Rubén del Mazo Rodríguez

Grado en Física

Curso académico 2019-20

Convocatoria: Septiembre

Luz no clásica emergente de la cuantificación energética de un haz de luz.

Definición, tipos, propiedades y aplicaciones actuales

Resumen:

Con este trabajo se pretende dar una visión de los estados de luz clásicos y ciertos estados de

luz no clásicos, centrándose en estos últimos, sus definiciones, tipos, propiedades y aplicaciones.

Se estudiarán las consecuencias de cuantificar la energía de un haz de luz en términos del número

de fotones, es decir, de discretizar la energía, adoptando un enfoque predominantemente intuitivo

y fenomenológico. En primer lugar, se considerarán algunas de las propiedades intrínsecas más

comunes de la luz que manifiestan su naturaleza cuántica. Esto permitirá clasificar la luz según

las estadísticas de fotones y la función de correlación de segundo orden. Se revisará el famoso

experimento de Hanbury Brown-Twiss y se tratará con más detalle las fuentes de fotones

individuales y una de sus más novedosas aplicaciones, la criptografía cuántica.

Abstract:

This work aims to give an overview of the classical light states and certain non-classical light states, focusing on the latter, their definitions, types, properties and applications. The consequences of quantifying the energy of a light beam in terms of the number of photons will be studied, namely, to discretize the energy, adopting a predominantly intuitive and phenomenological approach. First, some of the most common intrinsic properties of light that manifest its quantum nature will be considered. This will allow the classification of light according to photon statistics and the second order correlation function. The famous Hanbury Brown-Twiss experiment will be reviewed and single photon sources and one of its newest applications, quantum cryptography, will be discussed in more detail.

1

Índice

Introducción. ¿Qué es la óptica cuántica? Estados de luz clásicos y no clásicos 2

A. Estadísticas de fotones 3

I. Introducción 3

II. Estadísticas de conteo de fotones 4

III. Luz coherente. Estadísticas de fotones Poissonianas 4

IV. Clasificación de la luz por estadísticas de fotones 5

IV. 1. Luz super-Poissoniana 5

IV. 1. 1. Luz térmica 6

IV. 1. 2. Luz caótica (parcialmente coherente) 6

IV. 2. Luz sub-Poissoniana 6

IV. 2. 1. Degradación de las estadísticas de fotones por pérdidas 7

IV. 2. 2. Teoría de la fotodetección 7

IV. 2. 2. 1. Teoría semiclásica de la fotodetección 7

IV. 2. 2. 2. Teoría cuántica de la fotodetección 7

IV. 2. 3. Ruido de recuento en fotodiodos 8

IV. 2. 4. Observación de estadísticas de fotones sub-Poissonianas 10

IV. 2. 4. 1. Estadísticas de conteo sub-Poissonianas 10

IV. 2. 4. 2. Fotocorriente por debajo del ruido de recuento 11

B. Función de correlación de segundo orden y antibunching de fotones 12

I. Introducción. El interferómetro de intensidad 12

II. Experimentos de Hanbury Brown-Twiss. Fluctuaciones de intensidad clásicas 12

III. La función de correlación de segundo orden g(2)(τ) 13

IV. Experimentos de Hanbury Brown-Twiss. Interpretación cuántica 14

V. Agrupamiento y antibunching de fotones 15

V. 1. Luz coherente 15

V. 2. Luz agrupada 15

V. 3. Luz antibunched 15

VI. Demostraciones experimentales del antibunching de fotones 16

VII. Fuentes de fotones individuales 17

VII. 1. Aplicaciones 18

VII. 1. 1. Criptografía cuántica 18

Referencias 19

2

Introducción. ¿Qué es la óptica cuántica? Estados de luz clásicos y no clásicos

La óptica cuántica es el área de la física que se ocupa de los fenómenos ópticos que solo pueden explicarse tratando la luz como un campo cuántico en lugar de ondas electromagnéticas clásicas. Su meta es estudiar las consecuencias de considerar un haz de luz como una onda cuántica en vez de como una onda clásica. Las diferencias son bastante sutiles y se tiene que observar cuidadosamente para apreciar desviaciones significativas de las predicciones de las teorías clásicas. En principio, esta área es tan antigua como la teoría cuántica en sí pero, en la práctica, es relativamente nueva y ha crecido mucho a partir del último cuarto del siglo XX. En el continuo desarrollo de la teoría de la luz, podemos identificar tres aproximaciones generales para modelar la interacción entre luz y materia: las teorías clásicas, semiclásicas y cuánticas (ver Tabla 1).

Modelo Átomos Luz

Clásico Dipolos Hertzianos Ondas

Semiclásico Cuantizados Ondas

Cuántico Cuantizados Ondas cuantizadas

Tabla 1. Aproximaciones para modelar la interacción entre luz y materia. Fuente: Elaboración propia.

Es obvio señalar que solo el enfoque óptico cuántico es totalmente coherente tanto consigo mismo como con todo el conjunto de datos experimentales. Sin embargo, las teorías semiclásicas son bastante adecuadas para la mayoría de los propósitos. La pregunta que realmente se debe plantear para definir el tema de la óptica cuántica es si hay algún efecto que no pueda explicarse en el enfoque semiclásico. Sorprendentemente hay relativamente pocos fenómenos de este tipo. De hecho, hasta hace unos 40 años, solo había unos pocos efectos (esencialmente los relacionados con el campo de vacío, como la emisión espontánea y el desplazamiento de Lamb), que realmente requerían un modelo cuántico de luz. Por ejemplo, aunque podríamos pensar que el efecto fotoeléctrico requiere de un modelo de fotones para la luz, un análisis cuidadoso muestra que se puede explicar con átomos cuantizados y la luz como una onda electromagnética no cuantizada. Argumentos en la misma línea pueden explicar cómo los pulsos individuales emitidos por los detectores de "conteo de fotones individuales" no implican necesariamente que la luz esté formada por fotones. En la mayoría de los casos, los pulsos de salida se pueden explicar en términos de la eyección probabilística de un electrón individual de uno de los estados cuantificados en un átomo bajo la influencia de una onda de luz clásica. No fue hasta finales de la década de 1970 que comenzó a desarrollarse el tema de la óptica cuántica tal como la conocemos ahora. Desde entonces, el alcance de esta área se ha ampliado enormemente y actualmente abarca muchos temas nuevos que van más allá del estricto estudio de la luz en sí. Un auténtico laboratorio de la física cuántica en general y de las nuevas tecnologías cuánticas en particular. En la Tabla 2 se ofrece al lector una breve historia de la óptica cuántica a través de grandes hitos en este campo (Fox, (2007), §I.1.).

Año Autores Contribución

1901 Planck Teoría de la radiación de cuerpo negro

1905 Einstein Explicación del Efecto fotoeléctrico

1909 Taylor Interferencia de cuantos simples

1909 Einstein Fluctuaciones en la radiación

1927 Dirac Teoría cuántica de la radiación

1956 Hanbury Brown y Twiss Interferómetro de intensidad

1963 Glauber Estados cuánticos de la luz

1977 Kimble, Dagenais y Mandel Antibunching de fotones

1981 Aspect, Grangier, y Roger Violaciones de las desigualdades de Bell

1985 Slusher et al. Luz comprimida

1987 Hong, Ou y Mandel Experimentos de interferencia con fotones individuales

1992 Bennet, Brassard et al. Criptografía cuántica experimental

1997 Mewes, Ketterle et al. Láser atómico

1997 Bouwmeester et al., Boschi et al. Teleportación cuántica de fotones

2002 Yuan et al. Diodo emisor de luz de fotones individuales

Tabla 2. Hitos seleccionados en el desarrollo de la óptica cuántica. Fuente: Elaboración propia.

El trabajo comienza considerando las propiedades intrínsecas de la luz que manifiestan su naturaleza cuántica. Estudiaremos las consecuencias de cuantificar la energía de un haz de luz en términos del número de fotones, es decir, de discretizar la energía. En primer lugar, se pondrá el foco en la clasificación de la luz de

3

acuerdo con los tipos de estadísticas de fotones que pueden ocurrir: sub-Poissoniana, Poissoniana y super- Poissoniana. Se estudiaran dichas estadísticas aplicando las teorías clásicas y semiclásicas, llegando a la conclusión de que las estadísticas super-Poissonianas no tienen análogo clásico, siendo el primer tipo de luz no clásica que analizaremos. Se introducirá la teoría de la fotodetección para establecer las bases que permitan demostrar con seguridad la observación de este estado de luz no clásico, diferenciando entre haces de luz con flujos de fotones bajos y altos. Finalmente, se revisarán dos experimentos que demuestran su existencia. A continuación se examinará el trabajo de Hanbury Brown y Twiss, cuyos experimentos son considerados el nacimiento de la óptica cuántica moderna. Estos conducen al concepto de funciones de correlación de segundo orden, lo que permitirá introducir otra clasificación de la luz basada en esta función de correlación. Tras una interpretación cuántica de estos experimentos, podremos clasificar entonces la luz como antibunched, coherente o bunched. Se comprobará que, tanto la estadística de fotones sub-Poissoniana como el antibunching de fotones, son efectos cuánticos puros sin contraparte clásica muy relacionados entre sí, pero sin ser idénticos. Se analizará el nuevo estado de luz no clásica, el antibunching de fotones, demostrando con ejemplos experimentales reconocidos su existencia. Finalmente se hablará de una de sus aplicaciones más importantes en la actualidad: las fuentes (emisoras) de fotones individuales. A su vez, estas fuentes de fotones individuales tienen hoy en día una creciente importancia en campos como la criptografía cuántica o las telecomunicaciones, comentándose con más detalle la primera de ellas [1, 2, 3]. Se adoptará un enfoque predominantemente intuitivo y fenomenológico, utilizando las matemáticas donde sean imprescindibles. En este trabajo el foco estará en los tipos de luz no clásica que se generan al cuantificar la energía de un haz de luz.

Dado el carácter teórico-bibliográfico de lo aquí expuesto, se considera esta introducción y las reflexiones y comentarios de cada sección como las conclusiones. Este trabajo, por todos los temas que abarca, no tiene más conclusión que resaltar la importancia de la óptica cuántica en general y la luz no clásica en particular; el duro camino recorrido por los investigadores, varios dilemas físicos y experimentales y algunas de sus aplicaciones modernas. Además, en este trabajo solo se hace referencia a algunos de los más conocidos fenómenos cuánticos no clásicos pero, obviamente, existen más. Por ejemplo, si se estudian las consecuencias de cuantificar los campos eléctricos y magnéticos que componen la luz, llegaríamos a los estados de luz comprimidos [36]. Otro ejemplo son los estados de Fock (también llamados estados de numero de fotones), los cuales tienen un número bien definido de fotones (almacenados, por ejemplo, en una cavidad) mientras que la fase está totalmente indefinida [37].

A. Estadísticas de fotones

En este apartado se abordará el tema desde la perspectiva de las propiedades estadísticas del flujo de fotones. Se estudiarán los tres tipos diferentes de estadísticas de fotones que pueden ocurrir, a saber: Poissoniana, super-Poissoniana y sub-Poissoniana..

I. Introducción

Podemos introducir nuestro análisis de las estadísticas de fotones considerando la detección de un haz de luz mediante un contador de fotones como se ilustra en la Fig. 1. El contador de fotones consta de un detector de luz muy sensible, como un tubo fotomultiplicador (PMT) o un fotodiodo de avalancha (APD) conectado a un contador electrónico. El detector produce pulsos de voltaje cortos en respuesta al haz de luz y el contador registra el número de pulsos que se emiten dentro de un cierto intervalo de tiempo establecido por el usuario. Con un contador de fotones, la tasa de recuento promedio está determinada por la intensidad del haz de luz, pero la tasa de recuento real fluctúa de una medición a otra. Estas fluctuaciones son clave y serán analizadas.

Es un debate persistente en la física óptica si los eventos individuales registrados por los contadores de fotones están necesariamente relacionados con las estadísticas de fotones, o si solo son un artefacto del proceso de detección. Esto significa que hay que distinguir cuidadosamente entre la naturaleza estadística del proceso de fotodetección y las estadísticas de fotones intrínsecas del haz de luz. Desde un punto de vista conceptual, se examinará primero la naturaleza estadística intrínseca de la luz y a continuación se considerará cómo esto se relaciona con los resultados de los experimentos de fotodetección. Al adoptar un enfoque que parte de los fotones, estamos anticipando el resultado final de que algunos experimentos sólo pueden explicarse si atribuimos las fluctuaciones del fotoconteo a las estadísticas de fotones subyacentes. Debe enfatizarse, sin embargo, que el número real de experimentos que entran en esta categoría es bastante pequeño. La mayoría de los resultados obtenidos en experimentos de conteo de fotones pueden explicarse mediante modelos semiclásicos, en los que se trata la luz de forma clásica pero se cuantifica el efecto fotoeléctrico en el detector

Fig. 1 Detección de un haz de luz tenue con un PMT o APD y electrónica de conteo de pulsos. (Fox, (2007), §II.5.1)

4

(Tabla 1). Al mismo tiempo, este enfoque semiclásico nos dice dónde buscar efectos que no pueden ser explicados por las teorías clásicas de la luz (Fox, (2007), §II.5.1).

II. Estadísticas de conteo de fotones

El caso más simple es la detección de un haz monocromático perfectamente coherente de frecuencia angular, ω, e intensidad constante, I. De acuerdo con la teoría cuántica de la luz, consideramos que el haz consiste en una corriente de fotones. El flujo de fotones Φ se define como el número promedio de fotones que pasan a través de una sección transversal del haz en unidad de tiempo. Φ se calcula fácilmente dividiendo el flujo de energía por la energía de los fotones individuales:

(1)

donde A es el área del haz y P es la potencia óptica. Los detectores de conteo de fotones se especifican por su eficiencia cuántica, η, que se define como la

relación entre el número de fotoconteos y el número de fotones incidentes. El número medio de recuentos registrados por el detector en un tiempo de recuento T, N(T), viene dado por:

(2)

La tasa de recuento promedio correspondiente, R, viene dada por:

(3)

La R máxima que se puede registrar con un sistema de conteo de fotones generalmente se determina por el hecho de que los detectores necesitan una cierta cantidad de tiempo para recuperarse después de cada evento de detección ( ~ 1µs). Esto establece un límite superior práctico de alrededor de 106 conteos s-1. Con valores típicos de η para detectores modernos de 10% o más, la ecuación (3) muestra que los contadores de fotones solo son útiles para analizar las propiedades de haces de luz muy débiles con potencias ópticas de 10-12 W o menos. La detección de haces de luz con niveles de potencia más altos se realiza mediante un método diferente y se discutirá en la sección IV.2.3. No obstante, un haz de luz con un flujo de fotones medio bien definido mostrará fluctuaciones en el número de fotones a intervalos de tiempo cortos. Esto es una consecuencia de la "granulosidad" inherente del haz causada al dividirlo en fotones. Aunque el flujo de fotones promedio puede tener un valor bien definido, el número de fotones en escalas de tiempo cortas fluctúa debido a la naturaleza discreta de los fotones. Estas fluctuaciones se describen mediante las estadísticas de fotones de la luz (Fox, (2007), §II.5.2).

III. Luz coherente. Estadísticas de fotones Poissonianas

Existen diferentes tipos de luz, siendo el caso más sencillo una fuente de luz monocromática perfectamente estable. En óptica clásica, la luz se considera una onda electromagnética y el tipo de luz más estable que se puede imaginar es un haz de luz perfectamente coherente con frecuencia angular constante ω, fase φ y amplitud E0:

( ) ( )0, sin ,E x t E kx t = − + (4)

donde E(x,t) es el campo eléctrico de la onda de luz y k = ω/c en el espacio libre. Una aproximación suficientemente buena para este campo sería el haz emitido por un láser monomodo ideal por encima de su umbral. La intensidad aquí será determinada por el valor promedio de E(t)2 durante un ciclo óptico. Podría pensarse que un haz de luz con un flujo de fotones promedio invariante en el tiempo consistirá en una corriente de fotones con intervalos de tiempo regulares entre ellos, pero no es el caso. Se ha mencionado anteriormente que debe haber fluctuaciones estadísticas en escalas de tiempo cortas debido a la naturaleza discreta de los fotones. La luz perfectamente coherente con una intensidad constante tiene estadísticas de fotones Poissonianas, dada por:

( ) ,!

nnn

P n en

−= 0,1,2, ,n = (5)

siendo n el número de fotones y �̅� el número medio de fotones. Esta ecuación describe una distribución de Poisson. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad

1,IA P

photons s

− = =

( ) .PT

N N T T

= = =

1.N P

R counts sT

−= = =

5

de que un número determinado de eventos ocurran en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos ocurren con una tasa media constante conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. Las distribuciones de Poisson generalmente se aplican a procesos aleatorios que solo pueden devolver valores enteros (Fox, (2007), Apéndice A). En este caso, la aleatoriedad se origina al dividir el haz continuo en paquetes de energía discretos con la misma probabilidad de encontrar el paquete de energía dentro de cualquier subintervalo de tiempo dado. Estas distribuciones están caracterizadas únicamente por su valor medio, �̅�. En estadística Poissoniana la varianza es igual al valor medio de �̅�, mientras que la desviación estándar para las fluctuaciones del número de fotones es dada por (Fox, (2007), §II.5.3):

.n n = = (6)

IV. Clasificación de la luz por estadísticas de fotones

Desde un punto de vista clásico, un haz de luz perfectamente

coherente de intensidad constante es el tipo de luz más estable que se puede concebir, y este se puede describir con estadística Poissoniana. Por lo tanto, esto proporciona un punto de referencia para clasificar otros tipos de luz de acuerdo con la desviación estándar de sus distribuciones de números de fotones. Hay tres posibilidades, recogidas en la Tabla 3.

La diferencia entre los tres tipos de estadística se ilustra en la Fig. 2. Esta figura compara las distribuciones del número de fotones de la luz super-Poissoniana y sub-Poissoniana con la de una distribución de Poisson con el mismo número medio de fotones. Vemos que las distribuciones de luz super-Poissoniana y sub-Poissoniana son, respectivamente, más amplias o más estrechas que la distribución de Poisson.

Dado que una intensidad perfectamente estable proporciona estadísticas de Poisson, se deduce que todos los haces de luz clásicos con intensidades de luz variables en el tiempo tendrán distribuciones de números de fotones super-Poissonianas. En la siguiente sección veremos que la luz térmica de una fuente de cuerpo negro y la luz parcialmente coherente de una lámpara de descarga entran en esta categoría. La luz sub-Poissoniana, por el contrario, tiene una distribución más estrecha que el caso de Poisson y, por lo tanto, es "más silenciosa" que la luz perfectamente coherente. Ya se ha enfatizado que un haz perfectamente coherente es la forma de luz más estable que se puede concebir en la óptica clásica. Por tanto, es evidente que la luz sub-Poissoniana no tiene una contraparte clásica y, por tanto, es el primer ejemplo de luz no clásica que se encuentra en el presente trabajo. Su observación es complicada, razón por la cual no se discute normalmente en los textos de óptica estándar (Fox, (2007), §II.5.4). Para una explicación detallada, ver [2] o [2.3].

Estadísticas de fotones Equivalentes clásicos I(t) ∆n

Super-Poissoniana Parcialmente coherente (caótica), incoherente, o luz térmica

Varía con t > √�̅�

Poissoniana Luz perfectamente coherente Constante √�̅�

Sub-Poissoniana Ninguno (no clásica) Constante < √�̅�

Tabla 3. Clasificación de la luz de acuerdo a las estadísticas de fotones. I(t) es la dependencia temporal de la intensidad óptica. Fuente: Elaboración propia.

IV. 1. Luz super-Poissoniana En esta sección se considerarán dos ejemplos de estadísticas super-Poissonianas: luz térmica y luz caótica.

La luz super-Poissoniana está definida por la relación:

(7) Las estadísticas de fotones super-Poissonianas tienen una interpretación clásica en términos de

fluctuaciones en la intensidad de la luz. Además, siempre es más fácil crear una fuente de luz inestable que

.n n

Fig. 2 Comparación de las estadísticas de fotones para la luz con una distribución de Poisson y las distribuciones sub-Poissoniana y super-Poissoniana. Las distribuciones se han dibujado con el mismo número medio de fotones �̅� = 100. La naturaleza discreta de las distribuciones no es evidente en esta figura debido al gran valor de �̅� (Fox, (2007), §II.5.4).

6

una estable y, por lo tanto, la observación de estadísticas super-Poissonianas es algo común (Fox, (2007), §II.5.5).

IV. 1. 1. Luz térmica

La radiación electromagnética emitida por un cuerpo caliente se denomina generalmente luz térmica o radiación de cuerpo negro. El patrón de radiación consiste en un espectro continuo de modos oscilantes con la densidad de energía dada por la famosa ley de Planck. Se considera cada modo individual como un oscilador armónico de frecuencia angular ω de energía cuantizada dada por:

1

,2

nE n

= +

(8)

donde n es un entero ≥ 0. En óptica cuántica, se interpreta (8) como n fotones excitados a una frecuencia angular ω en ese modo particular. La radiación de cuerpo negro consiste en un continuo de modos y, en la mayoría de los experimentos, tenemos que considerar las propiedades de la luz térmica multimodo. Se puede demostrar que la varianza del número de fotones de Nm modos térmicos de frecuencia similar viene dada por (Mandel & Wolf (1995), §13.3.2):

( )2

2.

m

nn n

N = + (9)

Esto demuestra que la varianza de la luz térmica es siempre mayor que la de una distribución Poissoniana. El primer término en (9), el cual corresponde a una estadística Poissoniana, surge de la cuantización de la

energía de la radiación electromagnética, es decir, de la naturaleza fotónica de la luz; el segundo término, por contraste, es causado por las fluctuaciones de intensidad clásicas y se es llamado ruido de onda. La ecuación (9) se reduce a una distribución de Poisson cuando Nm es grande. En la práctica es muy difícil medir un solo modo del campo térmico y, por lo tanto, las estadísticas medidas en la mayoría de los experimentos con luz térmica serán de Poisson (Fox, (2007), §II.5.5.1).

IV. 1. 2. Luz caótica (parcialmente coherente)

Se debe aclarar que el uso del término "caótico" para la luz parcialmente coherente es anterior a la teoría

del caos. La teoría del caos no tiene nada que ver con la luz caótica. Un buen ejemplo de luz caótica es la luz de una sola línea espectral de una lámpara de descarga. La luz caótica tiene coherencia parcial, con fluctuaciones de intensidad clásicas en escalas de tiempo del orden del tiempo de coherencia, τc. Por lo tanto el flujo de fotones, Φ, no es constante. Estas fluctuaciones de intensidad, obviamente, darán lugar a mayores fluctuaciones en el número de fotones que en el caso de una fuente con una potencia constante (es decir, una fuente perfectamente coherente). Las fluctuaciones de intensidad serán significativas si el tiempo de medición T es comparable o menor que el tiempo de coherencia, τc., lo que implica que la luz caótica, cuando se mide en escalas de tiempo cortas, es super-Poissoniana. Por otra parte, cuando T ≥ τc, las fluctuaciones de intensidad en escalas de tiempo de orden τc no se notarán, y la intensidad puede tomarse como constante. En este caso se regresa a la fórmula de Poisson (5). (Loudon (2000), §3.9, eqns 3.9.22 y 2.9.23.) & (Mandel & Wolf (1995), §9.2). Se puede demostrar que las fluctuaciones en la tasa de fotoconteo, ∆n, cuando una fuente caótica incide en un detector están dadas por (Mandel & Wolf (1995), §9.2):

( )2 2( ) ( ) ,n W T W T = + (10)

donde W representa la tasa de conteo en el intervalo de tiempo de detección T:

( ) ( ') ',t T

tW T t dt

+

= (11)

siendo η la eficiencia de detección, Φ(t) el flujo instantáneo de fotones dado por (1) y ⟨𝑊(𝑇)⟩ igual a �̅�. Se puede interpretar que los dos términos en (10) se originan, respectivamente, de las estadísticas de Poisson asociadas con la naturaleza corpuscular de la luz y las fluctuaciones de potencia clásicas en la fuente (Fox, (2007), §II.5.5.2).

IV. 2. Luz sub-Poissoniana

La luz sub-Poissoniana está definida por la relación:

7

.n n (12)

Por lo tanto, la luz sub-Poissoniana es de alguna manera más estable que la luz perfectamente coherente, la cual es el paradigma de la óptica clásica. De hecho, la luz sub-Poissoniana no tiene equivalente clásico (⟨∆𝑊(𝑇)2⟩ < 0 es imposible en (10)). Por lo tanto, la observación de estadísticas sub-Poissonianas es una clara prueba de la naturaleza cuántica de la luz. En la segunda clasificación, se comprobará que las estadísticas de fotones sub-Poissonianas a menudo se asocian con la observación de otro efecto óptico puramente cuántico, a saber, el antibunching de fotones, aunque no son exactamente lo mismo [11].

Las corrientes de fotones del tipo que se muestra en (Fox, (2007), §II.5.6, Fig. 5.6) con ∆n = 0 se denominan estados de números de fotones. Los estados del número de fotones son la forma más pura de luz sub-Poissoniana. Se pueden concebir otros tipos de luz sub-Poissoniana en los que los intervalos de tiempo entre los fotones en el haz no son exactamente los mismos, pero son aún más regulares que los intervalos de tiempo aleatorios apropiados para un haz con estadísticas de Poisson (Fox, (2007), §II.5.6). Estos tipos de luz son bastante fáciles de generar en el laboratorio, aunque su detección es bastante problemática y se discutirá en la sección IV.2.4.

IV. 2. 1 Degradación de las estadísticas de fotones por pérdidas Previo a discutir en la sección IV.2.4 cómo se puede observar la luz sub-Poissoniana, hay que tratar

brevemente el asunto de las pérdidas ópticas. Un medio real tiene pérdidas y selecciona aleatoriamente fotones del haz entrante con cierta probabilidad. Es bien sabido que la distribución obtenida por muestreo aleatorio de un conjunto de datos dado es más aleatoria que la distribución original. Todo tipo de ineficiencia en el proceso de detección es equivalente a un muestreo aleatorio de fotones. Desafortunadamente, este argumento muestra que la luz sub-Poissoniana es muy frágil: todas las formas de pérdida e ineficiencia tenderán a degradar las estadísticas al caso Poissoniano. Esto significa que se debe tener especial cuidado para evitar pérdidas ópticas y utilizar detectores de muy alta eficiencia para observar efectos cuánticos lo suficientemente grandes en las estadísticas de fotones (Fox, (2007), §II.5.7).

IV. 2. 2 Teoría de la fotodetección

Introducidos los diferentes tipos de estadísticas de fotones que pueden ocurrir, es apropiado considerar la

relación entre las estadísticas de conteo registradas por el detector y las estadísticas de fotones subyacentes del haz de luz. La relación entre las estadísticas de fotones y de detección ha sido un tema polémico en la óptica cuántica, y solo se ha resuelto definitivamente en tiempos relativamente recientes. Se esbozará la teoría semiclásica de la fotodetección en la que se supone que la luz consiste en ondas electromagnéticas clásicas, pero con los átomos cuantizados, como vimos en la Tabla 1. Esto permitirá resaltar posteriormente los resultados críticos que demuestran que el haz de luz consiste realmente en ondas cuánticas. A continuación, se esbozarán los resultados de la teoría cuántica de la fotodetección y, por tanto, se verán las condiciones en las que se pueden observar efectos no clásicos (Fox, (2007), §II.5.8).

IV. 2. 2. 1 Teoría semiclásica de la fotodetección

Con un experimento como el de la Fig. 1 y ciertos supuestos sobre el proceso de fotodetección, se llega a

(5). Ver [4] para los cálculos matemáticos y una explicación más detallada. Esto demuestra que se puede llegar al mismo resultado que las estadísticas de fotones Poissonianas y explicar las estadísticas de fotoconteo Poissonianas que se observan cuando se detecta luz con una intensidad independiente del tiempo sin invocar en absoluto el concepto de fotones. Por lo tanto, los conteos no son una propiedad de la luz sino del detector. Como se llega al mismo resultado, el análisis de las estadísticas de fotoconteo no nos aclara nada definitivo sobre las estadísticas de fotones subyacentes. Sin embargo, se hace evidente que las estadísticas de fotones sub-Poissonianas no son posibles dentro de una teoría semiclásica. Esto se sigue porque en [4] se obtiene la distribución de Poisson, (5), si la intensidad es constante (luz perfectamente coherente), y si la intensidad varía con el tiempo, se puede demostrar que se obtiene el resultado super-Poissoniano dado en la ecuación (10). Por tanto, la observación de las estadísticas de fotoconteo sub-Poissonianas constituye una demostración clara de que el enfoque semiclásico es inadecuado ya que, independientemente de cómo sea la intensidad, nunca se obtiene el resultado de (12) (Fox, (2007), §II.5.8.1).

IV. 2. 2. 2 Teoría cuántica de la fotodetección

Un objetivo de la teoría cuántica de la fotodetección es relacionar las estadísticas de fotoconteo, observadas

en un experimento particular, con las de los fotones incidentes. La derivación del resultado final está más allá del alcance del presente trabajo, por lo que solo se citará la conclusión y se discutirán sus implicaciones a nivel cualitativo. (Mandel & Wolf (1995), Chapter 14) & (Loudon (2000), §6.10). Como se ha hecho previamente, se analizarán las estadísticas de fotoconteo medidas en un tiempo de recuento T. Lo interesante es conocer la

8

relación entre la varianza en el número de fotoconteo, (∆N)2, y la varianza correspondiente al número de fotones que inciden en el detector en el mismo intervalo de tiempo, (∆n)2. Esta relación está dada por (Loudon (2000), eqn 6.10.8):

( ) ( ) ( )2 22 1 ,N n n = + − (13)

donde η es la eficiencia cuántica del detector, definida previamente en la sección II. Se pueden obtener varias conclusiones importantes de (13). Dos de las que más interesan para este trabajo son: 1) Si η = 1, se tiene que ∆N = ∆n y las fluctuaciones de fotoconteo reproducen fielmente las fluctuaciones del flujo de fotones incidente (esto es lo que interesa conseguir para los experimentos); 2) Si η << 1, las fluctuaciones de fotoconteo tienden al resultado Poissoniano con (∆𝑁)2 = 𝜂�̅� = �̅�, independientemente de las estadísticas de fotones subyacentes.

La conclusión es obvia: si se pretende medir las estadísticas de fotones, se necesitan detectores de alta eficiencia (Fox, (2007), §II.5.8.2). Si se dispone de tales detectores, las estadísticas de fotoconteo dan una medida verdadera de las estadísticas de fotones incidentes, con una fidelidad que aumenta a medida que se incrementa la eficiencia del detector. Por lo tanto, la eficiencia cuántica del detector es el parámetro crítico que determina la relación entre los fotoelectrones y las estadísticas de fotones. La dificultad para producir detectores de fotones individuales con altas eficiencias cuánticas es una de las razones por las que es difícil observar estadísticas sub-Poissonianas en el laboratorio. Hoy en día, sin embargo, para algunas longitudes de onda se encuentran disponibles detectores de fotón único con eficiencias cuánticas superiores al 50%. Además, mediante el uso de estrategias de detección diferentes que emplean haces de alta intensidad y detección de fotodiodos, se pueden obtener eficiencias cuánticas cercanas al 90% (Mandel & Wolf (1995), Chapter 14) y (Loudon (2000), §6.10).

IV. 2. 3 Ruido de recuento en fotodiodos Aclaraciones previas: 1) en todo el trabajo se utilizará “ruido de recuento” como traducción de la expresión

inglesa en la literatura científica shot noise; 2) Pnoise = Pruido. Empezando por la conclusión, las estadísticas de fotones Poissonianas causan ruido de recuento en la fotodetección. Hasta ahora se ha hecho referencia exclusivamente a la detección de haces de luz mediante métodos de conteo de fotones únicos como se muestra en la Fig. 1. Como se menciona en la Sección II, este método solo es apropiado para haces de luz muy débiles con un flujo de alrededor de 106 fotones s-1. Un ejemplo de flujo alto es un haz láser He:Ne con una potencia de 1 mW a 633 nm que tiene, según la ecuación (1), un flujo de 3.3 x 1015 fotones s-1. El método más habitual utilizado para detectar haces de luz de flujo alto es emplear detectores de fotodiodos. Un parámetro clave de un fotodiodo es su eficiencia cuántica, η, que se define en este contexto como la relación entre el número de fotoelectrones generados en el circuito externo y el número de fotones incidentes. Por lo tanto, la corriente generada en el circuito externo para un flujo de fotones incidente Φ, es decir, la fotocorriente i, está dada por:

,P

i e e

= (14)

donde e es el módulo de la carga del electrón, P es la potencia del haz y ω es su frecuencia angular (cf. 1). El ratio i/P es llamado responsividad del fotodiodo. Por tanto, el valor de η puede calcularse a partir de la responsividad medida a la longitud de onda de detección.

El principio detrás del uso de detectores de fotodiodos para estudiar las propiedades estadísticas de la luz es que la fotocorriente generada por el haz fluctuará debido a las fluctuaciones subyacentes en el número de fotones que inciden. Estas fluctuaciones del número de fotones se reflejarán en las fluctuaciones de la fotocorriente con una fidelidad determinada por η. Las fluctuaciones se manifiestan como ruido en la fotocorriente, como se ilustra en la Fig. 3(a). La fotocorriente variable en el tiempo, i(t), se puede dividir en una corriente media, ⟨𝑖⟩, independiente del tiempo y una fluctuación variable en el tiempo ∆i(t) según:

( ) ( ).i t i i t= + (15)

El valor medio de ∆i(t) debe de ser cero, pero el valor medio del cuadrado de ∆i, ⟨(∆𝑖(𝑡))2

⟩, no lo será.

Dado que la fotocorriente fluye a través de la resistencia de carga RL, que luego genera energía a un ritmo de

i2RL, es conveniente analizar las fluctuaciones en términos de una potencia de ruido variable en el tiempo de

acuerdo con:

( )2

( ) ( ) .ruido LP t i t R= (16)

La transformada de Fourier de esta potencia de ruido se puede mostrar en un analizador de espectro después

de una amplificación adecuada. La Fig. 3(b) muestra el tipo de espectro de potencia de ruido que normalmente

9

se puede obtener. Consideremos lo que sucede si iluminamos el fotodiodo con la luz de un láser monomodo que opera muy por encima del umbral láser. Esta luz es casi perfectamente coherente y se espera que tenga estadísticas de fotones de Poisson, en las que las fluctuaciones del número de fotones obedecen a la ecuación (6). Por lo tanto, las estadísticas de fotoelectrones también seguirán una distribución de Poisson con:

( )2

.N N = (17)

Dado que i(t) es proporcional al número de fotoelectrones generados por segundo, se deduce que la varianza de la fotocorriente ∆i cumplirá:

( )2

.i i (18)

Al tomar la transformada de Fourier de i(t) y luego medir la varianza

de las fluctuaciones de corriente dentro de un ancho de banda de frecuencia ∆f, encontramos que la potencia de ruido correspondiente viene dada por:

( ) 2 .ruido LP f eR f i= (19)

En analogía con (16), vemos que: (∆𝑖(𝑡))2

= 2𝑒∆𝑓 · ⟨𝑖⟩, (20). Las

fluctuaciones descritas por (19) y (20) son llamadas ruido de recuento.

Dos rasgos característicos del ruido de recuento son evidentes a partir de

estas dos ecuaciones: En primer lugar, la varianza de las fluctuaciones de

la corriente (o, de manera equivalente, la potencia de ruido) es

directamente proporcional al valor medio de la corriente; en segundo

lugar, el espectro de ruido es "blanco", es decir, independiente de la

frecuencia. La segunda característica es una consecuencia de la aleatoriedad del tiempo entre la llegada de los

fotones en un haz con estadísticas de Poisson. La "blancura" del ruido, por supuesto, está sujeta al tiempo de

respuesta τD del fotodiodo, lo que significa que en la práctica el ruido de recuento solo puede detectarse hasta

una frecuencia máxima de ~ (1/τD). Este punto se ilustra en la representación esquemática del espectro de

potencia de ruido que se muestra en la Fig. 3(b). Todas las fuentes de luz mostrarán algunas fluctuaciones de

intensidad clásicas debido al ruido en la alimentación eléctrica, y los láseres están sujetos a ruido clásico

adicional debido a las vibraciones mecánicas en los espejos de la cavidad, entre otros motivos. Estas fuentes

de ruido clásicas tienden a producir fluctuaciones de intensidad a frecuencias bastante bajas, por lo que el

espectro de ruido tiende a estar muy por encima del nivel de ruido de recuento en el límite de baja frecuencia.

Sin embargo, a altas frecuencias, las fuentes de ruido clásicas ya no están presentes y nos quedamos solo con

el ruido fundamental causado por las estadísticas de fotones. Por lo tanto, un espectro típico mostrará un nivel

de ruido muy por encima del límite de ruido de recuento a bajas frecuencias, pero eventualmente debería

alcanzar el límite de ruido de recuento a altas frecuencias como se muestra en la Fig. 3(b). El ruido está presente

en todas las frecuencias y la caída de Pruido a cero a altas frecuencias mostrada en la Fig. 3(b) solo refleja el

límite de frecuencia impuesto por el tiempo de respuesta del detector. El ruido clásico de baja frecuencia que se aprecia en la Fig. 3, en principio, puede eliminarse. En (Fox,

(2007), §II.5.9, Fig. 5.13).se muestran dos formas en las que esto podría hacerse: con un "devorador de ruido" o con un detector equilibrado. El punto clave sobre el esquema de detector equilibrado es que generalmente ofrece una relación señal/ruido mucho mejor que un solo detector. Si se usara un solo detector, el pequeño cambio en la intensidad causado por la presencia de la muestra podría perderse en el ruido del láser. Con detectores equilibrados, por el contrario, el ruido clásico se cancela exactamente (en principio) mediante la sustracción de las fotocorriente, y los cambios mucho más pequeños en la intensidad deberían poder resolverse. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el esquema de detección equilibrado no puede eliminar el ruido de recuento. Desde la perspectiva de los fotones, el proceso de división del haz 50:50 es aleatorio y, por lo tanto, no se puede cancelar ningún ruido asociado con la naturaleza fotónica de la luz. Dado que la naturaleza cuántica de la luz da lugar al ruido de recuento, la salida de los detectores equilibrados sin muestra presente corresponderá al nivel de ruido de recuento.

Está claro que el ruido de recuento es muy importante en la ciencia óptica y las telecomunicaciones porque establece un límite práctico a las relaciones señal-ruido que se pueden obtener en circunstancias normales. Por ejemplo, podemos codificar información en un rayo láser modulando su intensidad a una frecuencia particular. La información se recupera analizando la dependencia del tiempo de la fotocorriente generada en el circuito

Fig. 3 (a) Fotocorriente variable en el tiempo resultante de la detección de un haz de luz de alta intensidad con un detector de fotodiodo. ⟨𝑖⟩ representa la fotocorriente promedio, mientras que ∆i representa la fluctuación del valor medio. (b) Transformada de Fourier de (∆i(t))2 mostrando la dependencia típica del ruido de fotocorriente de la frecuencia, f. Se supone que el fotodiodo usado para detectar la luz tiene un tiempo de respuesta de τD y que la fuente de luz tiene un exceso de ruido clásico a bajas frecuencias (Fox, (2007), §II.5.9).

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receptor. El tamaño de la señal de fotocorriente detectada debe ser mayor que las fluctuaciones de fotocorriente debidas al ruido del láser y, fijándonos en [5], donde se puede consultar el espectro de ruido medido para un láser Nd:YAG que funciona a 1064 nm, parece que la mejor estrategia es trabajar a altas frecuencias, donde el ruido del láser es menor. A estas frecuencias, el ruido del láser está determinado por las estadísticas de fotones establecidas por el límite de ruido de recuento. Por tanto, el ruido de recuento impone un límite básico en la relación mínima señal/ruido que se puede lograr. La única forma de superar el límite de ruido de recuento es utilizar fuentes de luz no clásicas con estadísticas de fotones sub-Poissonianas. Como se verá en la siguiente sección. La presencia de ruido de recuento en la fotocorriente generada por la detección de luz plantea preguntas similares sobre su origen tales como las que surgen con la observación de las estadísticas de Poisson en un detector de conteo de fotones. En analogía a la discusión de la ecuación (13) para las estadísticas de conteo de fotones, las estadísticas de fotoelectrones de un fotodiodo siempre mostrarán una distribución de Poisson si el detector es ineficiente. Además, también se esperaría observar ruido de recuento después de la detección de una onda de luz puramente clásica de intensidad constante debido a la naturaleza probabilística del proceso de fotodetección a nivel microscópico. En la siguiente sección veremos que se han obtenido niveles de ruido por debajo del límite de recuento en una serie de experimentos utilizando detectores de luz sub-Poissoniana y de alta eficiencia. Esto no es comprensible dentro del enfoque semiclásico en el que el ruido se origina en el proceso de fotodetección, y establece que el ruido de recuento en un fotodiodo de alta eficiencia puede originarse en la luz, no en el detector (Fox, (2007), §II.5.9).

IV. 2. 4 Observación de estadísticas de fotones sub-Poissonianas

La demostración de las estadísticas de fotones sub-Poissonianas depende de dos aspectos fundamentales.

En primer lugar, el descubrimiento de fuentes de luz con estadísticas sub-Poissonianas; en segundo lugar, el desarrollo de detectores con alta eficiencia cuántica, η. En la práctica, el segundo punto ha sido una limitación severa porque, como demuestra la ecuación (13), no hay forma de demostrar las estadísticas de fotoelectrones sub-Poissonianas con un detector de baja eficiencia cuántica. Afortunadamente, hay actualmente detectores de alta eficiencia disponibles para muchas longitudes de onda. Esto ha llevado a un número creciente de demostraciones de luz sub-Poissoniana. En las dos subsecciones siguientes se pondrá el foco en los métodos para la generación directa de luz sub-Poissoniana a partir de fuentes de luz alimentadas por fuentes eléctricas (Fox, (2007), §II.5.10).

IV. 2. 4. 1 Estadísticas de conteo sub-Poissonianas

En [6] se muestra un esquema experimental para generar luz ultravioleta luz sub-Poissoniana a 253,7 nm a partir de átomos de Hg en un tubo de Franck-Hertz. El experimento se basa en el siguiente principio: el tiempo que tardan los átomos en emitir un fotón es corto en comparación con las escalas de tiempo de las fluctuaciones en la corriente eléctrica utilizada para excitar los átomos. Estos átomos emiten fotones a 4.887 eV (253.7 nm) después de excitarse por electrones con suficiente energía como para generar el fotón. Los electrones que componen la corriente del ánodo en el tubo de descarga se generan por emisión térmica del cátodo y su energía está determinada por el voltaje entre el ánodo y el cátodo. La estadística de los electrones generados por emisión térmica normalmente es Poissoniana. Sin embargo, es bien sabido que a los voltajes relativamente pequeños en el tubo, necesarios para iniciar la emisión del mercurio (es decir, 4.887 V), se crea una carga espacial alrededor del cátodo. La presencia de la carga espacial tiende a regularizar el flujo de electrones, de modo que las estadísticas de los electrones en la corriente del ánodo son sub-Poissonianas. Por tanto, se espera que los fotones emitidos cuando los electrones colisionan con los átomos de Hg tengan estadísticas sub-Poissonianas. Los fotones se detectaron con un fotomultiplicador (PMT) y un contador de fotones Esto implica que las propiedades estadísticas de los fotones emitidos en un tubo de descarga están estrechamente relacionadas con las propiedades estadísticas de los electrones que componen la corriente [6].

Es obvio intuitivamente que, si el flujo de electrones es completamente regular, entonces el flujo de fotones también es regular, con en un espaciado temporal fijo e igual entre los fotones (Fox, (2007), §II.5.10.1). Este punto se resume esquemáticamente en (Fox, (2007), §II.5.10.1, Fig. 5.14). Tal flujo de fotones es muy sub-Poissoniano y contrasta con el caso habitual (Poissoniano) en el que el espaciado temporal es aleatorio. La eficiencia del proceso de emisión (el equivalente en emisión de η) debe ser alta para que el método funcione correctamente. Si no es así, solo un subconjunto aleatorio de electrones genera fotones y, como se mencionó en la Sección IV.2.1, tal muestreo aleatorio eventualmente aleatoriza las estadísticas, cualesquiera que sean las propiedades de la distribución de fotones original. Se encontró que la luz medida en el experimento tenía una varianza menor que el valor de Poisson en un 0.16%. La razón por la que el efecto medido fue tan pequeño es que la eficiencia general para la conversión de electrones en la corriente del ánodo a fotoelectrones en el PMT fue tan solo del 0.25%. Esta baja eficiencia fue causada por un producto de factores, que incluyen: la ineficiencia del proceso de excitación electrón-átomo (25%), la eficiencia, imperfecta, de colección de fotones (10%), la transmisión imperfecta de la óptica (83%), y la eficiencia cuántica imperfecta del detector (15%). Aunque la luz generada fue solo muy levemente sub-Poissoniana, el experimento fue una clara prueba del

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principio físico y allanó el camino para los experimentos descritos en la siguiente subsección, que producen efectos mucho mayores [6].

IV. 2. 4. 2 Fotocorriente por debajo del

ruido de recuento El principio para generar luz sub-Poissoniana

que se muestra (Fox, (2007), §II.5.10.1, Fig. 5.14(a)) puede extender fácilmente a emisores de estado sólido como diodos emisores de luz (LED) o diodos láser (LD), que tienen eficiencias mucho más altas que los tubos de descarga. La Fig. 4(a) muestra un esquema para generar luz sub-Poissoniana a partir de un LED y detectarla con un detector de fotodiodo. La Fig. 4(b) muestra los resultados típicos obtenidos para un LED comercial de AlGaAs que opera a 875 nm.

Es conveniente cuantificar la reducción del ruido de recuento en términos del factor Fano, FFano, definido por el cociente entre el ruido medido y el límite de ruido de recuento. El factor Fano para los datos que se muestran en la Fig. 4(b) es, por tanto, 0,79 a 1 MHz. Si la eficiencia total del sistema en la conversión de electrones de alimentación de la batería en fotoelectrones en el circuito detector es ηtotal, entonces se espera que el factor Fano medido sea:

( )1 ,Fano total dr totalF F = + − (21)

donde Fdr es el nivel de ruido de la corriente de alimentación en relación con el nivel de ruido de recuento. Con Fdr = 1, vemos a partir de (21) que FFano = 1 para cualquier valor de ηtotal, pero para una corriente de alimentación fuertemente sub-Poissoniana, tenemos que Fdr → 0 y FFano → (1 – ηtotal). El factor Fano de 0,79 deducido de los datos de la Fig. 4(b) coincidía estrechamente con la eficiencia de conversión total deducida del producto de la eficiencia de emisión del LED, la eficiencia de recolección de fotones y la eficiencia cuántica del detector [8]. La eficiencia cuántica de un LED se define como la relación entre el número de fotones emitidos y el número de electrones que fluyen a través del dispositivo.

El principio que se muestra en la Fig. 4 también se aplica a los diodos láser semiconductores, LDs. Se ha demostrado que el uso de tales láseres en experimentos ópticos da como resultado relaciones señal/ruido sustancialmente mejores que el nivel de ruido de recuento. Los diodos láser ofrecen una serie de ventajas sobre los LED en el contexto de la generación de luz por debajo del ruido de recuento. Por lo general, tienen una mayor eficiencia de emisión y también emiten en las direcciones bien definidas, lo que hace que la recolección de fotones sea más eficiente. Además, tienen anchos de banda de gran ganancia, lo que lleva a la generación de luz de por debajo del ruido de recuento a frecuencias muy altas. La desventaja es que los diodos láser son mucho más sensibles a otras fuentes de ruido que los LED. En particular, son muy sensibles a las inestabilidades en la distribución de potencia entre los modos longitudinales de la cavidad. Esto significa que la mayoría de los diodos láser muestran niveles de ruido muy por encima del límite de ruido de recuento en

Fig. 4 (a) Generación de luz sub-Poissoniana a partir de un LED de alta eficiencia y detección mediante fotodiodo (PD). En este caso, el LED es alimentado por una batería con una resistencia en serie, R, en el circuito de control. El propósito de la resistencia es controlar la corriente que fluye y, en estas circunstancias, las fluctuaciones de corriente están determinadas por el ruido térmico (Johnson) en la resistencia. Siempre que la caída de voltaje a través de la resistencia sea mayor que 2kBT/e, donde T es la temperatura, entonces las fluctuaciones en la corriente de alimentación están por debajo del nivel de ruido de recuento. Con 2kBT/e ~ 50 mV a temperatura ambiente, esta condición se logra fácilmente y la corriente de alimentación es entonces fuertemente sub-Poissoniana. Si el LED tiene una alta eficiencia, entonces las estadísticas de fotones deberían reflejar el carácter sub-Poissoniano de la corriente de alimentación. (b) Espectro de potencia de ruido de fotocorriente amplificado medido, para un LED comercial de AlGaAs que emite a 875 nm, con un fotodiodo de eficiencia cuántica del 90%. La fotocorriente promedio detectada fue de 4,7 mA y el ancho de banda de detección fue de 30 kHz. La curva que se muestra con la línea de puntos corresponde al límite de ruido de recuento calibrado para la misma corriente de 4,7 mA. El ruido del amplificador estaba aproximadamente 9 dB por debajo del nivel de ruido de recuento, como se muestra en la curva inferior del gráfico. Se observa que el ruido de la fotocorriente se encuentra aproximadamente 1,1 dB (21%) por debajo del nivel de ruido de recuento a frecuencias de alrededor de 1 MHz. A frecuencias más altas, el ruido de la fotocorriente tiende al nivel de ruido de recuento debido a la incapacidad del LED para seguir la corriente de alimentación en frecuencias por encima de su límite de respuesta de modulación (5 MHz). La observación de ruido de fotocorriente por debajo del nivel de ruido de recuento indica claramente que las estadísticas de fotones emitidas por el LED son sub-Poissonianas [7].

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todas las frecuencias. En la práctica, la generación de luz por debajo del ruido de recuento a partir de diodos láser suele requerir láseres monomodo con purezas modales muy altas, que a menudo incorporan técnicas de estabilización de modo empleando/que emplean cavidades externas (Fox, (2007), §II.5.10.2).

B. Función de correlación de segundo orden y antibunching de fotones

Aclaración previa: en el presente trabajo se utilizarán los términos científicos ingleses bunching y antibunching. Esto podría traducirse para el lector castellano-parlante, aproximadamente, como agrupados para bunching y “no agrupación/desagrupados” para antibunching o antibunched (siempre refiriéndose a los fotones). En la anterior clasificación, dentro de la cuantificación de la energía de un haz de luz, hemos visto cómo los haces de luz pueden clasificarse según sus estadísticas de fotones. Vimos que la observación de las estadísticas Poissonianas y super-Poissonianas podían explicarse mediante la teoría de ondas clásica, pero no así las estadísticas sub-Poissonianas. Por lo tanto, las estadísticas sub-Poissonianas son una clara muestra de la naturaleza fotónica de la luz. Aquí se expone una segunda forma de clasificar la luz, al cuantificar esta, según la función de correlación de segundo orden g(2)(τ). Esto conducirá a una triple clasificación alternativa en la que la luz se describe como antibunching, coherente o bunched. Se demostrará que la luz antibunching solo es posible en la interpretación fotónica de la luz y, por lo tanto, es otra prueba clara de la naturaleza cuántica de la luz.

Esta clasificación comienza con una descripción clásica de las fluctuaciones de intensidad dependientes del tiempo en un haz de luz. Estos efectos fueron investigados por primera vez en detalle por R. Hanbury Brown y R. Q. Twiss en la década de 1950, y su trabajo ha demostrado posteriormente ser de importancia capital en el desarrollo de la óptica cuántica moderna. Los experimentos de Hanbury Brown-Twiss (HBT) condujeron al concepto de función de correlación de segundo orden, g(2)(τ), cuyos posibles valores para diferentes tipos de luz clásica se analizarán. A continuación se demostrará que la teoría cuántica de la luz puede predecir valores de g(2)(τ) que son completamente imposibles para las ondas de luz clásicas. La luz que exhibe estos resultados no clásicos se describe como antibunched y es particularmente interesante en óptica cuántica. Se concluye esta clasificación con una discusión de las demostraciones experimentales del antibunching de fotones y la aplicación práctica de la luz antibunching en fuentes de fotones individuales, cuyas aplicaciones actuales son variadas (Fox, (2007), §II.6).

I. Introducción. El interferómetro de intensidad

Hanbury Brown y Twiss fueron astrónomos que tenían un interés particular en medir los diámetros de las estrellas. Con este fin, desarrollaron el interferómetro de intensidad estelar mientras trabajaban en el telescopio Jodrell Bank en Inglaterra. Su interferómetro fue diseñado para ser una mejora del interferómetro estelar de Michelson que se implementó originalmente en el telescopio de 2,5 m en Mount Wilson cerca de Los Ángeles en la década de 1920. Brown y Twiss se dieron cuenta de que necesitaban aumentar la separación entre los espejos, d, para mejorar la resolución angular del interferómetro estelar. Sin embargo, a medida que la separación se hace más grande, se vuelve cada vez más difícil mantener los espejos colectores lo suficientemente estables como para observar franjas de interferencia. Para solucionar este problema, Hanbury Brown y Twiss propusieron la disposición mucho más simple (Fox, (2007), §II.6). En su experimento, utilizaron dos espejos reflectores separados para recolectar la luz de una estrella elegida y la enfocaron directamente en fotomultiplicadores separados. La luz registrada en dos detectores separados genera fotocorrientes i1 e i2, que luego se correlacionan entre sí con un multiplicador electrónico Esto evitó la necesidad de formar un patrón de interferencia e hizo que el experimento fuera mucho más fácil de realizar

En el contexto de este trabajo sobre óptica cuántica, el interés de los experimentos HBT está en la interpretación de los resultados. Que el interferómetro mida las correlaciones entre las intensidades de luz registradas por dos fotodetectores separados planteó dificultades conceptuales. Estas pudieron resolverse, en apariencia, adoptando un enfoque semiclásico, en el que la luz se trata de forma clásica y la teoría cuántica solo se introduce en el proceso de fotodetección . Este enfoque fue suficiente para satisfacer a los críticos originales de los experimentos HBT. Sin embargo, resulta que si realmente tratamos la luz como un objeto cuántico, la teoría cuántica de la luz predice resultados en experimentos HBT que son imposibles para la luz clásica. El objetivo de esta clasificación es explicar cómo se pueden observar estos efectos ópticos cuánticos y describir las fuentes que los producen [9].

II. Experimentos de Hanbury Brown-Twiss. Fluctuaciones de intensidad clásicas

El principio detrás de los experimentos HBT es que las fluctuaciones de intensidad de un haz de luz están

relacionadas con su coherencia. Si la luz incidente en los dos detectores es coherente, entonces las fluctuaciones de intensidad estarán correlacionadas entre sí. De esta manera, midiendo las correlaciones de las fluctuaciones de intensidad, se pueden deducir las propiedades de coherencia de la luz. Esto es mucho más fácil que configurar experimentos de interferencia y también nos brinda otra información interesante.

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Hanbury Brown y Twiss se dieron cuenta de que su interferómetro estelar planteaba dificultades conceptuales, por lo que decidieron probar los principios de su experimento en el laboratorio con la disposición más simple, la cual se muestra en (Fox, (2007), §II.6.2, Fig. 6.2). La luz emitida por una lámpara de mercurio se origina en distintos átomos. Esto conduce a fluctuaciones en la intensidad de la luz en escalas de tiempo comparables al tiempo de coherencia, τc. Estas fluctuaciones de la intensidad de la luz se originan por fluctuaciones en el número de átomos emitidos en un momento dado y, también, por saltos y discontinuidades en la fase emitida por los átomos individuales. La luz parcialmente coherente emitida por dicha fuente se denomina caótica para enfatizar la aleatoriedad subyacente del proceso de emisión a nivel microscópico (ver Sección IV. 1. 1, Clasificación A).

En sus experimentos originales, Hanbury Brown y Twiss establecieron τ = 0 y variaron d [10]. A medida que aumentaba d, la coherencia espacial de la luz que incidía en los dos detectores disminuía. Por lo tanto, las correlaciones entre ∆I1 y ∆I2 finalmente desaparecieron para valores grandes de d, y el valor de salida cayó a cero. Por lo tanto, su método proporcionó una forma de determinar la coherencia espacial de la fuente a través de las correlaciones de intensidad disminuida a valores de d grandes. El interferómetro de intensidad estelar funciona según el mismo principio. Remarcar que si el tiempo de respuesta del detector, τD, es mayor que τc, se puede demostrar que la señal en τ = 0 se reduce en un factor (τc/τD). Ver (Loudon (2000), §3.8) o (Mandel & Wolf (1995), §14.7.1). Por lo tanto, cuando τD > τc, todavía se espera que el experimento funcione y el valor de salida caiga a cero en una escala de tiempo ~ τc, aunque se vuelve más difícil observar el efecto debido al tamaño más pequeño de la señal.

III. La función de correlación de segundo orden g(2)(τ)

En la sección anterior consideramos cómo los resultados de los experimentos de HBT pueden explicarse

clásicamente en términos de correlaciones de intensidad. Para analizar estos resultados de manera cuantitativa, es útil introducir la función de correlación de segundo orden de la luz definida por:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )(2) ,

E t E t E t E t I t I tg

I t I tE t E t E t E t

+ + += =

++ + (22)

donde Ε(t) e I(t) son el campo eléctrico y la intensidad del haz de luz en el tiempo t, respectivamente. Los símbolos ⟨ . . . ⟩ indican, de nuevo, promedio temporal calculado mediante integración durante un período de tiempo largo. La función de correlación de segundo orden, g(2)(τ), es el análogo referido a la intensidad de la función de correlación de primer orden, g(1)(τ), que determina la visibilidad de las franjas de interferencia. g(1)(τ) cuantifica la forma en que el campo eléctrico fluctúa en el tiempo, mientras que g(2)(τ) cuantifica las fluctuaciones de intensidad. En los textos de óptica clásica, g(2)(τ) a menudo se denomina grado de coherencia de segundo orden. Escribiendo 𝐼(𝑡) = ⟨𝐼⟩ + ∆𝐼(𝑡), (23), donde ∆𝐼(t) es la fluctuación de la intensidad media, ⟨𝐼⟩, se puede demostrar que , para cualquier dependencia temporal concebible de I(t), siempre se obtendrán los resultados [3]:

( ) ( )2

0 1g , (24); ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 .g g (25)

En acuerdo con (24) y (25), se puede demostrar que, para cualquier fuente con una intensidad variable en

el tiempo, esperamos que g(2)(τ) disminuya con τ, alcanzando el valor de la unidad para τ grande. En el caso especial donde I(t) no varía con el tiempo (fuente monocromática perfectamente coherente con intensidad I0), se obtiene un valor constante de g(2)(τ) = g(2)(0) = 1 al sustituir en (22). Las principales propiedades de la función de correlación de segundo orden, g(2)(τ), se enumeran en la Tabla 4, donde se consideran las formas explícitas de la función de correlación de segundo orden para las diversas formas de luz que se suelen considerar en la óptica clásica. Estas propiedades se obtienen asumiendo que la luz consiste en ondas electromagnéticas clásicas.

Fuente de luz Propiedad Comentario

Todo tipo de luz clásica g(2)(0) ≥ 1; g(2)(0) ≥ g(2)(τ) g(2)(0) = 1 cuando I(t) = constante

Luz perfectamente coherente g(2)(τ) = 1 Para todo valor de τ

Luz caótica gaussiana (2) 2( ) 1 exp[ ( / ) ]cg = + − 𝜏𝑐 = tiempo de coherencia

Luz caótica lorentziana (2)

0( ) 1 exp[ 2 / ]g = + − 𝜏0 = tiempo de vida

Tabla 4. Propiedades de la función de correlación de segundo orden, g(2)(τ), para luz clásica. (Loudon (2000), §3.7) para la obtención de g(2)(τ) para luz caótica. Fuente: Elaboración propia.

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En las siguientes secciones, se reconsiderarán los experimentos de en el dominio cuántico, en lugar de utilizar ondas de luz clásicas. Se encontrará que las dos condiciones dadas en las ecuaciones (24) y (25) no necesariamente tienen que cumplirse. En particular, se verá que es posible tener luz con g(2)(τ) < 1, violando el resultado clásico dado en la ecuación (24) (Fox, (2007), §II.6.3).

IV. Experimentos de Hanbury Brown-Twiss. Interpretación cuántica

En esta sección se reexamina cualitativamente el experimento de Hanbury Brown-Twiss (HBT) desde la teoría cuántica de la luz, teniendo como ejemplo Fig. 5. En la sección III discutimos la función g(2)(τ) clásicamente en términos de correlaciones de intensidad. Dado que el número de conteos registrados en un detector de conteo de fotones es proporcional a la intensidad (véase la ecuación (2)), podemos reescribir la definición clásica de g(2)(τ) dada en la ecuación (22) como:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1 22

1 2

,n t n t

gn t n t

+=

+ (26)

donde ni(t) es el número de conteos registrados en el detector i en el tiempo t. Esto demuestra que g(2)(τ) depende de la probabilidad simultánea de contar fotones en el tiempo t en D1 y en el tiempo t + τ en D2. En otras palabras, g(2)(τ) es proporcional a la probabilidad condicional de detectar un segundo fotón en el tiempo t = τ, siempre y cuando se detecte uno en t = 0. Esto es exactamente lo que el histograma del experimento HBT con detectores de conteo de fotones registra en la Fig. 5(b). Por lo tanto, los resultados del experimento HBT también dan una medida directa de la función de correlación de segundo orden en la interpretación fotónica de la luz. Matizar que se está asumiendo que los detectores tienen eficiencias cuánticas unitarias. Detectores menos perfectos reducirían la tasa de conteo general, aunque no afectarían a la parte esencial del argumento. Se puede llegar a la conclusión de que resultados completamente diferentes son posibles con fotones en el puerto de entrada del divisor de haz en vez con una onda electromagnética clásica.

Supongamos que la luz entrante consiste en una corriente de fotones con largos intervalos de tiempo entre fotones sucesivos. Los fotones inciden sobre el divisor de haz uno por uno y se dirigen aleatoriamente a D1 o D2 con la misma probabilidad. De acuerdo con Fig. 5(a) el proceso continúa hasta que finalmente se logra un pulso de parada. Esto podría suceder con cualquier fotón posterior al que inicia el contador/temporizador, pero nunca en τ = 0. Por lo tanto, tenemos una situación en la que no esperamos eventos en τ = 0, pero sí para valores mayores de τ, que claramente contradicen el resultado clásico dado en las ecuaciones (24) y (25). Por tanto, se ve inmediatamente que el experimento con fotones puede dar resultados que no son posibles en la teoría clásica de la luz. La observación del resultado no clásico con g(2)(0) = 0 surgió del hecho de que el flujo de fotones consistía en fotones individuales separados por largos intervalos de tiempo entre ellos.

Considérese ahora un escenario diferente en el que los fotones llegan agrupados. La mitad de los fotones se dividen y van hacia D1 y la otra mitad hacia D2. Estos dos grupos subdivididos golpean los detectores al mismo tiempo y habrá una alta probabilidad de que ambos detectores registren eventos simultáneamente. Por lo tanto, habrá un gran número de eventos cerca de τ = 0. Por otro lado, a medida que τ aumenta, la probabilidad de obtener un pulso de parada después de que se haya registrado un pulso de inicio disminuye y, por lo tanto, el número de eventos registrados disminuye. Entonces, tenemos una situación con muchos eventos cerca de τ = 0 y pocos eventos en momentos posteriores, lo que es totalmente compatible con los resultados clásicos de las ecuaciones (24) y (25). Esta simple discusión debería hacer evidente que a veces la imagen de fotones coincide con los resultados clásicos y otras veces no. El punto clave se relaciona con los intervalos de tiempo entre los fotones en el haz de luz; es decir, si los fotones vienen en agrupados o si se dispersan regularmente (Fox, (2007), §II.6.4). Esto, naturalmente, nos lleva a los conceptos de luz agrupada y antibunched, que es el tema de la siguiente sección.

Fig. 5 (a) Experimento de Hanbury Brown-Twiss (HBT) con una corriente de fotones incidiendo en el divisor de haz 50:50. Los pulsos de los detectores de conteo de fotón único D1 y D2 se alimentan a las entradas de inicio y parada de un contador/temporizador electrónico. El contador/temporizador cuenta el número de pulsos de cada detector y también registra el tiempo que transcurre entre los pulsos en las entradas de inicio y parada. (b) Resultados típicos de tal experimento. Los resultados se presentan como un histograma que muestra el número de eventos registrados dentro de un intervalo de tiempo particular. En este caso, el histograma muestra los resultados que se obtendrían para un flujo de fotones agrupados (Fox, (2007), §II.6.4). El resultado recuerda mucho a (Fox, (2007), §II.6.3, Fig 6.4).

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V. Agrupamiento y antibunching de fotones

En la clasificación A, sección IV, se introdujo una clasificación triple de la luz según si las estadísticos eran sub-Poissonianas, Poissonianas o super-Poissonianas. Ahora hacemos una clasificación triple diferente según la función de correlación de segundo orden g(2)(τ). La clasificación se basa en el valor de g(2)(τ) y se plasma en la Tabla 5.

Comparando las Tablas 4 y 5, vemos que la luz agrupada y coherente son compatibles con los resultados clásicos, pero no así la luz antibunched. La luz antibunched no tiene una contraparte clásica y es, por tanto, un fenómeno óptico puramente cuántico. En la Fig. 6 se ilustra de forma muy simple las diferencias entre los tres tipos de luz en función de los flujos de fotones. El punto de referencia es el caso en el que los intervalos temporales entre los fotones son aleatorios. Luego tenemos el caso en el que los fotones se extienden con intervalos de tiempo más regulares entre ellos, o donde se apelotonan en agrupaciones. Estos tres casos corresponden a luz coherente, antibunched y agrupada, respectivamente. En lo que sigue a continuación, exploramos las propiedades de cada uno de estos tres tipos de luz con más detalle, comenzando con la luz coherente.

V. 1 Luz coherente

En la sección III vimos que la luz perfectamente coherente tiene g(2)(τ) = 1 para todos los valores de τ, incluido τ = 0. Por lo tanto, proporciona una referencia conveniente para clasificar otros tipos de luz. En la Clasificación A, Sección III, se comprobó que la luz perfectamente coherente tiene estadísticas de fotones de Poisson, con intervalos de tiempo aleatorios entre los fotones. Esto implica que la probabilidad de obtener un pulso de parada es la misma para todos los valores de τ (referido a HBT de la sección IV, si el divisor de haz se comportase igual en ambas situaciones, es decir, si envía de cada dos fotones uno al primer detector y otro al segundo detector, según vimos en la explicación de (26)). Por tanto, podemos interpretar el hecho de que la luz coherente tiene g(2)(τ) = 1 para todos los valores de τ (véase la sección III y (Fox, (2007), §II.6.3, Fig 6.4)) como una manifestación de la aleatoriedad de las estadísticas de fotones de Poisson (Fox, (2007), §II.6.5.1).

V. 2 Luz agrupada

La luz agrupada se define como luz con g(2)(0) > 1. Como sugiere el

nombre, consiste en una corriente de fotones con estos apilados en grupos. El agrupamiento de fotones es la tendencia de los fotones (u otras partículas) a distribuirse preferentemente en grupos en lugar de al azar, de modo que cuando un haz de luz incide sobre un fotodetector se detectan en intervalos de tiempo más pares de fotones juntos que separados [11]. Esto significa que si detectamos un fotón en el tiempo t = 0, existe una mayor probabilidad de detectar otro fotón en tiempos cortos que en tiempos largos. Por tanto, se espera que g(2)(τ) sea mayor para valores pequeños de τ que para valores más grandes, de modo que g(2)(0) > g(2)(∞). Hemos visto en la sección III que la luz clásica debe satisfacer las ecuaciones (24) y (25). Es evidente que la luz agrupada satisface estas condiciones y, por lo tanto, es consistente con una interpretación clásica. También se desprende de la Tabla 4 que la luz caótica también satisface estas condiciones. El vínculo entre la agrupación de fotones y la luz caótica se ilustra esquemáticamente en la (Fox, (2007), §II.6.5, Fig. 6.7).. Dado que el número de fotones es proporcional a la intensidad instantánea, habrá más fotones en los intervalos de tiempo que corresponden a las fluctuaciones de alta intensidad y menos en las fluctuaciones de baja intensidad. La tendencia de los fotones a agruparse puede considerarse una manifestación de su naturaleza bosónica (Fox, (2007), §II.6.5.2).

V. 3 Luz antibunched

En la luz antibunched, los fotones viajan con un espaciado regular entre ellos, en lugar de con un espaciado aleatorio. Esto se ilustra esquemáticamente en la Fig. 6. Si el flujo de fotones es regular, habrá largos intervalos de tiempo entre la observación de los eventos de conteo de fotones. En este caso, la probabilidad de obtener

Descripción clásica Flujo de fotones g(2)(0)

Caótica Agrupado > 1

Coherente Aleatorio 1

Ninguna Antibunched < 1

Tabla 5. Comparación de las corrientes de fotones para luz antibunched, luz coherente y luz agrupada. Para el caso de luz coherente, las estadísticas de fotones de Poisson corresponden a intervalos de tiempo aleatorios entre los fotones. Fuente: elaboración propia.

Fig. 6 Clasificación de la luz según los intervalos de tiempo entre los fotones. La luz antibunched es un estado puramente cuántico sin equivalente clásico: la luz clásica debe cumplir g(2)(0) ≥ 1 (Fox, (2007), §II.6.5).

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un fotón en D2 después de detectar uno en D1 es pequeña para valores pequeños de τ y luego aumenta con τ. Por lo tanto, la luz antibunched cumple:

( ) ( )20 1g ,

( ) ( ) ( ) ( )2 20 .g g (27)

Esto viola las ecuaciones (24) y (25) que se aplican a la luz clásica. Por tanto, la observación del

antibunching de fotones es un efecto puramente cuántico sin contraparte clásica. Las funciones g(2)(τ) para dos posibles formas de luz antibunched se trazan esquemáticamente en (Fox, (2007), §II.6.5, Fig. 6.8). El punto clave es que g(2)(τ) es menor que la unidad (Fox, (2007), §II.6.5.3).

En la Clasificación A, Sección IV. 2, se habló sobre las propiedades de la luz sub-Poissoniana y se llegó a la conclusión de que, al igual que la luz antibunched, también es una prueba clara de la naturaleza cuántica de la luz. Surge la pregunta de si el antibunching de fotones y la estadística de fotones sub-Poissoniana son manifestaciones diferentes del mismo fenómeno óptico cuántico. Este punto ha sido considerado por Zou y Mandel y la respuesta es negativa. Las estadísticas de conteo de fotones sub-Poissonianas no implican necesariamente antibunching de fotones, pero pueden ir acompañadas de agrupamiento, debido a la tendencia que tienen los pares de fotones de estar con más frecuencia juntos que separados. Por lo tanto, las estadísticas sub-Poissonianas y el antibunching son efectos distintos y es importante que no se confundan las definiciones de estos fenómenos. Al mismo tiempo, es evidente que una corriente de fotones regular como la ilustrada en la Fig. 6 tendrá estadísticas de fotones sub-Poissonianas. Por lo tanto, aunque los dos fenómenos no son idénticos, con frecuencia se dará el caso de que la luz no clásica muestre estadísticas de fotones sub-Poissonianas y antibunching al mismo tiempo [11].

VI. Demostraciones experimentales del antibunching de fotones

Como ya se mencionó en la Tabla 2, la primera demostración exitosa del antibunching de fotones fue realizada por Kimble et al. en 1977 utilizando la luz emitida por átomos de sodio. El principio básico de un experimento de antibunching de fotones es aislar una especie emisora individual (es decir, un átomo, molécula, punto cuántico o centro de color individual) y regular el ratio al que los fotones son emitidos por fluorescencia. Esto se consigue alumbrando con un láser la especie emisora para excitarla, y luego esperando a que se emita el fotón. Una vez que se ha emitido un fotón, se necesitará un tiempo aproximadamente igual al tiempo de vida radiativo de la transición, es decir, τR, antes de que se pueda emitir el siguiente fotón. Esto deja espacios prolongados entre los fotones, por lo que se obtendrá una luz antibunched [12]. Dado que la emisión espontánea es un proceso probabilístico, el tiempo de emisión no será el mismo para cada ciclo, lo que significa que la corriente de fotones no será exactamente regular. Sin embargo, está claro que la probabilidad de emisión de dos fotones con una separación de tiempo τR será muy pequeña. Por lo tanto, habrá muy pocos eventos en los que los detectores de inicio y parada del experimento correlacionador de HBT de la Fig. 5 se activen simultáneamente, por lo que se obtendrá g(2)(0) ≈ 0. Es importante el filtrado de la luz para que solo se detecte una única longitud de onda de transición (Fox, (2007), §II.6.7, Fig. 6.12).

Llegados a este punto, es coherente preguntarse por qué no observamos los mismos efectos antibunching en una fuente de luz convencional, como una lámpara de descarga. La clave es que estos efectos solo se observan si miramos la luz de un solo átomo. El ciclo de excitación-emisión tiene lugar para cada átomo individual en una lámpara de descarga, pero la luz que se emite se origina en millones de átomos. Los procesos de excitación y emisión para los diferentes átomos son estadísticamente independientes, por lo que todos emiten en momentos distintos. Esto produce las agrupaciones de fotones que se observan en la luz emitida por una gran cantidad de átomos en una lámpara de descarga. La Fig. 7 muestra un diagrama esquemático del aparato utilizado por Kimble et al. en 1977 para observar el antibunching de fotones de un átomo de sodio y sus resultados.

Desde un punto de vista teórico, se esperaba que g(2)(0) fuera cero si sólo se observaba un átomo (Véase la curva sólida en la Fig. 7(b)). La razón por la que el valor experimental fue mayor (que cero) estaba relacionada con la dificultad experimental de conseguir que sólo un átomo estuviera en el campo de visión de la lente colectora en un momento dado. En la práctica, a veces había dos o más, y esto aumentaba el valor de g(2)(0) debido a la posibilidad de que dos fotones procedentes de diferentes átomos incidieran en el divisor de haz al mismo tiempo y, consecuentemente, dando lugar a un evento en τ = 0 si los dos fotones fueran a diferentes detectores. En los años posteriores al trabajo de Kimble et al., se ha avanzado mucho en los experimentos de antibunching atómico. Por ejemplo, se ha demostrado el antibunching de un láser de un átomo en el régimen de acoplamiento fuerte de la electrodinámica cuántica de cavidades (QED) [13]. Además, se ha observado antibunching en muchos otros tipos de emisores de luz, incluidas varias fuentes de estado sólido, como:

• moléculas tintadas fluorescentes dopadas en un vaso o cristal, [14]; • puntos cuánticos semiconductores, [15]; • centros de color en diamantes, [16].

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Como ejemplo, en [15] muestra la función g(2)(τ) medida para un punto cuántico semiconductor individual

a temperaturas criogénicas. La muestra consistió en un punto cuántico de InAs incrustado dentro de un microdisco de GaAs. El propósito del microdisco era aumentar la eficiencia de recolección de los fotones emitidos por el punto cuántico. El resultado obtenido a 4 K para g(2)(0) fue de ~ 0.2 y es una clara prueba de antibunching fotónico. En este experimento, la razón principal por la que g(2)(0) no daba como resultado cero estaba relacionada con el tiempo de respuesta finito del detector, es decir, 0.42 ns. Nótese que esta es una situación diferente a la del experimento con sodio que se muestra en la Fig. 7, donde la vida radiativa era mucho más prolongada. Al mismo tiempo, los puntos cuánticos se fijaron en la red cristalina, por lo que no había posibilidad de que más de una especie emisora pudiera contribuir a la fluorescencia. (Fox, (2007), §II.6.6).

VII. Fuentes de fotones individuales

Aclaración para el lector: en este trabajo se utiliza la expresión “fuente de fotones individuales accionada” como traducción de la expresión inglesa triggered single-photon source. Una aplicación de las técnicas para la generación de luz antibunched es el desarrollo de una fuente de fotones individuales accionada. La idea fundamental de una fuente de fotones individuales es que la fuente debe emitir exactamente un fotón en respuesta a un pulso de activación, que puede ser eléctrico u óptico. El principio de funcionamiento se muestra en la (Fox, (2007), §II.6.7, Fig. 6.12), siendo posible seleccionar el fotón de una transición particular filtrando (F) la fluorescencia. La forma más sencilla de crear una fuente fotones individuales accionada es utilizar un accionador óptico de un láser adecuado. En este trabajo se analizará una de las fuentes emisoras en estado sólido: los puntos cuánticos semiconductores. Los dos primeros resultados para estas fuentes son descritos en [15] y [17]. Sin embargo, en el largo plazo será importante desarrollar dispositivos activados eléctricamente como el desarrollado en [18] o el que aquí se describe [19]. La Fig. 8 ilustra una implementación de este tipo, incorporando un solo punto cuántico como especie emisora de luz (Fox, (2007), §II.6.7).

Los resultados mostrados en la Fig. 8 representan un paso sustancial hacia el desarrollo de una fuente conveniente para generar fotones individuales cuando sea necesario bajo demanda. En la actualidad, las principales dificultades experimentales que deben superarse antes de que estas fuentes de fotón único encuentren aplicaciones más extendidas son: 1) La baja eficiencia cuántica general, aunque se han dado avances en los últimos años [20]; (2) La baja temperatura de funcionamiento necesaria, que fue de 5 K para los datos presentados en la Fig. 8. La mayoría de las fuentes de fotón único de puntos cuánticos necesitan funcionar a temperaturas criogénicas, lo que sigue siendo un desafío técnico [21]. Por completitud, al haber mencionado otras dos fuentes emisoras en estado sólido en la Sección VI, en los siguientes artículos se describen fuentes de fotones individuales creadas a partir de estas fuentes en estado sólido: moléculas tintadas fluorescentes dopadas, [22]; centros de color en diamantes, [23].

Fig. 7 (a) Representación esquemática del aparato utilizado para observar el antibunching de fotones de la transición 32P3/2 → 32S1/2 a 589.0 nm en sodio atómico. El haz atómico de sodio se excitó con un láser resonante y se recogió la fluorescencia de uno o dos átomos únicamente con una lente de objetivo de microscopio. Usando un haz muy diluido, fue posible conseguir que, en promedio, no más de uno o dos átomos pudieran contribuir a la fluorescencia recolectada al mismo tiempo. A continuación, el haz de luz se dividió mediante un divisor de haz 50:50 y se detectó con dos tubos fotomultiplicadores (PMT1 y PMT2) en una disposición HBT. (b) Resultados obtenidos para la función de correlación de segundo orden g(2)(τ) extraída de los datos. La línea continua es un ajuste teórico calculado para un solo átomo. Se registraron muy pocos eventos cerca de τ = 0 y, a continuación, g(2)(τ) aumentó en una escala de tiempo comparable a la vida radiativa, es decir, 16 ns. En retardos de tiempo grandes, g(2)(τ) decayó hacia el valor asintótico de la unidad. El valor medido de g(2)(τ) fue 0.4, lo que era una clara indicación de que la luz era antibunched. [1, 12]

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VII. 1 Aplicaciones

Las fuentes de fotones individuales tienen aplicaciones múltiples, y crecientes en importancia. Aquí se mencionarán cuatro campos, poniendo el foco en el último de ellos en otro apartado: la criptografía cuántica.

1) Se pueden utilizar como generadores de números verdaderamente aleatorios. Los fotones individuales que entran en un divisor de haz exhiben una indeterminación cuántica inherente. Los números aleatorios se utilizan ampliamente en simulaciones que utilizan el método de Monte Carlo [21].

2) Las fuentes de fotones individuales son de gran importancia en la ciencia de la comunicación cuántica. Sigue siendo un desafío crear fuentes de fotones individuales de punto(s) cuántico(s) de alta calidad en la longitud de onda de las telecomunicaciones para aplicaciones de telecomunicaciones por fibra, aunque se han dado avances [20]. También se están implementando estrategias de negocio en el sector de la energía [25].

1) Las fuentes de fotones individuales se pueden utilizar para probar algunas propiedades fundamentales de la teoría cuántica de campos. Por ejemplo, en [24], se muestra un elegante experimento que demuestra la dualidad onda-partícula de la luz utilizando una fuente de fotón único de punto cuántico. Un divisor de haz 50:50 envía la mitad de los fotones a un interferómetro de Michelson y la otra mitad a un experimento HBT. Se observaron franjas de interferencia al mismo tiempo que el antibunching.

VII. 1. 1 Criptografía cuántica

Las fuentes de fotones individuales son esenciales en la criptografía cuántica, así como para los experimentos relacionados con ella, con el fin de mejorar su seguridad. La criptografía cuántica consiste en el uso de la mecánica cuántica para posibilitar la detección de intromisiones no deseadas cuando se transfiere información confidencial entre dos partes. Los conceptos fundamentales de la criptografía cuántica se desarrollaron en la década de 1980 y la primera prueba de concepto tuvo lugar en 1992. Al hablar de criptografía cuántica, siempre nos encontramos con tres personajes ficticios: Alice, Bob y Eve. Alice y Bob son las dos personas que desean intercambiar información. Eve es la “espía” que está tratando de interceptar el mensaje y robarlo sin revelar su presencia. La tarea de la criptografía cuántica es proporcionar un esquema que permita detectar la actividad de Eve. La criptografía cuántica no siempre protege contra ataques de espionaje, pero proporciona una forma segura de saber cuándo se ha interceptado el mensaje. Esto permite a Alice y Bob configurar un sistema para transferir claves privadas con la certeza de

Fig. 8 Fuente de fotones individuales accionada eléctricamente. (a) Representación esquemática del experimento. La fuente consistía en un LED de punto cuántico alimentado por una fuente de voltaje pulsado. Se insertó una sola capa de puntos cuánticos de InAs dentro de la región intrínseca (I) de un diodo P-I-N de GaAs. Los puntos cuánticos emitieron pulsos de luz en respuesta a la fuente de voltaje pulsado. Los fotones se transmitieron a través de la capa transparente de GaAs tipo N por encima de los puntos cuánticos y luego a través de una pequeña abertura en el contacto superior metálico. Esta apertura era lo suficientemente pequeña como para seleccionar la luz de sólo unos pocos puntos cuánticos, que emitían en diferentes longitudes de onda debido a sus diferentes tamaños. A continuación, se utilizó un espectrómetro como filtro espectral para seleccionar la emisión a 889.3 nm de un punto cuántico individual. Las estadísticas de estos fotones seleccionados se midieron utilizando una disposición HBT con SPAD rápidos como detectores. (b) Resultados obtenidos para una frecuencia de repetición de pulsos de 80 MHz con el dispositivo a 5 K. La tasa de conteo mostró picos correspondientes al período del tren de pulsos de 12.5 ns. La ausencia de un pico en el intervalo de tiempo cero indica la baja probabilidad de que el punto cuántico emitiera dos fotones de la misma longitud de onda al mismo tiempo. La característica clave de los resultados es el número muy pequeño de eventos registrados cerca de τ = 0. Esto indica que la fuente está emitiendo solo un fotón en cada pulso, porque tendría que haber al menos dos fotones en el pulso para registrar eventos en τ = 0. En otras palabras, se debe haber logrado una fuente de luz de fotón único [19], simplificación de (Fox, (2007), §II.6.7, Fig. 6.13).

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que la clave es realmente privada. Si detectan la presencia de un espía, pueden simplemente descartar los bits transferidos mientras Eve estaba escuchando y empezar de nuevo. Una vez que han compartido con éxito la clave privada, pueden usarla para cifrar un mensaje secreto que se puede transmitir a través de canales públicos a altas velocidades de transmisión de datos. Siempre y cuando se encripte con una nueva clave cada mensaje, se estará utilizando de forma efectiva cifrados de un solo uso y el mensaje será totalmente seguro contra ataques de espionaje de terceros no deseados (Fox, (2007), §IV.12.5).

Exploremos con más detalle los requisitos de la fuente de luz que utiliza Alice para generar los fotones que envía. Se supone que Alice debe enviar, y solo envía, un fotón por vez a Bob. Si enviara más de un fotón, se arriesgaría a revelarle información a Eve. La conclusión es que se debe procurar a toda costa que solo haya un fotón en cada pulso de luz. Pero esto no es tan fácil de conseguir en la práctica. El procedimiento estándar para producir una fuente de fotón único es tomar un láser pulsado y atenuarlo muy fuertemente de modo que el número medio de fotones por pulso, �̅�, sea pequeño. En la Clasificación A hemos visto que se espera que la luz de un láser de frecuencia única tenga estadísticas de fotones de Poisson. Cuando �̅� es pequeño, la mayoría de los intervalos de tiempo no contendrán fotones, una pequeña fracción contendrá un fotón y un número muy pequeño contendrá más de un fotón. Las probabilidades relativas están determinadas por las estadísticas de fotones de Poisson de los pulsos de láser atenuados. Un enfoque mucho mejor es utilizar una fuente genuina de fotones individuales. Esta es una fuente que emite exactamente un fotón bajo demanda, como se describe en la Clasificación B, Sección VII. Se han realizado experimentos de criptografía cuántica simples con tales fuentes, pero hasta ahora han sido poco apropiados o lentos para ser utilizados en los sistemas más avanzados. El desarrollo de fuente de fotones individuales accionada convenientes y rápidas es, como ya se ha señalado, un área de investigación muy activa en la actualidad (Fox, (2007), §IV.12.2). El proceso de compartir claves secretas de una forma segura se llama distribución de claves cuánticas. Se han propuesto e implementado varios esquemas en el laboratorio, siendo los más famosos el protocolo de Bennet-Brassard 84 (BB84) y el Bennet 92 (B92). Poniendo como ejemplo el primero, el esquema BB84 [26] es el primer [27] esquema de distribución de claves cuánticas demostrablemente seguro, desarrollado por Charles Bennett y Gilles Brassard en 1984. Funciona con una fuente de luz que emite perfectamente un único fotón a la vez y se basa en: 1) la propiedad cuántica de que la ganancia de información solo es posible a expensas de perturbar la señal si los dos estados que uno está tratando de distinguir no son ortogonales (ver teorema de no clonación a continuación) y 2) un canal clásico público autenticado [28]. Por lo general, se explica como un método para comunicar de forma segura una clave privada de una parte a otra para su empleo en el cifrado de un solo uso [29]. Debido al teorema de no clonación cuántica [30], no puede haber escuchas no deseadas sin que estas sean percibidas. En pocas palabras, este teorema establece que no es posible clonar el fotón original. El uso de la aleatoriedad cuántica al escribir la clave evita cualquier patrón en la clave que pueda usarse para descifrar el código.

Una implementación práctica consiste en la transmisión de polarizaciones lineales de 0°, 90°, 45° y 135° por Alice a través de fibra óptica. Esto es posible mediante la codificación o modulación de la polarización. En el receptor, las cuatro polarizaciones generalmente aparecerán cambiadas, debido a la birrefringencia de la fibra. Antes de que Bob pueda analizarlas, un controlador de polarización adecuado debe volver a transformarlas al sistema de coordenadas original. No sólo se va a transformar una polarización arbitraria en una deseada sino que también se debe controlar el desplazamiento de fase entre esta polarización y su ortogonal. Los estados de polarización ortogonal forman la base para considerar el fotón como un bit cuántico o qubit [26] (Fox, (2007), §IV.12.3). Otra aplicación y razón de las multimillonarias inversiones actuales es el desarrollo de protectores de la privacidad, debido al desarrollo en paralelo de la computación cuántica y las próximas amenazas causadas por sistemas cuánticos. La capacidad de las computadoras cuánticas para factorizar grandes números podría romper muchos de los conocidos criptosistemas RSA y criptosistemas discretos basados en registros [31]. Algunas de las empresas más importante trabajando en el desarrollo de la información o computación cuántica son Accenture [32], Google [33], IBM [34] e Intel [35], entre otras.

Referencias

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