FUNCIONES

Si una variable y depende de otra variable x se dice que y esfuncion de x y lo denotamos como

y = f(x) (y es igual a f de x)

Por ejemplo el area del crculo depende de su radio

A = f(r)

A = pir2

Definicion. 1 Una funcion de un conjunto D a un conjuntoY es una regla que asigna a cada elemento de x D un elementounico f(x) Y .

El conjunto D de todos los valores posibles de entrada posiblese llama dominio de la funcion. El conjunto de todos los valoresde f(x) se denomina rango o imagen de la funcion. El rangopuede no incluir todos los elementos del conjunto Y .

El dominio puede restringirse segun el contexto.

A = pir2, D = {r R|r 0}.Si el dominio no se da explicitamente se supone que es el

maximo conjunto de valores x reales para los que la formula davalores reales y se llama dominio natural.

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OPERACIONES CON FUNCIONES

Definicion. 2 Sean f y g dos funciones:

su suma, denotada por f + g, es la funcion definida por(f + g)(x) = f(x) + g(x)

su diferencia, denotada por f g, es la funcion definidapor

(f g)(x) = f(x) g(x) su producto, denotado por f g, es la funcion definida por

(f g)(x) = f(x) g(x)

su cociente, denotad por f/g, es la funcion definida por(f/g)(x) = f(x)/g(x)

En todos estos casos el dominio de la funcion resultante consisteen todos los valores de x comunes a los dominios de f y g (i.e.Df Dg ), con el requisito que en el cociente se excluyen losvalores de x para los cuales g(x) = 0.

Definicion. 3 Dadas las funciones f y g, la funcion com-puesta, representada por f g, esta definida por

(f g)(x) = f(g(x))y el dominio de f g es el conjunto de todos los numeros x enel dominio de g, tales que g(x) se encuentre en el dominio de f .

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Funciones inyectivas, suprayectivas, biyectivase inversas

Definicion. 4 Una funcion f : A B se llama inyectiva sipara toda pareja a1, a2 A con a1 6= a2 se tiene f(a1) 6= f(a2).Esto equivale a

f(a1) = f(a2) implica a1 = a2.

Definicion. 5 Una funcion f : A B se llama suprayectivasi el Rango de f es todo B; es decir, si para todo b B existea A tal que f(a) = bDefinicion. 6 Una funcion f : A B se llama biyectiva sies inyectiva y suprayectiva.

Definicion. 7 (Funcion inversa) Suponga que f : A B esbiyectiva. La funcion inversa se define como

f1(a) = b si f(b) = a.

El dominio de f1 es B y su rango es A

Componer una funcion y su inversa anula cualquier trabajo.

(f1 f)(x) = x para toda x en dominio de f(f f1)(x) = x para toda x en dominio de f1

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Determinacion de la funcion inversa

El proceso de pasar de f a f1 puede resumirse en dos pasos

1. Despejar x en la ecuacion y = f(x). Esto proporcionauna formula x = f1(y), en donde x se expresa como unafuncion de y.

2. Intercambiar x y y para obtener una formula y = f1(x),en donde f1 se expresa en el formato convencional, con xcomo la variable independiente y y como la variable depen-diente.

Definicion. 8 (Funcion par, funcion impar) Una funcion y =f(x) es una

funcion par de x si f(x) = f(x)funcion impar de x si f(x) = f(x),

para toda x en el dominio de la funcion.

La grafica de una funcion par es simetrica con respecto al eje yy la grafica de una funcion impar es simetrica con respecto alorigen.

Una funcion impar siempre es inyectiva (porque?) pero noasi una funcion par, a menos que restringamos su dominio.

Una funcion y = f(x) se dice que es creciente si cuandoa < b se tiene que f(a) < f(b) para todo a, b en el dominio def . Toda funcion creciente es inyectiva (porque?).

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