CALCULO DE CENTROS DE MASADeterminar la posicin del C.M. de un semicono. Solucin: I.T.I. 01, I.T.T. 01, 04 Sea el semicono de la figura orientado a lo largo del eje X, de altura H y radio R. Dado que el plano XY es un plano de simetra que divide al semicono en dos mitades simtricas, el C.M. se encontrar en dicho plano, con lo cual la coordenada z del C.M. ser nula:zC.M . = 0

y z H R x

Para el clculo de la coordenada x del C.M. dividimos al semicono en rodajas en forma de semidiscos de radio r y espesor dx. La abertura del cono nos da la relacin entre la coordenada x y el radio r de los semidiscos:R r = H x R r = x H

y z x x r

El volumen de cada uno de los semidiscos ser:

1 1 R dV = r2 dx = x 2 dx 2 2 HEl volumen total del semicono ser:H

2

1 R 2 1 V = dV = x dx = R 2 H 6 2 H 0

2

La coordenada x del C.M. ser:H

1 R 3 1 2 2 x dV = 2 H x dx = 8 R H 0

2

xC.M . =

x dV = dV

3 H 4

Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de volumen del clculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicrculo de radio r se encuentra a

4r del dimetro, vamos a tomar esta posicin como la 3 representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.una distanciaH

4r 4r 1 ysemidisco dV = 3 dV = 3 2 r 2dx = 0 H H

2 2 R 1 = r3 dx = x 3 dx = R 3 H 3 6 3 H 00

3

y C.M . =

y

semidisco

dV

dV

=

R

Calcular el centro de masas de medio paraboloide (y 0) de revolucin alrededor del eje X, cuyo radio en la base es R, la altura es H, y su vrtice se encuentra en el origen de coordenadas. Solucin: I.T.I. 03, 04, I.T.T. 01 y z H R x Sea el semiparaboloide de la figura orientado a lo largo del eje X, de altura H y radio R. Dado que el plano XY es un plano de simetra que divide al semiparaboloide en dos mitades simtricas, el C.M. se encontrar en dicho plano, con lo cual la coordenada z del C.M. ser nula: zC.M . = 0 Para el clculo de la coordenada x del C.M. dividimos al semiparaboloide en rodajas en forma de semidiscos de radio r y espesor dx. La ecuacin del paraboloide nos da la relacin entre la coordenada x y el radio r de los semidiscos:1

y z x r xx = k r 2 H = k R 2

H k= 2 R

R 2 r = H

2 x

El volumen de cada uno de los semidiscos ser:

1 1 R 2 dV = r2 dx = x dx 2 2 H

El volumen total del semiparaboloide ser:H

1 R 2 1 V = dV = x dx = R 2 H 4 2 H 0

La coordenada x del C.M. ser:a

1 R 2 2 1 2 2 x dV = 2 H x dx = 6 R H 0

xC .M . =

x dV = dV

2 H 3

Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de volumen del clculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicrculo de radio r se encuentra a 4r una distancia del dimetro, vamos a tomar esta posicin como la 3 representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.H

4r 4r 1 ysemidisco dV = 3 dV = 3 2 r 2dx = 0

2 R 2 2 = r 3 dx = 3 H 3 00

H

H

3

2 4 3 x dx = RH 15 dV

yC .M . =

y

semidisco

dV

=

16R 15

Determinar la posicin del C.M. de una semiesfera. Solucin: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 01, 04 Sea la semiesfera de la figura orientada con su eje de revolucin a lo largo del eje Z, y de radio R. Dado que el eje Z es un eje de simetra de la semiesfera, el C.M. se encontrar en dicho eje, con lo cual las coordenadas x e y del C.M. sern nulas:xC .M . = 0 yC .M . = 0

z R x y

Para el clculo de la coordenada z del C.M. vamos a dividir la semiesfera en rodajas circulares de radio r y espesor dz. La ecuacin de la circunferencia nos dar la relacin entre r y z: zr +z =R2 2 2

z r R

r=

R z

2

2

El volumen de la semiesfera es:

2 V = dV = r dz = (R 2 z2 ) dz = R 3 3 02

R

La coordenada z del C.M. ser:R

z dV = (R0

2

z2 ) z dz =

4 R 43 R 8

zC.M . =

z dV = dV

y Determinar el centro de masas del cuerpo de la figura. z h Solucin: I.T.I. 02, I.T.T. 99, 02

parbola a x

Dado que el plano XY es un plano de simetra que divide a la figura en dos mitades simtricas, el C.M. se encontrar en dicho plano, con lo cual la coordenada z del C.M. ser nula:zC.M . = 0

Para el clculo de la coordenada x del C.M. dividimos al semicono en rodajas en forma de semidiscos de radio r y espesor dx. La relacin entre la coordenada x y el radio r de los semidiscos vendr dada por la ecuacin de la parbola:r = Cx 2 a = Ch 2 a r = 2 x 2 h

y z x x

El volumen de cada uno de los semidiscos ser:

1 1 a dV = r2 dx = 2 x 4 dx 2 2 hEl volumen total de la figura ser:

2

1 a 4 a h 5 V = dV = 2 x dx = 2 2 h 5 2 h0

h

2

2

La coordenada x del C.M. ser:

1 a 5 a h 6 x dV = 2 h 2 x dx = 2 h 2 6 0

a

2

2

xC .M . =

x dV = dV

5 h 6

Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de volumen del clculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicrculo de radio r se encuentra a 4r una distancia del dimetro, vamos a tomar esta posicin como la 3 representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.H

4r 4r 1 2 ysemidisco dV = 3 dV = 3 2 r dx = 0

2 a 6 2 a h 7 2 3 = r dx = 2 x dx = 2 3 3 h 7 3 h 00

H

H

3

3

y C.M . =

y

semidisco

dV

dV

=

20a 21

h Calcular la posicin del centro de masas del cuerpo de la figura. R h

Solucin: I.T.I. 03, I.T.T. 03 Si llamamos Z al eje de revolucin del cuerpo su centro de masas, que va a estar situado por simetra en dicho eje, slo tendr componente z. Si descomponemos el cuerpo en dos piezas, un cono y un cilindro, cada pieza vendr representada por la posicin de su centro de masas y el problema es equivalente al clculo del c.m. de un sistema de dos partculas: z

=x yh 2 5h z2 = 4 z1 = V1 = R 2 h 1 V2 = R 2 h 3

+

zc.m. =

V1 z1 + V2 z2 11h = V1 + V2 16