Cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO EN SISTEMAS MECÁNICOS EN RELACIÓN AL SOPORTE

Presentada por José Raúl Alejandre Sepúlveda

Ing. Mecánico por el Instituto Tecnológico de Chihuahua

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Directores de tesis: Dr. Jorge Bedolla Hernández M.C. Claudia Cortes García

Cuernavaca, Morelos, México. Noviembre del 2008

Cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

ANALISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO EN SISTEMAS MECANICOS EN

RELACION AL SOPORTE

presentada por: José Raúl Alejandre Sepúlveda

Ing. Mecánico por el Instituto Tecnológico de Chihuahua

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Directores de tesis: Dr. Jorge Bedolla Hernández M.C. Claudia Cortés García

Jurado: Dr. Dariusz S. Szwedowicz Wasik – Presidente

Dr. Jorge Colín Ocampo – Secretario Dr. Alberto López López – Vocal

Dr. Jorge Bedolla Hernandez – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. Noviembre del 2008         

   

Agradecimientos Al  Centro  Nacional  de  Investigación  y  Desarrollo  Tecnológico  (CENIDET)  por  darme  la  oportunidad  de continuar mi formación académica. A la comunidad CENIDET.  A todos mis profesores por su compromiso y dedicación en mi formación: Dr. Alejandro Salcido Gonzáles, Dr. Alberto López López, Dr. Gustavo Urquiza Beltrán, M.C. Eladio Martínez Rayón Dr. Jorge Colín Ocampo Dr. Szwedowics Wasik Dariusz Dr. Jorge Simón Gutiérrez Wing  Al Dr.  Jorge Bedolla Hernández por  su  tiempo y paciencia, por  siempre escucharme y dejar expresar  con libertad mis ideas.    A la M.C. Claudia Cortez García por su amistad y apoyo a lo largo del desarrollo de esta tesis.   A mis compañeros de generación Karla Aguilar, Marcelo Rodríguez Alberto, María Guadalupe Guzmán, Iván Medina,  Felipe  Díaz,  Don  Vladi,  Iván  Juárez,  Javier Molina,  Lázaro  Villa,  Dawin  Jiménez  Vargas, Moisés Espinoza, Jaime Hernández, Mauricio Paz, Juan Manuel Jiménez y Darío Tovar por dejarme compartir tantos divertidos momentos. A Isabel Ruiz Almeida porque sé que en tus oraciones tengo un pequeño lugar y siempre estás conmigo. A la familia Sánchez Martínez, en especial a la Sra. Cira Martínez por abrirme las puertas de su casa y dejar tan bonitos momentos en mi vida.  A Josephine Mayela García Trujillo por su amistad y tantos momentos de alegría.         A  todas aquellas personas que  su nombre  se me  escapa, pero que hicieron posible  la  realización de  este trabajo.    

          

ĺNDICE 

CAPITULO 1  Pág.

1.- REVISION

BIBLIOGRAFICA………………………………………………………………………………………………………

…

1

1.1.- Métodos de integración numérica…………………………………………................................. 3

Pág.

Lista de figuras……………………………………………………………………………………………… iv

Lista de tablas……………………………………………………………………………………………….. vi

i

Resumen……………………………………………………………………………………………………… ix

Abstract…..…………………………………………...……………………………………………………… x

Introducción…………………………………………………….…………………………………………… xi

1.1.1.- Características de los métodos de integración…………………………………………….. 4

1.1.2.- Inicio automático……………………………………………………………………………….. 4

1.1.3.- Métodos de integración explicita e implícita………………………………………………… 4

1.1.4.- Métodos condicionalmente estables e incondicionalmente estables…………...……….. 5

1.1.5.- Método de superposición modal…………………………………………………………….. 5

1.1.6.- Solución analítica de la respuesta para sistemas con un grado de libertad y excitación

en la base……………………………………………………………………………………….. 6

1.2.-Metodos de identificación…………………………………………………………………………… 9

1.2.1.-Métodos de identificación en el dominio de la frecuencia…………………………………. 10

1.2.2.- Métodos de identificación en el dominio del tiempo……………………………………….. 10

1.3.- Identificación de modelos físicos………………………………………………………………….. 14

1.3.1.- Identificación de parámetros físicos…………………………………………………………. 16

1.3.2.- Modelos físicos lineales y no lineales……………………………………………………….. 19

1.4.- Señal de perturbación……………………………………………………………………………… 19

1.4.1.- Clasificación de las perturbaciones………………………………………………………….. 20

1.5.- Conclusión de la revisión bibliográfica……………………………………………………………. 21

1.6.- Objetivo General…………………………………………………………………………………….. 21

1.7.- Objetivo específico…………………………………………………………………………………….. 21

  

CAPITULO 2 2.- VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA MEDIANTE

ABAQUS…………………………………………….

22

2.1.- Selección del sistema mecánico…………………………………………………………...……… 22

2.1.1.- Características mecánicas……………………………………………………………………. 22

2.2.- Modelo Discreto……………………………………………………………………………………... 24

2.3.- Consideraciones de cálculo………………………………………………………………………… 25

2.4.- Cálculos numéricos………………………………………………………………………………….. 27

2.4.1.- Sistema de un grado de libertad con excitación armónica en la base……………………. 27

2.4.2.- Sistema de un grado de libertad con excitación no armónica en la base……………...… 21

2.4.3.- Sistema de múltiples grados de libertad con excitación armónica en la base………….. 35

2.4.4.- Sistema de múltiples grados de libertad con excitación no armónica en la base………. 39

2.5.- Resumen de resultados……………………………………………………………………………… 42

2.6.- Conclusión…………………………………………………………………………………………….. 44

CAPITULO 3 3.- PROGRAMA DE IDENTIFICACION

PARAMETRICA……………………………………………………………………….

45

3.1.- Método de identificación dinámico compuesto inverso………………………………………….. 45

3.2.- Método de identificación paramétrica hibrida…………………………………………………….. 50

CAPITULO 4 4.- RESULTADOS Y DISCUSIÓN DEL PROGRAMA DE

IDENTIFICACION……………………………………………..

56

4.1.- Identificación paramétrica de sistemas de múltiples grados de libertad y excitación

armónica en la base …..…………………………………….……………….……………………. 56

4.2.- Identificación paramétrica de sistemas de múltiples grados de libertad y excitación no

armonica en la base……...………………………………………………………………………… 66

4.3.- Identificación paramétrica experimental de un elemento mecánico y excitación armónica

en la

base……………..………………………………………………………………………………. 71

4.3.1.- Consideraciones experimentales…………………………………………………………….. 72

4.3.2.- Montaje experimental………………………………………………………………………….. 72

4.3.3.- Desarrollo experimental……………………………………………………………………...... 74

4.4.- Aplicación experimental del programa de identificación paramétrica…………………………. 76

4.5.- Resultados del programa de identificación paramétrica híbrida para un sistema de

múltiples grados de libertad y excitación armónica en la base………………………………… 82

4.6.- Resultados del programa de identificación paramétrica híbrida para un sistema de

múltiples grados de libertad y excitación no armónica en la base………………..…………… 85

4.7.- Resultados del programa de identificación paramétrica híbrida para un sistema de

MDOF, excitación armónica en la base y contaminación de ruido……………………………. 88

4.8.- Resultados del programa de identificación paramétrica híbrida para un sistema de

MDOF, excitación no armónica en la base y contaminación de ruido………………………... 91

4.9. - Conclusiones………………………………………………………………………………………. 95

 CAPITULO 5 

5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES…………………………………………………………. 102

5.1.- Conclusiones……….………………………………………………………………………………… 104

5.2.- Recomendaciones…………………………………………………………………………………… 105

Bibliografía…………………..……………………………………………………………………. 106

Apéndice A.…….……………………………………………………………………………………………. 109

Apéndice B.…….……………………………………………………………………………………………. 114

Apéndice C.…….……………………………………………………………………………………………. 117

Apéndice D.…….……………………………………………………………………………………………. 121

 

LISTA DE FIGURAS  Figura Descripción Pág.

Fig. 1.1.- Ejemplos de identificación en sistemas mecánicos…………………………………………... 9

Fig. 1.2.- Proceso de identificación………………………………………………………………………... 15

Fig. 1.3.- Representación de un modelo paramétrico con distorsión………………………………….. 17

Fig. 2.1.- Modelo continuo del elemento mecánico en el presente trabajo…………………………… 23

Fig. 2.2.- Modelo discreto para sistemas de un grado de libertad……………………………………... 24

Fig. 2.3.- Modelo discreto para sistemas de un grado de libertad…………………………………….. 24

Fig. 2.4.- Simulación numérica en ABAQUS de la viga…………………………………………………. 27

Fig. 2.5.- Excitación armónica en la base del elemento mecánico…………………………………….. 28

Fig. 2.6.- Aceleración absoluta en el extremo más lejano a la base Nodo 2…………………………. 29

Fig. 2.7.- Desplazamiento relativo en el extremo más lejano a la base Nodo 2……………………… 29

Fig. 2.8.- Diferencia máxima de resultados por los tres métodos explorados………………………… 31

Fig. 2.9.- Excitación no armónica definida por el sismo 1989 estación 51……………………………. 32

Fig. 2.10.- Aceleración absoluta en el extremo más lejano a la base Nodo 2……………………….. 32

Fig. 2.11.- Desplazamiento relativo en el extremo más lejano a la base Nodo 2…………………….. 33

Fig. 2.12.- Diferencia máxima de resultados por dos métodos explorados…………………………… 34

Fig. 2.13.- Representación de aceleración absoluta en el nodo 4……………………………………... 35

Fig. 2.14.- Representación de desplazamiento relativo en el nodo 4………………………………….. 36

Fig. 2.15.- Diferencia de resultados aceleración absoluta en los nodos uno, dos, tres y cuatro…… 37

Fig. 2.16.- Diferencia de resultados de desplazamiento relativo en los nodos uno, dos, tres y

cuatro……………………………………………………………………………………………. 38

Fig. 2.17.- Aceleración total sistema de múltiples grados de libertad…………………………………. 39

Fig. 2.18.- Desplazamiento relativo sistema de múltiples grados de libertad………………………… 40

Fig. 2.19.- Diferencia de resultados aceleración absoluta en los nodos uno, dos, tres y cuatro….... 41

Fig. 2.20.- Diferencia de resultados de desplazamiento relativo……………………………………….. 42

Fig. 2.21.- Histograma de resultados porcentuales máximos…………………………………………... 43

Fig. 2.22.- Histograma de resultados porcentuales mínimos…………………………………………… 43

Fig. 3.1.- Excitación en la base identificada por la respuesta en cada nodo……..………………….. 47

Fig. 3.2.- Diagrama de flujo del programa de identificación paramétrica……………………………… 49

Fig. 4.1.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico para valores iniciales de

iguales…………………………………………………………………………………………….. 57

Fig. 4.2.- Aproximación en la identificación paramétrica del sistema (Ver tabla 4.1)…..……………. 58

Fig. 4.3.- Diferencia máxima en la aproximación de las curvas estimadas……………………… … … 59

Fig. 4.4.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico para valores iniciales de

diferentes…………………………………………………………………………………………. 60

Fig. 4.5.- Aproximación en la identificación paramétrica del sistema (Ver tabla 4.2)………………… 61

Fig. 4.6.- Diferencia máxima en la aproximación de las curvas estimadas…………………………… 62

Fig. 4.7.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico para valores de  diferentes y

ruido inducido…………………………………………………………………………………….. 63

Fig. 4.8.- Aproximación en la identificación paramétrica del sistema (Ver tabla 4.3)..………………. 64

Fig. 4.9.- Diferencia máxima en la aproximación de las curvas estimadas…………………………… 65

Fig. 4.10.- Aproximación en la identificación paramétrica del sistema (Ver tabla 4.4)……………..... 67

Fig. 4.11.- Diferencia máxima en la aproximación de curvas…………………………………………... 67

Fig. 4.12.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico de acuerdo con la tabla 4.4... 68

Fig. 4.13.- Aproximación en la identificación paramétrica de la tabla 4.5……………………………... 69

Fig. 4.14.- Diferencia máxima de la curvas con nivel de ruido en la respuesta………………………. 70

Fig. 4.15.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico de acuerdo con la tabla 4.5... 70

Fig. 4.16.- Montaje experimental de un elemento mecánico con movimiento en la base…………… 73

Fig. 4.17.- Diagrama de montaje experimental del sistema de captura de datos……………………. 74

Fig. 4.18.- Respuesta del sistema en la tercera frecuencia natural……………………………………. 75

Fig. 4.19.- Representación de los puntos de medición en la base del sistema (Ver tabla 4.10)…… 77

Fig. 4.20.- Respuesta de los puntos discretos del sistema a una excitación armónica en la base… 78

Fig. 4.21.- Curvas de excitación estimadas por el programa de identificación paramétrica………… 79

Fig. 4.22.- Inicio de la escala en las curvas estimadas por el programa de identificación………….. 80

Fig. 4.23.- Comparación de la curva original y la estimada…………………………………...………... 81

Fig. 4.24.- Diferencia porcentual máxima de la curva estimada respecto la señal original…………. 81

Fig. 4.25.- Aproximación en la identificación paramétrica de la tabla 4.11……………………………. 83

Fig. 4.26.- Diferencia porcentual máxima de la curva estimada caso 4 respecto a la señal original. 83

Fig. 4.27.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico de acuerdo con la tabla 4.11. 84

Fig. 4.28.- Aproximación en la identificación paramétrica en la tabla 4.12……………………………. 86

Fig. 4.29.- Diferencia porcentual máxima de la curva estimada respecto la señal original………..... 86

Fig. 4.30.- Excitación identificada en la base con el método hibrido………………………………….. 87

Fig. 4.31.- Aproximación en la identificación paramétrica en la tabla 4.13……………………………. 88

Fig. 4.32.- Excitación estimada en la base mediante el programa híbrido (desplazamiento)………. 89

Fig. 4.33.- Diferencia máxima porcentual…………………………………………………………………. 90

Fig. 4.34.- Excitación estimada en la base mediante el programa híbrido (aceleración)……………. 90

Fig. 4.35.- Aproximación en la identificación paramétrica en la tabla 4.14……………………………. 92

Fig. 4.36.- Excitación estimada en la base mediante el programa híbrido (desplazamiento)………. 92

Fig. 4.37.- Excitación identificada en la base con el método hibrido en presencia de ruido blanco

Gaussiano……………………………………………………………………………………….. 93

Fig. 4.38.- Aceleración estimada presentada a detalle………………………………………………….. 94

Fig. 4.39.- Aproximación de la identificación paramétrica curva armónica……………………………. 96

Fig. 4.40.- Estimación de las curvas armónicas por los métodos de identificación paramétrica…… 96

Fig. 4.41.- Aproximación de la identificación paramétrica curva armónica……………………………. 97

Fig. 4.42.- Curvas no armónicas estimadas por los métodos de identificación paramétrica………... 98

Fig. 4.43.- Aproximación de la identificación paramétrica curva no armónica………………………... 99

Fig 4.44.- Curvas no armónicas estimadas por los métodos de identificación paramétrica en 100

presencia de ruido blanco Gaussiano……………………………………………………………………..

Fig 4.45.- Diferencia porcentual máxima de la estimación de curvas con 5% de ruido blanco…….. 100

Fig 4.46.- Diferencia porcentual sección de la curva estimada………………………………………… 101

LISTA DE TABLAS  Figura Descripción Pág.

Tabla 1.1.- Características de los métodos de integración directa…………………………………….. 4

Tabla 1.2.- Métodos analizados para encontrar respuesta a excitación…………………………...…. 8

Tabla 1.3.- Métodos paramétricos en el dominio del tiempo…………………………………………… 11

Tabla 2.1.- Características físicas del modelo contínuo………………………………...……………… 23

Tabla 2.2.- Propiedades del material del modelo contínuo…………………………………………….. 23

Tabla 2.3.- Propiedades de la excitación armónica……………………………………………………... 28

Tabla 2.4.- Diferencia de resultados por los tres métodos explorados………………………………... 30

Tabla 2.5.- Diferencia de resultados por dos métodos explorados……………………………………. 34

Tabla 2.6.- Comparación de resultados por los métodos explorados…………………………………. 37

Tabla 2.7.- Comparación de resultados por los métodos explorados…………………………………. 40

Tabla 3.1.- Diferencia de las metodologías de estimación paramétrica………………………………. 50

Tabla 4.1.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación

armónica en la base (sin variación en condiciones iniciales)………………………………………….. 57

Tabla 4.2.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación

armónica en la base (variación en condiciones iniciales)………………………………………………. 59

Tabla 4.3.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación

armónica en la base (variación en condiciones iniciales y ruido inducido en la medición)…………. 62

Tabla 4.4.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación

no armónica en la base (con variación en condiciones iniciales)……………………………………… 66

Tabla 4.5.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación

no armónica en la base (variación en condiciones iniciales y ruido inducido en la medición)……… 68

Tabla 4.6.- Características físicas del modelo continúo………………………………………………… 71

Tabla 4.7.- Características del material del modelo continúo………………………………………….. 72

Tabla 4.8.- Instrumentación empleada en el modelo experimental……………………………………. 73

Tabla 4.9.- Comparación de las frecuencias naturales del sistema estimadas por tres

métodos….......................................................................................................................................... 76

Tabla 4.10.- Frecuencia de medición para cada uno de los puntos en la base……………………… 77

Tabla 4.11.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y

excitación no armónica en la base……………………………………………………….………………..

82

Tabla 4.12.- Parámetros identificados de un sistema con múltiples grados de libertad y excitación

no armónica en la base…………………………………………………………………………………… 85

Tabla 4.13.- Parámetros identificados de un sistema con múltiples grados de libertad, excitación

armónica en la base y en presencia de ruido blanco Gaussiano……………………………………… 88

Tabla 4.14.- Parámetros identificados de un sistema con múltiples grados de libertad, excitación

no armónica en la base y en presencia de ruido blanco Gaussiano…………………………………... 91

Tabla 4.15.- Parámetros identificados de un sistema con múltiples grados de libertad para

excitación armónica y no armónica……………………………………………………………………….. 95

RESUMEN  Esta investigación se centra en el estudio de la estimación de la excitación en la base de un elemento mecánico tipo viga.

El estudio se justifica porque dicha excitación puede tener una influencia significativa en el comportamiento dinámico del

sistema, además independientemente de su magnitud tendrá influencia sobre las mediciones hechas en puntos del

sistema diferentes a la base.

La excitación en la base se estima mediante dos métodos de identificación paramétrica que usan la respuesta del

sistema mecánico. Se desarrollaron dos programas de identificación paramétrica por medio de MatLab con los que se

estima el movimiento en la base, así como amortiguamiento y rigidez característicos del sistema. La respuesta de un

sistema a excitación en el soporte usada en los programas de identificación se calculan numéricamente mediante el

programa de elemento finito ABAQUS. Se demuestra la aproximación del programa de identificación paramétrica en

donde la señal de respuesta (entrada) censada tiene componentes de ruido. En la respuesta calculada con ABAQUS se

introdujo de 1 a 5 % de ruido blanco Gaussiano mediante el programa MatLab.

En el trabajo se presentan los temas estudiados para estimar la respuesta de un sistema mecánico con excitación en el

soporte y los métodos de identificación de sistemas.

La respuesta de un sistema mecánico sujeto a excitación en el soporte se validó de manera analítica y numérica. El

método de identificación paramétrica seleccionado permite analizar un modelo espacial que cuenta con características

particulares como son masa, rigidez y amortiguamiento.

La respuesta usada en el programa de identificación paramétrica tiene componentes de máximo 5% de ruido blanco

Gaussiano. De esta manera numéricamente se demostró que una excitación armónica puede ser identificada con una

estimación del 92.50% y una aproximación del 94% para caso donde la excitación es no armónica.

Se desarrollo un segundo programa de identificación paramétrica enfocado a su aplicación experimental. Los resultados

fueron comparados con los numéricos del primer programa.

Finalmente se hizo el montaje experimental de un elemento mecánico con el objeto de validar los resultados numéricos

de un primer programa de identificación y demostrar sus alcances.

ABSTRACT  This investigation is focused in the study of the estimation of an excitation produced at the base of an element type beam.

The study is based in the assumption that this excitation can be a significant influence on the dynamic behavior of the

system. Besides, regardless of the magnitude it will have an influence in measurements made over recorded data in

different points other than the base.

The excitation at the base is estimated with two methods for parametric identification trough the response of the

mechanical system. Two programs were developed for parametric identification; they make an estimate for the base

motion and proper parameters like damping and stiffness characteristic of the system. The response of a system to the

base motion used with the identification programs was numerically calculated with ABAQUS, a finite element program.

The approximation for parametric identification was proved in the case when the response signal had noise components.

Noise components between 1 and 5% were induced in the numerical response made it with ABAQUS.

In this work is shown the studied subjects for the system response estimation, relative to the base motion and system

identification methods.

The response used in the parametric identification program contains components of a 5% maximum Gaussian noise

levels. In this way it was proved numerically that a harmonic excitation can be estimated with an approximation of 92.50%

and 94% of approximation when the excitation is non harmonic.

A second program was developed for parametric identification focused in experimental applications. The results were

compared to the results of the first program.

Finally an experimental mounting of a mechanical element was done. The objective was to validate the numerical results

for the first identification program and to prove its achievement.

INTRODUCCION 

Cuando un sistema mecánico se excita en la base el tipo de movimiento entre elementos componentes y su base se

define como movimiento relativo. La excitación puede ser armónica o no armónica. El movimiento relativo en sistemas

reales se origina cuando la base o soporte de una estructura mecánica está sujeta a movimientos ocasionados por

acciones dinámicas de maquinaria, explosiones, temblores, y dicho movimiento se transmite a la estructura. Por esta

razón, los movimientos en la base deben ser considerados en el análisis de respuesta dinámica. Usualmente, para

evaluar la respuesta dinámica de automóviles a imperfecciones del camino, estos son sujetos a pruebas con excitaciones

conocidas aplicadas en la suspensión, considerada como la base del automóvil. Algunos componentes aeroespaciales

son probados con excitación en la base, para conocer su respuesta dinámica a vibraciones durante el vuelo. En

microsistemas como son discos duros existe una limitación en técnicas para inducir excitación, por lo que se utiliza

excitación de la base para investigar sus características dinámicas.

Cuando se analiza la vibración en la base de un elemento mecánico, la base puede ser el soporte estructural en el suelo

u otro componente mecánico en un sistema más complejo. Al desarrollar un análisis dinámico en un sistema mecánico,

las mediciones hechas contendrán información de la influencia externa como son, la vibración producida por los coches

en el camino, el pasar de la gente, el funcionamiento de maquinaria pesada en la industria, sismos, etc; y se verán

afectados en función del tipo aislamiento que ofrezcan. Al no tomar en cuenta esta influencia es probable que los datos

analizados no representen fielmente el comportamiento del sistema. Un sistema con vibración en el soporte influirá sobre

el resto del sistema. Es por eso que al estimar la excitación en la base mediante la respuesta del sistema, se debe hacer

un análisis que permita valorar la influencia que ocasiona en este.

El trabajo que aquí se presenta involucra la aplicación de herramientas numéricas, como la simulación por medio el

programa de elemento finito ABAQUS, para encontrar la respuesta de un modelo mecánico sujeto a excitación en la

base, así como programas de identificación paramétrica desarrollados en MatLab, los cuales emplean la respuesta

calculada con ABAQUS y la distribución de la masa del sistema.

El objetivo de la investigación es identificar la excitación que se induce en la base de un elemento mecánico mediante la

respuesta que exhibe. El análisis parte de la suposición en la cual los sistemas pueden estar influenciados por una

excitación inducida armónica y no armónica.

La excitación no armónica es más común porque el ingeniero en campo se encontrará en diversas situaciones donde las

excitaciones externas (ambientales) que influyen en un sistema tienen alta densidad espectral. En este trabajo, para la

simulación de un sistema con excitación no armónica se usó como perturbación el acelerograma de un sismo. Es así por

tanto, este trabajo se presenta en cinco capítulos, cuyo contenido se describe a continuación.

En el capitulo uno, se muestran la revisión bibliográfica en relación al cálculo de la respuesta de un sistema mecánico

sujeto a excitación en la base de forma analítica y mediante métodos numéricos, además de los métodos de

identificación existentes para caracterizar un sistema mecánico desconocido.

El capítulo dos contiene la validación de los resultados obtenidos mediante el programa de elemento finito ABAQUS

comparados con los cálculos desarrollados analíticamente y numéricamente mediante SIMULINK de MatLab para

sistemas excitados en la base.

En el capitulo tres se encuentra un descripción completa de los métodos de identificación paramétrica usados para el

desarrollo de los programas de identificación en MatLab.

El capítulo cuatro muestra un análisis de los resultados obtenidos mediante los programas desarrollados en MatLab de

identificación paramétrica, usando la respuesta numérica a excitación armónica y no armónica calculada mediante el

programa de elemento finito ABAQUS. Además, se presentan los resultados de la aplicación de las metodologías de

identificación paramétrica a un modelo experimental.

Finalmente en el capítulo cinco, se muestran las conclusiones y recomendaciones para trabajos futuros.

   

               

INTRODUCCIÓN 

Cuando un sistema mecánico se excita en la base el tipo de movimiento entre elementos componentes y su base se

define como movimiento relativo. La excitación puede ser armónica o no armónica. El movimiento relativo en sistemas

reales se origina cuando la base o soporte de una estructura mecánica está sujeta a movimientos ocasionados por

acciones dinámicas de maquinaria, explosiones, temblores, y dicho movimiento se transmite a la estructura. Por esta

razón, los movimientos en la base deben ser considerados en el análisis de respuesta dinámica. Usualmente, para

evaluar la respuesta dinámica de automóviles a imperfecciones del camino, estos son sujetos a pruebas con excitaciones

conocidas aplicadas en la suspensión, considerada como la base del automóvil. Algunos componentes aeroespaciales

son probados con excitación en la base, para conocer su respuesta dinámica a vibraciones durante el vuelo. En

microsistemas como son discos duros existe una limitación en técnicas para inducir excitación, por lo que se utiliza

excitación de la base para investigar sus características dinámicas.

Cuando se analiza la vibración en la base de un elemento mecánico, la base puede ser el soporte estructural en el suelo

u otro componente mecánico en un sistema más complejo. Al desarrollar un análisis dinámico en un sistema mecánico,

las mediciones hechas contendrán información de la influencia externa como son, la vibración producida por los coches

en el camino, el pasar de la gente, el funcionamiento de maquinaria pesada en la industria, sismos, etc; y se verán

afectados en función del tipo aislamiento que ofrezcan. Al no tomar en cuenta esta influencia es probable que los datos

analizados no representen fielmente el comportamiento del sistema. Un sistema con vibración en el soporte influirá sobre

el resto del sistema. Es por eso que al estimar la excitación en la base mediante la respuesta del sistema, se debe hacer

un análisis que permita valorar la influencia que ocasiona en este.

El trabajo que aquí se presenta involucra la aplicación de herramientas numéricas, como la simulación por medio el

programa de elemento finito ABAQUS, para encontrar la respuesta de un modelo mecánico sujeto a excitación en la

base, así como programas de identificación paramétrica desarrollados en MatLab, los cuales emplean la respuesta

calculada con ABAQUS y la distribución de la masa del sistema.

El objetivo de la investigación es identificar la excitación que se induce en la base de un elemento mecánico mediante la

respuesta que exhibe. El análisis parte de la suposición en la cual los sistemas pueden estar influenciados por una

excitación inducida armónica y no armónica.

La excitación no armónica es más común porque el ingeniero en campo se encontrará en diversas situaciones donde las

excitaciones externas (ambientales) que influyen en un sistema tienen alta densidad espectral. En este trabajo, para la

simulación de un sistema con excitación no armónica se usó como perturbación el acelerograma de un sismo. Es así por

tanto, este trabajo se presenta en cinco capítulos, cuyo contenido se describe a continuación.

En el capitulo uno, se muestran la revisión bibliográfica en relación al cálculo de la respuesta de un sistema mecánico

sujeto a excitación en la base de forma analítica y mediante métodos numéricos, además de los métodos de

identificación existentes para caracterizar un sistema mecánico desconocido.

El capítulo dos contiene la validación de los resultados obtenidos mediante el programa de elemento finito ABAQUS

comparados con los cálculos desarrollados analíticamente y numéricamente mediante SIMULINK de MatLab para

sistemas excitados en la base.

En el capitulo tres se encuentra un descripción completa de los métodos de identificación paramétrica usados para el

desarrollo de los programas de identificación en MatLab.

El capítulo cuatro muestra un análisis de los resultados obtenidos mediante los programas desarrollados en MatLab de

identificación paramétrica, usando la respuesta numérica a excitación armónica y no armónica calculada mediante el

programa de elemento finito ABAQUS. Además, se presentan los resultados de la aplicación de las metodologías de

identificación paramétrica a un modelo experimental.

Finalmente en el capítulo cinco, se muestran las conclusiones y recomendaciones para trabajos futuros.

   

Capítulo 1     1.­ REVISION BIBLIOGRAFICA. 

 Para comprender el comportamiento de sistemas mecánicos sujetos a vibración el ingeniero cuenta con herramientas

que le permiten analizar los fenómenos estudiados. Entre estas se encuentran los métodos analíticos y numéricos que de

manera más sencilla y eficaz le es posible desarrollar un análisis sin la necesidad de llevar a cabo experimentación en

laboratorio. El uso de estas herramientas en el análisis toma importancia dependiendo de la característica de las pruebas

que se pretendan desarrollar.

El método de elemento finito por medio de simulaciones numéricas facilita el planteamiento de los modelos continuos en

forma discreta y permite encontrar su respuesta a excitación armónica y no armónica en la base. El trabajo desarrollado

por [1], toma en cuenta las vibraciones en el soporte (base) flexible para caracterizar dinámicamente un sistema

rotodinámico bajo una excitación inducida conocida. La respuesta dinámica del sistema rotodinámico se calcula mediante

el método de elemento finito y concluye en recomendar la cantidad de amortiguamiento que debe ser tomada en cuenta

para el diseño de soportes en rotodinámica. En [2] se hace un análisis de la vibración producida durante el maquinado y

muestra la influencia de dicha vibración sobre las piezas que fueron producidas. Sin embargo no toma en cuenta la

perturbación en la base de la herramienta de corte, esa perturbación puede agregar valor a la vibración y contribuir a

errores de exactitud producidos durante la operación de maquinado. Esto es un ejemplo, donde el presente trabajo

pretende mejorar la caracterización dinámica tomando en cuenta la vibración a la que está expuesta el soporte del

sistema que sostiene el buril. En [3] se presenta un análisis de la influencia de vibración producida por el tráfico vehicular

en edificios cercanos al camino, haciendo énfasis en a) daño estructural a edificios; b) cualquier incomodidad en los

ocupantes del edificio; y c) cualquier efecto en el funcionamiento normal de equipo sensible a vibración. El punto c) es

importante para el presente trabajo, porque es necesario tomar en cuenta en una caracterización dinámica que existen

perturbaciones en la base de elementos mecánicos por vibraciones externas del medio que rodea al sistema analizado.

Dicha vibraciones representan un obstáculo para tomar las mediciones que realmente solo representan el

comportamiento del sistema. En [3] se mencionan los niveles de vibración permisibles en equipo sensible a movimiento

los cuales pueden variar de 0.3 a 10 μm, haciendo hincapié en un problema donde equipo micro electrónico se veía

afectado por vibración de amplitud 0.01 μm, muy por debajo de los niveles aparentemente aceptables. Un método de

identificación paramétrica puede identificar la excitación en el soporte de dicho sistema. La excitación en el soporte

puede ser identificada mediante la respuesta mostrada en puntos distantes a la base. Tomando nuevamente el ejemplo

del buril, el objeto del presente trabajo es conocer la perturbación que influye en un error de maquinado o bien descartar

la causa de error en operación a causa de vibraciones en el soporte. Los métodos de identificación paramétrica tienen

amplio campo de aplicación cuando se trata de caracterizar dinámicamente un sistema mecánico sujeto a excitación. En

ocasiones la vibración inducida en el soporte es necesaria, ya que por este medio se pueden probar la resistencia

mecánica de dispositivos como discos duros de acuerdo a con [4], sin embargo este autor no toma importancia a los

parámetros mecánicos del dispositivo, los cuales cambian de acuerdo con los componentes del que este compuesto. De

acuerdo con [5] las maquinas de medición de coordenadas durante la operación son sensibles a la influencia de la

vibración externa y comprometen su desempeño. Los componentes se encuentran en fase durante un funcionamiento

normal, el problema se presenta cuando salen de fase unos entre otros a causa de la vibración. De acuerdo con [5] el

brazo de pruebas es el más sensible porque cuenta con mayor longitud vertical que horizontal y por tanto tiene tendencia

a vibrar. Como solución este trabajo, pretende estimar la vibración en la base del brazo mediante la respuesta mostrada

para así eliminarla o disminuirla. El trabajo en [6] presenta el análisis del movimiento relativo en un microscopio de

análisis de circuitos integrados, donde el objeto de este trabajo es disminuir la vibración en la plataforma del objetivo

durante la operación y finaliza proponiendo una modificación estructural para reducir la vibración en las frecuencias de

operación más bajas. El problema abordado por [7] presenta tres sistemas mecánicos bajo la influencia de una excitación

desconocida, inducida en puntos alejados de su base, pretende identificar la excitación conociendo los puntos donde fue

inducida además de reconocer parámetros como amortiguamiento y rigidez. Bajo este contexto, se aborda la

investigación en el presente trabajo, pues con base en la respuesta mostrada por el sistema mecánico a causa de una

excitación desconocida en la base, se identifica la excitación inducida en ese punto, además de conocer parámetros del

sistema como amortiguamiento y rigidez. El trabajo desarrollado por [8] aborda lo antes mencionado. En este trabajo el

movimiento en la base es aplicado a un elemento Timoshenko, visualizándolo como la representación abstracta de un

elemento mecánico en particular en un sistema más complejo como lo es una máquina, donde dicho componente es

sujeto a una perturbación externa inducida en su soporte.

En el presente trabajo el modelo definido en forma discreta y desarrollado mediante el programa de elemento finito

ABAQUS descrito posteriormente, representa el sistema mecánico sujeto a excitación desconocida en la base. El cual se

usa para identificar la excitación a la que fue expuesto además de parámetros desconocidos característicos como

amortiguamiento y rigidez. Esto en función de la respuesta obtenida del sistema y su masa. A continuación se presenta

una descripción de los temas abordados en esta investigación.

1.1.­ Métodos de integración numérica 

Los métodos de integración numérica son ampliamente usados para encontrar la solución general de sistemas sujetos a

una excitación, representados por ecuaciones diferenciales, un ejemplo de ello es la ecuación 1.1, donde el orden de las

matrices representativas K (rigidez), C (amortiguamiento) y M (masa) es superior a dos de acuerdo con [9].

D laz o

rac

a

Donde:

(1.1)

esp

Velocidad

Acele

amie

ión

Excitación extern

nt

En la integración numérica directa las ecuaciones se integran usando un procedimiento numérico paso a paso, el término

“directa” indica que no es necesario una transformación de la ecuación general de movimiento. La integración directa se

basa en dos ideas, la primera es que en lugar de tratar de satisfacer la ecuación general de movimiento en cada instante

de tiempo t, lo hace en intervalos de tiempo discretos tΔ . La segunda idea es que la variación de desplazamiento,

velocidad y aceleraciones es en dicho intervalo tΔ . En la solución se supone que el desplazamiento, velocidad y

aceleración son conocidos. El intervalo de tiempo T es subdividido en “n” intervalos de tiempo , por ejemplo, tΔ nTt /=Δ

, usando el método de integración se establece una solución para tΔ , tΔ2 , tΔ3 … t , . Los algoritmos calculan la

solución a cada paso de tiempo, de las soluciones previamente consideras o calculadas, se derivan los algoritmos

asumiendo que la solución en los tiempos ,

tt Δ+

0 tΔ , tΔ2 , t..... son conocidos y que la solución en el tiempo tt Δ+ es

requerida de nueva cuenta. Los métodos de integración directa más usados son Newmark, Wilson θ , Houbolt y método

de la diferencia central. Estos métodos tienen similitudes entre sí, tal es el caso del método de la diferencia central y el

método de Houbolt. Los cuales se relacionan en que las expresiones de diferencia finita son usadas para aproximar la

aceleración y velocidad en términos de las componentes de desplazamiento. El método de Wilson y el método de

Newmark asume que la aceleración varia linealmente entre dos instante de tiempo. El método de Newmark es una

extensión del método de aceleración lineal, que corresponde a Wilson 1=θ . Newmark originalmente propuso un

método incondicionalmente estable llamado “método de aceleración promedio constante” (regla trapezoidal). El objetivo

de estos métodos de integración numérica es predecir con buena aproximación la respuesta dinámica del sistema en

estudio aunado a la consideración en que la precisión de la respuesta calculada será de acuerdo al método usado. A

continuación se describen los métodos de integración directa más comunes [9].

1.1.1.­ Características de los métodos de integración 

Particularmente cada método tiene características que lo hacen único, como son que al comienzo del proceso necesite

alguna manipulación matemática (inicio automático), su estabilidad, y si es un método de integración explícita o implícita.

En la tabla 1.1 se presentan estas características para cada uno de los métodos mencionados anteriormente.

Tabla 1.1.- Características de los métodos de integración directa

Método Estabilidad Inicio automático MétodoEIII

de integraDiferencia centr o cionalmente estable xplícito

Newmark c cionalmente estable mplícitoHoubolt c cionalmente estable mplícitoWilson c icionalmente estable mplícito

ciónal C

InIn

In

ndiondiondiond

NoSiNoSi

A continuación se presenta una descripción de las características principales de los métodos de integración como es el

inicio automático, integración explícita e implícita, métodos condicionalmente e incondicionalmente estables de los

métodos de integración directa.

1.1.2.- Inicio automático. Cuando un algoritmo comienza solo, es indicativo de que no necesita ninguna manipulación matemática para iniciar el

procesamiento. En este caso, solo los valores del punto anterior al que se desea procesar son necesarios. Por ejemplo,

si se desea encontrar el valor del punto siguiente a 0=t , solo se necesitan las condiciones iniciales , y

(desplazamiento, velocidad y aceleración respectivamente).

1.1.3.-Métodos de integración explícita e implícita.

Un método numérico de integración implícita se refiere a que el valor calculado de desplazamiento, velocidad y

aceleración es expresado en términos del valor previo. El método de integración explícita resuelve los valores de

desplazamiento , velocidad y aceleración a dicho tiempo ttx Δ+ ttx Δ+& ttx Δ+&& tt Δ+ usando la ecuación general de

movimiento en el tiempo t con los valores desconocidos de desplazamiento , velocidad y aceleración como

valores iniciales. El método de integración implícita resuelve los valores desconocidos de desplazamiento ,

tx tx& tx&&

ttx Δ+

velocidad y aceleración en dicho tiempo ttx Δ+& ttx Δ+&& tt Δ+ usando la ecuación de movimiento en el tiempo tt Δ+

[9].

1.1.4.- Métodos condicionalmente estables e incondicionalmente estables.

El análisis de estabilidad indica que bajo ciertas condiciones debemos elegir tΔ de tal manera que al desarrollar el

cálculo numérico no cause errores que se acumulen y provoquen que la respuesta sea en la mayoría de los casos sin

valor [9].

- Método condicionalmente estable

Δt ≤ ΔtCRIT ; ΔtCRIT=τn/π

Donde:

ΔtCRIT - tamaño de paso crítico

Δt - tamaño de paso

τn - periodo natural del sistema

- Método incondicionalmente estable

Δt > ΔtCRIT

La elección del tamaño de paso depende solamente de la exactitud deseada al usar el método.

Estabilidad de un método de integración significa que las condiciones iniciales físicas de las ecuaciones con un valor

grande dt/t no serán amplificadas artificialmente y por tanto producir error de exactitud en la integración de la respuesta

de los modos de vibración más bajos. Incluso significa que las condiciones iniciales al tiempo t dadas por errores en el

desplazamiento, velocidad y aceleración las cuales pueden ser por error en el procesamiento computacional no crecerán

en la integración.

Además de la características descritas de los métodos de integración directa que deben ser tomadas en cuenta para

asegurar que la respuesta calculada del sistema sea correcta, existen metodologías como lo es el método de

superposición modal que permite descomponer un sistema complejo en un conjunto más sencillo ayudando así a

minimizar el trabajo numérico. El programa ABAQUS emplea el método de superposición modal para encontrar la

respuesta de un sistema sujeto a excitación en la base, porque resulta menos costoso numéricamente. Este método fue

usado en este trabajo porque tanto la excitación propuesta como la solución están en el dominio del tiempo. El método

de superposición modal se describe a continuación.

1.1.5.- Método de superposición modal. La idea básica del método de superposición modal radica en hacer una conversión de la ecuación general del sistema de

múltiples grados de libertad, en múltiples sistemas de un solo grado de libertad, utilizar los mismos métodos de

integración directa en cada una de las ecuaciones particulares para encontrar su respuesta y superponer los resultados

de cada una de estas ecuaciones para encontrar la respuesta del sistema completo [9].

El método de superposición modal básicamente consta de los siguientes pasos.

1.- Se encuentran los eigenvalores y eigenvectores del sistema [10].

2.- Después se encuentra la solución de las ecuaciones desacopladas.

3.- La superposición de la respuesta en dicho eigenvector.

Es conveniente usar el método de superposición modal para casos donde [9]:

- El número de operaciones requeridas en una solución de integración directa son proporcionales al número de

pasos.

- El uso de integración implícita directa se puede esperar eficiente solo cuando se requiere la respuesta para corta

duración.

- De esta manera se puede esperar más eficiente transformar las ecuaciones que representan el sistema en una

forma más sencilla.

- El objetivo de hacer un cambio en la base de la ecuación general que representa el sistema es que tenga un

ancho de banda menor que el sistema original.

1.1.6.- Solución analítica de la respuesta para sistemas con un grado de libertad y excitación en la base. La ecuación general de movimiento para un sistema con un grado de libertad y movimiento en su base se expresa como

la siguiente ecuación diferencial (1.2). [11]

( ) ( ) ( ) ( )txtxtxtx base&&&&& −=++ 22 ωβω ; ( ) ( )tSenpgatxbase ω= (1.2)

Donde: tiempo

Aceleración en la base del elemento mecánico   

Aceleración del elemento mecánico 

Velocidad del elemento mecánico 

De iento del element ecánico 

                                                     ω      Frecuencia d excitación de entrada

                                                     ω     Frecuencia natural del sistema

                                                           Relación de amortiguamiento

 

 

  splazam

e la 

o m

 

 

 

y pga es el valor máximo de la aceleración en la base o amplitud de la excitación senoidal. La solución para esta

ecuación diferencial es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−−−+= −

222

2

2 21cos21cos

rrtrtsenrpgatBsentAetx DD

t

βωβω

ωωωβω

(1.3)

Definiendo a: ωω

=r

Donde:

      relación de frecuencias 

ω    frecuencia amortiguada del sistema 

                                                                 valor máximo de la aceleración

erivando la ecuación anterior se obtiene:

 

 

D

( ) )( ) ( ) ( ) ([ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+−−

=tx& +−−− cos senABtABe DDDt ωωβωωβωβω

222

2

212cos1

rrtrsentrrpga

tD

β

ωβωω

ω

(1.4)

Las constantes A y B pueden ser determinadas evaluando las dos ecuaciones anteriores para las condic

iones de frontera

( ) 00 ==tx , y 0)0( ==tx& :

( ) ( )2222 21

2

rr

rpgaAβ

βω +−

−= (1.5)

y

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+= 222

2

2 1211

rrrrpgaAB

βωωβ

ω (1.6)

La aceleración relativa se determina tomando el tiempo relativo de la velocidad relativa:

(1.7)

La aceleració o , es simplem nte la suma d

n t tal e e la aceleración relativa y la aceleración en la base.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )]2[ 2 txtxtxtxtx basetotal ωβω +−=+= &&&&&&& (1.8)

De manera analítica, encontrar la respuesta de un sistema de un grado de libertad con excitación armónica en la base es

( )

la metodología más común, sin embargo para un planteamiento más complejo donde el sistema analizado es

representado de forma discreta en un número mayor de grados de libertad y la excitación no es solamente armónica, la

solución analítica no representa algo viable. Es por esto que se emplean métodos numéricos. La tabla 1.2 muestra los

métodos que se usaron en la presente investigación para encontrar la respuesta de sistemas de un grado de libertad y

múltiples grados de libertad cuando se excitan en la base, esto en forma armónica y no armónica. Para validar los

resultados numéricos de los programas ABAQUS y MatLab se determinó analíticamente la respuesta de un sistema de

un grado de libertad (1DOF) y excitación armónica como lo expresa la parte superior de la tabla 1.2. De esta manera se

aseguró que los resultados para las simulaciones subsecuentes en las que se involucra excitación no armónica para

sistemas de múltiples grados de libertad fueran correctos.

([ ) ( ) ( ) ( )]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−−+

−++−−= −

222

22

222222

1cos21

2cos2

rtrtsenrrpga

tsenBABtABAetx DDDDDDt

βωβω

ωωωβωβωωωωβωβωβω&&

2 r

Tabla.1.2.- Métodos analizados para encontrar respuesta a excitación.

.2.-Metodos de identificación.

a identificación de sistemas consiste en el planteamiento de un modelo matemático para un sistema determinado,

- Analítico 1

L

mediante la observación de las entradas y salidas. Estos métodos han sido motivados por la necesidad de diseñar

mejores estrategias de control, como en ingeniería el estudio del comportamiento de vehículos aéreos y espaciales,

condiciones estructurales de elementos mecánicos, la simulación de funciones biológicas como el control de una mano y

la respuesta de la pupila de un ojo, etc. En el análisis paramétrico de un sistema mecánico, sus características

particulares son físicas como masa, rigidez y amortiguamiento o bien en términos modales como masa modal, rigidez

modal, etc. La identificación paramétrica forma parte del análisis en un sistema con el objeto de conocer características

que no son apreciables a simple vista, o bien si el conocimiento acerca del sistema dinámico es limitado, se puede

obtener un modelo con la excitación inducida y la respuesta mostrada del sistema. Dicho estudio está compuesto por

adquisidores de datos, procesadores y métodos de análisis. Cambios significativos en los parámetros identificados

mediante la respuesta relativa pueden prevenir daños o bien sugerir un rediseño del elemento [12]. En la figura 1.1 se

muestran algunos ejemplos donde se emplean los métodos de identificación. En la figura 1.1 a) se observa una prueba

de identificación donde se caracteriza el ala de avión, con el objeto de hacer una mejor estimación del amortiguamiento y

rigidez en la representación del modelo finito y así entender mejor su comportamiento dinámico. En la figura 1.1 b) se

aprecia el elemento mecánico que sostiene un buril de maquinado, y en el cual mediante un método de identificación se

estiman los parámetros característicos del sistema para así saber si existe variación durante la operación de maquinado

[2].

- Método de Newmark (MatLab) l (ABAQUS) - Método de Superposición Moda

Excitación armónica

Excitación no armóni

1DOF

- Método de Newmark (MatLab) l (ABAQUS) - Método de Superposición Moda

ca

SISTEMA

- Método de Newmark (MatLab) l (ABAQUS) - Método de Superposición Moda

- Método de Newmark (MatLab) l (ABAQUS) - Método de Superposición Moda

Excitación armónica

Excitación no armóni

MDOF

ca

a).- Ala de aeroplano sujeto a análisis. b).- Base de buril de maquinado.

.2.1.-Métodos de identificación en el dominio de la frecuencia.

os modelos espaciales de sistemas dinámicos son necesarios para el control de los métodos de diseño, estas

sicamente, el método de la transformada inversa discreta de Fourier (IDFT) es usada para transformar respuestas en

l objetivo de los métodos de identificación en el dominio de la frecuencia es identificar modelos espaciales con base a la

1.2.2.- Métodos de identificación en el dominio del tiempo.

Fig. 1.1.- Ejemplos de identificación en sistemas mecánicos.

1

L

aproximaciones son desarrolladas con base en algunas representaciones del sistema. Dichas representaciones se

construyen con base en datos en el dominio del tiempo o dominio de la frecuencia, pero habrá ocasiones en que solo

esté disponible la respuesta en el dominio de la frecuencia. Esto comúnmente ocurre cuando se usan analizadores

sofisticados para llevar a cabo las mediciones. Por lo tanto, la técnica de obtener modelos espaciales de respuestas en el

dominio de la frecuencia es importante.

Clá

el dominio de la frecuencia a respuestas en el dominio del tiempo, que es transformar la función de respuesta en

frecuencia (FRF) del sistema en su pulso de respuesta (parámetro Markov). La desventaja de esta aproximación es que

el parámetro de Markov es distorsionado por un efecto alias. El método de identificación State-Space Frequency Domain

(SSFD), puede estimar los parámetros de Markov de las FRF sin tratar de eliminar distorsión, además de que una

frecuencia arbitraria puede ser introducida para estimar el error. El método utiliza la descripción de una matriz racional

para fijar la curva de frecuencia y obtener los parámetros de Markov. El algoritmo ERA (Algoritmo de realización de

eigen-sistemas) se usa para obtener el modelo espacial de los parámetros de Markov. Los métodos de identificación en

el dominio de la frecuencia son comúnmente usados para identificar frecuencias naturales, formas modales y

amortiguamientos modales de la respuesta obtenida mediante mediciones sin la necesidad de información acerca de la

excitación externa, pero asumiendo ésta como un proceso aleatorio de ruido blanco [13].

E

respuesta mostrada en función de la frecuencia.

Los sistemas dinámicos se pueden modelar con ecuaciones continuas o discretas en el dominio del tiempo. En modelos

r el método mínimos cuadrados (LS). Cuando las

a tabla 1.3 muestra los métodos de identificación paramétrica en el dominio del tiempo. Los métodos de identificación

Tabla. 1.3.- Métodos paramétricos en el dominio del tiempo

étodos de regresión lineal.

l método de los mínimos cuadrados y el método de la máxima probabilidad y credibilidad (Maximun Likelihood method)

dominio del tiempo. En modelos

r el método mínimos cuadrados (LS). Cuando las

a tabla 1.3 muestra los métodos de identificación paramétrica en el dominio del tiempo. Los métodos de identificación

Tabla. 1.3.- Métodos paramétricos en el dominio del tiempo

étodos de regresión lineal.

l método de los mínimos cuadrados y el método de la máxima probabilidad y credibilidad (Maximun Likelihood method)

continuos en el tiempo, las relaciones entrada/salida son descritas por ecuaciones diferenciales en el dominio del

tiempo, pero representadas por ecuaciones algebraicas en el domino de la frecuencia. En los modelos discretos en

tiempo son descritos por ecuaciones en diferencia lineales. Un modelo continuo puede representar uno discreto mientras

el número de muestras sea alto. Un sistema discreto lineal puede ser presentado en diferentes formas en el dominio del

tiempo y en el dominio de la frecuencia. Estos dos puntos de vista son básicamente equivalentes, ya que describen el

mismo trazo de entrada (excitación) y salida (respuesta) [14] [15].

En el dominio del tiempo una solución simple es expuesta po

continuos en el tiempo, las relaciones entrada/salida son descritas por ecuaciones diferenciales en el dominio del

tiempo, pero representadas por ecuaciones algebraicas en el domino de la frecuencia. En los modelos discretos en

tiempo son descritos por ecuaciones en diferencia lineales. Un modelo continuo puede representar uno discreto mientras

el número de muestras sea alto. Un sistema discreto lineal puede ser presentado en diferentes formas en el dominio del

tiempo y en el dominio de la frecuencia. Estos dos puntos de vista son básicamente equivalentes, ya que describen el

mismo trazo de entrada (excitación) y salida (respuesta) [14] [15].

En el dominio del tiempo una solución simple es expuesta po

mediciones son contaminadas con ruido externo, lo cual se presenta comúnmente en la extracción de datos

experimentales, se soluciona por la aplicación de métodos como variable instrumental (IV), máxima probabilidad o

credibilidad (maximum likelihood) y filtro de Kalman(EKF). Estos métodos son iterativos y la calidad de los resultados

depende de las estimaciones iniciales de los parámetros a identificar. La convergencia de los problemas con numerosos

grados de libertad no puede ser garantizada [15] [16].

mediciones son contaminadas con ruido externo, lo cual se presenta comúnmente en la extracción de datos

experimentales, se soluciona por la aplicación de métodos como variable instrumental (IV), máxima probabilidad o

credibilidad (maximum likelihood) y filtro de Kalman(EKF). Estos métodos son iterativos y la calidad de los resultados

depende de las estimaciones iniciales de los parámetros a identificar. La convergencia de los problemas con numerosos

grados de libertad no puede ser garantizada [15] [16].

LL

expuestos a la derecha de la tabla se emplean para resolver los modelos como son ARX, ARMAX, Modelo Espacial,

ARMA, ARARX, ARARMAX. En esta investigación el modelo planteado es espacial, esto es, sus características se

relacionan con parámetros físicos y sus dimensiones pueden ser definidas [13].

expuestos a la derecha de la tabla se emplean para resolver los modelos como son ARX, ARMAX, Modelo Espacial,

ARMA, ARARX, ARARMAX. En esta investigación el modelo planteado es espacial, esto es, sus características se

relacionan con parámetros físicos y sus dimensiones pueden ser definidas [13].

MM EE

son de regresión lineal. Los métodos de regresión lineal son ampliamente usados para ajustar los datos producto de la

señales o repuestas de instrumentos para estándares o elementos de referencia. Esto se puede visualizar cuando dichos

datos se grafican en un sistema coordenado xy. Con los datos graficados se trata de encontrar una línea de regresión, la

cual indica la tendencia de los datos obtenidos.

son de regresión lineal. Los métodos de regresión lineal son ampliamente usados para ajustar los datos producto de la

señales o repuestas de instrumentos para estándares o elementos de referencia. Esto se puede visualizar cuando dichos

datos se grafican en un sistema coordenado xy. Con los datos graficados se trata de encontrar una línea de regresión, la

cual indica la tendencia de los datos obtenidos.

- ARX - ARMAX

spa

X

- Modelo e cial

- Método de predicción en la minimización del error

)

os(RLS)

Métodos par en amétricos el dominio del

tiempo - ARMA

- ARARX- ARARMA

(PEM). n de los mínimos cuadrados (LSE) - Estimació

- Método de la variable instrumental (IV) - Máximo Algoritmo de Likelihood (MLA) - Métodos sub-espaciales

orithm (ERA- Eigensystem realization Alg- Filtro de Kalman extendido(EKF)

recursiv- Método de los minimos cuadrados

Regresión lineal ordinaria.

a regresión lineal ordinaria consiste en la ortogonalización de diferentes puntos pares de datos de concentración de

dos los errores se encuentran en la dirección del eje y o sea el eje x es libre de error (se tolera un pequeño error

).- Los errores en y se distribuyen en forma normal Gaussiana.

).- Los errores del eje y son independientes del valor de x.

este tipo de regresión obedece el método de los mínimos cuadrados y fue elegido por ser un método aplicado a la

écnica de los mínimos cuadrados

a técnica de los mínimos cuadrados es usada ampliamente para estimar parámetros estructurales, los cuales se

a formulación estándar de esta técnica es en la que un grupo de observaciones de n variables en intervalos

de tiempo se usan para encontrar una función de la variable dependiente de los valores de una variable

r la

L

respuesta para factores de ponderación iguales. Sin embargo para que la regresión lineal ordinaria sea un procedimiento

valido, se deben de tomar en cuenta una serie de suposiciones y condiciones que deben cumplirse [17].

a).- To

en el eje x, siendo este error no mayor al 10% del error en y).

b

c

A

identificación paramétrica [7].

T L

relacionan en primera instancia con las características físicas del sistema estudiado [8]. Esta técnica es un caso especial

del método de identificación predicción-error. La técnica de los mínimos cuadrados se usa para encontrar o estimar los

valores de parámetros, ajustando una función a un grupo de datos y caracterizando las propiedades estadísticas de los

valores estimados. Este método cuenta con algunas variaciones. Su versión más sencilla se llama mínimos cuadrados

ordinarios (OLS), una versión más sofisticada se llama mínimos cuadrados sobrecargados (WLS), del cual se obtienen

mejores desarrollos que el OLS porque puede modular la importancia de cada observación o valores numéricos en la

solución final [18].

L )}(),({ txty nn

independiente . Con una variable y una función lineal, la predicción es dada po siguiente ecuación:

nn txtxtxty θθθ )(......)()()(ˆ 2211 +++= (1.9)

Donde θ son los parámetros desconocidos y los que se desea estimar.

c manera:

(1.10)

Donde:

;

              

 

     

              

 

  ; θ

θθ

θ

                                                                   Vector de valores estima os independientes  

La ecua ión (1.9) puede ser expresada en forma matricial de la siguiente

θ

d

                                                                   Matriz del conjunto de observaciones  y  

                                                                  θ Vector de los parámetros estimados

ε  

ε   ε

 θ    θ

θ  θ θ 

θ

)(txn   )(tyn

Para poder estimar los parámetros del vector θ es necesario que sea mayor que . El método de los mínimos

cuadrados define la estimación de estos parámetros para los valores que minimizan la suma de los cuadrados, de ahí su

nombre “mínimos cuadrados”, entre las mediciones y el modelo (por ejemplo: los valores predichos). Estas cantidades

minimizan la expresión:

( ) [ ]∑∑==

−=−=n

innnnn

n

itxtytyty

1

22

1)()()(ˆ)( θε

(1.11)

Donde ε se entiende como el error, el cual es una cantidad que será minimizada.

De manera general se define ε como:

θ (1.12)

Con el fin de minimizar se selecciona θ de tal forma que:

θ (1.13)

Diferenciando con respecto a θ e igualando el resultado a cero se obtiene:

2 2 θ 0

θ

θ

donde:

Despejando el valor de θ la ecuación

(1.14)

A la ecuación (1.14) se le llama estimador de los mínimos cuadrados.

Estimación óptima de los mínimos cuadrados La técnica de los mínimos cuadrados tiene propiedades estadísticas muy marcadas. Específicamente cuando (1) los

datos obtenidos constituyen un muestreo aleatorio de una población bien definida, (2) la población del modelo es lineal,

(3) el error tiene valor esperado de cero, (4) las variables independientes son linealmente independientes, y (5) el error es

normalmente distribuido y sin correlación con las variables independientes; entonces la técnica de los mínimos

cuadrados es la mejor estimación lineal imparcial (estas 5 premisas son llamadas teorema y condiciones Gauss-Markov).

Cuando estas condiciones se mantienen la técnica de los mínimos cuadrados es llamada estimación máxima de

Likelihood.

1.3.­ Identificación de modelos físicos.  

Identificación es el proceso de desarrollar o mejorar una representación matemática de un sistema físico usando datos

experimentales [11]. Existen tres tipos de identificación:

sistema físico usando datos

experimentales [11]. Existen tres tipos de identificación:

- Identificación de parámetros modales - Identificación de parámetros modales

- Identificación de parámetros estructurales - Identificación de parámetros estructurales

- Identificación control/modelo - Identificación control/modelo

Estos tres tipos de identificación son importantes técnicamente, pero tienen diferentes objetivos. La identificación de

parámetros modales y la identificación de parámetros estructurales se usan en ingeniería estructural, así como la

identificación control/modelo es usada para controlar estructuras flexibles. La utilidad principal de los sistemas de

identificación es la mejora del modelo analítico de una estructura.

Estos tres tipos de identificación son importantes técnicamente, pero tienen diferentes objetivos. La identificación de

parámetros modales y la identificación de parámetros estructurales se usan en ingeniería estructural, así como la

identificación control/modelo es usada para controlar estructuras flexibles. La utilidad principal de los sistemas de

identificación es la mejora del modelo analítico de una estructura.

Normalmente un modelo de elemento finito es suficiente para el diseño de un elemento mecánico, pero por experiencia el

modelo de elemento finito sin refinarse con pruebas dinámicas no es suficientemente exacto. Una vez que el modelo es

construido se desarrollan pruebas estáticas y dinámicas con las cuales del proceso de identificación se deriva un modelo

matemático que caracteriza la dinámica del sistema para las condiciones desarrolladas en el ensayo experimental. El

modelo matemático puede ser usado para controlar cambios en nuevos diseños [13]. Es aquí donde el sistema de

identificación propone complementar o construir un modelo matemático bajo ciertas suposiciones. En la figura 1.2 se

puede apreciar el proceso de identificación, el objetivo es obtener un modelo matemático de la respuesta de un sistema

sujeto a excitación mediante un protocolo de identificación. En el presente trabajo el modelo de elemento finito planteado

representa la estructura física con parámetros desconocidos y sujeto a pruebas dinámicas, de la cual solo podemos

conocer su masa y la respuesta a excitación. La excitación en la base del elemento se supone desconocida para el

modelo de identificación.

Normalmente un modelo de elemento finito es suficiente para el diseño de un elemento mecánico, pero por experiencia el

modelo de elemento finito sin refinarse con pruebas dinámicas no es suficientemente exacto. Una vez que el modelo es

construido se desarrollan pruebas estáticas y dinámicas con las cuales del proceso de identificación se deriva un modelo

matemático que caracteriza la dinámica del sistema para las condiciones desarrolladas en el ensayo experimental. El

modelo matemático puede ser usado para controlar cambios en nuevos diseños [13]. Es aquí donde el sistema de

identificación propone complementar o construir un modelo matemático bajo ciertas suposiciones. En la figura 1.2 se

puede apreciar el proceso de identificación, el objetivo es obtener un modelo matemático de la respuesta de un sistema

sujeto a excitación mediante un protocolo de identificación. En el presente trabajo el modelo de elemento finito planteado

representa la estructura física con parámetros desconocidos y sujeto a pruebas dinámicas, de la cual solo podemos

conocer su masa y la respuesta a excitación. La excitación en la base del elemento se supone desconocida para el

modelo de identificación.

SALIDA

RUIDO/PERTURBACION

PROTOCOLO DE IDENTIFICACION

MODELO MATEMATICO

ENTRADA SISTEMA

P.I.

Fig. 1.2.- Proceso de identificación Fig. 1.2.- Proceso de identificación

El enfoque de identificación se puede realizar en función de la estructura del modelo, y del comportamiento físico del

mismo. Los modelos se diferencian de acuerdo a las características paramétricas que se pueden observar a simple vista.

Algunos modelos se describen a continuación.

Modelo de caja negra

Los parámetros del modelo no tienen una interpretación física. Es un modelo basado en leyes fundamentales es muy

complicado y se desconoce. El ingeniero no puede ver el objeto a estudiar a simple vista.

Modelo de caja gris

Algunas partes del sistema son modeladas basadas en principios fundamentales, y otras como una caja negra. Algunos

de los parámetros del modelo pueden tener una interpretación física, a este tipo de modelos también se les conoce como

“Taylor-made”, estimando solo los parámetros no conocidos.

Modelo de caja blanca

La estructura del modelo se obtiene a partir de leyes fundamentales, los parámetros característicos tienen una

interpretación física. La diferencia con el modelo de caja negra y caja gris es que el ingeniero puede hacer una

suposición de lo que observa a simple vista. Ejemplo: forma, tamaño, peso, etc.

1.3.1.- Identificación de parámetros físicos

La identificación del sistema no es un sustituto del modelo físico, ya que la identificación puede estar basada en modelos

estructurales que tienen origen físico [12]. Los métodos de identificación pueden ser clasificados ampliamente en

métodos paramétricos y no paramétricos [7]. Los modelos paramétricos involucran el uso de modelos matemáticos para

representar comportamiento estructural en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Los beneficios de usar

modelos paramétricos para identificación estructural radica en su relación directa con cantidades físicas como lo son

masa y rigidez, exactitud y resolución de datos, así como su utilidad para análisis, predicción, diagnóstico de fallas y

control. Los modelos de identificación no paramétrica no requieren información sobre la naturaleza del modelo estructural

pero no tienen la habilidad de determinar magnitud de daños.

Algo común de las dos categorías anteriores es que dependen de la excitación como lo son:

- Excitación instantánea

- Excitación periódica

- Excitación periódica seudo-aleatoria

- Excitación estocástica

La combinación de la teoría de sistemas lineales, análisis de series en el dominio del tiempo y teoría asintótica, es la

base de modernos sistemas de identificación paramétrica.

La caracterización dinámica de sistemas desconocidos implica desde el punto de hacer un pequeño esbozo del sistema

mecánico, hasta conocer ciertas características particulares que se puede extraer con cierta facilidad como son masa y

respuesta a una excitación conocida. Parámetros de los cuales el ingeniero pueda hacer una interpretación física. Para

llegar a este punto es necesario tener en cuenta los conceptos mostrados a continuación.

Modelos estructurales no paramétricos

Los modelos no paramétricos son descritos por curvas, relaciones funcionales o tablas. Estos métodos de análisis son:

- Análisis transitorio

- Análisis de frecuencia

- Análisis de correlación

- Análisis espectral

El análisis transitorio es aplicado cuando la respuesta de un sistema es transitoria, lo cual sucede cuando la excitación es

un impulso o en un instante de tiempo. El análisis en el dominio de la frecuencia es aplicado cuando la excitación es

determinística y periódica o pseudo aleatoria y periódica. La excitación y la respuesta censadas del sistema es

transformada al dominio de la frecuencia, y de la función de respuesta se obtiene el amortiguamiento. Los análisis de

correlación y análisis espectral son métodos aplicables a un sistema estacionario excitado estocásticamente. En estos

casos, la excitación y la respuesta del sistema pueden ser caracterizadas por funciones de correlación en el dominio del

tiempo o densidades espectrales en el dominio de la frecuencia. Una vez estimadas las funciones de correlación de la

excitación y la respuesta, se puede calcular la función de impulso del sistema [19].

Modelos estructurales paramétricos

Describen las relaciones entre las variables del sistema mediante expresiones matemáticas. El modelo matemático de un

sistema lineal, invariante y continuo en el tiempo es usualmente en la forma de una ecuación diferencial. El modelo

paramétrico equivalente, discreto e invariante en tiempo es una ecuación en diferencias.

Fig. 1.3.- Representación de un modelo paramétrico con distorsión

La apariencia del modelo paramétrico discreto que describe dicho sistema depende de si se mide o no la excitación de

entrada. Si se mide la excitación de entrada, entonces el modelo paramétrico asociado deberá tener un término

determinístico así como un término estocástico que describa la distorsión desconocida. Si la entrada es desconocida, se

puede tratar estocásticamente. En este caso la descripción de la excitación será descrita por solo un término estocástico

[19]. Los modelos paramétricos pueden ser estacionarios y lineales, entendido por estacionario que independientemente

del instante de aplicación la respuesta será igual a la entrada y lineal si la respuesta a una combinación de entradas es

idéntica a la combinación lineal de las respuestas de las entradas [20].

En función del tipo de sistema y de la representación matemática utilizada los sistemas pueden clasificarse en:

a).- Modelos determinísticos.- Un modelo es determinístico cuando la excitación de entrada y respuesta en la salida

puede ser relacionada mediante una ecuación exacta.

b).- Modelos estocásticos.- Un modelo estocástico es aquel que su comportamiento dinámico queda representado

mediante conceptos estadísticos o probabilísticos.

c).- Modelos dinámicos.- En los modelos dinámicos la respuesta varía con el tiempo en función del instante en que fue

aplicada la excitación entrante.

d).- Modelos estáticos.- Los modelos estáticos son aquellos en los que la respuesta (salida) depende únicamente de la

entrada en ese instante de tiempo.

e).- Sistemas continuos y discretos.- Los sistemas continuos trabajan con señales continuas en tiempo y se representan

mediante ecuaciones diferenciales. Los modelos discretos se describen por medio de ecuaciones en diferencias y

trabajan con señales definidas en intervalos de tiempo constante (señales discretas) [20].

Modelos matemáticos

Existen varias formas de catalogar los modelos matemáticos. Se pueden desarrollar en forma determinística o

estocástica, estáticos o dinámicos, de parámetros distribuidos o concentrados, lineales o no lineales y de tiempo continuo

o discreto.

1.3.2.- Modelos físicos lineales y no lineales De acuerdo a lo estudiado se puede decir que cualquier modelo en la naturaleza se comporta de manera no lineal pero

usualmente se pueden hacer algunas suposiciones para hacer un análisis de la idealización de un modelo en forma

lineal.

a) Amortiguamiento.- Los modelos en la naturaleza tienen algún tipo de amortiguamiento esto es porque

contienen algún tipo de energía de disipación. El amortiguamiento lineal es una idealización, y dicho concepto

fue introducido por Rayleigh mediante el análisis modal de sistemas no amortiguados satisfaciendo una relación

ortogonal de la masa y rigidez, y finalmente expresándola como una relación lineal [21]. El amortiguamiento de

Rayleigh es un tipo especial de amortiguamiento viscoso. El amortiguamiento de Coulomb o amortiguamiento por

fricción húmeda, arrastre aerodinámico, amortiguamiento por histéresis son ejemplo de amortiguamiento no

lineal.

b) Geometría.- La no linealidad geometría de las estructuras surge cuando la excitación inducida produce

deformaciones y deflexiones de consideración, las cuales pudieran producir un cambio en la naturaleza del

sistema o bien dejar historial implícito [22].

c) Inercia.- La no linealidad por inercia se deriva de los términos no lineales como son aceleración y velocidad en la

ecuación de movimiento. La energía cinética es una fuente de no linealidades inerciales. Algunos ejemplos de

estos son aceleración centrípeta y aceleración de Coriolis [22].

d) Se pueden presentar algunas otras no linealidades producidas por impactos en el sistema, contragolpes o bien

holgura en las uniones [22]. 1.4.- Señal de perturbación. La perturbación inducida a una estructura para llevar a cabo la identificación es de gran importancia. Muchas de las

estructuras son identificadas con la excitación inducida por el medio ambiente, un ejemplo de ello son los puentes,

edificios y otras estructuras en las que el tráfico continuo induce excitación en su base. Este tipo de excitación puede

sustituirse y utilizar excitadores electrónicos o martillos, pero para el caso de grandes estructuras el costo de

instrumentación es poco viable. La perturbación como indica [23] debe tener suficiente energía sobre la frecuencia de

interés, esto es que como mínimo la excitación de entrada pueda estar cerca de las frecuencias naturales del sistema

para obtener una respuesta dinámica lo suficientemente enriquecida para hacer una buena identificación.

La riqueza de la respuesta de un sistema es comparable cuando se excita con una señal de una sola frecuencia y

amplitud (excitación armónica) y una señal no armónica- periódica. Cuando el sistema se excita con cada una de las

frecuencias individuales que componen la señal no-armónica-periódica y se superponen los resultados, si se habla de

desplazamiento, la señal no-armónica-periódica arrojara más información acerca de la forma en que se comporta el

sistema que la señal armónica. Usualmente la experimentación desarrollada en laboratorio usa señales que están

perfectamente definidas en frecuencia y amplitud a lo largo de la línea del tiempo, como es para excitaciones armónicas,

periódicas, etc. En otros casos según sea la necesidad de la experimentación se pueden emplear como excitación

inducida ruido blanco Gaussiano o el acelerográma producto de un sismo. Una de las observaciones que se presentan

en [24] es la experiencia para sugerir la excitación de entrada sobre el sistema. Muchas de las ocasiones la sugerencia

radica en su poca experiencia, esto es, elegir una excitación sumamente compleja para realizar el proceso de

identificación. En este trabajo se muestra como resultado que la excitación aplicada debe ser en relación al sistema

analizado. Se puede decir que una excitación armónica es suficiente para hacer la identificación de un sistema que no

cuenta con ninguna clase de amortiguamiento más que la propia del material. La razón por la cual en este trabajo se

sugirió una excitación no armónica como el acelerográma producto de un sismo es porque se hace una retrospección de

la excitación que pudieran influenciar sistemas en condiciones normales de trabajo, tales como la vibración ocasionada

por maquinaria pesada, la vibración producida por el trafico en carretera, el caminar de la gente, etc.

Señales suficientemente ricas

Para realizar una identificación paramétrica adecuada es necesario que la señal de excitación sobre el sistema cuente

con una característica particular muy importante definida como riqueza de señal. De acuerdo con [25] una señal es

suficientemente rica si contiene la cantidad de frecuencias necesarias para excitar todos los modos del sistema

analizado. De manera que si la excitación tiene una frecuencia diferente para dos parámetros desconocidos, entonces

será suficientemente rica en datos. Por ejemplo si el número de parámetros desconocidos es n, las frecuencias que

componen la señal deben ser mayores que la mitad de n, y así la señal de excitación será suficientemente rica de

orden n.

1.4.1.- Clasificación de las perturbaciones.

Las perturbaciones pueden clasificar como se muestra a continuación:

a).-Perturbaciones armónicas

Son aquellas señales que están definidas por una sola función, periodo constante, frecuencia y su amplitud está definida

y permanece constante para cada instante de tiempo.

b).- Perturbaciones no armónicas

Las señales no armónicas difieren de las armónicas en que pueden estar definidas por dos o más funciones, su amplitud

puede variar con cada instante de tiempo, más sin embargo pueden ser periódicas. Un ejemplo claro de una perturbación

no armónica es la excitación derivada de un sismo.

1.5.- Conclusión de la revisión bibliográfica.

De acuerdo con la revisión bibliográfica en el campo de ingeniería se desarrollan análisis dinámicos, de los cuales solo

algunos toman en cuenta la influencia externa aplicada sobre el soporte de la estructura, como es el caso del sistema

rotodinámico. Mas importante es que la excitación sobre el soporte no es tomada como factor que influye en un análisis

dinámico. No existe una metodología que permita cuantificar cuando las mediciones extraídas del sistema mecánico

tienen un nivel de contaminación a causa de una excitación externada inducida en su soporte, que evite conocer como

es el comportamiento del sistema realmente. Algunos autores emplean los métodos de identificación paramétrica con el

objeto de conocer el sistema que analizan, mediante la respuesta obtenida de una excitación inducida. En todos los

casos la excitación inducida es conocida.

1.6.- Objetivo General. Analizar la relación del movimiento entre partes componentes de un sistema mecánico y su soporte para diferentes

excitaciones de la base.

1.7.- Objetivo específico.

El trabajo que se presenta tiene la finalidad de identificar en forma numérica la excitación a la que está expuesto un

elemento mecánico en base a la respuesta mostrada. Se pretende desarrollar un modelo numérico por medio del método

de elemento finito para calcular la respuesta cuando la base del sistema está expuesta a excitación armónica y no

armónica. La respuesta posteriormente será usada en un programa de identificación paramétrica para reconocer la

excitación a la que fue expuesto el sistema además de parámetros propios de él como lo son amortiguamiento y rigidez.

El sistema discreto desarrollado en el programa de elemento finito ABAQUS representa el modelo desconocido al que se

enfrenta el ingeniero en el campo de experimentación.

Capítulo 2 2.­ VALIDACIÓN DE LA SIMULACION NUMÉRICA MEDIANTE ABAQUS  

 En este capítulo se presenta la validación de la respuesta de un sistema mecánico sujeto a excitación en la base con el

programa de elemento finito ABAQUS, a partir de un modelo conocido. Los resultados fueron comparados con

ecuaciones analíticas y una herramienta numérica del programa MatLab [26].

El espécimen sujeto a análisis consiste en un elemento mecánico de características físicas conocidas. El sistema

presentado posteriormente, para su análisis fue necesario plantearlo en forma discreta como un sistema de un grado de

libertad y uno múltiples grados de libertad. El sistema de múltiples grados de libertad se discretizó de acuerdo a la

consideración en la cual los nodos del sistema representan la ubicación de los sensores en el sistema continuo ubicados

de manera equidistante.

2.1.­ Selección del sistema mecánico  En este punto se presenta el proceso de selección del modelo mecánico con que se desarrollará el análisis. Las

características del sistema deben estar expresadas en términos de su geometría y material. En la figura 2.1 se presenta

el modelo experimental realizado.

2.1.1.­ Características mecánicas.  El modelo físico empleado para el análisis es una solera de aluminio por considerar un elemento mecánico flexible y con

el cual es fácil encontrar que en la actualidad muchos sistemas son diseñados con este material por las propiedades con

que cuenta. Además de que el modelo planteado es una extrapolación de sistemas mecánicos como lo es el ala de un

avión, la pieza que sostiene el buril de maquinado, los impelentes de un aspa, etc. Las características mecánicas del

sistema se indican en las tablas 2.1 y 2.2.

Tabla 2.1. Características físicas del modelo continuo.

Modelo Físico Dimensión Unidades Largo 1000 mm Ancho 51 mm

Espesor 5 mm Volumen 2.55e5 mm^3

Masa 0.69439815 kg

Tabla 2.2.- Propiedades del material del modelo continuo.

Propiedad del Material: Aleación de Aluminio (Dural) Unidades

Densidad (ρ) 2723.1387 Kg/m^3 Modulo de Elasticidad (E) 5.03E+07 Kg/m^2 Esfuerzo de fluencia (σ ) 244121.38 Kg/m^2

Esfuerzo último (σ ) 341769.93 Kg/m^2 Decremento Logarítmico de

amortiguamiento (δ) 0.002 Sin unidades

Fig. 2.1.- Modelo continuo del elemento mecánico en el presente trabajo. 2.2.­ Modelo Discreto  El modelo discreto consiste en un sistema masa, resorte, amortiguador. En la figura 2.2 y 2.3 se podrá observar la

representación de un sistema de un grado de libertad y múltiples grados de libertad respectivamente. El criterio para

discriminar el modelo continuo en sistemas de uno y múltiples grados de libertad radica en el número de puntos donde se

realiza la adquisición de datos.

Fig. 2.2.- Modelo discreto para sistemas de un grado de libertad.

Fig. 2.3.- Modelo discreto para sistemas de un grado de libertad.

El movimiento relativo de cada uno de los puntos discretos del sistema es en relación al punto donde se induce la

excitación, en este caso la base. Esto indica que la aceleración total en la base es igual a la excitación externa que actúa

sobre el sistema.

2.3.­ Consideraciones de cálculo.  Para el desarrollo analítico y numérico de la respuesta de sistema de un grado de libertad y múltiples grados de libertad

con excitación en la base, se tomaron las siguientes consideraciones.

1. Para encontrar la respuesta del sistema discreto se considera la teoría de la viga en cortante [23]. En esta teoría

los elementos discretos del sistema solo tendrán deformación en traslación en función de la dirección de

excitación.

2. Es necesario calcular las frecuencias naturales del sistema para obtener el amortiguamiento de Rayleigh por

medio del procedimiento expresado en [27].

3. El amortiguamiento de la viga se calcula en base al decremento logarítmico [28] de la tabla 2.2 con la ecuación

expresada en [10] como:

δ 2 π ζ

    δ decremento logaritmico 

ζ amortiguamiento equivalente

ζ ζ

(2.1) donde:

De esta manera despejando de la ecuación 2.1, del amortiguamiento equivalente se puede calcular el

amortiguamiento viscoso aparente del sistema con la ecuación 2.2:

     ;     2√   (2.2)

y ζ

ζ ζ razón d  amortiguamiento amortiguamiento        amorti amiento crítico          rigidez del sistema         masa del sistema  

(2.3) donde:

e

     gu

Considerando que el amortiguamiento es el mismo para todo el elemento mecánico, cuando se realiza una

discretización debe ser tomado en cuenta que:

y

por tanto

(2.4)

donde:

número e elementos discretos del sistema

                                   amortiguamiento en cada elemento discreto del sistema          

 d

 

Tomando en cuenta lo anterior se puede construir la matriz de amortiguamiento para el sistema discreto y

calcular la razón de amortiguamiento modal [27] necesaria para el desarrollo numérico o bien calcular del

amortiguamiento de Rayleigh [27].

4. La rigidez de la viga se calcula mediante la consideración de una viga en voladizo con la ecuación expresada en

[10] como:

(2.5) donde:

rigidez equi alente del sistema    módulo de elasticidad

       momento de inercia 

v       

 

        longitud d  e

Bajo la consideración de que el sistema actúa co e en n

el lemento mecánico

mo un resorte, en forma discreta cuando se divid

elementos, la rigidez en cada elemento es calculada de la forma siguiente:

(2.6)

suponiendo que:

(2.7)

gando a:

(2.8)

Donde:

   número de elementos discretos 

rigidez del elemento discreto

2.4.­ Cálculos numéricos  

a simulación numérica de la viga empotrada se realizó con elementos discretos tipo masa y tipo resorte. El tipo de

a).- Sistema de un grado de libertad b).- Sistema de múltiples grados de libertad

Fig. 2.4.- Simulación numérica en ABAQUS de la viga, donde:

lle

L

amortiguamiento especificado para el cálculo es modal. Se podrá apreciar en la figuras 2.4 a y b la representación del

sistema discreto empleado para el cálculo en el programa de elemento finito ABAQUS. En el nodo inferior (la base) del

modelo se aprecian las condiciones de frontera las cuales fueron especificadas para desplazamientos y rotaciones nulas.

En los demás nodos se podrá observar los elementos tipo masa y tipo resorte, así como las restricciones a las que

fueron sometidos donde el eje coordenado presentado en la esquina inferior izquierda de cada figura muestra las

posibles direcciones de movimiento del sistema y de acuerdo con las condiciones de frontera indicadas del lado derecho

de cada figura solo existe movimiento en la dirección uno. Las simulaciones realizadas tanto para sistemas de un grado

de libertad como para sistemas de múltiples grados de libertad con excitación armónica y no armónica aplicada en la

base, fueron hechas durante 10 segundos con un tamaño de paso Δt de 0.01 lo que equivale a un número de muestras

obtenido de 1000, suficientes para hacer un identificación paramétrica de acuerdo con [8].

2.4.1.­ Sistema de un grado de libertad con excitación armónica en la base. 

La simulación de un elemento con un grado de libertad consiste en la representación de la figura 2.4a donde la masa

concentrada contendrá el peso total de la viga de aluminio. Tanto el amortiguamiento como la rigidez fueron calculados

con la ecuación 2.3 y 2.5 respectivamente para esta simulación. La excitación en la base del elemento mecánico es del

tipo armónica y cuyas características se muestras a continuación:

Tabla 2.3.- Propiedades de la excitación armónica

Propiedades de la excitación Dimensión UnidadesSenoidal - -

Frecuencia 5 rad/sAmplitud 1 m/s^2

Tiempo total 10 s

El análisis que se presenta a continuación consta de la comparación de resultados de desarrollos analíticos y numéricos

de sistemas de un grado de libertad y múltiples grados de libertad para excitación armónica y no armónica en la base.

Esto con el fin de asegurar que la respuesta calculada mediante el programa ABAQUS sea correcta y se puedan usar

para los cálculos subsecuentes. Las variables comparadas son aceleración absoluta y desplazamiento relativo en cada

uno de los nodos del sistema analizado. Estas variables fueron elegidas, porque son los datos obtenidos mediante el

planteamiento matemático en [11] y la herramienta numérica del programa MatLab de [26]. Las rutinas de las referencias

[11] y [26] se pueden apreciar a detalle en el Apéndice A.

En la figura 2.5 se aprecia la curva que representa la excitación armónica en la base, del elemento mecánico de un

grado de libertad.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación

EXCITACIÓN

Fig. 2.5.- Excitación armónica en la base del elemento mecánico

En la figura 2.6 y 2.7 se puede observar la aceleración absoluta y respuesta relativa respectivamente.

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Aceleración absoluta (TA1N2)

ABAQUS(TA1N2)MATLAB(TA1N2)ANALĺTICO(TA1N2)

Fig. 2.6.- Aceleración absoluta en el extremo más lejano a la base Nodo 2.

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Am

plitu

d (m

)

Tiempo (s)

Desplazamiento relativo (U1N2)

ABAQUS(U1N2)MATLAB(U1N2)ANALĺTICO (U1N2)

Fig. 2.7.- Desplazamiento relativo en el extremo más lejano a la base Nodo 2.

Las figuras 2.6 y 2.7 parecen ser similares a “efecto espejo”. La razón de este comportamiento es que se trata de un

sistema de un grado de libertad donde el ángulo de fase de la aceleración respecto al desplazamiento es 180°. Por otro

lado el cambio en las magnitudes que se observan obedece a que se trata de valores de desplazamiento relativo. El

desplazamiento relativo es igual al desplazamiento ocasionado por el movimiento de la base respecto un punto fijo

menos el desplazamiento absoluto del elemento desde el punto fijo.

En la tabla 2.4 se puede apreciar la diferencia porcentual de resultados de los tres métodos explorados mostrados en las

figuras 2.6 y 2.7. Las muestras en la tabla representan todo el conjunto de muestras de la simulación y son los instantes

en el tiempo donde se encontró una mayor diferencia de los resultados.

Tabla 2.4.- Diferencia de resultados por los tres métodos explorados.

Tiempo (s) d(TA1N2) d(U1N2) d(TA1N2) d(U1N2) d(TA1N2) d(U1N2)2.84 0.0157 0.0126 0.0309 0.0031 0.0466 0.01572.85 0.0138 0.0119 0.0327 0.0038 0.0465 0.01572.86 0.0116 0.0120 0.0347 0.0036 0.0463 0.01562.87 0.0108 0.0109 0.0373 0.0024 0.0481 0.01332.88 0.0075 0.0124 0.0385 0.0031 0.0460 0.01552.89 0.0071 0.0119 0.0407 0.0035 0.0477 0.01542.9 0.0055 0.0116 0.0420 0.0037 0.0475 0.01542.91 0.0023 0.0109 0.0451 0.0022 0.0474 0.01312.92 0.0009 0.0113 0.0462 0.0039 0.0472 0.01532.93 0.0009 0.0106 0.0479 0.0024 0.0469 0.01302.94 0.0021 0.0125 0.0488 0.0026 0.0467 0.01512.95 0.0030 0.0120 0.0513 0.0030 0.0484 0.0150

COMPARACION DE RESULTADOS (%)ABAQUS vs. MATLAB ABAQUS vs. ANALITICO MATLAB vs. ANALITICO

De manera gráfica en la figura 2.8 se observa la diferencia de resultados en los instantes de tiempo comparados en la

tabla 2.4. La comparación de resultados se hizo respecto a la solución analítica para sistemas de un grado de libertad y

excitación armónica en la base encontrada en la bibliografía [11][26]. La diferencia máxima se encuentra en los

resultados para aceleración absoluta y desplazamiento relativo calculados con MatLab respecto a los resultados

analíticos. La razón es que el algoritmo muestra deficiencias numéricas. Esto se puede apreciar mejor al comparar los

resultados calculados numéricamente mediante ABAQUS y las formulas clásicas analíticas del movimiento en la base.

Sin embargo la diferencia máxima corresponde al 0.051% en la muestra número 12, perteneciente al instante de tiempo

2.95. El porcentaje de diferencia de 0.051% radica en que para el cálculo analítico y numérico se usó el mismo tamaño

de paso en que se dividió de forma discreta la señal de excitación. De manera que la diferencia de resultados del método

empleado con ABAQUS y [11][26] para la solución del sistema de un grado de libertad y excitación armónica en la base

permanece abajo del 0.051%. Por lo tanto se considera que el método numérico empleado en ABAQUS es

recomendable para encontrar la solución de los sistemas propuestos

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Dife

renc

ia M

áxim

a Po

rcen

tual

(%)

Tiempo (s)

Diferencia de Resultados

ABAQUS vs. MATLAB (TA1N2)ABAQUS vs. MATLAB (U1N2)ABAQUS vs. ANALITICO (TA1N2)ABAQUS vs. ANALITICO (U1N2)MATLAB vs. ANALITICO (TA1N2)MATLAB vs. ANALITICO (U1N2)

Fig. 2.8.- Diferencia máxima de resultados por los tres métodos explorados

2.4.2.­ Sistema de un grado de libertad con excitación no armónica en la base. 

El análisis siguiente es la comparación de resultados de la respuesta extraída para sistema de un grado de libertad con

excitación no armónica en la base. Esto con el objeto de validar los resultados mediante el programa ABAQUS. Al igual

que en el sistema anterior, se encontró la respuesta de un sistema de un grado de libertad, pero en esta ocasión para

excitación no armónica en la base. La excitación no armónica empleada se define como el acelerográma producto de un

sismo de nombre Sismo 1989 estación 51 [29]. Se eligió este tipo de excitación de acuerdo a la concepción en la cual se

trata de identificar la excitación proveniente del medio ambiente, la cual usualmente es rica en frecuencias. Tanto el

amortiguamiento como la rigidez fueron calculados con la ecuación 2.3 y 2.5 respectivamente para esta simulación de

acuerdo a las características del elemento expresado en las tablas 2.1 y 2.2. En la figura 2.9 se puede apreciar la

representación de una excitación no armónica definida por el acelerográma del sismo [28].

-0.0040

-0.0030

-0.0020

-0.0010

0.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0.0040

0.0050

0.0060

Am

plitu

s (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Sismo 1989 estación 51

EXCITACIÓN

Fig. 2.9.- Excitación no armónica definida por el sismo 1989 estación 51 En las figuras 2.10 y 2.11 se puede observar la aceleración absoluta y desplazamiento relativo.

-0.0003

-0.00025

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Aceleración absoluta (TA1N2)

ABAQUS(TA1N2)MATLAB(TA1N2)

Fig. 2.10.- Aceleración absoluta en el extremo más lejano a la base Nodo 2(Ver figura 2.4a)

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

Am

plitu

d (m

)

Tiempo (s)

Desplazamiento relativo (U1N2)

ABAQUS(U1N2)MATLAB(U1N2)

Fig. 2.11.- Desplazamiento relativo en el extremo más lejano a la base Nodo 2(Ver figura 2.4a)

Al igual que el sistema con excitación armónica, el efecto espejo en las figuras 2.10 y 2.11 es porque se trata de un

sistema de un grado de libertad donde cada punto del desplazamiento se va a encontrar en una fase de 180° con cada

punto de la aceleración inducida. El cambio de escala como se mencionó anteriormente se debe a que se trata de un

desplazamiento relativo. En la tabla 2.5 se observa la diferencia de resultados obtenidos por los dos métodos

explorados. Las muestras en la tabla representan el conjunto de muestras de toda la simulación y son los instantes en el

tiempo donde se observó una mayor diferencia en el cálculo. En la figura 2.12 se pueden observar de manera gráfica la

diferencia de resultados mostrados en la tabla 2.5. La diferencia se debe a como se mostro en la figura 2.8 el algoritmo

del programa MatLab presenta deficiencias, las cuales no compete a la siguiente investigación determinarlas. Sin

embargo se podrá observar una diferencia máxima del 0.08% correspondiente a la muestra uno del instante de tiempo

8.51. La tendencia de la diferencia de resultados se hace más pequeña conforme el tiempo transcurre. Con esto se

puede aseverar que si el tiempo de modelamiento es mayor, los datos después de cierto tiempo tenderán una mínima

diferencia. Otra razón por la cual se observa una diferencia de resultados pequeña, es que los métodos emplean el

mismo método de integración (Newmark), entonces la diferencia que existe en los resultados es por el número de índices

al realizar las operaciones.

Tabla 2.5.- Diferencia de resultados por dos métodos explorados

Tiempo TA1N2 U1N2 TA1N2 U1N2 Excitacion d(TA1N2) d(U1N2)8.51 ‐8.40E‐05 7.28E‐04 ‐8.39E‐05 0.00072753 ‐0.25624 0.0795 0.02758.52 ‐8.38E‐05 7.26E‐04 ‐8.38E‐05 0.0007262 0.083728 0.0757 0.02708.53 ‐8.37E‐05 7.25E‐04 ‐8.36E‐05 0.00072494 0.41413 0.0740 0.02418.54 ‐8.35E‐05 7.24E‐04 ‐8.35E‐05 0.00072369 0.45244 0.0724 0.02278.55 ‐8.34E‐05 7.23E‐04 ‐8.33E‐05 0.00072244 0.19387 0.0700 0.02068.56 ‐8.32E‐05 7.21E‐04 ‐8.32E‐05 0.00072119 ‐0.1509 0.0683 0.02008.57 ‐8.31E‐05 7.20E‐04 ‐8.31E‐05 0.00071998 ‐0.47172 0.0667 0.01768.58 ‐8.30E‐05 7.19E‐04 ‐8.29E‐05 0.00071878 ‐0.76381 0.0654 0.01578.59 ‐8.28E‐05 7.18E‐04 ‐8.28E‐05 0.00071757 ‐0.92662 0.0637 0.01468.6 ‐8.27E‐05 7.16E‐04 ‐8.26E‐05 0.00071638 ‐0.78297 0.0615 0.01268.61 ‐8.26E‐05 7.15E‐04 ‐8.25E‐05 0.00071523 ‐0.18442 0.0590 0.01028.62 ‐8.24E‐05 7.14E‐04 ‐8.24E‐05 0.00071415 0.32794 0.0550 0.0081

COMPARACION DE RESULTADOS (%)ABAQUS MATLAB ABAQUS vs. MATLAB

0.0000

0.0100

0.0200

0.0300

0.0400

0.0500

0.0600

0.0700

0.0800

0.0900

DIfe

renc

ia M

axim

a Po

rcen

tual

%

Tiempo (s)

Direferencia de Resultados

ABAQUS vs. MATLAB (TA1N2)ABAQUS vs. MATLAB (U1N2)

Fig. 2.12.- Diferencia máxima de resultados por dos métodos explorados

2.4.3.­ Sistema de múltiples grados  de libertad con excitación armónica en la base. 

Los sistemas de múltiples grados de libertad sugieren una mejor aproximación al elemento mecánico con el cual se

analiza su comportamiento cuando está sujeto a excitación en la base mediante un análisis de elemento finito. En el

presente trabajo la forma de realizar la discretización del elemento mecánico, se relaciona con la instrumentación

utilizada en el campo de experimentación, esto es, los puntos discretos en los que se divide el elemento mecánico

representan los sensores con los cuales se obtiene la señal de repuesta. La rigidez de cada elemento discreto se calculó

con la ecuación 2.7. El amortiguamiento para el elemento mecánico expresado en las tablas 2.1 y 2.2 se calculó

mediante a ecuación 2.4 para cada elemento discreto. Para la simulación numérica se empleo el amortiguamiento modal

calculado con el método propuesto por [27](Ver Apéndice C) . A continuación se presenta el análisis de la respuesta para

un sistema de múltiples grados de libertad y excitación armónica en la base. La respuesta observada es producto de la

aplicación de una excitación armónica, la cual queda representada en la figura 2.5. Las curvas que representan la

aceleración absoluta y desplazamiento relativo en el nodo cuatro (Ver figura 2.4b) se puede observar en la figura 2.13 y

2.14 respectivamente. Se analiza el nodo cuatro porque representa el comportamiento del extremo más alejado de la

base, sin embargo el análisis se puede desarrollar en cuales quiera de los nodos.

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Aceleración absoluta (TA1N4)

ABAQUS(TA1N4)MATLAB(TA1N4)

Fig. 2.13.- Representación de aceleración absoluta en el nodo 4.(Ver figura 2.4b)

La figura 2.14 muestra la curva que representa el desplazamiento del sistema en el nodo 4. En la curva se puede

apreciar una frecuencia más alta sobre una frecuencia base. La frecuencia más alta corresponde a la señal de excitación,

mientras la frecuencia base es la primera frecuencia natural del sistema más algunas otras componentes de la segunda y

tercera frecuencia natural. Esta conclusión es producto de un análisis de la respuesta en el dominio de la frecuencia.

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Desplazamiento relativo (U1N4)

ABAQUS(U1N4)MATLAB(U1N4)

Fig. 2.14.- Representación de desplazamiento relativo en el nodo 4.

Las curvas que representan la respuesta de todos los nodos se encuentran en el Apéndice A. Las curvas de aceleración

son diferentes en cada nodo, esto es porque el ángulo de fase durante el movimiento es diferente para cada uno de ellos.

Es de esperarse que la respuesta en el nodo más distante a la base difiera de un sistema de 1DOF a otro de MDOF

aunque se hable del mismo elemento mecánico, esto sucede por la forma en que representa de manera discreta el

sistema, ya que el momento de inercia en cada uno es diferente por la distribución de masa. La tabla 2.6 muestra una

comparación de los resultados obtenidos con el objeto de demostrar la aproximación de los resultados del método

empleado en ABAQUS, respecto el programa MatLab. Las muestras en la tabla representan los puntos en el tiempo

donde se observo una mayor diferencia en los cálculos hechos. Ambos programas emplean el mismo método de solución

numérica.

Tabla 2.6.- Comparación de resultados por los métodos explorados.

Tiempo (s) d(TA1N1) d(TA1N2) d(TA1N3) d(TA1N4) d(U1N1) d(U1N2) d(U1N3) d(U1N4)0.7 0.0000 0.0127 0.0246 0.0284 0.0000 0.0013 0.0019 0.00260.71 0.0000 0.0131 0.0249 0.0318 0.0000 0.0026 0.0006 0.00060.72 0.0000 0.0090 0.0251 0.0291 0.0000 0.0000 0.0031 0.00190.73 0.0000 0.0094 0.0246 0.0310 0.0000 0.0019 0.0018 0.00180.74 0.0000 0.0117 0.0254 0.0312 0.0000 0.0000 0.0006 0.00240.75 0.0000 0.0133 0.0255 0.0351 0.0000 0.0018 0.0017 0.00120.76 0.0000 0.0101 0.0245 0.0360 0.0000 0.0018 0.0011 0.00110.77 0.0000 0.0117 0.0251 0.0320 0.0000 0.0029 0.0022 0.00110.78 0.0000 0.0144 0.0245 0.0316 0.0000 0.0029 0.0005 0.00160.79 0.0000 0.0097 0.0252 0.0361 0.0000 0.0006 0.0011 0.00110.8 0.0000 0.0107 0.0252 0.0362 0.0000 0.0017 0.0011 0.00210.81 0.0000 0.0089 0.0289 0.0365 0.0000 0.0016 0.0026 0.0021

ABAQUS vs.MATLABCOMPARACION DE RESULTADOS (%)

En la figura 2.15 se puede observar la diferencia máxima para aceleración absoluta de los resultados por los dos

métodos numéricos usados para la simulación. La diferencia máxima se presenta en el nodo cuatro y es del 0.038% para

la muestra número 12 correspondiente al instante de tiempo 0.81. En el nodo uno se observa una diferencia nula por los

dos métodos y es porque ambos usan la misma excitación inducida en el sistema.

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.0250

0.0300

0.0350

0.0400D

ifere

ncia

Máx

ima

Porc

entu

al (%

)

Tiempo (s)

Diferencia de resultados para aceleración absoluta

ABAQUS vs. MATLAB (TA1N1)ABAQUS vs. MATLAB (TA1N2)ABAQUS vs. MATLAB (TA1N3)ABAQUS vs. MATLAB (TA1N4)

Fig. 2.15.- Diferencia de resultados aceleración absoluta en los nodos uno, dos, tres y cuatro.

La figura 2.16 corresponde a la aproximación obtenida con ABAQUS y MatLab del desplazamiento relativo. Se puede ver

que la diferencia máxima corresponde al 0.0032% en la muestra número 3. La figura muestra puntos donde existe una

diferencia y otros donde es nula. Observando los resultados siendo que la diferencia respeto a cero es pequeña, se

puede atribuir el error a la cantidad de decimales al realizar las operaciones y a mejoras o deficiencias en los algoritmos

de cálculo tal cual sea el caso. De manera que si la diferencia máxima se mantiene por debajo del 0.0032% se puede

asegurar que el método empleado por ABAQUS para el cálculo es viable de usar, y por lo tanto hace esta herramienta

factible para su empleo en los cálculos subsecuentes.

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

Dife

renc

ia M

axim

a Po

rcen

tual

(%)

Tiempo (s)

Diferencia de Resultados desplazamiento relativo

ABAQUS vs. MATLAB (U1N1)ABAQUS vs. MATLAB (U1N2)ABAQUS vs. MATLAB (U1N3)ABAQUS vs. MATLAB (U1N4)

Fig. 2.16.- Diferencia de resultados de desplazamiento relativo en los nodos uno, dos, tres y cuatro.

 

 

2.4.4.­ Sistema de múltiples grados  de libertad con excitación no armónica en la base. 

El sistema de múltiples grados de libertad sugerido en el presente trabajo fue simulado bajo una excitación no armónica

definida por la figura 2.9. El amortiguamiento y rigidez fue calculado para el elemento de las tablas 2.1 y 2.2. Al igual que

para el sistema de múltiples grados de libertad la rigidez fue calculada para cada elemento discreto. Para la simulación

numérica se uso el amortiguamiento modal calculado por el método de [27]. En la figura 2.17 y 2.18 se pueden apreciar

la aceleración absoluta y desplazamiento relativo como respuesta de un sistema de múltiples grados de libertad bajo una

excitación no armónica. El análisis se realizó en relación al nodo cuatro (ver figura 2.4b) que representa el extremo más

lejano a la base del elemento mecánico. La respuesta en los demás nodos se encontrara en el Apéndice B.

‐0.0008

‐0.0006

‐0.0004

‐0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Aceleración absoluta (TA1N4)

ABAQUS(TA1N4)MATLAB(TA1N4)

Fig. 2.17.- Aceleración total sistema de múltiples grados de libertad.

La respuesta de aceleración absoluta en el extremo más distante a la base no se puede esperar sea la misma para un

sistema discreto de 1DOF como para un sistema de MDOF, aunque el elemento en análisis sea el mismo. La razón

radica en la distribución de masa del sistema, esto es, que el momento de inercia cambiara respecto a esta variante. Así

al analizar el mismo elemento las propiedades como rigidez y amortiguamiento serán diferentes y por tanto diferirá un

sistema de otro, respecto a la manera discreta en que sea analizado.

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

Am

plitu

d (m

)

Tiempo (s)

Desplazamiento relativo (U1N4)

ABAQUS(U1N4)MATLAB(U1N4)

Fig. 2.18.- Desplazamiento relativo sistema de múltiples grados de libertad.

Con la tabla 2.7 se puede apreciar la diferencia de resultados para aceleración absoluta y desplazamiento relativo en

cada uno de los nodos. Las muestras en la tabla representan todo el conjunto en la simulación, y es en estos instantes

de tiempo es donde se presento la diferencia máxima en las amplitudes de las respuestas.

Tabla 2.7.- Comparación de resultados por los métodos explorados.

De manera gráfica en las figuras 2.19 y 2.20 se apreciar la diferencia en los resultados para aceleración absoluta y

desplazamiento relativo respectivamente. Como se observa la diferencia de resultados tiende a disminuir respecto el

tiempo, esto indica que el cálculo en ambos programas cuando el tiempo de simulación es mayor tendera a la

convergencia. La relación que existe entre las dos respuestas para excitación armónica y no armónica, es como se

puede apreciar, donde diferencia para excitación no armónica es mayor. Esto es por la complejidad de la excitación. La

aproximación en la predicción de la respuesta calculada por el método de integración está relacionada con la complejidad

de la excitación. La diferencia máxima en la figura 2.19 es del 0.99% en la muestra uno correspondiente al instante de

tiempo 6.67. En la figura 2.20 la diferencia máxima es el 0.079%. La diferencia de resultados, como se mencionó

anteriormente obedece a que los dos programas emplean el mismo método de solución numérica. Los errores en el

cálculo de la respuesta se pueden atribuir al número de decimales considerados para el cálculo y mejoras o desventajas

de los algoritmos.

Tiempo (s) d(TA1N1) d(TA1N2) d(TA1N3) d(TA1N4) d(U1N1) d(U1N2) d(U1N3) d(U1N4)6.76 0.0000 0.9808 0.0900 0.0000 0.0000 0.0780 0.0319 0.00066.77 0.0000 0.9479 0.0905 0.0000 0.0000 0.0752 0.0312 0.00176.78 0.0000 0.9183 0.0851 0.0000 0.0000 0.0761 0.0298 0.00366.79 0.0000 0.8904 0.0819 0.0000 0.0000 0.0755 0.0284 0.00476.8 0.0000 0.8664 0.0768 0.0000 0.0000 0.0741 0.0275 0.00556.81 0.0000 0.8435 0.0745 0.0000 0.0000 0.0744 0.0249 0.00686.82 0.0000 0.8206 0.0745 0.0000 0.0000 0.0717 0.0233 0.00756.83 0.0000 0.8024 0.0679 0.0000 0.0000 0.0722 0.0224 0.00916.84 0.0000 0.7824 0.0684 0.0000 0.0000 0.0690 0.0206 0.01026.85 0.0000 0.7650 0.0617 0.0000 0.0000 0.0695 0.0198 0.01216.86 0.0000 0.7494 0.0573 0.0000 0.0000 0.0676 0.0170 0.01306.87 0.0000 0.7358 0.0553 0.0000 0.0000 0.0662 0.0154 0.0159

ABAQUS vs.MATLABCOMPARACION DE RESULTADOS

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Dife

renc

ia M

axim

a Po

rcen

tual

(%)

Muestras

Diferencia de resultados para aceleración absoluta

ABAQUS vs. MATLAB (TA1N1)ABAQUS vs. MATLAB (TA1N2)ABAQUS vs. MATLAB (TA1N3)ABAQUS vs. MATLAB (TA1N4)

Fig. 2.19.- Diferencia de resultados aceleración absoluta en los nodos uno, dos, tres y cuatro.

0.0000

0.0100

0.0200

0.0300

0.0400

0.0500

0.0600

0.0700

0.0800

0.0900

Dife

renc

ia M

axim

a Po

rcen

tual

(%)

Muestras

Diferencia de resultados para desplazamiento relativo

ABAQUS vs. MATLAB (U1N1)ABAQUS vs. MATLAB (U1N2)ABAQUS vs. MATLAB (U1N3)ABAQUS vs. MATLAB (U1N4)

Fig. 2.20.- Diferencia de resultados de desplazamiento relativo.

2.5.- Resumen de resultados En las tablas presentadas a continuación se encuentran las comparaciones porcentuales de la diferencia para sistemas

de un grado de libertad con excitación armónica y no armónica, además de sistemas de múltiples grados de libertad con

excitación armónica y no armónica. Los resultados son la diferencia porcentual mínima y máxima para cada una de las

simulaciones independientemente de cómo se trato anteriormente para casos particulares de desplazamiento relativo y

aceleración absoluta. El objetivo es mostrar en forma global las aproximaciones y la razón acerca del comportamiento y

tendencia de las simulaciones. En la figura 2.21 se presenta la diferencia porcentual máxima. La diferencia máxima para

la mayoría de las simulaciones permanece por debajo del 0.01%, mientras para la simulación de un sistema de múltiples

grados de libertad y excitación no armónica en la base los resultados ascienden a 0.99%. La razón de este

comportamiento se debe a la complejidad del elemento mecánico analizado. Es común observar en simulaciones

numéricas que los resultados extraídos tenderán a tener un porcentaje de error o mala aproximación en referencia a la

complejidad del problema. Sin embargo dado que la diferencia porcentual máxima en los resultados se mantiene abajo

del 1%, se puede concluir que los resultados representan realmente el comportamiento dinámico real del sistema

mecánico analizado.

0.051%0.08 %

0.032 %

0.99 %

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4

Dife

renc

ia P

orce

ntua

l (%

)

Simulaciones

Diferencia porcentual máxima

Excitación armónica (1DOF)Excitación no armónica (1DOF)Excitación armónica (MDOF)Excitación no armónica (MDOF)

Fig. 2.21.- Histograma de resultados porcentuales máximos

La figura 2.22 representa la diferencia porcentual mínima. Aquí los resultados tienden a cero. Una diferencia con

tendencia a cero es ideal puesto que indica una convergencia de los resultados obteni-

0.000939249%

0.0081%

0.0006%

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

1 2 3 4

Dife

renc

ia P

orce

ntua

l (%

)

Simulaciones

Diferencia porcentual mínima

Excitación armónica (1DOF)Excitación no armónica (1DOF)Excitación armónica (MDOF)Excitación no armónica (MDOF)

Fig. 2.22.- Histograma de resultados porcentuales mínimos dos por los métodos con lo que se hizo el cálculo. La comparación de hizo respecto al punto que presento una menor

diferencia en las muestras representativas del total de la simulación. Para el caso de la figura 2.22, la simulación del

elemento mecánico de MDOF con excitación armónica en la base se aprecia con poca diferencia.

2.6.- Conclusión Del resumen anterior, la respuesta calculada numéricamente para sistemas mecánicos con excitación armónica y no

armónica en la base mediante el programa ABAQUS muestra una diferencia mínima de 0% y una diferencia máxima del

0.99% respecto a los métodos comparados de la bibliografía. Es por esto que se concluye que los cálculos hechos con

ABAQUS representan el comportamiento dinámico del sistema usado en esta investigación y por tanto la respuesta

puede ser usada en el programa de identificación paramétrica.

Capítulo 3   

 3.­ PROGRAMA DE IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA

En este capítulo se presenta una descripción detallada de las metodologías de solución de los programas de

identificación paramétrica desarrollados en este trabajo. Estos programas usan la respuesta relativa de un sistema con

excitación en la base. La respuesta relativa es calculada numéricamente mediante el programa ABAQUS, del cual se

demostró su aproximación en el capítulo anterior. Mediante la respuesta relativa los programas de identificación

paramétrica estimaran la excitación aplicada sobre el sistema así como parámetros característicos del elemento

mecánico como es amortiguamiento y rigidez. A continuación se presenta la descripción detallada de los programas de

identificación paramétrica.

3.1.­ Método dinámico compuesto inverso 

El método dinámico compuesto inverso propuesto por [8] se basa en un proceso de identificación iterativa que tiene

como origen la técnica de los mínimos cuadrados [18] y el método del promedio estadístico. La excitación en la base del

sistema se reconstruye usando las respuestas estructurales y los valores iniciales sugeridos de las variables a identificar

como son amortiguamiento y rigidez. La excitación en la base se forza a converger con la dinámica del sistema usando el

método del promedio estadístico. En forma general el procedimiento se expresa en los siguientes pasos.

1.- La primera fase consiste en forma la matriz de respuesta H, con los datos de respuesta obtenidos del programa de

elemento finito ABAQUS. Esta matriz se forma con desplazamientos y velocidades relativas.

0

0

    …0

    

0

…0

 

00…   0

0

     

 

…0

     

0

…0

 

00…

                                    Instante de tiempo

                                    Grado de libertad

                                  Desplazamiento relativo del grado de libertad correspondiente

                                  Velocidad relativa del grado de libertad correspondiente

  

θθθ

θ ζ ζ … ζ θ …

(3.1)

donde:

Con el objeto de formar un vector de respuesta, se tiene que hacer una matriz de respuesta para cada instante de

tiempo .

2.- El siguiente paso consiste en sugerir el vector de valores iniciales de los parámetros que serán calculados . El

vector de valores iniciales se compone de los valores de rigidez y amortiguamiento.

0θ

; ; (3.2)

Donde :

                               ζ amortiguamiento del elemento enésimo grado de 

                                 rigidez del enésimo grado de libertad

                                θ Vector inicial de rigidez

                                θ Vector inicial de amortiguamiento

θ θ

libertad

 

Los vectores columna y dependen de los elementos en que se divida el sistema, para el caso de análisis de este

trabajo, se tiene como resultado un vector columna de valores iniciales de 6X1 con tres valores de amortiguamiento y

tres valores de rigidez.

3.- Estimar el vector P~ relativo a la aceleración en la base. Del producto 0

ˆ*~ θHP = el resultado se expresa como:

, , … ,

grados de libertad

                                  masa del elemento mecánico  

                             aceleración relativa  al tiempo 

                        aceleracion de la base al tiempo     

  (3.3)

El vector contiene información acerca del movimiento en la base y las fuerzas inerciales del elemento mecánico en

cada instante de tiempo L. Cada elemento del vector se reescribe de la siguiente manera.

(3.4)

donde:

Una vez que se descompone en cada uno de sus elementos como lo muestra la ecuación 3.4, se despeja el valor de la

aceleración en la base . Los valores estimados de aceleración , calculados con cada uno de los grados de

libertad deben ser los mismos independientemente de los valores iniciales sugeridos para el cálculo.

Sin embargo dado que la aproximación no sucede en la primera iteración porque los valores iniciales sugeridos no son

los propios del sistema, se realiza un promedio estadístico de los valores de con el objeto de forzar la

convergencia de los resultados.

En la figura 3.1 se muestra la aproximación de la excitación en la base realizada con datos del movimiento relativo en

cada uno de los nodos. Aquí se aprecia que las curvas que representan la excitación en la base son diferentes unas de

las otras porque cada una es calculada con la respuesta correspondiente a un grado de libertad en particular y el valor

inicial no corresponde al real del sistema. Es por eso que mediante el promedio estadístico se forzan las funciones a ser

las iguales.

-1.25

-0.75

-0.25

0.25

0.75

1.25

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Aproximación de la excitación

Acc Nodo 1Acc Nodo 2Acc Nodo 3

Fig. 3.1.- Excitación en la base identificada por la respuesta en cada nodo

4.- Con las curvas anteriores se calcula el promedio estadístico de la aceleración en la base ( )ib tx&& .

∑ (3.5)

Una vez obtenido el promedio estadístico se reconstruye el vector de acuerdo con la ecuación (3.3) y (3.4). Cuando se

emplea la función nueva , producto del promedio estadístico, habrá una mayor tendencia a converger tanto de los

parámetros como en la curva estimada.

5.- Con el valor nuevo de , mediante la técnica de los mínimos cuadrados se calcula el valor nuevo de los parámetros

estructurales.

[ ] PHHH TT ~ˆ 11

−=θ (3.6)

6.- El procedimiento mostrado anteriormente de desarrolla hasta obtener la convergencia de los resultados. El criterio de

convergencia θε se puede expresar como:

max θ θθ

ε

                           θ Valor de los parámetros en la iteración reciente

                       θ Valor de los parámetros previamente calculados

                                      εθ Error mínimo cuadrático

θ (3.7)

Donde:

 

P7.- Una vez que el criterio de convergencia se cumple en el paso 6, los valores calculados para el vector ~

en el paso 3,

corresponderán a la curva que representa la aceleración en la base del elemento mecánico. La metodología permite,

como se mencionó anteriormente, estimar la rigidez, amortiguamiento y excitación a la que está expuesto el sistema, con

el conocimiento solo de la matriz de masa y respuesta vibratoria. El desarrollo consistió en construir el sistema discreto

[8] en ABAQUS, para después obtener la respuesta y usarla para calcular los valores desconocidos como son en este

caso amortiguamiento, rigidez y excitación de entrada mediante el programa desarrollado en MatLab.

En la figura 3.2 se pueden apreciar los pasos descritos anteriormente, para hacer la identificación paramétrica. La

mayoría de los pasos a seguir corresponden a simples operaciones vectoriales, donde el paso 6 toma gran importancia

porque será el criterio en el cual se basara la convergencia de los resultados, de aquí el proceso iterativo. La operación

aritmética para la convergencia de cada unos de los parámetros calculados comprende una diferencia de 10 de

acuerdo con [7] entre los valores nuevos calculados y los valores iniciales o bien los valores del cálculo

previo. Cuando la convergencia de los resultados en el paso 6 no llega al valor de 10 , el valor obtenido de se

convierte en el valor inicial y se desarrolla de nuevo el proceso desde el paso 2. Cuando se llega a la convergencia en

el paso 6, los valores calculados corresponden a los parámetros identificados y la aproximación de la excitación en la

base corresponderá al vector calculado en el paso 3.

1 H 2 3 4 5

0~ θHP =

kkcc1010 ,,, θθθθ

( ) PHHH TT ˆ11 −=θ

NO

( ) ( )xn

xr

)∑ && LittN

ir

gig ,..1ˆ11

( ===

&&

( ) ( )

( ) θθεθ

θθ=<

− − ,max 1

lll

iter

iteriter 6

kθ

7 SI

Fig. 3.2.- Diagrama de flujo del programa de identificación paramétrica.

La aplicación de la metodología anterior resulta numéricamente factible, sin embargo en el campo experimental resulta

un tanto laborioso, ya que las variables relativas introducidas en el programa de identificación no resulta común

extraerlas en un análisis de vibraciones de un proceso experimental. Por lo regular las cantidades obtenidas en

mediciones de las vibraciones con instrumentación son magnitudes absolutas. Así las cantidades relativas no pueden ser

obtenidas por que para ello es preciso conocer la excitación en el soporte, contrario al principio que da origen a esta

investigación. En el caso más sencillo resultaría necesario medir los desplazamientos relativos e integrar la señal para

obtener lo datos requeridos. Es por eso que a continuación se hace la descripción del programa de identificación

paramétrica para estimar la excitación en el soporte usando cantidades absolutas en relación al movimiento de la base.

3.2.- Método de identificación paramétrica hibrida.

El objetivo de presentar esta metodología que usa cantidades absolutas, es que se relaciona directamente con las

magnitudes extraídas en un análisis de vibraciones durante un proceso experimental.

Diferencia de los métodos de identificación paramétrica propuestos

Es necesario describir las diferencias entre el método de estimación paramétrica descrito en la sección anterior y el

método descrito en esta sección, con el objeto de facilitar su comprensión y mostrar sus ventajas para una aplicación

experimental en un futuro. La tabla 3.1 presenta las diferencias de las dos metodologías de estimación paramétrica

utilizadas en este trabajo.

Tabla 3.1.- Diferencia de las metodologías de estimación paramétrica

Método dinámico compuesto inverso Método de identificación híbrida - Usa magnitudes relativas para el cálculo - Usa magnitudes absolutas para el cálculo - Calculo de factor de amortiguamiento - Calculo de amortiguamiento de Rayleigh - Método iterativo - Método de un solo paso

Método de identificación híbrida

El método de identificación hibrida [30] se basa en la técnica de los mínimos cuadrados. La razón por la cual lleva el

termino hibrido, es porque usa los dos primeros datos de la primera forma modal del sistema para la estimación de un

parámetros usado en la estimación de la excitación en la base. La razón de esta última variación en el método es con el

objeto de hacer que este abierto a cambios que lo hagan más completo como lo indica [30]. Básicamente el método

consiste en construir una matriz de transformación que contiene la respuesta del elemento mecánico, mediante la técnica

de los mínimos cuadrados estimar los parámetros característicos para posteriormente sustituir los resultados en la

ecuación general que describe el sistema y obtener la excitación en el soporte. El procedimiento de solución se describe

de manera más detallada a continuación.

La ecuación que describe el movimiento de un elemento mecánico con excitación en al base se describe como:

 matriz de masa del elemento mecánico

    matriz de amortig to del elemento mecánico

 matriz de rigidez del elemento mecánico

 Aceleración absoluta

Velocidad absoluta

 Desplazamiento absoluto

                                            

                                                    instante de tiempo

constante proporcional de masa en elación al amortiguamiento

    constante proporcional de rigidez en r ión al amortiguamiento

HD t HD t θ HE t θ

 HD t MY t  Vector variable de la primera constante de amortiguamiento de Rayleigh  . 

      HD t Vector variable de la segunda constante de amortiguamiento de Rayleigh .

                      HE t  Vector variable de la matriz de rigidez

                            θ Vector de los valores de rigidez

     Vector de fuerza

(3.7)

donde:

uamien

 

Fuerza de excitación sobre el sistema

Asumiendo que el amortiguamiento es proporcional a la matriz masa y rigidez se puede expresar de la siguiente forma:

(3.8)

donde:

 r

elac

Así finalmente se tiene que la ecuación general de movimiento que describe el sistema se expresa como:

(3.9)

Aquí se encuentran las variables que necesitan ser estimadas como son , y para posteriormente calcular .

Suponiendo que la matriz de masa y la respuesta del sistema es conocida la ecuación se puede reescribir de la forma

siguiente:

(3.10)

donde:

 .

.

.

El procedimiento para estimar la excitación en la base, además de los parámetros característicos del sistema por medio

del programa híbrido se detalla a continuación.

1.- Se forma la matriz de respuesta H(t), mediante las magnitudes absolutas correspondientes a la velocidad y

desplazamiento, calculadas mediante ABAQUS.

H t    HD t HD t HE t  

t

D t

HD t  Y t Y Y t 0

0 Y t Y Y Y t0 0 Y t Y

 enésimo grado de libertad

E t

HE t  Y t Y Y t 0

0 Y t Y Y Y t0 0 Y t Y

θ θ θDT θE

T

              θ Vector de valores desconocidos

       θD T Vector de amortiguamiento

         θET Vector de rigidez

θ

θ

(3.11)

El valor de HD es calculado de manera directa puesto que se conoce la matriz de masa y la velocidad absoluta. El

vector H se conforma con el vector de respuesta en velocidad de la siguiente manera:

(3.12)

donde:

De la misma manera se conforma la matriz del vector de respuesta en desplazamiento H

(3.13)

2.- De la ecuación (3.10) mediante un procedimiento matricial, se separan los valores desconocidos como se expresa a

continuación.

;   (3.14)

Donde:

3.- Despreciando el valor de y despejando θ finalmente se obtiene:

(3.15)

4.- Mediante la técnica de los mínimos cuadrados se calcula el valor del vector θ. Se excluye la primera ecuación con el

objeto de demostrar que el parámetro de rigidez no solo se puede obtener por la técnica de los mínimos cuadrados de

acuerdo con [30].

(3.16)

5.- El valor de se calcula de acuerdo a la razón del promedio estadístico del vector de amortiguamiento y el vector de

rigidez a:

∑  θD ,θE,

(3.17)

6.- Se calcula el valor de rigidez del elemento discreto 1 ( de acuerdo con los primeros dos valores de la primera forma

modal como lo muestra la ecuación (3.18).

 

ωφ ,φ ,

1

                                      ω  primera frecuencia natural del sistema.

                               masa del primer elemento discreto del sistema

                                         rigidez del elemento segundo elemento discreto

                                     φ ,  primer valor discreto de la primera forma modal  

                                     φ ,  segundo valor discreto de la primera forma modal  

1

ε

(3.18)

donde:

        .

.

7.- Finalmente los resultados se sustituyen en la ecuación (3.19), con la cual se obtendrá el desplazamiento de la base.

Posteriormente se deriva la curva que representa el desplazamiento para obtener los valores de velocidad y aceleración

de la base.

(3.19)

Dos puntos necesitan ser resaltados en esta metodología. El primero consiste en la falta del proceso iterativo usado en el

programa uno del cual a pesar de tener una excitación que no genera gran cantidad de datos en la respuesta del

sistema, el proceso es capaz de hacer una aproximación. Por el contrario el programa hibrido no hace iteraciones, por lo

que es necesario que la excitación genere suficientes datos con los cuales se pueda hacer una aproximación adecuada

de los parámetros característicos del sistema. El segundo punto en consideración es la derivación hecha de la curva que

representa el desplazamiento. Se debe tener cuidado por que como a de recordarse este proceso agrega error

acumulado al hacer la operación, y dicho error se incremente con las derivadas subsecuentes.

Nivel de Ruido

Para conocer la influencia de componentes indeseables (ruido) de las mediciones en el desempeño de las metodologías

de identificación paramétrica planteadas, la respuesta ideal del sistema calculada numéricamente en el capitulo dos se le

agregan componentes aleatorias de distribución normal, en otras palabras, ruido blanco Gaussiano generado mediante el

programa MatLab. El algoritmo mediante el cual estas componentes son generadas se expresa en [7] como:

 

donde:

       

ε         

                  

                                                              

                                                      

 

Una vez obtenido el valor de se multiplica por el vector de ruido original y se suma a la repuesta ideal del sistema.

En el siguiente capítulo se hace uso del programa de identificación paramétrica para estimar la excitación en la base a la

que fue expuesto un elemento mecánico discreto además de determinar los parámetros característicos (amortiguamiento

y rigidez) de los elementos discretos. La estimación se hace mediante la respuesta mostrada por el elemento mecánico a

dicha perturbación. La aproximación del programa de identificación se comprueba mediante la estimación de la

excitación cuando la respuesta del elemento mecánico tiene componentes de ruido. De esta manera se muestran los

alcances del programa de identificación paramétrica.

Capítulo 4 4.­ RESULTADOS DEL PROGRAMA DE IDENTIFICACION 

 En este capítulo se presentan los resultados de los programas de identificación paramétrica desarrollados mediante el programa MatLab (Apéndice D). Estos programas usan los datos obtenidos de la respuesta numérica calculada en el programa de elemento finito ABAQUS para sistemas de múltiples grados de libertad sujetos a excitación armónica y no armónica en la base. La respuesta de la simulación numérica con ABAQUS se comparó con diferentes métodos como se indica en el capítulo dos. Esto con el objeto de asegurar que los resultados obtenidos por los métodos explorados fueran validados para la estimación de señales de excitación.

4.1.­ Identificación paramétrica de sistemas de múltiples grados de libertad y excitación armónica en la base.   La identificación paramétrica se usa en un sistema del cual no se pueden conocer características particulares a simple vista. El ingeniero parte de una abstracción hasta llegar a un modelo matemático que represente el comportamiento dinámico del sistema. Como se mencionó anteriormente el sistema discreto desarrollado mediante el programa de elemento finito es la representación abstracta del elemento mecánico. El cual puede requerir de caracterizar dinámicamente durante la experimentación en campo. El programa de identificación desarrollado en este trabajo de investigación mediante MatLab tiene el objeto de identificar la excitación del sistema mecánico, además de reconocer parámetros característicos como su amortiguamiento y rigidez. En las tablas 4.1 a 4.5 se podrá observar los parámetros estimados θ de amortiguamiento y rigidez para los casos 1, 2, 3 y 4. En cada caso varían las condiciones iniciales y números de muestras. La cantidad de muestras se incrementa de acuerdo al caso, esto es, el caso 1 tendrá un número de muestras menor que el caso 4, y así observar la aproximación obtenida del programa de identificación. Lo anterior puede interpretarse como las condiciones en las que el ingeniero en campo realiza la experimentación, esto es, por ejemplo el número de muestras de la respuesta medida del sistema que pueda recabar. A continuación se hace un análisis de los resultados de un sistema de múltiples grados de libertad y excitación armónica en la base para cada uno de los casos expresados anteriormente. En la tabla 4.1 se puede apreciar los parámetros identificados como amortiguamiento modal y rigidez en cada sección cuando los valores iniciales son iguales y la única variación se presenta en la cantidad de muestras empleadas para hacer la identificación. El objeto de variar la cantidad de muestras para hacer la identificación paramétrica radica, en que la aproximación del programa de identificación variara respecto a la información que se tenga del sistema. Tabla 4.1.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación armónica en la base (sin variación en condiciones iniciales).

Parámetros Valor real8.6514E-05 0.001 8.6946E-05 0.001 8.6928E-05 0.001 8.6898E-05 0.001 8.6947E-052.4337E-04 0.001 2.4214E-04 0.001 2.4348E-04 0.001 2.4332E-04 0.001 2.4344E-043.5182E-04 0.001 3.5047E-04 0.001 3.5153E-04 0.001 3.5164E-04 0.001 3.5180E-042.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-012.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-012.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-01 0.001 2.4042E-01

Número de muestras 300 450 650 1000

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Tiempo de computo (s) 0.78125 0.89063 0.9375 1.5938 La excitación identificada con los valores de la tabla 4.1 se observan en la figura 4.1.

Fig. 4.1.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico para valores iniciales de iguales.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5A

mpl

itud

(m/s

^2)

Tiempo (s)

Excitación identificada

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4Señal original

En la figura 4.2 se expresa la aproximación en los parámetros obtenidos por los casos presentados en la tabla 4.1. En la figura 4.2 los valores en el eje horizontal 1 a 6 representan los parámetros identificados     respectivamente y el eje vertical representa el error porcentual calculado respecto al valor original. Este mismo orden está presente en las figuras de aproximación paramétrica expresadas en las siguientes secciones.

ζ ,  ζ , ζ ,   , ,

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1 2 3 4 5 6

Err

or p

orce

ntua

l %

Parámetros Identificados

Aproximación de identificación paramétrica

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

Fig. 4.2.- Aproximación en la identificación paramétrica del sistema (Ver tabla 4.1). La figura 4.3 es la representación de la diferencia en la aproximación de las curvas estimadas respecto a la excitación original, la razón de que las muestras estén donde mismo obedece a la poca diferencia en aproximación de los parámetros con los cuales se estimo la curva. La diferencia máxima de acuerdo con la figura 4.2 se presenta en el amortiguamiento modal y es del orden de 0.51%. Como lo muestra la tabla 4.1 los casos 2 a 4 muestran una poca diferencia entre ellos, en comparación con el caso 1. Es por eso que en la figura 4.3 sobresalen puntos del caso 1, donde la tendencia difiere de las demás simulaciones. A pesar de que hay amplitudes en la figura 4.3 que no siguen la normal del comportamiento de todos los datos, el promedio estadístico nos muestra de manera clara la tendencia de los resultados. La tendencia del comportamiento de los datos en la figura 4.3 en promedio es del rango de 5.0233e-4 %. Esto indica que la curva estimada en la figura 4.2 describe la excitación original a la que fue expuesto el sistema. Es así como en los siguientes casos se demostrara de manera estadística la aproximación de la curva estimada por el método de identificación.

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

3.00E-03

3.50E-03

4.00E-03

4.50E-03

5.00E-03

0.01 0.51 1.01 1.51 2.01 2.51

Dife

renc

ia m

axim

a po

rcen

tual

(%)

Tiempo (s)

Diferencia máxima en la aproximación de curvas

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4

Fig. 4.3.- Diferencia máxima en la aproximación de las curvas estimadas En la tabla 4.2 se indican los parámetros identificados cuando hay variación de las condiciones iniciales y del número de muestras empleadas para la identificación. La variación en las condiciones iniciales representa una estimación empírica que puede realizarse respecto al sistema que se analiza. No se requiere de una estimación cercana porque el programa desarrollado en este trabajo no es sensible a este tipo de variación. Los valores de son elegidos en este caso al azar. Tabla 4.2.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación armónica en la base (variación en condiciones iniciales).

Parámetros Valor real8.6514E-05 0.002 8.6946E-05 0.004 8.6928E-05 0.001 8.6898E-05 0.002 8.6947E-052.4337E-04 0.004 2.4214E-04 0.027 2.4348E-04 0.029 2.4332E-04 0.005 2.4344E-043.5182E-04 0.01 3.5047E-04 0.05 3.5153E-04 0.03 3.5164E-04 0.007 3.5180E-042.4042E-01 0.03 2.4042E-01 0.08 2.4042E-01 0.02 2.4042E-01 0.01 2.4042E-012.4042E-01 0.0001 2.4042E-01 0.0015 2.4042E-01 0.0017 2.4042E-01 0.0045 2.4042E-012.4042E-01 0.007 2.4042E-01 0.009 2.4042E-01 0.004 2.4042E-01 0.009 2.4042E-01

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Tiempo de computo(s) 0.79688 0.79688 0.875 1.6719

Número de muestras 300 450 650 1000

En la figura 4.4 se muestra la excitación identificada para los cuatro casos simulados y los cuales son presentados en la tabla anterior. A simple vista no se puede pueden comparar los resultados, ya que su aproximación es similar para las cuatro simulaciones. Los valores obtenidos resultan similares a la simulación anterior (tabla 4.1). La razón es que la única variación son las condiciones iniciales, se utiliza la misma respuesta para desarrollar el cálculo. Las condiciones iniciales no producen ningún cambio porque el programa realizara las iteraciones necesarias respecto de la respuesta para llegar al valor real, independientemente del vector de valores iniciales propuesto. El orden de la diferencia en los resultados es del 0.0%. La única variación se presenta en el tiempo de cómputo. El tiempo dependerá de las iteraciones hechas para la convergencia de los resultados y las cuales, son dependientes de los valores iniciales. Otra variable que influye en el tiempo es la cantidad de información usada para el cálculo. Como se podrá apreciar en las tablas 4.1 y 4.2 el tiempo de cálculo aumenta conforme la cantidad de muestras usadas asciende.

Fig. 4.4.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico para valores iniciales de diferentes.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5A

mpl

itud

(m/s

^2)

Tiempo (s)

Excitación Identificada

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4Señal original

En la figura 4.5 se puede observar la aproximación de los parámetros identificados por el método explorado, y al igual que en la figura 4.2 se obtuvo un error máximo del 0.5%. La baja aproximación se presenta para el caso 1 y la razón es porque el número de muestras es mucho menor que en las demás simulaciones, la información que se tiene del sistema con el número de muestras no es suficiente para hacer la aproximación, sin embargo es aceptable respecto al valor deseado y suficiente para estimar la perturbación en la base. En los casos 2, 3 y 4 la aproximación por arriba del 99.5% es porque el número de muestras contiene suficiente información para hacer la aproximación paramétrica. Como se aprecia en la figura 4.5 los valores estimados tendrán una un error de estimación menor conforme el número de muestras aumenta. La diferencia máxima en los valores estimados del caso 1 al 2 es de 0.49%. Aquí la diferencia en la cantidad de muestras marca la pauta para comprender que con suficiente información del sistema se podrá hacer una buena identificación paramétrica. La diferencia en los valores estimados entre los casos 2 a 4 es del orden de 0.03% aproximadamente y es porque las muestras contienen la suficiente información para hacer una buena aproximación numérica.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1 2 3 4 5 6

Err

or p

orce

ntua

l %

Parámetros Identificados

Aproximación de identificación paramétrica

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 3

Fig. 4.5.- Aproximación en la identificación paramétrica del sistema (Ver tabla 4.2). La semejanza de los resultados de las figuras 4.2 y 4.5 indican que el programa no es sensible a los parámetros iniciales sugeridos. Esto se puede apreciar mejor en las tablas 4.1 y 4.2.

En la figura 4.6 se muestra un comportamiento similar a la figura 4.3. La diferencia máxima de las curvas respecto al valor original es del rango de 0.00462%. Los puntos máximos representan la falta de precisión del programa de identificación en la amplitud máxima de una curva en este caso senoidal. La razón es que el cambio de pendiente entre estos puntos cambia con mayor rapidez en comparación con los puntos que anteceden este lugar. Para mejorar la precisión es conveniente que el tamaño de paso se haga más pequeño con el fin de que la curva tengas más detalle y por consiguiente más información. Por otra parte, determinando el promedio estadístico indica que los datos comparados no sugieren que la diferencia máxima sea de 0.00462%. El promedio estadístico indica que las respuestas se encuentran por debajo del 5.0366e-4 %, con lo que se puede concluir que la excitación estimada por el programa de identificación paramétrica representa la excitación original.

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

3.00E-03

3.50E-03

4.00E-03

4.50E-03

5.00E-03

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Dife

renc

ia m

axim

a po

rcen

tual

(%)

Muestras

Diferencia máxima en la aproximación de curvas

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4

Fig. 4.6.- Diferencia máxima en la aproximación de las curvas estimadas En la tabla 4.3 se puede apreciar los parámetros identificados cuando las condiciones iniciales son diferentes, además de que se inducen componentes de ruido en la respuesta extraída del programa de elemento finito. El ruido se define de acuerdo con [8] como normalmente distribuido en razón de la respuesta numérica calculada para el sistema. Tabla 4.3.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación armónica en la base (variación en condiciones iniciales y ruido inducido en la medición).

Parámetros Valor real8.6514E-05 0.002 3.8056E-03 0.004 -3.5041E-03 0.001 -2.7215E-03 0.002 -1.0698E-022.4337E-04 0.004 3.1705E-02 0.027 -1.5259E-02 0.029 -6.2468E-03 0.005 -3.6340E-023.5182E-04 0.01 3.0942E-02 0.05 -2.5120E-02 0.03 -1.0002E-02 0.007 -6.4706E-022.4042E-01 0.03 2.4306E-01 0.08 2.2501E-01 0.02 2.1789E-01 0.01 1.8879E-012.4042E-01 0.0001 2.4144E-01 0.0015 2.2808E-01 0.0017 2.2570E-01 0.0045 1.9035E-012.4042E-01 0.007 2.1675E-01 0.009 2.3476E-01 0.004 2.2362E-01 0.009 1.8981E-01

Número de muestras 300 450 650 1000

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Y CONTAMINACION DE RUIDO

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Nivel de ruido 1% 2% 3% 5%Tiempo de computo(s) 0.59375 0.54688 0.65625 1.0156

En la figura 4.7 se podrán observar la aproximación de las curvas representativas de la excitación en el soporte para ocasiones donde la respuesta tiene componentes de ruido blanco Gaussiano.

  Fig. 4.7.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico para valores de  diferentes y ruido inducido.

‐1.5

‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

La razón de presentar solo tres segundos de simulación o bien trescientas muestras, es porque se pretende hacer una comparación homogénea entre todas las simulaciones. Los niveles de ruido fueron establecidos de acuerdo a la metodología planteada por [7] . En la figura 4.8 de manera gráfica se puede apreciar mejor la aproximación paramétrica. Los parámetros de amortiguamiento no fueron estimados con precisión, porque a pesar de introducir un número suficiente de muestras (como en el caso identificación sin ruido) la excitación inducida en la base no produce una respuesta con suficiente información. Esto limita para que a pesar de las componentes de ruido presentes en la respuesta, el programa de identificación pueda hacer una aproximación adecuada. Los parámetros de amortiguamiento se presentan con un error porcentual del 100%, lo que indica que no corresponden a los verdaderos del sistema. Los parámetros de rigidez como es de esperarse toman un menor error porcentual mientras las componentes sean de menor cantidad en la señal de respuesta. Es así como el caso 4 muestra una menor aproximación al valor real, ya que la cantidad de ruido es mayor en relación con el resto de las simulaciones.

Fig. 4.8.- Aproximación en la identificación paramétrica del sistema (Ver tabla 4.3). En la figura 4.9 se podrá observar una diferencia máxima del 568%. Las amplitudes sobresalientes en las muestras corresponden a la cresta de la curva que representa la excitación. Como se comento anteriormente la falta de precisión

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación identificada

Caso 1 Ruido =1%Caso 2 Ruido=2%Caso 3 Ruido=3%Caso 4 Ruido=5%

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6

Erro

r po

rcen

tual

%

Parámetros Identificados

Aproximación de indentificación paramétrica

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

es por el rápido cambio de pendiente de entre puntos cuando están más cerca de la amplitud máxima de la curva. Además, para el caso cuando las mediciones tienen componentes de ruido, este error se magnifica en la estimación y se vuelve más evidente por la amplitud de los vectores de ruido generados en forma aleatoria. La normal de los datos no obedece a estas amplitudes. El promedio estadístico varia de manera ascendente de 1.146% a 7.492%, lo que indica que la diferencia porcentual aumentara y por ende la aproximación de la curva estimada en relación al ruido inducido en la señal. Es importante apreciar que aun si la diferencia no es visible en la figura 4.9, la tendencia de los resultados indica una diferencia máxima de 7.492% respecto a la señal original.

0

100

200

300

400

500

600

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Dife

renc

ia m

áxim

a po

rcen

tual

(%)

Muestras

Diferencia máxima en la aproximación de curvas

Caso 1 (1% de Ruido)Caso 2 (2% de Ruido)Caso 3 (3% de Ruido)Caso 4 (5% de Ruido)

Fig. 4.9.- Diferencia máxima en la aproximación de las curvas estimadas La rigidez es un parámetro identificable con una excitación armónica y la excitación identificada puede ser reconstruida solo con este parámetro a pesar del ruido inducido. Para identificar el amortiguamiento en presencia de las componentes de ruido en la señal de salida de un sistema es necesaria una excitación con alto contenido espectral, como por ejemplo ruido blanco Gaussiano o una acelerográma producto de un sismo tal como se usa en la presente investigación. Un sistema mecánico puede ser identificado con una excitación armónica cuando la distribución de masa en el sistema discreto es de manera uniforme, el amortiguamiento presente en el sistema es pequeño, en ejemplo, el amortiguamiento propio del material. Lo anterior indica que una excitación armónica no será suficiente para inducir una respuesta con alto contenido espectral con la cual el método de identificación empleado en la presente investigación pueda calcular de manera eficiente la los parámetros característicos del sistema. Sin embargo a pesar de que la respuesta del sistema no contiene suficiente información para identificarlo, el programa desarrollara iteraciones con la cuales podrá hacer una estimación de la excitación en la base, tal como se mostro en la figura 4.7.

4.2.­ Identificación paramétrica de sistemas de múltiples grados de libertad y excitación no armónica en la base.   La excitación no armónica inducida en la base del elemento mecánico presentado en esta investigación, tiene como objeto ejemplificar el tipo de excitación inducida en un sistema mecánico con influencia ambiental. Esto es, que el sistema está expuesto a cualquier tipo de excitación o un conjunto de ellas del medio que lo rodea. La tabla 4.4 presenta los parámetros identificados cuando está presente una excitación no armónica en la base del elemento mecánico. El programa de identificación desarrolló el análisis cuando las condiciones iniciales son diferentes pero se mantiene el número de muestras iguales.

Tabla 4.4.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación no armónica en la base (con variación en condiciones iniciales).

Parámetros Valor real8.6514E-05 0.002 8.6893E-05 0.004 8.6893E-05 0.001 8.6893E-05 0.002 8.6893E-052.4337E-04 0.004 2.4303E-04 0.027 2.4303E-04 0.029 2.4303E-04 0.005 2.4303E-043.5182E-04 0.01 3.5147E-04 0.05 3.5147E-04 0.03 3.5147E-04 0.007 3.5147E-042.4042E-01 0.03 2.4042E-01 0.08 2.4042E-01 0.02 2.4042E-01 0.01 2.4042E-012.4042E-01 0.0001 2.4042E-01 0.0015 2.4042E-01 0.0017 2.4042E-01 0.0045 2.4042E-012.4042E-01 0.007 2.4042E-01 0.009 2.4042E-01 0.004 2.4042E-01 0.009 2.4042E-01

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Número de muestras 1000 1000 1000 1000Tiempo de computo(s) 2.3438 2.2031 2.2656 2.4531  

De manera gráfica la figura 4.10 presenta el error porcentual en la aproximación de los parámetros característicos del elemento mecánico estudiado. El error porcentual se mantiene constante para cualquiera de los casos porque la única variable que cambia son los valores iniciales y como se mencionó anteriormente, el programa de identificación no es sensible a este cambio porque hará las iteraciones necesarias para llegar a la convergencia de los resultados. De acuerdo con lo anterior, si las iteraciones aumentan para llegar a la solución, la única variable que mostrara el cambio será el tiempo de procesamiento. La razón por la cual se observa un cambio en la aproximación de la identificación de cada amortiguamiento es porque la respuesta contiene más información en relación a la variable con menos error porcentual. Es así como se concluye que la excitación inducida, tiene una influencia marcada sobre la tercer forma modal, esto es, la excitación contiene poder espectral dentro del cual las frecuencias oscilan en rededor de la tercera frecuencia natural del sistema analizado.

00.05

0.10.15

0.20.25

0.30.35

0.40.45

0.5

1 2 3 4 5 6

Err

or p

orce

ntua

l %

Parámetros

Aproximación de indentificación paramétrica

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

Fig. 4.10.- Aproximación en la identificación paramétrica del sistema (Ver tabla 4.4). La diferencia máxima en la aproximación de curvas respecto a la original es de 0.02% de acuerdo con la figura 4.11. Las amplitudes mayores son porque el programa de identificación no puedo hacer una estimación correcta, por la falta de información en ese instante de tiempo. Sin embargo la media aritmética indica que el valor de la aproximación es del orden de 9.0553e-4%, por lo que se concluye para este caso que la curva corresponde a la señal original.

Fig. 4.11.- Diferencia máxima en la aproximación de curvas.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

Dife

renc

ia p

orce

ntua

l %

Tiempo (s)

Diferencia máxima en la aproximación de curvas

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4

En la figura 4.12 se muestra la curva de la señal estimada mediante el programa de identificación paramétrica y tiene una aproximación superior al 99%.

 

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación Identificada

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4Excitación Original

Fig. 4.12.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico de acuerdo con la tabla 4.4. En la tabla 4.5 se observan los parámetros identificados cuando en cada uno de los casos expresados tiene un porcentaje de ruido blanco Gaussiano. Las condiciones iniciales de son diferentes unas de otras y el número de muestras permanece constante para todos los casos. Tabla 4.5.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación no armónica en la base (variación en condiciones iniciales y ruido inducido en la medición).

Parámetros Valor real8.6514E-05 0.002 8.6776E-05 0.004 8.38E-05 0.001 8.28E-05 0.002 8.48E-052.43E-04 0.004 2.4232E-04 0.027 2.48E-04 0.029 2.49E-04 0.005 2.50E-043.52E-04 0.01 3.4991E-04 0.05 3.50E-04 0.03 3.51E-04 0.007 3.61E-040.24042 0.03 2.4042E-01 0.08 0.24042 0.02 0.24042 0.01 2.40E-010.24042 0.0001 2.4042E-01 0.0015 0.24042 0.0017 0.24042 0.0045 2.40E-010.24042 0.007 2.4042E-01 0.009 0.24042 0.004 0.24043 0.009 2.40E-01

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Y RUIDO INMERSO EN LA MEDICIÓNCaso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Número de muestras 1000 1000 1000 1000

Nivel de ruido 1% 2% 3% 5%Tiempo de computo(s) 2.3281 2.2031 2.4375 2.375

De forma gráfica en la figura 4.13 se presenta el error porcentual con un máximo de 6% y se aprecia que la mayor variación en cuanto aproximación se refiere corresponde al amortiguamiento. La variación en el amortiguamiento estimado para cualquiera de los casos es función de las componentes de ruido agregadas a la señal. Aunado al tiempo de convergencia cuando el programa hace las iteraciones para llegar a la estimación de los parámetros, otra variable tiene que ser considerada. La amplitud de las componentes de ruido debe ser tomada en cuenta porque representan información ajena al comportamiento del elemento mecánico y por tanto se agrega tiempo en la iteración para la convergencia de los resultados. En el presente trabajo las componentes de ruido son controladas de acuerdo con [8] mediante la raíz media cuadrada del cociente de la respuesta y el ruido blanco Gaussiano generado mediante una función en MatLab. Este cociente es multiplicado por la cantidad porcentual de ruido de 1 a 5% y el cual indica la escala del vector. Aunada a la información necesaria para hacer la identificación, la aproximación de 94% está relacionada con la cantidad de ruido máximo inducido que corresponde al 5%. Se puede observar que conforme la cantidad de ruido se hace mayor el error porcentual incrementa. Es aquí donde en el caso 4, correspondiente a una cantidad de ruido del 5%, el error porcentual se muestra de forma marcada en los resultados. Cabe resaltar que de las simulaciones hechas, las presentadas son en las que se encuentra evidente que el error porcentual aumenta respecto a la cantidad de ruido agregado a la señal. La razón de esto es que se presentaron casos en los que había una mejor aproximación con grandes cantidades de ruido, a causa de que dichas componentes no producían cambio significativo con la normal de la respuesta.

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6

Erro

r po

rcen

tual

%

Parámetros

Aproximación de indentificación paramétrica

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

Fig. 4.13.- Aproximación en la identificación paramétrica de la tabla 4.5. La figura 4.14 representa la diferencia máxima de la aproximación de las curvas. La diferencia porcentual del 7.5% corresponde al caso 4. Como se explicó anteriormente, estas amplitudes máximas corresponden a datos aleatorios del porcentaje de ruido inducido. La aleatoriedad de los datos no es controlada por lo que es razonable observar amplitudes que no corresponden a la normal del resto de resultados. La media aritmética de los resultados corresponde a una diferencia porcentual de 0.0432%, por lo que se concluye que la aproximación de las curvas representan a la señal original.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

Dife

renc

ia p

orce

ntua

l %

Muestras

Diferencia máxima en la aproximación de curvas

Caso 1( 1% de Ruido)Caso 2 (2% de Ruido)Caso 3 (3% de Ruido)Caso 4 (5% de Ruido)

Fig. 4.14.- Diferencia máxima de la curvas con nivel de ruido en la respuesta. En la figura 4.15 se aprecia la curva que representa la excitación estimada en la base del elemento mecánico analizado con un valor agregado de 1 a 5% en los datos de la respuesta calculados mediante ABAQUS y una aproximación del 94%.

Fig. 4.15.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico de acuerdo con la tabla 4.5

-4.00E-03

-3.00E-03

-2.00E-03

-1.00E-03

0.00E+00

1.00E-03

2.00E-03

3.00E-03

4.00E-03

5.00E-03

6.00E-03

La aproximación obtenida por el programa de identificación a pesar del nivel de ruido inducido en cada caso es a causa de la amplia densidad espectral de la excitación inducida en la base del elemento. Como fue comentado anteriormente la aproximación en la identificación paramétrica depende de la cantidad de información en la respuesta, ligada directamente a la excitación inducida. En aplicaciones prácticas usualmente se desarrolla el proceso de identificación para excitación inducida del medio ambiente. De las simulaciones numéricas se concluye que cuando la excitación es rica en poder espectral el número de muestras de la respuesta para hacer la identificación puede ser de baja, en tanto si la densidad espectral de la excitación inducida no tiene suficiente contenido en datos, será necesaria una mayor cantidad de muestras de la respuesta. Esto deberá ser tomado en cuenta en razón de la experiencia del ingeniero en el campo de identificación. 

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación Identificada

Caso 1 Ruido =1%Caso 2 Ruido=2%Caso 3 Ruido=3%Caso 4 Ruido=5%Excitación Original

De acuerdo con los resultados numéricos, indica que es necesario hacer una aplicación experimental. El objetivo del desarrollo experimental es conocer la aproximación del programa de identificación paramétrica desarrollado mediante Matlab. A continuación se presenta la metodología para el montaje experimental de un elemento mecánico con excitación armónica en la base y los resultados del método de identificación.

4.3.­ Identificación paramétrica experimental de  un elemento mecánico y excitación armónica en la base.  

Características del elemento mecánico. El elemento mecánico analizado consiste en una solera de acero 1018. Este elemento fue elegido por- que representa un espécimen que fácilmente se puede encontrar en la industria y del cual se recurre comúnmente para realizar diferentes actividades por las propiedades mecánicas con las que cuenta, además de su bajo costo. A continuación se presentan las características del elemento mecánico. La tabla 4.6 muestra las características geométricas de acuerdo a lo expresado en la figura 2.1. Las propiedades del material usado en el elemento mecánico sujeto a estudio se pueden apreciar en la tabla 4.7. Tabla 4.6.- Características físicas del modelo continúo.

Modelo Físico Dimensión Unidades Largo (L) 0.40 m Ancho (a) 0.0254 m Espesor (b) 0.003175 m Volumen 3.2258e-5 m^3 Masa 0.2538 kg

Tabla 4.7.- Características del material del modelo continúo [31].

Propiedades del Material Acero 1018 Estirado en frío Unidades

Densidad (ρ) 7870 kg/m^3 Modulo de elasticidad (E) 2.05e11 N/m^2 Esfuerzo a la fluencia ( ) σ 370e6 N/m^2 Esfuerzo ultimo ( ) σ 440e6 N/m^2

Modelo discreto Cuando se realizan análisis dinámicos es preciso acotarlo. Es necesario tomar solo determinadas variables del sistema para simplificarlo. A continuación se presentan las consideraciones del modelo para el desarrollo experimental. 4.3.1.- Consideraciones experimentales. Las consideraciones presentadas a continuación tienen el objeto de idealizar en forma discreta el modelo experimental de un elemento mecánico con excitación en la base.

Representación discreta.- Una característica importante radica en que los puntos de medición representan las partes discretas del sistema mecánico. De esta manera el elemento analizado se expresó en forma discreta como un sistema de tres grados de libertad y excitación armónica en la base. Adquisición de datos.- La adquisición de datos se realizó con acelerómetros que sensan el movimiento de manera uniaxial.

4.3.2.- Montaje experimental El hecho de montar el elemento mecánico en el sistema dinámico representa un sistema mecánico con excitación en la base. La idea anterior se puede apreciar mejor en la figura 4.16, donde incluso se aprecia la distancia a la cual fueron colocados los acelerómetros.

Figura 4.16.- Montaje experimental de un elemento mecánico con movimiento en la base. La instrumentación empleada para el experimento se describe en la tabla 4.8. Tabla 4.8.- Instrumentación empleada en el modelo experimental Cantidad (#) Descripción Modelo

1 Analizador HP 3566A

35653C 1 Módulo de señales marca HP,102.4KHz

1 Filtro marca KISTLER 5134

2 Filtro marca KISTLER 5118 A1

1 Amplificador de señal marca LSD PA100E

1 Sistema dinámico marca LSD V406

1 Sensor Base, Sensibilidad 100.2mV/g, Rango de medición ±50g, Sensibilidad transversal ≤1% 8630C50

1 Sensor 3, Sensibilidad 103.7mV/g, Rango de medición ±5g, Sensibilidad transversal ≤1% 8628B5

1 Sensor 2, Sensibilidad 103.8mV/g, Rango de medición ±50g, Sensibilidad transversal ≤1% 8636C50

1 Sensor 1, Sensibilidad 99.2mV/g, Rango de medición ±50g, Sensibilidad transversal ≤1% 8628B50

En la figura 4.17 se puede apreciar la representación del montaje experimental. La amplitud de la excitación se determina por medio del acelerómetro colocado en la base, corresponde a 0.2443 m/s^2 (La razón de dicha aproximación es porque no se puede elegir con exactitud la amplitud por la configuración manejada en la instrumentación, en este caso, es necesario manipular la señal de entrada en el amplificador mediante una perilla).

Fig. 4.17.- Diagrama de montaje experimental del sistema de captura de datos. 4.3.3.- Desarrollo experimental. El objetivo del desarrollo experimental es conocer la aproximación con la que el programa de identificación paramétrica puede hacer la estimación de la excitación en la base. Se cálculo las frecuencias naturales [10] del elemento mecánico y se comparó experimentalmente. El hecho de conocer las frecuencias radica en que de los resultados numéricos se concluyó que una limitante de un sistema discreto de tres grados de libertad con excitación armónica en la base, la perturbación aplicada debe estar definida en una frecuencia superior a la tercera frecuencia natural de dicho sistema para poder hacer la identificación paramétrica. Una vez conocidas las frecuencias naturales se procedió a excitar el sistema y extraer la respuesta para ser usada en el programa de identificación paramétrica y hacer una estimación de la excitación. A continuación se presenta el análisis mediante el cual se identificaron las frecuencias naturales del sistema experimental, en relación a los cálculos analíticos y numéricos. El cálculo numérico se realizó mediante el programa de elemento finito ABAQUS. La forma de identificar cada una de las frecuencias naturales radica en la forma modal correspondiente. Para determinar la primera frecuencia natural, se midieron las respuestas en cada uno de los nodos discretos del sistema. La forma de identificar la frecuencia de interes es cuando todas las respuestas se encontraron en fase o antifase, para esto se hizo un barrido de frecuencia en rededor de la frecuencia calculada analíticamente. Se compararon las amplitudes de respuesta para verificar que correspondiera al nodo analizado. Para las frecuencias correspondientes al segundo y tercer modo fue necesario conocer las amplitudes máximas modales. La localización de las amplitudes máximas modales fueron determinadas con base en [10] donde se muestran los nodos en los cuales no se presenta desplazamiento, y mediante este punto se puede estimar la amplitud máxima dependiendo de la forma modal. En la figura 4.18 se realiza el análisis de la respuesta para conocer la frecuencia de la tercera forma modal del sistema. De acuerdo con lo anterior del análisis de amplitudes de la respuesta, la frecuencia 287.5 Hz corresponde a la tercera forma modal. La frecuencia calculada de manera analítica y numérica corresponde 287 Hz. Es así como se asegura que el sistema mecánico está caracterizado dinámicamente de manera adecuada.

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Muestras

Respuesta del sistema (tercera frecuencia natural)

Sensor 3Sensor 2Sensor 1

Fig. 4.18.- Respuesta del sistema en la tercera frecuencia natural En la tabla 4.9 se puede apreciar la relación de frecuencias determinadas experimentalmente en relación a los cálculos analíticos y numéricos. Se podrá observar que la variación máxima es de un 18.25% correspondiente a la primera frecuencia natural. La razón de esa variación es por un amortiguamiento inducido en el empotramiento directamente relacionado con el sistema dinámico. Tabla 4.9.- Comparación de las frecuencias naturales del sistema estimadas por tres métodos. Frecuencias Naturales (Hz) Frecuencias Método analítico Método numérico Método experimental

ω 16.3625 16.292 13.375 ω 102.5390 101.21 102 ω 287.17 281.67 287.5

Es asi como se puede asegurar cuando se realiza el análisis dinámico, que la frecuencia de excitación será inducida por arriba de la tercera frecuencia natural del sistema discreto. A continuación se presenta el análisis de la respuesta del sistema a una excitación. 4.4.- Aplicación experimental del programa de identificación paramétrica Una vez que se conocieron las frecuencias naturales del sistema, el siguiente punto consistió en inducir una perturbación en la base del sistema mecánico mediante el sistema dinámico como lo muestra la figura 4.16 y analizar los datos recabados de dicha perturbación para ser usados en el programa de identificación paramétrica. Las mediciones se llevaron a cabo a lo largo del elemento mecánico posicionando sensores de manera equidistante como lo muestra la figura 4.16. Las mediciones en cada punto del elemento mecánico corresponden a las aceleraciones totales, y el programa de identificación paramétrica usado para la experimentación usa cantidades relativas, por esta razón fue necesario tomar mediciones en la base del elemento mecánico que corresponde al montaje en el sistema dinámico. De esta manera las cantidades relativas se calcularon mediante la diferencia de la respuesta en los puntos discretos del elemento mecánico y la excitación de entrada en la base. Se hicieron mediciones en distintos puntos de la base con el objeto de conocer la variación en la estimación de la excitación llevada a cabo por el programa de identificación paramétrica. El tiempo total de captura de la respuesta es 0.25s y el tamaño de paso es 1.2207e-4, por tanto el tamaño de muestra es 2048 datos. El tamaño de paso se obtiene en relación al número de elementos en que se divide el tiempo total de captura. El experimento se llevo a cabo tomando muestras variando la frecuencia de excitación y el punto de adquisición de datos en

Δ

la base del sistema como se mencionó anteriormente. En la tabla 4.10 se muestran la frecuencia de medición para cada uno de los puntos de medición mostrados en la figura 4.19.

Tabla 4.10.- Frecuencia de medición para cada uno de los puntos en la base Punto de Medición Frecuencia (Hz)

# 350 500 600 720 780 820 1 x x x x x x 2 x x x x x x 3 x x x x x x 4 x x x x x x 5 x x x x x x 6 x x x x x x

Fig. 4.19.- Representación de los puntos de medición en la base del sistema (Ver tabla 4.10) En la figura 4.20 se observan las curvas que presentan la respuesta medida en cada uno de los puntos discretos del sistema. Como se podrá observar a detalle, ninguno de los puntos del sistema se encuentra en fase, esto es por la naturaleza del sistema. Algunas de las razones para este comportamiento radica en que existe un retraso en la respuesta, justamente porque el elemento mecánico tiene amortiguamiento y varía por mínimo que sea en cada una de las secciones en que se encuentra dividido. En otras palabras el ángulo de fase varía dependiendo de las características de amortiguamiento y rigidez del punto discreto analizado.

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (µs)

Respuesta aceleración total frecuencia de excitación 350Hz

ExcitaciónRespuesta nodo 3Respuesta nodo 2Respuesta nodo 1

Fig. 4.20.- Respuesta de los puntos discretos del sistema a una excitación armónica en la base El análisis de la excitación estimada por el programa de identificación presentado a continuación se enfocó en la frecuencia de excitación 350 Hz y representa todo el conjunto de mediciones que se hicieron. La razón es porque los resultados no varían considerablemente en relación a la frecuencia y la posición del punto de medición en la base. Al usar el programa de identificación para estimar la excitación fue necesario parar el proceso en un valor de 30 iteraciones. Esto se hizo porque el programa continuaba el proceso iterativo para encontrar la convergencia de los parámetros caracterismos, la simulación se desarrollaba hasta llegar a valores que no se relacionan con el fenómeno estudiando y por tanto la excitación no correspondía a la original. Es así como se comprobó experimentalmente que una señal armónica no es una opción para identificar múltiples parámetros un sistema. El método de los mínimos cuadrados asegura la convergencia de una línea con los datos proporcionados, mas no identificar los parámetros del sistema que proporciona los datos, de ahí la necesidad de tener una respuesta con amplia densidad espectral. La figura 4.21 muestra las curvas que representan las excitaciones estimadas por el programa de identificación en los puntos de medición. La razón por la cual cambia cada una de la curvas es porque el empotramiento muestra una flexión por la inercia cuando todo el sistema es excitado.

  

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4

Am

plitu

d (m

/s^2

)

TIempo (µs)

Excitación estimada por el programa de identificación frecuencia 350Hz

Punto 1Punto 2Punto 3Punto 4Punto 5Punto 6

Fig. 4.21.- Curvas de excitación estimadas por el programa de identificación paramétrica. La figura anterior no indica que la excitación cambia, es claro que las mediciones tengan que variar puesto que el equipo, en este caso el sensor, cambia de posición y por tanto sus condiciones iniciales son diferentes. La comparación anterior es con el objeto de mostrar que las curvas estimadas representativas de la excitación tendrán una aproximación máxima del 17.95 % entre ellas pese a que el punto de medición en la base cambie de posición. Posteriormente se realizó un análisis para comprobar la precisión del programa de identificación. Se analizó la excitación estimada con la respuesta del elemento mecánico a una perturbación con una frecuencia de 350 Hz y para cada uno de los diversos puntos de medición en la base, de manera práctica solo se mostrada el análisis en el punto 1(Ver figura 4.20). Como se podrá observar en la figura 4.22 hay una diferencia en la amplitud de la curva que representa la excitación estimada y la curva que representa la excitación original, mientras la frecuencia continua siendo la misma. La razón de que dicha amplitud sea mayor que la amplitud original es porque la respuesta toma en cuenta el amortiguamiento propio del elemento mecánico. Se puede concluir que la excitación estimada por el programa de identificación se encuentra en el lugar donde el empotramiento finaliza.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (µs)

Excitación original vs. excitación estimada 

Excitación OriginalExcitación estimada

Fig. 4.22.- Inicio de la escala en las curvas estimadas por el programa de identificación. Como se mostró anteriormente se presenta una amplitud mayor en la curva que representa la excitación identificada, sin embargo, para no perder de vista el origen de dicha excitación es posible aplicar un factor de corrección en amplitud que permita comparar sus detalles. En la figura 4.23 se puede observar la comparación de las curvas que representan la excitación original y la estimada. Fue necesario usar un factor de corrección en la amplitud para observar la similitud de las curvas y de esta manera tener una buena apreciación del origen de la curva estimada. El factor corrección es del orden de 0.41 unidades. Así es como la señal estimada se hace más evidente que corresponde a los datos extraídos de las mediciones. Una razón más por la cual no corresponden en amplitud, es por el comportamiento de la excitación original, ya que no tiene una amplitud constante. El comportamiento de la amplitud de la curva estimada corresponde a los datos extraídos de un solo elemento mecánico, mientras la curva de la excitación corresponde a la del excitador, algo poco más complejo y por lo cual sucede que puede tener más amortiguamiento para reflejar una amplitud menor. La figura 4.24 muestra la aproximación porcentual de la curva estimada con un factor de corrección de 0.41 unidades. La media estadística de la señal estimada indica que la mayoría de los datos se encuentra por debajo de una diferencia del 0.5 % respecto a la señal original. Es así como la tendencia indica que la señal estimada es derivada de la excitación original.

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Am

plitu

d(m

/s^2

)

Tiempo (µs)

Comparación de curvas

Excitacion OriginalExcitacion estimada

Fig. 4.23.- Comparación de la curva original y la estimada.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0.1 1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1

Dife

renc

ia p

orce

ntua

l máx

ima (

%)

Tiempo (µs)

Diferencia máxima en la aproximación de curvas

Excitación estimada

Fig. 4.24.- Diferencia porcentual máxima de la curva estimada respecto la señal original. 4.5.- Resultados del programa de identificación paramétrica híbrida para un sistema de múltiples grados de libertad y excitación armónica en la base. Los valores presentados en la tabla 4.11 son los parámetros reconocidos con el programa de identificación hibrida. La perturbación aplicada al sistema corresponde a una excitación armónica. Como se podrá observar los casos presentados corresponden solo a la variación del número de muestras bajo la consideración que el ingeniero no siempre tendrá las mediciones suficientes para hacer una identificación. Bajo este contexto, se evalúa la aproximación de la excitación estimada por el programa de identificación paramétrica hibrida. La diferencia máxima entre los parámetros identificados se presenta en el amortiguamiento y corresponde al rango de 3%, la razón de esta diferencia radica en que el número de muestras usado para la simulación no contiene la suficiente información para hacer la identificación.

Tabla 4.11.- Parámetros identificados de un sistemas con múltiples grados de libertad y excitación no armónica en la base.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4Parámetros Valor real

8.6514E-05 8.8745E-05 8.6689E-05 8.6978E-05 8.6471E-052.4337E-04 2.4309E-04 2.4343E-04 2.4258E-04 2.4248E-043.5182E-04 3.5066E-04 3.5182E-04 3.5041E-04 3.5042E-042.4042E-01 2.4044E-01 2.4044E-01 2.4044E-01 2.4044E-012.4042E-01 2.4043E-01 2.4043E-01 2.4043E-01 2.4043E-012.4042E-01 2.4043E-01 2.4043E-01 2.4043E-01 2.4043E-01

300 450 650 10000.03125 0.046875 0.078125 0.10313

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 

Número de muestrasTiempo de computo(s)

Lo anterior se podrá apreciar con mayor claridad en la figura 4.25, donde los parámetros con mayor error porcentual corresponden al amortiguamiento. El error presente en la estimación del amortiguamiento radica en que la excitación no contiene suficiente información del sistema para poder hacer la estimación del parámetro. Dicho de otra manera la excitación no fue suficiente para perturbar el primer modo de la estructura y así la información derivada del comportamiento del sistema pueda indicar que los parámetros corresponden a los identificados.

Figura 4.25.- Aproximación en la identificación paramétrica de la tabla 4.11.

0

1

1

2

2

3

3

1 2 3 4 5 6

Erro

r Por

cent

ual

%

Parametros

Aproximación de identificación paramétrica

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

En la figura 4.26 se aprecia la diferencia porcentual máxima de la curva estimada respecto a la señal original. La aproximación indica que el programa de identificación presentara dificultad en la estimación de la curva en las partes donde el ángulo entre puntos cambia más rápidamente. Las amplitudes fuera de la normal de los datos hacen referencia a este problema y se presentan en los instantes de tiempo donde la amplitud de la curva original es máxima. El promedio estadístico indica que las muestras se mantendran por debajo del 2.27% de diferencia respecto a la señal original.

Figura 4.26.- Diferencia porcentual máxima de la curva estimada caso 4 respecto a la señal original.

0

50

100

150

200

250

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Dife

renc

ia p

orce

ntua

l max

ima

%

Tiempo (s)

Diferencia porcentual máxima

Diferencia máxima

Es de esta manera como se concluye que la figura 4.27 corresponde a la curva que representa la excitación inducida sobre el sistema. Como se podrá apreciar en la figura 4.27 cuando transcurre el instante de tiempo 2 se puede observar que las curvas estimadas presentan imperfecciones, esto es, que hay componentes que no corresponden a la señal original. De manera más clara se puede apreciar por las amplitudes fuera de la normal en la figura 4.26. Hay dos razones para explicar esto, la primera como se mencionó anteriormente radica en que los datos que representa el sistema no son suficientes para hacer una estimación adecuada. El segundo punto consiste en la naturaleza de la metodología. El resultado de la metodología consiste en el desplazamiento total y por ende para obtener la aceleración es necesario diferenciar la curva. Aquí es donde se presenta el problema ya que la curva que representa el desplazamiento contiene errores en aproximación por causas que ya se explicaron y dichos errores pueden ser maximizados cuando se deriva la curva.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación estimada

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4Excitación original

Figura 4.27.- Excitación identificada en la base del elemento mecánico de acuerdo con la tabla 4.11.

4.6.- Resultados del programa de identificación paramétrica híbrida para un sistema de múltiples grados de libertad y excitación no armónica en la base. Los valores en la tabla 4.12 representan los parámetros identificados del sistema cuando es inducida una excitación no armónica en la base. La aproximación obtenida, además del número de muestras usadas para la simulación, depende de la perturbación inducida sobre el soporte. Para este caso la perturbación contiene suficiente contenido frecuencial de acuerdo con [25] para asegurar que los datos obtenidos de la respuesta tengan suficiente información para hacer una adecuada identificación del sistema. El tiempo de proceso como se muestra en la tabla es en relación a la cantidad de información manejada para la identificación, y asciende conforme la cantidad de datos aumenta. Tabla 4.12.- Parámetros identificados de un sistema con múltiples grados de libertad y excitación no armónica en la base.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4Parámetros Valor real

8.6514E-05 8.7749E-05 8.7749E-05 8.6807E-05 8.6822E-052.4337E-04 2.4257E-04 2.4257E-04 2.4402E-04 2.4323E-043.5182E-04 3.5015E-04 3.5015E-04 3.5271E-04 3.5148E-042.4042E-01 2.4044E-01 2.4044E-01 2.4044E-01 2.4044E-012.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-012.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01

300 450 650 10000.046875 0.078125 0.125 0.20313

Número de muestrasTiempo de computo(s)

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 

Como se puede apreciar en la figura 4.28 de manera grafica se puede ver la aproximación de los parámetros expresados en la tabla 4.12. El error porcentual es del rango de 1%. Aquí se puede apreciar con mayor claridad que la aproximación además del número de muestras, depende de la riqueza de la perturbación inducida [25] que se relaciona directamente con los datos de respuesta extraídos de la medición. Aquí el parámetro que observa menos aproximación corresponde al amortiguamiento de la primera forma modal. La razón es que la excitación inducida en la base no contiene frecuencias cercanas a la correspondiente de excitación en la primera forma modal o en rededor de esta.

Fig. 4.28.- Aproximación en la identificación paramétrica en la tabla 4.12.

0

0

0

1

1

1

1

1

2

1 2 3 4 5 6

Erro

r Por

cent

ual

%

Parámetros

Aproximación de identificación paramétrica

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

En la figura 4.29 se aprecia el error porcentual máximo de la curva estimada respecto a la curva original. El promedio estadístico de los datos es del rango de 26.54% e indica que la media de los datos se encontrará dentro de un margen en el cual la estimación de la curva corresponde a la perturbación original inducida en el sistema. La amplitudes que sobre salen son como se mencionó anteriormente por el error en estimación del método de identificación, así como por el error al desarrollar la diferenciación de la curva para llega a la señal original.

Fig. 4.29.- Diferencia porcentual máxima de la curva estimada respecto la señal original.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Dife

renc

ia m

áxim

a po

rcen

tual

%

Muestras

Diferencia Máxima

Diferencia Máxima

Es así como la figura 4.30 representa la estimación de la curva de la excitación identificada. Dicha curva es comparada en relación a la señal original. De acuerdo con la figura 4.29 se puede asegurar con un 73.5% de exactitud que la curva expresada en la figura 4.30 representa la señal original. Una manera de mejorar estos resultados es aplicando una excitación con mas densidad espectral en la base del elemento mecánico, además de cómo se menciono anteriormente el método para diferenciar la curva debe tener cualidades para evitar que el error propio de la estimación se propague en un post-proceso.

Fig. 4.30.- Excitación identificada en la base con el método hibrido.

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación identificada

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4Excitación Original

4.7.- Resultados del programa de identificación paramétrica híbrida para un sistema de MDOF, excitación armónica en la base y contaminación de ruido. En esta sección se presentan los resultados obtenidos mediante el programa híbrido de la estimación de la excitación en presencia del 1 al 5% de ruido blanco Gaussiano en la respuesta. La tabla 4.13 muestra la estimación de los parámetros de amortiguamiento y rigidez. La pobre estimación radica en que la respuesta no proporciona suficientes datos del sistema, además de que la presencia de las componentes de ruido en la señal de respuesta sobre salen respecto a los datos representativos del sistema y por ende la identificación se vuelve más compleja. De manera gráfica la figura 4.31 muestra la aproximación de los parámetros característicos. Tabla 4.13.- Parámetros identificados de un sistema con múltiples grados de libertad, excitación armónica en la base y en presencia de ruido blanco Gaussiano.

Parámetros Valor real8.6514E-05 4.7003E-04 -3.2342E-04 -1.7395E-04 -3.4113E-032.4337E-04 4.1678E-04 1.9817E-04 1.8579E-04 -3.2098E-043.5182E-04 5.0335E-04 4.0778E-04 3.4236E-04 5.4887E-042.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-012.4042E-01 2.4053E-01 2.4034E-01 2.4036E-01 2.3954E-012.4042E-01 2.4037E-01 2.4022E-01 2.4067E-01 2.4048E-01

300 300 300 3000.03125 0.046875 0.03125 0.046875

1% 2% 3% 5%

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Y CONTAMINACION DE RUIDO

Número de muestrasTiempo de computo(s)

Nivel de ruido

Fig. 4.31.- Aproximación en la identificación paramétrica en la tabla 4.13.

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

1 2 3 4 5 6

Erro

r por

cent

ual %

Parámetros

Aproximación de indentificación paramétrica

Caso 1 (1% de Ruido)

Caso 2 (2% de Ruido)

Caso 3 (3% de Ruido)

Caso 4 (5% de Ruido)

Sin embargo el método usado obtendrá la convergencia de los datos de respuesta del sistema. La metodología del programa híbrido obtiene como resultado el desplazamiento en la base y respecto a esta curva mediante una diferenciación se obtiene la curva estimada de aceleración. En la figura 4.32 se puede observar la curva que representa el desplazamiento en la base del sistema analizado cuando en la respuesta usada para su estimación tienen componentes de 1% de Ruido. Se presenta solo este caso para mostrar la razón por la cual se presenta el error en la estimación de la aceleración mediante la curva de desplazamiento en la base.

Fig. 4.32.- Excitación estimada en la base mediante el programa híbrido (desplazamiento).

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Am

plitu

d (m

)

Tiempo (s)

Excitación identificada (Desplazamiento)

Desplazamiento (curva original)Desplazamiento (curva estimada)

La diferencia porcentual máxima de la curva estimada respecto a la señal original en la figura 4.33 muestra que a pesar de la presencia en la curva estimada de las componentes que no corresponden a la normal del comportamiento de la curva original, el promedio estadístico indica que el error máximo en estimación será por debajo del 2.2535% respecto a los datos originales. Así de esta manera es claro que el programa de identificación obtendrá una aproximación de la perturbación original y los errores de aproximación se verán reflejados en un post-proceso. Ejemplo esto se puede apreciar en la figura 4.34 donde la aceleración en la base se obtiene respecto al desplazamiento directamente estimado del programa de identificación. Lo errores de estimación de la figura 4.33 se maximizan durante un post-proceso evitando así que la señal original puede ser estimada con mayor facilidad.

Fig. 4.33.- Diferencia máxima porcentual

0

20

40

60

80

100

120

1 51 101 151 201 251

Dife

renc

ia m

axim

a po

rcen

tual

(%)

Muestras

Diferencia máxima en la aproximación de curvas( Desplazamiento)

Caso 1 (1% de Ruido)

En la figura 4.34 se observa la perturbación estimada, mostrando componentes de una señal de más alta frecuencia debido a que las componentes de ruido sobresalen respecto a la señal original.

Fig. 4.34.- Excitación estimada en la base mediante el programa híbrido (aceleración).

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación identificada (Aceleración)

Aceleración (curva estimada)Aceleración (curva original)

4.8.- Resultados del programa de identificación paramétrica híbrida para un sistema de múltiples grados de libertad, excitación no armónica en la base y contaminación de ruido. En esta parte se presenta la aproximación tanto de parámetros como de perturbación estimados mediante el programa de identificación hibrida. En la tabla 4.14 se pueden observar los parámetros característicos del sistema estimados con una aproximación del 99% aun en presencia del 5% de ruido blanco Gaussiano. La razón de esta aproximación básicamente radica en dos variantes. La primera es en razón de la cantidad de datos contenidos en la respuesta mediante los cuales se hace la identificación. La segunda de estas variantes radica en que las componentes de ruido no son mayores que las componentes representativas del comportamiento del sistema y con lo cual evite hacer una adecuada estimación. Tabla 4.14.- Parámetros identificados de un sistema con múltiples grados de libertad, excitación no armónica en la base y en presencia de ruido blanco Gaussiano.

Parámetros Valor real8.6514E-05 8.6841E-05 8.6859E-05 8.6964E-05 8.7343E-052.4337E-04 2.4354E-04 2.4354E-04 2.4369E-04 2.4392E-043.5182E-04 3.5194E-04 3.5194E-04 3.5214E-04 3.5239E-042.4042E-01 2.4044E-01 2.4044E-01 2.4044E-01 2.4044E-012.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-012.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01 2.4042E-01

1000 1000 1000 10000.14063 0.15625 0.15625 0.17188

1% 2% 3% 5%Tiempo de computo(s)

Nivel de ruido

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Y CONTAMINACION DE RUIDO

Número de muestras

La figura 4.35 de manera grafica muestra la aproximación paramétrica mediante el programa de identificación hibrido. Los casos presentados son las mejores simulaciones en las que la cantidad de ruido acentúa el error en la estimación, esto es, se presentaron ocasiones en la que estimación de los parámetros no era proporcional a la cantidad de ruido, esto porque las componentes de ruido son aleatorias y no son controladas por el usuario a pesar de mantener una escala respecto a las componentes de ruido que deben ser inducidas en los datos de entrada del programa de acuerdo con [7]. Así la diferencia porcentual máxima respecto a los parámetros originales corresponde al 1% en la estimación de parámetros en presencia del 5% de ruido blanco Gaussiano en la señal de entrada del programa de identificación.

Fig. 4.35.- Aproximación en la identificación paramétrica en la tabla 4.14.

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00

1 2 3 4 5 6

Erro

r por

cent

ual %

Parámetros

Aproximación de indentificación paramétrica

Caso 1 (1% de Ruido)

Caso 2 (2% de Ruido)

Caso 3 (3% de Ruido)

Caso 4 (5% de Ruido)

Así la excitación estimada mediante el método de identificación híbrida se puede apreciar en la figura 4.36. La curva corresponde al desplazamiento en la base del sistema. Mediante esta curva se estimo la perturbación en la base que originalmente en la simulación numérica se uso aceleración. La simulación se desarrollo con una cantidad de 1000 muestras correspondientes a 10 segundos de respuesta del sistema.

Fig. 4.36.- Excitación estimada en la base mediante el programa híbrido (desplazamiento).

-8.00E-03

-7.00E-03

-6.00E-03

-5.00E-03

-4.00E-03

-3.00E-03

-2.00E-03

-1.00E-03

0.00E+00

1.00E-03

Am

plitu

d (m

)

Tiempo (s)

Excitación identificada (Desplazamiento)

Caso 1 (1% de Ruido)Caso 2 (2% de Ruido)Caso 3 (3% de Ruido)Caso 4 (5% de Ruido)Excitación original

Es así como la figura 4.37 se puede apreciar la estimación de la excitación inducida en la base que originalmente corresponde la aceleración.

Fig. 4.37.- Excitación identificada en la base con el método hibrido en presencia de ruido blanco Gaussiano.

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

El objeto de la figura 4.38, es mostrar la aproximación del programa de identificación en presencia del 5% de ruido blanco Gaussiano, que representa el caso más complejo de este trabajo. Se podrá apreciar de la aproximación es en relación a la amplitud donde se desea hacer la estimación, esto es, la estimación es mas precisa en los puntos donde las componentes de la perturbación son superiores a las componentes de ruido. Así las componentes de respuesta del sistema que tengan una amplitud mayor que las componentes inducidas de ruido serán identificadas con mayor precisión.

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación identificada (Aceleración)

Caso 1 (1% de Ruido)Caso 2 (2% de Ruido)Caso 3 (3% de Ruido)Caso 4 (5% de Ruido)Excitación (curva original)

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación estimada

Excitación OriginalExcitación estimada

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación estimada

Excitación OriginalExcitación estimada

-4.00E-03

-3.50E-03

-3.00E-03

-2.50E-03

-2.00E-03

-1.50E-03

-1.00E-03

-5.00E-04

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

7 7.25 7.5 7.75 8 8.25 8.5

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación estimada

Excitación OriginalExcitación estimada

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

8.5 8.75 9 9.25 9.5 9.75 10

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Excitación estimada

Excitación originalExcitación estimada

Fig. 4.38.- Aceleración estimada presentada a detalle. 4.9.- Conclusiones. De los resultados obtenidos por los dos métodos es importante la densidad espectral de la excitación inducida para la correcta identificación del sistema y por tanto una buena estimación de la curva que representa la excitación. La tabla 4.15 presenta las mejores aproximaciones de los programas desarrollados cuando se aplica al sistema una excitación armónica y una excitación no armónica. Tabla 4.15.- Parámetros identificados de un sistema con múltiples grados de libertad para excitación armónica y no armónica.

Programa 1 Programa 2 Programa 1 Programa 2Parámetros Valor real

8.6514E-05 8.6947E-05 8.6471E-05 8.6893E-05 8.6822E-052.4337E-04 2.4344E-04 2.4248E-04 2.4303E-04 2.4323E-043.5182E-04 3.5180E-04 3.5042E-04 3.5147E-04 3.5148E-042.4042E-01 2.4042E-01 2.4044E-01 2.4042E-01 2.4044E-012.4042E-01 2.4042E-01 2.4043E-01 2.4042E-01 2.4042E-012.4042E-01 2.4042E-01 2.4043E-01 2.4042E-01 2.4042E-01

1000 1000 1000 10001.6719 0.10313 2.45311 0.2031

PARAMETROS IDENTIFICADOS DE UN SISTEMA CON MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 

Número de muestrasTiempo de computo(s)

Excitacion armonica Excitacion no amonica

La mejor aproximación se presenta en el programa uno, donde se emplean cantidades relativas para la identificación. La aproximación puede ser por la propia naturaleza del método que emplea iteraciones para hacer mejores aproximación a pesar de la poca información con que se cuente del sistema. De manera gráfica en la figura 4.39 se puede apreciar la diferencia máxima que es del rango de 0.43%. Como se mencionó anteriormente la precisión con que se estiman los parámetros dependen de la información del sistema con que se cuenta en la respuesta. Para el caso de la excitación armónica sugerida en esta investigación, no es suficiente para que la respuesta del sistema de información acerca de la primera forma modal y por tanto tener un menor error porcentual en la aproximación del amortiguamiento correspondiente ha dicho modo. La excitación se sugiere mayor que la tercera frecuencia natural del sistema. Es por ello que el valor del amortiguamiento correspondiente a la tercera forma modal tiene menor índice de error. A de considerarse

el tiempo de computo. Para aplicaciones prácticas donde se requiera un conocimiento de lo que sucede en el sistema analizado en tiempo real, la metodología del programa dos ofrece ventajas porque no necesita iteraciones, las cuales llevan más tiempo para hacer una aproximación.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1 2 3 4 5 6

Err

or p

orce

ntua

l %

Parámetros

Aproximación de identificacion paramétrica curva armónica

Programa 1

Programa 2

Fig. 4.39.- Aproximación de la identificación paramétrica curva armónica. Sin embargo siendo que los resultados de ambos programas se mantienen abajo del 1% se puede concluir que los parámetros corresponden al sistema, y los cuales pueden ser vistos en la figura 4.40. La diferencia porcentual máxima de la estimación de las curvas respecto a la señal original es del rango de 3.97%.

Fig. 4.40.- Estimación de las curvas armónicas por los métodos de identificación paramétrica.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Estimación de curvas armónicas

Estimación - Programa 1Estimación - Programa 2Excitación Original

En la identificación de sistemas con múltiples grados de libertad se puede apreciar una mejor aproximación del programa dos. La razón de esta aproximación en comparación con la excitación armónica radica en que el programa uno se muestra más conservador al hacer la estimación. Desde este punto de vista el método dos es sugerible dependiendo de la precisión con la que se esté realizando el análisis. En la práctica el ingeniero encontrara que las perturbaciones ambientales a las que están expuestos los elementos mecánicos serán de naturaleza no armónica. Si un mejor resultado se obtiene con esta metodología y perturbación no armónica, es recomendable usar este método. De la figura 4.41 el error máximo porcentual entre los parámetros con menos precisión es del rango de 0.40% y se presenta en el amortiguamiento propio de la primera forma modal. Esto sugiere que a pesar de la densidad espectral de la excitación, no fue posible extraer más información de la forma modal que se relaciona con el parámetro de amortiguamiento.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1 2 3 4 5 6

Erro

r por

cent

ual

%Aproximación de identificación paramétrica

curva no armónica

Programa 1

Programa 2

Fig. 4.41.- Aproximación de la identificación paramétrica curva armónica. Así la determinación de las curvas que representan la excitación no armónica pueden ser apreciadas en la figura 4.42. El promedio estadístico de los datos indica que la diferencia máxima respecto a la señal original es del rango de 2.6e-4%. Aquí se muestra importancia de tener una señal de excitación con alto contenido espectral, por que las frecuencias de la excitación inducida son en relación al número de parámetros que se necesiten determinar del sistema y así de acuerdo a [25], la perturbación usada en este trabajo es suficiente a las necesidades para la identificación del sistema.

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Estimacion de curvas no armónicas

Estimación - Programa 1Estimación - Programa 2Excitación Orginal

Fig. 4.42.- Curvas no armónicas estimadas por los métodos de identificación paramétrica El uso del programa uno en el campo experimental resulta poco viable, ya que a pesar de los resultados obtenidos las cantidades relativas, no se pueden obtener con facilidad. Es por eso que se propone el programa dos, ya que tiene un enfoque práctico, donde las cantidades que usa para la simulación se pueden obtener experimentalmente. A continuación se presentan una comparación de los mejores resultados por los dos programas de identificación paramétrica cuando la excitación identificada es no armónica y la respuesta contiene componentes de 1 a 5% de ruido blanco Gaussiano.

La razón por la cual no se realiza una comparación de los resultados para excitación armónica con contaminación de ruido en la respuesta es por que como se mostro en los resultados previos resulta poco viable usar una excitación armónica para hacer una identificación, además de que la estimación de los parámetros de amortiguamiento no tienen relación comparable, porque las componentes de ruido sobresalen respecto a la respuesta, como se menciono anteriormente las componentes ruido son aleatorias, la información que la respuesta proporciona del sistema es opacada por las componentes de ruido, es por eso que el programa hace la identificación de variables que no son las reales. La figura 4.43 muestra el error porcentual en la estimación de parámetros característicos del sistema para los dos programas desarrollados en este trabajo. Se puede apreciar que resulta más sensible a ruido la estimación hecha por el programa uno. El programa dos obtiene la aproximación de los parámetros con un error porcentual menor al 1%. La figura muestra que las dos aproximaciones coinciden en la tendencia de los resultados, es decir, el menor error porcentual corresponde a la rigidez, seguido del amortiguamiento. El mayor error porcentual corresponde al amortiguamiento modal 1. Esto sucede porque la excitación en la base del elemento mecánico contiene frecuencias más cercanas a la segunda o tercera forma modal, es decir, la perturbación no produjo en el sistema una respuesta con suficientes datos de la primera forma modal.

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

1 2 3 4 5 6

Erro

r por

cent

ual %

Parámetros

Aproximación de indentificación paramétrica

Programa 1 (5% de Ruido)Programa 1 (3% de Ruido)Programa 1 (2% de Ruido)Programa 1( 1% de Ruido)Programa 2 (5% de Ruido)Programa 2 (3% de Ruido)Programa 2 (2% de Ruido)Programa 2 (1% de Ruido)

Fig 4.43.- Aproximación de la identificación paramétrica curva no armónica. De esta manera se puede ver que el programa dos ofrece una mejor aproximación de los datos porque el algoritmo lo permite usando las cantidades absolutas de la simulación, sin embargo, el programa uno ofrece ventajas que debe ser tomadas en cuenta respeto a la estimación de la excitación en la base. La figura 4.44 muestra la estimación de la excitación donde la respuesta tiene 5% de ruido blanco, esto supuesto como el caso más complicado. De manera más clara la figura 4.45 muestra la diferencia máxima porcentual de la estimación de curvas respecto a la curva original. El promedio estadístico de la curva estimada con el programa uno indica que todas las muestras en promedio se mantendrán por debajo del rango de 0.029%%, mientras que con el programa dos en promedio se mantendrán por debajo del 15.5%.

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006A

mpl

itud

(m/s

^2)

Tiempo (s)

Diferencia de curvas estimadas

Estimacion (Programa 1 -5% de Ruido)Estimacion (Programa 2 -5% de Ruido)Excitacion original

Fig 4.44.- Curvas no armónicas estimadas por los métodos de identificación paramétrica en presencia de ruido blanco Gaussiano.

0

50

100

150

200

250

300

350

1 51 101 151

Dife

renc

ia M

áxim

a po

rcen

tual

Muestras

Diferencia Máxima Porcentual

Programa 1

Programa 2

Fig 4.45.- Diferencia porcentual máxima de la estimación de curvas con 5% de ruido blanco. Finalmente es así como se indica que el programa uno ofrece más exactitud en la estimación de la excitación en la base, mientras el programa dos, como se explico anteriormente, la estimación se vuelve más compleja cuando las componentes de ruido superan la amplitud de la respuesta original, además de que un post-procesamiento de la señal estimada, resulta en la maximización del error obtenida durante la aproximación. A pesar de lo antes mencionado se puede apreciar claramente la tendencia y comportamiento de la estimación respecto a la curva original.

Fig 4.46.- Diferencia porcentual sección de la curva estimada.

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0 0.5 1 1.5

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Diferencia de curvas estimadas

Programa 1 (5% de Ruido)Programa 2 (5% de Ruido)Excitación original

Capítulo 5 5.­ CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 

 Con la finalidad de identificar la excitación desconocida inducida en la base de elementos mecánicos la presente

investigación se desarrolló como sigue:

1.- Se hizo una revisión bibliográfica para entender el campo de oportunidad en la identificación de la excitación en la

base de sistemas mecánicos.

2.- Se validó un modelo numérico desarrollado por medio del programa de elemento finito ABAQUS con el fin de usar los

resultados en un programa de identificación paramétrica.

a).- Se hicieron simulaciones numéricas mediante el programa ABAQUS para sistemas de un grado de libertad

y sistemas de múltiples grados de libertad con excitación armónica y no armónica en la base.

b).- Los resultados de un sistema con un grado de libertad fueron validados analíticamente con las formulas

comúnmente usadas para encontrar la respuesta de un sistema con un grado de libertad y excitación armónica

en la base.

c).- Para sistemas de múltiples grados de libertad con excitación armónica y no armónica en la base, la

respuesta fue validada mediante una herramienta numérica del programa MatLab [26].

3.- La respuesta calculada mediante el programa de elemento finito ABAQUS de un elemento mecánico sujeto a

excitación en su base fue empleada en un programa de identificación paramétrica desarrollado en MatLab, el cual

permitió identificar la excitación en la base de un sistema mecánico, así como los parámetros que caracterizan al sistema

como son amortiguamiento y rigidez.

4.- Se hicieron pruebas del programa de identificación paramétrica para ocasiones en donde la respuesta obtenida de la

simulación numérica está contaminada con 1-5% de ruido blanco Gaussiano, con el objeto de simular la extracción de

resultados con contenido espurio durante la simulación en el campo experimental.

5.- Se desarrollaron pruebas experimentales con el programa de identificación paramétrica, para demostrar la feasibilidad

del programa en campo experimental.

5.1.­ Conclusiones  

Con base en los resultados obtenidos del estudio se presentan las siguientes conclusiones.

• Se desarrollo un programa de identificación paramétrica con el cual se puede identificar los parámetros de

amortiguamiento y rigidez, así como estimar la perturbación a la que fue expuesto un sistema mecánico para un

rango de aproximación del 94%

• De las simulaciones realizadas para diferentes casos se concluye que una adecuada identificación de sistemas

se realizara cuando la perturbación a la que este expuesto tenga alto contenido en frecuencias, o bien, la

respuesta del sistema tenga suficientes datos para describirlo.

• Se concluye de los resultados obtenidos que los parámetros del sistema analizado en este trabajo pueden ser

identificados mediante el programa con un error porcentual del 6% aun en presencia del 5% de ruido blanco

Gaussiano inducido en la medición.

• Experimentalmente se demostró que el programa de identificación puede estimar la excitación a la que el

elemento mecánico fue expuesto, más no aun así los parámetros del sistema a causa de que la excitación no

produce una respuesta con suficientes datos del sistema.

• La aplicación de los programas de identificación básicamente tienen dos enfoques desde el punto vista en que el

ingeniero desee usarlos. Lo anterior indica que los algoritmos aseguran estimar la excitación inducida en la base

de los sistemas, sin embargo, deberá ser tomado en cuenta que si dicha excitación no contiene la densidad

espectral requerida para producir una respuesta que contenga suficientes datos del sistema, los parámetros

propios no serán identificados.

• Finalmente, los programas realizados en este trabajo son una herramienta que el ingeniero puede utilizar para

estimar la excitación a la que es expuesto un sistema, sus parámetros característicos de amortiguamiento y

rigidez, mediante la respuesta del sistema y su masa.

    

5.2.­ Recomendaciones 

A continuación se proporcionan algunas recomendaciones para futuros trabajos con sistemas de identificación.

• Realizar el análisis para sistemas de uno y múltiples grados de libertad cuando la excitación no armónica

aplicada en la base es diseñada, esto es, es posible construir una excitación robusta de banda ancha periódica

con la cual se pueda identificar el sistema.

• En el programa dos es necesario encontrar un método de diferenciación en el cual se asegure que el error

encontrado durante la estimación de la curva de excitación (desplazamiento), no se acumule y crezca durante un

post-proceso para encontrar la aceleración.

• Un método de integración adecuado en mediciones experimentales deberá ser empleado para evitar maximizar

el error cuando sea necesario estimar velocidad y desplazamiento de la respuesta en aceleración obtenida de un

análisis de vibraciones.

• Deberá ser incluido en el programa de identificación una rutina mediante la cual de los datos a la entrada del

programa, puedan ser deducidos los necesarios para la simulación. Lo anterior radica en la integración de la

aceleración absoluta obtenida de un análisis de vibraciones experimental para obtener velocidad y

desplazamiento. Sin embargo abra ocasiones en que los datos de entrada sean velocidad o desplazamiento.

APENDICE A 

PROGRAMAS DE MATLAB PARA ENCONTRAR LA RESPUESTA A EXCITACIÓN EN LA BASE DE SISTEMAS DE 1DOF Y MDOF  

    APENDICE B 

CALCULO DEL AMORTIGUAMIENTO              

Este apéndice tiene el objeto de presentar los cálculos analísticos del amortiguamiento modal usado para la simulación

del programa de elemento finito ABAQUS. Los parámetros que calculan a continuación son en referencia a las

características mecánicas del sistema expresadas en las tablas 2.1 y 2.2.

Bajo la consideración que el amortiguamiento de un elemento mecánico es mediante la ecuación expresada

por [10] se tiene que:

δ 0.002

ζ ζδ

2 π0.0022 π

3.1830 4

ζ ζ ó                                                   δ  

3

donde:

Con la propiedades mecánicas del elemento se calcula el amortiguamiento para un viga en voladizo como lo expresa

[10].

3 5.0289 7 5.3125 10

1 0.0814

                                      á                                            ó                                                           á

donde:      

Con los cálculos anteriores de procede a calcular el amortiguamiento crítico expresado por [10] como:

2 √ 2 √0.08014 0.6943 0.47176

ζ 3.1830 4 0.47176 1.5016 4

5.0053 5

1.00 4 5.0053 5 05.0053 5 1.00 4 5.0053 5

0 5.0053 5 5.0053 5

0.24042

φ φ

                                                                                               φ         

φ          

φ 0.4450 1.000 0.80190.8019 0.4450 1.0001.000 0.8019 0.4450

 1.8162 5 8.952 8 4.727 88.952 8 0.0014316 2.8622 84.727 8 2.8622 8 0.00029904

ζ 2 ω

Por tanto el amortiguamiento  del sistema de acuerdo con [10] puede ser expresado como:

Bajo la consideración 3 de la sección 2.3 para un sistema de tres grados de libertad el amortiguamiento en cada sección

es de:

Por tanto la matriz de amortiguamiento del sistema se expresa como se muestra a continuación.

De la misma manera bajo la consideración 4 de la sección 2.3 para un sistema de tres grados de libertad el

amortiguamiento es cada sección es de:

Una vez obtenidos estos valores, la matriz de amortiguamiento modal puede ser calculada como lo muestra la ecuación siguiente:

donde:

La matriz de las formas modales corresponde a:

Por tanto la matriz de amortiguamiento modal del sistema de tres grados se liberdad se expresa como:

Es así como con cada término de la diagonal principal se calcula el amortiguamiento para cada una de las formas

modales mediante la ecuación expresada en [27] como:

                           ζ                   

                                                                                             ω        

 ζ 8.6514 5 ζ 2.4337 4 ζ 3.5182 4

donde:

Por tanto el amortiguamiento modal para cada una de las forma modales del sistema corresponde a:

   

APENDICE C  CURVAS DE RESPUESTA DE UN SISTEMA DE MDOF PARA EXCITACION ARMONICA Y 

NO ARMONICA EN LA BASE  El sistema de tres grados de libertad usado en esta investigación se simulo con perturbaciones armónicas y no armónicas. La respuesta obtenida de la simulación consiste en desplazamiento relativo y aceleración absoluta. La nomenclatura según el nodo correspondiente a la respuesta se puede apreciar en la figura 2.3 del capítulo 2. La figura A.1 y A.2 muestra la respuesta de un sistema de tres grados de libertad a excitación armónica en la base.

A.1.- Respuesta aceleración absoluta de un sistema de MDOF con excitación armónica en la base.

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Aceleración absoluta

ABAQUS(TA1N2)MATLAB(TA1N2)ABAQUS(TA1N3)MATLAB(TA1N3)ABAQUS(TA1N4)MATLAB(TA1N4)

A.2 Respuesta desplazamiento relativo de un sistema de MDOF con excitación armónica en la base.

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Desplazamiento relativo

ABAQUS(U1N2)MATLAB(U1N2)ABAQUS(U1N3)MATLAB(U1N3)ABAQUS(U1N4)MATLAB(U1N4)

La figura A.3 y A.4 muestra la respuesta de un sistema de tres grados de libertad a excitación no armónica en la base.

A.3.- Respuesta aceleración absoluta de un sistema de MDOF con excitación no armónica en la base.

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Aceleración absoluta

ABAQUS(TA1N2)MATLAB(TA1N2)ABAQUS(TA1N3)MATLAB(TA1N3)ABAQUS(TA1N4)MATLAB(TA1N4)

A.4.- Respuesta aceleración absoluta de un sistema de MDOF con excitación no armónica en la base.

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Am

plitu

d (m

/s^2

)

Tiempo (s)

Desplazamiento relativo

ABAQUS(U1N2)MATLAB(U1N2)ABAQUS(U1N3)MATLAB(U1N3)ABAQUS(U1N4)MATLAB(U1N4)

   

APENDICE D 

PROGRAMAS DE IDENTIFICACION PARAMETRICA  C.1.- A continuación se describe el primer programa de identificación paramétrica de nombre simultaneous.

C.2.- A continuación se lleva a cabo la descripción del segundo programa de identificación paramétrica de nombre Hybrid.