cenídet - CENIDET - Centro Nacional de Investigación … Oscar Adam... · enfocado a la detección y localización de estas fallas con ... naturales y modos de vibración ... matriz

SEP SEIT DG IT

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACION Y DESARROLLO TECNOLOGICO

cenídet “DETECCION DE FRACTURAS E N ROTORES A TRAVES

DE VI BR ACI ON ES M EC ANI CAS”

T E S I S PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN: CENTRO DE I N F O R ~ c l o ~

CIENCIAS EN INGENIERIA MECANICA C E N I D E T

( O P C I O N E D I S E Ñ O ) N T A: 0 P i t E S

O S C A R A D A N S A M A N O OGIT

CUERNAVACA, MORELOS JUNIO 1996

9 6 0 1 5 8

’ > > s(,f SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOIBGICOS

Uentro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

ACADEMIA DE LA MAESTR~A EN CIENCIAS EN INGENIER~A MECANICA

Cuemavaca Morelos a 6 de junio de 1996

Dr. Juan Manuel Ricaño Castillo Director del CENIDET P r e s e n t e

Att’n Dr. José Ma. Rodríguez Lelis Jefe del Departamento de Mecánica

Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado:

“DETECCION DE FRACTURAS EN ROTORES A TRAVÉS DE VIBRACIONES MECÁNICAS”

Desarrollado por el Ing. Oscar Adán Sámano y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de usted.

M.C. Enrique W a e z wing M.C. Yvonne Chávez Chena

Interior Internado Paimira S/N C.P. 62490 Apartado P. 5-164 Cuernavaca, Mor., Mexico

Tels.: (73) 18-77-41; 12-23-14; 12-76-13, Fax: 12-2434 cenidet/ rtn007Wrtn .infotec.conacy t .mx

’>> bbI SISTEMA NACIONAL DE I N S m S TECNOLOGICOS

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Cuemavaca,Mor., a 7 de junio de 1996.

Ing. Oscar Adán Samano Candidato al Grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica P R E S E N T E

Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulada:

“DETECCION DE FRACTURAS EN ROTORES A TRAVÉS DE VIBRACIONES MECÁNICAS”.

Y habiendo cumplido con todas las indicaciones que el jurado revisor de tesis him, se le comunica que se le concede la autonzaci6n para que se proceda a la impresión de la misma como requisito para la obtención del grado.

Sin otro particular, quedo de usted.

z Lelis de

Ingenieria Mecánica.

C.C.P. Servicios Escolares Expediente

cenidet,/ Interior Internado Palmira S/N C.P. 62490 Apartado P. 5-164 Cuernavaca, Mor., México

Teis.: (73) 18-77-41; 12-23-14; 12-76-13,Fax: 12-24-34 [email protected] t.mx

DEDICO ESTE T-0 A :

Mi esposa Karina y a mi hijo miel por su amor y paciencia.

Mis padres Marino y Graciela por su cariño y valores inculcados.

Mis hermanos Marino, Guadalupe, Carolina, Domingo, Victoria y Juan por su sentido de la fraternidad.

AQRFhDECINIERTOS :

Al Creador por permitirme existir.

Al Dr. Octavio R. Salazar San Andrés, asesor de esta tesis, por el apoyo, dirección y entusiasmo en el logro de cada etapa.

A los ingenieros Jorge Alvarez Díaz, Javier G6mez Jimenez y Maura Casales Díaz por las facilidades brindadas en la fabrication del banco de pruebas.

A los revisores Dr. Dariuaz Szwedowicz Wasik, M.C. Enrique S. Gutiérrez Wing e Yvonne Chdvez Chena por las recomendaciones y atenci6n prestada a este trabajo.

Al Consejo Nacional de Ciencia Y Tecnología (CONACYT) y a la Secretaría de Educaci6n Pública (SEP) por el apoyo otorgado durante el programa de maestría.

Si luego, Sócrates, entre las muchas opiniones acerca de los dioses y de la generación del universo, no 801110s capaces de dar nociones que sean en conjunto y a cada respecto exactas y coherentes entre sí, no te sorprendas. 3

Bastante es si aducimos

Plat6n, Time0 (Diálogos

probabilidades ...

S U M A R I O

La aparición de una fractura en estructuras sometidas a cargas estaticas o variables, en este caso rotores, implica riesgos de daflo a otras estructuras o a personas, sin embargo, poder al menos detectar una fractura no es nada facil, puesto que la falla es una discontinuidad. A pesar de lo anterior los esfuerzos se han enfocado a la detección y localización de estas fallas con la ayuda de las vibraciones que surgen como respuesta al aplicar una fuerza de excitación al cuerpo.

En este trabajo se analizan las frecuencias naturales y modos de vibración libre de un rotor, para distintas posiciones de la fractura: se obtienen los diagramas de Campbell para un rotor con y sin fractura, y finalmente se intenta observar qu6 efectos causa el desbalance en un rotor con falla.

De los resultados obtenidos se tiene que en el modo de vibración libre, la fractura afecta principalmente al primer modo y a las primeras dos frecuencias naturales correspondientes a grados de libertad perpendiculares, ésto podría ser utilizado para la detección de fractura. Los diagramas de Campbell no muestran cambios significativos en las frecuencias naturales al aumentar la velocidad de giro en un rotor con falla; en lo que se refiere a la respuesta al desbalance se observaron variaciones periódicas en el desplazamiento resultante y en el ángulo de fase. Aunque las variaciones dependen del tipo de fractura, se considera que el monitoreo del ángulo de fase y el control del desbalance podrían dar indicios de la presencia de la fractura.

COüTENIDO

CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS

NOTACION

LISTA DE TABLAS

CAPITUu>

1. INTRODUCCI~N

1.1 Objetivo

1.2 Descripción del problema

1.3 Revisión de trabajos previos

1.4 Limitaciones del trabajo

Referencias del primer capítulo

PAGINA vi

viii

X

xii

1

1

3

8

10

2. MODELO DEL ROTOR SIN FRACTURA CON EL METODO DEL

ELEMENTO FINITO

2.1 Modelo simplificado del rotor 12

2.2 Elementos finitos usados en el modelo 13

2.3 Ecuaciones de movimiento 14

2.3.1 Ecuación de movimiento del disco 15

2.3.2 Ecuación de movimiento del elemento 16

2.4 Obtención de frecuencias naturales y modos de

vibración de un problema conocido

Referencias del segundo capítulo 28

21

vi

3. MODELO DEL ROTOR FRACTURADO

3.1 Configuración de la fractura 3.2 Modelo de un elemento asimétrico 3.3 Variación de la geometría de la fractura

Referencias del tercer capítulo

4. PRESENTACION DE RESULTADOS 4.1 Resultados numéricos

4.1.1 Modos de vibración 4.1.2 Diagrama de Campbell 4.1.3 Respuesta en el tiempo al desbalance

4.2 Experimentación 4.3 Conclusiones 4.4 Sugerencias

Referencias del cuarto capítulo

Apéndice 1 Matrices usadas en la modelación Apéndice 2 Método de Newmark Apéndice 3 Diagrama de flujo de las funciones del

programa

29 31 34 37

38

38 46 48 56 58 61 63

64 67

70

vi i

LISTA DE FIGURAS.

NUMERO 1.1 2.1

2.2 2.3 2.4 2.5

2.6 2.7

2.8 3.1 3.2 3.3 3.4

3.5

3.6

4.1 4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

DESCRIPCION Diagrama de actividades principales. Componentes principales del sistema rotor- c imentac i6n. Modelo simplificado del sistema rotor-cimentación. Sistema de coordenadas. Rotaciones permitidas a una sección. Grados de libertad de un elemento finito tipo viga. Geometría del rotor de J. Vance,(primer modelo). Geometría del rotor de M. Lalane y G. Ferraris, (segundo modelo). Diagrama de Campbell para rotor de figura 2.7. Configuración de fractura. Desplazamiento de una sección asimétrica. Estados de esfuerzo de una secci6n transversal. Variación de los segundos momentos de drea principales de la sección. Variación del segundo momento de drea giratorio de la sección. Variación de los segundos momentos de drea de la sección en el sistema de coordenadas fijo. Representación del rotor que se modela. Primar modo de un rotor con fractura de 2mm de ancho y relación de fractura '/,=0.25. Segundo modo de un rotor con fractura de 2 m de ancho y relación '/,=O. 25. Tercer y cuarto modo de un rotor con fractura de 2mm de ancho y relación '/,=0.25. Primer modo de un rotor con fractura de 2 m de ancho y relación '/,=O. 50. segundo modo de un rotor con fractura de 2 m de ancho y relación '/,=O. 50. Tercer y cuarto modo de un rotor con fractura de 2 m de ancho y relacidn ' / ,=0.50.

viii

4.8 4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

Diagrama de Campbell para el rotor sin fractura. Diagrama de Campbell para el rotor con fractura de 2 m de ancho y relación '/,=0.25. Diagrama de Campbell para el rotor con fractura de 2 m de ancho y relación '/,=0.50. Desplazamiento resultante y ángulo de fase para el rotor sin fractura. Desplazamiento resultante y ángulo de fase para un rotor con fractura abierta y variando, relación '/,=0.25, velocidad de 200 rad/s. Desplazamiento resultante y ángulo de fase pera un rotor con fractura abierta y variando, relación '/,=O. 50, velocidad de 200 rad/s. Desplazamiento resultante y dngulo de fase para un rotor sin falla y un rotor con falla variando, relación ' / , = 0 . 5 0 , velocidad de 400 rad/s. Desplazamiento resultante y dngulo de fase para un rotor sin falla y un rotor con falla variando, relación

Desplazamiento resultante y dngulo de fase para un rotor sin falla y un rotor con falla variando, relación '/,=0.25, velocidad de 100 rad/s. Disposición de sensores y cortes en el rotor. de un rotor con fractura variando, w=600 rad/s.

/,=0.50, velocidad de 600 rad/s. P

DESCRIPCION Sistema coordenado fijo. Sistema coordenado rotatorio. Sistema coordenado rotatorio fijo a una secci6n. Desplazamientos en dirección X,Y ,Z respectivamente. Rotaciones alrededor de X,Y,Z respectivamente.

Velocidad de rotación, frecuencia natural.

Energfa cinetice. Masa del disco. Momento de inercia del disco y del elemento respectivamente. Momento polar de inercia del disco y del elemento respectivamente. Vector de desplazamientos generalizados, vector de grados de libertad. Vector de fuerzas. Matriz de funciones de forma. Vector de funciones de forma. Funciones de forma. Longitud del elemento, valor propio. Matriz de derivadas de funciones de forma. Vector de derivadas de funciones de forma. Energía de deformación por flexión. Módulo de Young del material. Segundo mmento de área de la sección. Segundo mmento de área de la secci6n. Masa por unidad de longitud. Densidad del material. Matriz de masa. Matriz de efectos giroscópicos. Matriz de amortiguamiento. Matriz parcial de efectos giroscópicos. Matriz de rigidez. Derivada parcial. Diferencial. -

X

Componentes de la matriz de amortiguamiento de los rodamientos en las direcciones indicadas. Componentes de la matriz de rigidez de los rodamientos en l a s direcciones indicadas. vectores propios. valor propio al cuadrado. Tiempo. Matriz de vectores propios. Matriz identidad. Rafz cuadrada de -1. Factor de amortiguamiento modal,. dngulo de apertura de la fractura. Factor para resonancia. Radio de la flecha. Diámetro de la flecha. Profundidad de la fractura. Desplazamiento del eje q 8 a causa de la aparición de la asimetrfa. Area. Deformación longitudinal. Incremento de tiempo. Fracción de amrtiguamiento crítico. Constante de amortiguamiento para la rigidez. Constante de amortiguamiento para la masa.

SUPERIUDICES

d,e,R,s Indica que pertenece al disco, elemento, rodamiento o sistema. Indica derivada con respecto al tiempo. Indica derivada con respecto a una dirección.

T Transpuesta de una matriz o vector.

SUBIUDICES. f T Matriz causada por translación. R Matriz causada por rotación. as Matriz del elemento asidtrico.

Matriz causada por la flexión.

xi

LISTA DE TAB-. Tabla 1 Comparación de frecuencias naturales en modo libre del

primer modelo de prueba. Tabla 2 Frecuencias naturales en Ez para el segundo modelo de

prueba. Tabla 3 Frecuencias naturales en Bz para un rotor con fractura de

relación ' / ,=0 .25. Frecuencias naturales en Bz para un rotor con fractura de relación '/,=O. 50.

Tabla 4

Tabla 5 Angulo de fase y vibración resultantes de la

Tabla 6 Angulo de fase y vibración resultantes de la experimentación para el rotor sin fractura.

experimentación para el rotor con fractura.

.

xii

Capítulo 1

C A P I T U L O 1

I N T R O D U C C I O N

1.1 Objetivo

La tarea principal de esta tesis es encontrar parbetros que sean indicativos de la presencia de una fractura en la flecha de un rotor. Lo anterior se logra\con base en el establecimiento de diferencias entre los resultados obtenidos de las modelaciones de un rotor simétrico y la de un rotor que se supone afectado por una fractura transversal. Los puntos de comparaci6n entre los dos modelos son las frecuencias naturales, las formas modales y la respuesta al desbalance en el tiempo; ambos modelos se desarrollaron mediante una formulación con elemento finito.

El modelo del rotor fracturado contiene las características principales de un rotor con una fractura transversal que abre y cierra: un punto adicional es la construcción de un banco de pruebas que permite llevar a cabo experimentaciones iniciales.

1.2 Descripción del problema

Las mdquinas con partes rotatorias tienen una función importante en la transmisión y generación de potencia: se pueden encontrar desde pequeilas herramientas hasta turbinas y generadores de gran tamaño y complejidad. A pesar del mejoramiento de los materiales y de las cuidadosas inspecciones que se aplican a las partes giratorias de dichos equipos, algunos de los accidentes mds serios se atribuyen a la presencia de fracturas en las flechas de los rotores. Según A. Muszynska [l], en Estados Unidos se detectaron 28 fallas por rotores fracturados en la industria del servicio público en un periodo de 10 años (1972-1982); por consiguiente, el detectar una fractura o predecir su crecimiento se vuelve un tema de gran interés.

1

Capítulo 1

Los métodos directos como el ultrasónico o electromagnético así como aquellos métodos en los que se tiene que aplicar una excitación para revisar qué respuestas se obtienen y poder dar un diagnóstico, son difíciles de aplicar en condiciones de operación. Un método que ha dado buenos resultados para el análisis del comportamiento de un rotor en operaci6n. es el monitoreo de las vibraciones de respuesta [11,[21.[31,[41.

Según las investigaciones, cuando aparece una fractura se manifiestan ciertos fenómenos dinámicos asociados con la mayor disminuci6n de rigidez en una dirección. Al presentarse ésto, si una flecha era simétrica, ya no lo será al menos en la sección donde se localiza la fractura, ésto quiere decir que el rotor es más flexible en una dirección que en otra.

Un factor adicional que afecta el modo y nivel de vibraci6n es la profundidad de, la grieta, ya que ésta puede ser lo suficientemente profunda para que, con la ayuda de la flexi6n del rotor, a causa de las fuerzas inerciales del desbalance y a la fuerza de gravedad en grandes rotores. haya momentos en que cierre y otros en los que abra. Según la forma en que se modele una fractura se clasifican como tipo "SWITCHING" o tipo "BREATHING".

La característica del primer tipo de fractura es que la rigidez en la sección que la contiene puede tomar $3610 dos valores, por eso se dice que toma dos niveles, uno cuando la fractura está completamente abierta (valor mínimo) y otro cuando la fractura está totalmente cerrada (valor máximo como flecha sin fractura), esto se hace para simplificar el modelo de una fractura tipo "Breathing" en el cual se toman en cuenta las posiciones en donde la fractura está parcialmente abierta. Los resultados de los modelos son casi idénticos para una profundidad de la fractura menor del 50 % del diámetro del rotor [5].

2

Capítulo 1

1.3 RevisiOn de trabajos previos

T.A. Henry y Okah-Avae, 141 analizaron las vibraciones de un rotor a través de una simulación en computadora, considerando un grado de libertad, amortiguamiento y la asimetría de la rigidez la

tomaron en cuenta como un cambio en la frecuencia natural del sistema en la dirección en que aparece la fractura. Consideraron que la brusquedad de la transición de un estado abierto a uno cerrado afecta la magnitud de la respuesta del sistema solamente a velocidades subcriticas. Aseguran que si la orientación de la excentricidad es tal que tiende a cerrar la fractura, en las cercanías de la velocidad crítica principal la flecha se comporta como una flecha simbtrica; por otro, lado si la excentricidad mantiene abierta la fractura a la velocidad crítica principal. entonces la flecha se comporta como una flecha asimétrica. Las flechas que tienen una asimetría de diseño y las flechas fracturadas en combinaci6n con la gravedad alcanzan la resonancia a de la velocidad critica. A velocidades lejanas de ’/> de la velocidad crítica las flechas de asimetría lineal y las flechas fracturadas orbitan en dirección opuesta a la dirección de rotación, pero a velocidades entre (0,)’/2 y (0,)’/2 las flechas con asimetría lineal cambian su sentido de orbitación. (o1 es la frecuencia natural en dirección de la fractura, o, es la frecuencia natural en direcci6n perpendicular a la fractura, o eje rígido). Concluyen que solamente la resonancia a ‘ / 2 de la velocidad crítica es probablemente de uso práctico en la detección de fracturas.

I.W. Mayes y W.G.R. Davies 161, realizaron un trabajo teórico- experimental para localizar fracturas. Utilizaron la función de Green y el cambio de energía para calcular la deflexión; además incluyeron el uso de un factor de intensidad de esfuerzo K para una muesca circunferencia1 dado por D.O. Harris. Aseguran que si se conoce el cambio de las frecuencias naturales en al menos dos modos normales, entonces la posición axial y el tamaño de la fractura pueden ser calculados.

Capítulo 1

Consideran que tos efectos de la fractura son de principal importancia si el ángulo de fase del desbalance con respecto a la fractura está entre -45" a 135" porque la flecha se comporta como si estuviera ranurada. Si el desbalance está fuera de este intervalo la flecha se comporta como si no estuviera fracturada. La amplitud de la vibración en la primera armónica, es más grande si el desbalance está en fase con la fractura: cuando el desbalance está a 90" de la fractura la amplitud de las vibraciones es mayor que a una posición de 180" 6 2 7 0 " . Tambien en la segunda armónica se encontraron que la mayor amplitud se presenta para el desbalance en fase con la fractura, en otras posiciones depende de la profundidad de la fractura. La rigidez en la zona de la fractura la modelan con una función escalón, que depende del valor algebraic0 que tenga una de las coordenadas en el sistema de referencia giratorio.

En trabajos posteriores [8],[9] mantienen lo anterior y concluyen a partir de sus resultados experimentales que la función de apertura y cierre de la fractura puede ser representada por una senoide; además confirman que considerar que el peso del rotor es la causa principal del abrir y cerrar de la fractura es una buena aproximación.

R. Gasch[7] ilustró cómo abre y cierra la fractura en una revolución completa'. Asegura que se tendrán cambios notables en el comportamiento del rotor cuando la fractura sea demasiado profunda. Para simplificar el fenómeno sustituye la fractura por una bisagra. Considera que en dirección de la fractura se tiene una flexibilidad adicional a causa de la aparición de la falla. En sus resultados teóricos menciona que la aparición de resonancias secundarias ( ' />

y a / 3 de la velocidad critica principal) podrian interpretarse como subarmónicos y son características de las flechas fracturadas. Cerca de los picos de estos subarmónicos. la configuración de la órbita cambia mucho con pequeños cambios en la frecuencia de excitación.

4

Capitulo 1

T. Inagaki, H. Kanki y K. Chiraki,[3] usan el m&todo de matriz de transferencia e idealizan la fractura a través de una función escalón para el momento de flexión . Muestran cómo cambia la rigidez en una rotación para una fractura real, una fractura idealizada mediante una función escalón y una fractura permanentemente abierta (asimetría original) bajo la acción de un momento estático constante. E$ sistema de ecuaciones no lineales lo linealizan mediante la técnica de la expansi4n en series de Fourier de la función escalón. Proponen una solución superponiendo 10s efectos de la deflexión estática y las componentes de las primeras dos armónicas. Sostienen que si la fractura se mantiene abierta en

la primera armónica, ,la amplitud de la respuesta es maxima para una posición del desbalance de 45" 6 225' y minima de 135" 6 315": mientras que para una fractura que abre y cierra la amplitud es máxima, en la primera y segunda armónica, cuando el desbalance está en fase con la fractura.

Concluyen que un rotor fracturado conduce a vibraciones en la Primera y segunda armónicas bajo la influencia del efecto mutuo de la gravedad, el desbalance y su hgulo de fase y las caracteristicas del modo de vibración a la velocidad de giro.

L.R.K. Nilsson. [2] a partir de dos casos práctico8 en turbogeneradores de 700 MW concluye que es necesario tener suficientes detectores para poder distinguir los cambios causados por una fractura de aquellos originados por las variaciones normales de los partmetros, se tiene que hacer un análisis de frecuencias, lo cual es suficiente para las primeras dos arm6nicas, además de considerar el vector de cambios de vibración, no solamente los cambios de amplitud y finalmente resalta la utilidad de tener acceso al cuadro de una vibración por una semana o más ante una cierta situación, cuando se tienen que juzgar los cambios.

A. Muszynska [l] considera dos tipos de fractura, una que esta permanentemente abierta llamada "Gaping crack" en la cual la disminución de rigidez es constante y otra que puede abrir o cerrar llamada "Breathing1 crack" en este caso la rigidez puede tomar

distintos valores dependiendo de la deflexión.

Capitulo 1

Analiza las vibraciones de respuesta cuando se da una excitación al rotor por medio del desbalance, la gravedad o un corrimiento elástico'del eje de rigidez. Linealiza las ecuaciones de movimiento aplicando transformaciones por series de Fourier. Además analiza el caso lineal cuando los soportes son asimétricos.

Asegura que el monitoreo de las Vibraciones en la primera y segunda armónicas puede ser Útil para detectar fracturas en flechas, los rotores circulares muestran alta sensibilidad a la aparición de vibraciones en la segunda arm6nica cuando la flecha esta fracturada, en cambio los rotores asimétricos de origen, como los generadores bipolares, son más sensibles a la primera armónica. Finalmente, concluye que el incremento de la asimetría en la flecha (originada por la fractura) aparentemente disminuye el nivel de amortiguamiento.

C. Nataraj [ l o ] a diferencia de los demás, la fomulación de las ecuaciones de movimiento la lleva a cabo con un modelo de elemento finito en forma de coordenadas complejas, aplica el &todo de condensación estática para reducir los grados de libertad. El mecanismo de la fractura se modela con una función periódica avSWITCH~NG", esta función es expandida en series de Fourier. La solución de las ecuaciones la realiza con métodos perturbativos, suponiendo que las perturbaciones a la respuesta del sistema 8on pequeflas. En su conclusión final asegura que el ángulo de fase entre el desbalance y la fractura tiene considerables efectos en la respuesta, a d d s 'de que un sistema con una flecha fracturada tienen respuestas subsincronas.

N. Bachschmid, G. Diana, B. Pizzigoni, [ill hacen hincapié en la importancia del desbalance en los rotores, cuando un rotor está fracturado se puede agregar un desbalance para reducir las vibraciones significativas: sin embargo cuando se trata de detectar una fractura es importante distinguir si las vibraciones son causadas por un desbalance o por una fractura. Las vibraciones originadas por unalfractura dependen de la posición, profundidad y del abrir y cerrar de la fractura. Estos Últimos efectos son atribuidos a los esfuerzos de flexión en el área de la falla: se

I

Capitulo 1

supone una distribucibn de esfuerzos lineal. El rotor se modela con elemento finito por -dio de elementos viga y la integración de las ecuaciones se realiza con el método de Wilson-8 (con 9 = 1.4).

Para detectar una fractura en rotores operando a velocidades normales, se tiene que poner atención al cambio del ángulo de fase en vez del cambio en la amplitud. La respuesta en la primera armónica a causa de la fractura es del doble en la dirección vertical que en la horizontal, mientras que en la segunda armónica la respuesta es exactamente igual, lo cual es útil para distinguir vibraciones excitadas por fracturas.

I. Imam, et al [12]. Desarrollaron una técnica para detectar fracturas en rotores por medio del análisis de vibraciones en un modo llamado "On-line" o sea, en operación. El rotor lo modelan a través del elemento finito: crearon un elemento tridimensional con las caracteristicas de una sección del rotor con fractura. Además implementaron una tecnica de análisis de las sefiales de vibración, llamada la técnica del histograma, con el fin de eliminar posible contaminaci6n por ruido en las seflales de vibraci6n. Al parecer la tacnica ha servido para detectar con éxito fracturas con profundidades del orden del 1 6 2% del dibnetro del rotor. En un modo "On-line" la indicacibn más importante de la presencia de una fractura es la aparición inicial y/O un incremento estable en las primeras tres armónicas.

La aparici6n de un incremento en la segunda armónica es especialmente importante porque es la clave de indicación de la existencia de una fractura transversal o circunferencial.

C.W. Lee, J.S. Yun y 0 .6 . Jun.[5] Plantean las ecuaciones de movimiento con un dodelo de fractura tipo "SWITCHING" en la cual emplean la función signo como el parámetro de cambio entre una rigidez alta (flecha sin falla) y una rigidez baja (flecha con fractura), para solucionar las ecuaciones de movimiento utilizan el metodo de Runge-Kutta. Determinan regiones en un plano de desbalance contra velocidad de rotación para saber que condiciones se deben de tener para que una fractura permanezca abierta o cerrada. De los rdsultados de la simulaci6n concluyen que las

7

Capítulo 1

vibraciones mdximas aparecen cuando la fractura y el desbalance están en fase, agregan que a un medio de la velocidad cr'itica las vibraciones empiezan a ser dominadas por la componente de la 8egunda armónica.

1.4 Limitaciones del' trabajo

Para lograr lo planteado se hizo lo siguiente:

-1 RESULTADOS

FRECUENCIAS NATURALES. I EXPERIMENTALES I MODOS DE VLBRACION.

PARAMETROS PARA DECIDIR SI UN ROTOR ESTA O NO

FRACTURADO.

Figura 1.1 Diagrama de actividades principales.

En los modelos que se plantean se considera la rigidez del conjunto chumacera-soporte y las vibraciones laterales de la flecha. Los modelos del rotor se realizan a través del elemento finito, con el propósito de comparar las frecuencias naturales y formas modales de un rotor con y sin fractura.

El modelo del rotor con falla se hace considerando una fractura del tipo "BREATHING", donde el abrir y cerrar de la fractura es sólo función del ángulo de giro. La solución de las ecuaciones en los dos modelos se realiza por el método de Newmark, las frecuencias naturales y modos Be vibraci6n libre se encuentran con el método de las rotaciones de Jacobi [131, mientras que las velocidades críticas se calculan con el metodo de Householde-PR

I t 131.

8

Capítulo 1

En lo referente al banco de pruebas se muestra la siguiente fotografía :

Los componentes del banco son :

1.- Flecha de acero'inoxidable T-304, díametro de 19 nun y una longitud entre rodamientos de 700 mm.

2 . - Disco de acero inoxidable T-304, díametro de 76 mm y un espesor de 10 nun. Este discolse sujetó a la flecha por medio de tornillos opresores. ,

3 . - Motor impulsor tipo rotor jaula de ardilla de 1 H . P . 2 pOlOS, trifásico a 220 volts.

4 . - Control de velocidad por medio de la variación de la frecuencia del voltaje de alimentación al devanocio estatórico del motor.

5.- Proteccion termomagnética.

6.- Soportes y base de hierro estructural comercial.

I Capitulo 1

REFERENCIAS DEL PRIMFR CAPITULO

[ 13 Muszynska Agnieszka, "Shaft Crack Detection" en :Seventh Machinery Dynamics seminar, Canadá 1982, 49 pág.

[2] Nilsson L.R.K. "On the Vibration Behaviour of a Cracked Rotor" en: IFT.MM Conference on Rotordynamic Problems in Power Plants Roma, 1982, ptigs. 51'5-524.

[3] Inagaki T., Kanki H . y Shiraki K., "Transverse Vibrations of a General Cracked-Rotor Bearing System". en: Journal of Mechanic81 Desian, Vol. 104, Adril 1982, Págs. 345-355.

[4] Henry T.A. y Okah-Avae.."Vibrations in Cracked Shafts" en: Vibrations in Rotating Machinerv Conference, University of Cambridge, England, Sept. 1976. PBgs. 15-19.

[5] Lee C.W., Yun J.S. y Jun O.S., "Modeling of a simple Rotor With a Switching Crack and its Experimental Verification", en: Journal of Vibration and Acoustics, Abril 1992, Vol. 114, Págs. 217-225.

[61 Mayes I. W . y Davies W.G.R., "The Vibrational Behavior of a Rotating Shaft System Containing a Transverse Crack", en: Vibrations in Rotating Machinery Conference, University of Cambridge, England,l Sept. 1976. Ptigs 53-63.

i71 Gasch R. "Dynamic Behaviour of a Simple Rotor with a Cross- Seccional Crack". en : Vibration in Rotating Machinery Conference University of Cambr,idge, England, Sept. 1976 . Págs. 123-128.

10

Capitulo 1 I

[E] Mayes I.w. y Davies W.G.R., "A Method of Calculating the

Vibrational Behaviour of Coupled Rotating Shaft8 Containing a Transverse Crack". en : 2nd. International Conference on Vibrations in Rotatina Machinerv., Cambridge, England, Septiembre 1984, págs. 17-27.

[9] Davies W.G.R. y; Mayes I.W., "The Vibrational Behaviour of a Multi-shaft, Multi-bearing System in the Presence of Propagating Transverse Crack.", en : Journal of Vibration, Acoustics. Stress and Reliabilitv in Desian.. Vol. 106, Enero 1984, pbgs. 146-153.

I

I [lo] Nataraj C., "The Simulation of Cracked Shaft Dynamics". (Thesis M. Sc.: Arizona State Universitv. U.S.A., Mayo 1984).

I [ill Bachschrnid ti.. Diana G. y Pizzigoni B. "The Influence of Unbalance on Cracked Rotors." paper C304/84 en : Vibrations in Rotatina Machinerv Conference, University of York, England Sept. 1984, pdgs. 193-198.

1121 Imam I., Azzaro S.H., Bankert R.J. y Ccheibel J. "Development of an On-Line Rotor Crack Detection and Monitoring System". (en:Journal of Vibration. Acoustics. Stress and Reliabilitv in Desiun, Vol. 111, Julio 1989) págs. 241-250.

[131 Bathe Klaus I J . Finite Element Prucedures in Engineering

Analysis., Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1982.

11

Capitulo 2 I

' C A P I T U L O 2

MODELO DEL ROTOR SIN FRACTURA W N EL DEL E-O FINITO

2.1 m e l o SirPplificado dol rotor

Modelar un sistema completo rotor-cimentación resulta bastante complejo a causa de la geometría, propiedades elasticas y las restricciones de movimiento impuestas a cada uno de sus componentes. En sa figura 2.1 se muestran los componentes principales de un sistema rotor-cimentación simplificado:

Figura 2'. 1 Componentes principales del sistema rotor-cimentaci6n.

l a) Flecha. b) Discos (Representando un conjunto de alabes, un imgulsor,etc.) c) Rodamientos (Dei bolas o de pelfcula de aceite) d) Soportes de los rodamientos. e) Base o cimentaci6n.

I

Sin embargo ell modelo a usar en el trabajo 8610 contempla los cuatro primeros componentes. Al considerar la rigidez vertical y horizontal de los rodamientos se incluye tambi4n el efecto de los soportes. Finalmedte el modelo tiene la configuraci6n mostrada en la figura 2.2. I

12

Capitulo 2 I

Figura 2.2 Modelo simplificado del sistema rotor-cimentacih.

Para el modelo de la flecha se usa un elemento tigo viga con cuatro grados de libertad por nodo, dos desplazamientos (V,W) y dos rotaciones (p,r) , luna alrededor del eje "Y' y otra alrededor del eje '2" respectivamente.

El modelado de un disco se puede hacer de varias maneras. aquí se adoptaron dos de las mas aceptadas: una es considerar el disco como parte de la f'lecha y por lo tanto se puede representar con un elemento tipo viga1, tal como se hizo para la flecha: la otra manera es que las propiedades inerciales del disco se concentren en su posición nodal.

Los rodamientos no se modelan con algún elemento, sino que solo se consideran los efectos que se presentan a causa de un desplazamiento (fuerza elástica) y los debidos a la rapidez de cambio de posición (fuerzas de amortiguamiento) en la dirección ' 2" o nYn. La rigidez torsional en estos elementos se considera nula.

I

I 13

Capítulo 2 I

2.3 Ecuacíones de m w f m í e n t 0

Usando como base para el desarrollo de las ecuaciones los trabajos de H.D Nelson y J.M McVaugh [i] y M.Lalanne y G. Ferraris [2], las ecuaciones se obtienen por medio de la formulaci6n Lagrangiana.

Para propósitos del análisis se define un sistema coordenado fijo ( X , Y . Z ) Y otro gíratorio (A,q,t) como se observa en la figura 2.3.

I

I r

Figura 2.3 Sistema de coordenadas.

Un estado deformado relativo al sistema fijo queda definido por dos traslaciones, V(u,t) en direcci6n de "Y" y W(u,t) en direcci6n de 'Z ' , y por dos rotaciones $(u,t) y r(u,t) alrededor de "Y' y "2" respectivamente. Ademas como la flecha gira alrededor de su Propio eje, se supone un sistema coordenado de ejes 1.2.3 que gira con la sección transversal de la flecha. con el eje "1" normal a la misma secci6n. por lo que un estado 123 es definido por tres rotaciones sucesivas como se ilustra en la figura 2.4.

I

14

Capitulo 2

Figura 2!4 Rotaciones Bermitidas a una sección. 1.- Rotación de un hngulo r alrededor de "2" define 1"2"3". 2.- Rotación de un'agulo B alrededor de 2" define 1'2'3'. 3.- Rotación de un ángulo 4 alrededor de 1' define 123.

De las rotaciones anteriores surgen tres velocidades de rotación que se definen por las ecuacionea 2.1, donde se considera w e r Y B son pequefios :

' o i = + - r p ' '

w2 = I' seno + p coso w, = P coso - p seno

........ 2.1

2.3.1 Bcuaci6n de,moviniento del disco

Una vez definido lo anterior se deducen las ecuaclones de movimiento para un disco rigido con su centro de masas coincidente con el centro del rotor. La energia cinética a causa de los movimientos permididos al disco es :

15

Capitulo 2

Si en la ecuacibn 2.,2 se sustituyen las ecuaciones 2.1 Y considerando a V(u,t), W(u,t), B(u,t), y T(u,t) como coordenadas generalizadas que definen a:

tq)=[v w B riT I

se tiene que la ecuaci6n 2.2 se transforma en :

E =, = i M ,( "2' + w ' 2 ) + + r, (P + p 2 ) + t rp(+2-2+rp) I ... 2.3

al aplicar la ecuacion de Lagrange, definida por 2.4 I . d ( a Ed) a - (Fd), ............ 2.4 idt a ea a Qa

a la ecuaci6n 2.3 da como resultado la ecuación de movimiento del disco :

[ M d ] l(G1 + [ G d ] + [ K d ] {ql = ( P d ) ........ 2.5 Las matrices se dan en el apéndice 1.

2.3.2 Ecuaclbn de k m l e n t o del eleminto

Para definir las ecuaciones de movimiento de un elemento viga del rotor la figura 2.5 servirá para iniciar el análisis.

Figura 2.5' Grados de libertad de un elemento 1 finito tipo viga.

16 I

Capitulo 2

I En la figura observamos que ( V , W , B , r ) dependen del tiempo y de

la coordenada de la lsecci6n transversal, además las rotaciones no son independientes de las traslaciones sino que se relacionan por

ill, I2l:

r = - J V J ü ........ 2.6

Cuando se trabaja con el método del elemento finito los puntos importantes son los nodos que definen al elemento, que en este caso es un elemento viga definido por un nodo en cada extremo, así el campo de las variables de interés en el interior del elemento se aproxima por medio de funciones de interpolación y del valor de la variable en los punios nodales. Si estas funciones de interpolaci6n son sólo funcibn del espacio y la variable en los nodos es s610 dependiente del tiempo, se define cualquier desplazamiento en el interior del elemento como :

........... 2.7

Donde [n(u)l es la matriz de las funciones de intergolaci6n o funciones de forma para los desplazamientos y esta definida de acuerdo a [l] por :

I

Mientras que js'(t)) se define por los valores nodales de las variables de interés, y queda de la siguiente manera:

W ( t ) ! = [Vl Wl Pi r1 v2 W2 P2 r21* ............ 2.9 i

17

I Capitulo 2

I

Las funciones de forma deben cumplir con:

1.- Valor de uno en el nodo correspondiente. 2.- Ser del mismo orden que el polinomio de

interpolación. que en este caso es cúbico.

y están definidas por las ecuaciones siguientes [ 11, [ 2 ] :

I 3 u2 2 u3 L2 L3

2 u2 u3

I L L2

ql=l - - + -

q* = u - - + - I

3 u 2 2 u 3 * 3 = 7 - - L3 * = - - + - u2 u3

I

I L L2

de acuerdo a 2

......... 2.10

6

o -lpl *'Z 0 0 --*I3 * ' 4 o ] [ q ' } s'li = [*., o o W'3 0 0 W'4

I ;....... 2.11 { :] ='[A I I Q ' ) = I Q' 1 ....

Donde [ A ] representa la matriz de las funciones de forma para

Para un elemento diferencial localizado en (u) la energia de

los grados de libertad que 6on rotaciones.

deformación por flexión esta definida por la ecuación 2.12 Ill.

I

18

Capitulo 2

Mientras que la ecuaci6n de la energia cinética dBa, según [l] I

y de acuerdo a los movimientos permitidos, está determinada por la ecuación 2.13 I

Usando las relaciones 2.7. 2.11, derivando como indican las ecuaciones 2.12.2.13 y considerando que la flecha es simetrica se tiene: I

dE, = { q e )*EI [ li" I * [ ii"] { q e du I ...... 2.14

Si se define a :

..... 2.15

......... 2.16

19

I Capitulo 2

y se aplica el Lagrangian0 a las ecuaciones ya integradas de la energía cinética y de la energía por flexi6n. se obtiene la ecuaci6n de movimiedto de un elemento del rotor.

....... 2.17

donde : I

= + L M e 1 R

[ G : ] = -4 [ [ N e ] - [ N ' I T ]

[ K e ] = [ K e I f - ibrN.1 ........ 2.17.a cada una de las matrices de las ecuaciones 2.17.a se muestran en el apéndice 1.

Por otro lado las ecuaciones de movimiento para los rodamientos se limitan a considerar la rigidez y el amortiguamiento en las direcciones "Y" y "IZ", siendo de la forma siguiente :

[ C R ] , (qR) + [ K R ] (qR) = ( F R ) ............. 2.18 I

En la ecuaci6n anterior, las matrices y vectores están definidos como sigue :

.... .2 .19

k R ) = Vector de fuerzas externas en el rodamiento.

20

i Capítulo 2

Finalmente el ensamble de las ecuaciones del sistema se hace teniendo en cuenta tres ecuaciones :

1.- La ecuaci6n 2.17 para cada elemento, considerando la posici6n de sus nodos dentro del contexto global. I

2.- La ecuaci6n 2.5 para cada disco, considerando su posici6n nodal. I

3.- La ecuaci6n 2.18 que relaciona las fuerzas gue actuan en la chumacera al número'de nodo en el que se encuentra. La ecuación del sistema es de la forma:

[ M a ] {q ' ) 1 [ G ' ] (4 ' ) + [K'] (9') = {FE) ........... 2.20 En esta ecuaci6n el tamaño de las matrices e6 de cuatro veces

el níimero de nodos' y contiene todos los grados de libertad del si sterna. I

2.4 Obtenci6n de 'frecuencias naturales y mad00 de vibración da un p r o b l w conocido

Para encontrar los valores y vectores propios de la ecuacir5n homogénea de 2.20 en su modo de vibración libre se considera una velocidad igual a cero y se supone una solución del tipo :

(9) = { h ) efht I ............... 2.21

La ecuación que permite el cálculo de los vectores y valores Propios de la ecuación homogénea de 2.20 es :

2.22 [A*] { b ) = A [Ms] h} ............... [KI es la matriz de rigidez del sistema sin considerar los efectos de los rodamientos;i [ W j es la matriz de masa del sistema, A es el valor propio o frecuencia natural elevada al cuadrado y el vector (hl es el modo de dib~aci6n correspondiente.

21

I Capltulo 2

Para resolver el sistema 2.22, en favor de las frecuencias naturales, se aplica el método de las rotaciones de Jacobi [21, el cual requiere que las matrices [K' l y [Mal sean definidas semipositivas y simétricas.

A manera de prueba para el modelo del rotor con elemento finito se empleó el rotor que aparece en la figura 2.6. Este ejercicio se tom6 del manual de rotordinámica de J. Vance [3 ] . En la tabla 1 se comparan los resultados obtenidos con el modelo de este trabajo y los valores obtenidos por J. Vance. además se incluye una columna que presenta los resultados para el mismo rotor por el método de la'matriz de transferencia, ver [4].

I

A c o t rnm G = 8 27kIO" N/m2 E = 2 0 6 ~ 1 0 " N , / m ' p=7833 37 Kg/rnJ

Figura 2.6. Geome'tria del rotor de J. Vance que sirvió como primer modelo de prueba. [Vance. pág.1521

TABLA 1. Frecuencias naturales en modo libre en Hz.

ICALCULADAC ICALCULADAS I I I a

22 1

Capítulo 2

I

Los valores de las tres primeras columnas están reportados en 131, de estas columnas la primera muestra valores medidos, la segunda son valores obtenidos considerando los discos rigidos y en la tercera los discos se suponen flexibles. La cuarta Columna muestra los valores I obtenidos modelando el rotor con la matriz de transferencia, ver referencia 141.

La quinta y sex'ta columnas presentan los valores obtenidos con el modelo del elemento finito. El rotor se dividi6 en 17 elementos. En este modelo se observó que tener un nhero grande de elementos no mejora la precisión de los valores propios. En la columna de JAC17 el radio del elemento que modela al disco se consider6 igual que el radio de ésde (%=%). Para la columna de JAC17*, el radio del elemento se hilzo igual al radio exterior del disco mds un décimo de la longitud del mismo (Re=% + Ld/lO). La mayor precisión en la última columha se atribuye al aumento de flexibilidad al considerar un radio mayor del disco de lo que en realidad es.

El desarrollo1 anterior es, sin embargo, para Calcular las frecuencias de una flecha con los extremos libres, y lo deseable en una máquina que girla es encontrar las frecuencias naturales a las velocidades de operación, con lo cual se tiene que considerar la matriz de efectos giroscópicos y las caracteristicas de rigidez en los rodamientos: para este propósito, el método de las rotaciones de Jacobi ya no es,funcional.

La solución del problema antes planteado se hace en dos etapas: en la primera se propone una transformación a la ecuación

2 . 2 0 con la finalidad de reducir el tamaño de las matrices, en la segunda etapa se aplica el algoritmo Householder-OR [ 5 ] que permite obtener los valores propios.

La transforma!Aón propuesta en la primera etapa es de la forma : ,

1 ( q ) = [ H ] { p J ............. 2.23

23

Capitulo 2

, Donde [HI es una matriz que contiene los primeros n modos de

vibracion obtenidos la1 aplicar el método de Jacobi a la ecuaci6n 2.22, considerando como matriz de rigidez a [K'] que incluye el efecto de rigidez k,, y k.. de los rodamientos.

Al substituir I la igualdad 2.23 en la ecuación 2.20 y multiplicar el resultado por [E]' se obtiene :

I

I

[ E I R ] I & I + [CR ] ( @ ) + [XR ] { p ) = { f ) ........ 2.24 donde :

Para encontrar los valores propios de la ecuación homoghea de 2.24 se propone una' solución del tipo exponencial como :

2.25 í p 1 = úiR 1 eLt ...........

Al substituir jla igualdad 2.25 en la ecuaci6n homogénea de 2.24 resulta:

I

[ [ ~ 1 L 2 + [ C R ] L ] h = - [XR ]hR ....... 2.26 Combinando la ecuaci6n 2.26 con [HR]CbR)=[m]{m) se obtiene:

[I1 i-tm :oLh 1 -[KR ]-*[a? ]

I .... 2.27 donde en este caso [ I ] es la matriz identidad.

24

I Capitulo 2

Una vez que se tiene la ecuación 2.27 se inicia la segunda etapa utilizando el algoritmo Householder-QR [5] para calcular los valores propios, que en general son complejos y tienen la forma siguiente :

..........- 2.28 En la ecuación anterior las o, de cada valor propio

representan las frecuencias naturales para cada modo de vibración y los a, son factore's Be amortiguamiento modal; si en la ecuación 2.28 la Parte real es positiva el sistema se considera inestable.

Cuando se grafican las frecuencias naturales o, como una función de la velocidad de giro se obtiene el diagrama de Campbell que permite observar un panorama completo de la variaci4n de las frecuencias con respecto a la velocidad de giro de una manera rápida. Para validar los resultados de los programas hechos se obtuvieron las frecuencias naturales del rotor mostrado en la figura 2.7 [2].

E = 2 x l O " N/n' p = 7 8 0 0 K g / m ' "=0.3 Aco t . : nn

Ky=SxlO' N / n KZ=7xlO' N / n Cy=SxlO' N / n / s CZ=7xlO' N/n /s

Figura 2.7 ,Geometría del rotor (2Q modelo de prueba) [Lalane M. y Ferraris G., págs. 68 y 691

25

I Capitulo 2

En la tabla 2 se dan las primeras 7 frecuencias naturales a una velocidad de 2618 rad/seg considerando hasta 8 modos de vibración en la matLiz [HI de la ecuación 2.23.

TABLA 2 Frecuencias.en Hz. a 2618 rad/s

F4 1193.710 I I i96.55 I 196.49 I 196.18 1

La figura 2.81 presenta el diagrama de Campbell utilizando 8 modos de vibración, este diagrama es de gran ayuda en la detección de posibles causas de resonancia; al graficar la relación

siguiente: I

I

F [Hz] = s E] 2n ........... 2.29

donde 52 es la velo¿idad de giro en [rad/s], en el mismo diagrama de Campbell para distintos valores de S, en las intersecciones de este lugar geométrico con las gráficas de variación de las frecuencias naturales, se tenbrán las velocidades criticas para una causa determinada, según el valor de S.

Para S=l las velocidades criticas encontradas se asocian al desbalance; ésto a causa de que las fuerzas de desbalance son excitaciones sincronas; si S=2 las intersecciones se relacionan con el desalineamiento.

I

26

Capitulo 2

~~~~ ~

I

C E N I D E T

. . . .

, , .

W F= __ 2 V r

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

o. 00 640.00 12ao.oo 1920.00 2560.00 3200.00 VELOCIDAD DE GIRO [rad/s]

I MAESTRIA EN MECANICA

27

I Capítulo 2

REFERENCIAS DEL SEGUNDO CAPITULO

[l] Nelson H.D. y McVaugh J.M., "The Dynamics of Rotor-Bearing Systems Using Finite Elements" ., en: Journal of Ensineerins for Industry. Vol. 98, Mayo 1976, Págs. 593-600.

[2] Lalanne M. y ' Ferraris G., Rotordynamics Prediction in Engineering., primera edición, Chichester, England:-John Wiiey and Sons, 1990.

[3] Vance J.M., Rotordynamics of Turbomachinery., U.S.A: John Wiley and Sons, 1988. l

[4] Chavez C. Y. "dnálisis Tedrico del Comportamiento DinAmico de Rotores Fracturados". (Tesis M.C. : Instituto Tecnol6gico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, Diciembre 1994).

I IS] Bathe Klaus J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis., Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1982.

28

I Capitulo 3

C A P I T U L O 3

MODELO DEL WTOR FRACTURADO

3.1 Configuracid de la fractura En este trabajo al considerar la fractura en una flecha s610

se permiten cambios de area en la sección transversal donde se presenta la falla, ésto a su vez afecta a la rigidez de la flecha: generalmente las fracturas son fallas muy localizadas y no hay desprendimiento de material por consiguiente la masa del sistema se considera sin cambios. La configuraci6n de la fractura a modelar se muestra en la figura 3.1

Figura 3.1 Configuración de la fractura. I

De la figura 7.1 el segundo momento de area con respecto a cada uno de los ejes es :

r4 1 T, = 48 [ 12 (n- a) + 3 sen(4a) ] ...... 3.1.b

29

I Capitulo 3

El segundo momento de área I,, es con respecto de un eje que no es principal: para encontrar el segundo momento de área con respecto de un eje, principal se aplica el teorema de los ejes paralelos, resultando:

I

I ',,,, = I,, - A le, l 2 ........ 3.2 Donde I'q, es el segundo momento de área con respecto a un eje

que es principal y paralelo al eje q . A es el área de la seccibn y a, es la distancia entre los ejes. Las ecuaciones siguientes definen a A y e, I

Ir2 A = - [ 2 (n- a) + sen(2a) ] ..... 3.3.a 2

, 2r [sen(a)(cos(2a)-l)]

I ..... 3.3.b el =

3 [2(n- a)+sen(Za)]

Con las relaciones 3.l.b, 3.3.a y 3.3.b es posible calcular In,". A partir de la geometría en la figura 3.1 se relaciona el angulo de apertur'a a a la profundidad de la fractura de la siguiente forma : I

a = cos-1 ( - 3 1

donde : P = Profundidad de la fractura. r = Radio de la flecha. a = hngulo de apertura.

...... 3.4

Con lo anterior qu'edan definidas las variables correpondientes.

30

Capitulo 3

3.2 Welo de un el+to aeidtrlco

En condiciones' normales la flecha de un rotor se puede considerar simétrica; sin embargo cuando aparece una fractura por pequefía que sea, la sección transversal de la flecha donde se localiza la falla presenta cierto grado de asimetría que depende del tamaflo de la fractura.

Teniendo presente lo anterior, y apartir de la figura 3.2 se deriva la ecuación de la energía por flexión; se supone que los ejes 5. y q* que parten de O' son ejes principales de la sección.

Y

Figura 3.2 Desplazamientos de una secci6n asimétrica.

La deformación longitudinal en el punto C es según 111, [2]:

y de aquí la energía por deformación es : ........ 3.5

...... 3.6 du

En la ecuación anterior los segundos momentos de area son iguales a los establecidos por las ecuaciones 3.1 y 3.2.

31

Capítulo 3

La energía por flexión descrita por 3.6 está en función de las coordenadas giratorias, para referirla al sistema fijo se aplica la siguiente relación de transformación :

r) = cosut senot V I

............. 3.7 ( F I } coset] ( w } Derivando la ecuación 3.1 y elevando al cuadrado como se

indica en 3.6, se' agrupan terminos y se obtiene la ecuación

siguiente: 1

a2v a2w

"3% ..... 3.8 O I

Donde los segundos momentos de área estan representados por las ecuaciones 3.9.

.... 3.9.c Para obtener la matriz de rigidez, se propone al igual que en

el capítulo 2 lo siguiente :

..... 3.10 I

Las variables que intervienen en la ecuación 3.10 tienen el mismo significado que en las ecuaciones 2.8 y 2.9 del capitulo 2.

32

I Capitulo 3

Derivando la ecuación 3.10 dos veces y sustituyendo en la ecuación 3.8, esta última se convierte en :

Para simplificar la ecuación anterior se define la siguiente matriz :

I

...... 3.12 la forma final de esta matriz se da en el apéndice 1.

Al incluir la equivalencia 3.12 en 3.11 y derivar con respecto a las coordenadas generalizadas, se obtiene el vector de fuerza que resultaría en los' nodos del elemento al aplicar un vector de desplazamientos nodales:

...... 3.13 La ecuación d,e movimiento de este elemento es similar a la

ecuación 2.17, con la diferencia que ahora la matriz de rigidez se define como sigue :

[ R e ] = [Re], - 4 ["I h I ....... 3.14

33

Capitulo 3

3.3 Veriacibn de la,geometria de la fractura

Una flecha asimétrica puede presentarse por razones de disefio

o por una falla en su sección transversal: en el primer caso la asiwtría es constante y no hay cambio en la sección de la flecha, sin embargo en el segundo caso el comportamiento de la falla puede variar al girar la flecha y con éllo tener una asimetría variable. Lo que determina la'forma de variación de la sección de una flecha con falla es la flexión que experimenta la flecha. Esta flexión a su vez es función del desbalance y el peso: sin embargo, si un rotor se encuentra dentro de los límites permisibles de desbalance, se considera que la fuerza predominante es el peso, y si lo anterior es cierto la variación de la sección de una flecha con falla sólo será función del ángulo de giro. En la figura 3.3 se observa cómo es la distribución de esfuerzos y con éllo los posibles estados de la fractura en una sección con falla.

I

D ISTRIBUCI 'ON DE ESFUERZOS E N LA SECCION.

+ VISTA DE LA FRACTURA

AT AD

Y- Z SISTEMA FIJO.

c- 7l SISTEMA GIRATORIO.

AT=SECCION o' 45' 90' 13s. ATRASADA. .~~

AD=SECCION ADELANTADA

AT AD #@- ' % & W=PESO

W = VEL. ANG.

SLCCION A CONPRESION.

270' 315'

Figura 3.3 Estados de la esfuerzos de una sección transversal.

34

Capítulo 3

Al observar la,figura 3.3 se determina lo siguiente:

8 =lot Estado de la fractura. 0"- 90' Cerrada. 90" -210' Abierta.

210'-360' Cerrada.

Presentando su' máxima apertura a 180" de la posición original y etapas de transición en 90" y 2 1 0 ' . Con base en lo anterior se propone que la variación de la profundidad de la fractura esté determinada por la 'relación siguiente:

P = - p coa 8 I .......... 3.15

donde : I

P = Profundidad de la fractura en algún tiempo. p ='Profundidad máxima de la fractura. 8 = Angulo de giro.

En la ecuaci6n 3.15 si (cos 8)>0, entonces P = 0 y la fractura está cerrada: si (cos 8 ) < 0 , P>O y la profundidad de la fractura tiene algún valor histinto de cero.

Las ecuaciones 3.4 y 3.15 permiten calcular los segundos momentos de area de la sección transversal, afectada por una falla, en cualquier instante.

En las figuras 3 . 4 a 3 . 6 se observa el cambio de los segundos momentos de área como una función del ángulo de giro para una fractura con una relación de profundidad '/,=0.25.

35

! Capítulo 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 080

.\ .... o.6o . . . . . . . . i . . . . . . . . . :

. . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . .

. . . . . 0.40 - ' .

0.20 - ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.14

o,o7

-0.0,

-0.14

Figura 3.4 Variación de los segundos momentos de Area principales de la secci6n.

. . . . . . . : . . . : . . . . . . . .

' . . . . . . . . . . . . . .

I

C E N I D E T I lyz/lo

lo = Segundo momento de &rea sin fractura P/D= 0.25

Figura 3.5 Variación del segundo momento de área giratorio de la sección.

0.BO 0.80 j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

o,40 . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . o,2o . 1 . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 144 216 288 360 ANGUU) [GRADOS]

lo = Segundo momento de área sln fractura P/D=0.25 ,

Figura 3.6 Variación de loa segundos momentos I de área de la sección en el sistema

de coordenadas fijo.

36

Capítulo 3

REFERENCIAS DEL TERCER CAPITULO

[l] Lalane M. y ' Ferraris G., Rotordynamics Prediction in Engineering., primera edici6n. Chichester, England: John Wiley and Sons, 1990.

121 Timoshenko S. , y Goodier J.N., Teoría de la Elasticidad., segunda edici6n. Bilbao, Espafia: Ediciones URMO, 1968.

31

Capítulo 4

C A P I T U L O 4

PRBSENTACION DE RESULTADOS I

4.1 Resultados númericoe

En este capítulo se hace una comparación de los modos de vibración, frecuencias naturales y la respuesta en el tiempo al desbalance entre un rotor en condiciones normales, sin falla, y un

rotor que contiene una fractura del tipo descrito en el capítulo 3; los datos del rotor modelado se dan en la figura 4.1,

P= ProFundidod de f i -actura t= Espesor de f r a c t u r o .

Figura 4.1 Representación del rotor que se modela. I

4.1.1 Uoáos de vibración.

Para obtener ,los modos de vibración libre se considera que el rotor no tiene ninguna restricci6n en su movimiento, ésto es

Ky=Kz=Cy=Cz=O. I

Para el caso del rotor con falla, se supone que la fractura está siempre abierta, siendo que éste es el estado más critico de los posibles. Como ya se dijo en el capítulo 2, el método usado

38

Capítulo 4

I H V

H ~

para encontrar los modos de vibraci6n y las frecuencias naturales es el método de las rotaciones de Jacobi. En las figuras 4.2 a 4.7 se muestran cuatro modos de vibración para el rotor con y sin

fractura, en cada caso se especifican condiciones. En las tablas siguientes se resumen los valores de las frecuencias naturales, incluyendo los correspondientes a las figuras expuestas: las letras "H" y "V" indican horizontal y vertical respectivamente.

r- 648.35 644.33 634.79 648.35 634.79 644.33

1121.20 1120.81 1119.27

TABLA 3 F I V B C U ~ C ~ M naturales en [-I w r a un rotor con une fractura de 2mm de ancho en 420-430 mm, relación 0.25.

H V

H V

n V -

sin I I I I fractura O" 90" 180" 270"

127.95 132.98 125.46 132.98 125.46 127.95 125.46 132.98 125.46 132.98

376.80 376.86 376.80 376.86 376.80 376.80 376.80 376.86 376.80 376.86

648.35 648.84 645.71 648.84 645.71 648.35 645.71 648.84 645.71 648.84

1121.20 1121.27 1120.91 1121.27 1120.91 1121.20 - I 1120.91 1121.27 1120.91 1121.27

TABLA 4 Prscmncias naturales en [E.] para un rotor c m una fractura de 2mm de ancho, en 420-430 mm, relación Q/D= 0.5.

En la Última tabla no se incluyen los valores para 180" y 270" porque son los mismos que para O" y 90" respectivamente.

39

Capítulo 4

1.00

o 80

s"eo g o . o 0 0.20

E -0 *o 5 -0.40

z o o 0

!

,, I

I C E N I D E T 1.00

3.w

0.BD 3 0.00

-~ s,* r-c. : 1 1 1 - . ~. FRoc~ CON m.c. : 12s 4e 1:;i \\

. . . . . .

o.-<> 5 0.eo

= o 0 0 ,> 30:::

Figura 4.2 #Primer modo para un rotor con fractura de 2 mm de ancho y relación '/,=0.25.

40

. ,

:

r-""" E! -o>8o

- FREC. SIN FFCAC. : ,2788 ......

0s 0.ae % * .o. E -0.20

,, '

Capitulo 4

1.00

0.80 8 0.60

:.:: g -0.00

= 0.00

&.zo

Y -o.B"

-0 .40

o - , m

C E N I D E T L O 0 I

/

,/' : ,)

. , / - m. SIN FWL*C. ~ 17.3e.a . ~ . I W E C ~ CON r-c. : =?a,-

/ [Z] . . . . . . . . .

0.80

$ 0 ..o t: A

- F-. SIN F-. : 370.ao . . . . . -,,llo . . . . . . . . . .

0.330 D..sJ 0 . B O O " O85 M - O " "

4 0.000 G Z T U D DE LA FLECHA [MI

SECUNDO MODO (HOR.) P / D : O . Z J ORIfXTACION: O -

C E N I D E T 1.00 , n

~ _. SECUNDO MODO ("OR )

Figura 4.3 Segundo modo para un rotor con fractura de 2 m de ancho y relación p/D=0.25.

4 1

Capítulo 4

- iilIEC. SIN mAci : 1121 10 ...... FREC. cow =*c. : l l* l .ZB i

[E] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C E N I D E T I M ,

5 0.40 s. .e. o

- FRPC. 91N Io=. : 818.58 ...... FREC. CON -. : <).ea. IEj . . . . . . . . . . . . . . . .

o ,<>o 0.330 0.185 o.n.30 O.ePJ a-1.00 . . 5 -o.ao ' '

0.000 LOGITUD DE LA FLECHA [MI

TERCER M O O 0 ( H O R ) P/D :0 .26 ORIENTACION: O

. '

C E N I D E T I

TERCER MODO ( V E R T ) P / D O 2 5 ORIENTACION O I

Figura 4.4 Tercero y cuarto modo para un rotor con fractura de 2 mm de ancho y relación p/0=0.25.

42

Capítulo 4

I . 0 0

0.WJ 3 0.80

g 0.40

8 0.00

E -0 EO

E - , o.

I s " 20

3 4 -Oieo -0.40

0. -0.80

I I

f Z 3 , l"i

i

(>

- F.RLI. sin FRAC. I 127 81) . . . FREC. CON FRAC. ' 121.73

/' . ,

. . , . , . . . . . . . . . . .

Zo.2 . . , .... o = 0.00 I. ,

, . . . Y - , , ~ ~ . . . . . . . . . l 0.000 , 0.186 0.930 0.485 0.880 o 026

LOCITUD DE LA FLECHA [ M I

PRIMER MODO ( H O R ) P/D O 5 0 ORIENTACION 90

C E N I D E T L OD

PRIMER MODO (VERT) P/D 0 5 0 ORIENTACION S o

Figura 4.5,Primer modo para un rotor con fractura de 2 nun de ancho y relación * / ,=0.50.

43

Capítulo 4

A

C E N I D E T I O 0

. . 0 . O D O 0 . I O J o.=_ *..es o.ec.0 ".a26

SECUNDO MODO < H O R > P/D O J O ORIENTACION O

C E N I D E T I O 0

I SECUNW YODO (HOR.) P / D 'O 50 ORIENTACION: 90

e -0.E.o - PREC~ SIN FRAC . =_laso ran'. CON FRAC. : 37e.ee E l . . . . . . . . . . . . . . .

0.000 0.1<1* 0.3JO 0.106 o Be0 0.826 LOCITUD DE LA FLECHA [ M I

SECUNDO MODO (VERT.) P/D .0.50 ORIENTACION: O

I C E N I D E T n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.000 0.1es o.a* o .es 0.eeo sees

LOGITUD DE LA FLECHA [ M I SEGUNDO MODO <VERT> P/D O 5 0 DRlENTAClON 90

C E N I D E T 0 80 3 0.eo 2 0.40

52 0.20

= = D O < > <)

o

y -&BO F R E C SIN -c. : 37e.eo ...... FREC. CON FRAC. : 3,e.se

2 [%I Y - , .o0 . . L -0.ao

. . . . . . . . . . . . 0 . O D O 0 . I O J o.=_ *..es o.ec.0 ".a26

LOGITUD D E LA FLECHA LM] SECUNW YODO (HOR.) P / D 'O 50 ORIENTACION: 90

Figura 4.6 Segundo modo para un rotor con fractura de 2 mm de ancho y relación ' / , =0 .50 .

44

Capítulo 4

I TERCER M O W (VERT.) P/D :0.50 ORIENTACION: O I

C E N I D E T I

3 -o.eo y j -0.110 Y

_l,oD

- PREC. SIN I R A C . : 8.838 PREC. EON m*c. : 041.31 tH:l n. -0.00

rn Y . . . . . . . . . . . . 0.820

n -,.o0 0.000 0.lbS 0.330 <>..BJ 0.0«0

LOGITUD DE LA FLECHA [MI P / D :o.50 DRIENTACION: - TERCER M O O 0 (HOR.)

- PReC =IN FRAC. : 1121.20 niEc CON _-c. : ,..e.se tní1

- .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C E N I D E T 1.00

Y ~ -,,oo . . . . . . . . . . . . . . . .

0.mo 0.1e5 0.330 0 .o0 0 . w o "..is LOGTTUD D E LA FLECHA [MI

C E N I D E T 1.00

Figura 4.1 Tercero y cuarto modo para ún rotor con fractura de 2 nun de ancho y relaci6n ' / . = 0 . 5 0 .

45

Capitulo 4

4.1.2 Diagrama de Campbell.

Los diagramas de Campbell para el rotor de la figura 4.1 se obtuvieron con el método Householder-OR, en estos diagramas se observa la variación de las frecuencias naturales conforme varía la velocidad de giro, además de que permite localizar las velocidades criticas, en este caso la finalidad de los diagramas es mostrar si hay variación en las frecuencias naturales cuando se impone una fractura al rotor: en el modelo de la falla se supone que la fractura esta abierta.

La figura 4.0 es para un rotor sin falla, las figuras 4.9 y

4.10 son los diagramas para un rotor con una fractura localizada en 420-430 mm con respecto al origen marcado en la figura 4.1: la relación de profundidad p / n se proporciona en cada diagrama.

En todos los diagramas se observa que los valores de las frecuencias naturales en el rango de velocidad planteado se mantienen, ésto es a causa de la falta de consideración de amortiguamiento, tanto en la flecha como en los rodamientos y

soportes. La intersección marcada como P1 en las figuras 4.8 a 4.10 corresponde a la velocidad crítica mas baja y es atribuida al desbalance. En realidad hay dos puntos de intersección a causa de las frecuencias F1 y F2, sólo que por la cercanía de estos puntos no hay diferencia significativa en su valor.

C E N I D E T 573.0 F6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . : i ~ ~ ~ : . . . . , . . : : : , . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . , j &z,.zh . : : I : , , . . . . . . . . . . . .

. . . F = L . . . 2'íT . .

. . .

. . . . 0.00

0.00 200.00 400.00 WX.00 5X.W IOO0.W VELOCIDAD DE GIRO írad/sl . I _ I P/D=O.O

Figura 4.0 Diagrama de Campbell para el rotor sin fractura.

46

Capítulo 4

59619 , , , , , , , , , , , , , , , , , , . . . . . . . . . . . : . F 5 . . -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47fi.RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . G ' - '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y

. . . 357.71 . . . . . . ' F 4 . . m

. . . . . . . . . . . . . . . F 3 : 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.47. . '. . . . . . . . . z w

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . / . .

~

. . . . . . . w F=-

Figura 4.9 Diagrama de Campbell para un rotor fracturado con relación '/,=O. 25.

$ 119.24. II: Ir

o.

2 ' T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 2 - . .

. . . y . .Ft . . P1=387 . . . . 0 0 0 A . . . . . . . . . . . . . . . .

o0 200 o0 400.00 600.00 ' 800.00 1000.00

Figura 4.10 Diagrama de Campbell para un rotor fracturado con relaci6n '/.=O. 50.

569 63

455.71. - s Y

341.78.

u)

U 227.85. z w 3 U w 113.93- [1: cs

2

0.00

47

F6 , , , , , , , , , , , , , , , , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : F 5 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . .

. . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

~~ . . . . . . . F4. F3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : , ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . w F= ~

2'IT

, . . . . . . . . . .

. ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . 'F1: . . . . y ] P i = 3 7 8 . .

Capitulo 4

4.1.3 Respuesta en el tiempo al deabalance

Para acercar el comportamiento del modelo al comportamiento natural del sistema en movimiento, es importante considerar las fuerzas de amortiguamiento en las ecuaciones de movimiento: aunque el mecanismo de este fenómeno no es bien entendido una buena aproximaci6n es incluirlo como fuerzas de amortiguamiento del tipo viscoso proporcionales a la velocidad.

En este trabajo se usa una combinación lineal de las matrices de masa y rigidez para definir la matriz de proporcionalidad del amortiguamiento, la siguiente ecuación define a como :

donde :

a = Constante r = Constante

[D' ] = u [K'] + T [MS]

de amortiguamiento proporcional

la matriz se* [l]

........... 4.1

para la rigidez. de amortiguamiento proporcional para la masa.

[C] = Matriz de rigidez del sistema, con velocidad igual cero. [K] = Matriz de masa del sistema.

Para el cálculo de o y r es necesario escoger dos fracciones de amortiguamiento critico a dos velocidades diferentes, las ecuaciones siguientes proporcionan los valores buscados [l] :

.............. 4 .2

2 0 1 0 2 (Vi% - V2.i) r= (uz2 - 012) ............. 4 . 3

Finalmente velocidad o es.

la fracci6n de amortiguamiento critico total a la de acuerdo a 113:

1 T y = - 2 (u. + -) 0 .............. 4 .4

48

Capítulo 4

Los valores utilizados en los cálculos son: o,= 10 Hz (62 rad/s) y, = 0.005 o1 = 350 Hz (2200 rad/s) ya = 0.1 U = 0.00057 r = 0.05 y = 0.5 - 10 %

finalmente la ecuación de movimiento del sistema, incluyendo la matriz de amortiguamiento antes definida es:

Para obtener el comportamiento del rotor en un periodo en el cual las condiciones de velocidad, rigidez o amortiguamiento cambien, se obtiene al resolver la ecuación 4.5, considerando como fuerza de excitación al desbalance inducido en el disco.

Para un rotor simétrico, no acelerado, las matrices de la ecuación 4.5 son constantes: sin embargo, cuando un rotor es de asimetria variable la matriz de rigidez ya no es constante y se tiene que evaluar para cada instante.

De los posibles métodos de solución se analizaron dos mbtodos numéricos, el método de Runge-Kutta y el método de Newmark. Finalmente, el método que se us6 fue el de Newmark, las razones principales de esta decisión se enumeran a continuación:

1.- El método de Newmark mantiene el tamaño de las matrices, en el algoritmo de solución, mientras que el método de Runge-Kutta duplica el tamaño.

2.- La estabilidad incondicional del método de Newmark.

3.- El método de Runge-Kutta requiere de la evaluación de n vectores que conforman la solución para cada instante, donde n es el orden del método de Runge-Kutta. En el apéndice 2 se expone en detalle el método de Newmark.

49

Capitulo 4

En las figuras siguientes se muestra el comportamiento de un nodo del rotor con y sin falla: al nodo se localiza a 430 mm del origen. La relación de profundidad de la fractura s/Dse indica en cada figura, claro de la fractura de 2 mm, ubicación en 428-430 mm en relación al origen marcado en la figura 4.1, orientación de O " con respecto a la vertical, mientras que el desbalance, ubicado al inicio a O " con respecto al eje horizontal "Y", es de 0.00002 kg-m, ésto quiere decir que como la masa del rotor es de aproximadamente 2 kg se tiene una excentricidad cercana a 10 )un que según [2] es un valor tlpico en las flechas de las turbinas. El desplazamiento graficado es el resultante de la suma vectorial de los desplazamientos vertical y horizontal.

C E N I D E ' T

, . . , . , , . . < . , , . . . . . . (B w 0 0.000 0,100 0.200 0.300 0.400 0.500

rel. P/D= 0.00 TIEMPO [ s ] acel.= 0 rad"Z/s 1 - C E N I D E T

2 7.99

$ 2.00

(B 9.99 O

0 6.00 4 O0

u

4 5.

0.001 0.101 0.201 0.300 0.400 0.500 rel. P/D= 0.00

vel.= 200 rad/s TIEMPO [ s ] fase= 8.87826 grados

F.igura 4.11 Desplazamiento resultante y ángulo de fase para el rotor sin fractura.

50

Capitulo 4

I c E N I D E ir

a; 1.96 . rn w . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.100 o 200 0.300 0.400 0.500 n 0.000 rel. P/O=O 25 acel. = O rad??/s ['I abierta

I I

\--------

C E N I D E T

O ' . , , , . . . < . . . , ...

TIEMF vel.= 200 rad/s ~-

a; 1.98 rn w . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.500 rel. P,'O= 0.25 'O [SI

-

, . rn 9.93

--.-

A

(B1.99 w ,_ il.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a L

0.500 0.001 0.101 0.201 0.300 0.400 re1 P/ü=O.25

TIEMPO [ s ] fase= 8.90148 Erados . vel.= 200 rad/s

C E N I D E T

I- C E N I D E T

Figura 4.12 Desplazamiento resultante y ángulo de fase para un rotor con fractura abierta y variando, relación de fractura '/.=O .25.

51

Capítulo 4

. . , , , , , . . , , , . , , < cn

C E N I D E T

_I ~

. ,

i ----i . . . . . . . 0.300 rel. 0.400 . . . . i’/D= 0.50 0.500

fase- 9 71318 grados TIEMPO [ s ]

g 9.79 I : , w 7.83

c E N I D E ‘r

C E N I D E T

Figura 4.13 Desplazamiento resultante y Angulo de fase para un rotor con fractura abierta y variando, relaci6n de fractura ‘/.=O. 50.

52

Capitulo 4

C E N I D E T g 78.35.

- & v) z w - x I 31.34 15~67 62.68 47.01 ;;:;I ~. . .

A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w

CI 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 o.sno TIEMPO [ s ] rei. P/D= 0 ~ 0 0 acel.=0 rad"Z/s.

.__~__

- C E N I D E T 9 89.29

g 22 32

v] l l l .62 - O

$ 66.97 I

v

44.65 ..

. . . . . . . . . . . . . . . . . -~ 4 C L

0.500 0.001 o. 101 0 201 0.300 0.400 rel~ P:/D= 0.00

vel.= 400 rad/s TIEMPO [ s ] fase= i11.60460 grados

m 120.00 O 9 96.00

72.00 ../ 48.00

$ 24.00 . 4 cr

u

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

C E N I D E T

I

00 rei. P/D=0~50

TIEMPO [s] variando acel.= 0 rad^Z/s

Figura 4.14 Desplazamiento resultante y ángulo de fase para un rotor sin falla y un rotor con falla variando, relación de fractura ' / . = 0 . 5 0 .

53

Capítulo 4

. . . . . . . . . . . . . . . . , (o w n 0.000 0.100 0.200 0.300 o. 400 0.500

TIEMPO [ s ] rel. P./D= O . O0 acr l .= 0 rad ̂ 2 / S __ - C E N I D E T 2 160.07. v-

g I20 05

(o 200.09 O

-

u 80.03

JO.02

. , , d cr . . . . . . . . . . . . . . b

0.001 0.100 0.200 0.300 0,400 0.500 rel. P/D= 0~00 TIEMPO [ s ] fese= lh6.40170~rados vel .= 600 rad/s

I 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura 4.15 Desplazamiento resultante y ángulo de fase para un rotor sin falla y un rotor con falla variando, relaci6n ' / . =0 .50 , vel.=600 rad/s.

rB 200.0

E 40.01 . CI h --

54

. . . . .

Capitulo 4

C E N I D E T

rzr E ,o 45

l i

a; 0 .22

n 0.000 0.100 0.200 0.300 O 400 0.500

. . . . . . . . . . . . . . . . , . co w

,

rel. P/D=O.OO a w l . = O rad - 2 / s TIEMPO [ s ] 7-

- C E N I D E T 2 7.97 5 5 . 9 8

v] 9.96 O

L_

3.9R W 4 cr v) 1.99

. . . . . . . . . . . . . . . 0.001 o 101 0.201 0,300 0.400 0 .500

rel. P/D=O.00 fase= 1 4 5 0 2 8 Brados TIEMPO [ s ] vel.= 100 rad/s

C E N I D E T

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .500

r e 0.22

0.45

VI w n 0.000 0,100 0.200 O 300 0.400 rel. P/D= 0 .25 TIEMPO [ s ] acel.= O rad^Z/s

- C E N I .D E T 2 7.97

5 5.98

2 1.99

(B 9.96 O

Y

3.98

4 cr rei. P/D=O.25

vel = 100 rad/s TIEMPO [SI lase- 3.325134 #rados

Figura 4.16 Desplazamiento resultante y ángulo de fase para un rotor sin falla y un rotor con falla variando, relaci6n ‘/.=0.25, vel.=100 rad/s (Para un nodo a una longitud de 605 mm del origen).

55

-

Capítulo 4

4.2 E.perliPentaci4n

En el banco de experimentaci6n s610 se hicieron dos pruebas, una con el rotor sin falla y en la otra a la flecha se le practicó un corte de 3.5 mm de profundidad y un claro de 1.5 mm aproximadamente: para medir las vibraciones se us6 un sensor de desplazamiento y su oscilador/demodulador, el ángulo de fase se midi6 con un sensor 6ptico al detectar una marca reflejante en la flecha y generar un pulso sincrono de referencia.

La seflal de salida del oscilador/demodulador y la del sensor óptico alimentaron a un filtro digital de vectores (DVF), este instrumento proporcion6 directamente el valor de la vibración en wt y el ángulo de fase en grados.

La disposición física de los sensores se muestra en la figura 4.17.

leal mm

1 - I = I\'%%-' ..

senmr de desplazamiento.

Filtro dígitnl de wclores

Figura 4.17 Disposición de sensores y cortes en el rotor.

Las lecturas de vibraci6n y ángulo de fase para el rotor sin

fractura a distintas velocidades se muestran en la tabla 5.

TABLA 5 Anaulo de fase y víbracibn (sln fractura)

I I I

Para las pruebas con fractura se hizo el corte 1 de 3.5 mm de profundidad y 1.5 mm de ancho en la flecha, a la distancia indicada

56

-~ - ,

Capitulo 4

en figura 4.17. Los sensores se mantuvieron en la misma posici6n. en la tabla 6 se muestran las lecturas de esta prueba.

TABLA 6 Angula de fase y vibración (con fractura)

En los dos caaos se presentaron lecturas iguales al hacer las pruebas a las mismas velocidades pero en orden descendente.

Como se observa en las tablas 5 y 6 las vibraciones en la flecha con fractura son mayores; sin embargo se tenía duda sobre este aumento, se pens6 en una flexión permanente inducida al momento de hacer el corte. Para verificar lo anterior, se tomaron medidas del claro máximo y mínimo entre la flecha y el sensor girando la flecha lentamente, los claros son los siguientes:

Claro mínimo = 1705.12 w. Claro máximo = 1923.07 W.

Cuando se tuvieron estos datos se hizo el corte 2 a la distancia marcada en la figura 1 y 180' con respecto del primer corte: nuevamente se midi6 el claro resultando:

Claro mínimo = 1743.58 W. Claro máximo = 1833.33 W.

La diferencia entre los claros meximo y mínimo en ambos casos, muestra que la forma de hacer el corte a la flecha causa que la misma se flexione permanenteniente.

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Capítulo 4

4.3 Conclusiones

Al realizar este trabajo se consideraron tres características de un rotor que estuvieran en posibilidad de dar indicación de la presencia de una fractura; mientras que, por la parte experimental se han hecho pruebas iniciales, a continuación se explican los resultados y se dan conclusiones para cada caso.

A) Cambios de las frecuencias naturales y modos de vibración para un rotor en vibración libre.

Como es conocido el método del elemento finito proporciona una ecuaci6n para cada grado de libertad. A causa de lo anterior se obtienen tantas frecuencias naturales y modos de vibración como grados de libertad se tengan. Si un rotor es simétrico la cantidad de frecuencias naturales y modos de vibración distintos se reduce a la mitad. Una fractura por pequeña que sea, está alterando la simetría del rotor, las tablas 3 y 4 muestran las ocho frecuencias naturales más bajas para un rotor sin fractura y para un rotor con fractura orientada a O " , g o " , 180" y 270 " con respecto a la vertical, ahora el número de frecuencias naturales aumenta puesto que la flecha ya no tiene las mismas características, al menos en la sección donde aparece la falla. Para el caso de la fractura con relación ' / , = 0 . 2 5 , resultados presentados en la tabla 3. el mayor cambio se presenta en la primera frecuencia natural y en el primer modo, además como la fractura esta en la dirección vertical es para esa direcci6n que se obtienen los valores más bajos. Cuando el rotor se gira 90". la fractura ahora está en la direcci6n horizontal y por lo tanto los valores más bajos se presentan en esa dirección.

Si la relación '/.=0.5. resultados mostrados en la tabla 4, los segundos momentos de área de la sección afectada cambian casi en la misma proporción, es por eso que las frecuencias naturales para el primer modo en las dos direcciones bajan. El método de Jacobi cuando la relación de fractura '/.=0.5 no muestra claramente en qué dirección está la fractura.

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Capitulo 4

De los modos de vibración el que se afectó más es el primero a causa de que la fractura está cerca del punto de inflexión: en el segundo Y cuarto modo no hay variación porque cerca de donde está

la fractura hay un punto que no se mueve, el tercer modo sólo muestra variación cuando la relación de fractura '/.=0.5.

B) Cambios en las frecuencias naturales al variar la velocidad de giro .

Para este caso se obtuvieron los diagramas de Campbell, el de la figura 4.8 es para un rotor sin fractura, y las figuras 4.9 y 4.10 para un rotor con relación de fractura '/.=0.25 y 0 . 5 respectivamente. Las seis frecuencias graficadas en las figuras tienen comportamiento similar, observando un ligero aumento cuando la relación de fractura ' / . =0 .25 ; la velocidad critica marcada como P1 y atribuida al desbalance no muestra variaciones atribuibles a la fractura.

C) Respuesta en el tiempo al desbalance.

Al analizar los efectos de una fractura en el movimiento de un punto del rotor, se escogió el desplazamiento resultante y el ángulo de fase como parámetros a monitorear, el porqué de esta selección es su valor constante a una velocidad específica, para un rotor simétrico, como lo muestran las gráficas 4.11 a 4.16.

Cuando se modela una fractura. ésta puede suponerse abierta o variando. Si el rotor se considera con una fractura abierta la asimetría es constante con respecto a un par de ejes principales girando con la sección: sin embargo, con respecto a un sistema coordenado fijo, los segundos momentos de área referidos a los ejes fijos, varían con el doble de la frecuencia de giro, además de que aparece un segundo momento de área a causa del giro, este segundo momento de área es el causante de la asimetría en la matriz de rigidez de la ecuación 4 .5 .

En las figuras 4.12 a 4.14, en los cuadros donde se considera que la fractura está abierta, es posible observar que el desplazamiento y el ángulo de fase ya no son constantes sino que

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Capitulo 4

tienen una variación periódica, esto es un efecto de1 segundo momento de área I,,, a velocidades cercanas o mayores a la primera velocidad critica la variación del bigulo de fase ya no es tan perceptible. Para el caso de una fractura que abre y cierra, el comportamiento de los segundos momentos de área de la sección afectada es como se muestra en la figura 3.5 del capitulo 3. En las figuras 4.12 a 4.14, en los cuadros donde se considera que el

comportamiento está variando, se observa nuevamente periodicidad, a diferencia de cuando la fractura está abierta los segundos momentos de área tienen una frecuencia predominantemente igual a la de giro, esto también es reflejado en las variaciones del ángulo de fase y del desplazamiento: lo anterior es un efecto del modelo de variación escogido.

A diferencia de las gráficas 4.10 a 4.15, donde el disco y el desbalance están en un extremo del elemento fracturado, la gráfica 4.16 muestra el desplazamiento y el ángulo de fase Para un Punto a 255 nun de la fractura, aunque el desplazamiento muestra ligera variación, el bigulo de fase aún manifiesta los efectos del segundo momento de área I,. de la sección afectada.

A pesar de que en los resultados obtenidos influye la forma de modelar una fractura que abre y cierra, es posible decir que el hgulo de fase es más sensible que el desplazamiento resultante para efectos de la detección de fractura.

D) En cuanto a la experimentación se puede decir que no fue posible alcanzar la primera velocidad critica del rotor, ésta se estima, según los cálculos de la modelación, entre 385 y 390 rad/s, la velocidad máxima del motor impulsor es de 311 rad/s.

En las mediciones realizadas, como lo muestra la tabla 6, no se detectaron variaciones ni en la amplitud ni en el ángulo de fase, ésto es porque 13610 se midi6 el desplazamiento en una dirección. Para poder comparar el comportamiento modelado con la experimentación seria necesario al menos un par de sensores para tener el desplazamiento resultante, el ángulo de fase se puede conocer calculando la posici6n del desbalance que gira con la velocidad del rotor, lo anterior es aplicable cuando el desbalance es controlado en posición y magnitud.

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Capitulo 4

4.4 Sugerenciae

Al momento del desarrollo del trabajo de tesis se han hecho diversas aproximaciones o suposiciones de la forma en que se comporta una fractura, dejando cierto grado de incertidumbre en los resultados, de aquí que las sugerencias se enfoquen a posibles soluciones para una representación más próxima a la realidad.

Por el lado experimental se sugiere lo siguiente :

1. - Refinar la forma de inducir una fractura en la flecha del rotor de manera controlada, básicamente poner cuidado en el tamaño de claro y profundidad.

2.- Determinar la variaci6n de la rigidez para diversas posiciones angulares de la fractura, así como para profundidades de grieta diferentes.

3.- Evaluar rigidez y amortiguamiento tanto en soportes del banco de pruebas como en la flecha.

Una vez que se tenga un mayor conocimiento, con base en la experimentación, del comportamiento de una fractura, se puede iniciar el planteamiento de un modelo y posteriormente su esquema de solucibn.

1.- Modelar la flecha del rotor con elementos finitos isoparamétricos sólidos que permiten detallar más la geometria de una fractura.

Las sugerencias en lo que respecta al modelo son:

2.- La modelación tambibn debe de proporcionar de una manera natural la variaci6n de la rigidez en la zona donde se encuentra la falla, evitando así la necesidad de encontrar una función que indique tal variación.

3.- Determinar el estado de esfuerzos en la zona cercana a la falla, ésto servirá para establecer el comportamiento de la grieta o predecir su crecimiento.

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Capítulo 4

En ambos casos obtener amplitud y fase de la vibración y aplicar la transformada de Fourier a la respuesta en el tiempo, para analizar €os espectros de frecuencia.

Finalmente con base en el análisis de la información obtenida en los bancos de prueba y del modelo, formular una metodología de detección de fractura, a partir de la respuesta dinámica del rotor, seria deseable que esta metodologia se enfocara a los rangos de velocidad de operacibn.

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Capitulo 4

REFERENCIAS DEL CUARTO CAPITULO

[l] Cook R.D., Malkus D.S., Plesha M.E.: Concepts and Applications of Finite Element Analysis ; John Wiley & Sons, Singapore, 1989.

[ 2 ] Henry T.A. Okah-Avae; "Vibrations in Cracked Shafts", en: Vibrations in Rotating Machinery Conference, University of Cambridge, England, Sept., 1976, Pdgs. 15-19.

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APENDICE 1

[ M e ] = & 420

Matrices de masa consistentes para un elemento viga, que puede tener movimiento de translación y rotación:

156 O o 22L 54 O 156 -22L O O o -22L 4L2 o o

22L o O 4L2 13L 54 O O 13L 156 O 54 -13L O O O 13L 3L2 O O

-13L O o 3L2 -22L

[ M e ] =I,, R 30L

36 O O 3L -36 O 36 -3L O O o -3L 4L2 o o 3L o o 4L2 -3L -36 O O -3L 36 O -36 3L O O o -3L'-L2 o o 3L o o -L2 -3L

O O -13L 54 13L O

-13L 3L2 O o o 3L' o o -22L 156 22L O 22L 4LZ o O o 4L2

O -36 3L O O 36 3L O

o 3L -3L o -L2 o o -L2 o -3L 3L o 4L2 o o 4L2

Donde :

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Matriz de rigidez de un elemento viga circular de dos nodos con cuatro grados de libertad por nodo, dos desplazamientos y dos

EI f ~3

[ K "] = -

giros:

12 O O 6L -12 O O 6 2 O 1 2 -6L O O -12 -6L O O -6L 4L2 O O 6L 2L2 O

6L 0 O 4L2 -6L O O 2L2 1-12 O O -6L 1 2 O O -6L

O -12 6L O O 1 2 6L O O -6L 2L2 O O 6L 4L2 O

6L O O 2L2 -6L O O 4L'

Matriz parcial de efectos girosc4picos para un elemento viga, que puede deflectarse y girar:

[ N e ] = 5 3 OL

O -36 O 0 O 0 o -3L O 36 O 0 O 0 o -3L

3L o o o O 0 o O 0

4L2 o o -3L o o

o O 0 o O 0 -L2 o o

36 O O

3L - 36

O O

3L

En las matrices anteriores se tiene que:

r, = 2 p 1

I= Segundo momento de área del elemento. L= Longitud del elemento. E= Modulo de Young del material.

p= Densidad volumétrica del material. A= Area de la secci6n del elemento.

3L o O 0 O 0 -I#' o -3L o

O 0 O 0

4L2 o

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Las matrices de ecuación 2.5 referentes al movimiento del disco del rotor son :

[M “1 =

O 0 o o O 0 o o

O 0

M , O o o ‘ O 0 o O ’ O M d O O O 0 0 o

O o o r , O O I , o o o r , o o o r d o [ G d ] = - + 0 0 0 -1, [ K ~ I = - ; P o o

En estas matrices :

& = Masa del disco. I, = Momento de inercia del disco con respecto a un eje transversal. I, = Momento de inercia polar del disco.

Matriz de rigidez de un elemento asimétrico; esta matriz es la que representa a la matriz de un elemento fracturado:

121,, 241,, - 1 2 ~ 1 ~ 6LI,, -121,, -24IYz - 1 2 n Y , 6 ~ 1 , ~ O 1 2 1 , -6L1, O o - 1 2 1 , -6L1, O o -6~1, 4 ~ ~ 1 , O O 6L1 , 2L21, O

O - 1 2 1 , 6L1, O O 1 2 1 , 6L1, O

o -6L1, 2L21- O O 6 L I , 4 L 2 1 , O

6LI, , 12L1, -8L’Iyz 4L21,, -6LI,, -12L1, - 4 L 2 1 , 2L21z, - 1 2 i z z - 2 4 1 , 12LIYs -6Li, , 1 2 i z z 241yz 12LiF -6&IZz

, 6L1,, 12LIYz - 4 L 2 1 , 2L21,, -6L1,, -12LIF -8L2Z, 4 L 2 I Z z

En la matriz aparecen los segundos momentos de area de una sección asimétrica I,, y I,, mas un segundo momento de área I,. a causa del giro de la sección.

Las matrices anteriores a excepción de la última se pueden encontrar en las paginas 50 a 53 de la referencia [ Z ] del segundo capitulo. I)

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APBMDICE 2

El método de Newmark es un método de integración directo que supone un comportamiento constante del promedio de aceleración entre los tiempos t y At. En este método la velocidad y los desplazamientos se obtienen de las ecuaciones A.l y A.2:

...... A . l ’ w)t+At = (XIt# + [ (1- Nl)fi)t + N, At

k)t+At = &It + At ‘Di), + [(+- N2)&+N2b?)t+At] At * ....... A.2

Resolviendo de la ecuación A.2 para la aceleración en t+At Y sustituyendo en A.l se tiene que:

Si se hacen las eqbivalencias siguientes:

1 N,htp

c, =

./

Ni c2 = - N2At

1 N2At c, = -

C6 = 4 - 2 ) At Ni 2 N2

= At ( 1-Nl) .F At NI

y considerando el equilibrio de la ecuación de movimiento, se resuelve para el desplazamiento en el tiempo t+At:

En la ecuación anterior [K], [MI y [C] son las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento respectivamente, mientras que {F) es el vector de fuerza.

La aceleración y la velocidad se definen por:

Antes de iniciar con el método de integracih se define el intervalo de integración At y los parámetros NI y N,. Cuando se asignan valores a los parámetros, es indispensable poner cuidado con el valor de N,, ya b e se pueden obtener resultados erroneos. El método es incondicionalmente estable si :

'I

\

Si N, es mayor que ' / 2 se introduce un amortiguamiento positivo 9

en el sistema, reduciendo la magnitud de la respuesta: si N, es cero se introduce un amortiguamiento negativo produciendo una autoexcitación en el sistema.

Un requisito más para iniciar, es evaluar la aceleración en el I/

instante t-O:

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APEüDICE 3

DIAGRAMA DE E'LUJO DE LAS FUNIONES DEL PROGRAMA

NO I

LEER DATOS Y MATRICES PARA LA I N T E C F X I O N

QUE N O W ?

ARCHIVAR DATOS DE NOW

LEER V E D C L D M . NUMERO DE W.

FRECUENCIAS NAT.

RESULTMOS

Los resultados archivados que se deseen graficar se tienen que leer por un programa hecho en autolisp, este programa permite usar el autocad como plataforma de graficación.

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