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CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
UNIDAD DISTRITO FEDERAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
UNA SECUENCIA DE ACTIVIDADES CON COMPUTADORA PARA EL
APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN BACHILLERATO
TESIS QUE PRESENTO: VERÓNICA CONTRERAS VALENCIA
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRA EN CIENCIAS
EN LA ESPECIALIDAD DE
MATEMÁTICA EDUCATIVA
DIRECTOR DE LA TESIS: Dra. ANA ISABEL SACRISTAN ROCK
MÉXICO, DISTRITO FEDERAL AGOSTO 2006
RESUMEN
En éste trabajo se realizó una secuencia de actividades con computadora
para el aprendizaje de los sistemas de numeración en bachillerato. Este trabajo se
compone de 6 capítulos y 7 anexos.
En el Capítulo I presento un repaso histórico del desarrollo de los sistemas
de numeración, desde las épocas antiguas hasta nuestros días, así como la
presentación que se hace de este tema en los libros de texto y una explicación
teórica de los métodos de conversión entre bases.
En el Capítulo II describo el marco teórico en el que se sustenta esta
investigación. Es decir se revisan las teorías constructivistas de construcción del
conocimiento, el papel de las herramientas computacionales como instrumentos
de mediación para el aprendizaje, y las ventajas del lenguaje de programación
Logo tanto como herramienta de mediación como para el desarrollo de algoritmos
de conversión de números entre bases b. También se presenta una sinópsis de
las posibles dificultades que se han detectado en el aprendizaje de los sistemas
de numeración de base b.
En el Capítulo III presento la metodología, el diseño del estudio y propuesta
experimental.
El Capítulo IV muestra el análisis de los resultados del estudio.
En el Capítulo V describo la comparación de respuestas de un cuestionario
diagnóstico que se aplicó a los estudiantes al inicio y al final del estudio.
Finalmente, en el Capítulo VI doy las conclusiones de este trabajo.
En los 7 anexos, hay información más detallada de los cuestionarios y
actividades utilizados en este trabajo, así como de los resultados.
INTRODUCCIÓN
1
INTRODUCCIÓN
Desde hace más de 15 años, se han realizado diversas investigaciones, en
el área de educación matemática, acerca de cómo utilizar las nuevas tecnologías
para facilitar el aprendizaje de diversos temas. El presente trabajo trata la
posibilidad de usar actividades computacionales para asistir el aprendizaje de los
sistemas de numeración en estudiantes de cursos de computación a nivel
bachillerato.
Mi interés en investigar el aprendizaje de los sistemas de numeración surge
a partir de mi experiencia como docente (de la materia de Programación I en
bachillerato que incluye el tema sistemas de numeración) en la que he observado
diversos problemas en los estudiantes al estudiar este tema.
Entre los problemas más destacados que he observado se encuentran las
dificultades que tienen los estudiantes (no sólo de nivel bachillerato, sino incluso
en niveles superiores) al intentan formar y trabajar con algún nuevo sistema de
numeración (diferente al de base diez): e.g. dificultades relacionadas con los
algoritmos de conversión, el uso y cantidad de símbolos de un nuevo sistema, la
INTRODUCCIÓN
2
interpretación de números escritos en bases distintas a la de diez. También
considero que es limitante que los estudiantes sólo trabajen con los sistemas de
numeración binario y hexadecimal, como suele ocurrir en los cursos de
computación; más aún, la mayoría de los autores de libros de texto presentan los
sistemas de numeración aislados conforme a su base b, sin establecer cómo se
pueden criterios generales de conversión entre bases. En contraste, yo considero
que se pueden trabajar con muchos sistemas de numeración con las mismas
características (i.e. de base b) y llegar a una generalización. Por otro lado,
considero que las herramientas existentes (e.g. calculadoras) que ayudan al
estudiante a convertir números de un sistema de numeración a otro, presentan un
problema, ya que esconden el procedimiento de conversión y limitan al estudiante
sólo a seleccionar opciones.
Tomando en cuenta estos puntos, quise investigar cómo mejorar el
aprendizaje y comprensión de este tema. En particular, el objetivo principal de mi
investigación fue el de investigar la posibilidad de utilizar actividades
computacionales (dentro de una secuencia didáctica) para asistir el aprendizaje de
los sistemas de numeración (específicamente los sistemas de numeración de una
base b).
Para nuestra investigación, establecimos criterios de relación entre la base,
los símbolos que forman números y los algoritmos de conversión de números
entre bases. Utilizando estos criterios, y tomando en cuenta investigaciones
descritas en la literatura relacionada con el aprendizaje mediado por herramientas,
diseñamos una secuencia de actividades, para estudiantes de bachillerato (o
superiores), que utilizan lápiz, papel, computadora y el lenguaje de programación
Logo. Los objetivos específicos de esta propuesta eran:
Facilitar la construcción del concepto de base y la identificación de las
características que deben tener los símbolos que forman a los sistema de
numeración en base b.
Mostrar que se pueden generar tantos sistemas de numeración (de base b)
como se quieran.
INTRODUCCIÓN
3
Facilitar la comprensión de la relación que hay entre los números
expresados en diferentes bases, mediante la construcción de un programa general
de conversión de base.
El presente trabajo se organiza de la siguiente manera:
Inicio en el Capítulo I presentando un repaso del desarrollo de los sistemas
de numeración, desde las épocas antiguas hasta nuestros días, así como la
presentación que se hace de este tema en los libros de texto y una explicación
teórica de los métodos de conversión entre bases.
En el Capítulo II describo el marco teórico en el que se sustenta esta
investigación. En este capítulo se revisan las teorías constructivistas de
construcción del conocimiento, el papel de las herramientas computacionales
como instrumentos de mediación para el aprendizaje, y las ventajas del lenguaje
de programación Logo. También se presenta una sinopsis de las posibles
dificultades que se han detectado para el aprendizaje de los sistemas de
numeración de base b.
En el Capítulo III presento la metodología, el diseño del estudio y propuesta
experimental.
El Capítulo IV muestra el análisis de los resultados del estudio.
En el Capítulo V describo la comparación de respuestas de un cuestionario
diagnóstico que se aplicó a los estudiantes al inicio y al final del estudio.
Finalmente en el Capítulo VI doy las conclusiones de este trabajo.
También se agregan unos anexos, en los cuales hay información más
detallada de los cuestionarios y actividades utilizados en este trabajo, así como de
los resultados.
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
5
CAPÍTULO I
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA 1.1 INTRODUCCIÓN
Como el trabajo aquí presentado se centra en los sistemas de numeración,
es importante revisar algunos elementos teóricos relacionados con la evolución de
los sistemas de numeración. Esto sirve de fundamento y justificación para
algunas partes de las actividades propuestas en este trabajo.
En este capítulo empiezo repasando algunas características relevantes de
los sistemas de numeración, relacionadas con la importancia que han tenido para
el hombre; y doy ejemplos de algunos de los sistemas de numeración más
destacados.
Nos parece pertinente dar a conocer la forma en que los sistemas de
numeración fueron cambiando ya que se pueden observar diferentes estructuras
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
6
para formar sus números, pero es interesante que no todas ellas trascendieron por
lo complicado que resulta realizar operaciones con ellas.
Posteriormente hago referencia a la presentación que se hace de los
sistemas de numeración posicionales en los libros de texto.
Por último se explica los métodos de conversión de base diez a otra base b,
y de una base b a base diez; también se describe como se usa la calculadora
científica para esto.
1.2 DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Durante la evolución de la humanidad, se han concebido diversas formas
de expresar las ideas. En particular, las culturas han creado diferentes sistemas
de numeración.
Los humanos desde tiempos antiguos se vieron en la necesidad de contar
para realizar sus actividades de comercio, cultivar cosechas, y calendarizar el
tiempo. En lo que se refiere a este aspecto, Parra Cabrera (1993, p. 81) señala:
El hombre primitivo empezó contando con los dedos de las manos las piezas que
cazaban para alimentarse y que almacenaban para el futuro. Quizá también utilizó los
dedos de los pies y algunas partes del cuerpo.
Por otro lado al crecer sus agrupamientos, el hombre se vio en la necesidad
de utilizar objetos que le permitieran conservar las cuentas de las unidades
acumuladas; para ello utilizaron diversos objetos, dentro de estos Parra Cabrera
(ibid, p. 81) menciona:
Entre los primeros instrumentos para contar se encuentran los cordones con nudos
que en Perú se conocían como quipús.
Los sistemas de numeración son parte muy importante en la vida de una
persona, ya que todos en algún momento necesitamos contar y realizar
operaciones. Los sistemas de numeración han ido evolucionando a través de la
historia buscando, sin duda, tener representaciones más claras y adecuadas a su
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
7
ocupación. Al inicio, la dificultad era darle un nombre y un símbolo diferente a cada
número:
La dificultad primordial que encontró el hombre primitivo en su intento por darle un
nombre y un símbolo diferente a cada número era que, a pesar de su enorme
imaginación, no podía encontrar un nombre y un símbolo diferente para todos los
números, puesto que hay un número infinito de ellos (Enciclopedia Autodidáctica
Milenium, p. 17).
Existen muchos sistemas de numeración. También hay métodos que
dominan o se combinan en un sistema de numeración, como son los métodos
posicionales o aditivos, y el uso de bases.
Casi todos los sistemas de numeración utilizan una base. Es decir, ….
<DECIR AQUÍ QUE SE ENTIENDE POR BASE>
También, muchos sistemas son posicionales. Un sistema de numeración es
posicional cuando el valor de los símbolos que se utilizan para representar un
número varía de acuerdo a su posición; cada uno de ellos tiene un valor
dependiente del lugar que ocupe dentro del número. En general, los sistemas
numéricos de base b son sistemas de numeración posicionales.
Por otro lado, en un sistema de numeración aditivo existen símbolos que
tienen un valor fijo (que no varía de acuerdo a la posición). En este caso, para
representar un número se agregan tantos símbolos según la cantidad requerida.
Varias civilizaciones antiguas desarrollaron de manera independiente
sistemas de numeración, utilizando alguno o varios de los métodos descritos
arriba. A continuación describo algunos de los sistemas de numeración
históricamente más sobresalientes, entre ellos el Babilónico, el Maya, el Romano,
el Egipcio, el Chino.
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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1.2.1. Sistemas numéricos desarrollados por civilizaciones antiguas
(i) Sistema de numeración Babilónico.
El sistema de numeración Babilónico se origina en la antigua Mesopotamia.
Los símbolos que usaron para representar sus números tenían distintos valores
dependiendo de su orientación, estos se muestran en la figura 1.
Figura 1 Símbolos del sistema de numeración Babilónico
El sistema de numeración babilónico es una combinación de los sistemas
aditivo y posicional. Es aditivo cuando se representa del 1 al 60 (Ver figuras 2 y 3).
Figura 2 Números babilónicos del 1 al 9
Figura 3 Representación de números babilónicos del 10 al 59
Es posicional del 61 en adelante: en la figura 4 se ven las operaciones
posiciónales que se utilizan.
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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Figura 4 Ejemplos de Números Babilónicos
Una de las desventajas que tenía este sistema era la ausencia del número
cero.
El sistema de numeración Babilónico tuvo una gran desventaja debido a la falta de
un cero. Para poder interpretar números en los que se hallaba el cero, como el 3601,
debía guiarse según el contexto en que éste se encontraba. [\Babilonia.htm].
Es importante mencionar que el sistema de numeración babilónico es
considerado uno de los primeros dentro de la categoría de los posicionales.
También es un sistema de base 601 (sexagesimal), y dió origen a otros sistemas
de numeración sexagesimales como los que se utilizan hoy en día en mediciones
de tiempo (hay 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto), y en la
medición de ángulos y coordenadas trigonométricas (siendo en este caso, el
grado, la unidad sexagesimal, por lo que una circunferencia se divide en 360
grados):
Los babilonios fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron
el sistema sexagesimal y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60
minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido hasta
nuestros días. [\Babilonia.htm].
(ii) Sistema de numeración Maya
Los mayas crearon un sistema de base 20, con 20 símbolos diferentes el
cual fue basado en la cuenta de los dedos de las manos y los pies, sus símbolos
son representados como lo muestra la figura 5:
1 Resulta interesante que el número 60 tiene las siguientes características importantes:
• Puede dividirse por muchos números, como son: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, con lo
que facilita el cálculo de fracciones.
• Es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3,4 y 5.
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
10
Figura 5 Números Mayas
Este es un sistema posicional que se escribe de arriba hacia abajo,
empezando con el orden de magnitud mayor, dependiendo del lugar que ocupen
se multiplican por 1, 20, 20x20, 20x20x20… Un ejemplo se muestra en la figura 6.
Figura 6 Representación de números mayas
Este es uno de los sistemas de numeración más antiguos, además de
agregar a las matemáticas dos ideas fundamentales como el valor posicional y el
número cero.
Los antiguos mayas descubrieron dos ideas fundamentales en matemáticas: el valor
posicional y el cero. Sólo otra gran cultura de la antigüedad llegó a encontrar, cerca de
300 años después que los mayas, estos conceptos: la cultura hindú.
El sistema maya es vigesimal, no decimal como el nuestro. Esto significa que, en lugar
de contar con diez dígitos, del cero al nueve, los mayas contaban desde el cero hasta
el diecinueve antes de empezar de nuevo en el siguiente orden. Esto tal vez se deba a
que usaban dedos de manos y pies para llevar la cuenta. [ARREGLAR!! La
Civilización Maya, Numerales y Calendario Mayas Por LUIS DUMOIS.htm]
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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(iii) Sistema de numeración romano
En el sistema de numeración romano, que es un sistema aditivo-sustractivo,
para representar un número se usan letras del alfabeto latino, como símbolos
básicos (Ver tabla 1)
Tabla 1 Símbolos para representar números romanos
En sus primeras épocas los romanos usaban únicamente un método para
comunicar la idea de número: método aditivo. Después, para evitar una repetición
excesiva de símbolos, introdujeron también el método sustractivo (REFERENCIA,
Año).
Por ejemplo:
• 40 ya no se escribió así: XXXX, sino así: XL.
• 9 ya no se escribió así: VIIII, sino así: IX.
Para escribir números romanos existen reglas y restricciones sobre el uso y
combinación de los principios aditivo y sustractivo. Esta combinación de métodos
aditivo y sustractivo hacen que resulte complicado realizar operaciones con los
números romanos.
También cabe notar que el sistema de numeración romano no incluye el
cero.
Símbolos Nº Decimal I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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(IV) Sistema de numeración egipcio.
Los egipcios crearon un sistema de numeración posicional de base diez ya
que contaban de 10 en 10. Este sistema utilizaba siete símbolos jeroglíficos para
representar sus números; estos símbolos son señalados en la figura 7.
Figura 7 Jeroglíficos egipcios
Los egipcios para representar un número diferente a los anteriores,
escribían los símbolos que representaban las unidades, decenas, centenas, etc.
que sumados dieran el número requerido.
Por ejemplo, para escribir 276, necesitaban:
! Dos símbolos de cien.
! Siete símbolos de diez.
! Seis símbolos de unidad, teniendo un resultado como el que
muestra la figura 8.
Figura 8 Representación de un número egipcio
Con este sistema de numeración fueron escritos algunos problemas, los
cuales quedaron plasmados en el Papiro de Rhind (1650 a. c.) (Sánchez et al.
2001).
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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(V) Sistema de numeración chino
La escritura china se comenzó a usar a partir del año 1500 A.C.
aproximadamente. Los símbolos que se usan para representar los números de
este sistema de numeración se muestran en la figura 9. Cabe notar que en este
sistema de numeración no existe el símbolo para representar la cifra cero.
Figura 9 Símbolos para representar números Chinos
Un ejemplo de un número escrito en el sistema de numeración chino se
muestra en la figura 10.
Figura 10 Representación de un número chino
El sistema de numeración chino es un sistema posicional de base 10.
En la siguiente sección describimos la manera general como se definen los
sistemas de numeración de base b en la actualidad.
1.2.2. Sistemas numéricos de base b
Los sistemas de numeración posicionales en base b son los sistemas de
numeración más extendidos en la actualidad (de los cuales se incluyen los de
base diez y base dos):
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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En un sistema de numeración en base b, deben existir exactamente b símbolos
diferentes para representar todos sus números si b < (es menor que) 10, los símbolos
pueden ser sencillamente las cifras 0,1,2,…b, pero si b > (es mayor o igual que) 10,
entonces es necesario introducir símbolos nuevos para representar los números que
en el sistema decimal se representa por 10,11,12, etc. (Enciclopedia Autodidáctica
Milenium, P. 21)
La base b de un sistema de numeración determina el número de símbolos
diferentes que se usaran para representar todos sus números.
A continuación nombro algunos sistemas de numeración en base b.
(A) Sistema de numeración arábigo decimal
Este sistema de numeración es el usado en la actualidad y es un sistema
posicional basado en diez símbolos, las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cuando
estos símbolos se combinan de diferentes maneras representan diferentes
números, de este sistema Tocci (1993, p. 9) nos comenta:
El sistema decimal, también conocido como sistema de base 10, evolucionó en forma
natural a partir del hecho de que el ser humano tiene diez dedos. Incluso, la palabra
“digito” significa “dedo” en latín.
El sistema arábigo decimal es conocido como el sistema de numeración en
base diez ya que usa diez símbolos para representar todos sus números.
(B) Sistema de numeración binario
Este sistema de numeración, necesita sólo dos símbolos para representar
cualquier número. El interés de la base binaria es porque tiene estrecha relación
con los dos estados de un circuito electrónico:
El sistema numérico decimal no se presta para una implantación conveniente en
sistemas digitales. Por ejemplo, resulta difícil diseñar equipo electrónico para que
pueda funcionar con 10 diferentes niveles de voltaje (para que cada uno representara
un carácter decimal, de 0 a 9). Por otro lado, es fácil diseñar circuitos electrónicos
precisos pero simples que operen con sólo dos niveles de voltaje. Por esta razón, casi
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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todos los sistemas digitales utilizan el sistema numérico binario como base de sus
operaciones. (Tocci,1993; p. 9).
El sistema de numeración binario también es conocido como sistema de
numeración en base 2. Los símbolos comúnmente usados para representar sus
números son {0,1}. En este sistema de numeración se pueden realizar algunas
operaciones básicas como son suma, resta, multiplicación y división.
(C) Sistema de numeración Hexadecimal
Este es un sistema usado para direccionar la memoria de la computadora.
El sistema de numeración hexadecimal también es conocido como sistema de
numeración en base dieciséis. Por ser de base dieciséis, tiene dieciséis símbolos
diferentes para representar sus números; los comúnmente usados son del 0 al 9 y
de la letra A a la letra F (Ver tabla 2).
Numero en base 10 Numero en base 16
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9
10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F
Tabla 2 Muestra los símbolos ocupados para representar números en base 16
1.3 LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO
En el curriculum de 2006 de secundarias, es incluido el tema sistemas de
numeración. Este tema en algunos libros de texto se aborda de la siguiente
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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manera: se incluyen algunos sistemas de numeración antiguos, además de los
sistemas de numeración de base diez y dos; de todos ellos se nombran sus
orígenes, algunos ejemplos y ejercicios.
Para el nivel medio superior, el tema sistemas de numeración es incluido
sólo para los talleres de computación. En este nivel los sistemas de numeración
que se abordan son los de base dos, diez y dieciséis; usualmente de la siguiente
manera: se describe la función de estos sistemas de numeración, se muestran
tablas de equivalencias de números entre las bases diez, dos y dieciséis, y se dan
ejemplos de conversión de números entre bases y ejercicios. Uno de los libros de
texto más utilizados para en computación (para diseño digital) es el de Tocci
(1993) del cuál proporcionamos varias citas en este capítulo.
Todos los sistemas de numeración en base b funcionan bajo los mismos
principios y sin embargo regularmente se abordan sólo algunos de ellos (binario
decimal, hexadecimal).
1.4 MÉTODOS PARA CONVERTIR CIFRAS ENTRE SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Una cantidad mostrada en cualquier sistema de numeración representa “lo
mismo”, por lo cual es importante poder saber realizar conversiones entre cifras de
diferentes sistemas.
La conversión de cifras entre sistemas de numeración posicionales es muy
ocupada por personas dedicadas a las computadoras y la electrónica. A
continuación mostraré la forma de tratar las conversiones de cifras de base dos a
base diez y viceversa en los algunos libros que son usados en el nivel medio
superior.
1.4.1 Conversión de números de base 2 a base diez
Para realizar la conversión de un sistema decimal de base 2 a base 10
regularmente se realiza de la siguiente manera:
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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La conversión se hace sumando el resultado de elevar la base 2 de la cifra,
con los valores de las diversas posiciones que toman los números de la cifra
empezando de derecha a izquierda, además para formar parte de la suma es
necesario que el valor del número que integra la cifra sea diferente de cero.
Por ejemplo, la cifra binaria 10112 convertida en base diez da como
resultado 1110: 10112 = (1X23 ) +(0X22 )+ (1X21 ) + (1X20 )
= 8 + 0 + 2 + 1
= 1110
Nótese que en este método, se tienen que realizar operaciones con
exponentes, sumas y multiplicaciones.
Este tema es presentado por Tocci (1993) en un libro de sistemas digitales,
para el sistema de numeración binario, de la siguiente manera:
El sistema de numeración binario es un sistema posicional donde cada digito binario
(bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB (least significant digit).
Cualquier número binario puede convertirse a su equivalente decimal, simplemente
sumando en el número binario los valores de las diversas posiciones que contengan
un 1. Para ilustrar lo anterior consideremos el siguiente ejemplo:
1 1 0 1 1 2 (binario)
24 + 23 + 0 + 21 + 20 = 16 + 8 + 2 + 1
= 2710 (decimal) (ibid, p. 22)
Ahora daremos otro ejemplo con un número mayor de bits.
1 0 1 1 0 1 0 1 2 =
27 + 0 + 25 + 24 + 0 + 22 + 0 + 20 = 18110 (ibid, p. 22)
Nótese que el procedimiento consiste en determinar los valores (es decir, las
potencias de 2 ) de cada posición de bit que contenga un 1 y luego sumarlos. Nótese
también que el MSB tiene un valor de 27 a pesar de que es el octavo bit; esto se
debe al LSB es el primer bit y tiene el valor de 20 (ibid, p. 22).
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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Resulta interesante el siguiente ejercicio que Tocci (1993 p. 23) deja a los
estudiantes, ya que es una conversión sumamente tediosa y larga de realizar
manualmente:
Convierte 1000110110112 a su equivalente decimal.
Como nosotros podemos observar, el realizar operaciones de conversión
de binario a decimal consiste solamente en realizar cálculos y seguir la explicación
dada por el autor. Ahora bien, si por alguna razón necesitamos la conversión de
números de base cuatro, ocho, dieciséis, etc. Los estudiantes requieren, que el
libro de texto les de la teoría correspondiente a este tema.
1.4.2 Conversión de números de base diez a base 2
Esta conversión es la inversa de la anterior; sin embargo tiene un
procedimiento diferente y con un mayor número de pasos.
La conversión se hace usando un método llamado división repetida por 2.
La conversión consiste en dividir el numero en base diez por la base 2, hasta que
el cociente sea cero, para obtener el resultado se toman los residuos
acomodándolos del ultimo que se obtuvo, al primero.
Por ejemplo, usando base 2:
Convertir un 9 de base 10 a base 2.
12/2= 6 mas 0 de residuo
6/2 = 3 mas 0 de residuo
3/2 = 1 mas 1 de residuo
½ = 0 mas 1 de residuo
Entonces el resultado es 11002
Existen dos maneras de convertir un número decimal a su representación
equivalente en el sistema binario las cuales son presentadas por Tocci (1993,
p.23), de la siguiente manera:
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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El número decimal se expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego
los unos y los ceros se escriben en las potencias adecuadas de bits, para ilustrar lo
anterior consideremos el siguiente ejemplo:
4510 = 32 + 8 + 4 + 1 = 25 + 0 + 23 + 22 + 0 + 20
= 1 0 1 1 0 1 2
Obsérvese que se coloca un 0 en las posiciones 21 y 24, ya que todas las posiciones
deben tomarse en cuenta. A continuación se muestra otro ejemplo:
7610 = 64 + 8 + 4 = 26 + 0 + 0 + 23 + 22 + 0 + 0
= 1 0 0 1 1 0 0 2
División repetida Otro método emplea la división repetida por 2. La conversión se
ilustra a continuación para 2510, requiere que se divida repetidamente el numero decimal
por 2 y que se escriban los residuos después de cada división hasta que se obtiene un
cociente 0. Nótese que el resultado binario se obtiene escribiendo el primer residuo
como el LSB y el último como el MSB.
2510 =
25 2 = 12 + residuo de 1
12 2 = 6 + residuo de 0
6 2 = 3 + residuo de 0
3 2 = 1 + residuo de 1
1 2 = 0 + residuo de 1
1 1 0 0 1 2
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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Al igual que en la sección anterior, nuevamente, resulta interesante dar
algunos de los ejercicios que Tocci (1993, p.23) da a los estudiantes, ya que son
muy largos de resolver manualmente:
Convierta un 8310 a binario usando los dos métodos .
Convierta un 72910 a binario usando los dos métodos. Compruebe su respuesta
convirtiendo de nuevo a decimal (ibid, p. 23).
1.4 .3 Conversión de números entre sistemas de numeración usando una
calculadora científica.
Las calculadoras científicas tienen algunas funciones especiales, llamadas
Base -N. Éstas permiten pasar de un sistema de numeración en base diez a
binario, octal y hexadecimal.
Inclusive en la calculadora del sistema operativo Windows, también existen
este tipo de funciones; los estudiantes de ahora no necesitan saber el algoritmo
para convertir un número que se encuentre en las bases 2, 8,16.
A continuación muestro la conversión de un 95 en base 10 a base 2 usando
la calculadora de Windows
" Seleccionar en la calculadora el botón Dec (Abreviatura de Decimal).
" Escribir el número en base diez.
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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" Oprimir el botón Bin (abreviatura Base dos o binario)
" El resultado se muestra en la pantalla de la calculadora.
Como pudimos observar el procedimiento es muy sencillo pero esconde al
estudiante el procedimiento de conversión, además de que estas conversiones
son limitadas a binario, octal y hexadecimal.
1.5 INVESTIGACIONES EDUCATIVAS REALIZADAS PARA ABORDAR EL TEMA SISTEMAS DE NUMERACIÓN
En la literatura de las investigaciones educativas que revisé, no encontré
información relacionada con el tema sistemas de numeración posicionales que me
ayudara a formular las actividades propuestas en este trabajo; sin embargo
existen métodos didácticos que tratan este tema. Dentro de ellos podemos
encontrar métodos que utilizan programas con menús desplegables, en donde el
estudiante digita la base, escribe la cifra a convertir y de este modo obtiene su
resultado de conversión. En general este tipo de métodos rara vez dan las reglas
generales de conversión entre bases. Si el estudiante llegara a necesitar otro tipo
de sistema de numeración, no tendría los recursos.
CAPITULO I LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: UNA EXCURSIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA
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Por otro lado, el uso de la calculadora como ya habíamos mencionado,
tiene un gran inconveniente, ya que esconde el procedimiento que produce las
conversiones y hace al alumno completamente dependiente de ella.
1.6 RESUMEN
Hemos dado en este capítulo una visión de cómo son presentados los
sistemas de numeración en diferentes medios. Como hemos visto, los sistemas de
numeración han ido evolucionando a través del tiempo; hemos observado que
existen muchos, de los cuales algunos nos resultan más familiares que otros, y
por la forma de ser expresados, podemos decir que los estudiantes se limitan a
estudiar posiblemente uno o dos sistemas de numeración diferentes (binario y
hexadecimal). Es debido a ello que surge la necesidad de investigar nuevas
estrategias que permitan comprender mejor este tema. En capítulos posteriores se
presentará una propuesta de una secuencia de aprendizaje mediante actividades
basadas en papel, lápiz y en programación computacional (usando el lenguaje
LOGO). Antes de ello, en el siguiente capítulo, se presentará el marco teórico del
trabajo
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
25
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
2.1 INTRODUCCIÓN
Se recuerda que el objetivo de mi investigación es en torno a la utilización
de la computadora para asistir al aprendizaje de los sistemas de numeración
posicionales. En este capítulo se revisaran algunos elementos teóricos que nos
sirven de sustento para la investigación.
Comienzo nombrando algunas características relevantes de las teorías
relacionadas con la adquisición del conocimiento, específicamente el
constructivismo y la idea de instrumentos de mediación.
También se hace una reflexión sobre el papel que puede jugar la tecnología
en el diseño de las actividades para la enseñanza. Después continúo describiendo
específicamente el lenguaje de programación Logo y los llamados micromundos
computacionales.
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
26
Finalmente, se discuten algunas de las dificultades conceptuales que
surgen en el estudio de los de los sistemas de numeración posicionales basados
en mi experiencia docente.
2.2 CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
En el espacio educativo tradicional, regularmente se practica lo que se
puede llamar “instruccionismo”, en el sentido de suponer que el estudiante al
atender una clase expositiva, puede adquirir el conocimiento expuesto.
A diferencia del instruccionismo, las teorías constructivistas plantean una
visión diferente de lo que significa el conocimiento. Se plantea que el conocimiento
no es algo que se adquiere si no algo que se construye.
Black y Atkin (1996, p 62) mencionan que hay evidencias de que el
aprendizaje es efectivo sólo cuando se parte de y sobre la construcción de ideas y
percepciones que los estudiantes tienen sobre sus estudios. Sólo por esta ruta
pueden los estudiantes construir nuevo conocimiento con estructuras coherentes y
con significados para ellos mismos.
Las teorías constructivistas, nos dicen que el conocimiento es una
construcción que realiza el sujeto a partir de sus conocimientos y experiencias
previos, en función de la interacción de éstos con el medio que le rodea.
En la elaboración de las actuales teorías constructivistas en la educación,
existen autores que han aportado ideas fundamentales, tales como Piaget y
Vygotsky.
Según Carretero (1997), para Piaget, un esquema es la representación
interna que hace un individuo de una situación concreta o de un concepto; el
esquema le permite manejar información internamente y será utilizado por el
sujeto cuando se encuentre posteriormente ante situaciones similares o parecidas.
Según este autor, la idea principal de Piaget con respecto al conocimiento es que
no puede ser considerado como una copia de la realidad, sino como producto de
una iteración entre la realidad y los esquemas cognitivos del sujeto. El sujeto
construye su conocimiento mediante procesos de asimilación y acomodación. La
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
27
característica del proceso de asimilación consiste en que el individuo concentre la
nueva información a su conocimiento; y la de acomodación, es cuando la persona
evoluciona la información que ya tenía en función de la nueva.
Por otro lado, Vygotsky (1985), en su obra Pensamiento y Lenguaje,
concibe al conocimiento como un producto social, y considera que el hombre no
solo responde a los estímulos; también actúa sobre ellos transformándolos,
utilizando para este fin instrumentos de mediación, proporcionados por el medio
social.
Vigotsky divide a los instrumentos por el tipo de actividad que realizan. El
primero, es la herramienta material la cual actúa sobre el estimulo, modificándolo;
el segundo, se forma por un sistema de signos o símbolos proporcionados al
individuo por la sociedad. Así pues en las teorías constructivistas, el aprendizaje
se realiza al exterior del sujeto quien posteriormente lo interioriza mediante un
proceso de transformacion de las acciones externas en acciones internas.
Por último, es importante considerar que el conocimiento involucra la
interacción del estudiante y el objeto de su conocimiento. Tal y como Moreno
(1998, p. 284) lo menciona, “el conocimiento no es resultado ni de la sola actividad
del sujeto, ni tampoco de la sola presencia del objeto del conocimiento. El
conocimiento surge de la interacción del sujeto cognoscente y el objeto de su
conocimiento”.
De esta manera, si estamos de acuerdo con las teorías constructivistas, es
claro que no es suficiente que el profesor exponga información a sus alumnos
para ser asimilada: es preciso fomentar que el alumno la (re) construya.
A continuación discutiré algunas ideas de la teoría de los instrumentos de
mediación, ya que éstos forman parte importante de las actividades planeadas en
este trabajo.
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
28
2.3 INSTRUMENTOS DE MEDIACIÓN Y EL USO DE LA COMPUTADORA
PARA EL APRENDIZAJE
En el punto anterior, hemos considerado la construcción del conocimiento
como una incorporación de lo externo al individuo; es decir, que el individuo haga
parte de si mismo lo que descubre con sus sentidos.
De ahí que es ineludible la existencia de un medio que facilite realizar dicha
labor, como pueden ser los denominados “instrumentos de mediación” (Moreno,
1998). Se puede pensar en un instrumento de mediación como una extensión de
las facultades del hombre, lo cual hace ver las cosas de una manera diferente. Es
como realizar el cálculo de algún problema matemático. Se puede realizar a
lápiz y papel o usando alguna calculadora, por ejemplo. Cada uno de ellos, es un
instrumento que permite realizar dicha acción, pero también permiten realizan
tareas diferentes para lograr lo deseado; es claro que los dos instrumentos, por el
hecho de ser diferentes no serán usados de la misma forma para lograr el objetivo.
Por otra parte, Moreno (1998, p.290) presenta a los instrumentos de
mediación como una característica del funcionamiento mental, ya que ese
funcionamiento está mediado por instrumentos materiales y por instrumentos
simbólicos. Estos últimos incluyen, por ejemplo, diagramas, sistemas
matemáticos, además de las diversas formas de lenguajes sociales.
Moreno (ibid), basándose en las ideas de Wertsch, explica que “la
presencia de los instrumentos de mediación trasforman de raíz la actividad
cognitiva del estudiante, determinando así la estructura de una nueva acción
instrumental”.
Por ejemplo, como dijimos arriba, al realizar operaciones, éstas las
podemos hacer ayudados con el lápiz y papel o con calculadora o computadora.
Cada instrumento tiene sus propias características que permiten lograr el objetivo
deseado. De la misma manera le ocurre al conocimiento, ya que éste depende del
instrumento usado o mediador. Para poder decir cual es el mejor, se necesita un
estudio de la situación que rodea el problema con el cual se pretende usar
determinado instrumento.
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
29
Berger (1998, p. 15) también da su punto de vista cuando hay cambio de
herramientas de aprendizaje en un estudiante, al mencionar que “si uno cambia
las herramientas de pensamiento disponibles para un niño, su mente tendrá una
estructura radicalmente diferente”.
La elección de cierta herramienta de mediación que se usará para obtener
aprendizaje es muy importante, ya que esto implica acciones coherentes tanto de
profesores como de estudiantes, que permitan aunarse a dicha herramienta para
lograr su objetivo.
La computadora, como instrumento de mediación, puede presentar
situaciones diferentes de las que se pueden lograr sólo usando lápiz y papel.
Cada instrumento tiene sus ventajas y desventajas según la actividad a la
que se haga referencia, aunque está comprobado que el uso de una computadora
en el salón de clases, puede dar al estudiante diversas perspectivas de un
problema. El uso de computadoras o calculadoras ha sido identificado como una
componente potencialmente importante en el aprendizaje de la Matemática
(NCTM, 1989; 1998).
En la siguiente sección se revisaran algunas investigaciones sobre el uso
de la tecnología utilizada para el aprendizaje de las matemáticas.
2.4 EL USO DE LA TECNOLOGÍA EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
En el punto anterior se han mencionado las características más importantes
de los instrumentos de mediación. Se analizará ahora la importancia del uso de la
tecnología en la educación. Hoy en día, la tecnología forma parte de la vida
habitual en todas las áreas profesionales y educativas. De ahí que es necesario
hacer un análisis de la mejor manera de usar la tecnología dentro del proceso
enseñanza/aprendizaje, con la finalidad de hacer un uso adecuado de estos
recursos.
Con las computadoras más recientes se puede diseñar, programar,
calcular, almacenar, inclusive hablar. La tecnología, tiene por lo tanto un potencial
excepcional en el plano pedagógico. Consideramos que una de las características
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
30
más importantes del uso de estos instrumentos para la educación, radica en la
capacidad expresiva que este instrumento puede otorgar a los estudiantes. Todo
ello hace pensar en la conveniencia de articular una reflexión sobre las maneras
en que los entornos computacionales funcionan como instrumentos de mediación
(Kozulin, 1994; citado por Moreno, 2001; p. 79).
El uso de tecnología en el salón de clases ha cambiado significativamente
en los últimos 15 años. Kaput (1992 p. 548) establece que la mayoría del software
educativo que existía hasta 1998 fomentaba una instrucción en base a la
repetición y práctica. Es decir el uso de la computadora bajo esa forma de
enseñanza seguía dando lugar al aprendizaje habitual; sin embargo, se ha visto
que la tecnología ahora toma el papel de una herramienta de exploración y
búsqueda, como cuando el estudiante intenta darle solución a un problema.
El uso de la tecnología en el salón de clases se ha convertido en una
poderosa herramienta para una mejor comprensión y entendimiento de las
matemáticas. (Edwards & Díaz 1997; p 109).
La computadora puede permitir al alumno observar e incluso crear
diferentes perspectivas de algún problema matemático, muchas veces en forma
dinámica innovadora no habitual.
Por otro lado, al cambiar la forma tradicional de enseñar y al introducir un
nuevo instrumento como lo es la tecnología se requiere investigar qué se aprende
y cómo se lleva a cabo este proceso. De acuerdo a Wilson & Krapfl (1994) y Waits
& Demana (1998) al incorporar el uso de tecnología se debe enfatizar no
solamente ¿Qué es aprendido?, sino también ¿Cómo es aprendido?.
En la siguiente sección se revisaran algunas investigaciones sobre el uso
de las computadoras, el lenguaje de programación Logo y los llamados
micromundos computacionales.
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
31
2.5 EL LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN LOGO Y LOS MICROMUNDOS COMPUTACIONALES
Existen muchos lenguajes que hoy en día se utilizan en la informática, tanto
para realizar programación como para resolver problemas; entre ellos está Logo.
Logo fue desarrollado en el Instituto Tecnológico de Massachusets a finales
de la década de los años 60 y principios de los 70 y fue difundido inicialmente en
EU, Francia e Inglaterra. Este lenguaje pertenece a la rama de LISP, que es un
lenguaje de inteligencia artificial.
Este lenguaje contiene muchas características que lo han hecho importante
en distintas plataformas educativas. Segarra (1985), basándose en las obras de
S. Papert, H. Abelson y A. diSessa, da las siguientes características como las más
señaladas de este lenguaje desde una óptica informática.
Primero: la posibilidad de definir nuevas órdenes, a través de la creación de
procedimientos; como estos procedimientos disponen de variable locales es
posible utilizar la recursividad.
Segundo: es un lenguaje interpretado, lo cual agiliza su uso.
Tercero: la capacidad de operar fácilmente con listas (Op. cit, p. 48)
A esto podemos añadirle que Logo es un lenguaje que fue diseñado con
fines educativos como herramienta de construcción y exploración. En particular
Logo utiliza una interfase gráfica en la que se le dan instrucciones (“se le enseña”)
a una “tortuga” en la pantalla para que trace dibujos o figuras. A esto se le conoce
como geometría de la tortuga:
Lo más importante que hay que recordar sobre la geometría de la tortuga es que
es una matemática diseñada para la exploración, no solamente para presentar
teoremas y demostraciones (Abelson & diSessa, 1980; p. 66)11.
Respecto a esto, Papert (1980 p. 64) nos dice:
Al enseñarle a pensar a la computadora, los chicos se embarcan en una
exploración del modo que ellos mismo piensan.
1 Traducida del inglés por Segarra & Gayan (1985, P. 66).
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
32
Cuando los estudiantes van explorando un problema ayudándose de Logo,
ellos van pensando en las posibles maneras de darle solución. Logo hace posible
realizar una enseñanza activa, individualizada, en la que predominan los aspectos
de creatividad y espíritu de investigación1 (Segarra & Gayan, 1985).
Por estos motivos Logo alcanzó un gran interés en el ambiente educativo
como un lenguaje de alto nivel y dio lugar a que se generaran muchos
micromundos computacionales basados en él.
Podemos decir que un micromundo es, en general, un ambiente de
aprendizaje en el que se pueden explorar ideas y conceptos matemáticos.
Segarra & Gayan (1985, P. 35) definen un micromundo Logo como un
campo de exploración asociado con la computadora, cuyas características pueden
despertar espontáneamente el interés del usuario.
De hecho, Papert describe la geometría de la tortuga como “un
micromundo”, como “un lugar”, una “provincia de matemalandia”, donde puede
incubarse y crecer con particular facilidad cierto tipo de pensamiento matemático
(Papert, 1980, p. 146).
Un micromundo bien diseñado puede construir una herramienta pedagógica
y educativa que puede permitir desplegar la creatividad, desarrollar el proceso de
solución problemas y de pensamiento lógico.
(Sacristán 2000; p. 13) hace referencia a una definición de micromundo
dada por Hoyles y Noss (1987), de la siguiente manera:
Un micromundo es conformado por los siguientes cuatro elementos:
a) Estudiante, involucra los “entendimientos y concepciones parciales existentes
que el alumno trae consigo a la situación didáctica”.
b) Técnico, formado por el software o lenguaje de programación, y un conjunto de
herramientas que proveen un sistema de representaciones para la comprensión de
una estructura matemática o campo conceptual”.
c) Pedagógico, “todas la intervenciones didácticas que se llevan acabo durante las
actividades de programación”
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
33
d) Contextual, “el entorno social de las actividades”.
Un aspecto importante es el que señala Papert (1980) en su libro Desafío a
la mente, en donde enfatiza la importancia de la naturaleza exploratoria de los
micromundos, así como la importancia de que los niños estén a cargo de sus
propias actividades dentro del micromundo. Esto contrasta con la enseñanza
tradicional en la que el maestro estaba a cargo de las actividades y los estudiantes
tenían un papel más pasivo.
Muchos otros autores han diseñado micromundos computacionales usando
Logo. Por ejemplo, Hitt (1989) diseñó un ambiente de computo con números
poligonales, con el cual observó cómo lo estudiantes deducían las formulas que
generaban a dichos números; otro muy interesante es el de Sacristán (2000) quien
diseñó un micromundo para investigar algunos de los procesos infinitos de la
matemática, tales como sucesiones y series infinitas. Con este micromundo, se
buscó que a través de actividades de programación, los estudiantes pudieran
construir y explorar diferentes tipos de representaciones como son: simbólicas,
gráficas y numéricas de los temas de sucesiones y series infinitas (ver también
Sacristán, 1998). Una parte central de los micromundos computacionales es la
actividad de programación por parte de los alumnos. En este sentido, Weir (1987;
citada por Sacristán, 2000, p. 13) explica que la actividad computacional sirve de
catalizador para que las intuiciones del alumno emerjan y de tal manera se pueden
observar las reacciones de los alumnos al ver el efecto de sus acciones en la
pantalla, así como el rango de sus respuestas.
Por todas las características antes mencionadas, nosotros tornamos
nuestro interés hacia el uso de las computadoras y del lenguaje Logo en particular
para realizar nuestro trabajo. Como se vera más adelante, pretendemos que por
medio de programación de procedimientos y actividades de exploración los
alumnos desarrollen entendimientos acerca de los métodos de conversión de
cifras entre sistemas de numeración, ya que según mi experiencia docente, es un
tema que resulta difícil para estudiantes a nivel medio superior.
A continuación se describen algunos obstáculos conceptuales para el
aprendizaje del tema de sistemas de numeración.
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
34
2.6 POSIBLES DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LOS ELEMENTOS
QUE DEFINEN A LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES.
El estudio de los sistemas de numeración aparece en la currícula de
primero de secundaria y en la de Bachilleratos Generales, pero este tema, según
mi experiencia, tiene dificultades para ser comprendido.
Después de una extensa búsqueda sobre investigación en esta área no se
encontró mucho. Lo único fueron libros y paginas de Internet, algunos de los
cuales se mencionaron en el capitulo uno, además de algunos algoritmos de
programación que se describirán más adelante. A continuación presento los
puntos que a partir de mi experiencia docente son los de dificultad.
Si nosotros queremos representar un número de una base a otra, lo más
cómodo es hacerlo a través de las cifras del sistema en base diez (dígitos), por ser
éste sistema el de mayor uso. De este modo, algunas bibliografías hacen uso de
algoritmos que operan con los símbolos de la base diez para poder traducir cifras
de una base a otra; sin embargo, este proceso genera algunos conflictos en los
estudiantes.
A continuación nombro los conflictos y problemas que he identificado a los
largo de impartir durante 8 años la materia de programación, donde se incluye el
tema de conversión entre sistemas de numeración.
1) La base
La base es la que determina en términos generales a un sistema de
numeración en base b.
En los procedimientos, para pasar de un sistema de numeración de una
base a otra no se trabaja con el término base, se trabaja con sistemas de
numeración específicos. Es decir, por ejemplo, se trabaja con el sistema de
numeración binario, octal, hexadecimal entre otros. Esto considero genera en el
alumno la limitante de estudiar sólo dos o tres sistemas de numeración diferentes
al de base diez.
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
35
2) La cantidad de bases existentes.
Las bases de los sistemas de numeración en base b pueden ser del número
dos en adelante, usando números enteros.
Los estudiantes, cuando trabajan con los procedimientos de conversión
entre sistemas de numeración, tienden a sólo considerar como existentes tres
bases: 10, 2, 16 que son las que regularmente son enseñadas por los profesores,
puesto que estos sistemas son parte del uso más cotidiano.
3) Los símbolos que componen al sistema de numeración.
El número de símbolos diferentes que componen un sistema de
numeración en base b están relacionados con la base y se debe incluir un número
de símbolos equivalente al valor de la base.
Es decir, si la base es diez, diez símbolos diferentes deben ser utilizados
para representar sus cifras; si la base es dos, dos símbolos diferentes serán los
que formen las cifras de este sistema.
Los estudiantes no comprenden el papel de los símbolos en un sistema de
numeración, ya que sólo realizan operaciones con sus procedimientos de
conversión y escriben el resultado; a los símbolos les dan poco interés. De hecho,
si hay alguna equivocación con respecto a los símbolos al realizar alguna
conversión, no se percatan de tal equivocación.
4) La dificultad para leer una cifra representada en otro sistema de numeración
diferente al de base diez.
Los estudiantes suelen leer las cifras de bases diferentes a la base diez,
como si se tratara de una cifra en base diez, confundiéndose así con la cantidad
que representa dicha cifra.
En general considero que existen razones por las cuales los estudiantes no
pueden visualizar algunas cuestiones de este tema; desde un punto de vista
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
36
particular, podemos ver que este tema es limitado por la currícula, por la falta de
aplicación de algunos sistemas de numeración o por el tiempo que se emplea al
impartir dicho tema.
Como se verá más adelante, tomáremos en consideración los problemas
arriba señalados, para el diseño y análisis de actividades que asistan al
aprendizaje de los sistemas de numeración posicionales. En el siguiente capítulo
se presenta el diseño y metodología que se planearon para este estudio.
2.7 RECAPITULACIÓN
En este capítulo nombré algunas ideas referentes a las teorías
constructivistas, a los instrumentos de mediación y al uso de la computadora para
el desarrollo del aprendizaje; además de la importancia que éstos tienen para el
desarrollo de esta investigación.
Por otro lado también he mencionado la importancia que tiene la
tecnología; en particular se menciona el lenguaje Logo por la filosofía educativa
que lo acompaña y la utilidad que le vislumbré para el desarrollo de mi trabajo.
Finalmente nombré las posibles dificultades que tienen los estudiantes para
aprender los elementos que definen a los sistemas de numeración en base b.
En el siguiente capitulo describo el diseño y la metodología que componen
esta investigación.
CAPITULO III
DISEÑO Y METODOLOGIA DEL ESTUDIO
3.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior, mencioné algunas ideas que fundamentan el marco
teórico de esta investigación. Estas fueron motivo de mi interés para elaborar una
secuencia de actividades y estudiar si éstas pueden favorecer en los estudiantes
la identificación de conceptos y conversión de cifras entre diferentes sistemas de
numeración en base b. En este capítulo describo el diseño y la metodología
utilizados en el estudio experimental, para cumplir tal propósito.
En la primera parte de este capítulo describo los objetivos que han
motivado esta investigación. A continuación presento la metodología utilizada para
la recopilación de información, que incluye: un cuestionario (inicial y final),
actividades escritas que hacen uso de lápiz, papel, computadora y entrevistas.
3.2 OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN
Se recuerda que el objetivo de este trabajo es en torno a investigar la
posibilidad de usar actividades computacionales para asistir el aprendizaje de los
sistemas de numeración posicionales.
En particular, a través de las observaciones hechas durante el desarrollo
del trabajo, se pretende constatar si:
El ambiente computacional puede facilitar en estudiantes de bachillerato, la
construcción del concepto de base en un sistema de numeración en base b y la
identificación de las características que deben tener los símbolos que forman las
cifras de dicho sistema, tales como el número de símbolos que debe tener un
sistema de numeración en base b y la comprensión del porqué los símbolos que
forman las cifras deben ser diferentes, a través de la elaboración de programas
que permitan convertir números entre sistemas de numeración en base b.
3.3 DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
Para dar respuesta a las preguntas planteadas en la sección 3.2, llevé a
cabo un estudio experimental que incluyó: la aplicación de un cuestionario el cual
se aplicó al principio y al final de la investigación; actividades para ser
desarrolladas usando lápiz, papel y la computadora; y entrevistas. Éstos, se
resumen abajo y se describen en más detalle más adelante en este capítulo.
3.3.1 Fases del estudio experimental
El estudio tuvo dos fases descritas a continuación:
I) Estudio piloto.
El propósito de este estudio piloto fue hacer una evaluación del contenido
del cuestionario con 8 alumnos (Ver anexo I). También se pilotearon las
actividades para ser desarrolladas utilizando lápiz, papel y la computadora con
otro alumno también integrante del Bachillerato antes mencionado. Esto resultó
muy importante porque permitió modificar algunas preguntas del cuestionario y
formatos utilizados en las actividades. Las modificaciones efectuadas se
describirán en la pregunta o actividad correspondiente. La aplicación de la fase
piloto tuvo una duración de 3.0 horas.
.
II) Fase principal
Esta fase incluye, como mencioné anteriormente, la aplicación de un
cuestionario; el desarrollo de las actividades con lápiz, papel y la computadora;
nuevamente, la aplicación del cuestionario que se aplicó al principio y finalmente
las entrevistas para complementar la información que arrojó el cuestionario
diagnóstico. Es importante mencionar que en el transcurso de la actividad se
incluyeron hojas de trabajo que los estudiantes completaron con sus resultados
obtenidos, los cuales me permitieron obtener mayor información para esta
investigación.
3.3.2 Componentes del estudio principal
a) Cuestionario diagnóstico aplicado antes y después de las actividades
computacionales
i) Un cuestionario diagnóstico se aplicó al principio de la actividad, para
detectar los conocimientos que los estudiantes1 tenían de los sistemas de
numeración.
ii) Se volvió a aplicar el mismo cuestionario al final del estudio. Con esto se
buscaba observar los cambios en los conocimientos de los sistemas de
numeración de los estudiantes, después de haber realizado las actividades.
b) Actividades computacionales de aprendizaje usando lápiz, papel y
Logo
Su propósito es que los estudiantes exploren los elementos básicos que
componen un sistema de numeración y elaboren programas de conversión de
números entre bases, no sólo las incluidas en la currícula sino otras adicionales.
c) Mini-entrevistas
Las entrevistas se aplicaron al finalizar las actividades. En estas entrevistas, se
les pidió a los estudiantes que expresaran cómo identifican a la base y símbolos,
y se indagó sobre su entendimiento de los programas computacionales realizados
que convierten cifras de un sistema de numeración a otro.
3.3.3 Estructura del estudio experimental
La siguiente tabla muestra la estructura general del estudio de campo, así
como la duración de cada una de las etapas de la investigación.
1 Se trabajo con 10 estudiantes de bachillerato como se describe en la sección 3.6.
Como ya se señaló, el estudio experimental contiene dos fases, la piloto y
una principal. En la principal hubo cuatro etapas: aplicación del cuestionario; una
etapa de actividades usando lápiz, papel y la computadora; nuevamente la
aplicación del cuestionario; y entrevistas.
Duración Nº de alumnos
Nº de
sesiones
Tiempo por
sesión
Total de horas
Estudio piloto 1 8 1 ½ hora 30 min.
Estudio piloto 2 1 2 1 ¼ hrs. 2.30 hrs.
Cuestionario 10 1 20 minutos 20 min.
Actividades para aprender
funciones de Logo
10 5 2 hrs. 10 hrs.
Actividades usando lápiz,
papel y la computadora
10 2 2 hrs. 4 hrs.
Cuestionario 10 1 20 minutos 20 min.
Entrevistas 6 Duración promedio de cada entrevistas 5
minutos
Tabla 2
Los instrumentos utilizados para la toma de información fueron los siguientes:
! Observaciones de campo
! Materiales escritos: los cuestionarios; las hojas de trabajo
! Audio grabaciones de entrevistas.
3.4 DESCRIPCIÓN DEL DESARROLLO DE LA FASE PRINCIPAL
En esta sección describo las preguntas del cuestionario diagnóstico y las
actividades que se llevaron a cabo para la realización de este trabajo.
3.4.1 Descripción de la población que participó en la fase principal
El experimento se aplicó a un grupo de 10 estudiantes de quinto semestre
del Bachillerato General Manuel Bear Sánchez que pertenece al estado de
Puebla. Estos jóvenes ya habían estudiado el tema sistemas de numeración
posicionales en el primer grado de secundaria, además de ser alumnos que llevan
un año cursado de la capacitación en computación en su Bachillerato.
Estos estudiantes fueron 3 varones (Miguel Ángel, Ramón y Gerardo) y 7
mujeres (Linsay, Karen, Amabilia, Luz, Griselda, Margarita Jenet); ellos tenían las
siguientes características:
" Cursaban el 5º semestre de Bachillerato General con un promedio
de edad de 16 años.
" Pertenecen a clase media baja.
" Su promedio general oscila entre 8 y 9 de calificación
" Durante las actividades los estudiantes trabajaron en parejas
formando 5 equipos:
1. Griselda - Lindsay
2. Luz - Miguel Angel
3. Margarita - Janet
4. Amabilia - Karen
5. Gerardo - Ramón
Estos estudiantes no contaban con experiencia en el manejo del lenguaje
Logo. Las actividades para aprender a usar este lenguaje se desarrollaron en un
escenario extra clase, durante 10 sesiones de una hora cada una (Ver tabla X
Pág. 42).
3.4.2 Metodología del experimento principal
Como se resumió al principio del capítulo la investigación constó de varias
etapas: cuestionario inicial, actividades computacionales, cuestionario final y
entrevistas.
En esta sección se describen los materiales, el equipo utilizado en el estudio
experimental y el desarrollo del mismo.
# Para la resolución inicial del cuestionario diagnóstico, los estudiantes no
tuvieron acceso a ningún tipo de calculadora, utilizaron únicamente papel y
lápiz. La aplicación de este cuestionario tuvo una duración de 20 minutos.
# Para las actividades usando lápiz, papel y la computadora, los estudiantes
utilizaron como antes dije lápiz, papel y la computadora con la cual,
programaron con Logo por parejas de alumnos.
El trabajar con parejas en una sola computadora fomenta la discusión y
enriquece las iniciativas de exploración y construcción por parte de los alumnos
(Sacristán, 2000, p. 15).
Al final de cada actividad se les dieron hojas de trabajo a los alumnos en las
que anotaron sus resultados. Su finalidad era ayudarlos a observar los símbolos
de sus resultados de conversión y alertarlos por si algún símbolo no formaba parte
de su sistema de numeración (Identificar que la conversión realizada es errónea
por medios de los símbolos de la conversión resultante – Capítulo II, Sección 6)
# Para la resolución final del cuestionario, los estudiantes usaron lápiz,
papel o la computadora a diferencia de la aplicación inicial del cuestionario
diagnóstico.
# Las mini entrevistas se realizaron con 4 estudiantes participantes en este
estudio. Estas fueron grabadas en audio casete y posteriormente se realizó
su trascripción.
Es importante mencionar que el diseño y desarrollo de todas las etapas de
la investigación, desde el estudio piloto hasta las mini entrevistas, las realizó el
investigador y fue el que aplicó las actividades a los estudiantes . Por lo tanto,
este trabajo de investigación utilizó una metodología observante participativa.
3.4.3 Resumen de las sesiones de trabajo
En este punto se describe lo que se realizó en cada una de las sesiones
que se tuvieron con los estudiantes que participaron para llevar a cabo esta
investigación.
$ Primera sesión
Debido a que los 10 estudiantes no contaban con experiencia en el manejo
del software Logo, la primera sesión se utilizó para preparar a los alumnos en el
manejo general del software Logo.
En esta actividad se enseñaron las instrucciones para manejar los comandos que
permitieran:
A. Manejar la línea de ejecución
B. Editar un fichero
C. Guardar el fichero
D. Cargar un fichero
E. Ejecutar el contenido de un fichero
F. Reiniciar la ejecución del contenido de un fichero
G. Trazar el contenido de un fichero
$ Segunda, tercera, cuarta y quinta sesión
En la segunda, tercera, cuarta y quinta sesión, se trabajaron las actividades
1, 2, 3, 4, 5 (Ver anexo III) de familiarización con el lenguaje Logo y el desarrollo
de las mismas se realizó de acuerdo a lo siguiente:
Partiendo de la lista de comandos que se enseñaron en la primera sesión,
se les dio la sintaxis de cada uno de ellos, además de ejemplos de programas que
incluyeron las funciones estudiadas y posteriormente se les dejó unos ejercicios
con los que tuvieron que usar los comandos expuestos.
$ Sexta sesión
En la sexta sesión se trabajaron las actividades 6, 7, 8 (Ver anexo IV) de
conversión de números entre bases numéricas.
La actividad 6 se desarrolló partiendo de los algoritmos de conversión de
cifras de un sistema de numeración de base 10 a base X, usando lápiz y papel.
Posteriormente, en esta misma actividad se transitó de un algoritmo manual a un
computacional. La actividad 7 inició con la elaboración de 3 programas que
convirtieron de un sistema de numeración de base 10 a base 5, 8, 4 por separado.
En la actividad 8 se transitó de los programas particulares a un programa que
convierte de base 10 a cualquier base.
$ Séptima sesión
En la sexta sesión se trabajo las actividades 9, 10, 11(Ver anexo V) de
conversión de números entre bases numéricas.
La actividad 9 se desarrolló partiendo de los algoritmos de conversión de
cifras de un sistema de numeración de base X a base 10, usando lápiz y papel.
Posteriormente, en esta misma actividad se transitó de un algoritmo manual a un
computacional. La actividad 10 inició con la elaboración de 3 programas que
convirtieron de un sistema de numeración de base 5, 8, 4 a base 10 cada uno por
separado. En la actividad 11 se transitó de los programas particulares a un
programa que convirtió de cualquier base a base 10.
A continuación, presento una descripción más detallada de cada una de las
etapas y lo materiales que formaron la fase principal de la investigación.
3.5 Descripción del cuestionario
Los objetivos de este cuestionario fueron:
i) Contar con evidencia acerca de los sistemas de numeración que los
estudiantes pueden identificar.
ii) Saber cómo los estudiantes convierten cifras de un sistema de
numeración a otro.
Este cuestionario se aplicó al inicio y después de las actividades en lápiz,
papel y computacionales. La única diferencia en sus aplicaciones fue en la
segunda aplicación ya que a los estudiantes se les dio libertad de usar lápiz,
papel, calculadora o computadora; es decir dejamos al estudiante elegir que
usara para resolver actividades del cuestionario. Como Berger (1998, p.15)
comenta, “si uno cambia las herramientas de pensamiento disponibles para un
niño su mente tendrá una estructura radicalmente diferente”. Inmediatamente
después de que entregaron los cuestionarios se les aplicó una entrevista a cinco
de ellos.
El cuestionario (incluido en el ANEXO II) contiene 5 preguntas que se
describen a continuación.
El tipo y cantidad de las preguntas se determinaron a raíz de la
experimentación piloto en la que se probó un diseño preliminar del cuestionario
(Ver ANEXO I).
Pregunta No 1
¿Cuáles son los símbolos que componen el sistema de numeración en base 10?
a) ¿Cuantos símbolos se utilizan en el sistema de numeración de base 2?
b) Convierte un 14 de base 10 a base 2, especificando cada uno de los pasos que
realizas.
c) Si un 1 1 0 está escrito en base 2, ¿A qué equivale en la conversión en base
10?
En esta pregunta el objetivo era conocer si los estudiantes identificaban los
símbolos que componen estos sistemas de numeración en base 2 y 10 y la base
a la que pertenecen; además, si podían convertir números de binario a decimal y
viceversa. Por otro lado se buscaba investigar el método que ellos utilizaban para
hacer sus conversiones como: algoritmos, tablas, calculadora o computadora. Es
importante mencionar que las cifras de conversión utilizadas fueron pequeñas
para evitar exceso de operaciones.
Se esperaba que el estudiante respondiera que los símbolos que compone
la base diez son 10 y para el sistema binario respondiera que son 2 los símbolos,
además que intentará recordar cómo se convierte un número de base diez a base
dos.
Hay que recordar que los símbolos forman parte de la estructura que compone a
los sistemas de numeración posicionales. En esta pregunta se involucran a los
símbolos y a los algoritmos de conversión con la finalidad de observar en donde
puede radicar la dificultad que tiene los estudiantes al nombrar los símbolos que
ellos consideran pertenecen a determinado sistema de numeración (Ver Capitulo
II, Sección 6); con esta pregunta también se quería observar los métodos
utilizados por los alumnos para realizar conversiones.
Pregunta No 2
Contesta los incisos a y b.
a) ¿Qué símbolos componen un sistema de numeración en base 8?
b) Considera la siguiente operación en base 10
4+7=11
Plantea y resuelve esta misma operación en base 8.
Para esta pregunta el objetivo era conocer si los estudiantes sabían de la
existencia del sistema de numeración en base 8 y qué operaciones podían realizar
con este.
Se esperaba que los estudiantes se guiaran de la base para responder el
primer inciso; en el siguiente inciso de la pregunta se esperaba saber si ellos
pueden realizar operaciones con cifras expresadas en base 8 o simplemente que
método usan para realizar sus conversiones entre estas bases.
La base 8 es incluida en la currícula para bachilleratos (Ver Capítulo, II Sección
6). Para nosotros es importante observar las características que más resaltan los
estudiantes de esta base, que no es utilizada cotidianamente, para que nos ayude
en la formación de nuestras actividades.
Pregunta No 3
Supongamos que se sustituyen los símbolos de la base 10 de la siguiente manera.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
! " # $ & $ ! % " &
a) ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación ! #+ &= ______
b) ¿A qué número equivale?
c) ¿Qué cambios tiene el sistema de numeración en base 10 al cambiar los
símbolos?
El objetivo de esta pregunta era saber si los estudiantes interpretan como
símbolos a los 10 números que forman las cifras que pertenecen al sistema de
numeración en base diez; es decir, si ellos interpreten a los 10 números sólo como
representaciones que en algún momento se les asignaron.
Para esta pregunta se esperaba que el estudiante respondiera que al
cambiar los símbolos, el sistema de numeración también cambiaría. Me
interesaba conocer esta respuesta para enfocar una parte de la actividad principal
sobre los símbolos que componen un sistema de numeración.
Pregunta No 4
Inventa un sistema de numeración distinto al de base 10 y contesta las siguientes
preguntas:
a) ¿Cuáles son los símbolos que componen tu sistema?
b) ¿A qué base corresponde tu sistema?
c) ¿Cómo escribirías 89 usando tu sistema?
Para esta pregunta el objetivo era conocer si los estudiantes pueden formar
un sistema de numeración propio, describiendo sus símbolos y la base a la que
pertenece.
Se esperaba que los estudiantes formaran un sistema de numeración con
pocos símbolos y definieran las características básicas de este mismo; además se
pretendía que intentaran recordar los algoritmos que realizan conversiones entre
bases.
Como mencioné anteriormente la currícula no maneja algoritmos generales
para realizar conversiones (Ver Capitulo II, Sección 6); sin embargo para este
trabajo es importante formular actividades con las que el estudiante intente formar
y entender dichos algoritmos.
Pregunta No 5
¿Conoces alguno de los siguientes sistemas de numeración? Descríbelos y/o
explica para qué se ocupan.
Base 60__________________________
Base 16__________________________
Base 24 _________________________
Base 20___________________________
El objetivo de esta pregunta era saber si los estudiantes le han dado algún
uso real a los sistemas de numeración mencionados. Se esperaba que ellos
dieran respuestas por lo menos al de base 60 y 24, ya que estos son de uso
cotidiano para medir las horas y los días respectivamente.
Estas cinco preguntas ver (Anexo II) fueron el resultado de pilotear con 11
preguntas ver (Anexo II), los cambios que principalmente surgieron fue el
reacomodar las nueve preguntas del cuestionario piloto en incisos, de lo cual sólo
quedaron cinco. Este reacomodo surgió de las respuestas dadas por los alumnos
en el cuestionario piloto, de esta manera nos parecieron más productivo tener sólo
cinco. Se anularon las preguntas uno y dos del cuestionario piloto ya que
consideramos arrojaron información muy repetitiva.
3.6 Descripción de las actividades con lápiz, papel y computadora
Es importante recordar el objetivo principal del diseño de estas actividades,
el cual es que el estudiante realice programas que le permita convertir cifras de un
sistema de numeración de base 10 a cualquier base y viceversa, así como la
construcción de sistemas de numeración donde describan sus símbolos y la base
a la que pertenecen. El desarrollo de las actividades se realizó usando algoritmos
de conversión de cifras entre bases. Para ello se utilizó el lenguaje computacional
Logo2, ya que éste permite ir construyendo casos específicos hasta llegar a la
generalización del algoritmo.
Logo fue usado por el hecho de ser un software con estructuras de control
muy simples. La modularidad lo hace potente, además de poderse expresar la
recursividad con pocas líneas de código, lo cual es importante ya que, en este
trabajo, la recursividad forma a los programas planeados. También, como se
mencionó en el capítulo II, Logo es una herramienta idónea para formular el
aprendizaje, ya que facilita actividades de investigación y exploración (Papert
2 Para el desarrollo de las actividades se utilizó la versión MSWLOGO del lenguaje Logo la cuál ofrece los siguientes recursos: Un editor que permite captura los programas; la opción EJECUTAR que permite correr el programa para realizar pruebas particulares; la opción PASO que permite ir ejecutando el programa instrucción por instrucción y la opción TRAZAR que despliega un registro de los procesos que se están ejecutando.
1980). De este modo Logo se adecua a las actividades planeadas para esta
investigación.
Las actividades se diseñaron construyendo (programando) diferentes
funciones en Logo que incorporan los algoritmos para convertir cifras de un
sistema de numeración a otro. Se buscaron cifras adecuadas con las que el
estudiante ejecutaría sus programas, y se utilizaron las mismas cifras para los
casos de conversión de base 10 a base X y viceversa.
Como ya había mencionado, las actividades se aplicaron a 10 alumnos
divididos por parejas, los cuales antes ya habían respondido el cuestionario
diagnóstico: las actividades con lápiz, papel y computadora se desarrollaron en un
horario extra-clase. El tiempo de aplicación fue de 2 sesiones de 2 horas cada
una.
La secuencia completa de actividades constó de 7 actividades, dentro de
las cuáles habían varios ejercicios en cada una. Las primeras cinco actividades
fueron actividades de familiarización con Logo, ya que, como se mencionó
anteriormente, no tenían ninguna experiencia en el manejo de este lenguaje. Estas
cinco actividades se decriben en la siguiente sección y se muestran completas en
el (ANEXO III). Las siguientes dos actividades (actividades 6 y 7) tratan
específicamente sobre la conversión entre bases numéricas. Éstas se describen
en la sección 3.6.2.
Para todas las actividades, el primer ejercicio fue dirigido por el profesor-
investigador y los restantes ejercicios fueron resueltos y llevados a cabo por los
estudiantes sin dirección del profesor.
3.6.1 Actividades de familiarización con el lenguaje Logo
Actividad no 1 Actividad de familiarización con Logo
En esta actividad, los estudiantes manejaron comandos a partir de la línea
de ejecución; el propósito era familiarizar a los estudiantes con el uso de los
comandos básicos de Logo. Es decir, en la primera parte trabajaron con
comandos que ocuparan las funciones AV, GD, GI que el investigador indicó,
usando así la línea de comando de Logo; en la otra parte se trabajaron con los
menús que integran el ambiente de trabajo. Por ejemplo: NUEVO, CARGAR,
GUARDAR, EDITAR FICHERO, etc.
Se dieron a los estudiantes las siguientes instrucciones:
Para avanzar y girar la tortuga a la izquierda y a la derecha, ejecute las
siguientes instrucciones:
AV 55
GD 40
AV 30
GD 60
GI 55
Es importante mencionar que los estudiantes ya han manejado otros
programas en donde se trabaja el manejo de archivos.
Actividad No 2 Actividad para el manejo de operaciones matemáticas
En esta actividad, los estudiantes manejaron pequeños programas que
contenían operadores matemáticos; el propósito era que los estudiantes
conocieran la forma en que se realizan las operaciones matemáticas en Logo. Es
decir, en esta actividad se ejecutaron operaciones con los operadores +,-,*,
POTENCIA, además de la función DEV.
Una de las funciones con las que se trabajo fue SUMACUATRO, la cual
corresponde a la función f(x)=x+4, ya que esta involucra uno de los operadores
antes mencionados.
PARA SUMACUATRO :NUM
DEV: NUM+4
FIN
Para obtener información del trabajo de los estudiantes con Logo, se les
pidió realizaran funciones donde ocuparan cada uno de los operadores.
Actividad No 3 Actividad para el manejo de condicionales
En esta actividad, se les proporcionó a los estudiantes programas que
trabajan con el comando condicional (SI), con el objetivo de que ellos conocieran
el funcionamiento del mismo. Es decir, en esta actividad se ejecutaron algunos
ejemplos guiados de programas que incluyen a SI; además del comando
[ALTO].
Un ejemplo de los programas que trabajaron los estudiantes fue el
siguiente procedimiento llamado COMANDOSI, que contiene una instrucción
condicional que usa el comando SI. Este procedimiento lo que hace es que
cuando el número de entrada es igual a 10 se traza una línea de 40 unidades.
PARA COMANDOSI :NUM
SI :NUM = 10 [AV 40]
FIN
Para obtener información del trabajo de los estudiantes, se les pidió
realizaran algunos ejercicios relacionados con el comando SI.
Actividad no 4 Actividad para el manejo de la recursividad
El objetivo de esta actividad era que los estudiantes manejaran programas
que involucraran el tema de recursividad, por medio de problemas que necesitaran
ser implementados recursivamente.
Se trabajó con un procedimiento llamado SUMAS, que contiene una
instrucción recursiva (DEV (SUMAS :NUM-1) + :NUM) que permite dar como
resultado final la suma de los números que descienden al numero de entrada,
hasta que su descenso llega al cero.
PARA SUMAS :NUM
SI :NUM=0 [DEV 0]
DEV (SUMAS :NUM-1) + :NUM
FIN
Posteriormente, se les pidió que realizaran un programa que calculara el
factorial de un número, ya que este para ser programado también necesita utilizar
recursividad.
Actividad no 5 Actividad para el manejo de cadenas
En esta actividad los estudiantes ejecutaron comandos que hacen
referencia al manejo de cadenas de texto; el propósito era que ellos
comprendieran que realizan estos. Los estudiantes trabajaron primero con
ejemplos guiados por el profesor-investigador de manera oral y posteriormente
ellos ejecutaron otros. Por ejemplo.
DEV CUENTA :CADENA
Esta instrucción cuenta el número de caracteres que compone la cadena.
3.6.2 Actividades de conversión de números en diferentes bases
Actividad no 6 Actividad para la conversión de cifras de un sistema de
numeración de base x a base 10
(i) Actividad no 6 usando Lápiz y papel
En la primera parte de esta actividad los estudiantes trabajaron
conversiones de base X a base 10 usando lápiz y papel; el propósito fue que se
familiarizaran con el procedimiento para realizar conversiones base X a base 10,
ya que este posteriormente sería implementado en Logo.
En la primera parte de este ejercicio se dieron 5 ejemplos (VER ANEXO IV)
con la estructura siguiente:
Dado un número (110)2 en base dos, convertirlo a base diez.
1) Separar los números de la cifra dada en base X.
2) Numerar los números de la cifra de izquierda a derecha. 3) Elevar la base X de la cifra dada, con cada una de las numeraciones anteriores. 4) Multiplicar los números separados en el paso uno, por cada una de las operaciones realizadas en el paso tres, según la posición que les corresponda.
Estos ejemplos fueron guiados por el profesor-investigador de manera oral
y posteriormente los estudiantes realizaron 5 ejercicios (Ver ANEXO 4), a
continuación muestro uno de ellos.
Dado un número (310)5 en base cinco, convertirlo a base diez, si sobran cuadros déjalos en blanco. 1) 2) 3)
1 1 0
2 1 0
1 1 0
22 21 20
1 1 0
+ * 1 22 + * 1 21 = * 0 20
10
6
4) (ii) Actividad no 6 usando computadora
En esta actividad se les pidió a los estudiantes que usaran el método de los
ejemplos para comprender el algoritmo de conversión de base X a base 10 el cual
fue explicado de manera oral por el profesor-investigador con el apoyo de las
hojas de trabajo
.
1 Leer número_a_convertir
2 total_conversion=0
3 apunta_al_digito=1
4 num_digitos=tamaño(numero_a_convertir)
5 digito =numero_a_convertir[apunta_al_digito]
6 si apunta_al_digito>numero_de_digitos entonces
6.1.1 imprimir conversión
6.1.2 ir a paso 7
si no:
6.2.1 total_conversion=total_conversion+digito*2^num_digitos-1
6.2.2 apunta_al_digito=apunta_al_digito+1
6.2.3 ir a paso 5
7 fin.
El objetivo de darles este algoritmo a los estudiantes es ayudarlos en la
programación del algoritmo computacional.
+ * + * = * + * + * 10
Posteriormente en esta actividad se les presentó a los alumnos un
programa de conversión de base 2 a base 10, el cual fue guiado por el profesor-
investigador y analizado en por los estudiantes en parejas; el propósito fue que
ellos comprendieran las instrucciones que forman el programa de conversión de
base 2 a base 10 escrito en Logo. Posteriormente se realizaron algunas pruebas
de conversión con este algoritmo.
El programa de conversión en Logo de base 2 a base 10, se muestra a
continuación
PARA CONVIERTE_DOS_DIEZ :NUM
PROCESA_DIEZ :NUM (CUENTA :NUM) 1 0
FIN
PARA PROCESA_DIEZ :NUM :NUM_DIGIT :POS :TOTAL
SI :POS > (CUENTA :NUM) [ESCRIBE :TOTAL ALTO]
PROCESA_DIEZ :NUM :NUM_DIGIT-1 :POS + 1 :TOTAL +
((ELEMENTO . :POS :NUM) * (POTENCIA 2 :NUM_DIGIT - 1))
FIN
Este algoritmo posteriormente fue modificado por los estudiantes para 5
bases diferentes, con ellos realizaron pruebas y escribieron sus resultados en las
hojas de trabajo. Más adelante programaron el algoritmo general de conversión de
base X a base 10, donde X pertenece al intervalo [2...46] y lo ejecutaron usando
ejemplos anteriores y otros que ellos decidieron explorar.
Actividad no 7 Actividades para la conversión de cifras de un sistema de
numeración de base 10 a base x
En esta actividad los estudiantes trabajaron conversiones de base 10 a
base X primero usando lápiz y papel; el propósito fue que se familiarizaran con el
procedimiento que permitió realizar conversiones de base 10 a base X, ya que
éste sería posteriormente implementado en Logo.
(i) Actividad no 7 usando lápiz y papel
Para estas actividades se les mostraron a los estudiantes 5 ejemplos (Ver
ANEXO V), que fueron explicados por el profesor-investigador de manera
expositiva ayudándose de las hojas de trabajo dadas en el anexo V. A
continuación muestro uno de ellos.
Ejemplo 1 Convertir el número 6 de base diez a su equivalente en base dos.
610 = 2 Posteriormente los estudiantes realizaron 5 ejercicios (Ver ANEXO V), a
continuación muestro uno de ellos.
Ejemplo 2 Convertir el número 29 de base diez a su equivalente en base dos.
3
2
da 1
Base deseada
con 1 de residuo Numero en base
diez
6
2
da 3
Base deseada
con 0 de residuo Número en base diez
1
2
da 0
Base deseada
con 1 de residuo Numero en base
diez
1 1 0
2
da
Base deseada
con de residuo Número en base diez
29
2
da
Base deseada
con de residuo Número en base diez
Número en base diez
(ii) Actividad no 7 usando computadora
Continuando con esta actividad se les pidió a los estudiantes que usaran el
método de los ejemplos para que crearan un bosquejo del algoritmo de conversión
de base 10 a base X, después se les presentó el algoritmo formal de conversión.
El objetivo de darles el algoritmo a los estudiantes fue familiarizarlos con las
instrucciones que posteriormente ocuparían para programar.
Algoritmo en forma computacional
1 Se define al número convertido como una variable que en un principio es un conjunto (lista) vacío resultado = [ ]
2 Se asigna al número en base 10 el nombre de una variable: número entero (número / base)
residuo (número / base)
3 El nuevo resultado de la conversión es ahora la concatenación del residuo a la izquierda del resultado anterior: resultado := [residuo (número/base) resultado] Si entero (número/base) = 0, alto (el proceso termina)
y se da salida al valor de resultado en ese momento
24
4 Se le asigna a número el valor de la parte entera resultado de la división del numero original entre la base deseada número := entero (número / base) y se repiten los pasos anteriores para el nuevo número
Para finalizar con esta actividad se les presentó a los alumnos un programa
que convierte de base 2 a base 10, el cual fue guiado por el profesor-investigador
y analizado por los estudiantes en parejas; el propósito fue que ellos
comprendieran las instrucciones que forman el programa de conversión de base X
a base 10 escrito en Logo. Posteriormente se realizaron algunas pruebas de
conversión con este algoritmo.
El programa de conversión en Logo llamado CONVIERTE_A_BIN y que se
utiliza para convertir un numero en base diez a base dos se muestra a
continuación
PARA CONVIERTE_A_BIN :NUM
HAZ "CADENA [ ]
PROCESABIN :NUM
DEV :CADENA
FIN
25
PARA PROCESABIN :NUM
SI :NUM = 0 [ALTO]
HAZ "CADENA (PP RESTO :NUM 2 :CADENA)
PROCESABIN (ENTERO :NUM / 2)
FIN
Este algoritmo posteriormente fue modificado por los estudiantes para 5
bases diferentes, además de realizar pruebas con ellos y escribir sus resultados
en las hojas de trabajo. Más adelante programaron el algoritmo general de
conversión de base 10 a base X, donde X pertenece al intervalo [2...36] y lo
ejecutaron usando ejemplos anteriores y otros que ellos decidieron explorar, esto
se hará con el fin de que los estudiantes superen el conflicto de trabajar con
algoritmos de algunas bases específicas, ver (Ver Capítulo II, Sección 6)
Las actividades 6 y 7, antes de ser aplicadas fueron piloteadas, el cambio
entre las actividades piloto y las actividades aplicadas no fue su estructura sino
sus ejercicios.
En las actividades piloto, los ejercicios de la actividad 6 y 7 fueron
completamente diferentes. Mientras que en las actividades que se aplicaron, los
ejercicios de la actividad 6 son los mismos a los de la actividad 7, “pero con el
método opuesto”. Es decir primero (en la actividad 6) los ejercicios se convierten
de base X a base diez y posteriormente (en la actividad 7) se convierten de base
diez a base X.
Los cambios realizados a la actividad 6 y 7 piloto, dieron la posibilidad a los
estudiantes de comparar sus respuestas obtenidas de la actividad 6 con las de la
actividad 7 y verificar mediante estos resultados que los métodos de conversión
que construyeron fueron opuestos.
3.7 RESUMEN
En este capítulo mostré el diseño y la metodología que integran a esta
investigación, además de la descripción de cada una de las actividades.
26
En el siguiente capítulo se presenta la descripción y el análisis de los
resultados de las actividades realizadas por los alumnos.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
65
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
4.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior, mencioné el diseño y la metodología que usé para
planear las actividades de este trabajo; enfocadas al estudio de los sistemas de
numeración en base b. En este capítulo describo y analizo los resultados que
arrojaron esas actividades.
4.2 RESULTADOS OBTENIDOS EN EL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
Antes de aplicar las actividades, los estudiantes respondieron un
cuestionario inicial referente a los sistemas de numeración; ellos sólo identificaron
a dos sistemas de numeración el de base dos y diez aunque no del todo ya que
sólo identificaron los símbolos que componen dichos sistemas. Ellos no pudieron
explicar el papel que juega la base, además no recordaron los métodos de
conversión de números entre sistemas de numeración de diferentes bases.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
66
En el capítulo V se muestra la comparación de los resultados obtenidos del
cuestionario inicial y el final el cual se aplicó a los estudiantes después de las
actividades.
4.2.1 Resultados obtenidos de las actividades con lápiz, papel y
computadora relacionadas con los sistemas de numeración en base b
Aquí presento el análisis de los resultados de cada actividad mediante
tablas correspondientes.
Las tablas fueron llenadas con las respuestas: correcto, incorrecto, no
terminó y no contesto las cuales reflejan lo siguiente:
Correcto: El equipo realizó su procedimiento y lo ejecutó.
Incorrecto: El equipo realizó mal su procedimiento.
No terminó: El método usado por el equipo es el correcto, pero no fue
concluido.
No contesto: El equipo dejó en blanco su respuesta
4.2.1.1 Resultados obtenidos en las actividades para convertir una cifra de
base X a base 10
En esta sección se presentan los resultados obtenidos en la aplicación de
las actividades planeadas para convertir números de un sistema de numeración de
base X a base 10, donde X ∈ {2...n}, y n es < 36 (sólo se abarcan dígitos y letras
del abecedario).
(A) Resultados obtenidos en la actividad Nº 6 inciso (i)
Recordemos que en la Actividad no 6 inciso (i) los estudiantes trabajaron
conversiones de cifras de bases 2, 8, 4, 5 a base 10 (Ver ANEXO IV) usando lápiz
y papel con el propósito que se familiarizaran con el procedimiento que realiza
conversiones entre cifras de diferentes bases.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
67
En esta parte para introducir a los alumnos al algoritmo de conversión se
les mostraron 5 ejemplos los cuales fueron guiados por el investigador; estos
tuvieron la misma estructura, el cambio entre ellos fueron las bases y las cifras
utilizadas, al igual que en los 4 ejercicios que se les dieron a los alumnos para
resolverlos, en donde los resultados arrojados se muestran en la tabla 7.
Tabla No 7
(Respuestas de las preguntas 1, 2, 3, 4, 5 de la actividad 6) Alumno Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4
Convierte de base 2 a 10
Convierte de base 8 a 10
Convierte de base 4 a 10
Convierte de base 5 a 10
Amabilia - Karen
Correcto
Correcto
Incorrecto
Incorrecto
Gerardo - Ramón
Correcto
Correcto
Incorrecto
Correcto
Griselda - Lindsay
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Luz - Miguel A.
No terminó
No terminó
No terminó
Correcto
Margarita - Janet
No terminó
Correcto
Correcto
Correcto
Total de equipos que respondieron
la Pegunta completamente
3
4
2
4
• Para la primera pregunta de la secuencia didáctica de los cinco equipos 3
realizaron la conversión correctamente y 2 de ellos no concluyeron su
respuesta.
De los resultados del cuestionario inicial se observó que la mayor parte de
alumnos sabían de la existencia del sistema binario, aunque no sabían realizar
conversiones (Ver capítulo V); además, hay que hacer notar que el sistema de
numeración en base 2 si ha sido usado en algún momento por los estudiantes.
• Para la segunda pregunta de la secuencia didáctica de los cinco equipos 4
realizaron la conversión correctamente y 1 de ellos no concluyó su
respuesta.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
68
Es importante mencionar que los estudiantes no sabían de la existencia del
sistema de numeración en base 8 ya que en el cuestionario inicial en la pregunta
acerca del sistema de numeración posicional octal (de base ocho), ningún
estudiante respondió. Por otro lado sabemos que este sistema de numeración
también es regularmente usado ya que lo encontramos en las calculadoras
científicas de bolsillo, en la misma calculadora de la computadora y algunas
funciones de lenguajes de programación, como lo son Pascal, C++, Visual Basic,
etc.
• Para la tercera pregunta de la secuencia didáctica de los cinco equipos 2
equipos de alumnos realizaron las conversiones sin problemas y 3 equipos
tuvieron equivocación en su procedimiento al intentar resolver el problema.
En la figura 14 se muestra la equivocación de Gerardo y Ramón: ellos
incluyeron una cantidad que no debería formar parte de la conversión, la
cual fue 0*42.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
69
Figura 14 La imagen muestra la equivocación de los estudiantes cuando incluyen 0*42 en su
suma, pensando que se trata de un 1*42
Otra equivocación fue la de Amabilia y Karen ya que incluyeron el número 1
para rellenar el primer cuadro, el cual debió haber quedado vacío (Ver figura 15):
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
70
Figura 15 La imagen muestra la confusión de Amabilia y Karen al agregar el número 1 en el
cuadro que se quedo vacío, lo cual hace el resultado de la conversión incorrecto.
• Para la cuarta pregunta de la secuencia didáctica de los cinco equipos 4
realizaron la conversión correctamente pero uno de ellos (Amabilia y Karen)
contestó de manera incorrecta.
La equivocación de Amabilia y Karen fue en el procedimiento ya que usaron
la base 2 en lugar de la base 5 como se les pidió en el ejercicio (Ver figura 16).
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
71
Figura 16 La imagen muestra como Amabilia y Karen se equivocaron ya que hicieron una
conversión de base dos a base diez en lugar de hacerla de base cinco a base 10.
Los sistemas de numeración en base 4 y 5 no tienen mucha utilidad; sin
embargo, fue importante tratar este sistema de numeración ya que cuenta con 4 y
5 símbolos respectivamente y es sencillo de manipular al realizar operaciones de
conversión.
Por los resultados anteriores hemos visto que ocho de diez estudiantes
realizaron la conversión de cifras de una base a otra después de aplicarles las
actividades en lápiz y papel.
(B) Resultados obtenidos en la actividad Nº 6 Inciso (ii)
Recordemos que en la Actividad no. 6 inciso (ii) los estudiantes trabajaron
conversiones de cifras de base X a base 10 usando computadora; con el
propósito que los estudiantes trabajaran los algoritmos de conversión de cifras
entre bases usando programas implementados en Logo.
Esta segunda parte se dividió en dos las cuales, muestro a continuación:
Se pidió base cinco
Uso base dos
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
72
I) En la primera parte, el profesor – investigador explicó a los alumnos el
algoritmo de conversión de base 2 a base diez; con el propósito que se
introdujeran a la programación de funciones y procedimientos.
El algoritmo usado para esta actividad ya lo habíamos mencionado en el
capítulo III actividad nº 6 inciso (ii). Por otro lado existen muchos autores (e,g,
Mano,1993) que han incluido es sus libros procedimientos de conversión de cifras
entre sistemas de numeración en bases b.
II) En la segunda parte, se les dio a los estudiantes el programa
CONVIERTE_DOS_DIEZ (Ver anexo 4 Pág. 130) escrito en Logo que convierte un
número de base 2 a base 10; este programa fue dado y explicado por el profesor-
investigador para que los estudiantes tuvieran un ejemplo de partida mostrando
cómo programar la conversión de números entre bases de los diversos sistemas
de numeración en base b, y sobre el cuál pudieran programar modificaciones.
Para completar esta actividad se les pidió a los estudiantes que
programaran los siguientes algoritmos:
• De base 8 a 10
• De base 4 a 10
• De base x a 10, donde x ∈ [2...10]
• De base X a 10, donde X ∈ [2...36], (símbolos usados del 0...9 y letras del
a...z )
Los resultados dados por los alumnos que realizaron esta programación se
muestran en la tabla número 8.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
73
Tabla No 8
(Cuatro programas pedidos en las actividades de conversión de base X a base 10 usando Logo)
Programas de conversión de cifras entre bases usando Logo
Alumnos
De base 8 a 10
De base 4 a 10
De base x a 10
De base X a 10
Amabilia - Karen
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Gerardo - Ramón
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Griselda - Lindsay
Incorrecto
Incorrecto
Correcto
No terminó
Luz - Miguel A.
Correcto
Correcto
Correcto
No terminó
Margarita - Janet
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Total de equipos que respondieron la
Pegunta
4
4
5
3
• Para el algoritmo de conversión de base 8 a base 10 de los cinco equipos
de personas, 4 realizaron el programa y lograron ejecutarlo; y 1 más realizó
la programación de este algoritmo, pero no logró ejecutarlo.
• Para el algoritmo de conversión de base 4 a base 10 de los cinco equipos
de personas, 4 realizaron el programa y lograron ejecutarlo; y 1 realizó la
programación de este algoritmo, pero no logró ejecutarlo.
• Para el algoritmo de conversión de base x a base 10, los cinco equipos de
personas, realizaron el programa y lo ejecutaron.
• Para el algoritmo de conversión de base X a base 10 de los cinco equipos
de personas, 3 realizaron el programa y lo ejecutaron, 2 no completaron la
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
74
programación de este algoritmo, a esto le argumentamos la falta de tiempo
y el entendimiento de la función que convierte números a letras. Sin
embargo creemos que hubo entendimiento del algoritmo ya que
posteriormente se les proporcionó y se les pidió realizaran algunas
conversiones ayudándose de este, los resultados se ven en la tabla 9.
Seis de los estudiantes realizaron la programación, sin mayor problema, de
los procedimientos que convierten un número expresado en una base cualquiera a
un número en base 10.
Es importante mencionar que los estudiantes en el cuestionario inicial no
respondieron cuando se les preguntó si conocían o habían ocupado algún sistema
de numeración; sin embargo la mayoría de ellos realizaron la programación con
éxito.
Por otro lado, una vez programadas sus funciones se les pidió que
realizaran algunas pruebas de sus programas. Los resultados se muestran en la
tabla 9.
• Para las preguntas 1 y 2 de la base 8 a la base 10, de los 5 equipos, 8
conversiones fueron hechas correctamente y 2 resultaron incorrectas.
• Para las preguntas 1 y 2 de la base 4 a la base 10, de los 5 equipos, 8
conversiones fueron hechas correctamente y 2 resultaron incorrectas.
• Para las preguntas 1 y 2 de la base x a la base 10, de los 5 equipos, las
diez conversiones resultaron correctas.
• Por último para las preguntas 1 y 2 de la base X a la base 10, de los 5
equipos, 3 conversiones fueron hechas correctamente, 1 conversión fue
realizada por otro método que llevo a un resultado incorrecto y 6
conversiones no se realizaron.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
75
Tabla No 9
(Ejecuciones de los programas creados en las actividades de conversión de base
X a base 10 usando Logo)
Ejecuciones de programas de conversión de cifras entre bases usando Logo
De base 8 a 10
De base 4 a 10
De base x a 10
De base X a 10
No. de ejercicio No. de ejercicio No. de ejercicio No. de ejercicio
Alumnos
uno dos uno dos uno dos uno dos
Amabilia - Karen
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Gerardo - Ramón
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Se equivocó
Correcto
Griselda - Lindsay
Incorrecto
Incorrecto
Incorrecto
Incorrecto
Correcto
Correcto
No contesto
No contesto
Luz - Miguel A.
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
No contesto
No contesto
Margarita - Janet
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
No contesto
Correcto
Preguntas respondidas
correctamente
4
4
4
4
5
5
1
2
Al analizar las respuestas de los estudiantes, me pude dar cuenta que la
mayor parte de las conversiones fueron realizadas con éxito, aunque las
conversiones que ellos no realizaron fueron las del programa con mayor grado de
complejidad el cual fue convertir una cifra de base cualquiera a base diez.
Por otro lado, por las respuestas que dieron los estudiantes, se puede
observar la conexión de las bases con el sistema de numeración que van
trabajando en cada uno de los ejercicios de programación en la actividad.
Una observación interesante en torno a lo que realizó el equipo de Gerardo
– Ramón, es que ellos, para realizar la conversión del ejercicio 1 de base X a base
diez, decidieron convertir la letra C a su equivalente 12, arrojando así una
respuesta incorrecta. A pesar de que su método no funcionó, consideramos que
fue muy sobresaliente el hecho de que ellos realizaran una conversión de un
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
76
número hexadecimal a base 10 (C a 12), sin que se le pidiera hacerlo, para poder
resolver el problema. (Ver la respuesta dada en la figura 17).
Figura 17 El método de Gerardo y Ramón en el que remplazan C por 12.
En el último programa que los estudiantes resolvieron, existieron
comentarios interesantes cuando intentaron resolverlo (Ver la tabla 10).
Al final se les mostró a los estudiantes el algoritmo general de conversión
es decir, el programa Convierte _X_10 (ver anexo IV), el cual convierte cifras
expresadas en base X a base 10, donde la cifra X puede incluir letras o números.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
77
Tabla No 10
(Comentario de una pregunta que se incluyó en la actividad de conversión de
cifras de base X a base 10 usando Logo)
Alumnos
Pregunta: ¿Qué es lo que observaste al ejecutar el programa Convierte X_10, con cifras de base mayor a diez?
Los estudiantes comentan.
Amabilia - Karen
No es lo mismo porque el programa general se modifica en varias partes.
Ellas programaron el procedimiento Gerardo - Ramón
No respondió, ya que no resolvieron el problema
Griselda - Lindsay
Las bases no estaban incluidas en el programa
Luz - Miguel A.
La base mayor a diez es la que incluye letras
Margarita - Janet
No respondió
4.2.1.2 Resultados obtenidos en la actividad para convertir una cifra de base
10 a base X
En esta sección se presentan los resultados obtenidos en la aplicación de
las actividades planeadas para convertir cifras de un sistema de numeración de
base 10 a base X, donde X ∈ [2...36], (símbolos usados del 0...9 y letras del a...z )
(I) Resultados obtenidos en la actividad Nº 7 Inciso i)
Recordemos que en la primera parte, los estudiantes trabajaron
conversiones de cifras de base 10 a base X usando lápiz y papel, con el propósito
que se familiarizaran con el procedimiento que realiza conversiones de cifras entre
bases.
Es importante mencionar que los sistemas de numeración al igual que los
ejercicios fueron los mismos que en la actividad planeada para convertir una cifra
de base X a base 10 pero ahora en sentido contrario; es decir, esta actividad
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
78
convierte las mismas cifras pero ahora de base 10 a base X, con el propósito que
los estudiantes verificaran sus resultados al finalizar la actividad.
En esta parte, para introducirlos al algoritmo de conversión se les mostraron
5 ejemplos los cuales fueron guiados por el profesor-investigador; estos
comparten la misma estructura, siendo la única diferencia las bases de los
números utilizados. Los resultados de estos ejercicios se muestran en la tabla 11.
Tabla No 11
(Respuestas de las Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 de las actividades de conversión de
base 10 a base X) Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4
Alumno Convierte de base
10 a 2
Convierte de base 10 a 8
Convierte de base 10 a 4
Convierte de base 10 a 5
Amabilia - Karen
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Gerardo - Ramón
Se equivocó
Correcto
Se equivocó
Correcto
Griselda - Lindsay
Se equivocó
Se equivocó
Se equivocó
Se equivocó
Luz - Miguel A.
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Margarita - Janet
Correcto
Correcto
Se equivocó
Incorrecto
Total de equipos que respondieron la
Pegunta
3
4
2
3
Al realizar el análisis de la primera pregunta, observé que tres equipos de
estudiantes realizaron las conversiones sin problemas, un equipo (Griselda -
Lindsay) tuvo equivocación al pasar el resultado a los cuadritos y un equipo
(Gerardo y Ramón) se equivocó al realizar operaciones, además que uno de los
valores que incluyeron como resultado fue un símbolo 2, y hay que hacer notar
que estamos hablando de números binarios (Ver la figura 18).
En este último resultado se puede observar que Gerardo y Ramón no
reflexionaron los símbolos de su resultado de conversión.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
79
También hay que recordar que en el cuestionario inicial Gerardo - Ramón,
por separado dijeron cual era el número de símbolos que contenía la base dos así
como pudieron decir cuales eran esos símbolos de manera correcta.
Figura 18 Imagen que muestra la conversión de Gerardo y Ramón donde incluye el símbolo 2 en
una cifra binaria.
Un dos no es símbolo binario
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
80
• Para la segunda pregunta de la secuencia didáctica de los 5 equipos 4
realizaron la conversión correctamente y 1 equipo (Griselda - Lindsay) tuvo
equivocación al escribir el resultado.
• Para la tercera pregunta, 2 equipos de alumnos realizaron las conversiones
sin problemas y el equipo de Griselda - Lindsay tuvo equivocación al
escribir el resultado; también Gerardo y Ramón tuvieron equivocación en
sus operaciones y nuevamente incluyeron símbolos no permitidos para la
base cuatro (Ver figura 19).
Como podemos observar en la figura de la respuesta de Gerardo – Ramón
se tiene nuevamente una equivocación similar a la sucedida en la pregunta uno.
Por otro lado, Janet y Margarita se equivocaron en sus operaciones.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
81
Figura 19 Imagen que muestra la conversión de Gerardo y Ramón en la cual incluyen el símbolo 4
en una cifra expresada en base 4, el cual no es permitido en esta base.
• En la cuarta pregunta se muestra que 3 equipos realizaron sus
conversiones sin problemas; Griselda - Lindsay nuevamente equivocaron la
forma de poner el resultado y Margarita - Janet se equivocaron en el
proceso de realizar la conversión.
Por las preguntas respondidas por los estudiantes, podemos decir que en
general abordaron al sistema de conversión de cifras de base 10 a cualquier base
con mayor seguridad que el de conversión de base X a 10. Sin embargo como
Incluyeron el 4 y el símbolo mayor es 3
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
82
pudimos ver en las dos equivocaciones de Ramon-Gerardo, es evidente que ellos
malinterpretaron el número de símbolos permitidos (Por ejemplo: usan 5 símbolos
incluido el dígito 4, para base 4).
(II) Resultados obtenidos en la actividad Nº 7 Inciso ii
Recordemos que en la segunda parte los estudiantes trabajaron
conversiones de cifras de base 10 a base X usando computadora; con el
propósito que los estudiantes construyeran los algoritmos de conversión y
realizaran conversiones de números usando sus programas.
Este inciso II se dividió en dos partes que muestro a continuación:
1) En la primera parte, se les dio a los alumnos el algoritmo de conversión de
base 10 a base 2, el cual fue guiado por el profesor- investigador, con el propósito
que se introdujeran a la programación de funciones y procedimientos. Este
algoritmo se encuentra en el Capítulo III actividad nº 7, inciso (ii).
Es importante mencionar que la base 2 es el sistema de numeración más
identificado por los estudiantes según el cuestionario inicial, después del de base
10; por eso se tomo como ejemplo para esta explicación del algoritmo.
2) En la segunda parte, se les dio a los estudiantes un programa escrito en Logo,
CONVIERTE_A_BIN (ver Anexo V, p. ) que convierte un número de base 10 a
base 2, el cual fue guiado por el profesor-investigador, con el propósito que los
estudiantes se introdujeran a la programación de diferentes funciones que
involucran a las cifras de los diversos sistemas de numeración en base b.
Para terminar la actividad 7 se les pidió a los estudiantes que programaran
los siguientes algoritmos en Logo:
• De base 10 a 8
• De base 10 a 4
• De base 10 a x, donde x ∈ [2...10]
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
83
• De base 10 a X, donde X ∈ [2...46], (símbolos usados del 0...9 y letras del
a...z básicamente)
Los resultados de los estudiantes que realizaron la programación de los
algoritmos se muestran en la tabla número 12.
Tabla No 12
(Cuatro programas pedidos en las actividades de conversión de base 10 a base X
usando Logo Programas que convierten cifras entre bases usando Logo
Alumnos De base
10 a 8
De base
10 a 4
De base
10 a x
De base
10 a X
Amabilia & Karen Correcto Correcto Correcto Correcto
Gerardo & Ramón Correcto Correcto Correcto Correcto
Griselda & Lindsay Correcto Se equivocó Correcto Correcto
Luz & Miguel A. Correcto Correcto Correcto Correcto
Margarita & Janet Correcto Correcto Incorrecto Correcto
Total de equipos que
respondieron la Pegunta
5
4 4 5
• Para el algoritmo de conversión de base 10 a base 8 de los cinco equipos
todos realizaron el programa y lograron ejecutarlo.
• Para el algoritmo de conversión de base 10 a base 4 de los cinco equipos
de personas, 4 realizaron el programa y lograron ejecutarlo; y 1 (Griselda y
Lindsay) no escribió el programa en sus hojas de trabajo, pero si logró
ejecutarlo.
• Para el algoritmo de conversión de base 10 a base x, 4 de los equipos
realizaron el programa y lograron ejecutarlo, pero Margarita y Janet no lo
lograron terminar (probablemente por falta de tiempo).
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
84
• Para el algoritmo de conversión de base X a base 10 todos los equipos
lograron construir el programa y lograron ejecutarlo.
De los resultados mostrados en la tabla observemos que sólo dos
programas no fueron completados lo cual indica un resultado significativo.
Es importante notar que los estudiantes trataron con mayor familiaridad a
los sistemas de numeración en la actividad 7 que en la actividad 6. La razón que
considero para esto es que en la actividad 7 los alumnos ya habían adquirido
mayor experiencia en relación a los conceptos (base, símbolos, algoritmos) que en
la actividad 6.
Por otro lado, una vez programados sus algoritmos se les pidió que
realizaran algunas pruebas que incluían las hojas de trabajo. De este modo
tenemos los resultados de la tabla 13.
• Todas las conversiones que se les dejaron a los estudiantes, fueron
realizadas todas correctamente.
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
85
Tabla No 13
(Ejecuciones de los programas creados en las actividades de conversión de base
10 a base X usando Logo)
Una observación interesante fue la que realizó el equipo de Margarita -
Janet ya que realizaron un programa que convirtiera cifras de base 10 a base 5 y
aunque no era el que se les pidió, resultó correcto (Ver figura 20).
Ejecución de programas de conversión de números entre bases usando Logo
De base 8 a 10
De base 4 a 10
De base x a 10
De base X a 10
No de ejercicio No de ejercicio No de ejercicio No de ejercicio
Alumnos
uno dos uno dos uno dos uno dos
Amabilia Y
Karen
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Gerardo Y
Ramón
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Griselda Y
Lindsay
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Luz Y
Miguel A.
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Correcto
Margarita Y
Janet
Correcto Correcto Correcto Correcto Correcto Correcto Correcto Correcto
Total de equipos que respondieron las Peguntas
5 5 5 5 5 5 5 5
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
86
Figura 20 Imagen que muestra un programa que convierte un número de base 10 a base 5
realizado por Margarita y Janet de manera correcta aunque este programa no fue pedido.
En el último programa, que fue el de realizar conversiones en general, ya no
surgieron tantas dudas como en la primera parte de la actividad; sin embargo,
existieron comentarios interesantes sobre éste, los cuales se presentan en la tabla
14.
Tabla No 14
(Comentarios de una pregunta que se incluyó en la actividad de conversión de cifras de
base 10 a base X usando Logo)
Pregunta:
¿Qué sucede con el programa que se extendió de números a
letras?
Alumnos
Los estudiantes comentan.
Amabilia -Karen De acuerdo al número de la base, es el algoritmo da la conversión.
Gerardo -Ramón No respondió
Griselda -Lindsay Lo mismo pero general (para cualquier base)
Luz -Miguel A. Lo mismo y se ejecuta general (para cualquier base)
Margarita -Janet Es un proceso general (para cualquier base)
CAPITULO IV DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS
87
Con respecto a estos comentarios nos podemos dar cuenta que los
alumnos comprendieron que podemos realizar conversiones de cifras de bases
mayores a diez; es decir que podemos trabajar con un programa que convierta de
base 10 a cualquier base partiendo de la 2 a 36.
4.3 RECAPITULACIÓN
Es este capítulo se mostraron los resultados obtenidos al aplicar la
secuencia experimental de actividades a diez estudiantes. Todos estos alumnos
pudieron construir programas de conversión de cifras entre diferentes sistemas de
numeración en base b. Aun más, mediante estas actividades, los estudiantes se
familiarizaron con el término base y símbolos que forman los números de un
sistema de numeración.
En el siguiente capítulo se presenta la comparación de resultados obtenidos
entre el cuestionario inicial y final el cual se aplicó al finalizar las actividades.
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
89
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS
Y ENTREVISTAS
5.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior, mencioné los resultados que se obtuvieron después
de aplicar las actividades a los estudiantes. En este capítulo muestro la
comparación de resultados de las aplicaciones inicial y final del cuestionario; es
decir, la comparación entre el cuestionario aplicado antes de exponerles la
secuencia experimental de actividades y el resuelto después de haberles aplicado
dichas actividades. Finalmente analizo las entrevistas.
5.2 Comparación de respuestas iniciales y finales al cuestionario
diagnostico.
En este punto se presenta un resumen de los resultados obtenidos en el
cuestionario que se aplicó tanto al principio como al final de esta investigación.
El propósito de aplicar el mismo cuestionario al principio y al final de las
actividades fue el de vislumbrar los nuevos conocimientos que adquirieron los
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
90
estudiantes mediante dichas actividades y así poder sumar estas actividades a las
estrategias para estudiar los sistemas de numeración en base b.
Pregunta No 1
a) ¿Cuáles son los símbolos que componen el sistema de numeración en base
10?
__________________________________________________________________
b) ¿Cuantos símbolos se utilizan en el sistema de numeración de base 2?
__________________________________________
c) Convierte un 14 de base 10 a base 2, especificando cada uno de los pasos que
realizas.
Si un 1 1 0 está escrito en base 2, ¿A qué equivale en la conversión en base
10?
En la tabla 1 se muestran los resultados derivados de la pregunta 1.
Tabla 1 Inciso Respuestas correctas
iniciales
Respuestas correctas finales
a) 4 10
b) 6 8
c) 0 10
d) 0 10
Respuestas iniciales de la pregunta Nº 1
Griselda, Lindsay, Ramón y Gerardo conocen los símbolos que forman el
sistema de numeración en base 10, Amabilia, Gerardo, Griselda, Lindsay Karen y
Ramón conocen el número de símbolos que forma un sistema de numeración en
base 2 pero ningún estudiante conoce los algoritmos de conversión de un sistema
de numeración de base 2 a diez y viceversa.
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
91
Respuestas finales de la pregunta Nº 1
Todos los 10 estudiantes conocen los símbolos que forman el sistema de
numeración en base 10; Amabilia, Gerardo, Griselda, Lindsay, Karen, Margarita,
Janet, Ramón conocen el número de símbolos que forma un sistema de
numeración en base 2, y todos conocen los algoritmos de conversión de un
sistema de numeración de base 2 a diez y viceversa.
Como podemos observar en la tabla uno, los estudiantes después de
realizar las actividades con lápiz, papel y computadora tuvieron un cambio muy
relevante en los cuatro incisos; ellos pueden realizar la conversión entre bases
binario decimal y pueden decir cuántos y cuales símbolos forman la base 10 y 2.
Pregunta 2
Contesta los incisos a y b.
a) ¿Qué símbolos componen un sistema de numeración en base 8?
b) Considera la siguiente operación en base 10
4+7=11
Plantea y resuelve esta misma operación en base 8.
En la tabla 2 se muestran los resultados derivados de la pregunta 2.
Tabla 2
Inciso Respuestas correctas iniciales Respuestas correctas finales
a) 0 10
b) 0 4
Respuestas iniciales de la pregunta Nº 2
Ningún estudiante conoce el sistema de numeración en base 8 ni tampoco
sabe realizar sumas con cifras que pertenecen a esta base.
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
92
Respuestas finales de la pregunta Nº 2
De la pregunta 2 podemos resumir que los estudiantes después de realizar
la actividad planeada identificaron la base y los símbolos de un sistema de
numeración en base ocho; además Amabilia, Karen, Margarita, Janet pudieron
realizar algunas operaciones usando conversiones.
Pregunta No 3
Supongamos que se sustituyen los símbolos de la base 10 de la siguiente manera.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
! " # $ & $ ! % " &
a) ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación ! #+ &= ______
b) ¿A qué número equivale?
c) ¿Qué cambios tiene el sistema de numeración en base 10 al cambiar los
símbolos?
En la tabla 3 se muestran los resultados derivados de la pregunta 3.
Tabla 3 Inciso Respuestas correctas iniciales Respuestas correctas finales
a) 2 2
b) 10 10
c) 2 8
Respuestas iniciales de la pregunta Nº 3
Para el inciso a), Luz y Miguel Angel realizaron sus operaciones usando los
símbolos; Amabilia, Gerardo, Griselda, Lindsay, Karen, Margarita, Janet, Ramón
hicieron una traducción del símbolo a base diez y respondieron en base diez. En el
inciso b) los diez estudiantes contestaron correctamente. En el inciso c), Luz y
Miguel Angel pudieron explicar cual es el cambio que tendría el sistema de
numeración en base diez si los símbolos fueran cambiados por otros.
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
93
Respuestas finales de la pregunta Nº 3
Para el inciso a), Luz y Miguel Angel realizaron la operación usando los
símbolos; Amabilia, Gerardo, Griselda, Lindsay, Karen, Margarita, Janet, Ramón
hicieron una traducción del símbolo a base diez y respondieron en base diez. En el
inciso b) los diez estudiantes contestaron correctamente. Finalmente en el inciso
c) todos, excepto Luz y Miguel Angel, pudieron explicar correctamente cual es el
cambio que tendría el sistema de numeración en base diez si los símbolos fueran
cambiados por otros.
Cabe mencionar que los símbolos son parte fundamental de los sistemas
de numeración ya que forman a las cifras. (Ver capítulo II sección 6).
Después de aplicar la actividad, 6 estudiantes opinaron acertadamente
sobre el cambio que tendría el sistema de numeración en base diez si los
símbolos fueran cambiados por otros.
Pregunta Nº 4
Inventa un sistema de numeración distinto al de base 10 y contesta las siguientes
preguntas:
a) ¿Cuáles son los símbolos que componen tu sistema?
b) ¿A qué base corresponde tu sistema?
c) ¿Cómo escribirías 89 usando tu sistema?
En la tabla 4 se muestran los resultados derivados de la pregunta 4.
Tabla 4 Inciso Respuestas correctas iniciales Respuestas correctas finales
a) 8 10
b) 8 8
c) 4 8
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
94
Respuestas iniciales de la pregunta Nº 4
Todos, excepto Luz y Miguel Angel, escribieron los símbolos para su
sistema inventado y estos mismos 8 estudiantes dijeron a qué base correspondía
su sistema. Por otro lado, Gerardo, Margarita, Janet y Ramón no pudieron
expresar el número 89 en su sistema inventado.
Respuestas finales de la pregunta Nº 4
Todos los diez estudiantes escribieron los símbolos de su sistema
inventado. Amabilia, Gerardo, Luz, Miguel Angel, Karen, Margarita, Janet, Ramón
dijeron a qué base correspondía su sistema; estos mismos estudiantes expresaron
el 89 en su sistema inventado.
Al aplicar el cuestionario la segunda vez nos pudimos percatar que todos
los estudiantes, excepto Griselda y Lindsay, pudieron responder las preguntas
relacionadas con las conversiones de cifras entre bases.
Cuando el estudiante expresa una cifra con su sistema de numeración
inventado por él, se le obliga sutilmente a usar un sistema de conversión lo cual
conlleva al uso de sus algoritmos programados.
Pregunta Nº 5
¿Conoces alguno de los siguientes sistemas de numeración? Descríbelos y/o
explica para qué se ocupan.
a) Base 60__________________________
b) Base 16__________________________
c) Base 24 _________________________
d) Base 20___________________________
En la tabla 5 se muestran los resultados derivados de la pregunta 5.
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
95
Tabla 5 Inciso Respuestas correctas iniciales Respuestas correctas finales
a) 2 10
b) 0 6
c) 0 10
d) 2 6
Respuestas iniciales de la pregunta Nº 5
De todos los alumnos, sólo Amabilia y Karen describieron el sistema de
numeración en base 60 y el sistema de numeración en base veinte.
Respuestas finales de la pregunta Nº 5
Todos los diez alumnos describieron el sistema de numeración en base 60
y el sistema de numeración en base 24. Amabilia, Gerardo, Karen, Margarita,
Janet, Ramón describieron los sistemas de numeración en base 16 y 20. Por otro
lado, Gerardo y Ramón también comentaron que existen algoritmos de conversión
que se pueden usar para trabajar con estas bases.
Hay que recordar que las bases 16, 24, 60 son utilizadas a menudo y sin
embargo podemos observar que resultan desconocidas para algunos estudiantes.
En esta pregunta después de aplicar el cuestionario con lápiz, papel y
computadora los estudiantes respondieron, características como: base, número de
símbolos y algoritmos de conversión que se pueden usar con estos sistemas de
numeración en base b.
5.3 Resumen de los resultados obtenidos del cuestionario inicial y final
En la tabla 6 se resumen los resultados derivados de la aplicación del
cuestionario inicial y final.
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
96
Tabla 6 PREGUNTAS
Incisos 1 2 3 4 5
Res.
Inicial
Res.
Final
Res.
Inicial
Res.
Final
Res.
Inicial
Res.
Final
Res.
Inicial
Res.
Final
Res.
Inicial
Res.
Final
a) 4 10 0 10 4 8 4 8 0 8
b) 6 8 0 4 4 8 4 8 1 8
c) 0 10 2 8 4 8 0 8
d) 0 10 1 8
Total 10 38 0 14 10 22 12 24 2 32
Hay que recordar que el cuestionario inicial fue respondido por los
estudiantes antes de aplicarles la secuencia experimental de actividades y el final
después de aplicar dichas actividades.
La tabla 6 nos muestra que el número de preguntas respondidas por los
estudiantes en el cuestionario final es significativamente mayor que en el
cuestionario inicial.
En el cuestionario inicial se observó que los estudiantes sólo conocían dos
sistemas de numeración en base b: el de base diez y el de base dos, además
nadie respondió las preguntas donde se les pedía convertir cifras de un sistema de
numeración a otro. Por otro lado, por sus respuestas dadas, parecía que no
relacionaban la base con el número y uso de los símbolos, además de que no
sabían cómo hacer operaciones con números de diferentes sistemas de
numeración.
Por las respuestas dadas en el cuestionario final podemos decir que los
estudiantes reflejaron mayor entendimiento con respecto a los sistemas de
numeración en base b. Como vimos en la tabla 6 las preguntas de conversión de
números entre bases fueron todas resueltas. Y por las respuestas dadas por los
estudiantes, en donde se involucran el término base y símbolos podemos decir
que ellos relacionan ambos conceptos.
En donde los resultados no reflejaron mucho entendimiento fue en la
pregunta 2 inciso b, ya que en ella se les pidió que plantearan y resolvieran una
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
97
operación en base ocho. Algunos de ellos argumentaron que no sabían realizar
operaciones con números de bases diferentes a la base diez. Sin embargo
Gerardo, Griselda, Luz y Miguel Ángel, usaron sus algoritmos de conversión y
resolvieron la pregunta.
Nosotros atribuimos la falta de respuestas a esta pregunta, a la ausencia
de actividades relacionadas con operaciones de números en bases diferentes a la
diez.
5.4 MINI-ENTREVISTAS
Las mini-entrevistas fueron realizadas después de que los estudiantes
resolvieron nuevamente el cuestionario inicial. Sus respuestas reflejaron su
entendimiento sobre el término base y los símbolos que componen a un sistema
de numeración en base b, además ellos mostraron interés sobre los sistemas de
conversión de números en diferentes bases (Ver anexo VII). Algunas de las
respuestas interesantes se muestran a continuación:
Miguel expresó: “Los cambios que consideré importantes fueron con la
computadora, ya que pudimos generalizar el tema sistemas de conversión de
números”.
Amabilia: “Al trabajar con lápiz y papel se realizaron operaciones para tener
una conversión y al trabajar con computadora y programar nosotros pudimos tener
varias conversiones de diferentes bases”.
Aquí es importante subrayar lo que dijeron Miguel Ángel y Amabilia, ya
que para ellos fue importante construir un programa general y ejecutar varias
conversiones.
Karen expresó lo siguiente: “Yo creo que sería interesante trabajar con un
sistema de numeración propio, para algún trabajo secreto. En el que se hicieran
transferencias numéricas o algo relacionado, como en las películas”.
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
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Ella consideró que podría trabajar con un sistema inventado, lo cual
considero es un buen reflejo de los efectos positivos de la secuencia de
actividades, ya que ella ya no se limita solamente a realizar conversiones solicitas,
sino que ya es capaz de vislumbrar aplicaciones prácticas.
Ramón expresó: “Me hubiera gustado que en las actividades se realizaran
operaciones”.
El hecho de que este alumno desee la continuación de este trabajo también
consideramos que es importante, ya que demuestra que los estudiantes tienen
nuevos problemas relacionados con los sistemas de numeración; que no son
precisamente hacer conversiones de números de diferentes bases.
Como vemos, los comentarios de los alumnos son positivos y reflejan una
posible generalización de sus comprensiones de los sistemas numéricos
particulares con los que se trabajaron en la secuencia de actividades, hacia la
comprensión de un sistema numérico cualquiera de base n, y a vislumbrar
aplicaciones. Por otro lado, los comentarios de los alumnos, como Ramón, indican
las deficiencias de la secuencia en en el sentido de que no se incluyeron
operaciones con números dentro de bases distintas a la 10. Pero el hecho de que
Ramón haya manifestado este deseo de haber tenido actividades con operaciones
en otras bases, muestra que ya no ve a los sistemas con bases diferentes de las
10 como algo a lo que simplemente hay que convertir de y hacia, sino que ya los
ve como sistemas que pueden ser auto–contenidos y dentro de los cuáles se
pueden realizar operaciones sin necesidad de pasar por la base 10.
5.5 RECAPITULACIÓN
En este capítulo se presentó la comparación de respuestas entre el
cuestionario inicial y final. Las respuestas detalladas de los cuestionarios dadas
por los estudiantes se encuentran en el (ANEXO VI) y las mini-entrevistas en el
(ANEXO VII).
Por las respuestas dadas en ambos cuestionarios y las mini-entrevistas,
podemos decir que los estudiantes reflejaron un mayor entendimiento de los
CAPITULO V COMPARACION DE RESULTADOS DE LOS CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS
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sistemas de numeración en base b, después de trabajar con la secuencia
experimental de actividades, en los siguientes aspectos:
! Se volvieron concientes de la existencia y posibilidad de trabajar con un
número indefinido de sistemas númericos basados en una base b (a
diferencia de al principio donde solo consideraban las bases 10 y 2). (En el
cuestionario final mencionan muchos más sistemas de numeración).
! Parecen haber entendido que el número de símbolos requeridos en una
base b es el mismo número b. Asimismo se hicieron concientes de que se
pueden utilizar cualquier tipo de símbolos para representar números en
otras bases,
! Mostraron haber entendido, o al menos saber aplicar, los métodos de
conversión entre bases.
Donde no hubieron mejorías, fue en la realización de operaciones con
números de diferentes bases; esto le atribuimos que no incluimos actividades
relacionadas con operaciones.
CAPITULO VI CONCLUSIONES
98
CAPITULO VI CONCLUSIONES
Hay que recordar que el objetivo de mi investigación era buscar nuevos
caminos para trabajar los diversos sistemas de numeración en base b. Así como
identificar el tipo de dificultades que pueden surgir a partir de las actividades
propuestas.
Los sistemas de numeración han existido desde la antigüedad, pero como
vimos en el capitulo I, los más extendidos en la actualidad son los de base b, con
los cuales trabajamos en este estudio. Por otro lado el lápiz, papel y computadora
(con Logo como lenguaje de programación) fueron utilizados como herramientas
de mediación con el fin de llegar a un aprendizaje significativo.
En el capítulo 2, presenté tres áreas problemáticas que había identificado a partir
de mi práctica docente en el aprendizaje de los sistemas de numeración de base
b. Éstas son: (i) la comprensión del concepto de base y el hecho de que la base es
generalizable por lo que se pueden construir una cantidad indefinida de sistemas
numéricos de este tipo; (ii) Los símbolos que componen al sistema de numeración;
CAPITULO VI CONCLUSIONES
99
y (iii) la dificultad para leer un número representado en otro sistema de
numeración diferente al de base diez.
De los resultados de la aplicación del cuestionario diagnóstico,
corroboramos estas dificultades. Los alumnos, en sus respuestas, reflejaron que
los únicos sistemas de numeración en base b que conocían eran los de base diez
y base dos; tampoco hubo coherencia en sus respuestas con respecto al término
base y las características de los símbolos que forman un sistema de numeración
en base b. Por otro lado, en lo que se refiere a los métodos para convertir
números de un sistema de numeración en base b a otro, las preguntas no fueron
respondidas.
Para intentar dar solución a estas deficiencias, dimos a los estudiantes la
oportunidad de trabajar con una secuencia de 7 actividades con lápiz, papel y
computadora, descrita en este trabajo. En estas actividades, basadas en el
paradigma del construccionismo, y utilizando la computadora como instrumento de
mediación, a través de la construcción de programas de cómputo, los estudiantes
tuvieron que poder desarrollar (para poder construir los programas) un mayor
entendimiento de los métodos y algoritmos de construcción de sistemas de
numeración y conversión entre bases, al mismo tiempo que les permitió explorar
diversos sistemas y ejemplos. Al principio hubieron algunas dificultades durante
las actividades propuestas (a parte de pequeñas dificultades técnicas de
programación con Logo): el problema al que más se enfrentaron fue el de la
definición y utilización de símbolos en una base dada; es decir, tuvieron
dificultades en, por un lado, entender cómo definir un número en una base distinta
a la de diez, sobretodo cuando la base era mayor a 10; por otro lado, habían
dificultades de lectura, ya que tendían a leer los símbolos como si fueran escritos
en base 10 (lo cuál es de esperarse; es la tercera área problemática mencionada
arriba). Pero a medida que progresaron las actividades estas dificultades
disminuyeron. De hecho, al final de la secuencia, los alumnos pudieron construir
un programa general en Logo que convirtiera números de un sistema de
numeración de base b a otro. El programa general que los estudiantes
implementaron les permitió conocer y desarrollar diversos sistemas de numeración
CAPITULO VI CONCLUSIONES
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en base b y con respecto a sus comentarios (ver anexo VII) podemos decir que
ellos abandonaron la idea de “que sólo existen dos o tres sistemas de
numeración”.
Cabe señalar que un aspecto que resultó beneficioso al programar con el
lenguaje Logo, fueron las características modulares y de poder recursivo de este
lenguaje, ya que permitieron la construcción de programas sumamente compactos
lo que facilita su análisis y comprensión de los algoritmos que se describen en
esos programas.
El aprendizaje logrado mediante esa secuencia fue verificado mediante el
cuestionario final. Allí se vieron avances positivos en las tres áreas problemáticas
descritas arriba. Las respuestas al cuestionario final reflejaron que los estudiantes
lograron un mejor entendimiento de la relación existente entre una base b y los
símbolos que forman los números de un sistema de numeración en esa base b.
Asimismo realizaron con éxito sus conversiones de números de un sistema de
numeración a otro haciendo uso de sus programas antes construidos; inclusive
algunos de ellos realizaron sus respuestas usando papel y lápiz. (También de las
mini-entrevistas observamos mayor habilidad de los estudiantes para tratar a los
sistemas de numeración en base b).
En las preguntas donde hubo escasa respuesta fue donde se pedía realizar
operaciones con números de diferentes bases, ya que esto no se incluyó en las
actividades. Pero podemos decir que estas actividades despertaron la inquietud de
trabajar operaciones matemáticas con diferentes sistemas de numeración en base
b.
El tema planteado en esta investigación abre la posibilidad de diversos
estudios a realizarse para cada uno de los sistemas de numeración en base b
existentes, tanto como los que se pueden construir de acuerdo a los métodos y
algoritmos generales. En particular, una propuesta para continuar con esta
investigación es la creación de actividades que faciliten el aprendizaje de las
operaciones básicas (+,-,*,/) con números en cualquier sistema de numeración de
base b.
