5/24/2018 Centro y Eje Instantaneo de Rotacion
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Centro y eje instantneo de rotacin 1
Centro y eje instantneo de rotacin
El centro instatneo de rotacin (CIR) (o polo de velocidades) y
el eje instantneo de rotacin (EIR) son
conceptos cinemticos y geomtricos fundamentales en la mecnica
del slidos. En dos dimensiones o
alternativamente en un movimiento plano, slo est definido en
polo de velocidades o CIR, mientras que en el
movimiento tridimensional debe recurrirse a la nocin ligeramente
ms complicada de eje instantneo de rotacin.
En cuanto al concepto de polo de velocidades o CIR, aunque se
intuye en algunas construcciones cinemticas
atribuidas a Ren Descartes, e Isaac Newton estuvo a punto de
descubrirlo, en general se atribuye su descubrimiento
a Johann Bernoulli (1742).
En tres dimensiones el concepto se generaliza a eje instantneo
de rotacin. En cada instante el eje instantneo de
rotacin (cuando est definido) es una respecto a la cual el
cuerpo parece estar haciendo un movimiento de rotacin
alrededor del mismo ms una posible traslacin paralela al
mismo.
Concepto
El polo de velocidades se obtiene como la interseccin de las
normales a las trayectorias (o a las velocidades) de dos
puntos cualesquiera de un slido plano. Ocurre que en un
movimiento infinitesimal, la posicin del polo no vara, de
tal suerte que ha de tener necesariamente velocidad nula: el
polo es un punto (en el caso ms general, el nico) de
velocidad nula del slido plano. Adems, dicho movimiento
infinitesimal va a equivaler a un giro diferencial del
slido alrededor del CIR, por lo que el movimiento real de un
slido plano puede interpretarse como una secuencia
de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas
posiciones del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento
del slido, cambie de posicin).
El polo podr ser un punto impropio(en el infinito) cuando en el
slido haya dos puntos de velocidades paralelas; en
caso contrario, ser un punto de slido mvil, aunque est fuera de
los lmites fsicos de dicho slido (el slido mvil
define un plano, el plano mvil, al que pertenece l, su CIR).
En su movimiento, el CIR describe dos trayectorias: la base
(curva polar fija) y la ruleta (curva polar mvil); siendo
la primera el lugar geomtrico de los puntos del plano fijo que
en algn instante han coincidido con el CIR del plano
mvil, y la segunda el lugar geomtrico de los puntos del plano
mvil que en algn instante han sido CIR. EL
movimiento de un slido mvil plano queda totalmente definido
mediante el movimiento de rodadura de la ruleta
sobre la base, tal y como lo demostr Cauchy en 1827.De ah la
importancia del CIR.
Se cumple que la velocidad (mdulo) de un punto del slido mvil
plano es:
donde es la velocidad angular del slido plano (la misma para
todos sus puntos), y r la distancia eucldea del
punto en cuestin al CIR en cada instante. La direccin de la
velocidad ser la de la normal a la recta que une el
punto y el CIR, y su sentido lo indicar el de (conocido).
Expresin
Centro instantneo
Un movimiento plano de un slido rgido se corresponde con una una
isometra del plano euclideo, eso implica que
la posicin inicial y final de cualquier punto puede
representarse mediante una transformacin del tipo:
(*)
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_euclideohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Isometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgidohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Normalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidad_angularhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cauchyhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Rodadurahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_polarhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_polarhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_impropiohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Johann_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Descarteshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgidohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cinme%C3%A1mticos
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Centro y eje instantneo de rotacin 2
Donde son funciones del tiempo. Si , es decir, si el movimiento
no es una traslacin pura, puede
verse que el punto de coordenadas:
Es invariante por la transformacin (*) y de hecho coincide con
el centro instantneo de rotacin ya que el resto de
puntos experimenta una velocidad proporcional a su distancia a
dicho punto.
Eje instantneo
La misma construccin anterior puede extenderse a la construccin
de eje instneo de rotacin. En tres dimensiones,
un movimiento de slido rgido es una transformacin del tipo:
donde y es una matriz ortogonal de rotacin. El eje de rotacin
instatneo est formado por todos los
vectores que satisfacen la ecuacin:
Se puede ver que todas las soluciones de la ecuacin anterior
(que es equivalente a un sistema compatible
indeterminado) estn sobre una misma recta que coincide con el
eje de rotacin instantneo. Ntese que la matriz
es singular ya que tiene un autovalor igual a 1 (y el autovector
asociado es paralelo al eje de rotacin
instantneo).
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Autovectorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Autovalor
