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MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL
UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y ACOMPAÑAMINMETO A DOCENTES DE CUNDINAMARCA Y DUITAMA PARA EL DESARROLLO DELOS NIVELES DE
COMPETENCIA DE MATEMÁTICAS Y DISEÑO DE SECUENCIAS DIDÁCTICAS A PARTIR DE LAS EXPERIENCIAS SIGNIFICATIVAS DE LOS MAESTROS
PROPORCIONALIDAD CON BASE EN LA MEDICIÓN Y CONVERSIÓN DE UNIDADES COTIDIANAS
JANETH ESPERANZA GUEVARA CHIRIVI, LEONILDE VERDUGO, MARGARITA PINZÓN CARDOZO
Asesor: Edgar Alberto Guacaneme S.
Centros de Telesecundaria San Luis, Higueras y San Antonio Norte - Duitama
En este documento presentamos un breve estudio realizado en torno al diseño e implementación de unas situaciones de aprendizaje relacionadas con la identificación de relaciones entre medidas de capacidad y el reconocimiento de regularidades numéricas que caracterizan las relaciones de correlación y proporcionalidad directa. El estudio constituyó, para nosotras las autoras, una manera alterna de aprendizaje profesional.
INTRODUCCIÓN
La proporcionalidad, tema matemático propuesto para ser estudiado en la escuela, es uno de los temas sobre los que generalmente los profesores hacemos exposiciones y
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
proponemos tareas a los estudiantes para procurar que aprendan algo relacionado con la definición de razón y proporción, la proporcionalidad directa, la regla de tres y la solución de problemas para encontrar la cuarta proporcional. Sin embargo, las tareas que proponemos son casi siempre rutinarias o algorítmicas y no siempre tienen un referente concreto a partir del cual construir significado y casi nunca les permitimos una exploración sobre algunas regularidades que permiten caracterizar las relaciones de proporcionalidad.
Atendiendo a lo anterior, diseñamos una secuencia didáctica elaborada para generar reflexión y aprendizaje, propiciando un contexto experimental para la conversión de medidas de capacidad (cm³, onza, botella y litro), y proponiendo actividades a través de las cuales se procura establecer diferencias entre los procesos de reconocimiento y uso de la proporcionalidad, algunas diferencias y semejanzas entre las condiciones que debe tener una relación o función para ser considerada una correlación directa o una proporcionalidad directa.
Así, a continuación presentamos algunos elementos descriptivos sobre el diseño de la secuencia didáctica, la implementación de ésta y una discusión de los resultados. Finalmente a modo de balance, planteamos algunas consideraciones generadas por la experiencia vivida, que pueden servir como referencia para posteriores experiencias de diseño curricular sobre la misma temática.
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
PROPÓSITO DEL ESTUDIO
Nos interesó que la secuencia de actividades diseñada nos permitiera, de manera general, desarrollar competencias relacionadas con el pensamiento numérico y métrico, para un manejo eficiente y significativo de la proporcionalidad y procesos de medición en estudiantes de séptimo en contextos cotidianos.
Con este propósito en mente, nos propusimos como tarea:
• Realizar un taller práctico de medidas de capacidad, donde se propicie un contexto experimental para la conversión de medidas.
• Identificar las estrategias empleadas por estudiantes de grado séptimo para resolver tareas de proporcionalidad y correlación directa.
• Establecer diferencias entre los procesos de reconocimiento y uso de la proporcionalidad.
• Establecer algunas diferencias y semejanzas entre las condiciones que debe tener una relación o función para ser considerada una correlación directa o una proporcionalidad directa.
• Analizar la naturaleza de los cambios realizados en las estrategias empleadas.
• Promover el interés del estudiante por el conocimiento matemático.
ALGUNAS CONSIDERACIONES QUE ORIENTAN LA SECUENCIA DIDÁCTICA
Cuando iniciamos a pensar acerca de la conversión de medidas como un contexto que expresa relaciones de
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J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
proporcionalidad directa logramos advertir que casi siempre proponemos problemas de cuarta proporcional donde se conoce la relación que existe entre una unidad de medida y u número determinado de unidades de medida del otro sistema de medidas y que es poco usual proponer encontrar tal relación. Así, decidimos que una de las actividades debería procurar que, de manera experimental, los estudiantes identificaran una relación tal para dos sistemas de medidas de la magnitud capacidad. Seleccionamos esta magnitud, pues nos brindaba la posibilidad de contar con unidades en sistemas de medidas no claramente definidos para los estudiantes, pues seguramente no conocían la equivalencia entre cm³, onza, botella y litro.
En estas reflexiones iniciales también se hizo presente el cuestionamiento acerca de si es lo mismo usar el hecho de que exista una relación de proporcionalidad entre unos datos, que reconocer si tales datos satisfacen las condiciones que definen la proporcionalidad directa. Rápidamente advertimos que existe una diferencia fundamental y que en la escuela poco o casi nada hacemos en el trabajo de identificación de tales condiciones. De esta manera, tomamos la decisión de proponer a los estudiantes actividades en donde trabajando casi siempre con datos numéricos, pudieran reconocer algunas regularidades, y de éstas identificaran las que caracterizan a la correlación y a la proporcionalidad directa.
Con estos asuntos en mente diseñamos y propusimos a los estudiantes la siguiente secuencia didáctica.
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
LA SECUENCIA DIDÁCTICA
Situación 1
Propósito: Identificar diferentes medidas de capacidad y su equivalencia por medio de la medición y comparación. (cm³ , onza y botella)
Tarea 1-1 1. Se desea medir la capacidad de una copa de 1 onza en centímetros cúbicos (cm³) utilizando un instrumento graduado (jeringa).
a. ¿Cuál es la capacidad de la copa en centímetros cúbicos?
2. Se desea medir la capacidad de un recipiente de 1 botella en onzas utilizando la copa de 1 onza.
b. ¿Cuántas onzas tiene una botella? c. ¿Cuántos centímetros cúbicos tiene una botella?
Tarea 1-2 De acuerdo con la experiencia anterior, completa la siguiente tabla y explica cómo lo hiciste.
Onzas cm³ 1 30 2 90 120
5 6 7
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J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
a. ¿Cómo hallaste el número de onzas para 120 cm³? b. ¿Cómo hallaste el número de cm³ para 7 onzas? c. ¿Cuántos cm³ hay en 15 onzas? d. ¿Cuántas onzas hay en 750 cm³ ? e. Busca una operación que permita obtener los
centímetros cúbicos conociendo el número de onzas?
f. Busca una operación que permita obtener el número de onzas conociendo los centímetros cúbicos?
g. ¿Qué sucede si el número de onzas aumenta? h. Si el número de centímetros cúbicos disminuye,
¿qué sucede con las onzas?
Situación 2
Tarea 2-1 Propósito: Analizar las características de las secuencias numéricas para obtener otros datos y detectar errores.
La siguiente tabla muestra los datos tomados en un experimento, en el cuál se alteró un dato.
Litros (1000cm³) Botella (750cm³) 3 4 6 8 9 12 12 15 15 20 18 24
a. ¿Cuál es el dato que se alteró? b. ¿Cómo detectaste el error? c. ¿Qué proceso utilizaste para corregir el error?
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
d. Busca una operación aritmética que relacione las botellas a partir de los litros.
e. Si hay 27 litros, ¿cómo determinarías el número de botellas?
Tarea 2-2 Propósito: Identificar las características de la secuencia numérica que se obtiene al sumar los valores de las dos medidas cuya relación es de proporcionalidad directa.
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala
Litros (1000cm³)
Botella (750cm³)
No. Litros + No. botellas
3 4 3+4=7 6 8 9 12
12 16 15 20 18 24
a. ¿Qué característica observan al sumar los litros y botellas en cada fila?
Tarea 2-3 Propósito: Identificar las características de la secuencia que se obtiene al realizar diferentes operaciones y comparaciones de las dos medidas cuya relación es de proporcionalidad directa.
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala
Litros(1000cm³) Botella (750cm³)
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J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
3 4 3+6=9 6 8 4+8=12
9 12 3+9=12 12 16 4+12=16
15 20 18 24
21 28 24 32
a. ¿Qué característica observas en las respuestas? b. Amplía la tabla efectuando otras sumas similares a
la planteada y analiza qué sucede con los resultados.
Tarea 2-4 Propósito: Identificar las características de la secuencia que se obtiene al dividir los valores de las dos medidas cuya relación es de proporcionalidad directa.
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala.
No litros÷3
Litros(1000cm³) Botella (750cm³)
No. Botellas÷4
3÷3= 3 4 4÷4= 6÷3= 6 8
9 12 12÷4= 12 15 15 20 18 24
a. ¿Qué características observas en las respuestas? b. Compara los resultados obtenidos en la primera
columna con la última y describe lo que sucede?
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
Tarea 2-5 Propósito: Identificar las características de la secuencia que se obtiene al dividir los valores de las dos medidas y graficar cuya relación es de proporcionalidad directa.
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala.
Litros(1000cm³) Botella (750cm³)
No. Litros ÷ No. Botellas
3 4 ¾ 6 8 9 12
12 15 15 20 18 24
a. Grafica las fracciones de la tercera columna en las siguientes figuras.
b. Compara las gráficas y describe lo que sucede.
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J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
Tarea 2-6 Propósito: Identificar las características al graficar dos medidas cuya relación es de proporcionalidad directa.
En el siguiente plano cartesiano ubica los datos de la tabla y une los puntos.
Litros(1000cm³) Botella (750cm³) 3 4 6 8 9 12
12 16 15 20 18 24
No.
de
Bot
ella
s
No. de Litros
a. Al unir los puntos, ¿cómo es la gráfica? b. Prolonga la línea en los dos extremos, ¿la línea
pasa por el origen del plano? ¿Cómo se interpreta este punto?
c. Conociendo la cantidad de litros, ¿podrías hallar las botellas a partir de la gráfica?
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
Situación 3
Propósito: Identificar las características al realizar diversas operaciones y comparaciones entre dos magnitudes donde se presenta una relación directa no proporcional.
Tarea 3-1 En la siguiente tabla se muestra la relación del costo del agua en metros cúbicos
Cargo básico
Consumo en m³
Costo por los m³
consumidos
Valor total de la factura
2000 1 500 2500 2000 2 1000 3000
3 2000 6 5000
a. Completa los datos que faltan en la tabla b. Explica el procedimiento que debes seguir para
calcular el valor total de la factura.
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J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
Tarea 3-2 En la siguiente tabla se indica una operación, realízala
Consumo en m³ Valor total de la factura
Consumo + valor de la
factura 1 2500 2501 2 3000 3 3500 4 4000 5 4500 6 5000
a. ¿Qué característica observan al sumar el consumo con el valor de la factura y comparándola con la tabla de la tarea 2-2?
Tarea 3-3 En la siguiente tabla se indica una operación, realízala
Consumo en m³
Valor total de la factura
1 2500 1+2 2 3000
2500+3000
3 3500 4 4000
5 4500 6 5000
a. ¿Qué característica observas en las respuestas comparándolas con la tabla de tarea 2-3?
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
Tarea 3-4 En la siguiente tabla se indica una operación, realízala.
Consumo/ 1 Consumo en m³
Valor total de la
factura
Valor factura÷2500=
1÷1= 1 2500 2÷1= 2 3000
3 3500 3500÷2500= 4 4000 5 4500 6 5000
a. ¿Qué característica observas en las respuestas comparándolas con la tabla de la tarea 2-4?
Tarea 3-5 En la siguiente tabla se indica una operación, realízala.
Consumo en m³ Valor total de la factura
Consumo en m³÷ Valor de la
factura 1 2500 1÷2500= 2 3000 3 3500 4 4000 5 4500 6 5000
a. ¿Qué característica observas en las respuestas comparándolas con la tabla de la tarea 2-5?
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Tarea 3-6 En el siguiente plano cartesiano ubica los datos de la tabla y une los puntos
Consumo en m³ Valor total de la factura
1 2500 2 3000 3 3500 4 4000 5 4500 6 5000
Val
or d
e la
fact
ura
Consumo en m³
a. Al unir los puntos, ¿cómo es la gráfica? b. Prolonga la línea en los dos extremos, ¿la línea
pasa por el origen del plano? ¿Cómo se interpreta este punto?
c. Conociendo la cantidad de litros, ¿podrías hallar las botellas a partir de la gráfica?
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
d. ¿Qué característica observas en la gráfica comparándola con la gráfica de la tarea 2-6?
LOS ESTUDIANTES IMPLICADOS
La secuencia didáctica se llevó a cabo en los tres Centros de Educación Rural de Telesecundaria en el grado séptimo con un promedio de 24 estudiantes por institución. El rango de sus edades está entre 12 y 15 años, y este año escolar no habían recibido previamente a la experiencia, ningún tipo de información relacionada sobre proporcionalidad.
La secuencia se realizó en grupos de 4 estudiantes en un tiempo de 10 horas de clase, durante las cuales los grupos estuvieron acompañados y asesorados por los docentes de matemáticas diseñadores de la secuencia. Para la toma de evidencias se integraron las tres instituciones y se hizo un registro en video.
ALGUNOS RESULTADOS
Situación 1
Tarea 1-1
En la primera tarea detectamos que para encontrar en número de centímetros cúbicos que tiene una copa de una onza los 9 grupos utilizaron dos métodos que fueron: con la jeringa llenaron la copa para obtener su capacidad, otros llenaron la copa y empezaron a medir su capacidad sacando el agua de la copa con la jeringa.
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Para determinar el número de onzas o centímetros cúbicos que tiene una botella se presentaron las siguientes situaciones: Inicialmente un grupo empezó a medir con la jeringa la capacidad de la botella, viendo este proceso muy lento utilizó la copa de onza; igualmente otros grupos utilizaron este proceso con un vaso adicional midiendo con la copa de una onza y luego transvasando a la botella; un grupo llenó la botella y empezó a transvasar a la copa de una onza para medir la capacidad de la botella.
Al responder las preguntas observamos que 8 grupos obtuvieron los resultados esperados y un grupo no realizó la medición del agua con la jeringa correctamente.
Tarea 1-2
En esta actividad observamos que los estudiantes mostraron agilidad para completar la tabla y trabajaron en equipo. Todos los grupos lo hicieron en forma correcta.
Para determinar el número de onzas para 120 cm³, dos grupos efectuaron una división (120÷30), los otros grupos buscaron un número que multiplicado por 30 obtuvieran 120, es decir, (30×4) y otros completaron la secuencia de los números.
Para hallar el número de cm3 que tiene 7 onzas, 8 grupos efectuaron una multiplicación (7×30) y un grupo sumando 7 veces 30.
Respecto de la operación que permite obtener los cm³ conociendo el número de onzas, todos los grupos coincidieron que la operación es una multiplicación (No.
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de onzas × 30) y para conocer el número de onzas conociendo el número de cm³ la mayoría de los grupos identificó que una operación para hallar el número de onzas era la división. (No. de cm³ ÷ 30); un grupo propuso la multiplicación buscando el otro factor.
El siguiente cuadro presenta un resumen de algunas respuesta de esta tarea.
Situación 2
Tarea 2-1
Según el análisis efectuado en los grupos analizamos que los estudiantes hicieron las siguientes conjeturas:
• Analizaron que los litros eran múltiplos de tres y en la columna de las botellas la mayoría de los números eran pares y a la vez múltiplos de cuatro excepto una cantidad (15).
• A partir del primer dato de la columna de los litros crearon un modelo para obtener los siguientes a partir de la suma de la constante 3 (3+3=6; 6+3=9). Y en la columna de las botellas crearon un modelo para obtener los siguientes a partir de la suma de la constante 4 (4+4=8; 8+4=12). Detectaron que en la fila de 12 litros no correspondía a 15 botellas sino a 16.
• Efectuaron la conversión de los litros y las botellas a centímetros cúbicos observando que en 12 litros y 15 botellas no era equivalente.
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Situación 3
Tarea 3-1
Observamos que para completar la tabla los 9 grupos la realizaron en forma rápida y correcta.
La explicación del proceso para calcular el valor de la factura en todos los grupos fue: “sumando el cargo básico más el costo por m³ de consumo”.
Tarea 3-2
Algunas respuesta de los grupos fueron:
• Comparando con la situación 2, analizamos que entre más litros más botellas y al sumar litros con botellas el resultado es un múltiplo de 7. Y en esta situación entre más consumo más costo de la factura y al sumar los m³ con el valor de la factura no hay múltiplos.
• Que en esta situación al realizar la suma no son múltiplos de ningún número.
• En la situación 2 los litros se suman con las botellas, y en esta situación sumamos el consumo y el valor de la factura. En la situación 2 son múltiplos de 7 y en esta situación no son múltiplos de ningún número.
• No son múltiplos de ninguna en cambio en la situación 2 tarea 2 son múltiplos de 7.
ACTIVIDAD PARA CONCLUIR LA SECUENCIA DIDÁCTICA
Para concluir nuestra actividad se realizaron algunas preguntas en forma oral, que a continuación presentamos con algunas de las respuestas dadas:
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
1. Cuándo dos magnitudes tienen una relación directa?
• Al aumentar una magnitud la otra magnitud correspondiente también aumenta.
• Igualmente si una magnitud disminuye la otra también. • Cuando al compararlas el aumento de una cantidad en
una de las magnitudes se da un aumento en la cantidad correspondiente de la otra magnitud.
2. ¿Cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales y de un ejemplo según las actividades resueltas?
3 ¿Cuándo dos magnitudes están directamente correlacionadas y de un ejemplo según las actividades resueltas?
DISCUSIÓN
Las estrategias empleadas en la resolución de las tareas planteadas, unas en el ámbito experimental y otras más concretas, constituyen evidencia de que las tareas permitieron comprender y establecer relaciones entre dos magnitudes directamente proporcionales o directamente correlacionadas.
El análisis presentado en este trabajo pretende mostrar los aspectos dinámicos del aprendizaje en donde resaltamos dos aspectos: en primer lugar las características del diseño de la secuencia de la enseñanza, que favorecían que los estudiantes de enfrentaran a las tareas experimentales e instruccionales desde sus propios puntos de vista, y el papel determinante desempeñado por el hecho de tener que
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verbalizar las estrategias empleadas en su resolución, permitiendo su reconceptualización; en esta secuencia los momentos de proporcionar explicaciones o de escuchar al compañero se constituyen en oportunidades para aprender. En segundo lugar desde el punto de vista de las estrategias empleadas por los estudiantes en la resolución de las tareas se resalta la forma como iban construyendo las respuestas de acuerdo a las preguntas planteadas, que nos aproximan a las bases del futuro algoritmo de la regla de tres; parece operarse un cambio en los procesos cognitivos de los estudiantes, en el sentido de ir adaptando las estrategias empleadas en un primer momento a las características estructurales de las nuevas situaciones, produciéndose los saltos cualitativos que caracterizan este aprendizaje.
El problema, desde esta nueva perspectiva de la vinculación entre la instrucción y el aprendizaje sigue abierto, necesitándose más estudios que impliquen diferentes contextos, magnitudes, clases de razones empleadas, modificación de la presentación de las tareas, entre otras. Finalmente cabe señalar que este tipo de estudios pretende aportar información en relación a la manera de analizar el aprendizaje, desde el punto de vista dinámico, produciendo como consecuencia de una instrucción determinada.
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Desde la perspectiva de los estudiantes
• La componente experimental promovió el interés por la actividad.
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
• La actividad, a través del trabajo en equipos, promueve la discusión argumentada entre los estudiantes.
• Las actividades promueven la posibilidad de implementar estrategias y procesos no preestablecidos.
• Algunas tareas propician la identificación de características distintivas de la proporcionalidad y correlación directa.
• Se observó dificultad en la redacción de ideas aparentemente comprendidas y poco uso de lenguaje matemático
Desde la perspectiva de los docentes
• Reconocer la posibilidad de aprender de las respuestas y estrategias (creativas, originales, insospechadas, sorprendentes) dadas y utilizadas por los estudiantes.
• Advertir que los conceptos de razón y proporción, establecidos usualmente como prerrequisito para el estudio de la proporcionalidad directa no son indispensables para el estudio de ésta desde la perspectiva implicada en la secuencia didáctica.
• Redimensionar la potencialidad y las dificultades del trabajo en equipo.
• Fortalecer la formación profesional.
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REFERENCIAS
Fiol, J. y Fortuny, M. (1990). La proporcionalidad directa, la forma y el número. Editorial Síntesis.
Ministerio de Educación Nacional. (2005). Taller: Estándares Básicos para Matemáticas. División de perfeccionamiento y calidad de la Educación.
RECONOCIMIENTOS
Agradecemos el apoyo prestado en las distintas fases de la realización de esta secuencia didáctica a nuestro asesor Edgar Guacaneme, Secretaria de Educación, directores de cada centro educativo: Zenaida Barón, Jorge Arcenio Vargas y Rocio Camargo y estudiantes grado séptimo.
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