Certamen 1 2014-1

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica

1er Certamen MAT02129 de abril de 2014

Primer Certamen de Matematica I (MAT021)Calculo

1er Semestre 201429 de abril 2014

NOMBRE:

RUT: PARALELO:

1. 25 pt. Resuelva la siguiente inecuacion en R:

x3 − x|x− 1| − 1

≥ 0.

Solucion: En primer lugar, distinguimos dos casos:

Caso 1: Si x ∈ [1,∞) (es decir, si x ≥ 1), entonces |x− 1| = x− 1 y la inecuacion se convierte en

x(x+ 1)(x− 1)

x− 2≥ 0.

Esta expresion no tiene sentido si x = 2. Los ceros del numerador (-1, 0 y 1) son soluciones pues ladesigualdad no es estricta. En los intervalos restantes el signo es

(−∞,−1) (−1, 0) (0, 1) (1, 2) (2,∞)x+ 1 − + + + +x − − + + +

x− 1 − − − + +x− 2 − − − − +

x(x+ 1)(x− 1)

x− 2+ − + − +

Por lo tanto, el conjunto de soluciones para el caso 1 es

S1 = [1,∞) ∩[(−∞,−1] ∪ [0, 1] ∪ (2,∞)

]= {1} ∪ (2,∞).

Caso 2: Si x ∈ (−∞, 1) (en otras palabras, si x < 1), entonces |x− 1| = 1− x y la inecuacion es

x(x+ 1)(x− 1)

−x≥ 0.

Esta expresion no esta definida si x = 0. Si x 6= 0, ella es equivalente a

(x+ 1)(x− 1) ≤ 0.

El conjunto de soluciones para el caso 2 es

S2 = (−∞, 1) ∩ [−1, 1]− {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1).

Combinando toda la informacion deducimos que el conjunto de soluciones es

S = S1 ∪ S2 = [−1, 0) ∪ (0, 1] ∪ (2,∞).

MAT021 Coordinacion Primer Semestre 2014 1



2. 35 pt. Considere la funcion f : dom(f)→ rec(f), definida mediante la asignacion

f(x) =

∣∣∣∣2x+ 1

x− 1

∣∣∣∣ .a) Determine dom(f).

b) Elabore el grafico de f .

c) A partir del grafico, encuentre rec(f).

d) Compruebe que f no es inyectiva.

e) Verifique que la funcion g : [− 12 , 1)→ rec(f), definida por g(x) = f(x), es biyectiva y calcule g−1.

Solucion:

a) La funcion esta definida salvo en aquellos puntos donde se anula el denominador. En consecuencia,dom(f) = R− {1}.b) Obtendremos el grafico de f a partir de otros graficos conocidos. Para ello notemos que

f(x) =

∣∣∣∣2x+ 1

x− 1

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2x− 2 + 3

x− 1

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2(x− 1) + 3

x− 1

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 + 3

x− 1

∣∣∣∣ .

y = 1x

y = 3x−1

1

y = 2 + 3x−1

1

2

y =∣∣∣2 + 3

x−1

∣∣∣

1

2

− 12

c) A partir del grafico se observa que rec(f) = [0,∞).

d) Basta encontrar dos elementos de dom(f) que tengan la misma imagen por f . Por ejemplo,

f(−2) = 1 = f(0), o bien f(25

)= 3 = f(4).




e) En el intervalo senalado, se tiene que

g(x) =

∣∣∣∣2x+ 1

x− 1

∣∣∣∣ = −2x+ 1

x− 1= −

[2 +

3

x− 1

].

Para la inyectividad, simplemente notemos que

g(x1) = g(x2)⇐⇒ −[2 +

3

x1 − 1

]= −

[2 +

3

x2 − 1

]⇐⇒ 3

x1 − 1=

3

x2 − 1⇐⇒ x1 = x2.

Para la sobreyectividad (usaremos esto tambien en el calculo de la inversa), dado y ∈ [0,∞) = rec(f),tenemos que

y = g(x) ⇐⇒ y =2x+ 1

1− x⇐⇒ y − yx = 2x+ 1

⇐⇒ y − 1 = (y + 2)x

⇐⇒ x =y − 1

y + 2.

Por lo tanto, y ∈ rec(g), y g es sobreyectiva.

Finalmente. la funcion g−1 : [0,∞)→ [− 12 , 1) esta definida mediante la relacion

y = g(x) ⇐⇒ x = g−1(y)

para x ∈ [− 12 , 1) e y ∈ [0,∞). En vista de lo anterior, concluimos que

g−1(y) =y − 1

y + 2.




Primer Certamen de Matematica I (MAT021)Complemento

1er Semestre 201429 de abril 2014

NOMBRE:

RUT: PARALELO:

3. 25 pt.

a) Compruebe quesen(A+B) + sen(A−B) = 2 sen(A) cos(B).

b) Encuentre todas las soluciones en R de la ecuacion:

sen(7x) + sen(x) = sen(4x).

Solucion:

a) De acuerdo con las formulas para el seno de la suma y diferencia de angulos tenemos:

sen(A+B) + sen(A−B) = sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A) + sen(A) cos(B)− sen(B) cos(A)

= 2 sen(A) cos(B).

b) Utilizaremos la formula de la parte anterior. Para ello resolvemos el sistema{A+B = 7xA−B = x,

obteniendo A = 4 y B = 3. Concluimos que

sen(7x) + sen(x) = 2 sen(4x) cos(3x).

Por lo tanto, la ecuacion a resolver es

2 sen(4x) cos(3x) = sen(4x),

que es equivalente asen(4x)

[2 cos(3x)− 1

]= 0.

Esta igualdad se cumple en cualquiera de los siguientes casos:

sen(4x) = 0, lo cual ocurre cuando 4x = kπ, con k ∈ Z. Es decir, cuando x = kπ4 , con k ∈ Z.

cos(3x) = 12 , lo cual se tiene cuando 3x = ±π3 + 2kπ, con k ∈ Z. En otras palabras, cuando x =

±π9 + 2kπ3 , con k ∈ Z.




4. 15 pt. A partir de la informacion contenida en la figura, determine el valor de x e y:

π3

π6

y

x 1

Solucion: Por una parte, tenemos que

y

x+ 1= tan

(π6

)=

1√3.

Por otra,y

x= tan

(π3

)=√3.

Por lo tanto,x+ 1√

3= y = x

√3,

o, de manera equivalente,x+ 1 = 3x.

Finalmente,

x =1

2y, por lo tanto, y =

√3

2.


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