Operación de Sistemas de Energía Eléctrica

Coordinación Hidrotérmica

1. Programación Hidrotérmica de Corto Plazo

1.1. Formulación incluyendo las Pérdidas de Transmisión

Otro problema de coordinación hidrotérmica de mucho interés practico es aquel en

que se requiere que un dado volumen de agua sea utilizado para minimizar el costo de

operación de las térmicas, que en este caso son supuestas a operar durante todo el horizonte

de tiempo de estudio, ya que se considera que la generación de origen hidráulica no tiene

potencia suficiente para alimentar la carga. Estos aspectos difieren a la Programación

Hidrotérmica de Corto Plazo del problema de Programación con restricciones de energía

abordado anteriormente.

Para presentar el problema, será considerado un sistema formado por una UTE y una

UHE equivalentes. Existe un máximo volumen de agua que puede ser turbinado a lo largo del

periodo de max

T horas, definido a partir de los estudios de planeamiento de la operación de

mediano plazo. Sera también supuesta la ausencia de vertimiento y también que la altura del

agua en el embalse permanece aproximadamente constante a lo largo del horizonte de

estudio. Esta última hipótesis implica que la potencia producida por la UHE depende

esencialmente del caudal turbinado, de modo que es posible expresar el caudal q en el

intervalo de tiempo j como una función de ,H j

P .

Sea tot

V el volumen disponible para ser turbinado durante el horizonte de max

T horas

que, como antes, es discretizado en max

j intervalos, siendo que el intervalo max

1,2,...,j j ,

tiene duración de j

h horas. Entonces el problema de programación hidrotérmica de corto

plazo es enunciado como el siguiente problema:

,1

maxmin

j

T T T j jj

F P F P h

(1)

s.a

,1

NT

j H j totj

h q P V

, , , , max1,...,

L j perd j H j T jP P P P j j

Donde ,L j

P es la carga del sistema en el intervalo j y ,perd j

P representa las pérdidas

de transmisión en el intervalo j . Se supone que la carga es constante a lo largo de cada

intervalo j y la relación entre max

T y j

h continua siendo dada por la ecuación max

1

maxj

jj

h T

.

La función lagragiana relativa al problema (1) es dada por:

, , , , ,1

max, , , ( )

j

T H T j j j L j perd j H j T jj

L P P F P h P P P P

,1

NT

j H j totj

h q P V

Donde:

max, 1,...,

jj j son los multiplicadores de Lagange asociados a las restricciones de balance

de potencia en cada intervalo de tiempo y es el multiplicador de Lagrange (escalar)

asociado a la restricción de volumen.

Se puede observar que la restricción de volumen es una sola, pero envuelve a las

potencias generadas en las UHE en cada intervalo de tiempo j . Debido a el hecho de pasar

por todos los intervalos del horizonte de tiempo de estudio, este tipo de restricción es llamado

de restricción intertemporal.

Las condiciones necesarias para la solución óptima del problema (1) en un dado

intervalo k son:

, ,

max

, , ,

1 0, 1,...,T k perd k

k k

T k T k T k

dF P PLh k j

P dP P

(2)

y

, ,

max

, , ,

1 0, 1,...,H k perd k

k k

H k H k H k

dq P PLh k j

P dP P

(3)

Que pueden ser reescritas como:

,

max, ,

,

1, 1,...,

1

T k

k kperd k T k

T k

dF Ph k j

P dP

P

(4)

,

max, ,

,

1, 1,...,

1

H k

k kperd k H k

H k

dq Ph k j

P dP

P

(5)

Las ecuaciones (4) y (5) son llamadas de ecuaciones de coordinación hidrotérmica.

1.2. Caso Particular: Perdidas de Transmisión Desconsideradas

Consideremos ahora que las pérdidas de transmisión pueden ser despreciadas, o sea:

, max0, 1,...,

perd jP j j

Además de esto, supongamos también que los intervalos de tiempo son de igual

duración, o sea:

max, 1,...,

jh h j j

En este caso las ecuaciones de coordinación (4) y (5) serian:

,

max

,

, 1,...,T k

k

T k

dF Ph k j

dP (6)

,

max

,

, 1,...,H k

k

H k

dq Ph k j

dP (7)

Suponiendo adicionalmente que la función ,H jq P puede ser aproximada como:

, 0 1 ,H j H jq P P

De tal forma que 1

,H j

dq

dP = constante, vemos de la ecuación (7) que sobre las

hipótesis consideradas, k

será constante a lo largo de todos los intervalos de tiempo.

Tomando este resultado e introduciendo en la ecuación (6), fácilmente concluimos que las

térmicas deberán operar con costos incrementales constantes, lo que implica en que las

potencias generadas por las térmicas serán igualmente constantes durante todo el horizonte de

tiempo.

Esta versión simplificada de la coordinación hidrotérmica también nos permite hacer

una interpretación bastante útil del multiplicador de Lagrange . Recordemos la relación

entre las funciones de tasa de calor H y del costo de producción F, dada por

( ) ( )T T

F P f H P

Donde f es el costo de combustible. Substituyendo esta relación en la ecuación (6)

obtenemos:

,

,

T k

k

T k

dH Ph f

dP (8)

Comparando las ecuaciones (7) y (8) e llevando en cuanta que H y q desempeñan un

papel similar como funciones que traducen la tasa de entrada de energía para la UTE y para la

UHE respectivamente, podemos concluir que la variable , medida en 3$ dam , debe tener

un papel análogo a f , expresado en $ MBtu . En otras palabras, es para la UHE lo que f

es para la UTE. La variable es el valor marginal del agua. Considerando los valores de

volumen de agua disponible para ser turbinado por una UHE sobre las mismas condiciones,

1totV y

2totV ,

1 2tot totV V , podemos esperar que, si

1 y

2 son valores marginales

correspondientes del agua, entonces 2 1

.

Es importante destacar que las conclusiones anteriores también presuponen que

ningún límite de generación fue alcanzado.

Ejemplo: Una carga debe ser alimentada durante 24 horas por una UHE y una

UTE cuyas características son:

UHE: 3( ) 330 4,97 , 0 1000H H H

q P P dam h P MW

UTE: 2( ) 575 9,7 0,00184 , 150 1500T T T T

F P P P MBtu h P MW

Los efectos de las pérdidas de transmisión son considerados despreciables, el máximo

volumen de agua a ser turbinado es de 3100000 dam

y la carga varia conforme la

siguiente tabla:

Determine los despachos de la UHE y de la UTE a lo largo del periodo; los costos

marginales de energía del sistema y los costos marginales del agua.

Solucion: De los datos del problema, vemos que 1 2

12h h horas . Como las

perdidas son despreciadas, podemos aplicar las conclusiones de la subseccion 1.2, y por lo

tanto

,1 ,2T T TP P P

De las ecuaciones de balance de potencia, tenemos que

,1 ,1

,2 ,2

1200 1200

1500 1500

H T H T

H T H T

P P P P

P P P P

Ya que la ecuación de restricción de volumen nos indica que

1 ,1 2 ,2( ) ( )

H H toth q P h q P V

O, como 1 2

12h h

12 330 4,97 1200 330 4,97 1500 100000T T

P P

Cuya solución nos da

,1 ,2577,9

T T TP P P MW

Y en consecuencia

,1

,2

1200 622,1

1500 922,1

H T

H T

P P MW

P P MW

Los multiplicadores de Lagrange de las ecuaciones de balance de energía pueden ser

calculados de la ecuación (6)

,

1 2

,

12 9,2 0,00368 577,9 135,92 $T k

T k

dF Ph MW

dP

Finalmente, el costo marginal del agua es obtenido de la ecuación (7)

,

,

12 4,97 135,92H k

H k

dq Ph

dP

Y por lo tanto

32,28 $ dam

2. Solución Computacional de la Coordinación Hidrotérmica de

Corto Plazo

En el caso general en donde las pérdidas de transmisión no pueden ser despreciadas, la

solución de las ecuaciones de coordinación hidrotérmica (4) y (5) conjuntamente con las

restricciones de balance de potencia y de volumen del problema (1) forma un conjunto de

max6 1j ecuaciones no-lineales para determinar un igual número de incógnitas. A

continuación será discutido un algoritmo computacional para resolver este problema.

2.1. Algoritmo de iteración .

El método clásico para solución del problema de coordinación hidrotérmica es basado

en el llamado algoritmo de iteración . Que consiste en tres lazos: el interno es un lazo

iterativo que ajusta los multiplicadores de Lagrange j

para obtener una solución de las

ecuaciones de coordinación hidrotérmica y de la ecuación de balance de potencia. El lazo

intermedio incrementa los intervalos de tiempo hasta agotar el horizonte de tiempo de

estudio. Finalmente, el lazo externo ajusta iterativamente el multiplicador de Lagrange de la

restricción de volumen hasta que la restricción sea cumplida. El algoritmo es descripto a

continuación. Las tolerancias 1

y 2

son números positivos de valor suficientemente

pequeño para verificar el cumplimiento de las restricciones de balance de carga y de máximo

volumen a ser turbinado.

Algoritmo Iteración .

1- Inicializar k

, y ,T kP ;

2- Inicializar el contador de intervalos de tiempo 1j ;

3- Resolver las ecuaciones de coordinación hidrotérmica:

, ,

, ,

1T j perd j

j j j

T j T j

dF P Ph

dP P

, ,

, ,

1H j perd j

j j j

H j H j

dq P Ph

dP P

4- Verificar se la ecuación de balance de carga es satisfecha

, , , , 1L j perd j H j T jP P P P

En caso positivo, ir al paso 5. En caso negativo, proyectar un nuevo valor para j

y volver al

paso 3.

5- Calcular ,j H jq q P ;

6- Si max

j j ir al paso 7. Si no, hacer 1j j y volver al paso 3;

7- Verificar el cumplimiento de las restricciones de máximo volumen:

, 21

max( )

j

j H j totj

h q P V

Si la restricción es satisfecha, FIN. Si no, proyectar un nuevo valor para y reiniciar el

proceso iterativo en el paso 3.

Ejercicio: Reconsiderar el ejemplo anterior pero ahora suponiendo que la UHE

está localizada a una cierta distancia de la carga de modo que las pérdidas de

transmisión son significativas y depende apenas de H

P , siendo dadas por:

5 2

, , max8 10 ; 1,...,

perd j H jP P j j

Encuentre los nuevos despachos de la UHE y de la UTE; los multiplicadores de

Lagrange y las pérdidas de transmisión.

Solución: La aplicación del Algoritmo obtiene los siguientes resultados:

Periodo ,T jP MW ,H j

P MW $j

MW ,perd jP MW 3

jq dam h

00:12 567,4 668,3 135,46 35,73 3651,5

12:24 685,7 875,6 140,68 61,33 4681,7

El valor marginal del agua determinado por el algoritmo es igual a 2,028 3$ dam .

2.2. Inclusión de Restricciones Hidráulicas

Esta sección describe una forma más detallada de representación de las UHEs, en la

cual son explícitamente representadas diversas variables hidráulicas. Las restricciones de

volumen son especificadas por intervalos de tiempo y la formulación contempla la

imposición de límites operacionales sobre las diversas variables hidráulicas.

La figura 1 representa esquemáticamente las diversas variables hidráulicas envueltas.

Ellas son:

jr

: Caudal afluente para el embalse durante el intervalo j, en 3hm h ;

jq

: Caudal turbinado en el intervalo j, en 3hm h ;

ju

: Tasa de vertimiento en el intervalo j, en 3hm h ;

jV

: Volumen almacenado en el embalse en el intervalo j, en 3hm .

Figura 1

Se mantiene en esta sección la hipótesis de que, en el horizonte de corto plazo, la

altura de agua del embalse no varía, de modo que la potencia generada por la UHE es función

apenas del caudal turbinado.

La ecuación de balance hídrico en cualquier intervalo de tiempo genérico j, debe ser:

1j j j j j jV V r q u h

Con la inclusión de las nuevas variables hidráulicas, el problema de coordinación

hidrotérmica puede ser caracterizado como:

,1

maxmin

j

T T T j jj

F P F P h

s.a

, , , ,

1

max

,

,

0

0

, 1,...,

0

L j perd j H j T j

j j j j j j

j

T T j T

H H j H

j

P P P P

V V r q u h

V V Vj j

P P P

P P P

u

(9)

Las siguientes observaciones se aplican a la formulación del problema (9):

1- La restricción de balance hídrico en la forma anterior, presenta una versión mas detallada

de la restricción de volumen del problema (1). En el caso anterior, el volumen inicial 0V

debe ser especificado.

2- La última restricción presentada en la formulación (9) es necesaria para modelar

correctamente los vertimientos, que no pueden ser negativos.

La función Lagrangiana relativa al problema (9) es dada por:

, , , , ,1 1

11

1

, , , ,1

, , , ,1

max max

max

max

max

max

( )

( )

( )

j j

T j j j L j perd j H j T jj j

j

j j j j j j jj

j

j j j jj

j

T j T T j T j T j Tj

j

H j H H j H j H j Hj

L F P h P P P P

V V r q u h

V V V V

P P P P

P P P P

Para simplificar la obtención de las condiciones de optimalidad, será supuesto a

continuación que no es permitida la operación con vertimiento, entonces

max0, 1,...,

ju j j . Según esta hipótesis, las condiciones de factibilidad dual son:

, ,

, ,

, , ,

, ,

, , max

, , ,

1

0 1 0

0 1 0 1,..., (10)

0 0

T j perd j

j j T j T j

T j T j T j

H j perd j

j j H j H j

H j H j H j

j j j j

k

dF P PLh

P dP P

dq P PLh j j

P dP P

L

V

Además de esto, tendríamos las condiciones de factibilidad primal y de holgura

complementaria.

Si ningún límite de volumen es alcanzado para ningún de los max

j intervalos de

tiempo, entonces las condiciones de holgura complementaria garantizan que:

0j j

En estas condiciones, la tercera de las ecuaciones de (9) queda como:

1 max1,...,

j jj j

Se concluye que el valor del agua será constante a lo largo de todo el horizonte de

tiempo excepto si el límite de volumen es alcanzado para algún intervalo de tiempo. Se puede

observar que esta conclusión se aplica independientemente de que los limites de generación

fuesen alcanzados o no.

Supongamos ahora que el límite superior de volumen sea alcanzado en el intervalo k, sin que

esto ocurra en el intervalo k+1. Esto significa que en el intervalo k existe una abundancia de

agua en el embalse. En este caso, la tercera de las ecuaciones de (10) nos daría:

1k k k

Como el multiplicador de Lagrange k

es positivo, esto significa que 1k k

. Esta

conclusión puede ser interpretada como sigue. Como la oferta de agua es mayor en el

intervalo k, su valor es menor que en el intervalo siguiente, donde por hipótesis o limite el

volumen no es alcanzado. Una conclusión análoga podría ser extraída para el caso en que el

límite mínimo fuese alcanzado para un intervalo k dado.