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,A L G E B R A

FERNANDO CHAMIZO LORENTE

3Q de Matematicas. Curso 1996-1997

II

Version del 21/1/2002





,

Indice

Ideas que subyacen a la Teorfa de Galois

1. Cuerpos y sus extensiones

-Definicion de cuerpo 1

-Polinomios 4

-Extensiones de cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Tres problemas clasicos

-Construcciones con regIa y compas 25

-La duplicacion del cuba y la triseccion del angulo 26

-La cuadratura del circulo 28

3. EI grupo de Galois. Extensiones normales y separables.

-Automorfismos y grupo de Galois 36

-Extensiones normales 41

-Extensiones separables 46

-Teorema fundamental de la teoria de Galois y ejemplos 49

4. Grupos finitos y cuerpos finitos.

-Repaso de teoria de grupos 67

-Series de composicion y grupos solubles 67

-Cuerpos finitos 71

(Apendice de teoria elemental de grupos).

5. Resolubilidad por radicales.

-EI teorema de Galois 77

-Algunas aplicaciones 79

Bibliografia:

1. Stewart. "Galois Theory". Ed Chapman and Hall.

A. Clark. "Elementos de Algebra Abstracta". Ed. Alhambra.





Ideas que subyacen a la Teoria de Galois

De forma poco precisa pero ilustrativa, se puede afirmar que laTeoria de Galois estudia

las "simetrias" de las soluciones de ecuaciones algebraicas xn+an_IXn-I+ ... + a lx+aO =o .

El result ado mas conocido de esta teoria, y con el que a veces se la identifica, es que

si n > 4 hay ecuaciones para las que x no se puede despejar a partir de los coeficientesen terminos de sumas, restas, multiplicaciones divisiones y radicales, por tanto no existe

ninguna formula de este tipo que resuelva la ecuacion general de grado n > 4. En realidad

este result ado es algunos alios anterior al famoso trabajo de Galois y fue probado en

1826 por Abel (Ruffini habia obtenido con anterioridad una demostracion poco rigurosa).

Como veremos, la contribucion de Galois fue dar condiciones necesarias y suficientes para

la resolubilidad por radicales en terminos de un grupo, el grupo de Galois, que refleja las

"simetrias" de las soluciones de la ecuacion. En la practica suele ser dificil verificar estas

condiciones para una ecuacion dada porque el grupo de Galois puede ser muy complicado

de calcular, pero desde el punta de vista matematico la relacion entre grupos de simetriasy resolucion de ecuaciones es muy reveladora, permitiendo perfeccionar y aclarar ideas de

Lagrange, Gauss, Ruffini y Abel.

§l. El grupo de Galois.

Descomponiendo el polinomio P(x) =xn + an_IX n-1 +...+ a lX + ao =0 en factores,

es facil comprobar que sus coeficientes se pueden expresar como polinomios simetricos de

las rakes Xl, X2 ... , Xn (se tiene por ejemplo ao =(-1 )nX IX2 ... X n Y -an- l =Xl + X2 +

... + xn), por tanto cualquier perrnutacion de las rakes deja invariantes los coeficientes.

El grupo de Galois se define como el conjunto formado por las permutaciones que son

compatibles con las relaciones algebraicas que pudiera haber entre las rakes. Por ejemplo,

las rakes de x4+ x3+x2+x+1 son Xl =e27ri/5, X2 =X I, X3 =xr, X4 =xi y la perrnutacion

que intercambia Xl y X2 no se incluye en el grupo de Galois porque si Xl pasa a ser X2

entonces X2 =Xl . Xl debiera pasar a ser X2 . X2 =X4 Yno a Xl. De hecho no es dificil

comprobar que solo hay cuatro permutaciones validas. Como en general no hay relaciones

entre las rakes, el grupo de Galois suele ser el grupo Sn de todas las permutaciones de n

letras.

§2. Grupo de Galois Vresolucion de ecuaciones.

Resolver P(x) =0 implica pasar de los coeficientes que son invariantes por todas las

"simetrias" (permutaciones) a las rakes que son intercambiadas por ellas. El grupo de

Galois mide el mimero minimo de simetrias para que una funcion de las rakes se pueda

escribir en terrninos de los coeficientes. Concretamente, Galois demostro que una funcion

1



racional (cociente de polinomios) de las rakes se puede escribir como una funcion racional

de los coeficientes si y solo si es invariante por el grupo de Galois.

En las formulas clasicas para resolver las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado

se usan radicales para ir rompiendo poco a poco las simetrias de los coeficientes. Por

ejemplo, al resolver X2 + bx + c =0 aparece Jb2 _ 4c que pasa de la funcion simetrica

b2_ 4c=(Xl + X2)2 _ 4XIX2 a la no simetrica Jb2 _ 4c=±(XI _ X2). Un ejemplo un poco

mas complicado es la ecuacion de tercer grado x3 + px + q =0 cuya solucion viene dada

por

X = 3 _ l j _ + J q2 + p3 _ ! ! _ / 3 _ l j _ + J q2 + p3 .

2 4 27 3 2 4 27

Obteniendose las tres rakes a base de elegir los tres posibles valores (complejos) para la

raiz cubica.

Si llamamos Xl, X2, X3 a las rakes de la ecuacion anterior,

x3 + px + q =(x _ XI)(X _ X2)(X _ X3) ~ p =XIX2 + XIX3 + X2X3, q =-XIX2X3.

De nuevo, observese que p y q son invariantes por 83 (en el sentido de que no varian al

cambiar Xl, X2, X3 por Xa(l)' Xa(2)' Xa(3) con (J E 83), mientras que algunos calculos prueban

que

ypor tanto Jq2 /4 + p3/27 soloes invariante por A3 (permutaciones pares). Por otra parte

q ~2 p3 1 ( 2 ) 3 27 r . 2 7 r_- _ - + - =- Xl + (X2 + (X3 con ( =cos - +'/,en-2 4 27 27 3 3

implica que la raiz cubica de esta expresion no es invariante por nada distinto de la iden-

tidad.

La idea fundamental de Galois es que los radicales reducen las simetrias de una forma

muy particular que queda fielmente reflejada en la estructura del grupo de Galois.

§3. Radicales, grupos y la ecuacion general de grado n.

Supongamos ahora que tenemos una formula para resolver la ecuacion general de

grado n (cuyo grupo de Galois es 8n) y que r ={I'A es uno de los radicales mas interiores

(podemos suponer p primo porque alf = y r . y = ) , es decir, A es una funcion racional de los

11



coeficientes y por tanto simetrica en las rakes Xl, X2, ... ,Xn; asf pues rP es invariante por

8n. Consideremos el homomorfismo (pruebese que 10 es)

 : s; - - - - - + ( ~ - {a},.)

(J - - - - - + r (Xa(l)' Xa(2)' ... Xa(n)) / r(Xl' X2, ... , Xn).

Notese que (J E Nuc si y solo si r es invariante por (J. Si ifha roto algunas simetrias, hayelementos en la imagen distintos de 1; como adem as ( ( (J) ) P =1 (porque rP es invariante

por 8n), se deduce que la imagen de esta formada por las rakes de la unidad de indice

p, esto es

27r 27 rcon (=cos - + isen-.

p p

Como Im (con la multi plicacion) es isomorfo a 7lp, por el teorema del isomorfismo se

tiene

8n/Nuc rv7lp-

Recapitulemos todo 10 hecho: Hemos partido de la expresion A que es invariante por

Go=8n y hemos demostrado que {I'A es invariante por G: =Nuc y que si G:eGo se

debe tener GO/Gl rv 7lp- Todo este proceso se puede repetir al aiiadir un nuevo ~adical

"reduciendo" Gl a G2 con GI/G2 rv 7lpi y asi sucesivamente hasta llegar a {Id} que

corresponde a una expresion que no es invariante por nada y de la que podemos despejar

las rakes. Todo esto queda resumido en el siguiente resultado:

Si la ecuaci6n de grado n es soluble por radicales, existe una cadena de grupos

Go=s; :::)l :::)G2 :::) ... :::)a;={Id}

tales que cada uno es subgrupo normal del anterior yGi-I/Gi rv7lPi' 1 ::;i::;.

Para las ecuaciones de grados n =2,3 y 4, las cadenas son

82 :::) {Id}, 83:::) A3 :::){Id}, 84:::) A4 :::)((1,2)(3,4), (2,3)(1,4)) :::){Id};

pero no existe ninguna cadena similar en el caso n = 5. La idea es que esta debiera

comenzar por 85 :::)A5 Ycomo A5 no tiene ningun subrupo normal no trivial no podemos

completar esta cadena, y por tanto no existe una solucion con radicales para la ecuacion

quintica general. Lo mismo ocurre siempre que n ~ 5.

La demostracion de que A5 (yen general An ) no tiene subgrupos normales no triviales

es un poco tediosa pero no excesivamente complicada. Esencialmente, se prueba que

si (J E A5, (J # {Id}, entonces {7-l(J7/ 7 E A5} = A5 Y por tanto no existe ningun

{Id} # HeA5 tal que 7-1H7=H para todo 7.#

III



§4. EI teorema de Galois.

A pesar de que una parte de las ideas de la secci6n anterior estan implicit as en el

trabajo de Abel sobre la imposibilidad de resolver la quintica por radicales, fue Galois

quien puso de manifiesto la estrecha relaci6n entre la resolubilidad por radicales y la teoria

de grupos. Su result ado principal contempla ecuaciones cuyo grupo de Galois no es nece-

sariamente Sn y permite dar una condici6n necesaria y suficiente para que las rakes de

una ecuaci6n se puedan expresar mediante radicales.

Teorema (de Galois):La ecuacion P(x) =0 se puede resolver en texminos de sus

coeficientes con expresiones obtenidas por composicion de funciones recioneles y radica1es

si y solo si e1 grupo de Galois, G, tiene una cadena de subgrupos G =Go :::)G1 ... :::)

Gm-1 :::)Gm cada uno subgrupo normal del anterior y con Gm e1 grupo trivial, de modo

que Gi-1/Gi ~ 7lPi con P i primo, i=1,2 ... ,m.

IV



1. Cuerpos y sus extensiones

§l. DEFINICION DE CUERPO.

Un sorprendente teorema que demostraremos mas adelante implica que la suma, resta,

multiplicacion y division de rakes de polinomios da lugar a nuevas rakes de polinomios.

Asi, por ejemplo, como 1 + V 2 y J3 - 2 son rakes de polinomios con coeficientes en < Q ,

concretamente de x2 - 2x - 1 Y x2 + 4x + 1, entonces (1+ V 2 ) (J3 - 2) es tambien raiz de

un polinomio con coeficientes en < Q , concretamente de x4 + 8x3 - lOx2 - 8x + 1=o . Esto

sugiere que la estructura algebraica natural para estudiar rakes de polinomios es aquella

en la que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) , la cual corresponde

a la idea intuit iva de cuerpo.

DEFINICION: Un cuerpo, K es un snillo tal que K - {O} es un grupo ebelieno con

respecto a la multiplicaci6n.

Para aquellos que tengan problemas para identificar la definicion anterior con su sig-

nificado intuitivo, se recuerdan los conceptos de anillo y de grupo que ya se introdujeron

el curso pasado.

DEFINICION: Un anillo, A, es un conjunto dotado con dos operaciones cerradas, EEly

o (suma y multiplicaci6n), de modo que se verifican las siguientes propiedades:

i) A es un grupo sbeluuio con respecto a EEl.

ii) 0 es una operaci6n asociativa en A.

iii) Se cumplen las leyes distributivas (a EElb) 0 c =(a 0 c) EElb 0 c) y c 0 (a EElb)=

(c0a) EElc0b).

DEFINICION: Un grupo, G, es un conjunto dotado con una operaci6n cerrada, *, talque se verifican las siguientes propiedades:

i) * es asociativa: 9 * (h * 1) =( g * h) * [,

ii) Existe el elemento neutro: 3e E G / e * 9=9 * e =9 ' t/g E G.

iii) Existe el elemento inverso: ' t/g E G 3h E G/ h * 9 =9 * h =e.

NOTA: Si ademas * es una operacion conmutativa ( g * h=h * g ) se dice que el grupo

es abeliano 0 conmutativo.

Observese que intuitivamente un anillo (conmutativo) es un conjunto en el que pode-

mos sumar, restar y multiplicar; mientras que un grupo abeliano es un conjunto en el que

podemos sumar y restar (sumar el inverso).

1



NOTA:En estas notas se usaran las letras K, A y G para designar cuerpos, anillos y

grupos respectivamente, sin indicar explicitamente que 10 son siempre que ella no de lugar

a confusion. Ademas, en este curso solo se consideraran anillos conmutativos y unitarios,

es decir, en los que ® es una operacion conmutativa y tiene elemento neutro.

Es conviente recordar tambien que en un anillo puede haber elementos con inverso

multiplicativo, y se les llama unidades. Tambien es importante recordar que un ideal, I,

de un anillo (conmutativo), A, es un subconjunto de A cerrado con respecto a la suma y

tal que si a pertenece a A y x pertenece a I, entonces su producto pertenece a I.

Muchas veces se indican los ideales por sus generadores, asf I = (2) en 'Il son los

numeros pares, y (2,3) son todas las combinaciones lineales enteras de 2 y 3. No es dificil

ver que (2,3) = 'Il. La notacion Aj I indica las clases de equivalencia modulo el ideal,

por ejemplo, 'Ilj(2) (escrito tambien 'Ilj2'1l 0 a veces 'Il2) son las clases de numeros pares

e impares. Estas clases tienen de nuevo estructura de anillo, de hecho en este ejemplo

forman un cuerpo.

Veamos algunos ejemplos de cuerpos y anillos:

Ejemplo 1. < Q es un cuerpo.

Ejemplo 2. 'Il es una anillo.

Ejemplo 3. 'Il es un grupo abeliano con la suma.

Ejemplo 4. 'Il no es un grupo con el producto (porque no existe elemento inverso).

Su estructura se conoce con el nombre de semigrupo.

Ejemplo 5. C={a+bV2 / a, b « 'Il} es un anillo con respecto a la suma y el producto

habituales.

Para comprobarlo, observese que la suma y el producto estan bien definidas en C,

es decir, a, j3 E C ~ a + j3 E C y aj 3 E C. Porque si a = a + bV2 y j3 = c + dV2

entonces a + j3 = (a + c) + (b + d)V2 E C y aj3 = (ac + 2bd) + (ad + bc)V2 E C. Una

vez realizadas estas comprobaciones, las propiedades i), ii) y iii) de la definicion de anillo

estan garantizadas porque se cumplen en JR y C c JR .

Ejemplo 6. C' = { a + bV2 / a , b E < Q } es un cuerpo con respecto a la suma y el

producto habituales. A este cuerpo se le denota con < Q ( V2 ) (el porque de esta notacion

quedara claro mas adelante).

Se puede demostrar que C' es un anillo procediendo como en el ejemplo anterior

porque alli no usamos la hipotesis de que a y b eran enteros (solo que la multiplicacion

era cerrada para ellos). Asi pues solo falta comprobar que C' es un grupo abeliano con

respecto al producto. Obviamente el producto es conmutativo y asociativo (porque C' es

2



un anillo conmutativo) y tiene elemento neutro 1=1+ o J 2 . Ademas como

1 a b M I

a2 _ 2b 2 v 2 E C ,a+bJ2

tambien existe elemento inverso.

Ejemplo 7. Si pes primo 'lllp'll es un cuerpo.

Recuerdese que 'lllp'll son las clases de congruencia modulo p: 0 , I, . . . ,p - 1, es decir,

todos los posibles restos al dividir por p.

Este cuerpo se suele denotar con IFp. Es un cuerpo con un mimero finito de elemen-

tos. A pesar de que existen otros cuerpos finitos seguramente es demasiado prematuro

introducirlos ahora.

Observese que en IFp se cumpie 1+ 1+ 1+ p. y.e.c.e~+ 1=o . Esta propiedad es tan

importante a la hora de clasificar los cuerpos que requiere una definicion especial.

DEFINICION:Diremos que un cuerpo tiene caracteristica n si n es el menor ntunero

natural tal que 1+ 1+ 1 1 : .v.e.c.e.s+ 1=o . Si esta suma fuera siempre distinta de cero se dice

que el cuerpo tiene caracteristica cero.

Asi por ejemplo IR y < Q tienen caracteristica cero y IFp tiene caracteristica p.

Ejemplo 8. Dado un dominio de integridad, D, (esto es, un anillo conmutativo con

unidad tal que ab = 0 ~ a = 0 0 b = 0), el cuerpo de fracciones de D es el conjunto

de expresiones de la forma r Is con r, sED, s # 0, bajo la relacion de equivalencia

rIs rv tIu ¢}ru =ts. Notese que D se puede identificar con los elementos de la forma

rII. Intuitivamente, el cuerpo de fracciones de D es el cuerpo que result a si permitimos

dividir en D. Por ejemplo, el cuerpo de fracciones de 'll es < Q .

Ejemplo 9. Si A c~es el anillo A ={n +m~ / n , mE'll}, entonces AI (1+~)

es un cuerpo de tres elementos.

Notese primero que n + m~ =n - m + m(1+~) =n - m, y por tanto basta

considerar clases cuyos represent antes sean mimeros enteros. Por otra parte, n =n +(1 - ~) (1+~) = n - 3. Asi pues AI (1 +~) = {O ,I, 2 } (es facil comprobar

que estas tres clases son distintas). Con ella hemos demostrado que AI(1 + ~) es

practicamente identico a IF3. En general, si un primo p es suma de un cuadrado y el

doble de un cuadrado, digamos p =n2 + 2m2, se puede demostrar que AI (n +m~) es

"isomorfo" a IFp.

3



§2. POLINOMIOS.

Un polinomio es una expresion de la forma a n x n + a n _ l X n -1 + ... + a o donde x es

una indeterminada y los coeficientes o. ; pertenecen a un anillo.

El conjunto de todos los polinomios sobre el anillo A (con coeficientes en A) en la inde-

terminada x se denota con A [ x ] y tiene una estructura natural de anillo. Se dice que A [ x ] es

el anillo de polinomios sobre A . Abreviaremos la notacion ( A [X l] ) [X 2 ] , ( ( A [X l] ) [ X 2 ] ) [X 3 ] ,

etc. escribiendo simplemente A [X l ' X 2 ] , A [X l ' X 2 , X 3 ] , etc. Observese que estos anilloscorresponden a los polinomios de varias variables.

DEFINICION: Si P E A [ x ] , P =a n x n + a n _ l X n -1 +.. .+ a o con a n # 0 diremos que

P tiene grado n y se escribe grad P = n 0 tembien 8P = n. Si P = 0 escribiremos

forma1mente 8P =-00

Proposici6n 2.1: Si A es un dominic de integridad, A [ x ] tembien 10 es. Ademas si

P,Q E A [ x ]

1) 8(P + Q) < max(8P, 8Q) 2 ) 8(PQ) =8P + 8Q.

DEM.: Las propiedades 1) y 2) se siguen facilmente de la definicion de grado (ejercicio).

Por otra parte si A [ x ] no fuera un dominio de integridad, entonces exist irian P y Q E

A [ x ] - {O } tales que PQ =0 y esto contradice 2) .•

Si A es un dominio de integridad, por la proposicion anterior tiene sentido considerar

el cuerpo de fracciones que se denota con A ( x ) . Es decir

A ( x ) ={P/Q / P,Q E A [ x ] , Q # o }.

Proposici6n 2.2: Si K es un cuerpo, K [ x ] es un dominic euc1fdeo. Mas concrete-

mente, si P, Q E K [ x ] con Q # 0 entonces exist en dos polinomios C y R determinados

iuiicsmenie tales que

P=QC+R con 8R < 8Q.

El principal interes de los dominios euclideos es que se puede definir el maximo comun

divisor y se tiene el "algoritmo de Euclides" para hallarlo. A pesar de que estos conceptos

seguramente son ya conocidos por el lector, los recordamos aqui.

DEFINICION: Si P, Q E K [ x ] se dice que D E K [ x ] es unmaximo comun divisor de P

yQ si DIP, DIQ y cua1quier otro divisor cormin de P yQ divide a D.

NOTA: Recuerdese que un dominio euclideo es en particular un dominio de idealesprincipales (todo ideal se puede generar con un elemento), de modo que el maximo comun

divisor de P y Q tambien se puede definir como un generador del ideal (P,Q).

* Para una definicion mas formal vease el libro de A. Clark p.203.

4



Proposici6n 2.3: Dados dos polinomios en K[x] no eimulteneemenie nulos, tienen

un maximo cormin divisor yes tinico salvo unidades. Es decir, si DI yD2 son dos tiuiximos

comunes divisotes de P yQ entonces DI =kD2 con k E K - {O} .

Proposici6n 2.4: Si P, Q E K[x]- {O } y D es su maximo corntin divisor, entonces

exist en A, B E K[x] tales que

D=AP+BQ.

La demostracion de estas dos ultimas proposiciones se basa en el algoritmo de Euclides

que consiste en hallar el maximo comun divisor aplicando repetidamente el siguiente lema

Lema 2.5: Sean P, Q E K[x] y sean Cy R como en 1a Proposicion 2.2. Si D es un

maximo cormin divisor de P y Q entonces tembien 10 es de Q y R:

DEM.: De P =QC +R se deduce que S E K[x] es divisor comun de P y Q si y solo

si 1 0 es de Q y R. Como los divisores comunes coinciden, tambien coinciden los maximos

comunes divisores .•

D EM.(de la proposicion 2.3):

Dados PI =P Y P2 =Q en K[x] con Q = 1 = 0, definamos P3 como el polinomio R en

la Proposicion 2.2. Ahora repetimos el proceso para definir P4 a partir de P2 y P3 Y as!

sucesivamente, es decir

Como 8P2 > 8P3 > 8P4 > ... , el proceso anterior termina con cierto Pn =0 y por tanto

Pn-2 =Pn-ICn-2. La aplicacion repetida del Lemma 2.5 implica que un maximo comun

divisor de P y Q es tambien un maximo comun divisor de Pn-I y 0, y obviamente este

debe ser Pn-I 0 kPn-l .•

DEM.(de la proposicion 2.4):

Como ya indicamos en la demostracion de la Proposicion 2.3, aplicando el Lema 2.5

se tiene

P =QCI+ P3, Q =P3C2 + P4, ... Pn-3 =Pn-2Cn-3 +D, Pn-2 =DCn-2 + D.

La penultima igualdad permite escribir D en terrninos de Pn-3 y Pn-2, concretamente

D =Pn-3 -Pn-2Cn-3; la antepenultima igualdad permite escribir D en terminos de Pn-4

y Pn-3, D =(1+Cn-3Cn-4)Pn-3 - Cn-3Pn-4, Y as! sucesivamente. Iterando este procesose obtiene finalmente la igualdad que asegura la proposicion .•

Ejemplo. Calcular el maximo comun divisor de P = x4 + x3 - 5x2 + 4x + 3 y

Q =x3 - 6x + 9, y expresarlo de la manera indicada en la Proposicion 2.4.

5



Procedemos con el algoritmo de Euclides:

X4 + x3

- 5x2+ 4x + 3= (x

3- 6x + 9)(x + 1)+ x

2+ X - 6

x3

- 6x + 9 = (x2+ X - 6)(x - 1) + x + 3

x2 + X - 6 =(x + 3)(x - 2).

Por tanto el maximo comun divisor es x + 3, ademas

x + 3= -(x - l)(x2

+ X - 6) + x3

- 6x + 9

= -(x - 1)(x4 + x3 - 5x2+ 4x + 3- (x + l)(x3 - 6x + 9)) + x3 - 6x + 9,

de donde x+3= (l-x)P+x2Q.

Notese que la demostracion de la Proposicion 2.4 se puede repetir paso por paso en

otros dominios euclideos. Asi por ejemplo, en 'Il, si d es el maximo comun divisor de a y

b , entonces la ecuacion d =ax + b y tiene solucion con x, y E 'Il (de hecho tiene infinitas).

La demostracion de la Proposicion 2.4 puede usarse como algoritmo para calcular el

inverso en algunos cuerpos definidos como cocientes de anillos por ideales. Para mayor

claridad veamos primero un ejemplo en 'Il.

Ejemplo 1. Hallar el inverso de 8 en 'Il/29'1l.

Como el maximo comun divisor de 29 y 8 es 1, segun el analogo de la Proposicion 2.4

en 'Il se tiene que 1=29n + 8m se cumple para ciertos n, m E 'Il, por tanto I=8.m y m

es la clase que buscamos. Para calcular m y n se puede pro ceder usando el algoritmo de

Euclides como en la demostracion de la Proposicion 2.4. Concretamente

29=8·3 + 5

8=5·1+3

5=3·1+2 =?

3=2·1+1

1=1·2+0

(4~ ecuacion) 1=3 - 2 . 1

(3~ ecuacion) 1= 3 - (5 - 3 . 1) . 1= 5 . (-1) + 3 .2

(2~ ecuacion) 1= 5 . (-1) + (8 - 5 . 1) ·2 = 8 ·2 + 5· (-3)

(1~ ecuacion) 1= 8 ·2- (29 - 8 . 3) ·3= 29· (-3) + 8 ·11.

Asi pues podemos tomar n =-3 y m =11 y se concluye que 11 es el inverso de 8.

Veamos ahora un ejemplo con polinomios. Observese que los razonamientos son

analogos a los del ejemplo anterior.

Ejemplo 2. Sean P = x4 + x3 + x2 + X + X + 1 y Q = x2 + X + X + 1. Calcular el

inverso de Q en <Q[xl/(P).

6.



Como comprobaremos inmediatamente con el algoritmo de Euclides, el maximo comun

divisor de P y Q es 1, asi pues 1=AP+BQ para ciertos A, BE <Q[x]y por tanto I=BQ,

con 10 cual B es el inverso de Q. Calculemos A y B procediendo como en el ejemplo

anterior:

P=Q . x2 + (x + 1)

Q =(x + 1) . x + 1

x + 1=1 . (x + 1)+ 0

(2~ ecuaci6n) 1=Q - x(x + 1)~

(1~ecuaci6n) 1=Q - x(P - x2Q) =-xP + (x3 + 1)Q.

Por tanto el inverso de Q es x3 + 1.

Otra propiedad interesante de los dominios euclideos es que son de factorizaci6n unica,

es decir, al igual que en 7l todo mimero se puede descomponer en factores primos, tambien

se cumple

Proposici6n 2.6: Todo polinomio de K[x] se puede descomponer como producto de

polinomios ireducib1es, edeuuis esta descomposici6n es tinica salvo e1 orden de los Iectotes

ymultiplicaci6n por elementos de K - {O} .

NOTA: Recuerdese que un polinomio, P, es irreducible si no puede escribirse como

P= QR con 8Q,8R < 8P.

Ejemplo . El polinomio P =x2 - 6x + 7 es irreducible en <Q[x]porque no se puede

escribir como a(x-al)(x-a2) con aI, a2 E < Q ; sin embargo P no es irreducible en < Q ( J2)[x]

porque P=(x - 3+ J2) (x - 3 - J2)

En ~ [ x ] la cuesti6n de irreducibilidad de un polinomio es muy sencilla gracias al

siguiente result ado

Teorema 2.7 (Teorema Fundamental del .Algebra): P E ~[x] es irreducible ¢}

8P ::; 1. Equiva1entemente, todo polinomio no constante de ~[x] se puede descomponer

en Iectotes lineales.

Si K = 1 = ~ , en general es muy dificil saber si P E K[x] es irreducible. Un criterio que

es de utilidad en algunos casos es el siguiente.

Proposici6n 2.8 (Criterio de Eisenstein): Si P =anxn + an_IXn-1 +...+ ao esun polinomio con coeficientes enteros y p es un primo tal que plan, plai si 0 ::; i< n y

p2lao entonces P es irreducible en <Q[x].

DEM.: Por el Lema de Gauss (vease mas abajo) , si P no es irreducible se puede

escribir como P =(b1xl+bl_Ixl-1 +...+ bo)(cmxm +Cm_IXm-1 +...+ co) con l +m =n

y bi, Ci E 7l. Igualando los coeficientes de los terrninos del mismo grado, se tiene

7



Por hipotesis plao pero p2Aao , as! pues p divide a bo 0a Copero no a ambos simultaneamente.

Supongamos por ejemplo que p divide abo, entonces por la segunda igualdad, p lb 1 y por

la tercera p lb 2 y en general p lb i 0 ::;i::;, 1 0 que implica que p divide a todos los o. ; 1 0 que

contradice nuestra hipotesis P Aa n .•

Damos tambien otro criterio de irreducibilidad que es muy simple pero efectivo (la

demostracion se deja como ejercicio).

Proposici6n 2.9: Sea P E 7l[x] rnonico y sea P E IF p[x ] e1polinomio que resulta a1reducir los coeficientes modulo p . Si 8P =8P y P es irreducible en IF p[x ] entonces P es

irreducible en <Q[x].

OBSERVACION:l reciproco, en general, no se cumple. Por ejemplo, P =x2 + X + 1

es irreducible en <Q[x] pero no 1 0 es en IF3.

Ejemplo 1. El polinomio x3 - 17x2 + 105 es irreducible en <Q[x], porque al tomar

modulo 2 obtenemos x3 + x2 + 1 y si este polinomio se pudiera descomponer en IF 2 se

podria escribir como (x 2 +ax +b ) (x - c) pero esto es imposible porque ni x ni x - 1dividen

a x

3

+ x2

+ 1.

Ejemplo 2. (Polinomio Ciclotomico) Gauss demostro que si p es primo el polinomio

(ciclotomico) P =xp-1 + x

p-2 +...+ x + 1 es irreducible en <Q[x]. A pesar de que no es

posible aplicar directamente el criterio anterior, si P es irreducible Q =(x + 1)p-l + (x +1)p-2 +...+ (x + 1) + 1 tambien 1 0 es (ejercicio) y como

Q = (x + 1)P - 1=xp-1 + ( P ) xp-2 + ( P ) xp-3 + ...+ ( p ) x + ( p ),x+1-1 1 2 p-2 p-1

el criterio de Eisenstein es aplicable sobre Q (ejercicio).

Ejemplo 3. Como consecuencia del ejemplo anterior deducimos que <Q[xl/(P), donde

P =xp-1 +xp-2 +...+ x +1, es un cuerpo. Para ella basta comprobar que todo elemento

no nulo tiene inverso multiplicativo. Si Q tJ _ (P), como Pes irreducible en <Q[x], el maximo

comun divisor de P y Q es 1 y existen A , B E <Q[x] tales que 1=AP + BQ. As! pues, B

es el inverso de Q y existe siempre que que Q # O . En general, si P es irreducible en K[x ] ,

K[xl/(P) es un cuerpo.

Hay cierta falta de simetria en los criterio anteriores, porque partimos de un polinomio

en 7l[x] y concluimos que es irreducible en <Q[x]. Gauss demostro que en ambos anillos el

concepto de irreducibilidad es el mismo.

Lema 2.10 (de Gauss): Si P E 7l[x] es irreducible en 7l[x] tembien 10 es en <Q[x].

DEM.: Si P =P1P2 con P1,P 2 E <Q[x] multiplicando por cierto mimero natural, n ,

8



que cancele todos los denominadores tenemos que

(2.1) nP =(b1xl + bl_Ixl-1 +...+ bo)(cmxm + Cm_IXm-1 +...+ co)

Supongamos que n es el menor mimero tal que nP se descompone en 7l[x]. si n =1 el

lema esta probado. Supongamos que n > 1, sea p un divisor primo de n, entonces no todos

los b i ni todos los Ci pueden ser divisibles por p (ya que en ese caso podriamos simplificar

por p en (2.1) reduciendo n a nip). Sean b; y Cj tales que Plbi' plcj pero plbr, plcs si

r < i, s < j (podria ocurrir que i,j=0), entonces igualando en (2.1) los coeficientes degrado i+jse tiene

nai+j =bi+jco + bi+j-ICI +...+ bicj +...+ boci+j

y de aqui se deduce que plbicj en contra de nuestra hipotesis Plbi' plcj .•

Un polinomio de A[x] se puede considerar tambien como una funcion A - - - + A sin mas

que sustituir la variable indeterminada por elementos del anillo.

DEFINICION: Se dice que a E A es un cero 0 una rafz de P E A[x] si P(a) =o .

Proposici6n 2.11 (RegIa de Ruffini): a es un cero de un polinomio de K[x] si y

s610 si x - a divide a ese polinomio.

DEFINICION: Sea a un cero de P E K[x]. Se dice que a tiene multiplicidad n si

(x - a)nlP y (x - a)n+llP.

NOTA: A un cero de multiplicidad uno se le sue le Hamar cero simple.

Corolario 2.12: E1 ntunero de rafces de P E K[x] contadas con su multiplicidad es

menor 0 igua1 que 8P.

DEFINICION: Se dice que un polinomio de K[x] es monico si su coeficiente de mayor

grado es 1.

Supongamos que un polinomio monico P tiene 8P rakes, entonces por la RegIa de

Ruffini se descompone en factores lineales

P =xn + an_IXn-1 +...+ ao =(x - al)(x - a2) ... (x - an)

y operando en el segundo miembro e igualando coeficientes, se tiene que los coeficientes se

pueden expresar en terrninos de las rakes con la formula an-k =(_1)k(Tk(al' a2, ... , an)

donde 17kes un polinomio en aI, a2, ... , an igual a la suma de todos los posibles productos

de k de estas variables. Por ejemplo

Notacion: A (Tk(XI, X2, ... , xn) se le suele Hamar polinomio simetrico elemental de

grado k y n variables.

En general se dice que un polinomio en varias variables es simetrico si queda invariante

bajo cualquier perrnutacion de sus variables.

9



El siguiente result ado justifica por que a los O'k se les llama elementales

Teorema 2.13: Cua1quier polinomio siraetrico sobre un dominic de integridad se

puede expresar como un polinomio sobre dicho dominic cuyas variables son los polinomios

simetricos e1ementa1es.

NOTA: Aunque no 10 haremos aqui, es posible probar la unicidad de esta expresion.

DEM.: Sea P ED[Xl, X2, ... , xn] simetrico. Apliquemos el siguiente algoritmo:

1) Seleccionar el monomio kxfl X~2 ... x~n (algunos ai pueden ser nulos) que tiene

mayor grado en Xl, si todavia hubiera varios escojase entre ellos el de mayor grado en X2

y si hubiera varios el de mayor grado en X3, etc. Por la simetria de P se tiene al~a2 ~

... ~ an (ejercicio).

2) Sea Q =P - kO'fl-CX2 0'~2-CX3 ... O';:n. Entonces P=kO'fl-CX2 0'~2-CX3 ... O';:n + Q y

ahora se repite todo el proceso con Q hasta llegar a Q =o .

Observese que el monomio selecionado en 1) no aparece en Q y que el algoritmo

siempre termina porque al aplicarlo sucesivas veces 0 bien el grado en Xl se ha reducido 0

ha quedado igual, y en este ultimo caso el grado en X2 se habra reducido 0 habra quedado

igual, etc. (Ejercicio: dar una demostracion detallada de esto) .•

Ejemplo Escribir el polinomio P E <Q[Xl, X2, X3] dado por

P=XiX2 + XiX3 + X~Xl + X~X3 + X~Xl + X~X2 + 2Xl + 2X2 + 2X3

en terminos de los polinomios simetricos elementales.

Segun el proceso descrito en 1) debemos escoger el monomio XIX2, por tanto al=2,

a2 =1, a3 =0 Yse tiene

(2.2)

(Recuerdese que 0'1 =Xl + X2 + X3 Y0'3=XlX2X3).

Ahora repetimos el proceso con Q escogiendo el monomio -3XlX2X3 10 que implica

al=a2 =a3 =1 y por tanto

(2.3) Q =-30'3 + Q

Observese que Q =20'1, asi pues de (2.2) y (2.3) obtenemos finalmente

P=0'10'2 - 30'3 + 20'1.

El teorema anterior tiene gran importancia historica en el desarrollo de la teoria de

Galois y la teoria de grupos en general. Para ilustrar su interes demostraremos el siguiente

result ado

Corolario 2.14: Si P E <Q[x]es un polinomio rnonico que se descompone en C[x]

como

10



entonces para cualquier Q E <Q[x]el polinomio

pertenece a < Q [x].

DEM.: Los coeficientes de PQ son an-k =(-1)kO"k(Q(al),Q(a2), ... ,Q(an)), 10 que

considerando los ai como variables define un polinomio simetrico de < Q [ a l , a2, ... , an]. Por

el teorema anterior, an-k se puede escribir como un polinomio con coeficientes racionales

evaluados en 0"1(al,a2, ... ,an), 0"2(al,a2, ... ,an), ... etc, y estas ultimas cantidades son

racionales porque coinciden, salvo un signo, con los coeficientes de P.

Ejemplo. Las rakes de P =x3 - 2 son {/2, {/2(-1 + iV'S)/2 y {/2(-1 - iV'S)/2.

Tomando Q =x2 + x se tiene que

(x- {14- {I2))((x- {I4(-1-iv3)/2- {I2(-1+iv3)/2).

· ( x - {1 4 (-1 + iv3)/2 - {1 2 (-1 - iv3)/2)

es un polinomio de < Q [ x ] . En particular se deduce que {1 4 + {/2 es raiz de un polinomiocon coeficientes racionales.

§3. EXTENSIONES DE CUERPOS.

Una de las ideas basicas que aparece en el trabajo de Gauss en ciclotomia es que re-

solver una ecuacion algebraica requiere a veces pasar por las soluciones de otras ecuaciones

auxiliares, y una vez que hemos "extendido" suficientemente el mimero de cantidades cono-

cidas podremos factorizar la ecuacion original. Mas adelante, Galois demostraria que la

naturaleza de estas extensiones queda fielmente reflejada en la estructura de cierto grupo.

DEFINICION: Decimos que el cuerpo L es una extension de K, si K es un subcuerpo

de L, es decir, K eLy las operaciones + y x en K coinciden con las de L.

La notacion que se usa habitualmente para designar una extension es L/ K 0 tambien

se usa L: K.

Aunque la definicion anterior es satisfactoria en casi todos los casos que apareceran en

el curso conviene al menos mencionar otra definicion un poco mas general y mas conveniente

desde el punta de vista abstracto.

DEFINICION: (generalizada) Decimos que el cuerpo L es una extension de K, si existe

unmonomorfismo f :K - - - - - + L.

OBSERVACION:Un monomorfismo es una funcion inyectiva que preserva las opera-

ciones del cuerpo. Esto podria dar la idea de que ambas definiciones son identicas, pero no

es exactamente asi. Por ejemplo, es obvio que ~ es una extension de IR con la primera y la

11



segunda definicion, pero si escribimos los elementos de IR usando un sistema de numeracion

que utilice letras en vez de mimeros y llamamos IR' al conjunto formado por esas nuevas

sucesiones de simbolos, en rigor no podemos afirmar que IR' c~porque ~ es un conjunto

de mimeros y IR' 10 es de letras. El lector podria argiiir que IR y IR' son esencialmente

10 mismo (isomorfos), y que IR' esta incluido en ~ en el sentido de que existe una funcion

inyectiva de IR' en ~; con 10 cual est aria usndo la segunda definicion. Aunque estas distin-

ciones no tendran relevancia en general, apareceran de forma natural al estudiar cuerpos

de descomposicion.

Si tanto L como K pertenecen a un cuerpo mayor, muchas veces 10 mas comedo para

definir L es decir que cantidades nuevas aiiadimos a K, esto motiva la definicion siguiente.

DEFINICION: SeaM/K yC un subconjunto de M, se llama subcuerpo generado por C,

y se escribe K(C), al menor subcuerpo de M que contiene a K UC.

Ejemplo 1. < Q ( V 2 ) ={a + b V 2 / a , b E < Q } .

Ejemplo 2. IR( i) =c.

Ejemplo 3. < Q ( V 2 , J3) :::){a + b V 2 + cJ3 + d V 6 / a, b , c , d « < Q } . De hecho, en breveveremos que ambos conjuntos son iguales.

Destacamos varios tipos de extensiones de cuerpos:

DEFINICION: Se dice que una extension, L/ K, es

1) simple, si L =K(a) con a E L.

2 ) algebraica, si todo a E L es algebraico sobre K, es decir, existe un polinomio

P E K[x] tal que P(a) =o .

3) trascendente, si no es algebraica.

Ejemplo 1. < Q ( V 2 ) / < Q Y < Q ( x ) / < Q ( x 2) son simples yalgebraicas.

Notese en el segundo caso que < Q ( x ) =< Q ( x 2,x ) = ( < Q ( x2) ) ( x ) .

Ejemplo 2. < Q ( x ) / < Q y IR(x, y ) / I R ( x ) son simples y trascendentes.

Ejemplo 3. (Lindemann 1882) < Q C r r ) / < Q es trascendente. En el proximo capitulo vere-

mos una demostracion de este hecho.

OBSERVACION:Una extension puede ser simple aunque aparentemente este generada

por un conjunto de varios elementos. Asi por ejemplo, < Q ( V 2 , J3) es simple porque como

veremos en un proximo ejemplo, < Q ( V 2 , J3) =< Q ( V 2 + J3).El siguiente teorema es casi trivial, pero ocupa un papel destacado en la teoria.

Teorema 3.1: Si L/ K es una extension de K, entonces L es un espacio vectorial

sobre K.

12



Este result ado no seria tan importante si no tuvieramos maneras de calcular dimen-

siones y bases. De ella tratan las proposiciones siguientes, pero antes de enunciarlas es

conveniente introducir algunas definiciones.

DEFINICION:A 1a dimension de L como espacio vectorial sobre K se 1e llama grado

de L/ K y se escribe [L :K]. Si e1grado es finito se dice que 1aextension es finita, en caso

contrario se dice que es infinita.

DEFINICION:Si a es a1gebraicosobre K, se dice que P E K[x] es e1polinomio minimo

de a si P es rnonico, a es un cero de P y no hay otro polinomio de grado menor con estes

cerecteristices.

Noes dificil demostrar que el polinomio minimo, P, de a esta unicamente determinado,

y ademas cumpie (ejercicio)

1) P es irreducible 2 ) Q E K[x], Q(a) =0 :::} PIQ.

Ejemplo . El polinomio minimo de ~ sobre < Q es x4 - 3 y sobre < Q ( J3) es x2 - J3 .

Proposici6n 3.2: Si K c L cM entonces

[M : K ] =[M : L][L : K ].

De hecho, si L/ K y M/ L son finitas y {Xl, X2, ... , xr}, {YI, Y2 , ... , Y s} son sus bases,

entonces { XIY I,X IY 2, .. . ,xrYs} es una base de M/K.

Proposici6n 3.3: Toda extension finita es a1gebraica.

Proposici6n 3.4: K (a) / K es finita si y solo si a es a1gebraicosobre K . Ademas en

ese caso [K (a) : K ] =n donde n es e1grado del polinomio minima de a, de hecho

K(a) ={A o + Ala + A2a2 +...+ An_Ian-1 con Ai E K}.

Antes de dar la demostracion de estas proposiciones veamos algunas consecuencias.

En primer lugar deduciremos el teorema que anunciamos en la primera seccion:

Teorema 3.5: Si K c~,los tuimeros a1gebraicos sobre K forman un cuerpo.

NOTA: La hipotesis K c~no es realmente necesaria. Lo unico importante es que K

se pueda incluir dentro de un cuerpo en el que todo polinomio factoriza y esto es siempre

posible aunque la demostracion se sale fuera del contenido de este curso.

DEM.: Tenemos que demostrar que si a y 1 3 # 0 son algebraicos, a + 1 3 , a - 1 3 , aj3

y a/j3 tambien 10 son. Por la Proposicion 3.3 basta demostrar que K(a, j3)/K es finita.Pero por la Propoposicion 3.2

[K (a,j3) : K ] =[K (a,j3) : K (j3)][K (j3) : K ]

y los dos terminos del segundo miembro son finitos por la Proposicion 3.4 •

13



Ejemplo 1. La Proposicion 3.4 asegura que [ < Q ( ~ ) : < Q l=4 y ademas

< Q ( ~ ) ={a+b~+C\l'g+dm /a,b,c,dE < Q } .

Notese que no es en absoluto trivial probar que el segundo miembro es un cuerpo sin

usar esta igualdad. El mismo result ado se podria haber deducido de la Proposicion 3.2

considerando las extensiones < Q (~ )/ < Q ( V 3 ) y < Q (V 3 ) /< Q .

Ejemplo 2. El proposito de este ejemplo es comparar los cuerpos < Q (V 2 , V 3 ) , < Q (V 2 +

V 3 ) , < Q (V 2 ) , < Q (V 3 ) y < Q . En este y en otros casos es conveniente representar las ex-tensiones con un diagram a como el que aqui se adjunta. Las letras cursivas indican los

correspondientes grados.

Los polinomios minimos sobre < Qde V 2 y V 3 son x2 - 2

Y x2 - 3 respectivamente. x2 - 2 es tambien el polinomio

minimo de V 2 en la extension < Q( V 2 , V 3 ) / < Q( V 3 ), ya que

si factorizase en < Q (V 3 ) se tendria V 2 =r + sV3 con r, s E

< Q Y esto no es posible (basta elevar al cuadrado). Estas

consideraciones permiten concluir que d = f = e = 2.La Proposicion 3.2 asegura ab = cd = ef = 4, por tanto

c = 2 y las unicas posibilidades para a y b son b = 4 /a

con a = 1,2,4. Notese que a = 4 es imposible porque

V 2 + V 3 tJ _ < Q (de nuevo basta elevar al cuadrado).< Q

Veamos que a =1 y b =4, para ella considerense los polinomios (x - ( V 2 + V 3 ) ) 2 -3Y

x2 - 2. Ambos estan en < Q (V 2 + V 3 ) [ x l y ambos son distintos y tienen a x =V 2 como raiz,

por tanto su maximo comun divisor en < Q ( V 2 + V 3 ) l = l es x - V 2 , asf que V 2 E < Q ( V 2 + V 3 )

y V 3 =( V 2 + V 3 ) - V 2 E < Q (V 2 + V 3 ) . Esto permite concluir < Q (V 2 + V 3 ) : : : ) < Q (V 2 , V 3 )

y como < Q (V 2 + V 3 ) c < Q (V 2 , V 3 ) es trivial, se tiene que ambos cuerpos son iguales 0

equivalentemente, a =1 y por tanto b =4.

Ejemplo 3. Calcular el polinomio minimo de V 2 + V 3 sobre < Q .

Por el ejemplo anterior [ < Q (V 2 + V 3 ) : < Q l=4, a s f que el polinomio minimo, P, debe

tener grado 4. Digamos que es P =x4 + ax3 + bx2 + ex + d, entonces

( J 2 + V 3 ) 4 + a(J2 + V 3 ) 3 + b(J2 + V 3 ) 2 + c ( J 2 + V 3 ) + d=O .

Operando obtenemos una expresion de la forma A + B V 2 + C V 3 + DV6 = o . Como

1 , V 2 , V 3 , V 6 son una base de < Q (V 2 , V 3 ) =< Q (V 2 + V 3 ) (ver Proposicion 3.2), entonces

los coeficientes A, B, C y D (que dependen de a, b, c y d) deben ser nulos. Esto nos llevaal sistema de ecuaciones

A =49 + 5b + d =0

B = lla+c= 0C =9a+ c=0

D =20 + 2b =0,

14



cuya solucion es a =c=0, b =-10, d =1; por tanto P =x4 - lOx2 + 1.

Otra manera mas sencilla de proceder en este caso es considerar el polinomio Q =

( x - J 2 ) 2 - 3. Obviamente V 2 + J3 es una raiz de Q, pero Q =x 2 - 2 V 2 x - I tJ _ < Q [ x ] .

Para eliminar los radicales podemos "multiplicar por el conjugado", asi P=(x2 - 2 V 2 x-

l ) ( x 2 + 2 V 2 x - I ) es un polinomio en < Q [ x ] que tiene a V 2 + J3 como raiz, ademas

8P = [ < Q ( V 2 + J3 ) : < Q ]=4 implica que es el polinomio minimo.

Ejemplo 4. Consideremos el polinomio P =x 3 + 3 x + 3 E < Q [ x ] , y sea a una de sus

rakes. Como P es monico e irreducible (por Eisenstein), es el polinomio minimo de a y

segtin la Proposicion 3.4 todo elemento de < Q ( a ) es una combinacion lineal racional de 1,

a y a2• El proposito de este ejemplo es escribir 1/(a+ 1) de esta forma, es decir, hallar

a, b , c, d E < Q tales que

1-- =a + ba + ca2•a+l

Sea Q =x + 1, como P es irreducible el maximo comun divisor de P y Q es 1 y por

la Proposicion 2.4 existen A , B E < Q [ x ] tales que

1=AP+BQ.

En nuestro caso es facil ver que puede tomarse A =-1 y B =x2 - X + 4. Dividiendo por

Q y sustituyendo a, se tiene finalmente

1 2--=4-a+a.a+l

Ejemplo 5. Calcular el grado del polinomio minimo de ij7 en < Q ( { i 2 ) .

\ a

Por la Proposicion 3.4, el problema se reduce a calcular

a = [ < Q ( ij7, { i 2 ) : < Q ( { i 2 ) ] . Designemos por n el grado de

< Q ( ij7, { i 2 ) / < Q , entonces por la Proposicion 3.2 se cumple

n = 5a y n =3b donde b es, como indica el esquema, el

grado de < Q ( ij7, { i 2 ) / < Q ( ij7). Esto implica que 3 divide a a

y 5 divide a b. Por otra parte, P =x3 - 7 es un polinomio

de < Q ( { i 2 ) [ x ] (y tambien de < Q [ x ] ) tal que ij7 es uno de sus

ceros, asf pues el grado del polinomio minimo es menor 0

igual que 3, es decir, a ::;3. Como ya hemos probado que

3 divide a a, se tiene que a =3. De hecho, este mismo

argumento ha probado que b =5 y que n =15.

15



A continuacion daremos lademostracion de las tres proposiciones anteriores. Observese

que en todas ellas el punta crucial esta en la estructura de espacio vectorial.

DEM.(de la Proposicion 3.2): Nos restringiremos al caso en que las extensiones son

finitas (el otro queda como ejercicio). Toda la proposicion se reduce a probar que B =

{XlYl,XlY2, ... ,XrYs} es una base de M/K.

1) B es un sistema de generadores: Si z E M entonces como M es un espacio vectorial

sobre L con base {Yl, Y2,···, Ys}

(3.1) con A i E L.

Pero, de la misma forma, como A i E L

(3.2) Ai=/lilXl + /li2X2 +...+ /lirXr con /lir E K.

Sustituyendo (3.2) en (3.1) se obtiene que z es una combinacion lineal de elementos de B

con coeficientes en K.

2) Los elementos de B son linealmente independientes:. Supongamos que tenemos una

combinacion lineal nula

r s

L L AijXiYj =0

i=l j=l

con Aij E K,

entonces podemos reescribirla como

Los terrninos entre parentesis pertenecen a L y los Yj son una base de M/ L, por tanto

r

L AijXi =0

i=l

1::;j::;.

Como los Xi son una base de L/K, se concluye finalmente Aij =o . •

DEM.(de la Proposicion 3.3): Sean L/K y a E L, entonces como L/K es finita hay

alguna combinacion lineal no trivial nula entre los elementos 1, a, a2, a

3, ... ; esto es,

existen Ai E K no todos nulos y n E IN tales que Anan + An_lan-l

+...+ Ala + Ao=0,

por tanto a es algebraico .•

DEM.(de la Proposicion 3.4): Considerese el conjunto

A={Ao + Ala + A2a2 +...+ An_la

n-l

con Ai E K}.

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Obviamente a E A y A c K(a), si demostramos que A es un cuerpo se tiene K(a) =A

(porque K (a ) es el menor cuerpo que contiene a a ). Esta claro que A es cerrado por sumas

y restas, basta ver que tambien es cerrado por divisiones (la multiplicacion se reduce ados

divisiones: a- b =al l /b) . Si a , b E A entonces alb =QI(a)/Q2(a) donde QI y Q2 = 1 = 0 son

polinomios de grado menor que n. Sea P el polinomio minimo de a, como 8Q2 < 8P =n,

Q2 y P son primos entre s f y por la Proposicion 2.4 existen A, B E K[x] tales que

I=AP+ BQ2.

Multiplicando por QI, dividiendo por Q2 y susituyendo a, se tiene

(3.3)

y por la Proposicion 2.2 QIB =PC + R con 8R < 8P =n, 10 que sustituyendo en (3.3)

prueba el resultado.

Finalmente, para comprobar que [K(a) : K] =n, basta ver que no existe ninguna

combinacion lineal no trivial nula. Si Po + PI a +...+ Pkak con k < n, entonces a seria

raiz de un polinomio de grado menor que n, 10 cual es una contradiccion. •

Quiza el lector este un poco asombrado por el ejemplo 2 en el que demostramos que

< Q ( V 2 , J3) es simple. Terminamos este capitulo mencionando un sorprendente teorema

del que se deduce que este no es un caso aislado, sino que casi todas las extensiones en las

que uno piensa normalmente son simples.

Teorema 3.6 (del elemento primitivo): Si K tiene cerecteristice cero y L/K es

finita, entonces es simple.

NOTA: En realidad se puede extender el teorema a cuerpos de caracteristica positiva

siempre que se cumpla cierta condicion, que definiremos mas adelante, Hamada "separa-

bilidad". Hay una version mas fuerte (y aparentemente muy distinta) de este teorema en

el libro de Stewart, p.210.

17



18



Hoja 1

1) Demostrar que ' I l /6'1l no es un cuerpo. Hallar las unidades.

2) Hallar el inverso multiplicativo de 5 en ' I l /21'1l usando el algoritmo de Euclides

3) Demostrar que

i) {n +mv'3/ n , m E 'Il} es un anillo.

ii) {a + bv'3 / a , b E < Q } es un cuerpo.

iii) {a + b ~ / a , b E < Q } no es un anillo.

*iv) {a + b { 13 + c{/9 / a , b , c E < Q } es un cuerpo.

4) Hallar el maximo comun divisor de P =x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 3 y Q =x4 +5x 3 + 9x2 + 8x + 2, y escribirlo en la forma AP + BQ.

5) Hallar el generador monico del ideal I=(x 3 + 1, x2 + 1) en IF 2 [x] .

6) Demostrar que si la caracteristica de un cuerpo no es cero, entonces es un mimero

primo.

7) Demostrar que <Q[xJl(x2 - 5x + 6) no es un dominio de integridad.

8) El polinomio f =x3 - 3x + 1 es irreducible en <Q[x] . Sea 1 3 =x4 - 3x2 + 2x + 3 E

<Q[xJl(J) . Hallar 1 3 - 1 y 1 3 2 expresandolos como combinacion lineal de {1, X, x 2}.

9) Demostrar que en 'I l y en k[x] (k un cuerpo) hay infinitos irreducibles no asociados.

Observacion: Sea k un cuerpo, todo polinomio de grado 1 es irreducible y un polinomio

de grado 2 0 3 es irred uci ble si y solo si no tiene una raiz (un cero) en k. Se dice que k

es algebraicamente cerrado cuando todo polinomio irreducible en k[x] es de grado 1. (i.e.

cuando todo polinomio de grado

>1 tiene una raiz).

10) Si k es un cuerpo finito no es algebraicamente cerrado.

11) Estudiar la irreducibilidad de P=x2 +1en IF 3[X ], IF 5[X ], IF 7[X ], IFllx] , IF13[X]

y IF17[X] . Intentar inducir (sin demostracion) una regIa general que permita decidir la

irreducibilidad de P sin calcular sus rakes.

12) Hallar todos los polinomios irreducibles de grado-; 4 en IF2[X] . i.,Cuantos irre-

ducibles hay de grado 2, 3 y 4?

13) Demostrar que IF2[X]/ (x 2 + x + 1) es un cuerpo con cuatro elementos. Dar sus

tablas de sum a y producto. (Notese que esto prueba que existen cuerpo finitos distintosde IF p ) .

19



20





22



Hoja 3

1) Hallar el grado de las siguientes extensiones y decir de que tipo son:

i) < Q ( ~ ) / < Q ( J2)

iii) IR(v3 ) /IR

v ) E P 7 ( t ) / E P 7 ( t 2 )

vii) < Q (v3 , ij3) /< Q

ii) < Q ( e 27ri/5) / < Q

iv ) IR(~) /IR

vi) E P 7 ( t ) / E P 7

viii) < Q ( V 5 , V'5) / < Q

ix ) A / < Q donde A son los numeros algebraicos sobre < Q .

2) Demostrar que una extension de grado primo es simple.

3) Sea K (a , (3 ) una extension algebraica de K , na = [K (a ) : K ], nf3 =[K ({3 ) : K ] y

n =[K (a , (3) : K ]

i) Demostrar que mcm(na, n(3) I n y n ::; na . nf3. i.,Quese puede decir si na y nf3 son

coprimos?

ii) Mostrar un ejemplo con na # nf3 en el que se cumpla n < na . nf3.

4) Hallar [ < Q ( {/2, {13) : < Q ] .

5) Sean a y (3 en L/K tales que [K (a ) : K ] =m y [K ({3 ) : K ] =n . Demostrar que el

grado del polinomio minimo de { 3 en K (a) es n si y solo si el grado del polinomio minimo

de a en K({3) es m.

6) Calcular el polinomio minimo de V 3 + V 5 en < Q ( V T 5 ) .

7) Sea a una raiz de P = x3 - X - 2 E <Q[x ] . Escribir (a + 1 )/(a - 1) como una

combinacion lineal de 1, a y a2•

8) Si K(a) /K es una extension de grado tres, calcular [K(a 2) : K ]. Suponiendo que

el polinomio minimo de a es x3 + x-I, hallar el polinomio minimo de a2.

9) Calcular el polinomio minimo de ? '9 + ij3 - 1

10) Calcular el grado del polinomio minimo de cos(27r/p) sobre < Q donde p es un

primo. Indicaci6n: Hallese primero el polinomio minimo de ( =e27ri/p.

11) Si n y m son enteros positivos y no son cuadrados perfectos, comparar los cuerpos

< Q (yn, y'rii), < Q (yn + y'rii) y < Q (y'nm).

12) Demostrar que < Q (V 3 , V 5 , - J 7 )/ < Q es simple sin usar el teorema del elemento pri-

mitivo.

13) Hallar el grado de la extension < Q ( V I + V 3 ) / < Q .

23



24



2. Tres problemas clasicos

En este capitulo estudiaremos tres problemas que los antiguos geometras griegos no

supieron abordar. El principal interes de tratarlos aqui es comprobar la profundidad

del lenguaje introducido en el capitulo anterior. Concretamente veremos que dos de estos

problemas clasicos ("La duplicacion del cubo" y "La triseccion del angulo") se vuelven muy

sencillos tras algunas consideraciones acerca del grado de ciertas extensiones; mientras que

un tercer problema ("La cuadratura del circulo") requiere una demostracion complicadapero que, de nuevo, solo tiene sentido dentro del marco de la teoria de cuerpos.

§l. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS.

Los problemas que consideraremos tratan acerca de construcciones con regIa y compas.

La utilidad de estos instrumentos en las construcciones geometricas clasicas queda limit ada

de manera que la regIa solo se puede usar para trazar una recta que pasa por dos puntos

conocidos, y el compas solo se puede usar para trazar una circunferencia de la que se

conocen centro y radio.

Una vez fijada una unidad de medida, digamos determinada por ( 0 ,0 ) y ( 1 ,0 ) , como lasrectas tienen ecuaciones de primer grado y las circunferencias de segundo grado, todos los

puntos que se pueden construir como intersecciones sucesivas de ellas tienen coordenadas

que estan en sucesivas extensiones cuadraticas. Por tanto, si (x , y ) E IR? es un punta

construible con regIa y compas entonces existe una cadena de cuerpos

(1.1) < Q =La C t.,C L2 C ... C t.;=L

con [Lk+1 : LkJ =2 y x, Y E L c IR .

Con la ayuda de algunas construcciones geometricas sencillas conocidas desde la

antigiiedad es posible comprobar que la suma, resta, multiplicacion, division y raiz cuadrada

de longitudes construibles con regIa y compas, tambien es construible con regIa y com pas.

Todo 1 0 necesario esta contenido en los siguientes diagramas:

a

V a. .

a-b b 1 1 a• . . . . . •

1. Construcclon de a - b 2. Construcclon de alb 3. Construcclon de Va .

De todo esto se deduce que cualquier elemento de un cuerpo real, L, para el que

exist a una cadena de subcuerpos como (1.1) puede ser obtenido como coordenada de un

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punta construible con regIa y compas, es decir, se tiene la siguiente caracterizacion que

tomaremos como definicion:

Un punta (x, y ) E IR? es construible con reg1ay compos si y

s610 si x e y pertenecen a un cuerpo L c IR tal que existe una

cadena de subcuerpos

< Q =La c L, c L2 c ... c t.;=L

donde todas las extensiones son de grado dos.

Tambien usaremos el terrnino "longitud construible" para referirnos a aquellas longi-

tudes que pueden aparecer como coordenadas de puntos construibles.

Un sencillo result ado que sera crucial en el resto del capitulo es el siguiente

Lema 1.1: Si x es una longitnd construib1e con reg1ay compes, entonces [ < Q ( x ) : < Q J

es una potencia de dos.

DEM.: Con la notacion introducida anteriormente se tiene x ELy

n

[L: < Q J =II[Lk : Lk-1J =2n.

k=l

Ademas x E L : : : ) < Q implica que [ < Q ( x ) : < Q J divide a [ L : < Q J y esto prueba el resultado .•

Es importante notar que el reciproco no es cierto en general. Es decir, que exist en

extensiones reales < Q ( x ) / < Q tales que [< Q ( x ) : < Q J =2 k con x no construible. No conocemos

ningun contraejemplo sencillo, 10 cual parece natural porque la constructibilidad de x

involucra la estructura de los subcuerpos de < Q ( x ) , que puede ser muy complicada. De

todas maneras, intentaremos ilustrar brevemente la situacion:

Si a es el unico cero real y positivo de P =x 4 - lO x 3 + 2 6 x 2 + 1 6 x - 14, se puede

demostrar (usando teoria de Galois) que < Q ( a ) no tiene subcuerpos propios, es decir, que

si < Q C M c < Q ( a ) , entonces M =< Q 0 M =< Q ( a ) . En particular, a no es construible. Por

otra parte, como P es irreducible (por el criterio de Eisenstein), se tiene [ < Q ( a ) : < Q J =4.

Como fenomeno curioso, observese que en el contraejemplo anterior podemos expresar

a en terrninos de radicales cuadraticos y cubicos resolviendo la ecuacion P=0 ( 1 0 cual es

bast ante complicado) y la no constructibilidad de a implica que no es posible suprimir los

radicales cubicos a pesar de que [ < Q ( a ) : < Q J =4.

§2. LA DUPLICACION DEL CUBO Y LA TRISECCION DEL ANGULO.

Los dos problemas recogidos en el titulo se pueden formular de la manera siguiente:

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PI: Dada 1a arista de un cubo, construir con reg1a y comptis 1a arista de un cuba de

vo1umen dob1e.

P 2: Dado un tuigulo, hallar un metoda para trisecerlo con reg1a y comptis.

Eratostenes transmitio dos leyendas acerca del primer problema. Segun dijo, en cierta

obra tragica un personaje legendario proponia duplicar la tumba de su hijo que era cubica

y tenia 100 pies de lado. Tambien refiere como origen del problema que en Delos el oraculo

ordeno duplicar el volumen del altar de Apolo (i.,para acabar con cierta plaga?), 10 cual

intereso a algunos miembros de la Academia de Platen quienes encontraron soluciones

valiendose de curvas auxiliares (distintas de la recta y la circunferencia). Tambien halla-

ron soluciones por procedimientos mecanicos que involucraban la regIa y el compas pero

usandolos de manera no convencional. (Est os tipos de soluciones tambien eran conocidos

para trisecar el angulo).

El segundo problema es bast ante natural desde el punta de vista geometrico, ya que

asi como la biseccion del angulo (que es facilmente realizable con regIa y compas) permite

construir el octogono regular y el hexagono regular a partir del cuadrado y del triangulo

equilatero; la triseccion del angulo permitiria, por ejemplo, construir el eneagono (poligono

de 9lados) regular. Como veremos en capitulos posteriores, la constructibilidad con regIa

y compas de los poligonos regulares esta estrechamente relacionada con la teoria de Galois.

Las proposiciones siguientes demuestran que ninguno de estos problemas tiene solucion.

Proposici6n 2.1: Si 1a arista de un cuba es constructible con reg1a y compes, 1a del

cuba de vo1umen dob1e no 1 0 es.

DEM.: Si pudieramos construir un segmento de longitud a (la arista del cubo) y

otro de longitud a{/2 (la arista del cuba de volumen doble) entonces tambien podriamos

construir un segmento de longitud {/2, pero como el polinomio minimo de {/2 es x2 - 2,

se tiene [ < Q ( {/2) : < Q J =3 y esto contradice el Lema 1.1. •

Proposici6n 2.2: E1 angu10 de 60° no puede trisecarse con reg1a y compes.

OBSERVACION:En particular se deduce que tampoco se puede trisecar el angulo de

120° y por tanto el eneagono regular no es construible con regIa y compas.

DEM.: Sea el angulo de 60° grados PDQ formado por los puntos construibles P =

(1,0), 0=(0,0), Q =(1/2, J3 /2).

Trisecar PDQ equivale a construir (cos20°, sen 20°). Por la formula del angulo tripleo utilizando dos veces la formula para cos(a + { 3 ) , se tiene

1- =cos 60° =4cos3 20° - 3cos200.2

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Asi pues, cos 20° es una raiz del polinomio P =x3 - 3x/4 - 1/8. Aplicando el criterio

de Eisenstein a 8P((x + 1)/2) se deduce que P es irreducible, por tanto es el polinomio

minimo de cos 20° y se tiene [ < Q ( cos 20°) : < Q J =3, 10 que contradice el Lema 1.1. •

NOTA: Aunque la demostracion de la imposibilidad de los dos problemas que nos

ocupan se atribuye a P.-L. Wantzel en 1837 (al menos en el Encylopedic Dictionary of

Mathematics de la Mathematical Society of Japan), es claro que los articulos finales en la

obra de Gauss Disquisitiones Arithmeticae indican que el ya conocia en 1801la imposibili-

dad de trisecar el angulo (y posiblemente de duplicar el cubo). Por otra parte, tambien es

claro que Abel (1802-1829) 0 Galois (1811-1832) podrian haber deducido ambas pruebas

de imposibilidad a partir de los conceptos introducidos en sus trabajos.

§3. LA CUADRATURADEL cIRCULO

El ultimo problema del que nos ocuparemos se conoce con el nombre de "la cuadratura

del drculo" , y tiene el siguiente enunciado

P 3: Dado un c frcu lo , co nstru ir con reg la y compo s un cuadrado de ig ua l a re a.

Resolver este problema para el circulo unidad llevaria a construir un cuadrado de ladoy7 r . Por el Lema 1.1, basta demostrar que [ < Q ( y7 r ) : < Q J no es una potencia de dos para

concluir que tampoco este problema tiene solucion. Esto no es sencillo en absoluto y, de

hecho, la cuadratura del drculo ha quedado como paradigma de dificultad e imposibilidad

en ellenguaje usual.

En esta seccion demostraremos que 7r es trascendente sobre < Q , es decir, no es raiz

de ningun polinomio de < Q [ x J y por tanto [ < Q (y7 r ) : < Q J = 00. La demostracion de la

trascendencia de 7r es bastante misteriosa y se sale un poco fuera del contenido del curso,

no obstante es dificil resistir la tentacion de incluirla despues de la relevancia historica del

problema.

Antes de entrar en las demostraciones de trascendencia veamos el siguiente lema que

es una consecuencia sencilla del teorema de los polinomios simetricos.

Lema 3.1: Sea P=cn xn + Cn_IXn -1 +...+ CIX + Co E 7l[xJ y sean aI, a2 , ... , a n

SUS rafces en C. Si S (X I' X 2 , ... , xn ) es un polinomio simetrico c on c oe fic ie nte s e nte ro s de

g rado k (es to es a s(x , x , ... , x) =k), e nto nc es c~S(al' a2 , ... , a n ) E 7 l.

* Para el lector interesado damos algunas ideas que subyacen a la mayorfa de las demostraciones de

irracionalidad y trascendencia: Si aEIR y encontramos una sucesi6n de enteros distintos, nk, con la-nk 1<

E(k) Y E(k)-+O, entonces obviamente a no es un entero. Si la sucesi6n es de mimeros racionales distintos,

nk/mk Y la-nk/mkl<E(k)/mk con E(k)-+O, entonces a no es racional (basta multiplicar por mk Yel posible

denominador de a). En general no es muy diffcil demostrar que si la-nk/mkl<E(k)/mk con E(k)-+O, entonces

a no satisface una ecuaci6n de grado r (vease ej. 3 Cap. 20, Ia edici6n, "Calculus" de Spivak). Asf que, en

cierta manera, la trascendencia de un numoro a se "reduce" a encontrar buenas aproximaciones por racionales

(0 enteros, si quitamos denominadores). Antes de la llegada de las computadoras este tipo de aproximaciones

para valores especiales de funciones como sen x, cos x, eX, etc. tenfan gran importancia para hacer calculos,

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DEM.: Factorizando P/ Cn se tiene que

O"j(al' a2,···, an) =(-I)jcn-j/cn.

Por otra parte, el teorema de los polinomios simetricos (Teorema 2.13 Cap.l ) afirma que

S(al' a2, , an) se puede escribir como un polinomio (con coeficientes enteros) en los

O"j(al' a2, , an), como el grado de este polinomio no excede k, multiplicando por Cn se

cancelan todos los denominadores .•

Las ideas principales para abordar la trascendencia de tt ;de e y de algunas cantidades

relacionadas, estan contenidas en la demostracion del siguiente result ado

Teorema 3.2: Si P E 7l[x] con 8P =n y sus rafces en ~, aI, a2, ... ,an, son no

nulas, entonces Ep=eCl!l + eCl!2 +...+ eCl!n tJ _ 7l - {a}.

DEM.: Definamos

donde pes un mimero primo que se escogera mas adelante. Notese que las integrales tienen

sentido aunque los ar sean complejos, de todas formas es siempre posible pasar a integrales

reales con el cambio x' =x - ar.

Gracias a la formula

se deduce que Q E 7l y tomando plP(a) se tiene plQ. Un argumento similar con P, tras

el cambio x' =x - ar, permite deducir que cada uno de sus sumandos es un polinomio en

ar con coeficientes enteros multiplos de p (notese que P(X' + ar) no tiene termino inde-

pendiente). As! pues, P puede considerarse como un polinomio simetrico en aI, a2, ... , an

multiplicado por p y el lema anterior asegura que c~PP E 7l (donde c., es el coeficiente de

mayor grado de P), y adem as plc~pP.

La clave de la demostracion (vease la anterior nota a pie de pagina) es que si p es

grande el mimero racional P / Q aproxima muy bien a Ep y ambas cantidades no son

iguales, 10 que llevara a una contradicclon si Ep es entero.

Si Ep E 7l - {a}, tomando p > cnEp se tiene p lc~PEpQ - c~PP y por tanto

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donde, una vez fijado P, KI YK2 son constantes. Notese que tomando p suficientemente

grande se llega a contradiccion. •

Pequeiias variaciones en la demostracion permiten probar un result ado mas general.

Teorema 3.3: Sean PI, P2, ••• , Pm E 7l[x] tales que P =PI .P2 ••••• Pm eumple

P(O) # 0, entonees dados kl' k2 ' ... , km E 7l no eimulteneemenie nulos, kIE p1 + k2Ep2 +

...+ km EP rn ~ 7l- {O} .

DEM.: Basta proceder como en el teorema anterior pero tomando

con

m

Corolario 3.4 (Hermite, 1873): e es traseendente sobre < Q .

DEM.: Tomese PI =X - 1, P2 =X - 2,... , Pm=X - men el teorema anterior .•

Corolario 3.5 (Lindemann, 1882): 7r es traseendente sobre < Q .

DEM.: Si 7r fuera algebraico, it: tambien 10 seria (donde i=J=I). En ese caso, sea

Q E 7l[x] un polinomio con coeficiente de mayor grado en y cuyas rakes son al=ix , a2,

... , an. La formula de Euler implica eCl!l =-1con 10 cual

n

II (1 + e C l ! k ) =o .k=1

Operando en esta igualdad se obtiene

1+L eCl!il + L eCl!il +CI!h + L eCl!il +CI!h+CI!j3 + ...=0

i1 i1<h i1<h <ie

Si consideramos e:![I1~X-ek) donde ek denota todos los exponentes no nulos que aparecen

en al formula anterior, entonces P E 7l[x] (basta aplicar el Lema 3.1 a sus coeficientes).

La igualdad anterior se podria escribir entonces como

l+r+Ep =0

donde r es el numero de posibles exponentes nulos, y esto contradice el Teorema 3.3. •

Decidir la trascendencia sobre < Q de un mimero dado es, en general, muy dificil. Entre

los resultados mas espectaculares obtenidos desde la demostracion de Hermite, se encuen-

30.



tran el teorema de Lindemann y el teorema de Gelfond-Schneider que afirman, respecti-

vamente, que eO!y af3 son trascendentes sobre < Q cuando a, j3 # 0,1 son algebraicos con

j3 irracional. Sus demostraciones utilizan en gran medida las ideas originales de Hermite.

De estos teoremas se deduce, por ejemplo, que ev'3, 2\1'2y e" son trascendentes (notese

que e" =i-2i). Por otra parte, la trascendencia de numeros tales como e+ n, tte 0 7re, se

desconoce.

31



32



Hoja 4

1) Decir cuales de las siguientes longitudes son construibles con regIa y compas

2) Disefiar un metoda sencillo para construir con regIa y compas la longitud

V1+V3

V 2

3) Demostrar que los poligonos regulares inscritos en el circulo unidad de 7, 11, 13 Y

19 lados no son construibles con regIa y compas. Indicaci6n: Considerense las rakes del

polinomio irreducible xp-1 + xp-2 + ... + x + 1=(xP - l)/ (x - 1) con p primo.

4) i.,Es el pentagono regular construible con regIa y cornpas? Indicaci6n: Hallar

cos(27r/5) + cos(47r/5) y cos(27r/5) . cos(47r/5).

5) Decir si las siguientes extensiones son algebraic as 0 trascendentes.

< Q ( e ) / < Q ( e5

- e3

+ 7e2

+ 100e - 1).

6) Demostrar que si a y j3 son trascendentes sobre < Q , entonces a + j3 0 a . j3 son

trascendentes sobre < Q . Dar un contraejemplo a la implicaci6n: a, j3 trascendentes ~

a + j3 trascendente.

7) Usando los principios de 10 que mas tarde seria la teoria de Galois, Gauss demostr6

(a los 19 alios) que

cos ~; =-116+ 116V17+ 116 3 4 - 2V17+~J17 + 3V17 - J 3 4 - 2V17 - 2 J 3 4 + 2V17

Deducir que el poligono regular de 17 lados se puede construir con regIa y compas.

NOTA: Esta construcci6n geometric a es una de las pocas que habia escapado al ingenio

de los antiguos ge6metras griegos. Segun se dice, Gauss mand6 que fuera inscrita en su

tumba.

8) Demostra que si los poligonos regulares de n y m lados son construibles con regIa

y compas, tambien 10 es el de mcm( n,m) lados. Concluir del ejercicio anterior que el

poligono regular de 204 lados es construible con regIa y com pas.

9) i.,Se puede triplicar el cubo?

10) i.,Sepuede trisecar el angulo de 7r 2n radianes?

11) Supongamos que disponemos de una regIa curva cuyo borde tiene la forma de la

grafica de y =x3 para x ~ o . Esta regIa esta sin graduar (aunque tiene marcado el cero)

y s6lo puede ser usada para trazar la curva que une dos puntos construibles, uno de ellos

situ ado en el origen de la regIa. Demostrar que con regIa, compas y regIa curva se puede

duplicar el cubo. i.,Sepuede cuadrar el circulo? i.,Ytrisecar el angulo?

33



34



3. Grupo de Galois.

Extensiones Normales y Separables.

La dimension es suficiente en algebra lineal para clasificar (salvo isomorfismos) los

espacios vectoriales sobre IR, pero la situacion es bien distinta en 10 que respect a a exten-

siones de cuerpos (que son espacios vectoriales con mas estructura). Asi por ejemplo

[ < Q (~ ) : < Q J= [ < Q (V 2 + V 3 ) : < Q J = 4

y sin embargo, al menos en apariencia, < Q (~ ) /< Q y < Q (V 2 + V 3 ) / < Q son bien distintas.

Ya antes de Galois se conocian diferentes versiones del teorema de los polinomios

simetricos (Teorema 2.13 del Capitulo 1) y por tanto que todas las rakes del polinomio

minimo juegan un papel "simetrico" cuando las consider amos sobre < Q . Por eso no parece

descabellado decir que si < Q (~ ) /< Q y < Q (V 2 + V 3 ) / < Q fueran "isomorfas" tambien 10 sedan

Ld<Q y L2/< Q con

t.,=< Q ( ~ , i~, -i~, ~) ( = < Q ( ~ , i))

L2 =< Q (V 2 + V 3 , V 2 - V 3 , - V 2 + V 3 , - V 2 - V 3 ) ( = < Q ( V 2 , V 3 ))

porque Ll esta generado por las rakes del polinomio minimo de ~ y L2 por las rakes del

polinomio minimo de V 2 + V 3 . Pero es evidente que L, y L2 son "esencialmente" distintos

porque tienen diferente grado sobre < Q .

Con esto hemos querido mostrar que podemos restringirnos a comparar cuerpos "sime-

tricos", en el sentido de que contengan todas las rakes del polinomio minimo de sus

generadores. Supongamos ahora que L, es como antes pero L2 = < Q (V 2 , V 3 , J 5 ) que

tiene el mismo grado que Ll sobre < Q . Tambien podriamos comprobar que Ll Y L2 son

bien distintos viendo que la "simetria", a, que pasa ~ a i~ Y deja i fijo tiene orden 4,

concretamente

o' (~) = i~, O'(i~) = - ~ , 0 ' ( - ~ ) = -iV'2, 0 '( -iV'2) = ~ ,

mientras que todas las "simetrias" de < Q (V 2 , V 3 , J 5 ) son de orden 2 porque corresponden

a cambios de signo de V 2 , V 3 Y J 5 .

En este capitulo definiremos rigurosamente estas "simetrias" (automorfismos) de una

extension y probaremos que forman un grupo (el grupo de Galois). Siempre que la extension

contenga a cada elemento y su "simetrico" (que sea normaD y satisfaga una condicion

tecnica (que sea separable), demostraremos que el grupo de "simetrias" refleja fielmente

35



toda la estructura de la extension. Este constituye el teorema fundamental de la teoria de

Galois.

§l. AUTOMORFISMOSY GRUPO DE GALOIS.

Aunque nuestro principal interes son los cuerpos, sera util tener las siguientes defini-

ciones en el marco general de los anillos

DEFINICION: Sean A y B snillos (conmutativos y unitarios) un homomorfismo de

snillos es una funci6n ¢ : A - - - - - + B que respeta 1a suma, 1a multiplicaci6n y e1 e1emento

unidad, esto es

DEFINICION: i) Si ¢ es inyectiva se dice que es unmonomorfismo.

ii) Si ¢ es sobreyectiva se dice que es un epimorfismo.

iii) Si ¢ es biyective se dice que es un isomorfismo.

iv) Si ¢ es biyective yA =B se dice que es un automorfismo.

Los dos ultimos apartados de la definicion anterior solo los usaremos para cuerpos.

DEFINICION: Los automorfismos (0 isomorfismos) que dejan fijos los elementos de

cierto subcuerpo K, se llaman K-automorfismos (0 K-isomorfismos).

DEFINICION: Dada L/ K, a1 conjunto de K -automorfismos de L se 1e llama grupo de

Galois de L / K y se escribe Q (L / K ).

NOTA: Otras notaciones que se utilizan (por ejemplo en ellibro de Stewart) en lugar

de Q(L / K) son r(L :K) yen cierto contexto K*.

Lema 1.1: Q (L / K ) es un grupo (con 1a composici6n).

DEM.: La composicion es cerrada porque si a y T son K-automorfismos, es decir,

dejan fijo K, entonces 0 '0 T (que abreviaremos con a T ) tambien deja fijo K. El resto

de las propiedades de grupo se siguen facilmente de las propiedas de la composicion de

funciones .•

Ejemplo 1. Q(<Q(V2)/<Q) rv7l/271.

Un elemento, a, de Q ( < Q ( V2)/<Q) queda caracterizado por la imagen, a, de V2, y se

tiene

a =0 '( V2) ~ a2 =0 '( V2)a( V2) =0 ' ( 2 ) =2.

Por tanto a puede dejar fijo a V2 0 puede mandarlo a -V2. en el primer caso a es la

identidad y en el segundo caso es la conjugacion, conj.(a+bV2) =a-bV2 que obviamente

es un <Q-automorfismo (porque conj.((a+bV2)+(c+dV2)) =conj.(a+bV2)+conj.(c+dV2),

etc) y tiene orden 2. Con ella hemos demostrado

Q(<Q(V2)/<Q)={Id,conj.} rv7l/271.

36



Ejemplo 2. Q ( < Q ( { / 2 ) /< Q ) ={Id}.

Como antes, un elemento, a E Q ( < Q ( { / 2 )/ < Q ) queda caracterizado por la imagen, a, de

{ / 2 , y se tiene

a =0 '( {i2 ) ~ a3 =0 '( { i2 )O '( { i2 )O '( { i2 ) =0 ' ( 2 ) =2.

Pero el unico a E < Q ( { / 2 ) que cumple a3 =2 es { / 2 , asi que a deja fijo a { / 2 y por tanto es

la identidad.

Con este ejemplo vemos que, en principio, el grupo de Galois no "distingue" entre

< Q ( { /2 ) /< Q y la extension trivial < Q / < Q . Mas adelante veremos que esto ha ocurrido porque

< Q ( { / 2 ) no contiene a las otras rakes del polinomio minimo de { / 2 (diremos que la extension

no es normal).

El intento de recuperar la estructura de una extension a partir de Q sugiere la siguiente

definicion

DEFINICION: Sea H un subgrupo de Q(L/K) , se dice que

{x E L / a (x) =x para to do a E H}

es e1 subcuerpo fijo por H ya veces se denota con H' 0Ht.

La definicion anterior tiene sentido gracias al siguiente result ado

Lema 1.2: Si H es un subgrupo de Q (L/ K ) entonces H' es un subcuerpo de L

DEM.: Si x , y E H' entonces para todo a E Q (L / K ) se tiene o'(x) =x Y O'(y) =y,

pero entonces 0 '( x + y) =x + y y por tanto x + y E H '. Lo mismo se haria con el resto de

las operaciones. •

OBSERVACION: Notese que (Q(L/K)) ' =K no es cierto en general, por ejemplo

Q ( < Q ( {i2) /<Q) ={Id} ~ (Q ( < Q ( { i2 )/< Q ) ) ' =<Q ({i2 ).

El teorema fundamental de la teoria de Galois afirmara que esta igualdad (y de hecho una

mas general) se cumple bajo ciertas condiciones.

La proxima proposicion asegura que hay restricciones para definir los automorfismos

de Q (L / K ), y la siguiente asegura que Q (L / K ) determina el grado de ciertas subextensiones

de L /K .

Proposici6n 1.3: Sea L /K y P E K[x] . Si a E L es un cero de P, entonces O'(a)

con a E Q(L/ K) tembien 10 es.

OBSERVACION: Esto implica que cada a E Q (L / K ) induce una perrnutacion actuando

sobre el conjunto {aI, a2, ... , a n} de rakes distintas de P en L. (Notese que O'(ai) =

O'(aj) ~ O '(ai - aj) =0 ~ ai =aj).

37



Proposici6n 1.4: Sea H un subgrupo finito de Q(L/ K). Si H' es e1 subcuerpo fijo

por los automorfismos de H, entonces

[L : H '] =IH I .

De esta proposicion se deduce inmediatamente

Corolario 1.5: Sea L/ K una extension finita y sea H un subgrupo de Q(L/ K),

entonces

[H ' : K ] = [ ~ ~ f ] .

OBSERVACION:Notese que de estos resultados se deduce que a cada subgrupo de

Q(L/ K) se le puede asociar de forma univoca un subcuerpo de L conteniendo a K.

Ejemplo . Mas adelante demostraremos que

donde 0 " ( cos i;) = cos ~;. En este ejemplo veremos como se deduce la estructura de

<Q(cos i;)/<Q a partir de la informacion contenida en 7l/871.

Sea ( =e27ri/17, como ( es raiz del polinomio (ciclotomico) irreducible x16 + x15 +...+ x + 1, se tiene

[<Q() : <Q]=16.

Obviamente <Q(() = 1 = <Q(cosi;) y <Q(() :::)<Q(cosi;), porque cos i; =((+ (-1)/2, asi pues

2K 2K[<Q(() : <Q]=16, [<Q((): <Q(cos 17)] > 1 ~ [<Q(cos17) : <Q]< 8.

Pero por la Proposicion 1.4 el grado de <Q(cos i;) sobre el subcuerpo fijo por el grupo de

Galois es 8 y como este subcuerpo incluye a <Qconcluimos

Por otra parte, 7l/871 tiene subgrupos de orden 1,2, 4 y 8 que corresponden a

HI ={Id},2K

tt;=Q(<Q(cos 17)/<Q).

38



Segun el Corolario 1.5 se tiene

[H ~ : <QJ= [<Q(cos~) : <QJ

n

8n=1,2,4,8.

n

Por tanto

I I I I ( 27r )<Q=H8 C H4 C H2 C HI =<Qcos 17

es una cadena de subcuerpos tal que todas las extensiones son de grado dos, en particular

cos i;es una longitud construible con regIa y compas y, por tanto, el poligono de 17 lados

es construible con regIa y compas. De hecho, hallando explicitamente los H~ uno podria

obtener un metoda para construirlo.

NOTA HISTORICA: Los razonamientos con los subcuerpos fijos guardan una analogia

esencial con la demostracion original de Gauss de que el poligono de 17 lados es construible

con regIa y compas. Partiendo de (, Gauss construia polinomios en ( que eran invariantes

al cambiar ( por algunas de sus potencias. Por ejemplo ( + (16 es invariante al cambiar (

por (16 Y ( +(4+(13+(16 es invariante al cambiar ( por (13 0 por (16. Considerando sumas

y productos de estos polinomios, lograba una mayor invariancia (por ejemplo, (+ (16 y

(4+ (13 son invariantes por ( H (16 mientras que (( + (16) + ((4+ (13) Y (( +(16) ((4+(13)

tambien 1 0 son por ( H (13) hasta llegar a cantidades que eran racionales (simetricas

en todos los (j). Partiendo de elIas pudo recuperar las expresiones polinomicas en (

resolviendo sucesivas ecuaciones de segundo grado, ya que sabiendo la suma y el producto

de dos mimeros se pueden calcular con una ecuacion de este tipo. Con ella, expreso cos i;en terminos de numeros racionales y sucesivas rakes cuadradas.

Gauss dio condiciones necesarias y suficientes para la constructibilidad del poligono

de n lados, para ella, esencialmente, tuvo que calcular 9 (<Qcos 2;)/<Q) (alios antes de

que Galois naciera) 1 0 que conllevaba utilizar algunas ideas fundament ales de la teoria de

Galois (incluso la resolubilidad de ecuaciones por radicales se menciona en el Art. 359 de

las "Disquisitiones Arithmeticae" de Gauss).

Hablando en rigor, hay una parte de este calculo que Gauss no publico (0 al menos

no ha llegado hasta nosotros), adem as no esta clara la influencia de Gauss sobre Galois ni

de Lagrange sobre Gauss (vease §27 en "Galois Theory" de Edwards) y 1 0 cierto es que eltrabajo posterior de Galois es mas general porque se aplica a otras extensiones y permite

una solucion definitiva del problema de resolubilidad por radicales.

DEM.(de la Proposicion 1.3): Sea P=anxn + an_lXn-1 +...+ alX + ao. Si a es un

39



cero de P

Por tanto O"(a) tambien es una raiz de P.

Para demostrar la Proposicion 1.4 necesitaremos el siguiente lema

Lema 1.6: Sean 0"1, 0 "2, ... , O "nEQ (L/ K) distin tos, entonces el conjunto {0"1' 0"2, ... , O "n}

es linealm ente independiente sob re L. Es decir, si'\l, '\2, ... , '\ n E L no so n eimulteneemenie

nulos entonces ,\10"1 + , \20"2 +...+ ' \nO"n no es la funci6n idetiticemente nula en L.

DEM: Procedemos por reduccion al absurdo.

Sea , \10"1 + , \20"2 +...+ ' \nO"n con '\1 # 0, la combinacion lineal mas corta (con n mas

pequefio) que produce la funcion nula en L, esto es,

(1.1)

Como a es arbitrario 10 podemos sustituir por a/3 donde / 3 ELse escogera a continuacion,

por tanto

(1.2) , \10 "1 (a)O" l ( / 3 ) + ,\2 0" 2 (a ) 0 "2( / 3 ) +...+ ' \nO"n (a)O"n ( / 3 ) =0 Va E L.

Elijamos / 3 tal que 0"1(/3) # O"n(/3), esto es posible por que 0"1 y O"n son distintos. Multipli-

cando (1.1) por O"n(/3) Yrestandole (1.2) se tiene

' \~O"l(a) + ' \~0"2(a) + ... + ' \~_10"n-1(a) =0 Va E L

con '\ i # 0, pero esto contradice que hubieramos tornado la combinacion lineal mas

corta .•

DEM (de la Proposicion 1.4):

a) [L : H '] ~ IH I .

Sean {aI, a2, ... , ar} una base de L/ H' y sea H = {0"1' 0"2, ... , O "n} (por tanto r =

[L : H '] y n = IHI) . Consideremos el sistema de ecuaciones

0"1(a1)X1 + 0"2(a1)x2 + + O"n(a1)Xn =0

0"1(a2)x1 + 0"2(a2)x2 + + O"n(a2)Xn =0

40



Si r < n (es decir, si [L : H '] < IH I ) tiene una solucion trivial Xl =AI, X 2 =A 2 , . . . , x n =A n

de modo que

AlO" l (a i ) + A 2 0 " 2 ( a i ) +...+ A n O " n ( a i ) =0 1::; i::; r,

pero como {aI , a 2 , . . . , a r } es una base esto implica

AlO" l (a) + A 2 0 " 2 ( a ) + ... + A n O " n ( a ) =0 Va E L.

Lo cual contradice el lema anterior.

b) [L : H '] < IH I

Sean {aI , a 2 , . . . , a r } , r y n como en a). Tenemos que demostrar r ::;n. Supongamos

r > n, entonces el sistema

(1.3)

O"l (a l )Xl + 0 "1 ( a 2 ) X 2 + + 0 "1 ( a r ) X r =0

0"2(a l )Xl + 0 " 2 ( a 2 ) X 2 + + 0 " 2 ( a r ) X r =0

es compatible indeterminado. Ademas por el teorema de Rouche-Frobenius existen solu-

ciones no triviales, dig amos X l =AI, X 2 =A 2 , . . . , x n =A n , y hay r - n de las variables

que se pueden elegir arbitrariamente (las soluciones dependen de r - n parametres}. Quiza

reordenando las variables, podemos suponer que estas son las r - n primeras. Definamos

Ai =0 "1 ( A i ) + 0 " 2 ( A i ) + ... 0 0 n ( A i )

para 1 ::; i::;. Como AI, A 2 , . . . , A r - n son arbitrarios, pueden escogerse de manera que

Ai sea no nulo cuando 1 ::; i::;- n (recuerdese que los 0 "j son independientes).

Como H es un grupo O " ( A i ) =Ai para to do 0 " E H (ya que O " O " r=O " O " s ~ a ; =O " s ) Ypor tanto Ai E H'. Por otra parte

donde la ultima igualdad esta justificada porque el terrnino entre parentesis es una de la

ecuaciones de (1.3) (notese que O "jl E H). Pero esto implica que {aI , a 2 , . . . , a r } es un

conjunto linealmente dependiente sobre H' y por tanto no es una base, 10 que contradice

nuestras hipotesis. •

§2. EXTENSIONES NORMALES.

Para que 9 (L / K) tenga informacion significativa acerca de L /K , los polinomios de

K [ x ] deben factorizar completamente en L [ x ] . Intuitivamente, se puede afirmar que como

41



las rakes de un polinomio juegan un papel simetrico las necesitamos a todas para obtener

todas las "simetrias" que caracterizan a la extension.

Un primer problema tecnico es saber si un polinomio se factoriza en alguna extension.

Lema 2.1: Dado P E K[x] no constante, existe una extension finita, L/ K, tal que

P tiene una rafz en L.

OBSERVACION:ste teorema es trivial si K c C, porque en ese caso podemos aplicar

el teorema fundamental del Algebra, pero por ejemplo, si K =IF 2 y P =x2 + X + 1, el

lema asegura que existe una extension de IF 2 que contiene a las rakes de P 1 0 cual no es

en absoluto evidente.

DEM.: Podemos suponer que Pes irreducible (en otro caso tomese uno de sus factores

irreducibles) y que 8P > 1 (Si 8P =1, L =K). Consideremos el anillo

L=K[x]/(P).

Obviamente K esta "incluido" en L, 0 mas concretamente, existe un monomorfismo ¢ :

K - - - - - + L. Ademas L es de hecho un cuerpo, 1 0 cual se puede deducir sabiendo que

(P ) es maximal (usando teoremas del curso anterior) 0 directamente observando que la

Proposicion 2.4 del primer capitulo implica que V Q t J _ (P) :::lA,B E K[x] / AP + BQ =1y

por tanto el inverso de la clase Q =Q + (P) es B =B + (P). Por ultimo, notese que L/ K

es finita y que x =x + (P ) es una raiz de P (hablando en rigor, de su imagen en L[X]

inducida por ¢), ya que P(x) =P(x) coincide con la clase de cero en L .•

Ejemplo. Sea K = IF 2. Segun la demostracion del lema anterior, se tiene que

P = x2 + X + 1 factoriza en L = IF 2[xl/(P) (considerando L como extension de IF2) .

En un ejercicio (vease la Hoja 1) habiamos visto que L = {O,I , ii; x + 1} (notese que

x 2 =-x - 1=x + 1, etc.). En dicho ejercicio tambien habiamos calculado las tablas de

suma y multiplicacion de este cuerpo de cuatro elementos. Llamando a a x y 1 3 a x + 1 yabreviando 0, I con 0 y 1, dichas tablas son

+ 0 1 a 1 3 x 0 1 a 1 3

0 0 1 a 1 3 0 0 0 0 0

1 1 0 1 3 a 1 0 1 a 1 3a a 1 3 0 1 a 0 a 1 3 1

1 3 1 3 a 1 0 1 3 0 1 3 1 a

Observese que usando estas tablas se tiene que a y 1 3 son rakes de P porque

a2 + a + 1=1 3 + a + 1=1+ 1=0

1 3 2 + 1 3 +1=a + 1 3 + 1=1+ 1=0

42



Asi que podriamos escribir P = (x - a ) (x - { 3 ) en L[x]. Mas adelante llamaremos IF4 a

este cuerpo, L, que extiende a IF2 de manera que P factoriza.

En las demostraciones de esta seccion apelaremos al siguiente lema que concreta mas

la idea de la demostracion del result ado anterior.

Lema 2.2: Sea L/ K y sea P el polinomio minima de a E L sobre K, entonces

'l jJ : K ( a ) - - - - - + K[x] / (P)con 'ljJ(a) =x =x + (P) , define un K -isomorfismo. En particular, si { 3 E L es otra raiz de

P , existe un K - isomorfismo i: ( a ) - - - - - + K ( { 3 ) con i() ={ 3 .

DEM.: Por la Proposicion 3.4 del Capitulo 1se tiene que aI, a2 E K (a ) ~ al =QI(a),

a2 =Q2(a) , ala2 =Q3(a) con 8Qi < 8P .

Es obvio que 'ljJdeja fijo K ( 1 0 definimos asi) y que

' l jJ(al + a2 ) =' l jJ(QI(a) + Q2(a) ) =QI(X) + Q2(X) =' l jJ(al) + ' l jJ(a2).

Notese que QIQ2 - Q3 se anula en a , por tanto es divisible por P y su clase en K[xl / (P)es la clase de cero. Por tanto

'ljJ (a l)'ljJ (a 2 ) - 'ljJ (a la 2 ) =QI(X)Q2(X ) - Q3(X) =o .

Como z s aplica el generador de K(a ) en el generador de K[xl / (P) (siempre sobre K ), es

un epimorfismo. Ademas 'ljJ (a l) - 'ljJ (a 2) =0 ~ QI - Q2 E (P ) ~ PIQI - Q2 y como

8Qi < 8P , QI =Q2 s » tambien es un monomorfismo .•

DEFINICION: Sea P E K[x] y L/ K una extension. Se dice que L es un cuerpo de

descomposicion de P , 8P > 1, si se verifican las condiciones:

a) P se descompone en Iectotes lineales en L[x], esto es,

b) L/ K es la menor extension de K tal que se cumple a).

NOTA: Con la notacion de la definicion anterior, se tiene que el cuerpo de descom-

posicion de Pes L=K (a l' a 2 , ... , an ).

Proposici6n 2.3: Para cada P E K[x] existe un cuerpo de descomposicion de P y

edeuuis es tinico salvo K -isomorfismos.

DEM.: Para la existencia basta aplicar repetidas veces el Lema 2.1 hasta obtener un

L en el que P se descomponga en factores lineales x - aI, x - a2 , ... ,x - an , entonces

K (a l' a2 , ... ,a n ) es el cuerpo de descomposicion de K .

43



Para demostrar la unicidad salvo K-isomorfismos su-

pongamos que Ll y L2 son cuerpos de descomposicion de P.

Procedemos por inducclon en 8P. Si 8P =1 es trivial. Si

8P > 1, sea Q un factor monico irreducible de P, entonces

K[xl/(P)y

Por el Lema 2.2 se tienen K-isomorfismos

i: K({31) - - - - - + K[xl/(P),

por tanto K(al) y K({31) son K-isomorfos por i-I 0 i.

Ll es una extension de K(al) Y tambien L2 puede considerarse que extiende a K(al)

por medio del K-monorfismo joi-1oi :K(al) YL2 donde j:K({31) YL2 es la inclusion.

Notese que Ll Y L2 son obviamente cuerpos de descomposicion de P sobre K(al) Y como

al E K(al) tambien 10 son de P =P/(x - al). La demostracion se concluye por la

hipotesis de induccion (ya que 8P < 8P). _

Ejemplo . El cuerpo de descomposicion de P =x2 - 2 E <Q[x]es < Q ( V 2 ) .

Ejemplo. El cuerpo de descomposicion de P =x4 - 5x2 + 6 E <Q[x]es < Q ( V 2 , J3)

(notese que P =(x2 - 2)(x2 - 3)).

El concepto fundamental de esta seccion se recoge en la definicion siguiente

DEFINICION: Se dice que una extension, L/ K es normal si todo polinomio irreducible

P E K[x] que tiene una rafz en L se descompone en Iectotes lineal en L[x].

La definicion de extension normal parece ser mucho mas restrictiva que la de cuerpo

de descomposicion en el sentido de que, en principio, una extension normal debe contener

los cuerpos de descomposicion de "muchos" polinomios. Sin embargo se tiene el siguiente

result ado

Proposici6n 2.4: L/ K es normal y finita ¢}L es el cuerpo de descomposicion de

unpolinomio de K[x].

DEM.:

~) Sea L =K(al' a2, ... , an). Sean PI, P2, ... ,Pn, sus polinomios minimos sobre

K y sea P =PI . P2 ..... Pn. Como L/ K es normal, cada Pi se descompone en factores

lineales y 10 mismo ocurre con P; por tanto L contiene al cuerpo de descomposicion de P

y como L esta generado por la rakes de P, coincide con el.

¢::) Sea L el cuerpo de descomposicion de Q E K[x]. Basta demostrar que si a y { 3

son rakes de un polinomio monico irreducible, E K[x], entonces a E L ~ { 3 E L.

44



Por el Lema 2.2 existe un K-isomorfismo i : K(a ) - - - - - + K( j3 ) . Por otra parte, L(a ) es

un cuerpo de descomposicion de Q E K(a) [ x] y tambien L(j3) puede considerarse como otro

cuerpo de descomposicion teniendo en cuenta la "K-inclusion" K (a) ~ K (j3 ) YL(j3) .

La Proposicion 2.3 implica que L(a ) y L(j3) son isomorfos como extensiones de K(a) , por

tanto [L (a ) : K ] =[L (j3 ) : K ]. Si a E L , se tiene

1=[L (a ) : L ] = [L (a ) : K ] = [L (j3 ) : K ] =[L (j3 ) : L ] =1~:~ ~:~ ,

es decir, 1 3 E L.•

Terminamos esta seccion con una proposicion que se sera fundamental en el calculo

explicito de grupos de Galois

Proposici6n 2.5: Sea L / K norm a l y finita y sean MI yM2 d os su b cu erp os de L

conteniendo a K . S i i:MI - - - - - + M2 es un K -iso mo rfism o, e nto nc es existe a E Q (L / K ) ta l

q u e r es tr in g id o a MI co in cide con i.

De aqui se deduce un result ado mas fuerte que la Proposicion 1.3

Corolario 2.6: Sea L / K norm a l. Si P es un polinomio i r reducib le y a , 1 3 ELson

rafces de P, en t onces existe a E Q (L / K ) con a (a ) =1 3 .

DEM.: Basta aplicar la proposicion tomando MI =K(a) , M2 =K( j3 ) y el isomorfismo

i : MI - - - - - + M2 del Lema 2.2 .•

DEM. (de la Proposicion 2.5): Como [L : MI] < 00, basta aplicar repetidas veces que

si a E L entonces se puede extender a un K-isomorfismo i: MI(a) - - - - - + M2( j3) con cierto

1 3 E L. El resto de la demostracion se dedica a construir i.

Sea P el polinomio minimo de a sobre K y sea PI el polinomio minimo sobre M I,

obviamente PIIP. Podemos suponer que 8PI > 1(en otro caso tomariamos i=i). Sea

P2=i(PI) (i actua sobre los coeficientes). P2es monico e irreducible y divide a P, porque

P =PI .QI ~ P =i(P) =i(PI) . i(QI). como L /K es normal, todas las rakes de P, y

por tanto tambien las de P2, estan en L. Sea 1 3 E L con P2( j3) =0, por el Lema 2.2 se

tiene un Ml-isomorfismo, iI, y un M2-isomorfismo, i2,

Por otra parte, i induce un K-isomorfismo, i3,

i3 :MI[xl/(PI) - - - - - + M2[Xl/(P2)'

asf pues basta tomar i=i;-l 0 i3 0 il .•

Aunque dedicaremos casi toda la seccion 4 a dar ejemplos explicitos del calculo del

grupo de Galois, vemos como se aplican estos resultados en un caso sencillo:

45



Ejemplo. Hallar Q ( < Q ( ( ) / Q ) donde (= e27ri/5.

Como la extension es simple y generada por (, cada 0 ' E Q ( < Q ( ( ) / Q ) esta determinado

por su valor en (. Las rakes del polinomio ciclotomico x4 + x3 + x2 + X + 1 son (, (2, (3

Y (4; as! pues, el Corolario 2.6 implica que exist en <Q-automorfismos 01, 0 ' 2 , 0 ' 3 Y 0 '4 tales

que

Con 10 cual se tiene {O'l, 0 '2 , 0 '3 , O ' 4 } c Q ( < Q ( ( ) / Q ) . Por otra parte, la Proposicion 1.4 con

H = Q ( < Q ( ( ) / Q ) implica IQ(<Q(()/Q)I < 4, ya que [<Q(() : H'] < [<Q(() : <Q]= 4. Por tanto

la unica posibilidad es

Q ( < Q ( ( ) / Q ) ={O'l, 0 '2 , 0 '3 , O ' 4 } .

Notese que 01 =Id y que 0 '2 genera al resto de los automorfismos, ya que

O ' ~ ( ( ) = O ' 2 (O ' 2 ( ( ) ) = 0 ' 2 ( ( 2 ) = (4 = O ' 4 ( ( )

O ' ~ ( ( ) = O ' 2 (O ' ~ ( ( ) ) = 0 ' 2 ( ( 4 ) = (8 = C = O ' 4 ( ( ) .

Por consiguiente Q ( < Q ( ( ) / Q ) rv7l/471.

§3. EXTENSIONES SEPARABLES.

Una condiclon tecnica que necesitaremos mas adelante es que las rakes de un poli-

nomio irreducible sean distintas, ya que en otro caso la informacion contenida en el grupo

de Galois puede ser muy pobre (vease la observacion que sigue ala Proposicion 1.3). A pe-

sar de que esta condiclon tecnica se cumple en todas las extensiones algebraicas relevantes

en este curso, tiene interes considerarla desde una perspectiva general.

DEFINICION: Se dice que un polinomio irreducible P E K[ x ] es separable sobre K

si cuando 1 0 descomponemos en su cuerpo de descomposicion como P = k(x - a l)(x -

a2 ) ... (x - an ) todos los a i son distintos. En caso contrario se dice que es inseparable.

DEFINICION: Dado a E L a1gebraico sobre K, se dice que a es separable sobre K si

su polinomio minima 10 es, y se dice que L/ K es una extension separable si todo e1emento

de L es separable sobre K.

Hay una condicion muy sencilla para saber si un polinomio es irreducible es separable

sobre K y esta condicion se satisface trivialmente cuando K c ~. Antes de enunciarla

necesitaremos una definicion.

DEFINICION: Dado P = anxn + an_lX n -l +...+ a lX + ao E K[ x ] , a1 polinomio

P' n-l ( 1) n -2 2=nanx + n - an -IX +...+ a2X + aI,

46



se 1ellama derivada formal de P.

Proposici6n 3.1: Un polinomio irreducible P E K[x] es inseparable si y s610 si

P' =o .

De aqui se deduce inmediatamente

Corolario 3.2: Si K es un cuerpo de cerecteristice cero, todo polinomio irreducible

es separable.

Corolario 3.3: Si K es un cuerpo de cerecteristice p > 0 entonces los iinicos

polinomios inseparables son de 1a forma

p =anxnp + an_IX(n-l)p +...+ aIxP + ao

con ai E K, 0 < i::;.

DEM.(de la Proposicion 3.1):

~) Como Pes inseparable, existe a en el cuerpo de descomposicion tal que (x-a)2IP

y se tiene

P =(x - a)2R ~ pI =2(x - a)R + (x - a)2R' ~ x - alply x - almcd (P, pI).

Si pI = 1 = 0 entonces 1::;amcd (P, PI) < ap y por tanto mcd (P, PI) es un factor no trivial

de P, 1 0 que contradice que sea irreducible.

¢::) Si P fuera separable

P =k(x - al)(x - a2) ... (x - an)

con ai = 1 = aj perteneciendo al cuerpo de descomposicion de P sobre K. Entonces

n

donde

Como x - allPi para 2 ::;i::;y x - al API (porque al no coincide con ninguna otra raiz)

se tiene que x - al API y por tanto P' =0 es imposible .•

Por el pequeiio teorema de Fermat, aP= a para todo a E IFp, asi que todos los

polinomios de los que habla el Corolario 3.3 se pueden escribir como (notese que en IFP'

(a + b ) P =a P + b P )

anxnp + an_IX(n-l)p +...+ aIxP + ao =a~xnp + a~_IX(n-l)p +...+ afxP + a~

=(anxn

+ an_IXn-1

+...+ aIX + ao)P,

* Quiza al lector Ie sorprenda que no llamemos a pi simplemente derivtule de P. La razon para ella es

que en muchos cuerpos, por ejemplo en IF » » no tiene sentido el concepto de lfmite y con este nombre queremos

hacer hincapie en que la definicion es puramente formal y no tiene nada que ver con la definicion habitual a

pesar de comparte las mismas propiedades.

47



y por tanto no son irreducibles, de donde se deduce que no hay polinomios irreducibles in-

separables sobre IFpo La situacion se puede generalizar un poco mas definiendo el morfismo

dado por "elevar a p" .

DEFINICION: Sea K un cuerpo de caracterfstica p > 0, se llama morfismo de Frobenius

ala funci6n ¢ :K - - - - - + K dada por ¢(x) =x",

DEFINICION: Se dice que un cuerpo K es un cuerpo perfecto, 0 bien si tiene carac-

terfstica cero, 0 bien si tiene caracterfstica p > 0 y el morfismo de Frobenius es un isomor-fismo.

Ejemplo. Los cuerpos IFp son perfectos, ya que el automorfismo de Frobenius es

¢=Id (por el pequeiio teorema de Fermat) y por tanto es un isomorfismo.

La misma demostracion que hemos hecho para demostrar que en IFp no hay polinomios

irreducibles inseparables, combinada con el Corolario 3.2, sirve para demostrar

Teorema 3.4: Si K es un cuerpo perfecto, entonces todo polinomio irreducible es

separable.

Ejemplo 1. En cualquier cuerpo K c ~0 en IFp todo polinomio irreducible es sepa-

rable.

Ejemplo 2. Cualquier extension algebraic a de IFp es separable.

El teorema anterior combinado con la siguiente proposicion (que no demostraremos)

asegura que casi todas las extensiones que podamos imaginar son separables.

Proposici6n 3.5: Sean K c L c M cuerpos y o algebraico sobre K, entonces

a) Si a es separable sobre K, K(a)/K es separable.

b) Si M / L y L/ K son separables, M / K es separable.

Como hemos comentado al principio de esta secclon, la no separabilidad de una ex-

tension constituye una dificultad para que la teoria de Galois sea util en dicha extension.

Afortunadamente, todos los resultados anteriores sugieren que los ejemplos de extensiones

no separables son un poco artificiales. Veamos uno.

Ejemplo . Consideremos la extension IF2(t)/IF2(t2 ). El polinomio minimo de t sobre

IF2( t2 ) es

Sepuede comprobar que este polinomio es inseparable con la Proposicion 3.10 bien notanda

que sus raices, t y -t, coinciden en IF 2 (t) (ya que -1=1n IF2). Por tanto IF2(t)/IF2(t2 )no es una extension separable.

Notese que la extension IF2(t)/IF2(t2 ) es normal porque es finita y coincide con el

cuerpo de descomposicion deP (utilicese laProposicion 2.4). Sinembargo 9 ( IF2( t ) / IF2( t2 ))

48



es trivial porque la Proposicion 1.3 implica que (J(t) =t para todo (J E Q(IF2(t)/IF2(t2)).

De alguna manera, no tenemos suficientes rakes distintas para que sus "simetrias" repre-

senten la estructura de la extension.

§4. TEOREMA FUNDAMENTALDE LA TEORIA DE GALOIS Y EJEMPLOS.

Recuerdese que los ejemplos al comienzo del capitulo hacian pensar que algunas

propiedades de las extensiones de cuerpos quedaban representadas por sus "simetrias".

El teorema fundamental de la teoria de Galois afirma que esta representacion es "exact a"

cuando la extension es normal finita y separable, en el sentido de que existe una correspon-

den cia uno a uno entre subcuerpos y subgrupos del grupo de Galois, y entre subextensiones

normales y subgrupos normales.

Es muy conveniente recordar la formulacion intuit iva del teorema fundamental de la

teoria Galois dada en el parrafo anterior para entender el enunciado concreto, que es el

siguiente

Teorema 4.1 (Teorema fundamental de la teorfa de Galois): Si L / K es

normal, finita y separable y M es un subcuerpo K c MeL , entonces Q(L /M) es unsubgrupo de Q(L/K) yM = (Q(L/M))' . Ademas M /K es normal si y s610 si Q (L /M ) es

un subgrupo normal de Q(L/K), en ese ceso Q(M/K) es isomorfo a Q(L/K)/Q(L/M).

OBSERVACION:Notese que tras los resultados de la primera seccion (Proposicion 1.4)

el teorema implica [L : M ] =Q(L/M). En particular el grado de la extension es el orden

del grupo de Galois.

La demostracion no es muy complicada, una vez que se conoce to do el lenguaje y

resultados de las dos secciones anteriores.

DEM.: Por definicion Q(L /M) es un subgrupo de Q(L/K). Obviamente (Q (L /M ))' :::)M . Procedemos por contradicclon suponiendo que existe x E (Q (L /M ))' - M . Sea P su

polinomio minimo sobre M, P se descompone totalmente en L y sus rakes son distintas

porque L / K es separable, por tanto el Corolario 2.6 con K =M nos asegura que existe

(J E Q(L /M) tal que (J(x) = 1 = x, 10 que contradice x E (Q(L/M))' .

Veamos ahora que M /K es normal si y solo si Q(L/M) es un subgrupo normal.

~) Por la Proposicion 2.4, M =K(al,a2, ... ,an) donde ai son las rakes de un

polinomio P E K[x]. Dado (J E Q (L / K ), por la Proposicion 1.3 se tiene (J(M) =M y por

tanto (J I M E Q (M / K ), donde (J I M es la restriccion de (J aM. Esto define un homomorfismo

de grupos

¢ :Q(L/ K ) - - - - - + Q(M / K )

(J - - - - - + (J I M

49



que es sobreyectivo (por la Proposicion 2.5 con M1 =M2 =M) Ycuyo micleo es Q(LIM),

por tanto el teorema del isomorfismo (vease el repaso de teoria de grupos del proximo

capitulo) implica que Q ( L 1M ) es un grupo normal de Q (L I K ) y que Q (M I K ) es isomorfo

a Q(LIK)/Q(LIM).

¢::) Si M IK no fuera normal, entonces existe un polinomio, P, con dos rakes a, 13 E L

tales que a E M y 13 t J _ M. Por el Corolario 2.5 existe T E Q(LI K) tal que T(a) =13 .

Como 13 t J _ M y LIM es separable (por que LIK 1 0 es), el Corolario 2.6 asegura quetambien existe 0' E Q(LIM) tal que 0'(13) = 1 = 13, entonces T-1O'T(a) = 1 = a y por tanto

T-1Q(LIM)T = 1 = Q(LIM), pero esto contradice que Q(LIM) sea un subgrupo normal de

Q(LIK) .•

Segun 1 0 visto en las dos secciones anteriores, si K tiene caracteristica cero 0 K =IFp

(0 incluso si K es una extension finita de IFp), entonces decir que LIK es normal, finita

y separable es 10 mismo que decir que L es el cuerpo de descomposicion de un polinomio

sobre K con rakes distintas. Esto sugiere la siguiente definicion

DEFINICION: Se llama grupo de Galois de P E K[x] al grupo de Galois de su cuerpode descomposicion sobre K.

Dado un polinomio arbitrario es realmente dificil, en general, calcular su grupo de

Galois incluso usando computadoras. Dedicaremos el resto de la seccion a calcular el

grupo de Galois de algunas extensiones normales, finitas y separables de las que tenemos

una descripcion bast ante explicit a (fundamentalmente, los cuerpos estaran generados por

combinaciones sencillas de radicales), 1 0 que permite que los calculos se puedan llevar a

cabo.

Ejemplo 1. Calcular el grupo de Galois del (cuerpo de descomposicion del) polinomiox4 +x3 +x2 +X +1 sobre < Q , describiendo explicitamente todos los subcuerpos intermedios.

Como x4 + x3 + x2 + X + 1 = (x 5 - 1)I (x - 1) (polinomio ciclotomico), sus rakes

son (, (2 , (3, (4 con (= e2 7 r i/5 ; asi pues tenemos que calcular G =Q(<Q(()/<Q). Cada

automorfismo en G esta determinado por su accion sobre ( y segun el Corolario 2.6 existen

automorfismos 0'1, 0'2, 0'3, 0 '4 E G tales que

O'1(() =( O'2(() =(2 O'3(() =(3 O'4(() =(4.

Como IG I = [ < Q ( ( ) : < Q J =4 ya no hay mas automorfismos, es decir,

G=Q(<Q(()/<Q) ={O'1,O'2,O'3,O'4}.

* En principio hay un algoritmo (basado en la definici6n de grupo de Galois del propio Galois) pero

requiere tantos calculos que es casi inviable en la practica, incluso para grados pequeiios. El lector interesado

10 puede encontrar en el apendice ala segunda edici6n de "Galois Theory" de 1. Stewart.

50



Veamos que estructura tiene G. Obviamente 0"1 =Id, O"~(() =0"2((2) = (0"2(())2 =(4 ~

0" 4 =O"~. Tambien O"~(() =0"2 ((4) =(8 ~ 0" 3 =O"~. As! pues G es ciclico generado por 0"2

G=Q(<Q(()/<Q) =(0"2) ={Id, 0"2, O"~,O"n rv 'Il/4'1l.

(Recuerdese que, en general, la notacion (g l, g 2 , ... ) indica el subgrupo generado por

g l, g 2 ... ). Los unicos subgrupos de G son {Id,O"n y el grupo trivial {Id}. Segun el

teorema fundamental de la teoria de Galois se tiene

G={Id, 0"2, O"~,O"n

IH ={Id,O"n

I

H ={Id}

Q(<Q(()/<Q)

Q(<Q(()/M)

Q(<Q(()/<Q(())

( rv 'Il/4'1l)

( rv 'Il/2'1l)

( rv{e})

donde M es un cuerpo intermedio con [M : <QJ= IG I / IH I =2. Como hay una correspon-

dencia uno a uno entre subgrupos y subcuerpos, el iinico subcuerpo entre <Qy <Q() es

M =H'. Este cuerpo se puede calcular explicitamente usando la definicion

M =H' ={ x E <Q(()/ O " ( x ) =X V O " E H}.

Como H ={Id, O"n, y {1, (, (2, (3} es una base de <Q((), se tiene

M ={a + b ( + C(2 + dC / O"~(a + b ( + C(2 + dC) =a + b ( + C(2 + dC, a, b , c, d « <Q}.

Un calculo prue ba

O"~(a + b ( + C(2 + dC ) =a + b (4 + c C + d( 2

= (a - b )( - b ( + (d - b )(2 + ( c - b )C

donde en la segunda igualdad hemos usado (4 =-1 - ( - (2 - (3. Como {1,(, (2, (3} es

una base de <Q((),

a-b=a -b=bO"~(a + b ( + C(2 + dC) =a + b (4 + c C + d( 2 ¢}

d - b =c c - b =d.

Resolviendo este sistema se tiene finalmente

M ={ a + C((2 + C) / a , c E <Q}.

Como (2 + (3 =e47ri/5 + e67ri/5 =2 cos( 47r/5), se puede escribir mas explicitamente M =

<Q(cos(47r/5)). Como H es un subgrupo normal de G (porque G rv 'Il/4'1l que es abeliano),

entonces M/ <Qes una extension normal.

OBSERVACION:Quiza allector le parezca que <Q(cos(27r/5)) es "otro" cuerpo interme-

dio, contradiciendo al teorema fundamental. en realidad, usando las formulas de adicion

51



de las funciones trigonometricas no es dificil probar que <Q(cos(27r/5)) =<Q(cos(47r/5)).

Veamos ahora uno de los ejemplos mas completos que se pueden poner a este nivel.

Notese como entra en juego de forma fundamental la Proposicion 2.5 que dice intuitiva-

mente que podemos obtener automorfismos en una extension grande ampliando otros de

una extension menor mas sencilla. Esta situacion se repetira en ejemplos posteriores.

Ejemplo 2. Calcular el grupo de Galois (del cuerpo de descomposicion) del polinomio

x4 - 2 sobre <Qy calcular el mimero de subcuerpos intermedios, describiendo explicitmente

uno de ellos y diciendo si da lugar a una extension normal.

Las rakes de x4 - 2 son ik - ¢ 1 2 con k =0, 1,2,3, por tanto su cuerpo de descomposicion

es <Q(, - ¢ 1 2 ) . En este, como en otTOSejemplos, es conveniente "descomponer" la extensi6n

en subextensiones normales que sean mas sencillas, consiguiendo que se repita de alguna

manera la situacion del ejemplo anterior. Por ella consideramos

L=<Q(, - ¢ 1 2 )

I

M =<Q(i)

I

K=<Q

Notese que L/M es normal (porque L/ K 10 es) y M / K tambien es normal porque M es

el cuerpo de descomposicion de x2 + 1. Antes de nada, calculemos [L : K ] para saber el

orden del grupo de Galois

[L : <Q(V'2)] =2 (porque i t f _ <Q(V'2)) :::} [L: K ] =[L : <Q(V'2)][<Q(V'2) : <Q]=8.

El calculo de Q ( L / K ) se basa en calcular los grupos mas sencillos Q ( L / M ) y Q (M / K ),

intentando mas tarde unir ambas informaciones "pegando" ambos grupos.

Comencemos con Q(L/M) . Como [L : M ] = [L : K J/[M : K ] = 4, el polinomio

minimo de - ¢ 1 2 sobre M es x4 - 2. Cada automorfismo de Q(L/M) esta determinado por su

valor en - ¢ 1 2 , 10 que combinado con el Corolario 2.6 implica que Q(L/M) ={0"1, 0"2, 0"3, 0"4}

con

Como estos automorfismos dejan fijos M se cumple O " n ( i ) =i, n =1,2,3,4. Obviamente

0"1 =Id y algunos calculos demuestran que 0"3 =O " ~ Y 0"4 =O " ~ . Simplemente para abreviar,

escribamos 0" en lugar de 0"2. Hemos demostrado

Q(L/M) = (0") ={Id, 0", 0"2, 0"3} rv 7l/471.

Todos estos elementos estan en Q(L/K) , ya que Q(L/M) es un subgrupo de Q(L/K) , como

[L : K ] =8 nos faltan otros cuatro automorfismos, que vamos a conseguir "extendiendo"

un automorfismo de Q(M/K) .

52



La extension M / K es normal, y por el Corolario 2.6 se tiene que Q (M / K ) ={Id, conj.}

donde conj. es el automorfismo dado por la conjugacion. La Proposicion 2.5 asegura

que podemos extender cada automorfismo de Q (M / K ) a Q (L/ K ). Concretamente, existe

T E Q(L /K) tal que T IM =conj., esto es, T( i ) =-i. La proposicion no nos dice cual

es el valor de T( { 1 2 ) pero como sabemos que tiene que ser una raiz de x4 - 2 (por el

Corolario 2.6). Quiza componiendo con a2 , a 3 0 a4 , podemos suponer que T ( { 1 2 ) = { 1 2

(por ejemplo, si T ( { 1 2 ) = - { 1 2 tomariamos T = T a3 en lugar de T ). Con esto no solo

hemos conseguido un nuevo elemento de Q (L/ K ) sino que tambien todos los productos de

T con los elementos ya calculados tambien estaran en Q (L / K ), concretamente

(a , T ) C Q(L/ K).

En particular se tiene que

{Id,a,a2,a

3,T ,aT ,a

2T ,a

3T } C Q(L /K)

y como todos estos automorfismos son distintos y [L : K ] =8 se tiene que este es el grupo

de Galois

Q(L /K) ={Id,a,a2,a

3,T ,aT ,a

2T ,a

3T } rvD«.

El ultimo isomorfismo requiere alguna explicacion. Recuerdese que Ds es el grupo de

movimientos del plano (giros y simetrias) que dejan fijo un cuadrado ABeD. El grupo

Ds esta generado por el giro, g , de 900 y la simetria, s, por una de las diagonales

A B D A A B A D

Los grupos Q(L/ K) y Ds son isomorfos porque a puede identificarse con 9 y T con s, ya

que ambos son generadores de los grupos correspondientes con el mismo orden (cuatro y

dos, respectivamente) y satisfacen la relacion que caracteriza a Ds, que es ra =a3T.

Para verificar las afirmaciones del parrafo anterior, es conveniente tener una tabla con

la accion de todos los automorfismos de Q(L / K) y sus ordenes. Tambien sera util disponer

de ella en el calculo de los subgrupos de Q (L/ K ), por ella la damos a continuacion

'/, { 1 2 '/, { 1 2

- ! - - ! - - ! - - ! -Id: '/, { 1 2 (orden 1) T : -/, { 1 2 (orden 2)

a : '/, i { 1 2 (orden 4) a r : -/, i { 1 2 (orden 2)

a2 : '/, - { 1 2 (orden 2) a2T : -/, - { 1 2 (orden 2)

a3 : '/, - i { 1 2 (orden 4) a3T : -/, - i { 1 2 (orden 2).

53



Para hallar los subcuerpos de L tenemos que calcular los subgrupos Q (L/ K ). Los

subgrupos de orden 2 de Q(L/ K) contienen un elemento de orden 2 y la identidad, y los

subgrupos de orden 4 estan generados por un elemento de orden 4 (si es que son rv7l/471) 0

por dos de orden 2que conmutan (si es que son rv7l/271ffi71/271). Con estas observaciones

y la tabla anterior, no es dificil comprobar que el reticulo de subgrupos (diagrama de

subgrupos indicando inclusiones) queda representado con el siguiente esquema

Q(L/ K) = ( 0 ' , 7 ) - - - - - + orden 8

I I \

( 0 ' 2 , 7 ) (a ) ( 0 ' 2 , 0 ' 7 ) - - - - - + orden 4

I I \ II I \

( 0 '2 7 ) (7 ) ( 0 '2 ) ( 0 '7 ) ( 0 '3 7 ) - - - - - + orden 2

Para mayor simplicidad hemos omitido el grupo trivial {Id} que esta contenido en todos

ellos.

Del esquema anterior deducimos que hay 8 subcuerpos, M, tales que K CMeL.

Algunos de ellos dan lugar a extensiones norm ales de K y otros no. Por ejemplo, ~a) e~un

subgrupo normal de Q(L/ K) (un subgrupo de indice dos es siempre normal) y por tanto

(a ) ' es una extension normal de < Q . Sin embargo, (7 ) no es un subgrupo normal de Q(L/ K )

ya que a-1{Id, 7}a # {Id, 7}, por tanto (7)' no es una extension normal de < Q .

No es dificil comprobar que (a ) ' = < Q ( i ) Y (7)' = < Q (V " 2 ) . Veamos, por ejemplo, lasegunda igualdad

(7)' ={x ELI 7(X) =x}.

Como {I, i} y {I, V " 2 , V " 2 2 , V " 23} son bases deM/K y L/M, por los resultados del primer

capitulo se obtiene una base de L/ K multiplicando los elementos de estos dos conjuntos,

asi pues

x E L =? a + b i + c V ' 2 + diV'2 + e V ' 2 2 + j i V ' 2 2 + g \ 123 + hi \123

con a, b, c, d, e,I, , h « K. como 7 es la conjugaclon

7 (X )=X ¢} b = d = j = h = O ,

y se tiene

(7)' =a + c V ' 2 + e V ' 2 2 + g \ 123 I a, c , e , 9 E < Q } =< Q ( V ' 2 )

como habiamos afirmado.

Ejemplo 3. Calcular el grupo de Galois de < Q ( V 2 , J 3 ) / < Q .

54



La extension es normal. Consider amos

L =< Q ( J 2 , J3)

I

M =< Q ( J 2 )

I

< Q

Las extensiones L/M =M(J3)/M yM/K =K(J2)/K son normales de grado dos, de 10

cual se deduce (ver Corolario 2.6)

Q(L/M) ={Id, a} Q(M/ K) ={Id, a'}

donde a y a' son los automorfismos

a : V 3 - - - - - + V 3 a' : V 2 - - - - - + V 2 .

a E Q(L/ K), pero tenemos que extender a' con la Proposicion 2.5 para obtener un

automorfismo de Q(L/K). Sea T E Q(L/K) tal que T IM =a '. en principio T podria enviar

J3 a J3 0 -J3 (las rakes del polinomio minimo de J3 sobre K), pero podemos suponer

T ( J3) =J3 porque si este no fuera el caso considerariamos a r en lugar de T . Con ella

tenemos que a, T E Q(L/ K) y

a (V3 ) =- V 3 , a ( V 2 ) =V 2 , T (V3 ) =V 3 , T ( V 2 ) =- V 2 .

Ahora podemos combinar estos automorfismos de todas las formas posibles , obteniendose

{Id, T , a , T a }. Como [L :K] =4 estos son todos los elementos de Q(L/ K). Es muy sencillo

comprobar

Q(L/ K) rv 712 X 7l2.

Como 712 solo tiene tres subgrupos propios, ((0,I)), ((1,0)), ((I, I)), L/K solo tienen

tres subcuerpos propios que son Ml = (T) ' , M2 = (a) ' , M3 = (Ta) ' . Los dos primer os

subcuerpos son < Q (J3) y < Q ( J 2 ) , respectivamente (ejercicio). Hallemos M3

M3 ={x E L / T a (x ) =x }.

{I, J 2 } , {I, J3} son bases de L/M y M/K =? {I, J 2 , J3, J2J3} es base de L/K, asi

pues

M3 ={x =a + b V 2 + c V 3 + dV 2V 3 / T a (x ) =x , a, b , c , d « < Q } ,

pero

Ta ( x ) =x ¢} a + b V 2 + c V 3 + dV 2V 3 =a - b V 2 - c V 3 + dV 2V 310 que implica b =c=0 y por tanto M3 =< Q (V 6 ) .

Ejemplo 4. Hallar el grupo de Galois del cuerpo de descomposicion de P =x3 - 2

sobre < Q .

55



Las rakes de P son {/2, w {/2, w 2{/2, donde w = (-1+ iV3)/2, as! que el cuerpo de

descomposicion es <Q(w , {/2). Consideramos

L =<Q(w , {/2)

I

M =<Q(w)

I

K=<Q

entonces L/M yM/K son extensiones simples normales de grados 3 y 2 respectivamente.

De nuevo, por el Corolario 2.6, se tiene

Q(M/ K) = {Id, conj.},

donde a( {/2) = w{/2. Sea T E Q(L/ K ) tal que T IM =conj., entonces T ( {/2) = {/2 0 w{/2

o w 2 {/2, pero siempre podemos suponer, quiza componiendo con a 0 a2, que ocurre el

primer caso. Es decir,

a( {/2) =w{/2

a(w) =w

T ( {/2) ={/2

T (W)=W=w 2.

a tiene orden 3 y T tiene orden 2, multiplicando potencias de ambos obtenemos 6 auto-

morfismos distintos que forman el grupo de Galois porque [L : K ] = 6

Q(L/K) ={Id,a,a2,T,aT,a2T }.

Es facil comprobar que el grupo no es abeliano y que actua sobre w y {/2 como en la

siguiente tabla

w {/2 w {/2

- ! - - ! - - ! - - ! -Id: w {/2 (orden 1) T : w 2 {/2 (orden 2)

a: w w{/2 (orden 3) a r : w2 w{/2 (orden 2)

a2 : w w2{/ 2 (orden 3) a2T : w 2 w2{/ 2 (orden 2)

Q(L/K) es isomorfo a D6 (compruebese la relacion ra = a2T ) que a su vez es isomorfo

a 83. Los subcuerpos propios son Ml = (a)', M 2 = (T )', M 3 = (aT) ' y M 4 = (a 2T) ' . Se

puede comprobar (ejercicio) que

M,=<Q(w ), M 3 =<Q(w{/4) ,

y que como (a ) es el unico subgrupo normal, la unica subextension normal sobre K es

M/K .

56



Solo a modo ilustrativo, veamos un ejemplo en el que extender los automorfismos

requiere alguna consideracion mas precisa.

Ejemplo 5. Hallar el grupo de Galois del cuerpo de descomposicion deP=x4 - 2x2-1

sobre < Q .

Resolviendo la ecuacion bicuadrada P =0, se tiene que sus rakes son ± V l + V 2 ,

± V l - V 2 , asf que el cuerpo de descomposicion es

L =< Q ( J l + V 2 , V '- - -I - -V 2 - 2 ) .

Antes de nada, intetemos simplificar los generadores, para ella notese que

J 1+ V 2 . J 1- V 2 =V-I =i,

por tanto, definiendo a=V I + V 2 se tiene que las rakes de P son a, -a, i/a, -i/a, y

L =<Q(a, i). Observese que a esta en una extension de grado 4 que contiene a V 2 , eso nos

lleva a considerar

L=< Q ( i , a)

I

M =< Q ( i , V 2 )

I

< Q ( i)

I

K=<Q

donde todas las extensiones son de grado 2.

El polinomio minimo de a en < Q ( V 2 ) es x2 - (1+ V 2 ) , asi pues

Q(L /M) ={Id, a} a(a) =-a.

Por otra parte, Q(M / K ) se puede calcular como en el ejemplo 3

Sean 71 Y 72 E Q(L/K) tales que 711M = /31 y 721M = /32. Como a esta en una

extension de grado 4, su polinomio minimo sobre < Q es P, asf pues se tiene que 7 i (a ) E

{a, -a, i/a, -i/a}, i=1,2; es decir, que en principio 71 Y72 podrian tomar cuatro valores

* Es posible considerar otras extensiones, pero hemos elegido esta porque en ella aparece de manera

natural el problema de la extension de automorfismos.

57



distintos, y componer con 0 ' solo permite pasar de uno de los valores a otro. Cuando sucede

esto es que hay algunas extensiones de / 3 1 y / 3 2 que no son posibles, por ejemplo

T2(a) =a =? T2(a2) =a

2=? T2(V2) =V2

10 que contradice T21M =/ 3 2 . De la misma forma, T2(a) =-a, T 1(a) =i/a, T 1(a) =-i/a,

son imposibles, asi pues T1(a) E {a, -a}, T 2(a) E {i/a, -i/a}, y, quiza componiendo con

0 ', siempre podemos suponer T1(a) =a y T2(a) =i/a. El grupo de Galois viene entonces

dado porQ(L/K) ={Id,T 1 ,T 2 ,T 1 T2 ,0 ', O 'T 1 ,O 'T 2 ,O 'T 1 T 2}.

Notese que no es abeliano

Aunque no 10 haremos aqui, con un poco de trabajo sepuede comprobar que Q (L/ K ) rvD«.

Concluimos esta seccion calculando el grupo de Galois de la extension ciclotomica

< Q ( ( ) / < Q donde ( =e 2 7 r i /n.

El caso n =p primo, es bastante sencillo.

Proposici6n 4.2: Si n es primo, Q ( < Q ( ( ) / < Q ) ={O '1, 0 '2, ... , O 'n-I} donde O 'j : ( - - - - - +

DEM.: Claramente < Q ( ( ) es el cuerpo de descomposicion del polinomio ciclotomico

p=xn-1 +xn-2 +...+1. Como P es irreducible y tiene a (como raiz, [ < Q ( ( ) : < Q J=n - l ,

por tanto I Q ( < Q ( ( ) / < Q ) I =n - 1. Por otra parte es claro que O'j E Q ( < Q ( ( ) / < Q ) , porque su

efecto es enviar ( a otra raiz, (j, de P.•

Extender el result ado anterior al caso general (n no necesariamente primo) no es en

absoluto sencillo. Aquf solo daremos una demostracion suponiendo conocido el siguiente

lema (su prueba puede encontrarse en "Elementos de algebra abstracta" de A. Clark.

Lema 4.3: Si n > 2 entonces [ < Q (( ) : < Q J =¢(n) donde ¢ es 1a funci6n de Euler,

¢(n) =nI1p1 n(1- p-1).

Recuerdese que ¢(n) da el numero de enteros positivos menores que un numero n y

primos con el.

Proposici6n 4.4: Si n > 2, Q ( < Q ( ( ) / < Q ) esta formado por los automorfismos O 'j

( - - - - - + (jdonde 1::;j< neon jy n primos entre sf.

Por ejemplo, como consecuencia se tendria

Q ( < Q ( e 2 7 r i / 1 2 ) / < Q ) ={O '1 , 0 '5 , 0 '7 , O'll}.

Mediante la correspondencia 0 'jH podemos asignar de forma unica a cada elemento

del grupo de Galois de la proposicion anterior un elemento invertible de 'll/n'll. Ademas,

como O'jO'kHk, se puede reformular el result ado como

5 8



Corolario 4.5: S i n > 2, Q ( < Q ( ( ) / < Q ) rv 7 l~ donde 7 l~ es el grupo de unidades

(elementos con inverso multiplicativo) del snillo 7 l / n 7 l .

DEM. (de la Proposicion 4.4): En este caso, no podemos asegurar que el polinomio

p =xn-1 + xn-2 + + 1 sea irreducible (de hecho no 10 es si n no es primo). Como las

rakes de P son (, (2, , (n-1, 10 unico que podemos asegurar es

Q ( < Q ( ( ) / < Q ) c {0"1' 0"2,···, O " n - d ·

Si mcd(j, n ) =d > 1, entonces O " j tJ _ Q ( < Q ( ( ) / < Q ) ya que en ese caso O " j ( ( n / d ) =e27rij/d=1,10 que es imposible porque ( n / d # 1. As! pues

Q ( < Q ( ( ) / < Q ) C {O "j / mcd(j, n ) =1}.

Como IQ(<Q(()/<Q)I=¢(n) (por ellema) y el cardinal del segundo conjunto es tambien

¢(n) , entonces la inclusion debe ser una igualdad .•

Ejemplo 6. Calcular Q(<Q(cos i~)/<Q).

La relacion cos i~ =((+(-1)/2 con (= e27ri/17, sugiere calcular primero Q ( < Q ( ( ) / < Q ) ,

que segun los resultados anteriores es

Q ( < Q ( ( ) / < Q ) ={Id =0"1,0"2,0"3,"" 0"16}'

Se reduce a unos cuantos calculos comprobar que 0"3 genera todo el grupo, por ejemplo,

O " s =O"jO porque

0"3(() =C ~ O " ~ ( ( ) =(9 ~ O"j(() =(S l =(13

~ O"jO (() =O " j ( O " j ( O " ~ ( ( ) ) ) =(9.13.13=(S .

As! pues

Q ( < Q ( ( ) / < Q ) =(0"3) rv 7 l16.

Observese que [<Q(() : <Q(cosi~)l =2, as! que <Q(cosi~) =H' donde H es un subgrupo

de orden dos. Notese que este subgrupo es normal porque 7116 es abeliano, por tanto (us-

ando el teorema fundamental de la teoria de Galois) se tiene que la extension <Qcos i~) / <Q

es normal y que

Q(<Q(cos ~;)/<Q) rv Q ( < Q ( ( ) / < Q ) / H rv 7 ls

De hecho, como podemos obtener automorfismos de Q(<Q(cos i~)/<Q) restringiendo al sub-

cuerpo <Q(cos i~) los de Q ( < Q ( ( ) / < Q ) , (por ejemplo 0"3 : ( - - - - - + (3 actua sobre cos i~ =

(( + (-1)/2 como 0"3 ( cos i~) =((3 + (-3)/2 =cos ~~) se tiene

2 1 T ' 6 1 T 'con 0" ( cos 17) =cos 17'

59



6 0



Hoja 5

1) i.,Cwiles son los automorfismos de <Q? i.,Ylos IR-homomorfismos (homomorfismos

que dejan fijo IR) de ~ en ~?

2) Calcular Q ( < Q ( x , y ) / < Q ( x + y , x y )) y Q ( < Q ( x , y , z ) / < Q ( x + y + z , x y + x z + y z , x y z ) )

( < Q ( x , y ) y < Q ( x , y , z ) denotan los cuerpos de funciones racionales en dos y tres variables

respectivamente) .

*3) Calcular Q ( < Q ( x ) / < Q ) .

4) Recuerdese que el cuerpo de descomposicion, L, de P =x2 + X + 1 E IF2[X] es un

cuerpo de cuatro elementos. Hallar sus automorfismos y sus IF2-automorfismos, es decir,

Q ( L / I F 2).

5) Hallar el cuerpo de descomposicion de x 3 - 5 E < Q [ x ] .

6) Sea P E K [ x ] irreducible de grado tres, y sea L su cuerpo de descomposicion.

Demostrar que 0 bien [L : K ] =3 0 bien [L : K ] =6.

7) Sea L el cuerpo de descomposicion de x 2 + x - 1 E < Q [ x ] . Hallar Q ( L / < Q ) .

8) Hallar Q (<Q(~) /<Q(J2)), Q (<Q(J2 + J3) /<Q(J3)), Q (<Q(~) /<Q).

9) Hallar Q (<QJ5+ -J 7) / <Q)poniendo especial cuidado en demostrar que realmente

cada "posible" <Q-automorfismo en realidad 10 es.

10) Sabiendo que Q(<Q(cos~;)/<Q) = { I d , a , a 2 , a 3 , o A , a 5 , a 6 , a 7 } rv 7l/871 donde

2 7 r ( + (-1 (3+ (-3. Ztt]: 27 ra( cos 17) =a( 2 ) = 2 con ( =e27rz/l~ demostrar que cos 17E <Q(cos 17)

Ztt]: 67rk .y que a(cos 17) =cos 17· SI H = {Id, a4}, comprobar que H' :::)<Q(Xl,X2) donde

27r+ 267r 27r 267r D t d h h H' f f i( )Xl =cos 17 cos 1:7 Y X2 =cos 17 . cos 1:7. emos rar que, e ec 0, ="' G Xl, X2 .

11) Si L es el cuerpo de descomposicion de x3

+ x2

+ 1 E IF2 [ x ] , demostrar que L /IF 2es simple. ( S u g e r e n c i a : Si a es un cero de este polinomio entonces a 2 tambien 10 es).

12) Sabiendo que Q ( < Q ( ( ) / < Q ) con ( =e27ri/7 esta generado por el automorfismo a :

( - - - - - + (3, demostrar que IQ(<Q(()/<Q)I=6 y encontrar los elementos de Q ( < Q ( ( ) / < Q ) que

dejan fijo a (+ (2 + 3(3 + (4 + 3(5 + 3(6.

13) Demostrar que y n =r" es irreducible en K ( x n ) [ y ] . Si adem as K es un subcuerpo

de ~, demostrar que las funciones a k : K ( x ) - - - - - + ~ ( x ) definidas por a k (J( x ) / g ( x ) ) =

f ( e 2 k 7 r i / n x ) / g ( e 2 k 7 r i / n x ) , con 1 ::; k ::; n , son homomorfismos y son los unicos que fijan

K ( x n ) .

14) Hallar Q ( < Q ( x )/ < Q ( x n )) , Q ( ~ ( x )/ ~ ( x n ) ) y Q ( K ( x ) /K ( x 1 5 ) ) con K =<Q(e27ri/3),calculando en cada caso los cuerpos que quedan fijos por todos los automorfismos.

15) Demostrar que K l =IF2[xl/(X3 + X + 1) Y K 2 =IF2[xl/(X

3 + x 2 + 1) son cuerpos

de descomposicion de x 8 - x E IF2[X]. Concluir que K l y K 2 son isomorfos.

6 1



6 2



Hoja 6

1) Si K c M eL y [L : K ] < 00, demostrar

i) LIK normal ~ LIM normal.

ii) LIK normal = / ? M IK normal.

iii) M I K, L IM normales = / ? L I K normal.

iv) LI K separable ~ LIM separable.

v) M I K separable = / ? LI K separable.

2) Demostrar que dada una extension finita M I K siempre existe un L, L :::)M :::)K tal

que LIK es normal. Al menor cuerpo con estas caracteristicas se le llama clausura normal

(0 cierre normal) de MIK . Hallar la clausura normal de < Q ( {I5)/<Q.

3) Demostrar que toda extension de grado dos es normal.

4) Estudiar si <Q(x) /<Q(x 3) es normal.

5) Si L es el cuerpo de descomposicion de P E K [ x ] , demostrar que [L : K ] I (8P)!'

6) Sea L =IF 3( { /X, flY) y K =IF3(X, y) . Demostrar que LIKes normal y [L : K ] =

9 < 00, pero existen infinitos subcuerpos intermedios K c MeL . i.,Por que esto no

contradice el teorema fundamental de la teoria de Galois?

7) Hallar una extension separable y normal que no sea finita.

8) Probar que P =x6 + x3 + 1 es irreducible en <Q[x ]y utilizarlo para demostrar que

la extension <Q(e27ri/9) /<Q, es normal y de grado 6.

9) Si H y N son subgrupos de Q (L I K ) cuyos cuerpos fijos son H ' =L, Y N ' =L2,

calcular (a , T / a E H, TEN) ' .

10) Recuerdese (Ej.5-2) que si L =< Q (x ,y , z) y K =<Q(x+ y + z, xy + xz + yz, xyz)

entonces Q(L IK) =83. Demostrar que ((1,2,3))' =K ((X I - X2)(X I - X3)(X2 - X3)).

6 3



64



Hoja 7

1) Demostrar que si L es un cuerpo de descomposicion de un polinomio sobre < Q y

Q(L/<Q) es abeliano, entonces M/<Q es normal para todo subcuerpo M, < Q c MeL.

2) Hallar el grupo de Galois del cuerpo de descomposicion de P = (x2 - 3)(x2 + 3)

sobre < Q , calculando los subcuerpos intermedios.

3) Lo mismo para P =x5

+3x3 - 3x2 - 9.

4) Lo mismo para P=x4 + 1.

5) Lo mismo para P =x7 + 4x5 - x2 - 4.

6) Calcular Q(<Q(V 3 + V 8 ) / < Q ) y Q(<Q(V 3 + V I O ) / < Q ) , hallando todas las subexten-

siones normales, M/<Q, de estas extensiones.

7) Sabiendo que L/<Q es normal y [L : < Q ] =p, hallar un grupo isomorfo a Q(L/<Q).

8) Si Q(L/<Q) ~ 7 l/pq71 (donde p y q son primos distintos) con L/K normal, finita y

separable, i.,cu;intossubcuerpos, M, hay con K c MeL?

9) Demostrar que si < Q eM c < Q ( e 2 7 r i / k ) Q(M/<Q) es abeliano.

10) Si n no es divisible por un cuadrado se cumple que n l [ < Q ( e 2 7 r i / n 2 ) : < Q ] . Demostrar

que existe < Q cM c < Q ( e 2 7 r i / n 2 ) tal que [ < Q ( e 2 7 r i / n 2 ) : M] =n.

11) Sabiendo que Q ( < Q ( e 2 7 r i / 2 5 7 ) / < Q ) ~ 7l /25671, demostrar que el poligono de 257

lados es construible con regIa y compas.

65



6 6



4. Grupos finitos y cuerpos finitos

§ 1. REPASO DE TEORIA DE GRUPOS.

La primera idea al incluir esta seccion era recordar algunos de los conceptos y resulta-

dos mas avanzados que se vieron el curso pasado, en particular los resultados de isomorfia

que damos a continuacion. A pesar de que solo tendran un papel auxiliar en algunas de-

mostraciones del resto del curso, el lector debe saber y entender el primero de ellos y al

menos recordar los dos siguientes. El ultimo es de menor importancia.

Teorema del isomorfismo Si ¢ :G - - - - - + G es un homomorfismo de grupos, entonces

Nuc¢ es un subgrupo normal de G y

GINuc¢ rv Im o.

1er Teorema de isomorffa SiH< J G, N< J G yN cH, entonces

GIN/HIN rvGIH.

2QTeorema de isomorffa SiH cG yN< J G, entonces

HNIN rvHI (HnN).

3er Teorema de isomorffa Si NI < J HI < J G, N2< J H2< J G, entonces

NI(HI nH2) / NI(HI nN2) rvHI nH2/ (HI nN2)(H2 nNI).

§2. SERIES DE COMPOSICION Y GRUPOS SOLUBLES.

El teorema fundamental de la teoria de Galois es un arma muy poderosa que permite

traducir teoremas de teoria de grupos en teoremas de teoria de cuerpos. La principal mo-

tivacion de Galois fue el estudio de la resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas.

En este estudio Galois encontro natural ir ampliando el cuerpo de partida con diferentes

radicales hasta llegar al cuerpo de descomposicion en el que la ecuacion se resolvia. De

alguna manera, el "factorizaba" el cuerpo de descomposicion en ciertos subcuerpos que

diferian uno de otro en un radical. Gracias al teorema fundamental de la teoria de Ga-

lois esto nos lleva al problema de "factorizar", en algun sentido, el grupo de Galois en

ciertos subgrupos. En esta seccion introduciremos notacion y daremos ciertos resultados

que ponen en rigor esta idea. Aunque se trataran varios temas, 10 iinico esencial para el

estudio de la resolubilidad por radicales son las definiciones de grupo simple y soluble, las

Proposiciones 2.4 y 2.5, y el Corolario 2.8.

DEFINICION: Sea G un grupo finito, se dice que una cadena de subgrupos de G

{e } =Go C GI C G2 ••• C Gn =G

es una serie normal si Gi-I < J Gi para i=1,2, ... ,n.

67.



OBSERVACION:Recuerdese que A< J B< J C ~ A< J C , a si que Gi no tiene por que ser en

general un subgrupo normal de G.

Ejemplo . 714={O , I, 2 , 3} .

{O } c { O , 2 } C {O , I, 2 , 3 }

es una serie normal de G. Tambien serie serie normal

{O} C {O ,I, 2 , 3} .

Ejemplo . Para Ds =(0',7/0'4 =e, 72 =e, 70' =0'37), dos series normales sedan

{e}c(O')cDs

Los ejemplos anteriores sugieren que debieramos definir algo asi como la serie normal

mayor, ese es el contenido de la siguiente definicion

DEFINICION: Se dice que una serie normal de un grupo G

{e} =Go C GI CG2 ••• C c;=G,o f - o f - o f -

es una serie de composicion de G si no puede ampliarse, es decir, si para ningtin 1::;i::;

existe H tal que Gi-I < JH < Jc..

Ejemplo . {O } C 714 no es una serie de composicion de 714 porque H ={ O , 2 } amplia

esta serie normal.

Ejemplo . {O } c tln es una serie de composicion de tln ¢}n =p primo. Porque si n

no es primo existe un elemento distinto de 0 de orden menor que n y por tanto genera un

subgrupo, H, {O } cHe 7ln. H es normal en tln porque tln es abeliano.o f - o f -

De alguna manera, hallar la serie de composicion de un grupo es descomponerlo 10

mas posible. Guardando esta analogia, es natural pensar que existe algun result ado que

afirme que la descomposicion es iinica en algun sentido, ese es el contenido del teorema de

Jordan-Holder que damos a continuacion

Teorema 2.1 (Jordan-HOlder): Si tenemos dos series de composicion para G

{e} =Go C GI C G2 ••• C Gn =G

{e} =tt; C HI C H2... C tt.; =G

entonces n =my los cocientes Gi!Gi-1 Hi!Hi-I son isomorfos pero quiza apareciendo

en distinto orden.

6 8





de modo que GdGi-1 rv7lpi' con Pi primo, i=1,2, ... , n.

De la Proposicion 2.2 se deducen condiciones menos restrictivas que aseguran que un

grupo sea soluble, un ejemplo de ella es el siguiente result ado que algunos autores usan

como definicion de grupo soluble

Corolario 2.3: G es soluble si y solo si existe una serie de normal

{e } =Go C G1 C G2 ••• C c;=G

de modo que GdGi-1 es sbeluuio. En particular, todo grupo ebelieno es soluble.

A continuacion damos los resultados que utilizaremos en el problema de la solubilidad

por radicales

Proposici6n 2.4: Si G es soluble, H C G tembien 10 es.

Proposici6n 2.5: Sea N < J . G, entonces

G soluble ¢}G/N yN son solub1es.

Una definicion que tiene bastante interes en teoria de grupos (gracias a los llamados

"teoremas de Sylow") es la siguiente

DEFINICION: Se dice que un grupo finito, G, es un p-grupo (con p primo) si su orden

es una potencia de p.

Ejemplo . Ds y tl son p-grupos con p =2 y p =3 respectivamente.

Un importante (y nada facil) result ado de teoria de grupos afirma: Todo p- grupo de

arden mayor que p tiene un subgrupo normal propio. Conociendo este resultado, de la

proposicion anterior se puede deducir por induccion

Corolario 2.6: Todo p-grupo es soluble.

El otro result ado que utilizaremos el proximo capitulo es

Teorema 2.7: Una serie de composicion para Sn viene dada por

a)Sin=2 {e}cS2.

b) Si n =3 {e} C A3 C S3.

c)Sin=4 {e}c ((1,2)(3,4))c ((1,2)(3,4),(1,3)(2,4))CS4.

d) Si n ~ 5 {e} C An C s;

Una formulaclon casi equivalente de este result ado es

Corolario 2.8: An es simple para n ~ 5, y Sn es soluble ¢}n < 5.

Concluimos esta seccion con las demostraciones de la proposiciones 2.4 y 2.5

70



DEM.(de la Proposicion 2.4): G soluble implica que

{e} =Go C G1 CG2 ••• C c;=G,o f - o f - o f -

es serie de composicion con GdGi-1 rv7lpi.

Sea

{e} =Go nH c G1 nH c G2 nH ... C Gn nH =H,

o f - o f - o f -

entonces definiendo Hi =GinH, se tiene (utilicese el segundo teorema de isomorfia)

y

por tanto H es soluble.•

DEM.(de la Proposicion 2.5):

~) Por la Proposicion 2.4 N es soluble. Si

{e} =Go C G1 C G2 ••• C Gn =G,

es serie de composicion con GdGi-1 rv7lpi. Del primer y segundo teorema de isomorfia

se deduce (ejercicio) que

{e} =GoN/N C G1N/N C G2N/N ... C GnN/N =G/N,

es una serie normal para G/N en la que todos los factores de grupos sucesivos son cierto

cociente de GdGi-1 y por tanto, cada factor es trivial 0 isomorfo a 7lpi.

¢::) De nuevo es un ejercicio con el primer teorema de isomorfia comprobar que si

{e} =No C s, C N2 ... C Nn =N {e} =Go/N C GdN C G2/N ... C Gm/N =G/N

son series de composicion con NdNi-l rv7lPi (GdN)/(Gi-dN) rv7lpl, entonces la serie,

{e} =No C s, C N2 ... C Nn =N =Go C G1 C G2 ... C a;=G

tambien tiene esa propiedad y por tanto G es soluble .•

§3. CUERPOS FINITOS.

A pesar de que la teoria de Galois clasica se centra sobre extensiones finitas de < Q ,

no queremos terminar estas notas sin hacer una breve mencion a la teoria en cuerpos

71



finitos. Su estudio no es una abstraccion innecesaria, ya que los cuerpos finitos aparecen

de manera natural en geometria algebraica, teoria de codigos y teoria de numeros. En

algun sentido, 7l se puede considerar a veces como un "limite" de IFp y por ella no es del

todo sorprendente su conexion con la aritmetica.

Notese que si L es un cuerpo finito, entonces su caracteristica es positiva (porque

(L , +) es un grupo finito), y como ya mencionamos en su dia, la caracteristica (si no es

nula) es siempre un mimero primo. El siguiente result ado limit a el orden que puede tener

un cuerpo finito

Proposici6n 3.1: Sea L un cuerpo finito de cerecteristice p, entonces I L l =pn para

elgtu: n > O .

DEM.: Si la caracteristica es p, entonces la funcion

J: IFpYL

x Y1+ 1+~. v . e . c .e.s+ 1

es un monomorfismo, y por tanto L se puede considerar como una extension de IFp. Sea

b 1, b 2, ... , b ., con n =[L : IFp ] , una base de L sobre IFp (0 si uno quiere ser muy riguroso,

una base sobre J( IFp)) , entonces

L={>\lb1 + ),2b2 + ... ),nbn / ),i E IFp }

y L tiene tantos elementos como posibles valores de ),1, ),2, ... , )'n, es decir, I L l =pn .•

El siguiente result ado nos da tambien una limitacion sobre la estructura de un cuerpo

finito

Proposici6n 3.2: Si L es un cuerpo finito con I L l =q, entonces el grupo multiplica-tivo, L * =L - {O } es ciclico e isomorfo a 7lq-1.

DEM.: x E L* - - - + xq-1 =1 porque I L * I = IL - { O } I =q - 1. Sea Xo un elemento de

orden maximo, n o , en L*. Entonces, como L* es abeliano, el orden de cualquier elemento

de L* divide a no (utilicese, por ejemplo, el teorema de estructura de grupos abelianos).

Por tanto, para todo x E L* se tiene xno =1, pero esto implica que el polinomio Xn0+1_X

tiene I L l =q soluciones, 10 que implica que n o +1 ~ q. Como L* solo tiene q -1 elementos

el orden de Xo debe ser n o =q - 1, 1 0 que prueba el resultado .•

Con la siguiente definicion vamos a introducir una generalizacion de los IFp

DEFINICION: Se llama IFq con q=pn al cuerpo de descomposicion de xq - x sobre IFp.

El objetivo de esta seccion es el siguiente result ado, que afirma que los IFq son los

unicos cuerpos finitos y calcula el grupo de Galois de sus extensiones.

72



Teorema 3.3 : Si L es un cuerpo finito de cerecterisitce p, entonces L es isomorfo

a IFq con q =p n = ILl , edeuuis Q(IFq / I F p ) es un grupo ciclico de orden n generado por el

automorfismo de Frobenius, c p : x - - - - - + x",

DEM.: Como L * es dclico, todo elemento de x es raiz de P = x q - x E I F p [ x ]

(aqui consider amos la "inclusion" I F p YL de la primera demostracion). como L tiene

exactamente q =8P elementos, L es (isomorfo) al cuerpo de descomposicion de P sobre

IFp , esto es, a IFq . Observese que L / I F p rv IFq / I F p es normal, finita y separable, por ser

cuerpo de descomposicion sobre IFp, asi pues

por tanto basta probar que el automorfismo de Frobenius tiene orden mayor 0 igual que n.

Observese en primer lugar que realmente c p es un automorfismo, ya que es monomorfismo

c p ( x ) =c p ( y ) =? x p=y p =? ( x - y ) P =0 =? x - Y =0

y como c p : L - - - - - + L con L finito, monomorfismo =? epimorfismo. Ademas c p deja fijo IFp

por el pequeiio teorema de Fermat.

Para ver que c p tiene orden> n , sea Xo generador de IF;, entonces Xo tiene orden q-1

y si el orden de c p es m, se tiene

x =c p m ( x ) =x p r n =? x p r n =1=? p m - 1~q - 1=p n - 1=?m~n

10 que concluye la demostracion. •

Ejemplo 1. Q(IFs/IF2) ={Id, c p , c p 2 } .

Ejemplo 2. Para calcular Q(IFsdIFg), observese que segtin el teorema Q(IFsdIF3) =

{Id, c p , c p 2 , c p 3 } Yviendo la definicion de IFg se observa que solo c p 2 (y la identidad) dejan

fijo a IFg, por tanto Q(IFsdIFg) ={Id,cp2}. En general Q ( I F p n k / I F p k ) = ( c p k ) .

73



74



Hoja 8

1) Demostrar que no existe un epimorfismo ¢ :84 - - - - - + 717 ni ¢ :84 - - - - - + 7l~.

2) Calcular el orden de un grupo sabiendo que cuenta con menos de 100 elementos y

contiene a un elemento de orden 10 y a otro de orden 14.

3) Hallar todos los subgrupos de D6 (el grupo de movimientos del plano que dejan

invariante el triangulo equilatero).

4) Demostrar que 84 no tiene ningun subgrupo normal de orden 3.

5) Hallar un grupo, G, y dos subgrupos suyos, HI C H2C G de manera que HI sea

normal en H2 Y H2 sea normal en G pero HI no sea normal en G.

6) Demostrar que 7l~ no es ciclico.

7) Estudiar si las dos funciones siguientes son homomorfismos y en caso afirmativo

decir de que tipo

8) Demostrar que un subgrupo de indice dos es siempre normal.

9) Demostrar que en 8n to do elemento de orden tres es producto de 3-ciclos disjuntos.

10) El grupo de cuaterniones, Q, es un grupo de orden 8 no abeliano dado por

Q = {e,a,a2,a

3,b,ab,a

2b ,a

3b}

donde a y b tienen orden 4 y se cumple b2 = a2 y ab a = b . Demostrar que es soluble

escribiendo explicitamente una cadena de subgrupos {e } =Go C G1 C ... C Gn =Q con

GdGi-1 rv7lpi.

11) Se puede demostrar que Ds y Q son los unicos grupos no abelianos de orden 8.

Ya sabemos que Ds es isomorfo al grupo de Galois del cuerpo de descomposicion de x4 - 2

sobre < Q . Demostrar que Q no es el grupo de Galois cuerpo de descomposicion de ningun

polinomio de cuarto grado. 8ugerencia: Demostrar que Q no es isomorfo a ningun subgrupo

de 84.

12) Sea un grupo de orden n, G ={g l, g2,···, gn}.

i) Dado g E G, demostrar que O'.g(gi) =gg i define una biyeccion en el conjunto G.

ii) Demostrar que ¢ :G - - - - - + Biyecciones de G definido por ¢(g ) =O'.g , es un homo-

morfismo de grupos.

iii) Concluir que G es isomorfo a un subgrupo de 8n (Teorema de Cayley).

13) Sean 0"1,0"2 ... ,0" n los polinomios simetricos element ales en las variables indeter-

minadas Xl, X2, ... , Xn. Sabiendo que <Q(X1' X2, ... , x n)/<Q(O"l, 0"2, ... , O"n) es una extension

normal finita y separable con grupo de Galois isomorfo a 8n, demostrar, aplicando iii) del

ejercicio anterior, que to do grupo finito es el grupo de Galois de alguna extension.

NOTA: Este result ado es todavia una conjetura si se pide que la extension sea sobre < Q .

75



76



5. Resolubilidad por radicales

§ 1. EL TEOREMA DE GALOIS

A 10 largo de to do este capitulo supondremos que todos los cuerpos que aparecen

son de caracteristica cero. Esta hipotesis no es solo una cuestion tecnica para asegurar

la separabilidad, se puede comprobar que el teorema de Galois no es cierto para algunas

extensiones de IFp.

DEFINICION: Se dice que una extension finita, L/ K es radical si los elementos de L se

pueden expresar en texminos de radica1es, es decir, si existe una cadena de subcuerpos

K =La C LI C L2 C ... C t.;

tales que Ln :::)L Y L, =Li-I ( r n ~ ) con ai ELi-I, i= 1,2, ... ,n, donde x = r n ~

indica un e1emento tal que xm =ai.

DEFINICION: Se dice que un polinomio P E K[x] es soluble por radicales si su cuerpo

de descomposicion es una extension radical de K.

Obviamente en la definicion de extension radical siempre podemos suponer L, # Li-I.Tambien, quiza introduciendo algunos cuerpos intermedios, podemos suponer que los m;

son primos ya que P f / Z =~, es decir, L,=Li-I ( p~) con L, # Li-I. Notese ademas

que las rakes de xP1 - al en su cuerpo de descomposicion son de la forma (V P~ donde

(= P { I I es una raiz PI +esima de la unidad (i.e. una raiz ( # 1 de xP1 - 1). Por tanto,

quiza aiiadiendo un subcuerpo intermedio que contenga a (, se puede extender LI a L~

con L~/ K normal. De la misma manera, tomando rakes P2-esimas de los generadores

de L~ y de la unidad, L2 se extiende, aiiadiendo radicales, a L~ con L~/ K normal, y asi

sucesivamente. En conclusion, se puede suponer que Ln/ K es normal y contiene a las

rakes Pi+esimas de la unidad, 1 ::; i::;.

Las rakes de la unidad tienen ciertas propiedades un tanto distintas de los otros

radicales, por ella conviene considerarlas aparte. Notese que to do 10 dicho en el parrafo

anterior se resume en el siguiente lema

Lema 1.1: Si L/ K es finita y radical, entonces se tiene una eucesion de subcuerpos

K =La C LI C L2 C ... C t.;

donde Ln :::)L, Ln/ K es normal, L,=Li-I ( p~) con ai ELi-I, Pi primo, i=1,2, ... , n,

y K es e1 cuerpo generado por las rafces de 1a unidad (elementos del cuerpo de descom-

posicion de xn -1) en L, en particular, K contiene todas las rafces pi-esimas de 1a unidad.

Gracias a los dos resultados siguientes, casi reciprocos, el teorema de Galois sera una

consecuencia del teorema fundamental de la teoria de Galois combinado con alguno de los

result ado de teoria de grupos del capitulo anterior.

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Lema 1.2: Con la noracicin e bipoiesis del Lema 1.1, se tiene que Ld Li-1 es normal

yQ(Li/ Li-1) rv7lpi.

Lema 1.3: Si M/M es normal y finita con Q(M2/Ml) rvtlp entonces es radical.

Veamos ahora el teorema central de este capitulo

Teorema 1.4 ( de Galois): Sea L / K normal y finita, entonces L / K es una ex-

tension radical ¢}Q(L/ K) es un grupo soluble.

Una formulaclon equivalente del teorema es

Corolario 1.5: Un polinomio P E K[x] es soluble por radicales ¢}Su grupo de

Galois sobre K es soluble.

OBSERVACION: Recuerdese que siempre estamos bajo la hipotesis char K =0, en otro

caso estos resultados no son ciertos.

NOTA: Recuerdese tambien que, con cierto abuso de notacion, se llama grupo de

Galois de un polinomio al grupo de Galois de su cuerpo de descomposicion.

DEM (del Teorema de Galois): Las dos implicaciones se reducen a usar el teorema

fundamental de la teoria de Galois para pasar la informacion acerca de los subcuerpos a

los subgrupos y viceversa.

¢::) Si Q (L/ K) es soluble, entonces se tiene

{e} =Go C G1 C G2 ... C c;=Q(L/ K)

con Gi/Gi-I rv7lPi' i=1, 2, ... ,n. Por el teorema fundamental de la teoria de Galois

L=G~:::)G~:::)G~... :::)G~=K

con Q(G~_dGD rv 7lPi (porque IQ(G~_dGDI=[Gi :Gi-1] =Pi)' Yel Lema 1.3 implica

que G~_dG~ es radical y, por tanto, L/ K tambien.

~) Por el Lema 1.1 se tiene

K =t.; C t.,C L2 C ... C Ln.

Por el teorema fundamental de la teoria de Galois esto se traduce en la sucesion de sub-

grupos

{e} =Q(Ln/Ln) C Q(Ln/Ln-1) C Q(Ln/Lo) =Q(Ln/K).

Aplicando la segunda parte del teorema fundamental y el Lema 1.2, se tiene

Q(Ln/ Li-1) /Q(Ln/ Li) rvQ(Ld Li-1) rv7lPi'

por tanto Q(Ln/ K) es soluble.

L / K y K / K son normales (K / K es el cuerpo de descomposicion de varios polinomios

de la forma x" - 1), por tanto,

Q(L/K) rvQ(Ln/K)/Q(Ln/L) y Q(Ln/K)/Q(Ln/K) rvQ(K/K),

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y gracias a las Proposicion 2.4 y 2.5 del capitulo anterior solo resta demostrar que Q( k / K)

es soluble para concluir que Q(Ln / K) y Q (Ln/ L ), y por tanto Q(L / K), 10 son. Pero

notese que K es el cuerpo generado por las rakes de la unidad y por tanto Q (K / K) es

abeliano (porque a,T E Q(K/K), ( E K raiz de la unidad =? a(() = (T , T(() = (B =?

aT(() =Ta(() =CB) yen particular es soluble .•

Terminamos dando las demostraciones de los dos lemas que hemos utilizado

DEM.(del Lema 1.2): LdLi-1 es simple, asf que todo automorfismo esta determinadopor su accion sobre x = p~. Las otras rakes del polinomio minimo de x sobre Li-l

seran de la forma (x donde ( # 1 es una raiz de xP i - 1; ( EKe L i-l =? (x E L, Ypor

tanto LdLi-1 es normal. Ademas todo automorfismo ¢ (x ) =(x tiene orden P i yes obvio

que [L i : Li-ll :::;P i, por tanto Q (Ld L i-l) =(¢) rv7lpi .•

DEM.(del Lema 1.3): Como [M 2 : MIl = p, debe cumplirse M 2 = MI(X ) para

cualquier x E M 2 - MI. Supongamos primero que existe ( E MI tal que (P =1, ( # 1.

Consideremos

Xl =X + (¢ (x ) + (2¢2(X ) +...+ (p-l¢p-I(X)

donde ¢ es el generador de Q (M 2 /M I), entonces

¢(XI) =(P - IX I =? Xl t J _ MI =? M 2 =MI (Xl)

¢(xf) = (¢(XI))P =X l =? X l E MI,

por tanto Xl = -{I"'acon a E MI YM 2 =MI(-{I"'a).

Si ( t J _ MI Y (E M 2 entonces M 2 =MI(() =MI({I'I). Finalmente, si ( t J _ MI,M2,

Q (M 2(()/M I(()) rv Q (M2 /M I ) por restriccion de los automorfismos a M 2 y se aplicaria

la primera parte de la demostracion para concluir M2(() =MI(()( - { I " ' a ) , y M2(()/MI((),MI(()/MI radicales implica M2/MI radical. •

§2. ALGUNAS APLICACIONES

En esta seccion veremos algunas aplicaciones a problemas clasicos de las ideas que

rodean al teorema de Galois. La primera es la mas conocida y afirma que no existe una

formula general con radicales para resolver todas las ecuaciones de un grado dado, n ~ 5.

Esto cierra el problema de la solubilidad por radicales de las ecuaciones algebraicas, ya

que desde el siglo XVI se conocen formulas para tratar los casos n :::;.

Teorema 2.1 (Abel): No existe ninguna extension radical del cuerpo generado porlos coeficientes de 1a ecuacion general de grado n ~ 5 que contenga a sus rafces.

DEM.: Sea la ecuacion

n n-l n-2 0X + an- IX + an-2X +...+ alX + ao =

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con coeficientes variables indeterminadas ao , aI, a2 , ... , an-I. Si las rakes de este polinomio

son Xl, X2 , ... , Xn , queremos demostrar que K (X l' X2 , ... , xn )/ K (an -l' an -2 , ... , ao ) no es

radical. Pero se tiene

Q (K (X l' X 2 , ... ,xn ) / K(an -l' an -2 , ... ,ao)) =Q (K (X l' X 2, ... ,xn )/ K ( 0 '1 ,0 '2 , ... ,O 'n)) I"V8n

porque an-i =(_l)iO'i(Xl' X2 , ... , xn), donde O 'i son los polinomios simetricos elementales,

yes evidente que K (O 'l' 0 '2 , ... , O 'n) es invariante solo por las permutaciones de las n varia-

bles Xl, X2 , ... , Xn . Por el Corolario 2.8 del capitulo anterior se tiene que 8n no es solublesi n ~ 5 y el result ado se deduce del teorema de Galois .•

Notese que el result ado anterior afirma que no existe una formula con radicales que

sirva para resolver todas las ecuaciones de grado n cuando n ~ 5, pero es obvio que hay

algunas que se pueden resolver con radicales (por ejemplo x5 -a =0). Galois no dio ningun

ejemplo de una ecuacion que no fuera soluble por radicales. Esto no debiera extraiiarnos,

porque calcular el grupo de Galois del cuerpo de descomposicion de un polinomio es en

general muy dificil. Sin embargo, en el siguiente result ado emplearemos algunos artificios

de teoria de grupos para simplificar este calculo en un ejemplo explicito.

Proposici6n 2.2: Sea L e l c ue rpo de descomposicion de P =x5 - 6x + 3 E <Q[x],

en tonces L /< Q no es una ex tens ion radica l, e s dec ir , la s so lu ciones de P = 0 no pueden

e xpre sa rse m edia nte ra dica le s.

DEM.: P es irreducible por el criterio de Eisenstein y tiene tres rakes reales y dos

complejas conjugadas (dibujese la grafica del polinomio), asi pues T =conj. E Q(L /<Q) .

Como los elementos de Q(L /<Q) permutan las cinco rakes se tiene que Q(L /<Q) y 85

(monomorfismo) y T (que intercambia dos rakes) corresponde a una trasposicion. Si a es

raiz de P, 5 = [ < Q ( a) : < Q J ~ 511Q (L / < Q ) I , y un teorema de teoria de grupos (Teorema de

Cauchy) implica que si p divide al orden de un subgrupo, H, de 8p entonces H contiene

un p-ciclo. Finalmente, un 5-ciclo y una trasposicion cualesquiera generan todo 85

(ejercicio), asi pues Q(L /<Q) I"V 85 que no es un grupo soluble .•

De la teoria del segundo capitulo se deduce que si L es una extension real y finita de < Q

que solo contine elementos construibles), entonces [L : < Q J =2k . Si L/ < Q es normal, usando

las ideas de la prueba del teorema de Galois se puede demostrar el reciproco, concretamente

Proposici6n 2.3: S i < Q c L c IR y L /<Q es norm a l, en tonces [L : < Q J = 2k ¢}Los

e l emen tos de L son constru ib les con reg la y compes.

DEM.: Como [L : < Q J =2k, Q(L /<Q) es un 2- grupo. Por el Corolario 2.6 del capitulo

anterior

{e} =Go C O, C G 2 ••• C c;=Q(L /<Q)

con Gi/Gi-l I"V '112. Por el teorema fundamental de la teoria de Galois

L=G~ :::)G~ :::)G~ ... :::)G~=< Q

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con [G~_l : Gil =2, 10 que prueba el resultado .•

OBSERVACION:Si L/~ no es normal el result ado puede no ser cierto. Por ejemplo, si

a es la raiz real y positiva de P =x4 - 10x3 + 26x2 + 16x - 14, [~( a) :~l=4 =22, Y

sin embargo a no es construible con regIa y compas, ya que se puede probar que el grupo

de Galois de P es A4 que no tiene subgrupos de orden 6 y por tanto ~(a)/~ no tiene

subcuerpos intermedios propios.

En el tercer capitulo enunciamos que [~ (e2 7ri/n ) : ~l=¢(n) donde ¢ es la funcionde Euler (recuerdese que si n =p~1p~2 ... p~n con Pi primos distintos, entonces ¢(n) =

p~1-1(pl - 1)p~2-1(p2 - 1) ... p~n-l(Pn -1), en particular ¢(p) =P - 1). De este resul-

tado y de la Proposicion 2.3 se deduce el siguiente bellisimo teorema de Gauss, quien 10

enuncio en el ultimo articulo de su obra maestra "Disquisitiones Arithmeticae" 30 alios

antes de que Galois diera sus teoremas. Aunque Gauss afirmo tener una prueba completa

y rigurosa de su result ado , solo ha llegado hasta nosotros la demostracion que dio de una

de las implicaciones (la dificil desde el punta de vista actual). Para el autor de estas notas

este es el teorema mas bello que ha visto nunca en Matematicas

Corolario 2.4 (GAUSS): E1 polfgono regular de n 1ados es construib1e con reg1a y

compes si y s610 si n =2kpIP2 ... Pn con Pi primos de Fermat distintos.

NOTA: Para el que desconozca su definicion, se llama primos de Fermat a aquellos de

la forma 22m + 1, en honor a Fermat, quien penso erroneamente que 2

2m + 1 era primo para

to do m E IN. El primer contraejemplo ocurre para m =5.

Ejemplo 1. El poligono de 15 lados es construible porque

15=3·5 =(22°+ 1)(221+ 1).

Ejemplo 2. El poligono de 380 lados no es construible porque

15=22 . 5 . 19 y 5=221+ 1, pero 19 = 1 = 22m + 1.

Ejemplo 3. El poligono de 289 lados no es construible porque

289 =17 . 17 17=222+ 1.

pero no son primos de Fermat distintos.

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Hoja 9

1) Sea G soluble de orden n = p~lp~2 ... p~n, si {e} = Go C G: C ... C GN = G

con Gi subgrupo normal de Gi+l (i.e. es una serie normal) y Gi+I/Gi abeliano no trivial,

demostrar que N ::;al + a2 +...+ an.

2) Demostrar que 712 x 83 es soluble. (Recuerdese que 712 x 83 = {(x, 0") / x E

7l2, 0" E 83} con la operacion (Xl, 0"1) . (X2 ' 0"2) = (Xl + X2 , 0"10"2)

3) Un teorema demostrado por Sylow implica que si piIGI, p =primo, entonces existeun monomorfismo ¢ :Gp - - - - - + G donde Gp es un p-grupo (grupo de orden t/', n ~ 1).

Sabiendo este result ado y que todo p-grupo es soluble, demostrar el Teorema de Cauchy:

"Si p primo divide al orden de un grupo, entonces existe un elemento de orden p" .

4) Demostrar que el grupo aditivo de IFpn es tlp x n y~~es X 7lp.

5) Si L es el cuerpo de descomposicion de x3 + X2 - 2 E IF3[X], hallar Q(L/IF3) .

6) Estudiar si el polinomio X2 + X + 1es irreducible en IF2[X] yen IFs[x].

7) Halar todos los generadores del grupo Q(IF256/IF 4) .

8) i.,Cwintos subcuerpos hay entre IF4 Y IF256?

9) i.,Cwil es el cuerpo de descomposicion de (x9 - X )(X27 - x) E IF3[X]?

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