Chapra21-32

CAPÍTULO 21

K\ Fórmulas de integración de Newton-Cotes

i£ Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar:

pb pb

1= f(x)dx = fn(x)dx (21.1)

Ja Ja donde fn(x) — polinomio de la forma

f„(x) - a0 +a\X H h a „ _ i A ' " _ i + a„x"

donde n es el orden del polinomio. Por ejemplo, en la figura 21.1a, se usa un polinomio de primer orden (una línea recta) como una aproximación. En la figura 21.1 b, se emplea una parábola para el mismo propósito.

La integral se puede también aproximar mediante una serie de polinomios aplicada por pedazos a la función o datos sobre segmentos de longitud constante. Por ejemplo, en la figura 21.2, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral. Pueden utilizarse polinomios de orden superior para los mismos propósitos. Con este anteceden-

F I G U R A 2 1 . 1 |ci aproximación de una InMjiol como el área bajo o) una sola línea recta y / i ) una sola parábola.

6 1 8 FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES

te, reconocemos que el "método de barras" en la figura P T 6 . 6 emplea una serie de polinomios de orden cero (es decir, constantes) para aproximar la integral.

Se dispone de formas cerradas y abiertas de fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas donde los datos al inicio y final de los límites de integración son conocidos (véase figura 21.3a). Las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá del rango de los datos (véase figura 21.3¿>). En este sentido, son similares a las de extrapolación, como se analizó en la sección 18.5. Las formas abiertas de Newton-Cotes no se usan por lo general para integración definida. Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y la solución de ecuaciones diferenciales ordi-

F I G U R A 2 1 . 2 La aproximación de una f(x)n integral como el área bajo tres segmentos de línea

F I G U R A 2 1 . 3 La diferencia entre fórmulas de integración a) cerrada y b) abierta.

21.1 IA ntirins. Esto capítulo tnfktliM las formas cerradas. Sin embargo, se introduce de manera breve el material sobre fórmulas abiertas de Newton-Cotes al final del capítulo.

2 1 . 1 L A R E G L A T R A P E Z O I D A L

La regla trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio en la ecuación (21.1) es de primer orden:

pb rb I = f(x)dx = h(x)dx

Ja Ja Recuerde del capítulo 18 que una línea recta se representa como [véase ecuación (18.2)]

(21.2)

fi(x) = f(a) + — - ( x - a) b - a

El área bajo esta línea recta es un estimado de la integral de f(x) entre los límites a y b\

r b r / (*) - / («)

- I . i m + b-a -(x — a) dx

El resultado de la integración (véase el cuadro 21.1 para detalles) es

1 = { b - a ) m ± m _ ( 2 1 . 3 )

la cual se denomina regla trapezoidal.

C u a d r o 2 1 . 1 Obtención de la regla t rapezoidal

AlllM de ln Integración, ia ecuación (21.2) se puede expresar Este resultado se evalúa para dar T'LLLLLLL

, , , /'(/') /(«) , „ , af(b)-af(a) h a o — a

A|RUPTNÜ() los últimos dos términos se obtiene

f , , W-fta) bf(a)-af(a)-af{b)+af(a) f\tt)-" •- ~x +

b-a b-a

, , , ni') - ña) bf(a)-af(b) / l i d - , x +

b-a b-a

IM t i i i i l puedo Inlegrarso entre x = a y x = b pura obtener

IV» - f{a) x2 bf(a) -«/(/» m " h • "u~ 2 b-a '*

f(b) - f(a) (b2 - a2) i bf(a) - af(b)/u I = — + (b-a) b — a 2 b — a

Ahora, como b2 — a2 = (b — a)(b + a),

/ = íñb) - f{a)] b-^- + bf(a) - af(b)

Si se multiplica y agrupa términos se tiene

/ = ( 6 _ A ) M ± M 2

que OH la fórmula para la regla trapezoidal.


Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el área del trapezoide bajo la línea recta que conecta f(á) y f(b) en la figura 21.4. Recuerde de geometría que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases (véase figura 21.5a). En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide está sobre su lado (véase figura 21.5¿). Por tanto, la integral se representa como

/ = ancho x altura promedio (21.4)

F I G U R A 2 1 . 4 Ilustración gráfica de la regla trapezoidal.

F I G U R A 2 1 . 5 a) La fórmula para calcular el área de un trapezoide: altura por el promedio de las bases. b) Para la regla trapezoidal, el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide está sobre su lado.

o

I as (b — a) x altura promedio (21.5)

donde, para la regla trapezoidal, la altura promedio es el promedio de los valores de la función en los puntos extremo, o \f(a) + f(b)]/2.

Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes pueden expresarse en el formato general de la ecuación (21.5). De hecho, sólo difieren con respecto a la formulación de la altura promedio.

2 1 . 1 . 1 E R R O R D E L A R E G I A T R A P E Z O I D A L

Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente podemos incurrir en un error que puede ser sustancial (véase figura 21.6). Una estimación para el error de truncamiento local de una sola aplicación de la regla trapezoidal es (véase cuadro 21.2)

£ ( = - ^ / " ( © ( 6 - « ) 3 (21.6)

donde ¿¡ está en algún lugar en el intervalo de a a b. La ecuación (21.6) indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla trapezoidal será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error.

F I G U R A 2 1 . 6 Ilustración gráfica del uso de una sola aplicación de la regla trapezoidal para aproximar la integral de f[x) = 0.2 + 2 5 x - 200x 2 + Ó75* 3 - WOx 4 + AOOx5 de x = 0 a 0.8.

622 FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES

C u a d r o 2 1 . 2 Obtención y error est imado de la regla t rapezoidal

Si se asume que para una h pequeña, el término/"^) es aproxi Una manera alternativa para la obtención de la regla trapezoida es integrando la interpolación polinomial hacia adelante de madamente constante, esta ecuación se puede integrar: Newton-Gregory. Recuerde que para la versión de primer orden con término de error, la integral podría ser (véase cuadro 18.2)

Ja fia) + Afia)a + —^-aia - l)h2

I = h

dx (B21.2.1) y e v a i u a r Como

a2 (o? «/( f l ) + y A / ( f l ) + - ~4~ rm2

Para simplificar el análisis, considere que como a = (x — a)lh,

dx = hda

Debido a que h — b — a (para un segmento de la regla trapezoidal), los límites de integración a y b corresponden a 0 y 1, respectivamente. Por tanto, la ecuación (B21.2.1) se expresaría como

/ = h f(a) + Afia)

Como Af(a) = /(6) — fia), el resultado podría escribirse como

I = h f^+W-J-fxW 2 12

/ =h ) + Afia)a + ^-âia - \)h2 da

Regla trapezoidal Error de truncamiento

Así, el primer término es la regla trapezoidal y el segundo es un;i aproximación para el error.

EJEMPLO 21.1 Aplicación simple de la regla trapezoidal

Enunciado del problema. Use la ecuación (21.3) para integrar numéricamente

fix) = 0.2 + 25x - 2Q0x2 if 675x3 - 900.v4 + 400x5

desde a — 0 a b = 0.8. Recuerde de PT6.2 que el valor exacto de la integral se puedo determinar en forma analítica y es 1.640533.

Solución. Los valores de la función

/(O) = 0.2 /(0.8) = 0.232

pueden sustituirse en la ecuación (21.3) para dar

0.2 + 0.232 = 0.1728

la cual representa un error de

£, = 1.640533 - 0 . 1 7 2 8 = 1.467733

que corresponde a un error relativo porcentual de e, = 89.5%. La razón para C N I C gratule error os evidente de lu gráfica e n la figura 21.6. Observe quo el áreu bajo 1» Uncu rccln no t o m a e n c u e n t a u n a p o r c i ó n j t j g t f f l l c a t i v a d e l e i n t e g r a l q u e e i t á p o r a r r i b a de la l i n e a .

lin sitUBcione» actúala!, podríamos no conocer previumcnle el vulor reul. Por lunlo, se requiere una aproximación del error estimado. Para obtener dicha estimación, lti «e-gunda derivada de le (unción sobre el intervalo podría calcularse al diferenciar dos veces la función original paru dur

f'ix) = -400 + 4 050* - 10 800x 2 + 8 OOOx3

El valor promedio de la segunda derivada se puede calcular mediante la ecuación (PT6.4):

0 . 8

( - 4 0 0 + 4 050JC - 10 800x 2 + 8 000x 3) dx

I que podría sustituirse en la ecuación (21.6) para obtener

I = - ^ ( - 6 0 ) ( 0 . 8 ) 3 = 2.56

\ la cual es del mismo orden de magnitud y signo que el error real. Sin embargo, existe una | discrepancia, ya que, de hecho, para un intervalo de este tamaño el promedio de la se-) gunda derivada no es necesariamente una aproximación exacta de/"(<jj). Así, indicamos j que el error es aproximado mediante la notación Ea, más exacto que usar Et.

2 1 . 1 . 2 Aplicación múltiple de la regla t rapezoidal

Una forma de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir el intervalo de integración desde a a b en un número de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos (véase figura 21.7). Las áreas de segmentos individuales se pueden entonces agregar para dar la integral para todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes son llamadas fórmulas de integración, de múltiple aplicación o compuestas.

La figura 21.8 muestra el formato general y nomenclatura que usaremos para caracterizar integrales de múltiple aplicación. Hay n + 1 puntos base igualmente espaciados (x0, xx, x2,..., x„). En consecuencia, hay « segmentos de igual anchura:

h = (21.7)

Si a y b son designados como x0 y xn, respectivamente, la integral total se representará como

/ = í ' f(x)dx+ í /\\)<ix - /

J \(i - M I J V„

f(x)dx

Al sustituir ln regla trapezoidal puní etulu integral se obtiene

/ „. /,'/lUl) 1 ' /U|) + /, /'\!' 1 , ... ., ,,/<*« '» 1 (21.8) 2 2 2

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON : COTÉS_

Xrj X-f X¿ X3 X4

c)

^ X 2 *3 -"4 *5

F I G U R A 2 1 . 7 Ilustración de la regla trapezoidal du aplicación múlllple. a) Dos segmentos, fa| M G I T U N T O I , C) CUATRO S S G M E N L O I Y d| ^ ' n t f J f B T * " ' 0 *

o, mediante agrupación de términos,

M - l

/ ( * o ) + 2 £ / ( * ¡ ) + /(*») h

' = 2 (2i.y)

o, usando la ecuación (21.7) para expresar la ecuación (21.9) en el formato general do lu ecuación (21.5),

/w+/&) 7 = ( 6 - c ) i — W — ^ (21.10)

v ' i u".»i unm»»—Enmy—*•—•» i ' Ancho AltUItffom«llo

Como In sumtiloriii de ION coeficientes dc/( . \ ) en el numerador dividido entre 2n os ¡giinl a I , hi ahina promedio lepicneula un promedio ponderado de los valores de la función, De «cuenlo con ln'ccuitelrtn (21,10), los puntos interiores dnn dos veces el poso do los (ION puntos ex (remo/'(.*„) y /(#,,).


Un error para la regla trapezoidal de múltiple aplicación se puede obtener al sumar los errores individuales de cada segmento para dar

(b - a)3 ^ „ E ' = Í 2 ¿ 3 - ¿ ^ & > (21-11)

i = \

donde f"(^¡) es la segunda derivada en un punto %¡ localizado en el segmento i. Este resultado se puede simplificar al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada para todo el intervalo como [véase ecuación (PT6.3)]

¿/"fe)

f„ ^ U (21.12) •' n

Por tanto 2/"(§,-) — nf"y la ecuación (21.11) se puede reescribir como

E a = - { b ' f f" (21.13) 12n

Así, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuirá a un cuarto. Observe que la ecuación (21.13) es un error aproximado debido a la naturaleza aproximada de la ecuación (21.12).

EJEMPLO 21 .2 Regla trapezoidal de múltiple aplicación

Enunciado del problema. Use dos segmentos de la regla trapezoidal para estimar la l integral de

f(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 615x3 - 900JC 4 + 400x 5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Emplee la ecuación (21.13) para estimar el error. Recuerde que el valor correcto para la integral es 1.640533.

Solución. n — 2(h = 0.4):

/(O) = 0.2 /(0.4) = 2.456 /(0.8) = 0.232 0.2 + 2(2.456) + 0.232

/ = 0.8 — • — = 1.0688 4

E, = 1.640533 - 1.0688 = 0.57173 s, = 34.9%

Ea = — ^ r ( - 6 0 ) = 0.64 12(2 ) 2 '

¡ donde — 60 es el promedio de la segunda derivada, determinada antes en el ejemplo 21.1. I

Los resultados del ejemplo anterior, junto con de tres a dio/, segmentos do uplicu-oión de U regla trapezoidal, u rapjifjjMafldfcti&li 21.1. Observe cómo el error diiminu-

ye en lauto gl númotHi d« Negmenlos uumentu. Sin embargo, observe tninbicn que in razón de dlnmlnuoi6n M uradunl. listo OH debido a que el error está invcrsumcnlc relacionado con el cuadrado de n | véiisc ecuación (21.13)]. Por lanío, ul duplicar el número de segmentos diNtninuye en un cuarto el error. En las siguientes secciones desarrollaremos fórmulas de orden superior que son más exactas y que convergen más rápido sobre In integral real en tanto los segmentos aumentan. Sin embargo, antes de investigur esas fórmulas, analizaremos los algoritmos de cómputo para implementar la regla trapezoidal.

2 1 . 1 . 3 Algor i tmos de cómputo para la regla t rapezoidal

En la figura 21.9 se enlistan dos algoritmos simples para la regla trapezoidal. El primero (véase figura 21.9a) es para la versión de un solo segmento. La segunda (véase figura 21.9b) es para la versión de múltiples segmentos con una anchura de segmento constante. Observe que ambos están diseñados para datos que se hallan en forma tabular. Un programa general debería tener la capacidad de evaluar funciones conocidas, así como ecuaciones. En el siguiente capítulo ilustraremos cómo se puede manejar esas funciones.

T A B L A 2 1 . 1 Resultados de la regla trapezoidal de aplicación múltiple para estimar la integral de f[x) = 0.2 + 25x-200X 2 + 675X3

- 900X 4 + ÁOOx5

de x = 0 a 0.8. El valor exacto es 1 .640533.

n h 1 e t (%)

2 0.4 1.0688 34.9 3 0 .2667 1.3695 16.5 4 0.2 1.4848 9.5 5 0 .16 1.5399 6.1 6 0 .1333 1.5703 4.3 7 0.1 143 1.5887 3.2 8 0.1 1.6008 2.4 9 0 .0889 1.6091 1.9

10 0.08 1.6150 1.6

F I G U R A 2 1 . 9 Algoritmos para la regla trapezoidal a) de

a) Un solo segmento

FUNCTION Trap (h, fO, fí) Trap = h*(f0 + fí)/2

END Trap

solo segmento y b) de segmentos múltiples,

b) Segmentos múltiples

FUNCTION Trapm (h, n, f) eum = f0

D0¡=1,n-1 eum = sum + 2 *f¡

END DO sum = eum + f„ Trupm m h • eum / 2 END Trtpm

628 FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN D i NEWTON-COTES

Un ejemplo de un programa de uso amigable para la regla Irapezoidal de múltiples segmentos se incluye en el software suplementario de métodos numéricos TOOLKIT contenido en este libro. Dicho software puede evaluar las integrales, bien de datos tabulados o de funciones definidas por el usuario. El siguiente ejemplo demuestra su utilidad para evaluar integrales. También proporciona una buena referencia para asegurar y probar su propio software.

EJEMPLO 21.3 Evaluación de integrales con la computadora

j Enunciado del problema. Use el software de métodos numéricos TOOLKIT para re-I solver un problema relacionado con nuestro amigo el paracaidista en caída. Como usted | recordará del ejemplo 1.1, la velocidad del paracaidista está dada como la siguiente | expresión en función del tiempo:

i>(0 = gm

c (1 _ e-(clm),} (E21.3.1)

donde v = velocidad (m/s), g — constante gravitacional de 9.8 m/s 2 , m — masa del paracaidista igual a 68.1 kg y c = coeficiente de arrastre de 12.5 kg/s. El modelo predice la velocidad del paracaidista como una función del tiempo, como se describió en el ejemplo 1.1.

Suponga que desea saber qué tan lejos ha caído el paracaidista después de cierto tiempo t. Esta distancia está dada por [véase ecuación (PT6.5)]

Jo (t)dt

donde d es la distancia en metros. Sustituyendo en la ecuación (E21.3.1),

d = f (i _ e-(c'm)') dt c Jo

Use el software de métodos numéricos TOOLKIT, y su propio software, para determinar esta integral con la regla trapezoidal de aplicación múltiple mediante diferentes números de segmentos. Observe que al desarrollar la integración en forma analítica y sustituir los valores de parámetros conocidos se obtiene un valor exacto de d — 289.43515 m.

Solución. Presione el botón de la función Intégrate en el menú principal del TOOLKIT para obtener una pantalla en blanco similar a la de la figura 21.10. Esta pantalla contiene la información de entrada y salida necesaria para integrar una función analítica o datos tabulares.

Primero, puede hacer clic en la tabla de función de entrada e introducir la función,

9.8(68.1) H v(t) = (1 — i 12.5 v ,-(12.5/68.1)1 )

Después haga clic en el bloque de entrada de parámetros e introduzca los valores para los límites de integración inferior y superior de 0 a 10. Luego, introduzca el valor 10 para el número de segmentos junto con las dimensiones de la gráfica, como en la figura 21.10.

Rnnilr*

Ww* m*:": Integial 2887491 < Seg Width 1

' Help I : > « - . • - ) : .J3ü». . j .!£«!!=._• I •''<" , ,1

F I G U R A 2 1 . 1 0 Pantalla de la computadora que muestra la integral de una función mediante el programa de la regla trapezoidal de segmentos múltiples del TOOLKIT de Métodos Numéricos.

Después de hacer clic en los botones Cale y Plot, se despliega una integral calculada de 288.7491. Así, hemos obtenido la integral con tres cifras significativas de exactitud, La integral es equivalente al área bajo la curva v(t) contra t, como se muestra en la figura 21.10. Una inspección visual confirma que la integral es e i ancho del intervalo (10 s) por la altura promedio (cerca de 29 m/s). Una gráfica de la función que expone los segmentos se muestra en la figura 21.10. Podemos tratar con otros números de segmento de unu manera conveniente. Con n — 500, el resultado es exacto hasta seis cifras significativas.

En este punto, es importante reconocer que el TOOLKIT de métodos numéricos usa doble precisión para obtener su estimación de la integral. Podemos, por tanto, repetir este problema con un programa basado en el pseudocódigo de la figura 21.9b y emplear números de simple precisión (por ejemplo, cerca de siete cifras significativas de precisión). Los resultados son

tgmentos Tamaño del segmento

d es t imada, m

*,(%)

10 1.0 288.7491 0.237 20 0.5 289.2636 0.0593 50 0.2 289.4076 9.5 x 10 : l

100 0.1 289.4282 2.4 x 10 ; l

200 0.05 289.4336 5.4 x 10" 500 0.02 289.4348 1.2 x 10"

1 000 0.01 289.4360 -3.0 x 10" 2 000 0.005 289.4369 -5.9 x 10" 5 000 0.002 289.4337 5.2 x 10"

10 000 0.001 289.4317 1.2 x 10

Asi, hasta cerca de 500 segmentos, la regla trapezoidal de aplicación múltiple obtie-iw «célente exactitud. Sin embargo, observe cómo el error cambia do signo y empieza a


aumentar en valor absoluto adelante del caso de 500 segmentos. El caso de 10 000 segmentos de hecho parece divergir del valor real. Esto se debe a la inclusión del error de redondeo por el gran número de cálculos para todos esos segmentos. De esta manera, el nivel de precisión está limitado y nunca podría alcanzar el valor exacto de 289.4351 que se obtiene en forma analítica. Esta limitación se analizará con más detalle en el capítulo 22.

Del ejemplo 21.3 puede tomarse en cuenta tres conclusiones principales:

• Para aplicaciones individuales con buen comportamiento de las funciones, la regla trapezoidal de múltiples segmentos es casi fina para obtener el tipo de exactitud requerida en muchas aplicaciones de la ingeniería.

• Si se requiere de alta exactitud, la regla trapezoidal de múltiples segmentos demanda un gran esfuerzo computacional. Aunque este esfuerzo puede ser insignificante para una sola aplicación, podría ser muy importante cuando: a) se evaluarán numerosas integrales, o b) donde la misma función es consumidora de tiempo en su evaluación. Para tales casos, podrían requerirse procedimientos más eficientes (como aquellos planteados en lo que falta de este capítulo y en el próximo).

• Por último, los errores de redondeo representan una limitación en nuestra habilidad para determinar integrales. Esto se debe tanto a la precisión de la máquina como a los diversos cálculos involucrados en técnicas simples como la regla trapezoidal de múltiples segmentos.

Ahora veremos una forma en la cual se puede mejorar la eficiencia. Es decir, mediante polinomios de orden superior para aproximar la integral.

2 1 . 2 R E G L A S D E S I M P S O N

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto extra a la mitad del camino entre f(a) yf(b), los tres puntos se pueden conectar con una parábola (véase figura 21.11a). Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden (véase la figura 21.116). Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidas como reglas de Simpson.

2 1 . 2 . 1 Regla de S impson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es sustituida en la ecuación (21.1):

nb rb

I = / f{x)dx £ / Mx)d.\ 1 A » *

f . (x )A

F I G U R A 2 1 . 1 1 (i) Ilustración gráfica de la i M i j l i i de Simpson 1/3: 11H i i i iste en tomar el área I K i | o una parábola que 11 muela tres puntos. | i ) Ilustración gráfica de la i t i i |lii de Simpson 3/8 : 11 ui.'.iste en tomar el área I H i|( > una ecuación cúbica ( | i i ( ! conecta cuatro puntos.

' W 4

b)

Si a y b se designan como x 0 y x2, yf2{x) e s representada por un polinomio de Lagrange de segundo orden [véase ecuación (18.23)], la integral se transforma en

f*2 I Ixo L

(x-x\)(x-x2) (x-x0)(x-x2) ftxo) + - -f{xi) (x0 - xi)(x0 - x2) (x¡ - x0)(xi - x2)

(x -x0)(x - X \ ) -f(x2) dx

[x2 -x0)(x2 - X \ ) '

Después de la integración y manejo algebraico, resulta la siguiente fórmula:

/ = | [ / ( J f o ) + 4 / ( A , ) + f(x2)] (21.14)

donde, para este caso, h = (b — á)l2. Esta ecuación es conocida como regla de Simpson 1/3. Es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación "1/3" surge del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación (21.14). Una obtención alternativa se muestra en el cuadro 21.3 donde el polinomio de Newton-Gregory se integra para obtener la misma fórmula.

La regla de Simpson 1/3 se expresa también con el uso del formato de la ecuación (21.5):

Iss(p-a) / ( * o ) + * / ( * , ) + M ) ( 2 U 5 )

Ancho Altura promedio

donde a — x0, b — x2 y xx = punto a la mitad del camino entre a y b, que está dado por (b + a)/2. Observe que, de acuerdo con la ecuación (21.15), el punto medio está ponderado por dos tercios y los dos puntos extremos por un sexto.

Se puede mostrar que una aplicación de un solo segmento de la regla de Simpson 1/5 tiwie un error de truncamiento de (véase cuadro 21.3)


C u a d r o 2 1 . 3 Obtención y estimación del error de la regla de Simpson 1 / 3

Como se hizo en el cuadro 21.2 para la regla trapezoidal, la regla de Simpson 1/3 se puede obtener al integrar hacia adelante el polinomio de interpolación de Newton-Gregory (véase cuadro 18.2):

I en J.xa f(x0) + &f(x0)a + A 2 / U o )

a(a — 1)

/ = h

+

«/(*<,) + y A / ( x 0 ) + l — - - A 2 / (*o)

a a a 24 _ ~6~ + ~6

A 3 / ( x 0 )

(1 a 4 Ucr* 16 + ~T2

+ A 3 / (*o)

a(a — l)(a — 2) + J

2 4 « ( " - 1)(<* - 2)(a - 3)/! 4 dx

V120

y evaluando en los limites se obtiene

A 2 / ( x 0 )

i 2/(.v 0) + 2A/U- 0 ) •

1 (B21.3.1) Observe que hemos escrito el polinomio hasta el término de cuarto orden en lugar de hasta el de tercer orden como se podría haber esperado. La razón para esto se verá un poco después. Observe también que los límites de integración van de x0 a x2. Por tanto, Observe que el resultado significativo de que el coeficiente de la cuando se hagan las sustituciones simplificadoras (recuerde el tercera diferencia dividida es cero. Debido a que A/"(x0) = /(x,)

-/(* 0)yA 2/-(x 0) =/ (x 2 ) - 2f{xx) +/(*0),laecuación(B21.3.1) se puede reescribir como

/ = J L r / ( , o ) + 4 / ^ ) + ñ x 2 ) ] _ - L / 4 ) ( ^

cuadro 21.2), la integral es de a = 0 a 2: f l r A 2 / ( x 0 ) I=h I I f(xQ) + Af{x0)a +

A 3 / (*o)

a(a — 1)

-a(ot — l ) (a — 2) + J

2 4 « ( « - D(« - 2)(a - 3 ) / ¡ 4

REGK DE SIMPSON 173 ERROR DE TRUNCAMIENTO

da

que se puede integrar para obtener

Así, el primer término es la regla de Simpson y el segundo es el error de truncamiento. Ya que se suprime la tercera diferencia dividida, obtenemos el resultado significativo de que la fórmula tiene una precisión de tercer orden.

E, = -¿¿5/M)(§)

o, como h = (b — a)ll,

2 880 (21.16)

donde ^ está en algún lugar en el intervalo desde aab. Así, la regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. Sin embargo, en comparación con la ecuación (21.6) indica que es más exacta de lo esperado. En lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto es porque, como se muestra en el cuadro 21.3, el término del coeficiente de tercer orden va a cero durante la integración de la interpoUoión polinomial. En OOAIIGMAOIL, la regla de Simpion 1/3 tiene una preci-

sión de tereef ofdstt aun uiiaiidu He bnsc en sólo tres puntos, ¡lin otras palabras, dn resultados exuclos puní polinomios cúbicos «un cuando se derive de una parábola!

Aplicación simple de la regla do Simpson 1/3

Enunciado del problema. Use la ecuación (21.15) para integrar

f(x) = 0.2 + 25* - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5

desde a = 0 a b 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533.

Solución.

/(O) = 0.2 /(0.4) = 2.456 /(0.8) = 0.232

Por tanto, la ecuación (21.15) se puede usar para calcular

/ = 0 . 8 0.2 + 4(2.456) + 0.232

6 = 1.367467

que representa un error exacto de

E, = 1.640533 - 1.367467 = 0.2730667 e, = 16.6%

la cual es aproximadamente 5 veces más precisa que una aplicación simple de la regla trapezoidal (véase ejemplo 21.1).

El error estimado es [véase ecuación (21.16)]

(0.8) 5

Ea = — ' - ( - 2 400) = 0.2730667 2 880

donde —2 400 es el promedio de la cuarta derivada para el intervalo, como se obtuvo por medio de la ecuación (PT6.4). Como ocurrió en el caso del ejemplo 21.1, el error es aproximado (Ea) y es debido a que el promedio de la cuarta derivada no es una estimación exacta de/* 4 ) (£) . Sin embargo, como en este caso tiene que ver con polinomios de quinto orden, el resultado concuerda.

2 1 . 2 . 2 La regla de S impson 1/3 de aplicación múlt iple

Así como con la regla trapezoidal, la regla de Simpson se puede mejorar al dividir el intervalo de integración en un número de segmentos de igual anchura (véase figura 21.12):

b — a (21.17) h =

n

La integral total se puede representar como

6 3 4 FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES^

/ = 2/7 / ( A - 0 ) + 4 / ' ( . Y L ) + / ( . V 2 )

2h í\x2) + 4 / ( x , ) + / ( .v 4 )

+ 2h / U ¡ „ 2 ) + 4 / ( x „ _ 1 ) + / U „ )

o, combinando términos y usando la ecuación (21.17),

/(*o) + 4 S f{x¡) + 2 " ¿ f(x,)+f(x„) J . ~ {b - a)

3n (21.18)


Observe que, como se ilustra en la figura 21.12, se debe utilizar un número par de segmentos para implementar el método. Además, los coeficientes "4" y " 2 " en la ecuación (21.18) podrían parecer peculiares a primera vista. Sin embargo, siguen en forma natural la regla de Simpson 1/3. Los puntos nones representan el término medio para cada aplicación y, por tanto, el peso de 4 en la ecuación (21.15). Los puntos pares son comunes en las aplicaciones adyacentes y, por tanto, se cuentan dos veces.

Un error estimado para la aplicación de la regla de Simpson se obtiene en la misma forma que para la regla trapezoidal, sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada para dar

F - (¿> - a) 7(4)

" ~ 180« 4 J

d o n d e / ( 4 ) es el promedio de la cuarta derivada para el intervalo.

(21.19)

F I G U R A 2 1 . 1 2 Representación gráfica de la regla de Simpson 1 / 3 de aplicación múltiple. Observe que el método se puede emplear sólo si el número de segmentos es par.

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 para la integral individual so obtiene

Veriión d« la rugía cim ülmpiun I /J do aplicación múltiplo

Enunciado dol problema. Uno lu ecuación (21.18) con n — 4 para estimur la integral de

/'(.v) = 0.2 + 25,v - 2()().v2 -1- 675A-1 - 9 0 0 A 4 + 400* 5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533.

Solución, n = 4 (h = 0.2):

/ (0) = 0.2 /(0.2) = 1.288

/(0.4) = 2.456 /(0.6) = 3.464

/(0.8) = 0.232

A partir de la ecuación (21.18),

0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0.232 / = ( J . O = 1.oZj4o/ 12

E, = 1.640533 - 1.623467 = 0.017067 s, = 1.04%

El error estimado [véase ecuación (21.19)] es

Ea = — ^ - r ( - 2 400) = 0.017067 180(4) 4 '

El ejemplo anterior ilustra que la versión de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple da resultados precisos. Por esta razón, se considera superior a la regla trapezoidal para la mayoría de las aplicaciones. Sin embargo, como se mencionó antes, está limitada a casos en los que los valores son igualmente espaciados. Además, está limitada a situaciones donde hay un número par de segmentos y un número non de puntos. En consecuencia, como se analizará en la siguiente sección, la fórmula de segmentos nones y puntos pares conocida como regla de Simpson 3/8 se usa en conjunto con la regla 1/3 para permitir la evaluación de ambos números de segmentos pares y nones.

2 1 . 2 . 3 Regla de S impson 3 / 8

En una manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y de Simpson 1/3, un polinomio de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse:

para obtener

nb rb

/ f(x)dx = / h(x)dx Ja Ja I - H |./'(*,.) + 3/(.V|) + 3/(a2) + /(*.= )]


donde h — (b — «)/3. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. Esta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La regla 3/8 se puede expresar también en la forma de la ecuación (21.5):

Issjb-a) m + 3 / ( X l ) + 3 / f e ) + m (21.20)


Así, los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras los puntos extremos pesan un octavo. La regla de Simpson 3/8 tiene un error de

' 80 J

o, ya que h — (b — a)/3,

E Jtz^tji^ (21.21) 6 480

Como el denominador de la ecuación (21.21) es mayor que el de la ecuación (21.16), la regla 3/8 es algo más exacta que la de 1/3.

F I G U R A 2 1 . 1 3 Ilustración de cómo se / |x) A puede usar en conjunto las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para manejar aplicaciones múltiples con números nones de intervalos.

La regla do Nlmpaun 1/1 en o moñudo ol método de preferencia, ya que alcanza exactitud de tercer orden con I T C N puntos más que los cuatro puntos requeridos pora la versión de 3/8. .Sin embargo, lu rogln de 3/8 tiene utilidad cuando el número de segmentos es impar. Como ilustración, en el ejemplo 21.5 usamos la regla de Simpson para integrar la función para cuatro segmentos. Suponga que usted desea una estimación para cinco segmentos. Una opción podría ser usar una versión de aplicación múltiple de la regla trapezoidal como se hizo en los ejemplos 21.2 y 21.3. Esto puede no ser recomendable, sin embargo, debido al gran error de truncamiento asociado con este método. Una alternativa podría ser aplicar la regla de Simpson 1/3 a los dos primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8 a los últimos tres (véase figura 21.13). De esta forma, podríamos obtener un estimado con una precisión de tercer orden a través de todo el intervalo.

EJEMPLO 2 1 .6 Regla de Simpson 3/8

Enunciado del problema.

a) Use la regla de Simpson 3/8 para integrar

\ f(x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5

! desde a = 0 hasta b — 0.8. I b) Úsela en conjunto con la regla de Simpson 1/3 a fin de integrar la misma función | para cinco segmentos.

Solución.

| a) Una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8 requiere de cuatro puntos igualmente espaciados:

/(O) = 0.2 /(0.2667) = 1.432724

/(0.5333) = 3.487177 /(0.8) = 0.232

Usando la ecuación (21.20)

/ - 0 S ° ' 2 + 3 ^ - 4 3 2 7 2 4 + 3 - 4 8?177) + 0.232 =

' 8 E, = 1.640533 - 1.519170 = 0.1213630 e, = 7.4%

'? (0.8) 5

E" = -Tlérí-2400) = 0-1213630 6 4 8 0

| b) Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h — 0.16) es

| /(0) = 0.2 /(0.16) = 1.296919

./(0.32) = 1.743393 ./Í0.48) = 3.186015

,/t0.64) - 3.181929 ./{().«()) 0.232

La Integral para los dos prlmeroi segmentos se obtiene usando la regla de Slmpion 1/3!

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES

0.2 +4(1 .2%919) + 1.743393 / y. 0.32 — = 0.3803237

6

Para los últimos tres segmentos, la regla 3/8 se puede usar para obtener

1.743393 + 3(3.186015 + 3.181929) + 0.232 / = 0.48 - - = 1.264754

8

La integral total se calcula al sumar los dos resultados:

/ = 0.3803237 + 1.264753 = 1.645077

E, = 1.640533 - 1.645077 = -0.00454383 e, = - 0 . 2 8 %

2 1 . 2 . 4 Algor i tmos de cómputo para las reglas de S impson

En la figura 21.14 se bosqueja el pseudocódigo para diferentes formas de reglas de Simpson. Observe que todas se hallan diseñadas para datos que están en forma tabulada. Un programa general debería tener la capacidad de evaluar funciones conocidas así como ecuaciones. En el siguiente capítulo ilustraremos cómo se puede manejar esas ecuaciones.

Observe que el programa de la figura 21.14¿¡f está acondicionado para usar números de segmentos pares o nones. Para el caso de pares, la regla de Simpson 1/3 se aplica a cada par de segmentos y los resultados se suman para calcular la integral total. En los nones, se aplica la regla de Simpson 3/8 a los tres últimos segmentos y la regla 1/3 a los segmentos previos.

2 1 . 2 . 5 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes de orden super ior

Como se observó antes, la regla trapezoidal y ambas reglas de Simpson son miembros de una familia de ecuaciones de integración conocidas como fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. Algunas de las fórmulas se resumen en la tabla 21.2, junto con su estimación del error de truncamiento.

Observe que, como en el caso de las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, las fórmulas de cinco y seis puntos tienen el mismo orden de error. Esta característica general se cumple para fórmulas de puntos mayores y nos lleva al resultado de que las fórmulas de segmentos pares y puntos nones (por ejemplo, la regla 1/3 y la regla de Boole) usualmente son los métodos de preferencia.

Sin embargo, se debe resaltar que, en la práctica de la ingeniería, las fórmulas de orden superior (que son mayores de cuatro puntos) son usadas muy rara vez. Las reglas de Simpson bastan para la mayoría de las aplicaciones. La precisión se puede mejorar al usar la versión de aplicación múltiple. Además, cuando la función es conocida y se requiere de alta precisión, los métodos como la integración de Rombcrg o la cuadratura de O K U I I , descritos en el capitulo 22, OfitMB ajternativas viables y atractivas.

21.2

rüNCTION 5lmp13 (h. fO, fí, fZ) 5lmp13 = 2'h* (f0+4*fí+f2) / 6

END Slmp13

b) FUNCTION Simp33 (h, fO, fí, f2, f3) 5¡mp3& = 3*h* (f0+3*(fí+f2)+f3) / 3

FND 5imp33

t VNCTION 5imp13m (h, n, f) eum = f(0) P0l = 1,n-2,2

eum = eum + 4 * f¡ + 2 * fM

END DO fium = eum + 4 * f„_, + fn

iMmp13m = h * eum 13 FNI>Slmp13m

1*1 ••» di FUNCTION 5lmplnt(a, b. n, f)

h = (b-a)/n IFn = 1 THEN

eum = Trap(h, f„_,, f j EL5E

m = n odd = n/2-INT(n/2) IF oda > O AND n > 1 THEN

eum = sum+Slmp33(h,fri_3,fr_2,fn_1,ftl) m = n - 3 END IF IFm>1 THEN

eum = eum + 5¡mp13m(h, m, f) END IF

END IF 5lmplnt = eum

END Simplnt

F I G U R A 2 1 . T 4 l\iMKÍocódigo para las reglas de Simpson. a) Regla de Simpson 1 / 3 de aplicación simple, b) regla de Simpson 3 / 8 do Hfilu ación simple, c) regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple, y d) regla de Simpson de aplicación múltiple para i iini jos números de segmentos nones y pares. Observe que para todos los casos n debe ser > 1.

T A B L A 2 1 . 2 Fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. Las fórmulas se presentan en el formato de la ecuación (21.5) de manera que el peso de los datos para estimar la altura promedio es aparente. El tamaño de paso está dado por h = (b - a)/n.

Segmentos (") Pun tos N o m b r e Fó rmula

E r r o r de t runcamiento

1 2 Regla trapezoidal ( b - o) f(Xo|+f(x,| 2

- ( 1 / 1 2 ) ^ )

2 3 Regla de Simpson 1/3 ( b - a) f|xn) + 4f(x 1) + f(x7)

6 -\]/90)h5fW{$) 4 Regla de Simpson 3/8 [b-n\ flxol + A F L X . l + S f N + flx,!

-|3/80)/i-VI'1l(í) ú 4 Regla de Simpson 3/8 [b-0) 8 -|3/80)/i-VI'1l(í)

A 5 Regla de BouIh ( b - n\ 7f(x 0) + 32f(x,| + 12í(x2| + 3 2 r > 3 ) + 7f(x 4) A 5 Regla de BouIh ( b - 0)

90 19f(xü) i ASf lxJ i H)i{x2) i .')0/(x:f

288 .'i 6 \b 90

19f(xü) i ASf lxJ i H)i{x2) i .')0/(x:f

288 I V ' W ( 2 /5/1 VW())h'l^[Í)


2 1 . 3 I N T E G R A C I Ó N C O N S E G M E N T O S D E S I G U A L E S

Hasta este punto, todas las fórmulas para integración numérica se han basado en datos igualmente espaciados. En la práctica, existen muchas situaciones donde esta suposición no se cumple y debemos tratar con segmentos de tamaño desigual. Por ejemplo, los datos derivados experimentalmente son a menudo de este tipo. Para esos casos, un método es aplicar la regla trapezoidal a cada segmento y sumar los resultados:

. U / ( * 0 ) + , u / ( S I ) + /fe) , , u / ( * „ - L ) + / ( * „ )

l=hi ~ + " 2 2 ' H " 2 (21.22)

donde h¡ = ancho del segmento /. Observe que éste fue el mismo procedimiento que se usó en la regla trapezoidal de aplicación múltiple. La única diferencia entre las ecuaciones (21.8) y (21.22) es que las h en la primera son constantes. En consecuencia, la ecuación (21.8) podría simplificarse al agrupar términos para obtener la ecuación (21.9). Aunque esta simplificación no puede aplicarse a la ecuación (21.22), es posible desarrollar de manera fácil un programa en computadora para acomodar los segmentos de tamaño desigual. Antes de describir ese algoritmo, ilustraremos en el siguiente ejemplo cómo se puede aplicar la ecuación (21.22) para evaluar una integral.

EJEMPLO 21 .7 Regla trapezoidal con segmentos desiguales

| Enunciado del problema. La información en la tabla 21.3 fue generada mediante el | mismo polinomio empleado en el ejemplo 21.1. Use la ecuación (21.22) para determinar i la integral para estos datos. Recuerde que la respuesta correcta es 1.640533. ?

í Solución. Si se aplica la ecuación (21.22) a los datos de la tabla 21.3 se obtiene i \ 1.309729 + 0.2 1.305241 + 1.309729 n 0 .232 + 2 .363 | 7 = 0 . 1 2 + 0.10 - + . . . + 0.10

1 = 0.090584 + 0.130749 + • • • + 0.12975 = 1.594801

1 la cual representa un error relativo porcentual absoluto de £, = 2.8% T A B L A 2 1 . 3 Datos para f(x) = 0 . 2 + 25x - 2 0 Ü X 2 +

675X 3 - 900X 4 + 4 0 0 X 5 , con valores de x desigualmente espaciados.

X " " " " " " " ' " Í L X ) ' " * " X

0 . 0 0 . 2 0 0 0 0 0 0 . 4 4 2 . 8 4 2 9 8 5

0 . 1 2 1 . 3 0 9 7 2 9 0 . 5 4 3 . 5 0 7 2 9 7

0 . 2 2 1 . 3 0 5 2 4 1 0 . 6 4 3 . 1 8 1 9 2 9

0 . 3 2 1 . 7 4 3 3 9 3 0 . 7 0 2 . 3 6 3 0 0 0

0 . 3 6 2 . 0 7 4 9 0 3 0 . 8 0 0 . 2 3 2 0 0 0

0 . 4 0 2 . 4 5 6 0 0 0

F I G U R A 2 1 . 1 5 Uso de la regla trapezoidal para determinar la integral de datos desigualmente espaciado», Observe cómo los segmentos achurados podrían evaluarse con la regla de'Simpson para obtener mayor precisión.

Los datos del ejemplo 21.7 se ilustran en la figura 21.15. Observe que alguno* segmentos adyacentes son de igual anchura y, en consecuencia, pudieron haberse evaluado mediante las reglas de Simpson. Esto usualmente nos lleva a resultados más precisos, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Inclusión de las reglas de Simpson en la evaluación de datos no uniformes

Enunciado del problema. Vuelva a calcular la integral con los datos de la tabla 21.3, pero ahora use las reglas de Simpson para aquellos segmentos donde son apropiados.

Solución. El primer segmento se evalúa con la regla trapezoidal:

„ 1.309729 + 0.2 / = 0.12 •— = 0.09058376

Debido a que los dos siguientes segmentos que van de x = 0.12 a 0.32 son de igual longitud, su integral se puede calcular con la regla de Simpson 1/3:

, 1.743393 + 4(1.305241) + 1.309729 / = 0 .2—: — = 0.2758029

Los siguientes tres segmentos también son iguales y, por tanto, pueden evaluarse con la regla de 3/ft para dar / = 0.2726863. De manera similar, la regla 1/3 se puede aplicar a


los dos segmentos desde x = 0.44 hasta 0.64 para obtener I = 0.6684701. Finalmente, los dos últimos segmentos, los cuales son de longitud desigual, se pueden evaluar con la regla trapezoidal para dar valores de 0.1663479 y 0.1297500, respectivamente. El área de esos segmentos individuales se suma para dar una integral total de 1.603641. Esto representa un error et = 2.2%, el cual es superior al resultado que se obtuvo mediante la regla trapezoidal del ejemplo 21.7.

Programa de cómputo para datos espaciados de manera desigual. Programar la ecuación (21.22) es una proposición bastante simple. El algoritmo se lista en la figura 21.16a.

F I G U R A 2 1 . 1 6 Pseudocódigo para integrar datos desigualmente espaciados, a) Regla trapezoidal y b) Combinación de reglas de Simpson y trapezoidal.

o) FUNCTION Trapun (x, y, n)

LOCAL I, eum eum = O DO i=1,n

eum = eum + (x¡ - xH)*(yH + y¡)/2 END DO Trapun = eum

END Trapun

UFE:

b) FUNCTION Uneven (n, x, f)

h=x1-x0

k=1 eum = O. DO J = 1,n hf = xj+1-Xj

IF A35 (h - hf) < .OOOOOI THEN IFk = 3 THEN

eum = eum + 5imp13 (h, fj_3 fj_2 f^) k = k-1

EL5E k = k+1

END IF EL5E

IFk = 1 THEN eum = eum + Trap (7% FJ_, FP

EL5E IFk = 2 THEN

eum = eum + 6\mp13 (h, fj_2 f-) EL5E

eum = eum + Simp33 (h, fj_2 fj) ENDIF k=1

END IF END IF h = hf

END DO Univon - eum

LMm*»n. ....

2 1 , 4 IERTA

TABLA 2 1 . 4 Fórmulas de integración abierta da Newton Cotos. Las fórmulas se presentan en «I formato de la ecuación (21.5) de manera quo el peso de los datos para estimar la altura promedio sea aparente. El tamaño de paso está dado por h - (b - a)/n.

tegmentos (n) Pun tos N o m b r e Fó rmu la


Método del punto medie

|b-o)

[b-a] f(x,|

2 fa_ 2f|x,)-í|x ?| + 2f(x,|

3

24 l l f | X l ) - 1 4 f | x 2 ) + 26f | x3)-14f|x 4 )

20

(l/3]/>3f"(íl

[3/4}h3fU)

|95/144)f)5fl4>|§)

(41/140)//f|6,(£)

Sin embargo, como se demostró en el ejemplo 21.8, el procedimiento es resaltado ai se implementan las reglas de Simpson cuando sea posible. Por esta razón desarrollamoa un segundo algoritmo que incorpora esta capacidad. Como se ilustra en la figura 21.16b, el algoritmo verifica la longitud de los segmentos adyacentes. Si dos segmentos consecutivos son de igual longitud, se aplica la regla de Simpson 1/3. Si tres son iguales, se una la regla 3/8. Cuando los segmentos adyacentes son de longitud desigual, se implementn la regla trapezoidal.

Así, no sólo permite la evaluación de segmentos de datos desiguales, sino que al usar la información igualmente espaciada, se reduce a las reglas de Simpson. Como tal, representa un algoritmo básico para todo propósito en la determinación de la integral de datos tabulados.

2 1 . 4 F Ó R M U L A S D E I N T E G R A C I Ó N A B I E R T A

Recuerde de la figura 213b que las fórmulas de integración abierta tienen límites que se extienden más allá del rango de los datos. La tabla 21.4 resume las fórmulas de integración abierta de Newton-Cotes. Las fórmulas se expresan en la forma de la ecuación (21.5) para que los factores ponderados sean evidentes. Como con las versiones cerradas, pares sucesivos de las fórmulas tienen el mismo orden de error. Las fórmulas de segmentos pares y puntos nones son por lo común los métodos de preferencia, ya que requieren menos puntos para alcanzar la misma precisión que con las fórmulas de segmentos nones y puntos pares.

1 , U N fórmulas abiertas no se usan a menudo para integración definida. Sin embargo, como NO analiza en el capítulo 22, tienen utilidad para analizar integrales impropios. Adetnáa, tienen In relevancia de nuestro análisis de métodos multipnsos para la solución de eotiflolonen diferenciales ordinarias en el capitulo 26.


P R O B L E M A S

21.1 Use medios analíticos para evaluar

a) j* (1 - e-x)dx

b) J4 (1 - x - A¿ + x5) dx

c) J (8 + 4senx)<¿x

21.2 Emplee una sola aplicación de la regla trapezoidal para evaluar las integrales del problema 21.1. 21.3 Evalúe las integrales del problema 21.1 con una regla trapezoidal de aplicación múltiple, con n = 2,4 y 6. 21.4 Evalúe las integrales del problema 21.1 con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3. 21.5 Evalúe las integrales del problema 21.1 con una aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4 y 6. 21.6Evalúe las integrales del problema 21.1 con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8. 21.7 Evalúe las integrales del problema 21.1, pero ahora use una aplicación múltiple de la regla de Simpson, con n = 5. 21.8 Integre la siguiente función mediante la regla trapezoidal, conn = 1, 2, 3 y 4:

(x + l/x)" dx

Calcule los errores relativos porcentuales con respecto al valor real de 4.8333 para evaluar la exactitud de las aproximaciones trapezoidales. 21.9 Integre la siguiente función en forma analítica y con las reglas de Simpson, con n = 4 y 5:

j (4x.+ 5)3dx

Analice los resultados. 21.10 Integre la siguiente función de manera analítica y numérica. Use las reglas trapezoidal y lá de Simpson 1/3 para integrar numéricamente la función. Para los dos casos, use la versión de aplicación múltiple con n = 4.

f Jo

dx

Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numéricos. 21 .11 Integre la siguiente función on forma analítica y nuniéri-M. Pin l u •valuaciones numéricas use a) una sola aplicación

de la regla trapezoidal, b) la regla de Simpson 1/3, c) regla de Simpson 3/8, d) regla de Boole, e) método de punto medio,/) fórmula de integración abierta con 3 segmentos/2 puntos y g) fórmula de integración abierta con 4 segmentos/3 puntos.

Jo 15 2 t dx

Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos. 21.12 Integre la siguiente función en forma analítica y numérica. Para las evaluaciones numéricas use d) una sola aplicación de la regla trapezoidal, b) regla de Simpson 1/3, c) regla de Simpson 3/8, d) aplicación múltiple de las reglas de Simpson (« = 5), e) regla de Boole, j) el método de punto medio, g) la fórmula de integración abierta con 3 segmentos/2 puntos, y h) fórmula de integración abierta con 4 segmentos/3 puntos.

(8 + 3 sen x) dx

Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos. 21.13 Integre la siguiente función,

Jo x0A{l.2-x)(\-e 20(.v-l) ) dx

Observe que el valor real es 0.602297. Evalúe esta integral con la regla trapezoidal de segmento múltiple. Use una n lo suficientemente grande para que tenga usted 4 cifras significativas de exactitud. Analice sus resultados. 21.14 Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados con la regla trapezoidal:

X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

f|x) 1 7 4 3 5 2

21.15 Realice la misma evaluación que en el problema 21.14, pero ahora use las reglas de Simpson. 21.16 Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados mediante la regla trapezoidal:

flx)

- 3 - 1 1 1

3

21.17 Realice la misma evaluación que on el problema 21.16, paro ai^¡aj||Jij»jegla» de Simpson.

I I , I N Determino el valor medio de la (unción

/( o • - 4d + 45.4.V - 13.8JC2 + 1.71*3 - 0,Ü72^'4

•ULTRA \ 2 y 10 a) graficando la función y estimando en forma VlHlIH1 el valor medio, b) usando la ecuación (PT6.4) y la evaluaR O N ttiinlilica de la integral, y c) mediante la ecuación (PT6.4) y I IHM versión de la regla de Simpson con cinco segmentos para •lllinm In integral. Calcule el error relativo porcentual. I I , I V función

l l i l <• 1

H» pupilo usar para generar la siguiente tabla de datos desigual-HltlilD espaciados:

o 0.1 0.3 0.5 0.7 0.95 1.2

I 0 .9048 0.7408 0 .6065 0 .4966 0 .3867 0 .3012

t'viilíic la integral desde a = 0 hasta b = 1.2 con a) medios H I I H I I I K O S , b) la regla trapezoidal y c) una combinación de las I P U I I I N trapezoidal y de Simpson; emplee las reglas de Simpson I I I I I H I O sea posible para obtener la mayor exactitud. Para b) y c), imkulc el error relativo porcentual (£,). 1 1 . 2 0 I i valúe la siguiente integral doble:

• 3y2 +xy2) dx dy

il) timilllieumente, b) con una aplicación múltiple de la regla liupivimliil (/i = 2), c) sólo con aplicaciones de la regla de

SlmpHon 1/3. Para b) y e ) calcule el error relativo porcentual ((',). 2 1 . 2 1 Evalúe la integral tr iple

J-4J0 J-l 2yz) dx dy dz

d) analíticamente y b) usando sólo aplicaciones de la regla de Simpson 1/3. Para b) calcule el error relativo porcentual (e,). 2 1 . 2 2 Desarrolle un programa en computadora de uso amigablo para la regla trapezoidal de aplicación múltiple con base en la figura 21.9. Entre otras cosas, a) agregue comentarios de documentación al código, b) haga que la entrada y salida estén orientadas al usuario y c) modifique el programa para que sea capaz de evaluar funciones dadas además de datos tabulados. Pruebe su programa con los mismos datos de cálculo del problema 21.2. 2 1 . 2 3 Desarrolle un programa de cómputo de uso amigable para la versión de aplicación múltiple de la regla de Simpson con base en la figura 21.14c. Pruébelo con los mismos datos de cálculo del ejemplo 21.5. 2 1 . 2 4 Desarrolle un programa de cómputo de uso amigable para integrar datos desigualmente espaciados con base en la figura 21.166. Pruébelo con los mismos datos de cálculo del ejemplo 21.8. 2 1 . 2 5 Use el programa Intégrate Function del disco T O O L K I T

de métodos numéricos (o su propio programa a partir del problema 21.22) para repetir a) el problema 21.2, b) el problema 21,3, c) el problema 21.8, d) el problema 21.10 y e) el problema 21.12, Use la opción gráfica para que le ayude a visualizar el concepto que I = ¡b

a f(x) dx es el área entre la curva f(x) y el eje. Intento diferentes tamaños de paso para cada problema.

CAPITULO 22

Integración de ecuaciones

En la introducción de la parte seis mencionamos que las funciones que habrán de integrarse de manera numérica son típicamente de dos formas: una tabla de funciones o una función. La forma de los datos tiene una importante influencia en los procedimientos que se puede usar para evaluar la integral. Para información tabulada, nos limitaremos al número de puntos que se tengan. En contraste, si la función está disponible, se puede generar tantos valores de f(x) como se requiera para alcanzar una exactitud aceptable (recuerde la figura PT6.7).

Este capítulo dirige su atención a dos técnicas que están expresamente diseñadas para analizar casos donde se da la función. Ambas capitalizan la habilidad para generar valores de la función con el fin de desarrollar esquemas eficientes para integración numérica. La primera técnica se basa en la extrapolación de Richardson, el cual es un método que combina dos estimaciones numéricas de la integral para obtener una tercera, que tiene un valor más exacto. El algoritmo computacional para implementar en forma muy eficiente la extrapolación de Richardson se llama integración de Romberg. Esta técnica es recursiva y puede usarse para generar una estimación de la integral dentro de una tolerancia de error preespecificada.

El segundo método es llamado cuadratura de Gauss. Recuerde que en el último capítulo los valores de f(x) para las fórmulas de Newton-Cotes fueron determinadas para valores específicos de x. Por ejemplo, si se usa la regla trapezoidal para determinar una integral, estamos restringidos a tomar el promedio ponderado de f(x) en los extremos del intervalo. Las fórmulas de cuadratura de Gauss emplean valores dex que están posicionados entre a y b de tal forma que resulta una estimación de la integral mucho más exacta.

Además de esas dos técnicas estándar, dedicamos una sección final a la evaluación de integrales impropias. En este análisis nos concentraremos en integrales con límites finitos y en mostrar cómo un cambio de variable y fórmulas de integración abierta prueban ser útiles para tales casos.

2 2 . 1 A L G O R I T M O S DE N E W T O N - C O T E S P A R A E C U A C I O N E S

En el capítulo 21 presentamos algoritmos para versiones de aplicación múltiple de la regla trapezoidal y de las reglas de Simpson. Aunque estos pseudocódigos pueden ciertamente usarse para analizar ecuaciones, en nuestro esfuerzo por hacerlas compatibles con los datos o las funciones, podrían no explotar la conveniencia de estas últimas.

La figura 22.1 muestra los pseudocódigos que están expresamente diseñados para casos donde la función es analítica, lin particular, observe que ni los valores de la variable independiente ni de la dependiente HC piiNiin u la función por medio de su argumento, como fue el caso para los códigos ea ti Capitulo 21 . Para la variable independiente x, el

22.2 INIFLJJTFFTNDERÓMBGRO 147

o) FUNCTION TrapEq (n. a, b)

b) FUNCTION SimpEq (n, a, b) h = (t>-a)/n

x = a eum - f(x) D0l = l,n-1

x =~a eum = f(x) D0l = 1,n-2,2

h = (b-a)/n

x = x + h x = x + h eum = eum + 4 * f(x) x = x + h

eum = eum + 2 * f(x) END DO eum = eum + f(b) eum = eum + 2* f(x)

END DO x = x + h eum = eum + 4 * f(x) eum = eum + f(b>) SimpEq = (b-a) * eum / (3 * n)

Mi|IHilmos para M|ilii liciones múltiples de las I M I | | I I S a) trapezoidal y b) de 'iinipson 1 / 3 , donde la liini n'in está disponible.

F I G U R A 2 2 . 1 TrapEq = (b-a) * eum / (2 * n)

END TrapEq

END SlmpEq

intervalo de integración (a, b) y el número de segmentos pasados. Esta información se emplea entonces para generar valores igualmente espaciados de x dentro de la función. Para la variable dependiente, los valores de la función en la figura 22.1 se calculan mediante llamados de la función sujeta a análisis,/(X).

Desarrollamos programas con simple precisión, basados en esos pseudocódigos, para analizar el esfuerzo involucrado y los errores en que se incurre cuando se usa progresivamente más segmentos para estimar la integral de una simple función. Para una función analítica, las ecuaciones para el error [ecuaciones (21.13) y (21.19)] indican que el aumento en el número de segmentos n resultará en una estimación más exacta de la integral. Esta observación es soportada por la figura 22.2, la cual es una gráfica del error verdadero contra n para la integral def(x) = 0.2 + 25x — 200X2 + 675JC3 — 900JC4 +

400x 5. Observe cómo el error disminuye en tanto n aumenta. Sin embargo, note también que para grandes valores de n, el error empieza a aumentar cuando los errores de redondeo comienzan a dominar. Observe además que se requiere un número muy grande de evaluaciones de la función (y, por tanto, esfuerzo computacional) para alcanzar niveles altos de exactitud. Como una consecuencia de estos defectos, la regla trapezoidal de aplicación múltiple y las reglas de Simpson son algunas veces inadecuadas para resolver problemas en contextos donde se necesita alta eficiencia y errores mínimos.

La integración de Romberg es una técnica diseñada para alcanzar eficiencia en las integrales numéricas de funciones. Es muy similar a las técnicas analizadas en el capítulo 21 , en el sentido de que etttá basada en aplicaciones sucesivas de la regla trapezoidal. Sin embargo, aunque se lengu que hacer manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos esfuerzo.

2 2 . 2 I N T E G R A C I Ó N DE R O M B E R G

648 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

F I G U R A 2 2 . 2 Valor absoluto del error relativo porcentual verdadero contra el número de segmentos para la determinación de la integral de f(x| = 0.2 + 25x - 200X2 + 675X3 - 900/ + 40ÜX5, evaluada desde a = 0 hasta b = 0.8 mediante la regla trapezoidal de aplicación múltiple y la regla de aplicación múltiple de Simpson 1/3. Observe que ambos resultados indican que para un gran número de segmentos, los errores de redondeo limitan la precisión.

"O •a • CB c a>

e o a. i

<D . . -

2

LU

100

10

10-10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

Regla trapezoidal

Límite de precisión

Regla de Simpson 1/3

I I , I . I ,1 I , ,,l I I, Límite de precisión I I I I I

16 64 256 1 024 4 096 16 384 32 128 512 2 048 8 192

Segmentos

2 2 . 2 . 1 Extrapolación de Richardson

Recuerde que en la sección 10.3.3 usamos un refinamiento iterativo para mejorar la solución de un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas. Las técnicas de corrección de errores se hallan también disponibles para mejorar los resultados de integración numérica sobre la base de las mismas estimaciones de la integral. Esos métodos usan dos estimaciones de una integral para calcular una tercera más exacta, y se les conoce por lo general como extrapolación de Richardson.

El error estimado y asociado con una aplicación múltiple de la regla trapezoidal puede representarse de manera general como

/ = /(/;) + E(h)

donde / = valor exacto de la integral, I{h) — aproximación de una aplicación de n segmentos de la regla trapezoidal con un tamaño de paso h = (b — a)ln, y E(h) — error de truncamiento. Si hacemos dos estimaciones por separado mediante tamaños de paso de h\ Y n 2 Y tienen valores exactos del error,

(22.1)

22.2 INTIOfUClON DE ROMBERO

Ahora recuerde que el error de la aplicación múltiple de la regla trapezoidal puede representarse de manera aproximada por la ecuación (21.13) [con n = (b — d)lh\.

E = -^V/" (22.2)

Si en ésta se supone q u e / " es constante sin importar el tamaño de paso, la ecuación 22.2 se puede usar para determinar que la razón de los dos errores será

— — = 4 (22.3)

Este cálculo tiene un importante efecto en la remoción del t é rmino/" de la operación. Al hacer esto, hemos hecho posible utilizar la información contenida en la ecuación (22.2) sin un conocimiento previo de la segunda derivada de la función. Para realizarlo, arreglemos de nuevo la ecuación (22.3) para tener

\h2

la cual se puede sustituir en la ecuación (22.1):

I(hi) + E(h2)(j±j = ¡(h2) + E(h2) que puede resolverse para

l(.hú-I(h2) E(h2) = \-(h{/h2)2

Así, desarrollamos un estimado del error de truncamiento en términos de las estimaciones de la integral y de sus tamaños de paso. Dicha estimación puede entonces ser sustituida en

/ = I(h2) + E(h2)

para dar una estimación mejorada de la integral:

^ ^ ' p Q R ^ - ^ 1 . ( 2 2 A )

Sp puede demostrar (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de dicha estimación es 0(h 4). Así, cambiamos las estimaciones de la regla trapezoidal de 0(h 2) para obtener una nueva estimación de 0(hA). Para el caso especial donde el intervalo es la mitad (h2 = A,/2), esta ecuación es ahora

/ Sé I(h2) + ^-¡[Wi) - /(Ai)] 7.;,']/, yj / T | ) ' ' o, agrupando términos,

4 1 , ; 1 /' 1

/ SÉ --/(//í) 3-/(A|) ; i (22.5)


EJEMPLO 22.1 Correcciones de error de la regla trapezoidal

| Enunciado del problema. En el capítulo anterior (ejemplo 21.1 y tabla 21.1) usamos ¡ una variedad de métodos de integración numérica para evaluar la integral de f(x) = 0.2 | + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x s desde a = 0 hasta b = 0.8. Por ejemplo, i aplicaciones simples y múltiples de la regla trapezoidal dan los siguientes resultados:

Segmentos h Integral e „ %

1 0.8 0 .1728 89.5 2 0.4 1.0688 34 .9 4 0.2 1.4848 9.5

| Use esta información junto con la ecuación (22.5) para calcular la estimación mejorada ¡ de la integral.

| Solución. Las estimaciones de uno y dos segmentos se pueden combinar para dar

| / = -(1.0688) - ^(0.1728) = 1.367467

| El error de la integral mejorada es E, = 1.640533 - 1.367467 = 0.273067 (£, = 16.6%), j el cual es superior a las estimaciones sobre las cuales se basa. j De la misma manera, las estimaciones para dos y cuatro segmentos se pueden com-| binar para obtener | ¡ ' 4 1 í / = - ( 1 . 4 8 4 8 ) - - ( 1 . 0 6 8 8 ) = 1.623467 ! que representa un error deEt = 1.640533 - 1.623467 = 0.017067 (et = 1.0%).

La ecuación (22.4) proporciona una forma de combinar dos aplicaciones de la regla trapezoidal con un error 0(h2) para calcular una tercera estimación con un error de 0(h4). Este procedimiento es un subconjunto de un método más general para combinar integrales y obtener estimaciones mejoradas. Como ilustración, en el ejemplo 22.1, calculamos dos integrales mejoradas de 0(h4) sobre la base de tres estimaciones de la regla trapezoidal. Esos dos cálculos mejorados pueden, a su vez, combinarse para obtener aun un mejor valor con 0(h6). Para el caso especial donde las estimaciones del trapezoide original están basadas sobre sucesivas mitades de tamaño de paso, la ecuación usada para la exactitud de 0(h6) es

/ ^ —/,„ - — /, (22.6) 15 "' 15 v '

donde Im e I¡ son las estimaciones mayor y menor, respectivamente. De manera similar, dos resultados 0(h6) pueden combinarse para calcular una integral que es 0(hs) por medio de

(22.7)

22.2

EJEMPLO 22 .2 Corrección de error de orden luperior para estimaciones de la integral

J Enunciado del problema, lin el ejemplo 22.1 usamos la extrapolación de Richardson ¡ para calcular dos estimaciones de la integral de 0(h4). Utilice la ecuación (22.6) para | combinar esas estimaciones y calcular una integral con 0(h6).

] Solución. Las dos estimaciones de la integral de 0(h4) obtenidas en el ejemplo 22.1 ! fueron 1.367467 y 1.623467. Estos valores pueden sustituirse en la ecuación (22.6) para

1 obtener

i | / = ( 1 . 6 2 3 4 6 7 ) - ^ (1 .367467) = 1.640533 I | que es una respuesta correcta con las siete cifras significativas que se han utilizado en l este ejemplo.

2 2 . 2 . 2 El a lgor i tmo de integración de Romberg

Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación [ecuaciones (22.5), (22.6) y (22.7)] aumentan hasta 1. De esta manera, éstos representan los factores ponderados que, al aumentar la exactitud, dan un peso relativamente mayor sobre la estimación de la integral superior. Estas formulaciones se pueden expresar en una forma general que se ajusta muy bien para la implementación en computadora:

7y+l,jfc-l (22.8)

donde IJ+l,k. •i &Ilk-! = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e Ij k = la

integral mejorada. El subíndice k significa el nivel de la integración, donde k = 1 corresponde a la regla trapezoidal original, k = 2 corresponde a 0(h4), k = 3 a 0(h6), y así en forma sucesiva. El subíndice j se usa para distinguir entre las estimaciones más (f + 1) y menos (/') exactas. Por ejemplo, para k = 2 yj = 1, la ecuación (22.8) se convierte en

I 4/ 2,i - / 1,1

1,2

la cual es equivalente a la ecuación (22.5). La forma general representada por la ecuación (22.8) es atribuida a Romberg, y su

aplicación sistemática para evaluar integrales se denomina integración de Romberg. La figura 22.3 es una ilustración gráfica de la secuencia de la estimación de la integral generada con este procedimiento. Cada matriz corresponde a una sola iteración. La primera celumna contiene las evaluaciones de la regla trapezoidal que están designadas por fp, donde j — 1 es para una aplicución de un solo segmento (el tamaño de paso es b — a), j = 2 es para una aplicación con dos segmentos [el tamaño de paso es (b — a)/2],j = 3 es para una aplicación de cuatro tegmentos [el tamaño de paso es (b — a)/4], y asi sucesivamente. Las otras columnas di la matriz son generadas de manera sistemática mediante la ecuación (22.8) para obtener OBda ve/, mejores estimaciones do la integral.


F I G U R A 2 2 . 3 Ilustración gráfica de la secuencia de las estimaciones de la integración que se generó con la integración de Romberg.

a) 0 . 1 7 2 8 0 0 -1 .068800-

b) 0 . 1 7 2 8 0 0 1.068800 • 1.484800 •

c) 0 . 1 7 2 8 0 0 1.068800 1.484800 • 1.600800 •

0(h*) . 367467

.367467 -

.623467 -

.367467

.623467 •

.639467 •

0(n«)

.640533

. 6 4 0 5 3 3 -: 1 .640533-

.640533

Por ejemplo, la primera iteración (véase figura 22.3a) involucra calcular estimaciones con la regla trapezoidal para uno y dos segmentos ( / [ , e I21). La ecuación (22.8) se usa entonces para calcular el elemento J, 2 = 1.367467, el cual tiene un error de 0(hA).

Ahora, debemos verificar para establecer si este resultado es conveniente para nuestras necesidades. Como en los otros métodos aproximados en este libro, se requiere una terminación, o criterio de paro, para asegurar la exactitud de los resultados. Un método que puede emplearse para el propósito actual es [véase ecuación (3.5)]

- I u - i 100% (22.9)

F I G U R A 2 2 . 4

Pseudocódigo para la integración de Romberg que usa la versión de segmentos de igual tamaño de la regla trapezoidal a partir de la figura 2 2 . 1 .

FUNCTION Rhomberq (a, b, maxit, es) LOCAL 1(10,10) n = 1 • /,_, = TrapEq(n, a, b) iter = O DO

Iter = iter + 1 n = 2*"" W + u = TrapEq(n, a, b) D0k = 2, iter + 1

j = 2 + iter - k

END DO ea = A35((l1¡tter+Í - í l f t J / lliter+,) * 100 IF (Iter £ maxit OR ea <, es) EXIT

END DO Rhorntot? m /)(((frt(

22.3 Cl

donde e„ «• una eatimaelón del error relativo porcentual. De esta mnncru, corno se hizo antes en otros procesos llerottvoN, comparamos la nueva estimación con el valor anterior. Cuando el cambio entre ION valores anteriores y nuevos como el que representa Ea está por debajo de un criterio de error preespecificado £ s, el cálculo termina. Para la figura 22.3a, esta evaluación indica un 87.4% de cambio sobre el curso de la primera iteración.

El objetivo de la segunda iteración (véase figura 22.36) es obtener Ja estimación 0(h6), (/j 3 ) . Para hacer esto, se determina una estimación adicional con la regla trapezoidal, 7 3 ! = 1.4848. Esto se combina entonces con I2X mediante la ecuación (22.8) para generar I22 = 1.623467. El resultado se combina, a su vez, con / , 2 para obtener /, 3 so 1.640533. La ecuación (22.9) se puede aplicar para determinar que este resultado representa un cambio del 22.6% cuando se compara con el resultado previo / , 2 .

La tercera iteración (véase figura 22.3c) continúa el proceso en la misma forma. En este caso, una estimación trapezoidal se agrega a la primera columna, y entonces la ecuación (22.8) se aplica para calcular en forma sucesiva integrales más exactas a lo largo de la diagonal inferior. Después de sólo tres iteraciones, debido a que evaluamos un polinomio de quinto orden, el resultado ( 1 , 4 = 1.640533) es exacto.

La integración de Romberg es más eficiente que la regla trapezoidal y las reglas de Simpson analizadas en el capítulo 21. Por ejemplo, para la determinación de una integral como la expuesta en la figura 22.1, la regla de Simpson 1/3 requeriría una aplicación con 256 segmentos para dar un estimado de 1.640533. Podría no ser posible realizar aproximaciones más finas debido al error de redondeo. En contraste, la integración de Romberg da un resultado exacto (hasta con siete cifras significativas) basado en la combinación de las reglas trapezoidales con uno, dos, cuatro y ocho segmentos; es decir, ¡con sólo 13 evaluaciones de la función!

La figura 22.4 representa el pseudocódigo para la integración de Romberg. Al usar ciclos, este algoritmo implementa el método en forma eficiente. La integración de Romberg está diseñada para casos donde se conoce la función que será integrada. Esto se debe al conocimiento de la función que permite las evaluaciones requeridas para la implementación inicial de la regla trapezoidal. Los datos tabulados están rara vez en la forma requerida para dividirlos a la mitad sucesivamente.

En el capítulo 21 estudiamos el grupo de integración numérica o fórmulas de cuadratura conocidas como ecuaciones de Newton-Cotes. Una característica de éstas (con excepción del caso especial de la sección 21.3) es que la estimación de la integral se basó sobre valores de la función uniformemente espaciados. En consecuencia, la localización de los puntos base que se usó en esas ecuaciones fue predeterminado o fijo.

Por ejemplo, como se describe en la figura 22.5a, la regla trapezoidal se basa en el cálculo del área bajo la línea recta que conecta los valores de la función en los extremos del intervalo de integración. La fórmula que se usa para calcular el área es

donde a y b = límites de integración y h — a = ancho del intervalo de integración. Debido a que la regla trapezoidal debo pasar a través de los puntos extremo, exiaten OAAOA como el de la figura 22,5a donde la fórmula resulta en un error grande,

C U A D R A T U R A D E G A U S S

l=(b-a) f(a) + f(b)

2 (22.10)

6 5 4 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

F I G U R A 2 2 . 5 o) Ilustración gráfica de la regla trapezoidal como el área bajo la línea recta que une puntos extremo fijos, b] Una estimación de la integral mejorada obtenida al tomar el área bajo la línea recta que pasa por dos puntos intermedios. Al posicionar esos puntos en forma inteligente, los errores positivo y negativo se equilibran, lo cual proporciona una estimación .mejorada de la integral.

a)

Ahora, suponga que la restricción de los puntos base fijos fue eliminada y se tiene la libertad de evaluar el área bajo una línea recta que conecta dos puntos cualquiera sobre la curva. Al ubicar esos puntos en forma inteligente, podríamos definir una línea recta que equilibraría los errores negativo y positivo. De ahí que, como en la figura 22.5b, podríamos llegar a una evaluación mejorada de la integral.

Cuadratura de Gauss es el nombre para una clase de técnicas para implementar tal estrategia. Las fórmulas particulares de cuadratura de Gauss descritas en esta sección se denominan fórmulas de Gauss-Legendre. Antes de exponer el procedimiento, mostraremos cómo las fórmulas de integración numérica tales como la regla trapezoidal pueden derivarse mediante el método de coeficientes indeterminados. Este método entonces se empleará para desarrollar las fórmulas de Gauss-Legendre.

2 2 . 3 . 1 Método de coeficientes indeterminados

En el capítulo 21 derivamos la regla trapezoidal al integrar un polinomio de interpolación lineal y por un razonamiento geométrico. El método de coeficientes indeterminados ofrece un tercer procedimiento que también tiene utilidad para derivar otras técnicas de integración como la cuadratura de Gauss.

Para ilustrar el procedimiento, HC expresa la ecuación (22.10) como

f 2 2 . l l )

http://f22.ll

donde In* c «• uonulanlo», Ahora noto que la reglu trapezoidal deberla dur rcmi liado» exactos cuando In lunolón Hu,|etn a integración es una constante o unu Uncu roela. Dos ecuaciones simpleN que reprcsenlun osos casos son .y = 1 y y = x. Ambas se ilustran en la f igura 22.6. Asi , se deberla cumplir las siguientes igualdades:

-(b~a)/2

C'O + C\ = I 1 dx a)/2 y

/•(p-a),

J-(b-a)

b - a b - a fO-a)/2 - C O — H C'i — - — = / x dx

2 2 .l-(b-a)/2

o, evaluando las integrales,

c0 + c\ = b - a

F I G U R A 2 2 . 6 Dos integrales que deberían ser evaluadas exactamente por la regla trapezoidal: a) una constante y b) una línea recta.


y

b — a b — a - c o — + c , — = 0

Estas dos ecuaciones con dos incógnitas se pueden resolver para

b — a

la cual, al sustituirse en la ecuación (22.11), da

I = b-^m+<^f(b)

que es equivalente a la regla trapezoidal.

2 2 . 3 . 2 Desarrol lo de la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

Como fue el caso para el desarrollo anterior de la regla trapezoidal, el objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de una ecuación de la forma

I =c0f(xo) + Cif(xi) (22.12)

donde las c = coeficientes desconocidos. Sin embargo, en contraste con la regla trapezoidal que usa los puntos extremo fijos ay b, los argumentos de la función x0 y x, no están fijos en los puntos extremo, pero son desconocidos (véase figura 22.7). De esta manera, ahora tenemos un total de cuatro incógnitas que deben ser evaluadas y, en consecuencia, requerimos cuatro condiciones para determinarlas con exactitud.

FIGURA 2 2 . 7 Ilustración gráfica de las variables desconocidas XQ y x, para integración por medio de cuadratura de Gauss.

5 ^

/ -1 X Q X , 1 X

Asi oomo p a n t i n f l a trapezoidal, podomos obtener dos de esas condicioneii al suponer que la ecuación (22,12) ujuslu la integral do una constante y de una llmclón lineal con exactitud, Donpiióa, paru tener las otras dos condiciones, sólo oxtenderémoi este razonamiento al suponer que también ajusta la integral de una función parabólica (y = x2) y de una cúbica (y = x3). Para hacer esto, determinamos las cuatro incógnitas y en la condición derivamos una fórmula de integración lineal de dos puntos que es exacta para cúbicas. Las cuatro ecuaciones que habrán de resolverse son:

cof(xo) +clf(x])

Cof(Xo) + C\f(Xi)

cof(xo) + c\f(xi)

co/Oo) + C l / ( * l ) :

£ dx =0

:2 dx = -3

:3 dx = 0

(22.13)

(22.14)

(22.15)

(22.16)

Las ecuaciones (22.13) a la (22.16) pueden ser resueltas simultáneamente para

c 0 = Ci = 1

x0 = — \ = = - 0 . 5 7 7 3 5 0 3 . . . V3

xx = ~ = 0 .5773503. . . V3

que puede ser sustituida en la ecuación (22.12) para obtener la fórmula de Gauss-Legendro de dos puntos

(22.17)

Así, llegamos a un resultado interesante en que la simple suma de los valores de la función enx = l / V j y — 1 /V3 dan una estimación de la integral que tiene una exactitud de tercer orden.

Observe que los límites de integración en las ecuaciones (22.13) a (22.16) son desde — 1 a 1. Esto se hizo para simplificar la matemática y para hacer la formulación tan general como sea posible. Es posible usar un simple cambio de variable para trasladar otros límites de integración en esta forma. Esto se realiza al suponer que una nueva variable xd se relaciona con la variable original x en una forma lineal, como en

(ID +a\xl¡ (22.18)

Si el limite inferior, x = a, corresponde a xtl = — 1, estos valores podrán sustituirse en lu ecuación (22.18) para dar

a - un | </,(- I) (22.19)

658 INTÍORACIÓN DE ECUACIONES

üe manera similar, el límite superior, x = b, corresponde a xu = 1, para dar

b = a()+al([) (22.20)

Las ecuaciones (22.19) y (22.20) podrán resolverse simultáneamente para

b + a (22.21)

y b — a

las cuales se pueden sustituir en la ecuación (22.18) para obtener

(b + a) + (b - a)xd

x = 2

Esta ecuación puede diferenciarse para dar

(22.22)

(22.23)

dx = - y - dxd (22.24)

Las ecuaciones (22.23) y (22.24) podrán sustituirse para x y dx, respectivamente, en la ecuación que se habrá de integrar. Esas sustituciones efectivamente transforman el intervalo de integración sin cambiar el valor de la integral. El siguiente ejemplo ilustra cómo se realiza esto en la práctica.

EJEMPLO 22 .3 Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

Enunciado del problema. Use la ecuación (22.17) para evaluar la integral de

f(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x 4 + 400* 5

entre los límites x — 0 a 0.8. Recuerde que éste fue el mismo problema que resolvimos en el capítulo 21 con una variedad de formulaciones de Newton-Cotes. El valor exacto de la integral es 1.640533.

Solución. Antes de integrar la función, debemos realizar un cambio de variable para que los límites sean de — 1 a + 1 . Para ello, sustituimos a = 0 y ¿ = 0 .8en la ecuación (22.23) para obtener

x = 0.4 + 0.4A-d

La derivada de esta relación es [véase ecuación (22.24)]

I dx - 0.4 dxd

m Ambas ecuaciones pueden ser sustituidas en la ecuación original para dar

,•11.H

/ (0.2 I 2.\v 2()(h' I (>15.\J -900A' 4

+ 4 0 0 r , ) í / . A ' Jo = j [0.2 + 25(0.4 + 0Axd) - 200(0.4 + 0.4xdf + 675(0.4 + 0.4x,,) ; 1

- 900(0.4 + 0.4x¿) 4 + 400(0.4 + 0.4x í / ) 5 ]0.4 dxd

Por tanto, el lado derecho está en la forma adecuada para evaluación mediante cuadratura de Gauss. La función transformada se puede evaluar en — 1/V3 para ser igual a 0.516741 ven - 1 / V 3 para ser igual a 1.305837. Por tanto, la integral, de acuerdo con la ecuación (22.17), es

/ = 0.516741 + 1.305837 = 1.822578

la cual representa un error relativo porcentual de — 11.1 %. Este resultado es comparable en magnitud a la aplicación de cuatro segmentos de la regla trapezoidal (tabla 21.1) o a una simple aplicación de las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 (véase ejemplos 21.4 y 21.6). Es posible predecir este último resultado debido a que las reglas de Simpson son también de tercer orden de exactitud. Sin embargo, como se buscó una selección inteligente de los puntos base, la cuadratura de Gauss alcanza esta exactitud con base en sólo dos evaluaciones de la función.

T A B L A 22 . 1

P u n t o s

Factores de peso c y argumentos de la función x usados en las fórmulas de Gauss-Legendre.

Factores de peso

A rgumentos de la función


C 0 = 1.0000000 x o = - 0 . 5 7 7 3 5 0 2 6 9

C) = 1.0000000 = 0 . 5 7 7 3 5 0 2 6 9

C 0 = 0 .5555556 x o - 0 . 7 7 4 5 9 6 6 6 9 = 0 .8888889 x i = 0.0

c 2 = 0 .5555556 x 2 0 .774596669

co 0 .3478548 X 0 = - 0 . 8 6 1 1 3 6 3 1 2

C l = 0 .6521452 x l = - 0 . 3 3 9 9 8 1 0 4 4 c 2 = 0 .6521452 x 2 = 0 .339981044 c 3 = 0 .3478548 X 3 = 0 .861136312

C 0 = 0 .2369269 X 0 = - 0 . 9 0 6 1 7 9 8 4 6

C l = 0 .4786287 x l = - 0 . 5 3 8 4 6 9 3 1 0

C2 = 0 .5688889 x 2 = 0.0 c 3 = 0 .4786287 x 3 = 0 .538469310 C 4 = 0 .2369269 X 4 = 0 .906179846

Co 0 .1713245 X 0 - 0 . 9 3 2 4 6 9 5 1 4 c l = 0 .3607616 x l = - 0 . 6 6 1 2 0 9 3 8 6 c 2 = 0 .4679139 x 2 = - 0 . 2 3 8 6 1 9 1 8 6

c.'i - 0 .4679139 x 3 0 .238619186

CA -0 .360761 ó *A - 0 .661209386 - 0.1713245 x í - 0,9324695 M

6 6 0 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

2 2 . 3 . 3 Fórmulas de punto super ior

Más allá de la fórmula de dos puntos descrita en la sección anterior, se puede desarrollar versiones de punto superior en la forma general

/ = c 0 / ( j r 0 ) + c i / (* i ) + • • • + C „ _ , / ( J C „ _ I ) (22.25)

donde n = número de puntos. Los valores de las c y las x incluyendo la fórmula con seis puntos se resumen en la tabla 22.1.

EJEMPLO 22 .4 Fórmula de Gauss-Legendre de tres puntos

Enunciado del problema. Con la fórmula de tres puntos de la tabla 22.1 calcule la integral para la misma función que en el ejemplo 22.3.

Solución. De acuerdo con la tabla 22.1, la fórmula de tres puntos es

/ = 0.5555556/(-0.7745967) + 0.8888889/(0) + 0.5555556/(0.7745967)

la cual es igual a

/ = 0.2813013 + 0.8732444 + 0.4859876 = 1.640533

que es exacta.

Debido a que la cuadratura de Gauss requiere evaluaciones de la función en puntos espaciados uniformemente dentro del intervalo de integración, no es apropiada para casos donde la función se desconoce. Así, no es adecuada para problemas de ingeniería que tratan con datos tabulados. Sin embargo, cuando se conoce la función, su eficiencia puede ser una ventaja decisiva. Esto es en particular cierto cuando se debe realizar muchas evaluaciones de la integral.

EJEMPLO 22 .5 Aplicación de la cuadratura de Gauss al problema del paracaidista en caída

Enunciado del problema. En el ejemplo 21.3 se usó la regla trapezoidal de aplicación múltiple para evaluar

donde g = 9.8, c = 12.5 y m = 68.1. El valor exacto de la integral se determinó por cálculo y fue de 289.4351. Recuerde que la mejor estimación obtenida mediante la regla trapezoidal con 500 segmentos fue 289.4348 con un |e,| s 1.15 X 10" 4 %. Repita este cálculo usando la cuadratura de Gauss.

Solución. Después de modificar la función, se obtienen los siguientes resultados:

Estimación con dos puntos = 290.0145 Estimación con tres puntos = 289.4393

¡arrollar

(22.25)

con seis

ilcule la

)7)

i puntos para caería que íciencia zar mu

da

licación

linó por : la regla pita este

dos:

Estimación con CUBtm punto» 289.4352 Bstimiiclón con cinco puntoH 289.4351 Estimación con seis puntos 289.4351

Así, las estimaciones con c inco y seis puntos dan resultados que son exactos hasta la séptima cifra significativa.

2 2 . 3 . 4 Anál is is de er ror para la cuadratura de Gauss

El error para las fórmulas de Gauss-Legendre se especifica por lo general con (Carnahan y cois., 1969)

E, = 2 2 "+ 3 [(n + l ) ! ] 4

2 n + 2 ) ( g ) ( 2 2 2 6 )

(2 / i+ 3) [(2n + 2) !]-

donde n — número de puntos menos uno y/ ( 2 " + 2 ) (<^) = la (2« + 2)-ésima derivada de la función después del cambio de variable con ¿| localizada en algún lugar sobre el intervalo desde —1 a 1. Al comparar la ecuación (22.26) con la tabla 21.2 queda expuesta la superioridad de la cuadratura de Gauss sobre las fórmulas de Newton-Cotes, contando con que las derivadas de orden superior no aumenten sustancialmente con un incremento en ra. El problema 22.8 al final de este capítulo ilustra un caso donde las fórmulas de Gauss-Legendre tienen un desempeño pobre. En esas situaciones, sería preferible la api i -cación múltiple de la regla de Simpson o de integración de Romberg. Sin embargo, pura muchas funciones confrontadas en la práctica de la ingeniería, la cuadratura de Gauss proporciona un medio eficiente para la evaluación de las integrales.

2 2 . 4 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S

Hasta aquí, tratamos en forma exclusiva con integrales que tienen límites finitos c integrandos acotados. Aunque esos tipos son de uso común en ingeniería, habrá ocasiones en que se deba evaluar integrales impropias. En esta sección nos concentraremos en un tipo de integral impropia (es decir, una con un límite inferior de — °° y uno superior de + o o

Tales integrales a menudo pueden evaluarse realizando un cambio de variable que transforma el rango infinito en uno que es finito. La siguiente identidad sirve para este propósito y trabaja para cualquier función que disminuye hacia cero al menos tan rápido como l/x2 en tanto x se aproxima al infinito:

Í ' w * = . C M T ) ' " < 2 2 ' 2 7» para ab > 0. Por tanto, se puede usar sólo cuando a es positiva y b es °°, o cuando a es —o» y b es negativa. Para casos donde los límites son desde - « a u n valor positivo o desde un valor negativo a °°, la integral se implementa en dos pasos. Por ejemplo,

f[.\)dx-j f{x)dx\ \ JXx)dx (22.28)

%i J -nu J A

6 6 2 INTEORACIÓN DE ECUACIONES

donde —A se elige como un valor negativo lo suficientemente grande para que la función comience a aproximarse a cero en forma asintótica al menos tan rápido como 1/x2. Después la integral ha sido dividida en dos partes: la primera podrá evaluarse con la ecuación (22.27) y la segunda con una fórmula cerrada de Newton-Cotes tal como la regla de Simpson 1/3.

Un problema con el uso de la ecuación (22.27) para evaluar una integral es que la función trasformada será singular en uno de los límites. Pueden usarse las fórmulas de integración abierta para evitar este dilema en tanto nos permita la evaluación de la integral sin emplear datos en los puntos extremo del intervalo de integración. Para permitir la máxima flexibilidad, se requiere de una versión de aplicación múltiple de una de las fórmulas de la tabla 21.4.

Las versiones de aplicación múltiple de las fórmulas abiertas podrán confeccionarse mediante fórmulas cerradas para los segmentos interiores y fórmulas abiertas para los extremos. Por ejemplo, la regla trapezoidal de segmentos múltiples y la regla del punto medio se pueden combinar para dar

n - 2

r f(x) dx = h + £/(*<) [=2

Además, es posible desarrollar fórmulas semiabiertas para casos donde uno u otro extremo del intervalo es cerrado. Por ejemplo, una fórmula que es abierta en el límite inferior y cerrada en el superior está dada por «-i

f(x) dx = h (=2

Aunque se puede usar estas relaciones, una fórmula conveniente es (Press y cois., 1986)

/ " /(*) dx = h[f(xi/2) + f(x3/2) + ••• + f(xn-3/2) + f(x„-m)] (22.29)

J Xo la cual es conocida como la regla extendida de punto medio. Observe que esta fórmula se basa en los límites de integración que son k/2 después y antes del primer y último dato (véase figura 22.8).

EJEMPLO 22.6 Evaluación de una integral impropia

; Enunciado del problema. La distribución normal acumulativa es una fórmula importante en estadística (véase figura 22.9):

FIGURA 22 .8 Colocación de datos en relación con los límites de integración para la regla extendida de punto medio.

*i/2 %2 *6« *n-e/8 *n-3/2 *n-i« 1 — \ / I — I L _ 1 0 1

FIGURA 2 2 . 9 o) La distribución normal, b) la abscisa transformada en términos de la desviación normal estandarizada, y c) la distribución normal acumulativa. El área achurada en a) y el punto on c) representan la probabilidad de que un evento aleatorio sea menor que la media más una desviación estándar.

N(x) = (E22.6.I)

donde x = (y — y)lsy se llama desviación estándar normalizada. Representa un cambio de variable para escalar la distribución normal de tal forma que esté centrada en cero y lu distancia u lo largo de la abscisa sea medida en múltiplos de la desviación cstrindur (véase finura 22.%).

Le ecuación (E22.6.1) representa lu probabilidad de que un evento sea menor que x. P A R E J E M P L O , si x 1, la ecuación (1'.22,6.1) podrá usarse pura determinar que la proba-


| bilidad de ocurrencia de un evento es menor que una desviación estándar por arriba de la media es N(l) = 0.8413. En otras palabras, si ocurren 100 eventos, aproximadamente 84 serán menores que la media más una desviación estándar. Como la ecuación (E22.6.1) no puede evaluarse en una forma funcional simple, se resuelve numéricamente y se enlista en tablas de estadísticas. Use la ecuación (22.28) en conjunto con la regla de Simpson 1/3 y la regla extendida de punto medio para determinar numéricamente N(l).

Solución. La ecuación (E22.6.1) se puede expresar en términos de la ecuación (22.28) como

1 N{x) -Lf i'"'e-*2'2dx+ f e-x2'2dx\

V27T \J-oo J-2 / l l T t

La primera integral podrá evaluarse mediante la ecuación (22.27) para dar

- 2 . , 0 !

/" e-rl2dx= f \e~^2,¿)dt J-co J - l / 2 R ~

Después la regla extendida de punto medio con h = 1/8 se empleará para estimar 0 i , 1

^ dt = - [ / ( J C _ 7 / 1 6 ) + / ( - T - 5 / 1 6 ) + / ( * - 3 / l 6 ) + / U - l / 1 6 ) ] 1 / 2 '

= - [ 0 . 3 8 3 3 + 0 . 0 6 1 2 + 0 + 0 ] = 0 . 0 5 5 6

Es factible usar la regla de Simpson 1/3 con h = 0.5 para estimar la segunda integral como

e-*-'2 dx

0 . 1 3 5 3 + 4 ( 0 . 3 2 4 7 + 0 . 8 8 2 5 + 0 . 8 8 2 5 ) + 2 ( 0 . 6 0 6 5 + 1) + 0 . 6 0 6 5 _ [1 ( 2)]

3 ( 6 )

= 2 . 0 5 2 3

Por tanto, el resultado final se calculará como

7V(1) = --L:(0.0556 + 2 . 0 5 2 3 ) = 0 . 8 4 0 9 V 2 T T

la cual representa un error e, = 0.046%.

El cálculo anteriorpuede ser mejorado de diferentes maneras. Primero, se podría usar fórmulas de orden superior; por ejemplo, mediante una integración de Romberg. Segundo, puede usarse más puntos. Press y cois. (1986) exploran con detalle ambas opciones.

Además de los límites infinitos, hay otras formas en las cuales una integral puede ser impropia. Ejemplos comunes incluyen casos donde la integral es singular en los límites o en un punto dentro de lo integral. Press y cois. (1986) proporcionan un buen

« > análisis lobre lo» medioi par» meatâMiMtltuecionei,

PROBLEMA! ••-«^•PH »* 443

P R O B L E M A S

12,1 Uso la integración de Romberg para evaluar

^ ' (A• + \/x)2dx

I H I I I imu exactitud de es = 0.5%. Sus resultados deberán presen-Urso en la forma de la figura 22.3. Use el valor verdadero de 4. N113 para determinar el error verdadero e, del resultado que se nbliivo con la integración de Romberg. Verifique que e, sea menor que cl criterio de paro es. II.I Use la integración de Romberg para un orden de h s para pvuliiur

dx

compare ea y £,.

IZ. I Use la integración de Romberg para evaluar / Jú

é' sen A:

1 +X2

dx

con una exactitud del orden de h%. Sus resultados deberán pre-Nonturse en la forma de la figura 22.3. Z2.40btenga una aproximación de la integral del problema 22 .1 , pero uhora use las fórmulas de Gauss-Legendre con dos, tres y i'UHlro puntos. Calcule e, para cada caso con base en la solución analítica. 12.5 Obtenga una estimación de la integral del problema 22.2, pero uhora use las fórmulas de Gauss-Legendre con dos, tres y OilHtro puntos. Calcule e,para cada caso con base en la solución NIINIHICU. 111>( )btcnga un estimado de la integral del problema 22.3 me-illiinlo las fórmulas de Gauss-Legendre con seis puntos. ZZ,7 Realice el cálculo de los ejemplos 21.3 y 22.5 para el paracaidista en caída, pero ahora use la integración de Romberg (es

~ 0.01%).

ll.H limplee las fórmulas de Gauss-Legendre desde dos hasta N C I H puntos para resolver

dx I + 2x 2

Interprete sus resultados al compararlos con la ecuación (22.26). II.') Use integración numérica para evaluar las siguientes inte-lirulcs:

dx _

x(x + 2)

b)

c)

e y sen 2 y dy

r i i o (i + /x i + y^)

•dy

d) ( ye y dy

é) f 2 i e^dx

Observe que d) es la distribución normal (recuerde la figura 22.9). 22.10Desarrolle un programa en computadora de uso amigable para la regla trapezoidal de segmentos múltiples y para la regla de Simpson 1/3 con base en la figura 22.1. Pruébelo con la integración de

Jo A ° ' ( 1 . 2 - A)(l „20(Jf-l)

) dx

Use el valor verdadero de 0.0602297 para calcular e, para n •« 4. 22.11 Desarrolle un programa en computadora para la integración de Romberg con base en la figura 22.4. Pruébelo con lo» resultados de los ejemplos 22.3 y 22.4 y con la función en el problema 22.10. 22.12 Desarrolle un programa en computadora de uso amigables para la cuadratura de Gauss. Pruébelo con los resultados de ION ejemplos 22.3 y 22.4 y con la función en el problema 22.10. 22.13Use el programa que desarrolló en el problema 22.11 para resolver los problemas a) 22 .1 , b) 22.2 y c) 22.3. 22.14 Utilice el programa que desarrollo en el problema 22.12 para resolver los problemas á) 22.4, b) 22.5 y c) 22.6. 22.1 SDesarrolle un programa que implemente la regla extendida de punto medio en forma iterativa. Inicie las integraciones con una estimación inicial basada en un solo punto y con la regla de punto medio a partir de la tabla 21.4. Después aplique de manera sucesiva la ecuación (22.29) con el intervalo dividido entre 3 en cada etapa; esto es, h = (b — a)/3, (b - a)/9, (b — á)l27, etcétera. Observe que esto significa que un tercio de la función estimada habrá sido determinada en la iteración previa. Desarrolle m algoritmo de manera que capitalice esta propiedad. Ejecute iteraciones hasta que la aproximación del error estimado se encuentre por debajo de un criterio de paro preespecificado es. Pruebe el programa mediante la evaluación del ejemplo 22.6.

CAPÍTULO 23

Diferenciación numérica

En el capítulo 4 ya se introdujo la noción de diferenciación numérica. Recuerde que se emplearon las expansiones por serie de Taylor para deducir las aproximaciones de las derivadas por diferencias divididas finitas. En el capítulo 4 desarrollamos las aproximaciones de diferencias hacia adelante, hacia atrás y centradas de las derivadas primera y mayores. Recuerde que, en el mejor de los casos, esas estimaciones tienen errores que fueron 0(h2); es decir, sus errores fueron proporcionales al cuadrado de su tamaño de paso. Este nivel de exactitud se debe al número de términos de la serie de Taylor que fueron retenidos durante la deducción de esas fórmulas. Ahora ilustraremos cómo desarrollar fórmulas de mayor exactitud para retener más términos.

2 3 . 1 D I F E R E N C I A C I Ó N D E F Ó R M U L A S C O N A L T A E X A C T I T U D

Como se mencionó antes, se puede generar fórmulas por diferencias divididas de alta exactitud al incluir términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor. Por ejemplo, la expansión de la serie de Taylor hacia adelante podría escribirse como [véase ecuación (4.21)]

f(xi+i) = f(Xi) + f'(x,)h + t-^-h1 (23.1)

la cual puede resolverse para

(23.2)

En el capítulo 4 truncamos este resultado al excluir los términos de la segunda derivada y superiores y nos quedamos con un resultado final de

fXx¡) = Kxi+¿-m + 0(h) (23.3)

En contraste con este procedimiento, ahora retenemos el término de la segunda derivada al sustituir la siguiente aproximación de ésta [recuerde la ecuación (4.24)]

h2

en la ecuación (23.2) para dar

/ U / + 1 ) - / ( * < ) JlhrO • 2f(x¡u) + f(xi) h f ¡ R ~

h + 0(h2)

(23.4)

23.1

[ ALTA'lXACTIlUD Primora dsrlvndn

F I G U R A 2 3 . 1 fórmulas por diferencias divididas finitas hacia adelante: se presentan dos versiones para cada derivada. La última versión incorpora más términos de la serie de expansión de Taylor y, en consecuencia, es más exacta.

f'lx

' I M I I ' W

21,

Segunda derivada

f ( x , + 2 ) - 2 f ( x i + 1 ) + f(x,|

h2

~f(x,+ 3) + 4 f ( x , + 2 ) - 5 f | x í + 1 ) + 2f(xJ

Tercera derivada

f ( x i + 3 | - 3 f ( x i + 2 ] + 3 f ( x i + 1 ) - f ( x i ) f"'(x

f"U) = h3 -3f[x,+4| + 14f(xi+3) - 24f|x;+2) + 1 8f|x,-+i) - 5f[x¡¡

2h3

Cuarta derivada

f|x, + 4) - 4 f (x í + 3 ) + 6f (x ( + 2 ) - 4 f | x i + 1 ) + Hx¡) f"""M ••

h4

-2í{xl+5) + 1 1 f(x,-+4) - 24f |x , + 3 ) + 26f(x , + 2 l - 14f(x,-+1) + 3f(x,[

I I K I I

Oih) Ol/r'l

Oih) íW) Oih]

0{li')

F I G U R A 2 3 . 2 fórmulas por diferencias divididas finitas hacia atrás: so presentan dos versiones pura cada derivada. La úlllma versión incorpora más lóiminos de la serie de oxpunsión de Taylor y, en i onsecuencia, es más nxncta.

Primera derivada

3f|x,-)-4f(x,--i) + f(x,_2) 2h

Segunda derivada

f k ) - 2 f ( x ( _ , | + f |x (_ 2 |

f'W = ; h2

2f|x,)-5f|x,-i) + 4f|x i-2)-f|x,-- 3) h2

Tercera derivada

f ( x ¡ ) - 3 í [ x i _ , ] + 3f lx ;_ 2|-/ :|x ,-_3) í'"(x h3

,,„, , _ 5f\x,)- 18f |x ; l i l + 24 í|x , _ 2 l - 14f|x,-_3) + 3f|x,_4| 1 , 1 " 2i?

Cuarta derivada

Í M Al{x, ,1 + 6/lx, ,) 4/(x, ,| I /(*, „| 1 , 1 1 " /i"

,„„, . Mf>.| M/(x, ,] | ;MM\, ,| | I l í |x, „] y/{«, .,|

I i. ii 0(/,|

o\hJ)

0{h)

o[h)

Ü[h)

668 DlFIMNCIACIÓN NUMÉRICA

l'rlmoui dorlvada fc'rror

p(x.) = + 8f(x, + i) - 8f(x,-]| + f|x,-_2) 0 ( f ) 4 )

12/)

Segunda derivada

p'(Xjj = ^k+i) - 2f(x,-) + f|x,_i) 0 ^ 2 j

f»i .1 _ - ^ , + 2 ) + 16f|x,+1) - 30f|x,| + 16f(x f_]) - f|x,-2| n | , 4 , Mx,-|- ] 2 h 2

Tercera derivada

p"(x¡) = f(x¡+2) - 2f(x¡+]| + 2f(x,- l| - f(x,_2| 0 ^ 2 ) 2f i 3

p„ ( X i ) = - f j x , + 3 ) + 8f|x,+2) - 1 3f|x,+1) + 1 3f(x,_)) - 8f[x,--2) + f(x,--3) 0 ( / i 4 )

Cuarta derivada

p"<(x.) = ^ IXÍ+2) - 4 f (x í + i ) + 6f(x,) - 4f(xi_i| 4- f|x,_2) 0 ( / í 2 j

f i 4

f , „ f | ; ; ) __ - f ( x , + 3 ] + 12f(x,+ 2| - 39f(x ; + 1 | + 56f(x,| - 39í(x,_i| + 12f(x,- 2 l + f(x,_3| ^

F I G U R A 2 3 . 3

Fórmulas por diferencias divididas finitas centradas: se presentan dos versiones para cada derivada. La última versión incorpora más términos de la serie de expansión de Taylor y, en consecuencia, es más exacta.

o, al agrupar términos,

f X x ¡ ) = -^)+y-3Ax» + 0 ( h 2 )

2h

Observe que la inclusión del término de la segunda derivada mejoró la exactitud en 0{h2). Se puede desarrollar versiones mejoradas similares para las fórmulas hacia atrás y centradas, así como para las aproximaciones de derivadas superiores. Las fórmulas se resumen en las figuras 23.1 a 23.3 junto con los resultados del capítulo 4. El siguiente ejemplo ilustra la utilidad de esas fórmulas para la estimación de las derivadas.

EJEMPLO 23.1 Diferenciación de fórmulas de alta exactitud

Enunciado del problema. Recuerde que en el ejemplo 4.4 estimamos la derivada de

f(x) = -O.lx4 - 0 . 1 5 J C 3 - 0 .5JT 2 - 0.25x + 1.2

enjjx • O.S^sando diferencias djvldidaí finitas y un tamaño de paso de h = 0.25,

23.2 JE

(23.5)

Hacia cUlanta O(h)

Hacia a t r á s O(h)

Centrada

Estimación -26.5

- 0 . 7 1 4 21.7

0.934 -2.4

donde los errores fueron calculados con base en el valor verdadero de —0.9125. Repita este cálculo, pero ahora emplee fórmulas de alta exactitud a partir de las figuras 23.1 a la 23.3.

Solución. Los datos necesarios para este ejemplo son

x¡-2 = 0 / ( x , _ 2 ) = 1.2

JC,-_I = 0.25 / ( J C , - _ I ) = 1.103516

x, = 0.5 f(x¡) = 0.925

A- ,+1 = 0.75 ) = 0.6363281

xi+2 = 1 f(xi+2) = 0.2

La diferencia hacia adelante de exactitud 0(h2) se calcula como (véase figura 23.1)

-0.2 + 4(0.6363281) - 3(0.925) / '(0.5) = -0.859375 £, = 5.82%

2(0.25)

La diferencia hacia atrás de exactitud 0(h2) se calcula como (véase figura 23.2)

3(0.925) -4(1.035156) + 1.2 f (0.5) = -0.878125 3.77%

2(0.25)

La diferencia centrada de exactitud 0(h4) se calcula como (véase figura 23.3)

- 0 . 2 + 8(0 .6363281)- 8 1.035156) + 1.2 / '(0.5) = — — — — = -0 .9125 J 12(0.25) E, = 0% Como se esperaba, los errores para las diferencias hacia adelante y hacia atrás son

considerablemente más exactas que los resultados del ejemplo 3.13. Sin embargo, de manera sorprendente, la diferencia centrada da un resultado perfecto. Esto es porque las fórmulas que se basan en la serie de Taylor son equivalentes a los polinomios que pasan a través de los puntos.

2 3 . 2 E X T R A P O L A C I Ó N D E R I C H A R D S O N

i

Hasta aquí hemos visto que hay dos formas para mejorar la estimación de las derivadas cuando se empican diferencias divididas finitas: 1) disminuir el tamaño de paso o 2) con una fórmula de orden superior que emplee más puntos. Un tercer procedimiento, basado en la extrapolación do Riehardson, usu dos estimaciones de la derivada para calcular una tercera aproximación más exacta.

670 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

Recuerde de la sección 22,1.1 que la extrapolación de Riehardson proporciona un medio para obtener una estimación mejorada de la integral / por medio de la Fórmula [véase ecuación (22.4)]

/ ^l(h2)+ 1 [ / f e ) - / ( / » ! ) ] (23.6)

(h\/h2Y - 1 donde I(hx) e I(h2) son estimaciones de la integral usando dos tamaños de paso hx y h2. Debido a su conveniencia cuando se expresa como un algoritmo de cómputo, esta fórmula es usualmente escrita para el caso en el que h2 = hxl2, como en

I = P(h2)-~I(hl) (23.7)

De manera similar, la ecuación (23.7) se escribirá para las derivadas como

; D = \D(h2)-\DQix) (23.8) / | i 5

Para aproximaciones por diferencias centradas con 0{h2), la aplicación de esta fórmula dará una nueva estimación de la derivada de 0(/¡ 4).

EJEMPLO 23 .2 Extrapolación de Riehardson

Enunciado del problema. Usando la misma función que en el ejemplo 23.1, estime la primera derivada en x — 0.5 empleando tamaños de paso de hx — 0.5 y h2 = 0.25. Después use la ecuación (23.8) para calcular una estimación mejorada con la extrapolación de Riehardson. Recuerde que el valor verdadero es —0.9125.

Solución. Las estimaciones de la primera derivada podrán calcularse con diferencias centradas como

0 . 2 - 1 . 2 D(0.5) = - - = - 1 . 0 e, = - 9 . 6 %

y

0.6363281 - 1.103516 „„„ c n

D(0.25) = — = -0.934375 e, = - 2 . 4 %

La estimación mejorada puede determinarse al aplicar la ecuación (23.8) para obtener

4 1 D = - ( -0 .934375) - - ( - 1 ) = -0 .9125

que para el caso actual es un resultado perfecto.

El ejemplo anterior dio un resultado perfecto pues la función sujeta a análisis fue un polinomio de cuarto orden. El resultado perfecto se debió al hecho de que la extrapolación de Riehardson es en realidad equivalente al ajuste de un polinomio de orden superior a

23.3 4 W

Ira vés de lo» ditlo» para después evaluar las derivadas por dit'orencius divididus centradas. Así, el C M O actual aJuNta la derivada del polinomio de cuarto orden en forma precisa. Para la mayoría do las otras funciones, por supuesto, esto no podría ocurrir y nuestra estimación de lu derivada podría ser mejorada, pero no perfecta. En consecuencia, como fue el caso para la aplicación de la extrapolación de Riehardson, el procedimiento puede aplicarse de manera iterativa mediante un algoritmo Romberg hasta que el resultado se halle en un criterio de error aceptable.

2 3 . 3 D E R I V A D A S D E D A T O S D E S I G U A L M E N T E E S P A C I A D O S

Los procedimientos analizados hasta ahora se encuentran diseñados principalmente para determinar la derivada de una función dada. Para las aproximaciones por diferencias divididas finitas de la sección 23.1, los datos debían estar uniformemente espaciados. Para la técnica de extrapolación de Riehardson, los datos teman que encontrarse espaciados uniformemente y generados en forma sucesiva para intervalos a la mitad. Tal control de espaciamiento de datos está a menudo disponible sólo en casos donde podemos usar una función para generar una tabla de valores.

En contraste, la información derivada de manera empírica (es decir, datos a partir de experimentos o estudios de campo) es con frecuencia agrupada en intervalos iguales, Tal información no puede ser analizada con las técnicas estudiadas hasta ahora.

Una manera para manejar datos desigualmente espaciados es mediante el ajuste de una interpolación polinomial de Lagrange de segundo orden [recuerde la ecuación (18.23)] para cada conjunto de tres puntos adyacentes. Recuerde que este polinomio no requiere que los puntos estén igualmente espaciados. El polinomio de segundo orden se puede diferenciar analíticamente para dar

f'(x) =/(*,-!)

+ /(*/ + !)

2x - x, -Xj+i

(Xi-i - Xi)(x¡-\ - Xi + i)

2x — Xj-\ — x¡

f(x¡) 2x — Xj-i — x¡+]

(Xj -x¡-i)(x¡ - x i + i)

(Xi + i -Xi-i)(xi + i -x¡) (23.9)

donde x es el valor en el cual se quiere estimar la derivada. Aunque esta ecuación es ciertamente más complicada que las aproximaciones de la primera derivada de las figuras 23.1 a la 23.3, tiene importantes ventajas. Primero, se puede usar para estimar lu derivada en cualquier punto dentro de un rango preescrito por los tres puntos. Segundo, los mismos puntos no tienen que estar igualmente espaciados. Tercero, la estimación de la derivada es de la misma exactitud que la diferencia centrada [véase ecuación (4.22)]. De hecho, para puntos igualmente espaciados, la ecuación (23.9) evaluada en x — x, se reduce a la ecuación (4.22).

EJEMPLO 23 .3 Diferenciación de datos desigualmente espaciados

Enunciado del problema. Como en la figura 23.4, un gradiente de temperatura se puede medir abajo en el suelo. El flujo de calor en la interface suelo-aire puedo ser calculada con la ley de Fourier,

</(.- - 0) = -kpC (IT Ti


Aire 10 12 13.5 r(°C) -, , f • Suelo 1.25

3.75

7, cmt F I G U R A 2 3 . 4 Temperatura contra profundidad en el suelo.

donde q = flujo de calor (W/m 2), k — coeficiente de difusividad térmica en el suelo ( = 3.5 X 10~7 m 2/s), p = densidad del suelo (= 1 800 kg/m 3) y C — calor específico del suelo (ss 840 J/(kg • °C). Observe que un valor positivo del flujo significa que el calor se transfiere del aire al suelo. Use diferenciación numérica para evaluar el gradiente en la interface suelo-aire y emplee dicha estimación para determinar el flujo de calor hacia el piso.

Solución. La ecuación (23.9) se puede usar para calcular la derivada como

/'(,) =13.5 W > - l - * - 3 - 7 5 + 1 2 2(0)-0-3.75 + 10

(0 - 1.25)(0- 3.75) (1.25 -0)(1.25 - 3.75) 2(0) -0 - 1.25 (3.75 - 0) (3.75 - 1.25) 14.4 + 14.4 - 1.333333 = -1.333333 °C/cm

este valor puede ser usado para calcular el flujo de calor (advierta que 1 W = 1 J/s),

ai; = 0) = -3.5 x 10" (l 800§) (840^) (-133.3333) = 70.56 W/m 2

23.4 DERIVADAS E I N T E G R A L E S PARA DATOS C O N E R R O R E S

Además de espacios desiguales, otro problema que se vincula con la diferenciación empírica de datos es lo que usualmente incluye error de medición. Un defecto de la diferenciación numérica es que tiende a amplificar los errores en los datos. La figura 23.5 a muestra datos uniformes sin errores que ul ser diferenciados en forma numérica dan un rosultado uniforme (véase figura 23.36). fin contraste, la figura 23,Se usa los mismos

23.4 BATOS CON B M 0 R E 3 M '4-

F I G U R A 2 3 . 5 llir.tn II I O N de cómo se I M I ilili> nn los pequeños M I L >i• • •. I M I los datos por Mitiillu do la diferenciación iiiiiin''ik_u: a) datos sin error, /'| |I I i lifeienciación I I I I I I N ' ' i i i a resultante, c) datos un I> liíir cados ligeramente, i /) li I dilerenciación irv.iilianio manifestando un I I U I N I ' r i l n en la variabilidad. I I I I mitraste, la operación I M V I ' I M I de integración | I M ivióndose de d) a c) al

li ii <;l área bajo d}] tiende 11 I ILI ' I I U A R o suavizar los M U M I un los datos.

datos, pero con algunos puntos altos y algunos ligeramente bajos. Esta pequeña modifi cación es apenas aparente en la figura 23.5c. Sin embargo, el efecto resultante en la figura 23.5d es significativo, ya que el proceso de diferenciación amplifica los errorcN.

Como se esperaba, el principal procedimiento para determinar derivadas para dalos imprecisos es usar regresión por mínimos cuadrados para ajustar una función suave diferenciable con los datos. En ausencia de cualquier otra información, una regresión polinomial de orden inferior podría ser una buena primera selección. Obviamente, si lu relación funcional entre las variables dependiente e independiente es conocida, esta rclu ción deberá formar la base para el ajuste por mínimos cuadrados.

2 3 . 4 . 1 DIFERENCIACIÓN CONTRA INTEGRACIÓN D E D A T O S INCIERTOS

Como las técnicas de ajuste de curvas, la regresión se puede usar para diferenciar dalos inciertos, un proceso similar podría emplearse para integración. Sin embargo, debido a la diferencia en estabilidad entre diferenciación e integración, esto se hace en raras ocn siones.

Como se ilustró en la figura 23.5, la diferenciación tiende a ser inestable; es decir, amplifica los errores. En contraste, cl hecho tic que la integración sea un proceso que involucra In suma de términos tiende n hacerlo muy consecuente con respecto a dalos Inciertns. En esencia, como se suman los punios para una integral, los errores alentónos poMll lvo y negativo tienden a cancelarse. En contraste, debido n que lu diferenciación es UNA RUilrieeión, los errores aleatorios positivo y negativo tienden a sumarse.

674

2 3 . 5 I N T E G R A C I Ó N / D I F E R E N C I A C I Ó N N U M É R I C A C O N L I B R E R Í A S Y P A Q U E T E S

En la actualidad hay librerías y paquetes de software que contienen grandes capacidades para integración y diferenciación numérica. En esta sección le daremos una muestra de las más útiles.

Mathcad tiene operadores que realizan integración y diferenciación numérica. Éstos emplean y son similares a los símbolos matemáticos tradicionales que usted ha usado desde sus estudios en el nivel medio superior o en el primer semestre de licenciatura.

El operador de integración usa una secuencia de evaluaciones de la integral, para lo cual utiliza la regla trapezoidal y el algoritmo de Romberg. Se realizan iteraciones hasta que los resultados sucesivos varían menos que TOL. El operador de la derivada usa un método similar para calcular las derivadas entre un orden de 0 y 5. Este operador crea una tabla de aproximaciones con base en cálculos por diferencias divididas mediante varios pasos y tamaños de paso. Se usan las técnicas de extrapolación con el fin de estimar los valores para un tamaño de paso cero de una manera que se parece al método de Riehardson.

La figura 23.6 muestra un ejemplo de Mathcad donde f(x) se crea con el símbolo definido (: =0, y entonces la integral se calcula sobre un rango que va de x = 0 a x = 0.8. En este caso, usamos un polinomio simple, el cual empleamos en todo el capítulo 21. Observe que el rango lo han definido las variables a y b como entrada usando el símbolo de definición.

La figura 23.7 muestra un ejemplo de Mathcad donde f(x) es creado mediante un símbolo de definición (: = ) y entonces la primera y tercera derivadas se calculan en un punto donde x = - 6 . Observe que la localización del punto y el orden de la derivada son introducidos mediante el símbolo de definición.

2 3 . 5 . 1 Mathcad

F I G U R A 2 3 . 6 Pantalla de Mathcad para determinar la integral de un polinomio por medio de integración de Romberg.

File Edit View Jnsert Format Main Symbollcs Window Help NUMERICALLY CALCÚLATE INTEGRALS Enter a function: -f(x) := 0.2+25x-200.x2+675x3-900x4+400xJ

Enter integralion interval: a :=0 b := 0.8 Numcrical integral:

23.5 INIIJPJJGPCIACLÁN NUMÉRICA CON LIBRERÍAS 4M

2 3 . 5 . 2 MATLAB

MATLAB tiene una variedad de funciones prediseñadas que permiten integrar y diferenciar funciones y datos. El siguiente ejemplo ilustra cómo se puede usar algunas de ellas.

EJEMPLO 23 .4 Usando MATLAB para integración y diferenciación

Enunciado del problema. Explore cómo MATLAB puede emplearse para integrur y diferenciar la función

f(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x 4 + 400x 5

desde a — 0 hasta b — 0.8. Recuerde de los capítulos 21 y 22 que el valor verdadero de la integral podrá determinarse en forma analítica para ser 1.640533.

Solución. Primero, usaremos la función quad del MATLAB para integrar la función. Para usar quad, primero desarrollamos un archivo M que contendrá la función. Por medio de un editor de textos podemos crear el siguiente archivo:

f u n c t i o n y = f x ( x ) y = 0 . 2 + 2 5 * x - 2 0 0 * x . A 2 + 6 7 5 * x . A 3 - 9 0 0 * x . A 4 + 4 0 0 * x . A 5 ;

Éste puede guardarse en el directorio de MATLAB como fx.m. Después de entrar a MATLAB, podemos llamar a quad tecleando

> > Q = q u a d ( ' f x ' , 0 , . 8 )

donde la segunda y tercera entradas son los límites de integración. El resultado es

a = 1 . 6 4 0 5

Asi, MATLAB proporciona una estimación exacta de la integral. Ahora investiguemos cómo MATLAB maneja integrales de datos tabulados. Para

ello, repetiremos el ejemplo 21.7, donde probarnos la función en intervalos desiguales

6 7 6 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

(recuerde la tabla 21.3). Podemos generar la misma información en MATLAB al definir primero los valores de la variable independiente,

> > x=C0 .12 . 22 . 32 . 3 6 .4 . 44 . 5 4 .64 .7 .SI;

Después, generamos un vector y que contiene los valores correspondientes de la variable dependiente al llamar a fx,

> > y = f x ( x )

y = Co L u m n s 1 t h r o u g h 7

0 . 2 0 0 0 1 . 3 0 9 7 1 .3052 1 . 7 4 3 4 2 . 0 7 4 9 2 . 4 5 6 0 2 . 8 4 3 0

C o l u m n s 8 t h r o u g h 11 3 . 5 0 7 3 3 . 1 8 1 9 2 . 3 6 3 0 0 . 2 3 2 0

Podemos integrar esos valores al llamar a la función trapz,

>> i n t e g r a L = t r a p z ( x , y )

i n t e g r a l = 1 . 5 9 4 8

trapz, como implica su nombre, aplica la regla trapezoidal a cada intervalo y suma los resultados para obtener la integral total.

Por último, podemos diferenciar los datos espaciados desigualmente en x y y. Para ello usamos la función diff, la cual sólo determina las diferencias entre los elementos adyacentes de un vector, por ejemplo,

> > d i f f ( x )

a n s = C o L u m n s 1 t h r o u g h 7

0 . 1 2 0 0 0 . 1 0 0 0 0 . 1 0 0 0 0 . 0 4 0 0 0 . 0 4 0 0 0 . 0 4 0 0 0 . 1 0 0 0 C o L u m n s 8 t h r o u g h 10

0 . 1 0 0 0 0 . 0 6 0 0 0 . 1 0 0 0

El resultado representa las diferencias entre cada par de elementos de x. Para calcular las aproximaciones por diferencias divididas de la derivada, realizamos sólo una división del vector de las diferencias y entre las diferencias x al teclear

> > d = d i f f ( y ) . / d i f f ( x )

con la cual se obtiene

d = C o L u m n s 1 t h r o u g h 7

9 . 2 4 7 7 - 0 . 0 4 4 9 4 . 3 8 1 5 8 . 2 8 7 7 9 . 5 2 7 4 9 . 6 7 4 6 6 . 6 4 3 1 C o L u m n s 8 t h r o u g h 10

- 3 . 2 5 3 7 - 1 3 . 6 4 8 8 - 2 1 . 3 1 0 0

Estas representan estimaciones burdas de las derivadas para cada intervalo. Tal procedimiento podría refinarse mediante capuciamientos más finos.

TABLA 2 3 . 1 Rutlnai IMSL poro I n o r a r y diferenciar. Categoría Ru t inas Capacidad

Cuadratura univariable

Cuadratura multidimensional

Reglas de Gauss y recurrencias de tres términos

QDAG QDAGP QDAGI QDAWO QDAWF QDAWS

QDAWC QDNG

TWODQ QAND

GQRUL GQRCF

RECCF RECQR FQRUL

Adaptativa de propósito general con singulaildadi» on puntos extremos

Adaptativa de propósito general Adaptativa de propósito general con puntos de singulaikkid Adaptativa de propósito general con intervalos Infinito», Adaptativa con oscilación ponderada (trigonométrico) Adaptativa de Fourier ponderada (trigonométrica) Adaptativa algebraica ponderada con singularidad»» un

puntos extremo Adaptativa de Cauchy ponderada con valor principal No adaptativa de propósito general

Cuadratura bidimensional (integral iterada) Adaptativa cuadratura N-dimensional sobre un

hiperrectángulo

Regla cuadratura de Gauss para pesos clásicos Regla cuadratura de Gauss a partir de coeficientes dt>

recurrencia Coeficientes de recurrencia para pesos clásicos Coeficientes de recurrencia a partir de la regla de cuadralim i Regla de cuadratura de Fejer

Diferenciación DERIV Aproximación a la primera, segunda y tercera derivado

23.5.3 I M S L

IMSL tiene varias rutinas para integración y diferenciación (véase tabla 23.1). En cl presente análisis, nos concentraremos en la rutina QDAG. Dicha rutina integra una función por medio de un esquema adaptable en forma global basado en las reglas Gauss-Kronrod.

QDAG se implementa con la siguiente declaración CALL:

C A L L Q D A G ( F , A , B , E R R A B S , E R R R E L , I R U L E , R E S U L T , E R R E S T )

donde F = Función que introduce el usuario para que sea integrada. La forma es F(X), donde X es la variable independiente. Observe que F se debe declarar como EXTERNAL en el programa de llamado.

A = Límite inferior de integración. (Entrada) D = Límite superior de integración. (Entrada) HRRA13S — Exactitud absoluta deseada. (Entrada) ERRREL — Exactitud relativa descada. (Entrada) IliULE Selección de la regla de cuadratura. (Entrada). IRULE 2 se re

comienda para la mayoría de las funciono», Sí la función tiene una


singularidad pico, use IRULE = 1; si la función es oscilatoria, IRULE = 6.

RESULT = Estimación de la integral desde A a B de F. (Salida) ERREST = Estimación del valor absoluto del error. (Salida)

EJEMPLO 23 .5 Usando IMSL para integrar una función

I Enunciado del problema. Use QDAG para determinar la integral de i

j f(x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400* 5

| desde a = 0 a b = 0.8. Recuerde de los capítulos 21 y 22 que el valor exacto de la I integral se puede determinar en forma analítica para que sea de 1.640533. j 1 | Solución. Un ejemplo del programa principal en Fortran 90 y de ia función QDAG que \ se usa para resolver este problema se describirá como I j PROGRAM Intégrate I | USE mimsl

j IMPLICIT NONE í INTEGER : : i ru le = 1 | REAL::a=0.,b=0.8,errabs=0.0.errrel=0.001 j REAL::errest,res,f | EXTERNAL f í | CALL QDAG (f,a,errabs,errrel,irule,res,errest) I ¡ PRINT •(•' Computed = , I , F 8 . 4 ) ' , res \ PRINT ' (• ' Error estímate =' ' , 1PE10 . 3 ) ' , errest

jj END PROGRAM

\ FUNCTION f(x) ¡ IMPLICIT NONE

REAL::x,f f = 0 . 2 + 25. *X-200.*X**2 + 675.*X**3.-900.*X**4 + 400.*X**5 I END FUNCTION Output:

Computed = 1.6405 Error estímate = 5.000E-05

P R O B L E M A S

23.1 Calcule aproximaciones por diferencias hacia adelante y hacia atrás de 0(h) y 0(h2), y aproximaciones por diferencia central de 0(h2) y 0(h4) para la primera derivada dc>> = sen x en x = rc/4 usando un valor de h — Jtí\2. Estimo cl error relativo porcentual e, pura cada aproximación.

23.2 Repita el problema 23.1, pero ahora para y = log x con evaluación en x — 20 con h = 2. 23.3 Use aproximaciones por diferencias centradas para estimar la prímoru y segunda derivadas de y = c v en x — I pura h ~ 0.1. UmplM ambaí fórmulas 0{h2) y ü(hA) para sus estimaciones.

1,1.41 Isc la extrapolación de Riehardson puní O N I I I I I H I ' lu primera Ivailn de y = sen x en x = TtIA mediante el uso tic luniaftos paNo de //, = 7t/3 y h2 = TI/6. Emplee diferencias centradas do

fi(/i )) para las estimaciones iniciales. 1,1.ñ Repita ol problema 23.4, pero ahora para la primera derivaD A ti» In x on x = 4 usando hy = 2 y / i 2 = 1. 1.1.A límplec la ecuación (23.9) para determinar la primera deriVADA ilo y = 3x4

— 7x 3 — lOx — 8 en JC = 0 con base en los VALORES .r() = —0.5,xl = 1 yx2 = 2. Compare este resultado con AL valor verdadero y con una estimación obtenida usando aproximaciones por diferencias centradas con base en h = 1. 11.7 Pruebe que para datos igualmente espaciados, la ecuación ( ) t ' ) ) so reduce a la ecuación (4.22) en x = x¡. I ' . H ( alcule las aproximaciones por diferencias centradas de primer orden de 0(h4) para cada una de las siguientes funciones en In ubicación especificada y para el tamaño de paso especifico: x3 + 4x-l5 enx = 0, h = 0.5 I» V) y = x eos x y y = tan (x/3) = sen (0.5 íx)lx

e n * = 0.5, h = 0.2 en x = 3, h = 0.1 en x = 1, h = 0.1

,)> = e* + x e n * = 1, h = 0.25 Í 1 . ( > I ,os siguientes datos se reunieron para la distancia recorrida contra el tiempo para un cohete:

0 2 3 4 5

0 2 8 18 32 50

I Isc diferenciación numérica para estimar la velocidad del cohelo y la aceleración para cada tiempo. 1.1.10 Desarrolle un subprograma de uso amigable con el fin de api ¡car un algoritmo de Romberg para estimar la derivada de una Función dada. 1 \. 11 Desarrolle un subprograma de uso amigable para obtener

1.2 3 7

1.807 0 .7468 0 .6522 0.1684 0 .03192

donde f(x) = 5e~xx. Compare sus resultados con las derivadas verdaderas. 2 3 . 1 2 Recuerde que para el problema del paracaidista en caldu, la velocidad está dada por

( 9.8) ( 68.1) _ ( 1 2 , / 6 8 , , 12.5 '

y la distancia recorrida se puede obtener por

d(t)=(l^f{l_e-m)dt t¿--> Jo

( P 2 3 . 1 2 A )

( P 2 3 . 1 2 A )

a) Use Mathcad para integrar la ecuación (P23.12a) desde t » OalO.

b) Integre en forma analítica la ecuación (P23.126) con la condición inicial d = 0 en t = 0. Evalúe el resultado en / = 10 para confirmar a). c) Use Mathcad para diferenciar la ecuación (P23.12b) en / » 10.

d) Evalúe la ecuación (P23.12a) en / = 10 para confirmare). 2 3 . 1 3 La distribución normal se define como

/(*) = 1 ~x¿/2

1 a l y a) Use Mathcad para integrar esta función desde x = desde —2 a 2.

b) Emplee Mathcad para determinar el punto de inflexión do esta función. Como la función es simétrica, limite su análisis para la x positiva.

la estimación de la primera derivada para datos espaciados des- 2 3 . 1 4 Use la función quad de MATLAB para integrar la ecuu-igualmente. Pruébelo con los siguientes datos

ción (P23.12a) desde t = 0 a 10. 2 3 . 1 5 Los siguientes datos se generaron a partir de la distribución normal:

X - 2 - 1 . 5 - 1 -0 .5 0 0.5 1 1.5 2

f(x) 0 .053991 0 .129518 0 .241971 0 .352065 0 .398942 0 .352065 0 .241971 0 .12951 3 0 .053991

a) Use MATLAB para integrar estos datos desde x = — 1 a 1 y desde —2 a 2.

b) Emplee MATLAB para estimar los puntos de inflexión de esos datos.

2 3 . 1 6 Use IMSL para integrar la distribución normal (véase cl problema 23.13) desde* = - I a 1 , desde - 2 a 2 y desde - 3 a 3 .

CAPITULO 2 4

A p l i c a c i o n e s en la i ngen ie r í a : i n teg rac ión numér i ca y d i f e renc iac i ón

El propósito del presente capítulo es aplicar los métodos de integración y diferenciación numérica, expuestos en la parte seis, a problemas prácticos de la ingeniería. Se mencionarán dos de las situaciones de ocurrencia más frecuente. En el caso de los métodos de integración, se puede expresar la función sujeta a estudio en forma analítica pero es muy complicada para que esté lista a evaluarse mediante los métodos de cálculo. Se aplican los métodos numéricos a situaciones de este tipo por medio de la expresión analítica con el fin de generar una tabla de argumentos y valores de función. En el segundo caso, la función que habrá de evaluarse se halla inherentemente en forma tabular. Este tipo de función a menudo representa una serie de mediciones, observaciones o alguna otra información empírica. Los datos para cualquiera de los casos son compatibles directamente con diferentes esquemas analizados en esta parte del libro.

La sección 24.1, que trata con cálculos de calor en la ingeniería química, involucra ecuaciones. En esta aplicación, una función analítica se integra en forma numérica con el fin de determinar el calor requerido para aumentar la temperatura de un material.

Las secciones 24.2 y 24.3 también involucran funciones que están disponibles en forma de ecuación. La sección 24.2, la cual se toma de la ingeniería civil, usa integración numérica para determinar la fuerza total del viento que actúa sobre el mástil de un bote de carreras. La sección 24.3 determina la raíz media cuadrática de la corriente para un circuito eléctrico. Este ejemplo se usa para demostrar la utilidad de la integración de Romberg y la cuadratura de Gauss.

La sección 24.4 se concentra en el análisis de información tabular para determinar el trabajo necesario para mover un bloque. Aunque esta aplicación tiene una conexión directa con la ingeniería mecánica, se relaciona con todas las otras áreas de la ingeniería. Entre otras cosas, usamos este ejemplo para ilustrar la integración de datos espaciados desigualmente.

2 4 . 1 I N T E G R A C I Ó N P A R A D E T E R M I N A R L A C A N T I D A D T O T A L D E C A L O R ( I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A / P E T R O L E R A )

Antecedentes. Se emplean cálculos de calor en forma rutinaria en la ingeniería química y petrolera así como en muchos otros campos de la ingeniería. Esta aplicación proporciona un simple pero útil ejemplo de tales cálculos.

La determinación de la cantidad de calor requerido para elevar la temperatura de un material es un problema con el que tratamos frecuentemente. La característica necesaria

' 24J 1|^^^^•pp íC r MIW^^ LA'CWTIDID'TOTAL DE CALOR

para llevar l cabo este cálculo es la capacidad calorífica c, lisie parámetro representa la cantidad de calor requerida para aumentar una unidad de temperatura a una masu unitaria. Si c es constante sobro el rango de temperaturas sujetas a examen, el calor requerido AH (en calorías) se puede calcular por

AH=mcAT - (24.1)

donde c tiene unidades de cal/(g • °C), m = masa (g) y AT = cambio en temperatura (°C). Por ejemplo, la cantidad de calor necesario para aumentar a 20 gramos de agua desde 5 a 10°C es igual a

AH = 20(1)(10- 5) = 100 cal

donde la capacidad calorífica del agua es aproximadamente 1 cal/(g • °C). Tal cálculo es propicio cuando AT es pequeño. Sin embargo, para grandes cambios de temperatura, la capacidad calorífica no es constante y, de hecho, varía en función de la temperatura. Por ejemplo, la capacidad calorífica de un material no se podría aumentar con la temperatura de acuerdo con una relación como

c(T) = 0 . 1 3 2 + 1.56 x 10"4r + 2.64 x 10~7r2 (24.2)

En este ejemplo se le pide calcular el calor necesario para elevar 1 000 gramos de este material desde - 1 0 0 a 200°C.

Solución. La ecuación (PT6.4) proporciona una forma para calcular el valor promedio c(T):

c(T) dT c(T) = J-\ -r~ (24.3)

¡2 — i I

la cual se puede sustituir en la ecuación (24.1) para dar

AH — m f c(T) dT (24.4)

donde AT = T2 — r t . Ahora como, para el caso actual, c(7), es una cuadrática simple, AH puede determinarse de manera analítica. La ecuación (24.2) se sustituye en la ecuación (24.4) y el resultado se integra para dar un valor exacto de AH = 42 732 cal. Es útil e instructivo comparar este resultado con los métodos numéricos expuestos en el capítulo 21. Para realizarlo, es necesario generar una tabla de valores de c para varios valores de T:

T , °C

c, cal/(g • °C) - 1 0 0 0 .11904 - 5 0 0 .12486

0 0 .13200 50 0 .14046

100 0 .15024 1.')() 0 .16134 200 0 .17376

682 APLICACIONES EN LA INGENIERÍA: INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y DIFERENCIACIÓN

Estos puntos se usan en conjunto con la regla de Simpson 1/3 con seis segmentos para calcular una estimación de la integral de 42 732. Tal resultado puede sustituirse en la ecuación (24.4) para obtener un valor de AH = 42 732 cal, el cual concuerda exactamente con la solución analítica. Esta exacta concordancia podría ocurrir sin importar cuántos segmentos se usaron. Esto se espera debido a que c es una función cuadrática y la regla de Simpson es exacta para polinomios de tercer orden o menores (véase la sección 21.2.1).

Los resultados que se obtuvieron con la regla trapezoidal se listan en la tabla 24.1. Se observa que la regla trapezoidal es también capaz de estimar el calor total en forma exacta. Sin embargo, un pequeño paso (< 10°C) se requiere para una exactitud de cinco cifras. Este ejemplo es una buena ilustración del porqué la regla de Simpson es muy popular. Es fácil realizarla con una calculadora o, mejor aún, con una computadora. Además, es por lo común lo suficientemente exacto para tamaños de paso relativamente grandes y es exacto para polinomios de tercer orden o menores.

2 4 . 2 F U E R Z A EFECT IVA S O B R E EL M Á S T I L D E U N B O T E D E C A R R E R A S ( I N G E N I E R Í A C I V I L / A M B I E N T A L )

Antecedentes. En la figura 24.1a se muestra una sección transversal de un bote de carreras. Las fuerzas del viento (/), ejercidas por pie de mástil de los botes varían como una función de la distancia por arriba de la cubierta del bote (z), como se muestra en la figura 24.16. Calcule la fuerza de tensión Ten el cable izquierdo que soporta el mástil; además, se supone que el cable derecho que soporta el mástil está por completo flojo y que el mástil une la cubierta de modo que transmite fuerzas horizontales y verticales pero no momentos. Suponga que el mástil permanece vertical.

Solución. Para proceder con este problema, se requiere que la fuerza distribuida / se convierta en una fuerza equivalente total F y se calcule su localización d por arriba de la cubierta (véase la figura 24.2). Este cálculo se complica por el hecho de que la fuerza ejercida por pie de mástil varía con la distancia por arriba de la cubierta. La fuerza total ejercida sobre el mástil se puede expresar como la integral de una función continua:

f=c 2oo{^y2:/io dz (24-5)

T A B L A 2 4 . 1 Resultados con el uso de la regla trapezoidal con diferentes tamaños de paso.

T a m a ñ o de paso , °C AH e,[%)

300 96 048 125 150 43 029 0.7 100 42 864 0.3

50 42 765 0 .07 25 42 740 0 .018 10 42 733.3 <0.01 5 42 732.3 <0.01 1 42 732.01 <0.01 0.05 42 / : )2 ,00003 <0.01

24.9 •

F I G U R A 2 4 . 1 u) Succión transversal de un LINIO de carreras, b) Fuerzas DI?L viento /•ejercidas por I no de mástil como una li indón de la distancia z por NI liba de la cubierta del bolo.

CÉBIM que soportan el mástil

Mástil

3 pies

WBLMA^TIL -WüWWBlWéiaWlUS é N

\ >t?V

Viento

¡ t # p # # * W | » l f t

i z = 0

F I G U R A 2 4 . 2 I )|(i(jrama de cuerpo libre

fuerzas ejercidas j l mástil de un velero.

d= 13.05 pies

T

• H

Esta integral no lineal es difícil de evaluar en forma analítica. Por tanto, es conveniente emplear procedimientos numéricos para este problema, tales como las reglas de Simpson y la trapezoidal. Esto se lleva a cabo al calcular/(z) para diferentes valores de z y después usar la ecuación (21.10) o (21.18). Por ejemplo, la tabla 24.2 tiene valores de/(z) para un tamaño de paso de 3 pies que proporciona datos para la regla de Simpson 1/3 o para la regla trapezoidal. Los resultados para diferentes tamaños de paso se encuentran en la tabla 24.3. Se observa que ambos métodos dan un valor de F = 1 480.6 Ib en tanto el tamaño de paso se vuelve pequeño. En este caso, para tamaños de 0.05 pies para la regla trapezoidal y de 0.5 pies para la de Simpson proporcionan buenos resultados.

La línea de acción efectiva de F (véase figura 24.2) se puede calcular con la evaluación de la integral

d =

/•30 zf(i) di

d =

/ /(z) dz Jo /•30

/ 200z[z/(5 + z)]e-Jo

1 480.6

(24.6)

•2:/30 dz

(24.7)

T A B L A 2 4 . 2 Valores de f(z) para un tamaño de paso de 3 pies que proporciona los datos para las reglas trapezoidal y de Simpson 1 / 3 .

/, j )LM 0 3 6

O 12 15 18 21 24 27 30

ÍW, lb/ple 0 61,40 73.13 70.5Ó 63,43 55.18 47.14 .'IVII.'I 33 4? 2/ HV 23,20


T A B L A 2 4 . 3 Valores de F calculados con base en las diferentes versiones de las reglas trapezoidal y de Simpson 1 / 3 .

Técnica T a m a ñ o de paso, pies Segmentos F , lb

Regla trapezoidal 15 2 1 001 .7 10 3 1 122.3

6 5 1 372.3 3 10 1 450.8 1 30 1 477 .1 0.5 60 1 479 .7 0.25 120 1 480.3 0.1 300 1 480.5 0.05 6 0 0 1 480 .6

Regla de Simpson 1/3 15 2 1 219.6 5 6 1 462 .9 3 10 1 476 .9 1 30 1 480 .5 0.5 60 1 480 .6

Dicha integral podrá evaluarse mediante métodos similares a los anteriores. Por ejemplo, la regla de Simpson 1/3 con un tamaño de paso de 0.5 da d = 19 326.9/1 480.6 = 13.05 pies.

Con F y d conocidos a partir de los métodos numéricos, se puede usar un diagrama de cuerpo libre para escribir ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos. Este diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 24.2. Al sumar fuerzas en la dirección vertical y horizontal y tomar momentos con respecto al punto 0 se obtiene

ZFH = 0 = F- Tsen6-H (24.8)

ZFV = 0=V-Tcos6 (24.9)

X M 0 = 0 = 2V-Fd (24.10)

donde T = tensión en el cable y H y V = reacciones desconocidas sobre el mástil transmitidas por la cubierta. La dirección, así como la magnitud de H y V son desconocidas. La ecuación (24.10) se puede resolver directamente ya que se desconocen F y d.

^ ^ = i 1 480.6)(13.05)_ = 6 4 4 ( ) 6 1 b

3 3

Por tanto, a partir de la ecuación (24.9),

T = ^ - = 6 4 4 ° - 6

= 6473 Ib eos 9 0.995

y de la ecuación (24.8),

H = F — T sen 9 = 1 480.6 - (6 473)(0.0995) = 836.54 Ib

Esas fuerzas ahora permiten proceder con otros aspectos del diseño estructural del bote, tales como los cables y cl sistema de soporte de la cubierta para cl mástil. Este problema ilustra bi ta dos usos de la I U Ü 9 G R A C I Ó A I U U F I Á H C I que pueden encontrarse durante cl disc-

ño de estructura» en Ingeniería, Se observa que timbas reglas, lu trapezoidal y lu de Simpson 1/3, son fáciles de aplicar y son herramientas para la solución de problemas prácticos. La regla de Simpson 1/3 es más exacta que la trapezoidal para el mismo tamaño de paso por lo que con frecuencia es preferida.

2 4 . 3 R A Í Z M E D I A C U A D R Á T I C A D E L A C O R R I E N T E P O R I N T E G R A C I Ó N N U M É R I C A ( I N G E N I E R Í A ELÉCTR ICA)

Antecedentes. El valor promedio de una corriente eléctrica oscilatoria en un periodo puede ser cero. Por ejemplo, suponga que la corriente es descrita por un sinusoide simple: i(f)= sen (2n/T), donde Tes el periodo. El valor promedio de esta función se puede determinar por la siguiente ecuación:

j sen dt Jo \ T I - eos (2n) + eos0

/ = = y—l = 0 T-0 T

A pesar del hecho de que el resultado neto es cero, tal corriente es capaz de realizar trabajo y generar calor. Por tanto, los ingenieros eléctricos a menudo caracterizan esa corriente por

/ R M S = J- >2(t)dt (24.11) donde i(f) = corriente instantánea. Calcule la RMS o raíz media cuadrática de la forma de onda en la figura 24.3 mediante la regla trapezoidal, la regla de Simpson 1/3, integración de Romberg y cuadratura de Gauss para T = 1 s.

F I G U R A 2 4 . 3 I lin 1 1 órnente eléctrica vi IIi<indo de manera imilúcJica.

/f Para 0 < f < 772, /(r) = 1 0 e - " r s e n (2n-ír) Para 772, < f < 7", /(f) = 0 '

6 8 6 APLICACIONES EN LA INGENIERÍA: INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y DIFERENCIACIÓN

T A B L A 2 4 . 4 Valores para la Integral calculada mediante el uso de diferentes esquemas numéricos. El error relativo porcentual E , se basa sobre un valor verdadero de 15 .41261 .

Técnica Segmentos Integral <>(%)

Regla trapezoidal 1 0.0 100 2 15 .16327 1.62 4 15.40143 0 .0725 8 15.41 196 4.21 x 10" 3

16 15 .41257 2.59 x 10 " 4

32 15.41261 1.62 x 10~5

64 15.41261 1.30 x 10 " 6

128 15.41261 0 Regla de Simpson 1/3 2 2 0 . 2 1 7 6 9 - 3 1 . 2

4 15.48082 - 0 . 4 4 3 8 15 .41547 - 0 . 0 1 8 6

16 15 .41277 1.06 x 10" 3

32 15.41 161 0

Solución. En la tabla 2 4 . 4 se enlista las estimaciones de la integral para las diferentes aplicaciones de la regla trapezoidal y de la regla de Simpson 1 / 3 . Observe que la regla de Simpson es más exacta que la trapezoidal.

El valor exacto para la integral es 1 5 . 4 1 2 6 1 . Este resultado se obtuvo mediante una regla trapezoidal con 1 2 8 segmentos o una regla de Simpson con 3 2 segmentos. La misma estimación se determina también con la integración de Romberg (véase la figura 2 4 . 4 ) .

Además, la cuadratura de Gauss también se usa para realizar la misma estimación. La determinación de la raíz media cuadrática de la corriente involucra la evaluación de la integral (T = 1 ) .

/•1/2

/ = / ( I O Í T ' sen27rí) dt ( 2 4 . 1 2 )

Jo Primero, se realiza un cambio de variable al aplicar las ecuaciones ( 2 2 . 2 3 ) y ( 2 2 . 2 4 )

para obtener 1 1 1 j Í = 4 + 4 Í R F

d t = 4dt«

Hartarlo ° ^ " ^ integración de Romberg 0 20 .21769 15.16503 15 .41502 15.41261 15.41261 para estimar la'-RMS de la 15 .16327 15.48082 15.41111 15.41262 15.41261 corriente. 15.40143 15.41547 15.41225 15.41261

15 .41196 15.41277 15.41261 15.41257 15.41262 1 5 , 4 1 2 6 1

24.41 PARAICAKUCWrSBTIWBAAJ

TABLA 2 4 . 3 R«»ulladoa al usar las fórmulas de la cuadratura de Gauss para varios puntos para aproximar la integral.

P u n t o s Est imación

2 3 4 5 ó

11.9978243 15.6575502 15.4058023 15.4126391 15 .4126109

22.1 - 1 . 5 9

4.42 x 10" 2

- 2 . 0 1 x 10" 4

- 1 . 8 2 x 10 " 5

Esas relaciones pueden ser sustituidas en la ecuación (24.12) para obtener

1 0 e - [ l / 4 + ( l / 4 ) ( í í ] s e n 2 n ( — dt 4

(24.13)

Para la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos, esta función se evalúa en td = — 1/V3 y 1/V3, y los resultados son 7.684096 y 4.313728, respectivamente. Estos valores pueden sustituirse en la ecuación (22.17) para dar un estimado de la integral de 11.99782, el cual representa un error de e ( = 22.1%.

La fórmula para tres puntos es (véase tabla 22.1)

/ = 0.5555556(1.237449) + 0.8888889(15.16327) +0.5555556(2.684915)

= 15.65755 | e , | = 1.6%

Los resultados al usar las fórmulas para puntos mayores se resumen en la tabla 24.5. La estimación de la integral de 15.41261 se puede sustituir en la ecuación (24.12)

para calcular una I i m s de 3.925890 A. Este resultado podría entonces emplearse como guía en otros aspectos del diseño y operación del circuito.

I N T E G R A C I Ó N N U M É R I C A P A R A C A L C U L A R EL T R A B A J O ( I N G E N I E R Í A M E C Á N I C A / A E R O E S P A C I A L )

Antecedentes. Muchos problemas de ingeniería involucran el cálculo de trabajo. La fórmula general es

Trabajo = fuerza x distancia

Cuando se introdujo este concepto en sus estudios de física en el nivel medio superior, se le presentó algunas aplicaciones simples mediante el uso de fuerzas que permanecían constantes en todo el desplazamiento. Por ejemplo, si una fuerza de 10 libras era usada para empujar un bloque una distancia de 15 pies, el trabajo se calculaba como 150 Ib • pie.

Aunque ese simple cálculo es útil para introducir el concepto, la solución de problemas realísticos son por lo común más complejos. Por ejemplo, suponga que la fuer/a varía durante el curso del cálculo. En tales casos, la ecuación para el trabajo se puedo exprcaar como


W = dx (24.14)

donde W = trabajo (Ib • pie), x0 y xn = las posiciones inicial y final, respectivamente, y F(x) es una fuerza que varía en función de la posición. Si F{x) es fácil de integrar, la ecuación (24.14) se puede evaluar en forma analítica. Sin embargo, en la solución de un problema realístico, la fuerza podría no ser expresada de esa manera. De hecho, cuando se analizan los datos medidos, la fuerza podría estar disponible sólo en forma tabular. Para tales casos, la integración numérica es la única opción viable para la evaluación.

Se tiene mayor complejidad si el ángulo entre la fuerza y la dirección del movimiento también varía en función de su posición (véase figura 24.5). La ecuación de trabajo puede modificarse más al tomar en cuenta este efecto, como en

De nuevo, si F(x) y 9 (x) son simples funciones, la ecuación (24.15) se podría resolver de manera analítica. Sin embargo, como en la figura 24.5, es más común que la relación

(24.15)

F I G U R A 2 4 . 5 El caso de una fuerza variable actuando sobre un bloque. Para este caso, el ángulo, así como la magnitud, de la fuerza varía.

i,

X. f t

0 0 30

x,ft

T A B L A 24.é Data para le futr ía F(x) y «I ángulo 0(x) coma una función de lo po&ición x.

x, pi*s f|jt), Ib », rad F(x) F[x) eos 0 0 5

10 15 20 25 30

0.0 9.0

13.0 14.0 10.5 12.0 5.0

0.50 1.40 0.75 0.90 1.30 1.48 1.50

0.0000 1.5297 9.5120 8.7025 2.8087 1.0881 0.3537

funcional sea complicada. Para esta situación, los métodos numéricos proporcionan la única alternativa para determinar la integral.

Suponga que usted debe realizar el cálculo para la situación mostrada en la figura 24.5. Aunque la figura muestra los valores continuos de F(x) y 9(x), imagine también que, debido a las restricciones experimentales, usted cuenta sólo con mediciones discretas a intervalos de x — 5 pies (véase tabla 24.6). Use versiones de aplicación simple y múltiple de la regla trapezoidal y de las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 para calcular el trabajo con esos datos.

Solución. Los resultados del análisis se resumen en la tabla 24.7. Un error relativo porcentual e¡ fue calculado con referencia al valor verdadero de la integral de 129,52 cuya estimación se hizo con base en los valores tomados de la figura 24.5 con intervaloi de 1 pie.

Los resultados son interesantes, ya que la mayor exactitud ocurre para simple regla trapezoidal con dos segmentos. Puede obtenerse estimaciones más refinadas con más segmentos; también se puede obtener resultados menos exactos con las reglas de Simpson.

La razón para este aparente resultado contraintuitivo es que el espaciamiento burdo de los puntos no es adecuado para capturar las variaciones de las fuerzas y ángulos. Esto es en particular evidente en la figura 24.6, donde graficamos la curva continua para el

riOURA 24.6 I Inu gráfica continua de F[x) nm |0(x)] contra posición i un los siete puntos discretos mudos para desarrollar la Inloi Ilación numérica nulimuda en la tabla 24.7. i tli.Miive cómo el uso de los ninlo puntos para i uidderizar esta función que vuilo continuamente deja liiniu dos picos en x = 2.5 y I '7 .') pies.

x, pies


Técnica Segmentos T rabajo

Trapezoidal 1 5.31 95.9 2 133.19 2.84 3 124.98 3.51 6 119.09 8.05

Regla de Simpson 1 /3 2 175.82 -35.75 6 117.13 9.57 Regla de Simpson 3/8

co 139.93 -8.04

producto de F(x) y eos [#(*)]. Observe cómo el uso de siete puntos para caracterizar la función que varía en forma continua no toca los dos picos en x = 2.5 y 12.5 pies. La omisión de estos dos puntos limita efectivamente la exactitud de la integración numérica estimada en la tabla 24.7. El hecho de que la regla trapezoidal con dos segmentos dé el resultado más exacto se debe a la selección del posicionamiento de los puntos para este problema en particular (véase figura 24.7).

La conclusión resultante de la figura 24.6 es que debe hacerse un número adecuado de mediciones para calcular con exactitud las integrales. Para el caso actual, si los datos estuvieran disponibles enF(2.5) eos [0(2.5)] = 4.3500yF(12.5) eos [0(12.5)] = 11.3600, podríamos determinar una estimación de la integral con el uso del algoritmo para datos espaciados desigualmente descrito en la sección 21.3. La figura 24.8 ilustra la segmentación desigual para este caso. Si se incluyen los dos puntos adicionales se obtiene una estimación de la integral mejorada de 126.9 (e ( = 2.02%). Así, la inclusión de los datos adicionales podría incorporar los picos que antes no se tomaron en cuenta y, en consecuencia, tener los mejores resultados.

F I G U R A 2 4 . 7 Ilustración gráfica del porqué la regla trapezoidal con dos segmentos da una buena estimación de la integral para este caso en particular. Por suerte, el uso de dos trapezoides ocurre para llevar a un balance equilibrado entre los errores negativo y positivo.

x, pl«i

T A B L A 2 4 . 7 Estimaciones del trabajo calculado usando la regla trapezoidal y las reglas de Simpson. El error relativo porcentual e, como se calculó con referencia a un valor verdadero de la integral (1 29.52 Ib • pie) fue estimado con base en los valores en intervalos de 1 pie.

59

C O (fl Q. E

W A>

Q

CO

s (O O . SO

Q. £ 55 CU o

C O CO CL E 55 CU

D

inlos que resulta de la lin lii'.iún de dos puntos inlii dmales en x = 2.5 y \V '> orí los datos de la luíilu 24.6. Se muestran las lúi mulos de integración iiiiiiii'nii.a aplicadas a cada i I I I I | I I I I I I I de segmentos.

P R O B L E M A S

l l i | | « I ILURIA química/petrolera 14.1 Kcalice el mismo cálculo que en la sección 24.1, pero ahora Míenle la cantidad de calor requerido para elevar la temperatura ili< I .*)()() gramos del material desde —150 a 50°C. Use la regla lio Simpson para sus cálculos, con valores de incremento de Tde 1<r<'. 14,l Kepita el problema 24.1, pero ahora use integración de Uniubcrg con e s = 0.01%. M. l Kepila el problema 24.1, pero ahora use la fórmula de Gauss-I I'tjeiulre con dos y tres puntos. Interprete sus resultados. 1<M I ,a integración proporciona un medio para calcular cuánta NNINI I entra o sale de un reactor en un periodo específico, como en

M \ Qcdt Ji\

di uiilc /, y t2 = tiempo inicial y final. Esta fórmula tiene sentido Intuitivo si usted recuerda la analogía entre integración y mmmloria. Así, la integral representa la sumatoria del producto (lid Unjo por la concentración para dar la masa total entrando o (tullendo desde t{ a t2. Si la razón de flujo es constante, Q puede «el obtenida de la integral:

M Q I cdl ( P 2 4 . 4 )

Use integración numérica con el fin de evaluar esta O C U H Ü I Ó I I

para los datos en la tabla P24.4. Observe que Q = 4 mVmin. 2 4 . 5 La concentración química a la salida de un reactor do mezcla completa se mide como

t, min 0 2 4 6 8 12 16

c, mg/m3 10 20 30 40 60 72 70

TABLA P 2 4 . 4 Valores de concentración medida en la tubería de salida de un reactor.

t, m in e, m g / m 3

0 10 5 22

10 35 15 4 7 20 55 25 58 30 52 35 4 0 40 37 45 32 50 34


Para una salida de flujo de Q = 12 nr/min, estime la masa de químicos que existe en el reactor desde t = 0 hasta 20 min. 24.6 ha primera ley de difusión de Fick establece que

de Flujo másico = D (P24.6)

dx donde flujo másico = cantidad de masa que pasa a través de una unidad de área por unidad de tiempo (g/cm2/s), D = coeficiente de difusión (cm2/s), c = concentración, y x = distancia (cm). Un ingeniero ambiental mide la siguiente concentración de un contaminante en los sedimentos depositados en un lago (x = 0 en el punto de contacto sedimento-agua y aumenta hacia abajo):

x, cm 0 1 3

c, 1 0 " 6 g/cm 3 0.1 0.4 0 .9

Use la mejor técnica de diferenciación numérica disponible para estimar la derivada en* = 0. Emplee dicha estimación junto con la ecuación (P24.6) para calcular el flujo másico de contaminantes fuera de los sedimentos y dentro de las aguas recubiertas (D = 2x10"* cm2/s). Para un lago con 3 x 106 m 2 de sedimentos, ¿cuánta contaminación podría ser transportada hacia el lago en un año? 24.7 Los siguientes datos fueron colectados cuando se cargaba un gran buque petrolero:

f, min 0 15 30 45 6 0 9 0 120

V, 1 0 6 barriles 0.5 0.65 0.73 0.88 1.03 1.14 1.30

Calcule la razón de flujo Q (es decir, d VIdi) para cada tiempo del orden de h2. 24.8 Usted se interesa en la medición de la velocidad de un fluido en un canal abierto angosto rectangular que transporta resi

duos de petróleo entre diferentes localizaciones y una refinería. Usted sabe que, debido a la fricción en el fondo, la velocidad varía con la profundidad en el canal. Si su técnico tiene tiempo para realizar sólo dos mediciones de velocidad, ¿a qué profundidades las tomaría para obtener la mejor estimación de la velocidad promedio? Establezca sus recomendaciones en términos del porcentaje de la profundidad total d medida desde la superficie del fluido. Por ejemplo, la medición en la superficie sería del 0%d, mientras que en el fondo sería del 100%*/.

Ingeniería civil/ambiental 24.9 Realice el mismo cálculo que en la sección 24.2, pero ahora use la integración de Romberg con un orden de h s para evaluar la integral. 24.10 Realice el mismo cálculo que en la sección 24.2, pero ahora use la cuadratura de Gauss para evaluar la integral. 24.11 Calcule F mediante la regla trapezoidal y las reglas de Simpson 1/3 y 3/8. Divida el mástil en intervalos de cinco pies.

f 3 0 250z 7 / l n F= / e-z/l0dz Jo 6 + z

24.12 Las áreas de sección transversal (A) son requeridas para diferentes tareas en la ingeniería de abastecimiento de aguas: entre otras, pronósticos de inundación y diseño de reservorios. A menos que se disponga de dispositivos electrónicos sonoros para obtener perfiles continuos del fondo del canal, el ingeniero debe confiar en mediciones discretas de la profundidad para calcular A. Un ejemplo de una corriente común con su sección transversal se muestra en la figura P24.12. Los puntos representan ubicaciones donde se ancló un bote y tomó lecturas a diferentes profundidades. Use dos aplicaciones de la regla trapezoidal (h = 4 y 2 m) y la regla de Simpson 1/3 para estimar el área de sección transversal a partir de esos datos.

w PRO!

i i i i i i i i i i i i i i i i i i • 0 1 000 2 000 3 000

Distancia, pies

F I G U R A P 2 4 . 1 3 Un campo limitado por dos caminos y una cresta.

M 1 1 Durante un reconocimiento de campo, se le pide calcular periodo de 24 horas. Una persona visita la intersección varia» p| Arca del campo mostrado en la figura P24.13. Use las reglas veces durante un día y cuenta el número de autos que pasan por do Simpson para determinar el área. el lugar en un minuto. Utilice estos datos, que se resumen en la M i l Un estudio de ingeniería de transporte requiere el cálculo tabla P24.14, para estimar el número total de autos que pasa a del número total de autos que pasan por una intersección en un diario por la intersección (sea cuidadoso con las unidades).

24.15 La fuerza del viento distribuida en un lado de un rascacielos es registrada como

Altura /, m 0 30 60 90 120 150 180 210 240

*» Fuerza, F[l\, N/m 0 350 1 000 1 500 2 600 3 000 3 300 3 500 3 600

Calcule la fuorzu neta y la linea de acción debida a este viento dlitrlbuldo,


T A B L A P 2 4 . 1 4 Razón de flujo de tráfico (autos/min) para una intersección medida en diferentes tiempos en un periodo de 24 horas.

T iempo Razón T iempo R a z ó n T iempo R a z ó n

12:00 medianoche 2 9:00 A.M. 12 6:00 P.M. 22 2:00 A.M. 2 10:30 A.M. 5 7:00 P.M. 10 4 :00 A.M. 0 1 1:30 A.M. 10 8:00 P.M. 9 5:00 A.M. 2 12:30 P.M. 12 9:00 P.M. 11 6:00 A.M. 5 2:00 P.M. 7 10:00 P.M.

co

7 :00 A.M. 8 4 :00 P.M. 9 11:00 P.M. 9 8:00 A.M. 25 5:00 P.M. 28 1 2:00 medianoch e 3

24.16 El agua ejerce presión sobre la cara corriente arriba de una presa como se muestra en la figura P24.16. La presión se puede caracterizar por

p(z) = pg(D - z) (P24.16)

donde p(z) = presión en paséales (o N/m2) ejercida a una elevación z metros por arriba del fondo del reservorio; p — densidad del agua, la cual, para este problema, se supone es constante 103

kg/m3; g = aceleración debida a la gravedad (9.8 m/s2); y D = elevación (en m) de la superficie del agua por arriba del fondo del reservorio. De acuerdo con la ecuación (P24.16), la presión se incrementa con la profundidad, como se ilustra en la figura P24.16a. Si se omite la presión atmosférica (ya que trabaja contra ambos lados de la cara de la presa y de esta forma se cancelan), la fuerza/puede ser determinada al multiplicar la presión por el área de la cara de la presa (como se muestra en la figura P24.16b). Debido a que ambas, la presión y el área, varían con la elevación, la fuerza total se obtiene al evaluar

fr = ( Pgw(z)(D - Z ) dz JO

donde w(z) = ancho de la cara de la presa (m) en la elevación z (véase la figura P24.166). La línea de acción también se puede obtener al evaluar

f pgzw(z){D - z) dz

D = 4 _ / pgw(z)(D - z) dz

Jo Use la regla de Simpson para calcular ft y d. Verifique los resultados con su programa de computadora para la regla trapezoidal. 24.17 Para estimar el tamaño de una nueva presa, usted tiene que determinar el volumen total de agua (m3) que fluye por un río en un año. Usted dispone de los siguientes datos promedio, con muchos registros anuales, para el río: Fecha Med- Med- Med- Med- Med- Med- Med- Med- Med-

Ene. Feb. Mar. Abr. Jun. Sept. Oct. Nov. Dic. Flujo, mVs 31 37 80 1 19 102 20 21 23 27

Determine el volumen. Sea cuidadoso con las unidades, y tenga cuidado al realizar una estimación adecuada del flujo en los puntos extremos.

F I G U R A P 2 4 . 1 6 Agua que ejerce presión sobre la cara corriente arriba de una presa: a) vista lateral donde se muestra que la fuerza aumenta linealmente con la profundidad; fo) vista frontal en la cual se muestra el ancho de la presa en metros.

íl'.'

24.IH Los «utos que se enlistan en la siguiente luhlu diui mediciones horarias del flujo de calor q (cul/um'Vh) en 1 ti superficie de un colector solar. Como ingeniero arquitecto, usted debe estimar el calor total absorbido por un panel colector de 150 000 «tit J durante un periodo de 14 horas. El panel tiene una eficiencia do absorción eab del 45%. El calor total absorbido lo propor-Ulnnu

Jo qA dt

dundo A = área y q = flujo de calor.

0 1 2 3 / 13

0 .10 1.62 5.32 6.29 7.80 3.00 8.57 8.03 7.04 6.27 5.56 3.54 .00 0 .20

M. I '> lil flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a través di- un área del material por unidad de tiempo. Se puede calcular din la ley de Fourier,

, dT dx

donde./ tiene unidades de J/m 2/s o W/m 2 y ¿es un coeficiente de conductividad térmica que parametriza las propiedades de conducción de calor del material y tiene las unidades de W/(°C • m). T temperatura (°C); y x = distancia (m) a lo largo de la trayectoria de flujo de calor. La ley de Fourier es usada rutinariamente por ingenieros arquitectos para determinar el flujo de calor II travos de paredes. Las siguientes temperaturas son medidas en nuil pared de piedra:

x, m 0 0.1 0.2

/,"C 20 17 15

SI el Unjo en x = 0 es de 60 W/m , calcule k.

Ingrali-ría eléctrica M 20 Kcalice el mismo cálculo que en la sección 24.3, pero aho-

IÍI pina la corriente especificada por

;'(0 = 4e~

/'(/) = 0 ' sen 2M para 0 < t < Til

para 772 < t<T

donde ' / '= 1 s. Use la cuadratura de Gauss con cinco puntos para ("¡lunar la integral. M.2I Repita el problema 24.20, pero ahora use la regla de Simpson 1/3. 24.22 Kepita el problema 24.20, pero ahora use la integración de Koniberg con <•:, - 1%. 24.2.1 La ley de l'iiraday caracteriza la calda de voltaje a través de un inductor como

di

donde VL = caída de voltaje (V), L = inductancia (en henrys; 1 H = 1 V-s/A),; = corriente (A), y t = tiempo (s). Determino la caída de voltaje como una función del tiempo a partir de lo» siguientes datos para una inductancia de 4 H.

t 0. 0.1 0.2 0.3 0.5 0 .7

/' 0. 0.15 0.3 0.55 0.8 1.9

24.24 Suponga que la corriente a través de un resistor es descrita por la función

¡(0 = (60 - tf + (60 - f) sen (V7)

y la resistencia es una función de la corriente,

R = 10/ + 2¿ 2 / 3

Calcule el voltaje promedio desde t — 0 a 60 mediante la rcglu de Simpson 1/3 de segmentos múltiples.

Ingeniería mecánica/aeroespacial 24.25 Realice el mismo cálculo que en la sección 24.4, pero uho-ra use la regla de Simpson de segmentos múltiples para calcular:

F(x) = \.5x- 0.04.T2

Emplee los valores de 6 de la tabla 24.6. 24.26 Realice el mismo cálculo que en la sección 24.4, pero ahora use la siguiente ecuación para el cálculo:

0(x) = 0 . 8 + 0.125* - 0 . 0 0 9 j r 2 + (2 x 10 V

Kmplec la ecuación del problema 24.25 para /''(.ir). Use 4, 8 y 16 KBgmentoN de la regla trape/oidul puní calcular la integral.


24.27 Repita el problema 24.26, pero ahora use lu regla de Simpson 1/3. 24.2H Vuelva a realizar el problema 24.26, pero ahora use la integración de Romberg con es = 0.5%. 24.2'> Repita el problema 24.26, pero ahora use la cuadratura de (luuss. 24.M) El trabajo realizado por un objeto es igual a la fuerza por lu distancia recorrida en la dirección de la fuerza. La velocidad ilo un objeto en la dirección de una fuerza está dada por

I) r= 4/ 0 < í < 6 i) = 24 + (6 - O 2 6 < t < 14

donde v = m/s. Emplee la regla trapezoidal de aplicación múltiplo para determinar el trabajo si una fuerza constante de 200 N scuplica para todo?. 24.31 La razón de enfriamiento de un cuerpo (véase figura 1*24.31) se puede expresar como

- 1 = -k(T - Ta) al

donde T = temperatura del cuerpo (°C), Ta = temperatura del medio ambiente (°C) y k = constante de proporcionalidad (por minuto). Así, esta ecuación (llamada ley de enfriamiento de Newton) especifica que la razón de enfriamiento es proporcional a la diferencia en temperaturas del cuerpo y del medio ambiente.

F I G U R A P 2 4 . 3 1

Si una bola de metal se calienta a 90°C y se deja caer en agua que se mantiene a una temperatura constante de Ta = 25°C, la temperatura de la bola cambiará, como en

Tiempo, min 0 5 10 15 20 25

1 °C

9 0 4 9 . 9 33.8 28.4 26.2 25.4

Utilice diferenciación numérica para determinar dTIdt para cada valor de tiempo. Grafique dTIdt contra T — Ta y emplee regresión lineal para evaluar k. 24.32 Una barra sujeta a una carga axial (véase figura P24.32a) se deformará, como se muestra en la curva esfuerzo-deformación unitaria en la figura P24.32¿>. El área bajo la curva va desde un esfuerzo cero hasta el punto de ruptura y se le llama módulo

F I G U R A P 2 4 . 3 2 o) Una barra bajo carga axial y b) la curva resultante esfuerzo-deformación unitaria donde el esfuerzo está en kilolibras por pulgada cuadrada (10 3 lb/pulg2) y la deformación unitaria es adimensional.

tÍ¥ riRltln del inutoriul. Proporciona una M E D I D A de la energía pin uuidiid de volumen requerido para caunir la ruptura del ma-hirlal. Como tal, es representativo de la habilidad del material |lMh resistir una carga por impacto. Use integración numérica B M H enleular los módulos de rigidez para la curva esfuerzo-de-fttf tune I O N unitaria que se tiene en la figura P24.326. 14.11S I se conoce la velocidad de distribución de un fluido transportándose a través de una tubería (véase figura P24.33), se puede calcular la razón de flujo Q (es decir, el volumen de agua que pn>IN a través de la tubería por unidad de tiempo) con Q = IvdA, dundo nes la velocidad y A es el área de la sección transversal de lu tubería. (Para entender el significado de esta relación en forma fínica, recuerde la conexión cercana entre sumatoria e integración.) I'aru un tubo circular, A = rcP'ydA = licrdr. Portante,

•A) (2irr) dr

F I G U R A P 2 4 . 3 3

donde r es la distancia radial medida hacia afuera del centro de la tubería. Si la distribución de velocidad está dada por

« = 2 . O ( l - ¿ ) 1/6

donde r 0 es el radio total (en este caso, 2 cm), calcule Q usando la regla trapezoidal de aplicación múltiple. Analice sus resultados.

24.34 Mediante los siguientes datos, calcule el trabajo realizado al estirar un resorte que tiene una constante de resorte de k a 3 X 102 N/m, en x = 0.45 m.

F, 10 3 N 0 0.01 0.028 0.04o 0.063 0.082 0.11 0.13

x, m 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

M. La posición de un avión caza sobre un portaaviones fue Itimuda durante el aterrizaje:

I, % 0 0.51 1.03 1.74 2.36 3.24 3.82

S m 154 186 209 250 262 272 274

donde x es la distancia desde el extremo del portaaviones. Estime ti) lu velocidad (dx/dt) y b) la aceleración (dv/df) usando diferenciación numérica. 14 \b limplee la regla trapezoidal de aplicación múltiple para evaluar lu distancia vertical recorrida por un cohete si la velocidad vertical está dada por

.. 1 Oí 2 - 5/ 0 < / < 1 0

1. -: 1 0 0 0 - 5 ? 1 0 < í < 2 0

1» 45/ + 2(/ - 20) 2 20 < / < 30

24.37 La velocidad hacia arriba de un cohete se puede calcular con la siguiente fórmula:

1 ( m ° \ v = u ln — gt

\m0 -qtj donde v = velocidad hacia arriba, u = velocidad a la cual se expulsa el combustible relativo al cohete, m0 = masa inicial del cohete en el tiempo / = 0, q = razón de consumo de combustible y g = aceleración hacia abajo debido a la gravedad (se supone constante = 9.8 m/s2). Si u = 2 000 m/s, m0 = 150 000 kg y q = 2 600 kg/s, use la regla trapezoidal y la de Simpson 1/3 con seis segmentos, la cuadratura de Gauss con seis puntos y los métodos de Romberg del orden de / ¡ 8 para determinar qué tan alto volará el cohete en 30 segundos.

E P I L O G O : P A R T E SEIS

P T 6 . 4 E L E M E N T O S D E J U I C I O

La tabla PT6.4 proporciona un resumen de los elementos de juicio involucrados en la integración numérica o cuadratura. La mayoría de esos métodos se basa en la simple interpretación física de una integral como el área bajo una curva. Estas técnicas están diseñadas para evaluar la integral de dos casos diferentes: 1) una función matemática y 2) datos discretos en forma tabular.

Las fórmulas de Newton-Cotes son los principales métodos analizados en el capítulo 21. Se aplican a ambas funciones, continuas y discretas, y ambas versiones están disponibles: las cerradas y las abiertas. Las fórmulas abiertas, las cuales tienen límites de integración que se extienden más allá del rango de los datos, son usadas muy rara vez para la evaluación de integrales definidas. Sin embargo, son de utilidad para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y para la evaluación de integrales impropias.

Las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se basan en el reemplazo de una función matemática o datos tabulados por un polinomio de interpolación que es fácil de integrar. La versión más simple es la regla trapezoidal, la cual se basa en el cálculo del área bajo una línea recta reuniendo valores adyacentes de la función. Una forma para mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir el intervalo de integración desde a hasta b en un número de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos.

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos más finos, otra forma de obtener una estimación más exacta de la integral es con polinomios de orden superior para conectar los puntos. Si se emplea una ecuación cuadrática, el resultado es la regla de Simpson 1/3; si se usa una ecuación cúbica, será la regla de Simpson 3/8. Como son mucho más exactas que la regla trapezoidal, por lo común son preferidas esas fórmulas y se dispone de versiones de aplicación múltiple. Para situaciones con un número de

T A B L A P T 6 . 4 Comparación de las características de métodos alternativos para la integración numérica. Las comparaciones se basan en la experiencia general y no toman en cuenta el comportamiento de funciones especiales.

Datos Datos necesar ios p a r a requer idos p a r a E r r o r de E s f u e r z o de

M é t o d o u n a aplicación n aplicaciones t runcamiento Aplicación programación Comentar ios

Regla trapezoidal 2 n + 1 Amplia Fácil Regla de Simpson 1/3 3 2 n + 1 Amplia Fácil Reglas de Simpson 1 / 3 3 o 4 >3 Amplia Fácil y 3 / 8 Newton-Cotes >5 N/D Rara Fácil de orden superior Integración de Romberg 3 Requiere que

í[x) sea conocida Moderado inaproplacla puní

dalos Inbulaira Cuadratura de Gauss •¿2 N/D Rflqiilme que

l[x) i t a conocida 16.il Inupioplciflti | K I I ( ]

dalos lubulutoj

http://16.il

P T ¿ , " g | ^ p B S AVAN1AD0S Y

segmentoi par, «o recomienda la aplicación múltiple de lu regla 1/3. Para un número de segmentos impar se puede aplicar la regla 3/8 a los últimos tres segmentos y la regla 1/3 a los segmentos restantes.

También se dispone de fórmulas de Newton-Cotes de orden superior. Sin embargo, se usan muy rara vez en la práctica. Donde se requiere de alta exactitud, también se dispone de las fórmulas de integración de Romberg y la cuadratura de Gauss. Debe observarse que ambas son de valor práctico sólo en casos donde se dispone de la función. Estas técnicas no son adecuadas para datos tabulados.

R E L A C I O N E S I M P O R T A N T E S Y F Ó R M U L A S

La tabla PT6.5 resume información importante que se expuso en la parte seis. Esta tabla se puede consultar para un acceso rápido de relaciones importantes y fórmulas.

M É T O D O S A V A N Z A D O S Y R E F E R E N C I A S A D I C I O N A L E S

Aunque revisamos diferentes técnicas de integración numérica, hay otros métodos que tienen utilidad en la práctica de la ingeniería. Por ejemplo, la integración adaptativa de Simpson se basa en la división del intervalo de integración en una serie de subintervalos de anchura h. Después se usa la regla de Simpson 1/3 para evaluar la integral de cada subintervalo al dividir el tamaño de paso a la mitad en una forma iterativa; es decir, con un tamaño de paso de h, h/2, h/4, hl% y así sucesivamente. Se continúa con las iteraciones para cada subintervalo hasta que la estimación del error aproximado esté por debajo de un criterio de paro preestablecido es. La integral total se calcula entonces como la sumatoria de las estimaciones de la integral en los subintervalos. Esta técnica es en especial valiosa para funciones complicadas que tienen regiones que muestran variaciones de orden inferior y superior. Un análisis para la integración adaptativa se puede encontrar en Gerald y Wheatley (1984) y Rice (1983). Además, pueden usarse los esquemas adaptativos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con el fin de evaluar integrales complicadas, como se expuso en la PT6.1 y se analizará en el capítulo 25.

Otro método para obtener integrales es mediante el ajuste de los datos con segmentarias cúbicas. Las ecuaciones cúbicas resultantes se pueden integrar de manera fácil (Forsythe y cois., 1977). Algunas veces se usa también un procedimiento similar en diferenciación. Por último, además de las fórmulas de Gauss-Legendre analizadas en la sección 22.2, hay una variedad de otras fórmulas de cuadratura. Carnahan, Luther y Wilkes (1969) y Ralston y Rabinowitz (1978) resumen muchos de esos procedimientos.

En resumen, lo anterior tiene la intención de proporcionarle nuevas formas para una exploración profunda del tema. Además, todas las referencias anteriores describen las técnicas básicas tratadas en la parte seis. Le recomendamos consultar esas fuentes alternativas para ampliar su conocimiento de los métodos numéricos en integración.

700 EPÍLOGO: PARTE SEIS

T A B L A P T 6 . 5 Resumen de información importante presentada en la parte seis.

Método Formulación Interpretaciones gráf icas E r r o r

Regla trapezoidal fia) + f[b)

Regla trapezoidal f|x0| + 2 g M + frj de aplicación múltiple / ~ |b — a) ^ a = x 0 b = x„ x

Ifa-fll-n4i 12

I b - o ) 3 . , 12n 2 f

Regla de Simpson 1 / 3 f( X Q| + 4 f ( X ] ) + f( X 2 ) / ~ [b - o] f|x)A

a = x 0 b = X2 x

Ib-2880

n - l n - 2

Regla de Simpson 1 / 3 f l x°> +

4 Z M + 2 Z fN + fM de aplicación múltiple / ~ (b - a) :—: —^

Regla de Simpson 3 / 8 , f(xo) + 3f|x,| + 3f(x2) + f(x3) / ~ (b - o) r

Ib - o)' " 180n 4

Ib - al-6 4 8 0

f|4]

a = X Q b = x 3 x

Integración de Romberg 'a /.* = 4k-

'/,lc- 1 '/,* + 1, le- 1 0(ri2i)

Cuadratura de Gauss / ~ cr/M + cif(xi] + • • • + c„_if(x„_i) -f<2n+2>(£)

E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S O R D I N A R I A S

P T 7 . 1 M O T I V A C I Ó N

En el primer capítulo de este libro derivamos la siguiente ecuación basada en la segunda ley de Newton para calcular la velocidad v del paracaidista en caída como una función del tiempo t [recuerde la ecuación (1.9)]:

dv c ~n=S--v (PT7.1) dt m

donde g es la constante gravitacional, m es la masa y c es el coeficiente de arrastre. Tales ecuaciones, que se componen de una función desconocida y de sus derivadas, son llamadas ecuaciones diferenciales. La ecuación (PT7.1) es algunas veces conocida como ecuación de razón, ya que expresa la razón de cambio de una variable como una función de las variables y los parámetros. Tales ecuaciones desempeñan un papel importante en ingeniería debido a que muchos fenómenos físicos son en el contexto matemático mejor formulados en términos de su razón de cambio.

En la ecuación (PT7.1), la cantidad que habrá de ser diferenciada, v, es conocida como variable dependiente. La cantidad con respecto a la cual v es diferenciada, t, se conoce como variable independiente. Cuando la función involucra una variable independiente, la ecuación es llamada ecuación diferencial ordinaria (o EDO). Esto contrasta con una ecuación diferencial parcial (o EDP) que involucra dos o más variables independientes.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican también en cuanto a su orden. Por ejemplo, la ecuación (PT7. 1) se conoce como ecuación de primer orden, ya que la derivada más alta es una primera derivada. Una ecuación de segundo orden podría incluir una segunda derivada. Por ejemplo, la ecuación que describe la posición x de un sistema masa-resorte con amortiguamiento es la ecuación de segundo orden (recuerde la sección 8.4),

d2x dx m—T+c—+kx=0 (PT7.2)

dt2 dt

donde c es un coeficiente de amortiguamiento y k es una constante del resorte. De manera similar, una ecuación de n-ésimo orden podría incluir una «-ésima derivada.

Ecuaciones de orden superior pueden ser reducidas a un sistema de ecuaciones de primer orden. Para la ecuación (PT7.2), esto se realiza al definir una nueva variable y, donde

dx

)' = J. (PT7.3)

704 ICUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

lo anterior se puede diferenciar para obtener

dy_ = d]x_ (PT7.4) dt dt2

Las ecuaciones (PT7.3) y (PT7.4) pueden entonces ser sustituidas en la ecuación (PT7.2) para dar

m^+cy + kxÔ (PT7.5) dt

o

dy cy + kx ^ = - - m - ( P T 7 - 6 )

Así, las ecuaciones (PT7.3) y (PT7.6) son un par de ecuaciones de primer orden equivalentes a la ecuación de segundo orden original. Debido a que otras ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden pueden ser reducidas en forma similar, esta parte de nuestro libro se concentra sobre la solución de ecuaciones de primer orden. Algunas aplicaciones de la ingeniería en el capítulo 28 tratan con la solución de EDO de segundo orden por reducción a un par de ecuaciones de primer orden.

P T 7 . T . 1 Métodos para resolver EDO s in el uso de computadora

Sin una computadora, las EDO se resuelven con frecuencia con técnicas de integración analítica. Por ejemplo, la ecuación (PT7.1) se podría multiplicar por dt e integrarse para obtener

v = J (g-C-v)dt (PT7.7)

El lado derecho de esta ecuación se conoce como integral indefinida debido a que los límites de integración no están especificados. Esto contrasta con las integrales definidas que se analizaron en la parte seis [compare la ecuación (PT7.7) con la ecuación PT6.6].

Una solución analítica para la ecuación (PT7.7) se obtiene si la integral indefinida puede evaluarse en forma exacta como una ecuación. Por ejemplo, recuerde que para el problema del paracaidista en caída, la ecuación (PT7.7) se resolvió analíticamente con la ecuación (1.10) (suponga que v — 0 en t = 0):

„(,) = 1^(1-e-e-/™)') (1.10) c

La mecánica para derivar tales soluciones analíticas se analizará en la sección PT7.2. Mientras tanto, lo relevante es que las soluciones exactas para muchas EDO de importancia práctica no están disponibles. Como lo es para la mayoría de las situaciones analizadas en otras partes de esto libro, ION métodos numéricos ofrecen la única alterna^ (iva viable, para esos cusoa.' HBiifl l4*' v W numéricos por lo común requieren de

computadcrtm, unten del auge de éstas los ingenieros se hallaban limitados en el alcance de sus investigaciones.

Un método muy importante que los ingenieros y matemáticos aplicados desarrollaron para superar este dilema fue la linearización. Una ecuación diferencial ordinaria lineal es aquella que se ajusta a la forma general

a„(x)yw + • • • + a{ (x)y' + a0(x)y = f(x) (PT7.8)

donde y-"' es la H-ésima derivada de y con respecto a x y las a yf son funciones específicas de x. Esta ecuación se conoce como lineal debido a que no hay productos o funciones no lineales de la variable dependiente y sus derivadas. La importancia práctica de las EDO lineales es que se pueden resolver analíticamente. En contraste, la mayoría de las ecuaciones no lineales no pueden ser resueltas en forma exacta. Así, en la era antes de la computadora, una táctica para resolver ecuaciones no lineales era linearizarlas.

Un ejemplo simple es la aplicación de las EDO para predecir el movimiento de un péndulo oscilante (véase la figura PT7.1). De manera similar a como se hizo en la derivación del problema del paracaidista en caída, se puede usar la segunda ley de Newton para desarrollar la siguiente ecuación diferencial (véase la sección 28.4 para la derivación completa):

~ + -2- sen 0 = 0 (PT7.9) dt l

donde 0es el ángulo de desplazamiento del péndulo, g es la constante gravitacional y / es la longitud del péndulo. Esta ecuación es no lineal debido al término sen 6. Una forma para obtener una solución analítica es darse cuenta que para pequeños desplazamientos del péndulo a partir de su condición de equilibrio (es decir, para pequeños valores de 6),

send=6 (PT.10)

Así, suponemos que nos interesamos sólo en casos donde 0 es pequeña, la ecuación (PT7.10) se puede sustituir en la ecuación (PT7.9) para dar

— + ^ = 0 (PT7.11)

Tenemos, por tanto, que transformar la ecuación (PT7.9) en una forma lineal que es fáci 1 de resolver de manera analítica.

Aunque la linearización es una herramienta muy valiosa para resolver problemas en ingeniería, existen casos donde no se puede utilizar. Por ejemplo, suponga que nos interesamos en estudiar el comportamiento del péndulo para grandes desplazamientos desde el equilibrio. En tales casos, los métodos numéricos ofrecen una opción viable para obtener soluciones. En la actualidad, la disponibilidad tan amplia de las computadoras coloca esta opción al alcance de todos los ingenieros.

P T 7 . 1 . 2 EDO y práctica de la ingeniería

Las leyes fundamentales de la física, mecánica, electricidad y termodinámica están basadas con frecuencia en observaciones empíricas que explicon variaciones en las propio-

706 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

T A B L A P T 7 . 1 Ejemplos de las leyes fundamentales que se escriben en términos de la razón de cambio de variables (f = tiempo y x = posición).

Ley Expres ión matemática Var iables y pa rámet ros

Segunda ley de Newton del movimiento

aV_ á F m Velocidad (v), fuerza {() y masa (m)

Ley del calor de Fourier q = dx Flujo de calor \q), conductividad térmica [k] y temperatura [T]

Ley de difusión de Fick J = - D — dx Flujo másico [J], coeficiente de difusión (D) y concentración (c)

Ley de Faraday (caída de voltaje a través de un inductor)

AV, dt Caída de voltaje (AV¡(), inductancia (í) y corriente (/)

dades físicas y estados de los sistemas. Más que en describir directamente el estado de los sistemas físicos, las leyes se usan a menudo en términos de los cambios espacial y temporal.

En la tabla PT7.1 se enlistan varios ejemplos. Esas leyes definen mecanismos de cambio. Cuando se combinan con las leyes de conservación de la energía, masa o momentum, resultan ecuaciones diferenciales. La integración subsecuente de estas ecuaciones diferenciales originan funciones matemáticas que describen el estado espacial y temporal de un sistema en términos de variaciones de energía, masa o velocidad.

El problema del paracaidista en caída introducido en el capítulo 1 es un ejemplo de la derivación de una ecuación diferencial ordinaria a partir de una ley fundamental. Recuerde que la segunda ley de Newton se usó para desarrollar una EDO que describe la razón del cambio de velocidad de un paracaidista en caída. Al integrar esta relación, obtenemos una ecuación para predecir la velocidad de caída como una función del tiempo (véase figura PT7.2). Esta ecuación se podría utilizar en diferentes formas, entre ellas para propósitos de diseño.

De hecho, tales relaciones matemáticas son la base para la solución de un gran número de problemas de ingeniería. Sin embargo, como se describió en la sección anterior, muchas de las ecuaciones diferenciales de importancia práctica no se pueden resolver mediante métodos analíticos de cálculo. Así, los métodos que se analizan en los siguientes capítulos son extremadamente importantes en todos los campos de la ingeniería.

P T 7 . 2 A N T E C E D E N T E S M A T E M Á T I C O S

Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función específica de la variable independiente y de parámetros que satisfacen la ecuación diferencial original. Para ilustrar este concepto, empecemos con una función dada

y m - 0 . 5 J C 4 + Axs - 1(1*' i (PT7.12)

F T 7 7 5 P " MATEMÁTICOS

F-ffW L E Y F I L LOA

dv c EDO

Analítica Numérica

/ \ v= — ( 1 -<rWm)r) v,+ 1 = v (+(sr-—v¡)Af

c m Solución

F I G U R A P T 7 . 2 La secuencia de eventos en la aplicación de EDO para resolver problemas de ingeniería. El ejemplo mostrado es la velocidad de un paracaidista en caída.

la cual es un polinomio de cuarto orden (véase figura PT7.3a). Ahora, si diferenciamos la ecuación (PT7.12), obtenemos una EDO:

Esta ecuación también describe el comportamiento del polinomio, pero de una manera diferente a la ecuación (PT7.12). Más que representar explícitamente los valores de y para cada valor de x, la ecuación (PT7.13) da la razón de cambio de y con respecto a x (es decir, la pendiente) para cada valor de x. La figura PT7.3 muestra a la función y la derivada graneadas contra x. Observe cómo el valor cero de las derivadas corresponde al punto en el cual la función original es plana; es decir, tiene una pendiente cero. También los valores absolutos máximos de las derivadas están en los extremos del intervalo donde las pendientes de la función son las más grandes.

Como se acaba de mostrar, aunque podemos determinar una ecuación diferencial dando a la función original, el objetivo aquí es determinar la función original dada la ecuación diferencial. La función original entonces representa la solución. Para el caso actual, podemos determinar esta solución de manera analítica al integrar la ecuación (PT7.13):

-f- = -2x3 + I2x2 - 20x + 8.5 dx

(PT7.13)

Aplicando la regla de integración (recuerde la tabla PT6.2)

708 ICUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

F I G U R A P T 7 . 3 Gráficas de a] y contra x y b) dy/dx contra x para la función y = - O . í x 4 + 4x 3 - 1 Ox2 + 8 . 5 x + 1.

para cada término de la ecuación se obtiene la solución

y = - 0 . 5 * 4 + 4x3 - I0x2 + 8.5* + C (PT7.14)

la cual es idéntica a la función original con una notable excepción. En el curso de diferenciación y después de la integración, perdemos el valor constante de 1 en la ecuación original y ganamos el valor C. Esta C es llamada constante de integración. El hecho de que aparezca esa constante arbitraria indica que la solución no es única. De hecho, lo es pero de un número infinito de funciones posibles (correspondiente a un número infinito de posibles valores de Q que satisfacen la ecuación diferencial. Por ejemplo, la figura PT7.4 muestra seis funciones posibles que satisfacen la ecuación (PT7.14).

Por tanto, para especificar la solución por completo, la ecuación diferencial comúnmente se encuentra acompañada por condiciones auxiliares. Para las EDO de primer orden, un tipo de condición auxiliar llamada valor inicial es requerida para determinar la constante y obtener una solución única. Por ejemplo, la ecuación (PT7.13) se podría acompañar por la condición inicial que en x = 0, y = 1. Estos valores podrían sustituirse en la ecuación (PT7.14):

1 - - 0 . 5 ( 0 ) 4 + 4(0)-' - lütOD'+JUCO) + C (PT7.15)

FT7.3 «HIJUCIÓN fif

F I G U R A P T 7 . 4 Seis posibles soluciones para la integral de -2X3 + 1 2.x2 - 20x + 8 . 5 . Cada una conforma un valor diferente de la constante de integración C.

para determinar C = 1. Por tanto, la solución única que satisface a la ecuación diferencial y a la condición inicial especificada se obtiene al sustituir C = 1 en la ecuación (PT7.14) para dar

y = - 0 . 5 x 4 + Ax3 - I0x2 + 8.5x + 1 (PT7.16)

De esta forma, hemos "sujetado" la ecuación (PT7.14) al forzarla a pasar a través de ln condición inicial, y al hacerlo desarrollamos una solución única para la EDO y completamos un círculo con la función original [véase ecuación (PT7.12)].

Las condiciones iniciales usualmente tienen interpretaciones muy tangibles para las ecuaciones diferenciales derivadas de las condiciones de problemas físicos. Por ejemplo, en el problema del paracaidista en caída, la condición inicial fue un reflejo del hecho físico de que en el tiempo cero la velocidad vertical fue cero. Si el paracaidista hubiese estado en movimiento vertical en el tiempo cero, la solución debería haberse modificado al tomar en cuenta esta velocidad inicial.

Cuando tratamos con una ecuación diferencial de n-ésimo orden, se requiere de n condiciones para obtener una solución única. Si se especifican todas las condiciones en el mismo valor de la variable independiente (por ejemplo, en* o t — 0), entonces al problema se le conoce como problema de valor inicial. Esto contrasta con los problemas de valor límite donde la especificación de condiciones ocurre con diferentes valores de la variable independiente. Los capítulos 25 y 26 se concentrarán sobre problemas de valor inicial. Los problemas de valor límite se abordarán en el capítulo 27 junto con los de valores propios.

P T 7 . 3 O R I E N T A C I Ó N

FT7.I5) Antes de proceder con los método» numéricos para la solución de ecuaciones diferencia-Ios ordinarias, podría ser de utilidad alguna orientación. El siguiente material tiene como

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

propósito darle una revisión del material que se analizará en lu parte siete. Además, formulamos objetivos para concentrar sus estudios sobre el área de estudio.

P T 7 . 3 . T Alcance y revis ión

La figura PT7.5 proporciona una revisión de la parte siete. Dos categorías amplias de métodos numéricos para problemas de valor inicial se analizarán en esta parte del libro. Los métodos de un paso, los cuales se verán en el capítulo 25, permiten el cálculo y¡ , dada la ecuación diferencial y y¡. Los métodos de multipasos, que se abordarán en el capítulo 26, requieren valores adicionales de y además de los de /'.

Todos los métodos, excepto los métodos de un paso del capítulo 25, pertenecen a las llamadas técnicas de Runge-Kutta. Aunque el capítulo podría haberse organizado alrededor de esta noción teórica, optamos por un procedimiento más gráfico e intuitivo para introducir los métodos. De esta manera, empezamos el capítulo con el método de Euler, el cual tiene una muy directa interpretación gráfica. Luego se ven las mejoras al método de Euler (las técnicas de Heun y las de punto medio). Después de esta introducción, desarrollamos de manera formal el concepto de procedimiento de Runge-Kutta (o RK) y demostramos cómo las técnicas anteriores son los métodos RK de primer y segundo orden. Continuamos con un análisis de las formulaciones RK de orden superior que se usan con frecuencia en la solución de problemas de ingeniería. Además, cubrimos la aplicación de los métodos de un paso a sistemas de EDO. Por último, el capítulo termina con un análisis de los métodos RK adaptativos que en forma automática ajustan el tamaño de paso en respuesta al error de truncamiento del cálculo.

El capítulo 26 comienza con una descripción de las EDO rígidas, que se encuentran tanto en forma individual como en sistemas de EDO, y para su solución ambos tienen componentes lentos y rápidos. Introducimos la idea de una técnica de solución implícita como uno de los remedios más comunes para este problema.

Después, analizamos los métodos de multipaso. Estos algoritmos retienen información de los pasos anteriores para capturar con más efectividad la trayectoria de la solución. También dan una estimación del error de truncamiento que se puede usar para implementar un control de tamaños de paso. En esta sección primero tomamos un procedimiento visual e intuitivo al usar un método simple (el Heun de no autoini-cio) para introducir todas las características esenciales de los procedimientos de multipaso.

En el capítulo 27 regresamos a los problemas de valor límite y de valores propios. Para los primeros, introducimos tanto los métodos de disparo como los de diferencias finitas. Para los últimos, analizamos diferentes procedimientos, entre ellos los métodos de polinomios y los de potencias. Por último, el capítulo concluye con una descripción de la aplicación de varios paquetes de software y librerías para la solución de EDO y valores propios.

El capítulo 28 se dedica a aplicaciones en todos los campos de la ingeniería. Por último, se incluye una sección de revisión breve al final de la parte siete. Este epílogo resume y compara las fórmulas importantes y conceptos relacionados con las EDO. La comparación incluye un análisis de los elementos de juicio que son relevantes en su implementación en la práctica do la ingeniería. El epílogo también resume fórmulas importantes c incluye referencias de lomas avanzudos.

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3 W

28.4 Ingeniería mecánica

PARTE SIETE Ecuaciones diferenciales

ordinarias

25.2 'Métodos de Heun^

y del punto medio

CAPITULO 25 Métodos de Runge-Kutta

25.3 Runge-Kutta .

25.4 Sistemas de EDO

25Ü5~ Métodos

s adaptatlvos R IO

28.! Ingeniería •léctrlca

CAPITULO 28 Aplicaciones en ingeniería

CAPÍTULO 26 Métodos rígidos y de multipaso 26.1

Rigidez

28.2 Ingeniería

civil

CAPITULO 27 Problemas de valor

límite y valores propios

26.2 Métodos multipaso

27.3 Librerías

y paquetes

27.1 Problemas con valores en la

frontera

f l O U R A P T 7 . 5

k't'l iiü.'.ontación esquemática de la organización de la parte siete: Ecuaciones diferenciales ordinarias.

7 1 2 ICUACIONIS DIFERENCIALES ORDINARIAS

P T 7 . 3 . 2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Después de completar la parte siete, usted debe aumentar de manera notoria su capacidad para enfrentar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y problemas de valores propios. Las metas de estudio en general deberían incluir el manejo de las técnicas, y una capacidad para asegurar la confiabilidad de las respuestas, y poder seleccionar el "mejor" método (o métodos) para cualquier problema en particular. Además de estos objetivos generales, debería dominar los objetivos de estudio específicos que se enlistan en la tabla PT7.2.

Objetivos de cómputo. Se le proporcionó ya el software y algoritmos para implemen-tar las técnicas analizadas en la parte siete. Todo tiene utilidad como herramientas de aprendizaje.

El software para su computadora personal TOOLKIT de métodos numéricos es de uso amigable. Emplea el método de Runge-Kutta de cuarto orden para la solución de

T A B L A P T 7 . 2 Objetivos de estudio específicos para la parte siete.

1. Entender las representaciones visuales de los métodos de Euler, de Heun y del punto medio. 2. Conocer la relación del método de Euler con la expansión de la serie de Taylor y el conocimiento

que esto proporciona con respecto al error del método. 3. Entender la diferencia entre los errores de truncamiento local y global y cómo se relacionan con la

selección de un método numérico para un problema en particular. 4. Conocer el orden y la dependencia del tamaño de paso de los errores de truncamiento global

para todos los métodos descritos en la parte siete; entender cómo dichos errores tienen que ver con ia exactitud de las técnicas.

5. Entender la base de los métodos predictor-corrector. En particular, percatarse que la eficiencia del corrector es dependiente de la exactitud del predictor.

6. Conocer la forma general de los métodos de Runge-Kutta. Entender la deducción del método RK de segundo orden y cómo se relaciona con la expansión en serie de Taylor; darse cuenta de que hay un número infinito de versiones posibles para los métodos RK de segundo orden y superiores.

7. Saber cómo aplicar cualquiera de los métodos RK a sistemas de ecuaciones; poder reducir una EDO de n-ésimo orden a un sistema de n EDO de primer orden.

8. Reconocer el tipo de problema en contexto donde es importante el ajuste del tamaño de paso. 9. Entender cómo se integra el control del tamaño de paso adaptativo en un método RK de cuarto

orden. 10. Reconocer de qué modo la combinación de los componentes lentos y rápidos hacen una ecuación

o un sistema de ecuaciones rígidos. 1 1. Entender la distinción entre esquemas de solución implícitos y explícitos para EDO. En particular,

reconocer cómo el último 1) aminora la rigidez del problema y 2) complica la mecánica de solución.

12. Entender la diferencia entre problemas de valor inicial y de valores en la frontera. 1 3. Saber la diferencia entre los métodos de multipaso y de un paso; darse cuenta que todos los

métodos multipaso son predictor-corrector, pero no a la inversa. 14. Entender la conexión entre fórmulas de integración y métodos predictor-corrector. 15. Reconocer la diferencia fundamental entre las fórmulas de integración de Newton-Cotes y la de

Adams. 16. Saber lo racional detrás de los métodos de polinomios y los de potencia para determinar valores

propios; en particular, reconocer sus fortalezas y limitaciones. 17. Entender cómo la deflación de Hoteller permite que el método de potencias se utilice para calculai

los valores propios intermedios. 18. Saber cómo usar los paquetes de sollwdn» y/o librerías para integrar las EDO y evaluar los V O I O I U Í ,

propios.

hasta cinco Hl)() simultáneas. Las gráficas asociudas con este software le permitirán visualizar con facilidad la solución de gráficas como las xy donde se tiene la(s) variable(s) dependiente(s) contra la variable independiente. El software es muy fácil de aplicar para resolver muchos problemas prácticos y puede usarse con el fin de verificar los resultados de cualquier programa en computadora que usted haya desarrollado.

Además, se proporciona los algoritmos para muchos otros métodos en la parte siete. Esta información le permitirá aumentar su librería de software. Por ejemplo, puede encontrar útil desde un punto de vista profesional tener el software que emplea el método de Runge-Kutta de cuarto orden para más de cinco ecuaciones y resolver las EDO con un procedimiento adaptativo de tamaño de paso.

Por último, una de sus más importantes metas debería ser el dominio de los paquetes de software de propósito general que están disponibles ampliamente. En particular, debería convertirse en un entusiasta usuario de esas herramientas para implementar métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería.

CAPITULO 25

Métodos de Runge-Kutta

Este capítulo se dirige a la resolución de ecuaciones diferenciales de la forma

-r = /(•*> y) dx

En el capítulo 1 usamos un método numérico dirigido a resolver una ecuación como la anterior para el cálculo de la velocidad del paracaidista en caída. Recuerde que el método fue de la forma general

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso,

o en términos matemáticos,

yi+i=yi +<ph (25.1)

De acuerdo con esta ecuación, la pendiente estimada <¡> se usa para extrapolar desde un valor anterior y(- a un nuevo valor^ + , en una distanciad (véase figura 25.1). Esta fórmula se puede aplicar paso a paso para calcular el valor en el futuro y, por tanto, trazar la trayectoria de la solución.

F I G U R A 2 5 . 1 Ilustración gráfica del método de un paso.

25/í MÉTODO DE EULER -

/i» y

Error

x

F I G U R A 2 5 . 2 Método de Euler.

Todos los métodos de un paso se pueden expresar en esta forma general, que sólo va a diferir en la manera en la cual se estima la pendiente. Como en el problema del paracaidista en caida, el procedimiento más simple es usar la ecuación diferencial para estimar la pendiente derivada enx¡ al inicio del intervalo. En otras palabras, la pendiente al inicio del intervalo es tomada como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. Este procedimiento, llamado método de Euler, se analiza en la primera parte de este capítulo. Después continuamos con otros métodos de un paso que cumplen estimaciones de pendiente en forma alterna, y cuyas resultantes serán predicciones más exactas. Todas estas técnicas se conocen por lo general como métodos de Runge-Kutta.

2 5 . 1 M É T O D O D E E U L E R

La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en x¡ (véase figura 25.2):

donde/(x¡, y¡) es la ecuación diferencial evaluada enx¡ y y¡. Tal estimación podrá sustituirse en la ecuación (25.1):

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto medio). Se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de x) que habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el lamaflo do puso h (véase figura 25.2).

4> = f(x¡, y i) y¡+\ =y¡ +f(x¡,y¡)h (25.2)

7 1 6 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

EJEMPLO 25.1 Método de Euler

| Enunciado del problema. Use el método de Euler para integrar numéricamente la \ ecuación (PT7.13):

í — = - 2 x 3 + 12x 2 - 20* + 8.5 dx

desde* = Ohastax = 4con un tamaño depaso 0.5. La condición inicial en* = Oesy = 1. Recuerde que la solución exacta la da la ecuación (PT7.16):

y = - 0 . 5 * 4 + 4 x 3 - 10x 2 + 8.5* + 1

Solución. Se puede usar la ecuación (25.2) para implementar el método de Euler:

i y(0.5) = y(0) + /(O, 1)0.5 ^ \ ; V- U - : * '

donde y (0) = 1 y la pendiente estimada en* = 0 es

/(O, 1) = - 2 ( 0 ) 3 + 12(0) 2 - 20(0) + 8.5 = 8.5 I ¡J

Por tanto,

\ y (0.5) = 1.0 + 8.5(0.5) = 5.25

La solución real en * = 0.5 es

y = -0 .5 (0 .5 ) 4 + 4(0.5) 3 - 10(0.5) 2 + 8.5(0.5) + 1 = 3.21875

T A B L A 2 5 . 1 Comparación de los valores verdadero y aproximado de la integral de y' = -2X 3 + 1 2X2 - 20x + 8.5, con la condición inicial de que y = 1 en x = 0. Los valores aproximados se calcularon mediante el método de Euler con un tamaño de paso de 0.5. El error local se refiere al error incurrido sobre un solo paso. Se calcula con una expansión de la serie de Taylor como en el ejemplo 25.2. El error global es la discrepancia total debida a los pasos anteriores así como a los actuales.

E r ro r re lat ivo porcentual

X Xverdadero YEuler Global Local

0.0

íooooo) ' ^ 2 5 0 0 0 ) 0.5 •3,?'.B75-> ' ^ 2 5 0 0 0 ) -63.1 -63.1

1.0 3.00000 -95.8 -28.0 1.5 2.21875 6.12500 131.0 -1.41 2.0 2.00000 4.50000 -125.0 20.5 2.5 2.71875 4.75000 -74.7 17.3 3.0 4.00000 5.87500 46.9 4.0 3.5 4.71875 7,12500 -51.0 -1 1.3 4.0 3.00000 /.0Ü000 133.3 -53.0

25.1 MÍTOOO DE EULER 7TT

O x O 2 4

F I G U R A 2 5 . 3 Comparación de la solución verdadera con una solución numérica mediante el método de Euler para la integral de y' = - 2 X 3 + 1 2X 2 - 20x + 8 . 5 desde x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1.

Así, el error es

E, = verdadero - aproximado = 3.21875 - 5.25 = -2 .03125

o, expresada como error relativo porcentual, e, — —63.1%. Para el segundo paso,

y ( l ) = },(0.5) + / (0 .5 , 5.25)0.5

= 5.25 + [~2(0.5) 3 + 12(0.5) 2 - 20(0.5) + 8.5] 0.5

= 5.875

La solución real en x = 1.0 es 3.0 y, por tanto, el error relativo porcentual es -95 .8%. El cálculo se repite y los resultados se compilan en la tabla 25.1 y la figura 25.3. Observe que aunque el cálculo captura la tendencia general de la solución verdadera, el error es considerable. Como se analiza en la siguiente sección, este error se puede reducir al usar un tamaño de paso más pequeño.

El ejemplo anterior usa un polinomio simple para la ecuación diferencial con el fin de facilitar el siguiente análisis de error. De esta forma,

dy dx

» / ( O


Obviamente, un caso más general (y más común) involucra varios EDO que dependen de ambos, x y y,

-r = ftx, y) dx

Conforme avancemos en esta parte del texto, nuestros ejemplos involucrarán en forma gradual un número de EDO que dependen de ambas variables: independientes y dependientes.

2 5 . 1 . 1 Anál is is de er ror para el método de Euler

La solución numérica de los EDO involucra dos tipos de error (recuerde los capítulos 3 y 4):

1 . Errores de truncamiento, o discretización, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2. Errores de redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una computadora.

Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de truncamiento local que resulta de una aplicación del método en cuestión sobre un paso sencillo. La segunda es un error de truncamiento propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos. La suma de los dos és el total, o error de truncamiento global.

Se puede obtener cierto conocimiento acerca de la magnitud y propiedades del error de truncamiento al derivar el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello, observe que la ecuación diferencial sujeta a integración será de la forma general:

y ' = /(JF, >0 (25.3)

donde y ' = dy/dx, yxyy son las variables independiente y dependiente, respectivamente. Si la solución (es decir, la función que describe el comportamiento de y) tiene derivadas continuas, puede representarse por una expansión de la serie de Taylor con respecto a los valores de inicio (x¡, y¡), como en [recuerde la ecuación (4.7)]

y, + 1 = y, + yjh + ^h2 + --- + \ h n + R„ (25.4) z ! n\

donde h = x¡ j — x¡yRn = término remanente, definido como

* . = (25.5,

donde ¿j está en algún lugar en el intervalo de x¡ a x¡+1. Es posible desarrollar una forma alternativa al sustituir la ecuación (25.3) en las ecuaciones (25.4) y (25.5) para obtener

y , , , = v(- + ,/U„ v,)/, I • / " Ü ; ; V ' V 1 1- /--1-(A'::V-Í)/,» t (Hh""> (25.6) 2! IÚ

25.1 MÉTODO DE EULER 7 1 9

donde 0(h"1 1) especifica que el error de funcionamiento local es proporcional al tamaño de paso elevado a la potencia (« + l)-ésima.

Al comparar las ecuaciones (25.2) y (25.6), puede verse que el método de Euler corresponde a la serie de Taylor hasta e incluyendo el término f(x¡, y¡)h. Además, la comparación indica que ocurre un error de truncamiento porque aproximamos la solución verdadera mediante un número finito de términos de la serie de Taylor. De esta forma truncamos, o dejamos fuera, una parte de la solución verdadera. Por ejemplo, el error de truncamiento en el método de Euler es atribuible a los términos remanentes en la serie de expansión de Taylor que no se incluyeron en la ecuación (25.2). Al restar la ecuación (25.2) de la (25.6) se tiene

+ 0(hn+l) (25.7)

donde Et = error de truncamiento local verdadero. Para h lo suficientemente pequeña, los errores en los términos de la ecuación (25.7) disminuyen con frecuencia en tanto aumenta el orden (recuerde el ejemplo 4.2 y el análisis que lo acompaña), y el resultado a menudo es representado como

2! (25.8)

Ea = O(lr)

donde Ea = error de truncamiento local aproximado.

(25.9)

EJEMPLO 25 .2 Estimación de la serie de Taylor por el método del error de Euler

\ Enunciando del problema. Use la ecuación (25.7) para estimar el error del paso inicial del ejemplo 25.1. Úsela también para determinar el error debido a cada uno de los términos de orden superior de la serie de expansión de Taylor.

Solución. Debido a que tratamos con un polinomio, podemos usar la serie de Taylor para obtener estimaciones exactas en el método de Euler. La ecuación (25.7) se puede escribir como

E, f'ixi, yi)_h2 + /"(*,-, y,-) f t 3 + / ( 3 ) ( * M y , ) / 7 4 3! 4! (E25.2.1)

donde f'(x¡, y¡) — primera derivada de la ecuación diferencial (que es, la segunda derivada de la solución). Para el presente caso, ésta es

/"(.v.. y.) = -6x2 + 2Ax - 20

yf"(x¡, y¡) es lu segunda derivada de la EDO

f"iM,y,) * - 12v + 24

(E25.2.2)

(E25.2.3)

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

y/*3)(x,-, y¡) es la tercera derivada de la EDO

/ ( 3>(x (- ,y,0 = - 1 2 (IÍ25.2.4)

Podemos omitir términos adicionales (esto es, derivadas de cuarto y superiores) de la ecuación (E25.2.1), ya que para este caso en particular son igual a cero. Se debería observar que para otras funciones (por ejemplo, funciones trascendentales como sinusoides o exponenciales) esto podría no necesariamente ser cierto, y los términos de orden superior podrían tener valores diferentes a cero. Sin embargo, para el presente caso, las ecuaciones (E25.2.1) a la (E25.2.4) definen por completo el error de truncamiento para una sola aplicación del método de Euler.

Por ejemplo, el error de truncamiento del término de segundo orden se puede calcular como

- 6 ( 0 . 0 ) 2 + 24(0.0) - 20 7

E,,2 = — - — - ^ — (0.5) 2 = - 2 . 5 (E25.2.5)

Para el término de tercer orden:

- 1 2 ( 0 . 0 ) + 24 £ , , 3 = (0.5) J = 0.5

o

y para el término de cuarto orden:

— 12 E, 4 = (0.5) 4 = -0 .03125

24

Estos tres resultados pueden ser agregados para obtener el error de truncamiento total:

E, = E,,2 + £ f , 3 + EtA = - 2 . 5 + 0.5 - 0.03125 = -2.03125

el cual es exactamente el error en que se incurría en el paso inicial del ejemplo 25.1, Observe como Et2 > Et3 > Et¥ el cual soporta la aproximación representada por In ecuación (25.8).

Como se ilustra en el ejemplo 25.2, la serie de Taylor proporciona un medio para cuantificar el error en el método de Euler. Sin embargo, existen limitaciones asociadas con su uso para este propósito:

1. La serie de Taylor proporciona sólo un estimado del error de truncamiento local; en decir, el error creado durante un solo paso del método. No proporciona una medida del error propagado y, por tanto, del error de truncamiento global. En la tabla 25.1 incluimos los errores de truncamiento global y local para el ejemplo 25.1. El error local se calculó para cada tamaño de tiempo con la ecuación (25.2), pero mediante el uso del valor verdadero de y¡ (la segunda columna de la tabla) para calcular y¡ , , en lugar del valor aproximado (la tercera columna), como se hizo en el método ele Euler. Como se esperaba, el error de truncamiento local absoluto promedio (25%) es menor que el error global promedio (90%). La única razón que tendríamos puní hacer estos cálculos do error a&tetoi, en que conocemos el valor verdadero a priorl,

Éito no podrí«aer ol caso en un problema real. En consecuencia, como lo nnalizaro-moa dtapuói, usted debe aplicar con frecuencia técnicas tales como ol método de Euler usando varios tamaños de paso diferentes para obtener una estimación indirecta de los errores involucrados.

2. Como se mencionó antes, en problemas reales con frecuencia tratamos con funciones que son más complicadas que los polinomios simples. En consecuencia, las derivadas necesarias para evaluar la expansión de la serie de Taylor podrían no siempre ser fáciles de obtener.

Aunque estas limitaciones impiden el análisis de error exacto para la mayoría de los problemas prácticos, la serie de Taylor proporciona todavía un conocimiento valioso en el comportamiento del método de Euler. De acuerdo con la ecuación (25.9), vemos que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño de paso y a la primera derivada de la ecuación diferencial. Se puede también demostrar que el error de truncamiento global es 0(h); es decir, es proporcional al tamaño de paso (Carnahan y cois., 1969). Estas observaciones nos llevan a las siguientes conclusiones útiles:

1. Se puede reducir el error al disminuir el tamaño de paso. 2. El método proporcionará predicciones libres de error si la función en turno (es de

cir, la solución de la ecuación diferencial) es lineal, debido a que para una línea recta, la segunda derivada podría ser cero.

Esta última conclusión tiene sentido intuitivo, ya que el método de Euler usa segmento» de línea recta para aproximar la solución. De ahí que se haga referencia al método de Euler como uno de primer orden.

Debería también observarse que este patrón general se cumple para métodos do orden superior de un paso, que se describen en las siguientes páginas. Es decir, un método de M-ésimo orden dará resultados perfectos si la solución en turno es un polinomio de n-ésimo orden. Además, el error de truncamiento local será 0(h"+1) y el error global 0(h").

EJEMPLO 25 .3 Efecto del tamaño de paso reducido sobre el método de Euler

Enunciadodel problema. Repita el cálculo del ejemplo 25.1, pero ahora use un tamaño de paso de 0.25.

Solución. El cálculo se repite, y los resultados se compilan en la figura 25.4a. Al vol-\ ver el tamaño de paso a la mitad se reduce el valor absoluto del error global promedio al i 40% y el valor absoluto del error local al 6.4%. Esto es equiparable a los errores global í y local del ejemplo 25.1 de 90% y 24.8%. Así, como se esperaba, el error local disminu-j ye a un cuarto y el error global a la mitad.

Observe también cómo el error local cambia de signo para valores intermedios a lo i largo del rango. Esto se debe principalmente a que la primera derivada de la ecuación j diferencial es una parábola que cambia de signo [recuerde la ecuación (E25.2.2) y vea | la figura 25.46]. Como el error local es proporcional a esta función, el efecto neto de la

oscilación en el signo es para mantener el error global de un crecimiento continuo en tanto so ejecuta ol cálculo. Así, desde x = 0 hasta x — 1.25, todos los errores locales son negativo» y, en consecuencia, el error global aumenta sobre este intervalo. En la sección

722 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

«J'i< " ¡ 1 . . ' .:" : i vi "i.! •

\ F I G U R A 2 5 . 4 ¡ a) C O M P A R A C I Ó N D E D O S SOLUCIONES N U M É R I C A S C O N EL M É T O D O D E EULER M E D I A N T E EL U S O D E

j T A M A Ñ O S D E P A S O D E 0 . 5 Y 0 . 2 5 . b) C O M P A R A C I Ó N DEL ERROR D E TRUNCAMIENTO LOCAL V E R D A D E R O

J Y E S T I M A D O P A R A EL C A S O D O N D E EL T A M A Ñ O D E P A S O E S 0 . 5 . O B S E R V E Q U E EL ERROR " E S T I M A D O "

\ S E B A S A E N LA E C U A C I Ó N ( E 2 5 . 2 . 5 ) .

j \ intermedia del rango, los errores locales positivos comienzan a reducir el error global. ! Cerca del extremo, se invierte el proceso y de nuevo aumenta el error global. Si el error

local cambia en forma continua el signo sobre el intervalo de cálculo, el efecto neto será con frecuencia reducir el error global. Sin embargo, donde los errores locales son del

i mismo signo, la solución numérica puede divergir cada vez más de la solución verdadera j en tanto se ejecuta el cálculo. Tales resultados se conocen como inestables.

El efecto de reducciones adicionales en el tamaño de paso sobre el error de truncamiento global del método de Euler se ilustra en la figura 25.5. Esta gráfica muestra cl errar relativo porcentual en x • 5 tono UM función del tamaño de paso para el problo-

, Pieos . , 5 50 ,. 500 5 000

1 0.1 0.01 0.001

Tamaño de paso

FIGURA 2 5 . 5 Efecto del tamaño de paso sobre el error de truncamiento global del método de Euler paia la integral de y' = -2x3 + 1 2X2 - 20x + 8.5. La gráfica muestra el error global relativo porcentual absoluto en x = 5 como una función del tamaño de paso.

ma que estamos examinando en los ejemplos 25.1 al 25.3. Observe que aun cuando h so reduzca a 0.001, el error todavía excede 0.1 %. Como este tamaño de paso corresponde a 5 000 pasos para ejecutar desde x = 0 hasta x — 5, la gráfica sugiere una técnica do primer orden como el método de Euler que demanda gran esfuerzo computacional para obtener otros niveles de error aceptables. Más adelante en este capítulo, presentamos técnicas de orden superior que dan mucha mayor exactitud con el mismo esfuerzo computacional. Sin embargo, debería observarse que, a pesar de su ineficiencia, la simplicidad del método de Euler lo hace una opción extremadamente atractiva para muchos problemas de ingeniería. Ya que es muy fácil de programar, la técnica es en particular útil para análisis rápidos. En la próxima sección se desarrolla un algoritmo de cómputo para el método de Euler.

2 5 . 1 . 2 Algor i tmo para el método de Euler

Los algoritmos para las técnicas de un paso como el método de Euler, son en extremo simples de programar. Como se especificó en el inicio de este capítulo, todos los métodos de un paso tienen la forma general

Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño de peso (25.10)

La única forma en la que difieren los métodos es en el cálculo de la pendiente.


Suponga que usted quiere realizar el cálculo simple expuesto en la tabla 25.1. Esto es, a usted le gustaría usar el método de Euler para integrar / = -2x2 + \2x2 - 20x + 8.5, con la condición inicial de que y = 1 enx = 0. A usted le gustaría integrarla hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 0.5, y que desplegara todos los resultados. Un pseudocódigo simple para realizar lo anterior podría ser como el que está escrito en la figura 25.6.

Aunque este programa "hará el trabajo" de duplicar los resultados de la tabla 25.1, no está muy bien diseñado. Primero, y el más importante, no es muy modular. Aunque esto no es muy importante para un programa así de pequeño, podría ser crítico si deseamos modificar y mejorar el algoritmo.

Además, existen varios factores relacionados con la forma en que establecemos las iteraciones. Por ejemplo, suponga que el tamaño de paso se habrá de volver muy pequeño para obtener mayor exactitud. En tales casos, debido a que cada valor calculado se despliega, el número de variables de salida podría ser muy grande. Además, el algoritmo está imposibilitado sobre la suposición de que el intervalo de cálculo es uniformemente divisible entre el tamaño de paso. Por último, la acumulación de x en la línea x = x + dx puede estar sujeta a cuantización de errores de la clase analizada en la sección 3.4.1. Por ejemplo, si dx fuera cambiada a 0.01 y se usara la representación estándar IEEE de punto flotante (cerca de siete cifras significativas), el resultado al final del cálculo podría ser 3.999997 en lugar de 4. ¡Para dx = 0.001, podría ser 3.999892!

F I G U R A 2 5 . 6 Pseudocódigo paro una versión "muda" del método de Euler.

'set ¡ntegratíon range x¡ = O xf = 4 'initialize variables

X = XÍ y = i 'eet step eize and determine 'number of calculation steps dx. = 0.5 nc - (xf-xi)/dx 'output initial condition PRINT x, y 'loop to impiement Euler's method 'and dieplay reeulte DO i =1,nc

dydx = -2X 3 + 12X2 - 20x + 3.5 y = y + dydx • dx x = x + dx PRINT x, y

END OQ .

1. Esto • En la figura 25,7 NO despliega un algoritmo mucho más modular que evilu esas 20x + I dificultades. 1(1 nluorilnio no da la salida A todos los valores calculados. En lugar do esto, hasta x • el usuario especifica un intervalo de salida, xout, que indica el intervalo en el cual los os. Un • resultados calculados se guardan en arreglos, xpm y ypm. Estos valores se guardan en o en la • arreglos de tal modo que se tenga salida en diferentes formas una vez que termine el

I cálculo (por ejemplo, impresión, gráficas, escritura en un archivo). IA 25.1, H El programa principal toma grandes tamaños de paso y llama A una rutina denomi-^.unque H nada Integrator que hace los tamaños de cálculo más pequeños. Observe que los ciclos desea- • controlan ambas salidas de paso, grandes y pequeños, en condiciones lógicas. Así, los

fl intervalos no tienen que ser uniformemente divisibles entre los tamaños de paso, mos las I La rutina Integrator llama después A la rutina Euler que toma un solo tamaño de peque- H paso con el método de Euler. La rutina Euler llama A la rutina Derívate que calcula el

ilado se H valor de la derivada. joritmo • Mientras que tal modularización podría parecer que sobrepasa al caso actual, facili-temente • tara en gran medida la modificación del programa en las últimas secciones. Por ejemplo, x + dx fl aunque el programa de la figura 25.7 está diseñado específicamente para implementar el

4.1. Por S método de Euler, el módulo de Euler es la única parte en que el método es específico, le punto fl Así, todo lo que se requiere para aplicar este algoritmo con otros métodos de un paso es >dría ser H modificar esta rutina.

F I G U R A 2 5 . 7 Pseudocódigo para una versión modular "mejorada" del método de Euler.

a) Programa principal o "manejado!*" b) Rutina para tomar un paso de salida Assign valúes for y = initial valué dependent variable xi = initial valué independent variable xf = final valué independent variable dx = caiculation step size xout = output interval

x = xi m=0

DO xend = x + xout IF (xend > xf) THEN xend = xf h = dx CALL Integrator (x, y, h, xend) m = m + 1 xpm = x

y p m = y IF (x £ xf) EXIT ENP DO DISFLAY KF.5ULTS END

5U3 Integrator (x, y, h, xend) DO

IF (xend - x < h) THEN h = xend - x CALL Euler (x, y, h, ynew) y = ynew IF (x > xend) EXIT

END DO END SUB

cj Método de Euler para una sola EDO 3U3 Euler (x, y, h, ynew)

CALL Derivs(x, y, dydx) ynew = y + dydx * h x = x + h

END S U B

d] Rutina para determinar la derivada 5U3 Derive (x, y, dydx)

dydx = ... END SUB

726 MÉTODOS DE RUNGÉ-KUTTA

EJEMPLO 25.4 Rtiolvitndo EDO con la computadora

Enunciado del problema. Se puede desarrollar un programa de cómputo a partir del pseudocódigo de la figura 25.7. Podemos usar este software para resolver otro problema asociado con la caída del paracaidista. Usted recordará de la parte uno que nuestro modelo matemático para la velocidad se basó en la segunda ley de Newton en la forma

dv c — = g v dt m

(E25.4.1)

Esta ecuación diferencial se resolvió tanto de manera analítica (ejemplo 1.1) como numérica con el método de Euler (ejemplo 1.2). Esas soluciones fueron para el caso en el g = 9.8, c = 12.5, m = 68.1 y v = 0 en t = 0.

El objetivo del presente ejemplo es repetir esos cálculos numéricos mediante un modelo más complicado para la velocidad con base en una descripción matemática más completa de la fuerza de arrastre causada por la resistencia del viento. Este modelo lo proporciona

dv

dt = g

m v + a (E25.4.2)

donde g,myc son las mismas que en la ecuación (E25.4.1), y a, b y i» m 4 x son constantes empíricas, las cuales para este caso son igual a 8.3, 2.2 y 46, respectivamente. Observe que este modelo tiene mayor capacidad para ajustar con exactitud mediciones empíricas de fuerzas de arrastre contra velocidad que el modelo lineal simple del ejemplo 1.1. Sin embargo, este aumento en la flexibilidad se gana a expensas de evaluar tres coeficientes en lugar de uno. Además, el modelo matemático resultante es más difícil de resolver en forma analítica. En este caso, el método de Euler proporciona una alternativa conveniente para obtener una solución numérica aproximada.

| F I G U R A 2 5 . 8 j Resultados gráficos para la solución de la EDO no lineal [véase ecuación (E25.4.2)]. j Observe que la gráfica también muestra la solución para el modelo lineal [véase ecuación

(E25.4.1)] para propósitos comparativos.

Lineal

No lineal

23.] MftftPCM EULER Solución. Los resultados para ambos modelos, lineal y no lineal, se despliegan en la figura 25.H con un tamaño de paso de integración de 0.1 s. La gráfica de esta figura muestra también un traslape de la solución del modelo lineal para propósitos de comparación.

Los resultados de las dos simulaciones indican en qué medida el aumento de la complejidad de la formulación en la fuerza de arrastre afecta la velocidad del paracaidista. En este caso, la velocidad terminal disminuye debido a la resistencia causada por los términos de orden superior en la ecuación (E25.4.2).

Podría probarse en forma similar modelos alternativos. La combinación de una solución generada con la computadora hace de esto una tarea fácil y eficiente. Tales beneficios deberían permitirle dedicar más tiempo para considerar alternativas creativas y aspectos holísticos del problema en lugar de los tediosos cálculos a mano.

2 5 . 1 . 3 Métodos para la serie de Taylor de orden super ior

Una manera para reducir el error del método de Euler podría ser la inclusión de términos de orden superior en la expansión de la serie de Taylor para su solución. Por ejemplo, con la inclusión del término de segundo orden en la ecuación (25.6) se obtiene

f'(xi,yi) 7

y¡+i = y, + f(xi,y¡)h + J y ^ h2 (25.11)

con un error de truncamiento local de

6

Aunque la incorporación de términos de orden superior es lo suficientemente simple para implementarse en los polinomios, su inclusión no es tan trivial cuando la EDO es más complicada. En particular, las EDO que son una función tanto de la variable dependiente como de la independiente, requieren diferenciación por la regla de la cadena. Por ejemplo, la primera derivada de f(x, y) es

df(x,y) , df(x,y)dy / < * . * > = - £ - + - 1 7 - *

La segunda derivada es

d[df/dx + {df/dy)(dy/dx)] t d[df/dx + (df/dy){dy/dx)]dy

f'Xxi.Vi) dx dy dx

Las derivadas de orden superior se hacen mucho más complicadas. En consecuencia, como se describe en las siguientes secciones, se han desarrollado

métodos alternativos de un paso, Esos esquemas son comparables en desempeño con los procedimientos de la serio de Taylor de orden superior, pero requieren sólo del cálculo de las primeras derivadas.


2 5 . 2 M E J O R A S D E L M É T O D O D E E U L E R

Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada al inicio del intervalo supuestamente se aplica a través de todo el intervalo. Se dispone de dos simples modificaciones para evitar este defecto. Como se demostrará en la sección 25.3, de hecho ambas modificaciones pertenecen a una clase mayor de técnicas de solución llamadas métodos de Runge-Kutta. Sin embargo, como éstos poseen una interpretación gráfica muy directa, los presentaremos primero para su derivación formal como métodos Runge-Kutta.

2 5 . 2 . 1 Método de Heun

Un método para mejorar la estimación de la pendiente involucra la determinación de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el final). Las dos derivadas se promedian después con el fin de obtener una estimación mejorada de la pendiente para todo el intervalo. Este procedimiento, conocido como el método de Heun, se ilustra en forma gráfica en la figura 25.9.

F I G U R A 2 5 . 9 Ilustración gráfica del método de Heun. o) Predictor y b) corrector.

zar mmm¡ PBL M É T O D O - P E B U E W Recuerdo que en el método de Euler, la pendiente al inicio de un intervalo

y¡ = f(x¡, y,) (25.12)

se usa para extrapolar linealmente a y ¡ + l .

y?+i=yi + f(xi,yi)h (25.13)

Para el método estándar de Euler deberemos parar aquí. Sin embargo, en el método de Heun l a y ; + 1 calculada en la ecuación (25.13) no es la respuesta final, sino una predicción intermedia. Es por esto que la distinguimos con un superíndice O. La ecuación (25.13) es llamada ecuaciónpredictor. Mejora una estimación de yi+l que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo:

y'¡+1 =f(xi+í,y?+l) (25.14)

Así, las dos pendientes [véase ecuaciones (25.12) y (25.14)] pueden combinarse con el fin de obtener una pendiente promedio para el intervalo:

-, = y'¡ + y¡+i = / f e , y , ) + / ( x , + 1 , y , Q f l ) y 2 2

Esta pendiente promedio se utiliza después para extrapolar linealmente desde y¡ hasta y¡+l usando el método de Euler:

, / ( * ; , y , ) + / ( * , + ) , y ° + 1 ) , y¿+i = y; + 2 h

la cual es conocida como ecuación corrector. El método de Heun es un procedimiento predictor-corrector. Todos los métodos

multipaso que se analizarán más tarde en el capítulo 26 son de este tipo. El método de Heun es el único método predictor-corrector de un solo paso que se describe en este libro. Como se desarrolló antes, se puede expresar en forma concisa como

Predictor (figura 25.9a): y°i+} = y, + f(X¡> y,)h (25.15)

Corrector (figura 25.96): yl+l = y, + f(-X"y,) + ^ x < + » ' ^ + > )

h (25.16)

Observe que como la ecuación (25.16) t i eney í + 1 en ambos lados del signo igual, se puede aplicar en una forma iterativa. Esto es, una estimación anterior podrá usarse de manera repetida para proporcionar una estimación mejorada d e y , + ¡ . El proceso se ilustra en la figura 25.10. Debería entenderse que este proceso iterativo no necesariamente converge sobre la respuesta verdadera sino que lo hará sobre una estimada con un error de truncamiento finito, como se demostrará en el siguiente ejemplo.

Como con los métodos iterativos similares analizados en secciones anteriores de este libro, un criterio de terminación para la convergencia del corrector está dado por [recuerde la ecuación (3.5)]

F I G U R A 2 5 . 1 0 Representación gráfica de la iteración del corrector del método de Heun para obtener un estimado mejorado.

i j - i y¿+i - yi+i 100% (25.17)

donde y{+¡ y y{+x resultan de la iiteración anterior y actual del corrector, respectivamente.

EJEMPLO 25 .5 Método de Heun

Enunciado del problema. Use el método de Heun para integrar y' = 4e0M — Q.5y desde x — 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 1. La condición inicial en x — 0 es y = 2.

Solución. Antes de resolver el problema de manera numérica, podemos usar cálculo para determinar la siguiente solución analítica

y 1.3 v ) + 2e - 0 . 5 A (E25.5.I)

Esta fórmula se usará para generar los valores de la solución verdadera en la tabla 25.2. Primero, la pendiente en (x0, y0) se calcula como

y0 = 4e° - 0.5(2) = 3

Este resultado difiere mucho de la pendiente promedio actual para el intervalo de 0 a 1.0. la cual es igual a 4.1946, como se calculó de la ecuación diferencial con la ecuación (PT6.4).

T A B L A 35.3 Comparación de los valores verdadero y aproximado d« la Integral de y' m 4e0Bx - 0.5y, con la condición inicial de que y - 2 en x » 0. Loi valores aproximados se calcularon mediante el método de Heun con un tamaño de paso de 1. Se muestran dos casos que correspondan a números diferentes de iteraciones del corrector, ¡unto con el error relativo porcentual absoluto.

I teraciones del método de H e u n

Xvtrdadaro

0 2 .0000000 1 6 .1946314 2 14 .8439219 3 33 .6771718 4 7 5 . 3 3 8 9 6 2 6

1

y H .un (%)

2 .0000000 0 .00 6 .7010819 8.18

16 .3197819 9.94 37 .1992489 10.46 83 .3377674 10.62

1 5

y H . u n i£ f i (%)

2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 .00 6 .3608655 2.68

15 .3022367 3.09 34 .7432761 3.17 7 7 . 7 3 5 0 9 6 2 3 . 1 8

La solución numérica se obtiene al usar el predictor [véase ecuación (25.15)] para obtener un estimado de y en 1.0:

y°i = 2 + 3(1) = 5

Observe que éste es el resultado que se podría obtener con el método estándar de Euler. El valor verdadero en la tabla 25.2 muestra que corresponde a un error relativo porcentual del 25.3%.

Ahora, para mejorar el estimado para y i + v usamos el valory\ para predecir la pendiente al final del intervalo:

y\ = f(Xl,y°) = 4 e o m ) - 0.5(5) = 6.402164

la cual puede combinarse con la pendiente inicial para obtener una pendiente promedio sobre el intervalo desde x — 0 hasta 1:

3 + 6.402164 y 2

que es más cercana a la pendiente promedio verdadera de 4.1946. Este resultado puede ser sustituido en el corrector [véase ecuación (25.16)] para dar la predicción en x = 1:

yi = 2 + 4.701082(1) = 6.701082

la cual representa un error relativo porcentual de -8 .18%. Así, el método de Heun sin iteración del corrector reduce el valor absoluto del error por un factor de 2.4 al compararlo con el método de Euler.

Ahora dicho estimado podrá usarse para refinar o corregir la predicción de y, al sustituir el nuevo resultado en el lado derecho de la ecuación (25.16):

[3 + 4<? a 8 < 1 ) -0 .5(6 .701082)1 y, = 2 + ± — ^ 1 = 6.275811


el cual representa un error relativo porcentual del 1.31 %. Este resultado, a su vez, puede sustituirse en la ecuación (25.16) para corregir aún más:

[3 + 4 e a 8 ( 1 ) -0.5(6.275811)1 y, = 2 + i ~ ^ 1 = 6.382129

que representa un |£,| de 3.03%. Observe cómo los errores algunas veces crecen en tanto se ejecutan las iteraciones. Tales incrementos pueden ocurrir en especial para grandes tamaños de paso, y nos previenen de dar la conclusión general de que con una iteración adicional se mejorará el resultado. Sin embargo, para tamaños de paso lo suficientemente pequeños, las iteraciones deberán converger eventualmente sobre un solo valor. Para nuestro caso, 6.360865, el cual representa un error relativo del 2.68%, se tiene después de 15 iteraciones. La tabla 25.2 muestra los resultados de los cálculos restantes mediante el uso del método con 1 y 15 iteraciones por paso.

En el ejemplo anterior, la derivada es una función de la variable dependiente y y de la variable independiente x. Para casos tales como los polinomios, donde la EDO es únicamente función de la variable independiente, el paso predictor [véase ecuación (25.26)] no es requerido y el corrector se aplica sólo una vez para cada iteración. Para esos casos, la técnica se expresa en forma concisa como

y¡+\ = y¡ + ^ h (25.18)

Observe la similitud entre el lado derecho de la ecuación (25.18) y la regla trapezoidal [véase ecuación (21.3)]. La conexión entre los dos métodos se puede demostrar formalmente al iniciar con la ecuación diferencial ordinaria

dy tí \

dx Tal ecuación podrá resolverse para y por integración:

/

.Vi+I /"•r/ + l dy = J f(x)dx (25.19)

la cual da

y , + i - y , = jT+' mdx (25.20)

y,-+i =y¡ mdx (25.21)

Ahora, recuerde del capítulo 21 que In regla trapezoidal [véase ecuación (21.3)] se puede definir como

r m M T T O D O DE BULÍH M ,/(\\d\

/ ( A , ) | - / ( . V / | | )

donde h = x,^, — x,- Al sustituir la ecuación (25.22) en la (25.21) se tiene

f(x,) + f(xi+{) y,-+i = 3'/ H x "

(25.22)

(25.23)

la cual es equivalente a la ecuación (25.18). Como la ecuación (25.23) es una expresión directa de la regla trapezoidal, el error

de truncamiento local está dado por [recuerde la ecuación (21.6)]

E, — h ' 12

(25.24)

donde § está entre x¡ y xi+l. Así, el método es de segundo orden porque la segunda derivada de la EDO es cero cuando la solución verdadera es cuadrática. Además, los errores local y global son 0(h2) y 0(h2), respectivamente. Por tanto, al disminuir el tamaño de paso aumenta el error a una velocidad mayor que para el método de Euler. La figura 25.11, que muestra el resultado con el uso del método de Heun para resolver el polinomio del ejemplo 25.1, demuestra este comportamiento.

2 5 . 2 . 2 Método del punto medio (o del polígono mejorado)

La figura 25.12 ilustra otra modificación simple del método de Euler. Conocido como método del punto medio (o del polígono mejorado o el modificado de Euler), esta técnica usa el método de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo (véase la figura 25.12a):

y,-+i/2 = >•/ + / ( A " Í , y¡)- (25.25)

Después, este valor predicho se usa para calcular una pendiente en el punto medio:

y;+i /2 = / f e + i / 2 , y, + i / 2 ) (25.26)

el cual se toma para representar una aproximación válida de la pendiente promedio para todo el intervalo. Dicha pendiente es usada después para extrapolar linealmente desde x¡ hasta x¡+ {(véase figura 25.126):

(25.27)

Observe que c o m o y i + 1 no está en los dos lados, el corrector [véase ecuación (25.27)] no puede aplicarse de manera iterativa para mejorar la solución.

Como en la sección anterior, esto procedimiento podrá también conectarse con las fórmulas de integración de Newton-Cotes. Recuerde de la tabla 21.4 que la fórmula más simple do integración abierta de Nowton-Cotos, la cual se denomina método de punto medio, ae puede representar como


F I G U R A 2 5 . 1 2 Ilustración gráfica del método de punto medio. a) ecuación (25.25) y b) ecuación (25.27).

Pendiente = f (x f t 1 / 2 , y,+ 1 / 2)

y f Pendiente = f(x,+1/2. 1/2)

mSm \ )</> = (b - Í V ) / ( . \ i )

donde x, es el punto medio del intervalo (a, b). Con el uso de la nomenclatura para el caso actual, podrá expresarse como

La sustitución de esta fórmula en la ecuación (25.21) da la ecuación (25.27). De esta manera, así como el método de Heun puede ser conocido como la regla trapezoidal, el método de punto medio obtiene su nombre de la fórmula de integración en turno sobre la cual se basa.

El método de punto medio es superior al método de Euler debido a que utiliza una estimación de la pendiente en el punto medio del intervalo de predicción. Recuerde de nuestra diferenciación numérica en la sección 4.1.3 que las diferencias divididas finitas centradas son mejores aproximaciones de las derivadas que cualquiera de las versiones hacia adelante o hacia atrás. En este contexto, una aproximación centrada, como la de la ecuación (25.26) tiene un error de truncamiento local de 0(h2) en comparación con la aproximación hacia adelante del método de Euler, el cual tiene un error de 0(h). En consecuencia, los errores local y global del método de punto medio son 0(h3) y 0(A 2), respectivamente.

2 5 . 2 . 3 Algor i tmos de cómputo para los métodos de Heun y de punto medio

Ambos métodos, el de Heun con un solo corrector y el de punto medio, se pueden programar fácilmente con la estructura general mostrada en la figura 25.7. Como en IUN figuras 25.13a y 25.13Z>, se puede escribir rutinas simples que tomen el lugar de la rutina de Euler en la figura 25.7.

Sin embargo, cuando se va a implementar la versión iterativa del método de Heun, se requiere de algunas modificaciones (aunque estén localizadas dentro de un simple módulo). Desarrollamos el pseudocódigo para este propósito en la figura 25.13c. Este algoritmo se puede combinar con la figura 25.7 con el fin de desarrollar el software para el método iterativo de Heun.

2 5 . 2 . 4 Resumen

Al componer el método de Euler desarrollamos dos nuevas técnicas de segundo orden. Aun cuando esas versiones requieren más esfuerzo computacional para determinar In pendiente, la reducción que se tiene en el error nos permite concluir en una sección subsecuente (véase sección 25.3.4) que usualmente la exactitud mejorada vale el esfuerzo. Aunque existen ciertos casos donde técnicas fácilmente programables, como el método de Euler, pueden aplicarse con ventaja, los métodos de Heun y de punto medio son por lo goncrul superiores y se deberían implementar si se es consistente con los objetivos del problema.


a) Htun LIMPIA sin corrector 5U3 Heun (x, y, h, ynew)

c) Heun con corrector SU/3 Heunlter (x, Y, h, YRI<SIV)

CALL Derive (x, y, dyldx) ye = y + dyldx • h CALL Derivs(x + h, ye, dyZdx) 5hpe = (dyldx + dyZdx)/2 ynew = Y + Slope • h

es = 0.01 maxlt = 20 CALL Der\vs(x, y, dyldx) ye=y + dyldx • h iter = O DO x = x + h

END 5U3 yeold = ye CALL Der¡vs(x + H, ye, dyZdx) slope = (dyldx + dyZdx)/2 ye = Y + slope • h iter = iter + 1

b) Método del punto medio SU£? Midpoint (x, Y, h, ynew) CALL Der\vs(x, y, dydx)

ym = y + dydx • h/Z CALL Derivs (x + h/Z, ym, dymdx) ynew = y + dymdx • h x = x + h

END 5U3 IF (ea < es OK iter > maxit) EXIT

END DO ynew = ye x = x + h

END 5U3

F I G U R A 7.5.13 Pseudocódigo para implementar los métodos a) Heun simple, b) punto medio y c) Heun iterativo.

Como se hace notar al inicio de esta sección, el método de Heun (sin iteraciones) y el de punto medio y, de hecho, la misma técnica de Euler son versiones de una clase nú» amplia de procedimiento de un paso denominados métodos de Runge-Kutta. Ahora V P remos el desarrollo formal de esas técnicas.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de una serie úl Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, peni todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación (25.1):

donde <j> (x¡, y¡, h) es conocida como función incremento, la cual puede inteipieltwií como una pendiente representativa sobre el intervalo. La función incremento .se m t l h l por lo general como

2 5 . 3 M É T O D O S D I R U N G E - K U T T A

y¡+\ = y¡ +<Pt x¡,y¡,h)h ( 2 5 J H )

(¡¡ t= £/,A-| +U2k¡ + • • • I ankn

( 2 3 ,

clónelo Un ti «on corialanles y In* k son (25.29o)

(25.29/))

(25.29c)

= f(xr+ Pn-ih,y¡ + q„-\,\k\h + qn_h2k2h H h q„-\,n-\k„-\h) (25.29<¿)

Observe que las £ son relaciones de recurrencia. Esto es, k¡ aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etcétera. Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos RK sean eficientes para cálculos en computadora.

Es posible concebir varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n. Observe que el método Runge-Kutta (RK) de primer orden con n — 1 es, de hecho, el método de Euler, Una vez que se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la ecuación (25.28) a los términos en la serie de expansión de Taylor (véase cuadro 25.1). Así, al menos para las versiones de orden inferior, el número de términos n con frecuencia representa el orden de la aproximación. Por ejemplo, en la siguiente sección, los métodos RK de segundo orden usan la función incremento con dos términos (n = 2). Esos métodos de segundo orden serán exactos si la solución de la ecuación diferencial es cuadrática. Además, como I Q S términos con h3 y mayores son eliminados durante la derivación, el error do truncamiento local es 0(h}) y el global es 0(h2). En secciones subsecuentes desarrollaremos métodos RK de tercer y cuarto orden (n = 3 y 4). Para esos casos, los errores do truncamiento global son 0(h3) y 0(hA), respectivamente.

2 5 . 3 . 1 M é t o d o s Runge-Kutta d e segundo o r d e n

La versión de segundo orden de la ecuación (25.28) es

y¡+i = y¡ + (a\k\ + a2k2)h (25.30)

donde

ki = f(x¡,y¡) (25.30a)

k2 = f(x, + pih, y, +quk\h) (25.30/))

Como se describe en el cuadro 25.1, los valores para a,, a2,P\ y <?n son evaluados al igualur el término de segundo orden do la ecuación (25.30) con la expansión de la serie do Taylor. Para realizar esto, desarrollamos lies ecuaciones para evaluar las cuatro consuntos doMuonocidus. Las tres C C U U C Í O I I O N son

«l f iit - I (25,31)

*i ~ . / b i . ,v()

A'2 = ,/'(.v, I p\h, y¡ I tfí\k\h)

k-i = /(-V/ + / ? 2 ¿ , y/ +qi\k\h+ q22k2h)

738 MÉTODOS D i RUNGE-KUTTA

(25.32)

(25.33)

C u a d r o 2 5 . 1 Deducción de los métodos Runge-Kutta de segundo orden Lu versión a segundo orden de la ecuación (25.28) es

y¡\ \ = y, + (alk1+a2k2)h (B25.1.1)

donde

y/) (B25.1.2)

y

ki = ñx¡+pih,yi+qukih) (B25.1.3)

Al usar la ecuación (B25.1.1) debemos determinar los valores para las constantes al,a2,piy qit- Para ello, recordamos que la serie de Taylor de segundo orden para>> ¡+1 en términos de y, y /(*/• y) e s t a escrita como [véase ecuación (25.11)]

Si se aplica este método para expandir la ecuación (B25.1.3) w tiene

c > (''' 9/ f(x¡ + p\h, y¡ + quhh) = f(x¡, y¡) + p\h —

dx +áuk\h— + (Hlf)

dy

Este resultado podrá sustituirse junto con la ecuación (B25.1.2) en la (B25.1.1) para dar

yi+l = y¡ + aihf(xb y¡) + a2hf(x¡, y,-) + a2p\h +-dx

yi+i - y¡ + /fe y¡)h + /'fe, y ¡) ,2 +a2qnh 2f(Xi, y¡)^- + r ><//')

dy (B25.1.4) o, al agrupar términos,

b donde / ' f e , y¡) debe determinarse por diferenciación usando la regla de la cadena (véase sección 25.1.3):

, 9/Uy) , df(x,y)dy

i (x¡, y,) = — + — -r dx dy dx

y¡+\ = y¡ + [«i / fe , y¡) + a2f(x¡, y¡)]h bet 3/ b (3 ,9/" + a.2p\— +a2?n/te,y,) — 9x 9y _

(B25.1.5)

/i 2 + 0(fc3)

( «25.1,7)

Si sustituimos la ecuación (B25.1.5) en la ecuación (B25.1.4) se tiene

y , + 1 = v / + / U ¡ , y ^ + ( - + - - j 2 7 (B25.1.6)

La estrategia básica que habrá de resaltarse en los métodos Runge-Kutta es el uso de manipulaciones algebraicas para resolver los valores de a¡, a2, p¡ y qu, lo cual provoca que las ecuaciones (B25.1.1) y (B25.1.6) sean equivalentes.

Para ello, primero usamos una serie de Taylor para expandir la ecuación (B25.1.3). La serie de Taylor para una función de dos variables se define como [recuerde la ecuación (4.26)]

9# 9# K(x + r, y + .v) = x(x, y) + r— + x — H

Ahora, si comparamos términos comunes en las ecuación»» (B25.1.6) y (B25.1.7), determinamos que para hacer equivalen tes a las dos ecuaciones, se debe cumplir lo siguiente:

ai + a2 = 1 b 1 <>iP2 = ^

b ?, 1 aiqu = j Las anteriores tres ecuaciones simultáneas contienen las cuitlfU constantes desconocidas. Como hay una incógnitu más quo el número de ecuaciones, no existe un conjunto único do cnnulim-tes que satisfagan las ecuaciones. Sin embargo, al suponer un valor para una de las constantes, podemos determinar las nlrui iroH, F,n consecuencia, existe una familia de métodos do sc|tumla orden min quo una sola versión.

23,3 IMWWPB RUNGE-KUTTA i:! <Jüi i,v

Como tenoinos tres ecuaciones con cuatro incógnitas, debemos suponer el valor de una de estas incógnitas para determinar las otras tres. Suponga que especificamos un valor para a2. Entonces se puede resolver de manera simultánea las ecuaciones (25.31) a (25.33) para obtener

ai = 1 - a2 (25.34)

1

Pl=qn = 2V2 (25.35)

Debido a que podemos elegir un número infinito de valores para a2, hay un número interminable de métodos RK de segundo orden. Cada versión podría dar exactamente los mismos resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante. Sin embargo, se obtienen diferentes resultados cuando (como es típicamente el caso) la solución es más complicada. A continuación presentamos tres de las versiones más comúnmente usadas y preferidas: Método de Heun con un solo corrector (o 2 = 1 / 2 ) . Si suponemos que a2 es 1/2, las ecuaciones (25.34) y (25.35) podrán resolverse para a¡ = 1/2 y p{ = qn = 1. Estos parámetros, al ser sustituidos en la ecuación (25.30), dan

yí+i=yi + (^kl + \ h ^ (25.36)

donde

*i = /(*¿, y,0 (25.36a)

k2 = f(x¡ + h, y¡ + kxh) (25.366)

Observe que kx es la pendiente al inicio del intervalo y k2 es la del final. En consecuencia, este método Runge-Kutta de segundo orden es de hecho la técnica de Heun sin iteración.

El método de punto medio ( a 2 = 1 ) . Si suponemos que a2 es 1, entonces a, = 0, px = qn — 1/2, y la ecuación (25.30) es ahora

y.+ 1=y. + k2h (25.37)

donde

*i = / (* i , y/) (25.37a)

* 2 = f(x¡ + l-h,y¡ + X-k^ (25.376)

Éltt M el método del punto medio.

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA _

donde

k\=f{x¡,y¡) (25.38«)

ki = f(x¡ + \h, y,- + \hh^ (25.386)

Comparación de varios e squemas RK d e segundo orden

Enunciado del problema. Use el método de punto medio [véase ecuación (25.37)| y el método de Ralston [véase ecuación (25.38)] para integrar numéricamente la ecuación (PT7.13):

f(.x, y) = - 2 J T -f 12x 2 - 20JC + 8.5

desde x = 0 hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en .v 0 es y = 1. Compare los resultados con los valores obtenidos con otro algoritmo RK de segundo orden: el método de Heun sin corrector de iteración (tabla 25.3).

Solución. El primer paso en el método de punto medio es el uso de la ecuación (25.3 la) para calcular

ki = - 2 ( 0 ) 3 + 12(0) 2 - 20(0) + 8.5 = 8.5

Sin embargo, como la EDO es una función sólo de x, tal resultado carece de relevanri» sobre el segundo paso [el uso de la ecuación (25.376)] para calcular

k2 = -2 (0 .25 ) 3 + 12(0.25) 2 - 20(0.25) 4- 8.5 = 4.21875

Observe que tal estimación de la pendiente es mucho más cercana al valor promedio para el intervalo (4.4375) que la pendiente al inicio del intervalo (8.5) que podría habar sido usada por el procedimiento de Euler. La pendiente en el punto medio puede entonces sustituirse en la ecuación (25.37) para predecir

v (0.5) = 1 + 4.21875(0.5) - 3.109375 K , = 3.4%

£1 calculo le repite, y los r e tu l t adp iMmumen en la figura 25.14 y tublu 25.3,

Mfttodo Rulitori ( a v 2 /3 ) . Ralston (1962) y Ralston y Rubinowilz (1978) dolor-minuron que al seleccionar a2 ~ 2/3 se obtiene un límite mínimo sobre el error de Irun camionto para los algoritmos de R K de segundo orden. Para esla versión, tit 1/3 y

Pi=V\i= 3 / 4 :

F I G U R A 2 5 . 1 4 Comparación de la solución verdadera con soluciones numéricas usando tres métodos RK de segundo orden y el método de Euler.

Por medio del método de Ralston, kx para el primer intervalo es también igual a 8.5 y [véase ecuación (25.386)]

k2 = -2 (0 .375) 3 + 12(0.375) 2 - 20(0.375) + 8.5 = 2.58203125

T A B L A 2 5 . 3 Comparación de los valores verdadero y aproximado de la integral da y' = -2X 3 + 12X2 - 20x + 8.5, con la condición inicial de que y - 1 en x = 0. Los valores aproximados se calcularon por medio de tres versiones de los métodos RK de segundo orden con un tamaño de paso de 0.5.

R K Ra l s ton Heun P u n t o medio de segundo o rden

X Xverdadero y l £ , l ( % ) y l £ , l (%) y | £ , l ( % )

0.0 1.00000 1.00000 0 1.00000 0 1.00000 0 0.5 3.21875 3.43750 6.8 3.109375 3.4 3.277344 1.8 1.0 3.00000 3.37500 12.5 2.81250 ó.3 3.101563 3.4 1.5 2.21875 2.68750 21.1 1.984375 10.6 2.347656 5.8 2.0 2.00000 2.50000 25,0 1,75 12.5 2.140625 7.0 2,5 2.71875 3.18750 17.2 2,484375 8.6 2.855469 5,0 3.0 4,00000 4.37500 9.4 3.81250 4,7 4.117188 2.9 3,5 4,71875 4,93750 4,6 4.609375 2.3 4,800781 1,7 4.0 3 00000 3.00000 0 3 0 3.031250 10


La pendiente promedio se calcula por

</, = 1(8.5) + ^(2.58203125) = 4.5546875

la cual se usará para predecir

y (0.5) = 1 + 4.5546875(0.5) = 3.27734375 s, = - 1 . 8 2 %

Los cálculos se repiten y los resultados se resumen en la figura 25.14 y tabla 25.3. Observe que todos los métodos RK de segundo orden son superiores al método de Euler.

2 5 . 3 . 2 Métodos de Runge-Kutta de tercer orden

Para n = 3, se puede hacer un desarrollo similar al del método de segundo orden. El resultado de dicho desarrollo es de seis ecuaciones con ocho incógnitas. Por tanto, se debe especificar con antelación los valores para las dos incógnitas con el fin de establecer los parámetros restantes. Una versión común que resulta es

yt+ i=y¡ + -7 (ki + 4 k 2 + * 3 > * ( 2 5 - 3 9 )

donde

kx=f(xl,yi) (25.39a)

k2 = f(x¡ + l-h, y¡ + l-kxh^ (25.3%)

k3 = f(x¡ + h, y¡ - kih + 2k2h) (25.39c)

Observe que si la derivada es sólo una función de x, este método de tercer orden se reduce a la regla de Simpson 1/3. Ralston (1962) y Ralston y Rabinowitz (1978) desarrollaron una versión alternativa que proporciona un límite mínimo sobre el error de truncamiento. En cualquier caso, los métodos RK de tercer orden tienen errores local y global de 0(h4) y 0(h3), respectivamente, y dan resultados exactos cuando la solución es unn cúbica. Al tratarse de polinomios, la ecuación (25.39) será también exacta cuando ln ecuación diferencial es cúbica y la solución es de cuarto orden. Ello se debe a que lu regla de Simpson 1/3 proporciona estimaciones exactas de la integral para cúbicas (recuerde el cuadro 21.3).

2 5 . 3 . 3 Métodos Runge-Kutta de cuarto orden

El más popular de los métodos RK es el de cuarto orden. Como hicimos notar con lo* procedimientos de segundo orden, hay un número infinito de versiones. La siguiente, <sn la forma de uso más común y, por tunlo, 8 0 le conoce como método RK clásico de cuarto

25 J FFLFPGI DE R U N G E - K U T T A > H I R ><- i * - / : i o r t M

y t + 1 - >/, + — (*, + 2¿ 2 + 2k3 + k4)h (25.40)

donde

*i = / ( * , - . (25.40a)

*2 = /(•*/ + ¿ A , yi + ^ i * ) (25.406)

¿3 = + \h, y¡ + ^hhj ' (25.40c)

h = f (XÍ + h,y¡ + kih) (25.40a)

Observe que para las EDO que sólo son función de x, el método RK clásico de cuarto orden es similar a la regla de Simpson 1/3. Además, el método RK.de cuarto orden tiene similitud con el procedimiento de Heun en cuanto a que las estimacionei múltiples de la pendiente son desarrolladas para alcanzar una pendiente promedio mejorada para el intervalo. Como se muestra en la figura 25.15, cada una de las & representa una pendiente. La ecuación (25.40) entonces representa un promedio ponderado de éstas para llegar a la pendiente mejorada.

FIGURA 25.15 Ilustración gráfica de las pendientes estimadas, entre la que se cuenta el método RK de cuarto orden.

http://RK.de

744 MtTODOS D E RUNGE-KUTTA

EJEMPLO 25 .7 Método RK clásico de cuarto orden

i Enunciado del problema. Use el método RK clásico de cuarto orden [véase ecuación ¡ (25.40)] para integrar a)

í f(x,y) = -2x3 + l2x2-20x + 8.5

mediante un tamaño de paso de h = 0.5 y una condición inicial de y = 1 en x = 0; y b)

f(x,y) =4e0S* - 0 . 5 y

usando h = 0.5 con v(0) = 2 desde x = 0 hasta 0.5.

] Solución.

a) Se usa desde la ecuación (25.40a) hasta la (25.40úT) para calcular kx = 8.5, k2 = 4.21875, k3 — 4.21875 y £ 4 = 1.25; las cuales se sustituyen en la ecuación (25.40) para obtener

y(0.5) = 1 + j^[8.5 + 2 ( 4 . 2 1 8 7 5 ) + 2(4.21875)+ 1.25] J 0.5

\ =3 .21875

la cual es exacta. Así, como la solución verdadera es de cuarto orden [véase ecua-í • ción (PT7.16)], el método de cuarto orden da un resultado exacto. b) Para este caso, la pendiente al inicio del intervalo se calcula como

¿i = / (0 , 2) = 4e° ' 8 ( 0 ) - 0.5(2) = 3

Este valor se usa para calcular un valor de y y una pendiente en el punto medio,

y(0.25) =2 + 3(0.25) = 2.75 k2 = / (0 .25, 2.75) = 4 e ° - 8 ( a 2 5 ) - 0.5(2.75) = 3.510611

Esta pendiente a su vez se utiliza para calcular otro valor de y y otra pendiente en el punto medio,

i y(0.25) = 2 + 3.510611(0.25) =2.877653

| k3 = JX0.25, 2.877653) = 4 e o m 2 5 ) - 0.5(2.877653) = 3.446785 i 1 Después, esta pendiente se usará para calcular un valor de y y una pendiente al final | del intervalo,

l | y(0.5) = 2 + 3.071785(0.5) = 3.723392

| h = / (0 .5 , 3.723392) = 4 e a 8 ( 0 - 5 ) - 0.5(3.723392) = 4.105603

Por último, las cuatro estimaciones de la pendiente se combinan para obtener unu pendiente promedio. Esta última es entonces usada para realizar la predicción con-eluyente al final del intervalo. , ,

25.3 M É T O D O S DE RUNGE-KUTTA 741

$ = - h + 2(3.510611) + 2(3.446785) + 4.105603] = 3.503399 6 L

y(0.5) = 2 + 3.503399(0.5) = 3.751669

la cual se compara de manera favorable con la solución verdadera de 3.751521.

2 5 . 3 . 4 Métodos de Runge-Kutta de orden super ior

Donde se requiere resultados más exactos, es recomendable el método de Butcher (1964) y el método RK de quinto orden:

y ¡ + l = y . + -L (7^ + 32*3 + 12Á:4 + 32k5 + 7k6)h (25.41)

donde

*i = / ( * / . }7) (25.41a)

k2 = / ( x¡ + -h, y¡ + \kih) (25.416) 4

h = f(x¡ + X-h, y¡ + ^ h + ^k2h ) (25.41c)

h = f(xi + l-h, y¡ - X-k2h + hh ) (25Aid)

*s = f(x¡ + ífi, y¡ + ^k,h + yU4fc) (25.41e)

( 3 2 12 12 8 \

x¡ + h, y¡ - -k\h + -k2h + -jk3h - —k4h + -k5h\ (25.41/) Observe la similitud entre el método de Butcher y la regla de Boole en la tabla 21.2. Están disponibles las fórmulas RK de orden superior como el método de Butcher, pero en general, la ganancia en exactitud para métodos mayores de cuarto orden está afectada por el esfuerzo computacional y complejidad adicional.

Comparación de los métodos de Runge-Kutta

Enunciado del problema. Use los métodos RK desde el primero hasta el quinto orden para resolver

f(x,y) =4e0Hx - 0 . 5 y


oon^(0) <• 2 desde x = 0 hasta x = 4 con varios tamaños de paso. Compare la exactitud de los diferentes métodos con el resultado en x — 4 con base en la respuesta exacta y(4) = 75.33896.

Solución. Se realiza el cálculo mediante los métodos de Euler, el no iterativo de Heun, el RK de tercer orden [véase ecuación (25.39)], el RK clásico de cuarto orden y el RK de Butcher de quinto orden. Los resultados se presentan en la figura 25.16, donde graf icamos el valor absoluto del error relativo porcentual contra el esfuerzo computacional. Esta última cantidad es equivalente al número requerida de evaluaciones de la función para obtener el resultado, como en

Esfuerzo = n b-a (E25.8.1)

donde «y = número de evaluaciones de la función involucradas en particular en el cálculo RK. Para órdenes < 4, «yes igual al orden del método; sin embargo, observe que la técnica de Butcher de quinto orden requiere seis evaluaciones de la función [véase ecuaciones (25.41a) a la (25.41/)]. La cantidad (b — á)lh es la integración total del intervalo dividida entre el tamaño de paso (es decir, es el número de aplicaciones de la

F I G U R A 2 5 . 1 6 ; Comparación del error relativo porcentual contra el esfuerzo computacional para los •; métodos RK desde el primero hasta el quinto orden.

2 G , Í I H W O S D E R U N O B - K U T T A - H « « J

j técnieu HK puní obtener resultado). Asi, como las evaluaciones de la función son con j frecuencia pasos consumidores de tiempo, la ecuación (E25.8.1) proporciona una modi-| da burda del tiempo de ejecución requerido para alcanzar la respuesta. I La inspección de la figura 25.16 nos lleva a diferentes conclusiones: primero, los í métodos de orden superior alcanzan mayor exactitud para el mismo esfuerzo compu

tacional; segundo, la ganancia en exactitud con el esfuerzo adicional tiende a disminuir ) después de un punto. (Observe que las curvas primero caen con rapidez y después tien-s den a nivelarse.)

El ejemplo 25.9 y la figura 25.16 podrían llevarnos a la conclusión de que las técnicas RK de orden superior son siempre los métodos de preferencia. Sin embargo, otros factores tales como el costo de programación y los requerimientos de exactitud del problema deben ser considerados cuando se elija una técnica de solución. Tales elementos de juicio se explorarán con detalle en las aplicaciones de ingeniería en el capítulo 28 y en el epílogo de la parte siete.

2 5 . 3 . 5 Algor i tmos de cómputo para los métodos de Runge-Kutta

Como con todos los métodos expuestos en este capítulo, las técnicas RK se ajustan muy bien al algoritmo general delineado en la figura 25.7. La figura 25.17 presenta el pseudocódigo para determinar la pendiente del método RK clásico de cuarto orden [véase ecuación (25.40)]. Las subrutinas que calculan las pendientes para todas las otras versiones se pueden programar fácilmente en forma similar.

F I G U R A 2 5 . 1 7 Pseudocódigo para determinar un solo paso del método RK de cuarto orden.

SUB KK4 (x, y, b, ynew) CALL Perívs(x, y, k1) ym - y + kl • h/Z CALL Derívs(x + h/Z, ym, kZ) ym = y + kZ • h/Z CALL Derívs(x + h/Z, ym, k3) ye = y + k3 • h CALL Derívs(x + h, ye, k4) &\opc = (k1 + Z(kZ + k3) + k4)/6 ynew = y + elope • h x • x + h

END au»


2 5 . 4 S I S T E M A S DE E C U A C I O N E S

Muchos problemas prácticos de ingeniería y ciencia requieren la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas más que una sola ecuación. Tales sistemas pueden representarse por lo general como

dyi dx

dyi dx

dy„

fi(x,y\,y2, ...,y„)

fi(x, y i , y 2 , . . . , y„)

d x = / „ ( * , y,, y 2 , . . . , ; y B ) ( 2 5 A 2 )

La solución de tal sistema requiere de que se conozcan las n condiciones iniciales en el valor inicial de x.

2 5 . 4 . 1 M é t o d o de E u l e r

Todos los métodos analizados en este capítulo para simples ecuaciones pueden extenderse al sistema que se mostró antes. Aplicaciones en la ingeniería pueden involucrar miles de ecuaciones simultáneas. En este caso, el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones simplemente involucra aplicar la técnica de un paso para cada ecuación en cada paso antes de proceder con el siguiente. Esto se ilustra mejor con el siguiente ejemplo para el método de Euler simple.

EJEMPLO 25 .9 Resolución de sistemas de EDO mediante el método de Euler

Enunciado del problema. Resuelva el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales usando el método de Euler, suponiendo que x — 0, y{ = 4 y y2 — 6. Integre para x = 2 con un tamaño de paso de 0.5.

— = -0 .5y i — = 4 - 0 . 3 y 2 - O.lví dx dx

Solución. Se implementa el método de Euler para cada variable como en la ecuación ' (25.2): (;

yi (0.5) = 4 + [-0.5(4)]0.5 = 3 v . , y 2(0.5) = 6 + [4 - 0.3(6) - 0.1 (4)J0.5 = 6.9

Observe que v,(0) = 4 se usa en lu segunda ecuación más que la V](0.5) — 3 calculiidu I con U primera ecuación. Al PROOCFCRÁI manera similar se tiene

X Yi

0 4 6 0.5 3 6.9 1.0 2.25 7.715 1.5 1.6875 8.44525 2.0 1.265625 9 .094087

2 5 . 4 . 2 Métodos de Runge-Kutta

Observe que cualquiera de los métodos RK de orden superior expuestos en este capítulo se pueden aplicar a sistemas de ecuaciones. Sin embargo, debe tenerse cuidado al determinar las pendientes. La figura 25.15 es útil para visualizar la forma adecuada de hacer esto para el método de cuarto orden. Es decir, desarrollamos primero las pendientes para todas las variables en el valor inicial. Esas pendientes (un conjunto de las k{) se usarán entonces para hacer predicciones de la variable dependiente en el punto medio del intervalo. Dichos valores de punto medio se utilizan, a su vez, para calcular un conjunto de pendientes en el punto medio (las k2). Esas nuevas pendientes se toman como punto de inicio para hacer otro conjunto de predicciones de punto medio que arriben a nuevas predicciones de pendiente en el punto medio (las k3). Éstas después se emplearán con el fin de hacer predicciones al final del intervalo y serán usadas para desarrollar pendientes al final del intervalo (las k4). Por último, las k se combinan en un conjunto de funciones incremento [como en la ecuación (25.40)] y son llevadas de nuevo al inicio para hacer la predicción final. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.

EJEMPLO 25 .10 Resolución de sistemas de EDO mediante el método RK de cuario orden

Enunciado del problema. Use el método RK de cuarto orden para resolver las EDO del ejemplo 25.9.

Solución. Primero, debemos resolver para todas las pendientes al inicio del intervalo:

', * M = / ( 0 , 4 . 6 ) = -0 .5(4) = - 2 ¿, 2 = / (0 , 4, 6) = 4 - 0.3(6) - 0.1(4) = 1.8

donde k¡j es el /-ésimo valor de k para lay-ésima variable dependiente. Después, debemos calcular los primeros valores de yx y y2 en el punto medio:

h 0.5 y, = 4 + ( - 2 ) — - 3 . 5

h 0.5 y 2 + kx.2- = 6 + ( 1 . 8 ) — = 6.45

los cuales se usarán para calcular el primer conjunto de pendientes de punto medio,

. *2.i = ^(0.25,3.5,6.45) - •• 1.75

/o • =R / (0.25, 3.5, 6.45) - 1.715


Éstos se usan para determinar el segundo conjunto de predicciones de punto medio,

h 0.5 I y, +k2A- = 4 + ( - 1 . 7 5 ) — = 3.5625

i h 0.5 j y 2 + k2,2~ = 6 + (1 .715)— = 6.42875

el cual será utilizado para calcular el segundo conjunto de pendientes de punto medio,

¿3.1 = / (0.25, 3.5625, 6.42875) = -1 .78125

I h.i = / (0.25, 3.5625, 6.42875) = 1.715125

• Éstos se utilizarán para determinar las predicciones al final del intervalo

| y, +kX\h = 4 + (-1.78125X0.5) = 3.109375

¡ yi + kX2h = 6 + (1.715125)(0.5) = 6.857563

I los cuales serán usados para calcular las pendientes al final del intervalo,

I | k4A = / (0 .5 , 3.109375, 6.857563) = -1.554688

i k4.2 = / (0 .5 , 3.109375, 6.857563) = 1.631794 I; Los valores de k se pueden entonces usar para calcular [véase ecuación (25.40)]:

; vi(0.5) = 4 + - [ - 2 + 2 ( -1 .75 - 1.78125) - 1.554688J0.5 = 3.115234

i- 6

¡ >'2(0.5) = 6 + - [1 .8 + 2(1.715 + 1.715125) + 1.631794J0.5 = 6.857670 ! 6

Al proceder en forma similar para los pasos restantes, se obtiene

X yi Yi

0 4 6 0.5 3 .115234 6 .857670 1.0 2 .426171 7 .632106 1.5 1.889523 8 .326886 2.0 1.471577 8 .946865

2 5 . 4 . 3 Algor i tmo de cómputo para resolver s is temas de EDO

El código de cómputo para resolver una simple EDO con el método de Euler (vónso figura 25.7) puede fácilmente extenderse a sistemas de ecuaciones. Las modificacioncN incluyen:

23,4 1 1 1 fHCUACIONeS • •' m 1. Introducir el numero de ecuaciones, n. 2. Integrar ION valores iniciales para cada una de las n variables dependientes. 3. Modificar el algoritmo de tal manera que calcule las pendientes para cada una de las

variables dependientes. 4. Incluir ecuaciones adicionales con el fin de calcular valores de las derivadas para

cada una de las EDO. 5. Incluir ciclos con el propósito de calcular un nuevo valor para cada variable depen

diente.

Tal algoritmo se bosqueja en la figura 25.18 para el método RK de cuarto orden. Observe cómo es similar en estructura y organización a la figura 25.7. La mayoría de las diferencias se relacionan con el hecho de que 1) trata con n ecuaciones y 2) el detalle adicional del método RK de cuarto orden.

EJEMPLO 25.11 Resolución de sistemas de EDO con la computadora

Enunciado del problema. En el software TOOLKIT de métodos numéricos asociado con el texto, se tiene un programa de cómputo de uso amigable para implementar el método RK de cuarto orden a sistemas. Este software es conveniente para comparar diferentes modelos de un sistema físico. Por ejemplo, un modelo lineal para un péndulo oscilante está dado por [recuerde la ecuación (PT7.11)]

dyi dx dyi dx = -ló.lyi donde yx y y2 — desplazamiento angular y velocidad. Un modelo no lineal del mismo sistema es [recuerde la ecuación (PT7.9)]

dy-s dx V4 dy¡, dx -16.1 sen (y3)

donde y3 y y4 = desplazamiento angular y velocidad para el caso no lineal. Use el TOOLKIT de métodos numéricos para resolver estos sistemas en dos casos: a) un pequeño desplazamiento inicial (y, = y3 = 0.1 radianes; y2 = y4 = 0) y b) un gran desplazamiento (V) = y3 = 7i/4 = 0.785398 radianes; y2 = y4 = 0).

Solución. Presione el botón Solve de las EDO en el menú principal del TOOLKIT para tener una pantalla similar a la figura 25.19a. Dicha pantalla contiene espacios para la entrada y salida de información asociada con la solución de hasta 5 EDO simultáneas de primer orden.

a) Introduzca los valores apropiados para Start X (inicio de X), Finish X (termina X), Step Size (tamaño de paso), Output Interval (intervalo de salida) y los parámetros para la gráfica como se muestra en la figura 25.19a. Introduzca las ecuaciones y valores iniciales y después haga clic sobre el botón Cale. Después haga clic en las cuatro variables que quiera desplegar en la parte superior de la gráfica (Y I ,Y2 ,Y3 y Y4 ) y hagn clic en el botón Plot, L U N leNultutlos calculados pura ION modelos lineal


a) P R O G R A M A P R I N C I P A L O " M A N E J A D

Aeelgn valúes for n - number of equatione y¡ = ¡nitial valúes of n dependent

variables xi - initíal valué ¡ndependent

variable xf = final valué ¡ndependent variable dx = calculation step slze xout = output Interval

x = xi m = 0

XPm=X

DO 1 = 1, n yp ,>=y ;

END DO DO

xend = x + xout IF (xend > xf) THEN xend = xf h = dx CALL Inteqrator (x, y, n, h, xend) m = m + 1 DO 1 = 1, n

ypim=y¡ END DO IF (x > xf) EXIT

LOOF DI5FLAY KE5ULT5 END

•" b) R U T I N A P A R A T O M A R U N P A S O D E S A L I D A

SUB Inteqrator (x, y, n, h, xend) DO

IF (xend - x < h) THEN h = xend - x CALL RK4 (x, y, n, h) IF (x > xend) EXIT

END DO END 5UB C) M É T O D O R K D E C U A R T O O R D E N P A R A

U N S I S T E M A D E E D O

5UB RK4 (x, y, n, h) CALL Derive (x,y, k1)

DO ¡ = 1,n ym¡ = y¡ + k1¡ * h/2

END DO CALL Derive (x + h/2, ym, k2) DO 1=1, n

ymi=yi + k2i*h/2 END DO CALL Derive (x + h/2, ym, k3) DO i = 1,n

ye: = y, + k3¡ * h END DO CALL Derive (x + h, ye, k4) DO i=1,n

elope-, = (k1, + 2*(k2¡+k3i)+k4i)/6 y¡ = y, + elope; * h

END DO x = x + h

END 5UB D ) R U T I N A P A R A D E T E R M I N A R D E R I V A D A S

SUB Derive (x, y, dy) dy, = ... dy2= ...

END SUB

F I G U R A 2 5 . 1 8 Pseudocódigo para sistemas del método RK de cuarto orden.

23,1 ADAPTATIV03 DSHJNOL-WOTA >¡ >•

Function Variable Valué

i X •i Y1 3.50JS49F 02 -.3/50157 Y3 3.6213G3F! 02 ____Y4____ .3738371 Y5 0 *

"•*<*».•:•..•

dVt/dX-*2 i . dY2/cK = -16.1-J.1 : dY3¿dX = dY«/dX. dY5/dX = He»

«o les i i Cteat I a) b) PIOURA 2 5 . 1 9 lliin [Kintallas para la opción "Resolver EDO" del TOOLKIT de métodos numéricos para péndulos lineal y no lineal con tlnil iln/cimiento inicial o) pequeño y b] grande.

y no lineal son casi idénticos. Esto cumple las expectativas debido a que cuando el desplazamiento inicial es pequeño, sen (9) = 6.

b) Cuando el desplazamiento inicial es n/4 — 0.785398, las soluciones son mucho más distintas y la diferencia es magnificada en tanto el tiempo sea cada vez mayor (véase la figura 25.196). Esto se esperaba, ya que la suposición de que sen (6) = 0es pobre cuando theta es grande.

2 5 . 5 M É T O D O S A D A P T A T I V O S DE R U N G E - K U T T A

Hasta ahora, presentamos métodos para resolver las EDO que emplean un tamaño de paso constante. Para un número significativo de problemas, esto puede representar una seria limitación. Por ejemplo, suponga que intentamos integrar una EDO con una solución del tipo expuesto en la figura 25.20. Para la mayor parte del rango, la solución cambia de manera gradual. Tal comportamiento sugiere la posibilidad de emplear un gran tamaño de paso para obtener resultados adecuados; sin embargo, para una región localizada desde x = 1.75 hasta x = 2.25, la solución pasa por un cambio abrupto. Las consecuencias prácticas al tratar con esas funciones es que se podría requerir un tamaño de paso muy pequeño para capturar en forma exacta el comportamiento impulsivo. Si se hubiera empleado un algoritmo con tamaño de paso constante, el tamaño de paso más pequeño necesario para la región del cambio abrupto podría haberse aplicado a todo el cálculo. En consecuencia, un tamaño de paso más pequeño que el necesario (y por tanto, muchos más cálculos) podría ser una pérdida de tiempo en las regiones de cambio gradual.

754 M É T O D O S DE RUNGE-KUTTA

yn 1

0 2 3 x

F I G U R A 2 5 . 2 0 Un ejemplo de uno solución para una EDO que exhibe un cambio abrupto. El ajuste automático paso-tamaño tiene grandes ventajas para esos casos.

Los algoritmos que ajustan automáticamente el tamaño de paso pueden evitar tal exceso y de otra forma son una gran ventaja. Como se "adaptan" a la trayectoria de la solución, se dice que tienen un control adaptativo de tamaño de paso. La implementación de tales procedimientos requiere la obtención de un estimado del error de truncamiento local en cada paso. Dicho error estimado puede servir después como base para alargar o disminuir el tamaño de paso.

Antes de proceder, debemos mencionar que además de resolver EDO, los métodos descritos en este capítulo pueden también usarse para evaluar integrales definidas. Como se menciona en la introducción de la parte seis, la evaluación de la integral

es equivalente a resolver la ecuación diferencial

para y(b) dada la condición inicial y (a) = 0. Así, se puede emplear las siguientes técnicas para evaluar con eficacia las integrales definidas que involucran funciones que por lo general son uniformes, pero exhiben regiones de cambio abrupto.

Existen dos procedimientos importantes para incorporar el control adaptativo de tamaño de paso en los método» de un palo. En el primero, el error se estima como lu

2 Í l ¡ 1 J Ü 0 S A D A P T A T I V O S PE RUNOITOW <T-

diferencia antro dos predicciones mediante el uso del método KK. del mismo orden, poro con dilbrenlON tiimuños de paso. En el segundo, el error de truncamiento local se cstimu como la dil'orcncia entre dos predicciones usando métodos RK de diferente orden.

2 5 . 5 . 1 Método adaptativo R K o de mitad de paso

El método de mitad de paso (o RK adaptativo) involucra tomar dos veces cada paso, una vez como paso total e independientemente como dos mitades de paso. La diferencia en los dos resultados representa un estimado del error de truncamiento local. Si y, designa la predicción de un solo paso, y y2 designa la predicción mediante dos mitades de paso, el error A puede representarse como

A = y2 - yi (25.43)

Además de proporcionar un criterio para el control del tamaño de paso, la ecuación (25.43) puede usarse también para corregir la prediccióny 2. Para la versión RK de cuarto orden, la corrección es

y 2 <- y2 + ~ (25.44)

Dicha estimación es una exacta de quinto orden.

EJEMPLO 2 5 . 1 2 Método RK adaptativo de cuarto orden

| Enunciado del problema. Use el método RK adaptativo de cuarto orden para integrar y'= 4e

0Sx — fj.5y desdex — 0 hasta 2 usando h = 2 y la condición inicialy(0) = 2. Ésta es la misma ecuación diferencial que antes se resolvió en el ejemplo 25.5. Recuerde que

< la solución verdadera es y (2) = 14.84392.

Solución. La predicción simple con un tamaño de paso h se calcula como

y (2) = 2 + - [ 3 + 2(6.40216 + 4.70108) + 14.11105]2 = 15.10584 6

Las dos predicciones de mitad de paso son

1 y( l ) = 2 + - [ 3 + 2(4.21730 + 3.91297) + 5.945681]! = 6.20104

y (2) = 6.20104 + -[5.80164 + 2(8.72954 + 7.99756) + 12.71283]1 6

Por tanto, el error aproximado es

14.86249 •-- 15.10584

14.86249

K,, 15 *- 0,01622


| ol cual se compara de manera favorable con el error verdadero de

| /-;, = 14.84392 - 14.86249 = -0.01857

El error estimado puede usarse también para concebir la predicción

y(2) = 14.86249 - 0.01622 = 14.84627

la cual tiene una Et = -0.00235.

2 5 . 5 . 2 Método Runge-Kutta Fehlberg

Además de dividir el paso como una estrategia para ajustar el tamaño de paso, un procedimiento alternativo en la obtención de una estimación del error involucra calcular dos predicciones RK de diferente orden. Los resultados pueden ser restados después para obtener un estimado del error de truncamiento local. Un defecto de tal procedimiento es que aumenta en gran medida el esfuerzo computacional. Por ejemplo, para una predicción de cuarto y quinto orden se tiene un total de 10 evaluaciones de la función por cada paso. El método de Runge-Kutta Fehlberg o RK encapsulada hábilmente evita este problema al usar un método RK de quinto orden que emplea las evaluaciones de la función a partir del método RK de cuarto orden. ¡Así, el procedimiento genera la estimación del error con base en sólo seis evaluaciones de la función.

Para el caso actual, usamos la siguiente estimación de cuarto orden

/ 37 250, 125, 512 , \ * + . = * + + ^ + 5 ^ * 4 + (25.45)

junto con la fórmula de quinto orden:

/ 2825 , 18 575 , 13 525 , 277 1 \ v - v . + k, -{ k3 + k4 4 —-k 5 + -k6 \h (25.46

y,+\ >, t- y2J 6 4 g i ^ 4 8 3 8 4 3 -r 5 5 2 % 1 4 3 3 6 4 »j donde

ki = f(x¡, y i)

( 1 1

ki = ftxj + -h,y¡ + -k]h

h = f[x, + ^h, y, + ^kxh + ~k2h

( 3 3 9 6

x¡ + -h, y¡ + —kxh - —k2h + -k3h ( 11 5 70 3 5 , ,

¿ 5 = f[x¡ + h, y¡ - —kih + -k2h - —k3h + —kAh

J 7 1631 , 175 = \ X i + 8 * ' y ¡ + 5 l m W + 5 Í 2 * 2 * ' 13 824

253 \ ' + - - k<h

4 096 /

575 , , 44 275 , , H A-,j/I

110 592

23,3 ADAPTATIVOS DB ^NOi'KUHtt»^ m Asi, Iti HIJO NO puede resolver con la ecuación (25.46) y el error estimado como lu diferencia de I I IN estimaciones de quinto y cuarto orden. Debería observarse que los coeficientes particulares usados antes los desarrollaron Cash y Karp (1990). Por tanto, algunas veces se le llama el método RK Cash-Karp.

EJEMPLO 25 .13 Método de Runge-Kutta Fehlberg

Enunciado del problema. Use la versión Cash-Karp del procedimiento de Runge-Kutta Fehlberg para realizar el mismo cálculo del ejemplo 25.12 desde* = 0 a 2 usando h = 2.

Solución. El cálculo de las k se puede resumir en la siguiente tabla:

X y Y)

0 2 3 k2 0.4 3.2 3 .908511

k 0.6 4 .20883 4 .359883 k4 1.2 7 .228398 6 .832587 k5

2 15.42765 12.09831 k6

1.75 12.17686 10.13237

Entonces, éstas pueden usarse para calcular la predicción de cuarto orden

/ 37 250 125 512 y i = 2+ 1 — 3 + — 4 . 3 5 9 8 8 3 + — 6 . 8 3 2 5 8 7 + 10.13237 )2 = 14.83192

\ 3 7 8 621 594 1 771

junto con una fórmula de quinto orden:

y, = 2 + ( ^ 3 + 1 ^ 4 . 3 5 9 8 8 3 + 1 ^ 6 . 8 3 2 5 8 7 27 648 48 384 55 296

+ 277 1 \

12.09831 + -10.13237 12 = 14.38677 14 336 4 I

El error estimado se obtiene al restar esos dos resultados para dar

Ea = 14.83677 - 14.83192 = 0.004842

25.5 .3 Control de tamaño de paso

Ahora que desarrollamos formas para estimar el error de truncamiento local, se puede usar para ajustar el tamaño de paso. En general, la estrategia es incrementar el tamaño de paso si el error es demasiado pequeño y disminuirlo si es muy grande. Press y cois. (1992) han sugerido el siguiente criterio para cumplir con lo anterior:

h iictual (25.47)


donde hmm¡ y hnuev0 = tamaño de paso actual y nuevo, A a c l u l l , = exactitud actual calculada, A n u e v o = exactitud deseada, y a = exponente constante que es igual a 0.2 cuando aumenta el tamaño de paso (por ejemplo, cuando A a c t u a l < A n u e v 0 ) y 0.25 disminuye el tamaño de paso (A a c t u a l > A ^ ) .

El parámetro clave en la ecuación (25.47) es obviamente A n u e v o ya que es su vehículo para especificar la exactitud deseada. Una manera para realizarlo sería relacionar A n U (.V ( 1

con un nivel relativo de error. Aunque esto funciona bien sólo cuando ocurren valores positivos, puede causar problemas para soluciones que pasan por cero. Por ejemplo, usted podría estar simulando una función oscilatoria que repetidamente pasa por cero, pero está limitada por valores máximos absolutos. Para tal caso, podría necesitar estos valores máximos para figurar en la exactitud deseada.

Una manera más general de manejar esos casos es determinar A n u e v o como

NUEVO ^ ESCALA donde e = nivel de tolerancia global. Su elección d e y e s c a l a determinará entonces cómo se ha escalado el error. Por ejemplo, s i y e s c a l a = y, la exactitud será manejada en términos del error relativo fraccional. Si usted trata ahora con un caso donde desee errores relativos constantes a un límite máximo preestablecido, existe ya u n a y e s c a l a igual a ese límite. Un truco sugerido por Press y cois. (1992) para obtener los errores relativos constantes, excepto aquellos que cruzan muy cerca de cero, es

2 5 . 5 . 4 Algor i tmo de cómputo

Las figuras 25.21 y 25.22 muestran el pseudocódigo para implementar la versión de Cash-Karp del algoritmo Runge-Kutta Fehlberg. Este algoritmo es acondicionado des PUES de una implementación más detallada por Press y cois. (1992) para sistemas de-

La figura 25.21 implementa un solo paso de la rutina Cash-Karp (que son las ecuaciones 25.45 y 25.46). La figura 25.22 bosqueja un programa principal general junto con una subrutina que de hecho adapta el tamaño de paso.

EJEMPLO 2 5 . 1 4 Aplicación en computadora de un esquema adaptativo RK de cuarto orden

Enunciado del problema. El método RK adaptativo es muy apropiado para la siguienlc ecuación diferencial ordinaria

ESCALA = W + * dy dx

Ésta es la versión que usaremos en nuestro algoritmo.

EDO.

dx + 0.6y = iOg-<*-2)7P(O.075)'] (E25.14.I)

Observe que para la condición inicial, y (0) = 0.5, la solución general es

y = 0.5e (H25.14.2)

2 3 . » 4 J I 0 D 0 S A D A P T A T I V O S O E H Ü I W W W U T T A

OUVROUTINE RKkc (y, dy,x,\\,yout, yetr) rARAMETER(a2=0.2.a3=0.3M=O.6,a5=Ua6=0.375,

bZI=0.2,b3U3./40.,b32=9J40.,b4U0.3,b42=-0.9, b43=1.2,b5l=-1V54.,b52=2.5,b53=-70./27., b54=35./27.,b6U163U55296.,b62=175./512., b63=575/.13&24.,b64=44275.ñ10592.,b65=253./4096., cU37./37&.,c3=250./62Uc4=125./594., c6=512J1771.,dcUcl-2&25./2764&., dc3=c3-18575./4&3&4.,dc4=c4- /l3525./55296„ dc5=-277./14336.,dc6=c€>-0.25)

ytemp=y+b21*h*dy CALL Derive (x+a2*h,ytemp,k2) ytemp=y+h*(b31*dy+b32*k2) CALL Derive(x+a3*h,ytemp,k3) ytemp=y+h*(b41*dy+b42»k2+b43*k3) CALL Derive (x+a4*h,ytemp,k4) ytemp=y+h*(b51*dy+b52*k2+b53*k3+b54*k4) CALL Derive(x+a5*h,ytemp,k5) ytemp=y+h*(b61*dy+b62*k2+b63*k3+b64*k4+b65*k5)

F IGURA 2 5 . 2 1 CALL Derive(x+a6*h, ytemp,k6) l'Miudocódigo para un solo yout=y+h*(c1*dy+c3*k3+c4*k4+c6*k6) I« I.M > para el método RK yerr=h*(dc1*dy+dc3*k3+dc4*k4+dc5*k5+dc6*k6) i ní.li-Karp. ENDRKkc

F IGURA 2 5 . 2 2 iSniídocódigo para resolver muí simple EDO: 11) piograma principal y / I ] rutina adaptativo I l i ' poso.

A ) P R O G R A M A P R I N C I P A L

INPUTxi.xf.yi maxetep=100 hi~.5; tiny = l x 10~ 5

epe=0.00005 prínt *, xi.yi x=xí y=y¡ h=h¡ ietep=0 DO

IF (ietep > maxetep AND x < xf) EXIT ietep=ietep+1 CALL Deríve(x,y,dy) yecal=ABS(y)+ABS(h*dy)+tiny IF (x+h>xf) THEN h=xf-x CALL Adapt (x,y,dy,h,yecal,epe,hnxt) PRINTx,y h=hnxt

ENDDO END

b) R U T I N A A D A P T A T I V O D E P A S O

SUB Adapt (x,y,dy,htry,yecal,epe,hnxt) PARAMETER(eafety=0.9,econ=1.39e-4) h=htry DO

CALL RKkc(y,dy,x,h,ytemp,yerr) emax=abe(yerr/yecal/eps) IF emax<1EXIT htemp=safety*h *emax~° 2 5

h=max(abe(htemp),0.25*abs(h)) xnew=x+h IF xnew = x THEN pauee

END DO IF emax > econ THEN

hnxt=eafety*emax~ 2*h ELSE

hnxt=4. *h END IF x=x+h y=ytemp END Adapt


F I G U R A 2 5 . 2 3 o) Una función forzada en forma de campana que induce un cambio abrupto en la solución de una EDO [véase ecuación (E25.14.1)]: b) La solución. Los puntos indican las predicciones para una rutina adaptativo paso-tamaño.

la cual es una curva uniforme que gradualmente se aproxima a cero en tanto x aumenta. En contraste, la solución particular tiene una transición abrupta en la vecindad de x = 2 debido a la naturaleza de la función forzada (véase la figura 25.23a). Use un esquema estándar RK de cuarto orden para resolver la ecuación (E25.14.1) desde x = 0 hasta 4. Después emplee el esquema adaptativo descrito en esta sección para realizar el mismo cálculo.

Solución. Primero se usa el esquema clásico de cuarto orden para calcular la curva en la figura 25.236. Para hacer este cálculo se usa un tamaño de paso de 0.1 a fin de que NO hagan 4/(0.1) = 40 aplicaciones de la técnica. Después, el cálculo se repite con un tama ño de paso de 0.05 para un total de 80 aplicaciones. La principal discrepancia entre los dos resultados ocurre en la región que va de 1.8 a 2.0. La magnitud de la discrepancia es de alrededor de 0.1 a 0.2%.

Después, se desarrolla el algoritmo mostrado en las figuras 25.21 y 25.22 en un programa de cómputo y se usa puiu renolvor el mismo problema. Se elige un tamaño de

PRi

paso de 0,3 y unti f ~ 0.00005. Los resultados NO superponen on la figura 25.23/). Observe cómo se loman grandes pasos en las regiones de cambio gradual. Después, en la vecindad de x 2 disminuyen los pasos para tomar en cuenta la naturaleza abrupta de la función forzada.

La utilidad de un esquema de integración adaptativo obviamente depende de la naturaleza de las funciones que habrán de modelarse. Es en particular ventajoso para aquellas soluciones con grandes tramos uniformes y con regiones cortas de cambio abrupto. Además, tiene utilidad en aquellas situaciones donde no se conoce de antemano el tamaño correcto de paso. Para esos casos, la rutina adaptativa "sentirá" su camino para la solución mientras mantiene los resultados dentro de la tolerancia deseada. Asi, andará lento por regiones de cambio abrupto y acelerará el paso cuando las variaciones sean más graduales.

P R O B L E M A S

iV I Kesuclva el siguiente problema de valor inicial de manera MI IH I I I IC I I para el intervalo que va de x = 0 a 2:

V-V •2y

ilitmte i'(0) = 1. Grafique la solución. 1*.2 I Isc el método de Euler con h = 0.5 y 0.25 para resolver el prnhlcina 25.1. Grafique los resultados sobre la misma gráfica |mm comparar visualmente la exactitud de los dos tamaños de | tu mi íV 11 Ise el método de Heun con h = 0.5 para resolver el proble-inn ¡S. I. Itere el corrector con es = 1%. 1V4 Use el método de punto medio con h = 0.5 y 0.25 para imnlver el problema 25.1. I* *> t Ise el método clásico RK de cuarto orden con h = 0.5 para iMolvcr el problema 25.1. !V<> Kepita los problemas del 25.1 al 25.5, pero ahora para el «Ianicnte problema de valor inicial sobre el intervalo que va de x - Ou I:

(H-v)vy v(0) = i IV7 Use los métodos a) de Euler y b) de Heun (sin iteración) pinii resolver

dt-i t- v

25.8 Resuelva el siguiente problema con el método RK de cuarto orden:

donde y (0) = 4 y y '(0) = 0. Resuelva desde x = 0 hasta 5 con h = 0.5. Grafique sus resultados. 25.9 Resuelva desde t = 0 hasta 3 con h = 0.1 usando a) el método Heun (sin corrector) y b) el método RK de segundo orden o de Ralston: dy_ dt •• y sen2(í) y(0) = 1

25.10 Resuelva el siguiente problema en forma numérica desde t = 0 hasta 3: dJ- = -y + t y(0) = 1 cu

Use el método RK de tercer orden con un tamaño de paso de 0.5. 25.11 Use el método a) de Euler y b) el método RK de cuarto orden para resolver dy dx dz dx

~2y + 5e"

2 12 en un muño de

ilnnile, i'(0) = 2yy'(0) = 0. Rcsuclvu desdo x * 0 hasta 4 mediante // — 0.1. Compare los métodos al gnifleitr IHN solucionos. sobre al rungo que va de x = 0 a 1 mediante un tamaño de puso do 0.2 con y (0) = 2yz(0) = 4.


25.12 Calcule el primer paso del ejemplo 25.14 usando el método adaptativo RK de cuarto orden con h = 0.5. Verifique si el ajuste paso-tamaño es el correcto. 25.13 Si e = 0.001, determine si se requiere un ajuste en el tamaño de paso para el ejemplo 25.12. 25.14 Use el procedimiento RK-Fehlberg para realizar el mismo cálculo que en el ejemplo 25.12 desde x = 0 hasta 1 con h = 1. 25.15 Escriba un programa en computadora con base en la figura 25.7. Entre otras cosas, inserte comentarios para la documentación del programa con el fin de identificar lo que en cada sección se intenta realizar. 25.16 Pruebe el programa que usted desarrolló en el problema 25.15 con los mismos cálculos por realizar de los ejemplos 25.1 y 25.4.

25.17 Desarrolle un programa de uso amigable para el método de Heun con un corrector iterativo. Pruebe el programa usando los resultados de la tabla 25.2. 25.18 Desarrolle un programa de cómputo de uso amigable para el método clásico RK de cuarto orden. Pruebe el programa con los mismos cálculos por realizar del ejemplo 25.7 y del problema 25.5. 25.19 Desarrolle un programa de cómputo de uso amigable para sistemas de ecuaciones mediante el uso del método RK de cuarto orden. Use este programa con los mismos cálculos por realizar del ejemplo 25.10.

CAPÍTULO 2 6

Métodos rígidos y de rnultipaso

El presente capítulo cubre dos áreas de estudio. Primero, describimos las EDO rígidas, que pueden estar tanto en forma individual como en sistemas y ambas tienen componentes rápidos y lentos para su solución. Introducimos la idea de una técnica de solución implícita como una de uso común para remediar este problema. Después analizamos loi métodos de rnultipaso. Estos algoritmos retienen información de pasos anteriores para capturar con más efectividad la trayectoria de la solución. También dan la estimación del error de truncamiento que se usa para implementar el control adaptativo tamaño-paso.

2 6 . 1 R I G I D E Z

El término rigidez es usado para denominar a un problema especial que puede surgir en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Un sistema rígido es aquel que involucra un cambio rápido en sus componentes junto con un cambio lento de algunos. En muchos casos, la variación rápida de componentes son transitorios efímeros que terminan rápidamente, después de lo cual la solución es dominada por la variación lenta de componentes. Aunque los fenómenos transitorios existen sólo para una parte del intervalo de integración, pueden dictar el paso del tiempo para toda la solución.

Tanto las EDO individuales como los sistemas pueden ser rígidas. Un ejemplo de una EDO rígida simple es

= - 1 OOOy + 3 000 - 2 000e"' (26.1) dt

Si y(0) = 0, la solución analítica se puede desarrollar como

y = 3 - 0,9986-' 0 0 0 í - 2.002e"' (26.2)

Como se muestra en la figura 26.1, la solución se halla dominada al principio por el término rápido exponencial ( e - 1 ° 0 0 ' ) . Después de un periodo muy corto t < 0.005, esta parte transistoria termina y la solución será gobernada por el exponencial lento (e~').

Se puede ganar cierto conocimiento en el tamaño de paso necesario para la estabilidad de tal solución al examinar la parte homogénea de la ecuación (26.1),

% = -ay (26.3) dt Si y(0) = y u , puede usarse cálculo paru determinar la solución como

y s y„r "'

7 6 4 M É T O D O S RÍGIDOS Y DE MULTIPASO

y 3

2

i i 1!

0 ' 0 2 4 x

F I G U R A 2 6 . 1 Gráfica de una solución rígida de una sola EDO. Aunque la solución parece comenzar en 1, existe en realidad una forma transitoria rápida de y = 0 a 1 que ocurre en menos de 0.005 unidades de tiempo. Esta forma transitoria es perceptible sólo cuando la respuesta es vista sobre una escala más fina en el origen.

Así, la solución e n y 0 asintóticamente se aproxima a cero. Es factible usar el método de Euler para resolver el mismo problema en forma nu

mérica:

y¡+\ = y> + ~^h

Al sustituir la ecuación (26.3) se tiene

y,+i = y,- -ay¡h

o

yi+l = y¡{\ - ah) (26.4)

La estabilidad de esta fórmula sin duda depende del tamaño de paso A. Es decir, 11 — ah \ debe ser menor que 1. Así, si h > 21a, | y,-1 -» ° ° como i —• °°.

Para la parte transitoria rápida de la ecuación (26.2), se puede usar este criterio con el fin de mostrar que el tamaño de paso para mantener la estabilidad debe ser < 2/1 000 = 0.002. Además, debería observarse que mientras el criterio mantenga estabilidad (CN decir, una solución acotada), un tamaño de paso aún más pequeño pudiera ser requerido para obtener una solución exacta. Así, aunque ocurra la parte transitoria para sólo uiin pequeña fracción del intervalo de integración, éste controla el máximo tamaño de patín permitido.

Sin ahondar mucho, usted podría suponer que las rutinas adaptativas de tamaño de paso descritas al final del capítulo podrían ofrecer una solución para este dilema. Qui/fl pensaría que ellas podrían usar pasos pequeños durante las partes transistorias rápidas y grandes pasos para las otras. Sin embargo, éste no es el caso, ya que los requerimiento»! de estabilidad todavía requerirán p u o i muy pequeños a través de toda la solución.

T U

Kn lugar de tmnr procedimientos explícitos, los métodos implícitos ofrecen un remedio alternativo. Tules representaciones se denominan iinplia'tus, debido a que lu incógnita aparece en ambos lados de la ecuación. Se puede desarrollar una forma implícita del método de liuler al evaluar la derivada en el tiempo futuro,

. V / + 1

A esto se le llama método de Euler hacia atrás o implícito. Si se sustituye la ecuación (26.3) se obtiene

y, + i = V Í - ayi+yh

la cual se puede resolver para

y¡+\ = y¡

1 +ah

Para este caso, sin importar el tamaño de paso, \y¡\ —; procedimiento es llamado incondicionalmente estable.

(26.5)

0 como i -» °°. De ahí que el

EJEMPLO 2 6 . 1 Euler explícito e implícito

Enunciado del problema. Use ambos métodos: el explícito y el implícito para resolver

ÉL = dt

-1 OOOy + 3 000 - 2 000e~

dondey(O) = 0. a) Use el método de Euler explícito con tamaños de paso de 0.0005 y 0.0015 para resolver a y entre / = 0 y 0.006. b) Use el método de Euler implícito con un tamaño de paso de 0.05 para resolver a y entre 0 y 0.4.

Sol

a) UCION.

b)

Para este problema, el método de Euler explícito es

y . + 1 = y . + ( - 1 000y¡ + 3 000 - 2 OOOe~'0A

El resultado para h = 0.005 se despliega en la figura 26.2a junto con la solución analítica. Aunque exhibe algún error de truncamiento, el resultado captura la forma general de la solución analítica. En contraste, cuando se aumenta el tamaño de paso a un valor justo debajo de la estabilidad límite (h = 0.0015) la solución manifiesta oscilaciones. Usando h > 0.002 daría como resultado una solución por completo inestable; es decir, tendería al infinito en tanto progresa la solución. El método de Euler implícito es

y . + ) = y. + ( - 1 0 0 0 y l + 1 + 3 000 - 2 0 0 0 Í ? - ' Í + 1 ) ¿

Ahora como la EDO es lineal, podemos reordenar esta ecuación de tal forma que y¡ | esté aislada en el lado izquierdo,

y, + 3 OOO/i - 2 000 /K? '"'

I + I 000/1

7 6 6 MÉTODOS RÍGIDOS Y DE MULTIPASO

n = 0.0015

F I G U R A 2 6 . 2 Solución de una EDO "rígida" con los métodos de Euler o) explícito y b) implícito.

El resultado para h = 0.05 se despliega en la figura 26.2b junto con la solución analítica. Observe que aun cuando usamos un tamaño de paso mucho mayor que aquel que ha inducido inestabilidad en el método de Euler explícito, la solución numérica ajusta muy bien sobre el resultado analítico.

Los sistemas de EDO pueden también ser rígidos. Un ejemplo es

dJ± = _ 5 y , + 3v 2 (26.6a) dt

^ = lOOyi - 301y 2 (26.6/0 dt

Para las condiciones iniciales y 0) = 52.29 yy2(0) = 83.82, la solución exacta es

y, = 52 .96e - 3 - 9 8 9 9 ' - 0 . 6 7 c - 3 0 2 - 0 1 0 1 ' (26.7«)

y 2 = 17 .83e- 3 - 9 8 9 9 ' + 6 5 . 9 9 c - 3 0 2 - 0 1 0 1 ' (26.7/»)

Advierta que los exponentes son negativos y difieren por cerca de 2 órdenes de magni tud. Como con la ecuación simple, son los exponentes grandes los que responden rápida mente y son el corazón de la rígidas del sistema.

ZO.r fl Mff<VMULTIPA5Q Un método implícito de Euler para sistemas puede ser formulado para el actual

ejemplo como

Así, podemos ver que el problema consiste en resolver un conjunto de ecuaciones simultáneas por cada paso de tiempo.

Para EDO no lineales, la solución ahora es más difícil, ya que involucra resolver un sistema de ecuaciones simultáneas no lineales (recuerde la sección 6.5). Así, aunque «o gana estabilidad a través de procedimientos implícitos, se paga el precio en forma de complejidad agregada a la solución.

El método de Euler implícito es incondicionalmente estable y exacto para el primer orden. Es también posible desarrollar de manera similar un esquema de integración para la regla trapezoidal implícita exacta de segundo orden para sistemas rígidos. Es usual-mente deseable tener métodos de orden superior. Las fórmulas de Adams-Moulton descritas más tarde en este capítulo pueden también usarse para determinar métodos implícitos de orden superior. Sin embargo, los límites de estabilidad de tales procedimientos se hallan muy limitados cuando se aplica a sistemas rígidos. Gear (1971) desarrolló una serie especial de esquemas implícitos que tienen límites de estabilidad mucho mayores basados en las fórmulas diferenciadas hacia atrás. Se hacen intensos esfuerzos para desarrollar software que implemente en forma eficiente los métodos de Gear. Como resultado, éste es quizás el método más favorecido para resolver sistemas rígidos. Además, Rosenbrock y otros proponen algoritmos Runge-Kutta implícitos donde los términos k aparecen implícitamente. Esos métodos tienen características buenas de estabilidad y son bastante adecuados para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias rígidas.

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto x¡ para predecir un valor de la variable dependiente y i + 1 en un punto futuro x¡+l (véase figura 26.3a). Procedimientos alternativos, llamados métodos rnultipaso (véase figura 26.3*3), se basan en el conocimiento de que, una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y está a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporcionan información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos rnultipaso explorados en este capítulo aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple do segundo orden que sirve para demostrar las características generales de loi procedimientos rnultipaso.

y u + i = y\,¡ + ( - 5 y u + i + 3y 2 , /+i)fc

y2,,+i = yi,¡ + (100>'I , ! + 1 - 301y 2 , / + i)A

(26.8a)

(26M)

Al agrupar términos se tiene

(1 + 5h)yu¡+i - 3hy2,i+¡ = yi,,-

-100/2yu+1 + ( 1 + 301/z)y 2 , + 1 = y 2 >, (26.9a) (26.96)

M É T O D O S M U L T I P A S O

768

F I G U R A 2 6 . 3 Ilustración gráfica de la diferencia fundamental entre los métodos para resolver EDO o) de un paso y b) de multipasos.

X / + 1 X

a)

26.2,1 EF M É T O D O D E H E U N D E N O autoínicío

Recuerde que el procedimiento de Heun usa el método de Euler como unpredictor [vea se ecuación (25.15)]:

yf+i = y i + f(xhyi)h

y la regla trapezoidal como un corrector [véase ecuación (25.16)]:

= y i + / ( . Y , - , y,-) + / ( .v f + i , y , " + i ) A

(26.10)

(26.1

Así, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local de 0(h2) y <9(/;'), respectivamente. Esto sugiere que el predictor es el enlace débil en el método, pues tiene el error más grande. Esta debilidad es significativa debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la predicción inicial. En consecuencia, una forma para mejorar el método de Heun es mediante el desarrollo de un predictor que tenga un error local de 0(h3). Esto se puede cumplir al usar el método de Euler y la pendiente eny ( , y una información extra del punto anterior Y¡__] como en

y,_, +/(.v,-,y/)2/i (26.1.')

Observe que la ecuación (26.12) alcanza 0(h ) a expensas de emplear un tamaño de paso más grande, 2h. Además, observe que la ecuación (26.12) no es de autoinicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente y¡_,. Tal valor podría no estar disponible en un problema común de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones (26.11) y (26.12) son llamadas método de Heun de. no autoinicio.

Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada en la ecuación (26.12) sc< localiza ahora en el punto medio más que al inicio del intervalo sobre el cual se hace In predicción. Como se demostrará después, esta ubicación centrada mejora el error del predictor a 0(.hs). Sin embargo, IB»F#DI.progcdcr a una deducción formal del método dt

2 6 . 2 M u i m s o »..;\ A l. Pendiente - HxM, y¡L,

F I G U R A 2 6 . 4

Una ilustración gráfica del método de Heun de no auloinicio, a) El método de punto medio que se usa como un predictor. b) La regla trapezoidal que se emplea como un corredor

Heun de no autoinicio, resumiremos el método y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:

Predictor: y%, = y*_ , + f(x„ y"¡)h

Corrector: ^ 1 ^ + M i & # . í i

(paray = 1,2,..., m)

(20 .13)

(26 .14)

donde los superíndices se agregaron para denotar que el corrector se aplica iterativamente dey — l a ni para obtener soluciones refinadas. Observe que y 1" y y"L\ son ios resulta dos finales de las iteraciones del corrector en los pasos de tiempo anteriores. Liin iteraciones son terminadas en cualquier paso de tiempo con base en el criterio de paro

\>„\ - ' /1 i \ i i 11)0%

(26 .15)

770 M É T O D O S RÍGIDOS Y DE MULTIPASO

Cuando eu es menor que una tolerancia de error e v preestablecida, se terminan las iteraciones. En este punto, y = m. El uso de las ecuaciones (26.13) a la (26.15) para resolver una EDO se demuestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 26 .2 Método de Heun de no autoinicio

| Enunciado del problema. Use el método de Heun de no autoinicio para realizar los \ mismos cálculos igual que en el ejemplo 25.5 mediante el método de Heun. Es decir, I integrar y' — 4e°,8x — O.Sy dex = 0 a x = 4 usando un tamaño de paso de 1.0. Como cu ¡ el ejemplo 25.5, la condición inicial enx = 0 es y — 2. Sin embargo, como aquí tratamos | conunmétodo demultipaso, requerimos la información adicional de que y = —0.3929953 1 en x = — 1.

Solución. El predictor [véase ecuación (26.13)] se usa para extrapolar linealmente ele x — — 1 a i = 1.

y? = -0.3929953 + [4e° ' 8 ( 0 ) - 0.5(2)] 2 = 5.607005

El corrector [véase ecuación (26.14)] es entonces usado para calcular el valor:

4eo.8(0) _ 0.5(2) + 4 e 0 8 ( 1 ) - 0.5(5.607005). •1 = 6.549331

la cual representa un error relativo porcentual de —5.73% (valor verdadero = 6.194631). Este error es algo más pequeño que el valor de —8.18% incurrido en el Heun de auto inicio.

Ahora, la ecuación (26.14) se puede aplicar de manera iterativa para mejorar la solución:

y\ = 2 + 3 + 4 e o . 8 ( i ) _o.5(6.549331)

1 = 6.313749

que representa un et de —1.92%. Puede determinarse un estimado de error aproximado usando la ecuación (26.15):

6 .313749-6.549331

6.313749 100% = 3.7%

La ecuación (26.14) se puede aplicar de manera iterativa hasta que ea esté por debajo de un valor preespecificado de es. Como fue el caso con el método de Heun (recuerde el ejemplo 25.5), las iteraciones convergen sobre un valor de 6.360865 (e, = —2.68%). Sin embargo, como el valor del predictor inicial es más exacto, el método de multipaso converge a una razón algo más rápida.

Para el segundo paso, el predictor es

y» = 2+ [4<?°'8 ( l ) - 0.5(6.360865)] 2 = 13.44346 F, = 9.43%

que es superior a la predicción de 12.08260 ( E , = 18%)) que fue calculada con el método de Heun original. El primer corrtetorda.13.76693 (e, = 6.8%), o iteraciones subsecuente*

26.2 MÉTODOSMULTiBMO iU IWUm^ m convergen sobre el mismo resultado como uc obtuvo con el método de Heun de autoinicio: 15.30224 (t:, —3.1%). Como con el P O N O anterior, la razón de convergencia del corrector ha sido mejorada debido a la mejor predicción inicial.

Deducción y análisis del error de las fórmulas del psedictor-corrector. Ya empleamos conceptos gráficos para deducir el Heun de no autoinicio. Ahora mostraremos cómo las mismas ecuaciones se pueden deducir matemáticamente. Esta deducción es en particular interesante porque vincula las ideas del ajuste de curvas, de la integración numérica y de las EDO. El ejercicio también es útil porque proporciona un procedimiento simple para desarrollar métodos de multipaso de orden superior y estima sus errores.

La deducción se basa en resolver la EDO general

d y fi ^ — = f(x,y) dx

Esta ecuación se puede resolver al multiplicar ambos lados por dx e integrando entre los límites iei + 1: ry¡+\ rx¡+\

/ dy = f(x, y ) dx

El lado izquierdo se puede integrar y evaluar mediante el teorema fundamental [recuerde la ecuación (25.21)]:

y¡+i=y, + J Í ' + ' f(x,y)dx (26.16)

La ecuación (26.16) representa una solución a la EDO si la integral puede ser evaluada. Es decir, proporciona un medio para calcular un nuevo valor de la variable dependiente yi+, con base en un valor previo de y¡ y la ecuación diferencial.

Las fórmulas de integración numérica como las que se desarrollaron en el capítulo 21 proporcionan una manera de hacer esta evaluación. Por ejemplo, la regla trapezoidal [véase ecuación (21.3)] se puede usar para evaluar la integral, como en

f(x,y) dx = h (26.17)

donde h = xl+ x — x¡ es el tamaño de paso. Al sustituir la ecuación (26.17) en la ecuación (26.16) se tiene

, f(x¡, y,-) + f{xi+], y,-+i) y¡+\ = y¡ + 2

la cual es la ecuación corrector para el método de Heun. Como ésta se basa en la regla trapezoidal, el error de truncamiento puede tomarse directamente de la tabla 21.2,

/'.;•• ¡2l'\0)(^) = - - - - / ' Y U ) (26 .18)

donde el Muperfndice c designa que eslo ON el error del corrector.


Un procedimiento similar puede ser usado para deducir al predictor. Para oslo caso, los limites de integración van de / — 1 a / +• l:

/ ' V i I I / • » ' / + !

/ dy = I f{x, y) dx Jy¡-\ J *¡-\ que se puede integrar y rearreglar para obtener

yi+\=y¡-\+¡ f{x,y)dx (26.19)

Ahora, más que usar una fórmula cerrada de la tabla 21.2, la primera fórmula de integra ción abierta de Newton-Cotes (véase tabla 21.4) se puede usar para evaluar la integral, como en

f{x,y)dx = 2hf(xi,y,) ( 26 .20 )

la cual es llamada método de punto medio. Sustituyendo la ecuación (26.20) en la ecua ción (26.19) se obtiene

y i + i = y,-_i + 2hf(Xj,yj)

el cual es el predictor para el Heun de no autoinicio. Como con el corrector, el error de truncamiento local se puede tomar directamente de la tabla 21.4:

EP = Vy3'(?P) = \lyfiHp) ( 2 6 . 2 1 )

donde el subíndice p designa que éste es el error del predictor. Así, el predictor y el corrector para el método de Heun de no autoinicio tiene errores

de truncamiento del mismo orden. Además de actualizar la exactitud del predictor, este hecho tiene beneficios adicionales relacionados con el análisis del error, como se elabu rara en la siguiente sección.

Estimación DE ERRORES. Si el predictor y el corrector de un método multipaso son del mismo orden, el error de truncamiento local puede estimarse durante el curso de un cálculo. Esto es una tremenda ventaja, ya que establece un criterio para el ajuste del tamaño de paso.

El error de truncamiento local para el predictor se estima con la ecuación (26..' I ) Dicho error estimado se puede combinar con el estimado d e y í + I del paso predictor pata dar [recuerde nuestra definición básica de la ecuación (3.1)]

Valor verdadero — y°¡+l + - h3y0) (<? ) (26..'..!) 3

Mediante un procedimiento similar, el error estimado para el corrector [véase EEIIIUMII (26.18)] se puede combinar con el resultado del corrector v¡, , para dar

Valor verdadero i*™, , Vl'"1 ,) (20..U)

La ecuación (¿h.i.i) puede ser restada de lii ecuación (2<>.2.í) para dar <> v,'",, v,",, ^ / / V ' I S ) (20.24)

donde ¿; está ahora entre x¡_, y x ( + 1 . Ahora, si se divide la ecuación (26.24) entre 5 y se rearregla el resultado se tiene

0 _ ,,m i >, + 1 }'+y = -±h3v(y'(^) (26.25)

19"

5

Observe que los lados derecho de las ecuaciones (26.18) y (26.25) son idénticos, con la excepción del argumento de la tercera derivada. Si no hay una variación apreciable sobre el intervalo en cuestión, podemos suponer que los lados derecho son iguales y, por tanto, los lados izquierdo deberían ser equivalentes, como en

E, = - ^ (26.26) 5

Así, llegamos a una relación que puede ser usada para estimar el error de truncamiento por paso con base en dos cantidades [el predictor (y°i+¡) y el corrector (y™ + 1 ) ] , que son de rutina subproductos del cálculo.

Estimación del error de truncamiento por paso

Enunciado del problema. Use la ecuación (26.26) para estimar el error de trunca miento por paso del ejemplo 26.2. Observe que los valores verdaderos enx = 1 y 2 son 6.194631 y 14.84392, respectivamente.

Solución. En x í + 1 = 1, el predictor de 5,607005 y el corrector da 6.360865. Estos valores se pueden sustituir en la ecuación (26.26) para dar

£ c = - 6 - 3 6 0 8 6 5 ¡ 5 ^ = - 0 . 1 5 0 7 7 22

la cual se compara bien con el error exacto,

E, = 6.194631 - 6.360865 = -0.1662341

E n x ¡ + 1 = 2, el predictor da 13.44346 y la trayectoria da 15.30224, la cual se usa para calcular

£ t , = _ 15-30224-13.44346 =

que también se compara favorablemente con el error exacto, E, = 14.843992 — 15.302.M = -0.4583148.

Lo fácil con que puede eslimuiíto el error mediante la ecuación (26.26) proporciona una base racional para el ajuMe del Inmuno de paso durante el curso de un cálculo. I'or


ejemplo, si la ecuación (26.26) indica que el error es mayor que un nivel aceptable, el tamaño de paso podría ser disminuido.

Modificadores. Antes de analizar los algoritmos de cómputo, debemos observar otras dos formas en las cuales el método de Heun de no autoinicio puede hacerse más exacto y eficiente. Primero, debería percatarse que además de proporcionar un criterio para el ajuste tamaño-paso, la ecuación (26.26) representa una estimación numérica de la discrepancia entre el valor final corregido en cada p a s o y ¡ + 1 y el valor verdadero. Así, puede agregarse directamente a yi+x para refinar el estimado aún más:

ym — y° yi+i <- yi+i (26.27)

La ecuación (26.27) es llamada modificador corrector. (El símbolo «- se lee como "es remplazado por".) El lado izquierdo es el valor modificado de y"¡+ x.

Una segunda mejora que relaciona más la eficiencia del programa es un modificador predictor, el cual se designa para ajustar el resultado predictor de tal forma que esté más cerca del valor convergente final del corrector. Esto es ventajoso debido a que, como se observó al inicio de esta sección, el número de iteraciones del corrector es altamente dependiente de la exactitud de la predicción inicial. En consecuencia, si la predicción es modificada adecuadamente, podríamos reducir el número de iteraciones requerido para convergir sobre el último valor del corrector.

Tal modificador puede deducirse en forma simple al suponer que la tercera derivada es relativamente constante de un paso a otro. Por tanto, al usar el resultado del paso previo en /, la ecuación (26.5) se puede resolver para

h^M^-^yf-y?) (26.28)

la cual, suponiendo quey < 3 ) (^) = y ( 3 ) (^ , ) , se pueda sustituir en la ecuación (26.21) para dar

EP = l(y?-y?) (26.29)

que se puede usar para modificar el resultado del predictor

y,0+1<-y,0+1 + í(yr-y,°) (26.30)

EJEMPLO 26 .4 Efecto de modificadores sobre los resultados predictor-corrector

i Enunciado del problema. Vuelva a calcular el ejemplo 26.3 usando los modificadorcn j como se especifican en la figura 26.5.

Solución. Como en el ejemplo 26.3, el predictor inicial resultante es 5.607005. Ya que el modificador del predictor [véusc ocuución (26.30)] requiere valores de una iteración previa, no es posible emplearlo para mejorar este resultado inicial. Sin embargo, la ecua-

26,2 *toD06MUmnASO 778

Pradlcton

y°+, - + f|x„ ^ 2 h

(Guarde el resultado como y°+i u = , donde el subíndice u designa que la variable es no modificable)

Modi f icador predictor:

Corrector:

f[x, y?) + f\xhu y ^ i ) , y* , = y? n para / = 1 a iteraciones máximas m)

2

Verif icación de e r ro r :

VÍ.-1

100%

(Si le0l > criterio de error, asigne / = / + 1 y repita el corrector; si ea < criterio de error, guarde el resultado como )/£., u = y%},)

E r r o r del corrector es t imado:

(Si el cálculo continúa, asigne /'=/'+ 1 y regrese al predictor.)

F I G U R A 2 6 . 5 La secuencia de fórmulas usadas para implementar el método de Heun de no autoinicio. Observe que es posible usar la estimación del error del corrector para modificar el corrector. Sin embargo, como esto puede afectar la estabilidad del corrector, el modificador no se incluye en este algoritmo. La estimación del error del corrector está incluida debido a su utilidad para el ajuste tamaño de paso.

ción (26.27) se puede usar para modificar el valor corregido de 6.360865 (et = —2.684%), como en

6.360865 - 5.607005 „ „ , n n n ^ y? = 6.360865 = 6.210093

el cual representa un e, = —0.25%. Así, el error se reduce un orden de magnitud. Para la siguiente iteración, el predictor [véase ecuación (26.13)] se usa para calcular

y° = 2 + [ 4 e a 8 ( 0 ) - 0.5(6.210093)] 2 = 13.59423 e, = 8.42%

el cual es casi la mitad del error del predictor para la segunda iteración del ejemplo 26.3, que fue de e¡ = 18.6%. Esta mejora ocurre debido a que utilizamos aquí un estimado superior de y (6.210093 en lugar de 6,360865) en el predictor. En otras palabras, los errorea propagado y global se reducen por In inclusión del modificador corrector.

MÉTODOS R Í G I D O S Y D E M U L T I P A S O

Ahora debido a que tenemos información de la iteración anterior, la ecuación (¿6..(0) se puede emplear para modificar el predictor, como en

4 y' 1 = 13.59423 + -(6.360865 - 5.607005) = 14.19732 = 4.30%

lo cual, de nuevo, reduce el error a la mitad. Esta modificación no tiene efecto en la salida final del subsecuente paso corrector.

Sin importar si se usan los predictores modificados o no modificados, el corrector por último convergerá sobre la respuesta correcta. Sin embargo, como la razón o eficiencia de convergencia depende de la exactitud de la predicción inicial, la modificación puede reducir el número de iteraciones requerido para la convergencia.

La implementación del corrector da un resultado de 15.21178 (e, — —2.48%), el cual representa una mejora sobre el ejemplo 26.3 debido a la reducción del error global. Por último, este resultado se puede modificar usando la ecuación (26.27):

15.21178 - 13.59423 y'¡' = 15.21178 = 14.88827 e, = - 0 . 3 0 %

De nuevo, el error se redujo un orden de magnitud.

Como en el ejemplo anterior, la inclusión de los modificadores incrementa tanto la eficiencia como la exactitud de los métodos multipaso. En particular, el corrector modificador efectivamente incrementa el orden de la técnica. Así, el método de Heun de no autoinicio sin modificadores es de tercer orden más que de segundo orden, como es el caso para la versión no modificada. Sin embargo, debería observarse que hay sitúa ciones donde el corrector modificador afectará la estabilidad del proceso de iteración del corrector. Como consecuencia, el modificador no se incluye en el algoritmo de Heun de no autoinicio bosquejado en la figura 26.5. No obstante, el corrector modifica dor puede todavía tener utilidad para el control de tamaño de paso, como se analizará después.

2 6 . 2 . 2 Control del tamaño de paso y programas de cómputo

Tamaño de paso constante. Es relativamente simple desarrollar una versión tamano de paso constante del método de Heun de no autoinicio. La única complicación es que se requiere de un método de un paso para generar el punto extra necesario para comenzar el cálculo.

Además, como se emplea un tamaño de paso constante, se debe elegir un valor <le h antes del cálculo. En general, la experiencia indica que un tamaño de paso óptimo debe ría ser lo suficientemente pequeño para asegurar la convergencia con dos iteraciones del corrector (Hull y Creemer, 1963). Además, debe ser lo suficientemente pequeño para dar un error de truncamiento lo más pequeño posible. Al mismo tiempo, el tamaño de paso debería ser tan grande como sea posible para minimizar el costo de ejecución y el error de redondeo. Como se hizo con los otros métodos para las EDO, la única forma práctica para asegurar la magnitud dol error global es comparando los resultados para el miimo problema pero con un t u a | | % é b t f i q a la mitad.

778 MÉTODOS RÍGIDOS Y DE MULTIPASO

FIGURA 26.6 Una gráfica que muestra cómo la estrategia de disminuir a la mitad y duplicar el paso permite el uso de b) valores calculados previamente para un método multipaso de tercer orden, a) Disminuyendo a la mitad; c) duplicando.

ejemplo, las fórmulas de Newton-Cotes de orden superior desarrolladas en el capítulo 21 se podrían usar para este propósito.

Antes de hacer una descripción de esos métodos de orden superior, revisaremos his fórmulas de integración más comunes sobre las cuales están basadas. Como se mencionó antes, la primera de éstas son las fórmulas de Newton-Cotes. Sin embargo, hay una clase llamada fórmulas de Adams que también revisaremos y que a menudo resultan elegidas . Como se ilustra en la figura 26.7, la diferencia fundamental entre las fórmuhiN de Newton-Cotes y las de Adams se relaciona con la manera en la cual se aplica ln integral para obtener la solución. Como se ilustra en la figura 26.7a, las fórmulas de Newton-Cotes estiman la integral sobre un intervalo que abarca varios puntos. Esta integral se usa entonces para proyectar desde el inicio del intervalo hasta el final. En contrae te, las fórmulas de Adams (figura 26.1b) usan un conjunto de puntos de un intervalo para estimar únicamente la integral para el último segmento en el intervalo. Esta integral HC usa entonces para proyectar a través de este último segmento.

Fórmula» de Newton-Cotes, Alguna* de las fórmulas más conocidas para resolver •0UI0Í9MI diferenciales MrdlMafelatlifcMUl en el ajuste de una i n t a r n o l a o i A n Am

26.2 H 08MULTIB»,SO flf

'u-í=y¡+ \f(x,y)dx

F I G U R A 2 6 . 7 Ilustración de la diferencia fundamental entre las fórmulas de integración de Newton-Cotes y Adams. a) Las fórmulas de Newton-Cotes usan una serie de puntos para obtener un estimado de la integral sobre un número de segmentos. La estimación se usa después para proyectar a través de todo el rango, b) Las fórmulas de Adams usan una serie de puntos para obtener la estimación de la integral para un solo segmento. El estimado después es usado para proyectar a través del segmento.

polinomios de n-ésimo grado con n + 1 valores conocidos de y y después con el uso de esta ecuación para calcular la integral. Como se analizó antes en el capítulo 21, las fórmulas de integración de Newton-Cotes se basan en tal procedimiento y son de dos tipos: formas abiertas y cerradas.

Fórmulas abiertas. Para n puntos igualmente espaciados, las fórmulas abiertas se pueden expresar en la forma de una solución de una EDO, como se hizo antes para ln ecuación (26. I o ) . La ecuación general para este propósito es

V)| I - Y, J',,(x)il.\ (26.31)

MÉT0D0S_Rl_GIDOS Y DE MULTIPASO

y,

+ i = yi-i + + 4f¡ + f¡+]) (26.35) que es equivalente a la regla de Simpson 1/3. La ecuación (26.35) se ilustra en la figiiia 26.86. Fórmulas cíe Ádams, El otro tipo de fórmulas de integración que es posible usar paui resolver las EDO son las fórmulas de Adams. Muchos algoritmos de cómputo de uso generalizado para la solución de EDO por multipaso se basan en estos métodos.

Fórmulas abiertas (deAdams-Bashforth). Las fórmulas de Adams se pueden dedil cir en diferentes formas. Una técnica es escribir una expansión de la serie de Tayloi alrededor de x¡.

y¡+i = y, + f¡h + y / í 2 + y / ¡ 3 + •••

que también puede escribirse como

y,-ii - v, i /'(y; i /, i ^ / , ' i • • • ] (7o.io)

dondef„(x) es una interpolación polinoinial de n-ésinio orden. I,a evaluación de la irilc-gral emplea la fórmula de integración abierta de Newton-Cotes de /i-ésimo orden (véase la tabla 21.4). Por ejemplo, si n = 1,

yi+l = yi-i+2hfi (26.32)

donde f¡ es una abreviatura para f(x¡, y¡); es decir, la ecuación diferencial evaluada en .v, y y¡. Se hace referencia a la ecuación (26.32) como el método de punto medio, que se utilizó antes como predictor en el método de Heun de no autoinicio. Para n — 2,

3h y¡+i = y¡~2 + y (/i- + fi-i)

y para n = 3

Ah y ¡ + x = y í _ 3 + y ( 2 / , - - / , „ ! + 2/}_ 2) (26.33)

La ecuación (26.33) se ilustra gráficamente en la figura 26.8a. Fórmulas cerradas. La forma cerrada se puede expresar de manera general como

y,+\=y,-n+\+ I f„(x)dx (26.34)

donde la integral es aproximada por una fórmula de integración cerrada de Newton Cotes de «-ésimo orden (véase la tabla 21.2). Por ejemplo, para n = 1,

h

y¡+\ = y, + -j{fi + f¡+\). la cual es equivalente a la regla trapezoidal. Para n = 2,

h .

FIGURA 26.8 Ilustración gráfica de las fórmulas de integración de Newton-Cotes abierta y cerrada, o) La fórmula abierta de tercer orden [véase ecuación (26.33)] y b) la regla de Simpson 1/3 [véase ecuación (26.35)].

Recuerde de la sección 4.1.3 que se puede usar una diferencia hacia atrás para aproximur la derivada:

f! = + f4+ + Olh2) h 2

la cual se puede sustituir en la ecuación (26.36),

h V ; i l = .Vi + h { /, + - + + 0(h2)

h1 „ + - / , +

o, agrupnndo términos.

v,,i v, i /,(•]./; - ~.y; ,j t W'T • W) (26.37)


T A B L A 2 6 . 1 Coeficiente y t r r o r da truncamiento para predictores de Adams-Bashforth.

O r d a n 0o 01 02 03 04 05

E r r o r do t runcamiento

local

1 1

2 3 / 2 - 1 / 2

3 2 3 / 1 2 - 1 6 / 1 2 5 / 1 2

4 5 5 / 2 4 - 5 9 / 2 4 3 7 / 2 4 - 9 / 2 4 7 2 0

5 1 9 0 1 / 7 2 0 - 2 7 7 4 / 7 2 0 2 6 1 6 / 7 2 0 - 1 2 7 4 / 7 2 0 2 5 1 / 7 2 0 1 4 4 0

6 4 2 7 7 / 7 2 0 - 7 9 2 3 / 7 2 0 9 9 8 2 / 7 2 0 - 7 2 9 8 / 7 2 0 2 8 7 7 / 7 2 0 - 4 7 5 / 7 2 0 1 9 0 8 7

6 0 4 8 0

Esta fórmula es conocida como fórmula de Adams abierta de segundo orden. Las fórmulas de Adams abiertas son referidas también como fórmulas de Adams-Bashforth. En consecuencia, la ecuación (26.37) algunas veces es llamada segunda fórmula de Adams-Bashforth.

Es posible desarrollar fórmulas de Adams-Bashforth de orden superior al sustituir aproximaciones de diferencia superior en la ecuación (26.36). La fórmula de Adams abierta de w-ésimo orden puede ser representada por lo general como

n - l

yi+i =y¡+h^2 Mt-k + 0(hn+l) (26.38) <t=o

Los coeficientes fik se ilustran en la tabla 26.1. La versión de cuarto orden se ilustra en la figura 26.9a. Observe que la versión de primer orden es el método de Euler.

Fórmulas cerradas (deAdams-Moulton). Una serie de Taylor hacia atrás alrededor de x¡+l se puede escribir como fi fu

i 1 i • ' i ' + l u2 •'' + 1 1,3 i

y¡ = y<+\ - f+\h + — h ~ ~jr" + "' Al resolver p a r a y ¡ + 1 se tiene

yt+i = y¡ +h(fi+i - + jf¡'+l + • • •) (26.39)

Se puede usar una diferencia para aproximar la primera derivada: h 2

T A B L A 2 6 . 2 Coeficientes y error de truncamltnto para predictores de Adams-Moulton.

I r ro r de truncamiento

Orden p0 /3, 0 2 0 3 0 4 0 5 local

1/2 1/2 12

5 / 1 2

9 / 2 4

8 / 1 2

1 9 / 2 4

2 5 1 / 7 2 0 6 4 6 / 7 2 0

-1 /12

- 5 / 2 4

- 2 6 4 / 7 2 0

1/24

106/720 19/720

4 7 5 / 1 4 4 0 1 4 2 7 / 1 4 4 0 - 7 9 8 / 1 4 4 0 4 8 2 / 1 4 4 0 - 1 7 3 / 1 4 4 0 2 7 / 1 4 4 0

-—frV3l(U 24

7 2 0

27

1 4 4 0

863

6 0 4 8 0 /i7fl6'||)

la cual podrá sustituirse en la ecuación (26.39), y agrupando términos da

y 2 f i + 1 + 2f') ~ 12

Esta fórmula es conocida como fórmula de Adams cerrada de segundo orden o segunda fórmula de Adams-Moulton. Observe también que es la regla trapezoidal.

La fórmula de Adams cerrada de n-ésimo orden se puede escribir por lo general como

rc-l y¡+\ = y¡+hJ2 Pkfi+l-k + 0(hn+l) k=0

Los coeficientes ¡}k se listan en la tabla 26.2. El método de cuarto orden se ilustra en la figura 26.96.

2 6 . 2 . 4 Métodos mult ipaso de orden super ior

Ahora que ya desarrollamos de manera formal las fórmulas de integración de Newton-. Cotes y Adams, podemos usarlas para deducir métodos multipaso de orden superior. Como ocurrió con el método de Heun de no autoinicio, las fórmulas de integración se aplican en serie como métodos predictor-corrector. Además, si las fórmulas abiertas y cerradas tienen errores de truncamiento local del mismo orden, es posible incorporar modificadores del tipo listado en la figura 26.5 para mejorar la exactitud y permitir el control del tamaño de paso. El cuadro 26.1 proporciona ecuaciones generales para esos modificadores. En la siguiente sección presentamos dos de los procedimientos multipaso de orden superior más comunes: el método de Milne y el método de Adams de cuarto orden.

Método de Milne. El método de Milne es el más común de los métodos multipaso basado on las fórmulas de integración do Ncwton-Cotes. Usa la fórmula de Newton-C O I O H de tren puntos como un predictor:


F I G U R A 2 6 . 9 Ilustración gráfica de las fórmulas de integración de Adams abierta y cerrada, a) La cuarta fórmula de Adams-Bashforth abierta y b) la cuarta fórmula de Adams-Moulton cerrada.

Ah

y?+l= yr-3 + T ( 2 / T - / T i + 2 / £ 2 )

(26.40)

y la fórmula cerrada de Newton-Cotes de tres puntos (regla de Simpson 1/3) como un corrector:

¿ 1 = ^ + ^ - 1 + ^ " + ^ , ) (26.41)

Los modificadores predictor y corrector para el método de Milne se desarrollarán u partir de las fórmulas del cuadro 26.1 y los coeficientes de error en las tablas 21.2 y 21.4:

* P = ! ( * • - y ? ) (26.42)

« r - - 2 5 W " + | - r f | l ) (26.43)

C u a d r o 2 6 . 1 Deducc ión d e r e l ac iones g e n e r a l e s p a r a m o d i f i c a d o r e s

I ,n relación entre el valor verdadero, la aproximación y el error tío un predictor puede representarse por lo general como

Valor verdadero = y°H, + ^ h"+ (B26.1.1)

donde r¡p y Sp = numerador y denominador de la constante del error de truncamiento para un predictor ya sea de Newton-Cotes abierto (tabla 21.4) o de Adams-Bashforth (tabla 26.1) y n es el orden.

Una relación similar se puede desarrollar para el corrector:

Valor verdadero = f}+x - — A " + y , + 1 ) ( | c ) (B26.1.2)

donde rjc y 8C = numerador y denominador de la constante del error de truncamiento para un corrector ya sea de Newton-Cotes cerrado (tabla 21.2) o de Adams-Moulton (tabla 26.2). Como se bizo en la deducción de la ecuación (26.24), la ecuación (B26.1.1) se puede restar de la ecuación (B26.1.2) para dar

Ahora, al dividir la ecuación entre r\c + V^JS^ multiplicar ol último término por 8JSp y rearreglar se proporciona un estimado del error de truncamiento local del corrector

Ec = -t]c8p + t]pSc

(B26.1.4)

Para el modificador predictor, la ecuación (B26.1.3) se puedo resolver en el paso anterior por

h"y l" + l\%) = - Sf (yf-yf) r)t&p + rip8c

la cual podrá sustituirse en el término del error de la ecuación (B26.1.1) para dar

ripSc

T)C8P + r¡pSc

(y?-y?) (B26.1.5)

o — v m

" - >/ + ! y?+l

r¡c + r}pSc/Sp ,+1 („+1)

Se (?) (B26.1.3)

Las ecuaciones (B26.1.4) y (B26.1.5) son versiones genéralo» de modificadores que se pueden usar para mejorar los algoritmo» multipaso. Por ejemplo, el método de Milne tiene r\p — 14, 8p •« 45, íj c = 1, Sc = 90. Al sustituir estos valores en las ecuacione* (B26.1.4) y (B26.1.5) se obtiene las ecuaciones (26.43) y (26.42). Podrán desarrollarse modificadores similares para otros paren de fórmulas abiertas y cerradas que tengan errores de truncamiento local del mismo orden.

EJEMPLO 26.5 Método de Milne

Enunciado del problema. Use el método de Milne para integrar}>'= 4e0Sx — 0.5y de x = 0 a x = 4 usando un tamaño de paso de 1. La condición inicial en x = 0 es y = 2. Como tratamos con un método multipaso se requiere de puntos previos. En una aplicación real, un método de un paso tal como un R K de cuarto orden podría usarse para calcular los puntos requeridos. Para el presente ejemplo, usaremos una solución analítica [recuerde la ecuación (E25.5.1) del ejemplo 25.5] para calcular los valores exactos en x¡_3 = -2>,x¡_2 = -2yxHl = - 1 de>>,._3 = -4 .547302, y¡_2 = -2 .306160 y>,_, = —0.3929953, respectivamente.

Solución. El predictor [véase ecuación (26.40)] se usa para calcular un valor e n * = 1:

4ÍD

y*} = -4 .54730 + - y - [ 2 ( 3 ) - 1.99381 + 2(1.96067)] = 6.02272

El corrector [véase ecuación (26.41)] se emplea entonces para calcular i -0.3929953 + -[1.99381 + 4(3) + 5.890802] = 6.235210

e, = 2.8%

- 0 . 6 6 %

Este resultado podrá sustituirse en la ecuación (26.41) para corregir el estimado en forma iterativa. Este proceso converge sobre un valor final corregido de 6.204855 (e, = - 0 , 1 7 % ) .


Este valor es más exacto que el estimado comparable de 6.360865 (e, = —2.68%) obtenido antes con el método de Heun de no autoinicio (véase los ejemplos 26.2 al 26.4). Los resultados para los pasos restantes sony(2) = 14.86031 (et = —0.11%), y(3) = 33.72426 (e ( = - 0 . 1 4 % ) yy(4) = 75.43295 (et = - 0 . 1 2 % ) .

Como en el ejemplo anterior, el método de Milne con frecuencia da resultados de alta exactitud. Sin embargo, hay ciertos casos donde su desempeño es pobre (véase Ralston y Rabinowitz, 1978). Antes de entrar en detalles sobre esos casos, describiremos otro procedimiento multipaso de orden superior (el método de Adams de cuarto orden).

Método de Adams de cuarto orden. Un método popular de multipaso basado en las fórmulas de integración de Adams usa la fórmula de Adams-Bashforth de cuarto orden (véase la tabla 26.1) como el predictor:

y?+l = yf' + *(§/,m ~ g/,-, + f4f,m-2 - ¿ / , m

3 ) (26.44)

y la fórmula de Adams-Moulton de cuarto orden (véase la tabla 26.2) como el corrector:

y j + i = y? + h(¿/¿i1 + f4f,m - ¿ / T , + ¿ / , - - 2 ) (26.45)

Los modificadores predictor y corrector para el método de Adams de cuarto orden podrán desarrollarse a partir de las fórmulas del cuadro 26.1 y los coeficientes de error en las tablas 26.1 y 26.2 como

Ep = ^ ( y " ' - y " ) (26-46)

E - - — (v"< - v ° ) ( 2 6 -47) — 270^ + 1 + 1 '

EJEMPLO 26 .6 Método de Adams de cuarto orden

Enunciado del problema. Use el método de Adams de cuarto orden para resolver el mismo problema que en el ejemplo 26.5.

Solución. El predictor [véase ecuación (26.44)] se usa para calcular un valor e n * = 1.

y® = 2 + l ( ^ 3 - ^ 1 . 9 9 3 8 1 4 + ^ 1 . 9 6 0 6 6 7 - ^ 2 . 6 3 6 5 2 2 8 ) = 6.007539 '55 59 37 — 3 1 . 9 9 3 8 1 4 + — .

,24 24 24 24

3.1%

que es comparable al resultado mediante el uso del método de Milne pero algo menos exacto. El corrector [véase ecuación (26.45)] se emplea entonces para calcular

/ o 19 5 1 \ v i = 2 + 1 —5.898394 I 3 — 1.993814 H 1.900666 = 6.253214 • 1 V24 24 24 24 /

*, « - 0 . 9 6 %

¥ 2 é . l 4 H I P D n 8 M U L T I f i f t 8 0 Í E S ?

ol cual en ilo nuevo comparable, pero monos exucto que ol resultado producto del método de Milne. linio resultado se puede sustituir en la ecuación (26.45) para corregir de muñera iterativo el estimado. E l proceso converge sobre un valor final corregido de 6.214424 (e, = 0.32%), que es un resultado exacto, pero otra vez algo inferior al que se obtuvo con el método de Milne.

Estabilidad de métodos multipaso. La exactitud superior del método de Milne exhibida en los ejemplos 26.5 y 26.6 podría anticiparse con base en los términos de error para los predictores [véase ecuaciones (26.42) y (26.46)] y los correctores [véase ecuaciones (26.43) y (26.47)]. Los coeficientes para el método de Milne, 14/45 y 1/90, son más pequeños que los de Adams de cuarto orden, 251/720 y 19/720. Además, el método de Milne emplea menos evaluaciones de la función para alcanzar esas altas exactitudes. De acuerdo con el valor, esos resultados podrían llevarnos a la conclusión de que el método de Milne es superior y, por lo tanto, preferible a los de Adams de cuarto orden. Aunque esta conclusión se cumple para la mayoría de los casos, hay ocasiones en las que el método de Milne se desempeña inaceptablemente. Tal comportamiento se exhibe en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 26 .7 Estabilidad de los métodos de Milne y Adams de cuarto orden

| Enunciado del problema. Emplee los métodos de Milne y Adams de cuarto orden j para resolver

F I G U R A 2 6 . 1 0 Ilustración gráfica de la inestabilidad del método de Milne.

0.005 -

«te» -urtii

. Método de Milne

Solución verdadera


j con la condición inicial de que y = 1 en* = 0. Resuelva esta ecuación de x = 0 ax = 10 usando un tamaño de paso de h = 0.5. Observe que la solución analítica es y = e~x.

j / Solución. Los resultados, como se resumen en la figura 26.10, indican problemas con el método de Milne. Poco después del inicio del cálculo, los errores empiezan a crecer y

| oscilar en signo. Para x = 10 el error relativo ha crecido al 2 831% y el mismo valor predicho comienza a oscilar en signo.

En contraste, los resultados para el método de Adams podrían ser mucho más aceptables. Aunque el error también crezca, lo haría a razón lenta. Además, las discrepancias

i podrían no exhibir los extraños cambios en signo expuestos por el método de Milne.

El inaceptable comportamiento manifestado en el ejemplo anterior por el método de Milne es referido como una inestabilidad. Aunque no siempre ocurre, tal posibilidad nos lleva a la conclusión de que el procedimiento de Milne debería evitarse. Así, el método de Adams de cuarto orden es normalmente el preferido.

La inestabilidad del método de Milne se debe al corrector. En consecuencia, se ha hecho intentos para rectificar el defecto al desarrollar correctores estables. Una alternativa usada comúnmente que emplea este procedimiento es el método de Hamming, el cual usa el predictor Milne y un corrector estable:

i W -y?-2 + Hyti + 2fr - fr-i) yi+i - 8

que tiene un error de truncamiento local:

El método de Hamming también incluye modificadores de la forma

£ < = - I 5 I « " « - A , )

El lector puede obtener información adicional sobre éste y otros métodos multipaso en muchas fuentes (Hamming, 1973; Lapidus y Seinfield, 1971).

P R O B L E M A S

26.1 Dada a) Estime el tamaño de paso necesario para mantener estabilidad mediante el uso del método de Eulcr explícito.

— = —100 OOOy + 100 OOOe"1' - e~* ^ Sl^(0) ~ 0, use el método de Euler implícito para obtener dx -UMMluclón de x - 0 a 2 mando un tamaño de paio de 0.1.

PROBLEMAS 719 26.2 Dada

= 30(sen t - y) + 3 eos t dt

Si y (0) = 1, use el método de Euler implícito para obtener una solución de x = 0 a 2 usando un tamaño de paso de 0.4. 26.3 Dada

^ í - = 999.x, + 1 999x2

dt

^ = 1 OOOx, - 2 000x, dt

Si x{(0) = x2(0) = 1, obtenga una solución de t = 0 a 0.2 mediante un tamaño de paso de 0.05 con los métodos de Euler a) explícito y b) implícito. 26.4 Resuelva el siguiente problema de valor inicial sobre el intervalo que va de * = 2 a x = 3:

dx

Use el método de Heun de no autoinicio con un tamaño de paso de 0.5 y condiciones iniciales dey(1.5) = 5.222138 yy(2.0) = 4.143883. Itere el corrector para es — 0.1%. (Nota: los resultados exactos obtenidos analíticamente son y(2.5) = 3.27388 y yQ.O) = 2.577988.] Calcule los errores relativos porcentuales verdaderos £, para sus resultados. 26.5 Repita el problema 26.4, pero ahora use el método de Adams de cuarto orden (e s = 0.0\%). (Nota: y(0.5) = 8.132548yy(1.0) = 6.542609.] Itere el corrector con es = 0.01%. 26.6 Resuelva el siguiente problema de valor inicial de x = 4 a 5:

ÍL = _Z dx x

Use un tamaño de paño do 0.5 y valores iniciales dey(2.5) = 1.2, y(3) = 1,^(3.5) = 0.8571429 y y(4) = 0.75. Obtenga sus soluciones usando las siguientes técnicas: a) el método de Heun de no autoinicio (e s = 1%) y b) el método de Adams de cuarto orden (es = 0.01%). [Nota: las respuestas exactas obtenidas de manera analítica son,y(4.5) = 0.6666667 y y(5) = O.6.] Calcule los errores relativos porcentuales s, para sus resultados. 26.7Resuelva el siguiente problema de valor inicial de x = 0 a x = 0.5:

Use el método de Heun de no autoinicio con un tamaño de paso de 0.25. Si y(-0.25) = 1.277355, emplee un método RK de cuarto orden con un tamaño de paso de 0.25 para predecir el valor de inicio eny(0). 26.8 Resuelva el siguiente problema de valor inicial deje = 1.5 a x = 2.5:

dy_ _ -y dx 1 + x

Use el método de Adams de cuarto orden. Emplee un tamaño de paso de 0.5 y el método RK de cuarto orden para predecir los valores de inicio si y(Q) = 2. 26.9 Desarrolle un programa para el método de Euler implícito para una sola EDO lineal. Pruébelo con los datos del ejemplo 26,1 b. 26.10 Desarrolle un programa por el método de Euler implícito para un par de EDO lineales. Pruébelo al resolver la ecuación (26.6). 26.11 Desarrolle un programa de uso amigable para el método de Heun de no autoinicio sin un modificador predictor. Emplee un método RK de cuarto orden para calcular los valores de inicio. Pruebe el programa con los datos del ejemplo 26.3. 26.12 Use el programa que desarrolló en el problema 26.11 para resolver el problema 26.7.

CAPÍTULO 2 7

Problemas de valores en la frontera y de valores propios

De nuestro análisis al inicio de la parte siete, recuerde que una ecuación diferencial ordinaria se acompaña de condiciones auxiliares. Estas condiciones se usan para evaluar las constantes de integración que resultan durante la solución de la ecuación. Para una ecuación de n-ésimo orden, se requieren n condiciones. Si todas las condiciones se especifican en el mismo valor de la variable independiente, entonces estamos tratando con un problema de valor inicial (véase figura 27. la) . Hasta aquí, el material de la parte siete se ha dedicado a este tipo de problema.

F I G U R A 2 7 . 1 Problemas de valor inicial contra valores a la frontera. a) Un problema de valor Inicial donde todas las condiciones se especifican en el mismo valor de la variable independiente. b) Un problema con valores a la frontera donde las condiciones se especifican on diferentes valores de la variable independiente.

d!K

dy2

dt •• W y,. y2)

donde en f = 0, y, = y, 0 y y¡ = y20

Condiciones iniciales

donde en x = 0 , y = y 0

x=L,y = yL Condición frontera

Condición frontera

Hn contraje, hay otra aplicación en la cual las condiciones no son conocidas en un solo punto, sino, más bien, son conocidas en diferentes valores de la variable independiente. Como estos valores se especifican a menudo en los puntos extremos o fronteras de un sistema, se les conoce como problemas de valores en la frontera (véase figura 27.16). Una variedad de importantes aplicaciones en ingeniería están dentro de esta clase. En este capítulo analizamos dos procedimientos generales para obtener su solución: el método de disparo y la aproximación por diferencias finitas. Además, presentamos técnicas para enfocar un tipo especial de problema de valores en la frontera: la determinación de valores propios. Por supuesto, los valores propios también tienen muchas aplicaciones que van más allá de las que involucran problemas de valores en la frontera.

M É T O D O S G E N E R A L E S P A R A P R O B L E M A S D E V A L O R E S E N L A F R O N T E R A

Se puede usar la conservación del calor para desarrollar un balance de calor para una barra larga y delgada (véase figura 27.2). Si la barra no está aislada en toda su longitud y el sistema se encuentra en estado estable, la ecuación resultante es

^+h'(Ta-T)=0 (27.1)

donde /¡'es un coeficiente de transferencia de calor (cm~ 2 ) que parametriza la razón de disipación de calor con el aire circundante, y Ta es la temperatura del aire circundante ( ° Q .

Para obtener una solución para la ecuación (27.1) se deben tener las condiciones en la frontera adecuadas. Un caso simple se presenta donde los valores de las temperaturas en los extremos de la barra se mantienen con valores fijos. Estos valores se pueden expresar matemáticamente como

T(0) = Ti T{L) = T2

Con estas condiciones, la ecuación (27.1) se puede resolver de manera analítica mediante el cálculo. Para una barra de 10 metros con Ta = 20, Tx = 40, T2 = 200 y h' = 0.01, el resultado es

F I G U R A 2 7 . 2 Una barra uniforme no aislada colocada entre dos cuerpos de temperatura constante, pero diferente. Para este caso, I t > 7 2 y í 2 > Ta.

792 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

T = 73.4523é> a u - 53 .4523<T a u + 20 (27.2)

En las siguientes secciones, se resolverá el mismo problema usando procedimientos numéricos.

2 7 . 1 . 1 El método de disparo

El método de disparo se basa en convertir el problema de valor en la frontera en un problema equivalente de valor inicial. Posteriormente se implanta un procedimiento de prueba y error para resolver la versión de valor inicial. El procedimiento se puede ilustrar con un ejemplo.

EJEMPLO 27.1 El método de disparo

Enunciado del problema. Úsese el método de disparo para resolver la ecuación (27.1), para una barra de 10 metros con h' = 0.01 m - 2 , Ta = 20, y las condiciones frontera

7(0) = 4 0 T ( 1 0 ) = 2 0 0

Solución. Usando el mismo procedimiento que se empleó para transformar la ecuación (PT7.2) en las ecuaciones (PT7.3) y (PT7.6), la ecuación de segundo orden se pue-

j de expresar como dos EDO de primer orden:

— = i (E27.1.1) dx

i %=h'(T-Ta) (E27.1.2)

Para resolver estas ecuaciones, se requiere un valor inicial para z. Por el método de disparo, intuimos un valor (digamos, z(0) = 10). Entonces, la solución se obtiene integrando las ecuaciones (E27.1.1) y (E27.1.2) simultáneamente. Por ejemplo, mediante un método RK de cuarto orden con un tamaño de paso de 2, obtenemos un valor en el extremo del intervalo de 7/(10) = 168.3797 (véase figura 27.3a), el cual difiere de las condiciones frontera de 7/(10) = 200. Por tanto, debemos hacer otra suposición, z(0) = 20, y realizar de nuevo el cálculo. Esta vez, se obtiene el resultado de 7(10) = 285.8980 (véase figura 27.36).

Ahora, como la EDO original es lineal, los valores

t z(0) = 10 7*(10) = 168.3797

I 7

| z ( 0 ) = 2 0 7/(10) = 285.8980

J están relacionados linealmente. Así, pueden ser usados para calcular el valor de z(0) que dé 71(10) = 200. Se puede emplear una fórmula de interpolación lineal [recuerde la eouaeión (18.2)] para este proeiiifc*

27.1 ' MtPPCT OCNiRAttS PARA P ^éi üCÉH' ÉNIA HttMliÁ 7W

F I G U R A 2 7 . 3 El método de disparo: o) el primer "disparo", b) el segundo "disparo" y c) el "golpe" final exacto.

2 (0) = 10 + — — — (200 - 168.3797) = 12.6907 v 2 8 5 . 8 9 8 0 - 168.3797

í Entonces, este valor puede ser usado para determinar la solución correcta, como se ilus-| tra en la figura 27.3c.

Problema» no lineales de dos puntos. Para problemas no lineales con valores en la frontera, IB Interpolación lineal o extrapolación a través de dos puntos de solución no da preoilimente como resultado una eitimación exacta de la condición a la frontera requerida p i n «luan/ar una solución exacta, Una alternativa es realizar tres aplicaciones del


método de disparo y usar una interpolación cuadrática del polinomio para eslimar la condición frontera adecuada. Sin embargo, es improbable que este procedimiento dé la respuesta exacta, y se necesitarían iteraciones adicionales para obtener la solución.

Otro procedimiento para un problema no lineal implica reformularlo como un problema de raíces. Recuerde que la forma general de un problema de raíz es hallar el valor de x que haga que la función f(x) = 0. Ahora, usemos el ejemplo 27.1 para entender cómo se puede reformular en esta forma el método de disparo.

Primero, reconocemos que la solución del par de ecuaciones diferenciales es también una "función" en el sentido que suponemos una condición en el extremo izquierdo de la barra, z 0 , y la integración nos da una predicción de la temperatura en el extremo derecho, r 1 0 . Así, podemos pensar en la integración como

TÍO = /(zo)

Es decir, esto representa un proceso por medio del cual una suposición de z0 da una predicción de Tl0. Visto de esta manera, podemos ver que lo que deseamos es el valor de z 0 que dé un valor específico de Tw. Si, como en el ejemplo, deseamos r 1 0 = 200, podemos plantear el problema como

200 = / ( z 0 )

Al llevar la meta de 200 al lado derecho de la ecuación, generamos una nueva función, g(z 0), que representa la diferencia entre lo que tenemos, f(x0), y lo que queremos, 200.

8(z0) = / ( z 0 ) - 200

EJEMPLO 2 7 . 2

Si llevamos esta nueva función a cero, obtendremos la solución. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.

El método del disparo para problemas no lineales

Enunciado del problema. Aunque sirvió para nuestros propósitos de probar un problema simple de valores en la frontera, nuestro modelo para la barra en la ecuación (27.1) no fue muy realista. Tal barra podría perder calor por mecanismos tales como la radiación, que son no lineales.

Supóngase que la siguiente EDO no lineal se usa para simular la temperatura de ln barra calentada:

d2T

Ix1 h"(Ta -T)4 = 0

lab

donde h " — 5 X 10~8. Ahora, aunque todavía no es una muy buena representación de ln transferencia de calor, esta ecuación es lo suficientemente clara para permitirnos ilustrar cómo se puede usar el método del disparo para resolver un problema no lineal de diw puntos con valores en la frontera. Las condiciones restantes del problema son las que se especifican en el ejemplo 27.1.

Solución. La ecuación de segundo orden se puede expresar como dos EDO de primor orden!" • 1

• • ' • • • U W M *«M< I « V < -

i dT _ i dx

i ^-=h"(T-Ta)*

í 1 Ahora, estas ecuaciones se pueden integrar usando cualquiera de los métodos descritos ¡ en los capítulos 25 y 26. Usamos la versión de tamaño de paso constante del procedi-| miento RK de cuarto orden descrito en el capítulo 25. Pusimos en práctica este proce-! dimiento como una función macro de Excel escrita en Visual BASIC. La función integró | las ecuaciones con base en un valor inicial para z(0) y dio el resultado de la temperatura

en x = 10. La diferencia entre este valor y la meta de 200 se introdujo después en una celda de la hoja de cálculo. El Solver de Excel se utilizó entonces para ajustar el valor de z(0) hasta que la diferencia fuera cero.

El resultado se muestra en la figura 27.4 junto con el caso lineal original. Como se esperaba, el caso no lineal está más curvado que el modelo lineal. Esto se debe a la cuarta potencia en la relación de transferencia de calor.

El método de disparo se vuelve difícil para ecuaciones de orden superior, donde la necesidad de suponer dos o más condiciones hace algo más difícil el procedimiento. Por estas razones, se dispone de métodos alternos, que se describen a continuación.

2 7 . 1 . 2 Métodos por diferencias f in i tas

Las opciones alternas más comunes del método de disparo son los procedimientos por diferencias finitas. En estas técnicas, las diferencias divididas finitas se sustituyen por las derivadas en la ecuación original. Así, una ecuación diferencial lineal se transforma en un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas que pueden ser resueltas usando los métodos de la parte tres.

PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

Para el caso de la figura 27.2, la aproximación por diferencias divididas finitas para la segunda derivada es (recuerde la figura 23.3)

d2T = r , - + 1 - 2 r , + r , _ 1

dx2 Ax2

Esta aproximación se puede sustituir en la ecuación (27.1) para dar

Agrupando términos da

-Ti-! +(2 + h'Ax2)T¡ - Ti+i = h'Ax2Ta (27.3)

Esta ecuación es válida para cada uno de los nodos interiores de la barra. Para los nodos interiores primero y último, Tt_x yT¡+l, respectivamente, se especifican por las condiciones frontera. Por tanto, el conjunto resultante de ecuaciones algebraicas lineales será tridiagonal. Como tal, se puede resolver con los eficientes algoritmos de que se dispone para tales sistemas (véase la sección 11.1).

EJEMPLO 27 .3 Aproximación por diferencias finitas de problemas con valores a la frontera

j Enunciado del problema. Use el procedimiento por diferencias finitas para resolver \ el mismo problema del ejemplo 27.1.

Solución. Empleando los parámetros del ejemplo 27.1, podemos escribir la ecuación (27.3) para la barra mostrada en la figura 27.2. El uso de cuatro nodos interiores con un segmento de longitud Ax = 2 metros, da como resultado las siguientes ecuaciones:

[ 2 . 0 4 ; - 1 • 0

0 - 1

[_ o

las cuales se pueden resolver para

{T}T = L 65.9698 93.7785 124.5382 159.4795 J

- 1 0 0 2.04 - 1 0 - 1 2.04 - 1 0 - 1 2.04

2.04 - 1 0 - 1 2.04

T i 40.8 T2

0.8 Tz 0.8 TA 200.8

La tabla 27.1 proporciona una comparación entre la solución analítica [véase ecuación (27.2)] y las soluciones numéricas obtenidas en los ejemplos 27.1 y 27.3. Observe que hay algunas discrepancias entre los procedimientos. Para ambos métodos numéricos, estos errores se pueden mitigar disminuyendo sus respectivos tamaños de paso. Aunque las dos técnicas se desempeñan bien para el caso actual, se prefiere el procedimiento por diferencias finitas debido a la facilidad con la que se puede extender a casos más complejos.

w. T A B L A 2 7 . 1 Comparación de la solución anall disparo y de diferencias finitas.

lea exacta con los métodos de

Verdadera Método de d i sparo Di ferencias f i n i tas

0 2 4 6

40 65.9518 93.7478

124.5036 159.4534 200

40 65.9520 93.7481

124.5039 159.4538 200

40 65.9698 93.7785

124.5382 159.4795 200

Además de los métodos por diferencias finitas y de disparo, existen otras técnicas disponibles para resolver problemas con valores a la frontera. Algunos de éstos se describen en la parte siete. Éstos incluyen soluciones en estado estable (capítulo 29) y transitorio (capítulo 30) de problemas con valores a la frontera en dos dimensiones, usando soluciones por diferencias finitas y en estado estable del problema unidimensional dentro de la aproximación del elemento finito (capítulo 31).

2 7 . 2 P R O B L E M A S D E V A L O R E S P R O P I O S

Los problemas de valores propios, o de valores característicos, son una clase especial de problemas con valores a la frontera que son comunes en el contexto de problemas de ingeniería que involucran vibraciones, elasticidad y otros sistemas oscilantes. Además, se usan en una amplia variedad de contextos en ingeniería que van más allá de problemas de valores en la frontera. Antes de describir los métodos numéricos para resolver esos problemas, presentaremos alguna información general como antecedente. Esta incluye el análisis de la importancia tanto matemática como ingenieril de los valores propios.

2 7 . 2 . 1 Antecedentes matemáticos

En la parte tres se estudian métodos para resolver conjuntos de ecuaciones algebraicas lineales de la forma general

[A]{X] = {B}

Tales sistemas son llamados no homogéneos debido a la presencia del vector {B} en el lado derecho de la igualdad. Si las ecuaciones correspondientes a tal sistema son linealmente independientes (es decir, que tienen un determinante distinto de cero), tendrán una solución única. En otras palabras, existe un conjunto de valores x que equilibrará las ecuaciones.

En contraste, un sistema algebraico lineal homogéneo tiene la forma general

\A]\X} = 0 Aunque ion posibles las soluciones no triviales (es decir, soluciones direntes de todas las x • 0) de tales sistemas, generalmente no ion únicas. En lugar de esto, las ecuaciones


simultáneas establecen relaciones entre las x que se pueden satisfacer por diferentes combinaciones de valores.

Comúnmente, los problemas de valores propios relacionados con la ingeniería tienen la forma general

(an - X)xi + al2x2 -1 1- aXnxn — 0

0 2 1 * 1 + ( « 2 2 - X)x2 -\ h a2nxn = O

anlxi+ a„2x2 -I f- (a„„ - k)xn — O

donde X es un parámetro desconocido llamado valor propio, o valor característico. Una solución {X] para tal sistema se conoce como vector propio. El conjunto de ecuaciones anterior puede también ser expresado de manera concisa como

[[A]-X[I]]{X}=0 (27.4)

La solución de la ecuación (27.4) depende de la determinación de X. Una manera de realizarlo se basa en el hecho que el determinante de la matriz [[A] — X[7]] debe ser igual a cero para que existan soluciones no triviales. La expansión del determinante da un polinomio en X. Las raíces de este polinomio son las soluciones de los valores propios. En la siguiente sección se proporcionará un ejemplo de este procedimiento.

2 7 . 2 . 2 Antecedentes físicos

El sistema masa-resorte de la figura 27.5a es un contexto simple para ilustrar cómo ocurren los valores propios en los problemas físicos. También ayudará a ilustrar algunos de los conceptos matemáticos presentados en la sección anterior.

F I G U R A 2 7 . 5 Al colocar las masas lejos de su equilibrio se crean fuerzas en los resortes que, después de liberadas, hacen oscilar las masas. Las posiciones de las masas pueden estar referidas a coordenadas locales con orígenes en sus respectivas posiciones de equilibrio.

27. Y'|JBf|l|BrPE VALORES F T O r W ™ Pnrn simplificar el análisis, suponga que cada masa no está sujcla n fuerzas externas o de amortiguamiento. Además, suponga que cada resorte tiene la misma longitud natural / y la misma constante de resorte k. Por último, suponga que el desplazamiento de cada resorte se mide con relación a su sistema coordenado local con un origen en la posición de equilibrio del resorte (véase figura 21.5b). Bajo estos supuestos, se puede emplear la segunda ley de Newton para desarrollar un balance de fuerzas para cada masa (recuerde la sección 12.4),

d2xx

It2 = —kx\ + k(x2 — X\)

W ^ Ir m2—T = -k{x2 - A - , ) - kx2 dt2

donde x¡ es el desplazamiento de la masa i respecto de su posición de equilibrio (véase figura 27.5b). Estas ecuaciones se pueden expresar como

1711 d2X\

~dt2~ k(-2x¡ + x2) = 0 (27.5a)

m2

d2x2

dt2' k(xt - 2x2) = 0 (27.56)

De la teoría de vibraciones, se sabe que las soluciones de la ecuación (27.5) pueden tomar la forma

x¡ — Ai sen (cot) (27.6)

donde A¡ = amplitud de la vibración de la masa /, y (O = frecuencia de la vibración, la cual es igual a

2tc co=— (27.7) donde Tp es el periodo. De la ecuación (27.6) se tiene que

x"¡ = —A¡co2 sen (cot) (27.8)

Las ecuaciones (27.6) y (27.8) pueden sustituirse en la ecuación (27.5), y ésta, después de agrupar términos, se puede expresar como

• ix) Ai A2 = 0 m\ ) m\

m2 \m2 )

(27.9a)

(27.9/))

La comparación entre las ecuaciones (27.9) y (27.4) nos indica que en este punto, la solución ha Nido reducida a un problema do valoro» propios.

8 0 0 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

EJEMPLO 27,4 Valor*) propios y vectores propios para un sistema masa-resorte

I Enunciado del problema. Evalúense los valores propios y los vectores propios de la ecuación (27.9) para el caso donde mx — m2 = 40 kg y k = 200 N/m.

I | Solución. Sustituyendo los valores de los parámetros en las ecuaciones (27.9) se ob-} tiene

\ ( 1 0 - w 2 ) A , ~ 5 A 2 =0 ; - 5 A , + (10-CÚ 2)A2 = 0

; El determinante de este sistema es [recuerde la ecuación (9.3)]

(co2)2 - 20a>2 + 75 = 0

el cual puede resolverse con la fórmula cuadrática para oo2 = 15 y 5 s - 2 . Por tanto, las frecuencias para las vibraciones de las masas son co = 3.873 s _ 1 y 2.236 s _ 1 , respectivamente. Estos valores se pueden usar para determinar los periodos para las vibraciones con la ecuación (27.7). Para el primer modo, T = 1.62 s y para el segundo, Tp = 2.81 s.

Como se estableció en la sección 27.2.1, no se puede obtener un conjunto único de valores para las incógnitas. Sin embargo, sus cocientes se pueden especificar al sustituir los valores propios en las ecuaciones. Por ejemplo, para el primer modo (co2 = 1 5 s~ 2),

A X = —A2. Para el segundo modo (oo 5 s %AX =A2

F I G U R A 2 7 . 6 Los principales modos de vibración de dos masas iguales conectadas por tres resortes idénticos entre paredes fijas.

a) Primer modo e) Segundo modo

F I G U R A 0 B U H O I

'í DLARJK. TIL LÜ BRIL

4MÍ 141.1 u l l l t t .

lisio ejemplo proporciona información valiosa con respecto ul comportamiento del sistema de la l'iguru 27.5. Además de su periodo, sabemos que si el sistemu está vibrando en el primor modo la amplitud de la segunda masa será igual, pero de signo opuesto a la amplitud de la primera. Como se observa en la figura 27.6a, las masas vibran por separado, y después lo hacen juntas de manera indefinida.

En el segundo modo, las dos masas tienen igual amplitud todo el tiempo. Así, como se ve en la figura 27.6b, vibran hacia atrás y hacia adelante al unísono. Debería observarse que la configuración de las amplitudes proporciona una guía para ajustar sus valores iniciales para alcanzar un movimiento puro en cualquiera de los dos modos. Otra configuración llevará a la superposición de los modos (recuerde el capítulo 19).

27.2.3 Un problema de valor en la frontera

Ahora que le hemos dado una introducción a los valores propios, cambiamos al tipo de problema que es el tema de este capítulo: problemas con valores a la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias. La figura 27.7 muestra un sistema físico que puede servir como un contexto para examinar este tipo de problema.

La curvatura de una columna esbelta sujeta a una carga axial P se puede modelar por

d2y _ M dx2 ~ Yl

2 " „ , ( 2 7 - 1 0 )

donde Syldx2 especifica la curvatura, M = momento de flexión, E = módulo de elasticidad e / = momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje neutro. Tomando en consideración el diagrama de cuerpo libre de la figura 27.76, está claro que el momento de flexión en x es M = —Py. Sustituyendo este valor en la ecuación (27.10), se obtiene


l P2y = ü ( 2 7 . 1 1 )

donde

P (27.12)

Para el sistema de la figura 27.7, sujeta a las condiciones frontera

y(0) = o

y(L) = 0

(27.13a)

(27.136)

la solución general para la ecuación (27.11) es

y = A sen (px) + B eos (px) (27.14)

donde A y B son constantes arbitrarias que serán evaluadas por medio de las condiciones frontera. De acuerdo con la primera condición [véase ecuación (27.13a)],

0 = A sen (0) + B eos (0)

Por tanto, concluimos que B = 0. De acuerdo con la segunda condición [véase ecuación (27.136)],

0 — A sen (pL) + B eos (pL)

Pero, puesto que B — 0, A sen (pL) = 0. Ya que 4 = 0 representa una solución trivial, concluimos que sen (pL) = 0. Para que esta igualdad se cumpla,

pL = nn para n = 1, 2, 3 , . . . (27.15)

Así, existe un número infinito de valores que cumplen con las condiciones a la frontera. La ecuación (27.15) se puede resolver para

los cuales son los valores propios o característicos para la columna. La figura 27.8, la cual muestra la solución para los primeros cuatro valores propios,

puede proporcionar el significado físico de los resultados. Cada valor propio corresponde a una manera en la que se pandea la columna. Combinando las ecuaciones (27.12) y (27.16), se obtiene

P = MI para n = 1, 2, 3 , . . . (27.16) L

P = n2K2EI L1

para n = 1, 2, 3 , . . . (27.17)

fislas se pueden tomar como cargas de pandeo, pues representan los niveles a los cuales i« mueve la columna en cada NNNFLPMLÓN de pandeo sucesiva. En un sentido práctico,

~~~W, 27.2 • PROBLEMAS DE VALORES PBPPIB8TÍ umj,V,; t 909

a) n = 1 b)n = 2 c)n = 3 d) n = 4

F I G U R A 2 7 . 8 Los primeros cuatro valores propios de la barra esbelta de la figura 2 7 . 7 .

usualmente el primer valor es el de interés, ya que, en general, las fallas ocurren cuando primero se pandea la columna. Así, una carga crítica se puede definir como

7T2EJ la cual es conocida de manera formal como fórmula de Euler.

EJEMPLO 2 7 . 5 Análisis de valores propios de una columna cargada axialmente

Enunciado del problema. Una columna de madera cargada axialmente tiene las siguientes características: E — 10 X 10 9 Pa, / = 1.25 X 10~ 5 m 4 y L = 3 m. Determínense los primeros ocho valores propios y las correspondientes cargas por pandeo.

Solución, l.us ecuaciones (27,16) y (27.17) se pueden usar para calcular


!

n p, m " 2 P , k N

1 1.0472 137.078 2 2 .0944 548 .311 3 3 .1416 1233.701 4 4 .1888 2193 .245 5 5 .2360 3426 .946 6 6 .2832 4934 .802 7 7.3304 6 7 1 6 . 8 1 4 8 8 .3776 8772 .982

La carga crítica por pandeo es, por tanto, 137.078 kN.

Aunque son útiles las soluciones analíticas de la clase antes obtenida, a menudo es difícil o imposible obtenerlas. Normalmente esto es cierto cuando se trata con sistemas complicados o con aquellos que tienen propiedades heterogéneas. En tales casos, los métodos numéricos del tipo que a continuación se describirá son la única alternativa práctica.

2 7 . 2 . 4 El método del pol inomio

La ecuación (27.11) se puede resolver numéricamente sustituyendo una aproximación por diferencias divididas finitas centradas (véase tabla 23.3) para la segunda derivada, lo que da

yi+i -2y¡ +y¡-i 2

JT2 + P * = 0

la cual puede expresarse como

y¡-i - (2 - h2p2)y, + yi+i = 0 (27.18)

Al escribir esta ecuación para una serie de nodos a lo largo del eje de la columna, se obtiene un sistema de ecuaciones homogéneo. Por ejemplo, si la columna se divide en cinco segmentos (esto es, cuatro nodos interiores), el resultado es

(2--AV) - 1 0 0 y\ - 1 (2 - h2p2) - 1 0 yi 0 - 1 (2 - h2p2) - 1 y?, 0 0 - 1 (2 - h2p2) J 4

= 0 (27.19)

La expansión del determinante del sistema da un polinomio, cuyas raíces son los valores propios. Este procedimiento, llamado método del polinomio, se realiza en el siguiente EJEMPLO.

27,2WmjlMÁS DB VALORES PROPIOS i1 • ' 'W O W | 0 Í El método del polinomio

Enunciado del problema. Empléese el método del polinomio para determinar los valores propios para la columna cargada axialmente del ejemplo 27.5, usando a) uno, />) dos, c) tres y d) cuatro nodos interiores

Solución.

a) Al escribir la ecuación (27.18) para uno de los nodos interiores, se obtiene (h = 3 / 2 )

-(2-2.25p2)yi = 0 Así, para este caso sencillo, el valor propio es analizado igualando el determinante con cero

2 - 2 . 2 5 p 2 = 0

y resolviendo parap = ±0.9428, el cual es casi 10% menor que el valor exacto de 1.0472 obtenido en el ejemplo 27.4.

b) Para dos nodos interiores (h — 3/3), la ecuación (27.18) se escribe como I I

! ! La expansión del determinante da

(2 - p 2) 2 - 1 = 0 el cual se puede resolver parap = ± 1 y ± 1.73205. De esta manera, el primer valor propio es ahora casi 4.5% menor, y se obtiene un segundo valor propio que es casi 17% menor.

c) Para tres puntos interiores (h = 3/4), la ecuación (27.18) queda

~ 2 - 0.5625p 2 - 1 0 y\ - 1 2 - 0.5625p 2 - 1 y-i = 0 (E27.6.1) 0 - 1 2 - 0 . 5 6 2 5 / ? 2

y3

¡ El determinante se puede igualar con cero y expandirlo para dar ¡

! ( 2 - 0 . 5 6 2 5 / ? 2 ) 3 - 2(2 - 0.5625/?2) = 0 i

Esta ecuación se cumple si 2 — 0.5625/?2 = 0 y 2 — 0.5625/?2 = V 2 . Por tanto, se pueden determinar los primeros tres valores propios como

p = ±1.0205 | e , | = 2 . 5 %

/J = ± 1 . 8 8 5 6 | e , | = 1 0 %

/ > • 1 2.4637 = 2 2 %

(2-p 2) - 1 - 1 ( 2 - p 2 ) y\

yi


Ptiru cuutro puntos interiores (h = 3/5), el resultado es la ecuación (27.19) con 2 — 0.36/J2 sobre la diagonal. Igualando el determinante con cero y expandiéndolo, se tiene

(2 - 0 .36p 2 ) 4 - 3(2 - 036p2)2 + 1 = 0

la cual se puede resolver para los primeros cuatro valores propios

p = ±1.0301 |e,| = 1.6%

p = ±1.9593 |e,| = 6.5%

p = ±2.6967 |£,| = 14%

p = ±3.1702 | £ , | = 2 4 %

T A B L A 2 7 . 2 Los resultados de aplicar el método del polinomio a una columna cargada axialmente. Los números entre paréntesis representan el valor absoluto del error relativo porcentual verdadero.

Método del po l inomio

Valores propios Verdadero h = 3 / 2 h = 3 / 3 h = 3 / 4 h = 3 / 5 1 1.0472 0.9428 1.0000 1.0205 1.0301

(10%) (4.5%) (2.5%) (1.6%) 2 2 .0944 1.7321 1.8856 1.9593

(21%) (10%) (65%) 3 3 .1416 2 .4637 2.6967

(22%) (14%) 4 4 .1888 3.1702

(24%)

La tabla 27.2, que resume los resultados de este ejemplo, ilustra algunos aspectos fundamentales del método del polinomio. En tanto se refine más la segmentación, se determinan valores propios adicionales, y los valores previamente determinados se vuelven de manera progresiva más exactos. Así, el procedimiento es muy conveniente para los casos en que se requieren pocos valores propios.

Como en el ejemplo 27.6, el método del polinomio se compone de dos pasos principales: 1) expansión del determinante para obtener un polinomio y 2) cálculo de las raíces del polinomio. Ahora veremos un método de cómputo para generar el polinomio.

El método de Fadeev-Leverrier. El método Fadeev-Leverrier es un procedimiento eficiente para generar los coeficientes p¡ del polinomio

(-1)"(A." - p„-iX"~l p x \ " - p0) = 0 (27.20)

el cual resulta de la expansión del determinante del sistema

[[A\-X\l\\{X}^0 (27 .4)

<l)

I7,%mmUHM> DE VALORBS'PROPIQg . , ; íflo Observe que el lórmino ( — 1)" y los signos negativos se incluyen tic forma tal que los términos dol polinomio tienen el mismo signo que tendrían si fueran generados ul expandir el determinante con menores. El método tiene la ventaja adicional de que la matriz inversa [A]" 1 puede ser generada eficientemente en el proceso.

El método consiste en generar una secuencia de matrices [B] que pueda emplearse para determinar los valoresp¡. Por ejemplo,

[B]„. [A] (27.21)

p„-\ = tr [fi]„_i (27.22)

donde tr [#]„_, es la traza de la matriz [fi] n_¡, la cual es (recuerde PT3.2.2) la suma de los coeficientes de la diagonal.

El método puede continuarse generando la matriz

[ 5 ] n _ 2 = [A][[B] n _, - p „ _ , [ / ] ]

la cual se puede usar para calcular

(27.23)

Pn-2 = ^ t r [ f i ] « - 2 (27.24)

[B]„_3 = [A][[B]„-2 - Pn-llH]

que puede usarse para calcular

p„-3 = i t r [ f i ] „ _ 3

y se continúa hasta que p0 se determina a partir de

[B]0 = [A][[Bh - Pl[I]]

y

po = - tr [f i] 0 n

Entonces, la matriz inversa se puede calcular simplemente como

[ A ] " 1 = —[[Bh-pdl]] PoL

(27.25)

(27.26)

(27.27)

(27.28)

(27.29)

EJEMPLO 27 .7 El método Fadeev-Leverrier

Enunciado rlol problema. Emplee el método l'adeev-Leverrier para determinar los coeficientes para la matriz en la parle«') del ejemplo 27.6.


[ A ] - X [ / ] = 3.556 — X -1 .778 0

-1 .778 3.556 -X -1 .778 0 -1 .778 3.556 -X

donde X = p2. Antes de proceder, el determinante se puede expandir por menores para dar

- A 3 + 10.6671 2 - 31.607X + 22.487

Se puede poner en práctica la misma evaluación con el método Fadeev-Leverrier. De acuerdo con la ecuación (27.21),

[Bh

3.556 -1 .778 0 -1 .778 3.556 -1 .778

0 -1 .778 3.556

Por tanto, de acuerdo con la ecuación (27.22),

p2 = 3.556 + 3.556 + 3.556 = 10.667

Este valor puede sustituirse en la ecuación (27.23) para dar

(E27.7.1)

3.556 -1 .778

0

-1 .778 3.556

-1 .778 [Bh =

que se puede evaluar para obtener

[Bh = -22.123 6.321 3.160

6.321 -18.963 6.321

0 -1 .778 3.556

3.160 6.321 -22.123

-7 .111 -1 .778 0 -1 .778 -7 .111 -1 .778

0 -1 .778 -7 .111

Por tanto, la ecuación (27.24) puede emplearse para calcular

1 Pi - ( -22.123 - 18.963 - 22.123) = -31.605 (E27.7.2)

Este resultado, a su vez, se puede sustituir en la ecuación (27.27) para dar

[B]0--3.556 -1 .778

-1 .778 3.556 0 -1 .778

0 -1 .778 3.556

9.481 6.321 3.160 6.321 12.642 6.321 3.160 6.321 9.481

que al ser evaluado da

"22.475 0 0

o

22.475 0 %

0 0

0*495

Solución. La matriz se puede expresar en la forma general de la ecuación (27.4) al dividir cada renglón de la ecuación (E27.6.1) entre h . Para el caso presente [h2 = (3/4) 2 = 0.5625], ésta da

27,1' M M S M S PE VALORES PHOHOS"11 s o y

Por tanto, la ecuación (27.28) puede empleante para cnlcular

/>„ = (22.475 + 22.475 + 22.475) = 22.475 (E27.7.3)

Sustituyendo las ecuaciones (E27.7.1) hasta (E27.7.3) en la ecuación (27.20), se obtiene el polinomio resultante

-X3 + 10.667X2 - 31.605A. + 22.475 = 0

el cual, además de las pequeñas diferencias debidas al error de redondeo, es idéntico al resultado obtenido al expandir el determinante usando menores.

La matriz inversa también puede ser calculada con la ecuación (27.29),

1 22.475

' - 2 2 . 1 2 3 - (-31.605) 6.321 3.160

0.422 0.281 0.141' 0.281 0.562 0.281 0.141 0.281 0.422

que, al ser multiplicada por [A], resulta [7].

6.321 3.160 -18.963 - (-31.605) 6.321

6.321 -22 .123 - (-31.605)

F I G U R A 2 7 . 9 Una subrutina para el inótodo Fadeev-Leverrier. (Jbserve que también se incluye una función para calcular la traza.

5U3 Fadeev (a, n, p) D\Mbw

[5] = [A] P„_( = Trace(b, ri) OO ti = ti-2, 0,-1

DO ¡ = 1,n

K = bU~PlM ENDDO [3] = [A] .[3] p¡¡ = Trace(b, n) I (n - ¡i)

END DO END Fadeev

FUNCTION Trace(a, n) sum = Ol DO i = 1,n

eum = eum + au

END DO Trace = eum

END Trace


I!l método l'adecv-Lovorrier puedo ser programado de manera concisa. Kn la finura 27.9 NO muestra lu lista del pseudocódigo para esto propósito. Observe que so requiere una subrutina para calcular la traza.

Determinación de los valores propios como las raíces del polinomio carnctoiíslii o Después de aplicar la técnica Fadeev-Leverrier, se deben evaluar las raíces del polinomio resultante. Los procedimientos presentados en el capítulo 7 están diseñados para este propósito. El método de Bairstow se usa en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 27 .8 Raíces del polinomio característico

Enunciado del problema. Determine las raíces del polinomio característico que se generó en el ejemplo 27.7, y compárense los valores propios resultantes con los que se calcularon en la parte c) del ejemplo 27.6.

Solución. El polinomio

-X3 + 10.667A2 - 31.605A. + 22.475 = 0

se puede evaluar con el método de Bairstow (o con paquetes como MATLAB o Mal hcad) para obtener

X = 1.041,3.555,6.071

Como X = p2, puede calcularse la raíz cuadrada de esos valores para dar

p = 1.020, 1.885,2.464

que son iguales a los resultados del ejemplo 27.6c (con pequeñas diferencias debidas ni error por redondeo).

Programa de computadora para el método de! polinomio. Un programa de compu tadora para el método del polinomio se puede realizar simplemente al combinar el indi go del método Fadeev-Leverrier (véase figura 27.9) con el método de Bairstow ( V O I I K P

figura 7.5). Esto se dejará como ejercicio para el lector.

2 7 . 2 . 5 El método de potencias

El método de potencias es un procedimiento iterativo que puede ser empleado para di terminar el valor propio más grande. Con ligeras modificaciones, también puedo servir para determinar el valor más pequeño y los valores intermedios. Como beneficio adicional, el vector propio correspondiente se obtiene como un subproducto del método.

Determinación del valor propio más grande. Para poner en práctica el método di potencias, el sistema que se unalüUMA dfbe expresarse en lu forma

2f,2 m \A\[\\ M-V (27.30)

Como se ¡lustra en el siguiente ejemplo, la ecuación (27.30) es la base para una técnica de solución iterativa que finalmente da el valor propio más grande y su vector propio asociado.

Método de potencias para el valor propio más grande

Enunciado del problema. Empléese el método de potencias para determinar el valor propio más grande para la parte c) del ejemplo 27.6.

Solución. Primeramente, el sistema se escribe en la forma de la ecuación (27.30),

3 .556JCI - 1.778*2 = AJC,

-1.778xi + 3 . 5 5 6 X 2 - 1.778*3 = Ax2

- 1 . 7 7 8 X 2 + 3.556x3 = kx3

Después, suponiendo que las x del lado derecho de la ecuación son iguales a 1,

3.556(1) - 1.778(1) = 1.778

-1.778(1) + 3 .556(1) - 1.778(1) = 0

- 1 . 7 7 8 ( 1 ) + 3 .556(1) = 1.778

Luego, el lado derecho es normalizado por 1.778 para hacer que el elemento más grande sea igual a

1.778 1 0 • = 1.778 0

1.778 1

Así, la primera estimación del valor característico es 1.778. Esta iteración puede expresarse de manera concisa en forma de matriz como

3.556 -1 .778 0 1 1.778 ' 1 -1 .778 3.556 -1 .778 1 • = • 0 • = 1.778 0

0 -1 .778 3.556 1 1.778 1

La siguiente iteración consiste en multiplicar [A] por [1 0 l ] r p a r a dar

3.556 -1 .778 0 1 3.556 1 -1 .778 3.556 -1 .778 0 = • -3 .556 = 3.556 - 1

0 -1 .778 3.556 1 3.556 1

Por tanto, el valor propio estimado para la segunda iteración es 3.556, que puede emplearse para determinar el error estimado

.1556 1.778

1556 100% = 50%


lil proceso puede entonces repetirse. Tercera iteración:

3.556 -1 .778 0 -1 .778 3.556 -1 .778

0 -1 .778 3.556

1 5.334 - 0 . 7 5 - 1 • : = ' -7 .112 = -7 .112 1

1 5.334 - 0 . 7 5

donde |e j = 150% (que es alto debido al cambio de signo). Cuarta iteración:

~ 3.556 -1 .778 0 - 0 . 7 5 ' -4 .445 ' -0 .714 -1 .778 3.556 -1 .778 1 • = • 6.223 = 6.223 1

0 -1 .778 3.556 - 0 . 7 5 -4 .445 -0 .714

donde |ej = 214% (de nuevo, muy alto debido al cambio de signo). Quinta iteración:

3.556 -1 .778 0 -0 .714 -4 .317 ' -0 .708 -1 .778 3.556 -1 .778 1 • — • 6.095 = 6.095 • 1

0 -1 .778 3.556 -0 .714 -4 .317 -0 .708

Así, el factor normalizado es convergente sobre el valor de 6.070 ( = 2.4637 2) obtenido en la parte c) del ejemplo 27.6.

Tenga en cuenta que en algunas ocasiones el método de potencias convergirá ¡il segundo valor propio más grande, en lugar de hacerlo con el más grande. James, Smitli y Wolford (1985) ilustran un caso así. Otros casos especiales se analizan en Fadeev y Fadeeva (1963).

Determinación deí valor propio más pequeño. En ingeniería existen problemas cu los que nos interesa determinar el valor característico más pequeño. Tal como el caso ele la barra de la figura 27.7, donde el valor propio más pequeño pudo ser usado para iden tificar una carga de pandeo crítica. Esto puede realizarse aplicando el método de poten cias a la matriz inversa de [A]. Para este caso, el método de potencias convergirá sobre el valor más grande de 1 A, (en otras palabras, el valor más pequeño de X).

EJEMPLO 27 .10 Método d e potencias para el valor propio más bajo

Enunciado del problema limplóoso el método de potencias para determinar el vnloi propio más bajo para la parte o) del ejemplo 27.6.

27.2 PROBLEMAS DE VALOR|8j|^PWBÉLWWW^4 111

SOLUCIÓN. RECUERDE DEL EJEMPLO 27.7 QUE LU MATRIZ IIIVORNII OS 0.422 0.281 0.141

0.281 0.562 0.281

0.141 0.281 0.422

Usando el mismo formato del ejemplo 27.9, el método de potencias puede aplicarse a esta matriz.

Primera iteración:

"0.422 0.281 0.141" ' 1 ' 0.884 0.751 0.281 0.562 0.281 1 • = • 1.124 = 1.124 • 1 0.141 0.281 0.422 1 0.884 0.751

Segunda iteración:

0.422 0.281 0 .141" 0.751 0.704 0.715 0.281 0.562 0.281 1 0.984 = 0.984 • 1 0.141 0.281 0.422 0.751 0.704 0.715

donde |ej = 14.6%. Tercera iteración:

"0.422 0.281 0 .141" 0.715 0.684 0.709 0.281 0.562 0.281 1 0.964 = 0.964 1 0.141 0.281 0.422 0.715 0.684 0.709

donde |ej = 4%. Así, después de sólo tres iteraciones, el resultado converge al valor de 0.955, que es

el recíproco del más pequeño de los valores propios, 1.0472, obtenido en el ejemplo 27.5.

Determinación de valores PROPIOS intermedios. Después de encontrar el más grande de los valores propios, es posible determinar los siguientes más altos remplazando la matriz original por una que incluya sólo los valores propios restantes. El proceso de eliminar el valor propio más grande conocido es llamado deflación. La técnica bosquejaba aquí, el método de Hotelling, está diseñada para matrices simétricas. Esto se debe a que aprovecha la ortogonalidad de los vectores propios de tales matrices, los cuales pueden ser expresados como

para / # j para i = / ( 2 7 . 3 1 )

donde las componentes del vector propio \X) liun sido normalizadas de forma tal quo \X\1 {X) •» 1; CNIO es, que la suma de los cuadrados de las componentes sea igual a I. Esto se puede llevar a cubo dividiendo cada uno de los elementos cutre el fuclor normnli/udo


Ahora, se puede calcular una nueva matriz [A]2 como

[AJ2 = [A]\ — A.[{X}i{X}[ (27.32)

donde [A]x = matriz original y Xx — valor propio más grande. Si el método de potencias se aplica a esta matriz, el proceso de iteración convergirá al segundo valor propio más grande, X^. Para mostrar esto, primeramente multiplicamos la ecuación (27.32) por {X],,

[A]2{X}1 =[A]dXh -A,LY},{X}[{Xh

Aplicando el principio de ortogonalidad, transformamos esta ecuación en

[A] 2{X}, = L\4],{X}i - M X ] ,

donde el lado derecho es igual a cero, de acuerdo con la ecuación (27.30). Así, L4]2{X}, = 0. En consecuencia, X = 0 y {X} = {X}x es una solución para [A]2{X} = X{X}. En otras palabras, la [A]2 tiene valores propios de 0, X2, A,3, . . , Xn. El valor propio más grande, Xx, ha sido reemplazado por un 0 y, por tanto, el método de potencias convergirá sobre la siguiente X2 más grande.

El proceso anterior puede repetirse al generar una nueva matriz [A]3, etc. Aunque en teoría este proceso puede continuarse para determinar los valores propios restantes, está limitado por el hecho de que los errores en los vectores propios son arrastrados en cada paso. Esto es, sólo determina algunos de los valores propios más altos. Aunque, de alguna forma, esto es un defecto, se requiere tal información en muchos problemas de ingeniería.

2 7 . 2 . 6 O t r o s m é t o d o s

Una amplia variedad de métodos adicionales están disponibles para resolver problemas de valores propios. La mayoría se basa en un proceso de dos pasos. El primer paso implica transformar la matriz original en una forma m^s simple (por ejemplo, tridiagonal) que retiene todos los valores propios originales. Después, se usan métodos iterativos para determinar esos valores propios.

Muchos de esos procedimientos están diseñados para'tipos especiales de matrices. En particular, una variedad de técnicas se utilizan en sistemas simétricos. Por ejemplo, el método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma sistemática los términos que están fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Aunque se requiere un tiempo infinito para crear todos los elementos no cero que están fueni de la diagonal, finalmente la matriz tenderá hacia una forma diagonal. Así, el procedí miento es iterativo en el sentido de que se repite hasta que los términos que están fuer» dt la diagonal aon "auficiontemwnifaqmftoi,

27,3 °.»jjB) ir 'VALORES PROPIOS vommimsTmmBm m 151 método tlcdlvcn también implica transformar una matriz simétrica en una forma

más simple. Sin embargo, en contraste con el método de Jacobi, la forma más simple es tridiagonal. Además, difiere en que se retienen los ceros creados en posiciones lucra de la diagonal, En consecuencia, es finito y, por tanto, más eficiente que el método de Jacobi.

El método de Householder también transforma una matriz simétrica en una forma tridiagonal. Es un método finito más eficiente que el procedimiento de Given en el sentido de que reduce a cero todos los renglones y columnas de los elementos que están fuera de la diagonal.

Una vez que se obtiene un sistema tridiagonal a partir de los métodos de Given o de Householder, los pasos restantes implican hallar los valores propios. Una forma directa para realizar esto es expandir el determinante. El resultado es una secuencia de polinomios que se pueden evaluar iterativamente para los valores propios.

Además de las matrices simétricas, también existen técnicas que están disponibles cuando se requieren todos los valores propios de una matriz general. Estas incluyen el método LR de Rutishauser y el método QR de Francis. Aunque este último es menos eficiente, a menudo es el método preferido, ya que es más estable. En sí, es considerado como el mejor método de solución de propósitos generales.

Por último, debemos mencionar que las técnicas antes mencionadas comúnmente son usadas en serie para aprovechar sus respectivas fortalezas. Por ejemplo, debe observarse que los métodos de Given y de Householder también pueden aplicarse a sistemas no simétricos. El resultado no será tridiagonal, sino más bien un tipo especial llamado forma Hessenberg. Este es un procedimiento que aprovecha la velocidad del procedimiento de Householder para transformar la matriz a esta forma y después usa el algoritmo estable QR para hallar los valores propios. Se puede encontrar información adicional sobre éstos y otros temas relacionados con valores propios, en Ralston y Rabinowitz (1978), Wilkinson (1965), Fadeev y Fadeeva (1963) y Householder (1953). Se pueden encontrar códigos para computadora en diferentes fuentes, como Press y cois. (1992). Rice (1983) analiza los paquetes de software disponibles.

2 7 . 3 E D O Y V A L O R E S P R O P I O S C O N L I B R E R Í A S Y P A Q U E T E S

Los paquetes de software y librerías tienen grandes capacidades para resolver EDO y determinar valores propios. En esta sección se bosquejan algunas de las formas en que pueden aplicarse para este propósito.

2 7 . 3 . 1 Excel

Las capacidades directas de Excel para resolver problemas de valores propios y EDO son limitadas. Sin embargo, si se realiza alguna programación (por ejemplo, macros), se puede combinar con las herramientas de visualización y optimización de Excel para poner en práctica algunas interesantes aplicaciones. En la sección 28.1 se proporciona un ejemplo de cómo se puede usar lixecl para la estimación de parámetros de una KDO.

PROKBMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

M.llhc.-.ld Ella Edlt yiow Insert F.ormat Math Symbollcs Wtndow Holp EIGENVALUE ANALYSIS

aa := eigenvals(mm)

bb := eigenvec(mm,3.99) r- 0.948]

bb = !_- 0.319J

ce := eigenvecs(mm) < _ [0.94772 -O.Oinil CC ~ [o.31909 0.95 F I G U R A 2 7 . 1 0

Pantalla de Mathcad para resolver los valores propios de un sistema de EDO.

2 7 . 3 . 2 Mathcad

Mathcad tiene diferentes funciones que determinan valores propios y vectores propios y que resuelven ecuaciones diferenciales. Como ejemplo, resolvamos un sistema de ecuaciones diferenciales rígidas de forma tal que podamos comparar el desempeño de algunas de las funciones de Mathcad. El sistema está dado por [recuerde la ecuación (26.6 )|

^ = - 5 y i + 3}>2 (27.33,,)

-jjr = lOOvj - 301^ 2 (27.33/.)

Primero, usemos Mathcad para analizar el comportamiento de este sistema exami nando los valores propios. La función eigenvecs(M) devuelve una matriz que contiene vectores propios normalizados, correspondientes a los vectores propios de la matriz cna drada M. Las funciones genvals(M,N) y genvecs(M, N) producen valores propios y vectores propios normalizados, respectivamente.

Los resultados de aplicar estas funciones a las EDO se muestran en la figura 27.10. Como los valores propios (aa) son de diferente magnitud, el sistema es rígido. Observo que bb halla el vector propio específico asociado con el valor propio más pequeño, 3. W, El resultado ce es una matriz que contiene tanto vectores propios como sus columnas.

La técnica más elemental empleada por Mathcad para resolver sistemas de ecuacio nes diferenciales de primer orden, es un algoritmo Runge Kutta de cuarto orden de taniíi ño de paso fijo. Este es proporcionado por la función rkfixed. Aunque es un buen integrador de uso general, 110 siempre es eficiente. Por tanto, Mathcad suministra Ukiidnpl. el cual es una versión de tamaño dw puso variable de rkllxed. Está muy bien disonado

2 7 , G Y « R VALORES PROPIOS CON LIBARÍAS Y M A M I U •17

RILA ÍDLL YL«W LN»«N EORMUT M«TH BYMBOLLOI WLNDOW H»LP

O D I I S O L V E R

DEFINE O D E AND JACOBEAN: T - S - Y O + 3 - Y , 1

W Y ) ! - [ M O . Y 1 - 3 0 O . Y 1 J

J ( T , Y ) : = 5 3

| 0 100 - 3 0 1

INITIAL AND.FINAL INDEPENDENT VARIABLE

TO := 0 T I : = 1

VECTOR OF INITIAL FUNCTION VALÚES " 4 1

1C: =

FIRST SOLUTION:

S := STIFFB(IC,T0,TL,10,DJ)

SECOND SOLUTION: T := RKFIXED(IC,T0,TL,1000,D)

F I G U R A 2 7 . 1 1 PANTALLA DE MATHCAD PARA RESOLVER UN SISTEMA DE EDO.

ion diseñado

para funciones que cambian rápidamente en algunas regiones y de manera lenta en otras. De manera similar, si usted sabe que su solución es una función uniforme, entonces usted puede observar que la función Bulstoer de Mathcad tiene un buen desempeño. Esta función emplea el método Bulirsch-Stoer, y a menudo es eficiente y extremadamente exacto para funciones uniformes.

Las ecuaciones diferenciales rígidas son el extremo opuesto del espectro. Bajo estas condiciones, la función rkfixed puede ser muy ineficiente o inestable. Por tanto, Mathcad proporciona dos métodos especiales que están diseñados específicamente para manejar sistemas rígidos. Estas funciones son Stiffb y Stiffr, que se basan en un método Bulirsch-Stoer modificado para sistemas rígidos, y en el método Rosenbrock. Los métodos anteriores devuelven valores de solución sobre un número de intervalos uniformemente espaciados acotados por el rango de integración.

En la figura 27.11 se muestra la solución de las ecuaciones diferenciales al usar Mathcad. Primero, el símbolo definición se usa para definir el vector D(t, Y). Esto es, los lados derechos de las EDO para introducir a rkfixed y Stiffb. Observe quey] y v 2 de la ecuación (27.33a y b) son cambiados a Y 0 y Y, para cumplir con los requerimientos de Mathcad. Además, definimos la matriz J para Stiffb. La primera columna de J es la derivada con respecto a t de los lados derechos de la ecuación (27.33), y el jacobiano ocupa los cuatro elementos restantes. Las siguientes entradas son el rango para l y las condiciones iniciales para Y. Las soluciones para rkfixed con 1 000 pasos entre tO y 11, y Stiffb con sólo 10 pasos se almacenan en las matrices T y S.

Las soluciones para^, (Y 0) para ambos métodos de integración se comparan en la figura 27.11. Observe que hemos simplificado la presentación de la gráfica en la figura 27.11. I.a gráfica de la solución Stlf'fb se genera usando la primera y la segunda columnas de la mnlriz S, mientras que la gráfica para la solución rkfixed se crea usando lu primera y la segunda columnas de la nuitií/T


Ln solución Stiffb es estable y pasa por cncimti ele los detalles de lu porción alta mciilc Ininsilorin de la solución con un gran (amaño de paso, y conlinúa la solución de muñera eficiente al extremo del rango. La solución de la función rkfixed con los mis mos 10 pasos es inestable. Para mantener la estabilidad, se debe emplear rkl'lxed con un lamaño de paso más pequeño para cumplir con los requerimientos de los valores propios más grandes. La solución de la figura 27.11 usa I 000 pasos, y sigue los detalles de la solución por todo el rango de t. Esto es muy ineficiente, pues, una voz que pasa el lian sitorio inicial, la solución cambia gradualmente.

2 7 . 3 . 3 MATLAB

Como podría esperarse, el paquete estándar MATLAB tiene excelentes capacidades pura determinar valores propios y vectores propios. Sin embargo, tiene también funciones prediseñadas para resolver EDO. Los solver estándar de EDO incluyen dos limen> nes para implementar el método Runge-Kutta Fehlberg de tamaño de paso adaptalivo (recuerde la sección 25.5.2). Estas son ODE23, la cual usa fórmulas de segundo y de tercer órdenes para alcanzar una exactitud media, y ODE45, que usa fórmulas de cuarto y de quinto órdenes para alcanzar una exactitud alta. El siguiente ejemplo ilustra la ma ñera en que se pueden usar para resolver un sistema de EDO.

EJEMPLO 2 7 . 1 1 Uso de MATLAB para valores propios y EDO

Enunciado del problema. Explórese cómo se puede usar MATLAB para resolver siguiente conjunto de EDO no lineales de t = 0 a 20:

dx

~d7 .2x - 0 . 6 .W

dt = -0 .8y + 0.3jry

donde x = 2 y y = 1 en t = 0. Como se verá en el siguiente capítulo (sección 28.2), (alen ecuaciones son conocidas como ecuaciones depredador-presa.

Solución. Antes de obtener una solución con MATLAB, usted debe usar un procesa dor de texto para crear un archivo M que contenga el lado derecho de las EDO. lisie archivo M entonces será abordado por el solver de EDO [donde* = y(l) y y — r(2)|:

f u n c t i o n yp = p r e d p r e y ( t , y ) yp = E1 . 2 * y ( 1 ) - 0 . 6 * y ( 1 ) * y ( 2 ) ; - 0 . 8 * y ( 1 ) + 0 . 3 * y ( 1 ) * y ( 2 ) J ;

Guardamos este archivo M con el nombre: predprey.m. Después, comience con MATLAB, e introduzca las siguientes instrucciones paitt

especificar el rango de integración y las condiciones iniciales:

>> t span = [ 0 , 2 0 ] ' ; >> y 0 = C 2 , i : ' ;

Entonces el solver se puede llamar por

>> L t , y ] - o d i 2 3 ( ' p r i ú f f t y ' , t s p a n , y 0 ) ;

27,3 v ED*# F L O R E S PROPIOS CON. ÜBBBRIAM BOQUETES 119

0 5 10 15 20

F I G U R A 2 7 . 1 2 Solución del modelo depredador-presa con MATLAB.

Esta instrucción resolverá entonces las ecuaciones diferenciales en predprey.m sobre el rango definido por tspan usando las condiciones iniciales encontradas en yO. Los resultados se pueden desplegar tecleando simplemente

>> p L o t ( t , y )

con lo cual se obtiene la figura 27.12. Además, también es ilustrativo generar una gráfica de estado espacial; por ejemplo,

una gráfica de las variables dependientes contra cada una de las otras mediante

>> p l o t ( y ( : , 1 ) , y ( : , 2 ) )

con lo que se obtiene la figura 27.13.

F I G U R A 2 7 . 1 3 Gráfica de estado-espacio del modelo depredador-presa con MATLAB.


Parn valores propios, las capacidades también limen una muy fácil aplicación. Kc cuerde que, en nuestro análisis de sistemas rígidos en el capitulo 26, presentamos el sistema rígido definido por la ecuación (27.33). Tales liDO lineales se pueden esnibii como un problema de valores propios de la forma

" 5 — A. - 3 - 1 0 0 301 — A.

donde A, y {e} = valor propio y vector propio, respectivamente. MATLAB se puede emplear entonces para evaluar tanto los valores propios (ti) coi ni >

los vectores propios (v) con las siguientes instrucciones simples:

>> a=C5 -3;-100 301D; >> Cv,d3=eig(a) v = -0.9477 0.0101 -0.3191 -0.9999 d = 3.9899 0 0 302.0101

Así, vemos que los valores propios son muy diferentes en magnitud, lo cual es común cu un sistema rígido.

Los valores propios se pueden interpretar al reconocer que la solución general pain un sistema de EDO se puede representar como la suma de los exponenciales. Por ejein pío, la solución para el caso presente podría tener la forma

„ _ „ - 3 . 9 8 9 9 í , . - -302 .0101r

yi = t\\e + c\2e

y2 — C2\e + ene donde c¡j — parte de la condición inicial pa ra j , que está asociada con ely-ésimo valoi propio. Debe observarse que las c pueden evaluarse a partir de las condiciones iniciales y de los vectores propios. Un buen libro sobre ecuaciones diferenciales como, por ejein pío, el de Boyce y DiPrima (1992), le explicará cómo se puede realizar esto.

Como, para el presente caso, todos los valores propios son positivos (y, por tanto, negativos en la función exponencial), la solución consiste en una serie de exponenciales en decaimiento. La que tiene el valor propio más grande (en este caso, 302.0101) podiln dictar el tamaño de paso si se usara una técnica de solución explícita.

2 7 . 3 . 4 IMSL

IMSL tiene diversas rutinas para resolver EDO y para determinar valores propios ( V Ó H S I

tabla 27.3). En nuestro actual análisis, nos concentraremos en la rutina IVPRK. lísli rutina integra un sistema de IÍDO usando el método Runge-Kutta.

IVPRK se pone en marcha con ln «¡guíente declaración CALL:

CALL IVPRK (I00, N¿*F##/ T, TINO/ T0L, PARAM, Y)

27,**ÍWrRA*lORES PROPIOS CONUBMRÍMY RAQUBTBS

T A B L A 2 7 . 3 Rutinas IMSL para rasolvar I D O y para determinar valoras propios.

C A T E G O R Í A

• C I T A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S O R D I N A R I A S D E P R I M E R O R D E N

' . ' iliic ION A LOS PROBLEMAS D E VALOR INICIAL PARA E D O

'.I 'LIU ION D E PROBLEMAS CON VALOR A LA FRONTERA PARA E D O

1 - i l i i i ION D E SISTEMAS ALGEBRAICOS DIFERENCIALES

V A L O R E S P R O P I O S Y ( O P C I O N A L M E N T E ) V E C T O R E S P R O P I O S

D A Ax = Xx L'N J J O M A GENERAL REAL A X = Xx

\\< I M E M A GENERAL COMPLEJO A X = Xx

L'N IL)L(;MA SIMÉTRICO REAL Ax = Xx

MATRICES SIMÉTRICAS D E B A N D A REAL E N M O D O D E ALMACENAJE D E B A N D A

M A L Í ICES HERMITIANAS COMPLEJAS

A A DRICES HESSENBERG SUPERIORES REALES

MATRICES HESSENBERG SUPERIORES COMPLEJAS

V IL< >RES PROPIOS Y (OPCIONALMENTE) VECTORES PROPIOS A X = XBx

E M B L E M A GENERAL REAL A X = XBx

L' IOBLEMA GENERAL COMPLEJO A X = XBx

E M B L E M A SIMÉTRICO REAL Ax = XBx

R U T I N A S C A P A C I D A D

I V P R K M É T O D O D E RUNGE-KUTLU

I V P A G M É T O D O D E A D A M S O G E A R

B V P F D M É T O D O POR DIFERENCIAS FINITAS

B V P M S M É T O D O D E DISPARO MÚLTIPLE

E V L R G TODOS LOS VALORES PROPIOS

E V C R G TODOS LOS VALORES PROPIOS Y VECLORC.

E P I R G ÍNDICE D E D E S E M P E Ñ O

donde IDO = Bandera que indica el estado del cálculo. Normalmente, el llamado inicial se hace con IDO = 1. La rutina después se ajusta a IDO = 2, y E S T E

valor se usa para todos, pero el último llamado se hace con IDO = 3.1 ¡SLC

llamado final se usa para liberar espacio de trabajo, el cual se alojó automáticamente con el llamado inicial IDO = 1. No se realiza integración sobre este llamado final.

N = Número de ecuaciones diferenciales. (Entrada) FCN = SUBRUTINA hecha por el usuario para evaluar las funciones. T = Variable independiente. (Entrada/Salida) En la entrada, T contiene el valor

inicial. En la salida, T se remplaza por TEND, a menos que hayan ocurrido condiciones de error.

TEND = Valor de t donde se requiere la solución. (Entrada) El valor TEND puede ser menor que el valor inicial de t.

TOL = Tolerancia para el control del error. (Entrada) Se hace un intento para controlar la norma del error local, de tal forma que el error global S E N proporcional a TOL.

PARAM = Arreglo de punto Ilutante de tamaño 50, que contiene pnn 'NNCIRON

opcionales. Y Arreglo de tamaño N de I I I N viiriiibles dependientes. (líntriiihi/Siilidn) Iin lu

entrada, Y contieno lo» vnloron íniciulos. Hn la sulida, Y contiene la solución aproximada.

PROIUMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

l,n Nubrutina FCN debe ser escrita de manera que cumpla las ecuaciones diferenciales. Deberla ser de la forma general,

s u b r o u t i n e fen ( n , t , y , y p r i m e ) i n t e g e r n r e a l t , y ( n ) , y p r i m e ( n ) y p r i m e ( 1 ) = . . . y p r i m e ( 2 ) = . . . r e t u r n e n d

donde la línea "yprime(¿) = ..." es donde la i-ésima EDO está escrita. FCN debe ser declarada EXTERNAL en el programa de llamado.

EJEMPLO 27 .12 Uso de IMSL para resolver EDO

Enunciado del problema. presa del ejemplo 27.11.

Úsese IVPRK para resolver las mismas EDO depredador-

Solución. Un ejemplo de un programa principal en Fortran 90 y la función IVPRK para resolver este problema, se puede escribir como

Program PredPrey USE msirnsl INTEGER : : mxparm, n PARAMETER (mxparm=50, n=2) INTEGER : : ido, i s t e p , nout REAL : : param(mxparm), t , tend, t o l . y(n) EXTERNAL fen CALL UMACH (2, nout) t - 0.0 y ( l ) - 2.0 y(2) - 1.0 to l = 0.0005 CALL SSET (mxparm, 0 .0 , paratn, 1) param(lO) = 1.0

' ISTEP 5X. "T ime", 9X. " Y l " 11X, 'Y2") ' PRINT *(4X, ido = 1 i s tep = 0 WRITE ( n o u t . ' ( I 6 , 3 F 1 2 . 3 ) ' ) i s tep . t , y DO

1step - i step + 1 tend = i s tep CALL IVPRK ( ido, n, fen, t , tend, t o l , param, y) I F ( i s tep . L E . 10) EXIT WRITE ( n o u t , ' ( I 6 , 3 F 1 2 . 3 ) ' ) i s tep , t , y I F ( i s tep .EQ. 10) ido = 3

END DO END PROGRAM

SUDROUTINE fen (n, t , y, yprlmi') lMPUCl i N0NL

1NILGLR i ¡ ti REAL ; : l . y ( n ) , ypr1me(n) y p r l r n e ( l ) - 1 . 2 * y ( l ) - 0 . 6 * y ( l ) * y ( 2 ) y p r i m e ( 2 ) - - 0 . 8 * y ( 2 ) + 0 . 3 * y ( l ) * y ( 2 ) END SUBROUTINE

Una corrida de ejemplo es:

i s t e p t ime y i y2 0 .000 2 000 1 000 1 1.000 3 703 1 031 2 2 .000 5 433 1 905 3 3 .000 3 390 3 533 4 4 .000 1 407 3 073 5 5 .000 1 048 1 951 6 6.000 1 367 1 241 7 7 ,000 2 393 959 8 8 .000 4 344 1 161 9 9 .000 5 287 2 421

10 10 .000 2 561 3 624

P R O B L E M A S

27.1 Un balance de calor en estado estable para una barra se puede representar como

d2T dx2 0.17/ = 0

()btcnga una solución analítica para una barra de 10 metros con '/'(O) = 200 y 7X10) = 100. 27.2 Use el método de disparo para resolver el problema 27.1. 27.3 Use el procedimiento por diferencias finitas con Ax = 1 pura resolver el problema 27.1. 27.4 Use el método de disparo para resolver

d2y dy dx2 dx

y+x=0

con las condiciones fronteray(0) = 5 y y(20) = 8. 27.5 Resuelva el problema 27.4 con el procedimiento por diferencias finitas usando Ax = 2. 27.6 Use el método de disparo para resolver

d\ •'• 1.2 x 10 7(7' + 273)'1 I 5(150 7 j 0 (P27.6) ()bleii(iii una solución para Ins condiciones líonteni: /'(O) - 200 y 7(0.5) 100.

27.7 A menudo, las ecuaciones diferenciales como las que se resolvieron en el problema 27.6 se pueden simplificar al lincnrizur sus términos no lineales. Por ejemplo, se puede usar una expansión en serie de Taylor de primer orden para linearizar el tórmi no a la cuarta potencia de la ecuación (P27.6) como

1.2 x 1 0 _ 7 ( T + 273) 4 = 1.2 x 10~ 7(7), + 273)'" +4.H

x l 0 - 7 ( r A + 273) 3 (7' -Y'„)

donde Tb es una temperatura base alrededor de la cual se I inearizu el término. Sustituya esta relación en la ecuación (P27.6) y dcN-pués resuelva la ecuación lineal resultante con el procedimiento por diferencias finitas. Emplee Tb= 150 y Ax = ().() I p;ini obtener su solución. 27.8 Repita el ejemplo 27.4, pero ahora para tros masas, lince una gráfica como la de la figura 27.6 para identificar el principio de los modos de vibración. Cambie todas las k a 240. 27.9 Repita el ejemplo 27.6, pero ahora para cinco puntos interiores (h = 3/6). 27.10 Use menores para expandir el determinante de

10 H II) •I

824

limplec el método de l'iiilcev I «vnnier ptint realizar el mismo calculo. Además, calcule ln mulri/ inversa y verifique que es correcta. 27.11 Use el método de potencias para determinar el valor propio más alto y el correspondiente vector propio para el problema 27.10. 27.12 Use el método de potencias para determinar el valor propio más bajo y el correspondiente vector propio para el problema 27.10. 27.13 Desarrolle un programa de computadora de uso amigable puru implementar el método de disparo, para una EDO lineal de segundo orden. Pruebe el programa con los datos del ejemplo 27.1. 27.14 Use el programa que desarrolló en el problema 27.13 para resolver los problemas 27.2 y 27.4. 27.15 Desarrolle un programa de computadora de uso amigable pura implementar el procedimiento por diferencias finitas, para resolver una EDO lineal de segundo orden. Pruebe el programa con los datos del ejemplo 27.2. 27.16 Use el programa que desarrolló en el problema 27.15 para resolver los problemas 27.3 y 27.5. 27.17 Desarrolle una subrutina para implementar el procedimiento Fadcev-Leverrier. Pruébelo con los datos del ejemplo 27.7. 27.18 Use la subrutina desarrollada en el problema 27.17 para resolver el problema 27.10. 27.19 Desarrolle un programa de uso amigable para implementar el método del polinomio. Pruébelo con los datos del ejemplo 27.6c. 27.20 Desarrolle un programa de uso amigable para resolver el valor propio más alto con el método de potencias. Pruébelo con los datos del ejemplo 27.9. 27.21 Desarrolle un programa de uso amigable para resolver el valor propio más pequeño con el método de potencias. Pruébelo con los datos del ejemplo 27.10. 27.22 Use el Solucionador de Excel para resolver directamente (es decir, sin linearización) el problema 27.6 usando el procedimiento por diferencias finitas. Como en el problema 27.7, empleo Ax = 0.1 para obtener su solución.

27.23 Use Mathcad con los dutos del ejemplo 26.1. 27.24 Use Mathcad para determinar los valores propios y los vectores propios para la matriz del problema 27.10. 27.25Use MATLAB para integrar el siguiente par de EDO:

^ = 0.3vi - 1.5>!^2 — = 0.036y,y> - 0 . l v dt dt donde yx = 1 y y 2 = 0.05 en t = 0. Desarrolle una gráfica de estado-espacio de sus resultados. 27.26 La siguiente ecuación diferencial se usó en la sección 8.4 para analizar las vibraciones de un amortiguador de un automóvil:

/- d2x -, dx u 1.2 x 1 0 6 — r + 1 x 10 7 — + 1.4 x 10 9 x = 0 dt2 dt Transforme esta ecuación en un par de EDO. a) Use MATLAB para resolver estas ecuaciones de t = 0 a 0.4, para el caso en que x = 0.3 y dxldt = 0 en t = 0. b) Use MATLAB para determinar los valores propios y los vectores propios para el sistema. 27.27 Use IMSL para integrar

. dx dy a) — = ax — bxy — = —cy + dxy dt dt donde a = 1.2, b = 0.6, c = 0.8 y d = 0.3. Emplee condiciones iniciales de x = 2 y v = 1, e integre de t = 0 a 30.

dx dy dz b) — = —ax + cry — = rx — y — xz — = —bz + \ v ' dt dt dt donde a = 10, b = 2.666667 y r = 28. Emplee condiciones iniciales dex = v = z = 5 e integre de t = 0 a 20.

http://-0.lv

i' t CAPITULO 28

Aplicaciones en ingeniería: ecuaciones diferenciales ordinarias

El propósito de este capítulo es resolver algunas ecuaciones diferenciales ordinarias usando los métodos numéricos presentados en la parte siete. Las ecuaciones se originan de aplicaciones prácticas de la ingeniería. Muchas de estas aplicaciones dan por resultado ecuaciones diferenciales no lineales que no se pueden resolver con técnicas analíticas. Por tanto, usualmente se requieren métodos numéricos. Así, las técnicas para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias tienen capacidades fundamentales que caracterizan la buena práctica de la ingeniería. Los problemas de este capítulo ilustran algunos elementos de juicio asociados con varios métodos desarrollados en la parte siete.

La sección 28.1 se deduce de un problema de la ingeniería química. Ahí se demuestra cómo puede simularse el comportamiento transitorio de los reactores químicos. También se ilustra cómo se puede usar la optimización para estimar los parámetros para las EDO.

Las secciones 28.2 y 28.3, que se toman de las ingenierías civil y eléctrica, respectivamente, tratan con la solución de sistemas de ecuaciones. En ambos casos, se demanda alta exactitud y, en consecuencia, se usa un esquema RK de cuarto orden. Además, la aplicación de ingeniería eléctrica trata también con la determinación de valores propios.

En la sección 28.4 se emplean diferentes procedimientos para investigar el comportamiento de un péndulo oscilante. Este problema también utiliza dos ecuaciones simultáneas. Un aspecto importante de este ejemplo es que ilustra cómo los métodos numéricos permiten efectos no lineales para que sean incorporados de manera fácil en un análisis de ingeniería.

2 8 . 1 U S O DE E D O P A R A A N A L I Z A R L A R E S P U E S T A T R A N S I T O R I A D E U N R E A C T O R ( I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A / P E T R O L E R A )

Antecedentes. En la sección 12.2 analizamos el estado estable de una serie de reactores. Además de los cálculos en estado estable, también podríamos estar interesados en la respuesta transitoria de un reactor completamente mezclado. Para hacer esto, hemos desarrollado expresiones matemáticas para el término acumulación de la ecuación (12.1).

La acumulación representa el cambio en masa en el reactor por cambio en el tiempo. Para un materna de volumen constante, te puede formular simplemente como

Acumulación = V de

dt (28,1)

APLICACIONES EN INGENIERÍA: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Qc.

Qc

F I G U R A 2 8 . 1 Reactor completamente mezclado, con un flujo de entrada y un flujo de salida.

donde V — volumen y c = concentración. Así, una formulación matemática para la acumulación es el volumen por la derivada de c con respecto a t.

En esta aplicación incorporaremos el término acumulación en la estructura del balance de masa general que desarrollamos en la sección 12.1. Luego lo usaremos para simular la dinámica de un solo reactor y de un sistema de reactores. En el último caso, mostraremos cómo se pueden determinar los valores propios del sistema y proporcionaremos un conocimiento en su dinámica. Finalmente, ilustraremos cómo se puede usar la optimización para estimar los parámetros de los modelos de balance de masa.

Solución. Las ecuaciones (28.1) y (12.1) se pueden usar para representar el balance de masa para un solo reactor, como el que se muestra en la figura 28.1:

dt Qc (28.2)

Acumulación = entradas — salidas

La ecuación (28.2) se puede usar para determinar soluciones transitorias o variables en el tiempo para el reactor. Por ejemplo, si c = c 0 en t = 0, se puede emplear el cálculo para resolver analíticamente la ecuación (28.2) para

c = ceB(l - e - ^ + c . e ^ '

Si c e n = 50 mg/m 3 , Q = 5 mVmin, V — 100 m 3 y c 0 = 10 mg/rn 3, la ecuación es

c = 50(1 - e-°05t) + 10e-° 0 5 í

La figura 28.2 muestra está solución analítica exacta. El método de Euler proporciona un procedimiento alterno para resolver la ecuación

(28.2). En la figura 28.2 se incluyen dos soluciones con diferentes tamaños de paso Como el tamaño de paso es disminuido, la solución numérica converge sobre la solución analítica. Así, para este caso, el método numérico se puede usar para verificar el resulta do analítico.

Además de verificar los íesiiltiulos de una solución analílica, las soluciones numéii cas han agregado valores en ftfUllltl litueciones donde las soluciones analíticas son

2

F I G U R A 2 8 . 2 ' Ji áfica de las soluciones cinalíticas y numéricas de la iic.uación (28.2). Las soluciones numéricas son i iblenidas con el método de I uler usando diferentes lómanos de paso.

w

40 n

30

20

10

0

•uler, tamaño de paso - 10 tamaño de paso - 5

JL 10 20 30

f, min 40 50

(28.2)

imposibles, o tan difíciles que son imprácticas. Por ejemplo, además de emplearlos en un solo reactor, los métodos numéricos son útiles cuando se simula la dinámica de sistemas de reactores. Por ejemplo, las EDO se pueden escribir para los cinco reactores acoplados de la figura 12.3. El balance de masa para el primer reactor se puede escribir como

Vi^T- = Goicoi + O 3 1 C 3 - QnC\ - £2i5Ci dt

o, sustituyendo parámetros (observe que g 0 1 c 0 1 = 50 mg/min, Q03cm = 160mg/min, Vx

= 50 m 3 , V2 = 20 m 3 , F 3 = 40 m 3 , V4 = 80 m 3 y V5 = 100 m 3 ) ,

• 0.02c 3 + 1

De manera similar, se pueden desarrollar balances para los otros reactores como

0.15ci - 0 . 1 5 c 2

: 0.025c 2 - 0.225c 3 + 4

:0 .1c 3 - 0.1375c 4 + 0 . 0 2 5 c 5

= 0.03c, + 0 . 0 1 c 2 - 0 . 0 4 í ' 5

= —0.12ci dt

dc2

dt

dc3

dt

dd,

dt

dc5

dt

Suponga que en t = 0 todas las concentraciones en los reactores son cero. Calcule cómo aumentarán sus concentraciones en la siguiente hora.

Lus ecuaciones se pueden integrar con el método RK de cuarto orden pura sistemas de ecuaciones, y los resultados se ilustran en lu figura 28.3. Observe que cada uno de los reactores muestru una respuesta transitoria diferente con lu introducción del químico.

APLICACIONES EN INGENIERÍA: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

F I G U R A 2 8 . 3 Gráficas de respuesta transitoria o dinámica de una red de reactores de la figura 1 2.3. Observe que, con el tiempo, todos los reactores se aproximan a sus concentraciones en estado estable previamente calculadas en la sección 12 .1 . Además, el tiempo para el estado estable es parametrizado por el 90% del tiempo de respuesta /9Q.

28, V PARA ANALIZARLA RESPUESTA TRANSITORIA 82f lisas reupuenUiN NO pueden paramelrizar por un tiempo de respuesta al 90% tÍH), el euul mide el tiempo requerido para que cada reactor alcance el 90% de su último nivel en estado estable. El rango de tiempos va desde cerca de 10 minutos para el reactor 3 hasta alrededor de 70 minutos para el reactor 5. Los tiempos de respuesta de los reactores 4 y 5 son de importancia particular, ya que los dos flujos de salida del sistema salen de esos tanques. Así, un ingeniero químico que esté diseñando el sistema podría cambiar los flujos o volúmenes de los reactores para acelerar la respuesta de esos tanques mientras mantiene estables las salidas deseadas. Los métodos numéricos de esta clase que se describen en esta parte del libro pueden probar su utilidad en estos cálculos de diseño.

Se puede desarrollar un poco más el conocimiento de las características de respuesta del sistema al calcular sus valores propios. Primero, el sistema de EDO se puede escribir como un problema de valores propios como

0 . 1 2 — A 0

- 0 . 1 5 0 . 1 5 -X 0 - 0 . 0 2 5

0 0

- 0 . 0 3 - 0 . 0 1

- 0 . 0 2

0

0 . 2 2 5 - X - 0 . 1

0

o o o

1 3 7 5

0

0

0

0

X - 0 . 0 2 5

0 . 0 4 - X

E\

E3

ES

(0 )

donde X y {e} = valores propios y vectores propios, respectivamente. Un paquete como MATLAB se puede usar para generar de manera muy conveniente

los valores propios y los vectores propios.

>> a = H 0 . 1 2 0 . 0 - 0 . 0 2 0 . 0 0 . 0 ; : - . 1 5 0 . 1 5 0 . 0 0 . 0 0 . 0 , - 0 . 0 - 0 . 0 2 5 0 . 2 2 5 0 . 0 0 . 0 ; 0 . 0 0 . 0 - . 1 0 . 1 3 7 5 - 0 . 0 2 5 ; - 0 . 0 3 - 0 . 0 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 4 3 ;

e = 0 0 - 0 1 2 2 8 - 0 1 0 5 9 0 2 4 9 0 0 0 0 2 9 8 3 0 5 7 8 4 0 8 4 4 4 0 0 0 5 6 3 7 0 3 0 4 1 0 1 7 7 1

0 0 0 0 0 24Í 34 - 0 7 6 0 4 - 0 7 4 9 3 0 3 6 7 5 0 0 96Í 37 0 0 0 4 1 - 0 0 1 9 0 - 0 2 4 1 9

L = 0 . 1 3 7 5 0 0 0 0

0 0 . 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 1 1 8 0 0 0 0 0 0 . 1 7 7 5 0 0 0 0 0 0 . 1 0 5 8

Los valores propios se pueden interpretar al reconocer que la solución general para un sistema de EDO se puede representar como la suma de los exponenciales. Por ejemplo, para el reactor 1, la solución general podría ser de la forma

donde r ( / •-• la parte de la condición inicial para el reactor / que está asociada con el ,/'-ÓNÍmo valor propio. Así, para el presente caso, como todos los valores propios son pos i t ivo» (y, por lauto, negativos en la función exponencial), la solución üorwis le en una nodo da MpunenuiuloN en decuimionto, La que tiene el vulur propio man pequeño (en

8 3 0 APLICACIONES EN INGENIERÍA: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Tiempo 0 1 2 3 Concentración <% c 2 c 3

F I G U R A 2 8 . 4 Un sencillo experimento para recolectar datos de flujo para un compuesto químico que decae con el tiempo (tomado de Chapra 1997).

nuestro caso, 0.04) será la más lenta. En algunos casos, el ingeniero que ejecuta este análisis podría ser capaz de relacionar este valor propio con los parámetros del sistema. Por ejemplo, la razón del flujo de salida del reactor 5 respecto de su volumen es (£>55 i QS4)/V5 = 4/100 = 0.04. Tal información se puede usar, entonces, para modificar el desempeño dinámico del sistema.

El asunto final que quisiéramos revisar en el presente contexto es la estimación del parámetro. Un área donde esto ocurre a menudo es la cinética de reacción; es decir, In cuantificación de los cocientes de reacción químicos.

Un sencillo ejemplo de esto se ilustra en la figura 28.4. Una serie de matraces se arreglan de manera que contengan un compuesto químico que decaiga con el tiempo, Con ciertos intervalos de tiempo, la concentración de uno de los matraces se mide y se registra. Así, el resultado es una tabla de tiempos y concentraciones.

Un modelo que se usa comúnmente para describir tales datos es

— = -kc" (28..1) dt

donde k — cociente de la reacción y n = orden de la reacción. Los ingenieros químicos usan datos de concentración-tiempo de la clase ilustrada en la figura 28.4 para estimar k y n. Una manera de hacer esto es suponer valores de los parámetros y después resolver Itt ecuación (28.3) numéricamente. Los valores pronosticados de concentración se pueden comparar con las concentraciones medidas y con una valoración del ajuste realizado. SI el ajuste es demasiado inadecuado (por ejemplo, al examinar una gráfica o una mcclieión estadística como la suma de los cuadrados de los residuos), los valores pronos! ÍCIU ION m ajustan y el procedimiento ie repite huta que se alcanza un ajuste apropiado.

A "1 ,;\':^mmmmam^mm '"I"'1"1 Ajuste de los datos de reacción 2 / datos con la ¡nteqral/procedimiento de mínimos cuadrados 3 k 0 .091528 4 n 1.044425 5 dt 1 6 t k l k2 k3 k4 cp cm (cp-cm)A2 7 0 - 1 . 2 2 6 5 3 - 1 . 1 6 1 1 4 . - 1 . 1 6 4 6 2 - 1 . 1 0 2 4 8 12 12 0 8 1 - 1 . 1 0 2 6 1 - 1 . 0 4 4 0 9 - 1 . 0 4 7 1 9 - 0 . 9 9 1 5 7 10.83658 10.7 0 .018653 9 2 - 0 . 9 9 1 6 9 - 0 . 9 3 9 2 9 - 0 . 9 4 2 0 6 - 0 . 8 9 2 2 5 9 .790448 10 3 - 0 . 8 9 2 3 5 - 0 . 8 4 5 4 1 - 0 . 8 4 7 8 8 - 0 . 8 0 3 2 5 8 .849344 9 0 . 0 2 2 6 9 7 11 4 - 0 . 8 0 3 3 4 - 0 . 7 6 1 2 7 - 0 . 7 6 3 4 7 - 0 . 7 2 3 4 6 8 .002317 12 5 - 0 . 7 2 3 5 4 - 0 . 6 8 5 8 2 - 0 . 6 8 7 7 9 - 0 . 6 5 1 9 1 7 .239604 7.1 0 . 0 1 9 4 8 9 13 6 - 0 . 6 5 1 9 8 - 0 . 6 1 8 1 4 - 0 . 6 1 9 8 9 - 0 . 5 8 7 7 6 .552494 14 7 - 0 . 5 8 7 7 6 - 0 . 5 5 7 3 9 - 0 . 5 5 8 9 5 - 0 . 5 3 0 0 5 5 .933207 15 8 - 0 . 5 3 0 1 1 - 0 . 5 0 2 8 3 - 0 . 5 0 4 2 4 - 0 . 4 7 8 2 8 5 .374791 1 6 - 0 . 4 7 8 3 3 - 0 . 4 5 3 8 3 - 0 . 4 5 5 0 8 - 0 . 4 3 1 7 5 4 . 8 7 1 0 3 7 1 7 10 - 0 . 4 3 1 8 - 0 . 4 0 9 7 8 - 0 . 4 1 0 9 - 0 . 3 8 9 9 3 4 . 4 1 6 3 8 9 4.6 0 . 0 3 3 7 1 3 18 11 - 0 . 3 8 9 9 7 - 0 . 3 7 0 1 6 - 0 . 3 7 1 1 7 - 0 . 3 5 2 3 1 4 . 0 0 5 8 7 7 1 9 12 - 0 . 3 5 2 3 4 - 0 . 3 3 4 5 3 - 0 . 3 3 5 4 3 - 0 . 3 1 8 4 6 3 .635053 2 0 13 - 0 . 3 1 8 4 9 - 0 . 3 0 2 4 6 - 0 . 3 0 3 2 6 - 0 . 2 8 7 9 8 3 .299934 2 1 14 - 0 . 2 8 8 0 1 - 0 . 2 7 3 5 7 - 0 . 2 7 4 3 - 0 . 2 6 0 5 4 2 .996949 2 2 15 - 0 . 2 6 0 5 6 - 0 . 2 4 7 5 6 - 0 . 2 4 8 2 1 - 0 . 2 3 5 8 1 2 .7229 2.5 0 . 0 4 9 6 8 4 2 3 16 - 0 . 2 3 5 8 3 - 0 . 2 2 4 1 1 - 0 . 2 2 4 6 9 - 0 . 2 1 3 5 2 2 .474917 2 4 17 - 0 . 2 1 3 5 4 - 0 . 2 0 2 9 7 - 0 . 2 0 3 4 9 - 0 . 1 9 3 4 1 2 .250426 2 5 18 - 0 . 1 9 3 4 3 - 0 . 1 8 3 8 9 - 0 . 1 8 4 3 6 - 0 . 1 7 5 2 7 2 .047117 2 6 19 - 0 . 1 7 5 2 9 - 0 . 1 6 6 6 8 - 0 . 1 6 7 1 1 - 0 . 1 5 8 9 1.862914 2 7 20 - 0 . 1 5 8 9 1 - 0 . 1 5 1 1 5 - 0 . 1 5 1 5 3 - 0 . 1 4 4 1 2 1.695953 1.8 0 . 0 1 0 8 2 6 2 8 2 9 SSR = 0 . 1 5 5 0 6 2

F I G U R A 2 8 . 5 la aplicación de una hoja de cálculo y métodos numéricos para determinar el orden y la razón de los coeficientes de los datos de reacción. Esta tabla se obtuvo con Excel.

Los siguientes datos se pueden ajustar de esta manera:

í, d 0 1 3 5 10 15 20

c, mg/L 12 10.7 9 7.1 4 .6 2.5 1.8

La solución a este problema se muestra en la figura 28.5. La hoja de cálculo Excel fue usada para realizar el cálculo.

Se introducen valores iniciales para la velocidad de reacción y para el orden en lus celdas B3 y B4, respectivamente, y el paso de tiempo para el cálculo numérico se teclea en la celda B5. Para este caso, se introduce una columna con el número de cálculos en lu columna A comenzando en 0 (celda A7) y terminando en 20 (celda A27). Loa coeficientes ¿| hasta £4 del método RK de cuarto orden se calculan entonces en el bloque B7..1Í27. Luego, estol ion usados para determinar las concentraciones pronosticadas (los valores c / () en Ib columna F. Los valores medidos (c m ) se introducen en la columna G adyacente

832 APLICACIONES EN INGENIERÍA: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

O-l— . ,_ . I,, ... , . „ 1 +• 0 10 20 f

F I G U R A 2 8 . 6 Gráfica del ajuste generado con la integral/procedimiento de mínimos cuadrados.

a los valores pronosticados correspondientes. Éstos se usan después en conjunto con Ion valores pronosticados para calcular el cuadrado de los residuos en la columna H. Finalmente, estos valores se suman en la celda H29.

En este punto, el Solver de Excel puede usarse para determinar los mejores valoro» de los parámetros. Una vez que usted haya entrado al Solver, se le pide una celda objetivo o solución (H29), se le pregunta si usted quiere maximizar o minimizar la celda obje* tivo (minimizar), y que dirija las celdas que se van a variar (B3..B4). Entonces, usted activa el algoritmo [s(olve)], y los resultados son como los de la figura 28.5. Como «e muestra, los valores de las celdas B3..B4 (k = 0.0915 y n = 1.044) minimizan la su mu de los cuadrados de los residuos (SSR = 0.155) entre los datos pronosticados y los dalo» medidos. En la figura 28.6 se muestra una gráfica del ajuste junto con los datos.

2 8 . 2 M O D E L O S D E P R E D A D O R - P R E S A Y C A O S ( I N G E N I E R Í A C I V I L / A M B I E N T A L )

Antecedentes. Los ingenieros ambientales tratan con una variedad de problemas <|IIÍ

involucran sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. En esta sección nos concentraremos en dos de estas aplicaciones. La primera se relaciona con los llamn dos modelos depredador-presa, que se usan en el estudio de ciclos de nutrientes y eonl» minantes tóxicos en cadenas alimenticias acuáticas, y sistemas de tratamiento biológico», El segundo son ecuaciones deducidas de la dinámica de fluidos, que se usan para sinnilttf la atmósfera. Además de sus obvias aplicaciones para el pronóstico del tiempo, lulo» ecuaciones también han sido usadas para estudiar la contaminación del aire y el cambio climático mundial.

Los modelos depredador-presa fueron desarrollados independientemente cu Ifl primera parte del siglo XX por el matemático italiano Vito Volterra y el biólogo CNIIUUI«

unidense Alfred J . Lotka. listas ecuaciones son comúnmente llamadas ecuaciones Loikú* Volterra. El ejemplo más Himplo u «1 liguiente par de EDO:

3t,*'ttODK06 DEPREDADOR-PRMA'Y CAOS" SSS

- ti-y h.xy (28.4) dt dy

-^ = -cy + dxy (28.5)

donde x y y — número de presas y depredadores, respectivamente, a = razón de crecimiento de la presa, c = razón de muerte del depredador, y b y d — razón que caracteriza el efecto de la interacción depredador-presa sobre la muerte de la presa y el crecimiento del depredador, respectivamente. Los términos multiplicativos (es decir, aquellos que involucran xy) hacen que las ecuaciones sean no lineales.

Un ejemplo de un sencillo modelo basado en la dinámica del fluido atmosférico son las ecuaciones de Lorenz, desarrolladas por el meteorólogo estadounidense Edward Lorenz, dx ~dt dy dt

dz dt

-ax + ay (28.6)

rx -y-xz (28.7)

= -bz + xy (28.8) Lorenz desarrolló esas ecuaciones para relacionar la intensidad del movimiento del fluido atmosférico, x, con las variaciones de temperatura y y z en las direcciones horizontul y vertical, respectivamente. Como con el modelo depredador-presa, vemos que la no linearidad está localizada en los términos multiplicativos simples (xz y xy).

Use métodos numéricos para obtener las soluciones para estas ecuaciones. Dibuje la gráfica de los resultados para visualizar cómo las variables dependientes cambian temporalmente. Además, dibuje la gráfica de las variables dependientes contra cada una para ver si surge algún patrón interesante.

Solución. Use los siguientes valores de los parámetros para la simulación depredador* presa: a = 1.2, b = 0.6, c — 0.8 y d = 0.3. Emplee las condiciones iniciales d e * = 2 y y = 1, e integre de t = 0 a 30. Usaremos el método RK de cuarto orden con doblo precisión para obtener las soluciones.

En la figura 28.7 se muestran los resultados usando un tamaño de paso de 0.1. Observe que surge un patrón cíclico. Así, como inicialmente la población del depredador es pequeña, la presa crece de manera exponencial. En cierto punto, las presas son tan numerosas, que la población del depredador comienza a crecer. Finalmente, el aumento de depredadores causa que la presa disminuya. Esta disminución, a su vez, lleva a una disminución de los depredadores. Con el tiempo, el proceso se repite. Observe que, como NO esperaba, el pico en la curva para el depredador va con retraso respecto al de la presa. Además, observe que el proceso tiene un periodo fijo; esto es, se repite cada cierto tiempo,

Ahora, si so cambiaran los parámetros usados para simular lu figuru 28.7, aunque el patrón gtnernl permaneciera igual, las magnitudes de los picos, retrasos y periodos podrían cambiar, Asi, existe un número infinito do ciclos que pudieran ocurrir.


F I G U R A 2 8 . 7 Representación tiempo-dominio de los números de presas y depredadores para el modelo Lotka-Volterra.

iíWilH8í$í''¡

x, presa y, depredador

I I l I I I I I I I 1 I I I I I t I I 1 I I I I l I I l I I » 10 20 30 r

Es útil una representación estado-tiempo para distinguir la estructura fundamental del modelo. En lugar de graficar xy y contra t, podemos graficar x contra y. Como tal gráfica ilustra la manera en que interacrúan las variables de estado (x y y), se le conoce como una representación estado-espacio.

En la figura 28.8 se muestra la representación estado-espacio para el caso que estamos estudiando. Así, la interacción entre el depredador y la presa define una órbita cerrada en sentido antihorario. Observe que hay un punto crítico o de reposo en el centro de la órbita. La localización exacta de este punto se puede determinar al poner las ecuaciones (28.4) y (28.5) en estado estable (dyldt = dxldt — 0) y resolviendo para (x, y) = (0,0) y {cid, alb). La primera es el resultado trivial de que si comenzamos sin depredador ni presas, nada sucederá. La última es el resultado más interesante si las condiciones iniciales se fijan enx = cid y y = alb, las derivadas serán cero y las poblaciones permanecerán constantes.

Ahora, usemos el mismo procedimiento para investigar las trayectorias de las ecuaciones de Lorenz con los siguientes valores de los parámetros: a — 10, b — 2.666667 y r = 28. Emplee las condiciones inciales dex = y — z = 5, e integre de t = 0 a 20. De nuevo, usaremos el método RK de cuarto orden con doble precisión para obtener las soluciones.

F I G U R A 2 8 . 8 Representación estado-espacio del modelo Lotka-Volterra .

Y' 4

28i»*ttttACIÓH DE CORRIENTE TRANIIfQHKtA • i ' 190

F I G U R A 2 8 . 9 H Ki!|)iosentac¡ón tiempo- '2(5* i It iininio de x contra t, para li i.', ocuaciones de Lorenz. La linca sólida para la serie del tiempo es para las i nndicion.es iniciales (5, 5, '>). la línea discontinua es donde la condición inicial i ii un x se perturba

- 1 0

-20

liiidamente (5 .001, 5, 5).

Los resultados mostrados en la figura 28.9 son muy diferentes comparados con el comportamiento de las ecuaciones de Lotka-Volterra. La variable x parece experimentar un patrón casi aleatorio de oscilaciones, rebotando entre valores negativos y positivos. Sin embargo, aun cuando los patrones parezcan aleatorios, la frecuencia de la oscilación y las amplitudes parecen bastante consistentes.

Otra característica interesante se puede ilustrar al cambiar ligeramente la condición inicial para* (de 5 a 5.001). Los resultados están superpuestos como una línea discontinua en la figura 28.9. Aunque las soluciones se siguen una a la otra por un tiempo, después de alrededor de t = 12.5 pueden divergir de manera significativa. Así, podemos ver que las ecuaciones de Lorenz son muy sensibles a sus condiciones iniciales. En su estudio original, esto llevó a Lorenz a la conclusión de que ¡pronosticar el clima a largo plazo podría ser imposible!

Por último, examinemos las gráficas estado-espacio. Como estamos manejando tres variables independientes, estamos limitados en sus proyecciones. En la figura 28.10 se muestran las proyecciones en los planos xy y xz. Observe cómo se manifiesta una estructura cuando la percibimos desde una perspectiva estado-espacio. La solución forma órbitas alrededor de lo que parecen ser puntos críticos. Estos puntos son llamados atractores extraños, en la jerga de los matemáticos que estudian tales sistemas no lineales.

A las soluciones del tipo que hemos explorado con las ecuaciones de Lorenz se les conoce como soluciones caóticas. Actualmente, el estudio del caos y de sistemas no lineales representa un área de interés; su análisis tiene implicaciones tanto en las matemáticas como en la ciencia y la ingeniería.

Desde una perspectiva numérica, el punto principal es la sensibilidad de tales soluciones a las condiciones iniciales. Así, los diferentes algoritmos numéricos, la precisión de la computadora y la integración de pasos de tiempo tienen un impacto sobre los resultados de la solución numérica.

2 8 . 3 S I M U L A C I Ó N D E C O R R I E N T E T R A N S I T O R I A P A R A U N C I R C U I T O E L É C T R I C O ( I N G E N I E R Í A ELÉCTR ICA)

Antecedente». Son más comunes los circuitos eléctricos en los que la corriente varia con el (lempo, que en los que permanece constante. Cuando se cierra súbitamente el

http://nndicion.es


F I G U R A 2 8 . 1 0 Representación estado-espacio para las ecuaciones de Lorenz. a) Proyección xy; ib) proyección xz.

interruptor, se establece una corriente transitoria en la malla derecha del circuito mostrado en la figura 28.11.

Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito de la figura 28.11 se basan en las leyes de Kirchhoff, las cuales establecen que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de una malla cerrada es cero (recuerde la sección 8.3). Así,

L * + R I + 1-E(t) = 0 (28.9) dt c

donde L(di/dt) — caída de voltaje a través del inductor, L = inductancia (H), R — resistencia (£1), q = carga del capacitor (C), C «= capacitancia (F), E(t) — fuente de voltaje variable oon el tiempo (V), e

28.3' SIMULACIÓN DE CORRIENTE TRANSITORIA • !

Batería:

Interruptor < — O -

Capacitor +

W V Resistor

Inductor

F I G U R A 2 8 . 1 1 Circuito eléctrico en el que la corriente varia con el tiempo.

i = % (28.10) dt

Las ecuaciones (28.9) y (28.10) son un par de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que se pueden resolver de manera analítica. Por ejemplo, si E(t) = EQ sen (üt yR = 0,

9(0 = 7 E ° , — sen^r + F ° sen OX (28.11) L(p2 - (o1) p L(p2 - (o2)

dondep = IIVLC. Los valores de q y dqldt son cero para t = 0. Use un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones (28.9) y (28.10), y compare los resultados con la ecuación (28.11).

F I G U R A 2 8 . 1 2 Pantalla de computadora donde se muestra la gráfica de la función representada por la ecuación ¡28.32).

Capacitor 6.0, •

-6.01 I I I I I 0 2 0 4 0 60 80 100

• I .NTMPO


Solución. Este problema involucra más bien un rango de integración largo y demanda el uso de un esquema de alta exactitud para resolver la ecuación diferencial si se esperan buenos resultados. Supongamos q u e ! = 1 H, E0 = 1 V, C = 0.25 F, y <ü2 = 3.5 s 2 . Esto áap = 2, y la ecuación (28.11) pasa a ser

q(t) = - 1.8708 sen (2í) + 2 sen (1.87080

para la solución analítica. Esta función se gráfica en la figura 28.12. La naturaleza rápidamente cambiante de la función establece un severo requerimiento sobre cualquier procedimiento numérico para hallar q(i). Además, como la función exhibe una naturaleza periódica que varía lentamente así como una componente que varía rápidamente, son necesarios rangos de integración largos para representar la solución. Así, esperamos que un método de orden superior sea el preferido para este problema.

Sin embargo, podemos intentar tanto el método de Euler como el RK de cuarto orden y comparar los resultados. Usando un tamaño de paso de 0.1 s, se obtiene un valor para q en t = 10 s de —6.638 con el método de Euler, y un valor de —1.9897 con el método RK de cuarto orden. Estos resultados se comparan con una solución exacta de

En la figura 28.13 se muestran los resultados de la integración de Euler cada 1.0 s comparada con la solución exacta. Observe que sólo se gráfica cada diez puntos de salida. Se ve que el error global aumenta conforme t aumenta. Este comportamiento divergente se intensifica en tanto t se aproxima al infinito.

Además de simular directamente una respuesta transitoria de una red, los métodos numéricos también usar se pueden para determinar sus valores propios. Por ejemplo, en la figura 28.14 se muestra una red LC para la cual puede emplearse la ley de voltaje de Kirchhoff para desarrollar el siguiente sistema de EDO:

F I G U R A 2 8 . 1 3 Resultados de la integración de Euler contra la solución exacta. Observe que sólo se gráfica cada décimo punto de salida.

1.996 C.

Carga A

-2 -

-4 -

*6 -

4 -

2 -

0

' 2*¿>'*IMUVKAÓN DE CORRIENTE TRANSITORIA * . « I m

F I G U R A 2 8 . 1 4 Red ÍC.

di i 1

— 3~j~~

-Li— - — / ( ¿ 1 - ¿ 2 ) d í = 0 d/ 2 1 f 1 f

_ ¿ 2 - r - - 7 T / ( ' 2 - ¿3) dt + — ( 1 1 - / 2 ) dt = 0

Í i3dt + -^rf (i2 - h) dt = 0

Observe que hemos representado la caída de voltaje a través del capacitor como

1 f Vc = - /

Ésta es una expresión alterna y equivalente a la relación usada en la ecuación (28.9), que se presentó en la sección 8.3.

El sistema de EDO puede diferenciarse y rearreglarse para obtener

d~i 1 1

¿ 2 - 7 T + 7 T ( ¿ 2 - ¿3) - — ( ¡ 1 - h) = O

dt1 C2 C I

d2h 1 1 . , n

L^ + c¡l3-c¡(l2-l3) = 0

La comparación de este sistema con el de la ecuación (27.5) indica una analogía entre un sistema masa-resorte y un circuito LC. Como se hizo con la ecuación (27.5), la solución se puede suponer de la forma

ij = Aj sen (coi) Esta solución, junto con su segunda derivada, se puede sustituir en las EDO simultáneas. Después'de la simplificación, el resultado es

— - L X ( Ú 2 \ A X — - A 2 = 0

I / 1 1 A 1


A i l , hemos formulado un problema de valores propios. Una nueva simplificación resulta para el caso especial donde las C y las L son constantes. Para esta situación, el sistema se puede expresar en forma matricial como

" 1 - A . - 1 0 ''i - 1 2-X - 1 h 0 - 1 2-X i 3

= {0}

donde

X = LCco1

(28.12)

(28.13)

Se pueden emplear métodos numéricos para determinar valores para los vectores propios y valores propios. MATLAB es particularmente conveniente en este aspecto. La siguiente sesión en MATLAB ha sido desarrollada para realizar esto:

» a = C1 - 1 0 ; - 1 2 - 1 ; 0 - 1 2D

1 - 1 -1 2

0 - 1 > > [ v , d ] = ei g(a)

v

0 . 7 3 7 0 0 . 5 9 1 0 0 . 3 2 8 0

0 - 1

2

0 . 5 9 1 0 -0 . 3280 - 0 . 7 3 7 0

0 . 3 2 8 0 - 0 . 7 3 7 0 0 . 5 9 1 0

0 . 1 9 8 1 0 0

0 1 . 5550

0

0 0

.2470

La matriz v consiste de tres vectores propios del sistema (arreglados en columnas), y d es una matriz con los valores propios correspondientes sobre la diagonal. Así, el paquete calcula que los valores propios son: X — 0.1981,1.555 y 3.247. Estos valores, a su vez, se sustituyen en la ecuación (28.13) para resolver la frecuencia circular natural del sistema

0.4451

Además de proporcionar las frecuencias naturales, los valores propios pueden sustituirse en la ecuación (28.12) para saber más acerca del comportamiento ílsico del circuito. Por ejemplo, sustituyetulo^* 0.1981 le obtiene

28.4' BL PÉNDULO OSCILANTE 1 4 1

I W - I "6 5 6 — 1 Í T I

0 o = • r e ] o íol c C) £» = 1.8019

Í L Ü -

F I G U R A 2 8 . 1 5 k'opresentación visual de los modos naturales de oscilación de la red ÍC para la figura 28.14. Observe que los diámetros do las flechas circulares son proporcionales a las magnitudes de las corrientes de cada malla.

0.8019 - 1 0

- 1 0 1.8019 - 1

- 1 1.8019 {0}

Aunque este sistema no tiene una solución única, se satisfará si las corrientes tienen cocientes fijos, como en

0.8019/, = h = 1.8019/3 (28.14)

Así, como se ilustra en la figura 28.15a, oscilan en la misma dirección con diferentes magnitudes. Observe que si suponemos que /, = 0.737, podemos usar la ecuación (28.14) para calcular las otras corrientes, con el resultado

0.737 0.591 0.328

que es la primera columna de la matriz v calculada con MATLAB. De manera similar, puede sustituirse el segundo valor propio de X

resultado se evalúa para obtener

-1.8018/j = i2 = 2.247/ 3

1.555, y el

Como se ilustra en la figura 28.156, la primera malla oscila en dirección opuesta respecto a la segunda y a la tercera. Por último, puede determinarse el tercer modo como

-0 .445/1 = / 2 = -0 .8718/3

En consecuencia, como se muestra en la figura 28.15c, las mallas primera y tercera oscilan en dirección opuesta a la segunda.

2 8 . 4 EL P É N D U L O O S C I L A N T E ( I N G E N I E R Í A M E C Á N I C A / A E R O E S P A C I A L )

Antecedentes. Los ingenieros mecánicos (así como todos los otros ingenieros) frecuentemente enfrentan problemas relacionados con el movimiento periódico de cuerpos libres. La ingeniería enfoca tales problemas y requiere que la posición y la velocidad de un cuerpo estén dadas en función del tiempo. Invariablemente, estas funciones de tiempo son IB solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones diferenciales a menudo le basan on las leyes del movimiento de Newton.


Como ejemplo, considere el péndulo simple mustiado untes en la figura P'1'7.1. La partícula de peso Westá suspendida de un cable sin peso de longitud /. Las únicas fuer/as que actúan sobre esta partícula son su peso y la tensión R en el cable. La posición de la partícula en cualquier instante está completamente especificada en términos del ángulo 9yl.

El diagrama de cuerpo libre de la figura 28.16 muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula y la aceleración. Es conveniente aplicar las leyes del movimiento de Newton en la dirección x tangente a la trayectoria de la partícula:

F I G U R A 2 8 . 1 6 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DEL PÉNDULO OSCILANTE, DONDE SE MUESTRAN LAS FUERZAS SOBRE LA PARTÍCULA Y LA ACELERACIÓN.

£ F = - Wsen0 = W

donde g = constante gravitacional (32.2 pies/s 2) y a — aceleración en la direcciónx. La aceleración angular de la partícula (a) es ahora

a a = —

/

Por tanto, en coordenadas polares (a = d 26/dt 2),

n Wl Wl d 29 — W sen 9 = a =

g dt 2

^ - + ^ s e n 0 = 0 dt 1 l

(28.15)

Esta aparentemente simple ecuación es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden. En general, es difícil o imposible resolver tales ecuaciones de manera analítica. Usted tiene dos elecciones con respecto a un progreso adicional. En primer lugar, la ecuación diferencial podría ser reducida a una forma que pueda resolverse analíticamcn te (recuerde la sección PT7.1.1) o, en segundo lugar, una técnica de aproximación mimé rica se puede usar para resolver la ecuación diferencial de manera directa. Examinaremos ambas opciones en este ejemplo.

Solución. Procediendo con el primer enfoque, observamos que la expansión de la serie para sen 0 está dada por

sen 9 = 9 + + 3! 5! 7!

(28.10)

Para pequeños desplazamientos angulares, sen 9 es aproximadamente igual a 9 cuando se expresa en radianes. Portante, para pequeños desplazamientos, la ecuación (28.15) es ahora

d20 q + -0 = o

dt1 I (28.17)

28.4 m l f o U L O OSCILANTE i. ¡h' :,..'V'.>:riA 141

la cual es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, lista aproximación es muy importante ya que la ecuación (28.17) es fácil de resolver analíticamente. La solución, basada en la teoría de las ecuaciones diferenciales, está dada por

donde 60 = desplazamiento en t = 0 y donde se supone que la velocidad (v = d6/dt) es cero en t = 0. El tiempo requerido para que el péndulo complete un ciclo de oscilación, es llamado periodo, y está dado por

En la figura 28.17 se muestra una gráfica del desplazamiento 6y la velocidad dOldt en función del tiempo, como se calculó a partir de la ecuación (28.18) con 90 = ni A yl — 2 pies. El periodo, como se calculó de la ecuación (28.19), es 1.5659 s.

Los cálculos anteriores son, esencialmente, una solución completa del movimiento del péndulo. Sin embargo, usted también debe considerar la exactitud de los resultados debido a las suposiciones inherentes en la ecuación (28.17). Para evaluar la exactitud, es necesario obtener una solución numérica para la ecuación (28.15), la cual es una representación física más completa del movimiento. Cualquiera de los métodos analizados en los capítulos 25 y 26 podrían usarse para este propósito (por ejemplo, los métodos de Euler y RK de cuarto orden). La ecuación (28.15) se debe transformar en dos ecuaciones de primer orden para que sean compatibles con los métodos anteriores. Esto se lleva a cabo como sigue. La velocidad v está definida por

(28.18)

(28.19)

(28.20)

y, por tanto, la ecuación (28.15) puede expresarse como

(28.21)

F I G U R A 2 8 . 1 7 ' 'lófica del desplazamiento 0 y la velocidad d0/dt en lunción del tiempo f, como M I calculó a partir de la rtcuución (28.1 8). 6Q es 7t/4 y la longitud I I S de 2 pies.


TABLA 28 . 1 Comparación de una solución analítica lineal del problema del péndulo oscilante, con tres soluciones numéricas no lineales.

Solucionas numéricas no l ineales

Solución R K de cuarto R K de cuarto analít ica Euler o rden o rden

T i e m p o , l ineal (h = 0 . 0 5 )

(h = 0 . 0 5 ) (h = 0 . 0 1 ) s («) (*») M M

0.0 0 .785398 0 .785398 0 .785398 0 .785398 0.2 0 .545784 0 .615453 0 .566582 0 . 5 6 6 5 7 9 0.4 - 0 . 0 2 6 8 5 2 0 .050228 0 .021895 0 .021882 0.6 - 0 . 5 8 3 1 0 4 - 0 . 6 3 9 6 5 2 - 0 . 5 3 5 8 0 2 - 0 . 5 3 5 8 2 0 0.8 - 0 . 7 8 3 5 6 2 - 1 . 0 5 0 6 7 9 - 0 . 7 8 4 2 3 6 - 0 . 7 8 4 2 4 2 1.0 - 0 . 5 0 5 9 1 2 - 0 . 9 4 0 6 2 2 - 0 . 5 9 5 5 9 8 - 0 . 5 9 5 5 8 3 1.2 0 .080431 - 0 . 2 9 9 8 1 9 - 0 . 0 6 5 6 1 1 - 0 . 0 6 5 5 7 5 1.4 0 .617698 0 .621700 0 .503352 0 .503392 1.6 0 .778062 1.316795 0 .780762 0 . 7 8 0 7 7 7

Las ecuaciones (28.20) y (28.21) son un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Las soluciones numéricas por el método de Euler y por el método RK de cuarto orden dan los resultados que se muestran en la tabla 28.1, la cual compara la solución analítica para la ecuación lineal del movimiento [véase ecuación (28.18)] de la columna (a), con las soluciones numéricas de las columnas (b), (c) y (d).

Los métodos de Euler y RK de cuarto orden dan resultados diferentes, y ninguno de ellos concuerda con la solución analítica, aunque el método RK de cuarto orden para el caso no lineal es más cercano a la solución analítica que el método de Euler. Para evaluar adecuadamente la diferencia entre los modelos lineal y no lineal, es importante determinar la exactitud de los resultados numéricos. Esto se lleva a cabo de tres maneras. Primero, se identifica fácilmente que la solución numérica de Euler es inadecuada debido a que sobrepasa la condición inicial en t = 0.8 s. Esto viola de manera evidente la conservación de la energía. Segundo, las columnas (c) y (d) de la tabla 28.1 muestran la solución del método RK de cuarto orden para tamaños de paso de 0.05 y 0.01. Como éstas varían en la cuarta cifra significativa, es razonable suponer que la solución con un tamaño de paso de 0.01 es también exacta con este grado de certidumbre. Tercero, para el caso con tamaño de paso de 0.01, 9 obtiene un valor máximo local de 0.785385 enr = 1.63 s(no mostrado en la tabla 28.1). Esto indica que el péndulo regresa a su posición original con una exactitud de cuatro cifras y un periodo de 1.63 s. Estas consideraciones le permiten suponer de manera segura que la diferencia entre las columnas (a) y (d) de la tabla 28.1 representa verdaderamente la diferencia entre el modelo lineal y el no lineal.

Otra forma de caracterizar la diferencia entre el modelo lineal y el no lineal esto basada en el periodo. En la tabla 28.2 se muestra el periodo de oscilación, como se calculó con los modelos lineal y no lineal para tres diferentes desplazamientos iniciales. Se puede ver que los periodos calculados concuerdan cercanamente cuando 9 es pequeña, ya que 9 es una buena aproximación para sen 6 en la ecuación (28.16). Esta aproximación se deteriora cuando 0es grande.

Estos análisis son típicos tic los casos que usted encontrará de manera habitual como ingeniero. La utilidad de las técnica» numéricas se vuelve particularmente importante en problema* no lineales, y en •"WhtÉfftTTT los problemas reales son no lineales.

P R O n M H r ' I I ' ' • T I f T " 1 v j r f Y . w

T A B L A 2 8 . 2 C o m p a r a c i ó n del p e r i o d o de un c u e r p o o i c l l a n t e , c a l c u l a d o con los m o d e l o s l ineal y n o l ineal .

Per iodo, s

Desplazamiento Modelo l ineal Modelo no l ineal

inicial, 6 0 ( T = 1 K 1 l/g) [Solución numérica de la ecuación ( 2 8 . 1 5 ) ]

T T / 1 6 1.5659 1.57 n/A 1.5659 1.63 n/2 1.5659 1.85

P R O B L E M A S

l i i K i ' i i i e r í a q u í m i c a / p e t r o l e r a ¡M. I Realice el primer cálculo de la sección 28.1, pero ahora pura el caso donde h = 10. Use los métodos de Heun (sin iteración) y RK de cuarto orden para obtener las soluciones. 2H.2 Realice el segundo cálculo de la sección 28.1, pero ahora pura el sistema descrito en el problema 12.4. 2H.3 Un balance de masa para un químico en un reactor completamente mezclado puede escribirse como

V— = F — Qc-kVc2

dt

donde V = volumen (10 m 3 ) , c = concentración, F = flujo mi'isico (200 g/min), Q = flujo volumétrico (1 m 3/min) y k = Unjo de reacción de segundo orden (0.1 m 3/g/min). Si c(0) = 0, resuelva la EDO hasta que la concentración alcance un nivel es-lnhle. Use el método de punto medio (h = 0.5) y trace la gráfica de sus resultados. 2N.4SÍ cm = cb(l - e~°M), calcule la concentración del flujo de

s¡i I ida de un solo reactor completamente mezclado, en función del tiempo. Use el método de Heun (sin iteración) para realizar el cálculo. Emplee valores de cb = 50 mg/m 3 , Q = 5 m 3/min, V

100 m 3 y c 0 = 10 mg/m 3 . Realice el cálculo desde t = 0 hasta 100 min usando h = 2. Trace la gráfica de sus resultados junto con la concentración del flujo de entrada contra el tiempo. 28.5 Las plantas de desalinización se usan para purificar el agua de mar, para que pueda beberse. El agua de mar contiene disuel-los 8 gramos de sal/kg, y es bombeada hacia un tanque de mezclado a razón de 0.5 kg/min. Suponga que el balance de la disolución es agua pura. Debido a una falla en el diseño, el agua se evapora del tanque a razón de 0.5 kg/min. La solución salina sale del tanque a razón de 10 kg/min.

a) Si el tanque se llena inicial mente con I 000 kg de solución a la entrada, ¿cuánto tiempo después de que se enciende la bomba de salida el tanque quedara vuelo?

/)) Use métodos numéricos pura determinar la concentración salina del tanque en función del tiempo,

28.6Un cubo esférico de hielo (una "esfera de hielo"), de 5 cm de diámetro, se elimina de un congelador que está a 0°C y se coloca sobre una malla a temperatura ambiente Ta = 20°C. ¿Cuál será el diámetro del cubo de hielo en función del tiempo fuera del congelador (suponiendo que toda el agua que se ha derretido pasa inmediatamente por la malla)? El coeficiente de transferencia de calor h para una esfera que está en un cuarto estable es de 3 W/(m 2 • K) aproximadamente. El flujo de calor desde la esfera de hielo hasta el aire está dada por

Flujo = ± = h(Ta-T) A

donde q = calor y A = . área superficial de la esfera. Use un método numérico para realizar su cálculo. 28.7 Las siguientes ecuaciones definen las concentraciones de tres reactantes:

^r- = -20c f l c t . + 2ch dt

— = 20c„cv - 2ch dt

~ = - 2 0 c a c v + 2 o , - 0 . 2 c v dt

Si las condiciones iniciales son ca = 500, cb = 0 y c c = 500, halle las concentraciones para los tiempos que van desde 0 a 30 segundos. 28.8 El compuesto A se difunde a través de un tubo de 4 cm de largo, y reacciona conforme se difunde. La ecuación que controla la difusión con reacción es

d.\-

En un extremo del tubo, hay una gran fuente de A en una concentración de 0.1 M, Cn el otro extremo, hay un material absorbente


que absorbe rápidamente cualquier A, teniéndose 0.1 M de concentración. Si /) = 1 x 10 cm 2 / sy k = 4 x 10 6 s ', ¿cuál es la concentración de A en función de la longitud del tubo?

INGENIERÍA CIVIL/AMBIENTAL 28.9 Realice el mismo cálculo para el sistema Lotka-Volterra de la sección 28.2, pero ahora use á) el método de Euler, b) el método de Heun (sin iteración del corrector) y c) el método RK de cuarto orden. En todos los casos, use variables de simple precisión y un tamaño de paso de 0.1, y haga la simulación desde t = 0 hasta 20. 28.10 Realice el mismo cálculo para las ecuaciones de Lorenz de la sección 28.2, pero ahora use a) el método de Euler, b) el método de Heun (sin iteración del corrector) y c) el método RK de cuarto orden. En todos los casos, use variables de simple precisión y un tamaño de paso de 0.1, y haga la simulación desde / = 0 hasta 20. 28.11 La siguiente ecuación puede usarse para modelar la deflexión del mástil de un bote sujeto a una fuerza del viento:

di1 j_ 2E1

(X - zY donde / = fuerza del viento, E = módulo de elasticidad, L = longitud del mástil e I = momento de inercia. Calcule la deflexión si y — 0 y dyldz = 0 en z = 0. Use los valores de los parámetros d e / = 50, L = 30, E = 1.2 x 10 8 e I = 0.05 para sus cálculos. 28.12 Realice el mismo cálculo del problema 28.11, pero ahora, en lugar de usar una fuerza constante del viento, emplee una fuerza que varía con la altura de acuerdo con (recuerde la sección 24.2)

200z É

5 + ~ -2 : /30

28.13 Un ingeniero ambiental está interesado en estimar el mezclado que ocurre entre un lago estratificado y un remanso adyacente (véase figura P28.13).

F I G U R A P 2 8 . 1 3

Bahía ( 3 ) "

• Capa superior

" (D

Capa inferior

(2)

Un rastreador consorviitivo os mezclado instantáneamente con el agua de la bahía, y después se monitorca la concentración del rastreador para un tiempo seguro en los tres segmentos. Los valores son

t 0 2 4 6 8 12 16 20 c l 0 16 12 8 5 3 2 1 c2 0 2 5 6 6 5 4 3 c 3 100 48 28 17 11 5 3 1

Usando balances de masa, se puede modelar el sistema como las siguientes EDO simultáneas:

Vi ^ = - f i c i + En(c2 - c i ) + £ i 3 ( c 3 - c i ) dt

V2~— = £ i 2 ( C I - c2) dt

V2~- = £ l 3 ( C l - C 3 )

dt donde V¡ = volumen del segmento i, Q = flujo y Ey = razón de mezclado difusivo entre los segmentos i y j . Use los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si Vi = 1 X 10 7, V2 = 8 x 10 6 , V} = 5 x 10 6 y Q = 4 X 10 6. 28.14 Las dinámicas del crecimiento poblacional son importantes en muchos estudios de planificación para áreas tales como la transportación y la ingeniería de abastecimiento de aguas. Uno de los modelos más simples de tales crecimientos incorpora la suposición de que la razón de cambio de la población p es proporcional a la población existente en cualquier instante t:

dp r

~dt = (P28.14)

donde G = razón de crecimiento (por año). Este modelo tiene un sentido intuitivo, ya que cuanto más grande sea la población, más grande será el número de padres potenciales. En un instante t = 0, una isla tiene una población de 5 000 personas. Si G = 0.07 por año, emplee el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en t = 20 años, usando un tamaño de paso de 0.5 años. Trace la gráficap contra t en papel estándar y en papel gráfico semilogarítmico. Determine la pendiente de la recta sobre la gráfica semilogarítmica. Analice sus resultados. 28.15 Aunque el modelo del problema 28.14 trabaja adecuadamente cuando el crecimiento de la población es ilimitado, se corta cuando factores tales como la escasez de comida, la contaminación y la falta de espacio inhiben el crecimiento. En tales casos, la razón de crecimiento misma puede considerarse como inversamente proporcional a la población. Un modelo de esta reía ción es

( ' ~ ( 'V'„,Á» - ¡>) (P2H.I5)

PROBLEMA*. •47

D O N D E G" razón E L E crecimiento población-dependiente (por p e r s o n n - A Ñ O ) y /> n u l x = máxima población S O S T E N I B L E . Así, cuan-I L N la población es pequeña (p < P M Á X ) , la razón de crecimiento MM'fl A L T A , a razón constante de G'pmi¡x. Para tales casos, el creci-hllenlo es ilimitado, y la ecuación (P28.15) es esencialmente idén-LII'TT A LA ecuación (P28.14). Sin embargo, como la población crece ( P N L O es, p se aproxima a p m á x ) , G disminuye hasta quep = pmix

Hftt cero. Asi, el modelo predice que, cuando la población alcanza E L nivel máximo sostenible, el crecimiento es no existente, y I I | «islema se encuentra en estado estable. Sustituyendo la ecua-i Ion {P2X. 15) en la ecuación (P28.14) se obtiene

'''' = G'Omáx - P)P TIL

Puní L A misma isla estudiada en el problema 28.14, E M P L E E el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en t = •M) IN'ios, usando un tamaño de P A S O de 0.5 años. Emplee valores I L C (¡' — 10~5 por persona-año y pm¡¡x = 20 000 personas. En el I N S T A N T E I = 0, la isla T I E N E una población de 5 000 personas, lince L A gráficap contra t, e interprete la forma de la curva. ÍN.I6 Ll parque nacional Isla Royal es un archipiélago de 210 M I L L A S cuadradas; E S T Á compuesto de una gran isla y muchas is-L I M pequeñas en el Lago Superior. Los alces llegaron alrededor D E L U Ñ O 1900; para 1930 su población creció a 3 000, lo quedes-liuyó L A vegetación. En 1949, L O S lobos cruzaron un puente de lucio D E S D E Ontario. Desde fines de la década de L O S cincuenta, F I E L I A rastreado el número de alces y lobos.

A n o A lces Lobos A ñ o A lces Lobos

7 0 0 22 1972 836 23 — 22 1973 802 24

\',<<•<;> — 23 1974 815 30 l ' . 'M — 20 1975 778 41 l ' . 'M — 25 1976 641 43 l ' . ' 6 ' > — 28 1977 5 0 7 33

881 24 1978 543 40 i 7 6 / — 22 1979 675 42 I V 6 H 1 0 0 0 22 1980 5 7 7 50 V/ÍO 1 150 17 1981 5 7 0 30 i v / o 9 6 6 18 1982 5 9 0 13 I V / I 6 7 4 20 1983 811 23

i/) Integre las ecuaciones de Lotka-Volterra desde 1960 hasta 2020. Determine los valores de los coeficientes que dan un ajuste óptimo. Compare su simulación con los datos usando un procedimiento tiempo-serie, y comente los resultados.

h) Trace la gráfica de la simulación de ti), pero use un procedimiento estado-espacio.

i ) Después de 1993, suponga que Ion d l r i ^ E N T O N de In launa atrapan un lobo por año y lo llevan l\ieiu de In IM III Prediga

cómo evoluciona la población tanto de alces como do lobos para el año 2020. Presente sus resultados en gráficas de series de tiempo y de estado-espacio. Para este caso [como también para d)], use los siguientes coeficientes: a — 0.3, b = 0.01111, c = 0.2106, d = 0.0002632.

d) Suponga que, en 1993, algunos cazadores llegaron a la isla y mataron el 50% de los alces. Prediga cómo podrían evolucionar las poblaciones de alces y de lobos para el año 2020. Presente sus resultados en gráficas de series de tiempo y de estado-espacio.

Ingenier ía eléctr ica 28.17 Realice el mismo cálculo de la primera parte de la sección 28.3, pero ahora con R = 0.05 í i . 28.18 Resuelva la EDO de la sección 8.3 desde t = 0 hasta 0.5 usando técnicas numéricas, si q = 0.1 e / = -3.281515 en t — 0. Use una R = 100 junto con los otros parámetros de la sección 8.3. 28.19 Para un circuito simple RL, la ley para el voltaje de Kirchhoff requiere que (si se cumple la ley de Ohm)

di L— +Ri = 0

dt

donde / = corriente, L = inductancia y R = resistencia. Resuelva para /, si L = 1, R = 2 e ¿(0) = 0.6. Resuelva este problema analíticamente y con un método numérico. 28.20 En contraste con el problema 28.19, los resistores reales no siempre obedecen la ley de Ohm. Por ejemplo, la caída de voltaje puede ser no lineal y el circuito dinámico se describe por una relación tal como

donde los demás parámetros son definidos en el problema 28.19 e / es una corriente de referencia conocida igual a 1. Resuelva para i en función del tiempo bajo las mismas condiciones especificadas en el problema 28.19. 28.21 Desarrolle un problema de valor propio para una red /.(.' similar a la de la figura 28.14, pero ahora con sólo dos mallas. Esto es, omita la malla Í 3 . Dibuje la red, e ilustre cómo oscilan las corrientes en sus modos principales.

Ingenier ía mecánica/aeroespacial 28.22 Realice el mismo cálculo de la sección 28.4, pero ahora para un péndulo con 4 pies de longitud. 28.23 Use un método numérico para realizar el mismo cálculo de la posición del amortiguador contra el tiempo después de pasar por un bache, como se describió en la sección 8.4 (recuerde la tabla 8.3). 28.24 La razón de enfriamiento de un cuerpo puede expresarse como

8 4 8 APLICACIONES EN INGENIERÍA: ECUACIONES DIFÍRÍNCIALES ORDINARIAS

donde 7' = temperatura del cuerpo (°C), Ta = temperatura del modio circundante (CC) y k = constante de proporcionalidad (min '). Así, esta ecuación especifica que la razón de enfriamiento OH proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y ol medio circundante. Una bola metálica calentada a 90°C se ttoja caer en agua que se mantiene a una temperatura constante T„ — 20°C, use un método numérico para calcular en cuánto tiempo se enfría la bola a 40°C, si k — 0.2 min"1. 28.25 La razón de flujo de calor (conducción) entre dos puntos «obre un cilindro calentado en un extremo, está dada por

dt dx

donde X — constante, A = área de la sección transversal del cilindro, Q = flujo de calor, T= temperatura, t = tiempo y r = distancia desde el extremo calentado. Como la ecuación involucra ilos derivadas, la simplificaremos al realizar

</'/' KK)</. t) <í\ "' 100 \t

donde L es la longitud de la barra. Combine las dos ecuaciones y calcule el flujo de calor para / = 0 a 25 s. La condición inicial es Q(0) = 0 y los parámetros son X = 0.4 cal • cm/s, A = 10 cm'. L = 20 cm y x = 2.5 cm. Trace la gráfica de sus resultados, 28.26 Repita el problema del paracaidista en caída (ejemplo 1.2), pero ahora con la fuerza hacia arriba debida al rozamiento comu una razón de segundo orden:

Fu = -™2

donde c = 0.235 kg/m. Resuelva para / = 0 a 30, trace la gráfiai de sus resultados y compárelos con los del ejemplo 1.2. 28.27 Suponga que, después de 15 segundos de caída, el pain caidistade los ejemplos 1.1 y 1.2 jala la cuerda para accionar el paracaídas. En este punto, suponga que el coeficiente de ro/n miento disminuye instantáneamente a un valor constante de Mi kg/s. Calcule la velocidad del paracaidista desde t = 0 a 30 s con el método de Euler. Trace la gráfica vcontra t para t = 0 a 30 s

E P I L O G O : P A R T E SIETE ilaciones y n inicial es = lOcm 2 , .litados. :mplo 1.2), ento como

5 la gráfica .2.

la, el para-accionar el te de roza-tante de 50 3 a 30 s con = 0 a 3 0 s .

P T 7 . 4 E L E M E N T O S DE J U I C I O

La tabla PT7.3 contiene elementos de juicio asociados con métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con valor inicial. Los factores de esta tabla deben ser evaluados por el ingeniero cuando seleccione un método para aplicarse en cada problema en particular.

Se pueden usar técnicas simples de autoinicio, tales como el método de Euler, si los requerimientos del problema involucran un rango corto de integración. En este caso, puede obtenerse una exactitud adecuada usando pequeños tamaños de paso para evitar grandes errores de truncamiento, y los errores de redondeo pueden ser aceptables. El método de Euler también puede ser apropiado para casos en los que el modelo matemático tiene en sí mismo un alto nivel de incertidumbre, o tiene coeficientes o funciones forzadas con errores significativos que pueden surgir durante un proceso de medición.

T A B L A P T 7 . 3 Comparación de las características de métodos alternos para la solución numérica de EDO. Las comparaciones se basan en la experiencia general y no toman en cuenta el comportamiento de las funciones especiales.

Método Valores Iteraciones E r ro r Fácil cambio de E s fue r zo de iniciales requer idas global tamaño de paso programación Comentar ios

Un paso de Euler

de Heun Punto medio Ralston de segundo orden

RK de cuarto orden Adaptativo de cuarto orden RK o RK-Fehlberg

Multipaso

Heun de no autoinicio

I >..• Milne

Adnm:, de cuarto orden

No

Sí No No

No

No

Sí

Sí

SI

O(h) 0(/i2) Clh2)

Qh4)

Qh3)*

qh5)* <D[h5)*

Fácil

Fácil Fácil Fácil

Fácil

Fácil

Difícil

Difícil

Difícil

Fácil

Moderado Moderado Moderado

Moderado

Moderado a difícil

Moderado a difícil Moderado a difícil1" Moderado a difícil1

Bueno para estimaciones rápidas

El método RK de segundo orden que minimiza el error de redondeo Ampliamente usado

El error estimado permití) un ajuste en el tamaño de paso

Método multipaso simple

Algunas veces inestable)

' M |n<i|iorrlnnri un u'.lknndn iM Briol, t* intl ptlfrí mudllli ni lu '.nlur li'fl. ' I un Itimilftn di' |«iv> VIHIIIUÍI

EPILOGO: PARTE SIETE

En este caso, la exactitud del modelo mismo simplemente no justifica el esfuerzo involucrado de emplear un método numérico más complicado. Por último, las técnicas más simples pueden ser las mejores cuando el problema o la simulación necesita ser ejecutada sólo unas cuantas veces. En esas aplicaciones, probablemente es mejor usar un método simple que sea fácil de programar y entender, a pesar del hecho de que el método puede ser ineficiente en términos computacionales y relativamente consumidor de tiempo al correrse en la computadora.

Si el rango de integración del problema es lo suficientemente largo como para involucrar un gran número de pasos, entonces puede ser necesario y adecuado usar una técnica más exacta que el método de Euler. El método RK de cuarto orden es popular y confiable para muchos problemas de ingeniería. En esos casos, también puede ser aconsejable estimar el error de truncamiento para cada paso como una guía para seleccionar el mejor tamaño de paso. Esto se puede llevar a cabo con los procedimientos RK adaptativos o el de Adams de cuarto orden. Si los errores de truncamiento son muy pequeños, podría ser inteligente aumentar el tamaño de paso para ahorrar tiempo de computadora. Por otro lado, si el error de truncamiento es grande, se debería disminuir el tamaño de paso para evitar la acumulación del error. Si se esperan problemas significativos de estabilidad, debería evitarse el método de Milne. El método de Runge-Kutta es simple de programar y su uso es conveniente, pero puede ser menos eficiente que los métodos multipaso. Sin embargo, el método de Runge-Kutta es empleado usualmente en cualquier evento para obtener valores iniciales para los métodos multipaso.

Un gran número de problemas de ingeniería pueden estar en un rango intermedio de intervalos de integración y requerimientos de exactitud. En estos casos, los métodos RK de segundo orden y el Heun de no autoinicio son simples de usar, y son relativamente eficientes y exactos.

Los sistemas rígidos involucran ecuaciones con componentes que varían lenta y rápidamente. Por lo común se requieren técnicas especiales para la adecuada solución de ecuaciones rígidas. Por ejemplo, a menudo se usan procedimientos implícitos. Usted puede consultar a Enright y cois. (1975), Gear (1971) y Shampine y Gear (1979) para obtener información adicional con respecto a esas técnicas.

Se dispone de diversas técnicas para resolver problemas de valores propios. Para sistemas pequeños o donde sólo se requieren unos pocos de los más pequeños o los más grandes valores propios, se pueden usar procedimientos simples como el método del polinomio o el de potencias. Para sistemas simétricos, se pueden emplear los métodos de Jacobi, de Given o de Householder. Por último, el método QR representa un procedimiento general para hallar todos los valores propios de matrices simétricas y no simétricas.

P T 7 . 5 R E L A C I O N E S Y F Ó R M U L A S I M P O R T A N T E S

La tabla PT7.4 resume información importante que se presentó en la parte siete. Se puede consultar esta tabla para un rápido acceso a relaciones y fórmulas importantes.

P T 7 . 6 M É T O D O S A V A N Z A D O S Y R E F E R E N C I A S A D I C I O N A L E S

Aunque hemos revisado diferentes técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, existe información adicional que ei importante en la práctica de la ingeniería. El

E i-t V¡ 5"

es

an a'

o O n T

v> & i

v> Se

i ¿ CP- CP- o 5 . — =?• s í H - O

O "

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o- p .

- J ce c p

* ' ° sr

* £ i | U Cu a

ó B Cu 5 O pu

O Cu

3 C & « CP cp 3

^ g S . o O el) »s n ¡ Cu C

CP

3

3 CP

O 3 ™

TABLA P T 7 . 4 Resumen de información importante presentada en la parte siete.

Método Formulación Interpretación gráf ica E r ro res

Euier ¡RK de yi+ , = y¡ + hk}

primer orden) k} = f[x¡, y¡]

8X de Sabion y, + , = y¡ + h(^ t + p 2 ) de seguroc orden ¿, = f(x¡, y¡]

K a s c o de y i + i =y/+n(s* : i + 5 * 2 + ^ 3 + ^ 4 ) ser te o-den k¡ = f(x¡, y)

¿2 = f (x, + \b, y + ifi/c,) k3 = f(x¡ + i/?, y + i M 2 ) /c4 = f(x¡ + n, y + hk3)

Heun de no Predictor: (método de punto medio) autoinicio y° + , = y?_ , + 2/)f(x,-, y?)

Corrector: (regla trapezoidal)

Adams de cuarto Predictor: (cuarto Adams-Bashforth) orden y? + , = yf+ n (| f ? - | + | f ? _ 2 - £ ^ - 3 )

Corrector: (cuarto Adams-Moulton)

/ - 3 ; ' - 2 / x

A

1 i / ' - 3 ; ' - 2 / / + 1 x

1 1 I L _ ^

Error local - Qh2) Error global — <D(h)

Error local ~ Qh3) Error global = q / 1 2 )

Error local = Qf i 5 ) Error global =* q/) 4)

Predictor modificador

Corrector modificador

Predictor modificador f =* 251 I / 1 - v° ]

/ ' - 3 i-2 i - 1 / / ' + 1 x Corrector modíficacte»-

8 5 2 IPlLOOO: PARTE SIETE

concepto de estabilidad so presentó en la sección 26.2.4, este tema tiene relevancia gonc-rol en todos los métodos que se usan para resolver KDO, Un análisis adicional del toma se puede buscar en Carnahan, Luther y Wilkes (1969), Gear (1971) y Hildebrand (1974).

En el capítulo 27 presentamos los métodos para resolver problemas con valores en la frontera. Se puede consultar a Isaacson y Keller (1966), Keller (1968), Na (1979) y Scott y Watts (1976) para adquirir más información sobre problemas estándar con valores a la frontera. Se puede hallar material adicional acerca de los valores propios en Ralston y Rabinowitz (1978), Wilkinson (1965), Fadeev y Fadeeva (1963) y Householdor (1953).

En resumen, lo anterior tiene la intención de proporcionarle nuevos caminos para una exploración más profunda sobre el tema. Adicionalmente, todas las referencias mencionadas proporcionan descripciones de las técnicas básicas cubiertas en la parte sieto. Le recomendamos consultar esas fuentes alternas para ampliar su comprensión de los métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales.

E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P A R C I A L E S

P T 8 . 1 M O T I V A C I Ó N

Dada una función u que depende tanto de x como de y, la derivada parcial de u con respecto a x en un punto arbitrario (x, y) está definida como

i í L = iím "(* + to>y)- u(x>y) , P T 8 n dx A x - > 0 Ax

De manera similar, la derivada parcial con respecto a y está definida como

du_= H m u(x,y + Ay)-u(x,y) dx Ay

Una ecuación que involucra derivadas parciales de una función desconocida con dos o más variables independientes, se denomina ecuación diferencial parcial, o EDP. Por ejemplo,

dzu d2u — + 2xy — + u = l ( P T 8 . 3 )

3 3 M d2u

3 2 « \ 3 3 3 W 6——- = * ( l 'TK.M 3 x 2 / 3x3y 2

3 2 H dü / N I ' U / \

— = x (P18.6) 3 x z 3y

El orden de una EDP es el de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Por ejemplo, las ecuaciones (PT8.3) y (PT8.4) son de segundo y tercer orden, respectivamente.

Se dice que una ecuación diferencial parcial es lineal, si es lineal en la función desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo de las variables independientes. Por ejemplo, la ecuación (PT8.3) es lineal, mientras que las ecuaciones (PT8.5) y (PT8.6) no lo son.

Debido a su amplia aplicación en ingeniería, nuestro tratamiento de las EDP se concentrará sobre las ecuaciones lineales de segundo orden. Para dos variables independientes, tales ecuaciones se pueden expresar en la siguiente forma general:

A I L ; M ¡ ) 2 M ()2U

8 5 6 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

TABLA P T 8 . 1 Categorías en las que pueden clasificarse las ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden en dos variables.

S 2 - 4 A C Categoría E jemplo

< 0 Elíptica Ecuación de Laplace |en estado estable con dos dimensiones espaciales)

- ^ + i ^ o

= 0 Parabólica Ecuación de conducción del calor (variable de tiempo con una dimensión espacial)

dT d2T

dt ~ 3X 2

> 0 Hiperbólica Ecuación de onda [variable de tiempo con una dimensión espacial)

d2y 1 jfy_

d¿ " c 2 di2

donde A, B y C son funciones de x y y, y D es una función de x, y, u, du/dx y du/dy. Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segunda derivada (A, B y Q , la ecuación (PT8.7) puede clasificarse en una de las tres categorías (véase la tabla PT8.1). Esta clasificación, que se basa en el método de las características (por ejemplo, véase Vichnevetsky, 1981, o Lapidus y Pinder, 1982), es útil debido a que cada categoría se relaciona con problemas de ingeniería específicos y distintos que demandan técnicas de solución especiales. Debería observarse que para los casos donde A,ByC dependen de x y y, la ecuación, de hecho, puede estar en una categoría diferente, dependiendo de la ubicación del dominio para el cual se cumple la ecuación. Por sencillez, limitaremos el presente análisis a EDP que pertenecen exclusivamente a una de las categorías.

P T 8 . 1 . 1 E D P Y P R Á C T I C O D E L A I N G E N I E R Í A

Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales mostradas en la tabla PT8.1, conforma clases específicas de problemas de ingeniería. Las secciones iniciales de los siguientes capítulos se dedicarán a obtener cada tipo de ecuación para un problema particular de ingeniería. Mientras tanto, analizaremos sus propiedades generales y sus aplicaciones, y mostraremos cómo se pueden emplear en diferentes contextos físicos.

Comúnmente, las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas en estado estable. Como en la ecuación de Laplace de la tabla PT8.1, esto se indica por la ausencia de una derivada con respecto al tiempo. Así, estas ecuaciones por lo general se emplean para determinar la distribución en estado estable de una incógnita en dos dimensiones espaciales.

Un ejemplo simple es la plucu enlontuda de la figuro PT8. la. Para este caso, la» frontera» de la placa se mantiani&MÍl&n&tei temperaturn. Como el calor fluye deida

PT8.1 ACTIVACIÓN -i - ini. ;-t,.i M I / /

Callante

a) b) c)

F I G U R A P T 8 . 1 líos problemas de distribución en estado estable que pueden ser caracterizados por EDP elípticas, o) Distribución de lomperatura sobre una placa calentada; b) filtración de agua bajo una presa, y c) el campo eléctrico cercano a la punta de un conductor.

las regiones de alta temperatura a las de baja temperatura, las condiciones frontera fijan un potencial que lleva el flujo de calor desde la frontera caliente a la fría. Si se tiene un tiempo suficientemente grande, tal sistema alcanzará, al final, la distribución estable o de estado estable de temperatura ilustrado en la figura PT8.1a. La ecuación de Laplace, junto con las condiciones de frontera adecuadas, proporciona un medio para determinar esta distribución. Por analogía, se puede emplear el mismo enfoque para abordar otros problemas que involucran potenciales, como la filtración de agua bajo una presa (véase figura PT8.1&) o la distribución de un campo eléctrico (véase figura PT8.1c).

En contraste con la categoría elíptica, las ecuaciones parabólicas determinan cómo una incógnita varía tanto en espacio como en tiempo. Esto se manifiesta por la presencia de las derivadas espacial y temporal en la ecuación de conducción de calor de la tabla PT8.1. Tales casos se conocen como problemas de propagación, ya que la solución se "propaga", o cambia, con el tiempo.

Un ejemplo simple es el de una barra larga y esbelta que está totalmente aislada, excepto en sus extremos (véase figura PT8.2a). El aislamiento se emplea para evitar complicaciones debido a la pérdida de calor a lo largo de la barra. Como en el caso de la placa calentada de la figura PT8. la, los extremos de la barra se ponen a temperatura fija. Sin embargo, en contraste con la figura PT8.1a, la esbeltez de la barra nos permite suponer que el calor se distribuye uniformemente sobre su sección transversal (es decir, lateralmente). En consecuencia, el flujo de calor lateral no es un problema, y esto se reduce a estudiar la conducción del calor a lo largo del eje longitudinal de la barra. En lugar de enfocarse en la distribución en estado estable en dos dimensiones, el problema cambia para determinar cómo la distribución espacial en una dimensión se modifica con el tiempo (figura PT8.26). Así, la solución consiste en una serie de distribuciones espacíale! que oorreiponden al estado de la barra en diferentes momentos. Usando una ana-


F I G U R A P T 8 . 2 a) Barra larga y esbelta que está totalmente aislada,

Caliente Frío

excepto en sus extremos. La dinámica de la distribución unidimensional de

a)

7"4 temperatura a lo largo de la longitud de la barra puede describirse por una EDP parabólica, b) La solución, que consiste en distribuciones correspondientes al estado de la barra en diferentes

b) x

momentos.

logia tomada de la fotografía, el caso elíptico da una imagen del sistema en estado estable, mientras que el caso parabólico proporciona una película de cómo cambia de un estado a otro. Como con los otros tipos de EDP descritos aquí, las ecuaciones parabólicuN se pueden usar para caracterizar una amplia variedad de otros problemas de ingenierlii por analogía.

La clase final de EDP, la categoría hiperbólica, también trata con problemas </e propagación. Sin embargo, una importante distinción manifestada por la ecuación do onda en la tabla PT8.1, es que la incógnita se caracteriza por una segunda derivada con respecto al tiempo. En consecuencia, la solución oscila.

La cuerda vibratoria de la figura PT8.3 es un modelo físico simple que puede sor descrito por la ecuación de onda. La solución consiste en diferentes estados característi eos con los cuales la cuerda oscila. Una variedad de sistemas de ingeniería (tales como las vibraciones de barras y vigas, el movimiento de ondas de fluido y la transmisión de señales acústicas y eléctricas) pueden ser caracterizadas por este modelo.

P T 8 . 1 . 2 Métodos anter iores a la computadora para resolver EDP

Antes de la llegada de las computadoras digitales, los ingenieros dependían de soluciones analíticas o exactas de ecuaciones diferenciales parciales. Aparte de los casos mA» simples, estas soluciones a menudo requerían gran esfuerzo y complicación matemátien, Además, muchos sistemas físicos no podían resolverse directamente: tenían que ser simplificados usando linearizaciones, representaciones geométricas simples, y otras idonli-

F I G U R A P T 8 . 3 Una cuerda tensa que vibra a baja amplitud es un sistema físico simple que puede ser caracterizado por una EDP hiperbólica.

PT8.2 ©WINTACIÓN »>"•>> .* •*>> <

i » zaciones. Aunque esas soluciones son elegantes y dan cierto conocimiento, están limitadas con respecto a la fidelidad con que representan sistemas reales (en especial, aquellos que son altamente no lineales y de forma irregular).

P T 8 . 2 O R I E N T A C I Ó N

Antes de proceder con los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales parciales, puede ser útil cierta orientación. El siguiente material tiene el propósito de proporcionarle una visión del material analizado en la parte ocho. Además, hemos formulado objetivos para concentrar sus estudios en el tema.

P T 8 . 2 . 1 Alcance y revis ión

La figura PT8.4 proporciona un panorama de la parte ocho. En esta parte del libro se analizarán dos amplias categorías de métodos numéricos. Los procedimientos por diferencias finitas, que se cubrirán en los capítulos 29 y 30, se basan en la aproximación de la solución en un número finito de puntos. En contraste, los métodos por elemento finito, que se estudiarán en el capítulo 31, aproximan la solución en piezas, o "elementos". Se ajustan varios parámetros hasta que esas aproximaciones conforman la ecuación diferencial fundamental en un sentido óptimo.

El capítulo 29 se dedica a las soluciones por diferencias finitas de ecuaciones elípticas. Antes de poner en práctica los métodos, deducimos la ecuación de Laplace para el problema físico de la distribución de temperatura de una placa calentada. Después, se describe un procedimiento estándar de solución: el método de Liebmann. Ilustraremos cómo se usa este procedimiento para calcular la distribución de la variable escalar primaria: la temperatura, y la de una variable vectorial secundaria: el flujo de calor. La sección final del capítulo trata con las condiciones frontera. Este material incluye procedimientos para manejar diferentes tipos de condiciones y de fronteras irregulares.

En el capítulo 30 volvemos a las soluciones por diferencias finitas de ecuaciones parabólicas. Como con el análisis de ecuaciones elípticas, primeramente proporcionamos una introducción al problema físico, la ecuación de conducción del calor para una barra unidimensional. Tespués presentamos los algoritmos implícito y explícito para resolver esta ecuación. De aquí continuamos con un método implícito eficiente y confiable: la técnica de Crank-Nicolson. Por último, describimos un procedimiento particularmente efectivo para resolver ecuaciones parabólicas en dos dimensiones: el implícito de dirección alternante, o método I.D.A.

Observe que, como están más allá del alcance de este libro, hemos omitido las ecuaciones hiperbólicas. El epílogo de esta parte del libro contiene referencias relacionadas con este tipo de EDP.

En el capítulo 31 veremos otro procedimiento fundamental para resolver EDP: el método por elemento finito. Como es fundamentalmente diferente del procedimiento por diferencias finitas, hemos dedicado la sección inicial del capítulo a una revisión general. Después mostramos cómo se usa el método del elemento finito para calcular la distribución de temperatura en estado estable de una barra calentada. Por último, propor-oionaniOR una introducción a algunos de los casos que extienden tal análisis a problemas bidlm#niiurmlc«.


PT8.1 Motivación

PTB.2 Orientación

PARTE OCHO Ecuaciones diferenciales

parciales

32.4 Ingeniería mecánica

32.3 Ingeniería eléctrica

32.2 Ingeniería

civil

CAPITULO 32 Aplicaciones en ingeniería

32.1 Ingeniería química

CAPITULO 31 Método del

elemento finito

29.1 Ecuación

de Laplace 29.2 Solución por diferencias

finitas

CAPITULO 29 Diferencias finitas:

ecuaciones elípticas

CAPITULO 30 Diferencias finitas:

ecuaciones parabólicas

29.3 Condiciones

â la frontera _

~29.4~ (Aproximación del^

volumen de control

29.5 Algoritmos

jde cómputo

' 3 0 . 1 " Ecuación de conducción _del calor,

30.2 Métodos explícitos

30.3 (Métodos implícitos)

simples

30.5 IDA

30.4 Crank-Nicolson

31.4 Librerías

y paquetes

31.1 Procedimiento

31.3 Análisis en dos ^dimensiones .

31.2 Análisis

.unidimensional.

F I G U R A P T 8 . 4 Representación esquemática de la organización del material de la parte ocho: Ecuaciones diferenciales parciales.

El capitulo 32 se dedica a aplicaciones de todos los campos de la ingeniería. Por último, se incluye una sección corta de revisión al final de la parte ocho. Este epílogo resume información importante relacionada con las EDP. Este material incluye un análisis de elementos de juicio que son esenciales para su puesta en práctica en la ingenierín. Este epílogo también incluye referencia! para temas avanzados.

PT8.2 ORIENTACIÓN M I

T A B L A P T 8 . 2 Objetivos de estudio específicos para la parte ocho.

1. Reconocer la diferencia entre las EDP eliplicas, puiubólicas e hiperbólicas. 2. Entender la diferencia fundamental entre procedimientos por diferencias finitas y por elemenlo

finito. 3. Reconocer que el método de Liebmann es equivalente al procedimiento de Gauss-Seidel para

resolver ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. 4. Saber cómo determinar variables secundarias para problemas de campo en dos dimensiones. 5. Distinguir la diferencia entre Dirichlet y las condiciones a la frontera de la derivada. 6. Entender cómo usar factores ponderados para incorporar fronteras irregulares en un esquema por

diferencias finitas para las EDP. 7. Entender cómo ¡mplemenrar la aproximación del volumen de control para poner en marcha

soluciones numéricas de las EDP. 8. Conocer la diferencia entre convergencia y estabilidad de EDP parabólicas. 9. Entender la diferencia entre esquemas explícitos y esquemas implícitos para resolver EDP

parabólicas. 10. Reconocer cómo los criterios de estabilidad para métodos explícitos disminuyen en su utilidad para

resolver EDP parabólicas. 1 1. Saber cómo interpretar moléculas computacionales. 1 2. Reconocer cómo el procedimiento I.D.A. alcanza alta eficiencia en la solución de ecuaciones

parabólicas en dos dimensiones espaciales. 1 3. Comprender la diferencia entre el método directo y el método de residuos ponderados para

deducir elementos de ecuaciones. 14. Saber cómo poner en práctica el método de Galerkin. 15. Entender los beneficios de la integración por partes durante la deducción de elementos de

ecuaciones; en particular, reconocer las implicaciones de disminuir la derivada más alta de una segunda a una primera derivada.

P T 8 . 2 . 2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Después de completar la parte ocho, usted deberá haber realzado grandemente su capacidad para confrontar y resolver ecuaciones diferenciales parciales. Las metas de estudio generales incluyen el manejo de las técnicas, con la capacidad de asegurar la confiabilidad de las respuestas, y de escoger el "mejor" método (o métodos) para cualquier problema en particular. Además de estos objetivos generales, deberán manejarse los objetivos de estudio específicos de la tabla PT8.2.

Objetivos de cómputo. Se pueden desarrollar algoritmos de cómputo para muchos de los métodos de la parte ocho. Por ejemplo, usted puede encontrar ilustrativo el desarrollo de un programa general para simular la distribución de la temperatura en estado estable de una placa calentada. Además, usted podría querer desarrollar programas para poner en práctica el método simple explícito y el de Crank-Nicolson para resolver EDP parabólicas en una dimensión espacial.

Por último, una de sus metas más importantes debería ser manejar varios de los paquetes de software de uso general ampliamente disponibles. En particular, usted debería ser un adepto en el uso de esas herramientas para implementar métodos numéricos para resolver problemas de ingeniería.

CAPITULO 2 9

Diferencias finitas: ecuaciones

En ingeniería, las ecuaciones elípticas se usan comúnmente para caracterizar problemas de estado estable y con valores a la frontera. Antes de demostrar la manera en que se pueden resolver, ilustraremos cómo en un caso simple (la ecuación de Laplace) se dedu ce a partir de un problema físico.

Como ya hemos mencionado en la introducción de esta parte del libro, la ecuación de Laplace puede ser usada para modelar diversos problemas que involucran el potencial de una variable desconocida. Debido a su simplicidad y a su relevancia en la mayoría de las áreas de la ingeniería, usaremos una placa calentada como contexto fundamental para derivar y resolver esta EDP elíptica. Se emplearán problemas y aplicaciones a la ingenie ría (véase capítulo 32) para ilustrar la aplicabilidad del modelo en otros problemas de ingeniería.

En la figura 29.1 se muestra un elemento sobre la cara de una placa rectangular delgada de espesor Az. La placa está totalmente aislada excepto en sus extremos, donde la temperatura se fija a un nivel preestablecido. El aislamiento y la esbeltez de la placa significan que la transferencia de calor está limitada a las dimensiones x y y. En estado estable, el flujo de calor en un elemento sobre una unidad de periodo de tiempo At debe ser igual al flujo de salida, como en

q(x) Ay Az At + q(y) Ax Az At = q(x + Ax) Ay Az At

donde q(x) y q(y) = flujos de calor de x y y, respectivamente [cal/(cm2 • s)]. Dividiendo entre Az y Ai, y reagrupando términos, se obtiene

[q(x) - q(x + Ax)]Ay + [q(y) - q(y + Ay)]Ax = 0

Multiplicando el primer término por Ax/Ax, y el segundo por Ay/Ay se obtiene

2 9 . 1 L A E C U A C I Ó N D E L A P L A C E

+ q(y + Ay)Ax Az At (29.1)

q(x) -q(x + Ax)

Ax Ax Ay + <i(y)-q(y + Ay)

Av Av A.v = 0 (2') . . ' )

Dividiendo entre Ax Ay, y tomando el límite, se obtiene

¡)x <ly - 0 (29,3)

29.1 LAlCUACIÓNDiLAPLACB

1

q(y + Áy) t i

q(x)—* » g(x + Ax) Ay í T f

1** X

— M A X W —

F I G U R A 2 9 . 1 Placa delgada de espesor Az. Se muestra un elemento en el cual se toma el balance de calor.

donde las derivadas parciales se toman de las definiciones de las ecuaciones (PT7.1) y (PT7.2).

La ecuación (29.3) es una ecuación diferencial parcial, que es una expresión de la conservación de la energía para la placa. Sin embargo, a menos que se especifiquen flujos de calor en los extremos de la placa, la ecuación no puede ser resuelta. Ya que están dadas las condiciones a la frontera para la temperatura, la ecuación (29.3) debe ser replanteada en términos de la temperatura. El enlace entre el flujo y la temperatura está dado por la ley de Fourier de conducción del calor, la cual puede ser representada como

dT q i = -kpC— (29.4)

di

donde q¡ = flujo de calor en la dirección de la dimensión i [cal/(cm 2 • s], k = coeficiente de difusividad térmica (cm 2/s), p = densidad del material (g/cm 3), C = capacidad calorífica del material [cal/(g • °C)] y T — temperatura (°C), la cual se define como

H T = pCV

dondeH = calor (cal) yV= volumen (cm 3). Algunas veces, el término que está frente a la diferencial de la ecuación (29.4) es tratado como un solo término,

k' = kpC (29.5)

donde k' se conoce como coeficiente de conductividad térmica [cal/s • cm • °C)]. En cualquier caso, k y k' son parámetros que revelan qué tan bien conduce calor el material.

A la ley de Fourier algunas veces se le conoce como ecuación constitutiva. Esta oonnotaolón »e da porque proporciona un mecanismo que define las interneciones Ínter-

864 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES ELÍPTICAS

F I G U R A 2 9 . 2 Ilustración gráfica de un gradiente de temperatura. Debido a que el calor se mueve hacia abajo desde una temperatura alta a una baja, el flujo en a) va de izquierda a derecha en la dirección / positiva. Sin embargo, debido a la orientación de las coordenadas cartesianas, la pendiente es negativa para este caso. Esto es, un gradiente negativo conduce a un flujo positivo. Este es el origen del signo menos en la ley de Fourier de conducción del calor. El caso inverso se ilustra en b), donde el gradiente positivo conduce a un flujo de calor negativo de derecha a Izquierda.

ñas del sistema. Una inspección de la ecuación (29.4) indica que la ley de Fourier especifica que el flujo de calor perpendicular al eje i es proporcional al gradiente o pendiente de la temperatura en la dirección i. El signo negativo asegura que un flujo positivo en la dirección / resulta de una pendiente negativa de alta a baja temperatura (véase figura 29.2). Sustituyendo la ecuación (29.4) en la ecuación (29.3), se obtiene

d2T d2T

^+a7= 0 ( 2 9-6 )

la cual es la ecuación de Laplace. Observe que para el caso donde hay fuentes o sumideros de calor dentro del dominio bidimensional, la ecuación se puede representar como

d2T d2T ^ + ^ = / ( ^ > (29-7)

donde f(x,y) es una función que describe las fuentes o sumideros de calor. La ecuación (29.7) es conocida como ecuación de Poisson.

2 9 . 2 T É C N I C A D E S O L U C I Ó N

La solución numérica de las EDP elípticas, tal como la ecuación de Laplace, procede en dirección inversa a la manera en que fue deducida la ecuación (29.6) en la sección precedente. Recordemos que la deducción de la ecuación (29.6) emplea un balance alrededor de un elemento discreto para obtener una ecuación algebraica de diferencias, la cual caracteriza el flujo de calor paru una placa. Al tomar el límite, esta ecuación de diferencias se convirtió en una ccuacióa.dife/encial [véase ecuación (29.3)].

29.2 TÉCNICA DE SOLUCIÓN .>MMñW H • I * M i

m+ 1, n+ 1

F I G U R A 2 9 . 3 Mulla usada para la Milución por diferencias Imitas de las EDP elípticas i'ii dos variables independientes, tal como la ecuación de Laplace.

m+ 1,0

Para la solución numérica, las representaciones en diferencias finitas basadas en el tratamiento de la placa como una malla de puntos discretos (figura 29.3) son sustituidas por las derivadas parciales de la ecuación (29.6). Como se describe a continuación, la EDP es transformada en una ecuación algebraica de diferencias.

2 9 . 2 . 1 La ecuación iaplaciana en diferencias

Las diferencias centrales basadas en el esquema de malla de la figura 29.3 son (véase figura 23.3)

d2T = T i + l J - 2TU + T¡-ij

dx2 Ax2

y

d2T = Tjj+i - 2T¡j + 7¿,;_i

dy2 Ay2

las cuales tienen errores de 0[A(x) 2] y 0[A(y) 2], respectivamente. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (29.6) se obtiene

Tj+ij — 2T¡j + r , - - i , y T¡,j+\ — 2T¡j + Tjj-i _

Ax1 Ay2

Para la malla cuadrada de la figura 29.3, Ax = Ay, y al reagrupar términos, la ecuación será

' / ' M I , , I ' / ; i , ; i y; , , , , +•/;•./ , - 4 T ¡ t J = o (2«>.8)


100°C

75°C

(1.3) (2,3) (3, 3) • • •

(1.2) (2, 2) (3, 2) • • • (1,1) (2,1) (3,1) • • •

50°C

0°C F I G U R A 2 9 . 4 Placa calentada donde las temperaturas se mantienen a niveles constantes. Este caso es conocido como condición de frontera de Dirichlet.

Esta relación, que se cumple en todos los puntos interiores de la placa, es conocida como ecuación laplaciana en diferencias.

Además, las condiciones en la frontera en los extremos de la placa deben estar espc cificadas para obtener una solución única. El caso más simple es aquel en el que In temperatura en la frontera está situada en un valor fijo. Esta es conocida como condición de frontera de Dirichlet. Tal es el caso de la figura 29.4, donde los extremos se mantienen a temperaturas constantes. Para el caso ilustrado en la figura 29.4, un balance para el nodo (1, 1) es, de acuerdo con la ecuación (29.8),

7,2i + r01 + T 1 2 + 7;1o-4r11 =o (29.9)

Sin embargo, Tm — 75 y 7 1 0 = 0, y, por tanto, la ecuación (29.9) se puede expresar como

-47-n + Ta + T 2 i = - 7 5

Se pueden desarrollar ecuaciones similares para los otros puntos interiores. El resul tado es el siguiente conjunto de nueve ecuaciones simultáneas con nueve incógnitas:

47-n - T 2 i -7-12 ^ 7.1

-Tu + 4 7 / 2 1 - 7 ; 3 i — 7*22 0

- 7 2 1 + 4 R 3 i — 7*32 . Sil

-Tu + 4 7 T 1 2 — 7 2 2 - 7 l 3 --- 71

- 7 2 1 -7-12 +4r22 — 732 — 723 - 1)

- 7 3 1 — 7*22 +4r32 -Tu - MI

-7', 2 +47,3 -723 - 17.1

— 7 22 -TM + 4 7 2 ; , • T u - I()(l

-Tn - 7 2 3 1 4 / , no 1

(29,10).

29.2 TÉCNICA DE 2 9 . 2 . 2 El método d« Llabmann

La mayoría de las solucionen minióriciiN tío In ecuación de Laplace involucran s islonuiN que son mucho más grandes que In eeunción (29,10). Por ejemplo, una malla de 10 po r 10 involucra 100 ecuaciones algebruicus lineales. Las técnicas de solución para estos tipos de ecuaciones fueron analizadas en la parte tres.

Observe que hay un máximo de cinco incógnitas por línea en la ecuación (29.10). Para mallas de tamaño grande, esto significa que un número significativo de los términos será igual a cero. Cuando se aplican a tales sistemas dispersos, los métodos de eliminación de matriz llena gastan una gran cantidad de memoria de computadora al almacenar estos ceros. Por esta razón, los métodos aproximados proporcionan una aproximación viable para obtener soluciones para las ecuaciones elípticas. El enfoque más comúnmente empleado es el de Gauss-Seidel, el cual, cuando es aplicado a las EDP, es también conocido como el método de Liebmann. En esta técnica, la ecuación (29.8) se expresa como

T¡+\j + TJ-\J + Tjj+i + Tjj-i (29.11)

y se resuelve de manera iterativa dey' = 1 a n y de i = l a m. Debido a que la ecuación (29.8) es diagonalmente dominante, este procedimiento convergirá finalmente en una solución estable (recuerde la sección 11.2.1). Algunas veces se emplea la sobrerrelajación para acelerar la razón de convergencia, aplicando la siguiente fórmula después de cada iteración:

j^nuevo ^j^nuevo + (1 - \)T"} 'anterior (29.12)

donde 7™!evo y jantenor g o n j Q S v a i o r e s <je j ¿e \ a iteración presente y la previa, respectivamente, y A, es un factor de peso que está entre 1 y 2.

Como con el método convencional de Gauss-Seidel, las iteraciones se repiten hasta que los valores absolutos de todos los errores relativos porcentuales ( e ^ caen dentro de un criterio preespecificado de paro es. Estos errores relativos porcentuales se estiman con

y^nuevo ânterior

jîuevo ij

100% (29.13)

EJEMPLO 29.1 Temperatura de una placa calentada con condiciones fijas en la frontera

Enunciado del problema. Úsese el método de Liebmann (Gauss-Seidel) para hallar la temperatura de la placa calentada de la figura 29.4. Empléese la sobrerrelajación con un valor de 1.5 para el factor de peso, e itérese a es = 1%.

Solución. La ecuación (29.11) en / = l,j — 1 es

y , | = 0 + 75 + 0 + 0 = 1 8 7 5

y aplicando sobrerrelajación se obtiene

'/'ll - I..KIH.75) I (I - 1.5)0 = 28.125


Para / = 2,j = 1,

0 + 28.125 + 0 + 0 = i m 2 S

4

T2[ = 1.5(7.03125) + (1 - 1.5)0 = 10.54688

Para / = 3,7 = 1,

r 3 i = 5 0 + 10.54688 + 0 + 0 = 1 5 1 3 ( ? 7 2

73i = 1.5(15.13672) + (1 - 1.5)0 = 22.70508

El cálculo se repite para los otros renglones y se obtiene

Tí2 = 38.67188 T22 = 18.45703 T 3 2 = 34.185 79 = 80.12696 723 = 74.46900 r 3 3 = 96.99554

Ya que todos los Ty son inicialmente cero, todos los ea para la primera iteración serán 100%.

Para la segunda iteración, los resultados son

Tn = 32.51953 T2X = 22.35718 T3i = 28.60108 T12 = 57.95288 r 2 2 = 61.63333 T32 = 71.86833

. 7/13 = 75.21973 7*23 = 87.95872 T33 = 67.68736

El error para Tx, puede ser estimado como [véase ecuación (29.13)]

l(ea)nl = 32.51953 -28 .12500

32.51953 100% = 13.5%

F I G U R A 2 9 . 5 Distribución de temperatura para una placa calentada sujeta a condiciones a la frontera fija.

75°C

100°C

78.59 76.06 69.71

63.21 56.11 52.34

43.00 33.30 33.89

50°C

o°c

29.2 TJtNtCA Di SOLUCIÓN' >1 vAn»n >M *M**r\ M

Debido a que este valor está arriba del criterio de paro de 1 %, el cálculo se continúa. La novena iteración da como resultado

Tu = 43.00061 T 2 1 = 33.29755 TM = 33.88506 T I 2 = 63.21152 T 2 2 = 56.11238 T32 = 52.33999 7 B = 78.58718 T23 = 76.06402 T 3 3 = 69.71050

donde el error máximo es 0.71%. En la figura 29.5 se muestran los resultados. Como se esperaba, se ha establecido un

gradiente conforme el calor fluye de altas a bajas temperaturas.

2 9 . 2 . 3 Variables secundarias

Dado que esta distribución está descrita por la ecuación de Laplace, la temperatura es la variable principal en el problema de la placa calentada. Para este caso, así como en otros problemas que involucran a las EDP, en realidad las variables secundarias pueden ser más importantes.

Para la placa calentada, una variable secundaria es la razón de flujo de calor a través de la superficie de la placa. Esta cantidad puede calcularse a partir de la ley de Fourier. Las aproximaciones de diferencia finita central para las primeras derivadas (recuerde la figura 23.3) pueden ser sustituidas en la ecuación (29.4) con el fin de obtener los siguientes valores para el flujo de calor en las dimensiones x y y:

H 2 Ax

ax = -k'T,'j+\ J " - 1 (29.15) 2 Ay

El flujo de calor resultante puede calcularse a partir de estas dos cantidades con

ON = YJQ2X + Q2

Y (29.16)

donde la dirección de qn está dada por

0 = t a n - ' ^ (29.17)

p a r a ^ > 0 y

0 = t a n " ' ^ ) + jr (29.18)

para QX < 0. Recuerde que el ángulo puede expresarse en grados al multiplicarlo por 1807JI. Si Q, - 0. 6 es n/2 (90°) o 3rc/2 (270°), dependiendo de si QY es positiva o negativa, respectivamente.


EJEMPLO 29.2 Distribución de flujo para una placa calentada Enunciado del problema. Empleando los resultados del ejemplo 29.1 pura dclcrminiii la distribución de flujo de calor para la placa calentada de la figura 29.4. Supónguse que la placa es de 40 x 40 cm y que está hecha de aluminio [k' = 0.49 cal/(s • cm • "C)j.

Solución. Para i =j = 1, la ecuación (29.14) puede usarse para calcular

cal (33.29755 - 7 5 ) ° C a = - 0 49-H x ' s - c m - ° C 2(10 cm)

y [de la ecuación (29.15)] cal (63.21152 - 0)°C

qv = - 0 . 4 9 — H } s • cm • °C 2(10 cm)

El flujo resultante puede calcularse con la ecuación (29.16):

1.022 cal/(cm 2- s)

= -1 .549 cal/(cm 2- s)

qn = 7 ( 1 . 0 2 2 ) 2 + ( -1 .549) 2 = 1.856 cal/(cm 2-s)

y el ángulo de su trayectoria está dado por la ecuación (29.17)

_i / - 1 . 5 4 9 A = T A N ' T O 2 T ) =

= -0 .98758 x 180°

= -56.584°

Así, en este punto, el flujo de calor está dirigido hacia abajo y a la derecha. Pueden calcularse los valores de los otros puntos de la malla; los resultados se muestran en la figura 29.6.

| FIGURA 2 9 . 6 ¡ Flujo de calor para una placa sujeta a temperaturas de frontera fijas. Observe que las | longitudes de las flechas son proporcionales a la magnitud del flujo.

j 100°C

75°C 50°C

2 9 . 3 C O N D I C I O N E S E N L A F R O N T E R A

Debido a que está libre de complicaciones, lu piuca rectunguliir con condiciones u la frontera fijas ha sido un contexto ideal para mostrar cómo pueden resolverse numéricamente las EDP elípticas. Ahora explicaremos con detulle otras situaciones para ampliar nuestras capacidades al enfrentar problemas más realistas. Éstos involucran condiciones en la frontera en las que se especifica la derivada, y las fronteras que tienen formas irregulares.

2 9 . 3 . 1 Condiciones f rontera de la der ivada

La condición en la frontera fija o de Dirichlet analizada hasta aquí es uno de los diferentes tipos que se usarán con las ecuaciones diferenciales parciales. Una alternativa usual es el caso donde la derivada está dada. Esta es comúnmente conocida como condición en la frontera de Neumann. Para el problema de la placa calentada, esto viene a especificar el flujo de calor, más que la temperatura en la frontera. Un ejemplo es la situación en la que un extremo está aislado. En este caso (conocido como condición en la frontera natural), la derivada es cero. Esta conclusión se extrae directamente de la ecuación (29.4), ya que el aislamiento de una frontera significa que el flujo de calor (y, consecuentemente, el gradiente) debe ser cero. Otro ejemplo podría ser donde se pierde calor a través del extremo por mecanismos predecibles tales como la radiación y la conducción.

En la figura 29.7 se muestra un nodo (0,f) en el extremo izquierdo de una placa calentada. Aplicando la ecuación (29.8) en este punto, se obtiene

Ti,

F I G U R A 2 9 . 7 I ln nodo de frontera (0,/) :.obre el extremo izquierdo de: una placa calentada. Pura aproximar la derivada normal al extremo (esto es, h derivada x), se ubica un punto imaginario ( - 1 , /') a una distancia Ax más allá del extremo.

T-ij + Toj+i + Toj-i - 4TC :0 (29.19)

Observe que un punto imaginario (— 1 ,j) que esté fuera de la placa para esta ecuación se requiere. Aunque este punto exterior ficticio podría representar un problema, realmente sirve como un vehículo para incorporar la condición a la frontera de la derivada en el problema. Esto se hace representando la primera derivada en la dimensión x en (0,f) por la diferencia finita dividida

dT „ Tu - r_u

dx 2 Ax


dT T-ij — T\j — 2 Ax dx

Ahora se tiene una relación 71] • que incluye a la derivada. Esta relación puede ser sustituida en la ecuación (29.19) para obtener

3 T

2Thj -2Ax—+ r0,;+i + To,y-i - 47b,; = 0 (29.20)

Esto es, hemos incorporado la derivada en el balance. Se pueden desarrollar relaciones similares para las condiciones frontera de las deri

vadas en los otros extremos. El siguiente ejemplo muestra cómo se hace esto para la placa calentada.


EJEMPLO 29 .3 Placa calentada con un espesor aislado

Enunciado del problema. Repítase el mismo problema del ejemplo 29.1, pero con el extremo inferior aislado.

Solución. La ecuación general que caracteriza una derivada en el extremo inferior (esto es, en j = 0) para una placa calentada es

dT 7-+i,o + T Í - L O + 27/ , i - 2 A y — - 4 7 > . 0 = 0

dy

Para un extremo aislado, la derivada es cero, y la ecuación será

7/+i,o+ 7"_1,o +27- , i - 4 7 í , 0 = 0

Las ecuaciones simultáneas para la distribución de temperatura en la placa de la figura 2 9 . 4 con un extremo inferior aislado, pueden ser escritas en forma matricial como

4

- 1

- 1

- 1

4

- 1

- 1

- 1 4

- 2

4

- 1

- 1

- 2

- 1

-1

- 1

- 2

4 - 1 - 1 4

- 1

- 1

4

- 1

- 1

- 1

- 1 4

- 1

- 1

- 1

- 1 4

- 1

4 - 1

- 1

- 1 4

- 1

- 1

- 1

r i o ' 75 720 0 730 50

ni 75 7-21 0 731 50 7-12 75 7*22 0 732 50 7-13 175 7*23 100 7"33 150

F I G U R A 2 9 . 8 Temperatura y distribución de flujo para una placa calentada sujeta a condiciones frontera fijas, excepto para un extremo inferior aislado.

75 «r

100 —•—

100 —

100 —•—

75 o 83.4^ 82.6^

74H " 5 0

o 76.0^ 72.8 \ 64.4*.. o 50 75

75 u 72 .a*. 6 8 . 3 ^ 60.6«x

71.9 07.0 59.5

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

(>50

50

Alelado

29.3 CONDICIONES EN LA FRONTSW >i -¡ Observe que, debido a las condiciones frontera de la derivada, la matriz es de tamaño 12 ! X 12, en lugar de un sistema 9 X 9 en la ecuación (29.10) para tomar en cuenta las tres

temperaturas desconocidas del extremo inferior de la placa. Estas ecuaciones pueden ser I resueltas para quedar

R I O = 7 1 . 9 1 7*20 = 6 7 . 0 1 7 3 0 = 5 9 . 5 4

R N = 7 2 . 8 1 7 2 1 = 6 8 . 3 1 7 3 1 = 6 0 . 5 7

Tu = 7 6 . 0 1 Tn = 7 2 . 8 4 Tu = 6 4 . 4 2

Tl3

= 8 3 . 4 1 7*23 = 8 2 . 6 3 7*33 = 7 4 . 2 6

Esos resultados y los flujos calculados (para los mismos parámetros que en el ejemplo 29.2) se muestran en la figura 29.8. Observe que, debido a que el extremo inferior está aislado, la temperatura de la placa es más alta que para la figura 29.5, donde la temperatura del extremo inferior está fija en cero. Además, el flujo de calor (en contraste con la figura 29.6) ahora está desviado a la derecha y se mueve paralelamente a la pared aislada.

2 9 . 3 . 2 Fronteras i r regulares

Aunque la placa rectangular de la figura 29.4 nos ha servido bien para ilustrar los aspectos fundamentales para la solución de las EDP elípticas, muchos problemas de ingeniería no muestran una geometría tan idealizada. Por ejemplo, una gran cantidad de sistemas tienen fronteras irregulares (véase figura 29.9).

La figura 29.9 es un sistema que puede servir para ilustrar cómo se pueden manejar las fronteras no rectangulares. Como se muestra, la frontera inferior izquierda es circular. Observe que tenemos parámetros añadidos (av ct , / y para cada una de las longitudes que rodean al nodo. Por supuesto, para la placa mostrada en la figura 29.9, 0^ = j82 = 1- Sin embargo, retendremos estos parámetros en la siguiente deducción, de tal

F I G U R A 2 9 . 9 Malla para una placa calentada con una frontera de forma irregular. Observe cómo se usan los coeficientes de peso para considerar el espacio no uniforme en la vecindad de la frontera no rectangular.

1 1 I 1 1 ( 1 1 >

Y 1

PzAy V

> ' 1 " >

874 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES EÜPTICAS

modo que la ecuación resultante sea aplicable a cualquier frontera irregular (y no sólo a la esquina inferior izquierda de una placa calentada). Las primeras derivadas en la dimensión x pueden ser aproximadas como

* L ) = T L ' " ' 1 ] L ¡ (29.21) dx /¡_l ¡ a\ Ax

D T \ ~ TI+\-J TJ-J (29.22) dx ) ¡ l + l a2 Ax

Las segundas derivadas se pueden obtener a partir de estas primeras derivadas. Para la dimensión x, la segunda derivada es

, , ( T ) - ( T )

d2T 3 /dT\ V 9* / , • , /+! \ 3 ^ / Í - U dx2 dx\dx) «i Ax + a 2 Ax (29.23)

Sustituyendo las ecuaciones (29.21) y (29.22) en (29.23), obtenemos

1 ',J

d2T = 2-

OL\ Ax TJ+IJ - T¡j

a2 Ax dx2 a\ Ax + c¿2 Ax

Reagrupando términos,

d2T Jx2

2 'KX2

TÍ-IJ - T,-j TI+UJ

_ai («i + a 2 ) « 2 (AI+A2)_

Se puede desarrollar una ecuación similar en la dimensión y:

d2T 2 ~Af

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación (29.6), obtenemos

2 ALE2

+

TÍ-IJ - Tjj Tj+ij - Tjj ai (ai +a2) a2 (ai +a2)_

Ay2

T¡.j I T,;,j ^ T,j, | • 7',. ; = o (29.24)

Como se ilustra en el siguiente ejemplo, la ecuación (29.24) se puede aplicar a cualquier nodo que sea adyacente a una frontera irregular del tipo de Dirichlet.

EJEMPLO 2 9 . 4 Placa calentada con una frontera irregular

I Enunciado del problema. Repllusc el mismo problema del ejemplo 29.1, pero el ex-I tremo inferior tendrá la forma que te Ilustra en la figura 29.9.

29.3 CONDICIONES EN LA FRONTM** ,'f>i' ( i-

Solución. Para el caso de la figura 29.9, A»' = Ay, a¡ = (i{ = 0.732 y — fij = 1. Sustituyendo estos valores en la ecuación (29.24), se obtiene el siguiente balance para ol nodo (1, 1):

0.788675(r0i - T n ) + 0.57735(r 2 1 - Tu)

+ 0.788675(r,0 - Tn) + 0.57735(7 ,

1 2 - Tn) = 0

Agrupando términos, podemos expresar esta ecuación como

-4Tn + 0.8453T 2i + 0 .8453r 1 2 = -1.15477bi - 1.1547r 1 0

Las ecuaciones simultáneas para la distribución de temperatura sobre la placa de la figura 29.9 con una temperatura en la frontera inferior de 75, pueden escribirse en forma matricial como

4

- 1

- 1

-0.845 4

- 1

- 1

- 1 4

-0.845

4 - 1

•1

- 1

- 1 4

- 1

- 1

- 1

- 1 4

- 1 - 1

- 1 4 -

- 1 -

Tu 173.2 T2i 75 T3i

125 Tl2 75 Tl2 0 T32 50 Tu 175 T23 100 T33 150

Estas ecuaciones pueden ser resueltas para quedar

Tu = 74.98 T21 = 72.76 T 3 1 = 66.07

Tn = 77.23 T22 = 75.00 7*32 = 66.52

Tn = 83.93 T23 = 83.48 7*33 = 75.00

F I G U R A 2 9 . 1 0 Temperatura y distribución de flujo para una placa calentada con una frontera circular.

100°C

75°C

83.93^ 83.48 ^ 75 .00 \ ^

77.23^ 75.00 \^ 66.52"^

74.98 72.76 66.07

50°C

75°C

DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES EÜPTICAS

listos resultados, junto con los flujos calculados, so muestran en la figura 29.10. Observe que los flujos se calculan de la misma muñera que en la sección 29.2.3, con la excepción de que (0C\ + c^) y (/}, + /J2) son sustituidos por los 2 en los denominadores délas ecuaciones (29.14) y (29.15), respectivamente, lin la sección 32.3 se ilustra cómo se hace esto.

Las condiciones de la derivada para fronteras de forma irregular son más difíciles de formular. En la figura 29.11 se muestra un punto cercano a una frontera irregular donde se especifica la derivada normal.

La derivada normal en el nodo 3 puede ser aproximada por el gradiente entre los nodos 1 y 7,

dT

drj

Ti-T-,

¿ 1 7 (29.25)

Cuando 0 es menor que 45°, como se muestra, la distancia del nodo 7 al 8 es Ax tan 9, y se puede usar la interpolación lineal para estimar

r 7 = r 8 + ( r 6 - r 8 ) -A x tan f

Ay

La longitud Z,1 7 es igual a Ax/cos 6. Esta longitud, junto con la aproximación para 7'7, puede sustituirse en la ecuación (29.25) para obtener

7i = A x

cos í

dT

9 ^

A x tañe? + r 6 — — + r 8

Ay

A x tan (

Ay (29.26)

Tal ecuación proporciona un significado para incorporar el gradiente normal en la aproximación de diferencias finitas. Para los casos en que 0 es mayor que 45°, debería

F I G U R A 2 9 . 1 1 Frontera curvada donde se especifica el gradiente normal.

29.4 'WMWTQhMaOHDtlVOUMMWWMm m

usarse uno ecuación diferente. La determinación de esta fórmula se dejnra como ejercicio para el lector.

2 9 . 4 L A A P R O X I M A C I Ó N D E L V O L U M E N D E C O N T R O L

Para resumir, la aproximación por diferencias finitas, o serie de Taylor, divide al continuo en nodos (véase figura 29.12a). La ecuación diferencial parcial fundamental se escribe para cada uno de estos nodos. Las aproximaciones de diferencias finitas son, entonces, sustituidas por las derivadas para convertir las ecuaciones a una forma algebraica.

Este enfoque es bastante simple y directo para mallas ortogonales (esto es, rectangulares) y coeficientes constantes. Sin embargo, esta aproximación es más difícil para condiciones de la derivada en fronteras de forma irregular.

En la figura 29.13 se muestra un ejemplo de un sistema donde surgen dificultades adicionales. La placa está hecha de dos materiales diferentes y los espacios de la malla son desiguales. Además, la mitad de su extremo superior está sujeta a transferencia de calor convectivo, mientras que la otra mitad está aislada. Desarrollar ecuaciones para el nodo (4, 2) requeriría algunas deducciones adicionales, que van más allá de las aproximaciones desarrolladas hasta este punto.

La aproximación del volumen de control (también conocida como aproximación del volumen integral) ofrece un camino alternado para aproximar numéricamente las EDP, útiles para casos tales como el de la figura 29.13. Como en la figura 29.126, el enfoque se parece a la aproximación por puntos, en la que los puntos se determinan a través del dominio. Sin embargo, más que aproximar la EDP en un punto, la aproximación se aplica al volumen que rodea al punto. Para una malla ortogonal, el volumen está formado por las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada línea que une nodos adyacentes. Un balance de calor se puede desarrollar entonces para cada volumen en una forma similar a la ecuación (29.1).

F I G U R A 2 9 . 1 2 Dos diferentes perspectivas para desarrollar soluciones aproximadas de las EDP: a) diferencias finitas y b) volumen de control.

a) Aproximación de b) Aproximación del diferencias finitas, por volumen de control

puntos


Convección Aislado I

••/.:'.-t >

A Z

Material A Material B

F I G U R A 2 9 . 1 3 Placa calentada con una malla de espacios desiguales, espaciada, dos materiales, y las condiciones frontera mezcladas.

Como ejemplo, aplicaremos la aproximación del volumen de control al nodo (4,2). Primero, el volumen se define al bisecar las rectas que unen a los nodos. Como en la figura 29.14, el volumen tiene transferencia de calor por conducción a través de sus fronteras izquierda, derecha e inferior, y la transferencia de calor convectivo a través de la mitad de su frontera superior. Observe que la transferencia que pasa a través de la frontera inferior involucra a ambos materiales.

F I G U R A 2 9 . 1 4 Volumen de control para el nodo (4, 2); las flechas indican la transferencia de calor a través de las fronteras.

29.4 LA AWOXIMACIÓN DEL VOLUMIN OTCONTROt•

Un balance de calor de oslado establo partí el volumen puede ser escrito en leí minos cualitativos como

Q_( conducción \ / conducción \ /conducción inferior \

\lado izquierdo/ \ lado derecho / \ material "a" J

_l_ /conducción inferior \ /convección\ (29 27) y material "b" / \ superior )

Ahora la razón de flujo de calor se puede representar por la versión en diferencias finitas de la ley de Fourier. Por ejemplo, para el incremento de conducción en el lado izquierdo, sería

,, 7*42 - 7*41 q = -k"—h —

donde las unidades de q son cal/cm 2/s. Entonces, esta razón de flujo se debe multiplicar por el área a través de la cual éste entra (Az x hl2), para obtener la razón de calor que entra al volumen por unidad de tiempo,

, TAI — TAI h

donde las unidades de Q son cal/s. El flujo de calor debido a la convección se puede formular como

q = hc (TA - T42)

donde hc = coeficiente de calor de convección [cal/(s • cm 2 • °C)] yTa = temperatura del aire (°C). De nuevo, multiplicando por el área adecuada obtenemos el flujo de calor por unidad de tiempo,

Q = hc (Ta - T 4 2 ) h- Az

Las otras transferencias de calor se pueden desarrollar de una manera similar; al sustituirlas en la ecuación (29.27) se obtiene

, T41 — 74i h , TA-> — TAO h

(Conducción lado izquierdo)(Conducción lado derecho)

T42 - T 3 2 h .,TA_2-Ti2h h a — — j A z ~ ^ — i — 4 Az + /tf(rfl -r42)- Az

/ Conducción inferior \ /Conducción inferior \ . . (Convección superior)

\ (material "a") / \ (material "b") /

Al sustituir los valores de los parámetros obtenemos la ecuación final de balance de calor, Por «Jemplo, si Az = 0.5 cm, h = 10 cm k'a = 0.3 cal/(s • cm • °C) k'h = 0.5 cal/(s • om • WC) y h,, ™ 0.1 cnl/(s • cm 2 • °C), In ecuación es ahora

aSO DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES EÜPTICAS

0.587.5'/:,. ().()757: i i ( ) .257:M - O . I . W / Y - • 2.5

Para hacerla comparable con el laplaciano estándar, esta ecuación puedo sor multiplica da por 4/0.5875, de modo que el coeficiente del nodo base tenga un coeficiente 4.

4T42 - 0.5 1 06 3 8 74, - 1.702 1 28 74., - 0.93617 / , 2 = 17.02128

Para los casos estándar cubiertos hasta este punto, la aproximación del volumen de control y la aproximación de diferencias finitas por puntos llegan a resultados idént icos. Por ejemplo, para el nodo (1,1) de la figura 29.13, el balance sería

n ,,T\\-Tm l,T2\-T\[ ,,Tu-T\a . , ~ ' r \ \ . 0 = —k, h Az + k„ h Az - k„ h Az + ku — // A.

h h h h

el cual se simplifica al laplaciano estándar,

0 = 4T,, — r 0 , — T21 — T\2 ~ 7*io

Veremos otros casos estándar (por ejemplo, la condición de la derivada en la frontera) y exploraremos detalles adicionales de la aproximación del volumen de control en los problemas del final de este capítulo.

2 9 . 5 S O F T W A R E P A R A R E S O L V E R E C U A C I O N E S E U P T I C A S

Modificar un programa de computadora para incluir las condiciones a la frontera de In derivada para sistemas rectangulares es una tarea relativamente directa. Esto sólo impli ca asegurarse de que se generan ecuaciones adicionales para caracterizar a los nodos frontera en los cuales se especifican las derivadas. Además, el código debe ser modifica do de tal forma que estas ecuaciones incorporen a las derivadas en la forma de la ecua ción (29.20).

Desarrollar un software general que caracterice sistemas con fronteras irregulares es un propósito muy difícil. Por ejemplo, se requeriría un algoritmo claramente involucradt > para modelar la junta ilustrada en la figura 29.15. Este algoritmo podría involucrar (ION modificaciones mayores. Primero, se tendría que desarrollar un esquema para ingresar convenientemente la configuración de los nodos e identificar cuáles están en la frontera Segundo, se requerirá un algoritmo para generar las ecuaciones simultáneas adecuadas, con base en la información de entrada. El resultado neto es que el software general pai 11 resolver las EDP elípticas (y en general todas) es relativamente complicado.

Un método usado para simplificar estos esfuerzos es requerir una malla muy finu, En estos casos, es frecuente suponer que los nodos cercanos sirvan como puntos de frontera. De esta manera, el análisis no tiene que considerar los parámetros de peso de In sección 29.3.2. Aunque esto introduce cierto error, el uso de una malla lo suficientcmcii te fina puede dar como resultado una discrepancia despreciable. Sin embargo, esto involucra un elemento de juicio debido a la carga computacional introducida al aumcndii el número de ecuaciones simultáneas.

Como consecuencia de estas consideraciones, el análisis numérico ha desarrollado enfoques alternos que difieren radicalmente de los métodos de diferencias finitas. Aun que estos métodos del elemento finito son conceptualmente más difíciles, con ellos es

PROBLEMA* •,ws * i n i

F I O U R A 2 9 . 1 5 Mi illi i de diferencias finitas '.' 'I 'i' 'puesta a una ¡unta de I* iinii i irregular.

m u c h o m á s fácil acomodar las fronteras irregulares. E n el capí tulo 31 r e to rna remos a estos métodos . Antes de hacer lo , sin embargo, descr ib i remos los enfoques de diferencias finitas para otra categoría de las E D P : las ecuaciones paraból icas .

P R O B L E M A S

l'>. I Use el método de Liebmann para hallar la temperatura de la piuca cuadrada calentada de la figura 29.4, pero ahora con la condición frontera superior aumentada a 150°C y la frontera izquierda disminuida a 25°C. Use un factor de relajación de 1.2 e itere con £ s = 1%. 2'). 2 Calcule los flujos del problema 29.1 usando los parámetros del ejemplo 29.3. 2')..? Repita el ejemplo 29.1, pero use 49 nodos interiores (esto es, Ax = Ay = 5 cm). 2<>.4 Repita el problema 29.3, pero ahora para el caso donde el ex I remo superior está aislado. 2').5 Repita los ejemplos 29.1 y 29.3, pero ahora para el caso donde el ñujo del extremo inferior está dirigido directamente Inicia abajo con un valor de 2 cal/(cm 2 • s). 2').6 Repita el ejemplo 29.5 para el caso donde las esquinas inferior izquierda y superior derecha están rodeadas de la misma manera que la esquina inferior izquierda de la figura 29.9. Observe que todas las temperaturas frontera sobre los lados superior y derecho están fijas en 50°C, y los lados inferior e izquierdo están fijos en 100°C. 2'».7 Con excepción de las condiciones fronlera, ln placa de la finura P29.7 tiene exactamente las mismas características de la placa usada en los ejemplos 23.1 u 23.4. Simulo ItiM temperaturas y los (lujos para la placa.

29.8 Escriba ecuaciones para los nodos negros de la malla de la figura P29.8. Observe que todas las unidades están en el sistema cegesimal. El coeficiente de conductividad térmica para la placa

F I G U R A P 2 9 . 7

12.5 25 37.5 50

37.5

25

12.5

Aislado

882 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES EÜPTICAS

F I G U R A P 2 9 . 9

F I G U R A P 2 9 . 8

es 0.5 cal/(s • cm • °C), el coeficiente de convección es hc = 0.01 cal/(cm2 • °C • s) y el espesor de la placa es de 1 cm. 29.9 Escriba ecuaciones para los nodos negros de la malla de la figura P29.9. Observe que todas las unidades están en el sistema cegesimal. El coeficiente de convección es hc = 0.01 cal/(cm2 • °C • s) y el espesor de la placa es de 2 cm. 29.10 Aplique la aproximación del volumen de control para desarrollar la ecuación del nodo (0,j) de la figura 29.7. 29.11 Deduzca una ecuación como la (29.26) para el caso donde 8 es mayor que 45° para la figura 29.11.

29.12 Desarrolle un programa de computadora de uso amittiihl* para poner en práctica el método de Liebmann para una pliu<n rectangular. Diseñe el programa para que calcule la temponituí A y el flujo. Pruebe el programa duplicando los resultados do lo» ejemplos 29.1 y 29.2. 29.13 Emplee el programa del problema 29.12 para resolver lo» problemas 29.1 y 29.2. 29.14 Emplee el programa del problema 29.12 para resolver «I problema 29.3.

CAPITULO 3 0

Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas

En el capítulo anterior tratamos con las EDP en estado estable. Ahora retomaremos las ecuaciones parabólicas que se emplean para caracterizar problemas dependientes del tiempo. En la última parte de este capítulo, ilustraremos cómo se hace esto en dos dimensiones espaciales para una placa calentada. Antes mostraremos cómo se puede aproxir mar al caso más simple en una dimensión.

De manera similar a la deducción de la ecuación de Laplace [véase ecuación (29.6)], se puede usar la conservación del calor para desarrollar un balance de calor en un elemento diferencial, en una barra larga y delgada aislada como la que se muestra en la figura 30.1. Sin embargo, más que examinar el caso de estado estable, este balance también considera la cantidad de calor que se almacena en el elemento sobre un periodo Ar. Es decir, el balance tiene la forma, entradas — salidas = almacenaje, o

q(x) Ay Az Ai - q(x + Ax) Ay Az Ai = Ax Ay AzpC AT

Dividiendo entre el volumen del elemento ( = Ax Ay Az) y At se obtiene

3 0 . 1 E C U A C I Ó N D E C O N D U C C I Ó N D E L C A L O R

q(x) - q(x + Ax) Ax

Tomando el límite se obtiene

dx dt

F I G U R A 3 0 . 1 Barra delgada, aislada en todos los puntos excepto en los extremos.

Callente Frío

DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

•t> l

{ > { 1 1 ¡ .1 1 ( 1 1 ( 1 l 1 - /, / + 1

-1,1- + 1,/

/ - 1 -

0, Oí m + 1 , 0 x

F I G U R A 3 0 . 2 Malla usada para la solución por diferencias finitas de las EDP parabólicas en dos varialilf. independientes, tal como la ecuación de conducción del calor. Observe que, en contrasta con la figura 29.3, la malla está abierta en los extremos en la dimensión temporal.

Sustituyendo la ley de Fourier de conducción del calor [ecuación (29.4)] se obtiene

d2T dT

que es la ecuación de conducción del calor. De la misma manera que en las EDP elípticas, las ecuaciones parabólicas pueden

ser resueltas sustituyendo las diferencias divididas finitas para las derivadas parcialeN. Sin embargo, en contraste con las EDP elípticas, ahora debemos considerar cambios en el tiempo así como en el espacio. Mientras que las ecuaciones elípticas fueron acotadiiN en todas las dimensiones relevantes, las EDP parabólicas están temporalmente abiertas en los extremos (véase figura 30.2). Debido a su naturaleza variable con el tiempo, I I IN

soluciones de estas ecuaciones involucran nuevos casos diferentes, notablemente esta bles. Éste y otros aspectos de las EDP parabólicas serán examinados en las secciones siguientes cuando presentemos dos aproximaciones de solución fundamentales: los CN quemas explícitos y los implícitos.

2 M É T O D O S E X P L Í C I T O S

La ecuación de conducción del calor requiere aproximaciones para la segunda derivad» en el espacio y para la primera derivada en el tiempo. La segunda derivada es represen tada, tal como la ecuación de Laplace, por una diferencia dividida finita central:

3 2 T T¡., - 27/ -t T¡ ,

w = -L±i—s¿—"1 i

30.2 MtFOOOSEXPLÍCITOS ^ M M , - >

la cual tiene un error (recuerde la figura 23.3) de (9[(Ax)2]. Observe que el ligero cambio en la notación es que los superíndices son usados para denotar al tiempo. Esto se hace de manera que un segundo subíndice pueda ser usado para designar una segunda dimensión espacial cuando la aproximación se extiende a dos dimensiones espaciales.

Una diferencia dividida finita hacia adelante se usa para aproximar a la derivada en el tiempo

dT r / + 1 - T¡ (30.3)

dt At

la cual tiene un error (recuerde la figura 23.1) de 0(Af). Sustituyendo las ecuaciones (30.2) y (30.3) en la ecuación (30.1), se obtiene

r/+,-2r/ + r / _ , = T¡+Í-T¡

{Ax)2 At

que puede ser resuelta para

Ti+1 = T i + k { T ¡ + ( _ 2T¡ + T¡_,) (30.5)

donde X = k Aí/(Ax)2. Esta ecuación puede ser escrita para todos los nodos interiores de la barra. Esto

proporciona entonces un medio explícito para calcular los valores en cada nodo para un tiempo posterior, con base en los valores actuales en el nodo y sus vecinos. Observe que, de hecho, esta aproximación es una manifestación del método de Euler para resolver sistemas de EDO. Es decir, si conocemos la distribución de temperatura en función de la posición en un tiempo inicial, podemos calcular la distribución en un tiempo posterior con base en la ecuación (30.5).

Una molécula computacional para el método explícito se muestra en la figura 30.3; ahí se muestran los nodos que constituyen a las aproximaciones espacial y temporal. Esta molécula puede ser comparada con otras de este capítulo para ilustrar las diferencias entre las aproximaciones.

FIGURA 3 0 . 3 Molécula computacional para la forma explícita.

K / Puntos de la malla involucrados en las diferencias en el tiempo

r\ Puntos de la malla involucrados ^-^ en las diferencias en el espacio

/

r ? \

ñ c )

886 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

EJEMPLO 30.1

i ! i I !

|

i i i !

Solución explícita para la ecuación de conducción de calor unidimensional

Enunciado del problema. Úsese el método explícito para calcular la distribución de temperatura de una barra larga y delgada que tiene una longitud de 10 cm y los siguientes valores: k' = 0.49 cal/(s • cm • °C), Ax = 2 cm y Ai = 0.1 s. En t = 0, la temperatura de la barra es cero, y las condiciones frontera están fijas en todo momento en 7/(0) — 100°C y r(10) = 50°C. Observe que la barra es de aluminio con C = 0.2174 cal/(g • °C) y p = 2.7g/cm 3 . Por lo tanto, k = 0.49/(2.7 • 0.2174) = 0.835 cm 2 / sy X = 0.835(0. l)/(2) 2

= 0.020875.

Solución. Aplicando la ecuación (30.5) se obtiene el siguiente valor en t — 0.1 s para el nodo que está en x = 2 cm:

T\ = 0 + 0.020875[0 - 2(0) + 100] = 2.0875

En los otros puntos interiores, x = 4, 6 y 8 cm, los resultados son

7/i = 0 + 0.020875[0 - 2(0) + 0] = 0

7/i = 0 + 0.020875[0 - 2(0) + 0] = 0

T\ = 0 + 0.020875[50 - 2(0) + 0] = 1.0438

En t = 0.2 s, los valores de los cuatro nodos interiores son calculados como

T\ = 2.0875 + 0 .020875[0- 2(2.0875) + 100] = 4.0878

7/^ = 0 + 0.020875[0 - 2(0) + 2.0875] = 0.043577

Tj = 0 + 0.020875[1.0438 - 2(0) + 0] = 0.021788

Tj = 1.0438 + 0.020875[50 - 2(1.0438) + 0] = 2.0439

Se continúa con el cálculo, y los resultados en intervalos de 3 segundos se ilustran en la figura 30.4. El aumento general en la temperatura con el tiempo indica que el cálculo captura la difusión de calor desde las fronteras hacia la barra.

F I G U R A 3 0 . 4

Distribución de temperatura en una barra larga y delgada, como se calculó con el método explícito descrito en la sección 30.2.

Af=0.1 Ax=2

80

40

0 4 8 x

30.2 'MÉTODOS EXPLÍCITOS I t F

3 0 . 2 . 1 Convergencia y estabil idad

Convergencia significa que conforme Ax y Ai tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximan a la solución verdadera. Estabilidad significa que los errores en cualquier etapa del cálculo no son amplificados, sino que son atenuados conforme el cálculo avanza. Se puede demostrar (véase Carnahan y cois., 1969) que el método explícito es convergente y estable si X < 1/2, o

Además, se debe observar que haciendo X < 1/2 da como resultado una solución en la cual los errores no crecen, sino que oscilan. El hecho de que X < 1/4 asegura que la solución no oscilará. También se sabe que con X— 1/6 se tiende a minimizar los errores por truncamiento (véase Carnahan y cois., 1969).

La figura 30.5 es un ejemplo de inestabilidad causada al violar la ecuación (30.6). Esta gráfica es la misma que para el caso del ejemplo 30.1, pero ahora con X — 0.735, la cual es considerablemente más grande que 0.5. Como se ve en la figura 30.5, la solución experimenta progresivamente un aumento en las oscilaciones. Esta situación continuará deteriorándose conforme el cálculo continúe.

Aunque el cumplimiento de la ecuación (30.6) mejoraría las inestabilidades de la clase mostrada en la figura 30.5, esto daría lugar a una fuerte limitación del método explícito. Por ejemplo, supongamos que Ax se divide a la mitad para mejorar la aproximación de la segunda derivada espacial. De acuerdo con la ecuación (30.6), el paso de tiempo debe ser dividido entre cuatro para mantener la convergencia y la estabilidad. Así, para realizar cálculos comparables, los pasos de tiempo deben aumentar por un factor de 4. Es más, el cálculo para cada uno de estos pasos de tiempo tomará el doble, ya que al dividir Ax a la mitad se duplica el número total de nodos para los cuales se deben escribir las ecuaciones. En consecuencia, para el caso unidimensional, reducir Ax a la mitad da como resultado un aumento de ocho veces en el número de cálculos. Así, la carga computacional puede ser grande como para alcanzar una aceptable exactitud. Como describiremos en breve, otras técnicas disponibles no tienen tan severas limitantes.

3 0 . 2 . 2 Condiciones f rontera de la derivada

Como en el caso de las EDP elípticas (recuerde la sección 29.3.1), las condiciones frontera de la derivada pueden ser rápidamente incorporadas a las ecuaciones parabólicas. Para una barra unidimensional, es necesario agregar dos ecuaciones para caracterizar el balance de calor en los nodos extremos. Por ejemplo, el nodo del extremo izquierdo (/ = 0) se representaría por

Así, se ha introducido un punto imaginario en / = — 1 (recuerde la figura 29.7). Sin embargo, como en el caso elíptico, este punto proporciona un vehículo para incorporar en el análisis la derivada de las condiciones frontera. El problema 30.2, que está al final de este eipltulo, Irala con este ejercicio.

1 Ax 2

(30.6)

+ X(T¡ -2T¿ + T'_,)

DIFERENCIAS FINITAS; ECUACIONES PARABÓLICAS

0 4 8 X

F I G U R A 3 0 . 5 Ilustración de la inestabilidad. Solución del ejemplo 3 0 . 1 , pero con X = 0 .735.

3 0 . 2 . 3 A P R O X I M A C I O N E S T E M P O R A L E S D E O R D E N S U P E R I O R

La idea general de volver a expresar la EDP como un sistema de EDO, algunas veces es llamada método de líneas. Obviamente, una manera de mejorar la aproximación de Eulcr usada anteriormente sería emplear un esquema de mayor exactitud en la integración para resolver las EDO. Por ejemplo, el método de Heun puede emplearse para obtener una exactitud temporal de segundo orden. Un ejemplo de esta aproximación es conocida como método de MacCormack. liste y otros métodos explícitos mejorados son analizados en otros libros (por ejemplo, V É 1 M Hoffmann, 1992).

30.3 U N MÉTODO IMPLÍCITO SIMPLE

3 0 . 3 U N M É T O D O I M P L Í C I T O S I M P L E

Como ya lo hemos mencionado, las formulaciones explícitas por diferencias finitas tienen problemas de estabilidad. Además, como se ilustra en la figura 30.6, excluyen información que tiene importancia en la solución. Los métodos implícitos superan ambas dificultades a expensas de usar algoritmos más complicados.

La diferencia fundamental entre las aproximaciones explícitas y las implícitas se ilustra en la figura 30.7. Para la forma explícita, aproximamos la derivada espacial en el nivel de tiempo / (véase figura 30.7a). Recuerde que cuando sustituimos esta aproximación en la ecuación diferencial parcial, obtuvimos una ecuación en diferencias (30.4) con una sola incógnita T¡+1. Así, podemos despejar "explícitamente" esta incógnita como en la ecuación (30.5).

En los métodos implícitos, la derivada espacial es aproximada en un nivel de tiempo posterior / + 1. Por ejemplo, la segunda derivada podría ser aproximada por (véase figura 30.76)

riOURA 30.6 No|)Kisentación del efecto de lii.h ni ios nodos sobre la ii|intimación por illlmoncias finitas para el in ido (/, /) usando un «quema explícito por dllurencias finitas. Los nodos Hombreados tienen una Inlluencia sobre (/, /), en luí ilo que los nodos no Hombreados, los cuales i iludan a (/, /), se han uxduido.

o- - - o i i i i

Ó---Ó i i Condición en la frontera

Condición inicial

F I G U R A 3 0 . 7 Moléculas computacionales que muestran las diferencias lundamentales entre los métodos a) explícitos y b) implícitos.

Puntos de la malla involucrados en las diferencias en el tiempo

Q Puntos de la maílla involucrados en las diferencias en el espacio

/ + 1 \ /

c / \

c ) y. )

/ + 1 r ") A C ) y.

\ /

)

/ \

>•• h «Up $m>% I 1+ 1

/ - 1 / / +1

£)) Implícito

DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

" ' - ! ~ < (30.7) ¡h-1 (A.v)-'

la cual tiene una exactitud de segundo orden. Cuando esta relación es sustituida en In EDP original, la ecuación en diferencias resultante contiene varias incógnitas. Así, no puede ser resuelta explícitamente por simples rearreglos algebraicos, como se hizo puní pasar de la ecuación (30.4) a la (30.5). En lugar de esto, el sistema completo de ecuaciones debe ser resuelto simultáneamente. Esto es posible porque junto con las condiciones en la frontera, las formulaciones implícitas dan como resultado un conjunto de ecuaciones lineales algebraicas con el mismo número de incógnitas. De esta manera, el método se reduce a la solución de un conjunto de ecuaciones simultáneas en cada punto en un tiempo.

Para ilustrar cómo se hace esto, sustituimos las ecuaciones (30.3) y (30.7) en ln ecuación (30.1), para obtener

T ' + l 1 T Í + 1 , Tl+l Tl+l rj,¡

kli+i £ l ¡ +1¡-\ _ h ~

(Ax)2 At

la cual puede expresarse como

-A.7//+1 + (1 + 2X)T¡+1 - XT¡+{ = T¡ (30.8)

donde X — k At/(Ax)2. Esta ecuación se aplica en todos los nodos, excepto en el primero y en el último, los cuales deben ser modificados para contener las condiciones en lu frontera. Para el caso en el que están dados los niveles de temperatura en los extremos do la barra, la condición frontera en el extremo izquierdo de la barra (/' = 0) se puede expresar como

r 0

, + 1 = f0(t'+l) (30.9)

donde f0(tl+1) = función que describe cómo cambia con el tiempo la temperatura en la frontera. Al sustituir la ecuación (30.9) en la ecuación (30.8), se obtiene la ecuación cu diferencias para el primer nodo interior (i = 1):

(I + 2 A ) r / + 1 - XT2

l+l = T[ +Xf0(tl+l) (30.10)

De manera similar, para el último nodo interior (i = m),

-XTl+}x + (1 + 2X)T>+X =T'm+ Xfm+l(t'+[) (30.11)

doüdefm+ x(t ) describe los cambios específicos de temperatura en el extremo derecho de la barra (i = m + 1).

Cuando las ecuaciones (30.8), (30.10) y (30.11) son escritas para todos los nodo» interiores, el conjunto resultante de m ecuaciones algebraicas lineales tiene m incógnl* tas. Además, el método tieno la ventaja extra de que el sistema es tridiagonal. Asi, podo mos utilizar algoritmos de solución extremadamente eficientes (recuerde la sección 11,1.1) diiponibleí p ú a íiitemai t r i d ^ M M i p ^ »

30.3 ÜN MÉTODO IMPLÍCITO SIMPLE

I¥1 EJEMPLO 30 .2 Solución implícita simple para la ecuación de conducción del calor

! Enunciado del problema. Úsese la aproximación por diferencias finitas implícita para ü resolver el mismo problema del ejemplo 30.1.

\ Solución. Para la barra del ejemplo 30.1, X = 0.020875. Por tanto, en t = 0, la ecua-í ción (30.10) puede ser escrita para el primer nodo interior como

| í 1.041757! - 0.0208757/' = 0 + 0.020875(100)

1.041757/J - 0.0208757/2' = 2.0875

De manera similar, las ecuaciones (30.8) y (30.11) pueden aplicarse a los otros nodos interiores. Esto nos conduce al siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas:

1.04175 -0.020875 \T\\ ' 2.0875 -0.020875 1.04175 -0.020875 n 0

-0.020875 1.04175 -0.020875 1 3 0 -0.020875 1.04175 7/1 1.04375

que puede ser resuelto para la temperatura en t = 0.1 s:

T\ = 2.0047

T\ = 0.0406

T\ = 0.0209

T\ = 1.0023

Observe que, en contraste con el ejemplo 30.1, todos los puntos han cambiado desde la condición inicial durante el primer paso de tiempo.

Al resolver para las temperaturas en t — 0.2, el vector del lado derecho debe modificarse considerando los resultados del primer paso, como en

4.09215 0.04059 0.02090 2.04069

Entonces, las ecuaciones simultáneas pueden ser resueltas para las temperaturas en t = 0.2 s:

T2 = 3.9305

i 2 = 0.1190

0.0618

1.9653


Mientras que el método implícito descrito es estable y convergente, tiene el defecto de que la aproximación en diferencias temporal es exacta de primer orden, en tanto que la aproximación en diferencias espacial es exacta de segundo orden (véase figura 30.8). En la siguiente sección presentaremos un método implícito alterno que remedia esta situación.

Antes de proceder, debemos mencionar que, aunque el método implícito simple es incondicionalmente estable, hay una exactitud límite para el uso de grandes pasos de tiempo. En consecuencia, no es mucho más eficiente que las aproximaciones explícitas para la mayoría de los problemas que varían con el tiempo.

Esto se destaca en problemas de estado estable. Recuerde del capítulo 29 que una forma de Gauss-Seidel (método de Liebmann) puede usarse para obtener soluciones de estado estable para las ecuaciones elípticas. Una aproximación alterna podría ser correr una solución variable en el tiempo hasta que alcance un estado estable. En estos casos, debido a que los resultados intermedios inexactos no son un problema, los métodos implícitos permiten emplear grandes pasos de tiempo, y así poder generar un estado estable de manera eficiente.

3 0 . 4 E L M É T O D O DE C R A N K - N I C O L S O N

El método de Crank-Nicolson proporciona un esquema implícito alterno que es exacto de segundo orden tanto en espacio como en tiempo. Para proporcionar esta exactitud, se desarrollan las aproximaciones por diferencias en el punto medio del incremento en el tiempo (véase figura 30.9). Para hacer esto, la primera derivada temporal puede ser aproximada en t 1 + 1 , 2 por

9 7

~d7 nZ + l

- 7

At (30.12)

La segunda derivada en el espacio puede ser determinada en el punto medio al promediar las aproximaciones por diferencias al inicio (í') y al final (tl+') del incremento del tiempo

d2T

Jx2

7 ; + i - 2 7 7 + Ti

(Ax)2

í + i

+ <W+1 ^7^1

(Ax) + 7 * + '

A2 (30.13)

F I G U R A 3 0 . 8 Molécula computacional para el método implícito simple. X o

Puntos de la malla involucrados en las diferencias en el tiempo Puntos de la maílla involucrados en las diferencias en el espacio

c 7\ C ) SI

\ /

)

/ \

F I G U R A 3 0 . 9 Mi ilócula computacional i»un el método de Crank-Mli c ílson.

X o Puntos de la malla Involucrado! en las diferencias en al tlampo , Puntos de la maílla involucrados en las diferencias en el espacio

f/ + i (I + 1/2

f

r A c K

r

) y. i "i K

-X \

A c )

\ ) y. )

Sustituyendo las ecuaciones (30.12) y (30.13) en la ecuación (30.1) y reagrupando términos, se obtiene

-A.7/+1 + 2 ( 1 + X)T¡'+1 •2(1 -X)T¡ + XT¡_

+i (30.14)

donde X = k Af/(Ax)2. Como en el caso de la aproximación implícita simple, las condiciones frontera de T0 = f0(t ) y Tm+X = fm+l(t ) pueden ser prescritas para deducir versiones de la ecuación (30.14) para el primero y el último nodos interiores. Para el primer nodo interior

(30.15) 2(1 + X)T¡+1 - XT¡+1 = Xf0(t') + 2(1 - X)T( + XT¡ + Xf0(t'+l)

y para el último nodo interior,

-XT'nl\ + 2(1 + X)T'm

+l = Xfm+l (t1) + 2(1 - A.)rj, + XT^ + Xfm+Í (t'+l) (30.16)

Aunque las ecuaciones (30.14) a (30.16) son ligeramente más complicadas que las ecuaciones (30.8), (30.10) y (30.11), también son tridiagonales y, por tanto, se pueden resolver de manera eficiente.

EJEMPLO 30.3 Solución de Crank-Nicolson para la ecuación de conducción del calor

Enunciado del problema. Úsese el método de Crank-Nicolson para resolver el mismo problema que en los ejemplos 30.1 y 30.2.

Solución. Las ecuaciones (30.14) a (30.16) pueden ser usadas para generar el siguiente conjunto tridiagonal de ecuaciones:

2.01475 (1.020875

-0.020875 2.01475 -0.020875

-0.020875 2.01475 •0.020875

-0.020875 2.01475

[7¡1 4.175 7", 0

A 0

n 2.OK75


el cual puede ser resuelto para las temperaturas en I *» 0.1 s:

T\ = 2 . 0 4 5 0

T\ = 0.0210

T\ =0 .0107

T\ = 1.0225

Al resolver para las temperaturas en t = 0.2 s, el vector del lado derecho debe ser cambiado a

T\ = 0.0422

T2

4 = 2.0036

3 0 . 4 . 1 Comparación de los métodos unidimensionales

La ecuación (30.1) puede ser resuelta analíticamente. Por ejemplo, hay una solución disponible para el caso en el que la temperatura de la barra está inicialmente en cero. En t = 0, la condición frontera en x — L es elevada instantáneamente a un nivel constante de T, mientras que T(0) es mantenida en cero. Para este caso, la temperatura puede calcularse por (véase Jenson y Jeffreys, 1977)

donde L = longitud total de la barra. Esta ecuación puede emplearse para calcular lu evolución de la distribución de temperaturas para cada condición en la frontera. Entonces, la solución total puede determinarse por superposición.

] Enunciado del problema. Compárese la solución analítica de la ecuación (30.17) con los resultados numéricos obtenidos con las técnicas explícita, implícita simple y de Crank-

\ Nicolson. Realícese esta comparación para la barra empleada en los ejemplos 30.1, 30.2

| Solución. Recordemos de los ejemplos anteriores que k — 0.835 cm 2/s, L = lOcmy I Ax = 2 cm. Para este caso, usamos la ecuación (30.17) para predecir que la temperatura I que hay en x = 2 cm y I - 10 s será igual a 64.8018. En la tabla 30.1 se presentan

8.1801 0.0841 0.0427 4.0901

¡ Entonces, las ecuaciones simultáneas pueden ser resueltas para ! T\ = 4.0073

\ T\ = 0.0826

(30.17)

EJEMPLO 30 .4 Comparación de las soluciones numérica y analítica

y 30.3.

30.5 ECUACIONES PARABÓLICAS EN DOS DIMENSIONES ESPACIALES 893

predicciones numéricas de T{2, 10). Observe que se ha empleado un rango de pusos do tiempo. Estos resultados indican algunas propiedades de los métodos numéricos. Primera, es posible ver que el método explícito es inestable para X grandes. Esta inestabilidad no se manifiesta para cualquier enfoque implícito. Segundo, el método de Crank-Nicolson converge más rápidamente conforme X decrece, y proporciona resultados moderadamente precisos aun cuando X sea relativamente grande. Estos resultados eran de esperarse ya que Crank-Nicolson tiene una exactitud de segundo orden con respecto a ambas variables independientes. Por último, observe que conforme X disminuye, parecerá que los métodos convergen a un valor de 64.73, que es diferente del resultado analítico de 64.80. Esto no es sorprendente, ya que se ha usado un valor fijo de Ax = 2 para caracterizar la dimensión x. Si Ax y Ar disminuyen conforme X decrece (es decir, si se usaran más segmentos espaciales), la solución numérica sería más cercana al resultado analítico.

T A B L A 30 . 1 Comparación de los tres métodos para resolver una EDP parabólica: la barra calentada. Los resultados mostrados corresponden a la temperatura en t = 10 s en x = 2 cm para la barra de los ejemplos 30. ] a 30.3. Observe que la solución analítica es T[2, 10) = 64.8018.

\ Explícito Implícito Crank-Nicolson

10 2.0875 208.75 53 .01 7 9 . 7 7 5 1.04375 - 9 . 1 3 58 .49 6 4 . 7 9 2 0 .4175 67 .12 62 .22 6 4 . 8 7 1 0 .20875 65 .91 63 .49 64 .77 0.5 0 .104375 65 .33 64 .12 64 .74 0.2 0 .04175 64 .97 64 .49 64 .73

A menudo, el método de Crank-Nicolson se emplea para resolver EDP parabólicas en una dimensión espacial. Su ventaja será aún más pronunciada para aplicaciones más complicadas, tales como las que involucran espacios desigualmente divididos. Por lo general, la ventaja de estos espacios no uniformes es que se tiene un conocimiento previo de que la solución varía rápidamente en porciones locales del sistema. Se pueden encontrar análisis de tales aplicaciones y del método de Crank-Nicolson en diferentes fuentes (Ferziger, 1981; Lapidus y Pinder, 1982; Hoffman, 1992).

E C U A C I O N E S P A R A B Ó L I C A S E N D O S D I M E N S I O N E S E S P A C I A L E S

La ecuación de conducción del calor se puede aplicar a más de una dimensión espacial. Para dos dimensiones, su forma es

(30.18)

Uní ipllotoión de esta ecuación es modelar la distribución de temperatura sobre la cara de U M pl ioi calentada. Sin embargo, más que caracterizar su distribución de oslado


estable (como se hizo en el capitulo 29), la ecuación (30.18) proporciona un medio para calcular la distribución de temperatura de la placa conforme cambia en el tiempo.

3 0 . 5 . 1 Esquemas estándar explícito e implícito

Se puede obtener una solución explícita sustituyendo en la ecuación (30.8) las aproximaciones por diferencias finitas de la forma de las ecuaciones (30.2) y (30.3). Sin embargo, como en el caso unidimensional, esta aproximación está limitada por un criterio de estabilidad restringido. Para el caso en dos dimensiones, el criterio es (véase Davis, 1984)

Así, para una malla uniforme (Ax = Ay), X = kAt/Á(x)2 debe ser menor o igual que 1/4. En consecuencia, dividir a la mitad el tamaño del paso cuadruplica el número de nodos y multiplica por 16 el esfuerzo computacional.

Como en el caso de sistemas unidimensionales, las técnicas implícitas ofrecen alternativas que garantizan estabilidad. Sin embargo, la aplicación directa de los métodos implícitos, tales como la técnica de Crank-Nicolson, nos lleva a la solución de m X n ecuaciones simultáneas. Además, cuando están escritas para dos o tres dimensiones espaciales, estas ecuaciones pierden la valiosa propiedad de ser tridiagonales. De esta manera, el almacenamiento de la matriz y el tiempo de cálculo pueden resultar muy grandes. El método descrito en la siguiente sección ofrece una manera de resolver esta disyuntiva.

3 0 . 5 . 2 El esquema IDA

El esquema implícito de dirección alterna, o esquema IDA, proporciona un medio para resolver ecuaciones parabólicas en dos dimensiones espaciales que usan matrices tridiagonales. Para hacer esto, cada incremento de tiempo es ejecutado en dos pasos (véase figura 30.10). Para el primero, la ecuación (30.18) es aproximada por

A ^ 8

1 (Ax) 2 + (Ay) 2

8 *

F I G U R A 3 0 . 1 0 Los dos medios pasos usados en la

• Explícito o Implícito

implementación del esquema implícito de dirección alterna para resolver ecuaciones parabólicas en dos dimensiones espaciales.

xi x¡ + 1

a) Primer medio paso

tí) Segundo medio paso

30.5 ECUACIONES PARABÓLICAS EN'DOS DIMENSIONES ESPACIALES

A í / 2

27 V 7 . / 1 1 / . '

( A x ) 2

I \/L , ...IWI2--'¡..I 1 '/../ I

( A v ) ;

(30.19)

Así, la aproximación de d 2773x 2 está escrita explícitamente (es decir, en el punto base t', donde son conocidos los valores de la temperatura. En consecuencia, sólo se conocen los tres términos de la temperatura de la aproximación dPT/dy2. Para el caso de una malla cuadrada (Ay = Ax), esta ecuación se puede expresar como

- X T ! £ { 2 + 2(i + X)T;V» - XT;JI'C = X T ¡ _ { J + 2(i - X ) ^ , , „ I + L J

- / + 1 / 2 -./ + 1/2 XTL

(30.20)

la cual, cuando está escrita para el sistema, da como resultado un conjunto tridiagonal de ecuaciones simultáneas.

Para el segundo paso, que vade t t + m a tl+\la ecuación (30.18) es aproximada por

1 + 1/2

At/2 = k

T i + i 1Í+\.J

( A x ) 2 + T / + l / 2 0 T / + l / 2 T / + l / 2 -1'.J+\ Z 1 i J + i / . J - 1

(Ay) 2

(30.21)

En contraste con la ecuación (30.19), la aproximación de 3 2773x 2 ahora es implícita. Así, la alternativa introducida por la ecuación (30.19) será parcialmente corregida. Para una malla cuadrada, la ecuación (30.21) puede escribirse como

-XT¡+lj + 2(1 + K)T¡y - X T ^ j i+i " / + i _ X T L + 1 / 2

• J-i •2(1 - K ) T ¡ j l / 2 +XT¡'jl/2

(30.22)

De nuevo, cuando está escrita para una malla en dos dimensiones, la ecuación se convierte en un sistema tridiagonal (véase figura 30.11). Como en el siguiente ejemplo, esto nos conduce a una solución numérica eficiente.

F I G U R A 3 0 . 1 1 El método IDA sólo da como resultado ecuaciones tridiagonales, si se aplica a lo largo de la dimensión que es implícita. Esto es, en el primer paso a), es aplicado a lo largo de la dimensión y, en el segundo paso 6), a lo largo de la dimensión x. Estas "direcciones alternas" son la raíz del nombre del método.

y'=3

y=2

7 = 1

/ = 1 \=2 ; = 3

A) Primera dirección

/ = 1 i =2 i =3

b) Segunda dirección


EJEMPLO 30 .5 Método IDA

Enunciado del problema. Úsese el método IDA para encontrar la temperatura de la i placa de los ejemplos 29.1 y 29.2. En t — 0, suponga que la temperatura de la placa es

cero y las temperaturas en la frontera son llevadas de manera instantánea a los niveles mostrados en la figura 29.4. Empléese un tamaño de paso de 10 s. Recuerde del ejemplo 30.1 que el coeficiente de difusividad térmica para el aluminio es k = 0.835 cm 2/s.

Solución. Se empleó un valor de Ax = 10 cm para caracterizar la placa de 40 x 40 cm \ de los ejemplos 29.1 y 29.2. Por tanto, X = 0.835(10)/(10) 2 = 0.0835. Para el primer

paso en t = 5 (véase figura 30.1 la) , la ecuación (30.20) se aplica a los nodos (1, 1), • (1, 2) y (1, 3), que conducen a las siguientes ecuaciones tridiagonales:

2.167 -0 .0835 -0 .0835 2.167 -0 .0835

c r -0 .0835 2.167

las cuales pueden ser resueltas para

Ti,! = 3.01060 Ti,2 = 3.2708 T{,3 = 6.8692

De manera similar, las ecuaciones tridiagonales pueden ser desarrolladas y resueltas para

T2,i = 0.1274 72,2 = 0.2900 T2,3 =4 .1291

6.2625 Tl.2 6.2625 Tl.3 14.6125

y

T3,i = 2.0181 TX2 = 2.2477 r 3 , 3 = 6.0256

Para el segundo paso en t = 10 (véase figura 30.1 Ib), la ecuación (30.22) se aplica a los nodos (1, 1), (2, 1) y (3,1) para obtener

F I G U R A 3 0 . 1 2 Solución para la placa calentada del ejemplo 30.5 en a) t = 100 s, b) t = 200 s y c) f = 300 s.

60.76 52.57 53.02 • • •

72.82 68.17 64.12 • • •

76.54 73.29 67.68 • • •

41.09 27.20 31.94 • • •

55.26 45.32 44.86 • • •

60.30 52.25 49.67 • • •

28.56 14.57 20.73 • • •

37.40 25.72 28.69 • • •

40.82 30.43 31.96 • • •

«) r - 1 oo • C ) f - 3 0 0 i

PROBLEMAS 8ff

2.167 -0 .0835 -0.0835 2.167 -0 .0835

-0 .0835 2.167

la cual puede ser resuelta para

r u = 5.5855 7/2,i = 0.4782

Ti.i 13.0639 • = • 0.2577

7*3,1 8.0619

T 3,i = 3.7388

Las ecuaciones tridiagonales para los otros renglones pueden ser desarrolladas y resueltas para

r , , 2 = 6.1683 r 2 , 2 = 0.8238 7 3 , 2 = 4.2359

T u = 13.1120 72 ,3 = 8.3207 ' 3 ,3 11.3606

El cálculo puede repetirse, y los resultados para t = 100, 200 y 300 s se ilustran en las figuras 30.12a a 30.12c. Como se esperaba, la temperatura de la placa aumenta. Después de transcurrir un tiempo suficiente, la temperatura se aproxima a la distribución de estado estable de la figura 29.5.

El método IDA es una de las técnicas de un grupo conocido como métodos fuertes; algunos de éstos representan esfuerzos para subsanar los defectos del IDA. En muchas referencias se pueden encontrar análisis de otros métodos fuertes, así como más información del IDA (Ferziger, 1981; Lapidus y Pinder, 1982).

P R O B L E M A S

30.Í Repita el ejemplo 30.1, pero use el método de Heun (sin iterar el corrector) para generar su solución. 30.2 Repita el ejemplo 30.1, pero ahora para el caso en el que la barra está inicialmente a 50°C, y la derivada en x = 0 es igual a 1 y en x = 10 es igual a 0. Interprete sus resultados. 30.3 Repita el ejemplo 30.1, pero ahora para un tiempo de paso Ai = 0.05 s. Calcule los resultados para t = 0.2, y compárelos con los del ejemplo 30.1. 30.4 Repita el ejemplo 30.2, pero ahora para el caso en el que la derivada en x = 10 es igual a cero. 30.5 Repita el ejemplo 30.3, pero ahora con Ax = 1 cm. 30.6 Repita el ejemplo 30.5, pero ahora para la placa descrita en el problema 29.1. 30.7 La ecuación de advección-difusión se usa para calcular la distribución de la concentración a lo largo de un reactor químico rectangular (véase la sección 26.1),

d 2c U-

dc •kc

de . — = D- , . dt dx 1 dx

donde c = concentración (mg/m3), t = tiempo (min), /) = coeficiente de difusión (m2/min), x = distancia a lo largo del eje

longitudinal del tanque (m) donde x = 0 en la entrada del tanque, U = velocidad en la dirección x (m/min), y k = razón de reacción (min - 1 ) por medio de cual el químico decae a otra forma. Desarrolle un esquema explícito para resolver numéricamente esta ecuación. Compruebe esto para k = 0.1, D — 100 y U — 1 para un tanque de longitud 10. 30.8 Desarrolle un programa de computadora, de uso amigable, para el método explícito de la sección 30.2. Compruébelo duplicando el ejemplo 30.1. 30.9 Modifique el programa del problema 30.8, de tal manera que emplee las condiciones frontera de la derivada. 30.10 Desarrolle un programa de computadora, de uso amigable, para poner en práctica el esquema implícito simple de la sección 30.3. Compruébelo duplicando el ejemplo 30.2. 30.11 Desarrolle un programa de computadora, de uso amigable, para poner en práctica el método de Crank-Nicolson de la sección 30.4. Compruébelo duplicando el ejemplo 30.3. 30.12 Desarrolle un programa de computadora, de uso amigable, para el método IDA descrito en la sección 30.5. Compruébelo duplicando el ejemplo 30.5.

CAPÍTULO 31

Método del elemento finito

Hasta aquí hemos empleado métodos de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. En estos métodos, el dominio de solución es dividido en una malla de puntos discretos o nodos (véase figura 31.1 b). Entonces, se escribe la EDP para cada nodo y sus derivadas se reemplazan por diferencias finitas divididas. Aunque tal aproximación por puntos es conceptualmente fácil de entender, tiene varios defectos. En particular, se vuelve más difícil de aplicar en sistemas de geometría irregular, con condiciones a la frontera no usuales o de composición heterogénea.

El método del elemento finito proporciona una alternativa que es más adecuada para tales sistemas. En contraste con las técnicas por diferencias finitas, el método del elemento finito divide el dominio de solución en pequeñas regiones, o "elementos" (véase figura 31. le). Se puede desarrollar una solución aproximada para la EDP de cada uno de estos elementos. La solución total se genera, entonces, enlazando, o "ensamblando", las soluciones individuales sin descuidar la continuidad en las fronteras entre los elementos. Así, la EDP se puede resolver en un modo por secciones.

F I G U R A 3 1 . 1

o) Empaque de geometría irregular y composición no homogénea, o) Este sistema es muy difícil de modelar con una aproximación por diferencias finitas. Esto se debe al hecho de que se requieren aproximaciones complicadas en las fronteras del sistema y en las fronteras entre las regiones de diferente composición, c) Una discretización por elemento finito es mucho más adecuada para tales sistemas.

c)

31.1 EL ENFOQUE GENERAL >(>,., *vvr%>

Como en la figura 31.1c, el uso de elemcnton, en lugar de una malla rectangular, proporciona una mucho mejor aproximación para sistemas con formas irregulares. Además, los valores de las incógnitas pueden generarse continuamente a través de todo el dominio de la solución en lugar de puntos aislados.

Debido a que una descripción completa va más allá del alcance de este libro, en este capítulo se proporciona sólo una introducción general al método del elemento finito. Nuestro objetivo principal es introducir cómodamente al lector en esta aproximación y darle a conocer sus capacidades. En esencia, en la siguiente sección se realiza una revisión general de los pasos involucrados en la solución típica de un problema usando el elemento finito. Después analizamos un ejemplo simple: una barra calentada en estado estable en una dimensión. Aunque este ejemplo no involucra a las EDP, nos permite desarrollar y demostrar los principales aspectos de la aproximación por elemento finito, libre de obstáculos por complicados factores. Entonces podemos analizar algunas aplicaciones que involucran el empleo del método del elemento finito para las EDP.

3 1 . 1 E L E N F O Q U E G E N E R A L

Aunque las particularidades varían, la puesta en práctica de la aproximación del elemento finito por lo general sigue un procedimiento paso a paso. En seguida se proporciona una breve revisión de cada uno de estos pasos. La aplicación de éstos en problemas de ingeniería se desarrollará en las secciones subsecuentes.

3 1 . 1 . 1 Discretización

Este paso involucra dividir el dominio de la solución en elementos finitos. En la figura 31.2 se proporcionan ejemplos de los elementos empleados en una, dos y tres dimensiones. Los puntos de intersección de las líneas que unen los lados de los elementos son conocidos como nodos, y los lados mismos son conocidos como líneas nodales o planos.

3 1 . 1 . 2 Ecuaciones de los elementos

El siguiente paso consiste en desarrollar ecuaciones para aproximar la solución de cada elemento. Esto involucra dos pasos. Primero, se debe elegir una apropiada función con coeficientes desconocidos, que será usada para aproximar la solución. Segundo, evaluamos los coeficientes de modo que la función se aproxime a la solución de una manera óptima.

Elección de las funciones de aproximación. Debido a que son fáciles de manipular matemáticamente, los polinomios son empleados a menudo para este propósito. Para el caso unidimensional, la alternativa más simple es un polinomio de primer orden o línea recta.

u(x)=a0+aix (31.1)

donde u(x) — la variable dependiente, a0 y a, — constantes y x = la variable independiente. Bata función debe pasar a través de los valores de u(x) en los puntos extremos del elemento en x¡ y xv Por tanto,

902 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

Elemento línea, c!'*

a) En una dimensión

Elemento cuadrilátero

Nodo

\ Línea nodal

• " Y y-. i V tri

Elemento triangular

b) En dos dimensiones

Elemento hexaedro

c) En tres dimensiones

F I G U R A 3 1 . 2 Ejemplos de los elementos empleados en a) una, b) dos y c) tres dimensiones.

u\ = an + a\X\

ui = ÜQ + a\%2

donde ux = u(xy) yu2 = u(x2). Estas ecuaciones pueden ser resueltas usando la regla de Cramer para

U1X2 — M 2 * l U2 — U\ a0 = ^ =

X2 — Xi X2— X\

Entonces, estos resultados pueden ser sustituidos en la ecuación (31.1) la cual, después de reagrupar términos, se puede escribir como

u = NiUi+N2u2 (31.2)

donde

N l = (31.3) x2 - X\

31.1 EL ENFOQUE GENERAL'

do 1 Nodo 2

a)

F I G U R A 3 1 . 3 Una aproximación lineal o lunción de forma para a) un elemento lineal b) Una aproximación lineal o función de forma para a] un elemento lineal. Las correspondientes funciones de interpolación se muestran en c) y d).

La ecuación (31.2) es conocida como fundón aproximación, o de forma, y N{ y <V2 so denominan funciones de interpolación. Una inspección cuidadosa revela que la ecuación (31.2) es, de hecho, el polinomio de interpolación de Lagrange de primer orden. Dicha ecuación proporciona un medio para predecir los valores intermedios (esto es, a interpolar) entre los valores dados u{ y u2 en los nodos.

La figura 31.3 muestra la función de forma junto con las correspondientes funciones de interpolación. Observe que la suma de las funciones de interpolación es igual a uno.

Además, el hecho de que estemos tratando con ecuaciones lineales facilita la diferenciación y la integración. Tales manipulaciones serán importantes en las últimas secciones. La derivada de la ecuación (31.2) es

du dN\ dx dx

DN2

dx U2 (31.5)

De acuerdo con las ecuaciones (31.3) y (31.4), las derivadas de las N pueden calcularse como

dNi dx

1 dN2

dx 1

X2 ~X\

y, por tanto, la derivada de u es

du 1

x2 - X\

dx X2 - X\ • ( — M Í + u2)

(31.6)

(31.7)

En otras palabras, ésta es una diferencia dividida que representa la pendiente de la línea recta que conecta los nodos.

La integral se puede expresar como

NX2 RX2

I u dx = I NiU]+N2u2dx JX\ J X\

Cada término del lado derecho es solamente la integral de un triángulo rectángulo de base x2 — x{ y altura u. Esto es,

/ J X]

X2 l Nu dx = -(x2 — x{)u

Así, la integral completa es

X2 ux+u2 u dx = —-— (x2 — x\) (31.8)

En otras palabras, esto es simplemente la regla del trapecio.

Obtención de un ajuste óptimo de la función de la solución. Una vez que se elige la función de interpolación, se debe desarrollar la ecuación que determina el comportamiento del elemento. Esta ecuación representa un ajuste de la función a la solución de la ecuación diferencial fundamental. Se dispone de varios métodos para este propósito;


entre los más comunes están los del enfoque directo, el método de los residuos ponderados y la aproximación variacional. Los resultados de todos estos métodos son análogos al ajuste de curvas. Sin embargo, en lugar de ajustar las funciones a los datos, estos métodos especifican las relaciones que existen entre las incógnitas de la ecuación (31.2) que satisfacen la EDP fundamental de manera óptima.

Matemáticamente, las ecuaciones resultantes del elemento a menudo consisten en un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales que pueden ser expresadas en forma matricial,

[*]{«} = ÍF] (31.9)

donde [k] = propiedad del elemento o matriz de rigidez, {u} — vector columna de las incógnitas en los nodos y {F} = vector columna que refleja el efecto de cualquier influencia externa aplicada a los nodos. Observe que, en algunos casos, las ecuaciones pueden ser no lineales. Sin embargo, para los ejemplos elementales descritos aquí, y para muchos problemas prácticos, los sistemas son lineales.

3 1 . 1 . 3 Ensamble

Después de que se deducen las ecuaciones de cada elemento individual, éstas se deben enlazar o ensamblar para caracterizar la conducta unificada de todo el sistema. El proceso de ensamble está determinado por el concepto de continuidad. Es decir, las soluciones para los elementos contiguos son acopladas de tal manera que los valores de las incógnitas (y algunas veces las derivadas) en los nodos comunes sean equivalentes. Así, la solución total será continua.

Cuando todas las versiones individuales de la ecuación (31.9) están ensambladas, el sistema completo se expresa en forma matricial como

[K]{u'} = {F'} (31.10)

donde [K\ = matriz de propiedades de ensamblaje y {«'} y {F'} = vectores columna para incógnitas y fuerzas externas (que están marcadas con apóstrofos para denotar que están ensambladas con los vectores {u} y {F} de los elementos individuales).

3 1 . 1 . 4 Condiciones a la f rontera

Antes de resolver la ecuación (31.10), debemos modificarla para tomar en cuenta las condiciones frontera del sistema. Estos ajustes dan como resultado

mw) = {p'} ( 3 i . i l )

donde la barra significa que se han incorporado las condiciones frontera.

3 1 . 1 . 5 Solución

Las soluciones de la ecuación (31.11) pueden obtenerse con las técnicas descritas previamente en la parte tres, tales como la descomposición de LU. En muchos casos, los elementos pueden ser configurado! para que las ecuaciones resultantes estén en banda.

< i' Aftl, le pueden emplear EIQUEMAL'4§4»lución altamente eficientes para eitoi liitemai.

http://3i.il

31.2 APLICACIÓN DEL ELEMENTO FINITO EN UNA DIMENSIÓN ws 3 1 . 1 . 6 Proceso poster ior

Una vez obtenida la solución, se puede poner a la salida en una forma tabular o ilustrada gráficamente. Además, se pueden determinar las variables secundarias y ponerlas en la salida.

Aunque los pasos anteriores son muy generales, son comunes para la mayoría de las puestas en práctica de la aproximación del elemento finito. En la siguiente sección ilustraremos cómo se pueden aplicar para obtener resultados numéricos para un sistema físico simple (una barra calentada).

3 1 . 2 A P L I C A C I Ó N D E L E L E M E N T O F I N I T O E N U N A D I M E N S I Ó N

En la figura 31.4 se muestra un sistema que puede ser modelado mediante una forma en una dimensión de la ecuación de Poisson

d2T — = - / ( * ) (31.12)

donde f(x) — función que define una fuente de calor a lo largo de la barra, y donde los extremos de la barra se mantienen a temperaturas fijas,

r ( 0 , t) = Ti

y

T(L,t)*=T2

Observe que ésta no es una ecuación diferencial parcial, sino más bien es un valor de frontera de la EDO. Se usa este modelo simple porque nos permite introducir la aproxi-

F I G U R A 3 1 . 4

o) Barra larga y delgada sujeta a condiciones frontera fijas y a una fuente continua de calor a lo largo de su eje. b) La representación de elemento finito consiste en cuatro elementos de igual longitud y cinco nodos.

f(x)

710,0 7TM

X" 0 x=L a)

3

© © (3) ©

b)


mación del elemento finito sin algunas de las complicaciones involucradas en, por ejemplo, una EDP en dos dimensiones.

EJEMPLO 31.1 Solución analítica para una barra calentada

i Enunciado del problema. Resuélvase la ecuación (31.12) para una barra de 10 cm con condiciones frontera de T(0, t) = 40 y T(10, í) = 200 y una fuente de calor uniforme

I d e / ( x ) = 1 0 .

Solución. La ecuación que se resolverá es

-10 d2T Ix 2

Suponga una solución de la forma

T = ax 2 + bx +c

la cual puede ser diferenciada dos veces para obtener T" — 2a. Al sustituir este resultado en la ecuación diferencial, obtenemos a — — 5. Las condiciones frontera pueden ser usadas para evaluar los coeficientes restantes. Para la primera condición en x — 0,

4 0 = - 5 (0) 2 + b(0) + c

o c = 40. De manera similar, para la segunda condición,

2 0 0 = - 5 ( 1 0 ) 2 + fo(10)+40

F I G U R A 3 1 . 5 Distribución de temperaturas a lo largo de una placa calentada sujeta a una fuente de calor uniforme y mantenida a temperaturas fijas en los extremos.

200 -

100

31.2 APLICACIÓN DEL ELEMENTO PINITO ENUNA"D(MENnÓN

F I G U R A 3 1 . 6 11| Un elemento individual. Ii) I unción de aproximación i r . i i d a para caracterizar la ili:,liibución de temperatura 11 l( i largo del elemento.

Nodo 1 Nodo 2

a)

*1

xa

que puede ser resuelta para b = 66. Por tanto, la Nolueión f i mil OH

T = - 5 x 2 + 66x + 40

La gráfica de los resultados se presenta en la figura 31.5.


Una configuración simple para modelar el sistema es una serie de elementos de igual longitud (véase figura 31.46). Así, el sistema es tratado como cuatro elementos de igual longitud y cinco nodos.

3 1 . 2 . 2 E c u a c i o n e s d e i o s e l e m e n t o s

En la figura 31.6a se muestra un elemento individual. La distribución de temperatura para el elemento puede estar representada por la función de aproximación

donde N{ y N2 = funciones de interpolación lineales especificadas por las ecuaciones (31.3) y (31.4), respectivamente. De esta manera, como se ilustra en la figura 31.66, la función de aproximación viene a ser una interpolación lineal entre las dos temperaturas nodales.

Como se vio en la sección 31.1, existen diferentes aproximaciones para desarrollar la ecuación del elemento. En esta sección empleamos dos de ellas. Primero, se usará una aproximación directa para el caso simple en que f(x) = 0. Posteriormente, debido a su aplicabilidad general en ingeniería, dedicamos la mayor parte de la sección al método de los residuos ponderados.

La aproximación directa. Para el caso en que f(x) = 0, se puede emplear un método directo para generar las ecuaciones de los elementos. La relación que existe entre el flujo de calor y el gradiente de temperatura puede ser representada por la ley de Fourier:

donde q — flujo [cal/(cm2 • s)] y k' = coeficiente de conductividad térmica [cal/(s • cm • °C)]. Si se usa una función lineal de aproximación para caracterizar la temperatura del elemento, el flujo de calor dentro del elemento a través del nodo 1 puede representarse por

donde </| en el Unjo de calor en el nodo 1. De manera similar, para el nodo 2,

T =NlTl + N2T2 (31.13)


Estas dos ecuaciones expresan la relación que existe entre la distribución de temperatura interna de los elementos (como se refleja por las temperaturas nodales) y el flujo de calor en sus extremos. Así, constituyen nuestras ecuaciones de los elementos deseadas. Pueden simplificarse aún más al aceptar que se puede usar la ley de Fourier para expresar los flujos de los extremos en función de los gradientes de temperatura en las fronteras. Esto es,

<7i = -k rdT(xQ

dx q2 = k

,dT{x2) dx

la cual puede ser sustituida en las ecuaciones de los elementos para obtener

dT(Xí) 1

X2 - Xi

1 - 1

-1 1

7Í dx dT(x2)

dx

(31.14)

Observe que la ecuación (31.14) ha sido puesta en el formato de la ecuación (31.9). Así, hemos tenido éxito al generar una ecuación matricial que describe la conducta de un elemento típico de nuestro sistema.

La aproximación directa es muy intuitiva. Además, en áreas como la mecánica, puede emplearse para resolver problemas significativos. Sin embargo, en otros contextos, a menudo es difícil o imposible deducir ecuaciones del elemento finito directamente. En consecuencia, como se describe a continuación, se tienen más técnicas matemáticas disponibles.

El método de los residuos ponderados. La ecuación diferencial (31.12) se puede reexpresar como

d2T

La solución aproximada [véase ecuación (31.13)] puede sustituirse en esta ecuación. Ya que la ecuación (31.13) no es la solución exacta, el lado izquierdo de la ecuación resultante no será cero, sino igual a un residuo,

R = ^ + f(x) (31.15)

El método de los residuos ponderados (MRP) consiste en hallar un mínimo para el residuo de acuerdo con la fórmula general

í RW¡ dD = 0 i = \,2,...,m (31.16) JD

donde D — dominio de la solución y W¡ = funciones de ponderación linealmente indo-pendientes.

Hasta aquí, tenemos múltiples opciones para las funciones de ponderación (cuadro 31.1). El enfoque más común para el método del elemento finito, ei emplear lai fuñólo*

3 1 2 APLICACIÓN DEL ELEMENTO PINITO INUNA DWMNSIÓN

C u a d r o 3 1 . 1 Esquemas alternos del residuo para el MRP

So pueden hacer diversas elecciones para las funciones de ponderación de la ecuación (31.16). Cada una representa una aproxi-imición alterna para el MRP.

En la aproximación de colocación, elegimos tantas positrones como coeficientes desconocidos haya. Después, los co-ilieientes se ajustan hasta que los residuos se hagan cero en cada muí de estas posiciones. En consecuencia, la función de aproximación daría resultados perfectos en las posiciones elegidas, pero (Huiremos un residuo diferente de cero en las posiciones restan-leu. Así, esto es semejante a los métodos de interpolación del tmpllulo 18. Observe que la colocación significa usar la función do ponderación

Para el caso por mínimos cuadrados, los coeficientes se ajustan para minimizar la integral del cuadrado del residuo. Esto es, las funciones de ponderación son

dR W¡ = —

Ba¡

las cuales pueden ser sustituidas en la ecuación (31.16) para obtener

da-, 1,2,..

W = S(x — x¡) para i = 1, 2,..., n

donde n — número de coeficientes desconocidos y S(x-x¡) = /unción delta de Dirac, que es cero en todas partes excepto en x > x¡, donde es igual a 1.

En el método del subdominio, el intervalo se divide en tantos segmentos, o "subdominios", como coeficientes desconocidos haya. Después, los coeficientes se ajustan hasta que el valor promedio del residuo es cero en cada subdominio. Así, para cada Mibdominio, la función ponderada es igual a 1, y la ecuación (31.16) es

Rdx = 0 para i — 1, 2,..

± Í R > da¡ Jo

dD = 0 i = 1,2,.. .

La comparación de la formulación con aquellas del capítulo 17 muestra que ésta es la forma continua de la regresión.

El método de Galerkin emplea las funciones de interpolación N¡ como funciones de ponderación. Recuerde que estas funciones siempre suman 1 en cualquier posición de un elemento. Para muchos problemas, con el método de Galerkin se obtienen los mismos resultados que con los métodos variacionales. En consecuencia, ésta es la versión del MRP que se emplea con más frecuencia en el análisis del elemento finito.

donde x¡_¡ y x¡ son las fronteras del subdominio.

nes de interpolación como las funciones de ponderación. Cuando éstas son sustituidas en la ecuación (31.16), el resultado es conocido como el método de Galerkin,

RN¡ dD = 0 i = \,2,...,m

Para nuestra barra en una dimensión, la ecuación (31.15) puede sustituirse en esta fórmula para obtener

d2f N¡dx i = 1,2

la cual se puede reexpresar como

c d ¡T r-/ , , N,(.v)f/.v - - / / ' ( . V ) / V , ( . V ) Í / . V / = 1,2

(31.17)


En este punto, se aplicarán varias manipulaciones matemáticas para simplificar y evaluar la ecuación (31.17). Entre las más importantes está la simplificación del lado izquierdo usando la integración por partes. Recuerde del cálculo que, generalmente, ettUí operación puede ser expresada como

pb pb I udv ~ uv\ h

a — I v du

Ja Ja Si u y v se eligen apropiadamente, la nueva integral del lado derecho será más fácil do evaluar que lá original del lado izquierdo. Esto se puede hacer para el término del lado izquierdo de la ecuación (31.17) al escoger N¿(x) como u, y {d2Tldx2)dx como dv, con lo que se obtiene

rx2 Jxi d2f dT

(x)—dx=Ni(x) — dx2 dx -I

JX\

dT dNi dx dx

dx i = 1,2 (31.18)

Así, hemos dado el importante paso de bajar el término de mayor orden en la formulación, de una segunda a una primera derivada.

A continuación, podemos evaluar los términos individuales que hemos creado en la ecuación (31.18). Para i = 1, el primer término del lado derecho de la ecuación (31.18) puede evaluarse como

dx dT(x2) dT(x\)

dx dx

Sin embargo, recordemos de la figura 31.3 <^XQNX(X2) = QyNx(xx) = 1, y, por tanto,

X2

dTixA (31.19)

dT dx dx

De manera similar, para i = 2,

N2(x) dT dx

dT(x2) dx

(31.20)

X\ Así, el primer término del lado derecho de la ecuación (31.18) representa las condiciones frontera naturales en los extremos de los elementos.

Ahora, antes de proceder, reagruparemos por sustitución nuestros resultados en In ecuación original. Sustituimos las ecuaciones (31.18) a (31.20) en la ecuación (31.17); al rearreglarlas para i = 1,

í Xl dT dNi dx dx

dx = dT(xx) n . . . . . . —j—+ / f(x)Nx(x)dx

dx Jx.

y para i = 2,

Jx, dx

dN2 , dTU)) —- dx = -dx dx f(x)N2(x) dx

(31.21)

(31.22)

31.2 AWCACIÓN DEL ELEMENTO FINITO EN UNA DIMENSIÓN 911

Observe que la integración por partes nos conduce a dos importantes resultado». Primero, se han incorporado las condiciones frontera directamente dentro de las ecuaciones de los elementos. Segundo, se ha bajado la evaluación del orden más alto, de una segunda a una primera derivada. Este último resultado produce el resultado significativo que necesitan las funciones de aproximación para conservar la continuidad del valor, pero no su pendiente en los nodos.

Observe también que podemos comenzar a asignar algún significado físico a los términos individuales que hemos deducido. En el lado derecho de cada ecuación, el primer término representa una de las condiciones frontera del elemento, y el segundo es el efecto de la función de fuerza del sistema [en este caso, la fuente de calor/(x)]. Como ahora será evidente, el lado izquierdo incorpora los mecanismos internos que determinan la distribución de temperatura del elemento. Esto es, en función del método del elemento finito, el lado izquierdo se tranformará en la matriz de propiedades del elemento.

Para ver esto, concentrémonos en los términos del lado izquierdo. Para i = 1, el término es

Jx, 2 dT dNi

dx dx dx (31.23)

Recordemos de la sección 31.1.2 que la naturaleza lineal de la función de forma hace que la diferenciación y la integración sean simples. Sustituyendo las ecuaciones (31.6) y (31.7) en la ecuación (31.23), se obtiene

F Ti-T2 dx =

1 -(7Í - T 2 )

JX, (X2-Xi)2 Xi-X2

Haciendo sustituciones similares para / = 2 [ecuación (31.22)], se obtiene

f ~Tj + T2

(x2 - x i ) 2 dx

1

Xi - x2

<-Ti+T2)

(31.24)

(31.25)

La comparación con la ecuación (31.14) muestra que éstas son similares a las relaciones que se desarrollaron con el método directo usando la ley de Fourier. Esto puede aclararse más al expresar las ecuaciones (31.24) y (31.25) en una forma matricial como

1

x2 - xx

1 - 1 - 1 1

Sustituyendo este resultado en las ecuaciones (31.21) y (31.22), y expresando el resultado en forma matricial, obtenemos la versión final de las ecuaciones de los elementos.

vi

dT(xi) ' dx

1 = dT(x2) + dx

CnmlliMii

r r

,/'(.v)A/|h)(/.»

fi\)N)[\)tl\ (31.26)

R fatal MltttM»


Observe que además de los métodos directo y de los residuos ponderados, las ecuaciones de los elementos también pueden ser deducidas usando el cálculo de variaciones (por ejemplo, véase Allaire, 1985). Para este caso, esta aproximación da ecuaciones que son idénticas a las deducidas anteriormente.

EJEMPLO 31 .2 Ecuación de un elemento para una barra calentada

Enunciado del problema. Empléese la ecuación (31.26) para desarrollar las ecuacio-j nes de los elementos para una barra de 10 cm, con condiciones frontera de T(0, t) = 40 I y 7/(10, t) = 200 y una fuente de calor uniforme de f(x) =10. Empléense cuatro elemen-i tos de igual tamaño de longitud = 2.5 cm.

Solución. El término de la fuente de calor del primer renglón de la ecuación (31.26), puede ser evaluado sustituyendo la ecuación (31.3), e integrando para obtener

L 2'5 2 5 — x

10 dx = 12.5 2.5

De manera similar, la ecuación (31.4) puede ser sustituida en el término de la fuente de calor del segundo renglón de la ecuación (31.26), el cual también puede ser integrado para obtener

25 x - 0

10 dx = 12.5 2.5

Estos resultados, junto con los valores de los otros parámetros, pueden ser sustituidos en la ecuación (31.26) para obtener

0.47/1 - 0.4T2 = - — (x{) + 12.5 dx

-0.41, + 0.47/2 = ~(xi) + 12.5 dx 3 1 . 2 . 3 Ensamble

Antes de que las ecuaciones de los elementos estén ensambladas, se debe establecer un esquema global numérico para especificar la topología o arreglo espacial del sistema. Como en la tabla 31.1, este esquema define la conectividad del cuadriculado de elementos. Debido a que este caso es unidimensional, el esquema numerado debe parecer tan predecible como trivial. Sin embargo, para problemas en dos y tres dimensiones, este esquema ofrece el único medio para especificar a cuáles nodos pertenecen tales elementos.

Una vez que esté especificada la topología, la ecuación del elemento (31.26) puede ser escrita para cada elemento usando las coordenadas globales. Entonces, éstas pueden agregarse (una a la vez) para ensamblar el sistema matricial total (observe que este proceso se explora aún más en la sección 32,4). El proceso se ilustra en la figura 31,7.

31.2 ALIGACIÓN DEL ELEMENTO niTOíNWtt SMlNSIÓN T A B L A 3 1 . 1 Topología del sistema para el esquema de segmentación por elemento

finito de la figura 31.4b.

Elemento

N ú m e r o * de nodo

Local Global

2 2 3 3 4 4 5

F I G U R A 3 1 . 7 I ir.iimble de las ecuaciones para el sistema total.

b)

0.4 -0.4 0 0 0.4 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.4 -0.4 0 0 0.4 0.4 T+ 0.4 -0.41 0 0 0.4 0.4J 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.4 -0.4 0 0 0.4 0.8 -0.4 0 0 -0.4 0.4 T+ 0.4 -0.41 0 0 [_- 0.4 0.4J 0 0 0 0

0.4 -0.4 0 0 0.4 0.8 -0.4 0 0 -0.4 0.8 -0.4 0 0 - 0.4 0.4 0 0 O

0.4 (i .1 ( ) 0 U 4 ti II ()4 0 0 I I 4 i) M n.4 i) n 1)4 0 R (l 0 11 0,4

• 0.4 0.4

0 -dT(x,]/dx + 1 2 . 5 ' 0 h dT[x2)/dx +12 .5 0 0 0 0 0 0 0 . 0 . 0

0

T ,l -dr(x])/dx + 1 2 . 5 '

0 h 12.5 + 12.5 0 h = • dT[x3}/dx +12.5 0 0 0 0 . 0 , 0

0 '

íTll '-dT(x,|/dx + 1 2 . 5 '

0 h 25 0 h = 12.5 + 12.5 0 TA dJ\xA)/dx +12.5 0 .

loj 0

0 ' '-dT(xMdx + 1 2 . 5 ' 0 T-2 25 0 T~3 : = 25

- 0 . 4 1 TA 12.5 + 12.5 0.4J. [Ts . dT{x5)/dx +12.5 . 0 íh '-c/r(x,)/dx + 12.5' 0 h 25 0 h • = 25

•0.4 TA 2S 0 4 ( J/M/.K i i:' .


3 1 . 2 . 4 Condiciones f rontera

Observe que, conforme se emsamblan las ecuaciones, las condiciones frontera internas se cancelan. Así, el resultado final para {F} de la figura 31 .le tiene condiciones frontera para sólo el primero y el último nodos. Ya que TY y T5 están dados, estas condiciones frontera naturales de los extremos de la barra, dT(xx)ldx y dT(x5)/dx, representan incógnitas. Por tanto, las ecuaciones pueden ser reexpresadas como

-0.47/ 2 = - 3 . 5 dx

o.8r 2 - o . 4 r 3 = 4 i -0AT2 +0.87/3 -0.47 / t = 25 (31.27)

-O.47/3 +0.87/4 = 105

-0.47/4 ~ ( x s ) = -67 .5 dx

3 1 . 2 . 5 Solución

La ecuación (31.27) puede ser resuelta para

/IT — (jt!) = 66 7/2 = 173.75 T 3 = 245 dx

7/4 = 253.75 ^ ( x 5 ) = - 3 4 dx

3 1 . 2 . 6 Proceso poster ior

Los resultados pueden ser ilustrados gráficamente. En la figura 31.8 se muestran los resultados del elemento finito, junto con la solución exacta. Observe que el cálculo del elemento finito capta la tendencia total de la solución exacta y, de hecho, proporciona un acoplamiento exacto en los nodos. Sin embargo, existe una discrepancia en el interior de cada elemento debida a la naturaleza lineal de la forma de las funciones.

3 1 . 3 P R O B L E M A S E N D O S D I M E N S I O N E S

Aunque el "inventario" matemático aumenta marcadamente, la extensión de la aproximación del elemento finito en dos dimensiones es conceptualmente similar a las aplicaciones unidimensionales ya analizadas. Así, se siguen los mismos pasos que se bosquej aron en la sección 31.1.


Comúnmente se emplean diverso» elementos simples como los triángulos o los cuadriláteros para la red del elemento finito en dos dimensiones. En este análisis, nos limitare-mos a elementos triangulare! ^LJ f t j h i s t r ado en la figura 31,9.

31.3 r f P J l I M A S EN DOS DIMENSIONES

F I G U R A 3 1 . 8 Resultados de aplicar la aproximación del elemento finito a una barra calentada. También se muestra la solución exacta.

3 1 . 3 . 2 Ecuaciones de los elementos

Tal como en el caso en una dimensión, el siguiente paso es desarrollar una ecuación para aproximar la solución para el elemento. Para un elemento triangular, la aproximación más simple es el polinomio lineal [compare con la ecuación (31.1)]

u(x, y) = a0 +aiAx + ai¡2y (31.28)

F I G U R A 3 1 . 9 Elemento triangular.


donde u(x, y) = la variable dependiente, las a -— coeficientes, y x y y = las variables independientes. Esta función debe pasar a través de los valores de u(x, y) en los nodos del triángulo (x„ yx), (x2, y2) y (x 3, y 3 ) . Por tanto,

ui(x, y) = a0 + 01,1x1 + ai , 2 yi

u2(x, y) - «o + alAx2 + a i , 2 y 2

u3(x, y)=a0 + «1,1*3 + al¡2y3

o en forma matricial,

1 x\ yi 1 x2 y2

1 x3 y3

que puede resolverse para

= ~[u\(x2y3 -x3y2) + u2(x3yi - xxy3) + u3(xxy2 - * 2 y i ) ]

2. r\o

a0 U\

«1,1 • = • " 2

«1,2 . " 3

« O

«í.i = ^ - [ « t ^ - y 3 ) +u2(y3 - yi) + u3(yi - y 2 ) ]

«1,2 - V["lfe -X2)+U2(X\ - X 3 ) + U3(X2 -Xi)]

(31.29)

(31.30)

(31.31)

donde Ae es el área del elemento triangular,

Ae = )^{{xiy3 - x3y2) + {x3yx - xyy3) + (x{y2 - x 2 yi ) ]

Las ecuaciones (31.29) a (31.31) pueden sustituirse en la ecuación (31.28). Después de reagrupar términos, el resultado se puede expresar como

u =N\u\ + N2u2 + N3u3

donde

(31.32)

/Vi

N2

N3

~ - [(xiy3 - x3y2) + (y 2 - y3)x + (x3 - x2)y]

1 2Ae

1 2AÍ

[(x3yi - xxy3) + (y3 - yx)x + (xi - x3)y]

[{xxy2 - x2y¡) + (yi - y2)x + (x2 - xx)y]

La ecuación (31.32) proporciona un medio para predecir los valores intermedios para el elemento, con base en los valores en sus nodos. En la figura 31.10 se muestra la forma de la función junto con las correspondientes funciones de interpolación. Observe que la suma de las funciones do interpolación es siempre igual a 1.

Como en el caso en unu dimensión, hay diversos métodos disponibles paru desarrollar ecuaciones de los elemeBtflli^.baie en la EDP y en las funciones de aproxima-

F I G U R A 3 1 . 1 0 a) Función de aproximación lineal para un elemento triangular. Las correspondientes funciones de interpolación se muestran en b) a a).

ción. Las ecuaciones resultantes son considerablemente más complicadas que la ecuación (31.26). Sin embargo, debido a que las funciones de aproximación son normalmente polinomios de orden bajo como la ecuación (31.28), los términos del elemento matricial final consistirán de polinomios de orden bajo y constantes.

3 1 . 3 . 3 Condiciones en la f rontera y ensamble

La incorporación de condiciones en la frontera y el ensamble del sistema matricial, también aeran man complicados cuando la técnica del elemento finito se aplique a proble-


F I G U R A 3 1 . i l Esquema numérico para los nodos y los elementos de una aproximación por elemento finito de la placa calentada, que previamente fue caracterizada por diferencias finitas en el capítulo 29.

mas en dos y tres dimensiones. Sin embargo, como con la deducción de los elementos de la matriz, la dificultad está más relacionada con la mecánica del proceso que con la complejidad conceptual. Por ejemplo, el establecimiento de la topología del sistema (que fue trivial para el caso de una dimensión) será sumamente importante para los de dos y tres dimensiones. En particular, la elección de un esquema numérico dictará las bandas del sistema matricial resultante, y de aquí la eficiencia con que puede ser resuelto. En la figura 31.11 se muestra un esquema que fue desarrollado para una placa calentada, que antes se resolvió con los métodos por diferencias finitas en el capítulo 29.

3 1 . 3 . 4 Solución y proceso poster ior

Aunque la mecánica es complicada, el sistema matricial es solamente un conjunto de n ecuaciones simultáneas que pueden usarse para encontrar los valores de la variable dependiente en los n nodos. En la figura 31.12 se muestra una solución que corresponde a la solución por diferencias finitas de la figura 29.5.

3 1 . 4 E D P C O N L I B R E R Í A S Y P A Q U E T E S

El software de librerías y los paquetes tienen algunas capacidades para resolver directamente a las EDP. Sin embargo, como se describe en las siguientes secciones, muchas de las soluciones se limitan a problemas simples. Esto es particularmente cierto para casos de dos y de tres dimensiones. fttffc¿MtM tituaciones, los paquetes genéricos (ea decir,

http://FIGURA31.il

F I G U R A 3 1 . 1 2 Distribución de temperatura de una placa calentada, como se calculó con el método del elemento finito.

aquellos no desarrollados expresamente para resolver EDP, tales como los paquetes de elemento finito) a menudo se limitan a dominios rectangulares simples.

Aunque esto podría parecer una limitante, las aplicaciones simples pueden tener gran utilidad en un sentido pedagógico. Esto es particularmente cierto cuando las herramientas de visualización de los paquetes se usan para desplegar los resultados de los cálculos.

3 1 . 4 . 1 Mathcad

Mathcad tiene dos funciones que pueden resolver la ecuación de Poisson. Usted puede usar la función relax cuando conoce el valor de las incógnitas en los cuatro lados de una región cuadrada. Esta función resuelve un sistema de ecuaciones algebraicas lineales usando la iteración de Gauss-Seidel sobrerrelajando la velocidad de la razón de convergencia. Para el caso especial en el que hay fuentes internas o sumideros y la función incógnita es cero en los cuatro lados del cuadrado, usted puede usar la función multigrid de Mathcad, que usualmente es más rápida que relax. Ambas funciones devuelven una matriz cuadrada en la que la localización del elemento de la matriz corresponde a su posición dentro de la región cuadrada. El valor del elemento se aproxima al valor de la solución de la ecuación de Poisson en este punto.

En la figura 31.13 se muestra un ejemplo donde una placa cuadrada contiene fuentes de calor, mientras que la frontera es mantenida en cero. El primer paso es establecer las dimensiones de la malla de temperatura y la matriz de fuente de calor. La malla de temperatura tiene dimensiones (R + I) por (R + 1), mientras que la matriz fuente de

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

0.5 .7" SIZE OF THE GRID ¡S (R + 1 ) BY ( « + ! ) : -LO

R : = 3 2

SETS THE DIMENSIONS OF THE SOURCE P : I?

'3 P R , R : = 0

POSITION AND STRENGTH OF SOURCE:

C : = 8

D : = 1 4

HEAT:= 1 5 4 5

G : = MULTIGRIDP,2 )

F I G U R A 3 1 . 1 3 Pantalla de Mathcad para determinar la solución de una EDP elíptica.

calor es R por R. Por ejemplo, una malla de temperatura 3 por 3 tiene 4 (2 por 2) posiblcn fuentes de calor. En este caso, establecemos una malla de temperatura 33 por 33 y una matriz fuente de calor 32 por 32. La instrucción de Mathcad p R R : = 0 (con R - 32) establece las dimensiones de la matriz fuente y hace los otros elementos iguales a cero. A continuación, se establecen la localización y la resistencia de la fuente de calor, final mente, G es la distribución de temperatura resultante como la ha calculado la función multigrid de Mathcad. El segundo argumento de multigrid es un parámetro que controla la exactitud numérica.

La distribución de temperatura puede ser desplegada como superficie y como grál'í cas de contorno. Estas gráficas pueden colocarse en cualquier lugar de la hoja de trabajo haciendo clic en el lugar deseado. Esto pone una cruz roja en la posición. Luego, use el menú desplegable Insert/Graph/Surface o Insert/Graph/Contourpara poner una gráfica vacía en la hoja de trabajo con un recuadro para las expresiones que se graficaiiín y para los rangos de las variables. Simplemente teclee G en el recuadro sobre el eje /. y 33 para los rangos x y y. Mathcad hace lo restante para producir las gráficas mostradas en la figura 31.13. Una vez que ha sido creada la gráfica, usted puede usar los M E M Í N

desplegables Format/Surface Plot y Format/Contour Plot para cambiar el color o agregar títulos, etiquetas y otras características.

3 1 . 4 . 2 Excel

Aunque Excel no tiene la capacidad directa para resolver EDP, es un buen ambicnlc pnrn desarrollar soluciones simples para las EDP elípticas. Por ejemplo, el arreglo ortogonal de las celdas de la hoja de cálculo (véase figura 31.146) es directamente análoga a lu malla usada en el capítulo 29 para modelar la placa calentada (véase figura 31.I4«).

Como en la figura 31.146, las condiciones de frontera de Dirichlet pueden primero ser introducidas en la periferia del bloque de la celda. La fórmula para el método de Liebcnatin puede ser ¡niplonieulft^jy^lrixiucir lu ccuuuión (29.11) en una de lus ccluu

31.4 EDP CON LIBRERÍAS Y PAQUETES

'13 = 100+ r 2 3 + r 1 2 + 75

4

a) Malla

f i í " 87.5 100 100 100 75 a I 75 78,{J7 76.12 69.64 50 3 7 5 , (63.17 56.25 52.46 50 4 7 5 / 42.86 33.26 33.93 50 5 37.5Í 0 0 0 25

B2 = B1 +C2 + B3+A2

b) Hoja de cálculo

F I G U R A 3 1 . 1 4 Analogía entre a) una malla rectangular y b) las celdas de una hoja de cálculo.

del interior (como la celda B2 de la figura 31.146). Así, el valor de la celda puede ser calculado como una función de las celdas adyacentes. Entonces la celda puede ser copiada a las otras celdas interiores. Debido a la naturaleza relativa de la instrucción copy de Excel, las demás celdas serán propiamente dependientes de sus celdas adyacentes.

Una vez que usted ha copiado la fórmula, probablemente obtendrá un mensaje de error: Cannot resolve circular references (No se pueden resolver referencias circulares). Usted puede rectificar esto usando el menú r(ools) y seleccionar O(ptions). Luego seleccione Calculation tab y verifique el cuadro Iteration. Esto permite que la hoja de cálculo recalcule (por omisión, son 100 iteraciones) y resuelva el método de Liebmann iterativamente. Después de esto, presione la tecla F9 para recalcular de manera manual la hoja hasta que las respuestas no varíen. Esto significa que la solución ha convergido.

Una vez resuelto el problema, se pueden usar las herramientas gráficas de Excel para visualizar los resultados. En la figura 31.15a se muestra un ejemplo. Para este caso, tenemos que

• Se usó una malla fina • Se aisló una frontera inferior • Se agregó una fuente de calor de 150 a la mitad de la placa (celda E5).

Los resultados numéricos de la figura 31.15a pueden ser ilustrados con el asistente para gráficos de Excel. Las figuras 31.156 y c muestran gráficas de superficie tridimensionales. Por lo general, la orientación y de éstas es a la inversa de la hoja de cálculo. Asi, el extremo de temperaturas más altas (100) normalmente podría estar desplegada en el fondo de la gráfica. Hemos invertido los valores de y en nuestra hoja antes de graficar, de modo que las gráficas sean consistentes con la hoja de cálculo.

Advierta que los gráficos nos ayudan a visualizar qué es lo que ocurre. El calor fluye hiela abajo desde la fuente hasta las fronteras, formando una imagen parecida a la di Uní montaña, líl calor también fluye hacia abajo desde la frontera de temperatura alta hasta t i l dos extremos. Observo que, por lo general, el calor fluye hacia el extremo de


m r" A'"'í 7*1? • E " f l " I1

37.5 100.0 100.0 luu.u luu.u 100.0 100.0 luu.u 75.0 " 2 - 75.0 89.2 95.8 99.1 99.7 96.6 89.9 77.6 50.0 3 -. 75.0 86.2 94.7 100.9 103.1 96.7 85.5 70.3 50.0 4 75.0 85.7 96.1 106.7 115.3 101.4 85.2 68.2 50.0 5. 75.0 85.5 97.4 114.3 "150.0 108.6 85.6 67.3 50.0 6 75.0 84.0 93.4 103.4 111.6 97.4 81.3 65.6 50.0 7 75.0 82.2 88.9 94.2 95.6 88.1 76.6 63.6 50.0 8 75.0 80.9 85.9 88.9 88.4 82.8 73.5 62.2 50.0 9 75.0 80.4 84.9 87.3 86.3 81.1 72.4 61.7 50.0

a)

F I G U R A 3 1 . 1 5 o) Solución en Excel de la ecuación de Poisson para una placa con un extremo inferior aislado y una fuente de calor, b) "Mapa topográfico" y c) ilustración tridimensional de las temperaturas.

S9

S8 160—r-

S7 140-

S6 120-

S5 100 -S4 80 J S3 60 -S2 40 -

S1 1

más baja temperatura (50). Por último, observe que el gradiente de temperatura de la dimensión y tiende a cero en el extremo inferior aislado (9773y —» 0).

3 1 . 4 . 3 M A T L A B

Aunque el paquete MATLAB estándar no presenta grandes capacidades para resolver las EDP, se han desarrollado archivos-m y funciones para este propósito. Además, sus capacidades para mostrar imágenes son muy buenas, en particular para visualizar los problemas espaciales en dos dimensiones.

Para ilustrar esta capacidad, primero colocamos la hoja de cálculo Excel de la figura 31.15a. Estos resultados pueden ser guardados como un archivo de texto (Tab delimitado) con un nombre como plate.txt. Se puede trasladar este archivo al subdirectorio de MATLAB.

Una vez en MATLAB, este archivo puede ser cargado al escribir

>> Load p í a t e . t x t

Luego, los gradientes pueden ser calculados simplemente con

>> C p x / p y J a o r t d l a r t t ( p l a t a ) ;

31.4 EDP CON LIBRERÍAS Y PAQUETES 923

Observe que éste es el método más simple para calcular gradientes usando los valores por omisión de dx = dy = 1. Por lo tanto, las direcciones y las magnitudes relativas serán correctas.

Por último, se puede usar una serie de instrucciones para desarrollar la gráfica. La instrucción contour desarrolla una gráfica de contorno de los datos. La instrucción clabel agrega etiquetas de contorno a la gráfica. Finalmente, quiver toma los datos del gradiente y los añade a la gráfica en forma de flechas,

>> c s = c o n t o u r ( p l a t e ) ; c l a b e l ( c s ) ; h o l d on >> qui v e r ( - p x , - p y ) ; h o L d o f f

Observe que se ha agregado el signo menos debido al signo menos de la ley de Fourier [ecuación (29.4)]. Como en la figura 31.16, la gráfica resultante proporciona una excelente representación de la solución.

Observe que cualquier archivo que esté en el formato adecuado puede introducirse en MATLAB para ser ilustrado de esta manera. Por ejemplo, el cálculo con IMSL descrito a continuación podría ser programado para generar un archivo que se mostrara en MATLAB (o en Excel o en Mathcad). Esta compartición de archivos entre herramientas es muy común. Además, los archivos pueden ser creados en un lugar con una herramienta, y ser transmitidos vía Internet a otro, donde el archivo pueda ser mostrado con otra herramienta. Éste es uno de los aspectos excitantes de las aplicaciones numéricas modernas.


T A B L A 3 1 . 2 Rutinas IMSL para resolver EDP.

Categoría Ru t inas Capacidad

Solución de sistemas de EDP en una dimensión MOLCH Método de líneas con una base cúbica de Hermite Solución de una EDP en dos y tres dimensiones FPS2H Solver rápido de Poisson en dos dimensiones

FPS3H Solver rápido de Poisson en tres dimensiones

3 1 . 4 . 4 IMSL

IMSL tiene pocas rutinas para resolver EDP (véase tabla 31.2). En este análisis, nos enfocaremos a la rutina fps2h. Esta rutina resuelve la ecuación de Poisson o la de Helmholtz en un rectángulo bidimensional usando un solver rápido de Poisson sobre una malla uniforme.

La subrutina fps2h es puesta en práctica con el siguiente enunciado CALL:

C A L L F P S 2 H ( P R H , B R H , C 0 E F , N X , N Y , A X , B X , A Y , B Y , I B C T , I O R D , U , L D U )

donde PRH = FUNCIÓN suministrada por el usuario para evaluar el lado derecho de la ecuación diferencial parcial. La forma es PRH(X, Y), donde X = valor de la coordenada X. (Entrada) Y = valor de la coordenada Y. (Entrada) PRH debe ser declarada EXTERNA en el programa de llamada.

BRH = FUNCIÓN suministrada por el usuario para evaluar el lado derecho de las condiciones frontera. La forma en BRHS(ISIDE, X, Y), donde

ISIDE = Número de lado. (Entrada) Ver IBCTY para la definición de los números de lado. X = valor de la coordenada X. (Entrada) Y = valor de la coordenada Y. (Entrada) BRH debe ser declarada EXTERNA en el programa de llamada.

COEF = Valor del coeficiente de U en la ecuación diferencial. (Entrada) NX = Número de líneas de la malla en la dirección X. (Entrada) NX debe ser al

menos 4. Véase el comentario 2 para restricciones adicionales en NX. NY = Número de líneas de la malla en la dirección Y. (Entrada) NY debe ser al

menos 4. Véase el comentario 2 para restricciones adicionales en NY. AX = El valor de X a lo largo del lado izquierdo del dominio. (Entrada) BX = El valor de X a lo largo del lado derecho del dominio. (Entrada) AY = El valor de Y a lo largo de la parte inferior del dominio. (Entrada) BY = El valor de Y a lo largo de la parte superior del dominio. (Entrada) IBCT = ' Arreglo de tamaño 4 que indica el tipo de condición frontera en cada

lado del dominio o que la solución es periódica. (Entrada) Los lados están numerados de 1 a 4 como sigue:

liado Posición

rx.Bx,

31.4 ' Á 6 P CON LIBRERÍAS Y PAQUETES 9Í$

3—Izquierdo (X = AX) 4—Superior (Y = BY)

Hay tres tipos de condiciones frontera.

IBCTY Condición frontera

1 El valor de U está dado (Dirichlet) 2 El valor de dU/dX está dado (lados 1,3 o ambos).

(Neumann) El valor de dU/dY está dado (lados 2, 4 o ambos).

3 Periódico. IORD = Orden de precisión de la aproximación por diferencias finitas. (Entrada)

Puede ser 2 o 4. Normalmente se usa IORD = 4. U = Arreglo de tamaño NX por NY que contiene la solución en los puntos de la

malla. (Salida) LDU = Dimensión principal de U exactamente como se especificó en el enun

ciado de dimensión del programa de llamada. (Entrada)

EJEMPLO 31 .3 Uso del IMSL para resolver la temperatura de una placa calentada

Enunciado del problema. Úsese fps2h para resolver las temperaturas de una placa cuadrada calentada, con condiciones frontera fijas del ejemplo 29.1.

Solución. Un ejemplo de un programa principal en Fortran 90 y de función que usa fps2h para resolver este problema puede ser escrito así:

l'rogram Píate USE msimsl 1MPLICIT NONE

I INTEGER : :ncva1, nx, nxtabl , ny, nytabl I PARAMETER (ncval-11, nx-33, nxtabl=5, ny=33, nytabl=5)

INTEGER : : i . i b c t y U ) , io rder , j , nout REAL : : QD2VL,ax,ay,brhs,bx,by,coefu,prhs,u(nx,ny),utabl,x,xdata(nx).y.ydata(ny)

1 I XTERNAL brhs, prhs ax - 0.0 i bx - 40. ay - 0.0 by - 40.

i Ibcty( l ) - 1 ; lbcty(2) - 1

lbcty(3) - 1 1bcty(4) - 1 coefu - 0.0 Iorder - 4 CALL FPS2H (prhs,brhs,coefu,nx,ny,ax,bx.ay,by, 1 bcty, 1 order,u,nx) DO 1 - 1 , nx

xdatad) - ax + (bx-ax)*! L O A I ( I 1 ) / L LOA! (nx 1) ! LND DO I DO J - l , ny ! ydata(J) - ay + (by-AY)*PL0AT(¿ D / L I OAKny 1)

9 2 6 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

END DO CALL UMACH (2, nout) WRITE (nout, ' (8X,A,11X,A.11X.A)') ' X ' , ' Y ' , ' U ' DO j = l , nytabl

DO 1-1 , nxtabl x - ax + (bx-ax)*FL0AT( i - l )/FL0AT(nxtabl- l ) y = ay + (by-ay)*FL0AT(j- l)/FLOAT(nytabl-1) utabl = QD2VL(x,y,nx,xdata,ny,ydata,u,nx,.FALSE.) WRITE ( n o u t , ' ( 4 F 1 2 . 4 ) ' ) x, y, utabl

END DO END DO END PROGRAM

FUNCTION prhs (x, y) IMPLICIT NONE REAL : : prhs, x, y prhs = 0.0 END FUNCTION

REAL FUNCTION brhs ( I s i d e , x, y) IMPLICIT NONE INTEGER : : I s ide REAL : : X , y I F ( i s ide == 1) then

brhs - 50. ELSE IF ( i s ide — 2) THEN

brhs - 0. ELSE IF ( i s ide — 3) THEN

brhs - 75. ELSE

brhs - 100. END I F END FUNCTION

Una corrida de ejemplo proporciona la siguiente salida:

y u X

>•> u 0000 0000 37 5000 30 0000 20 0000 52 3849

10 0000 0000 0000 40 0000 20 0000 50 0000 20 0000 0000 0000 0000 30 0000 75 0000 30 0000 0000 0000 10 0000 30 0000 79 0032 40 0000 0000 25 0000 20 0000 30 0000 76 8058

0000 10 0000 75 0000 30 0000 30 0000 69 9017 10 0000 10 0000 42 5976 40 0000 30 0000 50 0000 20 0000 10 0000 32 2945 0000 40 0000 87 5000 30 0000 10 0000 33 4962 10 0000 40 0000 100 0000 40 0000 10 0000 50 0000 20 0000 40 0000 100 0000

0000 20 0000 75 0000 30 0000 40 0000 100 0000 10 0000 20 0000 63 5128 40 0000 40 0000 75 0000 20 0000 20 0000 56 2493

PROBLEMAS

P R O B L E M A S

i Repita el ejemplo 31.1, pero ahora para T(0, t) = 50 y T( 10, i) ) y una fuente uniforme de calor de 20.

| Repita el ejemplo 31.2, pero ahora para las condiciones frontil 7(0, t) = 50 y T( 10, t) = 100 y una fuente de calor de 20. Aplique los resultados del problema 31.2 para calcular la

;lbución de temperatura para la barra entera, usando la aproxi-lén del elemento finito.

UHC el método de Galerkin para desarrollar una ecuación __ elemento para una versión de estado estable de la ecuación de IJViiU'lon-difusión descrita en el problema 30.7. Exprese el re-ItlIlMiln final en el formato de la ecuación (31.26), de modo que I I I I N término tenga una interpretación ñsica. 'Lji Una versión de la ecuación de Poisson que se presenta en

tílluAnlcu es el siguiente modelo para la deflexión vertical de tyftt Imrra con una carga distribuida P(x):

llMWle Ae = área de la sección transversal, E = módulo de Young, fct m deflexión y x = distancia medida a lo largo de la longitud (If ll Imrra. Si la barra está fija rígidamente (u = 0) en ambos f V i n o s , use el método del elemento finito para modelar sus ((•ue x Iones para Ac = l p i e 2 , E = 1.5 X 108lb/pie2,L = 30 pies « /'(O - 50 lb/pie. Emplee un At — 6 pies.

! A Desarrolle un programa de computadora de uso amigable, pNlit modelar la distribución de estado estable de temperatura en llim bnrra con una fuente constante de calor usando el método tt«l elemento finito. Acondicione el programa de manera que se |tli9i 1 iiri usar nodos espaciados desigualmente. 117 Use el Mathcad para realizar el mismo cálculo que en

100°C

75°C

•2m-

1 m

-100 W/m* 7 0.4 m

-0.6 m-

25°C

50°C

la figura 31.14, pero agregue un sumidero de calor de —750 en (24, 8). 3 1 . 8 Use Excel para realizar el mismo cálculo que en la figura 31.15, pero ahora aisle el extremo derecho y agregue un sumidero de calor de -110 en la celda C7. 3 1 . 9 Use MATLAB para desarrollar una gráfica de contorno con flechas de flujo para la solución de Excel del problema 31.8. 3 1 . 1 0 Use Excel para modelar la distribución de temperatura de la placa mostrada en la figura P31.10. La placa tiene 0.01 m de espesor y una conductividad térmica de 2.5 W/(m • °C). 3 1 . 1 1 Use MATLAB para desarrollar una gráfica de contorno con flechas de flujo para la solución de Excel del problema 31.10. 3 1 . 1 2 Use IMSL para realizar el mismo cálculo que en el ejemplo 31.3, pero aisle el extremo inferior de la placa.

CAPÍTULO 32

Aplicaciones en ingeniería: ecuaciones diferenciales parciales

El propósito de este capítulo es aplicar los métodos de la parte ocho a problemas prácticos de ingeniería. En la sección 32.1, una EDP parabólica se usa para calcular la distribución de una variable dependiente del tiempo de un producto químico a lo largo del ej e longitudinal de un reactor rectangular. Este ejemplo ilustra cómo la inestabilidad de una solución puede deberse a la naturaleza de la EDP, más que a las propiedades del método numérico.

Las secciones 32.2 y 32.3 involucran aplicaciones de las ecuaciones de Poisson y Laplace a problemas de ingeniería civil y eléctrica. Entre otras cosas, esto le permitirá ver las similitudes así como las diferencias entre los problemas de campo de esas áreas de la ingeniería. Además, se pueden comparar con el problema de la placa calentada que ha servido como un sistema prototipo en esta parte del libro. La sección 32.2 trata con la deflexión de una placa cuadrada, mientras que la sección 32.3 está dedicada al cálculo de la distribución del voltaje y el flujo de carga para una superficie en dos dimensiones con un extremo curvado.

La sección 32.4 presenta un análisis por elemento finito aplicado a una serie de resortes. Esta aplicación es más cercana en esencia a las aplicaciones por elemento finito en mecánica y estructuras, que la usada en el problema de campo de temperatura para ilustrar la aproximación en el capítulo 31.

3 2 . 1 B A L A N C E D E M A S A E N U N A D I M E N S I Ó N D E U N R E A C T O R ( I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A / P E T R O L E R A )

Antecedentes. Los ingenieros químicos hacen un uso extensivo de reactores idealizados en su trabajo de diseño. En las secciones 12.1 y 28.1 nos concentramos en reactores

FIGURA 32 .1 Reactor alargado con un solo

Eunto de entrada y salida. Un alance de masa se desarro

lla alrededor de un segmento finito a lo largo del eje lonnltudlnal del lanque para daducli una «cuaclón diferenC I A L P O R A LA C O N C E N T R A C I Ó N ,

1 1 (O

32.1 < <M*NCE DE MASA EN UNA DIMENSIÓN DE UN REACTOR

simples o acoplados bien mezclados. Éstos son ejemplos de sistemas de parámetros localizados (recuerde la sección PT3.1.2).

La figura 32.1 muestra un reactor alargado con un solo punto de entrada y salida. Este reactor puede ser caracterizado como un sistema de parámetros distribuidos. Si se supone que el producto químico que va a modelarse está sujeto a un decaimiento 1 de primer orden y el tanque está bien mezclado vertical y lateralmente, se puede realizar un balance de masa para un segmento finito de longitud Ax, como en

dx DA, d c ( x )

dx Flujo de salida Dispersión a la entrada

DA, dc(x) , d dc(x) .

H ^—Ax dx dx dx

- kVc (32.1)

Dispersión a la salida Reacción de decaimiento

donde V = volumen (m 3 ), Q = flujo volumétrico (m 3/h), c — concentración (moles/m 3), D es un coeficiente de dispersión (m 2/h), Ac es el área de la sección transversal del tanque (m 2 ) y k es el coeficiente de decaimiento de primer orden ( h _ I ) . Observe que los términos de dispersión están basados en la primera ley de Fick,

Flujo = -D — (32.2) dx

la cual es directamente análoga a la ley de Fourier para la conducción del calor [recuerde la ecuación (29.4)]. Esta ecuación especifica que la turbulencia de mezclado tiende a mover la masa de regiones de alta a baja concentración. El parámetro D, por tanto, refleja la magnitud de la turbulencia de mezclado.

Si Ax y At tienden a cero, la ecuación (32.1) será

3c 3 2c 9c

donde U — QIAC es la velocidad del agua que fluye a través del tanque. El balance de masa para la figura 32.1, por tanto, ahora está expresado como una ecuación diferencial parcial parabólica. En ocasiones, la ecuación (32.3) es conocida como ecuación de advección-dispersión con reacción de primer orden. En estado estable, se reduce a una EDO de segundo orden,

d2c rd2c , 0 = D¿r*-u*-kc (32-4)

Antes de t = 0, el tanque se llena con agua libre de químicos. En / = 0, se inyecta el producto químico en el flujo de entrada del reactor a un nivel constante de c e n . Así, se mantienen las siguientes condiciones frontera:

- / M , . - ^ -rJX

KLLN TI, EL QULMLUO TIERNO N UNU RA/ÓN QUE OS LIIICNLMCNLO PROPORCIONAL U IN CANTIDAD DE PRODUCTO QUÍMICO PMNNLA,

930 APLICACIONES EN INGENIERÍA: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

c ' (L , í ) = 0

La segunda condición especifica que el químico sale del reactor simplemente como una función del flujo a través del tubo de salida. Esto es, se supone que la dispersión en el reactor no afecta la razón de salida. En estas condiciones, use los métodos numéricos para resolver la ecuación (32.4) para niveles en estado estable en el reactor. Observe que éste es un problema de EDO con valores en la frontera. Después resuelva la ecuación (32.3) para caracterizar la respuesta transitoria (es decir, cómo cambian los niveles con el tiempo conforme el sistema se aproxima al estado estable). Esta aplicación involucra una EDP.

Solución. Se puede desarrollar una ecuación en estado estable al sustituir las diferencias finitas centradas para la primera y la segunda derivadas de la ecuación (32.4) para obtener

r. CI + I - L D + C I - I C I + I - C I - I 0 = D — U — — kc¡

Ax2 2Ax

Agrupando términos se tiene

( D \ \ (ID kAx\ ( D 1 \ -{üA~x + 2 + {ÜA7x

+ I T > - {TJA-X ~ 2 > + 1 = ° ^

Esta ecuación puede escribirse para cada uno de los nodos del sistema. En los extremos del reactor, este proceso introduce nodos que están fuera del sistema. Por ejemplo, en el nodo de entrada (i — 0),

( D \ \ ( 2D kAx\ ( D 1 \

- { W T X + 2 h+[jfXx-+ir r - { W A - X - 2 r = 0 <32-6) El término c_x se puede eliminar al utilizar la primera condición frontera. En la

entrada, se debe cumplir el siguiente balance de masa:

Qcen = QcQ-DAc^-dx

donde c 0 = concentración enx = 0. Así, esta condición frontera especifica que la cantidad de producto químico transportado hacia el tanque por advección a través del tubo debe ser igual a la cantidad llevada hacía afuera desde la entrada, tanto por advección como por dispersión de turbulencia en el tanque. Se puede sustituir una diferencia dividida finita por la derivada

Qcen = Qc0-DAc

2Ax


32,-1-MUNCE DE MASA EN UNA DIMENSIÓN DE UN REACTOR

que puedo sustituirse en la ecuación (32.6) para dar

2D ( ID kAx „ AxU\ ( D \ / AxU\

Se puede realizar un ejercicio similar para la salida, donde la ecuación en diferencias original es

2D ÛAx

La condición frontera a la salida es

+ k Ax\

U -Jc„ D

UAx 1

-n+1 0 (32.8)

dcn Qcn - DAC~^ dx QCn

Como con la entrada, se puede usar una diferencia dividida para aproximar la derivada.

Qcn - DA, cn+\ ~ C / i - l

2Ax = QCn (32.9)

Una inspección en esta ecuación nos lleva a concluir que c n + l = c n_,. En otras palabras, la pendiente a la salida debe ser cero para que se cumpla la ecuación (32.9). Sustituyendo este resultado en la ecuación (32.8) y simplificando, se tiene

/ D \ ( 2D kAx\

~{ürx)Cn-i + [ijA~x + ~ir)Cn o (32.10)

Las ecuaciones (32.5), (32.7) y (32.10) forman ahora un sistema de n ecuaciones tridiagonales con n incógnitas. Por ejemplo, si D = 2, U — 1, Ax = 2.5, k = 0.2 y c . = 100, el sistema es

"5 .35 - 1 . 6 co ' 325 ' - 1 . 3 2.1 - 0 . 3 C\ 0

- 1 . 3 2.1 - 0 . 3 C2 • = • 0 - 1 . 3 2.1 - 0 . 3 C3 0

- 1 . 6 2.1 0

el cual se puede resolver para

C3

76.44 25.05

ci = 52.47 c 4 = 19.09

c 2 = 36.06

La gráfica de estos resultados se muestra en la figura 32.2. Como se esperaba, la concentración disminuye debido a la reacción de decaimiento, conforme el producto qufmico fluye a truvói del tanque. Adicional al cálculo anterior, en la figura 32.2 se muestra otro CBio con D — 4. Observe cómo al aumentar la turbulencia de mezclado la curva tiende a ier plan»,

Bl) esntrante, ni la dispersión disminuye, la curva podría sor más pronunciada conforme t i RWMlado Mea menos importante en relación con la udvección y el decaimiento.


F I G U R A 3 2 . 2 Concentración contra distancia a lo largo del eje longitudinal de un reactor mclangular para un pioducto químico que decae con la cinética de primer orden.

Debe notarse que si la dispersión disminuye demasiado, el cálculo estará sujeto a errores numéricos. Este tipo de error se conoce como inestabilidad estática, en contraste con la inestabilidad dinámica debido a que los pasos de tiempo son demasiado largos durante un cálculo dinámico. El criterio para evitar esta inestabilidad estática es

2D A x < -

Así, se hace más riguroso (con una Ax más baja) para casos donde la advección domina sobre la dispersión.

Además de ios cálculos en estado estable, se pueden usar los métodos numéricos para generar la solución con tiempo variable de la ecuación (32.3). La figura 32.3 muestra los resultados para D = 2, U = 1, Ax = 2.5, k — 0.2 y c e n = 100, donde la concentración en el tanque es 0 en el instante cero. Como se esperaba, el impacto inmediato ocurre cerca de la entrada. Con el tiempo, la solución se aproxima al nivel de estado estable.

F I G U R A 3 2 . 3 Concentración contra distancia en diferentes Inslanles, durante la acumulación del producto químico en un reactor. Estado estable

32.2 DMIX IONES DE UNA PLACA 939

Debo observarse que, en tales cálculos dinámicos, el paso de tiempo está restringido por un criterio de estabilidad expresado como (Chapra, 1997)

Ai < (A*)

2E + k(Ax)2

Así, el término reacción actúa para hacer más pequeño el paso de tiempo.

3 2 . 2 D E F L E X I O N E S DE U N A P L A C A ( I N G E N I E R Í A C I V I L / A M B I E N T A L )

Antecedentes. Una placa cuadrada, apoyada simplemente en sus orillas está sujeta a una carga por unidad de área q (véase figura 32.4). La deflexión en la dimensión z puede determinarse resolviendo la EDP elíptica (véase Carnahan, Luther y Wilkes, 1969)

ti 94z

dx4 + 8x2dy2 ti

D (32.11)

sujeta a las condiciones frontera que, en los extremos, la deflexión y pendiente normal a la frontera son cero. El parámetro D es la rigidez flexional,

D £ Az 3

12(1 — o2) (32.12)

donde E — módulo de elasticidad, Az = espesor de la placa y a = relación de Poisson. Si definimos una nueva variable como

_ d2z d2z dx2 dy2

la ecuación (32.11) puede reexpresarse como

d2u d2u dx2 dy2 D (32,13)

F I G U R A 3 2 . 4

linca cuadrada apoyada Mmplemente, sujeta a una i diya por unidad de área.


Por tanto, el problema se reduce a resolver de manera sucesiva dos ecuaciones de Poisson. Primero, la ecuación (32.13) puede resolverse para u sujeta a la condición frontera en que u — 0 en las orillas. Después, los resultados pueden emplearse junto con

d2z (32.14) ti _ _

dx2 + dy2 ~ "

para resolver z sujeta a la condición en que z = 0 en las orillas. Desarrolle un programa de computadora para determinar las deflexiones de una

placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de área. Pruebe el programa para una placa con 2 metros de largo en sus orillas, q = 33.6 kN/m 2 , o* = 0.3, Az = 10~ 2 m Y E = 2 X 10 1 1 Pa. Emplee Ax = Ay = 0.5 m para su corrida de prueba.

Solución. Las diferencias divididas finitas pueden sustituirse en la ecuación (32.13) para dar

ui+l,j 2u¡j + Uj-ij u¡j+i — 2u¡j + UÍJ-I

Ax2 Ay2 D (32.15)

La ecuación (32.12) se puede usar para calcular D = 1.832 X 10 4 N/m. Este resultado, junto con los otros parámetros del sistema, pueden sustituirse en la ecuación (32.15) para obtener

ui+ij + U Í - I J + Uij+i + UJJ-Í - 4u¡j = 0.458

Esta ecuación puede ser escrita para todos los nodos con las fronteras ajustadas en u = 0. Las ecuaciones resultantes son

" - 4 1 1 " 1 , 1 0.458 ' 1 - 4 1 1 " 2 , 1 0.458

1 - 4 1 " 3 , 1 0.458 1 - 4 1 1 " 1 , 2 0.458

1 1 - 4 1 1 "2,2 0.458 1 1 - 4 1 "3,2 0.458

1 - 4 1 " 1 , 3 0.458 1 1 - 4 1 "2,3 0.458

1 1 - 4 j "3,3 0.458

las cuales se pueden resolver para

« 1 , 1 = -0 .315 " 1 , 2 = -0.401 « 1 , 3 = -0 .315

«2 ,1 - -0 .401 "2,2 = -0.515 "2,3 = -0 .401

" 3 , 1 = -0 .315 "3,2 = - 0.401 "3,3 = -0 .315

Estos resultados, a su vez, se pueden sustituir en la ecuación (32.14). que puede escribirse en forma de diferencias finitas y resolverse para obtener

z,,i = 0 . 0 6 3

2 2 , i = 0 , 0 8 6

z u «O.OHft

* 2 , 2 •* 0.

zi.j = 0.063

Í2,3 - 0.086

32.3 PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROSTÁTICO EN DOS DIMENSIONES 93*

P R O B L E M A S D E C A M P O E L E C T R O S T Á T I C O E N D O S D I M E N S I O N E S ( I N G E N I E R Í A ELÉCTRICA)

Antecedentes. Asícomo la ley de Fourier y el balance de calor se pueden emplear para caracterizar la distribución de temperatura, se dispone de relaciones análogas para modelar problemas de campo en otras áreas de la ingeniería. Por ejemplo, los ingenieros eléctricos usan un enfoque similar cuando modelan campos electrostáticos.-

Bajo diferentes suposiciones simplificadoras (véase Paul y Nassar, 1987), una analogía de la ley de Fourier puede ser representada en la forma unidimensional como

D - e d V

dx

donde D es conocida como el vector densidad de flujo eléctrico, £ = permitividad del material y V = potencial electrostático.

De manera similar, una ecuación de Poisson para campos electrostáticos puede ser representada en dos dimensiones como

^ + ^ = - ^ ( 3 2 . I A dx1 dy¿ s

donde pv = densidad de carga volumétrica. Por último, para regiones que no contienen carga libre (esto es, pv = 0), la ecuación

(32.16) se reduce a la ecuación de Laplace,

3 2 V 3 2 V

Emplee métodos numéricos para resolver la ecuación (32.17) para la situación mostrada en la figura 32.5. Calcule los valores para Vy para D si e = 2.

Solución. Usando el procedimiento bosquejado en la sección 29.3.2, la ecuación (29.24) puede ser escrita para el nodo (1,1) como

2 Ix1

Vi.i - V0,i V u - V2.1

+ « i ( a . + a 2 ) a 2 ( a i + a 2 )

2 + Ay2

Vi,i - Vo.i V u - V 2 > 1 = 0

De acuerdo con la geometría ilustrada en la figura 32.5, Ax = 3, Ay = 2, (3j = P2 = a2

= 1 y (Xj = 0.94281. Sustituyendo estos valores se obtiene

0.12132V,,, - 121.32 4-0.11438Fi,i - 0.11438V2,i + 0 . 2 5 V U

+ 0.25V|,i -G,25Vi , 2 = 0

Agrupando (orminos se tiene

().73570V U -0.11438V 2 ,i - 0.25V,, 2 = 121.32

Un procedimiento s i m i l a r puede a p l i c a r s e para l o s n o d o s i n t e r i o r e s r ó s t a n l e s . La» e o u H ü l o n M e l i n u l l n n o i i N r o H u l l u n l e s p u e d e n ser expresadas en Corma m a l r i c l a l como


0 0 a)

2,3

FIGURA 3 2 . 5 a) Sistema en dos dimensiones con un voltaje de 1 000 a lo largo de la frontera circular y un voltaje de 0 a lo largo de la base, b) Esquema de numeración de los nodos.

0.73570 -0 .11438 0.72222

-0 .11438 -0.11111

-0.31288 -0 .25000

-0.11111 0.73570

-0 .31288

-0 .25000

1.28888 -0.11111

las cuales pueden ser resueltas para obtener

V;,i * 421,8.1

-0 .25000 -0 .25000

-0.14907 0.72222 -0 .11111

-0.14907 1.28888

V|,i =521 .19

V|, 2 = 855.47

B I T O I M U L T A D O A M N A

Vu - 7 3 5 , 4 0

V;,,, = 521.19

Vi2 = 855.47

121.32 V2,i 0 V 3 . 1 121.32 V 1 . 2 826.92 V2,2 250 VX2 826.92

32.3' "PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROSTÁTICO EN dos DIMENSIONES

1 000

b)

F I G U R A 3 2 . 6 Resultados de la solución de la ecuación de Laplace con factores de corrección para las fronteras irregulares, a) Potencial y b) flujo.

Para calcular el flujo (recuerde la sección 29.2.3), las ecuaciones (29.14) y (29.15) deben ser modificadas para tomar en cuenta las fronteras irregulares. Para el ejemplo actual, las modificaciones dan por resultado

(ai + a 2 ) Ax

y 05, + & ) A y

Para el nodo (1,1), estas fórmulas se pueden usar para calcular las componentes x y y del flujo

421.85 - 1000 Dx = - 2 = 198.4

(0.94281 + 1)3

y

855 .47-0 h - 2 , •• — = -427 .7 V (I I 1)2


con las que, a la vez, se puede calcular el vector densidad de flujo eléctrico

D = V 1 9 8 . 4 2 + ( -427 .7 ) 2 = 471.5

con una dirección de

V 198.4 /

Los resultados para los otros nodos son

N o d o Dy D 0 2, 1 0.0 -377.7 377.7 - 9 0 3, 1 - 1 9 8 . 4 - 4 2 7 . 7 471 .5 245.1 1, 2 109.4 - 2 9 9 . 6 281 .9 - 6 9 . 1 2, 2 0.0 - 2 8 9 . 1 289.1 - 9 0 . 1 3, 2 - 1 0 9 . 4 - 2 9 9 . 6 318.6 249 .9

Los flujos se muestran en la figura 32.66.

3 2 . 4 S O L U C I Ó N P O R E L E M E N T O F I N I T O A U N A S E R I E P E R E S O R T E S ( I N G E N I E R Í A M E C Á N I C A / A E R O E S P A C I A L )

Antecedentes. En la figura 32.7 se muestra una serie de resortes conectados entre sí. Un extremo está fijo a una pared, mientras que el otro está sujeto a una fuerza constante F. Usando el procedimiento paso por paso descrito en el capítulo 31, se puede emplear

. una aproximación por elemento finito para determinar los desplazamientos de los resortes.

FIGURA 32.7 '// a) Serie de resortes / / conectados entre sí. Un / / extremo está fijo a una /A pared, mientras que el otro está sujeto a una fuerza constante F. b) Representación por elemento finito. Cada resorle representa un 1 elemento. Por tanto, el #-sistema consiste de cuatro nlomnnlos y cinco nodos.

- W — ° — W — ° — W — ° — W — 0

Fuerza

a)

Nodo

2 - o -

\ Elumontu

3 2 . * Í Ü U J C I Ó N POR ELEMENTO FINITO A UNA SERIt DE RESORTES

o Nodo 1 Nodo 2

F IOURA 3 2 . 8 |5l0()inma de cuerpo libre

un sistema de resorte. 0 x

Solución. Discretización. La manera de dividir este sistema es, obviamente, tratar cada resorte como a un elemento. Así, el sistema consiste de cuatro elementos y cinco nodos (véase figura 32.76).

Ecuaciones de los elementos. Como el sistema es tan simple, sus ecuaciones de los elementos pueden ser escritas directamente, sin recurrir a aproximaciones matemáticas. Éste es un ejemplo del procedimiento directo para deducir elementos.

En la figura 32.8 se muestra un elemento individual. La relación entre la fuerza F y el desplazamiento x puede representarse matemáticamente por la ley de Hooke:

donde k = constante del resorte, la cual se puede interpretar como la fuerza requerida para causar un desplazamiento unitario. Si una fuerza Fx se aplica al nodo 1, se debe cumplir el siguiente balance de fuerzas:

F = k(xi - x2)

donde xx = desplazamiento del nodo 1 desde su posición de equilibrio y x2 = desplazamiento del nodo 2 desde su posición de equilibrio. Así, x2 — *i representa cuánto se ha alargado o comprimido el resorte con respecto al equilibrio (véase figura 32.8).

Esta ecuación también puede escribirse como

F\ = kx\ — kx2

Para un sistema estacionario, un balance de fuerzas necesita que F¡ = — F2 y, por tanto,

F2 = —kx\ + kx2

Estas dos ecuaciones simultáneas especifican el comportamiento del elemento en respuesta a las fuerzas preestablecidas. Pueden escribirse en forma matricial como

F = kx

k -k

k k

o

1*11*1-H/-') (32.18)

APLICACIONES EN INGENIERÍA: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

donde la matriz [k] es la matriz de las propiedades del elemento; para este caso, también es conocida como matriz de rigidez del elemento. Observe que la ecuación (32.18) lia sido puesta en el formato de la ecuación (31.9). Así, hemos tenido éxito al generar una ecuación matricial que describe el comportamiento de un elemento típico en nuestro sistema.

Antes de proceder con el siguiente paso (el ensamble de la solución total), introduciremos alguna notación. A los elementos [k] y {F} se les han puesto de manera convencional los superíndices y los subíndices, como en

donde el superíndice (e) designa que éstas son las ecuaciones del elemento. A las k también se les han puesto los subíndices como k¡j para denotar su localización en la r'-ésima fila y lay'-ésima columna de la matriz. Para este caso, también se pueden interpretar físicamente como una representación de la fuerza requerida en el nodo i para inducir un desplazamiento unitario en el nodo j .

Ensamble. Antes de ensamblar las ecuaciones del elemento, deben numerarse todos los elementos y nodos. Este esquema de numeración global especifica una configuración del sistema o topología (observe que en este caso se usa un esquema idéntico al de la tabla 31.1). Es decir, nos dice qué nodos pertenecen a qué elemento. Una vez que se especifica la topología, se pueden escribir las ecuaciones para cada elemento con referencia a las coordenadas globales.

Las ecuaciones del elemento pueden ser agregadas, una a la vez, para ensamblar el sistema total. El resultado final puede expresarse en forma matricial como [recuerde la ecuación (31.10)]

[*]{*'} = \F'}

donde

[*] =

k' i i . ( i ) •21

(32.19)

y

(1)

{F'} = 0 o

o (4)

y {A'} y {F1} s o n el d e s p l a z a m i e n t o e x p a n d i d o y l o s v e c t o r e s f u e r z a . Observe que, c o m o

las e c u a c i o n e s fueron c n s a m h l m l i i N , las fuerzas internas se cancelan. Así, el r e s u l t a d o

final para (/'''} es cero en loduí L O I L L Ü L I O » , excepto en el primero y en ol último.

32.4 SOLUCIÓN POR ELEMENTO PINITO A UNA SERIE DE RESORTES

Antes de proceder con el siguiente paso, debemos comentar acerca de la estructura del ensamble de la matriz de propiedades [véase la ecuación (32.19)]. Observe que la matriz es tridiagonal. Éste es un resultado directo del esquema de numeración global particular que se eligió (véase la tabla 31.1) antes del ensamble. Aunque no es muy importante en el presente contexto, la obtención de tal sistema disperso en banda puede ser una ventaja decisiva para el acondicionamiento de problemas más complicados. Esto se debe a los eficientes esquemas disponibles para resolver tales sistemas.

Condiciones frontera. El sistema actual está sujeto a una sola condición frontera, JC, = 0. La introducción de esta condición y la aplicación del esquema de renumeración global reduce el sistema a (todas las k = 1)

" 2 - 1 x2 0 - 1 2 - 1 *3 0

- 1 2 - 1 XA 0 - 1 1 . X 5 F

El sistema ahora tiene la forma de la ecuación (31.11) y está listo para resolverse. Aunque la reducción de las ecuaciones es, ciertamente, un enfoque válido para in

corporar condiciones frontera, es preferible dejar intacto el número de ecuaciones cuando se ejecuta la solución en la computadora. Algunos esquemas para llevar a cabo esto son descritos en Payne e Irons (1963) y Felippa y Clough (1970). Con cualquiera de estos métodos, una vez que se incorporan las condiciones frontera, podemos proceder al paso siguiente: la solución.

Generar la solución. Usando uno de los procedimientos de la parte tres, tal como la eficiente técnica de solución tridiagonal descrita en el capítulo 11, se puede resolver el sistema para (con todas las k = 1 y F = 1)

X2 = 1 X3 = 2 XA = 3 ^ 5 = 4

Proceso posterior. Los resultados ahora pueden mostrarse en forma gráfica. Como en la figura 32.9, los resultados son los que se esperaban. Cada resorte se estira un desplazamiento unitario.

F I G U R A 3 2 . 9 o) El sistema de resortes original, b) El sistema después de la aplicación de una fuerza constante. Los desplazamientos se indican entre los dos sistemas.

'/Y

//I

- x = 4 -- x = 3 -

- x = 2 -

- W — - o — W — o — i f f v — o — N P C P — o


P R O B L E M A S

Ingeniería química/petrolera .12.1 Realice el minino cálculo de la sección 32.1, pero ahora use Ax => 1.25. .12.2 Desarrollo una solución por elemento finito para el sistema on estado estable de la sección 32.1. 32 .3 Calcule los flujos de masa para la solución en estado estable de la sección 32.1 usando la primera ley de Fick. 32.4 Calcule la distribución en estado estable de la concentración para el tanque mostrado en la figura P32.4. La EDP que controla este sistema es

/ a 2 r + • dy2

•kc = 0

y Ins condiciones frontera son las que se muestran. Emplee un valor de 0.4 para D y 0.2 para k. 32.5 Dos placas están separadas 10 cm, como se muestra en la figura P32 .5 . Inicialmente, ambas placas y el fluido están en reposo. En l — 0, la placa superior se mueve con velocidad cons-tnnto de 7 cm/s. Las ecuaciones que controlan el movimiento de ION fluidos son

dt

dv. AGUA AGUA

¿hc dt dx2

y Ins siguientes relaciones se cumplen en la interface aceite-agua dv„

dx dx

Frontera abierta

F IGURA P 3 2 . 4

I C = 1UU I

l—10—J,

F IGURA P 3 2 . 5

¿Cuál es la velocidad de las dos capas de fluido en t = 0.5, 1 y 1,5 s, en las distancias x = 2,4,6 y 8 cm desde la placa inferior? Observe que ^ B g u a y ¿i a c e i t e = 1 y 3 cp, respectivamente.

Ingeniería civil/ambiental 32.6 Realice el mismo cálculo de la sección 32.2, pero ahora use Ax = 0.5 y Ay = 0.4 m. 32.7 El flujo a través de un medio poroso se puede describir mediante la ecuación de Laplace

f)x2 + dy2 ~~ donde h es la carga. Use métodos numéricos para determinar la distribución de carga para el sistema mostrado en la figura P32.7. 32 .8 La volocidad del agua que fluye a través de un medio poroso so puedo relacionar con la carga de acuerdo con la ley de IVArcy

PROBLEMAS 943

t A I?N In conductividad hidráulica y qn es la velocidad de Ifp en In dirección n. Si K = 4 X 1 0 " 4 em/s, calcule las HltuloK del agua para el problema 32.7.

Ingeniería mecánica/aeroespaeial 32/11 Realice el mismo cálculo de la sección 32.4, pero ahora cambie las constantes del resorte a

Resorte 1 2 3 4

k 0.7 2 0.75 1.5 nlfi'ln eléctrica

|il Rpiillce el mismo cálculo de la sección 32.3, pero ahora I »l NiNlema mostrado en la figura P32.9.

HilO Kenlice el mismo cálculo de la sección 32.3, pero ahora También cambie la fuerza a 2. (Mr* el Ni.slenia mostrado en la figura P32.10. 32.12 Realice el mismo cálculo de la sección 32.4, pero ahora

use cinco resortes con

PjftURA P 3 2 . 9

Resorte 1 2 3 4 5

k . 0.2 0.4 1.4 0.7 0 .9

l / = 4 0

l / = 1 0

Z7 V=20 m • • T #

'a h-a-*|

• i • • •

rz V = 1 0

l/= 5

F I G U R A P 3 2 . 1 0

dV dy = 0

•f-°

'////////////////////////,

V= 100 VV7777777777777777777777/. dV

V=7Q 2

E P Í L O G O : P A R T E O C H O

P T 8 . 3 E L E M E N T O S D E J U I C I O

Los principales elementos de juicio asociados con los métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales, implican seleccionar entre procedimientos por diferencias finitas y por elemento finito. Los métodos por diferencias finitas son conceptualmente más fáciles de entender. Además, son de fácil programación para sistemas que pueden ser aproximados con mallas uniformes. Sin embargo, son difíciles de aplicar a sistemas con geometrías complicadas.

Los procedimientos por diferencias finitas se pueden dividir en categorías, dependiendo del tipo de EDP que se vaya a resolver. Las EDP elípticas pueden ser aproximadas por medio de un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales. En consecuencia, el método de Liebmann (el cual, de hecho, es el de Gauss-Seidel) se puede emplear para obtener una solución de manera iterativa.

Las EDP parabólicas en una dimensión pueden resolverse principalmente de dos maneras: enfoques explícito o implícito. El método explícito acelera con el tiempo en una forma que es similar a la técnica de Euler para resolver las EDO. Tiene la ventaja de que se programa de manera simple, pero el inconveniente de un criterio de estabilidad muy restringido. En contraste, se dispone de los métodos explícitos. Por lo general, éstos implican la resolución de ecuaciones algebraicas tridiagonales de manera simultánea en cada paso de tiempo. Uno de esos procedimientos, el método de Crank-Nicholson, es exacto y estable, y, por tanto, se usa ampliamente para problemas parabólicos lineales en una dimensión.

Las EDP parabólicas en dos dimensiones también se pueden modelar de manera explícita. Sin embargo, sus restricciones de estabilidad son aún más severas que para el caso en una dimensión. Se han desarrollado procedimientos implícitos especiales (generalmente conocidos como métodos de separación) para evitar tal inconveniente. Estos procedimientos son eficientes y estables. Uno de los más comunes es el método implícito de dirección alterna, o IDA.

Todos los procedimientos por diferencias finitas anteriores se han vuelto difíciles de manejar cuando se aplican a sistemas que involucran formas no uniformes y condiciones heterogéneas. Los métodos por elemento finito están disponibles para manejar tales sistemas en una forma superior.

Aunque el método por elemento finito se basa en algunas ideas muy sencillas, la mecánica de generar un buen código de elemento finito para problemas en dos y tres dimensiones no es un ejercicio trivial. Además, puede ser caro en términos compu-tacionales para problemas grandes. Sin embargo, es, por mucho, superior a los procedimientos por diferencias finitas pura sistemas que involucran formas complicadas. En consecuencia, a menudo se juitlfloui su costo y su concepto "superior" considerando el d«t« I la f U la anlnntón f inal — L * ¿ ¿ —

EPÍL0S5": PARTE OCHO 945

P T 8 . 4 R E L A C I O N E S Y F Ó R M U L A S I M P O R T A N T E S

* En la tabla PT8.3 se resume una importante información que fue presentada en la parta ocho con respecto a los métodos por diferencias finitas. Esta tabla se puede consultar para tener un rápido acceso a relaciones importantes y fórmulas.

P T 8 . 5 M É T O D O S A V A N Z A D O S Y R E F E R E N C I A S A D I C I O N A L E S

Carnahan, LutheryWilkes(1969);Rice(1983);Ferziger(1981),yLapidusyPinder(1982) proporcionan útiles revisiones de los métodos y del software para resolver EDP. También puede consultar a Ames (1977), Gladwell y Wait (1979), Vichnevetsky (1981, 1982) y Zienkiewicz (1971) para tratamientos más profundos. Se puede encontrar información adicional sobre el método de elemento finito enAllaire(1985),HuebneryThornton(1982), Stasa (1985) y Baker (1983). Además de las EDP elípticas e hiperbólicas, también se dispone de métodos numéricos para resolver ecuaciones hiperbólicas. Se pueden encontrar buenas introducciones y resúmenes de algunos de estos métodos enLapidus y Pinder (1982), Ferziger (1981), Forsythe y Wasow (1960) y Hoffman (1992).

T A B L A P T 8 . 3 Resumen de métodos por diferencias finitas.

Molécula computacional Ecuación

C H / + 1

EDP elípticas Método de Liebmann i, ¡ i+1J v- Tl+li + 7_H >L + \\+1 + Ti

EDP parabólicas (en una dimensión)

Método explícito

o— /-i,/ i+i,/

Método implícito

/ + 1 . / + 1

X 1,1

- U ^ , +|1 + 2\)T^-\T^] -7"!

Método de Crank-Nicolson

/ - U + 1 T U + 1 , + i ( / + i

/ - 1 , / /,/

- u ñ +2(1 - x j r ^ ' - u ' ü , = XI¡_, +2(1 -X)T| + UL|

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Chapra21-32