La prueba delProfesor:

Lord Barrera

Facultad deIngeniera Ambiental

c2

1. La prueba del 2

En esta seccin explicaremos la distribucin del chi-cuadrado y susaplicaciones. Complementando a las aplicaciones vistas en las seccionesanteriores, el chi-cuadrado tiene otras aplicaciones en estadstica.

Karl Pearson (1857-1936) fue el primero en usar el chi-cuadrado comouna medida para la prueba de calidad de una data, tambin desarrollvarios tipos de grficas descriptivas y les dio nombres no usuales comostigmogramas, topogramas y stereogramas.

Algunos casos donde se aplica el 2 son:

(i) Un fabricante de zapatillas quiere saber si los clientes tienen prefe-rencia por un modelo especfico.

(ii) Un jefe de polica quiere saber qu das los accidentes ocurren conms frecuencia que en otros; de esta manera determina si aumenta ono patrullas policiales.

(iii) El servicio de emergencia de una clnica quiere saber si recibe msllamadas en determinados das para que poder proporcionar el per-sonal suficiente.

Ejemplo 1.1. Suponga que un analista de mercado desea saber las pre-ferencias de los consumidores entre cinco bebidas. Una muestra de 100personas proporcion estos datos

fanta coca inca sprite mirinda

32 28 16 14 10

Las frecuencias anteriores son llamadas frecuencias observadas.

Si en ningn caso hay preferencia, podemos esperar que cada bebidasea seleccionada con igual frecuencia. En este caso la frecuencia es igual a100/5 = 20. Esto significa que aproximadamente 20 personas eligen cadabebida.

Las frecuencias obtenidas mediante el clculo (sin preferencias) son lla-madas frecuencias esperadas. A continuacin mostramos la tabla comple-ta para esta prueba

frecuencia fanta coca inca sprite mirinda

observada 32 28 16 14 10

esperada 20 20 20 20 20

Las frecuencias observadas son casi siempre diferentes de las frecuen-cias esperadas debido al error de muestra; esto significa que los valo-res difieren de muestra en muestra. Pero la cuestin es: estas diferenciasson significativas (existe una preferencia)? La prueba de calidad del chi-cuadrado permitir obtener esta respuesta.

Antes de establecer esta prueba, debemos establecer la hiptesis. Lahiptesis nula debe ser declarada indicando que all no existe diferencia ocambio. Para este ejemplo las hiptesis son como sigue:

(i) H0: Los consumidores no tienen preferencia por alguna bebida.

(ii) H1: Los consumidores muestran una preferencia.

En la prueba de calidad, el grado de freedom es igual al nmero decategora menos 1. Para este ejemplo existen cinco categoras (fanta, coca,inca, sprite, mirinda) Aqu el grado de freedom es 5-1=4. Esto se debe a queel nmero de elementos en cada una de las primeras cuatro categoras eslibre de variar. Pero debido a que la suma es 100, el nmero de elementosen la ltima categora es fijo.

2

Definicin 1.1. (Frmula para la prueba de calidad del chi-cuadrado)

2 =

(O E)2

E

con grado de freedom igual al nmero de categoras menos 1, y donde

O = frecuencia observada

E = frecuencia esperada

Dos hiptesis son necesarias para la prueba del chi-cuadrado:

(i) La data es obtenida de una muestra random.

(ii) La frecuencia esperada para cada categora debe ser 5 o ms.

Ejemplo 1.2. (Preferencia de bebidas). Hay suficiente evidencia pararechazar la afirmacin de que no hay preferencia en la seleccin de bebi-das. Usaremos la data que se muestra previamente. Sea = 0.05.

Solucin.

Paso 1. Establecer la hiptesis e identificar la afirmacin.

H0 : El consumidor no muestra preferencia por alguna bebida

H1 : El consumidor muestra preferencia por alguna bebida

Paso 2. Hallar el valor crtico. El grado de freedom es 5-1=4 y = 0.05.Aqu el valor crtico es z/2 = 9.488.

Paso 3. Calcular el chi-cuadrado teniendo en cuenta que el valor espe-

3

rado para cada categora es 20. Ms precisamente

2 =

(O E)2

E

=(32 20)2

20+

(28 20)2

20+

(16 20)2

20+

(14 20)2

20+

(10 20)2

20= 18.0

Paso 4. Decidiendo: la decisin consiste en rechazar la hiptesis nulaya que

18.0 > 9.488

como se muestra en la figura abajo

Paso 5. En resumen: existen suficientes pruebas para rechazar la afir-macin de que el consumidor no muestra preferencia por alguna bebida.

Los pasos para la prueba del chi-cuadrado se resumen en la siguientetabla:

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(Procedimientos para la prueba del chi-cuadrado)

(i) Establecer la hiptesis e identificar la afirmacin.

(ii) Hallar el valor crtico. La prueba es siempre del lado derecho.

(iii) Calcular el valor

(O E)2

E

(iv) Hacer la decisin.

(v) Conclur el resultado.

Cuando hay una coincidencia entre los valores observados y espera-dos, entonces 2 = 0. Por otro lado, 2 nunca puede ser negativa. Final-mente, la prueba del lado derecho se debe a que H0 es un buen ajuste yH1 no es un buen ajuste, indicando que

2 debe ser pequeo en el primercaso y grande en el segundo caso.

Ejemplo 1.3. (Jubilados retornan al trabajo). Los ejecutivos jubiladosde industrias qumicas estn en actividad. Se espera que el 38 % traba-jen para otras industrias, el 32 % retomen su trabajo inicial, el 23 % trabajeen consultora y el 7 % forme su propia compaa. Para ver si estos por-centajes son consistentes con los residentes de la ciudad, un investigadorencuest a 300 ejecutivos retirados que haban regresado al trabajo y habadescubierto que 122 estaban trabajando para otras compaas, 85 retomansu trabajo inicial, 76 hacen consultora y 17 forman sus propias empresas.Para = 0.10, examinar la afirmacin de que los porcentajes son los mis-mos para esta poblacin de ejecutivos.

Solucin.

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Paso 1. Establecer la hiptesis e identificar la afirmacin.

H0 : los ejecutivos retirados que retornan al trabajo se distribuyen como

sigue: el 38 por ciento trabaja para otra industria, el 32 por ciento re-

torna a su trabajo inicial, el 23 por ciento hace consultora y el 7

por ciento form su propia empresa

H1 : La distribucin no es la misma como se establecin en la hiptesis nula

Paso 2. Hallar el valor crtico. El grado de freedom es 4-1=3 y = 0.10.Aqu el valor crtico es z/2 = 6.251.

Paso 3. Calcular el chi-cuadrado teniendo en cuaenta que elos valoresesperados se consiguen como sigue:

0.38 300 = 114, 0.32 300 = 96, 0.23 300 = 69, 0.07 300 = 21 .

2 =

(O E)2

E

=(122 114)2

114+

(85 96)2

96+

(76 69)2

69+

(17 21)2

21= 3.2939

Paso 4. Tomando la decisin. La decisin es que no se rechaza la hip-tesis nula ya que

3.2939 < 6.251

como se muestra en la figura abajo

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Paso 5. En resumen: No existe suficiente evidencia para rechazar elpedido. Podemos conclur que los porcentajes no son significativamentediferentes de los dados en la hiptesis nula.

Ejemplo 1.4. (Muertes con arma de fuego). En una determinada ciu-dad, una investigacin acerca de las personas muertas con arma de fuegoindica lo siguiente: el 74 % son accidentales, el 16 % son homicidios, el 10 %son suicidios. En dicha ciudad, el ao anterior se registraron 68 son muer-tes accidentales, 27 homicidios y 5 suicidios. Para = 0.10 examinar laafirmacin de que los porcentajes son iguales.

Solucin.

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Distribucin del c2

grado defreedom

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