Chorro Libre- Flujo en Boquillas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

INDICEOPERACIÓN DE BOQUILLAS.....................................................................................................2

I. TEORÍA DE CHORROS LIBRES.....................................................................................2

1. CONSIDERANDO EL CASO DE UN FLUIDO QUE SALE DE UNA TOBERA A LA ATMÓSFERA CON FLUJO SUBSÓNICO...................................................................2

2. SI EL CHORRO EMERGE SUPERSÓNICAMENTE.................................................2

CONSIDERACIONES GENERALES...................................................................................2

COEFICIENTE DE VELOCIDAD: “Cv”...............................................................................6

COEFICIENTE DE CONTRACCIÓN: “Cc“........................................................................7

COEFICIENTE DE DESCARGA: “Cd“...............................................................................7

PÉRDIDA DE CARGA EN UN ORIFICIO..............................................................................10

II. OPERACIÓN DE BOQUILLAS.......................................................................................11

FLUJO A TRAVES DE UN DUCTO DE SECCIÓN CONSTANTE CON FRICCIÓN..........16

I. INTRODUCCION...............................................................................................................16

II. ECUACIONES DE FLUJO ADIABATICO EN SECCION CONSTANTE PARA UN GAS PERFECTO......................................................................................................................18

Ejemplo 1:.................................................................................................................................25

Ejemplo 2:.................................................................................................................................27

BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................................30

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OPERACIÓN DE BOQUILLAS

I. TEORÍA DE CHORROS LIBRESUn chorro libre es considerado como un flujo fluido que fluye desde un conducto hacia una zona relativamente grande que contiene fluido, el cual tiene una velocidad respecto al chorro que es paralela a la dirección del flujo en el chorro.

Algunas características del chorro libre:

1. CONSIDERANDO EL CASO DE UN FLUIDO QUE SALE DE UNA TOBERA A LA ATMÓSFERA CON FLUJO SUBSÓNICO.

La presión de salida para tales flujos debe ser la de la atmósfera que lo rodea. Por el momento considérense las siguientes hipótesis.

Si la presión de la atmósfera fuera inferior que la del chorro (Patm ósfera<PChorro). Tendría lugar allí una expansión natural del mismo. Este hecho disminuiría la velocidad en el chorro, de acuerdo con la teoría del flujo isoentrópico, y, por consiguiente, crecería necesariamente la presión en el chorro, agravando más la situación. Una continuación de este evento sería catastrófica.

Por otra parte, si se considera la hipótesis de que la presión de la atmósfera sea superior a la del chorro (Patm ósfera<PChorro). Tendrá lugar entonces una contracción del chorro de acuerdo con la teoría del flujo isoentrópico, y un incremento de velocidad, esto produciría una disminución posterior en la presión del chorro, agravando de nuevo la situación. Cualquiera de estas dos suposiciones conlleva a una inestabilidad en el flujo del chorro.

Puesto que se sabe que el chorro subsónico libre es estable, se puede concluir que la presión del chorro es igual a la presión que lo rodea.

2. SI EL CHORRO EMERGE SUPERSÓNICAMENTE.La presión de salida no necesita ser igual a la presión de los alrededores. Puede ajustarse la presión de salida a la presión exterior, mediante una sucesión de ondas de choque y expansiones oblicuas, para el caso bidimensional o de ondas cónicas similares en el caso simétrico tridimensional.

CONSIDERACIONES GENERALESLos orificios intervienen en el diseño de muchas estructuras hidráulicas y para la medida o aforo de los fluidos que escurren.

Orificio, es cualquier abertura que tiene un perímetro cerrado y que se hace en un muro o división. Sus formas son muy variadas, aunque los más empleados son los circulares y rectangulares.

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Se considera un orificio de pared delgada a aquel en donde una placa o pared de espesor pequeño medible ha sido taladrada por un agujero y se ha producido una arista aguda bien definida en la superficie interior de la placa. (Ver figuras 1 y 2).

El gasto de la descarga de un orificio depende de la naturaleza de sus aristas u orillas, y con el objeto de comparar el funcionamiento de los orificios que tienen diferentes diámetros, es necesario que estas aristas estén formadas similarmente.

Cualquier fluido que escurra a través de un orificio que tenga una pared delgada presenta las siguientes características: conforme la corriente sale del orificio, gradualmente se contrae para formar un chorro cuya área de sección transversal es menor que la del orificio. Esto se debe al hecho de que las partículas separadas, estando próximas a la pared interior, tienen un movimiento a lo largo de esa pared hacia el orificio, que no puede cambiarse bruscamente en dirección a la arista de éste.

La contracción no se completa hasta que se alcanza la sección ab (fig.1), y en este punto los recorridos de la corriente se considera que son paralelos y la presión es la de la atmósfera circundante cayendo entonces libremente todas las partículas bajo la acción de la gravedad. En la corta porción del chorro entre las aristas del orificio y el lado ab, la presión será mayor que la atmosférica, porque las partículas se mueven en recorridos curvados y deben ser accionadas por presiones centrípetas de mayor intensidad que la de la atmósfera. Al plantearse la ecuación de BERNOULLI entre dos puntos, uno en el plano del orificio y el otro en el plano ab, se establecerá este mismo hecho.

Como las cargas potenciales son iguales y la carga de velocidad en el primer punto mencionado es menor que en el segundo, se deriva que la carga de presión en el orificio es mayor que en la sección contraída.

La figura 3 representa un orificio en el lado de un gran depósito que tiene una carga h, sobre su centro. Con esta carga mantenida constante por un escurrimiento de entrada A,

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Figura 1 Figura 2


considerando que la superficie del depósito sea grande en comparación con la del orificio, no tendrá una velocidad apreciable significativa. Despreciando la fricción, el teorema de Bernoulli planteado entre un punto B, y el centro del chorro en la sección contraída, muestra que:

Teorema de Bernoulli:

ó

……………(1)

Este valor de v puede ser llamado de la velocidad ideal de salida, sin considerar la fricción:

……………..(2)

Y la razón para darle el nombre de carga de velocidad a la ecuación (2) en el teorema de Bernoulli es aparente. Esta es la carga que producirá la velocidad v.

La ecuación (1) da la velocidad ideal de salida sin consideración a la naturaleza del líquido, y no se aplica a un fluido compresible, porque el peso específico cambiaría entre el punto B y C.

El orificio considerado se encuentra en un plano vertical y, expuesto a una carga que varía ligeramente sobre el orificio (fig.4). El chorro, consecuentemente está compuesto de partículas con velocidades ligeramente variables, y el valor de v, obtenido por la ecuación (1), no representa la velocidad media del chorro. La representaría si las velocidades variaran directamente como las cargas que las causan; pero éstas varían con las raíces cuadradas de estas cargas, razón por la cual la figura 4 es una parábola con vértice en la superficie del depósito, y un eje vertical. De la figura se observa que la variación de la velocidad a través de la sección transversal del chorro será mayor conforme disminuye h, y para cargas muy pequeñas el valor medio de la velocidad ideal no está dado por la ecuación (1). Sin embargo, si la carga es grande en relación con la dimensión vertical del orificio el error será despreciable.

Con un orificio en un plano horizontal, todas las partes de éste están bajo la misma carga y la velocidad ideal de todas las partículas en el chorro es la misma.

Como la velocidad ideal, debida a una carga, es la misma que cuando la partícula hubiera caído libremente a través de la misma altura, se esperaría que, si el orificio fuera

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Figura 3

Figura 4


horizontal y el chorro se dirigiera hacia arriba (figura 5), esta subiría a una altura igual a la carga que lo produjo (despreciando toda la fricción).

COEFICIENTE DE VELOCIDAD: “Cv”Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial. En la práctica se tiene:

Donde:

Cv: es el coeficiente de velocidad

g: es la gravedad

El valor numérico de Cv para el agua y líquidos de viscosidad similar es ligeramente menor que la unidad, y tiene su valor mínimo para cargas bajas y diámetros pequeños; para un diámetro de ¾ de pulgada y una carga de un pie, Smith y Walker encontraron que su valor es de 0.954. Conforme aumentan el diámetro o la carga, el coeficiente aumenta. Para un diámetro de 2.5 pulg. Y una carga de 60 pie, los mismos experimentadores obtuvieron un valor de 0.993. Sus datos indican que, para un diámetro dado el incremento de la carga es pequeño (Russell, 1.959, p 140)

Un análisis experimental de un chorro que escapa de un orificio al aire libre muestra que la velocidad de las partículas próximas a su superficie exterior es algo más baja que la de las partículas que están más cerca del centro del chorro. Las partículas exteriores antes de pasar por el orificio, se mueven a lo largo o en la proximidad de la cara posterior de la placa del orificio y llegan a su arista con una velocidad menor que aquellas partículas que llegan en una dirección más normal al plano del orificio. Su arrastre por viscosidad sobre las partículas más centrales tiene el efecto de disminuir la velocidad promedio en la sección contraída. Un orificio más grande con la misma carga, produce un chorro en el que todavía hay una variación de velocidad, pero en donde la acción retardante de las partículas exteriores no se extiende la misma distancia proporcional en el chorro, y la velocidad promedio en la sección contraída se aumenta. Con diámetro constante, un incremento en la carga causa un incremento general en la velocidad del chorro, y el arrastre por viscosidad de las partículas exteriores tiene un menor efecto, debido a la mayor inercia de las partículas internas.

COEFICIENTE DE CONTRACCIÓN: “Cc“Es la relación entre el área contraída y la del orificio. Su valor numérico para un fluido determinado varía con el diámetro del orificio y la carga.

El coeficiente de contracción disminuye con un diámetro mayor y con un incremento en la carga. Para el agua, Smith y Walker obtuvieron valores que variaban desde 0.688, para

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Figura 5


un orificio de ¾ de plg con un pie de carga, hasta 0.613 para un orificio de 2.5 plg con una carga de 60 pie (Russell, 1959, p 140).

Con cargas bajas y bajas velocidades del movimiento que las acompañe, el movimiento lateral de las partículas a lo largo de la parte trasera de la placa del orificio es correspondientemente pequeño, y el cambio en dirección de las partículas al pasar por la arista se lleva a cabo rápidamente, reduciendo la cantidad de contracción. El incremento en la carga tiende a acelerar el movimiento lateral con la parte trasera de la placa y aumenta la cantidad de la contracción. Al aumentar el tamaño del orificio, es probable que el mayor espacio radial permita que el movimiento lateral continúe más allá de la arista del orificio, con un aumento en la cantidad de la contracción.

COEFICIENTE DE DESCARGA: “Cd“El volumen del fluido, Q, que escurre del orificio por segundo, puede calcularse como el producto de a´, el área real de la sección contraída por la velocidad real media que pasa por esa sección, y por consiguiente se puede escribir la siguiente ecuación:

En donde, representa la descarga ideal que habría ocurrido si no estuvieran presentes la fricción y la contracción. Para el caso de Cd, éste es el coeficiente por el cual el valor ideal de descarga es multiplicado para obtener el valor real, y se conoce como coeficiente de descarga. Numéricamente es igual al producto de los otros dos coeficientes.

El coeficiente de descarga, variará con la carga y el diámetro del orificio. Sus valores para el agua han sido determinados por varios experimentadores.

En 1908 H. J. Bilton publicó en The Engineer (Londres) una relación sobre experimentos con orificios circulares de pared delgada y aristas afiladas o agudas de los cuales aparecería que, para diámetros hasta de 2.5 plg., cada tamaño de orificio tiene una carga crítica arriba de la cual c es constante. Los valores de c y la carga crítica, tal como se determinaron por este investigador, aparecen en la tabla 1.

Judd y King encontraron poco cambio en c para un diámetro dado si la carga fuera mayor de cuatro pies. ver tabla 2.

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En Civil Engineering, Julio, 1940, Medaugh y Johnson describen sus experimentos en orificios que varían desde 0.25 hasta 2.0 plg de diámetro, variando la carga desde 0.8 hasta 120 pies. Sus valores son ligeramente más pequeños que los de Bilton, Judd y King, y considerablemente más pequeños que los de Smith y Walker. No encontraron constancia en el valor de C más allá de una cierta carga crítica, aunque para cargas superiores a 4 pies el coeficiente disminuyó muy lentamente. (Russell, 1959, p. 141). Ver Tabla 3.

TABLA 1. COEFICIENTES DE DESCARGA (Por Bilton)

Carga en Diámetro del orificio en plg.

plg 0,25 0,50 0,75 1,0 1,50 2,0 2,50

3 0,680 0,657 0,646 0,640

6 0,699 0,643 0,632 0,626 0,618 0,612 0,610

9 0,660 0,637 0,623 0,619 0,612 0,606 0,604

12 0,653 0,630 0,618 0,612 0,606 0,601 0,600

17 0,645 0,625 0,614 0,608 0,608 0,599 0,598

18 0,643 0,623 0,613

22 0,638 0,621

45 0,628

TABLA 2. COEFICIENTES DE DESCARGA (De Judd y King)

Diámetro en plg Valor de C

3/4 0,6111

1 0,6097

3/2 0,6085

7


2 0,6083

TABLA 3. COEFICIENTES DE DESCARGA

(De Medaugh y Jonhson)

Carga en

pies

Diámetro del orificio en plg

0,25 0,50 0,75 1,00 2,00 4,00

0,8 0,647 0,627 0,616 0,609 0,603 0,601

1,4 0,635 0,619 0,610 0,605 0,601 0,599

2,0 0,629 0,615 0,607 0,603 0,600 0,599

4,0 0,621 0,609 0,603 0,600 0,598 0,597

6,0 0,617 0,607 0,601 0,599 0,596 0,596

8,0 0,614 0,605 0,600 0,598 0,596 0,595

10,0 0,613 0,604 0,599 0,597 0,595 0,595

12,0 0,612 0,603 0,599 0,597 0,595 0,595

14,0 0,611 0,603 0,598 0,596 0,595 0,594

16,0 0,610 0,602 0,598 0,596 0,595 0,594

20,0 0,609 0,602 0,598 0,596 0,595 0,594

25,0 0,608 0,608 0,601 0,597 0,595 0,594

30,0 0,607 0,600 0,597 0,595 0,594 0,594

40,0 0,606 0,600 0,596 0,595 0,594 0,593

50,0 0,605 0,599 0,596 0,595 0,594 0,593

60,0 0,605 0,599 0,596 0,594 0,593 0,593

80,0 0,604 0,598 0,595 0,594 0,593 0,593

100,0 0,604 0,598 0,595 0,594 0,593 0,593

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120,0 0,603 0,598 0,595 0,594 0,593 0,592

PÉRDIDA DE CARGA EN UN ORIFICIOLa carga pérdida al pasar cualquier orificio puede plantearse como sigue:

En la sección contraída la velocidad real es:

Y la carga de velocidad es

Si no hubiera habido carga perdida por la fricción, la carga de velocidad sería h, y consecuentemente:

Pérdida de carga = (3)

Pérdida de carga = (4)

La expresión (3) da la pérdida de carga en términos de la carga que causó la velocidad del chorro, y la ecuación (4) la da en términos de la velocidad real de la misma. Cualquiera de las dos puede utilizarse, pero la expresión (4) se hallará más conveniente.

Considerando Cv = 0,98, que es valor comúnmente usado para un orificio que descarga agua, se tiene:

Pérdida de carga = ó

La importancia de las 2 ecuaciones está en el hecho que son aplicables a cualquier dispositivo de descarga cuyo coeficiente de velocidad se conoce.

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II. OPERACIÓN DE BOQUILLASMediante evidencia experimental puede analizarse ahora lo que ocurre cuando una boquilla se somete a condiciones diferentes de aquellas para las cuales se diseñó. Considérese el esquema de boquilla convergente de la figura 6, donde el diseño exigía una presión de salida igual a la presión crítica y, por consiguiente, un número de Mach de salida igual a la unidad. Nótese que una cámara grande, conocida como cámara de contrapresión, se encuentra unida a la salida de la boquilla. Para estudiar el comportamiento de esta boquilla, la presión PB en esta cámara, conocida como presión de recepción o de contrapresión, variará mientras que las condiciones de estancamiento estipuladas se mantendrán a la entrada de la boquilla. Se empieza con una presión de contrapresión ligeramente menor que la presión de estancamiento.

Esto produce un flujo completamente subsónico, como se muestra en la curva I de la figura 7, que es una gráfica de la relación de la presión en laboquilla con respecto a la presión de estancamiento en diferentes posiciones a lo largo del flujo. El fluido emerge a la presión ambiente (PB)1 como un chorro libre subsónico. Los efectos no isentrópicos para esta clase de flujo pueden considerarse muy pequeños. A medida que la presión de contrapresión disminuye, se incrementa el número de Mach del flujo. Finalmente, se alcanza una condición sónica en la garganta de la boquilla, que se muestra como la curva 2 y representa la operación de la boquilla en condiciones de diseño, donde la presión de contrapresión ahora corresponde a la presión crítica. Una disminución adicional de la presión en la cámara de contrapresión no tiene ningún efecto sobre el flujo dentro de la boquilla y se dice que la boquilla está operando en una condición estrangulada. Una explicación física simple de esta acción puede darse en la siguiente forma: cuando se establecen condiciones sónicas en la garganta, esto significa que el fluido en esta región se mueve hacia aguas abajo con una velocidad igual a la cual la propagación de presión puede moverse hacia aguas arriba.

Por consiguiente, las variaciones en presión resultantes de descensos adicionales en la presión de contrapresión no pueden “comunicarse” hacia aguas garganta, que actúan como una barrera. Por consiguiente, en estas condiciones no pueden ocurrir cambios aguas arriba de la garganta. Cuando la presión de contrapresión se disminuye de nuevo,

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Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6Figura 6


la presión del chorro continúa siendo la presión crítica en el momento de emerger hacia la cámara de contrapresión. Existe ahora una diferencia de presión entre el chorro y sus alrededores, una condición posible en un chorro libre sólo cuando el flujo tiene un número de Mach igual o superior a la unidad. Como se indicó antes, el ajuste hacia la presión ambiente ocurre en el chorro mediante una serie de ondas de expansión oblicuas y de ondas de choque oblicuas. Este flujo se muestra en la gráfica como la curva 3, donde se ha empleado una línea ondulada para representar estos efectos de onda de choque por fuera de la boquilla. Los descensos adicionales de la presión sólo sirven para amplificar la potencia del patrón de la onda de choque. Luego, a partir de este análisis puede verse que la boquilla convergente puede actuar como una válvula limitante, permitiendo solamente cierto flujo máximo de masa para un conjunto dado de condiciones de estancamiento.

Ahora se pasa a la boquilla convergente-divergente (véase la figura 8), que se considerará de un modo paralelo al caso anterior. Nuevamente, las condiciones de estancamiento se mantendrán fijas mientras que la presión de contrapresión se varía. Una presión de contrapresión elevada permite un flujo subsónico a través de la boquilla y éste emerge como un chorro libre con una presión igual a la presión de los alrededores.

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Figura 7

Figura 8

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Este flujo se muestra como la curva 1 en la figura 9, donde se ha graficado la relación P/Po a lo largo del flujo. Con una disminución adicional de la presión de contrapresión se alcanza una condición con flujo sónico en la garganta y un regreso al flujo subsónico en la sección divergente de la boquilla. Esto se muestra en la curva 2, que es la curva límite para un flujo completamente subsónico.

Nótese que la región en la gráfica que representa el flujo subsónico se ha identificado como región 1. Una disminución adicional en la presión de contrapresión no afecta el flujo en la porción convergente de la boquilla como en el caso previo de la boquilla convergente. En consecuencia, el flujo de masa no puede aumentarse una vez que se ha sobrepasado la región 1 y ahora se considera que la boquilla opera en una condición estrangulada. Sin embargo, más allá de la garganta existe ahora una expansión supersónica isentrópica la cual, como se nota en la curva 3, se interrumpe súbitamente mediante una onda de choque plana, como lo indica un aumentodiscontinuo de presión en la curva. Después del choque hay una expansión subsónica hacia la presión de contrapresión. Esta porción subsónica del flujo puede considerarse isentrópica si no ocurre un crecimiento excesivo de la capa límite como resultado del gradiente de presiones desfavorable causado por la onda de choque. La posición de la onda de choque puede determinarse mediante el procedimiento siguiente: empezando con las condiciones conocidas en la garganta y en la salida, considérense relaciones de flujo isentrópico hacia el interior desde ambos extremos de la sección divergente de la boquilla. En algún lugar a lo largo de esta porción de la boquilla existirá una posición donde el flujo subsónico calculado utilizando las condiciones de salida, y el flujo supersónico calculado utilizando las condiciones en la garganta, tendrá relaciones correspondientes a aquellas a través de una onda de choque normal. La onda de choque se espera en esta posición.Cuando se disminuye aún más la contrapresión, la onda de choque se mueve hacia aguas abajo, volviéndose más fuerte puesto que ocurre a un número de Mach mayor.

Por último, aparecerá inmediatamente a la salida de la boquilla como se indica mediante la curva 4 en el diagrama. Esta curva y la curva 2 son las expansiones límites de las ondas de choque que se encuentran dentro de la boquilla, y el área encerrada correspondiente en el diagrama se ha designado como la región II. Ahora, las condiciones de flujo en toda la boquilla quedan fijas con respecto a descensos adicionales en la presión de contrapresión. Un descenso como éste en PB saca la onda de choque fuera de la boquilla, con el resultado de tener un flujo supersónico inmediatamente por fuera de ésta. La presión del chorro es ahora menor que la presión ambiente y la onda de choque mencionada antes se vuelve parte de un patrón oblicuo complejo, durante el cual ocurre un ajuste de la presión de chorro hacia las condiciones ambiente. A medida que la presión de contrapresión se disminuye aún más, las ondas de choque disminuyen en intensidad hasta que alcanzan una presión para la cual no aparecen ondas de choque apreciables. Esto se muestra como la curva 5 en la gráfica y corresponde a las condiciones para las cuales la boquilla se diseñó.

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Luego se forma otra región, la región III, donde los patrones de las ondas de choque se encuentran por fuera de la boquilla con un ajuste de presión en el chorro que ocurre desde un valor bajo hacia un valor más alto. Se dice que en esta región la boquilla opera sobre expandida. Al disminuir la contrapresión por debajo de las condiciones de diseño, se llega a la necesidad de un ajuste desde una presión mayor en el chorro hacia una presión ambiental menor, a través de una serie de ondas de expansión y ondas de choque oblicuas que aumentan en intensidad a medida que disminuye la presión de contrapresión. Luego, en la gráfica se ha denotado, otra región, la región IV, donde se dice que la boquilla opera sub expandida (véase la figura 9).

Cabe preguntarse cuál es la ventaja de la operación en la condición de diseño de una boquilla. En el caso de aplicación en una turbina de vapor es claro que las ondas de choque en operación fuera de diseño causan un descenso en la energía cinética disponible para desarrollar potencia. También, un ejemplo muy interesante de la naturaleza perjudicial de la operación de boquillas por fuera de diseño puede mostrarse para la boquilla del motor a reacción de un avión de alta velocidad, para el cual el propósito de la boquilla en esta aplicación es doble.Puesta a funcionar en su condición estrangulada, la boquilla limita el flujo a un valor que se ajusta en forma apropiada a los requerimientos de otros componentes del motor a reacción. El tamaño de la sección de garganta es el factor que controla esta fase de funcionamiento de la boquilla. El segundo propósito es proveer un flujo que produzca el mayor empuje con relación a las consideraciones de arrastres externos y estructurales. Considerando sólo el flujo interno, fácilmente puede demostrarse que operar la boquilla en las condiciones de diseño ofrece el empuje óptimo desde este único punto de vista. Considérese primero el caso de una operación sobreexpandida de la boquilla para la cual la variación de la presión sobre una porción de la boquilla se muestra en la figura 10. Nótese, entre las secciones A y B, que la presión dentro de la boquilla es menor que la presión ambiente, generando de esta manera un empuje negativo en la dirección de

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Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9Figura 9


vuelo. Al cortar esta sección de la boquilla se incrementaría el empuje hasta su punto máximo. Sin embargo, esto implicaría que el fluido sale de la boquilla a presión ambiente, de manera que se está en las condiciones de diseño de una nueva geometría de la boquilla. En el caso de una operación subexpandida, la presión de salida es mayor que la presión ambiente, como se muestra en la figura 11. Ahora, si la boquilla se extendiera de manera que la expansión alcanzara la presión ambiente, es claro que existiría un empuje adicional causado por la presión que excede la presión ambiente que actúa sobre la pared de la boquilla. Nuevamente, esto lleva a la operación de diseño.

FLUJO A TRAVES DE UN DUCTO DE SECCIÓN CONSTANTE CON FRICCIÓN

I. INTRODUCCIONLa fricción en las superficies, asociada con el flujo a altas velocidades a través de dispositivos cortos con gran área de sección transversal, tales como toberas de gran tamaño, es frecuentemente despreciable, y el flujo a través de estos dispositivos puede aproximarse a uno libre de fricción. Pero la fricción en las superficies es importante y debe considerarse cuando se estudian largos tramos de flujo, tales como ductos largos, especialmente cuando el área de sección transversal es pequeña. En esta sección se considerarán flujos

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Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11 Figura 10 Figura 11


compresibles en ductos de área de sección transversal constante con fricción en las paredes importante. Considere el flujo estacionario, adiabático y unidimensional de un gas ideal con calores específicos constantes en ducto de área de sección transversal constante con efectos de fricción importantes. Estos flujos se llaman flujos de Fanno.

Fig. 12 Flujo compresible en sección constante con fricción

Anteriormente se presentó el lugar geométrico de estados conocido como línea de Fanno para flujo adiabático, de área constante y permanente como el que se estudiará aquí. Luego, para un estado en una sección del ducto y para un caudal dado, el fluido debe cambiar continuamente de estado a lo largo del ducto para seguir la línea de Fanno, excepto en el caso de una onda de choque. (Véase la figura 2)

Se empieza con un flujo subsónico, indicado como el estado 1 en la curva de Fanno correspondiente al caudal G, Es claro que cualquier cambio de estado que pueda ocurrir debe ser tal que aumente la entropía, así que el flujo debe ir hacia el punto sónico a. Luego, en forma bastante extraña, la fricción produce un incremento del número de Mach. No puede continuar el cambio de estado más allá del punto sónico hasta alcanzar el régimen supersónico, debido a que esto ocasionaría una disminución de la entropía y una contravención de la segunda ley de la termodinámica.

Si, por otro lado, el flujo inicial es supersónico, significará que el fluido se encuentra en la posición 2 sobre la línea de Fanno. La segunda ley implica ahora que todos los cambios de estado sean tales que procedan hacia arriba de la curva, nuevamente hacia a, el punto sónico. El flujo no puede moverse a lo largo de la línea de Fanno hacia el flujo subsónico sin una contravención de la segunda ley.

Para que exista una transición a flujo subsónico en el ducto, es necesaria una onda de choque normal. Supóngase que ésta se presenta. Entonces el estado cambiará, de acuerdo con las relaciones de la onda de choque hacia el régimen subsónico y luego nuevamente se moverá a lo largo de la línea de Fanno hacia la región subsónica. En la figura 2. Se ilustra esta posibilidad sobre la curva correspondiente a G, donde, con la

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ayuda de la línea de Rayleigh, se muestra el lugar geométrico de los estados recorridos por el fluido. Nótese que en todo instante la entropía aumenta.

Fig. 13 Líneas de Fanno

Para un flujo subsónico a la entrada del ducto, habrá un aumento del número de Mach a medida que el fluido se mueve hacia aguas abajo. Si el flujo no ha alcanzado las condiciones sónicas a la salida, procederá subsónicamente como un chorro libre desde el ducto en la presión ambiente. Ahora supóngase que el dueto es suficientemente largo para tener condiciones sónicas a la salida. Luego, supóngase además que el ducto se incrementa en longitud. De acuerdo con las conclusiones derivadas de las consideraciones de la línea de Fanno, el flujo no puede continuar simplemente incrementando el número de Mach en régimen supersónico en la nueva sección del dueto; en lugar de esto, hay un reajuste del flujo en forma tal que se produce un descenso en el flujo de masa y de nuevo se establece la condición sónica a la salida del dueto. Además, el flujo subsónico en el ducto se estrangula cuando existe flujo sónico en la salida. En el diagrama h-s, la acción descrita antes implica un cambio hacia otra línea de Fanno correspondiente a un valor diferente de G.

Si al comienzo el flujo es supersónico, habrá una disminución en el número de Mach a lo largo del ducto, y en la condición límite existirán condiciones sónicas a la salida de éste. El flujo se encuentra estrangulado. Ahora, incrementos adicionales de longitud estarán acompañados por una reorganización del flujo para mantener la condición sónica a la salida. Esto se lleva a cabo mediante la formación de una onda de choque plana cerca de la salida, después de la cual el flujo subsónico se acelera a las condiciones sónicas de la salida. Por último, existirá un cambio en el caudal para incrementos suficientemente grandes en la longitud del ducto.

II. ECUACIONES DE FLUJO ADIABATICO EN SECCION CONSTANTE PARA UN GAS PERFECTO

16


La fricción en las superficies, con el flujo a altas velocidades de dispositivos corto con gran área, como pueden ser las toberas es frecuentemente despreciable. Pero la fricción en superficies es importante y debe considerarse cuando se estudian en largos ramos como tuberías, especialmente cuando la sección transversal es pequeña.

Considere el flujo estacionario, adiabático y unidimensional de un gas ideal con calores específico constante en ductos de área de sección transversal constante con efectos de fricción importante.

Se deducirán las ecuaciones que darán los números de mach así como las variaciones de presión que puede haber a lo largo de ducto para un flujo de un gas perfecto con calor especifico constante consideraremos un volumen de control, infinitesimal para el flujo del ducto, como el de la figura.

Se comenzara por obtener las formas diferenciales de las ecuaciones de conservación y las relaciones entre las propiedades.

Primera ley de la termodinámica

C pdT+d (V 22 )=0……….(1)Ecuación de continuidad la forma diferencial se obtiene diferenciando la relación de continuidad ρV=const y mediante algunos arreglos.

17

figura14 volumen de control diferencial en un ducto de área constante son fricción


ρdV +Vdρ=0→dρρ

=−dVV

…….(2)

Ecuación de momentum lineal

−Adp+dR=(ρVA )dV

Donde dR representa las fuerzas friccionales sobre la superficie de control. al dividir por A, se obtiene:

−dp+ dRA

=ρVdV ……………… ..(¿)

Si Φ es el perímetro de la sección transversal del ducto, dR puede darse como

dR=−Φdz τ p……………¿

Considérese la figura que muestra un paquete de fluido de longitud L, para flujo permanente, de la ley de newton requiere que para el caso de un ducto circular

18

Figura15 volumen de control infinitesimal


∆ p( π D24 )=τ p(πDL)Ahora se divide y se multiplica el miembro izquierdo de la ecuación por ρ para obtener

ρ(∆ pρ )( π D2

4 )=τ p (πDL )…………….(¿∗¿)

Al igual que en el caso de flujo en tuberías, puede considerarse que ∆ pρ es la perdida de

altura en el ducto y que puede expresarse, al igual que ates, en términos de un factor de fricción f . Es decir

∆ pρ

=( f )( LD

)(V2

2)

Al sustituir el resultad en la ecuación (***) y despejar τ p se tiene:

τ p=( f4 )( ρV2

2 )………¿

Esta relación es idéntica al resultado de τ p y f desarrollados para flujos viscos incompresibles en tuberías. Esta ecuación se utiliza para conductos circulares como no circulares. Para ductos no circulares, se utiliza el diámetro hidráulico DH .el factor de fricción f para ductos no circulares esta dado en función de Re con DH como el parámetro de longitud para diferentes valores de rugosidad e /DH . Al remplazar dR en la ecuación (*) y (**) y (****) utilizar las ecuaciones junto con DH=4 A /Φ , puede formarse la relación siguiente:

−dp= fDH

ρV 2

2dz+ρVdV …… ..(3)

Ecuación de estado

p=ρRT …………..(4)

19

Figura16 un paquete de flujo en un ducto circular


La forma diferencial de la ecuación del gas ideal se obtiene al diferenciar la ecuación

dP=ρRdT +RTdρ→dPP

=dTT

+ dρρ

Las ecuaciones (1), (2), (3),(4)constituyen cuatro ecuaciones independientes que contienen T,V,ρ,P,z y f ,que pueden combinars en una ecuación diferencial con las variables M,f y z por medio de operaciones algebraicas. La ecuación resultante es

1−M 2

1+[(k1)/2]dM 2

M 4 = fkDH

dz

Esta ecuación puede integrarse al utilizar la fórmula de integración que se encuentra en manuales de matemática si se supone que pueden emplearse valores promedios de f , los cuales pueden considerarse constantes en el intervalo para el cálculo. Supóngase que existe una condición sónica en un extremo del ducto. Es decir, el ducto se encuentra en condición estrangulada. Por consiguiente, la integración se llevara a cabo desde cualquier posición a lo largo del ducto, donde el número de mach está dado por M, hasta el extremo de la tubería, donde M=1.los resultados de la integración hecha en esta forma están dado por:

( 1M 2−1)+ k+12 ln (k+1)M 2

2 {1+[ k−12 ]M 2}= fkDH

L

Donde L es la distancia desde la posición correspondiente al número de mach M hasta el extremo del ducto .por consiguiente al estipular la posición desde el extremo del ducto en condición estrangulada, puede calcularse en forma razonable el número de Mach, en función de un factor de fricción promedio en cualquier posiciónL. En la tabla 11.1 se presentan los valores de M (subsónico únicamente) para un cierto intervalo de la

expresión ( f . kDH )L.

20


figura17 ducto estrangulado

Junto con este resultado, es interesante conocer la variación de la presión a lo largo del ducto para flujo subsónico. El caso más usual será que tanto la temperatura de estancamiento (constante para todo la longitud del ducto) como el flujo de masa se conocen. Luego a lo largo de cualquier posición del ducto, puede decirse que:

PPo

= ρTρoT o

= ρ

ρ0 {1+[ (k−1 )2 ]M 2}

Tabla 4

Datos de Fricción para la Ecuación 11.83 con K=1.4

( f . kDH )L M ( f . kDH )L M

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.901

0.865

0.839

0.818

0.800

0.786

0.772

0.760

0.56

0.58

0.60

0.62

0.64

0.66

0.68

0.70

0.625

0.621

0.617

0.613

0.609

0.605

0.601

0.598

21


0.18

0.20

0.22

0.24

0.26

0.28

0.30

0.32

0.34

0.36

0.38

0.40

0.42

0.44

0.46

0.48

0.50

0.52

0.54

0.749

0.739

0.729

0.720

0.712

0.704

0.697

0.690

0.683

0.677

0.671

0.665

0.659

0.654

0.649

0.644

0.639

0.634

0.630

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

12.00

13.00

14.00

15.00

16.00

17.00

18.00

19.00

0.462

0.409

0.373

0.346

0.324

0.307

0.292

0.279

0.268

0.258

0.249

0.241

0.234

0.227

0.221

0.216

0.211

0.206

0.201

22


Donde T /T0 se ha reemplazado al utilizar la ecuación (11.32).Utilizando la definición de Gse reemplaza ρ por G /V y reemplazando V por M √kRT , se obtiene:

PPo

= G

M √kRT∗ρ0 {1+[ (k−1 )2 ]M 2}

Ahora se reemplaza T 1/2por { T 0

1+[ k−12 ]M 2 }1 /2

y ρo por PoRT 0

. Esto lleva a:

P= GM ( RT 0

k{1+[ (k−1 )2 ]M 2})

1/2

Al conocer el número de Mach en cualquier posición del cualquier flujo con área constante, adiabático y unidimensional, podría determinarse la presión en ese punto del flujo en función de constantes T 0y G del flujo.

Nótese que al calcular M y ρ de un flujo estrangular utilizando las ecuaciones (11.83) y (11.86) tendría que estimarse un factor de fricción para una relación de rugosidad e /DH , dada, como se hizo cuando se trabajó con flujos viscosos incompresibles a través de tuberías. Puede establecerse un proceso computacional iterativo para este análisis, para obtener una mayor exactitud en los resultados. Luego, después de calcular M con base en un valor estimado de f .

1. Se determina la temperatura en el sitio en cuestión empleando el número de Mach calculado, la temperatura de estancamiento T 0, (recuérdese que T 0, es constante para flujo adiabático) y las tablas isentrópicas.

2. Con estas temperaturas, en el apéndice se encuentra la viscosidad μ.3. Conociendo G, ahora puede calcularse el número de Reynolds en el punto de

interés. Es decir, ℜ=GDH / μ4. Ahora puede encontrarse un nuevo factor de fricción en el diagrama de Moody.

Este nuevo factor de fricción debe emplearse en un nuevo conjunto de cálculos si es muy diferente del estimativo inicial. Aunque puede argumentarse que el factor de fricción calculado de esta forma es el resultado de las consideraciones sólo en un lugar específico, sin embargo, para flujo subsónico el número de Reynolds es prácticamente constante para un flujo dado y, por consiguiente, el factor de fricción determinado en un

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Figura18 extensión hipotética del ducto hasta M=1


lugar específico puede utilizarse para toda la longitud del ducto, con una exactitud consistente con los otros pasos del análisis.

Ahora se considera un flujo subsónico que no se encuentra en una condición estrangulada. Para este caso, se sabe que la presión de salida debe ser igual a la de los alrededores y en consecuencia es una cantidad conocida. La ecuación (11.83) que se desarrolló para el caso estrangulado, todavía puede usarse al permitir la presencia de una extensión hipotética del ducto hasta una sección crítica. Luego, la ecuación dará la longitud de esta salida hipotética si se sabe el número de Mach en algún punto del ducto y puede hacerse una buena estimación del factor de fricción. Por otro lado, si se conocen G y T 0 podrá calcularse el número de Mach en la salida real utilizando la ecuación, (11.86) ya que se conoce p (es la presión ambiente) y debido a que esta ecuación de ninguna manera está restringida a flujo estrangulado. La extensión hipotética Lhip (véase la figura 11.41) podrá calcularse directamente utilizando la ecuación (11.83). Esto lleva de nuevo al problema de flujo estrangulado que ya se analizó y los procedimientos desarrollados se aplican nuevamente.

Como una ayuda para los cálculos, en los libros se ha dado tablas para las líneas de Fanno donde, para k=1.4, se tienen las relaciones T /T¿ , p/ p¿ , p0 / p0

¿ yV /V ¿ en función de M . Las cantidades señaladas con asterisco corresponden, al igual que antes, a condiciones sónicas.

En el caso de flujo supersónico, no se tienen datos comparables para los factores de fricción como los utilizados para flujo subsónico. Debe señalarse que en el flujo supersónico a través de duetos se presentan grandes pérdidas en la presión de estancamiento y, en consecuencia, deben evitarse longitudes largas con flujo supersónico. Es mucho mejor difundir el flujo en condiciones subsónicas durante el transporte, y cuando se requiera flujo supersónico, expandirlo a través de una boquilla convergente-divergente.

24


Ejemplo 1:Un ducto con sección transversal cuadrada de 0.300m de lado tiene un flujonden25kg de aire por segundo. El aire, que originalmente se encuentra en una cámara cuya temperatura es de 90°C, ha sido aislado mediante las paredes del ducto contra cualquier transferencia de calor al exterior.

Figura19

Extensión hipotética del ducto hasta M=1

El ducto está operando en una condición estrangulada. Si el ducto tiene una rugosidad relativa de 0.002, determine el número de Mach en una posición localizada a 6m de la salida del ducto.

Solución:

Puede calcularse M en esta posición empleando la ecuación

( 1M 2−1)+ k+12 ln (k+1)M 2

2 {1+[(k−1)/2]M2 }= fkDH

L

Para hacer esto, se estima f=0.024 utilizando el diagrama de Moody. El diámetro hidráulico DH es:

DH=4 Ap

=(4)(0.32)(4 )(0.3)

=0.3m

Utilizando k=1.4se tiene

25


( 1M 2−1)+1.2 ln 1.2M 2

1+0.2M 2=(0.024)(1.4)

0.3=0.672

Utilizando la tabla 11.1 o resolviendo por prueba y error, se obtiene M=0.60

Para verificar el factor de fricción deben calcularse otras condiciones en esta sección de la tubería. La temperatura T se determina utilizando la tabla isentrópica B.5 del apéndice para M=0.60. Luego.

TT0

=0.933

Por consiguiente T=339K=65.7 °C

Ahora usando tablas de viscosidad para el aire a la temperatura 65.7°C tenemos:

μ=2.15 x 10−5 N . s/m2

Luego tenemos

G=WA

= 250.3002

=277.8 kg /(m2)(s)

Ahora hallamos el número de Reynolds

ℜH=GDH

μ=

(277.8)(0.300)2.15 x 10−5

=3.88 x106

Volviendo al diagrama de Moody, puede verse que el f escogido es suficientemente cercano para no requerir cálculos adicionales y que el número de mach deseado es 0.60

26


Ejemplo 2:A través de un ducto de área constante y muy aislado (figura )fluye aire, en la sección (1) se conocen los datos siguientes: M 1=0.3 , T1=60 °C ρ1=1.8×10

5Pa|¿| si en la sección

(2) el número de Mach es M 2=0.7

a) ¿Cuál es el flujo de masa?b) ¿Cuál es el flujo de arrastre sobre el ducto entre las secciones (1) y (2)?

Figura20 flujo adiabático de aire a través de un ducto de área constante

Solución:

Para la parte (a) se utilizará la ecuación:

w=ρ1V 1 A1

Y para la parte (b) se utilizaran las ecuaciones de momentum y de continuidad para el volumen de control de la figura 11.42. Luego:

(ρ1−ρ2 )A+F=ρ1V 1 A1(V 2−V 1)

Ahora encontramos las cantidades necesarias en la ecuación anterior para el flujo de masa w y el arrastre D=-F

Se empieza utilizando las tablas

Isentrópicas. En éstas, para M 1=0.3se obtiene

T 1(T 0)1

=0.982

Entonces:

(T 0 )1=(60+273)0.982

=339.1 ° K

Esta temperatura de estancamiento es constante en el flujo. Luego,

27


(T 0 )1=(T 0 )2=339.1° K

Para M 2=0.7

T 2(T 0)2

=0.911

Entonces:

T 2=(339.1)(0.911)=308.9° K

Antes de ir a las tablas de línea de Fanno debe utilizarse la ecuación de estado para obtener ρ1. Luego,

ρ1=p1RT1

= 1.8×105

(287 ) (333 )=1.883 kg

m3

También la velocidad del sonido es c1

c1=√kRT 1=√(1.4 )(287)(333)=365.8m /s

Finalmente, para la velocidad V 1se tiene:

M 1=V 1c1

Entonces:

V 1=(0.3 ) (365.8 )=109.7m /s

Ahora encontramos los datos de Fanno

Para M=0.3T1T ¿=1.179

Entonces:

T ¿= 3331.179

=282.4 ° K

p1p¿=3.62

Entonces:

p¿=1.8×105

3.62=4.972×104 Pa|¿|

28


V 1V ¿=0.326

Entonces:

V ¿=109.70.326

=336.5m /s

Para M=0.7T2T ¿=1.093

Entonces: T 2=(282.4)(1.093)=308.7 ° K

p2p¿=1.49

Entonces:

p2=(4.972×104 ) (1.49 )=7.408×104 Pa|¿|

V 2V ¿=0.732

Entonces:V 2=(336.5)(0.732)=246.3m /s

Ahora podemos encontrar los resultados deseados:a)

w=ρ1V 1 A1=(1.883 ) (109.7 ) (0.04 )=8.263 kg/s

(ρ1−ρ2 )A+F=ρ1V 1 A1(V 2−V 1)

b)

1.8×105−7.408×104 ¿(0.04)+F=8.263(246.3−109.7)

Por lo tanto

F=−3108N

Entonces tenemos que:

arrastre=3108N

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BIBLIOGRAFIA Mecánica de fluidos de Irving Shames tercera edición Mecánica de fluidos de Yonus Cengel

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