MODELOS TEORICOS DE PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS

I. Introducción

Se basan en principios fundamentales de la física en cuanto a propagación de ondas de radio y los fenómenos que la rodean. Pueden ser aplicados en diferentes entornos sin afectarles a su precisión. En la práctica su implementación requiere enormes bases de datos de características relativas al entorno, las cuales son imposibles o inviables de obtener de manera práctica.Los algoritmos usados por los modelos deterministas son generalmente muy complejos y computacionalmente poco eficientes. Por esta razón su implementación se restringe a pequeñas áreas. Por el contrario, si su implementación es correcta, proporcionan gran precisión en su predicción comparados con los modelos empíricos.En la actualidad existen diferentes modelos teóricos siendo los más populares los basados en Ray-tracing y FDTD (Finite-Difference Time-Domain).

II. Modelos basados en Ray-Tracing

En la última década se ha producido un crecimiento espectacular en las comunicaciones inalámbricas. Esto es debido a la utilización de estas en entornos de interiores tal como los sistemas comunicaciones personales (PCS) y las redes de área local (WLAN). La necesidad de evaluar de un modo eficaz la propagación de radio en edificios está aumentando. También es crítico optimizar las localizaciones de las estaciones bases requeridas para asegurar el funcionamiento satisfactorio de los sistemas. Por lo tanto, la predicción de la propagación de radio para los entornos de interior, que forma la base de la optimización para la localización de las estaciones base, se ha convertido en un asunto de investigación importante.

Para crear un modelo de un sistema de comunicaciones, debe determinarse la descripción matemática del transmisor, el receptor y el efecto que el entorno tiene sobre la señal transmitida. Una vez que se combina la descripción matemática de estos componentes, entonces el modelo puede ser usado para evaluar el desempeño de un sistema teórico, sin la necesidad de construirlo en hardware antes de la evaluación. El modelo final puede ser en forma de ecuaciones, pero debido a la complejidad del entorno es más probable que se incorpore en una simulación por ordenador que combina una descripción simplificada del entorno con las ecuaciones que rigen la propagación de la onda transmitida en la presencia de estructuras simples.

Introducción

La propagación de radio de interior no es influenciada por condiciones atmosféricas como la lluvia, la nieve o las nubes como propagación al aire libre (entornos exteriores), sino que puede ser afectada por la disposición en un edificio especialmente el uso de diversos materiales de construcción. Debido a la reflexión, a la refracción y a la difracción de las ondas de radio por los objetos tales como paredes, ventanas, puertas y muebles dentro del edificio, la señal transmitida alcanza a menudo el receptor a través de más de una trayectoria, dando por resultado un fenómeno conocido como “desvanecimiento por multitrayecto”.

Figura 1: Principales rayos del transmisor al receptor.

Recientemente, la técnica del Trazado de Rayos o ray-tracing se esta utilizando extensamente para predecir la propagación de radio en los entornos de interiores.

Los modelos de Trazado de Rayos se utilizan extensamente tanto en 2D como en 3D: en el modelo de 2D solamente se trazan los rayos en un plano, así que necesita menos tiempo del cómputo, sin embargo, en el modelo de 3D se deben trazar todos los rayos, así que necesita mucho más tiempo del cómputo.

La técnica del Trazado de Rayos en 2D es ampliamente utilizada para la predicción de interior de la propagación. Cuando el entorno de interior es grande y complejo, tomará mucho tiempo CPU para calcular las características de la propagación. Es por lo tanto importante mejorar la eficacia de cómputo. Las técnicas de aceleración se usan para disminuir este tiempo de CPU.

Primero se realiza un modelo 2D del Trazado de Rayos llamado modelo de cobertura, el cual calcula la potencia recibida en todos los puntos del entorno dependiendo de la resolución deseada.

Después y aprovechando dicho modelo en 2D, se desarrollará un nuevo modelo eficiente de Trazado de Rayos en 3D. En este modelo, todos los objetos se proyectan sobre el piso. Usando el algoritmo del Trazado de Rayos en 2D y una reconstrucción de la altura de cada trayectoria se puede construir un modelo en 3D a partir del modelo en 2D creado. Porque pocos rayos eficaces necesitan ser remontados, mucha hora del cómputo puede ser ahorrada. Además, el sistema de coordenadas fijado por el rayo se utilizan en el análisis para reducir la dimensión (a partir el 3 a 2) de las coordenadas para los coeficientes de la reflexión, de la refracción y de la difracción.

Definición del trazado de rayos

El trazado de rayos es un modelo determinista que se emplea para la predicción de la respuesta del canal de radiocomunicaciones. Se fundamenta en la aplicación de la Óptica Geométrica (GO) y la Teoría Uniforme de la Difracción (UTD). A medida que la frecuencia aumenta, la primera zona de Fresnel, que es la que concentra la mayor parte de la energía, tiende a estrecharse y se puede simular como un rayo. De este modo la propagación de las ondas electromagnéticas se puede seguir de la misma forma que el camino que recorre un rayo óptico, simplificando enormemente el análisis.

Los mecanismos fundamentales de propagación son la reflexión, la difracción y la difusión. La reflexión ocurre cuando una onda electromagnética incide sobre un objeto cuyas dimensiones son superiores a la longitud de onda. GO contempla la reflexión y la trata con la ley de Snell. El fenómeno de la difracción surge cuando un rayo es obstruido por una superficie con irregularidades abruptas (esquinas formadas por dos paredes). En este caso se generan ondas secundarias desde esta arista por el principio de Huygens, y es la UTD la teoría electromagnética que estudia y resuelve este problema. Por último, la difusión tiene lugar cuando una onda viaja por un medio con objetos de dimensiones similares a la longitud de onda, o cuando el número de objetos por unidad de volumen es alto. La difusión en comunicaciones móviles suele tener un valor muy bajo con respecto a otras contribuciones, y no se suele tener en cuenta en el trazado de rayos.

Existen dos formas de trazar rayos:

La primera se llama en inglés Ray-Launching o método de la “fuerza bruta”, que consiste en el lanzado de rayos desde la posición del transmisor con una separación angular constante y en su posterior seguimiento.

La segunda de ellas es mediante el método de la imagen, que se basa en la generación de imágenes a partir de las posibles reflexiones que puedan producirse en un entorno.

El trazado de rayos que se ha utilizado es mediante el método de la imagen, ya que está bien adaptado al análisis de la propagación de radio asociado a geometrías de baja complejidad y a un pequeño número de reflexiones. El método de la “fuerza bruta” pone en marcha un paquete de rayos que pueden o no alcanzar el receptor, por lo que requiere numerosas pruebas de intersección rayo-objeto y selección de datos extensos para el Trazado de Rayos.

Efectos de la geometría de rayos

La representación de un trazado de rayos en el entorno es una parte importante del modelo. El entorno, dentro del cual funciona un transmisor práctico, consiste en una serie de superficies que son de un tamaño finito. Esto implica que una onda transmitida puede ser o no reflejada por un objeto antes de ser recibida por una antena en algún otro lugar. Del mismo modo, una onda transmitida puede ser o no reflejada por dos objetos antes de ser recibida por una antena. Cada uno de estos mecanismos de propagación de un transmisor a un receptor será clasificado como una trayectoria de propagación. La ausencia de una trayectoria reflejada por separado no hace excluir necesariamente la presencia de una trayectoria doble reflejada que incorpore el mismo objeto en su propagación. Por lo tanto, cada posible camino de propagación, con múltiples ondas reflejadas, debe ser considerado.

Una representación posible del entorno que reduce la complejidad de tratar con múltiples señales reflejadas implica la noción de que una onda que se refleja se considere como una onda transmitida directamente de una fuente de imagen fija con una energía de señal modificada y, posiblemente, la polaridad que existe en el lado opuesto de la superficie reflectante. Utilizando esta fuente de imagen fija, es posible excluir rápidamente la propagación de las rutas que no existen debido

al tamaño limitado de la superficie reflectante. En la Figura 3 existe un camino desde el transmisor al receptor 1 a través del objeto reflectante en el entorno. Esto puede determinarse a partir de calcular el punto de intersección de la señal transmitida sobre el plano reflectante mediante el uso de una regla basada en que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión o directamente por el punto de intersección de la línea que une la imagen al receptor 1 y el plano reflectante. Una vez que se ha determinado el punto de reflexión, su existencia en la superficie del objeto puede ser verificada.

Los efectos de una superficie reflectante de tamaño finito se ilustran al considerar el receptor 2. A pesar de que la línea que une la imagen y el receptor 2 cruza el plano reflectante, el punto de intersección de la línea que une la imagen al receptor 2 y el plano no está en la superficie reflectante, por lo tanto no existe reflexión en el camino entre el transmisor y el receptor. El receptor 3 es un ejemplo de un receptor de posición que, debido a que es en el lado opuesto del plano reflectante para el transmisor, no recibirá una componente multitrayecto directamente a partir de esta reflexión. Sin embargo, tanto para el receptor 2 como para el receptor 3, la falta de una ruta reflejada directa no se opone a que una señal reflejada múltiple llegue al receptor a través de una reflexión externa en este ejemplo de objeto reflectante.

Figura 3: Propagación del trazado de rayos

Así como la propagación electromagnética se produce en el espacio libre, la propagación puede existir a través de componentes transmisivos en el entorno. Tales caminos pueden atenuar la onda de propagación por una cantidad importante que depende del material de construcción, el ángulo de incidencia, y el espesor del panel como se muestra arriba.

Por lo tanto, el modelo de trazado de rayos debe considerar cada camino posible de propagación del transmisor al receptor por lo que refleja la fuente de todos los objetos en el entorno y, a continuación, cada imagen resultante en todos los demás objetos, y así sucesivamente.

Es evidente que algún mecanismo debe existir para limitar el número de vías de propagación que se examinan ya que el algoritmo que se acaba de describir no está concluido. Existe un número de posibilidades, entre ellas están las que limitan el número de reflexiones que se consideran y las que compararan la energía de cada onda reflejada con un límite de referencia por debajo del cual no se consideran las señales. Hasta el momento, la discusión ha descrito los mecanismos para considerar la reflexión de objetos en el entorno. Las difracciones de las esquinas pueden ser tratadas por analogía, salvo que la imagen que se genera ya no sea una fuente puntual, sino un conjunto de

posibles fuentes que describen un arco con el centro sobre el borde difractante. La ubicación de una imagen particular para un receptor de posición está determinada por el ángulo entre la posición del receptor y la superficie de referencia del borde. Debido a la más compleja representación de éste, y la posterior expansión de la onda incidente, las múltiples señales difractadas pueden ser ignoradas para la mayoría de aplicaciones prácticas. Si es necesario, puede ser incluido un caso especial para la propagación a través de una ranura de difracción que es un importante mecanismo de propagación.

Razones para el trazado de rayos

Las escenas urbanas y de interiores típicas tienden a ser entornos complejos que requieren una gran cantidad de facetas para ser modelados. En tales entornos, la radiopropagación de las ondas es un fenómeno extremadamente complicado. En un problema de comunicaciones móviles, es necesario computar el campo usando una gran cantidad de puntos situados a lo largo de una línea en una calle, en un pasillo de interiores o en los nodos de una malla. El número de puntos de observación puede estar en el orden de miles o aún mayor. La fuente o las fuentes se pueden situar en cualquier punto en la escena.

Incluso usando un modelo simplificado de las escenas como el modelo de facetas y una aproximación de la propagación del rayo tal como GO/UTD, el problema de simular la propagación de las ondas de radio es una tarea compleja.

En el mundo de los gráficos por computador, '' la prueba de sombreado " se conoce como la operación para determinar si un punto de observación es visible desde un punto de la fuente. En otras palabras, la prueba de sombreado determina si algún objeto de la escena obstruye una trayectoria de rayo dada desde un punto de la fuente a un punto del observador. Los puntos fuente pueden ser las antenas transmisoras, los puntos de reflexión, los puntos de difracción y los puntos de transmisión. Los observadores pueden ser puntos de observación, puntos de reflexión, puntos de difracción o puntos de transmisión.

En los modelos de facetas, los objetos del entorno se describen con facetas, así que la prueba de sombreado se reduce en varias ocasiones a las pruebas de intersección rayo-faceta aplicadas. Se considera un modelo de facetas de un entorno urbano con Nf facetas, Ne bordes, una antena transmisora y N0 puntos de observación. Usando un método de lanzado de rayos, la prueba de intersección rayo-faceta se realiza un número de veces proporcionales a:

N0Nf(Nf+Ne) para los efectos de primer orden (rayos directos y rayos simple- reflejados y rayos simple-difractados).

N0Nf(Nf+Ne)2 para los efectos de segundo orden (rayos doble-reflejados, rayos reflejar-difractados, rayos difractar-reflejados, etc.).

N0Nf(Nf+Ne)3 para los efectos de tercer orden (rayos triple-reflejados, rayos difractar-reflejar-reflejados, etc.) y así sucesivamente.

Un microcélula típica se puede modelar por un número de facetas y bordes del orden de varios centenares, así pues, usando solamente un método de lanzado de rayos, el número de pruebas requeridas para el trazo de rayo pueden ser inconmensurables. En tales casos, es necesario reducir, tanto cuanto sea posible, el número de pruebas de intersección de rayo-faceta, usando modelos de propagación del rayo y técnicas eficientes de aceleración del trazado de rayo.

Incluso usando tales algoritmos en entornos complejos, el tiempo consumido en pruebas de intersección rayo-faceta puede tomar más del 90% del tiempo total del trazado de rayos. El 10% restante se pierde en el cálculo de los puntos de la reflexión en facetas, de los puntos de la difracción en los bordes, etc.

Modelos de propagación de los rayos

Existen dos modelos de trazado de rayos: el método de las imágenes y el método del lanzado de rayos.

1. Teoría de las imágenesLa presencia de un obstáculo, especialmente si este está en las inmediaciones del elemento radiante, puede alterar significativamente las propiedades radiantes finales del sistema en si. En la práctica el obstáculo que comúnmente nos encontramos siempre es el suelo. Parte de la energía dirigida hacia éste se transmite mediante la reflexión, siendo la cantidad de energía reflejada dependiente de la geometría y parámetros del suelo.

Normalmente el suelo es un medio con pérdidaσs d(istinto de cero) cuya conductividad efectiva crece con la frecuencia. Por lo tanto es normal esperar que actúe como un buen conductor por encima de una cierta frecuencia, en función a su contenido en humedad. Para simplificar el análisis se puede asumir que el suelo es un conductor eléctrico perfecto, orientado horizontalmente e infinito en extensión. Este procedimiento es extensible al análisis de características de algún elemento radiante próximo a algún otro conductor de la misma naturaleza, es decir, conductividad perfecta, horizontal e infinita. Debe constar que es imposible trabajar con dimensiones infinitas pero si que es posible hacerlo con elementos muy grandes, simplificando al caso infinito.

Para analizar el comportamiento de un elemento radiante próximo a un plano conductor infinito se introducirán fuentes virtuales, llamadas imágenes, que tendrán efecto para la reflexión. Como indica su nombre, esta fuente no es real sino que es imaginaria y su combinación con las reales dan lugar a un nuevo sistema equivalente que reemplazaría al original, sólo con propósitos de análisis, ya que como se ha dicho anteriormente este nuevo sistema no es real, pero si equivalente al anterior. Entonces se haría uso de una nueva geometría o sistema que sólo sirva para obtener un resultado equivalente al del problema original.

Se asume que un dipolo vertical (elemento radiante) está situado a una distancia ‘h’ sobre un conductor perfecto, plano e infinito, como se muestra a continuación:

Figura 4: Dipolo vertical y su imagen para determinar la reflexión sobre un conductor.

Asumiendo que no hay acoplamiento mutuo y que la energía es radiada en todas direcciones, para el observador P1 habrá un rayo directo y además uno reflejado procedente del punto QR1 en la interfaz creada por el conductor y que obedece a la ley de la reflexión que establece queθ 1 = θ1i como se puede apreciar en la figura 7.4. Se deduce por lo tanto que la energía en medios homogéneos describe trayectorias rectas describiendo los caminos más cortos. La onda que llega entonces al punto de observación P1 mediante la reflexión parece originada por la imagen de la fuente a una distancia ‘h’ por debajo del conductor. Si se atiende al transmisor situado en P2 el punto de reflexión es QR2 pero la

imagen sigue siendo la misma que antes. Esta conclusión se extiende a cualquier otro punto por encima de la interfaz del conductor.

La cantidad de energía reflejada depende generalmente de los parámetros del medio sobre el que incide la onda. En el caso de ser un conductor perfecto se produce la reflexión completa de la onda siendo cero el campo al otro lado de la interfaz. De acuerdo a las condiciones de contorno la componente tangencial del campo eléctrico debe de ser cero en todos los puntos de la interfaz o superficie del conductor. Esto lo aprovechamos para determinar la polarización del campo reflejado comparado con la del rayo directo.

Esto se puede apreciar en la siguiente figura:

Figura 5: Componentes del campo en el punto de reflexión

En el caso de la figura anterior, para que se produzca la polarización adecuada de la onda reflejada, la fuente virtual debe de ser también un dipolo vertical y tener la polarización en la misma dirección que la fuente original. Por tanto el coeficiente de reflexión debe ser igual a +1 (reflexión hard). Cumpliéndose la condición de contorno de la componente tangencial del campo eléctrico sobre la interfaz, en este caso es un conductor de dimensiones infinitas, entonces la solución que obtenemos es única, cumpliendo el Teorema de la Singularidad.

A continuación se muestras el mismo caso, pero ahora la orientación de la fuente está dispuesta en sentido horizontal:

Figura 6: Rayo directo y reflejado

Siguiendo un procedimiento similar al del dipolo vertical, vemos que la imagen virtual también se sitúa a una distancia h por debajo de la interfaz del plano conductor pero con una diferencia de fase relativa de π radianes respecto a la fuente original. Esto hace que sea necesario un coeficiente de reflexión igual a -1 (reflexión soft). Obviamente al igual que antes, de acuerdo al Teorema de la Singularidad, el resultado que se obtiene es único porque las condiciones de contorno se satisfacen a lo largo de toda la interfaz.

Aparte de las fuentes eléctricas también se puede trabajar con fuentes equivalentes magnéticas y conductores magnéticos, teniendo en cuenta ahora que la condición de contorno a aplicar será que la componente normal del campo magnético desaparece en todos los puntos de la superficie del conductor. En la siguiente figura se muestran los casos de fuentes y sus imágenes:

Figura 7: Fuentes eléctricas y magnéticas y sus respectivas imágenes.

Como conclusión más básica se puede decir que esta teoría genera imágenes de todas las fuentes en todos los planos o respecto de todos los planos, que pudiera tener el sistema obteniendo de esta forma N imágenes de primer orden si hubiera N planos a considerar con una sola fuente a estudio. Hasta ahora se ha hecho referencia únicamente al cálculo de la imagen de primer orden de la fuente respecto a un plano de interés, que es aquella que se forma implicando a la fuente original y real y dicho plano, sobre el cual se producirá la reflexión del rayo que viajará de dicha fuente hasta el receptor.

Es importante resaltar que se trata de la reflexión ya que con las imágenes de primer orden sólo se puede predecir el cálculo de esos rayos, como se ve en las figuras 4 y 6. Aparece ahora el concepto

de imágenes de orden superior que permiten el cálculo de los rayos que sufren un mayor número de reflexiones en su trayectoria. Para el cálculo de estas imágenes de orden superior ya no se hace uso del transmisor, sino que se trabaja con una imagen de orden inmediatamente inferior y al igual que antes con el plano que sea de interés.

Si bien en el caso de rayos de una sola reflexión se sabe que ésta procede de la pared o plano a estudio, ahora para trayectorias más complejas se ven involucradas un mayor número de planos siendo la última reflexión procedente del plano sobre el que se calcula la imagen de orden superior de trabajo. El resto de reflexiones que atañen a la trayectoria del rayo se producen en las diferentes paredes sobre las cuales se han ido calculando las imágenes de orden inferior y en el estricto orden en el que se han obtenido. Gráficamente todo esto queda resumido en la siguiente figura, en la que se obtiene un rayo que sufre dos reflexiones en su trayectoria de ‘S’ (fuente) hacia ‘d’ (receptor):

Figura 8: Imágenes de primer y segundo orden correspondientes a una fuente (S) situada entre dos espejos (A y B)

Para este caso se observan dos imágenes de primer orden, por lo tanto de la fuente original, que serían SA y SB, las cuales obviamente se forman respecto a los planos A y B respectivamente. De segundo orden se observan SAB y SBA, las cuales observando los subíndices es fácil deducir que serían las imágenes de SA respecto al plano B y de SB respecto al A. Se puede decir, a la vista de esto, que las imágenes de orden superior son realmente imágenes de otras imágenes, que a su vez pueden ser imágenes de otras imágenes dependiendo del orden de la imagen que estemos obteniendo. Por último, hay que hacer hincapié en que el rayo obtenido haciendo uso de la imagen SAB sufrirá la última reflexión en la pared que indica su último subíndice, en este caso B, siendo la segunda reflexión, y las anteriores reflexiones provendrán de los subíndices anteriores y en ese orden, siendo para este caso ya la primera reflexión y procedente de la pared A, siempre que se siga esta nomenclatura.

Es fácil deducir que para el caso de N planos en consideración y una única fuente transmisora se tendrán N(N-1) imágenes de segundo orden, N(N-1)(N-1) de tercer orden y así sucesivamente. La energía alcanzará el punto de destino a través de las múltiples reflexiones que podemos calcular mediante éstas. Una vez que el rayo ha sido descrito mediante las reflexiones que sufre, la atenuación asociada con cada una de ellas se puede calcular fácilmente.

Por tanto el cálculo de las imágenes de diferente orden se perfila como un algoritmo recursivo donde hay una última consideración a tratar y es la validez o no de la imagen, entendiendo como tal la existencia de una reflexión ligada a dicha imagen. Esto es fácil de entender analizando la siguiente figura:

Figura 9: Situación para la que no es válida una imagen de segundo orden, no se produce segunda reflexión en esa pared del rayo procedente de la pared 1

En esta situación se observa una imagen de primer orden y otra de segundo llamadas TX-1 y TX-1-3, siguiendo la nomenclatura habitual, respectivamente. Mediante la línea discontinua de color negro se observa como se han calculado dichas imágenes, primero respecto a la superficie uno y posteriormente a la segunda. Unas líneas similares pero de color anaranjado se trazan desde la imagen hacia el receptor obteniendo con cada una un punto de corte con una superficie a su paso, podrían haber sido muchas paredes y obtener más puntos de corte pero este caso cumple las expectativas propuestas. A los citados puntos de corte se les llama P1 y P2, siendo el primero el

obtenido por la imagen TX-1 con la superficie número uno y el segundo el de la otra imagen con la número cuatro

Únicamente se debe de comprobar que las líneas imaginarias anaranjadas en su camino desde la imagen hasta el receptor corten en la pared respecto a la que es calculada la imagen en cuestión. Hay que ser cuidadoso en este punto ya que el matiz entre plano infinito y pared debe ser tenido en cuenta. Una vez entendido esto es obvio entender que en la figura 2.6 no es valida la imagen TX-1-3.

Cabe destacar que aunque se desechen algunas imágenes para su análisis, ya que una determinada reflexión no se produce, no se debe olvidar que tanto ésta como todas las demás deben ser consideradas para obtener imágenes de orden inmediatamente superior, ya que aunque una imagen determinada, del orden que sea, no determine una reflexión posible, si lo puede hacer una imagen de orden superior formada a partir de ella. Esto es fácil de entender con el siguiente ejemplo: en un sistema simulado, no se producen rayos con una reflexión desde la fuente hasta el receptor, pero sí existen rayos con este destino que lleguen con dos o más reflexiones.

El método de las imágenes es eficiente por todo lo dicho anteriormente pero sólo se suele emplear en entornos simples debido al coste computacional que podría requerir.

2. Lanzado de rayos

Es la alternativa a la teoría de imágenes dentro de los modelos de trazado de rayos. Este método considera un haz de rayos transmitidos que pueden o no alcanzar el receptor. El número de rayos considerados y la distancia entre el transmisor y el receptor determinan la resolución espacial disponible y, por lo tanto, la exactitud del modelo. Este método requiere unos requisitos computacionales mayores que el método de la imagen.

El procedimiento consiste en determinar una cantidad finita de las posibles direcciones de propagación desde la fuente, normalmente con una separación angular constante. Si un rayo intercepta un objeto, entonces se genera un rayo reflejado y otro refractado. Si un rayo intercepta una cuña, entonces se genera una familia de rayos difractados. Para la recepción se suelen determinar esferas si trabajamos en 3D, o círculos si estamos trabajando en 2D. Estos círculos o esferas receptoras de radios adecuados describen cada una de las zonas que reciben únicamente un rayo. Un rayo se tomará como recibido si su trayectoria intercepta el círculo de recepción. Para la construcción del círculo de recepción es necesaria la definición de un radio, denominado radio de impacto. Es entonces cuando la importancia mencionada del radio es crítica:

o Si el radio es demasiado grande, se pueden recibir dos rayos y el mismo rayo especular se puede contar dos veces.

o Si el radio es demasiado pequeño, es posible que ninguno de los rayos alcance la esfera de recepción y el rayo especular será excluido.

La siguiente figura muestra el tamaño apropiado de la esfera de recepción que puede recibir un rayo.

Figura 10: Longitud adecuada del radio de la esfera para recibir un rayo. Caso 2D

Para cada localización del receptor, se computa la distancia perpendicular, d, del receptor al rayo, junto con la longitud (revelada) total del rayo-trayectoria, L, de la fuente al punto de proyección perpendicular. Si d es mayor o igual que (ΦL)/2 para el caso de dos dimensiones, o (ΦL√)/3 para el caso tridimensional, se considera que el rayo no alcanza la localización del receptor. Aquí, Φ es el ángulo entre dos rayos. Sino, se considera que el rayo contribuye a la señal recibida. No hay esfera de recepción asociada con el método de las imágenes.

Las partes fundamentales del método del trazado de rayos son la generación y la descripción de los rayos. Hay dos clases de métodos para obtener los rayos en el punto fuente. Uno es una aproximación en dos dimensiones (2D), el otro es un método tridimensional (3D).

M o d e lo d e la n z a d o d e r ayos e n d os d i m e n sio n e s

En dos dimensiones, todos los rayos o tubo de rayos son sectores del rayo, como se muestra en la figura 9. En la fuente, los rayos se lanzan a lo largo de diversas direcciones con el mismo ángulo del sectorΦ,, en un plano. La elección del ángulo depende de la exactitud requerida y del tiempo de cálculo. Si el ángulo es pequeño, proporcionará alta exactitud y llevará mucho tiempo de cálculo. Por ejemplo, si el ángulo Φ = lº, entonces se trazarán 360 rayos.

Figura 11: Rayos generados desde la fuente en 2D

Cada rayo se lanza desde fuente y se puede trazar a través de un árbol binario. Una intersección con la superficie de un objeto se representa con un nodo en el árbol. El rayo de incidencia se descompone en un rayo reflejado por objeto y en un rayo que penetra en dicho objeto. Se asume que el rayo reflejado se propaga a lo largo de la dirección especular (el ángulo de incidencia es igual que el ángulo de orientación) y el rayo que penetra en el objeto conserva la dirección original del rayo incidente. Entonces ambos rayos se propagan a la intersección siguiente. Una intersección con una cuña también

se representa con un nodo, el punto de la difracción se procesa como fuente y se deben lanzar una gran cantidad de rayos. El proceso de descomposición se repite como un proceso recursivo. Este procedimiento se continúa hasta que los rayos sean más débiles que un umbral dado, hasta que deje un área de propagación predefinida o hasta que se reciba el rayo. Después, se calcula la intensidad del campo en el receptor según la ecuación siguiente:

Ecuación 1

Se introdujo un modelo de difracción en dos dimensiones: los autores consideraban que varios edificios eran filos verticales, descuidando la difracción sobre el tejado y la reflexión del terrero. La contribución débil de las señales de los rayos sobre el tejado podrían descuidarse porque los edificios eran mucho más altos que las antenas del estaciones base (BS) y de la estaciones móviles (MS) en un ambiente microcelular urbano. No existía ningún rayo debido a una sola reflexión en el terreno del transmisor al receptor en las regiones de la sombra. Para alcances menores de 1km desde el transmisor (fuente primaria), la energía recibida podría tener una dependencia de R dada por una ley de energía de 1/R

2. Sin embargo, para las regiones del LOS, las reflexiones en el terreno parecían

ser menos importantes.

Según lo divulgado adentro, el algoritmo de trazado de rayos de dos dimensiones es bastante exacto cuando las alturas de la antena del transmisor y del receptor son significativamente más bajas que los tejados de los edificios circundantes. Este modelo de propagación entre un transmisor y un receptor situados cerca del terreno generalmente se llama modelo cañón.

Al usar un modelo de dos dimensiones, las entradas son:

a) la geometría de dos dimensiones descrita por medio de los vectores que especifican la localización de $e del edificio empareda;b) las características eléctricas estimadas de las paredes del edificio (la permitividad y la conductividad, o el coeficiente de reflexión escalar);c) la localización de la estación base;d) d) el modelo de la antena;e) la frecuencia de la operación.

M o d e lo d e la n z a d o d e r ayos tr i d i me n sio n al

El transmisor y el receptor se modelan como puntos fuente al usar esta técnica de trazado de rayos. Para determinar todos los rayos posibles que puedan salir del transmisor y llegar el receptor en tres dimensiones, es necesario considerar todos los ángulos posibles de salida y de llegada en el transmisor y en el receptor. Los rayos se lanzan desde el transmisor con un ángulo de elevación θ y con un ángulo de acimut Φ, según lo definido en el sistema de coordenadas habitual. El modelo de antena se incorpora para incluir los efectos de la amplitud de rayo de la antena en el ángulo de acimut y de elevación.

Para guardar todas las rutinas generales de manipulación del rayo, es deseable que cada tubo de rayos ocupe el mismo ángulo sólido, dΩ, ya que cada frente de onda tiene una forma y un tamaño idénticos en una distancia r del transmisor. Además, estos frentes de onda deben ser tales que pueden ser subdivididos para poder manejar fácilmente una resolución creciente del rayo. Por ejemplo, dejar r = 1, y dejar el frente de onda total como una superficie de una esfera unidad. El problema entonces se convierte en un problema de subdividir la superficie de la esfera “parcelas” iguales, de modo que todas tengan el mismo tamaño y la misma forma para que, colectivamente, cubran la superficie de interés sin huecos. También se han utilizado frentes de ondas del rayo hexagonales y triangulares.

El procedimiento del trazado de rayos en tres dimensiones es similar a los modelos en dos dimensiones, pero es necesario más tiempo de cálculo.

Algunos sectores de las paredes en un pasillo se pueden hacer de diversos materiales, por ejemplo, madera, metal, ladrillo o vidrio, que puede tener diversas reflectividades para la onda incidente. El descuido de las diferencias entre las reflectividades de varios materiales degradará la exactitud de la predicción del modelo de propagación. Por lo tanto, el concepto de un “material de construcción eficaz” fue propuesto para representar los materiales constitutivos físicos complicados usados en las paredes de un edificio. Sin embargo, la permitividad de este material eficaz no es fácil de determinar, puesto que depende de datos experimentales así como el modelo de propagación. Para simplificar este problema, se introducen arreglos de diversas constantes dieléctricas y magnitudes físicas. Se observa que la magnitud y la constante dieléctrica de cada arreglo se eligen según las dimensiones físicas y el material de que se ha hecho.

La clave de un modelo de propagación basado en trazado de rayos es encontrar una manera de cálculo rápida para determinar las trayectorias de rayo dominantes para proporcionar predicciones exactas de las pérdidas de la trayectoria. En la predicción de la propagación en entornos exteriores, la difracción de los bordes se debe tener en cuenta además de las reflexiones especulares, especialmente en las regiones no-LOS.

Desafortunadamente, la difracción desperdicia mucho tiempo del modelo, puesto que un solo rayo incidente que encuentra un borde generará una familia entera de nuevos rayos. La generación de una gran cantidad de rayos difractados limita el número de difracciones que se puedan considerar. Para cualquier trayectoria dada, se eligen como máximo dos, a menos que se pueda hacer una aproximación para encontrar los rayos que contribuyen de manera importante. Para encontrar los rayos que contribuyen en un entorno urbano, donde las paredes del edificio son casi siempre polígonos planares verticales, se desarrolla un método de lanzamiento plano vertical (VPL, vertical-plane- launch) El VPL considera aproximadamente las reflexiones especulares en las superficies verticales y la difracción en los bordes verticales, y aproxima la difracción a lo largo de los bordes horizontales restringiendo los rayos difractados que se encuentran en el plano de la incidencia o en el plano de la reflexión. El VPL puede tratar múltiples difracciones hacia adelante en los bordes horizontales. Puede también ser utilizado para las antenas del tejado y para las áreas donde existen edificios de diversas alturas.

IV. OTROS MODELOS DE PROPAGACIÓN

Se basan en una combinación de los modelos determinísticos y empíricos. También es posible clasificar los modelos según el entorno donde pretenden ser implementados: Modelos indoor (interior) o Modelos outdoor (exterior). Además, el canal de radio de un sistema de comunicaciones puede ser de dos tipos: LOS: es la propagación de radiofrecuencia con línea de vista directa entre la estación base y el receptor. En estos enlaces la señal viaja a través de un camino directo, sin obstáculos entre el transmisor hacia el receptor. NLOS: se da cuando entre el transmisor y el receptor no existe un camino de línea directo para la señal.MODELO DE PLASMA SIMPLE:Para frecuencias de MF y HF, donde se cumple que σeq/ωεeq<1 (plasma de bajas pérdidas), la onda se propaga con una constante de fase β y una constante de atenuación α:

En las expresiones anteriores se observa: – La atenuación es inversamente proporcional a la frecuencia al cuadrado (por ejemplo a 3 MHz es 9 veces menor que a 1 MHz) .– La atenuación depende de la densidad de electrones y el número de choques (de día la densidad de electrones es mayor que de noche. Ver figuras siguientes). El número de choques es especialmente alto en la capa D porque la densidad de gases es mucho mayor, lo que conlleva atenuaciones diurnas en esta capa elevadas. – El medio es dispersivo, como pone de manifiesto la expresión de la constante de propagación β (ya que εreq depende de la frecuencia). De hecho, un plasma con una densidad de electrones N posee una frecuencia de corte (frecuencia por debajo de la cual la onda no se propaga) igual a:

EL MODELO EGLIEl modelo Egli es un modelo del terreno para la propagación de radio frecuencia. Este modelo, que se introdujo por primera vez por John Egli, en su artículo 1957, se deriva de datos del mundo real en UHF y VHF transmisiones de televisión en varias ciudades grandes. Se predice la pérdida total de la ruta de un enlace punto a punto. Normalmente se usa al aire libre para la línea de transmisión de la vista, este modelo proporciona la pérdida en el camino como una sola cantidad.El modelo Egli suele ser adecuado para los escenarios de la comunicación celular en el que se fija una antena y el otro es móvil. El modelo es aplicable a situaciones en las que la transmisión tiene que ir sobre un terreno irregular. Sin embargo, el modelo no toma en cuenta los viajes a través de alguna obstrucción vegetativa, tales como árboles o arbustos.Frecuencia: El modelo se aplica típicamente a VHF y UHF transmisiones de espectro.Este modelo permite tener una aproximación rápidamente:

El modelo Egli se expresa formalmente como:

Donde,GT = Ganancia de la antena de estación base. Unidad: dimensiones

GR = Ganancia de la antena de la estación móvil. Unidad: dimensionesht = altura de la antena de estación base. Unidad: metro (m)hr = Altura de la antena de la estación móvil. Unidad: metro (m)d = Distancia desde la antena de estación base. Unidad: metro (m)f = frecuencia de transmisión. Unidad: megahercios (MHz)La ecuación es la escala de frecuencia especificada en megahertz (MHz).Este modelo predice la pérdida de trayectoria en su conjunto y no dividir la pérdida en la pérdida de espacio libre y otras pérdidas.MODELO DIFRACCION POR OBJETOS DELGADOS (FILO DE CUCHILLA)

El estudio del obstáculo agudo o filo de cuchillo puede hacerse mediante tres casos, el primero lo indica la figura anterior, donde el obstáculo está por encima de la línea de vista o rayo directo, lo cual nos da parámetros positivos, es decir, despejamiento h > 0 y ángulo de difracción q > 0, y el coeficiente fresnel-kirchoff u sea del mismo signo del despeje por lo que es positivo y mayor a 0, haciendo que las pérdidas generadas por difracción sean superiores a 6dB.

El segundo caso, se indica cuando el obstáculo esta justo a la altura del rayo directo, con lo cual se obtiene una h=0 y un q = 0, además de u =0, obteniendo una pérdidas de 6dB.

El tercer caso puede observarse en la figura siguiente, donde el obstáculo está por debajo de la línea de vista o rayo directo, lo cual nos dá parámetros negativos, es decir despejamiento h < 0 y ángulo de difracción q < 0, y el coeficiente fresnel-kirchhoff u < 0 , tomando en cuenta que si u < -0,7 , las pérdidas se reducen a 0dB.

Las ecuaciones indican el cálculo de las pérdidas, y la gráfica la forma en la cual se van aproximando las expresiones.

MODELO DE DOS RAYOS

El modelo de Dos Rayos de reflexión terrestre es un modelo muy útil que se basa en óptica geométrica, y considera tanto la transmisión directa como una componente de propagación reflejada en la tierra entre el transmisor y el receptor. Se puede considerar que este modelo de gran escala es uno de los más adecuados para predecir la potencia de la señal en distancias de varios kilómetros tomando en cuenta que la antena del sistema celular debe tener una altura mínima de 50 metros.

El segmento de separación entre transmisor y receptor puede considerarse plano, ya que en la mayoría de los sistemas celulares la distancia real entre el transmisor y receptor es de unas cuantas decenas de kilómetros.

La potencia recibida a una distancia d proveniente del transmisor puede ser expresada Como:

La ecuación final expresada en decibeles (dB) es:

Modelos basados en Redes Neuronales (ANNs) El problema principal que presentan los modelos empíricos es su falta de precisión. Por otro lado, los modelos deterministas se caracterizan por su falta de eficiencia, ya que adolecen de grandes requerimientos computaciones. Se puede alcanzar un compromiso entre ambos problemas mediante los modelos de red ANN (Artificial Neural Network) [41]. Este modelo está basado en redes neuronales de perceptrones multinivel. La implementación de los modelos ANNs requiere una base de datos de la planta en el que Modelos de Propagación en Interiores Radio propagación Indoor Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 157 todas las zonas son clasificadas en diferentes categorías, por ejemplo, muros, pasillos, ventanas, etc. Al modelo hay que proporcionarle en primer lugar las categorías

de objetos que existen en el entorno, la distancia normalizada entre emisor y receptor y finalmente información sobre el número y tipo de materiales que se va a encontrar de los diferentes tipos de las categorías. La salida del modelo es el nivel de campo resultante. Para determinar los parámetros del modelo, hay que proporcionarle datos de medidas tomadas sobre el terreno (datos de entrenamiento). El uso de Redes Neuronales ha mostrado muy buenos resultados en problemas con conjuntos de datos ruidosos con una leve no linealidad. Este caso se corresponde con el de predicción de niveles de campo, ya que los datos obtenidos de medidas siempre son ruidosos. Otra característica clave de las ANNs es el paralelismo que presentan, permitiendo la rápida evaluación de la solución. Aunque los procesos de aprendizaje pueden tomar varias horas, el proceso posterior para la predicción de niveles es rápido. La precisión de cada modelo obtenido depende en gran medida de la complejidad de los nodos o neuronas de las que conste. A pesar de todo lo comentado, las redes neuronales multicapa achacan los inconvenientes de una convergencia lenta e impredecible hacia la solución durante el aprendizaje. Para superar esto hacemos uso de las funciones de base radial (Radial Base Functions, RBFs) que mejoran la capacidad y tiempo de aprendizaje.

MODELO DE NEURONA ARTIFICIAL         El modelo de Rumelhart y McClelland (1986) define un elemento de proceso (EP), o neurona artificial, como un dispositivo que a partir de un conjunto de entradas, xi(i=1...n) o vector x, genera una única salida y.

Esta neurona artificial consta de los siguientes elementos:    ·        Conjunto de entradas o vector de entradas x, de n componentes·        Conjunto de pesos sinápticos wij. Representan la interacción entre la neurona presináptica j y la postsináptica i.·        Regla de propagación d(wij,xj(t)): proporciona el potencial postsináptico, hi(t).·        Función de activación ai(t)=f(ai(t-1), hi(t)): proporciona el estado de activación de la neurona en función del estado anterior y del valor postsináptico.·        Función de salida Fi(t): proporciona la salida yi(t), en función del estado de activación.         Las señales de entrada y salida pueden ser señales binarias (0,1 – neuronas de McCulloch y Pitts), bipolares (-1,1), números enteros o continuos, variables borrosas, etc.La regla de propagación suele ser una suma ponderada del producto escalar del vector de entrada y el vector de pesos:

 También se usa a menudo la distancia euclídea entre ambos vectores:

         Existen otro tipo de reglas menos conocidas como la distancia de Voronoi, de Mahalanobis, etc.La función de activación no suele tener en cuenta el estado anterior de la neurona, sino sólo el potencial hi(t). Suele ser una función determinista y, casi siempre, continua y monótona creciente. Las más comunes son la función signo (+1 si hi(t)>0, -1 en caso contrario), la función semilineal y las funciones sigmoides:

   

La función de salida suele ser la identidad. En algunos casos es un valor umbral (la neurona no se activa hasta que su estado supera un determinado valor).        Con todo esto, el modelo de neurona queda bastante simplificado:

 

 RED NEURONAL ARTIFICIAL

         Una red neuronal artificial (RNA) se puede definir (Hecht – Nielssen 93) como un grafo dirigido con las siguientes restricciones:Los nodos se llaman elementos de proceso (EP).Los enlaces se llaman conexiones y funcionan como caminos unidireccionales instantáneosCada EP puede tener cualquier número de conexiones.Todas las conexiones que salgan de un EP deben tener la misma señal.Los EP pueden tener memoria local.Cada EP posee una función de transferencia que, en función de las entradas y la memoria local produce una señal de salida y / o altera la memoria local.Las entradas a la RNA llegan del mundo exterior, mientras que sus salidas son conexiones que abandonan la RNA.

 ARQUITECTURA DE LAS RNA      La arquitectura de una RNA es la estructura o patrón de conexiones de la red. Es conveniente recordar que las conexiones sinápticas son direccionales, es decir, la información sólo se transmite en un sentido.En general, las neuronas suelen agruparse en unidades estructurales llamadas capas. Dentro de una capa, las neuronas suelen ser del mismo tipo. Se pueden distinguir tres tipos de capas:·        De entrada: reciben datos o señales procedentes del entorno.·        De salida: proporcionan la respuesta de la red a los estímulos de la entrada.·        Ocultas: no reciben ni suministran información al entorno (procesamiento interno de la red).Generalmente las conexiones se realizan entre neuronas de distintas capas, pero puede haber conexiones intracapa o laterales y conexiones de realimentación que siguen un sentido contrario al de entrada-salida. 

  APRENDIZAJE DE LAS RNA

 Es el proceso por el que una RNA actualiza los pesos (y, en algunos casos, la arquitectura) con el propósito de que la red pueda llevar a cabo de forma efectiva una tarea determinada. Hay tres conceptos fundamentales en el aprendizaje: Paradigma de aprendizaje: información de la que dispone la red.Regla de aprendizaje: principios que gobiernan el aprendizaje.Algoritmo de aprendizaje: procedimiento numérico de ajuste de los pesos. Existen dos paradigmas fundamentales de aprendizaje:Supervisado: la red trata de minimizar un error entre la salida que calcula y la salida deseada (conocida), de modo que la salida calculada termine siendo la deseada.

No supervisado o autoorganizado: la red conoce un conjunto de patrones sin conocer la respuesta deseada. Debe extraer rasgos o agrupar patrones similares.        En cuanto a los algoritmos de aprendizaje, tenemos cuatro tipos: Minimización del error: reducción del gradiente, retropropagación, etc. La modificación de pesos está orientada a que el error cometido sea mínimo. Boltzmann: para redes estocásticas, donde se contemplan parámetros aleatorios. Hebb: cuando el disparo de una célula activa otra, el peso de la conexión entre ambas tiende a reforzarse (Ley de Hebb). Competitivo: sólo aprenden las neuronas que se acercan más a la salida deseada. Los algoritmos, y en general el proceso de aprendizaje, son complejos y suelen llevar bastante tiempo computacionalmente hablando. Su ventaja es que una vez ha aprendido, la red puede congelar sus pesos y funcionar en modo recuerdo o ejecución.