CICLOIDEINTRODUCCIONDesde los inicios de la humanidad, la matemtica ha estado presente para dar explicacin de muchos de los problemas o incgnitas que se han dado a conocer en el transcurso de la existencia. Los matemticos han encontrado un apoyo para dar respuestas a estos problemas a partir de demostraciones, hiptesis o figuras que puedan ser utilizados para representar lo planteado como problema. Una de las figuras ms representativas y que se ha estudiado desde hace mucho tiempo en la matemtica ha sido la cicloide, la cual es una curva plana que es descrita fsicamente por la trayectoria de un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda sobre una recta horizontal. La cicloide es la curva que traza tal punto en el plano del movimiento del crculo. Este proyecto estudiara los conceptos tericos y propiedades de la misma.

JUSTIFIACIN.

JUSTIFICACIN SOCIAL.

Este proyecto beneficia a la comunidad, ya que por medio del mismo, se explica los principios matemticos del movimiento de la cicloide. El movimiento de descrito por esta curva plana que es la trayectoria de un punto perteneciente a unacircunferenciageneratriz, al rodar sobre una lnea recta directriz, sin deslizarse.. lo que permitir comprender mejor a los estudiantes los planteamientos matemticos presentes en dicho movimiento.

JUSTIFICACIN CIENTFICA.

El proyecto a desarrollar se realiza con base en principios matematicos, en donde se busca estudiar la utilidad de la cicloide, lo cual ayudara a que se puedan obtener conocimientos acerca de los principios que comprende esta figura. .

JUSTIFICACIN PERSONAL.Aumentar los conocimientos, ya que los principios matematicos aplicados en este proyecto nos ayudaran a entender y reforzar los que conociemitnos previos, a dems que a partir de esta manera se busca lograr que los estudiantes se apasione por el mundo de las matemticas, ya que es muy amplio y tiene muchas aplicaciones en nuestra vida ordinariaOBJETIVOSOBJETIVO GENERALEstudiar los conceptos matemticos aplicados y las propiedades relacionados con la cicloide.OBJETIVOS ESPECIFICOS Dar la parametrizacin de la curva cicloidal en su forma vectorial y paramtrica. Conocer las propiedades de la longitud de arco aplicados en la figura de la ciloide Determinar el vector tangente y normal de la cicloide, y relacin entre ellos

La cicloide se produce cuando se hacerodar un disco sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide. Pues bien, la cicloide es la curva que traza tal punto en el plano del movimiento del crculo.Esta figura puede ser representadas de varias maneras, una de ellas son las ecuaciones paramtricas de la misma, las cuales se obtienen a partir de ciertas relaciones matemticas que se observan en la siguiente ilustracin:

Conviene considerar que el crculo rueda hacia la derecha sobre el ejexy que el punto que sirve para trazar la cicloide est situado inicialmente en el origen de las coordenadas. Lo ms natural es escoger como parmetro la medidaten radianes del ngulo, pues sta corresponde al ngulo de rotacin del crculo. As que nuestro problema se reduce a expresar las coordenadasdel puntoPen funcin deto, dicho de otro modo, hallar una funcin de trayectoriatal que.La observacin crucial que hay que hacer al respecto es que la medida del segmento de rectaOR, en azul en laFigura 2, es igual a la medida del arcoPR, tambin en azul, puesto que el crculo rueda sin resbalarse. Ahora bien, la medida del arcoPResbt,de manera que tenemos:

Ahora bien, y, con lo llegamos a las ecuaciones buscadas:

Propiedades de la cicloide.Examinemos en primer lugar lastangentesde la cicloide. Para esto calculemos

que es una funcin det. En laFigura 5aparece en color rojo la grfica de esta funcin junto con la cicloide que se ha sobrepuesto en azul. Es claro que las tangente son horizontales cuando, esto es, cuandoy, lo que ocurre en todos los valores detde la formapara. Esto se muestra en laFigura 6mediante unos segmentos de tangente dibujados en azul.Por otro lado, el denominadorpara todo() y en estos valores detel numerador. Por lo tanto la cicloide no es diferenciable en los puntos de la formacon. Sin embargo, en laGrfica 5se ve queHaga clic sobre las frmulas de este documento para ampliarlas.

Esto significa que las tangentes a la cicloide en los puntos() son verticales como lo muestran los segmentos dibujados en azul en laFigura 6. Estos lmites se pueden calcular con la regla de LHpital as:

Pasemos ahora a calcular elrea bajo un arco de la cicloide. Es claro que el primer arco de la cicloide se produce cuando los valores detestn entre 0 y, puesto que la rueda necesita dar una vuelta completa para trazarlo (Figura 7). As pues, el rea bajo un arco de la cicloide est dada por:

Es interesante este resultado pues nos dice que el rea bajo el arco de la cicloide es tres veces la del crculo que rueda para generar la cicloide. Fue Galileo el primero que conjetur que esto deba ser as, aunque no lo pudo demostrar, y fueron Roberval en Francia y Torricelli en Italia los que lo probaron por primera vez.Finalmente (Figura 8), en cuanto ala longitud de un arco de cicloidetenemos:

Figura 5: En rojo, la derivada. En azul, la cicloide.

Figura 6: Tangentes de la cicloide.

Figura 7: rea bajo un arco de la cicloide.

Figura 8: Longitud de un arco de la cicloide.

Las anteriores son algunas de las propiedades elementales de la cicloide. En cuanto a las propiedades avanzadas digamos que esta curva es la solucin de dos antiguos problemas de fsica: el de labraquistcronay el de latautcrona. El primero de ellos consiste en hallar la curva a lo largo de la cual una partcula rodar en el menor tiempo posible bajo la influencia de la gravedad desde un puntoAhasta un puntoBsituado en una posicin ms baja. Fue el matemtico suizo Jean Bernoulli quien en 1696 formul por primera vez este problema y quien aos ms tarde lo resolvi: una partcula tomar el menor tiempo posible al deslizarse desde un puntoAhasta un punto ms bajoB, bajo la influencia de la gravedad, si sigue en su trayectoria la forma de un arco invertido de cicloide. Adems la partcula gastar el mismo tiempo en llegar al punto ms bajo del arco invertido de la cicloide sin importar desde qu altura se suelte. Este es el segundo problema, el de latautcrona, y fue resuelto por el fsico alemn Huygens. Ambos problemas se estudian en un rea de las matemticas que se conoce con el nombre declculo de variaciones.