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CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.Tema 11.- La potencia en los circuitos de corriente alterna

Desarrollo del tema.-

1. Los dipolos.

2. Las relaciones de potencia en los dipolos.

3. Concepto de potencia aparente y reactiva.

4. La notación compleja de la potencia.

5. El teorema de Boucherot.

6. El factor de potencia. Su importancia.

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1. Los dipolos.

Un circuito cualquiera, de AC, que se encuentra formado por elementos activos(generadores) y elementos pasivos (receptores) provisto de dos terminales accesibles, recibe elnombre de dipolo.

Los dipolos pueden ser :

a. Activos.- Poseen fuentes de energía ( generadores de tensión e intensidad) y en losterminales, la tensión posee el mismo sentido que la intensidad.

b. Pasivos.- Esta formado por los elementos diferentes a los generadores ( elementos pasivoso receptores). En los terminales, la tensión posee diferente sentido a la intensidad.

La potencia instantánea será: p = u . i ; si p < 0 el dipolo suministra energía, por elcontrario, si p > 0 , el dipolo absorbe energía.

La potencia disipada o almacenada en un dipolo pasivo, cuando consta de un sólo elemento,será la siguiente:

POTENCIA DE LOS ELEMENTOS PASIVOS

Resistencia (φ = 0º) Bobina ( φ = 90º) Condensador( φ =- 90º)

P = U I = R I2 = U 2

R;; Q = 0 P =0 ;; Q=U I =XL I2= U 2

XlP=0 ;;Q=U I =XC I2= U 2

Xc

2. Las relaciones de potencia en los dipolos.

La entrada de un dipolo pasivo, se encuentra conectada a un generador de tensión :

u = Uef 2 sen ω t ;; Ief = Uef/Z ;; Z = R2X 2 ;; φ = arctg

XR

p = u i = 2 Uef Ief sen ω t . sen ( ω t - φ )

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matemáticamente : cos A – cos B = - 2 sen AB

2. sen

A−B2

AB2

= ω t ;; A + B = 2 ω t A−B

2= ( ω t - φ ) ;; A – B = 2 (ω t - φ )

A = 2 ω t - φ ;; B = φ

p = Ief Uef ( cos φ - cos (2 ω t - φ )) = U ef I ef cos φ – Uef Ief cos (2 ω t - φ )

Representando esta función de potencia se observa:

La intensidad se encuentra adelantada a la tensión 90º y la frecuencia de la potencia es eldoble de la tensión o intensidad. Varía sinusoidalmente alrededor de U.I cos φ.

Evidentemente, la potencia se anula cuando la tensión o la intensidad son nulos y toma valorpositivo cuando los signos de la tensión y la intensidad son los mismos.

Cuando p > 0 , el dipolo pasivo recibe energía que procede de la fuente de alimentación oexcitación . Cuando p< 0 cede energía de la acumulada en los campos eléctricos y magnéticos.

La potencia media , activa, real o verdadera , P , será igual :

P = U.I cos φEl segundo sumando es la potencia fluctuante : Uef Ief cos (2 ω t - φ)En el caso de los dipolos pasivos no existen fuentes de energía , cumpliéndose que P ≥ 0, el

cos φ ≥ 0 , por lo que varía entre -π/2 y π/2

Cuando P = 0 ; φ = π /2 , en este caso el circuito sólo posee bobinas y condensadores y no resistencias.

En el caso de que cos φ< 0 . P < 0 , suministrando el dipolo energía. En este caso solamente puede ser que el dipolo sea activo.

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Potencia instantánea absorbida porun dipolo.


Si se toma el valor representativo de la tensión U como origen de fases, se puede apreciar si un dipolo actúa como activo o pasivo:

Posición de I Carácter del dipolo

Parte positiva del eje real

Receptor resistivo

Primer cuadrante Receptor capacitivo

Segundo cuadrante Generador inductivo

Parte negativa del eje real

Generador resistivo

Tercer cuadrante Generador capacitivo

Cuarto cuadrante Receptor inductivo.

Un dipolo activo actúa como receptor o como generador. Un dipolo pasivo, solamente puedeactuar como receptor de energía.

Problema 1.- Determinar cuál de los siguientes dipolos del circuito de la figura actúa como generador y cuál como receptor.

Resolución.-Dipolo 1 U1 = 250 ;; I1 = - 5 + j , es un dipolo que actúa como generador Inductivo.

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Dipolo 1 U2 = 250 ;; I2 = 5 – j - 25

43j= 1 + 2j

Al estar en el primer cuadrante, actúa como un receptor capacitivo.

Problema 2.- Se conectan los dos dipolos en paralelo sobre una impedancia Z = 1 + 2j . Siel dipolo suministra una corriente I = 2 2 45 (A) a la tensión de U = 50 (V) . Determinar siel dipolo D2 es un receptor o generador.

Dipolo Generador: (D1) U1 = 50 (V) ;; I1 = −2−2 jEs un generador capacitivo.

En el receptor 2 (D2) I2 = 2 2 45 - 5/0

12 j= 2 + 2 j -

5/02,23/70

=

I2 = 2 + 2 j – 2,23 -70 = 2 + 2j – 1 + 2j = 1 + 4j

D2 es un receptor capacitivo.

3. Concepto de potencia aparente y reactiva.

El producto de U. I = P , es válido para el caso de DC . En el caso de circuitos de AC,solamente esta expresión se cumple cuando los elementos son puramente resistivos. En general,la potencia activa absorbida por un dipolo :

P = I . U cos φ . El producto U.I es la potencia aparente S = U . I Para interpretar las distintas potencias, es necesario considerar el triángulo de impedancias deun dipolo pasivo en serie, formada por una resistencia conectada en serie con una reactancia X .Los distintos triángulos que se representan son:

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El cateto cuya longitud es: R I = U cos φ = Ua Representa la tensión en la componenteresistiva del dipolo; se la conoce como componente activa de la tensión Ua

El otro cateto, de longitud : X I = U sen φ = Ur . Representa la tensión en la componentereactiva de dicho dipolo, se la denomina componente reactiva de la tensión Ur

La hipotenusa de longitud ZI = U . Representa la tensión total o tensión de entrada deldipolo.Multiplicando de nuevo los lados del triángulo de tensiones por la impedancia se obtieneotro triángulo llamado triángulo de potencias.El cateto horizontal R I2 = U . I cos φ = Ua I = P . Representa la potencia absorbida por lacomponente resistiva del dipolo; es la potencia activa.La hipotenusa es U . I = S . Representa la potencia aparente.El cateto vertical X I2 = U I sen φ = Ur I = Q : corresponde a las oscilaciones de la potenciaen la componente reactiva Z . Es la potencia reactiva Se pueden establecer las siguientes relaciones :

S = P2Q2 ;; tg φ =

QP

;; cos φ = PS

Las potencias aparente y reactiva no se pueden considerar propiamente como potencias.Las magnitudes se pueden resumir en la siguiente tabla:

La potencia reactiva Q, se suele denominar potencia desmagnetizante o desvatiada . Su

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valor es el siguiente :Q = Ur I = U . I sen φ = X I2

Puede ser positivo o negativo dependiendo el ángulo φ

Impedancia inductiva.- φ > 0 ,, Q > 0 , el dipolo consume energía reactivaImpedancia capacitiva.- φ < 0 ,, Q< 0 , el dipolo suministra energía reactiva

Si el dipolo pasivo se encuentra en paralelo , se puede construir el triángulo de impedanciasen el que se verifique ψ = - φ . Si la tensión es de origen de fases y los tres lados se multiplican porU , se obtiene el triángulo de intensidades.

El cateto cuya longitud es GU = I cos ψ = I cos φ = Ia . Representa la llamada componenteactiva de la intensidad ( Ia )

El otro cateto de longitud BU = I sen ψ = - I sen φ =I r . Repesenta la componente reactivade la intensidad Ir

La hipotenusa de longitud YU = I . Es la intensidad total del dipolo.Multiplicando nuevamente los lados de los triángulos de intensidad poe la tensión, se

obtiene el triángulo de potencias

G U2 = U . I cos ψ = U . I cos φ = P (potencia activa)B U2 = U I sen ψ = - U I sen φ = - Q

- B U2 = Q ( potencia reactiva)mientras que la hipotenusa representa la potencia aparente.

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4. La notación compleja de la potencia.

La potencia aparente, se puede expresar matemáticamente, con notación compleja, a partirde la potencia activa y reactiva:

S = P + j QEl módulo es S = U . I y la potencia compleja. Se

puede expresar como :

S = U . I* , siendo I* . la intensidad compleja conjugada.

Problema 3.- Calcular la característica de los dipolos del circuito y las potenciasdesarrolladas.

Resolución.- Dipolo D1 ;; I = - (5 – j ) = - 5 + j , es un generador industivo.

S1 = U1 I* = 25 . (5+j) (VA) ; P1 = 125 W ; Q1 = 25 (Var)

El dipolo D2 I = (5 – j) - 25 /043j

= 5 – j - ( 5-36,8 ) = 5 – j – 4 + 3 j = 1+ 2 j . Es un

receptor capacitivo.La intensidad de la impedancia será :

I = 25 /043j

= 4 – 3 j

S = U . I* = 25 ( 4+3j) VA

P2 = 100 W ;; Q = 75 Var

La intensidad que llega al dipolo D2 es I = 1 + 2j A

La potencia consumida por el dipolo 2 será :

Sé = 25 (1-2j) VA ;; Pé = 25 W ;; Qé = - 50 Var

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Problema 4.- Un dipolo en serie LCR , se encuentra alimentado por un generador decorriente de valor eficaz 5 A y 90 º de fase. Con estos datos determinar:

a. La potencia aparente, activa y reactiva que suministra el generador.b. La potencia aparente, activa y reactiva absorbida por los receptores.

Resolución.- Z = 10 + 20 j – 10 j = 10 + 10 j Ω

U = I . Z = (10 + 10 j ) . 5 j = -50 + 50 j V

S = U I* = (-50 + 50 j) . -5 j = 250 + 250 j (VA).

El módulo será = 353,55 (VA)

P = 250 W :: Q = 250 VarEn el caso de la resistencia :

UR = 5j . 10 = 50 j

SR = 50 j . - 5j = 250 VA. ;; PR = 250 W ;; QR = 0 Var

UL = 5j 20j = -100 VSL = -100 . - 5j = 500 j VA ;; PL = 0 W ;; Q = 500 Var

UC = 5j -10j = 50 VSC = 50 . -5j = -250 j VA ;; PC = 0 W ;; QC = - 250 j Var

5. El teorema de Boucherot.

El teorema de Boucherot se resume de la siguiente forma:En una red eléctrica cualquiera, considerando la frecuencia constante, existe una conservación entre

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las potencias activas y las reactivas:

Σ P i = 0

Σ Qi = 0Problema 5.- Aplicando el teorema de Boucherot , determinar las potencias aparente,

activa y reactiva para el siguiente circuito, sabiendo que I1 = 20 2 0 A e I2 = 20 2 90 (A)

Resolución.- I = I1 + I2 = 20 2 + 20 2 j = 4045 A

P = R I2 = 10 . 402 = 16000 W P1 = R1 I1

2 = 10 (20 2 )2 = 8000 W ;; P2 = 8000 W

Q1 = 10 (20 2 )2 = 8000 Var Q2 = - 8000 Var

PT = P + P1 + P2 = 16000 + 8000 + 8000 = 32 000 W

QT = 8000 – 8000 = 0 Var

S = P + Q j = 32 000 VA

6. El factor de potencia.

El factor de potencia , recibe le nombre de k y se define como la relación que existe entre lapotencia activa y la aparente :

k = PS

Parte de la potencia aparente se transforma en activa. Si la tensión y la intensidad sonsenoidales, el factor de potencia k = cos φ .

La energía eléctrica permite que los receptores absorban la energía y la transforme enmecánica, luminosa, calorífica , etc.

Debido a esto, la intensidad de corriente se encontrará retrasada una ángulo φ respecto a latensión , la potencia aparente que absorben de la red una componente activa y otra reactiva decarácter inductivo.

La potencia útil representa la energía por unidad de tiempo que absorbe un receptor. La

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potencia inductiva representa un bombeo de energía . No representa un aumento de potencia útil .Para una misma potencia activa, P, interesa que el factor de potencia sea lo más cercano

posible a la unidad , por lo tanto la I , podrá ser más pequeña ( P = I . U cos φ ) , lo que se traduce alas ventajas siguientes :

Una disminución de las pérdidas por efecto Joule en la línea de conducción.Un aumento de la intensidad disponible por otros usuarios de la red, puesto que la intensidadtotal posee un valor máximo, determinado por las secciones de los conductores y delgenerador.Las compañías eléctricas gravan el consumo con factores de potencia bajos, con uncomplemento , llamado de energía reactiva , aplicándose un valor porcentual K1 (%),determinándose según la fórmula:

Factor de Potencia Kr (%)

1 ≥ cos φ > 0,95 0,95 ≥ cos φ ≥ 0,90 cos φ < 0,90

Kr (%)= 37,026

cos2

= 41,026Kr (%) = 0

Kr (%)= 29,16

cos2

= 36

Cuando las anteriores expresiones da lugar a un resultado negativo, en vez de recargo se aplica auna bonificación en porcentaje igual al valor absoluto de dicho resultado. El recargo no puede sersuperior al 50,7 % ni los descuentos superarán el 4 %.

Si el factor de potencia es menor del 0,8 en los usuarios 1.0 ; 2.0.1 ; 2.0.2 ; 2.0.3 y 3.0.1 seles aplica el complemento por energía reactiva.

La mayor parte de las líneas son de carácter inductivo y como los receptores se encuentranconectados en paralelo el valor de cos φ corresponde a una instalación y se obtiene a partir deltriángulo de admitancias.

cos φ = GY

= G

G2Bc−Bl 2

Para que el factor de potencia sea próximo a uno, BC – Bl = 0 , conectándose enparalelos reactancias de condensadores , cuyas reactancias capacitivas compensen las inductivas.

En las instalaciones eléctricas no se pueden corregir el factor de potencia hasta que llegue alvalor 1 , puesto que aparecerían los fenómenos de resonancia, En la práctica el factor de potenciasuele estar entre el 0,9 y 0,95 . Para transformar el factor de potencia desde cos φ1 en otro mayorcos φ2 ; el triángulo de potencias expresa :

Q1 = P tgφ1 ;; Q2 = P tgφ2 Restando ambas expresiones:

QC = Q1 – Q2 = P ( tgφ1 - tgφ2 )

En valor absoluto QC = C ω U2 , resulta:

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C = P tg1−tg 2

U 2 = P tg1−tg 2

2. . f .U 2

En el caso de que el factor de potencia cos φ2 = 0 las ecuaciones serán :

C = P . tg1

U 2 = P. tg1

2. . f .U 2

Problema 6.- Dado el circuito de la figura :

P1 = 4 kW Q1 = 7 kVAr

P2 = 1 kW Q2 = 5 kVAr

P3 = 5 kW Q3 = - 2 kVAr

Determinar:

a. La intensidad I usando el teorema de Boucherot.b. La capacidad que ha de tener el

condensador que se conecta en paralelo entre A y B para que el factor de potencia pase a ser 0,9 inductivo.

Resolución .- P = P1 + P2 + P3 = 4 + 1 + 5 = 10 kW

Q = Q1 + Q2 + Q3 = 7 + 5 - 2 = 10 kVAr

S = 10 + 10 j VA ;; I* = 1000010000 j

220/0= 45 + 45 j A

I = 45 – 45 j = 63-45 ;; cos φ1 = 22

;; φ1 = 45 ;; cos φ2 = 0,9 ;; φ2 =

C = P tg1−tg 2

2. . f .U 2 = 10000 tg 45−tg 25,8

2. .50 .2202 = 339 μ F

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Problema 7.- El circuito de la figura se encuentra alimentado por un generador cuya tensión instantánea es u = 100 2 sen 0,5 π t (V) . Determinar las potencias aparente , activa yreactiva y fluctuante proporcionada por el generador.

Resolución.-

I = UZ

= 100

1010 j=

1001− j 10 1 j 1− j

=

1001− j

10 12− j2

= 100 1− j

10 . 2= 5 (1-j) A

S = U . I* = 100. 5(1 + j ) = 500 + 500 j (VA)

S = 500 . 2 VA

cos φ = PS

= 22

;; φ = 45 º

P = 500 W ;; Q = 500 VAr

P = 500 . 2 cos (2 . 0,5 π t - 45 )

Problema 8.- En el siguiente circuito, el valor eficaz de la intensidad total que circula por el dipolo es de 30 A . Determinar la potencia aparente absorbida por el mismo:

Resolución.- Z = 4 .5−3j

9−3 j=

20−12 j9−3 j

= 23,3/−31

9,48/−18,5= 2,457-12,5 Ω

U = I . Z = 73,7-12,5 V ;; S = U I* = 73,7-12,5 . 30 = 2211-12,5 VA

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Problema 9.- En un taller se tiene una potencia instalada de 50 kVA con un factor de potencia de 0,8 . Determinar la potencia de los condensadores en kVAr que se debe de inatalar para que el factor sea la unidad.

Resolución.- φ1 = arc cos 0,8 = 36,8º

C = P tg1−tg 2

2. . f .U 2 tg φ1 = QP

Q = 30 kVAr

cos φ = PS

P = 40 kW

Problema 10.- En el circuito de la figura, cada una de las resistencias consume una potencia de 1,5 W . Sabiendo que R = 7,5 kΩ , calcular el valor de R2

Resolución.- Aplicando el teorema de Boucherot.-

P1 = I2 R1 ;; I1 = 0,01414 A

U1 = I . R = 7500 . 0,01414 = 106,05 V

XC = 1C

= 1

10−6100= 10000 Ω

IC = UXc

= 0,01067 j A

I = I l2I c2 = 0,01771 A ;; R2 = P

I 2 = 4782 Ω

Problema 11.- En el circuito de AC de la figura se pide :a. El valor eficaz de las intensidades.b. La potencia consumida.c. El factor de potencia.d. Representar el diagrama fasorial de las intensidades tomando como origen de fases la

tensión UA

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Resolución.-El circuito está formado por tres impedancias en paralelo :

Z1 = 10 – 10 j = 10 2 -45 Ω I1 = 1000

10√2−45

= 7,07 45 A

Z2 = 10 + 10 j = 10 2 45 Ω I2 = 1000

10√245

= 7,07 -45 A

Z3 = - 10 j = 10 -90 Ω I3 = 1000

10−90= 10 90 A

I = I1 + I2 + I3 = 5 + 5j + 5 – 5j + 10 j = 10 + 10 j A = 14,14 45 A

P = U . I . cos φ = 100 14,14 cos 45 = 1000 W

S = U I* = 100 . (10 – 10 j) = 1000 – 1000 j = 1000 2 -45

Q = - 1000 j VAr

La representación es la siguiente :

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Problema 12.- En el circuito de la figura de corriente alterna , la tensión posee un valorde 200 V. Determinar los valores eficaces de las tensiones U AB y U BC

Representar el diagrama fasorial adoptando la tensión U como origen. Calcular sufactorde potencia.

Si se desconecta la resistencia R, determinar cuál será el funcionamiento del circuito.

Resolución.-Circuito en paralelo resonante ; Z = 10 + 10 j = 10 2 45

I=2000

10√245

=10−10 j=10√2−45 A ;;U AB=R . I=100 .10√2−45=100√2−45V ;;U ABef=100V

U BC=X L . I=1090 . 10√2−45=100√245V ; ;U BCef=100V

U=U AB+U BC=100−100 j+100+100 j=200V

Al girar la representación 45º

I L1=U AB

X L

=100 .√2−45

1090

=10√2−135=−10−10 j (A)

IC=U AB

X C

=100 .√2−45

10−90

=10√245=10+10 j(A)

I L2=U BC

X L2

=100.√245

1090

=10√2−45=10−10 j (A)

El factor de potencia es cos φ = cos 45 = 0,76

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A BC


Si no existiese la resistencia R en paralelo : Z = 5j .−5j

5j−5j=

250

= ∞

La impedancia será infinita. no pasando corriente por el circuito, aunque se encuentreoscilando.

El diagrama fasorial es el siguiente:

Problema 13.- En el circuito de la figura I1 = 2 A e It = 3 A . Calcular la potencia activatotal consumida .

Resolución.-

I2 =

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IC

IL1

IL2

IT

I1

I2

I 2=UR

=240160

=1.5 A

I 12= I T

2+ I 2

2−2 I T I 2 . cosϕ

I 1=UZ

=2400

R+X L j=

2400

31+113 j=

2400

11775

=2−75


4=9+2,25−2 .3.1,5 . cosϕ ; ;cosϕ =7,25

9=0,81→ϕ=40º

I T=3−40→S=U . I ¿=2400. 340=72040=551+462 j ; ; P=551W ;;Q=462VAr

Problema 14.- Un generador de 240 V y 60 Hz , suministra 4500 VA a una carga confactor de potencia de 0,75. Calcular la capacidad del condensador que ha de instalarse enparalelo con la carga para que el factor de potencia sea de 0,90 de retraso y 0,90 de adelanto.

Resolución.- C = P tg1−tg 2

2. . f .U 2 ; P = S cos φ1 = 4500 0,75 = 3375 W

tg φ1 = 0,8819 ;; tg φ2 = 0,4843

C = 33750,8819−0,4843

2. . 60 . 2402 = 61,79 μ F

Cuando hay adelanto, tg φ2 = - 0,4843

C = 33750,88190,4843

2. . 60 . 2402 = 212,34 μ F

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