8/16/2019 Cilindro Coaxial
1/2
Soluci´ on:
La enerǵıa potencial asociada a esta configuración es
U (x) = 1
2
Q2
C (x)
Notar que es función de la posición x, puesto que la
capacitancia total tambíen lo es El sistema sepuede ver como dos
condensadores en paralelo, uno de ellos con un dieléctrico de
constante κ. Aśı,
C eq = C 1 + C 2 =
0ax
d +
κ0a(a − x)
d =
0a(x + κ[a − x])
d
Con esto, la enerǵıa potencial eléctrica almacenada es:
U (x) = 1
2
Q2d
0a(x + κ[a − x])
Y la fuerza que se ejerce sobre el dieléctrico será:
F x ı̂ = −dU
dx ı̂ −→ F x =
Q2d
20a
1 − κ
(x + κ[a − x]2)
Notar que 1 − κ
8/16/2019 Cilindro Coaxial
2/2
e ) Calcular la cantidad total de cargas de polarizacíon,
incluyéndose cargas en la superficie y enel volumen del
dieléctrico
f ) Calcule la enerǵıa potencial
electrostática almacenada en el condensador
g ) Suponiendo que uno puede sacar el material dieléctrico
de entre r1 y r2 deslizándolo fácilmentesin
roce, a lo largo del eje del sistema, calcule el trabajo necesario
para remover el material deentre las placas
Soluci´ on:
a ) Para obtener el campo electrostático en el interior,
utilizamos la ley de Gauss para dieléctricos,con una superficie
ciĺındrica de radio r ∈ (r1, r2) y largo :
Por simetŕıa, es evidente que D = D(r)
ρ̂. Con esto,¨
S
D · n̂ dS = 2πrD(r) = q libre
−→ D(r) = q
2πr
Aśı,
E = 1
D =
D(r)
κ(r)0ρ̂ −→ E (r) =
q
2πκ(r)r0
Para que el campo no dependa de r,
κ debe ser de la forma
κ(r) = a
r
Con ello, E =
q
2π0a
b) En este caso, la capacitancia será la misma que un
condensador ciĺındrico, considerando que = κ(r)0.
Aśı,
ˆ BA
E · dr = φ(A) − φ(B) = ∆V
=
ˆ r2r1
q
2π0a ρ̂ · dr ρ̂
= q
2π0a
ˆ r2r1
dr = q (r2 − r1)
2π0a
∴ C = q
∆V =
2π0a
r2 − r1
– 62 –
