CILINDROS CON ELEVADA PRESIÓN INTERIOR€¦ · En la Figura 1 se indica el sistema de coordenadas cilíndrica ... Desplazamientos y giros en coordenadas polares . Giro de la fibra

Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

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Capítulo 13

CILINDROS CON ELEVADA PRESIÓN INTERIOR

1 ECUACIONES DE LA ELASTICIDAD EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Existen numerosos problemas de interés práctico que presentan simetría respecto a un eje y

pueden analizarse ventajosamente utilizando coordenadas cilíndricas. Problemas de este tipo son frecuentes en ingeniería, lo que justifica, de por sí, su estudio. Además, al tratar el problema de cilindros de pared gruesa tendremos oportunidad de utilizar las ecuaciones fundamentales de la elasticidad y ganar experiencia en el manejo de las mismas.

La teoría de la elasticidad provee las ecuaciones básicas para cada problema, pero sólo en unas pocas excepciones es posible encontrar la solución exacta en forma analítica. Lo habitual es usar métodos numéricos aproximados, generalmente el método de elementos finitos. En el caso de cilindros gruesos debido a la simetría geométrica, cuando se dan ciertas condiciones de simetría de las cargas, por ejemplo presión interior, es posible encontrar la solución exacta en forma de expresiones analíticas que describen las tensiones y los desplazamientos en todos los puntos en función de sus coordenadas.

En la Figura 1 se indica el sistema de coordenadas cilíndricas ( r, θ, z ) y los desplazamientos asociados (u, v, w ).

Figura 1: Sistema de coordenadas cilíndricas

1.1 Ecuaciones de equilibrio Hacemos un planteo similar al desarrollado en la Sección 2.7 del Capítulo 1. Trabajamos aquí

con un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas como el mostrado en la Figura 2.

Figura 2: Elemento de volumen en coordenadas cilíndricas


278

Si se compara la Figura 2 con la Figura 12 del Capítulo 1 se observan varias diferencias. Primero las tensiones σr y (σr + dσr) actúan sobre caras de áreas diferentes y segundo, las

tensiones σθ y (σθ + dσθ ) actúan sobre caras que no son paralelas. Es muy común que un estudiante, en su primer intento, olvide alguno de esos nuevos “ingredientes” y en consecuencia “pierda” algunos términos en las ecuaciones de equilibrio.

Cada uno de los seis vectores de tensión de la Figura 2 puede descomponerse en sus tres componentes cilíndricas como se muestra en la Figura 3, donde además se indican las compo-nentes de las fuerzas másicas por unidad de volumen, F.

Figura 3: Tensiones actuando en las caras de un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas

A modo de ejemplo, observando la Figura 4, se plantea el equilibrio de fuerzas en dirección “r”:

( )

( )

Caras

Caras 2 2

Caras 2 2

Volu

rrrr rr

rr r

zrzr zr

r r d dz dr r dr d dzr

d ddr dz d d dr dz

dr drz r d dr dz r d drz

θ θθθ θθ θ θθ

σσ θ σ θ

σ σθ θθ σ σ σ θ σ θθ θ

σσ θ σ θ

∂ → − + + + + ∂

∂ ∂ → + − − + + − + + ∂ ∂

∂ → + − + + + + + ∂

men 02rdrF r d dr dzθ → + + =

(1)


279

Figura 4: Planteo del equilibrio en la dirección r

Efectuando los productos, simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior se obtiene

1 0r rrrr rzrF

r r z rθ θθσ σ σσ σ

θ∂ −∂ ∂

+ + + + =∂ ∂ ∂

(2)

Planteando el equilibrio según z y según θ se obtienen otras dos ecuaciones que unidas a la anterior constituyen las ecuaciones diferenciales de equilibrio en coordenadas cilíndricas.

1 0

21 0

1 0

r rrrr rzr

r z r

zrz zz rzz

Fr r z r

Fr r z r

Fr r z r

θ θθ

θ θθ θ θθ

θ

σ σ σσ σθ

σ σ σ σθ

σσ σ σθ

∂ −∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂

∂∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂

(3)

1.2 Ecuaciones cinemáticas Por simplicidad se comienza trabajando en el plano en coordenadas polares y considerando

pequeños desplazamientos y giros. Para deducir físicamente las deformaciones específicas εr y εθ usamos la Figura 5-a.

Figura 5-a: Desplazamientos y giros en coordenadas polares

Fibra AC Largo inicial = Largo final = ( )u

r

uAC dr A C dr u dr u dr drr

∂

∂

∂′ ′= = + + − = +∂

(4) Deformación específica

r

urdr dr drA C ACdrAC

ε∂∂+ −′ ′ −

= = → rur

ε ∂=

∂ (5)


280

Fibra AB ( )Largo inicial = Largo final ( )vAB r d A B r u d v d v

θθ θ θ∂

∂′ ′= = = + + + − (6)

Deformación específica

( )/u d dv d dA B ABr dABθ

θ θ θε

θ+′ ′ −

= = →1u v

r rθε θ∂

= +∂

(7)

Para deducir la distorsión angular rθε usamos la Figura 5-b

Figura 5-b: Desplazamientos y giros en coordenadas polares

Giro de la fibra AC ( )

2 1 1 2

/donde: y

dv dr drvr dr

α α α α α= − = = (8)

Giro de la fibra AB ( )/du d d

r dθ θ

βθ

= (9)

Cambio de ángulo entre las fibras AC y AB

( )2 112r r rθ θ θφ α α β ε φ= − + → = → 1

21=r

v v ur r rθε θ∂ ∂ − + ∂ ∂

(10)

Agregando la coordenada z y trabajando de manera similar se pueden encontrar las restantes componentes del tensor de deformaciones lineal en coordenadas cilíndricas.

Notar que este enfoque, que en un principio parece más simple que el planteo del Capítulo 1 debido a su contenido físico, se torna un tanto engorroso y resulta fácil cometer errores y olvidar uno o varios términos durante la deducción.

Figura 6: Cubo elemental

A continuación se resumen las relaciones cinemáticas lineales:

12

12

12

1

1 1

rr r

z

zz rz

u v u vr r r r

v u w vr r r z

w u wz z r

θ

θθ θ

ε εθ

ε εθ θ

ε ε

∂ ∂ ∂ = = + − ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂

(11)

Notar que el coeficiente 1/2 se utilizó para que el tensor de deformaciones lineales sea simétrico. Esto se logra colocando la mitad del cambio del ángulo en cada lado de la diagonal.


281

1.3 Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones (130) y (131) desarrolladas en el Capítulo 1, para sólidos linealmente elásticos

e isótropos, mantienen su validez porque las direcciones r, θ, y z son mutuamente ortogonales. Por ejemplo para i = j = r, podemos desarrollar y reordenar a la ecuación (130) del Capítulo 1 como:

( )( ) ( )

11 1 2 1

( )[ ]rr rr zz

Eθθ

ν νσ ε ε εν ν ν

−= + +

+ − − (12)

Similarmente haciendo i = j = r y Δt = 0 en la ecuación (131) de Capítulo 1, se obtiene:

( )1rr rr zzE θθε σ ν σ σ= − + (13)

2 CILINDRO DE PARED GRUESA SOMETIDO A PRESIÓN

Vamos a estudiar el cilindro de radio interior a y de radio exterior b mostrado en la Figura 7. Nos proponemos determinar la distribución de tensiones dentro del espesor del cilindro sometido a presión interna pi y externa pe y a una tensión axial uniforme, σo.

Figura 7: Cilindro grueso con cargas axilsimétricas

Esta configuración provee un modelo aplicable a muchos casos de interés práctico como ser: cilindros de presión, submarinos, cañones, prensas hidráulicas, recipientes para reactores nucleares, etc.

El problema puede resolverse utilizando las tres ecuaciones de equilibrio (3), las seis ecuaciones cinemáticas (11) y las seis ecuaciones constitutivas, ecuación (130) del Capítulo 1, que son del tipo (12) o sus inversas (13). Además deben utilizarse las condiciones de borde del problema.

El planteo del problema se ve notablemente simplificado por la simetría radial de las cargas. Basados en la simetría podemos anticipar que los desplazamientos en el sentido θ son nulos y que todas la tensiones y deformaciones son independientes de θ. También haremos la hipótesis tentativa de que la tensión σz es uniforme y en consecuencia todas las tensiones y deformaciones son independientes de z. Con éstas hipótesis el problema se reduce notablemente ya que las tensiones y deformaciones de corte se anulan en todos los puntos.

La ecuación (2) se reduce a:

0rr tr

rσ σ σ∂

+ − =∂

(14)

donde ν = 0, ∂ ( )/∂θ = 0, σz = σo = cte., y las tensiones y deformaciones de corte son nulas. Además, denominaremos σt = σθθ ( tensión tangencial ) ; σr = σrr ( tensión radial ) .

Las relaciones cinemáticas (11) se reducen a:

rur

ε ∂=

∂ t

ur

ε = zwz

ε ∂=

∂ (15)


282

Las ecuaciones constitutivas del tipo (12) son:

( )( ) ( )

1( )

1 1 2 1[ ]r r t z

E ν νσ ε ε εν ν ν

−= + +

+ − + (16)

( )( ) ( )

1( )

1 1 2 1[ ]t t r z


−= + +

+ − + (17)

( )( ) ( )

1( )

1 1 2 1[ ]z z t r


−= + +

+ − + (18)

Sustituyendo las relaciones cinemáticas (15) en las constitutivas (16) y (17) y reemplazando éstas últimas en la ecuación de equilibrio (14), esta última queda en función de los desplazamientos:

2

2 2

1 0d u du udr r dr r

+ − = (19)

cuya solución general es de la forma:

Bu Arr

= + (20)

Para determinar las constantes se procede de la siguiente manera: se reemplaza (20) en (16) y se imponen las condiciones de borde:

( ),r i r er a r b

p pσ σ

= == − = −

(21)

de las (21) se despejan las constantes A y B .

( )2 22 2

2 2 2 2

1 1; i ei e a b p pp a p bA BE b a E b aν ν −−− +

= =− −

(22)

Conocido u se reemplaza en las ecuaciones de tensiones y deformaciones se obtiene

( ) ( ) ( ){ } ( )2 2 2 21 / 1r i e

b b b br a r ap pσ = − − + − −

(23)

( ) ( ) ( ){ } ( )2 2 2 21 / 1t i e

b b b br a r ap pσ = + − + −

(24)

2 2

o2 2

2 i ez

p a p bE E b aσ νε

−= −

− (25)

La ecuación (25) muestra que εz es independiente de la posición dentro del cilindro y que depende de la tensión axial σo y de las presiones pi y pe a través del coeficiente de Poisson.

Las ecuaciones (23) y (24) muestran que las tensiones transversales σt y σr varían con r y son función lineal de las presiones, siendo en cambio, independientes de la tensión axial.

2.1 Cilindro con presión interior: pe = 0 Este caso cubre la mayoría de las situaciones de interés práctico, según (23) y (24) se tiene:

2 2

2 2 21t ia bp

b a rσ

= + −

(26)

2 2

2 2 21r ia bp

b a rσ

= − −

(27)

Estas ecuaciones muestran que σ σ>t r y que en ambos casos las máximas tensiones ocurren en r = a.


283

2.1.1 Dos casos de interés práctico de cilindros con presión interior

Figura 8: Dos casos de interés práctico

En el cilindro de la Figura 8-a la tensión σz es nula

caso a → 0zσ = (28)

En el caso de la Figura 8-b en zonas alejadas de los extremos se tiene

caso b → 2

2 2z iap

b aσ =

− (29)

además:

caso a → ( )

( ) ( )2

2 22 2 1 / donde 1 / 0ir r aap b a b a

b aσ

= = − − < −

(30)

caso b → ( )

( ) ( )2

2 22 2 1 / donde 1 / 2it r aap b a b a

b aσ

= = + + > −

(31)

En conclusión, en ambos casos σt (máx) es mayor que σz y σr (máx) es menor que σz; por lo tanto la condición de diseño está dada por la máxima σt, o bien por la máxima tensión de corte

( )1(max) 2 t rτ σ σ= − que ocurre para .=r a La variación de σt, se muestra en la Figura 9.

Figura 9: Tensiones tangenciales σt en el espesor del cilindro y máxima tensión cortante τmáx en r = a

Las máximas tensiones resultan:

( )max ( )r ir r a pσ σ == = − (32)

( ) ( ) ( )2 2 2 2max ( )t it r a p b a b aσ σ == = + −/ (33)

( ) ( ) ( )2 2 2max ( )

12 t r ir a p b b aτ σ σ == − = −/ (34)

Notar que ( )maxτ > ip .


284

2.2 Cilindro con presión exterior: pi = 0 Según (23) y (24):

2 2

2 2 21t eb ap

b a rσ

= − + −

(35)

2 2

2 2 21r eb ap

b a rσ

= − − −

(36)

Estas ecuaciones muestran que ambas tensiones son de compresión y que t rσ σ>

3 ZUNCHADO La Figura 10 basada en la ecuación (34) muestra que para valores de b/a mayores que 2,

aumentar b no ayuda a bajar las tensiones máximas. Por ello, en el caso de grandes presiones se recurre al zunchado. El zunchado es un proceso constructivo, que consiste en montar dos cilindros tales que el diámetro interno del mayor es menor que el diámetro externo del menor. Se fabrican con una interferencia δ y para permitir el montaje se enfría el cilindro interior y/o se calienta el cilindro exterior. Otra aplicación del zunchado es el montaje forzado de poleas o ruedas dentadas sobre ejes.

Figura 10: Tensiones tangenciales máximas en función del espesor del cilindro

Después del montaje la temperatura se hace uniforme por lo que ambos cilindros se ejercen una presión p que es externa para el cilindro interior, cuyo radio externo disminuye δ1 mientras que para el cilindro exterior es presión interior y su radio interno aumenta δ2. Por compatibilidad se tiene:

( )1 2 datoδ δ δ δ+ = = (37)

Los valores de δ1 y δ2 se pueden calcular a partir de la solución de la ecuación (19) calculando adecuadamente las constantes A y B.

En el cilindro interior, haciendo σz = 0 , σr(r=a) = 0 y σr(r=b) = – p → se tiene u1

En el cilindro exterior, haciendo σz = 0 , σr(r=b) = –p y σr(r=c) = 0 → se tiene u2

donde a y b son los radios del cilindro interior y b y c los radios del cilindro exterior. Reemplazando para r = b se tiene:

1 2r b r bu u δ

= =

+ = (38)

Notar que si se considera rozamiento nulo μ = 0 y además σz = 0, eso implica que el cilindro interior se alarga libremente por el efecto de Poisson (ν1 ≠ 0) y el exterior se acorta libremente ( ν2 ≠ 0).

Desarrollando (38) se llega a:

2

2

( / )( / ) 1

b ab a −

a

b


285

2 2 2 2

1 22 2 2 21 2

b p b a b p c bE b a E c b

ν ν δ + +

− + − = − − (39)

La ecuación (39) permite despejar la presión de zunchado. En el caso frecuente, donde ambos cilindros son del mismo material se tiene;

( ) ( )

( )2 2 2 2

3 2 22b a c b

p Eb c a

δ− −

=−

(40)

Conocido el valor de la presión de zunchado se calculan los valores de las tensiones en el cilindro exterior usando (26) a (34) haciendo pi = p. Para el cilindro exterior deben usarse (35) y (36).

Si el cilindro zunchado es sometido posteriormente a presión interior se producen tensiones iguales a las que corresponden a un cilindro único de radios a y c, que deben superponerse a las tensiones de zunchado como se indica en la Figura 11.

Figura 11: Diagramas de tensiones en un cilindro zunchado

Una situación conveniente se logra cuando a bτ τ= (41)

4 AUTOZUNCHADO POR TENSIONES RESIDUALES Se puede lograr un efecto similar al zunchado aplicando una alta presión interior que produce

la fluencia del material y que al quitarse deja tensiones residuales tangenciales, de compresión en la zona interna del cilindro y de tracción en la zona externa.

La fluencia en la zona interna se inicia según (34) cuando:

( )12 t r fσ σ τ− = (42)

La presión que inicia la fluencia también puede calcularse a partir de (34).

2 2

2f fb ap

bτ −

= (43)

τ por presión τ total

σt por zunchado σt por presión σt total

σr por zunchado σr por presión σr total


286

Figura 12: Diagrama elastoplástico de deformaciones

Suponiendo que el material se comporta perfectamente plástico como se indica en la Figura 12, la ecuación (42) se verifica en todos los puntos de la zona plastificada y puede reemplazarse en la ecuación de equilibrio (14), que es independiente del estado elástico o plástico, llegando a:

12rf

r r

σ τ∂=

∂ (44)

que puede ser integrada como: 2 lnσ τ= +r f r c (45)

La ecuación (45) es válida en toda la zona plastificada. Suponiendo plastificado todo el espesor podemos calcular la constante “c” a partir de la condición de borde σr(r=b) = 0 llegándose a:

2 lnr frb

σ τ= (46)

Haciendo r = a en (46) podemos calcular la presión pp que produce la plastificación total. Considerando que τf ≈ σf /2 y además teniendo en cuenta que ln ln= −a b

b a se tiene:

2 lnτ− =p fapb

→ lnp fbpa

σ= (47)

Reemplazando (46) en (42) permite despejar el valor de la tensión tangencial en el campo plástico:

2 1 lnσ τ = +

t frb

(48)

Al quitar la presión interior pp el material se recupera elásticamente según se indica en la Figura 12 y deben restarse las tensiones que produciría la presión pp actuando en el campo elástico.

A fin de visualizar conceptualmente el fenómeno se grafican las tensiones correspondientes al caso b/a = 2. En la Figura 13-a se muestra que la plastificación se inicia cuando se cumple (42). Durante la plastificación aumenta la presión interior y por consiguiente la tensión radial σr mientras que la tensión tangencial se modifica de modo que en todos los puntos se cumpla (42). Notar que en general σt aumenta, pero en la zona interior las deformaciones plásticas son considerables y σt disminuye al ceder el material, esto se observa en la Figura 13-b.

Figura 13: Diagrama de tensiones de autozunchado


287

En la Figura 13-c se grafican las tensiones elásticas que deben restarse y finalmente en la Figura 13-d se muestran las tensiones residuales resultantes.

Notar que después del autozunchado el cilindro se ha “endurecido” por la deformación plástica y se comportará elásticamente hasta que la presión interna alcance el valor de pp dado en (47).

Normalmente no se provoca la plastificación de todo el espesor porque resulta “peligroso” ya que se estaría trabajando muy próximo a la rotura.

La teoría se puede también desarrollar para plastificación parcial del espesor, conceptualmente no hay cambios con respecto a lo ya explicado.

Resumiendo las ventajas del autozunchado son: Se aumenta notablemente la resistencia en el campo elástico y por lo tanto se pueden resistir grandes presiones con deformaciones pequeñas.

Las ventajas del autozunchado están limitadas sólo a los cilindros de pared muy gruesa. Según se observa en la Figura 14 la resistencia a fluencia se hace constante para relaciones b/a > 3 y no se gana nada con aumentar el radio externo. Mientras que si se considera el campo plástico la resistencia a rotura aumenta continuamente a medida que se incrementa el radio exterior.

Figura 14: Inicio de la fluencia y finalización de la plastificación función de b/a

La curva inferior de la Figura 14 se obtiene de (43) y la superior de (47). Se puede observar que para b/a = 2 , la presión pp casi duplica el valor de pf ( pp / pf = 1,39/0,75 ≈ 1,85).

Para un cilindro de pared delgada, por ejemplo b/a= 1,05 resulta ( pp / pf ) ≈ 1,05 y la ventaja es por lo tanto insignificante.

5 CRITERIOS DE DISEÑO Hasta aquí nos hemos limitado a desarrollar “fórmulas” para obtener los valores de las tensiones

tangenciales y radiales suponiendo que son conocidas las presiones actuantes y la geometría del cilindro. Sin embargo, el interés práctico reside en dimensionar el cilindro con un coeficiente de seguridad para la condición crítica que se define como falla. Resta, por lo tanto, relacionar las fórmulas ya desarrolladas con una teoría de falla adecuada.

Siempre resultará posible efectuar un predimensionado y en una etapa posterior verificar que las máximas tensiones resultantes no superen el valor que se considera admisible de acuerdo con un coeficiente de seguridad, Cs, prefijado.

Ese procedimiento es válido y además muy utilizado en cálculo estructural. Sin embargo, siempre que sea posible se prefiere utilizar una fórmula que provea directamente las dimensiones óptimas (mínimas) con el Cs requerido prefijado de antemano.


288

5.1 Diseño de un cilindro grueso de material dúctil Nos proponemos encontrar el espesor (o diámetro exterior ) de un cilindro sometido a una presión

interior, pi, cuyo diámetro interno está prefijado por la función que dicho cilindro debe cumplir.

5.1.1 Teoría de la máxima tensión cortante Suponiendo que σz es tal que σr < σz < σt , la condición de diseño será la máxima tensión de

corte que ocurre para r = a y cuyo valor está dado por (34).

( ) ( )max 21 /ip

a bτ =

− (49)

Siendo el material dúctil podemos utilizar la teoría de la máxima tensión cortante haciendo:

( )(max) 22 2

1 /i

fs

s sC pC C

a bσ τ σ∗ = = =

− (50)

lo que permite despejar el radio exterior :

1

1 2 /i fs

b aC p σ

=−

válida para r z tσ σ σ<< (51)

Notar que existe solución sólo si el radicando es positivo y en tal caso.

1 2 0 0,5 fii

f

s

s

C p pCσ

σ− > ⇒ < (52)

5.1.2 Teoría de la energía de distorsión Al utilizar la teoría de la energía de distorsión debemos considerar el valor de la tensión axial σz

Caso σz = 0 Tal es el caso de la Figura 8-a para el cual podemos emplear la ecuación (22) del Capítulo 2:

2

22 21 2 1 2

fsC

σσ σ σ σ

=+ −

(53)

donde: según (32)

( )1 ir ar pσ σ=

= = −

según (33) ( )

2 2

2 2 2ir atb apb a

σ σ=

+= =

−

Operando algebraicamente y haciendo 2

s i

f

C pσ α =

se llega a:

2

s i

f

C pσα = →

( )1 4 31 3

b aα α

α+ −

=−

(54)

Notar que solo existe solución si los dos radicandos de (54) son positivos y para ello es suficiente que:

1 3 0 0,577 fi

s

pCσ

α− > ⇒ < (55)

Caso σz originado en la presión interior pi

Tal es el caso de la Figura 8-b para el cual debemos utilizar la ecuación (20) del Capítulo 2.

( ) ( ) ( )

22

2 2 21 2 2 3 3 1

2 fsC

σ

σ σ σ σ σ σ=

− + − + − (56)

donde σ1 y σ2 están dados por (32) y (33) como en el caso anterior mientras que:


289

según (29) ( )3 2/

11

z ib a

pσ σ= =−

(57)

Reemplazando σ1, σ2 y σ3 en (56), definiendo: α igual que en el caso anterior y x = (b/a)2, se puede despejar x en función de α, lo que permite finalmente despejar b :

2 1 3 1 11 3 1 3 1 3

s i

f

C p x x b aσα

αα α α

± = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − − (58)

de donde:

3

f

f is

b aC p

σ

σ=

− (59)

Notar que existe solución sólo si el radicando es positivo

3 0 0,577 ff i

ssC p pi

Cσ

σ − > ⇒ < (60)

La ecuación (54) provee espesores mayores que (59); la diferencia en el espesor nunca supera el 15 % y ello ocurre cuando las presiones son pequeñas. Por otra parte el rango de validez de (54) es el mismo que el de (59).

5.2 Diseño utilizando Cs a rotura Al diseñar un cilindro de presión es conveniente definir a la fluencia como condición de falla.

No obstante resulta de sumo interés contar con una fórmula para calcular la máxima presión interior que puede resistir el cilindro antes de producirse el “estallido”' del mismo.

Figura 15: Gráfico tensión vs. deformación

La presión de estallido, que denotaremos pE se puede obtener suponiendo que el estallido ocurre cuando todo el material del cilindro alcanza la tensión de corte de rotura τR. En tal caso bastará reemplazar τf por τR en la fórmula (47) que da la presión de plastificación:

2 lnE Rapb

τ− = (61)

Como en general τR no es conocido se aproxima τR ≈ σR /2 (ver Figura 15) y además teniendo en cuenta que ln lna b

ab = − se tiene :

lnE Rbpa

σ= (62)

Svensson propuso afectar a la fórmula de un coeficiente empírico η que tiene en cuenta el endurecimiento por deformación:

4 0,908

1 lnm

E Re bp

m m aη ησ

= ⇒ = +

(63)

Fórmula que da predicciones en perfecta concordancia con los ensayos de rotura de cilindros


290

por estallido. El coeficiente η es generalmente próximo a la unidad lo que muestra la validez de (62), la que puede utilizarse en caso de no conocer el valor de m.

Para aceros de bajo y medio contenido de carbono resulta:

( )0,4 1 /f Rm σ σ= − (64)

Notar que para un acero típico donde σf /σr ≈ 0,6 → m ≈ 0,16 y en consecuencia η ≈ 1,016.

La ecuación (62) puede emplearse de dos maneras: 1. Una vez dimensionado el cilindro usando la fluencia como condición de falla se calcula

el CsE a estallido para tener información adicional :

E

E

is

pCp

= (65)

2. En casos donde la deformación producida durante la plastificación no torna inoperable al cilindro, se puede dimensionar considerando al estallido como condición de falla. La utilización de (63) y (65) permite despejar el radio exterior

E i

R

sC p

b a e η σ = (66)

Naturalmente, el CsE en (66) será bastante mayor que el utilizado en las fórmulas de diseño a fluencia (51), (54) y (59).

Siendo que la presión pE está relacionada con σR, ver (62), podría denominarse simplemente presión de rotura del cilindro. Se prefiere el término estallido porque el mismo induce en el proyectista tendencia a ser precavido. En casos donde la presión interna es producida por un gas comprimido, la rotura (reventón) resulta generalmente catastrófica pudiendo provocar pérdidas de vidas humanas.

Hay que tener presente que (66), a diferencia que las anteriores reglas de diseño, siempre provee una solución sin importar cuán grande sea la presión interior pi.

En el caso de un cilindro hidráulico como el de la Figura 8-a la deformación excesiva por fluencia es una condición de falla y por lo tanto (66) no puede emplearse para el diseño. En ese caso si es posible emplear (65) como se indica en el ítem 1 a fin de tener una idea del grado de seguridad a rotura.

5.3 Diseño de un zunchado óptimo Para el caso de muy altas presiones la fórmulas (51), (54) y (59) fallan si no se cumplen las

restricciones (52), (55) y (60). También puede ocurrir que el espesor calculado con esas fórmulas resulte demasiado grande, en esos casos se puede recurrir al zunchado, fenómeno ya tratado en la sección 3.

A continuación nos ocupamos de resolver el siguiente problema: conocido el radio interno “a” y la presión interior “pi” deben determinarse los radios “b” y “c”, y también la interferencia “δ ” de manera eficiente garantizando que ningún punto del cilindro compuesto supere la tensión admisible.

El problema puede resolverse por tanteos, como lo sugieren muchos autores, pero preferimos hallar un criterio de diseño que cumpla dos requisitos:

1) Que provea directamente el resultado (valores “b”, “c” y “δ” sin tanteos).

2) Que el diseño sea óptimo (que economice material ).

5.3.1 Criterio de zunchado óptimo basado en la teoría de la máxima tensión de corte Para optimizar el cilindro zunchado emplearemos la teoría de la máxima tensión de corte que

se adapta bien a los materiales dúctiles y permite un tratamiento matemático relativamente sencillo. La relación entre la presión interna y las tensiones en el cilindro zunchado es no lineal

porque deben adicionarse las tensiones iniciales del zunchado. En consecuencia en lo sucesivo aplicaremos el coeficiente de seguridad a la presión interior definiendo:

i s ip C p= (67)


291

En la Figura 16 se ha repetido el gráfico de la Figura 11 indicando los valores de las tensiones que se obtienen utilizando las ecuaciones (26), (27), (35) y (36).

Figura 16: a) Tensiones en un cilindro zunchado, b) zunchado óptimo

Las máximas tensiones cortantes en cada cilindro se obtienen valuando

( ) ( )max12 t rτ σ σ= − (68)

en el radio interno de cada cilindro:

( )( )

( )( )

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 a i i

t r

b i i

b c ap p pb a c a

a c b a c bc b p p p pc b b c a b c a

σ

σ σ σσ

∗

∗

∗

− += + + − −

= − + −+ = + + + − − −

(69)

(70)

Debemos determinar tres valores (b, c y p) por lo tanto podemos fijar arbitrariamente tres condiciones que aseguren un diseño óptimo para un dado Cs , proponemos:

σ σ σ∗ ∗ ∗= =a b m (71)

(mínimo)σ ∗ =m (72)

( )minm fσ σ∗ = (73)

La ecuación (71) asegura igual solicitación máxima en ambos cilindros. Reemplazando (69) y (70) en (71) se obtiene la relación entre la presión de zunchado y la presión interior :

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 i

c b a b c b c b ap p

c b b a b c a

− + − −=

− − − (74)

Reemplazando (74) en (69) y considerando (71) se obtiene σ ∗m :

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2m i

c b pb c b c b a

σ ∗ =− + −

(75)

Para satisfacer (72) igualamos a cero la derivada de σ ∗m respecto a b2.

22 0m b ac

bσ ∗∂

= ⇒ =∂

(76)

Reemplazando (76) en (75) y luego reemplazando en (73) se obtiene:


292

( )m i

c pc a

σ ∗ = ⇒−

f

f i

c ap

σσ

=−

(77)

Reemplazando (76) en (74) podemos despejar la presión de zunchado p. Llevando ésta a (40) y teniendo en cuenta (76) se determina la interferencia en el radio δ

( )2 ic ap pc a−

= ⇒+

ipbE

δ = (78)

Resumiendo se tiene: Criterio de zunchado óptimo basado en la teoría de corte máximo:

1) Se calcula el radio externo c según (77). 2) Se calcula el radio medio b según (76). 3) Se calcula la interferencia δ en el radio medio según (78).

Teniendo en cuenta (77) se observa que la solución existe sólo si “c” es positivo y finito, y en ese caso el denominador debe ser positivo.

0 ff i i

s

p pCσ

σ − > ⇒ < (79)

Comparando (79) con (52) vemos que el zunchado duplica el rango de tensiones posibles.

5.3.2 Criterio de zunchado óptimo basado en la teoría de energía de distorsión Se puede aplicar el mismo procedimiento del apartado anterior utilizando tensiones efectivas

de Von Mises pero el desarrollo es bastante más engorroso. Una simplificación muy importante se logra aceptando a priori que (76) mantiene vigencia. Esto da resultados para el radio exterior “c” que difieren del óptimo absoluto, que se puede lograr por tanteos en tres variables (c, b, po), en bastante menos del 1% en todo el rango de tensiones.

Adoptamos b/a = c/b como en (76) y definimos radios, presiones y tensiones adimensionales:

oo

s ii

f f f

C p pb cb c p pa a

σσσ σ σ

∗∗

′′ ′′ ′= = = = = (80)

además consideramos que 0σ =z . Remplazando en los valores de la Figura 16, se tiene

2

o2

1 2 ( )1 1

a at i r i

c cp p pc c

σ σ+= − = −

− − (81)

o o2 2

1 1 11 1 1

b bt i r i

c c cp p p pc c c

σ σ + + −

= + = − + − − − (82)

La tensión efectiva de Von Mises para el estado plano está dada por la ecuación (36) del Capítulo 2 con 0,xyτ = ,x tσ σ= .y rσ σ= . Donde 0tσ > y 0.rσ <

( ) ( ) ( )2 2 2r t rtσ σ σ σ σ∗ = + + (83)

La presión óptima de zunchado es la que iguala la tensión efectiva en =r a y .=r b o ip pα= donde ( ) ( )2 4 3 2 23 1 6 6 3 1 1c c c c cα = + − + + + −/ (84)

llevando éste valor óptimo a (83) en r = a e igualando la tensión efectiva adimensional a la unidad permite calcular la presión interior admisible:

( ) ( ) ( )2 4 2 31 3 1 4 1 6 2 1ip c c c c c c cα α ≤ − + + + − − + / (85)

Notar que (84) y (85) resultan óptimos exactos para .b c= Para determinar el radio c partiendo de pi = dato debe procederse por tanteos utilizando (85) donde α está determinado por (84). Para evitar los tanteos puede utilizarse la siguiente fórmula aproximada con error menor a 0,5%:

( ){ } ( )24 9,6 0,5 20 20 19i i i ic p p p p= − − + − / (86)


293

5.4 Criterio de zunchado óptimo para materiales frágiles Para el caso de materiales frágiles puede desarrollarse un procedimiento totalmente análogo a

los anteriores utilizando la tensión efectiva de Rankine. Ese desarrollo se deja como ejercicio para el lector y los resultados se encuentran en el cuadro resumen de la sección 6.2 para zunchado óptimo.

Es importante destacar que al utilizar aceros aleados tratados térmicamente se tiene un σf elevado, además siempre:

2,41ca

< (87)

Esto está lejos de ser una panacea y, en general, debe evitarse el uso de materiales frágiles en el caso de presiones elevadas porque no tienen ninguna resistencia adicional por plastificación. Recordar que para materiales dúctiles cuando el espesor adimensional (b/a) >>1 la resistencia a estallido es varias veces superior a la resistencia a fluencia y esto provee un coeficiente de seguridad adicional a favor del calculista/diseñador.

Nota: de las ecuaciones podría inferirse que p(máx) = 3 σf pero éste valor tan elevado no puede lograrse porque está limitado por la tensión radial en .=r a

1a f ar rσ σ σ′ < ⇒ = (88)

y como siempre en =r a → a ir pσ ′ = − → ( )max 1ip =

5.5 Criterio de zunchado óptimo para tres tubos A continuación se resumen los resultados para el zunchado óptimo de tres tubos de material dúctil.

1,5

===

b x ac x ad x a

(89) σ

= S i

f

C pp (90)

donde

[ ]

1 .................. 0,9511 2 / 3

1 / (1 ) ............0,951 1

ppx

p p

≤ −=

− < ≤1/3

xF (91)

Presión de zunchado

3

31 ............................. 0,951

11 ......................................................0,951 1

2

12 σ

σ

−− ≤ − =

− < ≤

f

b

f

x x p px xp

x px

bF (92)

31 ..............................0 1

112 σ − = − < < −

c fx xp p p

x xcF (93)

Interferencia en el radio

[ ] [ ]2 2( 1) ( 1)( 1) ( 1)

δ δ= + − = + −− −b b c c c bb cx p x p x p p

E x E x (94)

El valor de los coeficientes Fx, Fb y Fc depende del criterio utilizado. Para el criterio de Tresca son todos iguales a la unidad mientras que en el caso del criterio de Von Mises son menores a la unidad:

Coeficiente Tresca Von Mises

Fx 1 1 – 0,2387 p2+ 0,08535 p3 Fb 1 0,76 + 0,116 p2+ 0,064 p3 Fc 1 0,755 + 0,1933 p3


294

6 RESUMEN DE FÓRMULAS 6.1 Cilindro grueso con presión interior

Material Teoría de falla

Tensión longitudinal zσ

Presión admisible función del radio

Radio necesario función de la presión pmáx

Frágil Rankine z fσ σ< 2

2

11

bpb

−=

+

11

pbp

+=

− 1

Dúctil

Tresca r z tσ σ σ< < 2

2

12bp

b−

= 1

1 2b

p=

− 0,5

Von Mises

0zσ = 2

4

13 1bpb−

=+

2

2

1 4 31 3

p pb

p+ −

=−

0,577

zσ por presión 2

2

13

bpb−

= 11 3

bp

=−

: radio exterior adimensional / donde b es el radio exterior: presión interior adimensional /: tensión longitudinal

σσ

′ ′== i f

z

s

b b b ap p C p

6.2 Zunchado óptimo

Mat. Teoría de falla

Presión admisible función del radio

Radio necesario función de la presión

Presión de zunchado pmáx

Frágil Rankine

( )( )( )

( ) ( )

2

2

2 2

3 1 1 2

1

3 1 4 / 1

p

c cc

c c

α α β

α

β

= − −

+ + +=

+

= − − +

1 2 1

3

2,4142máx

p pc

p

c c

+ + +=

−

< =

( )( )

2 2

o

1 12 1

p c cp

c c+ − +

=+

1

Dúctil

Tresca 1cpc−

= 1

1c

p=

−

( )o1

2 1cp pc−

=+

1

Von Mises

( )( )

( ) ( )( )

2

3

2

2

2 2

13,04861

3 1

4 6 23 1 / 1

6 0,5 1

ϕ

ϕ β ββ ω

ω

<−

=+ +

= − −

= + − −

= + + +

ccp

c c

c cc c

c c c

( )

2 2020 19

4 9,6 0,5

pcp

p p

φ

φ

+=

−

= − −

( )

( ) ( )

( )

o

2

2 2

1

3 1 / 1

6 0,5 1

p pc

c c

c c c

β

β ω

ω

=+

= + − −

= + + +

1

o

: radio intermedio adimensional / siempre : radio exterior adimensional c / donde es el radio exterior : presión interior adimensional /

: presión de

σ

′ ′ ′= → =′ ′=

= i fs

b b b a b cc c a cp p C pp o o

o

zunchado adimensional /

/ 1: interferencia en el radio adimensional 2/ 1

σ

δδ δσ

′=

′ ′ += =

−

f

f

p pb cpE c


295

PRÁCTICO Cilindros con Elevada Presión −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−


296

SOLUCIÓN del PRÁCTICO Cilindros con Elevada Presión −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−


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Documents

CILINDROS CON ELEVADA PRESIÓN INTERIOR€¦ · En la Figura 1 se indica el sistema de coordenadas cilíndrica ... Desplazamientos y giros en coordenadas polares . Giro de la fibra