Cinematic A

APUNTES DE FÍSICA CINEMÁTICA MsC. JESÚS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 29

CAPITULO 2

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION

ACERTIJO En un momento el cable de detención se tensará y el aterrizaje a 140 millas/h de este F/A−18 Hornet en la pista del portaaviones USS Nimitz concluirá de manera súbita. El piloto cortará la corriente del motor y el avión se detendrá en menos de 2 s. Si el cable no se ha acoplado con éxito el piloto tendrá que elevarse con rapidez antes de llegar al final de la cubierta de vuelo. ¿Puede describirse cuantitativamente el movimiento del avión de tal forma que sea útil para que los diseñadores de los aviones, los navíos y los pilotos aprendan a aterrizar sobre "un sello de correos"? (Cortesía del USS Nimitz/Armada de EE.UU.) Líneas generales del capitulo: 2.1 Desplazamiento, velocidad y rapidez 2.2 Velocidad y rapidez instantáneas 2.3 Aceleración 2.4 Diagramas de movimiento 2.5 Movimiento unidimensional con aceleración constante 2.6 Objetos en caída libre 2.7 Ecuaciones cinemáticas derivadas del cálculo

Etapas ROAA para resolver problemas


Como un primer paso en el estudio de la mecánica clásica es conveniente describir el movimiento en términos del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes que lo producen. Esta parte de la mecánica clásica recibe el nombre de cinemática. (La palabra cinemática tiene la misma raíz que cine. ¿Tiene idea de a qué se debe esto?) En este capítulo sólo se considera el movimiento en una dimensión. Primero se define el desplazamiento, velocidad y aceleración. Después, con estos conceptos se estudia el movimiento de objetos que viajan en una dimensión con una aceleración constante. A partir de la experiencia cotidiana se reconoce que el movimiento representa el cambio continuo en la posición de un objeto. La física estudia tres tipos de movimiento: traslacional, rotacional y vibratorio . Un auto que se mueve por una autopista experimenta un movimiento traslacional, el giro diario de la Tierra sobre su eje es un ejemplo de movimiento rotacional, y el movimiento hacia adelante y hacia atrás de un péndulo es un ejemplo de movimiento vibratorio. En éste y en algunos de los siguientes capítulos se estudiará sólo el movimiento traslacional. (Más adelante en este libro se analizarán los movimientos rotacional y vibratorio.) En el estudio del movimiento traslacional se describe al objeto en movimiento como una partícula sin importar su tamaño. En general, una partícula es una masa parecida a un punto de tamaño infinitesimal. Por ejemplo, si se desea describir el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, se puede tratar a la primera como una partícula y obtener información razonablemente precisa acerca de su órbita. Esta aproximación se justifica porque el radio de la órbita de la Tierra es grande comparado con las dimensiones de nuestro planeta y el Sol. Por ejemplo, en una escala mucho más pequeña, es posible explicar la presión ejercida por un gas sobre las paredes de un recipiente considerando las moléculas de gas como partículas. 2.1. DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y RAPIDEZ El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo momento. Considere un auto que se mueve hacia atrás y hacia adelante a lo largo del eje x como muestra la figura 2.1a. Cuando se comienza a recopilar datos de posición el auto está a 30 m a la derecha de la señal en el camino. (Suponga que todos los datos de este ejemplo se conocen hasta dos cifras significativas. Para transmitir esta información es necesario reportar la posición inicial como 3.0 x 101 m. Se escribió este valor en forma simplificada para hacer que el análisis sea más fácil de seguir.) Se echa a andar el reloj y cada 10 s se anota la ubicación del auto en relación con la señal. Como se puede ver en la tabla 2.1, el auto se mueve hacia la derecha (la cual se define como la dirección positiva) durante los primeros 10 s de movimiento, desde la posición A a la posición B. Sin embargo, ahora los valores de posición comienzan a: disminuir debido a que el auto está regresando de la posición B a la posición F. De hecho, en D, 30 s después de que se comienza a medir, el carro está junto a la señal que se está usando como origen de las coordenadas. Continúa moviéndose a la izquierda y está a más de 50 m a la izquierda de la señal cuando se deja de registrar información luego del sexto dato. Una gráfica con esta información se presenta en la figura 2.1b. Tal representación recibe el nombre de gráfica posición−tiempo. TABLA 2.1. Posición del carro en varios tiempos

Posición t ( s ) x ( m ) A 0 30 B 10 52 C 20 38 D 30 0 E 40 −37 F 50 −53


Figura 2.1 a) Un auto se mueve hacia atrás y hacia adelante a lo largo de una línea recta considerada como eje x. Debido a que se está interesado sólo en el movimiento de traslación del auto, es posible tratarlo como una partícula. b) Gráfica posición−tiempo para el movimiento de la "partícula". Si una partícula está en movimiento se puede determinar fácilmente el cambio en su posición. El desplazamiento de una partícula se define como el cambio en su posición. Conforme se mueve desde una posición inicial xi a una posición final xf su desplazamiento está dado por xf − xi. Se usa la letra griega delta (∆) para denotar el cambio en cantidad. Por lo tanto, el desplazamiento, o cambio en la posición de la partícula, se escribe como:

if xxx −=∆ (2.1)

A partir de esta definición se ve que ∆x es positiva si xf es mayor que xi, y negativa si xf es menor que xi.


Un error muy común es no reconocer la diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida (Fig. 2,2), Cuando un jugador de béisbol batea un home run recorre una distancia de 360 pies en su viaje alrededor de las bases; sin embargo, su desplazamiento es 0 porque las posiciones final e inicial son idénticas.

Figura 2.2 Vista a “ojo de pájaro" de un diamante de beisbol. Un bateador que conecte un cuadrangular recorrerá 360 pies conforme da vuelta a las bases, pero su desplazamiento por el viaje redondo es cero. (Mark C. Burnett/Photo Reseachers, Inc.) El desplazamiento es un ejemplo de cantidad vectorial. Muchas otras cantidades físicas, incluyendo la velocidad y la aceleración, también son vectores, En general, un vector es una cantidad física que requiere la especificación tanto de una dirección como de una magnitud. En contraste, un escalar es una cantidad que tiene magnitud más no dirección. En este capítulo se usan los signos más y menos para indicar la dirección del vector. Se puede hacer esto porque el capítulo trata sólo de movimiento unidimensional; esto significa que cualquier objeto que se estudie sólo puede estarse moviendo a lo largo de una línea recta. Por ejemplo, para el movimiento horizontal se especificará de manera arbitraria la derecha como la dirección positiva. De esto se deduce que siempre que cualquier objeto se mueva a la derecha tendrá un desplazamiento positivo + ∆x, y cualquier objeto que se mueva a la izquierda tendrá un desplazamiento negativo −∆x. Los vectores se tratarán con más detalle en el capítulo 3. Existe un punto muy importante que todavía no se ha mencionado. Observe que la gráfica de la figura 2.1b no sólo consta de seis puntos, sino que en realidad se trata de una curva continua. La gráfica contiene información acerca del intervalo completo de 50 s durante los cuales se observa el movimiento del auto. Es mucho más fácil ver los cambios en la posición a partir de la gráfica que de la descripción verbal o incluso de una tabla de números. Par ejemplo, es claro que el carro avanzó más a la mitad del intervalo de 50 s que al final. Entre las posiciones C y D el carro ha viajado casi 40 m, pero durante los últimos 10 s, entre las posiciones E y F se ha movido menos de la mitad de esa distancia. Una forma común de comparar estos diferentes movimientos es dividir el desplazamiento ∆x que ocurre entre dos lecturas del reloj entre la duración de dicho intervalo de tiempo particular ∆t. Esto se convierte en una proporción muy útil que se empleará en muchas ocasiones. Por conveniencia, a dicha proporción se le ha dado un nombre especial: velocidad promedio. La velocidad promedio de la partícula xv se define corno

el desplazamiento de la partícula, ∆x, dividido entre el intervalo de tiempo, ∆t, durante el cual ocurre el desplazamiento:

Velocidad promedio t

xvx ∆

∆= (2.2)


donde el subíndice x indica movimiento a lo largo del eje x. A partir de esta definición se ve que la velocidad promedio tiene dimensiones de longitud divididas por tiempo (L/T), metros por segundo en unidades del SI. Aunque la distancia recorrida en cada movimiento siempre es positiva, la velocidad promedio de una partícula moviéndose en una dimensión puede ser positiva o negativa, dependiendo del signo del desplazamiento. (El intervalo de tiempo ∆t siempre es positivo.) Si la coordenada de una partícula aumenta con el tiempo (esto es, si xf > xi), entonces ∆x es positivo y xv = ∆x/∆t es positivo. Este caso

corresponde al movimiento en la dirección x positiva. Si la coordenada disminuye en el tiempo (esto es, si xf < xi), entonces ∆x es negativo y, por tanto, xv es negativa. Este caso corresponde al movimiento en la

dirección x negativa. Se puede interpretar la velocidad promedio de manera geométrica dibujando una línea recta entre cualesquiera dos puntos en la gráfica posición−tiempo de la figura 2.1b. Esta línea forma la hipotenusa de un triángulo recto de altura ∆x y base ∆t. La pendiente de esta línea es la relación ∆x/∆t. Por ejemplo, la línea entre las posiciones A y B tiene una pendiente igual a la velocidad promedio del auto entre esos dos tiempos, (52 m − 30 m)/(10 s − 0) = 2.2 m/s. En la vida cotidiana los términos rapidez y velocidad son intercambiables. En física, sin embargo, existe una clara distinción entre estas dos cantidades. Considere un corredor de maratón que corre más de 40 km y, sin embargo, finaliza en el punto de partida. ¡Su velocidad promedio es cero! No obstante, se debe ser capaz de cuantificar qué tan rápido estaba corriendo. Una relación ligeramente diferente resuelve esto. La rapidez promedio de una partícula, una cantidad escalar, se define como el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo total que lleva viajar esa distancia:

Rapidez promedio: totaltiempo

totalciadispomedioRapidez

tan=

La unidad del SI de la rapidez promedio es igual que la unidad de la velocidad promedio: metros por segundo. Sin embargo, a diferencia de la velocidad promedio, la rapidez promedio no tiene dirección y, por consiguiente, no lleva signo algebraico. Conocer la rapidez promedio de una partícula no brinda ninguna información acerca de los detalles del viaje. Por ejemplo, suponga que usted tarda 8.0 h al viajar 280 km en su automóvil. La rapidez promedio de su viaje es 35 km/h. Sin embargo, es probable que usted haya viajado a diversas velocidades durante el trayecto, y la rapidez promedio de 35 km/h resultaría de un número infinito de posibles variaciones de rapidez. EJEMPLO 2.1. Cálculo de las variables del movimiento Encuentre el desplazamiento, velocidad promedio y rapidez promedio del auto de la figura 2.1a entre las posiciones A y F. Solución Las unidades de desplazamiento deben estar en metros, y los resultados numéricos deberán ser del mismo orden de magnitud que el de los datos de posición proporcionados (lo cual significa probablemente no 10 o 100 veces más grande o pequeño). A partir de la gráfica posición−tiempo dada en la figura 2.1b, observe que xA = 30 m en tA = 0 s y que xF = −53 m en tF = 50 s. Usando estos valores junto con la definición de desplazamiento, ecuación 2.1, se encuentra que:

mmmxxx AF 833053 −=−−=−=∆ Este resultado significa que el carro termina 83 m en la dirección negativa (a la izquierda, en este caso) a partir de donde comenzó. Este número tiene las unidades correctas y es del mismo orden de magnitud que los datos proporcionados. Un rápido vistazo a la figura 2.1a indica que ésta es la respuesta correcta.


Es difícil estimar la velocidad promedio sin completar los cálculos, pero se espera que las unidades sean metros por segundo. Dado que el carro termina a la izquierda de donde se comenzaron a tomar los datos, se sabe que la velocidad promedio debe ser negativa. De la ecuación 2.2,

sms

m

ss

mm

tt

xx

tt

xx

t

xv

AF

AF

if

ifx /7,1

50

83

0.50

3053 −=−=−−=−−

=−−

=∆∆=

Se encuentra que la rapidez promedio del auto para este viaje sumando las distancias recorridas y dividiéndola entre el tiempo total:

sms

mmmpromedioRapidez /5,2

50

535222 =++=

2.2. VELOCIDAD Y RAPIDEZ INSTANTÁNEAS Con frecuencia se necesita conocer la velocidad de una partícula en un instante de tiempo particular, más que sobre un intervalo de tiempo finito. Por ejemplo, aun cuando quiera calcular la velocidad promedio durante un largo viaje en automóvil, estará especialmente interesado en conocer la velocidad en el instante en que se distingue un carro de policía junto al camino frente a usted. En otras palabras, querrá ser capaz de especificar su velocidad de manera tan precisa como se pueda precisar la posición al notar qué está sucediendo en una lectura específica del reloj: esto es, en algún instante específico. Puede que no sea obvio inmediatamente cómo hacer esto. ¿Qué significa cuando se habla de cuán rápido se mueve algo si se "congela el tiempo" y cuando se habla sólo de un instante individual? Éste es un punto sutil no completamente comprendido sino hasta finales del siglo XVII. En esa época, con la invención del cálculo, los científicos comenzaron a comprender cómo describir el movimiento de un objeto en cualquier momento en el tiempo.

Figura 2.3 a) Gráfica que representa el movimiento del carro en la figura 2.1. b) Una ampliación de la esquina superior izquierda de la gráfica donde se muestra cómo la línea azul entre las posiciones A y B se aproxima a la línea tangente verde conforme el punto B se acerca más al punto A. Para ver cómo se hace esto considere la figura 2.3a. Ya se ha analizado la velocidad promedio para el intervalo durante el cual el auto se mueve de la posición A a la posición B (dado por la pendiente de la línea azul oscuro) y para el intervalo durante el cual se mueve de A a F (representado por la pendiente de la línea azul claro). ¿Cuál de estas dos líneas piensa que es una aproximación más cercana a la velocidad inicial del carro? El auto comienza moviéndose a la derecha, la cual se ha definido como la dirección positiva. Por tanto, siendo positivo, el valor de la velocidad promedio durante el intervalo entre A y B probablemente se acerca más al valor inicial de lo que lo hace el valor de la velocidad promedio durante el intervalo de A a F que se determinó negativo en el ejemplo 2.1. Ahora imagine que se inicia con la línea azul oscuro y se desliza el punto B a la izquierda a lo largo de la curva, hacia el punto A, como en la figura 2.3b. La línea entre los puntos se inclina cada vez más, y conforme los dos puntos se juntan más, la línea se convierte en una línea tangente a la curva, indicada por la línea verde en la gráfica. La pendiente


de esta línea tangente representa la velocidad del auto en el momento en que se comienzan a obtener los datos en el punto A. Lo que se ha hecho es determinar la velocidad instantánea en ese momento. En otras palabras, la velocidad instantánea, vx, es igual al valor límite del cociente ∆∆∆∆x/∆∆∆∆t conforme ∆∆∆∆t se acerca a cero:1

Velocidad instantánea: t

xlímitev

tx ∆

∆=→∆ 0

(2.3)

1Observe que el desplazamiento, ∆x, también se aproxima a cero cuando ∆t tiende a cero. Cuando ∆x y ∆t se vuelven más y más pequeños, la relación ∆x/∆t se aproxima a un valor igual a la pendiente de la línea tangente a la curva x versus t. En la notación del cálculo este límite se conoce como la derivada de x respecto de t, y se escribe dx/dt:

td

xd

t

xlímitev

tx =

∆∆=

→∆ 0 (2.4)

La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero. Cuando la pendiente de la gráfica posición−tiempo es positiva, tal como en cualquier tiempo durante los primeros 10 s en la figura 2.3, vx es positiva. En el punto B, vx es negativa puesto que la pendiente también lo es. En la punta, la pendiente y la velocidad instantánea son cero. De aquí en adelante se empleará la palabra velocidad para designar a la velocidad instantánea. Cuando interese la velocidad promedio se empleará siempre el adjetivo promedio. La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud de su velocidad. Como sucede con la rapidez promedio, la rapidez instantánea no tiene dirección asociada y, en consecuencia, no lleva signo algebraico. Por ejemplo, si una partícula tiene una velocidad de + 25 m/s y otra partícula tiene una velocidad de −25 m/s a lo largo de la misma línea, las dos tienen una rapidez2 de 25 m/s. 2Como con la velocidad, se utiliza el adjetivo para rapidez instantánea: "rapidez" significa rapidez instantánea. EJEMPLO 2.2. Velocidad promedio e instantánea Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su coordenada x varía con el tiempo de acuerdo con la expresión x = − 4 t + 2 t2, donde x está en metros y t en segundos.3 La gráfica posición−tiempo para este movimiento se muestra en la figura 2.4. Advierta que la partícula se desplaza en la dirección x negativa en el primer segundo del movimiento, que está en reposo en el momento t = 1 s, y que después regresa a la dirección x positiva en t > 1 s. a) Determine el desplazamiento de la partícula en los intervalos de tiempo t = 0 a t = 1 s y t = 1 s a t = 3 s. b) Calcule la velocidad promedio durante estos dos intervalos. c) Encuentre la velocidad instantánea de la partícula en t = 2.5 s. Solución Durante el primer intervalo de tiempo, se tiene una pendiente negativa por lo tanto una velocidad negativa. De este modo, se sabe que el desplazamiento entre A y B debe ser un número negativo con unidades de metros. Del mismo modo, esperamos que el desplazamiento entre B y D sea positivo. En el primer intervalo se establece ti = tA = 0 y tf = tB = 1 s. Usando la ecuación 2.1, con x = − 4 t + 2 t2, se obtiene para el primer desplazamiento

[ ] [ ] mxxxixfx ABBA 2))0(2)0(4))1(2)1(4 22 −=+−−+−=−=−=∆ →

Para calcular el desplazamiento durante el segundo intervalo de tiempo se establece ti = tB = 1 s y tf = tD = 3 s:


[ ] [ ] mxxxixfx BDDB 8))1(2)1(4))3(2)3(4 22 +=+−−+−=−=−=∆ →

Figura 2.4 Gráfica posición−tiempo para una partícula que tiene una coordenada x que varía en el tiempo de acuerdo con la expresión x = −4 t + 2 t2. Estos desplazamientos también pueden leerse directamente de la gráfica posición−tiempo b) En el primer intervalo, ∆t = tf − ti = tB − tA = 1 s. En consecuencia, con la ecuación 2.2 y con los resultados de a) se obtiene:

sms

m

t

xv BA

BAx /21

2)( −=−=

∆∆

= →→

En el segundo intervalo ∆t = 2 s; por lo tanto:

sms

m

t

xv DB

DBx /42

8)( +==

∆∆

= →→

Estos valores concuerdan con las pendientes de las líneas que unen estos puntos en la figura 2.4. c) Ciertamente se puede asegurar que esta velocidad instantánea debe ser del mismo orden de magnitud que el resultado previo, esto es, alrededor de 4 m/s. Examinando la gráfica se ve que la pendiente de la tangente en la posición C es mayor que la pendiente de la línea azul que une a los puntos B y D. De esta forma, se esperaría que la respuesta sea mayor que 4 m/s. Al medir la pendiente de la gráfica posición−tiempo en t = 2.5 s, se encuentra que vx = +6 m/s 3 Simplemente para hacerlo más fácil de leer, se escribe la ecuación empírica como x = −4 t + 2 t2 en lugar de x = (−4.00 m/s) t + (2.00 m/s2)t2,00. Cuando una ecuación resume medidas, considere sus coeficientes con tantos dígitos significativos como los otros datos asentados en el problema. Considere sus coeficientes para tener las unidades requeridas para la consistencia dimensional. Cuando se echa a andar el reloj en t = 0 s, usualmente no significa limitar la precisión a un solo dígito. Considere que cualquier valor cero en este libro contiene tantas cifras significativas como sea necesario. 2.3. ACELERACIÓN En el último ejemplo se trabajó con una situación en la cual la velocidad de una partícula cambia mientras ésta se mantiene en movimiento. Esta es una ocurrencia muy común. (¿Qué tan constante es su velocidad mientras viaja en un autobús?) Es fácil cuantificar los cambios en la velocidad como función del tiempo exactamente en la misma manera en que se cuantifican los cambios en la posición como función del tiempo. Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula está


acelerando. Por ejemplo, la velocidad de un auto aumenta cuando se pisa el acelerador y disminuye cuando se aplican los frenos. Sin embargo, es necesario proporcionar una mejor definición de la aceleración que la anterior.

Figura 2.5 a) Una .partícula moviéndose a lo largo del eje x de A a B tiene velocidad vxi en t = ti y velocidad vxf en t = tf, b) Gráfica velocidad−tiempo para la partícula que se mueve en línea recta. La pendiente de la línea recta azul que conecta A y B es la aceleración promedio en el intervalo de tiempo ∆t = tf − ti Suponga que una partícula que se mueve a lo largo del eje x tiene una velocidad vxi al tiempo ti, y una velocidad vxf al tiempo tf, como se muestra en la figura 2.5a. La aceleración promedio de la partícula se define como el cambio en velocidad ∆vx dividido entre el intervalo ∆t durante el cual ocurre dicho cambio:

if

ixfxxx tt

vv

t

va

−−

=∆

∆= (2.5)

Como con la velocidad, cuando el movimiento que se va a analizar es unidimensional, se pueden usar signos positivo o negativo para indicar la dirección de la aceleración. Debido a que las dimensiones de la velocidad son L/T y la dimensión del tiempo es T, la aceleración tiene dimensiones de longitud divididas entre el tiempo al cuadrado, o L/T2. La unidad SI de la aceleración es metros por segundo al cuadrado (m/s2). Será más fácil interpretar estas unidades si se piensa en ellas como metros por segundo por segundo. Por ejemplo, suponga un objeto que tiene una aceleración de 2 m/s2. Deberá formarse una imagen mental de un objeto que tiene una velocidad dirigida a lo largo de una línea recta y está aumentando 2 m/s cada intervalo de 1 s. Si el objeto parte del reposo deberá ser capaz de dibujar su movimiento a una velocidad de + 2 m/s después de 1 s, a + 4 m/s después de 2 s, y así sucesivamente. En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede ser diferente sobre intervalos distintos. Por consiguiente, es útil definir la aceleración instantánea como el límite de la aceleración promedio cuando ∆t se acerca a cero. Este concepto es similar a la definición de velocidad instantánea estudiada en la sección anterior. Si se imagina que el punto B se acerca cada vez más al punto A en la figura 2.5a y se considera el límite de ∆vx/∆t conforme ∆t se aproxima a cero, se obtiene la aceleración instantánea:

Aceleración instantánea: td

vd

t

vlímitea xx

tx =

∆∆

=→∆ 0

(2.6)

Es decir, la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo, la cual por definición es la pendiente de la gráfica velocidad−tiempo (Fig. 2.5b). En consecuencia, se ve que, como la velocidad de una partícula en movimiento es la pendiente de una gráfica x−t de la partícula, la aceleración de una partícula es la pendiente de la gráfica vx − t de la partícula. Se puede interpretar la derivada de la velocidad respecto del tiempo como la relación de cambio de la velocidad con el tiempo. Si ax es positiva, entonces la aceleración está en la dirección x positiva; si ax es negativa, entonces la aceleración está en la dirección x negativa.


A partir de ahora se empleará el término aceleración con el significado de aceleración instantánea. Cuando se haga referencia a la aceleración promedio siempre se usará el adjetivo promedio. Puesto que vx = dx/dt, la aceleración también puede escribirse:

2

2

td

xd

td

xd

td

d

td

vda x

x =

== (2.7)

Es decir, en un movimiento unidimensional la aceleración es igual a la segunda derivada de x con respecto al tiempo. La figura 2.6 muestra cómo la gráfica aceleración−tiempo está relacionada con la gráfica velocidad−tiempo. La aceleración en cualquier tiempo es la pendiente de la gráfica velocidad−tiempo en ese tiempo. Los valores positivos de la aceleración corresponden a aquellos puntos en la figura 2.6a donde la velocidad aumenta en la dirección x positiva. La aceleración alcanza un máximo en el tiempo tA, cuando la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo es un máximo. Después la aceleración se vuelve cero en el tiempo tB, cuando la velocidad es un máximo (es decir, cuando la pendiente de la gráfica vx−t es cero). La aceleración es negativa cuando la velocidad en la dirección de x positiva disminuye y alcanza su valor más negativo en el tiempo tC.

Figura 2.6 La aceleración instantánea se puede obtener a partir de la gráfica vx − t. a) La gráfica velocidad−tiempo para algún movimiento. b) La gráfica aceleración−tiempo para el mismo movimiento. La aceleración dada por la gráfica ax−t para algún valor de t es igual a la pendiente de la línea tangente a la gráfica vx−t en el mismo valor de t. EJEMPLO CONCEPTUAL 2.3. Relaciones gráficas entre x, vx y ax La posición de un objeto que se mueve a lo largo del eje x varía con el tiempo, como se muestra en la figura 2.7a. Grafique la velocidad versus tiempo y la aceleración versus tiempo para el objeto. Solución La velocidad en cualquier instante es la pendiente de la tangente de la gráfica x−t en ese instante. Entre t = 0 y t = tA, la pendiente de la gráfica x−t aumenta de manera uniforme, así que la velocidad se incrementa linealmente, como se muestra en la figura 2.7b. Entre tA y tB la pendiente de la gráfica x−t es constante, de manera que la velocidad permanece constante. En tD la pendiente de la gráfica x−t es cero, de modo que la velocidad es cero en ese instante. Entre tD y tE la pendiente de la gráfica x−t y, por tanto, la velocidad, son negativas y disminuyen de manera uniforme en este intervalo. En el intervalo tE a tF la pendiente de la gráfica x−t aún es negativa y en tF va a cero. Por último, después de tF la pendiente de la gráfica x−t es cero, lo que significa que el objeto se encuentra en reposo para t > tF. La aceleración en cualquier instante es la pendiente de la tangente de la gráfica vx−t en ese instante. La gráfica de aceleración versus tiempo para este objeto se muestra en la figura 2.7c. Observe que la aceleración es constante y positiva entre O y tA, donde la pendiente de la gráfica vx−t es positiva. Es cero


entre tA y tB. Y para t > tF debido a que la pendiente de la gráfica vx−t es cero en estos tiempos. Es negativo entre tB y tE debido a que la pendiente de la gráfica vx−t es negativa durante este intervalo.

Figura 2.7 a) Gráfica posición−tiempo para un objeto que se mueve a lo largo del eje x. b) La gráfica velocidad-tiempo para el objeto se obtiene al medir la pendiente de la gráfica posición−tiempo en cada instante. c) La gráfica aceleración-tiempo para el objeto se obtiene al medir la pendiente de la gráfica velocidad−tiempo en cada instante. Pregunta sorpresa 2.1. Dibuje una gráfica velocidad-tiempo para el auto mostrado en la figura 2.la y úsela para determinar si en alguna ocasión excede el límite de velocidad registrado en la señal del camino (30 km/h). EJEMPLO 2.4 Aceleración promedio e instantánea La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del eje x varía en el tiempo de acuerdo con la expresión vx = (40 − 5 t2) m/s, donde t se mide en segundos. a) Encuentre la aceleración promedio en el intervalo t = 0 a t = 2.0 s. b) Determine la aceleración en t = 2.0 s. Solución a) La figura 2.8 es una gráfica vx−t que fue creada a partir de la expresión velocidad versus tiempo obtenida del enunciado del problema. Debido a que la pendiente de toda la curva vx−t es negativa, se espera que la aceleración sea negativa. Se encuentran las velocidades en ti = tA = 0 y tf = tB = 2.0 s al sustituir estos valores de t en la expresión para la velocidad: vxA = (40 − 5tA

2) m/s = [40 − 5(0)2] m/s = +40 m/s


vxB = (40 − 5 tB2) m/s = [40 − 5(2.0)2] m/s = +20 m/s

Por tanto, la aceleración promedio en el intervalo especificado ∆t = tB − tA = 2.0 s es:

2/10)00,2(

/)4020(sm

s

sm

tt

vv

tt

vva

AB

xAxB

if

xixfx −=

−−=

−−

=−−

=

El signo negativo es consistente con las expectativas: a saber, que la aceleración promedio, la cual está representada por la pendiente de la línea (no mostrada) que une los puntos inicial y final en la gráfica velocidad−tiempo, es negativa.

Figura 2.8 La gráfica velocidad−tiempo para una partícula moviéndose a lo largo del eje x de acuerdo con la expresión vx = (40 − 5 t2)m/s. La aceleración en t = 2 es igual a la pendiente de la línea tangente azul en dicho tiempo. b) La velocidad en el tiempo t es vxf = (40 − 5 t2) m/s, y la velocidad en el tiempo t + ∆t es: vxf = 40 − 5(t + ∆t)2 = 40 − 5 t2 − 10 t ∆t − 5 (∆t)2 Por tanto, el cambio en la velocidad sobre el intervalo de tiempo ∆t es ∆ vx = vxf − vxi = [− 10 t ∆t − 5 (∆t)2] m/s Si se divide esta expresión entre ∆t y se toma el límite del resultado cuando ∆t tiende a cero se obtiene la aceleración en cualquier tiempo t:

2

00/10)510( smttlímite

t

vlímitea

t

x

tx −=∆−−=

∆∆

=→∆→∆

Por consiguiente, en t = 2.0 s: ax = (−10)(2.0) m/s2 = −20 m/s2 Lo que se ha hecho al comparar la aceleración promedio durante el intervalo entre A y B (−10 m/s2) con el valor instantáneo en B (−20 m/s2) es comparar la pendiente de la línea (no mostrada) que une A y B con la pendiente de la tangente en B.


Observe que la aceleración no es constante en este ejemplo. Las situaciones que implican aceleración constante se trata en la sección 2.5. Hasta aquí se han evaluado las derivadas de una función empezando con la definición de la función y tomando después el límite de un cociente específico. Los lectores familiarizados con el cálculo deben darse cuenta que hay reglas específicas para efectuar las derivadas de diversas funciones. Estas reglas, que se listan en el apéndice B.6, permiten evaluar derivadas de manera rápida. Por ejemplo, una regla dice que la derivada de cualquier constante es cero. Como otro ejemplo, suponga que x es proporcional a alguna potencia de t, como en la expresión:

ntAx =

donde A y n son constantes. (Ésta es una forma funcional muy común.) La derivada de x respecto de t es:

1−= ntAntd

xd

Al aplicar esta regla al ejemplo 2.4, donde vx = 40 − 5 t2, se encuentra que ax = dvx/dt = − 10 t. 2.4. DIAGRAMAS DE MOVIMIENTO A menudo se confunden los conceptos de velocidad y aceleración, pero de hecho son cantidades muy diferentes. Es instructivo usar diagramas de movimiento para describir la velocidad y la aceleración mientras un objeto está en movimiento. Para no confundir estas dos cantidades vectoriales, para las que tanto la magnitud como la dirección son importantes, se usa rojo para los vectores de velocidad y violeta para los vectores de aceleración, como se muestran en la figura 2.9. Los vectores son bosquejados en varios instantes durante el movimiento del objeto, y los intervalos de tiempo entre posiciones adyacentes se suponen iguales. Esta ilustración representa tres juegos de fotografías estroboscópicas de un auto moviéndose de izquierda a derecha a lo largo de una carretera recta. Los intervalos de tiempo entre los destellos son iguales en cada diagrama. En la figura 2.9a las imágenes del auto están igualmente espaciadas, y muestran que el carro avanza la misma distancia en cada intervalo. Por tanto, el carro se mueve con velocidad constante positiva y tiene aceleración cero. En la figura 2.9b las imágenes comienzan a aparecer más separadas conforme transcurre el tiempo. En este caso el vector velocidad se incrementa con el tiempo debido a que el desplazamiento del carro entre posiciones adyacentes se incrementa con el tiempo. El carro se mueve con velocidad positiva y una aceleración positiva. En la figura 2.9c se puede decir que el carro se detiene conforme se mueve a la derecha puesto que su desplazamiento entre imágenes adyacentes disminuye con el tiempo. En este caso el auto se mueve a la derecha con una aceleración negativa constante. El vector velocidad disminuye con el tiempo y eventualmente llega a cero. A partir de este diagrama se aprecia que los vectores aceleración y velocidad no están en la misma dirección. El auto se mueve con una velocidad positiva pero con una aceleración negativa. Deberá ser capaz de construir diagramas de movimiento para un auto que se mueve inicialmente a la izquierda con aceleración constante, ya sea positiva o negativa.


Figura 2.9 a) Diagrama de movimiento para un auto moviéndose a velocidad constante (aceleración cero). b) Diagrama de movimiento para un auto cuya aceleración constante está en dirección de su velocidad. El vector velocidad en cada instante está indicado por una flecha roja, y la aceleración constante por una flecha violeta. c) Diagrama de movimiento para un auto cuya aceleración constante está en dirección opuesta a su velocidad en cada instante. Pregunta sorpresa 2.2 a) Si un auto viaja hacia el este, ¿su aceleración podrá estar hacia el oeste? b) Si un auto se esta deteniendo, ¿puede su aceleración ser positiva? 2.5. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL CON ACELERACIÓN CONS TANTE Si la aceleración de una partícula varía con el tiempo, el movimiento puede ser complejo y difícil de analizar. Sin embargo, un tipo muy común y simple de movimiento unidimensional ocurre cuando la aceleración es constante. Cuando este es el caso, la aceleración promedio en cualquier intervalo es igual a la aceleración instantánea en cualquier instante durante el intervalo, y la velocidad cambia en la misma proporción durante todo el movimiento. Si se reemplaza xa por ax en la ecuación 2.5 y se toma ti = 0 y tf como cualquier t posterior, se encuentra

que:

t

vva ixfx

x

−=

o

tavv xixfx += (para ax constante) (2.8)

Esta poderosa expresión permite determinar la velocidad de un objeto en cualquier tiempo t si se conocen la velocidad inicial y la aceleración (constante) del objeto. Una gráfica velocidad−tiempo para este movimiento aceleración constante se muestra en la figura 2.10a. La gráfica es una línea recta cuya pendiente (constante) es la aceleración axi, esto es consistente con el hecho de que ax = dvx/dt es una constante. Advierta que la pendiente es positiva; esto indica una aceleración positiva. Si la aceleración fuera negativa, la pendiente de la línea de la figura 2.10a sería negativa.


Cuando la aceleración es constante, la gráfica de la aceleración versus tiempo (Fig. 2.10b) es una línea recta con una pendiente de cero.

Figura 2.10 Un objeto que se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante ax. a) La gráfica velocidad−tiempo. b) La gráfica aceleración−tiempo. c) La gráfica posición−tiempo. Pregunta sorpresa 2.3 Describa el significado de cada uno de los términos en la ecuación 2,8. Puesto que la velocidad en aceleración constante varía linealmente en el tiempo según la ecuación 2.8, es posible expresar la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial, vxi, y de la velocidad final, vxf:

2fxix

x

vvv

+= (para ax constante) (2.9)

Observe que esta expresión para la velocidad promedio es útil sólo en situaciones en las cuales la aceleración es constante. Ahora se pueden usar las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.9 para obtener el desplazamiento de cualquier objeto como función del tiempo. Recordando que ∆x en la ecuación 2.2 representa xf − xi y ahora usando t en lugar de ∆t (puesto que se toma ti = 0), se puede decir

)(2

1fxixxif vvtvxx +==− (para ax constante) (2.10)

Es posible obtener otra expresión útil para el desplazamiento con aceleración constante al sustituir la ecuación 2.8 en la ecuación 2.10:

tavvxx xfxixif )(2

1 ++=−

2

2

1tatvxx xixif +=− (2.11)

La gráfica posición−tiempo para un movimiento con aceleración constante (positiva) mostrada en la figura 2.10c se obtiene a partir de la ecuación 2.11. Advierta que la curva es una parábola. La pendiente de la línea tangente a esta curva en t = ti = 0 es igual a la velocidad inicial vxi, Y la pendiente de la línea tangente en cualquier tiempo posterior t es igual a la velocidad en dicho tiempo, vxf. Se puede verificar la validez de la ecuación 2.11 al mover el término xi al lado derecho de la ecuación y diferenciando la ecuación con respecto al tiempo:


tavtatvxtd

d

td

xdv xixxixi

ffx +=

++== 2

2

1

Por último, es posible obtener una expresión para la velocidad final que no contenga un intervalo de tiempo sustituyendo el valor de t de la ecuación 2.8 en la ecuación 2.10:

x

ixfx

x

ixfxfxixif a

vv

a

vvvvxx

2)(

2

122 −

=

−+=−

)(222ifxixfx xxavv −+= (para constante ax) (2.12)

Para el movimiento con aceleración cero se ve a partir de las ecuaciones 2.8 y 2.11 que:

=−

==

tvxx

vvv

xif

xixfxcuando ax = 0

Es decir, cuando la aceleración es cero la velocidad es una constante y el desplazamiento cambia linealmente con el tiempo.

Figura 2.11 Las partes a), b) y c) son gráficas vx−t de objetos en movimiento unidimensional. Las posibles aceleraciones de cada objeto como función del tiempo se muestran en orden revuelto en d), e) y f). Pregunta sorpresa 2.4 En la figura 2.11 equipare cada gráfica vx−t con la gráfica ax −-t que describa mejor el movimiento. Las ecuaciones de la 2.8 a la 2.12 son expresiones cinemáticas que pueden utilizarse para resolver cualquier problema de movimiento unidimensional con aceleración constante. Recuerde que estas relaciones se obtuvieron de las definiciones de velocidad y aceleración junto con algunos manejos algebraicos simples y el requerimiento de que la aceleración sea constante. Las cuatro ecuaciones cinemáticas utilizadas con mayor frecuencia se incluyen en la tabla 2.2. La elección de cuál ecuación debe utilizarse en una situación determinada dependerá de qué se conoce de antemano. Algunas veces es necesario emplear dos de estas ecuaciones para resolver dos incógnitas. Por ejemplo, suponga que se dan la velocidad inicial, vxi, y la aceleración, ax. Es posible encontrar entonces 1) la velocidad después de que ha transcurrido un tiempo t, empleando vxf = vxi + ax t, y 2) el desplazamiento después de que ha pasado un tiempo t, usando xf − xi = vxi t + ½ ax t

2. Advierta que las cantidades que varían durante el movimiento son la velocidad, el desplazamiento y el tiempo. Se adquirirá mucha práctica en el uso de estas ecuaciones resolviendo muchos ejercicios y problemas. Muchas veces descubrirá que se puede usar más de un método para obtener una solución. Recuerde que estas ecuaciones de cinemática no se pueden usar en una situación en la cual la aceleración varia con el tiempo. Sólo se pueden usar cuando la aceleración es constante.


TABLA 2.2. Ecuaciones cinemáticas para el movimiento en una línea recta bajo aceleración constante Ecuación Información proporcionada por la ecuación

tavv xixfx += Velocidad como función del tiempo

tvvxx fxixif )(2

1 +=− Desplazamiento como función de la velocidad y el tiempo

2

2

1tatvxx xixif +=− Desplazamiento como función del tiempo

)(222ifxixfx xxavv −+= Velocidad como función del desplazamiento

Nota: El movimiento es a lo largo del eje x. EJEMPLO 2.5. La velocidad de diferentes objetos Considere los siguientes movimientos unidimensionales: a) Una pelota arrojada directamente hacia arriba alcanza su punto más alto y cae de regreso a la mano del lanzador. b) Un auto de carreras comienza desde el reposo y acelera hasta alcanzar 100 m/s. c) Una nave espacial navega por el espacio a velocidad constante. ¿Existen algunos puntos en el movimiento de estos objetos en los cuales la velocidad instantánea sea la misma que la velocidad promedio sobre el movimiento completo? Si es así, identifíquelos. Solución a) La velocidad promedio para la pelota lanzada es cero, pues la pelota regresa al punto de partida; de esta manera su desplazamiento es cero. (Recuerde que la velocidad promedio se define como ∆x/∆t.) Existe un punto en el cual la velocidad instantánea es cero: en la parte alta del movimiento. b) La velocidad promedio del auto no se puede evaluar sin ambigüedad con la información proporcionada, pero debe ser algún valor entre 0 y 100 m/s. Debido a que el auto tendrá cada velocidad instantánea entre 0 y 100 m/s en algún momento durante el intervalo, deberá haber algún instante en el cual la velocidad instantánea sea igual a la velocidad promedio. c) Puesto que la velocidad instantánea de la nave espacial es constante, su velocidad instantánea en cualquier tiempo y su velocidad promedio sobre cualquier intervalo serán los mismos. EJEMPLO 2.6 Ingresando al flujo vehicular (a) Estime su aceleración promedio conforme maneja sobre la rampa de ingreso a una carretera interestatal. b) ¿Qué distancia avanzará durante la primera mitad del intervalo de tiempo durante el cual aceleró? Solución ¡Este problema involucra más que la cantidad usual de estimaciones! Se trata de dar con un valor de ax, pero este valor es difícil de adivinar directamente. Las otras tres variables involucradas en la cinemática son posición, velocidad y tiempo. La velocidad es probablemente la más fácil de aproximar. Suponga una velocidad final de 100 km/h, de tal manera que pueda mezclarse con el tráfico. Multiplique este valor por 1 000 para convertir kilómetros a metros y luego divídalo entre 3 600 para convertir horas a segundos. Estos dos cálculos juntos son aproximadamente equivalentes a dividir entre tres. De hecho, sólo diga que la velocidad final es vxf = 30 m/s. (Recuerde, puede realizar este tipo de aproximaciones y disminución de dígitos cuando realiza cálculos mentales. Si hubiese comenzado con el sistema inglés de unidades podría aproximar 1 milla/h toscamente a 0.5 m/s y continuar a partir de aquí.)


Ahora suponga que abordó la rampa en cerca de un tercio de su velocidad final, de tal manera que vxi = 10 m/s. Finalmente, suponga que le toma cerca de 10 s ir de vxi a vxf basando esta suposición en su experiencia previa en automóviles. Entonces se puede encontrar la aceleración usando la ecuación 2.8:

2/210

/10/30sm

s

smsm

t

vva ixfx

x =−=−

=

De acuerdo, se han realizado muchas aproximaciones hasta ahora, pero este tipo de esfuerzos mentales pueden ser sorprendentemente útiles y casi siempre concuerdan con los resultados que no son muy diferentes de los derivados de medidas cuidadosas. b) Se puede calcular la distancia recorrida durante los primeros cinco segundos a partir de la ecuación 2.11:

mmmssmssmtatvxx xixif 752550)5()/2(2

1)5(()/10(

2

1 222 =+=+=+=−

Este resultado indica que si no ha acelerado, su velocidad inicial de 10 m/s habría resultado en un movimiento sobre la rampa de 50 m durante los primeros cinco segundos. Los 25 m adicionales son el resultado del incremento de su velocidad durante dicho intervalo. No tema intentar realizar suposiciones probables y hacer bastantes redondeos numéricos drásticos para simplificar cálculos mentales. Los físicos se dedican a este tipo de análisis todo el tiempo. EJEMPLO 2.7. Aterrizaje en un portaaviones Un jet aterriza sobre un portaaviones a 140 millas/h (≈ 63 m/s). a) ¿Cuál es su aceleración si se detiene en 2.0 s? b) ¿Cuál es el desplazamiento del avión mientras se está deteniendo? Solución a) Defina el eje x como la dirección del movimiento del jet. Una lectura cuidadosa del problema revela que adicionalmente a la velocidad inicial dada de 63 m/s, también se conoce la velocidad final, que es cero. Advierta también que no se proporciona el desplazamiento del jet mientras se está deteniendo. La ecuación 2.8 es la única ecuación en la tabla 2.2 que no involucra el desplazamiento y, por tanto, se puede usar para encontrar la aceleración:

2/310,2

/630sm

s

sm

t

vva ixfx

x −=−=−

=

b) Ahora se puede emplear cualquiera de las otras tres ecuaciones en la tabla 2.2 para resolver el desplazamiento. Elija la ecuación.2.10:

mssmtvvxx ixfxif 63)0,2()0/63(2

1)(

2

1 =−=−=−

Si el aeroplano recorre más que esto podría caer en el océano. Aunque la idea; de usar cables de detención para que los aviones aterricen de manera segura sobre los navíos se originó alrededor de la época de la Primera Guerra Mundial, los cables aún son una parte vital de la operación de los modernos portaaviones. EJEMPLO 2.8 ¡Cuidado con el límite de rapidez! Un automóvil viaja a una rapidez constante de 45.0 m/s y pasa por un anuncio detrás del cual se oculta una motociclista de tránsito. Un segundo después de que pasa el automóvil la motociclista parte del anuncio para atraparlo, acelerando a una relación constante de 3.00 m/s2. ¿Cuánto tarda ella en rebasar al automóvil?


Solución Una cuidadosa lectura permite categorizar éste como un problema de aceleración constante. Se sabe que después de un segundo de retraso al arrancar, le tomará a la motociclista otros 15 s acelerar hasta los 45.0 m/s. Desde luego, ella deberá continuar incrementando su rapidez (a una proporción de 3.00 m/s por segundo) para atrapar al automovilista. Mientras todo esto sucede el automóvil continúa moviéndose. Por tanto, se debe esperar que el resultado esté por arriba de los 15 s. Un bosquejo (Fig. 2.12) ayuda a clarificar la secuencia de los eventos.

vx auto = 45.0 m/s ax auto = 0 ax policía = 3.00 m/s2

Figura 2.12 Un auto con exceso de velocidad pasa a un oficial de policía oculto.

Primero, escriba expresiones para la posición de cada vehículo como función del tiempo. Es conveniente elegir la posición del anuncio como el origen y establecer tB = 0 como el tiempo en que la motociclista inicia su movimiento. En ese instante el automóvil ya ha recorrido una distancia de 45.0 m porque ha viajado a una rapidez constante de vx = 45.0 m/s durante un segundo. De este modo, la posición inicial del auto con exceso de rapidez es xB = 45.0 m. Puesto que el automóvil se mueve con rapidez constante, su aceleración es cero, y al aplicar la ecuación 2.11 (con ax = 0) dada para la posición del auto en cualquier tiempo t se obtiene: xauto = xB + vx auto t = 45.0 m + (45.0 m/s)t Un rápido vistazo muestra que en t = 0 esta expresión da la posición inicial correcta del auto cuando la motociclista comienza su persecución: xauto = xB = 45.0 m. Observar los casos límite para ver si se ajustan a los valores esperados es una forma muy útil de asegurarse de que se están obteniendo resultados razonables. La motociclista parte del reposo en t = 0 y acelera a 3.00 m/s2 desde el origen. Por tanto, su posición después de cualquier intervalo de tiempo t se puede encontrar a partir de la ecuación 2.11:

2

2

1tatvxx xixif ++=

222 )/00,3(2

1

2

100 tsmtatx xpolicía =++=

La motociclista rebasa al auto en el instante en que su posición se empareja con la del auto, que es la posición C:


xpolicia = xauto ½ (3.00 m/s2) t2 = 45.0 m + (45.0 m/s) t Esto da la ecuación cuadrática 1.50 t2 − 45.0 t − 45.0 = 0 La solución positiva de esta ecuación es t = 31.0 s (Para ayudarse a resolver ecuaciones cuadráticas vea el apéndice B.2.) Advierta que en este intervalo de 31.0 s la motociclista viajó una distancia de casi 1 440 m. [Esta distancia se puede calcular a partir de la rapidez constante del auto: (45.0 m/s) (31 + l)s = 1 440 m.] Ejercicio Este problema se puede resolver de manera gráfica. Sobre la misma gráfica trace la posición versus tiempo para cada vehículo y, a partir de la intersección de las dos curvas,) determine el tiempo en el cual la motociclista rebasa al automóvil. 2.6. OBJETOS QUE CAEN LIBREMENTE Ahora es bien sabido que, en ausencia de resistencia de aire, todos los objetos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra caen hacia ella con la misma aceleración constante bajo la influencia de la gravedad terrestre. No fue sino hasta cerca del año 1600 que esta conclusión fue aceptada. Antes de dicha época las enseñanzas del gran filósofo Aristóteles (384−322 a.C.) sostenían que los objetos pesados caen más rápido que los más ligeros. Fue el italiano Galileo Galilei (1564−1642) quien originó las ideas contemporáneas en relación con la caída de los objetos. Según cuenta la leyenda, él demostró la ley de los objetos que caen al observar que al dejar caer simultáneamente dos diferentes pesas desde la inclinada Torre de Pisa ambas golpeaban en el suelo casi al mismo tiempo. Si bien hay cierta duda de que este particular experimento se haya realizado, está perfectamente establecido que Galileo efectuó muchos experimentos sistemáticos en objetos que se movían sobre planos inclinados. En sus experimentos hizo rodar pelotas hacia abajo de una pendiente leve y midió las distancias que recorrían en intervalos de tiempo sucesivos. El propósito de la pendiente fue reducir la aceleración; con la aceleración reducida Galileo fue capaz de realizar mediciones precisas de los intervalos de tiempo. Al incrementar de manera gradual la pendiente del plano, al fin pudo dibujar conclusiones acerca de objetos que caían libremente debido a que una bola que cae de manera libre es equivalente a una bola que se mueve hacia abajo sobre un plano vertical.

El astronauta David Scott suelta un martillo y una pluma simultáneamente, y éstos caen al unísono a la superficie lunar. (Cortesía de NASA)


Experimento sorpresa Use un lápiz para hacer un hoyo en el fondo de un vaso de papel o poliestireno. Cubra el hoyo con su dedo y llene el vaso con agua. Sostenga el vaso frente a usted y suéltelo. ¿Sale agua por el agujero mientras cae el vaso? ¿Por qué sí o por qué no? Tal vez el lector desee intentar el siguiente experimento. Deje caer simultáneamente, desde la misma altura, una moneda y un pedazo de papel apretado con la mano. Si los efectos de la resistencia del aire son despreciables, ambos experimentarán el mismo movimiento y llegarán al suelo al mismo tiempo. En el caso idealizado, en el cual no existe resistencia del aire, dicho movimiento se conoce como caída libre. Si este mismo experimento se llevara a cabo en el vacío, donde la resistencia del aire es verdaderamente despreciable, el papel y la moneda caerían con la misma aceleración, aun cuando el papel no estuviera apretado. El 2 de agosto de 1971 el astronauta David Scott realizó un experimento de estas características en la Luna. Simultáneamente soltó un martillo y una pluma, que hicieron contacto con la superficie lunar al mismo tiempo. ¡Esa demostración seguramente habría complacido a Galileo! Cuando se emplea la expresión objeto que cae libremente no se hace referencia por fuerza a un objeto que se soltó desde el reposo. Un objeto que cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos lanzados hacia arriba o hacia abajo y los que se sueltan desde el reposo todos caen libremente una vez que se han liberado. Cualquier objeto que cae libremente experimenta una aceleración dirigida hacia abajo, independientemente del movimiento inicial del objeto. Se denotará la magnitud de la aceleración de caída libre con el símbolo g. El valor de g cerca de la superficie de la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También hay ligeras variaciones de g con los cambios en la latitud. Es común definir "arriba" como la dirección + y y usar y como la posición variable en las ecuaciones cinemáticas. En la superficie de la Tierra el valor de g es aproximadamente 9.80 m/s2. A menos que se establezca lo contrario, cuando efectuemos cálculos usaremos este valor para g. Para hacer estimaciones rápidas use g = 10 m/s2. Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración en caída libre no varía con la altitud sobre cortas distancias verticales, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento en una dimensión con aceleración constante: Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones desarrolladas en la sección 2.5 para objetos que se mueven con aceleración constante. La única modificación que es necesario hacer en estas ecuaciones para objetos en caída libre es notar que el movimiento se realiza en la dirección vertical (la dirección y) en lugar de la dirección horizontal (x) y que la aceleración está dirigida hacia abajo y tiene una magnitud de 9.80 m/s2. De este modo, siempre se tendrá ay = −g = −9.80 m/s2, donde el signo menos significa que la aceleración de un objeto en caída libre está dirigida hacia abajo. En el capítulo 14 se estudiará cómo trabajar con variaciones de g debidas a la altitud. EJEMPLO 2.9 El osado paracaidista Un paracaidista salta de un helicóptero suspendido en el aire. Unos cuantos segundos después otro paracaidista salta y ambos caen a lo largo de la misma línea vertical. Ignore la resistencia del aire, de tal manera que ambos paracaidistas caigan con la misma aceleración. ¿La diferencia en su rapidez permanece igual a lo largo de su caída? ¿La distancia vertical entre ellos permanece igual a través de su caída? Si los dos paracaidistas están conectados con una larga cuerda de bungee, ¿la tensión en la cuerda se incrementará, disminuirá o permanecerá igual durante la caída? Solución En cualquier momento dado, la rapidez de los paracaidistas son diferentes debido a que uno saltó primero. Sin embargo, en un intervalo de tiempo dt después de este instante, los dos paracaidistas incrementan su rapidez por la misma cantidad pues tienen la misma aceleración. Por tanto, la diferencia en su rapidez permanece igual durante toda la caída.


El primer saltador siempre tendrá una rapidez mayor que el segundo. De éste modo, en un intervalo de tiempo dado el primer saltador cubrirá una distancia mayor que el segundo, por lo que la distancia de separación entre ellos se incrementa . Una vez que la distancia entre los saltadores alcanza la longitud de la cuerda de bungee, la tensión en la cuerda comienza a incrementarse. Conforme la tensión aumenta, la distancia entre los saltadores se vuelve cada vez mayor. EJEMPLO 2.10. Descripción del movimiento de una pelota lanzada Una pelota es arrojada hacia arriba a 25 m/s. Estime su velocidad en el intervalo 1 s. Solución Elija la dirección hacia arriba como positiva. Sin importar si la bola se mueve hacia arriba o hacia abajo, su velocidad vertical cambia por aproximadamente −10 m/s por cada segundo que permanece en el aire. Comienza a 25 m/s. Después de que ha transcurrido un segundo, permanece moviéndose hacia arriba pero a 15 m/s debido a que su aceleración es hacia abajo (la aceleración hacia abajo provoca que su velocidad disminuya). Después de otro segundo su velocidad hacia arriba ha caído a 5 m/s. Ahora viene la parte truculenta: después de otro medio segundo su velocidad es cero. La bola ha llegado tan alto como ha podido. Después de la última mitad de este intervalo de un segundo la bola se mueve a −5 m/s. (El signo menos dice que la bola está ahora moviéndose en la dirección negativa, esto es, hacia abajo. Su velocidad ha cambiado de +5 m/s a −5 m/s durante ese intervalo de un segundo. El cambio en velocidad todavía es −5 − [+5] = −10 m/s en dicho segundo.) Continúa hacia abajo y después de que ha transcurrido otro segundo, está cayendo a una velocidad de −15 m/s. Finalmente, después de otro segundo alcanza su punto de salida original y se está moviendo hacia abajo a −25 m/s. Si la bola se lanzó verticalmente desde una montaña, de tal manera que continúe cayendo, su velocidad continuaría cambiando por casi −10 m/s cada segundo. EJEMPLO 2.11. Siga la bola saltarina Se suelta una pelota de tenis desde la altura del hombro (casi 1.5 m) y rebota tres veces antes de ser atrapada. Bosqueje gráficas de su posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo, con la dirección + y definida hacia arriba. Solución Para los bosquejos reduzca las cosas horizontalmente para que se pueda ver qué está pasando. (Aun si la bola se estuviese moviendo horizontalmente, este movimiento no afectaría su movimiento vertical.) A partir de la figura 2.13 se ve que la bola está en contacto con el piso en los puntos B, D y F. Puesto que la velocidad de la bola cambia de negativo a positivo tres veces durante estos saltos, la pendiente de la gráfica posición−tiempo debe cambiar en la misma forma. Advierta que el intervalo entre los rebotes disminuye. ¿A qué se debe esto? Durante el resto del movimiento de la bola, la pendiente de la gráfica velocidad−tiempo debería ser −9.80 m/s2. La gráfica aceleración−tiempo es una línea horizontal en estos tiempos debido a que la aceleración no cambia cuando la bola está en caída libre. Cuando la bola está en contacto con el piso, la velocidad cambia de manera sustancial durante un corto intervalo de tiempo, y así la aceleración debe ser mayor. Esto corresponde a las líneas muy inclinadas hacia arriba en la gráfica velocidad−tiempo y los picos en la gráfica aceleración−tiempo. Pregunta sorpresa 2.5 ¿Cuáles valores representan la velocidad y aceleración de la bola en los puntos A, C y E en la figura 2.13? a) vy = 0, ay = 0 b) vy = 0, ay = 9.80 m/s2


c) vy = 0, ay = −9.80 m/s2 d) vy = −9.80 m/s, ay = 0

Figura 2.13 a) Se suelta una pelota desde una altura de 1.5 m y bota desde el piso. (El movimiento horizontal no se considera aquí puesto que no afecta al movimiento vertical.) b) Gráficas de posición, velocidad y aceleración versus tiempo. EJEMPLO 2.12. No es un mal lanzamiento para un novato Una piedra que se lanza desde el techo de un edificio adquiere una velocidad inicial de 20.0 m/s en línea recta hacia arriba. El edificio tiene 50 m de altura y la piedra libra apenas el techo en su trayecto hacia abajo, como se muestra en la figura 2.14. Usando tA = 0 como el tiempo en que la piedra deja la mano del lanzador en la posición A, determine a) el tiempo necesario para que la piedra alcance su máxima altura, b) la altura máxima, c) el tiempo necesario para que la piedra regrese a la altura desde la cual fue arrojada, d) la velocidad de la piedra en ese instante, y e) la velocidad y posición de la piedra en t = 5.00 s. Solución a) Conforme la piedra viaja de A a B, su velocidad debe cambiar por 20 m/s debido a que se detiene en B. Puesto que la gravedad provoca que las velocidades verticales cambien por casi 10 m/s para cada segundo de caída libre, le tomaría a la piedra casi dos segundos ir de A a B en el dibujo. (En un problema como éste, un bosquejo definitivamente ayuda a organizar los pensamientos.) Para calcular el tiempo tB en el cual la piedra alcanza la altura máxima se usa la ecuación 2.8, vyB = vyA + ay t, destacando que vyA = 0 y poniendo el comienzo de las lecturas del reloj en tA = 0: 20.0 m/s + (−9.80 m/s2) t = 0


ssm

smtt B 04,2

/80,9

/0,202

===

La estimación realizada fue muy cercana.

Figura 2.14 Posición y velocidad versus tiempo para una piedra que cae en libertad luego de haber sido lanzada inicialmente hacia arriba con una velocidad vy = 20.0 m/s. b) Puesto que la velocidad promedio para este primer intervalo es 10 m/s (el promedio de 20 m/s y 0 m/s) y dado que viaja durante casi dos segundos se espera que la piedra viaje casi 20 m. Al sustituir el intervalo en la ecuación 2.11 se puede encontrar la altura máxima como medida desde la posición de lanzamiento, donde se ha establecido yi = yA = 0: ymáx = yB = vyA t + ½ ay t

2 yB = (20.0 m/s) (2.04 s) + t (−9.80 m/s2) (2.04 s)2 = 20.4 m La estimación para la caída libre es muy precisa.


c) No hay razón para creer que el movimiento de la piedra de B a C sea otro que el contrario de su movimiento de A a B. De esta manera el tiempo necesario para ir de A a C debería ser el doble del tiempo necesario para ir de A a B. Cuando la piedra está de regreso a la altura desde la cual fue arrojada (posición C), la coordenada y es nuevamente cero. Usando la ecuación 2.11, con yf = yC = 0 y yi = yA = 0, se obtiene: yC − yA = vyA t + ½ ay t

2 0 = 20.0 t − 4.90 t2 Ésta es una ecuación cuadrática y así tiene dos soluciones para t = tC. La ecuación se puede factorizar para obtener: t (20.0 − 4.90 t) = 0 Una solución es t = 0, la cual corresponde al tiempo en que la piedra comienza su movimiento. La otra solución es t = 4.08 s, la cual es la solución que se dará después. Advierta que ésta dobla el valor calculado para tB. d) De nuevo, se espera que todo en C sea igual a como es en A, excepto que la velocidad está ahora en la dirección opuesta. El valor para t encontrado en c) puede ser insertado en la ecuación 2.8 para dar: vyC = vyA + ay t = 20.0 m/s + (−9.80 m/s2) (4.08 s) = −20.0 m/s La velocidad de la piedra cuando llega de regreso a su altura original tiene la misma magnitud a su velocidad inicial, pero en dirección opuesta. Esto indica que el movimiento es simétrico. e) Para esta parte se considera lo que sucede conforme la piedra cae desde la posición B, donde tiene velocidad vertical cero, a la posición D. Debido a que el tiempo transcurrido para esta parte del movimiento es de casi 3 segundos, se estima que la aceleración debida a la gravedad cambiará la rapidez en cerca de 30 m/s. Se puede calcular esto a partir de la ecuación 2.8, donde se toma t = tD − tB: vyD = vyB + ay t = 0 m/s + (−9.80 m/s2) (5.00 s − 2.04 s) = − 29,0 m/s Se podría haber calculado más fácilmente la posición entre A y B al asegurar el uso del intervalo de tiempo correcto, t = tD − tA = 5.00 s: vyD = vyA + ay t = 20.0 m/s + (−9.80 m/s2) (5.00 s) = − 29.0 m/s Para demostrar el poder de las ecuaciones cinemáticas se puede usar la ecuación 2.11 para encontrar la posición de la piedra en tD = 5.00 s para considerar el cambio de posición entre un diferente par de posiciones, C y D. En este caso el tiempo es tD − tC: yD = yC + vyC t + ½ ay t

2 = 0 m + (−20.0 m/s) (5.00 s v 4.08 s) + ½ (−9.80 m/s2) (5.00 s − 4.08 s)2

= −22.5 m Ejercicio Determine a) la velocidad de la piedra justo antes de que golpee el suelo en E y b) el tiempo total que permanece en el aire. Respuesta: a) −37.1 m/s b) 5.83 s


2.7. ECUACIONES CINEMÁTICAS DERIVADAS DEL CÁLCULO Ésta es una sección optativa en la que se supone que el lector está familiarizado con las técnicas del cálculo integral. Si usted aún no ha estudiado integrales en su curso de cálculo debe saltar esta sección o cubrirla tiempo después de que se haya familiarizado con ese tema. La velocidad de una partícula que se mueve en una línea recta puede obtenerse conociendo cuál es su posición como función al tiempo. Matemáticamente, la velocidad es igual a la derivada de la coordenada de posición con respecto al tiempo. También es posible encontrar el desplazamiento de una partícula si se conoce su velocidad como función del tiempo. En cálculo el procedimiento usado para realizar esta tarea se conoce como integración, o bien, como determinación de la antiderivada. Desde el punto de vista gráfico esto equivale a determinar el área bajo una curva. Suponga que la gráfica vx−t para una partícula que se mueve a lo largo del eje x es como se muestra en la figura 2.15. Divida el intervalo de tiempo tf−ti en muchos intervalos pequeños, cada uno de ellos de duración ∆tn. Según la definición de la velocidad promedio se ve que el desplazamiento durante cualquier intervalo pequeño, como el sombreado en la figura 2.15, está dado por ∆xn = xnv ∆tn, donde xnv es la

velocidad promedio en ese intervalo. Por tanto, el desplazamiento en el transcurso de este pequeño intervalo es sencillamente el área del rectángulo sombreado.

Figura 2.15 Velocidad versus tiempo para una partícula en movimiento a lo largo del eje x; El área del rectángulo sombreado es igual al desplazamiento ∆x en el intervalo de tiempo ∆t., mientras que el área total bajo la curva es el desplazamiento total de la partícula. El desplazamiento total para el intervalo tf − ti es la suma de las áreas de todos los rectángulos:

nn

nx tvx ∆=∆ ∑

donde el símbolo Σ (letra griega sigma mayúscula) significa una suma sobre todos los términos. En este caso la suma se toma sobre todos los rectángulos de ti a tf. Ahora, a medida que cada intervalo se vuelve más y más pequeño, el número de términos en la suma aumenta y ésta se acerca a un valor igual al área bajo la gráfica velocidad−tiempo. En consecuencia; en el límite n →∞, o ∆tn → 0, el desplazamiento es:

nn

nxt

tvlímitexn

∆=∆ ∑→∆ 0 (2.13)

o Desplazamiento = área bajo la gráfica vx−t


Advierta que en la suma se ha sustituido la velocidad promedio, nxv por la velocidad instantánea vxn.

Como se puede ver en la figura 2.15 esta aproximación claramente es válida en el límite de intervalos muy pequeños. La conclusión es que si se conoce la gráfica vx−t para el movimiento a lo largo de una línea recta, puede obtenerse el desplazamiento durante cualquier intervalo de tiempo al medir el área bajo la curva correspondiente a ese intervalo de tiempo. El límite de la suma mostrada en la ecuación 2.13 se conoce como integral defínida y se escribe:

∫∑ =∆=∆→∆

f

in

t

t

xnn

nxt

ttvtvlímitex )(0

(2.14)

donde vx(t) denota la velocidad en cualquier tiempo t. Si se conoce la forma funcional explícita de vx(t), y se dan los límites, es posible evaluar la integral.

Figura 2.16 La curva velocidad−tiempo para una partícula en movimiento con velocidad constante vxi. El desplazamiento de la partícula durante el intervalo de tiempo tf − ti; es igual al área del rectángulo sombreado. Algunas veces la gráfica vx−t para una partícula en movimiento tiene una forma mucho más simple que la mostrada en la figura 2.15. Por ejemplo, suponga una partícula moviéndose a una velocidad constante vxi. En este caso la gráfica vx−t es una línea horizontal, como se muestra en la figura 2.16, y su desplazamiento durante el intervalo de tiempo ∆t es simplemente el área del rectángulo sombreado:

∆x = vxi ∆t (cuando vxf = vxi = constante)

Figura 2.17 La curva velocidad−tiempo para una partícula en movimiento con una velocidad que es proporcional al tiempo. Como otro ejemplo, considere una partícula moviéndose con una velocidad que es proporcional a t, como se ve en la figura 2.17. Si se toma vx = ax t, donde ax es la constante de proporcionalidad (la aceleración),


se encontrará que el desplazamiento de la partícula durante el intervalo de tiempo t = 0 a t = tA es igual al área del triángulo sombreado en la figura 2.17:

2

2

1)()(

2

1AxAxA tatatx ==∆

Ecuaciones cinemáticas A continuación se utilizarán las ecuaciones de definición correspondientes a la aceleración y la velocidad para deducir dos ecuaciones cinemáticas, las ecuaciones 2.8 y 2.11. La ecuación que define la aceleración (ecuación 2.6):

td

vda x

x =

también puede escribirse como d vx = ax dt o, en términos de una integral (o antiderivada), como:

∫ += 1Cdtav xx

donde C1 es una constante de integración. Para el caso especial en el que la aceleración es constante, la ax puede ser removida de la integral para dar:

∫ +=+= 11 CtaCdtav xxx (2.15)

El valor de C1 depende de las condiciones iniciales del movimiento. Si se toma vx = vxi cuando t = 0, y se sustituyen estos valores en la última ecuación, se obtiene:

vxi = ax (0) + C1

C1 = vxi Llamando vx = vxf a la velocidad después de que el intervalo t ha transcurrido, y sustituyendo esto y el valor recién encontrado para C1 en la ecuación 2.15, se obtiene la ecuación cinemática 2.8:

tavv xxixf += (para ax constante)

Ahora considere la ecuación que define a la velocidad (ecuación 2.4):

td

dxvx =

Se puede escribir ésta como dx = vx dt o en forma integral como:

∫ ∫== dtvdxx x + C2

donde C2 es otra constante de integración. En vista de que vx = vif = vxi + ax t, esta expresión se convierte en:

∫ ∫ ∫∫∫ ++=++=++= 222)( CdttadtvCdttadtvCdttavx xxixxixxi


22

2

1Ctatvx xxi ++=

Para encontrar C2 se toma en cuenta la condición inicial de que x = xi cuando t = 0. Esto produce C2 = xi. En consecuencia, después de sustituir xf por x, se tiene:

2

2

1tatvxx xxiif ++= (para ax constante)

Una vez despejado xi al lado izquierdo de la ecuación, se obtiene la ecuación cinemática 2.11. Recuerde que xf − xi es igual al desplazamiento del objeto, donde xi es su posición inicial. RESUMEN Cuando una partícula se mueve a lo largo del eje x desde cierta posición inicial hasta cierta posición final x, su desplazamiento es:

12 xxx −=∆ (2-1)

La velocidad promedio de una partícula durante algún intervalo de tiempo es el desplazamiento ∆x dividido entre el intervalo de tiempo ∆t durante el cual dicho desplazamiento ocurrió:

t

xvx

∆∆=

− (2-2)

La rapidez promedio de una partícula es igual al cociente entre la distancia total que recorre y el tiempo total necesario para cubrir esa distancia. La velocidad instantánea de una partícula se define como el límite de la relación ∆x/∆t cuando ∆t tiende a cero. Por definición, este límite es igual a la derivada de x con respecto a t, o a la relación de cambio de la posición en el tiempo:

td

xd

t

xitev

tx =

∆∆=

→∆ 0lim (2-4)

La rapidez instantánea de una partícula es igual a la magnitud de su velocidad. La aceleración promedio de una partícula se define como la proporción entre el cambio de su velocidad, ∆v dividido entre el intervalo de tiempo ∆t durante el cual ocurrió dicho cambio:

if

xixfxx

tt

vv

t

va

−−

=∆

∆=

− (2-5)

La aceleración instantánea es igual al límite de la relación ∆v/∆t cuando ∆t tiende a cero. Por definición, este límite es igual a la derivada de vx respecto de t, o a la proporción de cambio de la velocidad en el tiempo:

2

2

0lim

td

xd

td

vd

t

vitea xx

tx ==

∆∆

=→∆

(2-6)

Las ecuaciones de la cinemática para una partícula que se mueve a lo largo del eje x con aceleración uniforme ax (constante en magnitud y dirección) son:


tavv xxixf += (2-8)

tvvtvxx xixfxif )(2

1 +==−−

(2-10)

2

2

1tatvxx xxiif +=− (2-11)

)(222ifxxixf xxavv −+= (2-12)

Debe ser capaz de usar estas ecuaciones y las definiciones en este capítulo para analizar el movimiento de cualquier objeto que se mueve con aceleración constante. Un objeto que cae libremente en presencia de la gravedad de la Tierra experimenta una aceleración de caída libre dirigida hacia el centro de la Tierra. Si se ignora la resistencia del aire, si el movimiento ocurre cerca de la superficie de la Tierra y si el rango del movimiento es pequeño comparado con el radio de la Tierra, puede suponerse que la aceleración de caída libre, g, es una constante en el intervalo del movimiento, donde ges igual a 9.80 m/s2. Los problemas complicados tienen un mejor abordaje con un método organizado. Debe ser capaz de recordar y aplicar las etapas de la estrategia ROAA cuando los necesite. PREGUNTAS 1. La velocidad promedio y la velocidad instantánea son por lo general cantidades diferentes. ¿Pueden

ser iguales en un tipo de movimiento específico? Explique. 2. Si la velocidad promedio es diferente de cero para cierto intervalo de tiempo, ¿esto quiere decir que

la velocidad instantánea nunca es cero durante este intervalo? Explique. 3. Si la velocidad promedio es igual a cero en cierto intervalo de tiempo ∆t, y si vx(t) es una función

continua, demuestre que la velocidad instantánea debe tender a cero en cierto tiempo en este intervalo. (En su prueba sería útil un dibujo de x contra t.)

4. ¿Es posible una situación en la cual la velocidad y la aceleración tengan signos opuestos? Si es así

bosqueje una gráfica velocidad-tiempo para probar su afirmación. 5. Si la velocidad de una partícula es diferente de cero, ¿su aceleración puede ser cero? Explique. 6. Si la velocidad de una partícula es cero, ¿su aceleración puede ser diferente de cero? Explique. 7. ¿Un objeto que tiene aceleración constante puede detenerse y permanecer detenido? 8. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio. ¿El desplazamiento de

la piedra depende de la localización del origen del sistema de coordenadas? ¿La velocidad de la piedra depende del origen? (Suponga que el sistema de coordenadas es estacionario en relación con el edificio.) Explique.

9. Desde la azotea de un edificio de altura h un estudiante lanza una pelota hacia arriba con una

rapidez inicial vyi y después lanza una segunda pelota hacia abajo con la misma rapidez inicial. ¿Cómo se comparan las velocidades finales de las pelotas cuando alcanzan el suelo?

10. ¿La magnitud de la velocidad instantánea de un objeto alguna vez puede ser más grande que la

magnitud de su velocidad promedio? ¿Puede ser menor?


11. Si la velocidad promedio de un objeto es cero en cierto intervalo de tiempo, ¿qué se puede decir acerca del desplazamiento del objeto en ese intervalo?

12. Una planta de rápido crecimiento duplica su altura cada semana. Al final del día 25 la planta

alcanza la altura de un edificio. ¿En qué tiempo la planta tuvo un cuarto de la altura del edificio? 13. Dos automóviles se mueven en la misma dirección en carriles paralelos por una autopista. En cierto

instante la velocidad del auto A supera la velocidad del B. ¿Esto quiere decir que la aceleración de A es mayor que la de B? Explique.

14. Una manzana se deja caer desde cierta altura sobre la superficie de la Tierra.. Si se ignora la

resistencia del aire, ¿cuánto aumenta su rapidez cada segundo durante su caída? 15. Considere la siguiente combinación de signos y valores para la velocidad y la aceleración de una

partícula con respecto a un eje x unidimensional:

Velocidad Aceleración A Positiva Positiva B Positiva Negativa C Positiva Cero D Negativa Positiva E Negativa Negativa F Negativa Cero G Cero Positiva H Cero Negativa

Describa lo que está haciendo la partícula en cada caso y proporcione un ejemplo de la vida real para un automóvil sobre un eje unidimensional este-oeste, con el este considerado como la dirección positiva.

16. Se suelta un guijarro en un pozo de los deseos y el golpe con el agua se escucha 16 s después, como

se ilustra en la figura P2.16. Estime la distancia desde la orilla del pozo a la superficie del agua. 17. La velocidad promedio es una cantidad completamente artificial y otras combinaciones de datos

pueden resultar útiles en otros contextos. Por ejemplo, los geógrafos utilizan la proporción ∆x/∆t, llamada la "lentitud" de un objeto en movimiento, cuando estudian el movimiento de las placas continentales. Explique lo que significa esta cantidad.

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION Sección 2.1 Desplazamiento, velocidad y rapidez 2.1. La posición de un automóvil que baja por la pendiente de una colina fue observada en diferentes

tiempos y los resultados se resumieron en la tabla siguiente. Encuentre la velocidad promedio del automóvil durante a) el primer segundo, b) los últimos tres segundos y c) el periodo completo de observación.

x (m) 0 2.3 9.2 20.7 36.8 57.5

t (s) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Respuesta: (a) 2,30 m/s; (b) 16,1 m/s; (c) 11,5 m/s 2.2. Un automovilista viaja hacia el norte durante 35.0 min a 85.0 km/h y luego se detiene durante

15.0 mino Después continúa hacia el norte recorriendo 130 km en 2.00 h. (a) ¿Cuál es su desplazamiento total? b) ¿Cuál es su velocidad promedio?


2.3. En la figura P2.3 se muestra la gráfica de desplazamiento versus tiempo para cierta partícula que se mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo a) 0 a 2 s, b) 0 a 4 s, c) 2 a 4 s, d) 4 a 7 s, e) 0 a 8 s.

Figura P2-3. Problemas 3 y 11

Respuesta: (a) 5 m/s; (b) 1,2 m/s; (c) −2,5 m/s; (d) −3,3 m/s 2.4. Una partícula se mueve de acuerdo con la ecuación x = 10 t2, donde x está en metros y t en

segundos. a) Encuentre la velocidad promedio en el intervalo de tiempo de 2.0 a 3.0 s. b) Determine la velocidad promedio para el intervalo de tiempo de 2.0 a 2.1 s.

2.5. Una persona camina del punto A al punto B a una rapidez constante de 5.00 mis a lo largo de una

línea recta, y después regresa a lo largo de la línea de B a A con una rapidez constante de 3.00 mis. ¿Cuáles son a) su rapidez promedio en el recorrido completo y b) su velocidad promedio en el recorrido completo?

Respuesta: (a) 3,75 m7s; (b) 0 2.6. Una persona camina del punto A al punto B a una rapidez constante de v1 a lo largo de una línea

recta, y después regresa a lo largo de la línea de B a A con una rapidez constante de v2 ¿Cuáles son (a) su rapidez promedio en el recorrido completo y (b) su velocidad promedio en el recorrido completo?

Sección 2.2 Velocidad instantánea y rapidez 2.7. En t = 1.00 s, una partícula que se mueve con velocidad constante se localiza en x = -3.00 m y en

t = 6.00 s, la partícula se localiza en x = 5.00 m. a) Con esta información grafique la posición como función del tiempo. b) Determine la velocidad de la partícula a partir de la pendiente de esta gráfica.

Respuesta: (a)

(b) 1,69 m/s

2.8. La posición de una partícula en movimiento a lo largo del eje x varía en el tiempo de acuerdo con la expresión x = 3 t2, donde x está en metros y t en segundos. Evalúe su posición a) en t = 3.00 s y b) en 3.00 s + ∆t. c) Evalúe el límite de ∆x/ ∆t conforme ∆t tiende a cero para encontrar la velocidad en t = 3.00 s.


2.9. En la figura P2.9 se muestra la gráfica posición-tiempo de una partícula que se mueve a lo largo del eje x. a) Encuentre la velocidad promedio en el intervalo de tiempo t = 1.5 s a t = 4.0 s. b) Determine la velocidad instantánea en t = 2.0 s midiendo la pendiente de la línea tangente mostrada en la gráfica. c) ¿En cuál valor de t la velocidad es cero?

Figura P2-9

Respuesta: (a) −2,4 m/s; (b) −3,8 m/s; (c) 4,0 s 2.10. (a) Con los datos del problema 1 construya una gráfica continua de posición versus tiempo. b)

Construyendo tangentes para la curva x(t) encuentre la velocidad instantánea del auto en diferentes instantes. c) Grafique la velocidad instantánea contra el tiempo y, a partir de esto, determine la aceleración promedio del automóvil. d) ¿Cuál es la velocidad inicial del vehículo?

2.11. Determine la velocidad instantánea de la partícula descrita en la figura P2.3 en los siguientes

tiempos: a) t = 1.0s, b) t = 3.0s, c) t = 4.5s y d) t = 7.5s Respuesta: (a) 5,0 m/s; (b) −2,5 m7s, (c) 0; (d) 5,0 m/s Sección 2.3 Aceleración 2.12. Una partícula se mueve con una velocidad de 60.0 m/s en la dirección x positiva en t = 0. Entre t

= 0 y t = 15.0 s, la velocidad disminuye uniformemente hasta cero. ¿Cuál es la aceleración durante este intervalo de 15.0 s? ¿Cuál es el significado del signo de su respuesta?

2.13. Una superbola de 50.0 g que viaja a 25.0 m/s bota sobre una pared de ladrillo y rebota a 22.0 m/s.

Una cámara de alta velocidad registra este evento. Si la bola está en contacto con la pared durante 3.50 ms, ¿cuál es la magnitud de la aceleración promedio de la bola durante este intervalo de tiempo? (Advierta: 1 ms = l0-3 s.)

Respuesta: 1,34 x 104 m/s2 2.14. Una partícula parte del reposo y acelera como se indica en la figura P2.14. Determine: a) la

rapidez de la partícula en t = 10 s y en t = 20 s, y b) la distancia recorrida en los primeros 20 s.


Figura P2 – 14

2.15. Una gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve a lo largo del eje x se muestra en la

figura P2.15. a) Elabore una gráfica de la aceleración versus tiempo. b) Determine la aceleración promedio del objeto en los intervalos de tiempo t = 5.00 s a t = 15.0 s y t = 0 a t = 20.0 s.

Figura P2 – 15

Respuesta: (a) (b) 1,6 m/s2 y 0,80 m/s2 2.16. Un estudiante maneja su convertible a lo largo de un camino recto, como se describe en la gráfica

velocidad-tiempo de la figura P2.16. Dibuje esta gráfica en la parte media de una hoja de papel gráfico. a) Directamente sobre esta gráfica dibuje una gráfica de la posición versus tiempo alineando las coordenadas de tiempo de las dos gráficas. b) Dibuje una gráfica de la aceleración versus tiempo directamente debajo de la gráfica vx-t, alineando de nuevo las coordenadas de tiempo. Sobre cada gráfica muestre los valores numéricos de x y ax para todos los puntos de inflexión. c) ¿Cuál es la aceleración en t = 6 s? d) Determine la posición (relativa al punto de inicio) en t = 6 s. e) ¿Cuál es la posición final del convertible en t = 9 s?


Figura P2-16

2.17. Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación x = 2.00 + 3.00t - t2, donde x está en

metros y t en segundos. En t = 3.00 s encuentre a) la posición de la partícula, b) su velocidad y c) su aceleración.

Respuesta: (a) 2,00 m; (b) −3,00 m/s, (c) −2,00 m/s2 2.18. Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x = (3.00t2 - 2.00t + 3.00) m.

Determine a) la rapidez promedio entre t = 2.00 s y t = 3.00 s, b) la rapidez instantánea en t = 2.00 s y en t = 3.00 s, c) la aceleración promedio entre t = 2.00 s y t = 3.00 s, y d) la aceleración instantánea en t = 2.00 s y t = 3.00 s.

2.19. La figura P2.19 muestra una gráfica de v. versus t para el movimiento de un motociclista desde

que parte del reposo y se mueve a lo largo de un camino en línea recta. a) Encuentre la aceleración promedio para el intervalo de tiempo t = 0 a t = 6.00 s. b) Estime el tiempo en el cual la aceleración tiene su valor positivo mayor y el valor de la aceleración en este instante. c) ¿Cuándo es cero la aceleración? d) Calcule el máximo valor negativo de la aceleración y el tiempo en el que ocurre.

Figura P2 – 19

Respuesta: (a) 1,3 m/s2; (b) 2,0 m/s2 en 3 s s; (c) en t = 6 s y para t > 10 s; (d) −1,5 m/s2 en 8 s. Sección 2.4 Diagramas de movimiento 2.20. Dibuje un diagrama de movimiento para a) un objeto que se mueve a la derecha con rapidez

constante, b) un objeto que se mueve a la derecha y acelera a una relación constante, c) un objeto que se mueve a la derecha y frena a una proporción constante, d) un objeto que se mueve a la izquierda y acelera a una proporción constante, y e) un objeto que se mueve a la izquierda y frena a una proporción constante. f) ¿Cómo cambiarían sus dibujos si los cambios en la rapidez no fuesen uniformes; esto es, si la rapidez no cambiara a una relación constante?

Sección 2.5 Movimiento unidimensional con aceleración constante 2.21. Julio Verne propuso en 1865 enviar gente a la Luna mediante el disparo de una cápsula espacial

desde un cañón de 220 m de largo con una velocidad final de 10.97 km/s. ¿Cuál habría sido la gran aceleración irrealmente experimentada por los viajeros espaciales durante el lanzamiento? Compare su respuesta con la aceleración de caída libre, 9.80 m/s2.


Respuesta: 2,74 x 105 m/s2, lo cual es 2,79 x 104 g 2.22. Cierto constructor de automóviles proclama que su carro deportivo de superlujo acelerará desde el

reposo a una rapidez de 42.0 mis en 8.00 s. Bajo la (improbable) suposición de que la aceleración es constante, a) determine la aceleración del carro. b) Encuentre la distancia que recorre el auto en los primeros 8.00 s. c) ¿Cuál es la rapidez del auto 10.0 s después de que comienza su movimiento, suponiendo que continúa moviéndose con la misma aceleración?

2.23. Un camión cubre 40.0 m en 8.50 s mientras frena suavemente a una rapidez final de 2.80 m/s. a)

Encuentre su rapidez original. b) Determine su aceleración. Respuesta: (a) 6,61 m/s; (b) −0,448 m/s2 2.24. La distancia mínima requerida para detener un auto que se mueve a 35.0 millas/h es 40.0 pies.

¿Cuál es la distancia mínima de frenado para el mismo vehículo que se mueve a 70.0 millas/h, suponiendo la misma relación de aceleración?

2.25. Un cuerpo que se mueve con aceleración uniforme tiene una velocidad de 12.0 cm/s en la

dirección x positiva cuando su coordenada x es 3.00 cm. Si su coordenada x 2.00 s después es - 5.00 cm, ¿cuál es la magnitud de su aceleración?

Respuesta: −16,0 cm/s2 2.26. La figura P2.26 representa parte de la información de desempeño del auto que posee un orgulloso

estudiante de física. a) A partir de la gráfica calcule la distancia total recorrida. b) ¿Cuál es la distancia que el auto recorre entre los tiempos t = 10 s y t = 40 s? c) Dibuje una gráfica de su aceleración versus el tiempo entre t = 0 y t = 50 s. d) Escriba una ecuación para x como una función del tiempo para cada fase del movimiento, representado por i) Oa, ii) ab, iii) bc. e) ¿Cuál es la velocidad promedio del auto entre t = 0 y t = 50 s?

Figura P2-26

2.27. Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición está dada por la ecuación x = 2.00 + 3.00t

− 4.00t2 con x en metros y t en segundos. Determine a) su posición en el instante en que cambia su dirección y b) su velocidad cuando regresa a la posición que tenía en t = 0.

Respuesta: (a) 2,56 m, (b) −3,00 m/s 2.28. La rapidez inicial de un cuerpo es de 5.20 m/s. ¿Cuál es su rapidez después de 2.50 s si acelera

uniformemente a) a 3.00 m/s2 y b) a −3.00 m/s2? 2.29. Un piloto de arrancones inicia la marcha de su vehículo desde el reposo y acelera a 10.0 m/s2

durante una distancia total de 400 m (1/4 de milla). a) ¿Cuánto tiempo tarda el carro en recorrer esta distancia? b) ¿Cuál es su rapidez al final del recorrido?

Respuesta: (a) 8,94 s; 8b) 89,4 m/s


2.30. Un automóvil se acerca a una montaña a 30.0 m/s cuando repentinamente falla su motor, justo al pie de la colina. El auto experimenta una aceleración constante de −2.00 m/s2 mientras efectúa el ascenso. a) Escriba ecuaciones para la posición a lo largo de la pendiente y la velocidad como funciones del tiempo, considerando x = 0 en la parte inferior de la colina, donde vi = 30.0 m/s. b) Determine la distancia máxima que el auto recorre sobre la colina.

2.31. Un jet aterriza con una rapidez de 100 m/s y puede acelerar a una relación máxima de −5.00 m/s2

conforme se va deteniendo. a) A partir del instante en que toca la pista de aterrizaje, ¿cuál es el tiempo mínimo necesario antes de que se detenga? b) ¿Este avión puede aterrizar en el pequeño aeropuerto de una isla tropical donde la pista tiene 0.800 km de largo?

Respuesta: (a) 20,0 s; (b) no 2.32. El conductor de un auto aplica los frenos cuando ve un árbol bloqueando el camino. El auto se

detiene de manera uniforme con una aceleración de −5.60 m/s2 durante 4.20 s, haciendo marcas de neumáticos de 62.4 m de largo que terminan en el árbol. ¿Con qué rapidez el auto golpea al árbol?

2.33. ¡Ayuda! ¡Una de las ecuaciones está perdida! Se han descrito movimientos con aceleración

constante con las variables y parámetros vxi, vxf.ax., t y xf - xi. De las ecuaciones en la tabla 2.2 la primera no involucra xf - xi. La segunda no contiene ax, la tercera omite vxf y la última deja fuera t. Así que para completar el juego debería haber una ecuación que no involucrara vxi. Dedúzcala a partir de las otras. Úsela para resolver el problema 32 en un paso.

Respuesta: xf − xi = vxit − axt

2/2 = 3,10 m/s 2.34. Una bala indestructible de 2.00 cm de largo se dispara en línea recta a través de una tabla que

tiene 10.0 cm de espesor. La bala entra en la tabla con una rapidez de 420 m/s y sale con una rapidez de 280 m/s. a) ¿Cuál es la aceleración promedio de la bala a través de la tabla? b) ¿Cuál es el tiempo total que la bala está en contacto con la tabla? c) ¿Qué espesor de la tabla (calculado hasta 0.1 cm) se requeriría para detener la bala, suponiendo que la aceleración del proyectil a través de todas las partes de la tabla es la misma?

2.35. Un camión en un camino recto parte del reposo, acelerando a 2.00 m/s2 hasta alcanzar una rapidez

de 20.0 m/s. Entonces el camión viaja 20.0 s con rapidez constante hasta que se aplican los frenos y se detiene en forma uniforme en otros 5.00 s. a) ¿Cuánto está el camión en movimiento? b) ¿Cuál es la velocidad promedio del camión para el movimiento descrito?

Respuesta: () 35,0 s; (b) 15,7 m/s 2.36. Un tren viaja de bajada en un tramo recto a 20.0 m/s cuando el maquinista aplica los frenos. Esto

da como resultado una aceleración de −1.00 m/s2 durante tanto tiempo como el tren permanece en movimiento. ¿Qué distancia avanzará el tren durante un intervalo de 40.0 s partiendo en el instante en que se aplican los frenos?

2.37. Durante muchos años el récord mundial de rapidez terrestre lo poseía el coronel de la Fuerza

Aérea de Estados Unidos, John P. Stapp (Fig. P2.37). El 19 de marzo de 1954, en un trineo impulsado por cohete, bajó por una pista a 632 millas/h. Él y el vehículo se detuvieron en forma segura en 1.40 s. Determine a) la aceleración negativa que experimentó y b) la distancia recorrida durante esta aceleración negativa.


Figura P2 – 37. (Izquierda) El coronel John Stapp en un deslizador cohete. (Cortesía de la Fuerza Aérea EE. UU.) (Derecha) La cara del coronel Stapp se contare debido a la tensión de la rápida aceleración negativa Respuesta: (a) −202 m/s2; (b) 198 m 2.38. Un electrón en un tubo de rayos catódicos (TRC) acelera uniformemente de 2.00 x 104 m/s a 6.00

x 106 m/s en 1.50 cm. a) ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en recorrer esta distancia? b) ¿Cuál es su aceleración?

2.39. Una pelota parte del reposo y acelera a 0.500 m/s2 mientras se mueve hacia abajo en un plano

inclinado de 9.00 m de largo. Cuando alcanza la parte inferior, la pelota rueda por otro plano donde, después de moverse 15.0 m, se detiene. a) ¿Cuál es la rapidez de la pelota en la parte inferior del primer plano? b) ¿Cuánto tarda en rodar por el primer plano? c) ¿Cuál es la aceleración a lo largo del segundo plano? d) ¿Cuál es la rapidez de la pelota 8.00 m a lo largo del segundo plano?

Respuesta: (a) 3,00 m; (b) 6,00 s; (c) −0,300 m/s2, (d) 2,05 m/s 2.40. Susana va manejando a 30.0 m/s y entra en un túnel de un solo carril. Entonces observa una

camioneta que se mueve despacio 155 m adelante viajando a 5.00 m/s. Aplica sus frenos pero puede desacelerar sólo a −2.00 m/s2 debido a que el camino está húmedo. ¿Chocará? Si es así determine a qué distancia dentro del túnel y en qué tiempo ocurre el choque. Si no, determine la distancia de máximo acercamiento entre el auto de Susana y la camioneta.

Secci6n 2.6 Cuerpos en caída libre Nota: En todos los problemas de esta sección ignore los efectos de la resistencia del aire. 2.41. Una bola de golf es lanzada desde el reposo de la parte alta de un edificio muy alto. Calcule a) la

posición y b) la velocidad de la bola después de 1.00 s, 2.00 s y 3.00 s. Respuesta: (a) −4,90 m, −19,6 m, −44,1 m, (b) −9,80 m/s, −19,6 m/s, −29,4 m/s 2.42. Cada mañana a las siete en punto

Hay veinte terriers taladrando la roca. El jefe viene y ks dice, "Manténganse firmes y apóyense duro sobre el taladro de hierro fundido y taladren, terriers, taladren." Y taladren, terriers, taladren. Es trabajar todo el día por azúcar en su té... y taladren, terriers, taladren. Un día una explosión prematura se suscitó y una milla en el aire el gran Jim Goff subió. Y taladren... Entonces, cuando el siguiente día de paga llegó, Jim Goff un dólar menos encontró. Cuando él preguntó por qué, esta réplica recibió: "Fue por el tiempo que en el cielo permaneció". Y taladren...


-Canción popular estadounidense ¿Cuál era el salario por hora de Goff? Establezca las suposiciones que hizo para calcularlo.

2-43. Una estudiante lanza una caja con llaves verticalmente hacia arriba a su hermana de un club

femenil estudiantil, quien se encuentra en una ventana 4.00 m arriba. La hermana atrapa las llaves 1.50 s después con la mano extendida. a) ¿Cuál es la velocidad inicial con la cual se lanzaron las llaves? b) ¿Cuál fue la velocidad de las llaves exactamente antes de que las atraparan?

Respuesta: (a) 10,0 m/s hacia arriba; (b) 4,68 m/s hacia abajo 2-44. Una pelota es lanzada directamente hacia abajo con una rapidez inicial de 8.00 m/s desde una

altura de 30.0 m. ¿Cuántos segundos tarda la pelota en golpear el suelo? 2-45. Emilia desafía a su amigo David a atrapar un billete de dólar mientras éste cae. Ella sostiene el

billete verticalmente, como en la figura P2.45, con el centro entre los dedos índice y pulgar de David. Él debe atraparlo después de que Emilia lo suelte sin mover su mano hacia abajo. Si su tiempo de reacción es 0.2 s, ¿tendrá éxito? Explique su razonamiento.

Figura P2-45

Respuesta: No. En 0,2 s el billete caerá entre los dedos de David 2-46. Se deja caer una pelota desde el reposo a una altura h sobre el piso. Otra bola es lanzada

verticalmente hacia arriba desde el piso en el mismo instante en que se suelta la primera bola. Determine la rapidez de la segunda bola si las dos bolas se encuentran a una altura h/2 sobre el piso.

2-47. Una pelota de béisbol es golpeada con el bat de tal manera que viaja en línea recta hacia arriba.

Un aficionado observa que son necesarios 3.00 s para que la pelota alcance su altura máxima. Encuentre a) su velocidad inicial, y b) la altura máxima que alcanza.

Respuesta: (a) 29,4 m7s; (b) 44,1 m 2-48. Se informó que una mujer cayó 144 pies desde el piso 17 de un edificio y aterrizó sobre una caja

de ventilador metálica, la cual sumió hasta una profundidad de 18.0 pulgadas. Sólo sufrió lesiones menores. Calcule a) la rapidez de la mujer exactamente antes de chocar con la caja del ventilador, b) su aceleración promedio mientras está en contacto con la caja, y c) el tiempo que tarda en sumir la caja.


2-49. Un osado vaquero sentado sobre la rama de un árbol desea caer verticalmente sobre un caballo que galopa debajo del árbol. La rapidez del caballo es de 10.0 m/s y la distancia de la rama a la silla de montar es de 3.00 m. a) ¿Cuál debe ser la distancia horizontal entre la silla y la rama cuando el vaquero salta? b) ¿Cuánto tiempo dura en el aire?

Respuesta: (a) 7,82 m; (b) 0,782 s 2-50. Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba es capturada por el lanzador después de 20.0 s.

Determine a) la velocidad inicial de la pelota, y b) la altura máxima que alcanza. 2-51. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una rapidez inicial de 15.0

mis. a) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud máxima? b) ¿Cuál es su altitud máxima? c) Determine la velocidad y la aceleración de la pelota en t = 2.00 s.

Respuesta: (a) 1,53 s; (b) 11,5 m, (c) −4,60 m/s, −9,80 m/s2 2-52. La altura de un helicóptero sobre el suelo está representada por h = 3.00 t3, donde h está en metros

y t en segundos. Después de 2.00 s el helicóptero deja caer una pequeña valija con la correspondencia. ¿Cuánto tiempo tarda la valija en llegar al suelo?

Sección 2-7. Ecuaciones cinemáticas derivadas del cálculo 2-53. Los ingenieros automotrices se refieren a la proporción de cambio de la aceleración en el tiempo

como el "jalón". Si un objeto se mueve en una dimensión de manera tal que su jalón J es constante, a) determine expresiones para su aceleración ax, velocidad vx y posición x, dadas su aceleración, rapidez y posición iniciales como ax0, vxi y x0 respectivamente. b) Muestre que

)(222xixxix vvJaa −+= .

Respuesta: (a) ax = axi + J t, vx = vxi + axit + ½ J t2, x = xi + vxi t + ½ axit + ½ Jt3 2-54. La rapidez de una bala mientras viaja hacia la salida del cañón de un rifle está dada por v = (−5.0

x 107) t2 + (3,0 x 105) t, donde v está en metros/segundo y t en segundos. La aceleración de la bala cuando sale del cañón es cero. a) Determine la aceleración y posición de la bala como una función del tiempo en que se encuentra en el cañón. b) Determine el tiempo en que la bala se acelera. c) Encuentre la rapidez a la cual la bala sale del cañón. d) ¿Cuál es la longitud del cañón?

2-55. La aceleración de una canica en cierto fluido es proporcional a su rapidez al cuadrado, y está dada

(en unidades del SI) por a = −3.00v2 para v > 0. Si la canica entra al fluido con una rapidez de 1.50 m/s, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que la rapidez de la canica se reduzca a la mitad de su valor inicial?.

Respuesta: 0,222 s PROBLEMAS ADICIONALES 2-56. Un automovilista viaja a 18.0 m/s cuando ve un venado en el camino 38.0 m adelante. a) Si la

máxima aceleración negativa del vehículo es −4.50 m/s2, ¿cuál es el máximo tiempo de reacción ∆t del automovilista que evite embestir al venado? b) Si su tiempo de reacción es de 0.300 s, ¿cuál será su velocidad cuando llegue al venado?

2-57. Otro plan para atrapar al correcaminos ha fracasado. Una caja de seguridad cae del reposo desde

la parte más alta de un peñasco de 25.0 m de alto hacia Wile E. Coyote, quien se encuentra en el fondo. Wile se percata de la caja después de que ésta ha caído 15.0 m. ¿Cuánto tiempo tendrá para quitarse?

Respuesta: 0,509 s


2-58. El pelo de un perro ha sido cortado y ahora está creciendo 1.04 mm cada día. Con el invierno acercándose, esta relación de crecimiento capilar está incrementándose de manera uniforme 0.132 mm/día cada semana. ¿Cuánto crecerá el pelo del perro durante cinco semanas?

2-59. Un cohete de prueba se lanza verticalmente hacia arriba desde un pozo. Una catapulta le da una

velocidad inicial de 80.0 m/s a nivel del suelo. Posteriormente, sus motores se encienden y lo aceleran hacia arriba a 4.00 m/s2 hasta que alcanza una altura de 1 000 m. En ese punto sus motores fallan y el cohete entra en caída libre, con una aceleración de − 9.80 m/s2. a) ¿Cuánto dura el cohete en movimiento sobre el suelo? b) ¿Cuál es su altura máxima? c) ¿Cuál es su velocidad justo antes de chocar con la Tierra? (Sugerencia: Considere el movimiento mientras el motor opera independiente del movimiento en caída libre.)

Respuesta: (a) 41,0 s, (b) 1,73 km, (c) −1,84 m/s 2-60. Una automovilista conduce por un camino recto a una rapidez constante de 15.0 mis. Justo

cuando pasa frente a un policía motociclista estacionado, éste empieza a acelerar a 2.00 m/s2 para alcanzarla. Suponiendo que el policía mantiene esta aceleración, a) determine el tiempo que tarda el policía en alcanzar a la automovilista. También encuentre b) la rapidez y c) el desplazamiento total del policía cuando alcanza a la automovilista.

2-61. En la figura 2.10a el área bajo la curva velocidad−tiempo entre el eje vertical y el tiempo t (línea

punteada vertical) representa el desplazamiento. Como se muestra, esta área consiste de un rectángulo y un triángulo. Calcule sus áreas y compare la suma de las dos áreas con el valor que calculó usando la ecuación 2.11.

Respuesta: vxit + at2/2, de acuerdo con la ecuación 2.11 2-62. Un tren citadino viaja entre dos estaciones centrales. Debido a que las estaciones sólo están

separadas 1.00 km, el tren nunca alcanza su máxima rapidez de crucero posible. El maquinista minimiza el tiempo t entre las dos estaciones acelerando a una proporción a) = 0.100 m/s2 durante un tiempo t) y entonces frena con aceleración a2 = − 0.500 m/s2 durante un tiempo t2. Encuentre el mínimo tiempo de viaje t y el tiempo el t1.

2-63. En una carrera de 100 m, Ana y Julia cruzan la meta en un empate muy apretado, ambas con un

tiempo de 10.2 s. Acelerando uniformemente, Ana tarda 2.00 s y Julia 3.00 s para alcanzar la rapidez máxima, la cual mantienen durante el resto de la competencia. a) ¿Cuál fue la aceleración de cada velocista? b) ¿Cuál fue la rapidez máxima respectiva? c) ¿Cuál de las velocistas va adelante en la marca de 6.00 s, y por cuánta distancia?

Respuesta: (a) 5,43 m/s2 y 3,83 m/s2, (b) 10,9 m/s y 11,5 m/s, (c) Maggie por 2,62 m 2-64. Una bola de hule duro, soltada a la altura del pecho, cae al pavimento y rebota de regreso muy

cerca de la misma altura. Cuando está en contacto con el pavimento, el lado inferior de la bola está momentáneamente deformado. Suponga que la depresión máxima de la abolladura está en el orden de 1 cm. Calcule una estimación a un orden de magnitud para la aceleración máxima de la bola mientras está en contacto con el pavimento. Exponga sus suposiciones, las cantidades que estimó y los valores que consideró para ellas.

2-65. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3.00 m/s2 y desacelera a − 4.50 m/s2. En un viaje a la

tienda acelera desde el reposo hasta 12.0 m/s, maneja con rapidez constante durante 5.00 s y luego se detiene momentáneamente en la esquina. Acelera después hasta 18.0 m/s, maneja con rapidez constante durante 20.0 s, desacelera durante 2.67 s, continúa durante 4.00 s a esta rapidez y después se detiene. a) ¿Cuánto dura el recorrido? b) ¿Qué distancia se recorre? c) ¿Cuál es la rapidez promedio del viaje? d) ¿Cuánto tardaría si caminara a la tienda y regresara de ese mismo modo a 1.50 m/s?

Respuesta: (a) 45,7 s, (b) 574 m, (c) 12,6 m/s, (d) 765 s


2-66. Una roca se deja caer desde el reposo dentro de un pozo. a) Si el sonido del contacto con el agua se oye 2.40 s después, ¿a qué profundidad de la parte superior del pozo está la superficie del agua? La rapidez del sonido en el aire (a temperatura ambiente) es de 336 mis. b) Si el tiempo de recorrido para el sonido se ignora, ¿qué porcentaje de error se introduce cuando se calcula la profundidad del pozo?

2-67. Una curiosa alpinista, estudiante de física, asciende a un despeñadero de 50.0 m que sobresale por

encima de un estanque de agua. Lanza dos piedras verticalmente hacia abajo, con una diferencia de tiempo de 1.00 s, y observa que producen un solo sonido al golpear el agua. La primera piedra tiene una rapidez inicial de 2.00 m/s. a) ¿Cuánto tiempo después de soltar la primera, las dos piedras golpean él agua? b) ¿Cuál es la velocidad inicial de la segunda piedra? c) ¿Cuál es la velocidad de cada piedra en el instante en que las dos golpean el agua?

Respuesta: (a) 5,46 s, (b) −15,4 m/s, (c) 31,3 m/s hacia abajo y 34,9 m/s hacia abajo 2-68. Un auto y un tren se mueven juntos a lo largo de trayectorias paralelas a 25.0 m/s, con el auto

adyacente a la parte trasera del tren. Entonces, debido a una luz roja, el auto adquiere una aceleración uniforme de −2.50 m/s2 y llega al reposo. Permanece en reposo durante 45.0 s y luego acelera de nuevo a una rapidez de 25.0 m/s a una relación de 2.50 m/s2. ¿A qué distancia de la parte posterior del tren se encuentra el auto cuando alcanza la rapidez de 25.0 m/s, suponiendo que la rapidez del tren ha permanecido 25.0 m/s?

2-69. Clara compra un auto deportivo de superlujo que puede acelerar a razón de 4.90 m/s2. Ella decide

probar el carro en un arrancón con Esteban, otro corredor. Ambos parten del reposo, pero el experimentado Esteban deja la línea de salida 1.00 s antes que Clara. Si Esteban se mueve con una aceleración constante de 3.50 m/s2 y Clara mantiene una aceleración de 4.90 m/s2, determine a) el tiempo que tarda Clara en alcanzar a Esteban, b) la distancia que recorre antes de alcanzarlo, y c) la rapidez de ambos autos en el instante del alcance.

Respuesta: (a) 5,46 s, (b) 73,0 m, (c) vesteban = 22,6 m/s, vclara = 26,7 m/s 2-70. Con el fin de proteger su alimento de osos hambrientos, un boy scout eleva su paquete de comida

con una cuerda que lanza sobre la rama de un árbol de altura h. El scout camina alejándose de la cuerda vertical con velocidad constante vniño mientras sostiene en sus manos el extremo libre de la

cuerda (Fig. P2.70). a) Demuestre que la rapidez v del paquete de comida es niñovhxx 2/122 )( −+ ,

donde x es la distancia que el muchacho ha caminado alejándose de la cuerda vertical. b)

Demuestre que la aceleración a del paquete de comida es 22/3222 )( niñovhxh −+ . c) ¿Qué valores

tienen la aceleración y la velocidad poco después de que deja el punto bajo el paquete (x = O)? d) ¿A qué valores tienden la velocidad y la aceleración del paquete conforme la distancia x continúa aumentando?

Figura P2- 70


2-71. En el problema 70 considere la altura h igual a 6.00 m y la rapidez vniño igual a 2.00 m/s. Suponga

que el paquete de comida empieza su movimiento desde el reposo. a) Tabule y dibuje la gráfica rapidez-tiempo: b) Tabule y dibuje la gráfica aceleración-tiempo. (Deje que el rango de tiempo sea de O a 5.00 s y que los intervalos de tiempo sean de 0.500 s.)

Respuesta: (a) 2-72. Unos astronautas en un planeta distante lanzan una roca al aire. Con la ayuda de una cámara que

toma fotografías a una relación constante registran la altura de la roca como una función del tiempo, tal como se da en la tabla P2.72. a) Encuentre la velocidad promedio de la roca en el intervalo de tiempo entre cada medida y la siguiente. b) Usando esta velocidad promedio para aproximar las velocidades instantáneas en los puntos medios de los intervalos de tiempo, haga una gráfica de la velocidad como función del tiempo. ¿La roca se mueve con aceleración constante? Si es así trace una línea recta de mejor ajuste sobre la gráfica y calcule su pendiente para encontrar la aceleración.

2-73. Dos objetos, A y B, se conectan mediante una barra rígida de longitud L. Los objetos se deslizan

a lo largo de rieles guías perpendiculares, como se muestra en la figura P2.73. Si A se desliza hacia la izquierda con rapidez constante v, encuentre la rapidez de B cuando α = 60.0°.

Figura P2 – 73

Respuesta: 0,577 v


CAPITULO 4

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

ACERTIJO Este avión es usado por la NASA para entrenar astronautas. Cuando vuela a lo largo de cierta trayectoria curva, todo lo que no está sujeto en su interior comienza a flotar. ¿Qué provoca este efecto? (NASA) Web: Para mayor información sobre como se usa este avión, visite: http:/imocc.imoc.com/∼acft-ops/rgpindex.htm Líneas generales del capitulo: 4.1. Los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración. 4.2. Movimiento bidimensional con aceleración constante. 4.3. Movimiento de proyectiles 4.4. Movimiento circular uniforme 4.5. Aceleración tangencial y radial 4.6. velocidad y aceleración relativa


En este capitulo se tratará la cinemática de una partícula que se mueve en dos dimensiones. Conocerlas bases del movimiento bidimensional permitirá examinar −en capítulos futuros− una amplia variedad de movimientos, que van desde el movimiento de satélites en órbita hasta el movimiento de electrones en un campo eléctrico uniforme. Primero se estudia con gran detalle la naturaleza vectorial del desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Como en el caso de un movimiento unidimensional, se deducen las ecuaciones cinemáticas para el movimiento bidimensional a partir de las definiciones fundamentales de esas tres cantidades. Después se tratan, como casos especiales de movimiento en dos dimensiones, e movimiento de proyectiles y el movimiento circular uniforme. También se analizará el concepto de movimiento relativo, e cual demuestra por qué los observadores en diferentes marcos de referencia pueden medir diferentes desplazamientos, velocidades y aceleraciones para una partícula dada. 4.1. LOS VECTORES DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIO N En el capitulo 2 se encontró que el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se conoce por completo su sus coordenadas se conocen como una función del tiempo. Ahora se extenderá esta idea al movimiento en el plano xy. Se describirá primero la posición de una partícula con un vector de posición r , trazado desde el origen de algún sistema de coordenadas hasta la partícula localizada en el plano xy, como se muestra en la figura 4.1. En el tiempo ti la partícula se encuentra en el punto A, y en algún instante posterior tf la partícula está en el punto B. La trayectoria de A a B no es necesariamente una línea recta. Cuando la partícula se mueve de A a B en el intervalo de tiempo ∆t = tf − ti, el vector de posición cambia de r i a r f. Según lo aprendido en el capitulo 2, el desplazamiento es un vector, y el desplazamiento de una partícula es la diferencia entre su posición final y su posición inicial. Ahora se define totalmente el vector de deslazamiento ∆r para la partícula de la figura 4.1 como la diferencia entre su vector de posición final y su vector de posición inicial:

Vector desplazamiento: if rrr→→→

−=∆ (4.1) La dirección de ∆r se indica en la figura 4.1. Según esta figura, la magnitud de ∆r es menor que la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria curva seguida por la partícula.

Figura 4.1. Una partícula que se mueve en el plano xy está localizada con el vector de posición r dibujada desde el origen a la partícula. El desplazamiento de la partícula conforme se mueve de A a b en el intervalo de tiempo ∆t = tf − ti, es igual al vector ∆r = r f − r i. Como se expuso en el capitulo 2, casi siempre es útil cuantifica l movimiento observando la proporción de un desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo durante el cual dicho desplazamiento ha ocurrido. En la cinemática unidimensional, excepto que ahora se deben usar vectores en lugar de signos más y menos para indicar la dirección del movimiento. Vector velocidad promedio Redefine la velocidad promedio de una partícula durante el intervalo de tiempo ∆t como el desplazamiento de la partícula dividido entre el intervalo de tiempo:

Trayectoria de la partícula


Velocidad promedio: t

rvm

∆∆=

→→

(4.2)

Multiplicar o dividir una cantidad vectorial por una cantidad escalar sólo cambia la magnitud del vector, no su dirección. Puesto que el desplazamiento es una cantidad vectorial y el intervalo de tiempo es una cantidad escalar, se concluye que la velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de ∆r . Advierta que la velocidad promedio entre los puntos es independiente de la trayectoria elegida. Esto se debe a que la velocidad promedio es proporcional al desplazamiento, el cual depende sólo de los vectores de posición inicial y final y no de la trayectoria seguida entre esos dos puntos. Como ya se hizo con el movimiento unidimensional, la conclusión es que si una partícula empieza su movimiento en algún punto y regresa a él por cualquier trayectoria, su velocidad promedio es cero para este recorrido puesto que su desplazamiento es cero.

Figura 4.2. Conforme una partícula se mueve entre dos puntos, su velocidad promedio está en dirección del vector desplazamiento ∆r. Conforme el punto final de la trayectoria se mueve de B a B’ a B’’, los desplazamientos respectivos y los intervalos de tiempo correspondientes se vuelven cada vez más pequeños. En el límite en que el punto final se aproxima a A, ∆t tiende a cero, y la dirección de ∆ se aproxima a la de la línea tangente a la curva en A. Por definición la velocidad instantánea en A está en la dirección de la línea tangente. Vector velocidad instantánea Considere otra vez el movimiento de una partícula entre dos puntos en el plano xy, como se muestra en la figura 4.2. Conforme los intervalos de tiempo sobre los cuales se observa el movimiento se vuelven más y más pequeños, la dirección del desplazamiento se aproxima a la de la línea tangente a la trayectoria en el punto A. La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad promedio ∆r/∆t, cuando ∆t tiende a cero:

dt

rd

t

rlímitev

t

→→

→∆

→=

∆∆=

0 (4.3)

Es decir, la velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición respecto del tiempo. La dirección del vector de velocidad instantánea en cualquier punto en una trayectoria de la partícula es a lo largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese punto y en dirección del movimiento (Fig. 4.3) La magnitud del vector de velocidad instantánea v = | v | se llama rapidez, la cual como se recordará, es una cantidad escalar.


Figura 4.3. Una partícula e mueve desde la posición A a la posición B. Su vector velocidad cambia de vi a vf. Los diagramas vectoriales en la parte superior derecha muestran dos formas de determinar el vector ∆v a partir de las velocidades inicial y final. Vector aceleración promedio Cuando una partícula se mueve de un punto a otro a lo largo de cierta trayectoria, su vector velocidad instantánea cambia de vi en el tiempo ti a vf en el tiempo tf. Conocer la velocidad en estos puntos permitirá determinar la aceleración promedio de la partícula La aceleración promedio de una partícula cuando se mueve de una posición a otra se define como el cambio del vector velocidad instantánea, ∆v, dividido entre el cambio de tiempo ∆t durante el cual ocurrió dicho cambio:

t

v

tt

vva

if

if

∆∆=

−−

>=<→→→

→ (4.4)

Puesto que la aceleración promedio, <a> es la relación entre una cantidad vectorial ∆v, y una cantidad escalar, ∆t, se concluye que <a> es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de ∆v. Como se indica en al figura 4.3, la dirección de ∆v se encuentra al sumar el vector −vi (el negativo de vi) al vector vf, porque la definición ∆v = vf − vi. Vector aceleración instantánea Cuando la aceleración promedio de una partícula cambia durante diferentes intervalos de tiempo, es útil definir su aceleración instantánea a: La aceleración instantánea, a, se define como el valor límite de la relación ∆v/∆t cuando ∆t tiende a cero:

dt

vd

t

vlímitea

t

→→

→∆

→=

∆∆=

0

En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad respecto al tiempo o a la segunda derivada del vector de posición con respecto del tiempo dos veces:

2

2

dt

rd

dt

vda

→→→

==

Es importante tener en cuenta que pueden ocurrir varios cambios cuando una partícula se acelera. Primero, la magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar con el tiempo como en el movimiento en línea recta (unidimensional). Segundo, la dirección del vector velocidad puede cambiar


con el tiempo aun cuando su magnitud (rapidez) permanezca constante, como en un movimiento con trayectoria curva (bidimensional). Por último, tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad pueden cambiar de manera simultánea. Pregunta sorpresa 4.1. Al pedal de combustible en un automóvil se le llama acelerador. (a) ¿Existen otros controles en un automóvil que se puedan considerar aceleradores? (b) ¿Cuándo el pedal del combustible no es un acelerador? 4.2. MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL CON ACELERACION CONSTANTE Considere un movimiento bidimensional durante el cual la aceleración permanece constante, tanto en magnitud como en dirección. El vector de posición para una partícula que se mueve en el plano xy puede escribirse:

r = x i + y j (4.6) donde x, y y r cambian con el tiempo cuando se mueve la partícula, mientras i y j permanecen constates. Si se conoce el vector de posición, la velocidad de la partícula puede obtenerse de las ecuaciones 4.3 y 4.6, que dan:

v = vx i + vy j (4.7) Debido a que a se supone constante, sus componentes ax y ay también lo son. Por consiguiente, es posible aplicar las ecuaciones de la cinemática a las componentes x y y del vector velocidad. La sustitución vxf = vxi + axt y vyf = vyi + ay t en la ecuación 4.7 para determinar la velocidad final en el tiempo t, produce:

vf = (vxi + ax t) i + (vyi + ay t) j = (vxi i + vyi j) + (ax i + ay j) = vi + a t (4.8) Este resultado establece que la velocidad de una partícula en algún tiempo t es igual al vector suma de su velocidad inicial vi, y la velocidad adicional at adquirida en el tiempo t como resultado de su aceleración constante. De manera similar, de acuerdo con la ecuación 2.11, se sabe que las coordenadas x y y de una partícula que se mueve con aceleración constante son:

2

2

1tatvxx xxiif ++= 2

2

1tatvyy yyiif ++=

Al sustituir estas expresiones en la ecuación 4.6 (y etiquetada el vector de posición final r f) se obtiene:

r f = (xi + vxi t + ½ ax t2) i + (yi + vyi t + ½ ay t

2)j = (xi i + yi j) + (vxi i + vyi j) + ½ (ax i + ay j) t2

r f = r i + vi t + ½ a t2 (4.9)

Esta ecuación implica que el vector de desplazamiento ∆r = r f − r i es el vector suma de un desplazamiento vit, que se obtiene de la velocidad inicial de la partícula, y un desplazamiento ½ a t2, resultado de la aceleración uniforme de la partícula. Las representaciones gráficas de las ecuaciones 4.8 y 4.9 se muestran en la figura 4.4. Por simplicidad en el dibujo de la figura se ha tomado r i = 0 en la figura 4,4a. Es decir, se supone que la partícula está en el origen en t = ti = 0. Observe de la figura 4.4a que r f generalmente no está a lo largo de la dirección de vi o a porque la relación entre estas cantidades es una expresión vectorial. Por la misma razón, en la figura 4.4b se ve que vf no siempre se encuentra a lo largo de la dirección de vi o a. Por último, puede verse que vf y r f generalmente no están en la misma dirección.


Figura 4.4. Representación vectorial y componentes de (a) el desplazamiento y (b) la velocidad de una partícula moviéndose con aceleración uniforme a. Para simplificar el dibujo se ha hecho r i = 0. Como las ecuaciones 4.8 y 4.9 son expresiones vectoriales, se pueden escribir en forma de componentes:

vf = vi + a t

+=

+=

tavv

tavv

yyiyf

xxixf

r f = r i + vi t + ½ a t2

++=

++=

2

2

2

12

1

tatvyy

tatvxx

yyiif

xxiif

Estas componentes se muestran en la figura 4.4. La forma de componentes de las ecuaciones para vf y r f

muestran que el movimiento bidimensional con aceleración constante es equivalente a dos movimientos independientes −uno en la dirección x y otro en la dirección y− con aceleraciones constates ax y ay. EJEMPLO 4.1. Movimiento en un plano. Una partícula pare del origen en t = 0 con una velocidad inicial que tiene una componente x de 20 m/s y una componente y de − 15 m/s. La partícula se mueve en el plano xy sólo con una componente de aceleración x, dada por ax = 4,0 m/s2. (a) Determine las componentes del vector velocidad en cualquier tiempo y el vector velocidad total en cualquier instante. (b) Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en t = 5,0 s. (c) Determine las coordenadas xy de la partícula en cualquier tiempo t y el vector de posición con este tiempo. Solución. (a) Luego de leer cuidadosamente el problema, se percibe que se puede establecer vxi = 20 m/s y vyi = −15 m/s, ax = 4,0 m/s2 y ay = 0. Esto permite bosquejar un burdo diagrama de movimiento de la situación. La componente x de la velocidad inicia en 20 m/s y se incrementa en 4,0 m/s cada segundo. La componente y de la velocidad nunca cambia de su valor inicial de −15 m/s. A partir de esta información se bosquejan algunos vectores de velocidad como los mostrados en la figura 4.5. Advierta que el espaciamiento entre imágenes sucesivas se incrementa conforme el tiempo avanza debido a que la velocidad está aumentando.


Figura 4.5. Diagrama d movimiento para la partícula

Las ecuaciones de cinemática dan: vxf = vxi + ax t = (20 + 4,0 t) m/s vyf = vyi + ay t = − 15 m/s + 0 = − 15 m/s Por tanto: vf = vxf i + vyf j = [(20 + 4,0 t) i − 15,0 j] m/s También se podría haber obtenido este resultado con la ecuación 4.8 directamente, al advertir que a = 4,0 i m/s2 y vi = (20 i − 15 j) m/s. de acuerdo con este resultados, la componente x de la velocidad se incrementa mientras la componente y permanece constante; esto es consistente con lo predicho. Después de un largo tiempo, la componte x será tan grande que la componente y será despreciable. Si se hubiese extendido la trayectoria del objeto a la figura 4.5, eventualmente llegaría a estar casi paralela al eje x,. Siempre es útil realizar comparaciones entre las respuestas finales y las condiciones establecidas al principio. (b) Con t = 0,5 s, el resultado de (a) produce: vf = [(20 + 4,0 (5,9)] i (m/s) − [15 j ] m/s = (40 i − 15 j) m/s Este resultado nos dice que en t = 5,0 s, vx = 40 m/s y vy = −15 m/s. Conociendo las dos componentes de este movimiento bidimensional se pueden encontrar tanto la dirección como la magnitud del vector velocidad. Para determinar el ángulo θ que v forma con el eje x en t = 5,0 s, se puede aprovechar el hecho de que tan θ = vy/vx:

º21/40

/15tantan 11 −=

−=

= −−

sm

sm

v

v

xf

yfθ

donde el signo menos indica un ángulo de 21º bajo el eje x positivo. La rapidez es la magnitud de vf:

smsmsmvvvv yfxfff /43)/15()/40( 2222 =−+=+==→

Al observar los resultados se aprecia que si se calcula v, a partir de las componentes x y y de v, se encontrará que vf > vi. ¡Esto tiene sentido!. (c) Puesto que xi = yi = 0 en t = 0, la ecuación 2.11 produce: xf = vxi t + ½ ax t

2 = (20 t + 2,0 t2) m yf = vyi t + ½ ay t

2 = (− 15 t) m


Por consiguiente, el vector de posición en cualquier tiempo t es: r f = xf i + yf j = [(20 t + 2,0 t2) i − 15 t j] m (De manera alternativa, se podría obtener r f aplicando la ecuación 4.9 directamente, con vi = (20 i − 15 j) m/s y a = 4,0 i m/s2. ¡Inténtelo! Así, por ejemplo, en t = 5,0 s, x = 150 m, y = −75 m y r f = (150 i − 75 j)m. la magnitud del desplazamiento de la partícula desde el origen a t = 5,0 s es la magnitud de r f en este momento:

mmmrr ff 170)75()150( 22 =−+==→

Advierta que ¡ésta no es la distancia que la partícula recorre en este tiempo! ¿Puede determinar esta distancia a partir de los datos disponibles? 4.3. MOVIMIENTO DE PROYECTILES Quienquiera que haya observado una pelota de béisbol en movimiento (o, para el caso es lo mismo, cualquier objeto lanzado al aire) ha observado el movimiento de proyectiles. La pelota se mueve en una trayectoria curva y su movimiento es simple de analizar si se hacen estas dos suposiciones: (1) la aceleración de caída libre g es constante en todo el intervalo de movimiento y está dirigida hacia abajo.1 y (2) el efecto de la resistencia del aire es despreciable2. Con estas suposiciones encontramos que el camino de un proyectil, al que se llamará trayectoria, siempre es una parábola. Utilizamos esta suposición en todo este capítulo. Para mostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola elija un marco de referencia tal que la dirección y sea vertical y positiva hacia arriba. Dado que la resistencia del aire es despreciable, se sabe que ay = −g (como en la caída libre unidimensional), y ax = 0. Suponga también que en t = 0 el proyectil parte del origen (xi = yi = 0) con rapidez v0 como se muestra en la figura 4.6

Figura 4.6. La trayectoria parabólica de un proyectil que deja su origen con una velocidad vi. El vector velocidad v cambia con el tiempo tanto en magnitud como en dirección. Este cambio es el resultado de la aceleración en la dirección y negativa. La componente x de la velocidad permanece constante en el tiempo debido a que no existe aceleración a lo largo de la dirección horizontal. La componente y de la velocidad es cero en la parte más alta de la trayectoria. 1Esta suposición es razonable siempre que el intervalo de movimiento sea pequeño comparado con el radio de la Tierra (6,4 x 106 m). En efecto, esta aproximación es equivalente a suponer que la Tierra es plana a lo largo del intervalo del movimiento considerado.


2Por lo general esta aproximación nos e justifica, en especial a altas velocidades. Además, cualquier giro dado a un proyectil, como cuando un pitcher envía una bola curva, puede dar lugar a ciertos efectos muy interesantes asociados con fuerzas aerodinámicas, lo cual se analizará en el capítulo 15. El vector vi forma un ángulo θi con a horizontal, donde θi es el ángulo del cual parte el proyectil del origen. De as definiciones de las funciones seno y coseno se tiene:

i

xii v

v=θcos i

yii v

vsen =θ

Por tanto, las componentes iniciales x y y de la velocidad son:

iixi vv θcos= iiyi senvv θ=

Sustituyendo la componente x en la ecuación 4.9a con xi = 0 y ax = 0, se encuentra que:

tvtvx iixif )cos( θ== (4.10)

Repitiendo con al componente y y usando yi = 0 y ay = −g , se obtiene:

22

2

1)(

2

1gttsenvtatvy iiyyif −=+= θ (4.11)

En seguida, se resuelve la ecuación 4.10 para t = xf/(vi cos θi) y se sustituye esta expresión para t en la ecuación 4.1; esto produce:

222 )cos2

)(tan xv

gxy

iii

−=

θθ (4.12)

Esta ecuación es válida para ángulos de lanzamiento ubicados dentro del rango 0 < θi < π/2. Se han dejado fuera los subíndices de x y y porque la ecuación es válida en cualquier punto (x, y) a lo largo de la trayectoria del proyectil. Esa expresión es de la forma y = a x − b x2, que es la ecuación de una parábola que pasa por el origen. Así, se ha probado que la trayectoria de un proyectil es una parábola. Advierta que la trayectoria está completamente especificada si se conocen tanto la rapidez inicial vi como el ángulo de lanzamiento θi.

Figura 4.7. El vector de posición r de un proyectil cuya velocidad inicial en el origen es vi. El vector vit sería el desplazamiento del proyectil si hubiera ausencia de gravedad, y el vector ½ gt2 es el desplazamiento vertical debido a su aceleración gravitacional ascendente.


La expresión vectorial para el vector de posición del proyectil como función del tiempo se deduce directamente de la ecuación 4.9, con ri = 0 y a = g:

r = vi t + ½ g t2 Esta expresión esta trazada en la figura 4.7.

Un soldador hace agujeros a través de una estructura metálica don un soplete. Las chispas generadas en el proceso siguen trayectorias parabólicas Es interesante observar que el movimiento de una partícula puede considerarse como la superposición del término vit, que sería el desplazamiento si no hubiera aceleración, y el término ½ g t2, el cual se obtiene de la aceleración debida a la gravedad. En otras palabras, si no hubiera aceleración gravitacional, la partícula continuaría moviéndose a lo largo de una trayectoria recta en la dirección de vi. En consecuencia, la distancia vertical ½ g t2, a través de la cuál la partícula “cae” de la línea de la trayectoria recta, es la misma distancia que un cuerpo en caída libre recorrería durante el mismo intervalo de tiempo. Se concluye que el movimiento de proyectiles es la superposición de dos movimientos: (a) movimiento a velocidad constante en al dirección horizontal y (2) movimiento de caída libre en la dirección vertical. Excepto para t, el tiempo de vuelo, las componentes horizontal y vertical del movimiento de un proyectil son completamente independientes una de otra. Experimento sorpresa Coloque dos pelotas de tenis en el borde de una mesa. De inmediato golpee una de las pelotas horizontalmente fuera de la mesa con una mano, mientras con la otra mano empuja en forma suave la segunda pelota para que caiga de la mesa. Compare cuánto tardan las dos pelotas en llegar al suelo. Explique sus resultados.


Fotografía estroboscópica de un tenista ejecutando un golpe. Observe que la pelota sigue una trayectoria parabólica característica de un proyectil. Tales fotografías se pueden usar para estudiar la calidad de los equipos deportivos y el desempeño de un atleta. EJEMPLO 4.2. Aproximación al movimiento de proyectil. Una pelota es lanzada de tal forma que sus componentes de velocidad vertical y horizontal iniciales son 40 m/s y 20 m/s, respectivamente. Calcule el tiempo total de vuelo y la distancia a la que está la pelota de su punto de partida cuando aterriza. Solución. Comience recordando que las dos componentes de la velocidad son independientes. Al considerar primero el movimiento vertical se puede determinar cuanto tiempo permanece la pelota en el aire. Entonces se puede usar el tiempo de vuelo para estimar la distancia horizontal cubierta.

Figura 4.8. Diagrama de movimiento de un proyectil-

Un diagrama de movimiento como el de la figura 4.8 ayuda a organizar lo que se sabe del problema. Los vectores de aceleración son todos iguales, apuntando hacia abajo con una magnitud cercan a 10 m/s2. Los vectores de velocidad cambian de dirección. Sus componentes horizontales son todos iguales: 20 m/s. debido a que el movimiento vertical es en caída libre, las componentes verticales de los vectores de velocidad cambian, segundo a segundo, de 40 m/s a casi 30 m/s, 20 m/s y 10 m/s en la dirección hacia arriba, y luego de 0 m/s. Posteriormente, su velocidad se vuelve 10, 20 , 30 y 40 m/s en la dirección hacia abajo. De esta manera le toma a la pelota cuatro segundos ir hacia arriba y otros cuatro segundos bajar, para un tiempo total de vuelo de aproximadamente ocho segundos. En vista de que la componente


horizontal de la velocidad es 20 m/s, y puesto que la pelota viaja a esta rapidez durante ocho segundos, acaba aproximadamente a 160 m de su punto de partida. Alcance horizontal y altura máxima de un proyectil Suponga que un proyectil se lanza desde el origen en ti = 0 con una componente vyi positiva, como se muestra en al figura 4.9. Hay dos puntos especiales que es interesante analizar; el punto máximo (A), que tiene coordenadas (R/2, h), y el punto (B), que tiene coordenadas (R, 0). La distancia R se conoce como alcance horizontal del proyectil y la distancia h es a altura máxima. Se encontrarán h y R en función de v0, θi y g.

Figura 4.9. Un proyectil disparado desde el origen en ti = 0, a una velocidad inicial vi. La altura máxima de un proyectil es h, y el alcance horizontal es R. En (A) la parte más alta de la trayectoria, la partícula tiene coordenadas (R/2, h). Se puede determinar h al observar que en la altura máxima, vyA = 0. En consecuencia, puede usarse la ecuación 4.8a para determinar el tiempo tA que le toma al proyectil llegar a la altura máxima:

tavv yyif +=

Aii gtsenv −= θ0

g

senvt ii

A

θ=

Sustituyendo esta expresión para A en la parte y de la ecuación 4.9a y reemplazando yf = yA con h, se obtiene una expresión para h en términos de la magnitud y dirección del vector inicial de velocidad:

2

2

1)(

−

=

g

senvg

g

senvsenvh iiii

ii

θθθ

g

senvh ii

2

2 θ= (4.13)

El alcance es la distancia horizontal que e proyectil recorre en el doble de tiempo necesario para alcanzar la altura máxima, es decir, en un tiempo tB = 2tA. Usando la parte x de la ecuación 4.9a, notando que vxi = vxB = vi cos θi y haciendo R = xB en t = 2tA, se encuentra que:

===

g

senvvtvtvR ii

iiAiiBxi

θθϑ 2)cos(2)cos(

g

senvR iii θθ cos2 2

=


Usando la identidad sen 2θ = 2 sen θ cos θ (véase apéndice B.4), se escribe R en la forma más compacta:

g

senvR ii θ22

= (4.14)

No olvide que las ecuaciones 4.13 y 4.14 son útiles para calcular h y R sólo si se conocen vi y θi (lo cual significa que sólo se debe especificar vi) y si el proyectil aterriza en la misma altura en la que inició, como se muestra en la figura 4.9. El valor máximo de R de la ecuación 4.14 está dado por:

g

vR i

máx

2

=

Este resultado se desprende del hecho de que el valor máximo de sen 2 θ, e 1, lo cual ocurre cuando 2θ = 90º. Por consiguiente, R es un máximo cuando θi = 45º.

Figura 4.9. Un proyectil disparado desde el origen con una rapidez inicial de 50 m/s en varios ángulos de proyección. Observe que valores complementarios de θi resultan en el mismo valor de x (alcance horizontal). La figura 4.10 muestra varias trayectorias para un proyectil con una rapidez inicial dada pero lanzada a diferentes ángulos. Como se puede ver, el alcance de un máximo para θi = 45º. Además, para cualquier θi diferente de 45º, un punto con coordenadas cartesianas (R, 0) se puede alcanzar usando uno o dos valores complementarios de θi, tales como 75º y 15º. Desde luego la altura máxima y el tiempo de vuelo para uno de esos valores de θi son diferentes de la altura máxima y el tiempo de vuelo para el valor complementario. Pregunta sorpresa 4.2. Cuando un proyectil se mueve en su trayectoria parabólica, hay un punto cualquiera en su trayectoria donde los vectores velocidad y aceleración son: (a) ¿Perpendiculares entre sí? (b) ¿Paralelos entre sí? (c) Clasifique las cinco trayectorias en al figura 4.10 con respecto al tiempo de vuelo, del más corto al más largo. Experimento sorpresa Para realizar esta investigación necesitará estar en el exterior con una pequeña pelota, una de tenis, por ejemplo, así como un reloj de pulsera. Lance la bola hacia arriba tan fuerte como pueda y determine tanto la rapidez inicial de su lanzamiento como la máxima altura aproximada de la pelota usando solamente su reloj. ¿Qué sucede cuando lanza la pelota en un ángulo θi ≠ 90º? ¿Esto altera el tiempo de vuelo (tal vez debido a que es más fácil de lanzar)? ¿Todavía puede determinar la altura máxima y la rapidez inicial?


Figura 4.10. Un proyectil disparado desde el origen con una rapidez inicial de 50 m/s en varios ángulos de proyección. Observe que valores complementarios de θi resultan en el mismo valor de x (alcance del proyectil). Sugerencia para resolver problemas Movimiento de proyectiles Se sugiere que usted use las siguientes aproximaciones para resolver problemas de movimiento de proyectiles: • Seleccione un sistema coordenado y resuelva el vector velocidad inicial en componentes x y y. • Siga las técnicas para resolver problemas de velocidad constante para analizar el movimiento

horizontal. Siga las técnicas para resolver problemas de aceleración constante para analizar el movimiento vertical. Los movimientos x y y comparten el mismo tiempo de vuelo t.

EJEMPLO 4.3. El salto de longitud. Un atleta de salo de longitud se despega del suelo a un ángulo de 20,0º sobre la horizontal y a una rapidez de 11,0 m/s. (a) ¿Qué distancia salta en dirección horizontal? (Suponga este movimiento como equivalente al de una partícula) (b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza? Solución. (a) Puesto que la rapidez inicial y el ángulo de lanzamiento son proporcionales, la forma más directa de resolver este problema es usar la fórmula de alcance dada por la ecuación 4.14. Sin embargo, es más instructivo tomar un acercamiento más general y usar la figura 4.9. Como antes, se establece el origen de coordenadas en el punto de partida y se etiqueta la punta como (A) y el punto de aterrizaje como (B). El movimiento horizontal se describe por medio de la ecuación 4.10: xf = xB = (vi cos θi) tB = (11,0 m/s) (cos 20,0º) tB El valor de xB puede encontrarse si el tiempo total del salto se conoce. Será posible determinar tB si se recuerda que ay = −g y al usar la parte y de la ecuación 4.8a. También se aprecia que en la parte más alta del salto la componente vertical de la velocidad vyA es cero: vyf = vyA = vi sen θi − g tA 0 = (11,0 m/s) (sen 20,0º) − (9,80 m/s2) tA tA = 0,384 s


Éste es el tiempo necesario para alcanzar el punto más alto del salto. Debido a la simetría del movimiento vertical transcurre un intervalo de tempo idéntico antes que el saltador retorne al suelo. Por consiguiente, el tiempo total en el aire es tB = 2 tA = 2 (0,384 s) = 0,768 s. Al sustituir este valor en la expresión anterior para xf se obtiene: xf = xB = (11,0 m/s) (cos 20,0º) (0,768 s) = 7,94 m. Ésta es una distancia razonable para un atleta de clase mundial. (b) La altura máxima alcanzada se determina con la ecuación 4.11: ymáx = yA = (vi sen θi) tA − ½ g tA

2 = (11,0 m/s) (sen 20,0º)(0,384 s) − ½ (9,8 m/s2) (0,384 s)2 = ymáx = 0,722 m Considerar al atleta de salto de longitud como una partícula es una simplificación extrema. No obstante, los valores obtenidos son razonables. Ejercicio. Para verificar estos cálculos use las ecuaciones 4.13 y 4.14 para encontrar la altura máxima y el rango horizontal.

En un evento de salto de longitud el campeón estadounidense de 1993, Mike Powell, puede alcanzar distancias horizontales de al menos 8 m. EJEMPLO 4.4. Donde pone el ojo pone la bala. En una conferencia demostrativa muy popular, un proyectil se dispara contra el blanco de tal manera que el proyectil sale del rifle al mismo tiempo que el blanco se deja caer desde el reposo, comos e muestra en la figura 4.11. Demuestre que si el rifle está inicialmente dirigido hacia el blanco estacionario, aun así el proyectil golpeará al blanco.


Figura 4.11. (a) Fotografía estroboscópica de una demostración proyectil−blanco. Si el arma se apunta directamente al blanco y se dispara en el mismo instante en el que el blanco comienza a caer, el proyectil pegará en el blanco. Advierta que la velocidad del proyectil (flechas rojas) cambia en dirección y magnitud mientras que la aceleración descendente (flechas violetas) permanece constates. (b) Diagrama esquemático e la demostración proyectil−blanco. Tanto el proyectil como el blanco caen a lo largo de la misma distancia vertical en un tiempo t porque ambos experimentan la misma aceleración ay = −g Solución. Se puede argumentar que el choque resultará bajo las condiciones establecidas observando que tanto el proyectil como el blanco experimentan la misma aceleración, ay = −g tan pronto como se liberan. Primero, observe en la figura 4.11b que la coordenada y inicial del banco es xT tan θP y que disminuye a lo largo de una distancia ½ g t2 en un tiempo t. En consecuencia, la coordenada y del blanco en cualquier momento después de soltarlo es: yT = xT tan θi = ½ g t2 Ahora, si se emplea la ecuación 4,9a para escribir una expresión para la coordenada y del proyectil en cualquier momento, se obtiene: yP = xP tan θi − ½ g t2 Así pues, al comparar las dos ecuaciones anteriores se verá que cuando las coordenadas y del proyectil y el blanco son las mismas, sus coordenadas x son iguales y se produce la colisión. Esto es, cuando yP = yT, xP = xT. Se puede obtener el mismo resultado usando expresiones para los vectores de proyección en el caso del proyectil y el blanco. Observe que no siempre ocurrirá un choque debido a la existencia de una fuerte restricción: una colisión

sólo puede ocurrir cuando vi sen θi ≥ 2/gd donde d es la elevación inicial del blanco sobre el suelo. Si

vi sen θi es menor que este valor, el proyectil llegará al piso antes de alcanzar el blanco. EJEMPLO 4.5. ¡Esto es verdaderamente un brazo!. Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba a un ángulo de 30,0º con la horizontal y con una rapidez inicial de 20,0 m/s, como se muestra en la figura 4.12. Si la altura del edifico es 45,0 . (a) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en golpear el piso? (b) ¿Cuál es la rapidez de la piedra justo antes de golpear el suelo? Solución. (a) Se ha indicado los varios parámetros en la figura 4.12. Cuando trabaje con problemas por su cuenta, siempre deberá hacer un bosquejo como éste y etiquetarlo.


Figura 4.12.

Los componentes x y y iniciales de la velocidad de la piedra son. vxi = vi cos θi = (20,0 m/s) (cos 30,0º) = 17,3 m/s vyi = vi sen θi = (20,0 m/s) 8sen 30,0º) = 10,0 m/s Para encontrar t se puede utilizar yf = vyi + ½ ay t

2 (ecuación 4.9a) con yi = −45,0 m, ay = − g y vyi = 10,0 m/s (hay un signo menos en el valor numérico de yf debido a que se eligió la azotea del edificio como el origen): − 45,0 m = (10,0 m/s) t – ½ (10,0 m/s) t2 Al resolver la ecuación cuadrática respecto de t se obtiene, para la raíz positiva, t = 4,22 s. ¿La raíz negativa tiene algún significado físico? (¿Puede pensar otra forma de determinar t a partir de la información dada?) (b) Se puede usar la ecuación 4.8a, vyf = vyi + ay t, con t = 4,22 s para obtener la componente y de la velocidad justo antes de que la piedra pegue en el piso: vyf = 10,0 m/s − (9,80 m/s2) (4,22 s) = − 31.4 m/s El signo negativo indica que la piedra se mueve hacia abajo. Puesto que vxf = vxi = 17,3 m/s, la rapidez requerida es:

smsmsmvvv yfxff /9,35)/4,31()/3,17( 2222 =−+=+=

Ejercicio. ¿Dónde golpea la piedra el suelo? Respuesta: 73,0 m a partir e la base del edificio. EJEMPLO 4.6. Los exploradores extraviados. Una avión de rescate en Alaska deja caer un paquete de provisiones a un grupo de exploradores extraviados, como se muestra en la figura 4.13. Si el avión viaja


horizontalmente a 40,0 m/s y a una altura de 100 m sobre el suelo, ¿dónde cae el paquete en relación con el punto en que se soltó?

Figura 4.13.

Solución. Para este problema se elige el sistema de coordenado mostrado en al figura 4.13, en el cual el origen está en el punto donde se suelta el paquete. Considere primero el movimiento horizontal del paquete. La única ecuación disponible para encontrar la distancia recorrida a lo largo de la dirección horizontal es xf = vxi t (Ec. 4.9a). la componen x inicial de la velocidad del paquete es la misma que la del avión cuando se suelta el paquete: 40,0 m/s. Así, se tiene: xf = vxi t = (40,0 m/s) t Si se conoce t, el tiempo que el paquete está en el aire, es posible determinar xP, la distancia recorrida por el paquete en dirección horizontal. Para encontrar t se recurre a las ecuaciones que describen el movimiento vertical del paquete. Se sabe que en el instante en que el paquete golpea el suelo su coordenada y es yf = −100 m. Se sabe también que la componente vertical inicial de la velocidad del paquete vP es cero debido a que el paquete se soltó con una componente horizontal de velocidad. A partir de la ecuación 4.9a se obtiene: yf = − ½ g t2 − 100 m = − ½ (9,80 m/s2) t2 t = 4,32 s El valor para el tiempo de vuelo sustituido n la ecuación para la coordenada x produce: xf = (40,0 m/s) (4,52 s) = 181 m El paquete golpea el suelo 181 m a la derecha del punto en que se suelta. Ejercicio. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad del paquete justo antes de que golpee el suelo?


Respuesta: vxf = 40,0 m/s; vyf = −44,3 m/s Ejercicio. ¿Dónde está el avión cuando el paquete golpea el piso? (Suponga que el avión no ha cambiado su curso ni su rapidez.) Respuesta: Directamente sobre el paquete. EJEMPLO 4.7. La terminación de un salto en SKI. Un esquiador baja por una pendiente y se despega del suelo moviéndose en dirección horizontal con una rapidez de 25,0 m/s, como se muestra en la figura 4.14. La pendiente de aterrizaje bajo él tiene una inclinación de 35,0º. ¿En qué punto el esquiador vuelve a hacer contacto con el suelo?

Figura 4.14.

Solución. Es razonable suponer que el esquiador esté en el aire durante menos de 10 s, y por ende no irá más lejos de 250 m horizontalmente. Se debe esperar que el valor de d, la distancia viajada a lo largo de la pendiente, sea del mismo orden de magnitud. Es conveniente seleccionar el inicio del salto como el origen (xi = 0, yi = 0). Puesto que vxi = 25,0 m/s y vyi = 0, las formas en componentes x y y de la ecuación 4.9a son: xf = vxi t = (2,50 m/s) t (1) yf = ½ ay t

2 = − ½ (9,80 m/s2) t2 (2) En el triángulo recto de la figura 4.14 se ve que las coordenadas x y y del esquiador en el punto de aterrizaje son xf = d cos 35,0º y yf = − d sen 35,0º. Al sustituir estas elaciones en (1) y 82) se obtiene: d cos 35,0º = (25,0 m/s) t (3) −d sen 35,0º = − ½ (9,80 m/s2) t2 (4) Resolviendo (3) para t, y sustituyendo el resultado en (4), se encuentra que d = 109 m. Por tanto, las coordenadas x y y del punto en el cual aterriza el esquiador son: xf = d cos 35,0º = (109 m) cos 35,0º = 89,3 m


yf = − d sen 35,0º = − (109 m) sen 35,0º = − 62,5 m Ejercicio. Determine cuánto tiempo permanece el esquiador en el aire y su componente vertical de velocidad justo antes de aterrizar. Respuesta. 3,57 s; −35,0 m/s. ¿Qué habría ocurrido si el esquiador en el último ejemplo hubiese estado cargando una piedra y la soltara mientras estuviera en el aire? Como la piedra tiene la misma velocidad inicial que el esquiador, permanecería cerca de él conforme se moviera: esto es, flotaría junto con él. Ésta es una técnica que la NASA usa para entrenar astronautas. El avión fotografiado al principio del capítulo vuela en el mismo tipo de trayectoria de proyectil que siguen el esquiador y la piedra. Los pasajeros y la carga del avión caen juntos; esto es, todos tienen la misma trayectoria. Un astronauta puede soltar una pieza de equipo y ésta flotará junto a su mano. Lo mismo sucede en los transbordadores espaciales. La nave y todo en su interior están cayendo conforme orbitan la Tierra.

Figura 4.15. La fotografía estroboscopica de las dos bolas que se sueltan simultáneamente ilustran tanto la caída libre (bola roja), como el movimiento del proyectil (la bola amarilla). La bola amarilla se proyectó horizontalmente, mientras que la roja se soltó desde el reposo. Experimento sorpresa Armado sólo con una regla y el conocimiento de que el tiempo entre las imágenes fue de 1/30 s, encuentre la rapidez horizontal de la pelota amarilla en la figura 1.15. [Sugerencia: Comience por analizar el movimiento de la pelota roja. Puesto que conoce su aceleración vertical, puede calibrar las distancias retratadas en la fotografía. Luego puede determinar la rapidez horizontal de la pelota amarilla] 4.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME La figura 4.16 muestra un automóvil que se mueve en una trayectoria circular con rapidez lineal constante v. Dicho movimiento recibe el nombre de movimiento circular uniforme. Debido a que la dirección del movimiento del auto cambia, tiene una aceleración, como se aprendió en la sección 4.1. Para cualquier


movimiento, el vector velocidad es tangente a la trayectoria. Consecuentemente, cuando un objeto se mueve en una trayectoria circular, su vector velocidad es perpendicular al radio del círculo.

Figura 4.16. (a) Un automóvil moviéndose a lo largo de una trayectoria circular con rapidez constante experimenta movimiento circular uniforme. (b) Conforme una partícula se mueve de (A) a (B), su vector velocidad cambia de vi a vf. (c) La construcción para determinar la dirección del cambio en la velocidad ∆v, la cual está hacia el centro del círculo en el caso de ∆r. Ahora se demostrará que el vector aceleración en un movimiento circular uniforme siempre es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del círculo. Una aceleración de esta naturaleza se conoce como aceleración centrípeta (en busca del centro), y su magnitud es:

r

var

2

= (4.15)

donde r es el radio del círculo y la notación ar se usa para indicar que la aceleración centrípeta está en la dirección radial. Para obtener la ecuación 4.15 considere la figura 4.16b, la cual muestra una partícula primero en el punto (A) y después en el punto (B). La partícula está en (A) en el tiempo t0 y su velocidad en ese tiempo es vi. Luego se encuentra en (B), en algún tiempo posterior tf y su velocidad en ese tiempo es vf. Suponga aquí que vi y vf difieren sólo en la dirección; sus magnitudes (rapidez) son las mismas (es decir , vi = vf = v). Para calcular la aceleración de la partícula se empieza con la ecuación que define la aceleración promedio (Ec. 4.4):

t

v

tt

vva

if

if

∆∆=

−−

>=<→→→

→

Esta ecuación indica que se debe restar vectorialmente vi de vf donde ∆v = vf − vi; es el cambio en la velocidad. Puesto que vi + ∆v = vf, el vector ∆v puede determinarse con el triángulo vectorial de la figura 4.16c. Considere ahora el triángulo en la figura 4.16b, el cual tiene lados ∆r y r. Este triángulo y el de la figura 4.16c, que tiene lados ∆v y v, son semejantes. Esto permite escribir una relación entre las longitudes de los lados:

r

r

v

v ∆=∆

Esta ecuación puede resolverse para ∆v, y la expresión así obtenida puede sustituirse en <a> = ∆v/∆t (Ec. 4.4) para obtener:

t

r

r

va

∆∆>=<

Ahora imagine que los puntos (A) y (B) en la figura 4.16b se acercan mucho uno al otro. En este caso ∆v apuntaría hacia el centro de la trayectoria circular, y debido a que la aceleración está en la dirección de


∆v, también está dirigida hacia el centro. Además, a medida que (A) y (B) se acercan entre sí, ∆t tiende a cero, y el cociente ∆r/∆t se aproxima a la rapidez v. Por tanto, en el límite ∆t → 0, la magnitud de la aceleración es:

r

var

2

=

Así pues, se concluye que en el movimiento circular uniforme, la aceleración se dirige hacia el centro del círculo y tiene una magnitud dada por v2/r, donde v es la rapidez de la partícula y r es el radio del círculo. El lector debe mostrar que las dimensiones de ar son LT−2. Se volverá al estudio del movimiento circular en la sección 6. 4.5. ACELERACION TANGENCIAL Y RADIAL Considere el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva donde la velocidad cambia tanto en dirección como en magnitud, como se describe en la figura 4.17.

Figura 4.17. El movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva arbitraria que reposa sobre el plano xy. Si el vector velocidad v (siempre tangente a la trayectoria) cambia en dirección y en magnitud, los vectores componentes de la aceleración a son componentes tangencial at y una componente radial ar. El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria, pero ahora la dirección del vector aceleración a cambia de punto a punto. Este vector puede resolverse en dos vectores componentes; un vector componente radial, ar, y un vector componente tangencial, at. Es decir, a puede escribirse como la suma vectorial de estos vectores componentes:

a = ar + at (4.16) La aceleración tangencial provoca el cambio en la rapidez de la partícula. Es paralela a la velocidad instantánea y su magnitud es:

dt

vdat

→

= (4.17)

La aceleración radial surge del cambio en la dirección del vector velocidad, como se describe con anterioridad, y tiene una magnitud absoluta dada por:

r

var

2

= (4.18)

donde r es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto en cuestión. Puesto que ar y at son dos vectores componentes mutuamente perpendiculares de a, se deduce que:

22tr aaa +=


Como en el caso del movimiento circular uniforme; ar siempre apunta hacia el centro de curvatura en el movimiento circular no uniforme, como se indica en la figura 4.17. Así mismo, a una rapidez determinada, ar es mayor cuando el radio de curvatura es pequeño (como en los puntos (A) y (B) en la figura 4.17) y pequeña cuando r es grande (como en el punto (C)). La dirección de at es la misma que v (si v está aumentando) u opuesta a v (si v está disminuyendo). En el movimiento circular uniforme, donde v es constante, at = 0 y la aceleración es siempre radial, como se describe en la sección 4.4. (Observe la ecuación 4.18 es idéntica a la 4.15). En otras palabras, el movimiento circular uniforme es un caso especial de movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Además, si la dirección de v no cambia, entonces no hay aceleración radial y el movimiento es en una dimensión (en este caso ar = 0, pero at puede no ser cero). Pregunta sorpresa 4.3 (a) Dibuje un diagrama de movimiento donde se muestren los vectores velocidad y aceleración para un objeto que se mueve con rapidez constante, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, alrededor de un círculo. Dibuje diagramas similares para un objeto que se mueve de manera similar pero (b) frenado a una aceleración tangencial constante y (c) avanzando con aceleración tangencial constante.

Figura 4.18. (a) Descripción d los vectores unitarios ur y uθ. (b) La aceleración total a de una partícula que se está moviendo a lo largo de una trayectoria curva (la cual en cualquier instante forma parte de un círculo de radio r) es la suma de las componentes radial y tangencial. La componente radial está dirigida hacia el centro de la curvatura. Si la componente tangencial de la aceleración se convierte en cero, la partícula sigue un movimiento circular uniforme. Es útil escribir la aceleración de una partícula moviéndose en una trayectoria circular en término de vectores unitarios. Definiendo los vectores unitarios ur y uθ que se muestran en la figura 4.18, donde ur es un vector unitario a lo largo del radio vector dirigido radialmente hacia fuera desde el centro del círculo, y uθ es un vector unitario tangente al círculo. La dirección de uθ está en la de los valores crecientes de θ, midiéndose éstos en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj a partir del eje x positivo. Advierta que tanto ur como uθ “se mueven a lo largo con la partícula” y por ello varían en el tiempo. Usando esta notación la aceleración total se puede expresar como:

rtr ur

vu

dt

vdaaa ˆˆ

2

−

=+=

→

→→→

θ (4-19)

Estos vectores se describen en la figura 4.18b. El signo negativo del término v2/r de la ecuación 4.19 indica que la aceleración radial siempre está dirigida radialmente hacia el centro, opuesta a ur.


Pregunta sorpresa 4.4 Con base en su experiencia dibuje un diagrama de movimiento donde se muestren los vectores posición, velocidad y aceleración para un péndulo que, desde una posición inicial 45º a la derecha de una línea vertical central, se balancea en un arco que lo lleva a una posición final 45º a la izquierda de la línea vertical central. El arco es parte de un círculo, y el lector deberá usar el centro de este círculo como origen para los vectores de posición. EJEMPLO 4.8. La pelota oscilante. En al figura 4.19 se muestra una pelota unida al extremo de una cuerda de 0,50 m de longitud que se balancea en un círculo vertical bajo la influencia de la gravedad. Cuando la cuerda forma un ángulo de θ = 20º con al vertical, al pelota tiene una rapidez de 1,5 m/s. (a) Encuentre la magnitud de la componente radial de la aceleración en este instante. (b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración tangencial cuando θ = 20º? (c) Encuentre la magnitud y dirección de la aceleración total a en θ = 20º?

Figura 4.19. Movimiento de una pelota suspendida por una cuerda de longitud r. La pelota se balancea con movimientos circulares n uniformes en un plano vertical y su aceleración a tiene una componente radial ar y una componente tangencial at. Solución (a) El diagrama de la respuesta a la pregunta sorpresa 4.4 se aplica a esta situación, y así se tiene una buena idea de cómo varía el vector aceleración durante el movimiento. La figura 4.19 permite echar un vistazo cercano a esta situación. La aceleración radial está dada por la ecuación 4.18. Con v = 1,5 m/s y r = 0,50 m se encuentra que:

222

/5,4)50,0(

)/5.1(sm

m

sm

r

var ===

(b) Cuando la pelota está a un ángulo θ de la vertical tiene una aceleración tangencial de magnitud g sen θ (la componente de g tangente al círculo). Por tanto, en θ = 20º es:

22 /4,3º20)/80,9( smsensmgsenat === θ

(c) Puesto que a = ar + at, la magnitud de a en θ = 20º es:

2222222 /6,5)/4,3()/5,4( smsmsmaaa tr =+=+=

si φ es el ángulo entre a y la cuerda, entonces:


º37/5,4

/4,3tantan

2

211 =

=

= −−

sm

sm

a

a

r

tφ

Advierta que todos los vectores a, ar y at, cambian en dirección y en magnitud cuando la pelota oscila describiendo el círculo. Cuando la pelota está en el punto más bajo (θ = 0º), at = 0, debido a que no hay componente tangencial de g en este ángulo; además, ar es un máximo puesto que v es un máximo. Si la pelota tiene suficiente rapidez para alcanzar su posición más alta (θ = 180º), at es ceo otra vez, pero ar es un mínimo debido a que v también lo es. Por último, en las dos posiciones horizontales (θ = 90º y 270º) , |at| = g y ar tiene un valor entre su mínimo y su máximo. 4.6. VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVAS En esta sección se describe cómo los puntos de vista de diferentes observadores en distintos marcos de referencia se relacionan entre sí. Se descubrirá que observadores en diferentes marcos de referencia pueden medir desplazamientos, velocidades y aceleraciones diferentes para una partícula dada. Es decir, dos observadores que se mueven uno con respecto al otro generalmente no concuerdan en el resultado de una medición. Por ejemplo, suponga que dos autos en la misma dirección con rapidez de 50 y 60 millas/h. para un pasajero en el auto más lento, al rapidez del auto más rápido es de 10 millas/h. Desde luego, un observador estacionario encontrará que la rapidez del auto más rápido es de 60 millas/h, no 10 millas/h. ¿Cuál observador está en lo correcto? ¡Ambos lo están!. Este simple ejemplo demuestra que la velocidad de un objeto depende del marco de referencia en el cuál se está midiendo.

Figura 4.20. (a) El observador A, sobre un vehículo móvil, lanza una pelota hacia arriba y ve que se eleva y cae en una trayectoria recta. (b) El observador estacionario B aprecia una trayectoria parabólica para la misma pelota. Suponga que una persona que viaja sobre un vehículo en movimiento (observador A) lanza una pelota de tal manera que aparentemente, en un marco de referencia, se mueve primero en línea recta hacia arriba y después den línea recta hacia abajo a lo largo de la misma línea vertical, como se puede ver en la figura 4.20a. Sin embargo,, un observador estacionario B percibirá la trayectoria de la pelota como una parábola, como se ilustra en la figura 4.20b. En relación con el observador B la pelota tiene una componente vertical de velocidad (producida por la velocidad inicial hacia arriba y de la aceleración de la gravedad hacia abajo) y una componente horizontal. Otro ejemplo sencillo de esto es el de un paquete arrojado desde un avión que vuela con una velocidad constante; tal situación se estudia en el ejemplo 4.6. Un observador en el avión describirá el movimiento


del paquete como una línea recta hacia la Tierra. Sin embargo, un explorador extraviado que observa desde el suelo, verá la trayectoria del paquete como una parábola. Si, una vez lanzado el paquete, el avión continua moviéndose horizontalmente con la misma velocidad, ¡el paquete llegará al suelo directamente abajo del avión (suponiendo que la fricción del aire es despreciable)!

Figura 4.21. Una partícula localizada en (A) es descrita por dos observadores, uno en el marco de referencia fijo S, y otro en el marco de referencia S’, el cual se mueve a la derecha con una velocidad cantante v0. El vector r es el vector de posición de la partícula relativo a S, y el vector de posición r’ es relativo a S’. En una situación más general considere una partícula localizada en el punto (A) en la figura 4.21. Imagine que dos observadores están describiendo el movimiento de una partícula, uno en el marco de referencia S, fijo respecto de la Tierra, y el otro en el marco de referencia S’, moviéndose hacia la derecha respecto de S (y consecuentemente en relación con la Tierra) con una velocidad constante v0. (Respecto de un observador S’, S se mueve hacia la izquierda con una velocidad −v0). El punto donde se encuentra un observador en un marco de referencia es irrelevante en este análisis, pero para ser precisos vamos a situar a ambos observadores en sus respectivos orígenes. Se marca la posición de la partícula relativa al marco de referencia S con el vector de posición r y se indica su posición relativa al marco S’ con respecto a r’ , ambos en algún tiempo t. Los vectores r y r’ se relacionan entre sí mediante la expresión r = r’ + v0 t, o:

Transformación galileana de coordenada

r’ = r − v0 t (4.20) Es decir, después del tiempo t, el marco S’ se desplaza hacia la derecha del marco S en una cantidad v0. Si se diferencia la ecuación 4.20 con respecto al tiempo y se nota que v0 es constante, se obtiene:

Transformación galileana de la velocidad:

→→→

−= 0

'v

dt

rd

dt

rd

v' = v – v0 (4.21)

donde v’ es la velocidad de la partícula observada en el marco S’ y v es la velocidad de la partícula observada en el marco S. Las ecuaciones 4.20 y 4.21 se conocen como ecuaciones de transformación galileana. Las ecuaciones relacionan las coordenadas y al velocidad de una partícula según se midan en un marco fijo relativo a la Tierra con aquellas medidas en un marco móvil con movimiento uniforme relativo la Tierra.


Aunque los observadores en dos diferentes marcos de referencia miden diferentes velocidades para las partículas, miden la misma aceleración cuando v0 es constante. Esto puede verse tomado la derivada respecto del tiempo de la ecuación 4.21.

Transformación galileana de la acelearción:

dt

vd

dt

vd

dt

vd→→→

−= 0'

a’ = a (4.22)

Pero dv0/dt = 0 debido a que v0 es constante. En consecuencia, se concluye que a’ = a puesto que a’ = dv’ /dt y a = dv/dt. Es decir, la aceleración de la partícula por un observador en el marco de referencia de la Tierra es la misma que la medida por otro observador que se mueve con velocidad constante relativa al marco de la Tierra.

La mujer parada en la banda móvil ve al hombre caminado pasar a una rapidez más lenta que la percibe la mujer parada en el piso estacionario. Pregunta sorpresa 4.5. Un pasajero en un automóvil que viaja a 60 millas/h sirve una taza de café para el cansado conductor. Describa la trayectoria del café conforme éste se mueve del termo a la taza como lo verían (a) el pasajero, (b) alguien parado junto al camino que observa a través de la ventanilla del auto cuando éste pasa. (c) ¿Qué sucede si el auto acelera mientras se está sirviendo el café? EJEMPLO 4.9. Un bote que cruza el río. Un bote con dirección al norte cruza un ancho río a una rapidez d 10,0 km/h respecto del agua. El agua del río tiene una rapidez uniforme de 5,00 km/h en dirección este respecto a la Tierra. Determine la velocidad del bote en relación con un observador estacionario en la orilla. Solución. Se conocen vbr, la velocidad del bote en relación con el río, y vrE, la velocidad del río respecto a la tierra. Lo que se quiere encontrar es vbT. La velocidad del bote en relación con la tierra. La relación entre estas cantidades es: vbE = vbr + vrE Los términos en la ecuación deben manejarse como cantidades vectoriales; los vectores se muestran en la figura 4.22


Figura 4.22

La cantidad vbr, está dirigida hacia el norte, vrE al este, y el vector suma de estos dos vectores, vbE, se encuentra a un ángulo θ, como se indica en la figura 4.22. Así pues, la rapidez del bote respecto de la tierra puede determinarse a partir del teorema de Pitágoras:

hkmhkmhkmvvv rEbrbE /2,11)/0,5()/0,10( 2222 =+=+=

La dirección de vbE es:

º6,26/0,10

/00,5tantan 11 =

=

= −−

hkm

hkm

v

v

br

rEθ

El bote viaja a una rapidez de 11,2 km/h en dirección 26,6º al este del norte respecto de la tierra. Ejercicio. Si el ancho del río es 3,0 km encuentre el tiempo que tarda el bote en cruzarlo Respuesta: 18 mn EJEMPLO 4.10. ¿Qué rumbo debemos seguir?. Si el bote del ejemplo anterior viaja con la misma rapidez de 10,0 km/h en relación con el río y se mueve rumbo al norte, como se muestra en al figura 4.23. ¿Qué dirección debe seguir?

Figura 4.23


Solución. Como en el ejemplo anterior, se conocen vrE y la magnitud del vector vbr, y se requiere que vbE esté dirigido a través del río. La figura 4.23 muestra que el bote debe estar dirigido hacia arriba de la corriente para viajar directamente hacia el norte a través del río. La figura 4.23 muestra que el bote debe estar dirigido hacia arriba de la corriente para viajar directamente hacia el norte a través del río. Observe la diferencia entre el triángulo de la figura 4.22 y el de la figura 4.23: específicamente, que la hipotenusa en la figura 4.23 ya no es vbE. Por tanto, cuando en esta ocasión se usa el teorema de Pitágoras para encontrar vbE se obtiene:

hkmhkmhkmvvv rEbrbE /66,8)/0,5()/0,10( 2222 =−=−=

Ahora que se conoce la magnitud de vbE se puede encontrar la dirección en al cual el bote está apuntando:

º0,30/66,8

/00,5tantan 11 =

=

= −−

hkm

hkm

v

v

bE

rEθ

El bote debe seguir un curso de 30,0 º al oeste del norte. Ejercicio. Si el ancho del río mide 3,0 km encontrar el tiempo que tarda el bote en cruzarlo. Respuesta: 21 min RESUMEN Si una partícula se mueve con aceleración constante a, y tiene velocidad vi y posición r i en t = 0, sus vectores de velocidad y posición en algún instante posterior t son:

tavv if

→→→+= (4.8)

2

2

1tatvrr iif

→→→→++= (4.9)

Para movimiento bidimensional en el plano xy bajo aceleración constante, estas expresiones vectoriales son equivalentes a expresiones de dos componentes: una para el movimiento en dirección x y otra para el movimiento en dirección y. El lector deberá ser capaz de romper el movimiento bidimensional de cualquier objeto en estas dos componentes. El movimiento de proyectiles es un tipo de movimiento bidimensional bajo aceleración constante, donde ax = 0 y ay = − g. Es útil considerar el movimiento de proyectiles como la superposición de dos movimientos: (1) movimiento con velocidad constante en dirección x, y (2) movimiento de caída libre en dirección vertical sujeto a una aceleración constante hacia abajo de magnitud g = 9.80 m/s2. Por consiguiente, se puede analizar el movimiento en función de componentes de velocidad horizontal y vertical independientes, como se ve en la figura 4.24. Una partícula que se mueve en un círculo de radio r con rapidez constante v está en un movimiento circular uniforme. Experimenta una aceleración centrípeta (o radial) ar debido a que la dirección de v cambia en el tiempo. La magnitud de ar es:

r

var

2

= (4.18)

y su dirección es siempre hacia el centro del círculo. Si una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva de manera tal que la magnitud y la dirección de v cambian en el tiempo, la partícula tiene un vector aceleración que puede describirse mediante dos


vectores componentes: (1) un vector componente radial, ar que provoca el cambio en la dirección de v, y (2) un vector componente tangencial, at, que causa el cambio en la magnitud de v. La magnitud de ar es v2/r, y la magnitud de at es d|v| /dt. Usted deberá ser capaz de dibujar diagramas de movimiento para un objeto siguiendo una trayectoria curva y mostrar cómo los vectores velocidad y aceleración cambian conforme varía el movimiento del objeto. La velocidad v de una partícula medida en un marco de referencia fijo, S, se relaciona con la velocidad v’ de la misma partícula medida en un marco de referencia en movimiento, S', por medio de

v' = v – v0 (4.21) donde v0 es la velocidad de S' relativa a S. El lector deberá ser capaz de trasladarse de un lado para otro entre diferentes marcos de referencia.

Figura 4.24 Análisis del movimiento de proyectil en términos de componentes vertical y horizontal. PREGUNTAS 1. ¿Un objeto puede acelerar si su rapidez es constante? ¿Puede acelerar un objeto si su velocidad es

constante? 2. Si la velocidad promedio de una partícula es cero en algún intervalo de tiempo, ¿qué se puede decir

acerca del desplazamiento de la partícula en ese intervalo? 3. Si se conocen los vectores de posición de una partícula en dos puntos a lo largo de su trayectoria y

también se conoce el tiempo que tarda en ir de un punto al otro, ¿es posible determinar la velocidad instantánea de la partícula? ¿Su velocidad promedio? Explique.

4. Describa una situación en la cual la velocidad de una partícula siempre sea perpendicular al vector

de posición. 5. Explique si las siguientes partículas tienen aceleración o no: a) una partícula que se mueve en una

línea recta con rapidez constante, y b) una partícula que se mueve alrededor de una curva con rapidez constante.

6. Corrija el siguiente enunciado: "El coche de carreras recorre la curva a una velocidad constante de

90 millas por hora." 7. Determine cuál de los siguientes objetos en movimiento tiene una trayectoria parabólica

aproximada: a) una pelota lanzada en una dirección arbitraria, b) un avión jet, c) un cohete que abandona la plataforma de lanzamiento, d) un cohete cuyos motores fallan pocos minutos después del lanzamiento, e) una piedra que se arrojó y se mueve hacia el fondo de un estanque.

8. Se suelta una roca en el mismo instante en que una pelota en la misma elevación inicial es lanzada

horizontalmente. ¿Cuál tendrá la mayor rapidez cuando alcance el nivel del suelo? 9. Una nave espacial flota a la deriva a través del espacio con una velocidad constante. Súbitamente,

una fuga de gas en el costado de la nave causa una aceleración constante en una dirección perpendicular a la velocidad inicial. La orientación de la nave no cambia, y así la aceleración


permanece perpendicular a la dirección original de la velocidad. ¿Cuál es la forma de la trayectoria seguida por la nave en esta situación?

10. Una pelota es proyectada horizontalmente desde el techo de un edificio. Un segundo después otra

pelota es proyectada en forma horizontal desde el mismo punto con la misma velocidad. ¿En qué punto en el movimiento las pelotas estarán más cerca una de otra? ¿La primera pelota siempre estará viajando más rápido que la segunda? ¿Cuánto tiempo transcurre entre el momento en que la primera pelota golpea el piso y el momento en que lo hace la segunda? ¿Puede cambiarse la proyección horizontal de la velocidad de la segunda pelota de tal manera que ambas pelotas lleguen al piso al mismo tiempo?

11. Un estudiante argumenta que cuando un satélite orbita la Tierra en una trayectoria circular, el

satélite se mueve con velocidad constante y, en consecuencia, no tiene aceleración. El profesor afirma que el estudiante está equivocado debido a que el satélite debe tener aceleración centrípeta cuando se mueve en su órbita circular. ¿Qué es incorrecto en el argumento del estudiante?

12. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre los vectores unitarios ur y uθ y los vectores unitarios i y j? 13. Al final de su arco la velocidad de un péndulo ee cero. ¿También su aceleración es cero en este

punto? 14. Si una roca se deja caer desde la parte superior del mástil de un barco, ¿golpeará la cubierta en el

mismo punto cuando el bote está en reposo que cuando está en movimiento a velocidad constante? 15. Una piedra es lanzada hacia arriba desde la azotea de un edificio. ¿El desplazamiento depende de la

ubicación del origen del sistema de coordenadas? ¿La velocidad de la piedra depende de la ubicación del origen?

16. ¿Es posible que un vehículo libre una curva sin acelerar? Explique. 17. Se lanza una pelota de béisbol con una velocidad inicial de (10i + 15j ) m/s. Cuando alcanza el

punto superior de su trayectoria, ¿cuáles son a) su velocidad y b) su aceleración? No tome en cuenta los efectos de la resistencia del aire.

18. Un objeto se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante v. a) ¿La velocidad del objeto

es constante? b) ¿Su aceleración es constante? Explique. 19. Se dispara un proyectil a cierto ángulo con la horizontal a cierta rapidez inicial v0 y no se considera

la resistencia del aire. ¿El proyectil es un cuerpo en caída libre? ¿Cuál es su aceleración en dirección vertical? ¿Cuál es su aceleración en dirección horizontal?

20. Un proyectil es disparado a un ángulo de 30° respecto de la horizontal con cierta rapidez inicial.

¿Qué otro ángulo del proyectil producirá el mismo alcance si la rapidez inicial es la misma en ambos casos? Desprecie la resistencia del aire.

21. Se lanza un proyectil sobre la Tierra con cierta velocidad inicial. Otro proyectil se dispara sobre la

Luna con la misma velocidad inicial. Si no se toma en cuenta la resistencia del aire, ¿cuál de los proyectiles tiene mayor alcance? ¿Cuál alcanza la mayor altitud? (Recuerde que la aceleración en caída libre sobre la Luna es aproximadamente 1.6 m/s2.)

22. Cuando un proyectil se mueve a lo largo de su trayectoria parabólica, ¿cuál de estas cantidades, si

es que hay alguna, permanece constante: a) la rapidez, b) la aceleración, c) la componente horizontal de la velocidad, d) la componente vertical de la velocidad?

23. Un pasajero sobre un tren que se mueve con velocidad constante deja caer una cuchara. ¿Cuál es la

aceleración de la cuchara relativa a: a) el tren y b) la tierra?


PROBLEMAS DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Sección 4.1 los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración 4-1. Un motociclista conduce hacia el sur a 20.0 m/s durante 3.00 min, luego vira al oeste y viaja a

25.0 m/s por 2.00 min y, por último, viaja hacia el noroeste a 30.0 m/s durante 1.00 mino Para este viaje de 6.00 min, encuentre: (a) el vector resultante del desplazamiento, (b) la rapidez promedio y (c) la velocidad promedio. Use un sistema coordenado en el cual el este sea el eje x positivo.

RESPUESTA: (a) 4,87 km a 209º desde el este; (b) 23,3 m/s; (c) 13,5 m/s a 209º 4-2. Suponga que el vector de posición para una partícula está dado como r = x i + y j con x = at + b y

y = ct 2 + d, donde a = 1.00 m/s, b = 1.00 m, c = 0.125 m/s2 y d = 1.00 m. (a) Calcule la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo de t = 2.00 s a t = 4.00 s. b) Determine la velocidad y la rapidez en t = 2.00 s.

4-3. Una pelota de golf se golpea en el borde de un montículo. Sus coordenadas x y y contra el tiempo

están dadas por las expresiones: x = (18.0 m/s) t y y = (4.00 m/s) t - (4.90 m/s2) t2 (a) Escriba una expresión vectorial para la posición de la pelota como una función del tiempo utilizando los vectores unitarios i y j . Tomando derivadas de sus resultados, escriba expresiones para (b) el vector velocidad como función del tiempo y (c) el vector aceleración como función del tiempo. Ahora use notación de vectores unitarios para escribir expresiones para (d) la posición, (e) la velocidad y (f) la aceleración de la pelota, todos en t = 3.00 s.

RESPUESTA: (a) (18,0 t)i + (4,00 t − 4,90 t2)j ; (b) 180,0 i + (4,00 − 9,80 t)j , (c) −9,80 j (d) (54,0 i − 32,0 j)m ; (e) (18,0 i − 25,0 j) m/s ; (f) (−9,80 m/s2) j 4-4. Las coordenadas de un objeto en movimiento en el plano xy varían con el tiempo de acuerdo con

las expresiones x = -(5.00 m)sen ωt y y = (4.00 m/s) − (5.00 m) cos ωt. donde t está en segundos y ω tiene unidades de segundos-l. (a) Determine las componentes de la velocidad y las de la aceleración en t = 0. (b) Escriba expresiones para los vectores posición, velocidad y aceleración en cualquier tiempo t > 0. (c) Describa la trayectoria del objeto en una gráfica xy.

Sección 4.2 Movimiento bidimensional con aceleración constante 4-5. En t = 0 una partícula moviéndose en el plano xy con aceleración constante tiene una velocidad de

vi = (3.00 i −−−− 2.00 j ) m/s cuando está en el origen. En t = 3.00 s la velocidad está dada por v = (9.00 i + 7.00 j ) m/s. Encuentre (a) la aceleración de la partícula y (b) sus coordenadas en cualquier tiempo t.

RESPUESTA: (a) (2,00 i + 3,00 j) m/s2; (b) (3,00 t + t2) i m, (1,50 t2 − 2,00 t) j m 4-6. El vector de posición de una partícula varía en el tiempo de acuerdo con la expresión r = (3.00 i −

6.00 t2 j ) m. (a) Encuentre expresiones para la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. b) Determine la posición y la velocidad de la partícula en t = 1.00 s

4-7. Un pez que nada en un plano horizontal tiene velocidad vi = (4.00 i + 1.00 j ) m/s en un punto en

el océano cuyo desplazamiento desde cierta roca es r i = (10.0 i - 4.00 j ) m. Después de que el pez nada con aceleración constante durante 20.0 s, su velocidad es v = (20.0 i - 5.00 j ) m/s. (a) ¿Cuáles son las componentes de la aceleración? b) ¿Cuál es la dirección de la aceleración respecto del vector unitario i? (c) ¿Dónde se encuentra el pez en t = 25.0 s si mantiene su aceleración original y en qué dirección se mueve?

RESPUESTA: (a) (0,800 i − 0,300 j)m/s2; (b) 339º, (c) (360 i − 72,7 j) m; −15,2º


4-8. Una partícula inicialmente localizada en el origen tiene una aceleración de a = 3.00j m/s2 y una velocidad inicial de vi = 5.0O i m/s. Encuentre a) el vector posición y velocidad en cualquier tiempo t y b) las coordenadas y rapidez de la partícula en t = 2.00 s.

Sección 4.3 Movimiento de proyectiles (Ignore la resistencia del aire en todos los problemas y considere g = 9.80 m/s2.) 4-9. En un bar local, un cliente hace deslizar un tarro vacío de cerveza sobre la barra para que vuelvan

a llenarlo. El cantinero está momentáneamente distraído y no ve el tarro, el cual cae de la barra y golpea el piso a 1.40 m de la base de la misma. Si la altura de la barra es 0.860 m, (a) ¿a qué velocidad abandonó el tarro la barra? y (b) ¿cuál era la dirección de la velocidad del tarro justo antes de chocar con el piso?

RESPUESTA: (a) (3,34 i) m/s; (b) −50,9º 4-10. En un bar local, un cliente desliza un tarro de cerveza vacío sobre la barra para que lo rellenen. El

cantinero está distraído momentáneamente y no ve el tarro, el cual se desliza fuera de la barra y golpea el piso a una distancia d de la base de la barra. Si la altura de la barra es h, (a) ¿con qué velocidad deja el tarro la barra? y b) ¿cuál fue la dirección de la velocidad del tarro justo antes de golpear el piso?

4-11. Una estrategia en las guerras con bolas de nieve es lanzar una primera bola a un gran ángulo

sobre el nivel del suelo. Mientras su oponente está viendo esta primera bola de nieve, usted lanza una segunda a un ángulo menor y cronometrada para que llegue a su oponente, ya sea antes o al mismo tiempo que la primera. Suponga que ambas bolas de nieve se lanzan con una rapidez de 25.0 m/s. La primera se lanza a un ángulo de 70.0° respecto de la horizontal. a) ¿A qué ángulo debe lanzarse la segunda para llegar al mismo punto que la primera? b) ¿Cuántos segundos después debe lanzarse la segunda bola para que llegue al blanco al mismo tiempo que la primera?

RESPUESTA: (a) 20,0º; (b) 3,05 s 4-12. Un jugador de tenis parado a 12.6 m de la red golpea la bola a 3.00 sobre la horizontal. Para librar

la red la pelota debe elevarse al menos 0.330 m. Si la pelota apenas libra la red en el punto más alto de su trayectoria, ¿cuán rápido se estaba moviendo la bola cuando ésta dejó la raqueta?

4-13. Un obús de artillería se dispara con una velocidad inicial de 300 m/s a 55.00 sobre la horizontal.

Explota sobre una ladera 42.0 s después del disparo. ¿Cuáles son las coordenadas x y y del obús donde éste explota, en relación con su punto de disparo?

RESPUESTA: x = 7,23 km; y = 1,68 km 4-14. Un astronauta sobre un planeta extraño encuentra que puede saltar una distancia horizontal

máxima de 15.0 m si su rapidez inicial es 3.00 m/s. ¿Cuál es la aceleración de caída libre sobre el planeta?

4-15. Un proyectil se dispara de tal manera que su alcance horizontal es igual a tres veces su máxima

altura. ¿Cuál es el ángulo de disparo? Dé su respuesta hasta con tres cifras significativas. RESPUESTA: 53,1º 4-16. Se lanza una pelota desde la ventana del piso más alto de un edificio. Se da a la pelota una

velocidad inicial de 8.00 m/s a un ángulo de 20.00 bajo la horizontal. La pelota golpea el suelo 3.00 s después. a) ¿A qué distancia horizontal, a partir de la base del edificio, la pelota golpea el suelo? b) Encuentre la altura desde la cual se lanzó la pelota. c) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota para alcanzar un punto 10.0 m abajo del nivel de lanzamiento?


4-17. Un cañón que tiene una velocidad de orificio de 1 000 m/s se usa para iniciar una avalancha sobre la pendiente de una montaña. El blanco se encuentra a 2 000 m del cañón horizontalmente y a 800 m sobre el cañón. ¿A qué ángulo, sobre la horizontal, debe dispararse el cañón?

RESPUESTA: 22,4º o 89,4º 4-18. Considere que se lanza un proyectil desde el origen de un sistema coordenado xy con rapidez vi a

un ángulo inicial θ sobre la horizontal. Advierta que en el punto más alto de su trayectoria el proyectil se mueve horizontalmente, así que la pendiente de esta trayectoria es cero. Use la expresión para la trayectoria proporcionada en la ecuación 4-12 para encontrar la coordenada x que corresponde a la altura máxima. Emplee esta coordenada x y la simetría de la trayectoria para determinar el alcance horizontal del proyectil

4-19. Un pateador de campo debe proyectar un balón desde un punto a 36.0 m (casi 40 yardas) de las

diagonales, y la mitad del equipo espera que la bola libre el travesaño, que está a 3.05 m de alto. Cuando se patea el balón, éste abandona el suelo a una rapidez de 20.0 m/s y un ángulo de 53.00 respecto de la horizontal. (a) ¿Por cuánta distancia el balón libra o no el travesaño? (b) ¿El balón se aproxima al travesaño mientras continúa en ascenso o cuando va descendiendo?

RESPUESTA: (a) La bola libra por 0,889 m; (b) mientras está descendiendo 4-20. Un bombero a 50.0 m de un edificio en llamas dirige el chorro de agua de una manguera a un

ángulo de 30.00 sobre la horizontal, como se muestra en la figura P4.20. Si la rapidez inicial de la corriente es 40.0 mis, ¿a qué altura el agua incide sobre el edificio?

Figura P4-20 y 21

4-21. Un bombero, a una distancia d de un edificio en llamas, dirige el chorro de agua de una manguera

a un ángulo θ sobre la horizontal, como se muestra en la figura P4.20. Si la rapidez inicial de la corriente es vi ¿a qué altura h el agua incide sobre el edificio?

RESPUESTA: d tan θ i = −g d2/(2vi

2 cos2 θ i) 4-22. Un jugador de fútbol soccer patea una roca horizontalmente desde el borde de un risco de 40.0 m

de altura en dirección a una fosa de agua. Si el jugador escucha el sonido que produce la roca al hacer contacto con el agua 3.00 s después de patearla, ¿cuál fue la rapidez inicial que se dio a la roca? Suponga que la rapidez del sonido en el aire es 343 m/s.


Figura P4-23.

4-23. Una estrella del básquetbol cubre 2.80 m horizontalmente en un salto para encestar el balón (Fig. P4-23). Su movimiento a través del espacio se puede modelar como el de una partícula en un punto llamado centro de masa (el cual se definirá en el capítulo 9). Su centro de masa está a una elevación de 1.02 m cuando deja el piso. Alcanza una altura máxima de 1.85 m sobre el piso y está a una elevación de 0.900 m cuando regresa al suelo. Determine (a) su tiempo de vuelo (su "tiempo colgado"), (b) sus componentes de velocidad horizontal y (c) vertical en el instante de despegue, y (d) su ángulo de despegue. (e) Para comparar determine el tiempo colgado de un ciervo cola blanca que realiza un salto con elevaciones de centro de masa yi = 1.20 m, y ymáx = 2.50 m, yf = 0.700 m.

RESPUESTA: (a) 0,852 s; (b) 3,29 m/s; (c) 4,03 m/s, (d) 50,8º; (e) 1,12 s Sección 4.4 Movimiento circular uniforme 4-24. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es aproximadamente circular, con un radio medio de

3.84 x 108 m. Se requieren 27.3 días para que la Luna complete una revolución alrededor de la Tierra. Encuentre (a) la rapidez orbital media de la Luna y (b) su aceleración centrípeta.

4-25. El atleta que se muestra en la figura P4-25 hace girar un disco de 1.00 kg a lo largo de una

trayectoria circular de 1.06 m de radio. La rapidez máxima del disco es 20.0 m/s. Determine la magnitud de la aceleración radial máxima del disco.

Figura P4-25

RESPUESTA: 377 m/s2


4-26. A partir de la información en las guardas de este libro calcule, para un punto ubicado sobre la

superficie de la Tierra en el ecuador, la aceleración radial debida a la rotación de la Tierra sobre su eje.

4-27. Una llanta de 0.500 m de radio gira a una rapidez constante de 200 rev/min. Encuentre la rapidez

y la aceleración de una pequeña piedra incrustada en una de las cuerdas sobre el borde exterior de la llanta. (Sugerencia: en una revolución, la piedra viaja una distancia igual a la circunferencia de su trayectoria, 2πr.)

RESPUESTA: 10,5 m/s; 219 m/s2 4-28. Durante el despegue, los astronautas del transbordador espacial por lo general sienten

aceleraciones superiores a 1.4 g, donde g = 9.80 m/s2. En sus entrenamientos los astronautas montan en un dispositivo donde experimentan tal aceleración como una aceleración centrípeta. De manera específica, el astronauta, con el cinturón de seguridad firmemente sujeto, está sentado en una cabina al final de un brazo mecánico que entonces gira con rapidez constante en un círculo horizontal. Determine la relación de rotación, en revoluciones por segundo, requerida para proporcionar al astronauta una aceleración centrípeta de 1.40 g mientras el astronauta se mueve en un círculo de radio 10.0 m.

4-29. El joven David, quien venció a Goliat, practicaba con hondas antes de derribar al gigante.

Descubrió que podía girar una honda de 0.600 m de longitud a razón de 8.00 rev/s. Si hubiera incrementado la longitud a 0.900 m, podría haber hecho girar la honda sólo 6.00 veces por segundo. (a) ¿Qué rapidez de rotación da la más rápida a la piedra en el extremo de la honda? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la piedra a 8.00 rev/s? (c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta a 6.00 rev/s?

RESPUESTA: (a) 6,00 rev/s; (b) 1,52 km/s; (c) 1,28 km/s2 4-30. El astronauta que orbita la Tierra en la figura P4-30 se está preparando para acoplarse con el

satélite Westar VI. El satélite está en una órbita circular a 600 km sobre la superficie de la Tierra, donde la aceleración de caída libre es 8.21 m/s2. El radio de la Tierra mide 6 400 km. Determine la rapidez del satélite y el tiempo requerido para completar una órbita alrededor de la Tierra.

Figura P4-30

Sección 4-5 Aceleración tangencial y radial 4-31. Un tren frena cuando libra una pronunciada curva horizontal, reduciendo de 90.0 a 50.0 km/h en

los 15.0 s que tarda en recorrerla. El radio de la curva es 150 m. Calcule la aceleración en el


momento en que la rapidez del tren alcanza 50.0 km/h. Suponga que el tren frena a una proporción uniforme durante el intervalo de 15.0 s.

RESPUESTA: 1,48 m/s2 hacia adentro a 29,9º tras el radio 4-32. Un automóvil cuya rapidez está aumentando a una relación de 0.600 m/s2 viaja a lo largo de un

camino circular de radio 20.0 m. Cuando la rapidez instantánea del automóvil es 4.00 m/s, encuentre (a) la componente tangencial de la aceleración, (b) la componente radial de la aceleración, y (c) la magnitud y dirección de la aceleración total.

4-33. La figura P4-33 representa, en un instante dado, la aceleración y velocidad totales de una

partícula que se mueve en la dirección de las manecillas del reloj en un círculo de 2.50 m de radio. En este instante encuentre (a) la aceleración radial, (b) la rapidez de la partícula y (c) su aceleración tangencial.

Figura P4-33

RESPUESTA. (a) 13,0 m/s2, (b) 5,70 m/s; (c) 7,50 m/s2 4-34. Un estudiante une una pelota al extremo de una cuerda de 0.600 m de longitud y después la

balancea en un círculo vertical. La rapidez de la pelota es 4.30 m/s en su punto más alto, y 6.50 m/s en su punto más bajo. Determine la aceleración de la pelota cuando la cuerda está vertical y la pelota se encuentra en (a) su punto más alto y (b) su punto más bajo.

4-35. Una pelota oscila en un círculo vertical en el extremo de una cuerda de 1.50 m de largo. Cuando

se encuentra 36.9° más allá del punto más bajo en su trayectoria, la aceleración total de la pelota es (-22.5 i + 20.2 j ) m/s2. Para ese instante, (a) dibuje un diagrama vectorial que muestre las componentes de su aceleración, (b) determine la magnitud de su aceleración radial, y (c) determine la rapidez y velocidad de la pelota.

RESPUESTA. (a) (b) 29,7 m/s2; (c) 6,67 m/s a 36,9º sobre la horizontal Sección 4.6 Velocidad relativa y aceleración relativa 4-36. Érika en su Corvette acelera con proporción de (3.00 i − 2.00 j ) m/s2, en tanto que Julia en su

Jaguar acelera a (1.00 i + 3.00 j ) m/s2. Ambas parten del reposo en el origen de un sistema de coordenadas xy. Después de 5.00 s, (a) ¿cuál es la rapidez de Érika respecto de Julia, (b) cuál es la distancia que las separa, y (c) cuál es la aceleración de Érika respecto de la de Julia?

4-37. Un río tiene una rapidez estable de 0.500 mis. Un estudiante nada aguas arriba una distancia de

1.00 km y luego regresa al punto de partida. Si el estudiante puede nadar a una rapidez de 1.20 m/s en agua tranquila, ¿cuánto tiempo dura su recorrido? Compare éste con el tiempo que duraría el recorrido si el agua estuviera quieta.

RESPUESTA. 2,02 x 103 s; 21,0 % más largo.


4-38. ¿Cuánto tiempo tarda un automóvil que viaja en el carril izquierdo a 60.0 km/h para alcanzar a otro automóvil (que lleva ventaja) que viaja en el carril derecho, y que se mueve a 40.0 km/h, si las defensas delanteras de los autos están inicialmente separadas 100 m?

4-39. El piloto de un avión observa que la brújula indica que va rumbo al oeste. La rapidez del avión

con respecto al aire es de 150 km/h. Si hay un viento de 30.0 km/h hacia el norte encuentre la velocidad del avión con respecto al suelo.

RESPUESTA. 153 km a 11,3º al norte del oeste 4-40. Dos nadadores, Alex y Beti, inician en el mismo punto en una corriente que fluye con una rapidez

v. Ambos se mueven a la misma rapidez c (c > v) relativa a la corriente. Alex nada aguas abajo una distancia L y después Beti nada la misma distancia aguas arriba de tal forma que su movimiento con respecto al piso es perpendicular a los bancos del arroyo. Ella nada una distancia L en esta dirección y luego regresa. El resultado de los movimientos de Alex y Beti es que ambos nadadores regresan al punto de partida. ¿Cuál nadador regresa primero? (Nota: primero adivine la respuesta.)

4-41. Un niño en peligro de ahogarse en un río está siendo arrastrado aguas abajo por una corriente que

tiene una rapidez de 2.50 km/h. El niño se encuentra a 0.600 km de la orilla y a 0.800 km aguas arriba de un atracadero de botes cuando un bote de rescate arranca para salvarlo. (a) Si el bote avanza a su rapidez máxima de 20.0 km/h en relación con el agua, ¿qué dirección con respecto a la orilla debe tomar el piloto? (b) ¿Qué ángulo forma la velocidad del bote con la orilla? (c) ¿Cuánto tarda el bote en alcanzar al niño?

RESPUESTA. (a) 36,9º; (b) 41,6º; (c) 3,00 min 4-42. Un tornillo cae del techo de un tren que está acelerando en dirección norte a una proporción de

2.50 m/s2. ¿Cuál es la aceleración del tomillo con respecto a: (a) el vagón del tren y (b) la tierra? 4-43. Una estudiante de ciencias viaja sobre una plataforma de un tren que se desplaza a lo largo de una

vía horizontal recta a una rapidez constante de 10.0 m/s. La estudiante lanza una pelota al aire a lo largo de una trayectoria que según ella forma un ángulo inicial de 60.00 con la horizontal y que estará alineada con la vía. El profesor de la estudiante, que se encuentra parado en el suelo a una corta distancia, observa que la pelota asciende verticalmente. ¿A qué altura observa ella que asciende la pelota?

RESPUESTA. 15,3 m PROBLEMAS ADICIONALES 4-44. Una pelota se lanza con una rapidez inicial vi a un ángulo θi con la horizontal. El alcance

horizontal de la pelota es R, y ésta alcanza una altura máxima R/6. En función de R y g determine: (a) el tiempo que la pelota está en movimiento, (b) la rapidez de la pelota en el punto máximo de su trayectoria, (c) la componente vertical inicial de su velocidad, (d) su rapidez inicial y e) el ángulo θi. f) Suponga que se lanza la pelota con la misma rapidez inicial que se encontró en la parte (d) pero a un ángulo apropiado para alcanzar la altura máxima. Encuentre esta altura. (g) Suponga que la pelota se lanza con la misma rapidez inicial pero con un ángulo necesario para el alcance máximo. Encuentre este alcance.

4-45. Cuando cierto metal fundido chorrea, una gota vuela hacia el este con una rapidez inicial vi a un

ángulo θi sobre la horizontal, y otra gota vuela hacia el oeste con la misma rapidez al mismo ángulo sobre la horizontal, como muestra la figura P4-45. En términos de vi y θi encuentre la distancia entre las gotas como función del tiempo.


Figura P4 – 45

RESPUESTA. 2 vi t cos θi 4-46. Una pelota en el extremo de una cuerda se hace girar alrededor de un círculo horizontal de 0.300

m de radio. El plano del círculo se encuentra 1.20 m sobre el suelo. La cuerda se rompe y la pelota golpea el suelo a 2.00 m de distancia (horizontalmente) del punto sobre la superficie directamente debajo de la posición de la pelota cuando la cuerda se rompió. Encuentre la aceleración radial de la pelota durante su movimiento circular.

4-47. Se dispara un proyectil hacia arriba de una pendiente (con un ángulo φ) con una rapidez inicial vi

a un ángulo θi respecto de la horizontal (θi > φ), como se muestra en la figura P4-47. (a) Muestre que el proyectil recorre una distancia d hacia arriba de la pendiente, donde

φφθθ

2

2

cos

)(cos2

g

senvd iii −

=

(b)¿Para qué valor de θi es d máxima y cuál es dicho valor máximo?

Figura P4- 47

RESPUESTA. (b) 45º + φ/2; vi

2 (1 − sen φ)/g cos2 φ 4-48. Una estudiante decide medir la velocidad de orificio de las balas de su pistola de perdigones.

Apunta la pistola horizontalmente hacia un blanco situado en una pared vertical a una distancia x de la pistola. Los tiros inciden en el blanco a una distancia vertical y abajo de la pistola. (a) Demuestre que la componente vertical del desplazamiento de los perdigones cuando viajan por el aire es y = Ax2, donde A es una constante. (b) Exprese la constante A en función de la velocidad inicial y de la aceleración de caída libre. (c) Si x = 3.00 m y y = 0.210 m, ¿cuál es la rapidez inicial de los perdigones?

4-49. Un cuadrangular se batea de tal manera que la pelota apenas libra un muro de 21.0 m de altura,

localizado a 130 m del plato de home. La bola se golpea a un ángulo de 35.0° con la horizontal y se ignora la resistencia del aire. Encuentre (a) la rapidez inicial de la pelota, (b) el tiempo que tarda en llegar al muro, y (c) las componentes de la velocidad y la rapidez de la pelota cuando llega al muro. (Suponga que la pelota se golpea a una altura de 1.00 m sobre el suelo.)

RESPUESTA.(a) 41,7 m/s; (b) 3,81 s; (c) (34,1 i − 13,4 j) m/s; 36,6 m/s 4-50. Un astronauta sobre la Luna dispara una pistola de manera que la bala abandona el cañón

moviéndose inicialmente en dirección horizontal. (a) ¿Cuál debe ser la rapidez de orificio si la bala va a recorrer por completo el derredor de la Luna y regresar a su ubicación original? (b) ¿Cuánto tiempo toma este viaje alrededor de la Luna? Suponga que la aceleración en caída libre sobre la Luna es un sexto de la que se presenta cuando es sobre la Tierra.


4-51. Un péndulo de 1.00 m de largo se balancea en un plano vertical (Fig. 4-19). Cuando el péndulo está en las dos posiciones horizontales θ = 90° y θ = 270°, su rapidez es 5.00 m/s. (a) Encuentre la magnitud de las aceleraciones radial y tangencial en estas posiciones. b) Dibuje diagramas vectoriales para determinar la dirección de la aceleración total en estas dos posiciones. (c) Calcule la magnitud y la dirección de la aceleración total.

RESPUESTA. (a) 25,0 m/s2 (radial); 9,80 m/s2 (tangencial); (b) ; (c) 26,8 m/s2 hacia adentro a 21,4º bajo la horizontal 4-52. Un jugador de básquetbol de 2.00 m de estatura lanza un tiro a la canasta desde una distancia

horizontal de 10.0 m, como en la figura P4-52. Si tira a un ángulo de 40.0° con la horizontal, ¿a qué rapidez inicial debe tirar de manera que el balón entre al aro sin golpear el tablero? La altura de la canasta es 3.05 m.

Figura P4-52

4-53. Una partícula tiene componentes de velocidad vx = + 4 m/s vy = − (6 m/s2) t + 4 m/s. Calcule la

rapidez de la partícula y la dirección θ = tan-l (vy/vx) del vector velocidad en t = 2.00 s. RESPUESTA. 8,94 m7s a −53,4º en relación con el eje x positivo. 4-54. Cuando los jugadores de béisbol lanzan la pelota desde el jardín, suelen dejar que la pelota bote

una vez antes de alcanzar el cuadro con bases en la teoría de que de esta manera llegará más rápido. Suponga que el ángulo al cual una pelota que rebota deja el piso es el mismo que el ángulo al cual el jardinero la lanza, como en la figura P4-54, pero que la rapidez de la bola después del bote es la mitad de la que era antes del bote. (a) Suponiendo que la pelota siempre se lanza con la misma rapidez inicial, ¿a qué ángulo θ debe lanzarse para que recorra la misma distancia D con un bote (línea azul) que con un lanzamiento dirigido hacia arriba a 45.0° que llega sin botar (línea verde)? (b) Determine la proporción de tiempos correspondientes a lanzamientos de un bote y sin bote.

Figura P4- 54

4-55. Un muchacho puede lanzar una pelota una distancia horizontal máxima de 40.0 m en un campo

plano. ¿A qué distancia puede lanzar la misma pelota verticalmente hacia arriba? Suponga que sus músculos le dan a la pelota la misma rapidez en cada caso.

RESPUESTA. 20,0 m


4-56. Un muchacho puede lanzar una pelota una distancia horizontal máxima R en un campo plano. ¿A qué distancia puede lanzar la misma pelota verticalmente hacia arriba? Imagine que sus músculos le dan a la pelota la misma velocidad en cada caso.

4-57. Una piedra en el extremo de una cuerda se hace girar en un círculo vertical de 1.20 m de radio a

una rapidez constante vi = 1.50 m/s, como muestra la figura P4-57. El centro de la cuerda se encuentra a 1.50 m sobre el piso. ¿Cuál es el alcance de la piedra si se suelta cuando la cuerda está inclinada a 30.0° respecto de la horizontal (a) en A, (b) en B? ¿Cuál es la aceleración de la piedra, (c) justo antes de que se suelta en A, (d) justo después de que se suelte en A?

Figura P4- 57

RESPUESTA. (a) 0,600 m; (b) 0,402 m; (c) 1,87 m/s2 hacia el centro; (d) 9,80 m/s2 hacia abajo. 4-58. Un mariscal de campo lanza un balón de fútbol americano hacia un receptor con una rapidez

inicial de 20.0 m/s a un ángulo de 30.0° sobre la horizontal. En ese instante el receptor está a 20.0 m del mariscal de campo. ¿En qué dirección y a qué rapidez constante debe correr el receptor para atrapar el balón a la misma altura a la cual fue lanzado?

4-59. Un bombardero vuela horizontalmente sobre terreno plano con una rapidez de 275 m/s respecto

del suelo, a una altitud de 3 000 m. Ignore los efectos de la resistencia del aire. (a) ¿Cuán lejos viajará la bomba horizontalmente entre el punto donde deja el avión y su impacto con el suelo? (b) Si el avión mantiene su curso y velocidad originales, ¿dónde se encuentra cuando la bomba estalla en el suelo? (c) ¿A qué ángulo, desde la vertical en el punto de liberación, debe apuntar la mira telescópica del bombardero de modo que la bomba dé en el blanco observado en la mira en el momento en que se suelta el proyectil?

RESPUESTA. (a) 6,80 km; (b) 3,00 km verticalmente sobre el punto de impacto; (c) 66,2º 4-60. Una persona sobre la parte superior de una roca hemisférica de radio R patea una pelota

(inicialmente en reposo en la parte superior de la roca) para darle una velocidad horizontal vi como en la figura P4-60. a) ¿Cuál debe ser la rapidez inicial mínima si la pelota nunca debe tocar la roca después de haber sido pateada? (b) Con esta rapidez inicial, ¿a qué distancia de la base de la roca golpeará el suelo la pelota?


Figura P4-60

4-61. Un halcón vuela horizontalmente a 10.0 m/s en línea recta, 200 m arriba del suelo. Un ratón que

lleva escapa de sus garras. El halcón continúa en su misma trayectoria a la misma rapidez durante 2.00 s antes de intentar recuperar a su presa. Para lograrlo desciende en línea recta con rapidez constante y recaptura al ratón a 3.00 m sobre el suelo. (a) Suponiendo que no hay resistencia del aire, encuentre la rapidez de descenso del halcón. (b) ¿Qué ángulo con la horizontal forma el halcón durante su descenso? (c) ¿Durante cuánto tiempo el ratón "disfruta" su caída libre?

RESPUESTA: (a) 46,5 m/s; (b) −77,6º; (c) 6,34 s 4-62. Un camión cargado con sandías se detiene súbitamente para evitar caer por el borde de un puente

destruido (Fig. P4-62). El frenado rápido hace que varias sandías salgan del camión. Una sandía rueda sobre la orilla con una rapidez inicial vi = 10 m/s en dirección horizontal. Una sección transversal del banco tiene la forma de la mitad inferior de una parábola con su vértice en la orilla del camino, y con la ecuación y2 = 16 x, donde x y y se miden en metros. ¿Cuáles son las coordenadas x y y de la sandía cuando salpica la rivera?

Figura P4-62

4-63. Una catapulta lanza un cohete a un ángulo de 53.0° sobre la horizontal con una rapidez inicial de

100 m/s. El motor del cohete inmediatamente comienza a arder, y durante 3.00 s el cohete se mueve a lo largo de su línea inicial de movimiento con una aceleración de 30.0 m/s2. Entonces falla el motor y el cohete comienza a moverse en caída libre. Encuentre (a) la altitud máxima que alcanza el cohete, (b) su tiempo total de vuelo y (c) su alcance horizontal.

RESPUESTA: (a) 1,53 km; (b) 36,2 s; (c) 6,34 s 4-64. Un río fluye con velocidad uniforme v. Una persona en un bote de motor viaja 1.00 km aguas

arriba, momento en que observa un tronco flotando. La persona continúa desplazándose aguas arriba durante 60.0 min a la misma velocidad y luego regresa aguas abajo hasta el punto de


partida, el cual alcanza justo cuando lo hace el mismo tronco. Determine la velocidad del río. (Sugerencia: El tiempo de viaje del bote después de que alcanza al tronco es igual al tiempo de viaje del tronco.)

4-65. Un automóvil se estaciona viendo hacia el océano sobre una pendiente que forma un ángulo de

37.0° bajo la horizontal. El negligente conductor deja el auto en neutral y el freno de mano está defectuoso. El auto rueda desde el reposo hacia abajo de la pendiente con una aceleración constante de 4.00 m/s2, viajando 50.0 m hacia la orilla de un risco vertical. El risco está 30.0 m sobre el océano. Encuentre: (a) la rapidez del auto justo cuando alcanza el montículo y el tiempo que tarda en llegar ahí, (b) la velocidad del auto justo cuando se hunde en el océano, (c) el tiempo total que el auto está en movimiento, y (d) la posición del auto, con respecto a la base del montículo, justo cuando entra al agua.

RESPUESTA: (a) 20,0 m/s; 5,00 s; (b) (16,0 i − 27,1 j) m/s; (c) 6,64 s; (d) 24,6 i) m 4-66. El decidido coyote otra vez está listo para intentar capturar al elusivo correcaminos. El coyote

porta un par de patines de ruedas de propulsión a chorro marca Acme, que dan una aceleración horizontal constante de 15.0 m/s2 (Fig. P4-66). El coyote parte del reposo a 70.0 m del borde de un precipicio en el instante en que el correcaminos lo pasa rápidamente en dirección del precipicio. (a) Si el correcaminos se mueve con rapidez constante, determine la rapidez mínima que debe tener para llegar al precipicio antes que el coyote. En la orilla del precipicio el correcaminos escapa haciendo un giro repentino, mientras el coyote continúa hacia el frente. (b) Si el peñasco está a 100 m sobre el fondo de un cañón, determine dónde aterriza el coyote en el cañón (suponga que los patines siguen en la horizontal y continúan en operación cuando está "volando"). c) Determine las componentes de la velocidad de impacto del coyote.

Figura P4-66

4-67. Un esquiador sale de una rampa de salto con una velocidad de 10 m/s, 15.0° arriba de la

horizontal, como se muestra en la figura P4-67. La pendiente está inclinada a 50.0° y la resistencia del aire es despreciable. Determine (a) la distancia desde la rampa a la cual el esquiador aterriza y (b) las componentes de velocidad justo antes del aterrizaje. (¿Cómo cree usted que podrían afectarse los resultados si se incluyera la resistencia del aire? Observe que los saltadores de esquí se impulsan hacia adelante como lo hace un proyectil aerodinámico, con las manos en sus costados, para incrementar su distancia. ¿Por qué funciona esto?)


Figura P4-67

RESPUESTA: (a) 43,2 m; (b) (9,66 i − 25,5 j) m/s 4-68. Dos jugadoras de fútbol soccer, Mari y Ana, empiezan a correr casi del mismo punto al mismo

tiempo. Mari corre en dirección este a 4.00 m/s, mientras que Ana parte en una dirección 60.0° al norte del este a 5.40 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que estén separadas por una distancia de 25.0 m? (b) ¿Cuál es la velocidad de Ana en relación con la de Mari? (c) ¿A qué distancia se encuentran después de 4.00 s?

4-69. No se lastime; no golpee su mano contra nada. Con estas limitaciones describa lo que haría para

darle a su mano una gran aceleración. Calcule una estimación a un orden de magnitud de esta aceleración expresando las cantidades que midió o estimó y sus valores.

RESPUESTA: Imagine que usted está sacudiendo un termómetro para bajarle el mercurio. Partiendo con su mano al nivel del hombro, mueva su mano tan rápido como pueda y sacúdela en el fondo de un arco. −100 m/s2 ≈ 10 g 4-70. En la figura P4-70 se muestra un barco enemigo que esta en el lado oeste de una isla montañosa.

El barco enemigo puede maniobrar hasta 2 500 m de distancia de la cima del monte de 1 800 m de altura y puede disparar proyectiles con una rapidez inicial de 250 m/s. Si la orilla oriental de la playa se encuentra horizontalmente a 300 m de la cima, ¿cuáles son las distancias desde la orilla oriental a las cuales un barco puede estar fuera del alcance del bombardeo de la embarcación enemiga?

Figura P4-70

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