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cinematica
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)(tx)(ty
)(tz)(),(),(: tztytxposicin
,)(:dtdx
tVvelocidad x
dtdy
tVy )(
dtdz
tVz )(
dtdV
tanaceleraci xx )(:
dtdV
ta yy )(
dtdV
ta zz )(
De Coord.y
x
zzyxentodesplazami ,,:
yx
t1
t2
A
B
r
r(t1)
r(t2)
r(t1) Vector posicin en el instante t1r(t2) Vector posicin en el instante t2
El vector desplazamiento en el intervalo detiempo [t1 , t2] esta dado por:
Es importante conocer la trayectoriadel mvil para hallar el vectordesplazamiento?
)t()t( 12 rrr
Se define el vector velocidad mediaen el intervalo de tiempo [t1 , t2]como:
yx
t1
t2
A
B
rmV
r//Vm
)(t1r
)(t2rLa velocidad media apunta en la misma
direccin del vector desplazamiento
Y(m)
x(m)
t1
t2l
:l Distancia total recorrida en elintervalo de tiempo [t1 , t2]
r
La rapidez media es igual a ladistancia total recorrida entreel tiempo total empleado
tl
empleadotiemporecorridadistancia
v~m
La rapidez media no es un vector La rapidez media no es igual al mdulodel vector velocidad media (para el mismointervalo de tiempo)
mm Vv
t3A
Y(m)
x(m)
El vector velocidadinstantnea estangente a la
trayectoria quedescribe la partcula
t2
t1
)v(t1 )v(t2 )v(t3 vv
t2
t'2
t"2
t1
B
A
Y(m)
x(m)
v
r1
r
r2
mV
r2'
r'
mV
r2"
r"
mV
La velocidad instantnea es laderivada del vector posicinrespecto del tiempo
dtdr
trlimv(t) 0t
Esta expresin podemosexpresarla en funcin de suscomponente rectangulares
dtdx(t)
vx dtdy(t)
vy dtdz(t)
vz
dtdr
trlimv(t) 0t
tlv(t)
0~ tlim
Si 0trt1
t2l
rl dr
vtd
dr
La rapidez instantnea es igual almdulo de la velocidad instantnea
dtdr
trlimv~ 0t(t)
)t((t) vv~ Al mdulo de la velocidadinstantnea se le conoce comorapidez instantnea
AY(m)
x(m)
t2t1
1212
m tt)V(t)V(t
a
)v(t1)v(t2
Se define la aceleracin media como larapidez de cambio de la velocidadinstantnea en un determinado intervalode tiempo
212
12m
s
m
tt)V(t)V(t
a
Y(m)
x(m)
La aceleracin en estepequeo intervalo de tiempoapunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t)v(t
t1 )v(t1v
v atVlima ot(t)
a
Na
Ta
Es la aceleracin normal , responsabledel cambio de direccin de la velocidad
Es la aceleracin tangencial responsabledel cambio del modulo de la velocidad
dt(t)dv
a xx dt(t)dv
a yy dt(t)dv
a zz
Expresado en componentes rectangulares
dtdV
a
Si se conoce la posicin de la partcula con eltiempo r(t) podemos determinar su velocidad yaceleracin instantnea por simple derivacin
dtdr
v(t)
(t)
2(t)2(t)
(t)dt
rddt
dva naa
Resumen
As mismo si se conoce la aceleracin con el tiempoes posible encontrar la posicin y la velocidad usandoel camino inverso, es decir integrando:
dtadvdt
dva (t)
(t)(t)
tt
(t))(t(t)
O
O dtavv tt
(t))(t(t)
O
O dtavv
dtvdrdt
drv (t)
(t)(t) t
t
(t))(t(t)
O
O dtvrr
Son los vectores posicin y velocidad en el instante to
Ejemplo 1:Si el vector posicin de una partcula estadada por:
ktj1)2t(ti1)(2tr 423(t) Hallar:1) el vector posicin para t = 0 y 2 s2) el vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s4) su velocidad instantnea en t = 0 y t = 2 s5) su aceleracin media en el intervalo [0,2]s6) su aceleracin instantnea en t = 0 y 2s
Ejemplo 2:Si el vector posicin de una partcula estadada por:
k6)-t2(j(t)i)3(5tr 42(t) Hallar:1) el vector posicin para t = 1s y 5 s2) el vector desplazamiento en el intervalo [1,5]s3) su velocidad media en el intervalo [1,5]s4) su velocidad instantnea en t = 1s y t = 5 s5) su aceleracin media en el intervalo [1,5]s6) su aceleracin instantnea en t = 1s y 5 s
Podemos aplicar lo discutidoanteriormente al caso de unapartcula moviendose en unasola dimensin, por ejemploa lo largo del eje x.
X(t)
t
P
Q
R 0v
0v
0v
dtdx
v (t)
Velocidad instantnea
tti tf
t
a > 0a = 0
a < 0
Aceleracin instantnea
dtdv
a(t)
tti tf
t
En toda grfica v versus t el rea bajo lacurva es igual al desplazamiento del mvil
curvalabajoarea 21
t
t
vdtxv
dtdx
Diremos que un movimientorectilneo es uniforme variado si laaceleracin del mvil permanececonstante en todo momento.
Supongamos que una partculaparte de la posicin xo en elinstante t0=0 , con una velocidad vo
x t0
v
v
adtdvo
a
ov (t)vox
(t)xt=0
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fcil deintegrar
tvv o(t) a Velocidadinstantnea
Problema inverso
Podemos ahora determinar la posicin de lapartcula en cualquier instante de tiempo t
t0
(t)dtvdxx
xo
t0
o t)dtvdx ax
xo
(
tvv o(t) a
2oo(t) t2
1tvxx a
xa
ov (t)vox
(t)xt=0
Hallaremos ahora una expresin paradeterminar la velocidad media en el intervalo detiempo [0, t]:
txVm t
x-xV o(t)m
xa
ov (t)vox
(t)xt=0
tx-x
V o(t)m
2oo(t) t2
1tvxx atv-v
a o(t)
Y usando las ecuacionesanteriormente deducidas
xa
ov (t)vox
(t)xt=0
2vv
tx-x
V o(t)o(t)m
Finalmente obtenemos
xa
ov (t)vox
(t)xt=0
xa2vv 202(t)
Tambin se puede demostrar:
Donde : 0(t) xxx Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo[0 , t]
x2vv 202(t)
a
Resumen
0(t) xxx [0 , t]
tvv o(t) a2
oo(t) t21tvxx a
2vv
tx-x
V o(t)o(t)m
2vv
ttx-x
V )(t)(t12
)(t)(tm
1212
[t1 , t2 ]
ctea MRUADespejando t en la1ra y sustituyendo
en la 2da, seobtiene la 3ra
tvv o(t) a
0 0
at
tt
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2oo(t) t2
1tvxx a
O t
a
aPendiente = 0
a
datoa :0
atVV 00
2
2
00at
tVxx
0
a
V
x
t
t
t
x0
V0
0xaxx
VV 0tVxx x00
MRUEje x
gay gtVV yy 0
2
2
00gt
tVyy y MRUVEje y