Cinemática 1-D

Cinemática 1-D

Universidad de CaraboboFacultad de Ciencias de la Educación

Mención BiologíaFísica General

Prof. Erith Muñoz Licenciado en Física [email protected]

27 de Noviembre del 2008

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Contenido

E. Muñoz

Magnitudes Físicas

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

Movimiento Horizontal

Movimiento Vertical

Algunas Aplicaciones

Ejercicios

E. Muñoz

IntroducciónMovimiento Horizontal

Movimiento VerticalAplicaciones

Cinemática 1-D

Introducción

Cinemática 1-D

La cinemática es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo generan o modifican.

Se define movimiento unidimensional (1-D) al caso que puede ser representado simplemente con un eje espacial (x, y o z), este tipo de movimiento frecuentemente recibe el nombre de rectilíneo, y pueden ser clasificados según sus características en Movimiento Horizontal y Movimiento Vertical


E. Muñoz



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Introducción

Desplazamiento:

Rapidez promedio:

Definición de Términos

2 1x x x

xxvt

(1)

(2)


E. Muñoz



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Introducción

Gráfica v Vs. t: Aceleración Promedio

xv L T

t T

( )f tm tag

Alfa es el Angulo que forma la función con la horizontal

Entonces se cumple que:

__

Cateto opuestomCateto Adyacente

En otras palabras : xx

va

t

(3)


E. Muñoz



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Introducción

Las ecuaciones planteadas anteriormente son útiles normalmente para resolver ejercicios que implican representación gráfica

Ejemplo # 1: Halle la rapidez promedio en los intervalos. a) de 0 a 2s y b) de 5 a 7s


E. Muñoz



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Introducción

Solución:

Rapidez de 0 a 2 s:

sm

sm

titfxixfv 5

)02()010(

Rapidez de 5 a 7 s:

sm

sm

titfxixfv 10

)57()55(


E. Muñoz



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En el movimiento horizontal el objeto se considera ligado al suelo, sin embargo despreciaremos intervenciones de fuerzas debido a roces con el suelo y con la atmosfera, esto es admisible debido a que todos los cuerpos bajo estudio serán representados como partículas

Una partícula que se desplaza horizontalmente en dirección x con aceleración constante, cumple con la expresión:

xx

va

t


E. Muñoz



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Que se puede escribir de la forma:

2 1

2 1xv vat t

Considerando que el tiempo inicial de observación se define t=0 y los subíndices 1 y 2 estados iníciales y finales respectivamente, la ecuación 4 toma la forma:

(4)

f ov va

t

(5)


E. Muñoz



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Despejando en la ecuación 5 a la rapidez final se obtiene una ecuación muy importante de la cinemática, conocida como la rapidez en función del tiempo ( ). ( )v t

Primera Ecuación de la cinemática: Rapidez en función del tiempo

f ov v at (6)

En aplicaciones la ecuación 6 permite conocer la rapidez del móvil para cualquier tiempo de observación del movimiento. Resulta claro que para el caso de que la partícula no experimente aceleración queda: , lo cual implica movimiento con rapidez constante. Por otro lado el signo mas se usa cuando la aceleración causa aumento en la rapidez, y menos cuando la disminuye (retardatriz)

f ov v


E. Muñoz



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La ecuación 2 puede expresarse de la siguiente forma:xvt

(7)

La expresión 7 no muestra de manera explicita una aceleración, por eso es aplicable a movimiento constante, sin embargo en una aproximación se puede definir una rapidez promedio que comprenda una variación de velocidad entre dos puntos de observación, de la forma:

2f ov v

v

(8)

Sustituyendo 8 en 7 se tiene:

2f ov v x

t


E. Muñoz



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Multiplicando ambos miembros de la ecuación por :

2

f of o f o

v v xv v v vt

f ov v

Usando el producto notable Diferencia de cuadrados: 2 2( )( )a b a b a b

Y recordando que: f ov v

at

Se tiene:2 2

2f ov v

xa


E. Muñoz



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Y acomodando se obtiene la segunda ecuación de la cinemática, conocida como Rapidez en función de la posición:

2 2 2f ov v ax (9)

Es de interés ahora conocer una expresión que permita determinar la posición de una partícula como función del tiempo, con esta finalidad se toma la ecuación 7 y se despeja la distancia:

.x v tLa ecuación anterior representa la distancia que recorre una partícula que se desplaza con rapidez constante v en un tiempo t. Ahora bien, si esa partícula experimenta una aceleración o desaceleración la ecuación 10 puede tomar la forma:

(10)

ox v t (11)


E. Muñoz



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Donde es una distancia que puede sumarse o restarse dependiendo de la naturaleza de la aceleración, es decir, si la aceleración es positiva entonces a el movimiento total de la partícula deberá sumársele una distancia adicional debido a la aceleración que experimentó, si por el contrario el cuerpo experimenta desaceleración entonces deberá restársele distancia.

Analíticamente puede demostrarse que tiene la forma:

212at

Y sustituyendo en la ecuación 11 se deduce la tercera ecuación de la cinemática conocida como posición en función del tiempo

212ox v t at (12)


E. Muñoz



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212f o ox x v t at (13)

Para el caso en el que la posición inicial de la partícula sea diferente de cero la ecuación 12 queda como:

Es fácil comprobar que la ecuación 9 y 12 derivan en la ecuación 7 para el caso de aceleración cero.

Las ecuaciones 6,9 y 12 son suficientes para estudiar el movimiento de una partícula que se mueve horizontalmente con aceleración constante, siendo necesario en la mayoría de los casos el ajuste de la formula y el despeje de la incógnita.


E. Muñoz



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Ecuaciones cinemáticas para el movimiento horizontal:

f ov v at

2 2 2f ov v ax

212ox v t at

v(t)

x(t)

v(x)


E. Muñoz



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Implicaciones físicas a considerar en la aplicación de las ecuaciones cinemáticas del movimiento horizontal:

Una partícula que parte del reposo implica rapidez inicial cero

Una partícula acelera cuando su rapidez aumenta, es decir, su variación de rapidez es positiva

Una partícula desacelera cuando su rapidez disminuye, es decir, su variación de rapidez es negativa

Para que una partícula se detenga es necesario que su rapidez final sea cero


E. Muñoz

Introducción Movimiento Horizontal


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Movimiento Vertical

El movimiento vertical es matemáticamente análogo al horizontal, a diferencia que, la aceleración a la que están sometidas las partículas es la de la gravedad. Entonces las ecuaciones del movimiento horizontal solo deben ser reescritas para su ajuste al movimiento vertical

f ov v at

Movimiento Horizontal Movimiento vertical

f ov v gt

2 2 2f ov v ax 2 2 2f ov v gy

212ox v t at 21

2oy v t gt

(14)

(15)

(16)


E. Muñoz



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Aplicaciones

Ejemplo # 2: Un conductor en estado de ebriedad viaja a una rapidez de 120Km/h, sin percatarse que a 60m hay un desvió. ¿Cuál debe ser la aceleración mínima que debe aplicarse mediante los frenos para que el conductor no se estrelle contra los muros de extensión?

Solución: En primer lugar debemos notar que para que el carro frene su rapidez final debe ser cero, y además nos dicen que determinemos la aceleración del carro dada una distancia entonces la ecuación que debemos usar es:

2 2 2f ov v ax

Dado que la rapidez final es cero, despejando aceleración de esa ecuación se tiene:

2

2ovax

Solo resta sustituir los valores en M.K.S y calcular


E. Muñoz



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Aplicaciones

Ejemplo # 3. Desde una altura de 120m se deja caer un cuerpo libremente. Calcular:

a- La rapidez al cabo de 2seg

Solución: Evidentemente este es un problema de movimiento vertical, dado que se requiere rapidez en función del tiempo se utiliza:

f ov v gt Dado que la rapidez inicial es cero, y que se conoce la gravedad, se sustituye el tiempo en la siguiente ecuación para obtener lo que se pedía:

ov gt Solo resta sustituir los valores en M.K.S y calcular


E. Muñoz



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Aplicaciones

Problemas propuestos1. Un móvil que inicialmente se encuentra en reposo se acelera a razón de 5m/s2 durante 4seg, cuando deja de acelerar y se desplaza con movimiento uniforme durante 3seg, cuando inicia una desaceleración de 2m/s2 hasta detenerse. Calcular la distancia total recorrida por el móvil.

2. Un móvil tiene una velocidad de 120km/h , cuando desacelera a razón de 18km/h2. Determinar en qué tiempo se detiene y distancia recorrida en dicho tiempo

25 mseg 25 mseg 25 mseg

3.Enrique montado en un edifico de 12m de altura, ve venir a Karen de altura 1,70m. Esta camina en línea recta a una velocidad constante de 2m/seg. Enrique deja caer la bomba llena de agua, cuando Karen esta a 1m alejado de la vertical que va de la acera hasta la parte superior del inmueble. ¿Le caerá la bomba de agua a Karen?


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