Cinemática Del Cuerpo Rígido PDF

8/21/2019 Cinemática Del Cuerpo Rígido PDF

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MARCAS CASTILLO, AMERICO * [email protected] * 942344607

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO-PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

INFORME:

CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

AUTORES:

MARCAS CASTILLO, AMERICO

SULCA SICHA, SALOME JULIA

COLMENARES HUAMANI, CHRIS

ASESOR:

WALTER PÉREZ TERREL

AULA:

112

TURÑO:

MAÑANA

LIMA-PERÚ

2015

mailto:[email protected]







Este trabajo está dedicado a nuestros

padres, por todos los esfuerzos hechos

para que nosotros seamos personas de

bien, y unos excelentes profesionales en

el fututo.








Agradecemos a nuestro profesor por la

orientación que nos brindó para poder

realizar este proyecto.








ÍNDICE

1. Introducción 1

1.1. Problema a Resolver……………………………………………………………......................2

1.2. Proyecto………………………………………………………………….………………………………….2

1.3. Justificación…………………………………………………………….…………………………….……2

1.4. Objetivo del Proyecto……………………………………………… ………………………………..2

1.4.1. Objetivo General…………………………………………….………………………………..2

1.4.2. Objetivos Específicos…………………………………….. ……………………….…......3

2. Marco Teórico 3

2.1. Definición de un Cuerpo Rígido………………………………… ……………………………….3

3. Movimiento del cuerpo rígido 4

Determinación de las velocidades de los puntos del cuerpo………………………………….4

centro instantáneo de rotación…………………………………………………………………………….5

teorema de las proyecciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo…………..6

problemas propuestos de movimiento del cuerpo rígido……………………………………..8

problemas propuestos nivel avanzado………………………………………………………………..11

Conclusiones 27

Bibliografía 28








INTRODUCCIÓN

Este proyecto tiene como propósito describir la trayectoria que sigue un conjunto de cuerpos

rígidos unidos entre sí y con algunos de sus extremos fijos, al trasladarse de un punto a otro en

una región del espacio. Se plantaran las ecuaciones del movimiento usando la cinemática del

cuerpo rígido y se usara el método de Newton-Rapshon para la solución numérica de las

ecuaciones cinemáticas no lineales. En mecánica el movimiento es un fenómeno físico que se

define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto,

en el ´ espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia.

Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la física que se encarga del

estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinemática. La parte de la física que se

encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinámica. Anaximandro pensaba que la

naturaleza procedía de la separación, por medio de un eterno movimiento, de los elementos

opuestos (por ejemplo, frıo-calor), que estaban encerrados en algo llamado materia primordial.

Demócrito decía que la naturaleza está formada por piezas indivisibles de materia llamadas

átomos, y ´ que el movimiento era la principal característica de estos, siendo el movimiento un

cambio de lugar en el espacio. A partir de Galileo Galilei los hombres de ciencia comenzaron a

encontrar técnicas de análisis que permiten una descripción´ acertada del problema.Históricamente el primer ejemplo de ecuación del movimiento que se introdujo en física fue la

segunda ley de Newton para sistemas físicos compuestos de agregados partículas materiales

puntuales. En estos sistemas el estado físico de un sistema quedaba fijado por la posición y

velocidades de todas las partículas en un instante dado. Hacia finales del siglo XVIII se introdujo

la mecánica analítica o racional, que era una generalización de las leyes de Newton aplicables

en pie de igualdad inercial y no inercial. En concreto se crearon dos enfoques básicamente

equivalentes conocidos como mecánica La granjean y mecánica Ha miltoniana, que pueden

llegar a un elevado grado de abstracción y formalización.








1.1. Problema a Resolver

Dada la posición inicial de un cuerpo rígido se evaluaran sus parámetros: las Uniones

ángulos, longitudes, tipo de enlace. Para poder colocar el objeto rígido En un punto

predeterminado.

1.2. Proyecto

El problema que se va a resolver es localizar con exactitud el punto final de un Objeto que

se va a rotar o trasladar. Este es uno de los problemas fundamentales En animación

computacional, en robótica y el diseño de máquinas mecánicas. Reusara la teoría del cuerpo

sólido, ángulos de Euler, matrices de transformación, Matrices de rotación, el Software

Matemática, el Software Matlab y el Software Macromedia Flash.

1.3. Justificación

La descripción de trayectorias es muy importante en el diseño de máquinas Mecánicas: si

se conocieran las posiciones que puede desempeñar la maquina Antes de ser construida usando

simulaciones, se podría mejorar la realización de su trabajo y corregir errores ergonómicos.

Antes de la llegada de las computadoras realizar los cálculos era una tarea casi imposible, la

computadora redujo el tiempo para realizar los calculas, introdujo la visualización y animación

de los resultados. La cinemática juega un rol muy importante en la creación de estas

animaciones. En este trabajo se pretende resaltar su importancia describiendo Ejemplos reales

aplicados a robots manipuladores y cadenas de enlaces. Este trabajo no pretende crear

animaciones complejas, ya existe un gran número de software que permite tal labor, uno de los

tantos que merece mención es el Blender (www.blender.org), el cual que es gratuito. Con

animaciones simples es más que suficiente para comprobar el uso de las transformaciones

homogéneas pero no por ser simple pierde su mérito, mucha de la teoría aplicada en los

ejemplos y algoritmos, se encuentra adjunto en software comercial. Este trabajo ensena como

generar movimiento y sus fundamentos matemáticos.








1.4. Objetivo del Proyecto

1.4.1. Objetivo General

Escribir un código en el Software Matemática y el Software MATLAB para Evaluar los

siguientes parámetros: el tipo de unión, los ángulos de unión, la longitud de los enlaces y

posición del efector final. Los resultados obtenidos de evaluar estos parámetros se introducirán

en el Software Macromedia Flash y el Software MATLAB para observar el movimiento

previamente determinado y comprobar la efectividad del algoritmo.

1.4.2. Objetivos Específicos

Escribir un código en Matemática para evaluar los parámetros.

Estos parámetros se introducen en el Software Macromedia para comprobar que

si satisfacen las condiciones dadas: que al partir de una posición inicial se llega a la

posición previamente fijada.

Señalar la importancia de la Cinemática en el área de la robótica y de la animación

computarizada.

Conocer la teoría matemática para la animación y descripción del movimiento de

los cuerpos rígidos.

2. Marco Teórico

Este trabajo se basa fundamentalmente en el movimiento de cuerpos solidos rígidos, el cual

se estudia en los cursos introductorios de Física y Mecánica Clásica. En estos cursos se obtienen

las matrices de rotación mediante los ángulos de Euler, matrices de translación, la ecuación de

movimiento de Newton, se introduce al concepto de grados de libertad y de ligaduras. Una

descripción más detallada se encuentra en los apéndices.

2.1. Definición de un Cuerpo Rígido

Un cuerpo rígido, es un concepto, que representa cualquier cuerpo que no se Deforma y es

representado por un conjunto de puntos en el espacio que se mueven de tal manera que no se

alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante.








MOVIMIENTO del CUERPO RÍGIDO

1. CUERPO RÍGIDO. Es aquel cuerpo cuyas dimensiones externas no cambian en eltiempo, tienen forma y volumen constante, tal que la distancia entre dos puntos delcuerpo no cambia. Ejemplo de cuerpo rígido: Viga, columna, tabla, rueda de acero,

biela, cilindro metálico, manivela, etc.

2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PLANO PARALELO. Por movimiento plano paralelo se entiende el movimiento de un cuerpo sólido durante el cual todos sus

puntos se desplazan paralelamente a un plano fijo dereferencia. Analicemos la traslación pura sinrotación de una rueda, en este caso todos los puntosdel cuerpo rígido tienen la misma velocidad respectode la tierra. Ahora analicemos la rotación pura deuna rueda, el centro de rotación “C” no tiene

velocidad de traslación, pero todos los puntos delcuerpo rígido tiene igual velocidad angular y los

puntos periféricos tienen movimientocircunferencial uniforme.

B

V

TRASLACIÓN PURA

V

VV

VA

C

BVV

VV

D

A

E C

ROTACIÓN PURA

C V

ROTACIÓN Y TRASLACIÓN

A








DETERMINACIÓN DE LAS VELOCIDADES DE LOS PUNTOS DEL CUERPO

Si la rueda tiene movimiento de traslación y rotación tal que el punto de contacto con lasuperficie no resbala, entonces el punto B tiene velocidad de traslación nula:

3. La velocidad del punto B se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C

más la velocidad de B respecto de C :/

0 B C B C V V V

La velocidad del punto A se consigue de la suma de lavelocidad de traslación de C más la velocidad de A

respecto de C:/ A C A C V V V

La rapidez del punto A es el doble de la rapidez del centro

C de la rueda: 2 AV V

La velocidad del punto D se consigue de la suma de lavelocidad de traslación de C más la velocidad de Drespecto de C:

/ D C D C V V V

aplicado el Teorema de Pitágoras se obtiene que

2 DV V La velocidad del punto E se consigue de la

suma de la velocidad de traslación de C más lavelocidad de E respecto de C:

/ E C E C V V V aplicado el Teorema de Pitágoras se

obtiene que: 2 E V V

B

SUMA DE VELOCIDADES

(VB = 0)

V

VA

C

V

B

PROPORCIÓN DE VELOCIDADES

2 V

V

A

C

B

VE

V

VELOCIDAD EN “E”

VE

B

VD

V

VELOCIDAD EN “D”

VD

A

EC








CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN. Si en un instante un punto del cuerporígido tiene velocidad nula, entonces este punto se

constituye como el centro de rotación en eseinstante, entonces el cuerpo rígido experimentauna Rotación Pura , la velocidad de cualquier

punto es perpendicular a la posición respecto delcentro instantáneo de rotación. Este es un método,

práctico muy útil en la resolución de problemas.Cuando analizamos el movimiento de la rueda quese traslada y rota sin resbalar, el punto B decontacto con la tierra se comporta como el centro

instantáneo de rotación. Analicemos elmovimiento de una barra de longitud L que apoyaen un pared vertical y en una superficie horizontal.Sean los A y B los

4. extremos de la barra, entonces determinamos el Centro Instantáneo de Rotación,trazando perpendiculares a las velocidades de A y de B. Si observamos desde el centroinstantáneo de rotación todos los puntos del cuerpo rígido experimentan un movimientode Rotación Pura.

5. Aplicamos las leyes del Movimiento Circunferencial Uniforme: V

R

A BV V

x y entonces se cumple que: . AV x y . BV y

y

VA B

CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN

C.I.

VB x








TEOREMA DE LAS PROYECCIONES DE LAS VELOCIDADES DE DOSPUNTOS DEL CUERPO.

La determinación de las velocidades de los puntos del cuerpo rígido con ayuda de lacomposición de velocidades (movimiento compuesto) es habitualmente muycomplicado de resolver. Sin embargo se puede determinar mediante métodos prácticos ysimples, uno de ellos es el teorema siguiente, quedice: “las proyecciones de las velocidades de dos

puntos del cuerpo sólido sobre la recta que uneestos puntos, son iguales”.

. . A BV Cos V Cos

PROBLEMA 01. Un sistema mecánico estácompuesto de una pieza que efectúa un movimientode translación con una velocidad “u” y una barra AB

de largo L y masa M, unida con esta pieza por mediode un eje que pasa por A. La barra gira alrededor deleje A en el sentido indicado con una velocidad

angular Determinar

6. la velocidad del centro geométrico C de la barra para una posición definida por elángulo .

VA B

VB

MÉTODO DE LAS PROYECCIONES

VB.Cos

VA.Cos

B

C

Para el problema 01

A

u








RESOLUCIÓN

La barra efectúa unmovimiento compuesto(planoparalelo). La velocidaddel punto C se compone de lavelocidad “u” y la velocidad

relativarel v cuyo módulo es

. .

2rel

Lv R

La velocidad relativa del punto C respecto del punto Aes perpendicular a la barra AB.

Los vectores rel v y u forman entre si un ángulo .

Aplicando el método del paralelogramo para adicionar dos vectores que forma entre suun ángulo

2 22. . .c rel rel v u v u v Cos

2 2

2 . .2. . .

4 2c

L Lv u u Cos

2 2

2 .. . .

4c

Lv u u L Cos

Observación: La velocidad del punto C depende de la medida del ángulo que

forma la barra AB con la línea vertical, en cada instante de tiempo.

PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO del CUERPO RÍGIDO

B

C

Resolución 01

vrel

A

u

vC








1. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Determineel módulo de la velocidad del punto “A”.

2. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Determineel módulo de la velocidad del punto “A”.

3. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Si = 45°,determine el módulo de la velocidad del punto “A”.

4. Una cilindro rueda sin resbalar sobre un plano inclinado tal que su centro de masa se

traslada con una rapidez de V = 10 m/s. Si = 60°, determine el módulo de la velocidadresultante en el punto A.

5. Luego de abandonar a la barra sobre las superficies lisas; el punto medio “C” describirá

como trayectoria:A) una recta B) una circunferencia C) una elipse D) una parábola E) una hipérbola

6. Respecto del problema anterior; si el extremo A tiene una velocidad de módulo 20 cm/s,

cuando = 37, determine el módulo de la velocidad (en m/s) del extremo B en eseinstante.

7. Si el extremo A de la barra AB se desliza horizontalmente con rapidez V. Determinar larapidez con que se mueve el punto medio C de la barra.

A

V

g

Para el problema 04

A

V

Para el problema 01

AV

Para el problema 02

V

A

Para el problema 03








8. Las ruedas de un ferrocarril, que se mueven horizontalmente hacia la derecha con rapidezV = 50 km/h, ruedan sin resbalar sobre la línea férrea en la forma que se muestra.

Determinar la rapidez (en km/h) con que se mueve el punto más bajo (punto P) de lasruedas en cada instante, sabiendo que R = 22 cm y r = 20 cmUn helicóptero se desplaza horizontalmente con rapidez de 75 m/s. Si la frecuencia derotación es 40 R.P.S., determinar el radio máximo de la hélice, tal que, la máxima rapidez deun punto periférico de la hélice sea de 350 m/s.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. la figura muestra la trayectoria de un punto A periférico a una rueda que baja rodando

por un plano inclinado con una velocidad constante V. hallar la velocidad del punto periférico

A en el instante que su dirección es horizontal.

U A

A

C

B

Para el problema 05, 06 y 07

rR

V

P

Para el problema 08

V








SOLUCIÓN U

U

=

=

2. las ruedas de un ferrocarril que se mueven horizontalmente hacia la derecha con una

velocidad de 50 k/h, ruedan sin resabalar sobre la línea ferrera en la forma que se muestra

en la figura hallar la velocidad con que se mueve el punto más bajo de las ruedas en cada

instante ( punto P), sabiendo que: R/r=1.1

P

= [..] = −

= =

= = /←








=

=

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL AVANZADO

1. en la figura el automóvil está jalando a los vagones con aceleración de módulo 5 m/s2.

Determine el módulo de la tensión en las cuerdas A y B. desprecien la fuerza de rozamiento

sobre las llantas de los vagones.

2da ley de newton

el cuerpo mostrado en figura aceleración en la dirección mostrada con modulo

a=10m/s2.luego el módulo de la fuerza F. adicional a la fuerza de gravedad que actúa sobre el

cuerpo hace un Angulo θ con la horizontal es igual a g=10m/s2.

100Kg 150K

AUTOT A T B








53

un resorte cuya longitud natural es de 10cm se cuelga del techo de un ascensor y en su

extremo libre coloca un bloque de 1Kg cuando el ascensor sube con aceleración de módulo

2m/s2. La longitud total del resorte es de 15cm ¿cuál será en cm la longitud total del resorte

cuando el ascensor baja con una aceleración de modulo. 4m/s2? g=10/m2

= = . =?

= =

↓

1Kg








=

= ↑

↑ = ↓ =

. = . =

= = = .

= .

:

= .

. = .

= . .

=

.= =

= .

. = .








= = .

= =

=

= . = .

= .

4. dos bloques A y B de masa 15kg y 10k respectivamente. Se desplazan a lo largo del plano

inclinado como se 20N g=m/s2

75N =

=

= = .

= . … .

30º 50N = = . … … … .

= .

= .

5. los bloques A, B y C de masa 3kg, 1.0kg y 1.5kg respectivamente se mueven como se

muestra en la figura determina el valor de la aceleración de cada bloque desprecie las masas

de las poleas y toda forma de rozamiento.

= .

. = . … . .

. . … … … … .

. . … . .








= = +

… … …

.

. .

=

… … … … . . ∝ = … … … ∩

=

… … … … . .

=

… … … … . .

= .

=

=.

= .

=.

. = .

=

=

= =

= [. . .

. . ]

= ...

.+ .+.

A

B C








=....

. . . . .

= .

6. una pelta es lanzada desde una altura H con velocidad de 50m/s formando un ángulo de

30º si llega al piso después de 4segundos determinar

a) la hartura inicial H.

b) la velocidad de impacto contra el suelo.

c) la distancia horizontal que avanza hasta llegar al piso.

Concidere g=10m/s

= 50/ = 4 = 10/

30º

= 43.30/

= 43.30/

X

= 25/

= 15








Ecuación cinemática

1) eje x = = . = .

2) eje y = .

=() = ↓

=

= . = . /

3) =

.

=

= = =

7. los bloques A, B y C de masa 5kg, 2kg y3kgrespectivamente se mueven como se muestra en

la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las

poleas y toda forma de rozamiento.

→

= =

=

=

A








. .

Segunda ley de newton

= . = +

= … … … …

= . → =

… … …

= . → = .

… … …

. = . → =

.−

… … …

Remplazando , … … .

= .

= . . .

[

. . . ]

B C








= .

= . /

= . /

= . /

8. los bloques Ay B de masa 2kg, 3kg respectivamente se mueven como se muestra en la

figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las poleas

y toda forma de rozamiento.

→

= .

= . =

. = .

= = .

A

B








.

=

→

[ . . = ] = .

. . = =

= .

. = = . /

=

=

= .

= . = . /

9. los bloques A, B y C de masas 5kg y 3kg respectivamente se mueven como se muestra la

figura. Determinar el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de los

bloques, la masa de la barra y toda forma de rozamiento.

=

.

=

=

=? =

= = /

A








.

∑ = → = .

=

=

= .

= . = .

= . … … … . .

= .

= . … … … . . : = = =

: = . → = /

10. un cañón de masa 360kg inicialmente en reposo dispara una bala de masa 1.2kg con una

velocidad 240m/s ¿con que velocidad retrocede el cañón?.

=

= /

=

= . .

. = .

B C








= .

= .

11. una granada se desplaza horizontalmente a razón de 10m/s y explota en tres partes

iguales como muestra si el fragmento central se mueve a razón de 18m/s ¿Qué rapidez tiene

el fragmento inferior?

√

= / = /

√

=

= = .

.

.

. =

=

=

= /

3M








12. un hombre de masa 50kg camina sobre una tabla de 200kg y 5m de largo. Sabiendo que

la tabla puede moverse libremente sin rozamiento sobre un plano horizontal, determinar el

desplazamiento del hombre respecto de la superficie de la tierra, cuando se mueve sobre latabla de extremo a extremo en la dirección de eje (+x).

=

.

= −

= = .+

= . . =

= =

. = . =

CONCLUSIONES

Las conclusiones principales de este proyecto en orden de importancia son: ´

1. Se modelo Matemáticamente la configuración en que deben adoptar las varias Uniones y

enlaces de un manipulador en serie para posicionarlo en una Región del espacio. Después es se

planearon trayectorias que exitosamente Fueron recorridas.

2. Se observó que el en todo de Newton-Rhapson y los algoritmos presenta- dos en el trabajo

resuelven el problema de la cinemática inversa con una gran precisión Una desventaja que se

encontró o en usar este en todo es que se requiere unas estimaciones iniciales cercanas a la raíz

X








y esto no garantiza que se encuentra la solución optima en otras palabra el algoritmo elige la

primera solución que encuentra no necesariamente la mejor.

3. El diseño y la calidad de las animaciones, puede mejorarse utilizando una API multilenguaje y

multiplataforma para escribir aplicaciones que produzcan gráficos en 2D y 3D.

BIBLIOGRAFÍA

[1] Jorge Angeles, Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Springer Verlag, 2002, ISBN:

038795368X

[2] Jon M. Selig, Introductory Robotics, Prentice Hall, 1992, ISBN: 0134888758

[3] John J. Craig, Introduction to Robotics Mechanics and Control, Addison Wesley, 1989, ISBN:

0201095289







[4] Vladimir Lumel sky, Sensing Intelligence Motion How Robots And Humans Move In An

Unstructured World, John Wiley & Sons Inc., 2005, ISBN: 0471707406

[5] Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, 3rd edition, 2001, ISBN:

0201657023

[6] K. F. Riley ; M. P. Hobson ; S. J. Bunce, Mathematical Methods for Physics And Engineering,

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[7] Peter Seekers, A Course in Modern Mathematical Physics, Cambridge Univ Pr, 2005, ISBN:

0521829607

[8] John H. Mathews, Numerical Methods Using Matlab, Pearson Prentice Hall, 4th Edition, 2003,

ISBN-13: 9780130652485

[9] Keith Peters, Foundation ActionScript Animation: Making Things Move! Friends of Ed c 2006,

ISBN: 1590595181

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