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Benemerita Universidad
Autonoma de Puebla
Facultad de Ciencias Fısico Matematicas
Campos magneticos de las galaxias y materiaoscura
Tesis presentada al
Posgrado en Fısica Aplicada
como requisito parcial para la obtencion del grado de
Maestra en Ciencias
por
Maribel Hernandez Marquez
asesorada por
Dr. Tonatiuh Matos Chassin
Dr. Gerardo F. Torres del Castillo
Puebla, Pue.Enero de 2016.
Benemerita Universidad
Autonoma de Puebla
Facultad de Ciencias Fısico Matematicas
Campos magneticos de las galaxias y materiaoscura
Tesis presentada al
Posgrado en Fısica Aplicada
como requisito parcial para la obtencion del grado de
Maestra en Ciencias
por
Maribel Hernandez Marquez
asesorada por
Dr. Tonatiuh Matos Chassin
Dr. Gerardo F. Torres del Castillo
Puebla, Pue.Enero de 2016.
I
Tıtulo: Campos magneticos de las galaxias y materia oscuraEstudiante: MARIBEL HERNANDEZ MARQUEZ
COMITE
Dra. Mercedes Paulina Velazquez QuesadaPresidenta
Dr. Roberto Cartas FuentevillaSecretario
Dr. Alberto Escalante HernandezVocal
Dr. Gilberto Silva OrtigozaSuplente
Gerardo F. Torres del CastilloAsesor
Tonatiuh Matos Chassin
Asesor
A mis padres.
II
Indice
Lista de figuras V
Agradecimientos VI
Resumen VII
Introduccion 1
1 Campos magneticos galacticos 3
1.1 Deteccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Campos magneticos en nuestra Galaxia . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Campos magneticos en las galaxias espirales y barradas . . . . 7
1.4 Estructura de los campos magneticos en los halos . . . . . . . 7
2 El problema de la materia oscura 9
2.1 Curvas de rotacion de las galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Condensados de Bose-Einstein 13
3.1 Ecuacion de Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Representacion hidrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Materia oscura como campo escalar complejo 17
4.1 BECs y la ecuacion de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Hidrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Campos magneticos y materia oscura 23
5.1 Solucion a la ecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Perfiles de densidad y velocidad de la materia oscura . . . . . 26
5.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Campos generados por la materia oscura 36
III
IV INDICE
7 Conclusiones 46
Lista de Figuras
1.1 Campos magneticos de las galaxias utilizando distintas tecnicas. 8
2.1 Curvas de rotacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1 Curva de rotacion y perfil de densidad para la galaxia NGC1003. 315.2 Curvas de rotacion p 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Variacion de la intensidad del campo magnetico a lo largo del
disco galactico para un dipolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Intensidad del campo magnetico y curva de rotacion de la
galaxia NGC 1003 para e = 10−71, Ia = 1059Am2. . . . . . . . 335.5 Caso 4: curva de rotacion y densidad . . . . . . . . . . . . . . 345.6 Curva de rotacion, densidad e intensidad del campo magnetico
con φ(r0) = 1.8937× 10−84V, Ia = 1057Am2. . . . . . . . . . . 35
6.1 Intensidad del campo magnetico, para n = 1 . . . . . . . . . . 416.2 Intensidades del campo magnetico que se obtienen si e = 10−67
y n = 0, para diferentes condiciones iniciales. . . . . . . . . . . 426.3 Caso 2: Intensidad del campo magnetico. . . . . . . . . . . . . 436.4 (a),(b),(c),(d) Intensidad del campo magnetico sobre el disco
galactico para e = 10−68 y (e), (f) para e = 10−69. . . . . . . . 446.5 Potencial electrico que genera Φ, para e = 10−67. . . . . . . . . 45
V
Agradecimientos
Le doy las gracias a mi familia, en especial a mis padres, por todo el carino yapoyo incondicional que siempre me han brindado. Sin su apoyo no hubierapodido lograr todo lo que he hecho hasta ahora.
Tambien agradezco a mis asesores de tesis, por un lado al Dr. TonatiuhMatos Chassin por haberme permitido trabajar con el en esta area de la fısicaque para mı es muy interesante, gracias por responder siempre a todas mispreguntas y por su paciencia y dedicacion. Y por otro lado al Dr. GerardoF. Torres del Castillo, por haberme permitido trabajar bajo su supervision ypor su paciencia y dedicacion al responder mis preguntas que surgieron a lolargo de esta tesis, y tambien por ser un profesor dedicado, que se preocupaporque sus alumnos realmente comprendan las asignaturas que el imparte;gracias por sus clases en las que aprendı mucho de lo que actualmente se.
Gracias al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa por el apoyo brindadodurante estos dos anos de estudios de maestrıa, ya que sin su apoyo no hu-biera podido continuar con mis estudios.
VI
Resumen
Existen campos magneticos de gran escala en las galaxias del orden de µG,cuyo origen es un misterio. En esta tesis se propone a la materia oscurapresente en las galaxias, como la responsable de estos campos. Para esto seconsidera a la materia oscura como un campo escalar complejo de espın 0,autointeractuante, que se encuentra inmerso en un bano termico de tempe-ratura T . Este campo se condensa a altas temperaturas, dando origen a loshalos galacticos.
Se encuentra que este campo genera campos magneticos del orden de µG,si e es del orden de 10−67, siendo estos mas intensos cerca del centro de lasgalaxias.
VII
Introduccion
Los campos magneticos son una de las componentes fundamentales y ubicuasde nuestro Universo y una caracterıstica comun de muchos objetos astrofısicosa distintas escalas. En particular las observaciones de los ultimos anos hanencontrado campos magneticos de gran escala en los discos, en los halos yen los cumulos de las galaxias, incluso resultados recientes muestran quetambien estan presentes en la estructura de filamentos cosmicos [10].
En las galaxias, se ha encontrado que estos campos tienen intensidades delorden de µG, longitudes de coherencia del orden de una galaxia (Kpc) y for-man patrones de brazos espirales aunque la galaxia no tenga esta estructuraen el optico [7],[9],[8].
El origen de estos campos magneticos es aun un misterio y un tema de de-bate. Actualmente una de las hipotesis mas aceptadas sobre su origen, es queson remanentes de campos, de intensidades muy debiles, que existieron enepocas tempranas del Universo conocidos como campos magneticos primor-diales (PMFs). Los cuales fueron amplificados por medio de algun mecanismocomo el dınamo galactico hasta los campos magneticos de gran escala y delorden de µG que se observan actualmente.
Sin embargo, aun existen preguntas alrededor de la generacion y amplifi-cacion de los PMFs.
Como aun no se encuentra una respuesta satisfactoria al origen de loscampos magneticos galacticos, en esta tesis se propone que la materia oscuragenera estos campos.
Para esto se considera a la materia oscura como un campo escalar com-plejo y con masa mΦ ≈ 10−23eV , el cual se encuentra inmerso en un banotermico de temperatura T , con simetrıa U(1). A temperaturas suficiente-mente altas el campo interactua con el resto de la materia pero al descenderla temperatura debido a la expansion del Universo (a una temperatura muypequena) el campo se desacopla del resto de la materia y continua con supropia historia termodinamica. Ademas, como la temperatura continua dis-minuyendo, el campo alcanza el mınimo del potencial Φ ≈ 0 y a una tempe-ratura crıtica Tcrit la simetrıa del potencial se rompe. Cuando esto ocurre,
1
2 INTRODUCCION
este mınimo se convierte en un maximo local, por lo que el campo se vuelveinestable en este punto y pasa a uno de sus mınimos, donde se mantieneoscilando.
Alrededor de uno de sus mınimos y para T � Tcrit y T ≈ 0 el campopuede ser descrito como un condensado de Bose-Einstein. Este condensadoforma los halos de las galaxias.
El condensado de Bose-Einstein esta descrito completamente por mediode la funcion de onda del condensado Ψ, la cual satisface la ecuacion deGross-Pitaevskii. A partir de Ψ se puede obtener la densidad de masa delcondensado dada por ρ = κΨΨ∗.
Por otro lado, la funcion de onda Ψ esta relacionada al campo Φ pormedio de Φ = Ψe−iMct, por lo que si uno resuelve la ecuacion de movimientodel campo Φ, para T � Tcrit y T ≈ 0, se puede obtener la densidad demateria oscura y a partir de esta la curva de rotacion.
Para ver si es posible que la materia oscura sea la responsable de loscampos magneticos que se observan en las galaxias, primero se analizan lascurvas de rotacion de la galaxia NGC 1003 que se obtienen a partir de lasolucion a la ecuacion de movimiento del campo Φ (4.7). Esta describe a Φen presencia de un campo electromagnetico.
Para esto, como un ansatz, se supone que en la galaxia existe un campomagnetico debido a la presencia de un dipolo centrado en el origen y unpotencial electrico que puede ser aproximado a primer orden por φ(r) = A
r.
Se encuentra que existen casos en donde aun en la presencia de estoscampos, la densidad de materia oscura no cambia y por lo tanto tampocolas curvas de rotacion. Entonces, pueden existir campos magneticos en lasgalaxias del orden de µG que no cambian las curvas de rotacion, pero paraesto la constante de acoplamiento debe ser del orden de 10−70.
Al saber que existen estos casos, en el capıtulo 6, se busco la forma delcampo magnetico y del potencial electrico que puede generar Φ, a partir de laecuacion (6.3). El campo electromagnetico que produce Φ no debe cambiarlas curvas de rotacion de la galaxia, a partir de esta suposicion se encuentraque este campo puede generar campos magneticos del orden de µG si e es delorden de 10−67 y ademas se obtiene la variacion de la intensidad del campoa lo largo del disco galactico (θ = π
2).
Capıtulo 1
Campos magneticos galacticos
Los campos magneticos son una de las componentes fundamentales y ubicuasde nuestro Universo y una caracterıstica comun de muchos objetos astrofısicosa distintas escalas. En particular las observaciones de los ultimos anos hanencontrado campos magneticos de gran escala en los discos, en los halos y enlos cumulos de las galaxias, incluso resultados recientes muestran que tambienestan presentes en la estructura de filamentos cosmicos [10]. Generalmente,entre mas se busca la presencia de estos campos mas ubicuos se encuentraque son.
Se cree que estos campos magneticos tienen un papel muy importanteen la evolucion de las galaxias y de los cumulos galacticos, tambien quecontribuyen significativamente a la presion total del gas interestelar, sonnecesarios para el inicio de la formacion estelar y controlan la densidad yla distribucion de los rayos cosmicos en el medio interestelar [13]. Ademasde que tienen una gran importancia en otras ramas de la astronomıa y laastrofısica, por ejemplo, los fısicos de astropartıculas estudian las fuentes yla propagacion de los rayos cosmicos extragalacticos y se benefician de losmodelos de campos magneticos detallados que predicen las distribuciones delas direcciones de llegada de los rayos cosmicos.
Sin embargo, a pesar de su importancia el origen, la estructura y laevolucion de estos campos magneticos son aun problemas abiertos y temasde debate en la Fısica.
Para poder explicar el origen de estos se han propuesto muchos meca-nismos, de los cuales la hipotesis mas aceptada es la que dice que los cam-pos magneticos de gran escala que se observan actualmente en las galaxiasson remanentes de campos, de intensidades muy debiles, que existieron enepocas tempranas del Universo conocidos como campos magneticos primor-diales (PMFs). Los cuales fueron amplificados por medio de algun mecanismocomo el dınamo galactico hasta los campos magneticos de gran escala y del
3
4 CAPITULO 1. CAMPOS MAGNETICOS GALACTICOS
orden de µG que se observan actualmente en las galaxias.Sin embargo los mecanismos de amplificacion como el dınamo galactico
presentan problemas, ya que de acuerdo a [11], el dınamo galactico estandarα−ω a primer orden concuerda con las observaciones, pero parece improbableque un campo galactico construido durante miles de millones de anos a partirde un campo magnetico debil en el Universo temprano sea la principal causade los campos presentes en las galaxias.
La mayor parte de la evidencia observacional y la teorıa sugieren que: (i)los campos magneticos fueron construidos durante tiempos mas cortos que eltiempo de vida de una galaxia y que (ii) las galaxias espirales son capaces deregenerar, y tal vez incluso crear campos cercanos a los niveles de microgaussen tiempos � 108 anos.
Por otro lado, recientemente en [12] se encontro evidencia de camposmagneticos de intensidades de 1.8 ± .4µG en galaxias que tienen un corri-miento al rojo de z = .87 ± .06, lo que indica que en esta epoca ya existıangalaxias con intensidades del orden de µG contrario a lo que la teorıa de losPMFs dice.
Por estas y otras razones el origen de los campos magneticos es aun unmisterio.
Sin embargo las observaciones actuales nos permiten conocer la estructurae intensidades de los campos magneticos en la Vıa Lactea y en algunas otrasgalaxias. Lo que se ha encontrado a partir de estas es sorprendente y no sepuede explicar con las propuestas teoricas que existen actualmente.
En lo que sigue se da una breve descripcion acerca de los metodos ob-servacionales que se utilizan para detectar estos campos en las galaxias ytambien se presentan los resultados de estas observaciones.
1.1 Deteccion
La Vıa Lactea y otras galaxias de tipo tardıo son permeados con i) rayoscosmicos, ii) campos magneticos, que generan radiacion de sincrotron pola-rizada, iii) gas interestelar ionizado que origina la rotacion de Faraday enel radio, y iv) granos interestelares que se alinean con el campo interestelare inducen polarizacion lineal de la luz de las estrellas en el optico. Estos 4ingredientes hacen que sea posible rastrear observacionalmente la estructuramagnetica a gran escala en las galaxias. Sin embargo, caracterizar comple-tamente la intensidad, la direccion y la estructura de los campos magneticosgalacticos es una tarea complicada.
Los campos presentes en las galaxias pueden verse como la combinacionde un campo magnetico de gran escala y uno de pequena escala. El termino
1.1. DETECCION 5
“campos de gran escala” (tambien llamados regulares, uniformes o coheren-tes) indica la componente del campo magnetico que es coherente en escalasde longitud del orden de una galaxia (Kpc) y usualmente se encuentra quesiguen la forma de los brazos espirales de las galaxias. Por el contrario loscampos magneticos de pequena escala (tambien llamados aleatorios o turbu-lentos) describen la componente del campo magnetico relacionado al mediointerestelar turbulento [9].
La mayorıa de lo que se sabe acerca de los campos magneticos viene dela deteccion de las ondas de radio. La medicion de la emision de sincrotronmide la intensidad total del campo, mientras que su polarizacion permiteobtener la orientacion del campo regular y el grado de ordenamiento de este.
Por otro lado, un modo directo de medir la intensidad de un campomagnetico uniforme en las nubes de gas frıo, es medir el desdoblamiento deZeeman de una transicion de radio en el gas interestelar,
ν = νmn ± eB(4πmc)−1Hz, (1.1)
donde νmn es una sola transicion, y B esta es Gauss.Otra manera de detectar a los campos magneticos es por medio de la
rotacion de Faraday, la cual es una herramienta poderosa para medir la in-tensidad de los campos magneticos a lo largo de la lınea de vision hacia losobjetos astrofısicos. Si la radiacion polarizada de un objeto distante pasa atraves del campo magnetico de un objeto intermedio su plano de polarizaciones rotado por un angulo igual a :
Φ = Φ0 +RMλ2 (1.2)
donde λ es la longitud de onda de observacion, Φ y Φ0 son los angulos depolarizacion medido e intrınseco respectivamente y RM es la constante depropocionalidad, conocida como “la medida de la rotacion”. La cual estarelacionada a la intensidad de la componente del campo magnetico paralelaa la lınea de vision B‖ por medio de:
RM∆Φ/(∆λ2) = 8.1× 105
∫neB‖dl rad m−2, (1.3)
donde Φ es la rotacion del plano de polarizacion (en grados) medido en la lon-gitud de onda λ, ne(cm−3) es la densidad local de electrones no relativistas,B‖ es la componente del campo magnetico paralelo a la lınea de vision (G) yl es la longitud de camino (pc). Las intensidades de los campos magneticosy las densidades de la materia barionica en el espacio intergalactico e inte-restelar son tales que la rotacion de Faraday es detectable en las longitudesde onda de radio.
6 CAPITULO 1. CAMPOS MAGNETICOS GALACTICOS
Como se puede ver en la ecuacion anterior, se requiere una medicionindependiente de la densidad de electrones libres. Para los pulsares que seencuentran en nuestra galaxia, esto se puede obtener a partir de la medicionde dispersion (DM ∝
∫nedl) de estos. Desafortunadamente, los pulsares
son muy debiles para observarse en otras galaxias, ası que este metodo nopuede ser aplicado a la medicion de campos magneticos externos.
Pero una combinacion de RM y ne es la mejor forma de medir, o estimar,las intensidades de los campos magneticos en los sistemas extragalacticos.Sin embargo, incluso en la ausencia de datos acerca de ne, una imagen de-tallada de la emision de sincrotron de radio polarizada y de los RM en lasgalaxias externas, cumulos de galaxias, permite tener informacion acerca dela morfologıa y el grado de ordenamiento de los campos magneticos extra-galacticos.
1.2 Campos magneticos en nuestra Galaxia
La intensidad del campo magnetico local a gran escala de la Vıa Lactea, quese obtiene a partir de la rotacion de Faraday de pulsares y fuentes extra-galacticas, es aproximadamente de 1.5− 2µG .
La intensidad del campo total en la vecindad solar se estima es de 6µG.La intensidad del campo magnetico estimado en las regiones galacticas deHI a partir del efecto Zeeman es de alrededor de 2− 10µG. Estimaciones dela emision de sincrotron dan una intensidad del campo total de alrededor de10µG a un radio galocentrico de 3Kpc. En el brazo de Norma se estima unaintensidad del campo de 4.4± .9µG.
Los campos magneticos de la Vıa Lactea parece que siguen aproximada-mente los brazos espirales. Esta conclusion se extrae no solo de la radiacionde sincrotron polarizada y de las mediciones de la rotacion de Faraday, sinoque tambien esta apoyada en las mediciones de la polarizacion de la luz delas estrellas.
La intensidad del campo magnetico aumenta hacia el interior de la galaxiay es independiente de la densidad del gas interestelar difuso.
El campo magnetico en el halo de la Vıa Lactea es bastante uniforme yse estima que su intensidad es entre 2− 12µG. La altura de escala derivadade la emisividad de sincrotron bajo la suposicion de equiparticion entre losrayos cosmicos y los campos magneticos es aproximadamente de 5− 6 Kpc.
1.3. CAMPOS MAGNETICOS EN LAS GALAXIAS ESPIRALES Y BARRADAS7
1.3 Campos magneticos en las galaxias espi-
rales y barradas
El promedio tıpico de la intensidad del campo magnetico total en las gala-xias espirales es de alrededor de 10µG . Mientras que las galaxias de radiodebiles como M31 y M33 tienen campos magneticos totales mas debiles, dealrededor de 5µG. Por otro lado en las galaxias ricas en gas y con una tasaalta de formacion estelar, como M51, M83 y NGC 6946, el promedio de lasintensidades de los campos es de 15µG. Los campos magneticos mas intensos(50 − 100µG) se encuentran en las galaxias de formacion estelar como M82y en las galaxias “Antennae” NGC 4038 y NGC 4039.
Recientemente, en una galaxia distante (z = .692), fue detectado uncampo de intensidad de 84µG; por medio del efecto Zeeman en la lınea delHI vista en absorcion contra un cuasar.
Los campos magneticos ordenados forman patrones espirales en casi to-das las galaxias ver figura (1.1), incluso en las galaxias anulares y en lasfloculentas las cuales no presentan una estructura espiral.
1.4 Estructura de los campos magneticos en
los halos
Las observaciones de la polarizacion de radio de galaxias cercanas vistas decanto generalmente muestran un campo paralelo al disco cerca del plano deldisco, pero las observaciones de alta sensibilidad de muchas galaxias comoNGC 891, NGC 5775, NGC 253 y M1014 muestran que las componentesverticales del campo aumentan conforme aumenta la altura z, arriba y debajodel disco, y tambien conforme al radio. Debido a la forma que presentan estoscampos, se les conoce como X − shaped. Como ejemplo de esto, en la figura(1.1) inciso (d), se puede apreciar el campo magnetico en el halo de la galaxiaNGC 891 y se puede ver como el campo magnetico sale del disco galacticoformando una X.
Las observaciones de los patrones de campo X − shaped son de vitalimportancia para el entendimiento del origen de los campos magneticos enlos halos, ya que estos son inconsistentes con las predicciones de los modelosdel dınamo galactico estandar.
Por otro lado existen casos muy extranos de galaxias en las que no se handetectado campos magneticos en el halo como M31 y NGC 7462 [8].
8 CAPITULO 1. CAMPOS MAGNETICOS GALACTICOS
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figura 1.1: (a) valores de las medidas de rotacion superpuestas con losvectores de polarizacion para NGC 6946 (Heald 2012). (b) lıneas del campomagnetico a partir de las observaciones de la polarizacion de sincrotron super-puestas a una imagen optica de IC342 (Beck 2015 b). (c) medidas de rotacionasociados con NGC 6946 (Beck 2007). (d) Emision de radio total y vectoresdel campo magnetico de la galaxia NGC 891, vista de canto, superpuestos ala imagen optica de CFTH (Krause 2009). (e) contornos de la intensidad dela dispersion de Faraday para NGC 6946 superpuestos a una emision de Hα(Williams et al. in prep). (f) medidas de rotacion extragalacticas vistas enproyeccion a traves de la Gran Nube de Magallanes
Capıtulo 2
El problema de la materiaoscura
En 1933 el astronomo y fısico Fritz Zwicky, analizo las velocidades de ciertasgalaxias en el Cumulo de Coma y encontro que muchas se movıan a veloci-dades muy altas para mantenerse unidas por la atraccion gravitacional dela materia visible, por lo que deberıan salir disparadas debido a su fuerzacentrıfuga. Pero como estos cumulos eran estables, Zwicky concluyo que loscumulos debıan contener materia no luminosa aun no detectada.
En 1970, Vera C. Rubin, W. Kent Ford y Norbert Thonnard obtuvieronlas curvas de rotacion de 10 galaxias espirales de diferentes tipos, las cualeseran aproximadamente planas a partir de cierto radio. Como estas curvasmiden la velocidad rotacional de las estrellas y el gas en las galaxias espirales,como una funcion de la distancia al centro de estas; esto significaba que lasvelocidades de rotacion de las estrellas a diferentes distancias del centro delas galaxias eran las mismas.
Como se sabe conforme uno se aleja del centro galactico la cantidad demateria luminosa disminuye, por lo que se esperarıa que a distancias lejanasdel centro, la velocidad de las estrellas disminuyera. Sin embargo, se encontroque estas giran mas rapido. Lo que implica que hay mayor cantidad demateria que la visible, aproximadamente 10 veces mas de la que se ve.
Esto llevo a los astronomos, como ya lo habıa hecho Ziwcky, a considerarque las galaxias contienen materia no luminosa, no detectada, cuyos efectosgravitacionales causan la planicidad de las curvas de rotacion.
En la decada de los 80s, los modelos de formacion de galaxias y otrasestructuras empezaron a ser formuladas adecuadamente. Rapidamente sellego a la conclusion de que tambien requerıan materia oscura, para proveersuficiente atraccion gravitacional para permitir que las estructuras que seobservan en el Universo se formaran.
9
10 CAPITULO 2. EL PROBLEMA DE LA MATERIA OSCURA
Despues de esto los fısicos empezaron a buscar explicaciones sobre lanaturaleza de la materia oscura, se considero que era materia barionica queno emitıa luz, que para aquella epoca aun no podıa ser detectada como:planetas gigantes, hoyos negros super masivos, etc. Pero se encontro que lacantidad de estos objetos no es suficiente para la cantidad de materia oscuraque se requiere.
Tambien se han propuesto modificaciones a la teorıa de Newton (MOND)y a la teorıa de la Relatividad General, se sugiere que estas cambian a grandesescalas. Existen otros candidatos a materia oscura como los neutrinos, losWIMPs (Weakly Interacting Massive Particles), los axiones y los agujerosnegros primordiales.
Otro candidato viene del modelo de branas, en este el cosmos es un espa-cio de al menos 5 dimensiones compuesto por membranas tridimensionales.A estas membranas se les llama tambien branas, las cuales se encuentranparalelas entre sı. La gravedad es el unico medio de comunicacion entre estasbranas. Si la materia oscura residiera en una brana diferente a la nuestrano podrıamos detectarla y solo interactuarıa con nosotros por medio de lafuerza gravitacional.
Por otro lado, el modelo cosmologico que en la actualidad tiene mayoraceptacion es el ΛCDM. Que consiste en un modelo de materia oscura frıamas una constante cosmologica. Este modelo ha tenido gran exito al estar enconcordancia con el Big Bang, explicar la radiacion de fondo de microondas,la estructura a gran escala del Universo, la cantidad de materia observada enlos cumulos y en las galaxias, etc. Sin embargo, este modelo predice que ladensidad de materia oscura en el centro de las galaxias diverge, es infinita,lo cual difiere de las observaciones, pues se ha encontrado que las densidadescerca del centro de las galaxias son casi constantes.
Ası que aunque este modelo sea exitoso a escalas cosmologicas, no lo es aescalas galacticas. Ademas de que no explica el origen de la materia oscura.
Como ya se menciono existen varios candidatos a materia oscura, variosde ellos aun no se han detectado y algunos no podrıan detectarse. Es im-portante encontrar la respuesta a la naturaleza de la materia oscura, ya quees una componente importante del Universo, de la cual solo sabemos queinteractua gravitacionalmente con la materia barionica y que, de acuerdoa las observaciones del WMAP, contribuye con el 25% de la materia en elUniverso.
Una alternativa reciente para explicar el origen de la materia oscura, essuponer que este es un campo escalar autointeractuante. La condensacion deeste campo da origen a los halos galacticos. Este modelo predice muy bienel numero de galaxias enanas sin acudir a hipotesis adicionales y es diferentea CDM en el centro de las galaxias. A este modelo se le conoce como SFDM
2.1. CURVAS DE ROTACION DE LAS GALAXIAS 11
(Scalar Field Dark Matter).A continuacion se presenta brevemente una de las principales pruebas
observacionales de la presencia de la materia oscura en las galaxias, es decir,las curvas de rotacion de las galaxias. Lo cual se hace para que el lector tengauna idea mas clara acerca de la importancia de estas curvas y la informacionque nos proporcionan.
2.1 Curvas de rotacion de las galaxias
La medicion de las curvas de rotacion, la velocidad contra la distancia radial,para las estrellas y el gas en las galaxias espirales es una evidencia indirectade la existencia de materia no luminosa. Si uno considera, por ejemplo, unaestrella de masa m a una distancia r del centro galactico, que se mueve conuna velocidad tangencial v, entonces igualando la fuerza gravitacional y lafuerza centrıfuga se obtiene:
mv2
r=mM(< r)G
r2, (2.1)
donde M(< r) es la masa dentro del radio r.
Figura 2.1: Curvas de rotacion para siete galaxias espirales.(Rubin,V.C.,Ford, W.K.,Thonnard, N.(1978):Astrophys.J.(Lett)225,L107)
Una galaxia espiralcomo la nuestra tienela mayorıa de la mate-ria luminosa concentradaen un nucleo central,mas un disco delgado.Para una estrella dentrodel nucleo se espera queM(< r) ∝ r3 y, porlo tanto, v ∝ r, mien-tras que para una es-trella localizada fuera delnucleo, M ≈ constantey, por lo tanto v ∝r−1/2. Entonces, la ve-locidad debe incremen-tarse para r pequenas y decrecer para r grandes. Sin embargo las curvasde rotacion que se obtienen observacionalmente son planas para valores de rgrandes, es decir a partir de cierto valor de r las velocidades son las mismaspara distintos valores de r. Lo que implica que al incrementarse el radio hayuna mayor cantidad de materia no luminosa. Por esta razon se ha sugerido
12 CAPITULO 2. EL PROBLEMA DE LA MATERIA OSCURA
que la mayorıa de la masa galactica, entre 80 − 90%, esta en la forma demateria oscura en un halo.
Capıtulo 3
Condensados de Bose-Einstein
Una de las propiedades mas importantes de los sistemas bosonicos es sutransicion de fase a un estado condensado, en el que todas las partıculasocupan el mismo estado base. A este sistema se le conoce como Condensadode Bose Einstein (BEC), y desde el punto de vista fısico esta caracterizadopor un pico pronunciado sobre una distribucion mas amplia en el espacio decoordenadas y momentos. La explicacion cuantica para este comportamientoes que en un BEC las partıculas se correlacionan entre sı. La correlacionsignifica que la longitud de onda termica λT es mas grande que la distanciamedia entre partıculas l. Esto ocurre a una temperatura Tc < 2π~2n2/3/mkB,donde m es la masa de una partıcula del condensado, n es la densidad delnumero de partıculas, kB es la constante de Boltzman y Tc es la temperaturade condensacion.
Un estado cuantico coherente tiene lugar cuando la densidad del numerode bosones, n, en el estado base es muy grande o cuando la temperatura Tes suficientemente baja.
En el laboratorio la condensacion de Bose-Einstein fue observada porprimera vez en el ano de 1995 en gases alcalinos diluidos. Para obtenerla condensacion, estos gases fueron confinados en una trampa magnetica, yenfriados a muy bajas temperaturas.
Si estos condensados se han podido generar en los laboratorios de la Tierraexiste la posibilidad de que puedan ser creados naturalmente en el Universo.Se ha propuesto que la materia oscura, necesaria para explicar la dinamicadel gas y las estrellas en las galaxias y para la formacion de estructura delUniverso, se encuentre en la forma de un Condensado de Bose Einstein.
13
14 CAPITULO 3. CONDENSADOS DE BOSE-EINSTEIN
3.1 Ecuacion de Gross-Pitaevskii
En un sistema deN bosones que interactuan, un condensado de Bose-Einsteincorresponde a una configuracion en donde la mayorıa de los bosones se en-cuentran interactuando en el mismo estado cuantico Ψ(x, t). Para estudiareste sistema, Bogoliubov propuso hacerlo por medio de la aproximacion decampo medio, para esto Ψ(x, t) se representa como la suma de una con-tribucion clasica mas una excitacion:
Ψ(x, t) = ψ(x, t) + ϕ(x, t), (3.1)
donde ψ =⟨
Ψ(x, t)⟩
, es conocida como la funcion de onda del condensado,
con la propiedad de que la densidad del numero de partıculas, n = NV
=|ψ(x, t)|2, ϕ describe excitaciones termicas.
En la aproximacion de la segunda cuantizacion el Hamiltoniano que des-cribe un sistema de bosones que interactuan, confinados por un potencialexterno esta dado por:
H =
∫dxΨ+(x, t)
[− ~2
2m∇2 + Vext(x)
]Ψ(x, t)
+1
2
∫dxdx′Ψ+(x, t)Ψ+(x′, t)V (x− x′)Ψ(x, t)Ψ(x, t), (3.2)
donde Ψ+ y Ψ son los operadores de campo de creacion y aniquilacion, res-pectivamente. V (x− x′) es el potencial de interaccion.
Como se sabe Ψ satisface la ecuacion de Heisenberg, pero a temperaturaT = 0 se pueden despreciar las excitaciones termicas en (3.1) y el sistemaresulta descrito completamente por una funcion de onda ψ la cual satisface:
i~∂
∂tψ(x, t) =
[ψ, H
]=
[− ~2
2m∇2 + Vext(x) +
∫dx′ψ+(x′, t)V (x− x′)ψ(x, t)
]ψ(x, t)
(3.3)
En un gas diluido y frıo, a baja energıa, las colisiones binarias son impor-tantes. Estas colisiones pueden ser caracterizadas, independientemente de laforma del potencial de dos cuerpos, por un solo parametro fısico, la longitudde dispersion de onda-s : “a”. Uno puede obtener una buena aproximacion alreemplazar el potencial desconocido V (x−x′) por el potencial de interaccionefectivo
V (x− x′) = λδ(x− x′), (3.4)
3.2. REPRESENTACION HIDRODINAMICA 15
donde λ = 4π~2am
, al sustituir este potencial en (3.3) se obtiene la ecuacionde Gross-Pitaevsskii, que es la ecuacion de Schrodinger mas un termino nolineal:
i~∂
∂tψ(x, t) =
(− ~2
2m∇2 + Vext(x) + λ|ψ(x, t)|2
)ψ(x, t) (3.5)
Si se elige Vext = φ(x), donde φ es el potencial gravitacional, y por lotanto satisface la ecuacion de Poisson:
∇2φ = 4πGρ, (3.6)
con:
ρ = mn = m|ψ(x, t)|2, (3.7)
que es la densidad de masa dentro del condensado de Bose-Einstein. Entoncesla ecuacion que describe a un sistema de bosones que interactuan sometidosa un potencial gravitatorio φ, a temperatura T = 0 es:
i~∂
∂tψ(x, t) =
(− ~2
2m∇2 + φ(x) + λ|ψ(x, t)|2
)ψ(x, t) (3.8)
Esta ecuacion describe a un BEC (Condensado de Bose Einstein) en uncampo gravitacional, a temperatura T = 0. En un BEC la mayorıa de losbosones se encuentran en el estado de mınima energıa o estado base, por loque se puede utilizar la aproximacion de campo medio y ası este sistema estadescrito completamente por la funcion de onda del condensado ψ, pues comoya se dijo a T = 0, se pueden despreciar las fluctuaciones termicas y sustituiral operador de campo cuantico Ψ por ψ, que es una funcion de onda clasica.
3.2 Representacion hidrodinamica
ψ(x, t) =√ρ(x, t)exp
[i
~S(x, t)
], (3.9)
donde S(x, t) es real y tiene dimensiones de accion.La transformacion anterior es conocida como transformacion de Man-
delung. Si esta se realiza en la ecuacion de Gross-Pitaevsskii (3.5), y despuesse toma la parte real de la ecuacion transformada, se obtiene una ecuaciondiferencial para la funcion real ρ :
∂ρ
∂t+∇(ρv) = 0. (3.10)
16 CAPITULO 3. CONDENSADOS DE BOSE-EINSTEIN
Por otro lado, si se obtiene el gradiente de la parte imaginaria de la ecuaciontransformada, entonces se encuentra una ecuacion analoga a la ecuacion deEuler o ecuacion de Navier-Stokes para fluidos no viscosos:
ρ
(∂v
∂t+ (v · ∇)v
)= −∇VQ − ρ∇
(Vextm
)−∇P
( ρm
), (3.11)
donde VQ es el potencial cuantico definido como:
VQ = − ~2
2m
∇2√ρ√ρ, (3.12)
y
v =∇Sm
. (3.13)
Por lo tanto las ecuaciones de movimiento de un condensado de BoseEinstein toman la forma de la ecuacion de continuidad, y de la ecuacionde Euler. Entonces, un BEC en un campo gravitacional externo, Vext = φ,puede ser descrito como un gas cuya densidad y presion estan relacionadospor una ecuacion de estado barotropica.
La correspondiente ecuacion de estado del condensado es:
P = kρ2. (3.14)
En el caso de un condensado de Bose-Einstein confinado gravitacional-mente y con una gran cantidad de partıculas, la presion cuantica es impor-tante solo cerca del lımite externo del sistema cuantico, por lo que comunmenteeste termino resulta mucho mas pequeno que el de interaccion no lineal, eneste caso el gradiente del potencial cuantico se puede despreciar en (3.11) yse obtiene la aproximacion de Thomas-Fermi, que se utiliza comunmente enel estudio de los condensados de Bose-Einstein:
ρ
[∂v
∂t+ (v · ∇)v
]= −∇P
( ρm
)− ρ∇
(Vextm
). (3.15)
Capıtulo 4
Materia oscura como campoescalar complejo
En este modelo se propone a la materia oscura como un campo escalar com-plejo de espın 0, autointeractuante, que se encuentra en un bano termico atemperatura T , descrito por el lagrangiano:
L =1
~c(∇µΦ + ieAµΦ)(∇µΦ∗ − ieAµΦ∗)− 1
~cV (|Φ|)− 1
4µ0
FµνFµν , (4.1)
donde
V (|Φ|) = −M2(ΦΦ∗) +λ
2(ΦΦ∗)2 +
λ
4k2BT
2ΦΦ∗ − π2k4B
90~2c2T 4 +
M4
2λ, (4.2)
Fµν = ∇µAν −∇νAµ, (4.3)
M = Mc~ ,λ = λ
~2c2, e = e
~ , T es la temperatura del bano termico, kB es laconstante de Boltzmann, ~ es la constante de Planck y c es la velocidad dela luz.
Este lagrangiano es invariante bajo las transformaciones:
Φ→ eiΛ(x)Φ y ~A→ A+1
e∇Λ(x). (4.4)
Utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange:
∂L
∂Φ∗− ∂
∂xµ
[∂L
∂(∂µΦ∗)
]= 0, (4.5)
se puede obtener la ecuacion de movimiento para el campo Φ:
(∇µ + ieAµ)(∇µ + ieAµ)Φ− dV
dΦ∗= 0. (4.6)
17
18CAPITULO 4. MATERIA OSCURA COMO CAMPO ESCALAR COMPLEJO
Si se define �E como (∇µ + ieAµ)(∇µ + ieAµ)Φ, entonces (4.6) queda como:
�EΦ− dV
dΦ∗= 0, (4.7)
la ecuacion anterior es la ecuacion de Klein-Gordon para un campo escalarcomplejo sometido a un potencial V .
Para obtener el estado base de este campo, se minimiza el potencial, paraesto se reescribe el potencial utilizando coordenadas polares:
Φ(x) = ρ(x)eiθ(x), (4.8)
ası se obtiene que (4.2) en terminos de ρ es:
V (ρ) = −M2ρ2 +λ
2ρ4 +
λ
4k2BT
2ρ2 − π2k2BT
4
90~2c2+M4
2λ. (4.9)
Para obtener sus puntos crıticos: dVdρ
= −M2ρ + 2λρ3 + λ2k2BT
2ρ = 0, por loque:
ρ = 0 y ρ =M2
2λ− k2
BT2
4, (4.10)
son puntos crıticos del potencial . Ademas, si ahora se considera a:
Φ(x) = Φ1(x) + iΦ2(x), (4.11)
el potencial (4.2) tambien se puede reescribir como:
V (Φ1,Φ2) = −M2(Φ21+Φ2
2)+λ
2(Φ2
1+Φ22)2+
λ
4k2BT
2(Φ21+Φ2
2)− π2k4BT
4
90~2c2+M4
2λ,
(4.12)de esta ecuacion se puede ver, que si uno se fija en el potencial como funcionde Φ1 y Φ2, entonces si:
−M2 +λ
4k2BT
2 > 0 (4.13)
el potencial tiene la forma de un paraboloide, por lo que el punto ρ = 0, queequivale a Φ = 0 (Φ1 = 0, Φ2 = 0), es un mınimo del potencial. Y se tienesolo un vacıo, Φ = 0.
Por otro lado si:
−M2 +λ
4k2BT
2 < 0, (4.14)
19
la forma del potencial es la de un sombrero de charro mexicano, y el mınimo
del potencial se encuentra en: ρ = M2
λ− k2
BT2
4, es decir se tiene un vacıo
degenerado en:
|Φmin|2 = ρ2min =
M2
λ− k2
BT2
4. (4.15)
Si se define la temperatura crıtica como:
T 2crit =
4M2
λk2B
=4M2c4
λk2B
, (4.16)
entonces la ecuacion (4.15) se puede reescribir en terminos de la temperaturacrıtica como:
|Φmin|2 = ρ2min =
k2B
4(T 2
crit − T 2). (4.17)
Por lo que de acuerdo a (4.13) y (4.14), si T 2 > T 2crit, la forma del potencial es
la de un paraboloide y solo hay un vacıo, pero si T 2 < T 2crit el potencial tiene
la forma del sombrero de charro mexicano y hay un vacıo degenerado. Esdecir, conforme la temperatura desciende, debido a la expansion del Universo,la temperatura del campo disminuye y al pasar por la temperatura crıtica, lasimetrıa se rompe y el mınimo en Φ = 0 se convierte en un maximo local deV . Debido a las fluctuaciones termicas locales del campo, el campo pasa delmaximo local en Φ = 0 a un mınimo que cumpla la condicion de la ecuacion(4.15) y ahı se mantiene oscilando.
Se puede hacer una expansion del potencial (4.2) alrededor de uno de susmınimos, para eso se puede ver de (4.2) que:
V (|Φmin + Φ|) = V (ρmin + ρ). (4.18)
Sea ρ = ρmin + ρ, entonces haciendo una expansion en serie de Taylor delpotencial alrededor del mınimo:
V (ρ) = V (ρmin + ρ) = V (ρmin) +dV
dρ
∣∣∣∣ρmin
ρ+1
2
d2V
dρ2
∣∣∣∣ρmin
ρ2 +1
6
d3V
dρ3
∣∣∣∣ρmin
ρ3
+1
24
d2V
dρ4
∣∣∣∣ρmin
ρ4
(4.19)
20CAPITULO 4. MATERIA OSCURA COMO CAMPO ESCALAR COMPLEJO
V (ρmin + ρ) =
[−M
2k2B
4T 2crit +
λ
16k4BT
2T 2crit
](1− T 2
T 2crit
)+λk4
BT4crit
32
(1− T 2
T 2crit
)2
−π2k4BT
4
90~2c2+M4
2λ− M2ρ2 +
3
4λk2
BT2crit
(1− T 2
T 2crit
)ρ2 +
λ
4k2BT
2ρ2
+λkBTcrit
(1− T 2
T 2crit
) 12
ρ3 +λ
2ρ4.
(4.20)
Si se considera que T � Tcrit, con T ≈ 0, entonces:
V (ρmin + ρ) = −M2k2B
4T 2crit +
λk4BT
4crit
32+M4
2λ− M2ρ2 +
3
4λk2
BT2critρ
2
+λkBTcritρ3 +
λ
2ρ4.
(4.21)
Al sustituir el valor de la Tcrit, dada por (4.16), se obtiene:
V = 2M2ρ2 + 2M√λρ3 +
λ
2ρ4. (4.22)
Por otro lado de acuerdo a [3], la masa del boson esta determinado porla curvatura del potencial alrededor del estado base del sistema, es decir:
m2Φ =
d2V
dρ2
∣∣∣∣ρmin
= 4M2 − λk2BT
2 = λk2B(T 2
crit − T 2), (4.23)
como T ≈ 0, entonces:
m2Φ =
dV
dρ2
∣∣∣∣ρmin
= 4M2, (4.24)
donde m2Φ =
m2Φc
2
~2 ,entonces (4.22) se puede reescribir como:
V =m2
Φ
2ρ2 +
√λmΦρ
3 +λ
2ρ4. (4.25)
Reescribiendolo en terminos de Φ:
V =m2
Φ
2ΦΦ∗ +
√λmΦ(ΦΦ∗)
32 +
λ
2(ΦΦ∗)2. (4.26)
4.1. BECS Y LA ECUACION DE KLEIN-GORDON 21
Una vez que el potencial, se encuentra en Φmin se supone que el campo escalarΦ adquiere valores muy pequenos por lo que podemos despreciar los terminosdistintos a ρ2 = ΦΦ∗, ası el potencial para T � Tcrit con T ≈ 0 es:
V =m2
Φ
2(ΦΦ∗) (4.27)
4.1 BECs y la ecuacion de Klein-Gordon
La dinamica de un campo escalar esta gobernada por la ecuacion de Klein-Gordon (4.7). De acuerdo a [5] para confinar un BEC se necesita anadir uncampo externo para que ocurra la condensacion. Para hacer esto se anadeun campo externo φ que interactue a primer orden con el campo escalar, demodo que la ecuacion de Klein-Gordon queda como:
�2EΦ− dV
dΦ∗− 2M2 φ
c2Φ = 0. (4.28)
Al realizar la siguiente transformacion :
Φ = Ψe−iMct, (4.29)
(4.28) se puede reescribir como:
i~∂Ψ
∂t+
~2
2M�2EΨ− λ
2Mc2|Ψ|2Ψ− λ
8Mc2k2BT
2Ψ
−
[Mc2
(φ
c2− 1
)+ e~cφ
]Ψ = 0, (4.30)
que es lo que se obtiene en [5], una ecuacion generalizada de la ecuacion deGross-Pitaevsskii para temperaturas finitas y partıculas relativistas.
Ya que si T ≈ 0 y en el lımite no relativista �E → ∇2 la ecuacion anteriorse convierte en la ecuacion de Gross-Pitaevsskii para los condensados de Bose-Einstein, siempre que λ = 8π~2c2aκ2, donde a es la longitud de dispersionde la onda-s:
i~∂Ψ
∂t= − ~2
2M∇2Ψ +
λ
2Mc2|Ψ|2Ψ + VextΨ, (4.31)
donde
Vext = Mφ+ eφ, (4.32)
22CAPITULO 4. MATERIA OSCURA COMO CAMPO ESCALAR COMPLEJO
siendo φ el potencial electrico, y
φ
c2=φ
c2− 1. (4.33)
Como se puede ver de (4.32) el potencial externo incluye tanto al potencialgravitacional como al electrico.
En el caso de la formacion de los halos galacticos, el campo externo φ,que permite la condensacion es el campo gravitacional.
Al ocurrir la condensacion del campo, que se da despues del rompimientode simetrıa (a una temperatura cercana a Tcrit), se espera que el potencial
gravitacional sea muy homogeneo, es decir, ∂φ∂t≈ 0. En este caso φ se puede
elegir como una constante. Al elegir φ = 0 se obtiene (4.6) de (4.28).Como ya se ha visto, la ecuacion de Gross-Pitaevskii describe a un con-
densado de Bose-Einstein, por lo tanto se puede obtener la funcion de ondadel condensado Ψ a partir de la solucion a la ecuacion de Klein-Gordon.
4.2 Hidrodinamica
De acuerdo a [5] si se realiza la transformacion:
κΨ =√neiS(x,t), (4.34)
donde S(x, t) es una funcion real. Entonces, la ecuacion de Gross-Pitaevskiigeneralizada se puede desacoplar en 2 ecuaciones, la ecuacion de continuidady la ecuacion de Euler o de Navier-Stokes, lo que permite describir al con-densado de Bose-Einstein como un fluido.
Y se interpreta a n como la densidad del numero de partıculas:
n = κ2|Ψ|2 = κ2ΨΨ∗, (4.35)
donde κ es una constante que depende de la escala del sistema y cuyasunidades son [J−1m−3/2]. Su valor debe determinarse experimentalmente.Entonces, la densidad de masa de materia oscura esta dada por:
ρ = mΦn = mΦκ2ΨΨ∗, (4.36)
donde mΦ es la masa de la materia oscura.
Capıtulo 5
Campos magneticos y materiaoscura
Como ya se menciono la hipotesis de esta tesis es que los campos magneticosde gran escala que se detectan en las galaxias son originados por la materiaoscura presente en estas.
Para poder comprobar esta hipotesis, se considera a la materia oscuracomo un campo escalar complejo de espın cero que satisface la ecuacion deKlein-Gordon (4.6), con potencial (4.2) y masa mΦ ≈ 10−23eV. Este campoescalar se encuentra en un bano termico de temperatura T .
En el Universo temprano este campo interactua con el resto de la materia;sin embargo debido a la expansion del Universo, su temperatura disminuye.Finalmente, cuando la temperatura es suficientemente pequena, el campo es-calar se desacopla de la interaccion con el resto de la materia y sigue su propiahistoria termodinamica, mientras que el fondo sigue enfriandose debido a laexpansion.
Cuando la temperatura del campo es mayor que la temperatura crıtica,Tcrit, el estado base se encuentra en Φ = 0, conforme la temperatura dismin-uye el campo alcanza el mınimo del potencial Φ ≈ 0. Este mınimo pasa aser un maximo local despues del rompimiento de simetrıa, cuando T = Tcrit.El campo se vuelve inestable en este punto y pasa a uno de los mınimos,donde se mantiene oscilando. Al hacer una expansion alrededor de uno deestos mınimos se obtiene una forma aproximada del potencial V = 1
2m2
ΦΦΦ∗,la cual se cumple para T � Tcrit y T ≈ 0.
En este trabajo se supone que la condensacion del campo se da a unatemperatura aproximada a Tcrit, es decir poco tiempo despues de la rupturade la simetrıa, se da la condensacion. Cuando el campo se condensa se formanlos halos galacticos.
El condensado se puede describir por medio de la funcion de onda del
23
24 CAPITULO 5. CAMPOS MAGNETICOS Y MATERIA OSCURA
condensado Ψ, la cual satisface la ecuacion de Gross-Pitaevskii con Vext =Mφ + eφ. Ademas la densidad del numero de partıculas del condensado seencuentra a partir de n = κ2ΨΨ∗.
Como se vio, el campo Φ esta relacionado a la funcion de onda del con-densado por medio de la transformacion Φ = Ψe−iMct, entonces se puedeencontrar Ψ a partir de la solucion a la ecuacion de Klein-Gordon.
En esta capıtulo se resuelve la ecuacion (4.28) para el campo escalarcomplejo Φ, con φ ≈ 0. Se supone que el campo Φ, en estos momentos, se
encuentra alrededor de uno de sus mınimos por lo que V ≈ m2Φ
2ΦΦ∗. Sin
embargo se considerara a V como:
V =m2
Φ
2ΦΦ∗ +
λ
2(ΦΦ∗)2, (5.1)
donde λ es un termino de autointeraccion. Para que el potencial anterior sea
aproximadamente V =m2
Φ
2ΦΦ∗, λ debe ser del orden de 10−90. Se considera
toda esta expresion porque la Tcrit depende de λ (4.16), aunque este terminosea muy pequeno, aproximadamente cero, lo tenemos en cuenta, ya que sinoTcrit diverge.
5.1 Solucion a la ecuacion
De (5.1) y (4.6), se obtiene:
∂µ∂µΦ + 2ieAµ(∂µΦ) + ie(∂µAµ)Φ− e2(AµAµ)Φ− m2Φ
2− λΦ∗Φ2 = 0, (5.2)
donde:
∂µ = (−1
c
∂
∂t,∇), Aµ = (−φ
c, ~A),
entonces 5.2 se puede reescribir como:(− 1
c2
∂2Φ
∂t2+∇2Φ
)+ 2ie
(φ
c2
∂Φ
∂t+ ~A · ∇Φ
)+ie
c2
∂φ
∂tΦ− e2(−φ
2
c2+ | ~A|2)
−m2Φ
2Φ− λΦΦ∗ = 0. (5.3)
Para resolver esta ecuacion, se propone a Φ como:
Φ =R
rY qp (θ, ϕ)T0e
−iωt, (5.4)
y ası al sustituir (5.4) en (5.3) y posteriormente multiplicar por rRTY
, seobtiene la siguiente ecuacion diferencial:
5.1. SOLUCION A LA ECUACION 25
−1
c2T
d2T
dt2+R′′
R− p(p+ 1)
r2
+2ie
[φ
c2
1
T
dT
dt+ Ar
r
R
(R′
r− R
r2
)+
1
rY
∂Y
∂θAθ +
1
r sin θY
∂Y
∂ϕAϕ
]+ i
e
c2
∂φ
∂t
−e2(−φ2
c2+ | ~A|2)− m2
Φ
2
RTY
r− λR
∗T ∗Y ∗RTY
r2= 0, (5.5)
donde Y = Y qp (θ, ϕ).
Multiplicando la ecuacion anterior por sin θdθdφ e integrando θ de 0 a πy ϕ de 0 a 2π y utilizando la ortonormalidad de los armonicos esfericos:
4π
(− 1
c2T
d2T
dt2+R′′
R− p(p+ 1)
r2− m2
Φ
2+ 2ie
φ
c2
1
T
dT
dt+ie
c2
∂φ
∂t+e2
c2φ2
)−λ |R|
2|T |2
r2+
∫ 2π
0
∫ π
0
2ie
[Ar
r
R
(R′
r− R
r2
)+
1
rY
∂Y
∂θAθ
]sin θdθdϕ
+2ie
r
∫ 2π
0
∫ π
0
1
Y
∂Y
∂ϕAϕdθdϕ−
∫ 2π
0
∫ π
0
e2| ~A|2 sin θdθdϕ = 0. (5.6)
Ademas, si se considera φ = φ(r) y si T = T0e−iωt, donde T0 es una
constante real, se obtiene:
4π
(ω2
c2+R′′
R− p(p+ 1)
r2− m2
Φ
2+ 2ie
φ
c2(−iω) + e2φ
2
c2
)− λ |R|
2|T0|2
r2
+
∫ 2π
0
∫ π
0
2ie
[Ar
(R′
r− 1
r
)+
1
rY
∂Y
∂θAθ
]sin θdθdϕ
+2ie
r
∫ 2π
0
∫ π
0
1
Y
∂Y
∂ϕAϕdθdϕ−
∫ 2π
0
∫ π
0
e2| ~A|2 sin θdθdϕ = 0, (5.7)
y si ~A = Aϕ(r, θ)ϕ, entonces de (5.7) se obtiene:
4π
(ω2
c2+R′′
R− p(p+ 1)
r2− m2
Φ
2+ 2e
φ
c2ω +
e2
c2φ2
)− λ |R|
2|T0|2
r2
+2ie
r
∫ 2π
0
∫ π
0
1
Y
∂Y
∂ϕAϕdθdϕ−
∫ 2π
0
∫ π
0
e2|Aϕ|2 sin θdθdϕ = 0. (5.8)
Y como prueba se propone a Aϕϕ = ~Adip, donde ~Adip es el potencial vectorialde un dipolo centrado en el origen, en este caso en el centro de la galaxia:
~Adip =µ0
4π
Ia sin θ
r2ϕ = Aϕϕ, (5.9)
26 CAPITULO 5. CAMPOS MAGNETICOS Y MATERIA OSCURA
que al sustituir en (5.8), y despues de integrar y reacomodar terminos, seobtiene una ecuacion para R:
R′′ + [ω2
c2− m2
Φ
2]R− p(p+ 1)R
r2+ 2e
ωφ(r)
c2R + e2φ
2
c2R− λ|R|2RT 2
0
4πr2
− eqµ0IaR
2πr3− e2µ2
0I2a2
24π2r4R = 0. (5.10)
Para conocer la forma completa del campo Φ, se debe resolver estaecuacion, lo cual se hizo numericamente.
Si se conoce Φ, se puede obtener la densidad del numero de partıculas ypor lo tanto la densidad de masa a partir de las siguientes ecuaciones:
n = κ2ΨΨ∗ = κ2ΦΦ∗ (5.11)
ρ = mΦn = mΦκ2 |R|2
r2T 2
0 |Y qp (θ, ϕ)|2. (5.12)
5.2 Perfiles de densidad y velocidad de la ma-
teria oscura
Las unicas observables con las que contamos para poner a prueba la hipotesisde esta tesis son las curvas de rotacion de las galaxias y la intensidad de loscampos magneticos que existen en estas. Por esta razon en esta seccionse obtienen los perfiles de densidad y velocidad para cualquier galaxia, loscuales se obtienen a partir de las soluciones a (5.10), para esto se analizansus soluciones por casos.
Caso 1.Si en (5.10) se considera a φ(r) = 0, p = 0, q = 0, Ia = 0 y
λT 20
4π≈ 0, esta
ecuacion se reduce a :
R′′ +
[ω2
c2− m2
Φ
2
]R = 0, (5.13)
cuyas soluciones particulares son: sin(kr), cos(kr), donde
k2 =ω2
c2− m2
Φ
2. (5.14)
De acuerdo a (5.12) la densidad de masa es:
ρ = mΦκ2ΦΦ∗ = κ2mΦ
R2
r2T 2
0 |Y 00 (θ, ϕ)|2 =
κ2mΦT20
4π
sin2(kr)
r2, (5.15)
5.2. PERFILES DE DENSIDAD Y VELOCIDAD DE LA MATERIA OSCURA27
y siρ0
k2=κ2mΦT
20
4π, (5.16)
entonces
ρ = ρ0sin2(kr)
k2r2, (5.17)
donde ρ0 es la densidad cuando r → 0, conocida como la densidad central.Ademas si se define el radio de la distribucion del campo escalar complejo
como la distancia al centro de la galaxia, r′, tal que:
ρ(r′) = 0, (5.18)
entonces kjr′ = jπ, donde j = 1, 2, .... Por lo tanto para cada valor de kj
habra una ecuacion para Rj y se tendran distintos estados del campo Φ,dados por:
Φj =T0j
4π
sin(kjr)
re−iωjt, (5.19)
donde ω2j = c2(k2
j +m2
Φ
2).
Entonces la densidad de masa total es la suma de las densidades de cadaestado Φj:
ρtotal =∑j
ρj0sin2(kjr)
(kjr)2=∑j
ρj0sin2(πj r
r′)
(πj rr′
), (5.20)
donde
ρj0 =κ2mΦT 0j
2k2j
4π, (5.21)
es la densidad central para el estado j. En este trabajo se supone, como en[6], que j representa a los estados excitados que se requieren para ajustarlas curvas de rotacion. Es decir, en general cada galaxia presentara distintosestados y la densidad total sera la suma de las densidades de los distintosestados presentes.
A partir de la ecuacion (5.20) se puede obtener la masa total de materiaoscura dentro de una esfera de radio r:
M = 4πr∑j
ρj02k2
j
(1− sin(2kjr)
2kjr
), (5.22)
entonces la velocidad a la que se debe mover una masa de prueba a unadistancia r es:
V 2 = 4π∑j
ρj0k2j
(1− sin(2kjr)
2kjr
). (5.23)
28 CAPITULO 5. CAMPOS MAGNETICOS Y MATERIA OSCURA
Los perfiles de densidad, masa y velocidad anteriores tambien se obtienenal considerar a la materia oscura como un campo escalar real [6]. Sin em-bargo, en este trabajo de tesis, se obtiene como solucion a un caso especialde la ecuacion (5.10).
Caso general.
En el caso general, la solucion a la ecuacion (5.10) diferira de ser unsin(kr) o un cos(kr). Pero por (5.18), tambien se tendran distintos estadosde Φj cada uno con densidad:
ρj = κ2mΦT20j|Y q
p (θ, ϕ)|2R2j
r2= 4πρj0|Y q
p (θ, ϕ)|2R2j
k2j r
2, (5.24)
entonces la densidad total sera la suma de las densidades de cada estado j:
ρtotal =∑j
ρj =∑j
4πρj0|Y qp (θ, ϕ)|2
R2j
k2j r
2. (5.25)
Entonces los perfiles de masa y velocidad son:
M = 4π∑j
ρj0k2j
∫R2jdr, (5.26)
V 2 = 4πG1
r
∑j
ρj0k2j
∫R2jdr, (5.27)
donde la suma es sobre los estados j que sean necesarios para obtener lacurva de rotacion de cierta galaxia.
Como se puede ver la solucion a la ecuacion (4.6) depende del potencialelectrico y magnetico que se elija. En este caso se supuso que el potencialelectrico y magnetico presente en las galaxias se puede aproximar a primerorden a: φ = A
ry ~A = ~Adip, lo cual solo es un “ansatz” para ver como se ven
afectadas las curvas de rotacion en presencia de estos campos.
5.3. RESULTADOS 29
5.3 Resultados
Para ver si las curvas de rotacion son afectadas por la presencia de cam-pos electromagneticos, se elaboraron las curvas de rotacion de la galaxiaNGC1003. La cual es una galaxia de bajo brillo superficial (LSB). Actual-mente se considera que una gran cantidad de la masa de este tipo de galaxias,mas del 95%, se encuentra en la forma de materia oscura. Por lo que paraelaborar sus curvas de rotacion se puede utilizar la hipotesis del disco mınimo,es decir, se deprecia la componente barionica y solo se tiene en cuenta a lamateria oscura. Entonces para obtener las curvas de rotacion de este tipo degalaxias se puede utilizar (5.27).
Caso 1.De acuerdo a [5] el mejor ajuste a la curva de rotacion de la galaxia
NGC1003 se obtiene si en (5.20) solo se consideran los estados 1 y 3, condensidades centrales ρ1
0 = .001M�pc3
y ρ30 = .0220M�
pc3, respectivamente.
La densidad total de esta galaxia es:
ρtotal = ρ10
sin2(k1r)
k21r
2+ ρ3
0
sin2(k3r)
k23r
2, (5.28)
y el perfil de velocidades es:
V 2 =2πGρ1
0
k21
(1− sin(2k1r)
2k1r
)+
2πGρ30
k23
(1− sin(2k3r)
2k3r
), (5.29)
donde k1 = πr′
, k3 = 3πr′
y r′ = 35Kpc.En la Figura (5.1) se puede ver la curva de rotacion y el perfil de densidad
obtenidos a partir de (5.29) y (5.28). La curva de rotacion coincide con loque se encuentra observacionalmente.
En lo que sigue se obtienen las curvas de rotacion para los casos en que
φ(r), Ia, p yλT 2
0
4πson distintos de cero y con la condicion de frontera ρ(r′) = 0.
Para eso, se resolvieron numericamente los distintos casos de la ecuacion(5.10) y a partir de las soluciones se elaboraron las curvas de rotacion.
Caso 2.Si p 6= 0, Ia = 0, φ(r) = 0 y
λT 20
4π≈ 0 en (5.10), la ecuacion que se obtiene
para Rj es:
R′′j +
[ω2j
c2− m2
Φ
2
]Rj −
p(p+ 1)
r2Rj = 0,
cuyas soluciones son las funciones de Bessel esfericas.
30 CAPITULO 5. CAMPOS MAGNETICOS Y MATERIA OSCURA
En la figura (5.2) 1 se presentan las curvas de rotacion que se obtienensi p 6= 0, como se puede ver, las velocidades son muy grandes y estas seincrementan conforme aumenta el valor de p.
Caso 3.
Ia 6= 0,p = 0, q = 0, φ(r) = 0 yλT 2
0j
4π≈ 0 con lo que (5.10) queda como:
R′′j + k2jRj −
e2µ20I
2a2
24π2r4Rj = 0 (5.30)
Al resolver esta ecuacion numericamente se encuentra que para que seproduzcan campos magneticos del orden de microgauss que no deformen lascurvas de rotacion, la constante de acoplamiento e debe ser del orden de10−70 o menor a este. Si esta constante es mayor a este valor, los camposmagneticos que pueden existir sin deformar a la curva de rotacion son muydebiles. En la figura (5.3) se muestra como varıa la intensidad del campomagnetico respecto al centro de la galaxia sobre el disco galactico (θ = π
2),
para e = 10−70 y e = 10−71 . Para que la curva de rotacion no cambie yk1 = π
r′, k3 = 3π
r′; en el primer caso Ia debe ser ≤ 1057Am2 y en el segundo
Ia debe ser ≤ 1058Am2.
Caso 4.
Si φ(r) 6= 0, p = 0, q = 0, Ia = 0 yλT 2
0j
4π≈ 0, entonces:
R′′j + k2jRj + 2eωj
φ(r)
c2Rj + e2φ
2(r)
c2Rj = 0. (5.31)
Para resolver esta ecuacion se considero al potencial electrico como φ(r) = Ar,
donde A es una constante, y e = 10−70, 10−71.Se resolvio numericamente considerando distintas condiciones iniciales, es
decir distintos valores de φ(r0) = Ar0
, donde r0 es el punto inicial en el queφ(r) se evalua.
Se encontraron casos en los que las curvas de rotacion no cambian, esdecir casos en los que se obtiene la misma curva de rotacion que la obtenidapara el caso 1 y ademas los valores de k1 y k3 son los mismos. Por ejemplo,cuando e = 10−70 , φ(r0) debe ser menor o igual a 1.8937× 10−84V y cuandoe = 10−71 , φ(r0) debe ser menor o igual a 1.8937×10−83V. Si φ(r0) es mayor
1En todas las figuras, se presentan de color rosa a las curvas de rotacion y densidades
para los casos en los que los terminos φ(r), Ia, p,λT 2
0j
4π son distintos de cero. Y de colorazul, la curva de rotacion y la densidad que se obtiene a partir del caso 1, que coincidecon la curva de rotacion que se obtiene observacionalmente para la galaxia NGC 1003.
5.3. RESULTADOS 31
a los valores anteriores k1 6= πr′
y k3 6= 3πr′
, y como se puede ver en la figura(5.5) las curvas de rotacion se deforman.
Caso 5.
La ecuacion diferencial (5.10) es lineal, si el terminoλT 2
0j
4π≈ 0. Por otro
lado, al resolverla numericamente se encuentra que este terminoλT 2
0j
4πdebe
ser aproximadamente ≤ 10−3 para que las curvas de rotacion no se deformen.Entonces, el termino T 2
0j debe ser menor o igual a:
T 20j ≤
4π~2c210−3
λ(5.32)
Si λ es del orden de 10−90, entonces T 20j ≤ 1.256× 1037J2m2. El valor de T 2
0j
esta relacionado con κ, ası que a partir de este valor se puede estimar el valorde κ.
Caso 6.Combinacion de todos los casos anteriores.Las curvas de rotacion no cambian si φ(r0) e Ia cumplen con las condi-
ciones senaladas anteriormente y si p = 0,λT 2
0j
4π≤ 10−3.
Como ejemplo de esto, en la figura (5.6) se muestra la curva de rotacion
que se obtiene si Ia = 1057Am2 y φ(r0) = 1.8937 × 10−84V yλT 2
0j
4π≈ 0, que
es la misma que se obtiene observacionalmente.
(a) Curva de rotacion (b) Densidad
Figura 5.1: Curva de rotacion y perfil de densidad para la galaxia NGC1003.
32 CAPITULO 5. CAMPOS MAGNETICOS Y MATERIA OSCURA
(a) Curva de rotacion p = 1 (b) Densidad
(c) Curva de rotacion p = 2 (d) Densidad
(e) Curva de rotacion p = 3 (f) Densidad
Figura 5.2: Curvas de rotacion y perfiles de densidad obtenidos a partir dela solucion para el caso 2, para distintos valores de p.
5.3. RESULTADOS 33
(a) e = 10−70, Ia = 1057Am2 (b) e = 10−71, Ia = 1058Am2
Figura 5.3: Variacion de la intensidad del campo magnetico a lo largo deldisco galactico. Para que la curva de rotacion de la galaxia NGC 1003 nocambie, si e = 10−70 entonces Ia debes ser ≤ 1057Am2 y si e = 10−71 entoncesIa debes ser ≤ 1058 Am2.
(a) e = 10−71, Ia = 1059Am2 (b) Curva de rotacion
Figura 5.4: Intensidad del campo magnetico y curva de rotacion de la galaxiaNGC 1003 para e = 10−71, Ia = 1059Am2.
34 CAPITULO 5. CAMPOS MAGNETICOS Y MATERIA OSCURA
(a) e = 10−70,φ(r0) = 10−81V (b) Densidad
(c) e = 10−71,φ(r0) = 10−81V (d) Densidad
Figura 5.5: Curva de rotacion y densidad, en presencia de un potencialelectrico.
5.3. RESULTADOS 35
(a) Curva de rotacion (b) Densidad
(c) Intensidad del campo magnetico
Figura 5.6: Curva de rotacion, densidad e intensidad del campo magneticocon φ(r0) = 1.8937× 10−84V, Ia = 1057Am2.
Capıtulo 6
Campos generados por lamateria oscura
El lagrangiano del campo despues del rompimiento de simetrıa esta dado por:
L =1
~c(∂µΦ + ieAµΦ)(∂µΦ∗ − ieAµΦ∗)− m2
Φ
2~c(ΦΦ∗)− 1
4µ0
F µνFµν , (6.1)
entonces si se calcula la ecuacion de Euler-Lagrange para Aµ:
∂L∂Aµ
− ∂ν[
∂L∂(∂νAµ)
]= 0, (6.2)
se obtiene:
∂νFµν = −µ0e
~cjµ, (6.3)
dondejµ = i [Φ∗(∂µΦ + ieAµΦ)− Φ(∂µΦ∗ − ieAµΦ∗)], (6.4)
y se cumple que:∂µj
µ = 0, (6.5)
debido a la antisimetrıa de F µν .Se puede ver de la ecuacion (6.3), que el campo Φ es fuente de un campo
electromagnetico, ası que en lo que sigue se resuelve esta ecuacion para en-contrar los campos que Φ origina, que sean compatibles con las curvas derotacion que se obtienen observacionalmente.
Si Φ = RrY qp (θ, ϕ)T0e
−iωt y Aµ = (φ(r), Aϕϕ), de (6.4) se obtiene :
j0 = −2|Φ|2(ω
c+eφ
c
), (6.6)
36
37
j1 = j2 = 0, 1 (6.7)
j3 = −2|Φ|2( q
r sin θ+ eAϕ
). (6.8)
A partir de (6.3), (6.6) y (6.8), se obtiene una ecuacion para Aϕ y unapara el potencial electrico φ(r):
∂2Aϕ∂r2
+1
r2
∂2Aϕ∂θ2
+2µ0e
~c
( q
r sin θ+ eAϕ
)|Φ|2 = 0, (6.9)
d2φ
dr2+
2µ0e
~|Φ|2
(ω
c+eφ
c
)= 0. (6.10)
Para poder resolver (6.9) se propone Aϕ = Aϕ(r, θ) = S(r)e−ibθ con loque se encuentra:
d2S
dr2− b2
r2S(r) +
2µ0e
~c
(qeibθ
r sin θ+ eS
)|Φ|2 = 0. (6.11)
Las ecuaciones anteriores permiten tener restricciones del potencial electricoφ y el potencial vectorial magnetico Aϕϕ = Se−ibθϕ, cuya fuente es el campoΦ.
Ademas φ y S deben satisfacer:
R′′j + k2jRj −
p(p+ 1)
r2Rj +
2eωjφ
c2Rj + e2φ
2
c2Rj −
λR3j |T0j|2
4πr2
−ieqSbr
cos(bπ)Rj −eqS
brsin(bπ)Rj +
ieqS
brRj − e2S2Rj = 0, (6.12)
la cual se obtiene al sustituir Aϕ = Se−ibθ en (5.8).De la parte imaginaria de (6.12) se obtiene que:
cos(bπ) = 1, (6.13)
then b = 2n, es un numero entero par.Entonces, si b = 2n, la parte real de la ecuacion (6.12) queda como:
R′′j+k2jRj−
p(p+ 1)
r2Rj+
2eφωjc2
Rj+e2φ
2
c2Rj−
λ|T0j|2R3j
4πr2−e2S2Rj = 0, (6.14)
esta ecuacion es el analogo a la ecuacion (5.10) en la que se propuso φ y
Aϕϕ = ~Adip. Solo que en este caso φ(r) y Aϕ son generados por Φ.
1Para que j1 y j2 sean cero hay que suponer que R es real
38CAPITULO 6. CAMPOS GENERADOS POR LA MATERIA OSCURA
A partir de las ecuaciones (6.10) y (6.11) se quiere encontrar la forma deφ(r) y S, que ademas deben satisfacer (6.14). Como se puede ver para poderresolver estas ecuaciones se requiere conocer |Φ|2 y por lo tanto a R.
Por otro lado, en el capıtulo 5 al analizar las curvas de rotacion para elcaso en el que φ(r) = A
ry Aϕϕ = ~Adip, se encontro que existen ciertos valores
de la magnitud del momento dipolar magnetico |Ia| y de φ(r0), para los que
la densidad de materia oscura de cada estado Φj es ρj = ρj0sin2(kjr)
k2j r
2 , es decir
Rj = sin(kjr) con kj = πjr′
. Tambien se vio que p debe ser igual cero si sequieren obtener las curvas de rotacion que se obtienen observacionalmente.
Teniendo en cuenta lo anterior, para poder resolver (6.10) y (6.11), sesupone que existen casos en los que las curvas de rotacion no cambian debidoa la presencia de un campo electromagnetico creado por el mismo campo
escalar. Es decir, se considera a Rj ≈ sin(kjr) y a |Φj|2 ≈T 2
0j
4π
sin2(kjr)
r2 , por loque para cada kj existe una solucion Sj a la ecuacion:
d2Sjdr2
+
(µ0e
2|T0j|2
2π~csin2(kjr)
r2− b2
r2
)Sj = 0, (6.15)
y con b = 2n
d2Sjdr2
+
(µ0e
2|T0j|2
2π~csin2(kjr)
r2− 4n2
r2
)Sj = 0. (6.16)
Entonces,~A = Aϕϕ =
∑Ajϕϕ =
∑Sje
−i2nθϕ, (6.17)
donde Ajϕϕ es el potencial vectorial que genera cada Φj.
Por otro lado, como ~B = ∇× ~A, entonces,
~B =∑∇× (Ajϕϕ) = Brr +Bθθ, (6.18)
donde
Br =∑
(cot θ − i2n)Sjre−i2nθ, (6.19)
Bθ =∑(
Sjr
+dSjdr
)e−i2nθ. (6.20)
A partir de las ecuaciones anteriores se puede encontrar la magnitud delcampo magnetico:
| ~B|2 =(4n2 + cot2 θ + 1)
r2
(∑Sj
)2
+2
r
(∑Sj
)(∑ dSjdr
)+
(∑ dSjdr
)2
.
(6.21)
39
Entonces, la magnitud del campo magnetico a lo largo del disco galactico,en θ = π
2es:
| ~B|2 =(4n2 + 1)
r2
(∑Sj
)2
+2
r
(∑Sj
)(∑ dSjdr
)+
(∑ dSjdr
)2
. (6.22)
Cabe aclarar, que las Sj y sus respectivas derivadas, que se consideren enla sumas que aparecen de (6.16) a (6.22), dependeran de los estados Φj, quese tengan en cuenta en (5.20) y (5.23) para obtener la densidad y las curvasde rotacion de cierta galaxia.
Utilizando (6.16) y (6.22), se puede encontrar la variacion de la intensidaddel campo magnetico para cualquier galaxia a lo largo del disco galactico.
En lo que sigue se analizan los campos magneticos y el potencial electricoque puede originar la materia oscura en la galaxia NGC 1003. Para eso seresuelven numericamente las ecuaciones (6.16) y (6.10) para j = 1 y j = 3,para distintas condiciones iniciales. Y a partir de la solucion a (6.16), seencuentra la variacion de la intensidad del campo magnetico a lo largo deldisco galactico, dada por:
| ~B(r)|2 =n2 + 1
r2(S1 + S3)2 +
2
r(S1 + S3)
(dS1
dr+dS3
dr
)+
(dS1
dr+dS3
dr
)2
(6.23)Ademas se considera, que el campo electromagnetico presente en la galaxia
debe ser compatible con las curvas de rotacion, es decir, la presencia de esteno debe deformarlas. Para ver esto, se debe introducir Sj y φj a la ecuacion(6.14) y ver bajo que condiciones la densidad para cada estado se puede seguir
expresando como: ρj = ρj0sin2(kjr)
k2j r
2 ; con ρj(r′) = 0, kj = jπr′
y r′ = 35Kpc.
Ademas, se busca que la intensidad de los campos magneticos sean del ordende microgauss, ya que estas son las intensidades que se han detectado en lasgalaxias.
Al considerar lo anterior, se encontro:1.- Para que existan campos magneticos con intensidades del orden de
microgauss, compatibles con las curvas de rotacion, la constante de acopla-miento e debe ser del orden de 10−67. Si la constante de acoplamiento esmayor los campos magneticos que puede producir este campo sin alterar lascurvas de rotacion son muy debiles.
2.- Si en (6.16) n 6= 0, la intensidad del campo magnetico es aproximada-mente cero en el centro de la galaxia y crece conforme uno se aleja de este.Dependiendo de las condiciones iniciales Sj es creciente o decreciente, sinembargo, la intensidad del campo magnetico siempre se comporta como enla figura (6.1).
40CAPITULO 6. CAMPOS GENERADOS POR LA MATERIA OSCURA
3.- Si n = 0 en (6.16), la variacion de la intensidad del campo magneticorespecto al radio, a lo largo del disco galactico puede variar de 2 formasdistintas. En el primer caso, ejemplificado por las figuras (6.2), (c) y (e), elcampo es mas intenso en el centro de la galaxia y conforme la distancia alcentro de la galaxia aumenta, este disminuye a cierto valor. Mientras queen el segundo, como se puede ver en las figuras (6.2),(a) y (6.3), el campotambien es mas intenso cerca del centro de la galaxia y decrece hasta ciertovalor de r, despues de este valor la intensidad del campo aumenta hastacierto valor. Si e es del orden de 10−67, el campo Φ puede generar camposmagneticos del orden de microgauss, conforme disminuye el valor de e lasintensidades de estos pueden ser mayores a los µG. Esto se puede ver en lafigura (6.4).
4.- Para que el potencial electrico, que produce el campo escalar, nodeforme las curvas de rotacion, si λ es del orden de 10−90, entonces T 2
0j ≤10−65J2m2 y φ(r0) ≤ 10−36V. En la figura (6.5) se muestra el potencialelectrico para distintas condiciones iniciales, el cual puede ser una funcioncreciente o decreciente.
41
(a) (b) S1
(c) dS1
dr
Figura 6.1: (a) Intensidad del campo magnetico para n = 1, e = 10−67,S1(r0) = S3(r0) = 6.1372× 10−12 N
A, dS1
dr(r0) = dS3
dr(r0) = −1.989× 10−18T
42CAPITULO 6. CAMPOS GENERADOS POR LA MATERIA OSCURA
(a) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 1010 NA , dS1
dr (r0) =dS3
dr (r0) = −1.989× 10−10T
(b) Zoom
(c) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 1010 NA , dS1
dr (r0) =dS3
dr (r0) = −1.989× 10−11T
(d) zoom
(e) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 1011 NA , dS1
dr (r0) =dS3
dr (r0) = −1.989× 10−28T
(f) zoom
Figura 6.2: Intensidades del campo magnetico que se obtienen si e = 10−67
y n = 0, para diferentes condiciones iniciales.
43
(a) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 108 NA ,dS1
dr (r0) =dS3
dr (r0) = −1.989× 10−10T
(b) zoom
(c) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 109 NA ,dS1
dr (r0) =dS3
dr (r0) = −1.989× 10−10T
(d) zoom
(e) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 1010 NA ,dS1
dr = dS3
dr =−1.989× 10−10T
(f) zoom
Figura 6.3: Intensidad del campo magnetico a lo largo del disco galacticopara e = 10−67 y n = 0. Se puede ver que dependiendo de las condicionesinciales puede existir, a cierto radio, un mınimo para la intensidad del campomagnetico.
44CAPITULO 6. CAMPOS GENERADOS POR LA MATERIA OSCURA
(a) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 1010 NA ,
dS1
dr (r0) =dS3
dr (r0) = 1.989× 10−10T
(b) zoom
(c) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 1010 NA , dS1
dr (r0) =dS3
dr (r0) = 1.989× 10−9T
(d) zoom
(e) S1(r0) = S3(r0) = 6.1372 × 1011 NA ,
dS1
dr (r0) =dS3
dr (r0) = 1.989× 10−11T
(f) zoom
Figura 6.4: (a),(b),(c),(d) Intensidad del campo magnetico sobre el discogalactico para e = 10−68 y (e), (f) para e = 10−69.
45
(a) φ1(r0) = 10−32V, dφ1
dr (r0) = −10−38 JC . (b) φ3(r0) = 10−32V, dφ3
dr (r0) = −10−38 JC .
(c) φ1(r0) = 10−33V, dφ1
dr (r0) = −10−38 JC . (d) φ3(r0) = 10−33V, dφ3
dr (r0) = −10−38 JC .
(e) φ1(r0) = 10−38V, dφ1
dr (r0) = 10−36 JC . (f) φ3(r0) = 10−38V, dφ3
dr (r0) = 10−36 JC .
Figura 6.5: Potencial electrico que genera Φ, para e = 10−67.
Capıtulo 7
Conclusiones
En el capıtulo 5 se analizaron las curvas de rotacion, para la galaxia NGC1003, que se obtienen a partir de la solucion a la ecuacion (5.10), es deciren presencia de un campo electromagnetico. Para esto se propuso, como unansatz, el potencial vectorial de un dipolo magnetico y el potencial electricode una carga puntual.
Al analizar las curvas de rotacion que se obtienen en la presencia de estoscampos se concluye que:
1. p debe ser igual a cero, ya que si p 6= 0 las velocidades en las curvasde rotacion son muy grandes. Entonces, si p = 0 el campo Φ no depende nide θ ni de ϕ.
2. La presencia de un campo electromagnetico en las galaxias puedemodificar la densidad de masa de materia oscura en estas y por ende lascurvas de rotacion, lo que se puede ver en las figuras (5.4) y (5.5). En general,se encontro que las curvas de rotacion se deforman para ciertas intensidadesde estos campos pero existen casos en donde la densidad de materia oscurapara cada estado Φj sigue siendo:
ρj = ρj0sin2(kjr)
k2j r
2,
donde kj = πjr′
. Es decir, casos en donde la presencia de estos campos nodeforman las curvas de rotacion y en donde Rj = sin(kjr) y por lo tanto:
Φj =T0j
4π
sin(kjr)
re−iωjt.
Al ver que existıan casos donde la presencia de campos electromagneticosno alteraban las curvas de rotacion, en el capıtulo 6 se busco si era posibleque el propio campo Φ genere un campo electromagnetico compatible con lascurvas de rotacion.
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Para encontrar este campo electromagnetico se solucionaron numericamentelas ecuaciones (6.10) y (6.11), pero para poder resolverlas se debe conocerΦj, ası que se supone que aun en la presencia del campo electromagnetico
producido por el mismo campo, Φj tiene la formaT0j
4π
sin(kjr)
re−iωjt.
Ademas los campos generados por Φ deben satisfacer (6.14), que es elanalogo a la ecuacion (5.10).
Considerando lo anterior se encontro que el campo escalar Φ puede pro-ducir un campo magnetico del orden de microgauss si la constante de acopla-miento, e, es del orden de 10−67. Si la constante de acoplamiento es menora 10−67 se pueden producir campos mas intensos consistentes con las curvasde rotacion, figura (6.4).
El termino n en (6.17) debe ser igual a cero, ya que si este termino esdistinto de cero, la intensidad del campo en el disco galactico crece conformeel radio aumenta, como se puede ver en la figura (6.1), lo cual no coincide conlas observaciones. Ademas se puede ver que con n = 0 el campo magnetico,es un campo vectorial real. Y este esta dado por:
~B =∑ Sj
rcot θr +
∑(Sjr
+dSjdr
)θ (7.1)
Si n = 0, dependiendo de las condiciones iniciales, la intensidad del campomagnetico en el disco galactico, se puede comportar de dos formas distintas.En ambos casos el campo magnetico es mas intenso en el centro de la galaxia,lo que coincide con las observaciones. Sin embargo, existen casos en dondela intensidad del campo disminuye hasta cierto valor y posteriomente vuelvea crecer , como en la figura (6.3). Este resultado serıa una forma de compro-bar si un campo escalar complejo es la materia oscura que se encuentra enlas galaxias, ya que si fuera ası, se deberıan encontrar galaxias con camposmagneticos cuyas intensidades a lo largo del disco galactico tuvieran estacaracterıstica.
Dependiendo de las condiciones iniciales, el potencial electrico que pro-duce el campo puede ser una funcion creciente o decreciente. Sin embargo,el potencial electrico que genere Φ debe ser decreciente, ya que existe unamayor cantidad de materia oscura hacia el centro galactico. Para que lapresencia del potencial electrico, no deforme las curvas de rotacion, T0j debeser ≤ 10−65J2m2, esto si λ es del orden de 10−90. Lo que permite tener cotaspara el valor de κ, pues T0j y κ estan relacionados por medio de la ecuacion(5.16).
Despues del rompimiento de simetrıa el foton adquiere masa, la cual estadada por:
m2A =
e2m2Φ
2λ. (7.2)
48 CAPITULO 7. CONCLUSIONES
Si λ es del orden de 10−90 y e del orden de 10−67, entonces la masa queadquirirıa el foton serıa de alrededor de: 1.13× 10−45eV.
Bibliografıa
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