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Circuitos ElectrónicosCircuitos Electrónicos
2º de Grado en Ingeniería Informática 2º de Grado en Ingeniería Informática
y de Doble Grado Ing. Informática/Matemáticas
Escuela Politécnica Superior- U.A.M.
TEMA 1: Teoría de redes lineales
a) Elementos de circuitos
b) Métodos simplificados de análisis
c) Principio de superposición
d) Circuitos de dos terminales
e) Impedancia y análisis fasorial
f) Máxima transferencia de señal en la interconexión de circuitos
2
TEMA 1: Teoría de redes lineales.
Magnitudes y propiedades Unidades (SI)
Diferencia de potencial, tensión o "voltaje" voltio (V)
Corriente amperio (A)
Potencia vatio (W)
Resistencia ohmio (Ω)
Inductancia henrio (H)
Capacidad faradio (F)
Carga Culombio(C)
33
Carga Culombio(C)
Tiempo Segundo(s)
Múltiplos y submúltiplos
a f p n µ m K M G T
10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 103 106 109 1012
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
Tipos de elementos ideales:
• Activos: pueden ceder energía al circuito
Tipo Nombre Símbolo V-I
Fuente de tensión
Vab
I
V1 Vab = V1
– El valor de la corriente en una fuente de tensión depende del circuito en el que se encuentre
– El valor de la tensión entre los terminales de una fuente de corriente depende del circuito en el que se encuentre
Independientes
Fuente de corriente
I
Vab
II1
4
I = I1
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
Tipo Nombre Símbolo V-I
Dependientes
Fuente de tensión
Fuente de
Vab
IV
ab
Vab = αV1o
Vab = βI1
I = γV1
– V1 ó I1, tensión o corriente en algún punto del circuito en el que se encuentran– Los coeficientes α, β, γ y δ son constantes con las dimensiones apropiadas– A diferencia de las independientes, tanto el valor de la tensión como el de la
corriente en estas fuentes, depende del circuito en el que se encuentren– Ejemplo real: transformador
Fuente de corriente
I
5
I = γV1o
I = δI1
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
• Pasivos: no pueden ceder energía al circuito
Tipo Nombre Símbolo V-I
Impedancias
Resistencia
Bobina
Vab
I
)t(diLv ba =
Vab = R·I
¡Ley de Ohm!
– Un cable es una resistencia de valor nulo ⇒ vab = 0; ¿i?: depende del circuito– Notación: se suelen utilizar minúsculas para las magnitudes que dependen de t– Recordemos cómo se obtienen Req, Leq, Ceq,... cuando se tienen asociaciones
serie o paralelo de estos elementos
Bobina
Condensador
dtLv ba =
dt)t(dv
Ci ab=
6
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
• Equivalentes: asociaciones en serie o paralelo de elementos de circuitos
– Asociación en serie de elementos pasivos:
7
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
– Asociación en paralelo de elementos pasivos:
8
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
– Asociaciones en serie ¿y paralelo? de fuentes de tensión:
9
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
– Asociación en serie de fuentes de tensión:
10
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
– Asociaciones en ¿serie y? paralelo de fuentes de corriente:
11
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
– Asociación en paralelo de fuentes de corriente:
12
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
• Otros elementos : las conexiones (ramas, nodos, lazos cerrados y mallas)
– Nodo: punto donde se unen tres o más elementos– Rama: porción de circuito entre dos nodos que no pasa por un tercer nodo– Lazo cerrado: recorrido en un circuito que parte y acaba en el mismo punto– Malla: lazo cerrado que no contiene otros lazos cerrados en su interior
♣ Ejemplo: el circuito de la figura presenta
- 2 nodos- 3 ramas- 3 lazos cerrados- 2 mallas
m = r – n + 1
13
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
• Cesión y consumo de energía
En general, para elementos activos y pasivos:
Elemento
BalanceVab > 0,Ia→b > 0consumo
Vab = V1 > 0Si Ia→b > 0consumo
Vab = V1 > 0Si Ia→b < 0cesión
Ia→b = I1 > 0Si Vab > 0consumo
Ia→b = I1 > 0Si Vab < 0cesión
En general, para elementos activos y pasivos:
– Definiciones de potencia: Si i(t),v(t) ≡ ctes., P = I⋅V
– Las resistencias siempre consumen energía– Si hay varias fuentes en un circuito, puede ocurrir que alguna consuma energía– El criterio para fuentes dependientes es el mismo que para f. independientes– Se puede demostrar que en bobinas y condensadores ideales en circuitos con
fuentes de señal (tensión o corriente) periódicas el consumo medio de energía es nulo
dt)t(v)t(iT1
P);t(v)t(i)t(p T0∫ ⋅=⋅=
14
Elementos reales en circuitos reales
Los elementos reales se separan en mayor o menor grado de los elementos idealesestudiados, lo que habrá que tener en cuenta en los montajes experimentales que sevan a realizar en el laboratorio. Estas son algunas de las diferencias que nospodremos encontrar:
• Activos:– Fuentes de tensión independientes: la tensión no es la misma para cualquier
corriente. Habitualmente se les denomina fuentes de alimentación.
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
corriente. Habitualmente se les denomina fuentes de alimentación.
Fuente de tensión ideal Modelo de fte. de tensión real Fuente de alimentación
V
I15
• Pasivos:– Condensadores y bobinas: se comportan como si tuvieran una cierta
componente resistiva asociada, llamada resistencia parásita. Por ejemplo,para las bobinas:
TEMA 1: Teoría de redes lineales. a) Elementos de circuitos
16
TEMA 1: Teoría de redes lineales. b) Métodos simplificados de análisis
Análisis de un circuito
→ determinación de las corrientes y tensiones en el mismo
♣ Ejemplo de análisis de circuitos:
– Se conocen VA, IB, Rj y α, pero no I1, IR2ni VIB
– ¿Cómo deducir las magnitudes desconocidas?
• Mediante las leyes de Kirchhoff
• Aplicando métodos simplificados de análisis
17
TEMA 1: Teoría de redes lineales. b) Métodos simplificados de análisis
Leyes de Kirchhoff :1) L.K.N.: en un nodo, ΣIk = 0 (Conservación de la carga)2) L.K.M.: en una malla, ΣVk = 0 (Potencial eléctrico, conservativo)
En el circuito anterior, escogiendo arbitrariamente los sentidos de corrientes y tensiones y usando además la L. de Ohm:
I + I – I = 0I1 + IB – I2 = 0– VA + R1I1 + αI1 + R2I2 = 0– VIB + R3IB + αI1 + R2I2 = 0
⇒ Las L.K. nos proporcionan un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas⇒ Se pueden plantear más ecuaciones, pero son linealmente dependientes
♦ Una buena elección: m ecuaciones de malla (con L.K.M.)n-1 ecuaciones de nodo (con L.K.N.)
siendo “m” el nº de mallas y “n” el nº de nodos del circuito.18
TEMA 1: Teoría de redes lineales. b) Métodos simplificados de análisis
• Método de tensiones de nodo: utiliza la L.K.N.
– Se elige un nodo como origen de tensiones (V=0), y se etiquetan los restantes– Se asignan corrientes a todas las ramas del circuito– Mediante la L.K.N. se plantean n-1 ecuaciones de nodo (siendo n ≡ nº de nodos)– Se expresan las ecs. en función de las tensiones de nodo usando la L. Ohm– Si el sistema es indeterminado (porque hay fuentes dependientes), se buscan
relaciones “adicionales” en el propio circuito y se resuelve el sistema (obtención de las tensiones de nodo)
♣ Ejemplo:−L.K.N.: I1 + IB − I2 = 0;
I1 = (VA+ − Vx)/R1 = (VA − Vx)/R1
I2 = (Vx − αI1)/R2
¡Atención!:– VA+ = VA debido a la elección del origen de tensión (VA− ≡ 0)– En cualquier otro caso, VA = VA+ - VA − ≠ VA+
– No confundir la corriente por la fuente dependiente de tensión, I2, con I1
( )...,V0
RR/VVV
IR
VVX
2
1XAXB
1
XA ⇒=−α−−+−⇒
19
TEMA 1: Teoría de redes lineales. b) Métodos simplificados de análisis
• Método de corrientes de malla: utiliza la L.K.M.
– Se asigna una “corriente de malla” a cada malla. Una rama perteneciente a dos mallas estará recorrida por dos “corrientes de malla”
– Mediante la L.K.M. se plantean m ecuaciones de malla (siendo m ≡ nº de mallas)– Se expresan las ecs. en función de las corrientes de malla usando la L. Ohm– Si el sistema de ecuaciones es indeterminado, se buscan relaciones “adicionales”
en el circuito y se resuelve el sistema (obtención de las corrientes de malla)
♣ Ejemplo:L.K.M.: −VA + IxR1 + αI1 + (Ix − Iy)R2 = 0
− − α(Iy − Ix)R2 − αI1 + IyR3 + VIB = 0I1 = Ix (ec. adicional)Iy = − IB (ec. adicional)
⇒ −VA + Ix(R1 + α + R2) + IBR2 = 0− IB(R2 + R3) − (R2 + α)Ix + VIB = 0
¡Atención!:– No confundir las “corrientes de malla” con las corrientes de rama– En este caso, se podrían haber etiquetado directamente las “corrientes de malla”
como I1 e IB tomando los sentidos apropiados para las mismas– Entre los terminales de una fuente de corriente hay una tensión desconocida
20
TEMA 1: Teoría de redes lineales. c) Principio de superposición
Pº de superposición: En aquellos fenómenos físicos en los que causa y efecto estánlinealmente relacionados, el efecto total de varias causas actuando simultáneamente esequivalente a la suma de los efectos de cada causa actuando individualmente.
En circuitos electrónicos: causas ⇔ fuentes independientesefectos ⇔ tensiones y corrientes que producen
• Anulación de fuentes independientes:
⇒ ⇒
Cortocircuito Circuito abierto Cortocircuito Circuito abierto
– Este teorema puede usarse con cualquiera de los métodos de análisis anteriores– Es especialmente útil en algunos circuitos de c.a.
¡Atención!:– Las fuentes dependientes no se deben anular, pues no son causas– No olvidar que la corriente por un cortocircuito puede tomar cualquier valor,
mientras que la corriente por un circuito abierto es nula– Las ecuaciones de un circuito parcial no son válidas para el o los otros, pues la
topología de ambos circuitos es diferente21
TEMA 1: Teoría de redes lineales. c) Principio de superposición
♣ Ejemplo 1: Obtener VAB utilizando el principio de superposición
VAB = V’AB + V”AB, siendoV’AB: tensión debida a I1V”AB: tensión debida a V2
Anulando V2: Anulando I1:
Resolviendo ambos circuitos parciales mediante los métodos de análisis estudiados, se puede obtener que:
V’AB = I1 R1R2/(R1+R2) V”AB = V2 R1/(R1+R2)
⇒ VAB = (I1R2 + V2) R1/(R1+R2)
22
TEMA 1: Teoría de redes lineales. c) Principio de superposición
♣ Ejemplo 2: Obtener IB utilizando el principio de superposición
IB = IB’ + IB”, siendoIB’ : corriente debida a I1IB” : corriente debida a V2
Anulando V2: Anulando I1:
Y resolviendo ambos circuitos parciales mediante los métodos de análisis estudiados, se puede obtener que:
I’B = I1R2/(R1+R2) I”B = V2/(R1+R2)
⇒ IB = (I1R2 + V2)/(R1+R2)
23
TEMA 1: Teoría de redes lineales. c) Principio de superposición
♣ Ejemplo 3: Obtener IB utilizando el principio de superposición
IB = IB’ + IB”, siendoIB’ : corriente debida a I1IB” : corriente debida a V2
Anulando V2: Anulando I1:
Y resolviendo ambos circuitos parciales mediante los métodos de análisis estudiados, se puede obtener que:
24
21)R(β
1R
2R
1I
´BI ++=
21)R(β
1R
2V
´´BI ++=
21)R(β
1R
2R
1I
2V
BI +++
=⇒
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
¿Qué ocurre si en una red o circuito lineal conectamos entre dos puntos una resistencia adicional (o resistencia de carga) y hacemos variar su valor?
– Las corrientes y tensiones dentro de la red lineal variarán con el valor de R– Se establecerá una corriente I por la resistencia, y la caída de tensión V entre
sus terminales será función de ella– A la relación V-I así obtenida se le denomina ecuación característica del circuito, – A la relación V-I así obtenida se le denomina ecuación característica del circuito, y a su representación gráfica, curva característica
♣ Ejemplo: ecuación característica del circuito de la figura, dados los puntos A y B
L.K.N.: I1 − I2 − I = 0; I1 − V/R2 − I = 0 ⇒ V(I) = R2I1 − R2I Curva característica:
00
I1
R2I1
V
I 25
¡Atención!:– En circuitos con varias posibilidades de elección de los terminales, se obtendrán
distintas ecuaciones características (y distintos circuitos equivalentes) para cada par de terminales. En el ejemplo anterior es inmediato que:
• tomando los puntos A y B: V(I) = R2 I1 − R2 I
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
• tomando los puntos C y B: V(I) = (R1+R2) I1 − (R1+R2) I
• tomando los puntos C y A: V(I) = R1 I1 − R1 I
26
– Observar que la relación obtenida es de la forma V(I) = A − B⋅I; este resultado es general para toda red lineal, por ser combinación de elementos lineales
– La constante “A” ([A] = V) corresponde a la situación en que I=0 (R no conectada o de valor infinito, o sea terminales en “circuito abierto”), y recibe el nombre de tensión de Thévenin, VTh
– La constante “B” ([B] = Ω) recibe el nombre de resistencia equivalente, Req
V(I) = VTh − Req ⋅I
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un cir cuito formadopor una fuente de tensión en serie con una resistencia (Teore ma de Thévenin )
27
– Si se intercambian las variables dependiente e independiente, la relación es de la forma I(V) = C − D⋅V; este resultado es también general para toda red lineal
– La constante “C” ([C] = Amp) corresponde a la situación en que V=0 (R=0, o sea terminales en “cortocircuito” –con un cable entre ellos–), y recibe el nombre de corriente de Norton, In. Como C = A/B, entonces IN = VTh/Req
– La constante “D” ([B] = Ω) es D = B-1 = Req-1
− ⋅
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
I(V) = IN − Req-1⋅V
Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un cir cuito formadopor una fuente de corriente en paralelo con una resistencia ( Teorema de Norton )
28
– Los circuitos de Thévenin y Norton son a su vez equivalentes entre sí:
V(I) = VTh − Req ⋅I I(V) = IN − Req-1 ⋅V
o: V(I) = R ⋅I − R ⋅I
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
o: V(I) = Req ⋅IN − Req ⋅I
V(I) = VTh − Req ⋅I ⇔ VTh = Req ⋅IN
V(I) = Req ⋅IN − Req ⋅I
Aplicación: propiedad de “transformación de fuentes”
29
♣ Ejemplo 1: “transformación de fuentes”
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
30
♣ Ejemplo 2: (transformación de fuentes)
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
31
• Obtención de los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton de una red lineal
1) Identificando términos una vez obtenida la ecuación característica
2) Imponiendo en el circuito las condiciones de circuito abierto (tensión VTh) y de cortocircuito (para IN), y utilizando la relación entre ellas para obtener Req
- Si el circuito no tiene fuentes dependientes, se puede obtener Req
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
- Si el circuito no tiene fuentes dependientes, se puede obtener Reqanulando las fuentes independientes y calculando el equivalente de la asociación de resistencias visto desde esos dos puntos
- En cualquier circuito se puede obtener Req anulando las fuentes independientes, conectando una fuente de prueba externa (entre los terminales a y b) y hallando el cociente entre la tensión que aplica dicha fuente y la corriente que suministra
Ejemplos…
32
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
♣ Ejemplo 1: obtención de los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton de un divisor de tensión mediante la ecuación característica
Conectamos una resistencia de carga entre los terminales de salida A y B, obteniendo parejas de valores (Vo,Io) para cada valor de dicha resistencia:
33
• Ecuación característica:expresión de Vo en función Io
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
Identificando:
• Tensión equivalente de Thévenin: tensión en circuito abierto(valor de Vo cuando Io=0):
• Resistencia equivalente: pendiente de la recta (cambiada de signo):
34
Y por equivalencia de fuentes (equivalencia de equivalentes):
• Corriente equivalente de Norton: corriente en cortocircuito(valor de Io cuando Vo=0):
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
♣ Ejemplo 2: obtención de los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton de un divisor de corriente mediante las definiciones de sus parámetros
• Tensión equivalente de Thévenin: • Corriente equivalente de Norton:
35
• Tensión equivalente de Thévenin: • Corriente equivalente de Norton: tensión en circuito abierto corriente en cortocircuito
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
• Resistencia equivalente:Al no haber ninguna fuente dependiente, anulamos las independientes y obtenemos la resistencia equivalente por asociación de los elementos pasivos
36
que coincide con el resultado esperado a partir de la equivalencia de equivalentes:
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
♣ Ejemplo 3: obtención de los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton de un circuito con fuentes dependientes
Conectamos una resistencia de carga entre los terminales de salida A y B, obteniendo parejas de valores (Vo,Io) para cada valor de dicha resistencia:
37
Analizamos mediante el método de tensiones de nodo, para obtener la ecuación característica del circuito de dos terminales, Vo en función de Io:
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
Dos ecuaciones con tres incógnitas (Vx, Vo e Io); eliminamos Vx entre ambas y obtenemos, Vo en función de Io: la ecuación característica buscada
38
♣ Ejemplo 4: circuitos equivalentes de Théveniny Norton de la red lineal vista desdelos puntos a y b
1) Identificando términos en su ecuación característica:
Para obtener V(I) conectamos una resistencia de carga R entre a y b; Vo ≡ V
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
L.K.N.: AiIi + V/Ro + I = 0; “sobra” Ii
Vi – RiIi – ArVo = 0; Ii = Vi/Ri – ArV/Ri
AiVi/Ri – AiArV/Ri + V/Ro + I = 0
Finalmente,
i
iiN
iori
oieq
iori
oiiTh
iori
oi
iori
oii
RVA
I,RRAA
RRR,
RRAARVA
VIRRAA
RRRRAA
RVA)I(V −=
−−=
−=⇒
−+
−=
39
2) Imponiendo condiciones de salida en circuito abierto y cortocircuito:
En circuito abierto, VTh = Vo = – Ro AiIi = – Ro AiVi / Ri + Ro AiArVTh / Ri
⇒
TEMA 1: Teoría de redes lineales. d) Circuitos de dos terminales
iori
oiiTh RRAA
RVAV
−=
En cortocircuito, Vo ≡ V = 0 ⇒ IRo= 0
⇒ IN = – AiIi = – AiVi / Ri
∴
¡Atención!:– En la expresión V(I) no pueden figurar otras corrientes o tensiones que no sean
valores nominales de fuentes independientes, ni tampoco la resistencia de carga
iori
io
N
Theq RRAA
RRI
VR
−−==
40
• Números complejos (j ≡ unidad imaginaria, ):
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
(eje
imag
inar
io)
(eje real)
(j)
b
a
z
φ
1−=j
ab
jbabac
jcjba
arctg
||
)sen(cos22
=
+≡+=
⋅+=+
φ
φφ
Fórmula de Euler:
Haciendo uso de los operadores “parte real” y “parte imaginaria”:
Entonces:
(formas cartesiana y polar –o módulo-argumento–)
- “Complejo conjugado” de z:
φφφ sencos ⋅+= je j
41
Imsen
Recosφ
φ
φφ
j
j
e
e
==
(eje real)
φjecbja ⋅=⋅+=z
2||** zzzz =⋅⇒⋅=⋅−= − φjecbja
Todas las redes lineales consideradas hasta aquí presentan la resistencia como únicoelemento pasivo. Si presentaran bobinas o condensadores, el sistema de ecuaciones aplantear sería integro-diferencial, al no ser válida la ley de Ohm para estos doselementos.
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
)rescondensado(dt)t(iC1
)t(vdt
)t(dvC)t(i
)bobinas(dt
)t(diL)t(v
)asresistenci()t(iR)t(v
∫=⇒=
=
⋅=
Sin embargo, cuando las fuentes independientes son sinusoidales, mediante laformulación fasorial, la ley de Ohm puede extenderse también a bobinas ycondensadores.
Cdt ∫
42
0)(1)(
)()( =−−⋅− ∫ dttiCdt
tdiLtiRtvs
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
Cuando la única fuente independiente es sinusoidal, la resolución de las ecuaciones delcircuito se puede trasladar al espacio complejo, de tal modo que las ecuaciones integro-diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas, y se recuperan las relacionesóhmicas entre corrientes y tensiones (complejas), y, sobre todo, podemos utilizar losmétodos aplicables a sistemas lineales: superposición, Thèvenin y Norton.
43
En el espacio complejo, y para
funciones con dependencia
temporal e jωt
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
Veamos qué forma adoptan las relaciones v-i cuando se extiende al espacio complejo la resolución de algunos circuitos sencillos:
• Circuito capacitivo de señal alterna
temporaladependencimismalacon
íanvarcircuitodelseñaleslastodas,frecuenciadeusoidalsinfuenteunaCon
eVCjcon,eeeVCj)t(vCjdt
dvC)t(i
dtdv
C)t(i
eVsiendo,e)t(v)tcos(V)t(v
j
jp
tjtjjpc
cc
jp
tjcvp
vv
v
ω
ω≡ιι=ω=ω==→=
≡νν=→ϕ+ω=
ϕ
ϕωωϕ
ϕω
44
De forma inversa, mediante la ley de Ohm (compleja) ν = ι·Z , se podría obtener el fasorcorriente:
Y la variable temporal se puede obtener como
rcondensadodelpedanciaIm:ZCjeVCj
eV
)t(i)t(v
Cjp
jp
c
cv
v
≡ω
=ω
=ιν= ϕ
ϕ1
π+ϕ=ϕ−ϕ=ιϕ
ω⋅=ν
=ι
2vCv
pC
)Z()(
CVZ
tjeRe)t(i ωι=
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
• Circuito inductivo de señal alterna
bobinaladepedanciaIm:ZLjejLedtdi
L)t(v
e)t(i)t(i;e)t(v)tcos(V)t(v
Ltjtj
tjc
tjcvp
≡ω=ιν→ιω=ν→=
ι=→ν=→ϕ+ω=
ωω
ωω
π−ϕ=ϕ−ϕ=ιϕ
ω=
ν=ι
2vLv
p
L
)Z()(
L
V
Z
45
• Circuito resistivo de señal alterna
–Se puede demostrar que la ley de Ohm generalizada es también válida para cualquier asociación de elementos pasivos:
(pero por comodidad, usaremos “v” e “i” de forma habitual para designar los fasorestensión y corriente)
aresistenciladepedanciaIm:RR)t(iR)t(v
e)t(i)t(i;e)t(v)tcos(V)t(v tjc
tjcvp
=ιν→ι⋅=ν→⋅=
ι=→ν=→ϕ+ω= ωω
eqZι=ν
– La obtención de la impedancia equivalente de una asociación serieo de una asociación paralelo, se calcula de manera análoga a la de las respectivas asociaciones de resistencias:
♣ Ejemplo:Hallar el valor nominal de dos elementos pasivos tales que su impedancia equivalente sea Zeq = (7 – 3j)Ω para la frecuencia de la red eléctrica
( ) 11keqkeq ZZZZ
−−∑∑ ==
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
- Si los dos elementos están en serie, Z1 = 7Ω = R1 ; Z2 = – 3jΩ = 1/jωC ⇒ C = 1/3ω;C = 1/300π = 1,06mF
- Si los dos elementos están en paralelo,
( )keqkeq ∑∑
46
F6,16458
3C
Cj1
j358
Z,7
58R
Z1
R1
j583
587
58j37
;Z1
R1
Z1
Z1
j371
2
2221
µ=ω
=⇒ω
=Ω=Ω=⇒
+=+=++=+=−
♣ Ejemplo:Deducir la expresión de la corriente que circula por la siguiente malla, sabiendo que vs(t) = Vm·cos(ωt+φ)
Puesto que la fuente independiente es sinusoidal, utilizamos la formulación fasorialpara analizar el circuito:
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
1
)tivanduciimpedancia,LjZ(iZv
)resistivaimpedanciaoaresistenci,R(iRv
LLL
R
ω=⋅=⋅=
φφ+ω ⋅=⇒⋅=φ+ω⋅= jms
)t(jmms eVveVRe)tcos(V)t(v
siendo:
luego:
)capacitivaimpedancia,Cj
1Z(iZv CCC ω
=⋅=
47
RC1
Larctgj
22
ss
CL
sCLs e
C1
LR
v
C1
LjR
vZZR
vi0iZiZiRv
ω−ω
⋅−
ω−ω+
=
ω−ω+
=++
=⇒=⋅−⋅−⋅−
φ⋅= jms eVv
RC1
Larctgj
22
jm e
C1
LR
eVi
ω−ω
⋅−φ
ω−ω+
=
Finalmente, la expresión temporal de la corriente:
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
ω
−ω+
=
⋅=
ωω
−ω⋅−φ
ω
eee
C1
LR
VRe
eiRe)t(i
1
tjRC1
Larctgjj
22
m
tj
48
ω−ω
−φ+ω
ω−ω+
=
ω−ω+
=
ω−ω
−φ+ω
RC1
Larctgtcos
C1
LR
V)t(i
e
C1
LR
VRe
22
m
RC1
Larctgtj
22
m
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
Leyes de Kirchhoff en notación fasorial :
1) L.K.N.: en un nodo, Σik (t) = 0 (Conservación de la carga)
⇒ ΣReIk exp(jωkt) exp(jϕk) = ReΣIk exp(jωkt) exp(jϕk) = 0;
esto se sigue verificando si imponemos que ΣIk exp(jωkt) exp(jϕk) = 0;
y si ω1 = ω2 = … = ωN = ω ⇒ ΣIk exp(jϕk) = 0;
finalmente, definiendo los fasores corriente como ik ≡ Ik exp(jϕk) ⇒ Σik = 0
2) L.K.M.: en una malla, Σvk (t) = 0 (Potencial eléctrico, conservativo)
y mediante el mismo proceso se obtiene que si vk ≡ Vk exp(jϕk ) ⇒ Σvk = 0
Observación: Las leyes de Kirchhoff en notación fasorial sólo son válidas en circuitos con fuentes sinusoidales de la misma frecuencia
49
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
Resolución de circuitos de corriente alterna (c.a.)
1) Si hay elementos no resistivos, se expresan las señales de las fuentes en forma fasorial
2) Se aplican los métodos de resolución de circuitos considerando la ley de Ohm generalizada y las impedancias de los elementos pasivos
3) Si el circuito tiene fuentes de distintas frecuencias, simultáneamente se debe hacer uso del principio de superposición
4) A partir de los resultados en notación fasorial, se obtienen las expresiones temporales
♣Ejemplo: Obtener la expresión temporal de la tensión en la resistencia R2, siendo la ♣Ejemplo: Obtener la expresión temporal de la tensión en la resistencia R2, siendo la fuente de tensión alterna v2= v2(t) = Vp cos(ωt)
Fuentes con distintafrecuencia(ω1 = 0, ω2 = ω) (v2 = 0)
Circuitos parciales
(V1 = 0)50
V1
11
vRRZ
RRRRiv
VeVv,fasorialformaen)t(vExpresando
VRR
RRIV
p221C
21212AB
p0j
p22
121
221AB
=+
=+
==
==
+==
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
( )
)tcos(VVRR
R)t(v
)t(v)(vReeV)(vefasor
CRR1
arctgsiendo,eVVe
CRR
11
1
1CRRj
1RRZ
m121
2AB
2AB2AB)t(j
m2ABtj
21
jmp
j2
21
21
21C
ϕ−ω++
=
=ω→=ω→×
ω−≡ϕ=
ω+
=
+ω
+
ϕ−ωω
ϕ−
ϕ
51
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
¡Atención!:
– La impedancia de un elemento pasivo no resistivo depende de la frecuencia de la fuente que actúa sobre él
– En el circuito parcial que resulta al anular V1, se puede simplificar el paralelo de las resistencias porque no se pide la corriente por ninguna de ellas
– Para pasar a la expresión temporal, basta con recuperar la función trigonométrica de partida, y añadir en el argumento la fase del fasor solución
Teoremas de Thévenin y Norton en circuitos de corrien te alterna (frecuencia única)
– Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un circuito formado por – Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un circuito formado por una fuente de tensión en serie con una impedancia
– Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un circuito formado por una fuente de corriente en paralelo con una impedancia
52
TEMA 1: Teoría de redes lineales. e) Impedancia y análisis fasorial
Algunas definiciones de uso frecuente en señales de pendientes del tiempo
Dada una señal v(t) periódica, con periodo T, se definen:
– Valor medio (o “valor de continua”):
Para señales sinusoidales,
∫+
=Tt
t
0
0
dt)t(vT1
v~
0v~ =
1– Valor eficaz (o valor “rms”):
Para señales sinusoidales, , siendo Vp la amplitud o valor de pico de la señal.
Significado del valor eficaz: en el caso de que la señal sea una corriente i(t), es elvalor que tendría que tener una corriente continua Ief para producir la mismadisipación de calor que i(t) en un periodo.
∫+
==Tt
t
2rmsef
0
0
dt)t(vT1
vV
2
VV p
ef =
53
TEMA 1: Teoría de redes lineales. f) Máxima transferencia de señal en la interconexión d e circuitos
Transferencia de señal a una carga
Al conectar una resistencia de carga RL entre dos puntos o terminales de una red lineal, se produce la transferencia de corriente, tensión y potencia de la red a la carga:
Si representamos estas dependencias frente a R , se observa que:
2Th2
Leq
LL
2L
ThLeq
LL
Leq
ThL
V)RR(
RRI)R(P
;VRR
R)R(V;
RRV
)R(I
+==
+=
+=
Si representamos estas dependencias frente a RL, se observa que:
– La transferencia de corriente es máxima si RL=0– La transferencia de tensión es máxima si RL→∞– La transferencia de potencia es máxima si RL= Req
– En el caso de redes con impedancia de Théveninno resistiva la transferencia de potencia es máxima si ZL= Z*eq0
0
V
P
RL
I
Req
54
TEMA 1: Teoría de redes lineales. f) Máxima transferencia de señal en la interconexión de circuitos
Transferencia de señal a un circuito de cuatro term inales
En ocasiones, el receptor de la señal entregada por una red lineal de dos terminales noes una carga, sino otro circuito intermedio de cuatro terminales que a su vez se encargade transferir la señal a la carga o bien a etapas posteriores de un circuito más complejo:
En este caso, los criterios de transferencia máxima de señal a la red de cuatroterminales son los mismos, si se considera que la carga que ve la red de dos terminaleses la “resistencia de entrada” de la segunda red.
• ¿Cómo se calcula la resistencia de entrada de un circuito?:
siendo Vi e Ii la tensión y la corriente en el puerto de entrada de ese circuito.
Si el circuito tiene elementos no resistivos, entonces se habla de impedancia de entrada.
i
ii I
VR =
55
TEMA 1: Teoría de redes lineales. f) Máxima transferencia de señal en la interconexión de circuitos
♣ Ejemplo: Hallar la resistencia de entrada del circuito
32
321i
32
321i
32
32i1ip1ii
32p
3
pp
2
p3R2Ri
i
ii
R)B1(RRR
RR
;R)B1(R
RRRI
R)B1(RRR
IRIVRIV
;R
B1R1
VR
BVV
R
VIII;
IV
R
+−+=⇒
+−+=
+−+=+=
−+=−
+=+==
56
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia
a) Filtrado de señales alternas
b) Tipos básicos de filtrado
c) Función de transferencia
d) Representación gráfica
57
Filtrado pasivo de señales alternas
Si vi = vi(t) = Vp sen(2πf t + ϕ), es una fuente de señalalterna de frecuencia variable, y la red lineal contienealgún elemento no resistivo, ésta transmitirá las señalesde tensión o corriente distintamente según cuál sea f
Para estudiar cómo transfiere las señales de tensión o corriente de distintas frecuenciasun circuito de este tipo, se definen las funciones ganancia, que debido al uso de fasoresserán en general funciones complejas de la frecuencia:
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. a) Filtrado de señales alternas
ii
)jf(AcorrientedeGanancia,vv
)jf(AtensióndeGanancia oi
ov =≡=≡
– El estudio matemático de las funciones |Av(f)| y |Ai(f)| permite conocer la relación entre las amplitudes de las señales de salida y de entrada para cada frecuencia así como la función que realiza el circuito.
– El estudio matemático de las funciones θv(f) y θi(f) permite conocer el desfase entre las señales de salida y de entrada para cada frecuencia.
– En ocasiones, la impedancia de carga puede tener valor infinito (io = 0)
58
)corrientesotensiones,x,y(xy
)jf(Hciatransferendefuncioneslas,generalenY
)eAA,eAA(i
)jf(AcorrientedeGanancia,v
)jf(AtensióndeGanancia
ioi
o
jii
jvv
ii
iv
iv
=≡
==
=≡=≡θθ
• Tipos básicos de filtrado
Cuando una red selectiva en frecuencias transfiere a su salida una amplitudextremadamente pequeña de la señal respecto a la amplitud de entrada para un ciertorango de frecuencias, se dice que la red filtra la señal de entrada o que es un filtro.Dependiendo de qué rango se trate, se distinguen los siguientes tipos (|A|=|Av(f)| o |Ai(f)|):
1
IAI1
IAI1
IAI1
IAI
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. b) Tipos básicos de filtrado
Paso bajo Paso alto Paso banda Rechaza banda(Circ. resonante) (de corte/Notch)
– Frecuencias de corte : fC, fL, fH– Ancho de banda del filtro: ∆f = fmáx – fmín (∆f = fC, ∞ y fH – fL)– Los circuitos prácticos suelen tener transiciones suaves entre la región de paso y la
de rechazo ⇒ se define la frecuencia de corte fC como aquélla tal que |A|f=fC = |A|máx/√2– En los circuitos pasivos la ganancia máxima es igual o menor que 1 (salvo
excepciones)
0
ffC
0fH
fL f
0
ffL
fH
0fC f
59
♣ Ejemplo: Estudiar el comportamiento del módulo y la fase de la ganancia de tensión de los circuitos capacitivos siguientes:
a) b)
;RCf2j1
11RZ
1)ZR(i
iZvv
)jf(A1
Cov π+
=+
=+
== −;
)RCf2j/(111
ZR11
)RZ(iiR
vv
)jf(A1
ov π+
=+
=+
== −
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. c) Función de transferencia
Además, |Av| es siempre decreciente Además, |Av| es siempre creciente
Asíntotas y límites de |Av|: Asíntotas y límites de |Av|:
RC21
ff2
1A;0f1A
)RCf2(arctg)f(,)RCf2(1
1)f(A
;RCf2j11RZ)ZR(iv
)jf(A
Cvmáxv
2v
1CCi
v
π==⇔==⇔=
π−=θπ+
=
π+=
+=
+== −
0ALím;1ALímRCf21
A,RC21
f;1A,RC21
f
vfv0f
vv
==π
≈π
>>≈π
<<
∞→→
RC21
ff2
1A;f1A
RCf21
arctg)f(,)RCf2/(11
1)f(A
;)RCf2j/(11ZR1)RZ(iv
)jf(A
Cvmáxv
2v
C1
Civ
π==⇔=∞→⇔=
π−−=θ
π+=
π+=
+=
+== −
1ALím;0ALím
1A,RC21
f;RCf2A,RC21
f
vfv0f
vv
==
≈π
>>π≈π
<<
∞→→
60
Gráficamente, dando valores a R y C:
f, escala lineal f, escala logarítmica f, escala logarítmica,AdB = 20⋅logIAvI
0,5
1,0 IA
vI
(a)
(b)
0.7
0,5
1,0
0.7
IAvI
(a)
(b)
-20
0
-20*log(f/fC)
AdB
(a)
(b)-3dB
20*log(f/fC)
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. d) Representación gráfica
Diagramas de Bode
del módulo y la fase:
a) Filtro paso bajo
b) Filtro paso alto
Buenas aproximaciones rectilíneas
10-1 100 101 102 103 1040,0
f (Hz)fC
0 100 200-120
-90
-60
-30
0
30
60
90
120θ (º)
(a)
(b)
f (Hz)10-1 100 101 102 103 104
-120
-90
-60
-30
0
30
60
90
120θ (º)
(a)
(b)
f (Hz)
0 100 2000,0
f (Hz)fC=31.8Hz 10-1 100 101 102 103 104
-40
f (Hz)fC
61
♣Ejemplo: Estudiar el comportamiento del módulo y la fase de la ganancia de tensión del circuito siguiente, siendo C = 1µF, L = 1mH y R = 10Ω:
11
;
Lf21
Cf2jR1
11)IIZZ(R
1)IIZZR(i
)IIZZ(ivv
)jf(A1
LCLC
LC
in
outv
π
−π+=
+=
+== −
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. c) Función de transferencia
Asíntotas de |Av|:
Límites de |Av|:
RC21
fff;LC1
RC21
21
RC41
,f
...R1
Lf21
Cf22
1A;
LC21
ff1A)f(A
Lf21
Cf2Rarctg)f(,
Lf21
Cf2R1
1)f(A
CLCH
2
CHCL
v0máxvv
22
v
π=−=∆+
π+
π=
⇒±=
π−π⇔=
π==⇔==
π−π−=θ
π
−π+
=
m
( )
0ALím;0ALím
RCf21
Cf2R1
1A,ff;f
RL2
Lf21
R1
1A,ff
vfv0f
22v02
2
v0
==
π≈
π+≈>>π≈
π+
≈<<
∞→→ 62
Gráficamente, dando valores a R, L y C:
f, escala lineal f, escala logarítmica f, escala logarítmica,AdB = 20⋅logIAvI
0.5
1.0
0.7
IAvI
0,5
1,0
0.7
IAvI
f0=5033Hz
fCL
=1458Hz
fCH
=17373Hz
∆f=15915Hz
∆f
-80
-60
-40
-20
0 20*log1-3dB
20*log(2π(L/R) f)-20*log(2πRC f)A
dB
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. d) Representación gráfica
Diagramas de Bode
del módulo y la fase:
Filtro paso banda
(Buenas aproximaciones rectilíneas)
10-2 100 102 104 106 1080.0
f (Hz)
0,0
f (Hz)fCL
f0 f
CH 10-2 100 102 104 106 108
-80
f (Hz)
0 5x104 1x105
-90
-45
0
45
90
θ (º)
f (Hz)
f0 10-2 100 102 104 106 108
-90
-45
0
45
90
θ (º)
f (Hz) 63
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. d) Representación gráfica
• Diagramas de Bode aproximados: representación rápid a
En un circuito lineal, las relaciones entre los fasores de cualquier par de variableseléctricas (Av , Ai , Z) se pueden expresar en la forma
Ai, Bi, Ck, Dk: constantes complejas que pueden valer cero; ωi: ceros; ωk: polos
64
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. d) Representación gráfica
• Diagramas de Bode aproximados: representación rápid a
Se consideran cinco tipos posibles de “contribuciones” en la función de transferencia:
A AdB Diagrama lineal ϕ Diagrama lineal
k (real) 20·logk 0, π
jf/f1 20·log(f/f1) π/2
65
1 1
−20·log(f/f2) −π/2
(1+jf/fc)∼
arctg(f/fc)∼
∼−arctg(f/fp)
∼
2c )f/f(1log20 +⋅
2p )f/f(1log20 +⋅−
2f/jf1
( )pf/jf11
+
TEMA 2: Introducción a los circuitos selectivos en frecuencia. d) Representación gráfica
−π=ϕ
+−
=
+=
a
2
aav
a
av f
farctg
2;
ff
1log20ff
log20A;f/jf1
f/jf)jf(A
40
20*log(f/fa)
180
66
10-1 100 101 102 103 104 105-40
-20
0
20
-20dB/década
20*log(f/fa)
-20*logsqrt [1+(f/fa)2]
Suma de contribuciones lineales
AdB
flog
(Hz)
+20dB/década
10-1 100 101 102 103 104 105-180
-90
0
90
90° - arctg(f/f
a)
Suma de contribuciones lineales
ϕ (°
)
flog
(Hz)
-45o/década