Capítulo 4

(Respuesta Natural de circuitos RL y RC)

Circuitos RL y RC sin fuentes conectadas para t>0

En este capítulo se analizan circuitos Resistivos-inductivos (R-L) y

circuitos resistivos-capacitivos (R-C), los cuales se encuentran inicialmente

cargados

En estos circuitos, en t=0 se hace un cambio en el circuito (apertura o

cierre de interruptores, o bien se apagan algunas fuentes) lo cual provoca que

los elementos inductivos y capacitivos entreguen de manera total o parcial su

energía almacenada a los elementos resistivos.

En estos circuitos, tanto las corrientes por la inductancia como el voltaje

en el capacitor disminuyen de manera exponencial con el paso del tiempo.

Metodología de Solución

1) Analizar el circuito para t<0, asumiendo que el circuito se encuentra

operando en estado estable (inductancias en corto, capacitores en circuito

abierto) para determinar iL(0-) ó Vc(0-) dependiendo del tipo de circuito

analizado.

2) Determinar la Req(Rth) vista por el elemento inductivo ó capacitivo. Para

determinar Req se puede procederde la misma manera en que se obtiene

Rth (Tabla página 88). Este análisis se efectúa para t>0 , que es el

instante en el cual inicia la descarga

3) Calcular la constante de tiempo del proceso de descarga.

LeqRe q

Re qCeq

L

4) Para los circuitos RL, la corriente por la inductancia (t > 0) estará dada por:

Donde:

t

I L Ioe

I o I L (0) I (0 )

Si se desea calcular el voltaje y/o la corriente en algún otro elemento del

circuito se puede representar la inductancia como una fuente de corriente

de valor igual a t

IL Ioe

5) Para los circuitos RC, el voltaje del capacitor (t > 0) está dado por:

t

VC (t) VOe VO VC (0 ) VC (0 )

Si se desea calcular el voltaje y/o la corriente en algún otro elemento del

circuito se puede representar el capacitor como una fuente de voltaje det

valor igual a: VC (t) VOe

Condición Inicial de operación (Estado estable) Condición Final de operación (Estado estable)

Capítulo 5

Analísis de la respuesta natural y de la respuesta forzada de circuitos RL y RC

En esta sección se analiza el comportamiento de circuitos RL y RC cuando

estos son llevados de una condición inicial de caraga a una condición final de

carga. A diferencia del capítulo anterior, el estado final de carga, no es

necesariamente cero, ya que para t>0 pueden existir fuentes que permanecen

conectadas a los elementos que almacenan energía.

Estado transitorio

La función escalón unitario u(t) = 0 si t<0, 1 si t>0 se utiliza para representar

matemáticamente el enecendido o apagado de fuentes en el circuito eléctrico.

El objetivo de este análisis es determinar como los elementos inductivos y

capacitivos son llevados de un estado inicial de carga (no necesariamente cero) a

un estado final de carga (no necesariamente cero).

Metodología de Solución

Se recomienda estudiar las tablas de las páginas 182 y 185.

Circuitos RL

1) Determinar iL(0-), la corriente en la inductancia antes de modificar el circuito.

Para calcular este valor, asumir que el circuito se encuentra operando en

estado estable (inductancias en corto circuito), y utilizar cualquiera de los

métodos de análisis del capítulo 2 (mallas, nodos, superposición) para el

calculo de iL(0-)

2) Determinar iL() (Respuesta Forzada) tomando Leq como un corto circuito y

utilizando cualquiera de los métodos de análisis del capítulo 2. Este análisis se

lleva a cabo considerando las fuentes que permanecen conectadas para t>0.

Determinar el valor de las variables de interés F(). Estas variables son

voltajes y corrientes en algunos otros elementos.

3) Analizar el circuito en t=0+ y determinar el valor de la(s) variable(s) de interés

en este tiempo F(0+) Para este analpisis conviene representar la inductancia

como una fuente de corriente de valor igual a IL(0-) Con excepción de las

corrientes en la inductancia (y los elementos en serie con estas las demás

corrientes y voltajes pueden cambiar de manera instantánea)…

4) Expresar la variable de interés como

t

F (t) F () Ae

Para determinar A, evaluar esta ecuación en t=0+

F (0) F () A : A F (0) F ()

Donde F(0+) se obtuvo en el paso 3

Y F() se obtuvo en el paso 2

5) Calcular la Req (Rth) “vista” por la inductancia (Leq) de la misma manera que

el punto 2 del resumen del capítulo 4 Revisar tabla de la página 88. Este valor

debe calcularse para t>0 Importante!!!

6) En =Leq/Req Constante de tiempo (indica la rapidez con que la transición

se lleva a cabo)

t

F (t) F () Ae

7)

Circuitos RC

1) Determinar Vc(0-), el voltaje inicial del capacitor asumiendo que el circuito se

encuentra en edo. Estable (capacitor en circuito abierto)

2) Determinar Vc() ó de F() (Respuesta Forzada) Considerando los

capacitores como circuito abierto y considerando las fuentes que permanecen

conectadas para t>0. F() representa el valor de estado estable final de la

variable de interés.

3) Calcular F(0+), representando el capacitor como una fuente de voltaje de valor

igual a Vo=Vc(0-)=Vc(0+)

Con excepción del voltaje del capacitor (y de los elementos conectados en

paralelo con este), las demás corrientes y voltajes pueden cambiar

abruptamente.

4) Expresar la variable de interés como

t

F (t) F () Ae

Y calcular A evaluando esta función en t=0+

F (0) F () A : A F (0) F ()

5) Calcular la Req (Rth) “vista” por el capacitor (Ceq). Este valor debe obtenerse

analizando el circuito para t>0.

6)

Re qCeq

t

F (t) F () Ae

7)

RESPUESTA FORZADA A LAS FUNCIONES SENOIDALES

 

Al aplicar una función senoidal a un circuito simple, el resultado o respuesta del circuito estará compuesto de dos partes, una respuesta natural que depende de la clase de circuito únicamente, y una respuesta forzada que será una composición de las funciones derivadas de la función de excitación; el estado senoidal permanente se refiere entonces al estado en el que el circuito a alcanzado la respuesta forzada.

 

Para  y Dado que el circuito tiene que cumplir con la ecuación diferencial:

 

 

La respuesta forzada debe tener la forma:

 

Reemplazando en esta ecuación y agrupando los términos semejantes se tiene:

 

 

Al igualar los coeficientes de  y  se obtienen dos ecuaciones que permiten

encontrar los coeficientes   e  de la respuesta forzada:

 

De donde se obtiene:

 

 

Con esto se obtiene la respuesta forzada completa:

 

 

 

De la misma manera si ahora se aplica una función de excitación compleja que tiene una parte real y una imaginaria, la respuesta de el circuito tendrá una parte real y otra compleja también.

Para el circuito RL mostrado como   la fuente de excitación compleja es:

y la respuesta compleja de el circuito tendrá la forma:  donde la amplitud y el ángulo de fase son desconocidos.

La ecuación diferencial particular para este circuito es :

Remplazando los valores anteriores en la ecuación diferencial y derivando se obtiene:

Ahora es necesario calcular los valores de  y  ,para esto se divide toda la expresión

entre  :

 que es lo mismo que:

si se expresa el lado derecho de la ecuación en forma polar o exponencial se tiene:

De esta forma se puede obtener:

 

Que representan la parte real y la imaginaria de la respuesta compleja. Si se toma la respuesta real de la corriente en función del tiempo se obtiene: